Общая теория измерений. Методические указания к...
TRANSCRIPT
Министерство образования РФ Восточно-Сибирский государственный технологический
университет
Кафедра "Метрология, стандартизация и сертификация"
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ИЗМЕРЕНИЙ
Методические указания к выполнению практических занятий по теоретической метрологии для студентов
специальностей 072000, 190800 и направления 552200 и 653800
Часть 1. Обработка экспериментальных данных
Составитель: Хамханова Д.Н.
Улан-Удэ 2002
Методическое указание предназначено для студентов
специальностей 190800 "Метрология и метрологическое
обеспечение", 072000 "Стандартизация и сертификация в
пищевых отраслях", направления 552200 "Метрология,
стандартизация и сертификация" и 653800
«Стандартизация, сертификация и метрология» всех форм
обучения.
Рассмотрено и одобрено на заседании кафедры "МСС"
Протокол № _______ от “___” ____________г.
2
Работа 1
Характеристика дискретной случайной величины
Числовые характеристики. Среднее арифметическое n случайных величин определяется по формуле:
∑=
=n
iix
nх
1
1 (1)
или
nmx
nmx
nmxх n
n ⋅++⋅+⋅= ...22
11 (2)
гдеn
mi - частость появления значения 1x
Несмещенной оценкой дисперсии является среднеквадратическое отклонение:
( )∑=
−⋅−
=n
ii xx
nS
1
2
11 (3)
Кроме определения числовых характеристик для достижения наглядности строят различные графики статистического распределения, из которых чаще всего используют полигон, гистограмму и кумулятивную кривую.
Гистограмма представляет собой ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат отрезки, изображающие интервалы вариационного ряда, а вычеты равны частотам или частостям соответствующих интервалом, деленным на ширину интервала.
Полигон представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (хi ; mi). Для
интервального ряда строят полигон, соединяя отрезками точки с координатами (хio,, mi) или (xio,, pi).
Кумулятивная кривая - это кривая накопленных частот или накопленных частостей. Если вариационный ряд дискретный, то кривая представляет собой ломаную линию, отрезки которой соединяют точки с координатами (xi ,, mi
нак) или ( )[ ]xFх ni
), . Для интервального вариационного ряда
строят ступенчатую кривую. Ширина каждой ступеньки равна величине интервала, а ее высота - соответствующему данному интервалу значений накопленной частоты или частости.
Задание: По данным примера 1 вычислить среднее арифметическое, выборочную дисперсию и построить гистограмму и статистическую функцию распределения.
Указание: Количество интервалов определяется по формуле Старджесса:
gnr λ3,31+= (4)
Ширина интервала определяется по формуле:
rxxh minmax −= (5)
Для удобства вычисления значения границ интервала, частоту попадания в интервалы и середину интервалов свести в таблицу 1.
Таблица 1
Принцип интервалов xi - xi+1
Середина интервалов
xoi
Частота попадания в интервалы mi
Статистическая вероятность
pi 1 2 3 4
4 33
Для построения статистической функции распределения можно воспользоваться формулой
Fi+1(xi) = Pi + Fi(xi) где Fi(xi) = 0 Пример 1. Произведено 50 измерений напряжения
радиосигнала одним и тем же прибором. Результаты измерении приведены в таблице 1 приложения 1.
Массив экспериментальных данных взять в соответствии с вариантом, заданным преподавателем или в соответствии с шифром студента.
Работа 2
Выравнивание статистических распределений
При использовании вероятностных методов оценки
полученных результатов важной задачей является нахождение функции распределения по данному статистическому ряду. Такая операция называется выравниванием статистического распределения, а искомую функцию распределения, или плотность распределения называют выравнивающими.
Вид полигона или гистограммы позволяют сделать вывод о возможности выравнивания с помощью того или иного закона распределения.
Выравнивание статистического распределения проводится в следующем порядке:
1) выбирают теоретический закон распределения; 2) вычисляют параметры распределения; 3) строят графики выравнивающей функции распре-
деления F(x) или плотности f(x)=p(x) для значений xi, где xi - варианта, или для значений xio, где xio - середина интервала (для интервального вариационного ряда);
4) сравнивают графики теоретической функции рас-пределения F(x) и эмпирической ( )xF
) или f(x)=p(x) и
гистограммы. Сравнение графиков показывает, насколько
теоретический закон распределения удовлетворительно отражает экспериментальные данные. Если расхождение между F(x) и ( )xF
) невелико, можно считать, что F(x)
определено правильно. Выравнивающая функция распределения сглаживает
все те случайные отклонения, свойственные ( )xF)
, которые происходят из-за ограниченного объема наблюдений.
Задание: По данным примера 1 выравнить статистический ряд.
Решение 1. Построить гистограмму. По виду гистограммы (определить) выбрать теоретический закон распределения.
Если закон распределения нормальный, то его плотность равна:
( ) ( )( )
2
2
2
21 б
mx x
бxpxf
−−
⋅== λπ
(6)
2. Вычислить xmх = и б 3. Вычислить f(x) для середин интервалов. Для этого вводят переменную
( )б
xxt i −= (7)
и, используя свойство нормального распределения
( ) ( ) ( )tftб
xf ⋅=1 , по приложению 2 найдем значения f(t).
5 6
В случае использования интервалов применяют
зависимость ( ) ( )tfбhxf ⋅= , где h - ширина интервала.
Для удобства, вычисления свести в таблицу 2.
Таблица 2. Середины
интервалов хio бxx
t ioi
−=
f(t)
( )tfбh⋅
F(x)=F(t)
F(x)=F(t) - значения теоретической функции
распределения, найденное по таблицам функции Лапласа (приложение3), где F(t)=0,5+Ф(t).
4. Построить графики теоретической функции распределения F(x) и эмпирической ( )xF
).
5. Для построения значений ( )xF)
можно воспользоваться данными первой работы.
Работа 3
Проверка гипотезы о виде закона распределения
вероятностей результата измерения
Проверка гипотезы о виде закона распределения вероятности результатов измерения осуществляется с помощью критериев согласия.
Порядок проверки гипотезы о виде закона распределения с помощью критериев согласия может быть следующей:
1) выбирают меру расхождения между теоретическим и эмпирическим законами распределения и;
2) задают уровень значимости критерия α ;
3) вычисляют меру расхождения для исследуемого статистического распределения иэ;
4) находят табличное значение иα , отвечающее заданному уровню значимости α ;
5) делают вывод относительно проверяемой гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений:
если иэ> иα – гипотеза отклоняется; если иэ< иα – гипотеза принимается.
Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределении с помощью критерия
Пирсона Критерий согласия Пирсона (критерий х2)
используется достаточно часто при интервальной оценке и при числе .50≥n В критерии Пирсона расхождение задают в виде
( )∑ −==
r
i
ii
nPnPmхи
1
22 (8)
где mi - частота; Pi - вероятность попадания в i-ый интервал; r - число интервалов; n - объем наблюдений.
При n → ∞ случайная величина и=х2 имеет распределение Пирсона с К=r-3 степенями свободы, где К – число параметров распределения.
Проверка гипотезы о согласованности теоретического и эмпирического распределений с помощью критерия Пирсона осуществляется в следующем порядке:
1) результаты наблюдений х1 , х2 , …, хn группируют в интервальный вариационный ряд;
2) строят гистограмму или полигон;
7 8
3) выдвигают гипотезу о виде закона распределения и определяют его параметры;
4) задают уровень значимости критерия α ; 5) определяют теоретическую вероятность попадания
случайной величины Х в каждый интервал ( ) ( )iii xФxФР −= +1 (9) или f(x)=p(x)= ( )tf
бh⋅ (10)
6) определяют величину расхождения х 2э ;
7) определяют число степеней свободы S=к-r-1. Для нормального распределения принимают; S=r-3.
8) По таблицам приложения 4 распределения ( )2хР находят значение х 2
α , по заданному уровню значимости α и числу степеней свободы S;
9) Делают вывод о проверяемой гипотезе: если 2
эх > х 2α - гипотезу отвергают;
если 2эх < х 2
α - гипотезу принимают. Задание: по данным примера 1 проверить гипотезу о
согласованности эмпирического распределения с теоретическим.
Вычисления сводим в таблицу 3 или 4. Таблица 3
Границы интер- валов хi ; хi+1
Часто-та mi б
xxt ii
−=
( )itФ
( )−− +1ii tФР( )itФ
inP
ii nPm −
2)( ii nPm −
i
ii
nPnPm 2)( −
1 2 3 4 5 6 7 8 9
При определении теоретической вероятности попадания случайной величины в интервал по формуле 9 вычисления сводим в таблицу 3, а при определении Рi по формуле 10 вычисления удобнее свести в таблицу 4.
Таблица 4
Границы интервало
в Хi ; xi+1
Частота mi
Середина интервала
Хio б
xxt io
i−
=
f(ti)
1 2 3 4 5
Продолжение таблицы 4
( )ii tfбhР = inP ii nPm − 2)( ii nPm −
i
ii
nPnPm 2)( −
6 7 8 9 10
Значения функции Лапласа Ф(ti) определяем по
приложению 2, а f(ti) по приложению 3. Суммирование чисел в графах 9 или 10 дает 2
эх . Сделать вывод о согласованности эмпирического
закона распределения с теоретическим.
Проверка гипотезы о согласованности эмпирического и теоретического распределения
по составному критерию
9 10
Для проверки нормальности закона распределения результата измерения по составному критерию рассчитывается соотношение
( )∑
∑
=
=
−
−=
n
ii
n
ii
xxn
xxnd
1
2
1
1
1
(11)
и проверяется выполнение условия
maxmin ddd ≤≤ (12)
где dmin и dmax зависят от вероятности Р, с которой принимается решение.
Значения dmin и dmax находим по таблице 5. Если условие выполняется, то дополнительно
проверяются “хвосты” теоретического и эмпирического законов распределения вероятности. При 2010 ≤≤ n считается допустимым отклонение одного из независимых значений результата измерения хi от х больше, чем на 2,5S, а при 20<n<50 допускается не более 2-х отклонений, т.е. проверяется условие
Sxхi 5,2≥− (13)
При выполнении обоих условий гипотеза о
согласованности эмпирического и теоретического распределения принимается с вероятностью
,1** −+≥ хРРР где *Р - вероятность, с которой определяются dmin и dmax хР * = 0,98.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то гипотеза не принимается.
Таблица 5 *Р =0,90 *Р =0,95 *Р =0,99
dmin dmax dmin dmax dmin dmax 11 16 21 26 31 36 41 46 51
0.7409 0.7452 0.7495 0.7530 0.7559 0.7583 0.7604 0.7621 0.736
0.8899 0.8733 0.8631 0.8570 0.8511 0.8468 0.8436 0.8409 0.8385
0.7153 0.7236 0.7304 0.7360 0.7404 0.7440 0.7470 0.7496 0.7518
0.9073 0.8884 0.8768 0.8686 0.8625 0.8578 0.8540 0.8508 0.8481
0.6675 0.6829 0.6950 0.7040 0.7110 0.7167 0.7216 0.7256 0.7291
0.9359 0.9137 0.9001 0.8901 0.8827 0.8769 0.8722 0.8682 0.8648
Задание: По данным примера 2 проверить гипотезу о
нормальности закона распределения вероятности результата измерения по составному критерию.
Пример 2. Повторные измерения силы тока дали следующие результаты, представленные в таблице 2 приложения 1, массив экспериментальных данных взять в соответствии со своим вариантом.
Работа 4
Определение интервальных оценок параметров
распределения Суть интервальной оценки параметров распределения
состоит в том, чтобы построить интервал значений, в котором с заданной вероятностью будет находиться параметр распределения. Такой интервал называется
11 12
доверительным, а его границы – верхними и нижними доверительными границами. С вероятностью Р=1-α доверительный интервал содержит известное значение параметра.
Вероятность Р называют доверительной, а α -уровнем значимости.
Порядок получения интервальной оценки параметров распределения может быть следующей:
1. определяют оценку среднего значения результата измерения
∑=
=n
iix
nх
1
1
2. определяют оценку среднего квадратического отклонения результата измерения
( )2
111 ∑
=
−−
=n
ii xx
nS
3. устанавливают закон распределения результата измерения и проверяют согласованность эмпирического распределения с теоретическим
4. если закон распределения результата измерения нормальный, то определяют стандартное отклонение по формуле:
nSSx = (14)
5. если закон распределения результата измерения отличный от нормального, то определяют стандартное отклонение по формуле:
( )∑=
−=n
iix xx
nS
1
221 (15)
5. задают доверительную вероятность Р=1-α
6. для определения доверительного интервала используют соотношение:
хp St=ε (16)
где ε - полуширина доверительного интервала; pt - аргумент функции Лапласа, отвечающий вероятности (1+Р)/2, который в литературе называют квантилью нормального распределения, если закон распределения нормальный. Если эмпирическое распределение подчинится закону распределения вероятности Стьюдента, то pt - аргумент интегральной функции распределения Стьюдента.
Если эмпирическое распределение подчиняется иному закону, то pt - аргумент, входящий в неравенство П.Л.Чебышева.
Значение аргумента pt определяют по таблицам функции Лапласа, Стьюдента и неравенства Чебышева.
При нормальном распределении pt определяют по таблицам Приложения 2.
При нормальном распределении значение pt могут быть найдены по таблице (приложение 1, 2.) функции Лапласа (при заданной доверительной вероятности Р:
21)( ptФ +
= или 12 −
σεФ (17.)
Можно также записать
21)( pхФ +
= (18.)
13 14
С учетом этого находят соответствующие вероятности
21 p+ значение х=tp.
В то же время n
S=ε
Поэтому доверительной вероятности p отвечает
доверительный интервал, равный
⋅+⋅−
nStx
nStx pp , (19.)
Задание: По данным примера 1 найти доверительный
интервал.
Работа 5
Обработка экспериментальных данных. Многократные измерения с равноточными
значениями отсчета
Порядок выполнения многократного измерения при равноточных значениях отсчета приведен на рис. 1.
Задание: По данным примера 3 найти результат измерения. Пример 3. При проведении исследования образцовых
резисторов было произведено по 50 измерений одной и той же величины. Числовые значения результатов измерения сопротивления приведены в таблице 3 приложения 1.
Хi отбрасывается
Нет Да Да Нет Нет Да
Массив экспериментальных данных (получение n независимых значений результата измерения)
Оценка среднего значения результата измерения
Оценка среднего квадратического отклонения результата измерения
n=n-1
|xi-
n>40..5
n>10…
Проверка нормаль-ности закона рас-пределения вероят-ности результата измерения по кри-терию К.Пирсона
( )∑= ⋅
⋅−=
к
i i
ii
pnpnm
1
22λ
Проверка нормальности
закона распреде-ления вероят-
ности результатаизмерения по составному критерию
Гипотеза о нор-мальности закона распределения ве-роятности резуль-тата измерения принимается или отвергается на ос-новании априорной
информации
15 16
Да Нет Нет Да
Рис. 1
Работа 6
Обработка экспериментальных данных.
Многократные измерения с неравноточными значениями отсчета
При многократных измерениях с неравноточными
значениями отсчета несмещенной оценкой среднего значения результата измерения является среднее взвешенное. Среднее взвешенное определяется по формуле:
∑
∑
=
=
⋅= n
i ix
n
ii
ix
б
xб
x
12
12
1
1~
(20.)
где хi - отдельные значения результата измерения;
ixб
2
1 - дисперсия отдельных значений результата
измерения. Дисперсия среднего взвешенного определяется по
формуле:
∑=
= n
i ixб
б
12
2
11
(21.)
Нормированный вес каждого отдельного результата
измерения определяется по формуле:
Определение стандартного
отклонения среднего арифметического
nSS x =
Определение стандартного
отклонения среднего арифметического
( )∑=
−=n
iix xx
nS
1
221
Определение среднегоарифметического
nSS x =
Х2<Х2Гипотеза отвер-гается
Выбор доверительной вероятности и
определение tр по таблицам функции
Лапласа
Выбор доверительной вероятности и
определение tр по неравенству пл.Чебышева
Выбор доверительной вероятности и
определение t по формуле Р=2Sn(t)-1,
где 2Sn(t) – интегральная функция
распределения вероятности Сьюдента
Расчет половины доверительного интервала
Определение пределов в которых находится значение измеряемой величины εε +≤≤− ххх
18
∑=
= n
i xi
xijg
12
2
1
1
σ
σ (22.)
При условии ∑=
=n
iig
11 среднее взвешенное будет
определяться по формуле:
∑=
⋅=n
iii xgx
1
~ (23)
Задание: По данным примера 4 найти результат
многократного измерения при неравноточных значениях отсчета.
Пример 4. Измерения образцовой меры длины, выполненные приборами разной точности дали следующие результаты, приведенные в таблице 4 приложения 1.
Известно, что результат измерения вертикальным оптиметром подчиняется нормальному закону распределения вероятности со стандартным отклонением S1, при измерении машиной типа Цейсс – соответственно, S2 ; машиной типа СИП – S3 ; миниметром с ценой деления 1 мкм – S4 . Каково отклонение результата измерения от номинального значения?
Работа 7
Обработка результатов 2-х серии измерений Серии называются однородными, если состоят из
значений, подчиняющихся одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии называются неоднородными.
Проверка однородности является обязательной при выборе способа совместной обработки результатов нескольких серий измерений. Проверка однородности проводится на основе эмпирических моментов: сравниваются между собой средние арифметические и оценки дисперсии в каждой серии. Проверка значимости различия между средними арифметическими проводится по алгоритму, представленному на рис. 2.
Проверка значимости различия оценок дисперсии в двух сериях, результаты измерения в которых подчиняются нормальному закону распределения вероятности, проводится по алгоритму, приведенному на рис. 3.
Серии с незначимым различием оценок дисперсии называются равнорассеянными, с существенным различием – неравнорассеянными.
19 20
Да Нет GtSG ≤
Рис. 2. Проверка значимости различия между
средними арифметическими в двух сериях
Да Нет Оψψ ≤
Рис. 3. Проверка значимости различия оценок дисперсии в двух сериях измерений
Экспериментальные данные в 1-ой серии
{ } nnх ;1∈
Экспериментальные данные во 2-ойсерии
∑=
=1
111
1~ n
iix
nх ∑
=
=2
122
1~ n
iix
nх
Проверка нормальности
результата измерений
Проверка нормальности
результата измерений
( )∑=
−⋅−
=1
1
21
11
2 ~1
1 n
iix xx
nS ( )∑
=
−⋅−
=2
1
22
22
2 ~1
1 n
iix xx
nS
2
22
1
12
nS
nSS xx
G +=
12~~ xxG −=
Выбор доверительной вероятности и определение t по таблицам функции Лапласа
Различие между средними
арифметическими в
Различие между средними
арифметическими в
Экспериментальные данные в 1-ой серии
{ } nnх ;1∈
Экспериментальные данные во 2-ойсерии
∑=
=1
111
1~ n
iix
nх ∑
=
=2
122
1~ n
iix
nх
Проверка нормальности
результата измерений
Проверка нормальности
результата измерений
( )∑=
−⋅−
=1
1
21
11
2 ~1
1 n
iix xx
nS ( )∑
=
−⋅−
=2
1
22
22
2 ~1
1 n
iix xx
nS
12
21
2
≥=x
x
SS
ψ
Выбор вероятности, с которой принимается решение и определение по таблице
интегральной функции рас-пределения
Серии равнорассеянны Серии
21 22
Задание. По данным примера 5 определить результат
измерения двух серий измерений. Пример 5. Результаты 2-х серий измерении одной и
той же величины постоянного размера приведены в таблице 5 приложения 1.
Определить значение измеряемой величины (результат) в зависимости от однородности и равнорассеянности серии измерений.
Указание: Если серии неоднородны, то каждая серия обрабатывается отдельно. Если же серии однородны, то серии измерений обрабатываются совместно, т.е. экспериментальные данные входящие в однородные серии обрабатывают как единый массив.
Работа 8
Обработка экспериментальных данных, входящих в
неравнорассеянные серии
Порядок обработки экспериментальных данных
{ }nix ,...,1∈ , входящих в { }λ,...,1∈j неравнорассеянных серии с незначимым различием средних арифметических представлен на рис. 4.
Задание. По данным примера 6 определить результат измерения неравнорассеянных серий измерений.
Пример 6. Результаты двух неравнорассеянных серии измерений с незначимым различием средних арифметических представлен в таблице 6 приложения 1. Определить результат измерения.
нет St ⋅=ε εε +<<− xxx ~~
Рис.4. Обработка экспериментальных данных,
входящих в неравнорассеянные серии.
Исходные данные λ;; jji mx
∑=
=jm
iji
jj x
mx
1,
~1~
( )∑=−
−=jm
ijji
jjj xx
mmS
1
2,
1
2 )~(1
∑=
=λ
12
2
11
j j
j
S
S
∑=
=λ
12
2 ~~j
jj
xSSx
Выбор доверительной вероятности и определение t
по таблицам функции Лапласа
Выбор доверительной вероятности и определение t по формуле ,1)(25 −= tnр
где Sn(t) – интегральная функция распределения вероятности Стьюдента
∑=
≤l
jjm
150
∑= −
= l
j Jm
ln
1
2
11
24 23
Работа 9 Обеспечение требуемой точности при многократном
измерений
Многократные измерения одного и того же размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от количества экспериментальных данных, то увеличивая n можно добиться наперед заданного условия.
оεε ≤ Алгоритм обработки экспериментальных данных при
обеспечении требуемой точности измерения представлен на рис. 5.
Задание. По данным примера 7 определить результат измерения, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже смо 22 =ε .
Пример 7. В таблице 7 приложения 1 приведены 10 независимых числовых значений результата измерения линейного размера (в сантиметрах). Определить его длину, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже смо 22 =ε .
Увеличивается массив х отбрасывается нет
xni Sxx 3~ ≤−
Да Да
ε>εo Нет
Рис. 5.
Исходные данные { }nix ,...,1∈ ; h; H; оε2
( )∑=
−−
=n
inix xx
nS
1
2~1
1
n=n+1 n=n+1
Проверка нормальности закона распределения вероятности результата измерения
nSS x
x =~
Определение t по формуле Р=2Sn(t)-1, где 2Sn(t) – интег-ральная функция распределения вероятности Стьюдента
xtS ~=ε
εε +≤=≤− nn xxх ~~
∑=
=n
iix
nх
1
1
26 25
СПИСОК РЕКОМНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. Основы метрологии:
Учеб. пособие.-3-е изд. Перераб и доп. - М.: Изд-во
стандартов, 1984.
2. Шишкин И.Ф. Метрология, стандартизация и
управление качеством: Учеб. Для вузов / Под ред. акад. Н.С.
Соломенко. - М.: Изд-во стандартов, 1990.-342 с., ил.
3. Шишкин И.Ф. Основы метрологии, стандартизации
и контроля качества: Учебное пособие. - М.: Изд-во
стандартов, 1987. – С. 320, ил.
4. Шишкин И.Ф. Теоретическая метрология: Учебник
для вузов. - М., Изд-во стандартов, 1991.-492 с.
27