Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал
TRANSCRIPT
![Page 1: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/1.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
МАТЕМАТИК-2Олон хувьсагчтай функцийн үндэс
Д.Баттөр
2010 оны 2-р сарын 10
![Page 2: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/2.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
1 Олон хувьсагчтай функц (ОХФ)(ОХФ)-ийн тухайн уламжлал(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциалДавхар функцийн уламжлалДалд функцийн уламжлал(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал(ОХФ)-ийн градент
2 (ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал ба бүтэндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
![Page 3: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/3.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Тодорхойлт
Хэрэв z = f (x ; y)-функцийн тухайн уламжлалуудыг аргументийнөөрчлөлтөөр үржүүлэн нийлбэрчилсэн нийлбэр
dz =∂f
∂xdx +
∂f
∂ydy (1)
-ийг f (x ; y) функцийн бүтэн дифференциал гэж нэрлээд dz-гэжтэмдэглэнэ.
Тодорхойлт
z = f (x1; x2; ...; xn) гэсэн n-хувьсагчтай функцийн бүтэндифференциал нь
dz =∂f
∂x1dx1 +
∂f
∂x2dx2 + · · ·+ ∂f
∂xndxn (2)
байна.
![Page 4: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/4.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Тодорхойлт
Хэрэв z = f (x ; y)-функцийн тухайн уламжлалуудыг аргументийнөөрчлөлтөөр үржүүлэн нийлбэрчилсэн нийлбэр
dz =∂f
∂xdx +
∂f
∂ydy (1)
-ийг f (x ; y) функцийн бүтэн дифференциал гэж нэрлээд dz-гэжтэмдэглэнэ.
Тодорхойлт
z = f (x1; x2; ...; xn) гэсэн n-хувьсагчтай функцийн бүтэндифференциал нь
dz =∂f
∂x1dx1 +
∂f
∂x2dx2 + · · ·+ ∂f
∂xndxn (2)
байна.
![Page 5: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/5.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 6: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/6.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ;
∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 7: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/7.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 8: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/8.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 9: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/9.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.
C ∂z∂x = yexy ; ∂z
∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 10: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/10.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ;
∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 11: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/11.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .
dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 12: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/12.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 13: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/13.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy)
dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 14: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/14.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн бүтэн дифференциал
Жишээ
z = xy − yx функцийн бүтэн дифференциалыг ол.
C ∂z∂x = y + y
x2 ; ∂z∂y = x − 1
x .
dz = (y +y
x2)dx + (x − 1
x)dy .B
z = exy функцийн бүтэн дифференциалыг M(1; 1) цэгдээр ∆x = 0, 1, ∆y = 0, 2 байх тохиолдолд бодож ол.C ∂z
∂x = yexy ; ∂z∂y = xexy .dz = yexydx + xexydy
dz = exy (ydx+xdy) dz∣∣∣M
= e1·1(1·0, 1+1·0, 2) = 0, 3e.B
![Page 15: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/15.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Тодорхойлт
V -муж дээр тодорхойлогдсон z = F (u; v)-гэсэн хоёр хувьсагчтайфункц авч түүний аргумент u, v -г x , y -гээс хамаарсанu = φ(x ; y), v = ψ(x ; y),(x ; y) ∈ D, (u; v) ∈ V функц байх z = F (φ(x ; y);ψ(x ; y))-ыг D муждээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.
Тодорхойлт
F (u, v), φ(x ; y), ψ(x ; y) гэсэн функцүүдийг өөр өөрийнхөө бүхаргументуудаараа тасралтгүй, мөн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтайгэж үзээд ∂F
∂x, ∂F
∂yуламжлалууд
∂z
∂x=∂F
∂u· ∂u∂x
+∂F
∂v· ∂v∂x
(3)
∂z
∂y=∂F
∂u· ∂u∂y
+∂F
∂v· ∂v∂y
(4)
байна.
![Page 16: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/16.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Тодорхойлт
V -муж дээр тодорхойлогдсон z = F (u; v)-гэсэн хоёр хувьсагчтайфункц авч түүний аргумент u, v -г x , y -гээс хамаарсанu = φ(x ; y), v = ψ(x ; y),(x ; y) ∈ D, (u; v) ∈ V функц байх z = F (φ(x ; y);ψ(x ; y))-ыг D муждээр тодорхойлогдсон давхар функц гэнэ.
Тодорхойлт
F (u, v), φ(x ; y), ψ(x ; y) гэсэн функцүүдийг өөр өөрийнхөө бүхаргументуудаараа тасралтгүй, мөн тасралтгүй тухайн уламжлалуудтайгэж үзээд ∂F
∂x, ∂F
∂yуламжлалууд
∂z
∂x=∂F
∂u· ∂u∂x
+∂F
∂v· ∂v∂x
(3)
∂z
∂y=∂F
∂u· ∂u∂y
+∂F
∂v· ∂v∂y
(4)
байна.
![Page 17: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/17.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.
C ∂z∂u = 2u; ∂z
∂v = −2v ;∂u∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y ,∂v∂x = sin y , ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,
∂z
∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y
байна.
![Page 18: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/18.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.C ∂z
∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;
∂u∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y ,∂v∂x = sin y , ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,
∂z
∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y
байна.
![Page 19: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/19.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.C ∂z
∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;
∂u∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y ,
∂v∂x = sin y , ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,
∂z
∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y
байна.
![Page 20: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/20.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.C ∂z
∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;
∂u∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y ,∂v∂x = sin y , ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,
∂z
∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y
байна.
![Page 21: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/21.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.C ∂z
∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;
∂u∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y ,∂v∂x = sin y , ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,
∂z
∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y
байна.
![Page 22: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/22.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Давхар функцийн уламжлал
Жишээ
z = u2 − v2, u = x cos y , v = x sin y давхар функцийнуламжлалуудыг ол.C ∂z
∂u = 2u; ∂z∂v = −2v ;
∂u∂x = cos y ∂u
∂y = −x sin y ,∂v∂x = sin y , ∂v
∂y = x cos y тул
∂z
∂x= 2u cos y − 2x sin y = 2x cos2 y − 2v sin2 y ,
∂z
∂y= −2ux sin y − 2vx cos y = −x2 sin 2y − x2 sin 2y
байна.
![Page 23: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/23.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Тодорхойлт
F (x ; y) = 0 (5)
гэсэн хоёр хувьсагчтай тэгшитгэл авъя. Хэрэв x-ын нэгтодорхой утга бүхэнд (5) тэгшитгэлийг хангах y -ын зөвхөнганц утга харгалзах бол (5)-тэгшитгэлийг x-ээс хамаарсан yфункцийг далд хэлбэрээр тодорхойлж байна гэнэ.
![Page 24: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/24.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Теорем
Хэрэв x-аргументаас хамаарсан y -функц нь (5) тэгшитгэлээрдалд хэлбэрээр тодорхойлогдсон байг.Үүнд F (x ; y), F ′
x(x ; y), F ′y (x ; y)-нь координатууд нь (5)
тэгшитгэлийг хангах (x ; y) цэгийг агуулсан D муж дээртасралтгүй ба F ′
y (x ; y) 6= 0 байг. Тэгэхэд y далд функцээс xхувьсагчаар авсан уламжлал нь
y ′x = −F ′
x(x ; y)
F ′y (x ; y)
(6)
байна. (6) адилтгалыг
y ′x = −
∂F∂x∂F∂y
(7)
гэж бичиж болно.
![Page 25: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/25.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээсхамаарсан y -далд функцийн уламжлалыг ол.
F (x ; y) = ey − ex + xy ⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x
]тул y ′x = −y − ex
x + ey=
ex − y
ey + x
![Page 26: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/26.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээсхамаарсан y -далд функцийн уламжлалыг ол.
F (x ; y) = ey − ex + xy
⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x
]тул y ′x = −y − ex
x + ey=
ex − y
ey + x
![Page 27: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/27.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээсхамаарсан y -далд функцийн уламжлалыг ол.
F (x ; y) = ey − ex + xy ⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x
]
тул y ′x = −y − ex
x + ey=
ex − y
ey + x
![Page 28: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/28.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээсхамаарсан y -далд функцийн уламжлалыг ол.
F (x ; y) = ey − ex + xy ⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x
]тул y ′x = −y − ex
x + ey
=ex − y
ey + x
![Page 29: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/29.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
Далд функцийн уламжлал
Жишээ
ey − ex + xy = 0 тэгшитгэлээр тодорхойлогдох x-ээсхамаарсан y -далд функцийн уламжлалыг ол.
F (x ; y) = ey − ex + xy ⇒[F ′x = −ex + y ,F ′y = ey + x
]тул y ′x = −y − ex
x + ey=
ex − y
ey + x
![Page 30: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/30.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Тодорхойлолт
∆s → 0 үеийн ∆u∆s -ноогдворын хязгаарыг u = f (x ; y ; z)
функцээс ~s-векторын чиглэлийн дагуух M(x ; y ; z) цэг дээрхчиглэлээр авсан уламжлал гэж нэрлээд ∂u
∂s
∣∣∣M
-гэжтэмдэглэнэ.Иймд u = f (x ; y ; z) функцийн ~s-векторын чиглэлээр авсануламжлал нь
∂u
∂s=∂u
∂xcosα +
∂u
∂ycosβ +
∂u
∂zcos γ (8)
болно.
![Page 31: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/31.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Зураг: Вектор
![Page 32: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/32.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i +
1
j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.
∂u∂x = yz , ∂u
∂y = xz , ∂u∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cosα =2√
22 + 12 + 32=
2√14, cosβ =
1√14, cos γ =
3√14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s= 2·(−1)
2√14
+1·(−1)1√14
+1·2· 3√14
=−4− 1 + 6√
14=
1√14
байна.
![Page 33: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/33.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i +
1
j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u
∂y = xz , ∂u∂z = xy болох ба
чиглүүлэгч косинусууднь
cosα =2√
22 + 12 + 32=
2√14, cosβ =
1√14, cos γ =
3√14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s= 2·(−1)
2√14
+1·(−1)1√14
+1·2· 3√14
=−4− 1 + 6√
14=
1√14
байна.
![Page 34: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/34.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i +
1
j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u
∂y = xz , ∂u∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cosα =2√
22 + 12 + 32=
2√14, cosβ =
1√14, cos γ =
3√14
байх тул
u = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s= 2·(−1)
2√14
+1·(−1)1√14
+1·2· 3√14
=−4− 1 + 6√
14=
1√14
байна.
![Page 35: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/35.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i +
1
j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u
∂y = xz , ∂u∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cosα =2√
22 + 12 + 32=
2√14, cosβ =
1√14, cos γ =
3√14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s= 2·(−1)
2√14
+1·(−1)1√14
+1·2· 3√14
=−4− 1 + 6√
14=
1√14
байна.
![Page 36: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/36.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i + 1j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u
∂y = xz , ∂u∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cosα =2√
22 + 12 + 32=
2√14, cosβ =
1√14, cos γ =
3√14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s= 2·(−1)
2√14
+1·(−1)1√14
+1·2· 3√14
=−4− 1 + 6√
14=
1√14
байна.
![Page 37: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/37.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Жишээ
u = xyz функцийн s = 2i +
1
j + 3k векторын чиглэлээравсан уламжлалыг M(1; 2;−1) цэг дээр ол.∂u∂x = yz , ∂u
∂y = xz , ∂u∂z = xy болох бачиглүүлэгч косинусууд
нь
cosα =2√
22 + 12 + 32=
2√14, cosβ =
1√14, cos γ =
3√14
байх тулu = xyz-функцээс M(1; 2;−1) цэг дээрхs = 2i + j + 3k-векторын чиглэлээр авсан уламжлал нь
∂u
∂s= 2·(−1)
2√14
+1·(−1)1√14
+1·2· 3√14
=−4− 1 + 6√
14=
1√14
байна.
![Page 38: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/38.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн градент
Тодорхойлолт
u = f (x ; y ; z) функцийн тодорхойлогдох муж D-ийн (x ; y ; z)цэгдээрх координатын тэнхлэгүүд дээрх проекцүүд нь харгалзануул функцийн тухайн уламжлалууд ∂u
∂x ,∂u∂y ,
∂u∂z байх
∂u
∂xi +
∂u
∂yj +
∂u
∂zk
гэсэн векторыг u = f (x ; y ; z) функцийн градиент вектор гэжнэрлээд gradu-гэж тэмдэглэх ба
gradu =∂u
∂xi +
∂u
∂yj +
∂u
∂zk (9)
байна.
![Page 39: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/39.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн өгөгдсөн чиглэлээр авсан уламжлал
Зураг: Градент
Градентийн зарим чанар
1 grad(u1 + u2) = gradu1 + gradu2
2 grad(c · u) = c · gradu. Үүнд c − const.
![Page 40: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/40.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн градент
Жишээ
u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрхградиентийг ол.
Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь
gradu = 2xi + 2yj + 2zk
байна.Одоо энэ функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрх градиентыголбол
(gradu)∣∣∣M
= 2i + 4j − 2k
болно.|(gradu)
∣∣∣M| =√
4 + 16 + 4 = 2√
6.
![Page 41: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/41.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн градент
Жишээ
u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрхградиентийг ол.Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь
gradu = 2xi + 2yj + 2zk
байна.
Одоо энэ функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрх градиентыголбол
(gradu)∣∣∣M
= 2i + 4j − 2k
болно.|(gradu)
∣∣∣M| =√
4 + 16 + 4 = 2√
6.
![Page 42: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/42.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн градент
Жишээ
u = x2 + y2 + z2 функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрхградиентийг ол.Энэ функцийн дурын цэг дээрх градиент нь
gradu = 2xi + 2yj + 2zk
байна.Одоо энэ функцийн M(1; 2;−1) цэг дээрх градиентыголбол
(gradu)∣∣∣M
= 2i + 4j − 2k
болно.|(gradu)
∣∣∣M| =√
4 + 16 + 4 = 2√
6.
![Page 43: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/43.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Тодорхойлолт
z = f (x ; y) функц авч энэ функцийн ямар нэгэн D муж дээртасралтгүй тухайн уламжлалуудтай гэж үзье. Тэгэхэдf ′x(x ; y), f ′y (x ; y)-тухайн уламжлалууд нь x ; y -хувьсагчаасхамаарсан функц байх тул тэдгээрийн тухайнуламжлалуудыг олж болно. I эрэмбийн уламжлалуудаасавсан тухайн уламжлалуудыг z = f (x ; y) функцийн IIэрэмбийн тухайн уламжлал гээд
∂2z
∂x2= f ′′xx(x ; y),
∂2z
∂x∂y= f ′′xy (x ; y),
∂2z
∂y∂x= f ′′yx(x ; y),
∂2z
∂y2= f ′′yy (x ; y)
гэж тэмдэглэнэ.
![Page 44: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/44.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.
C ∂z∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z
∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 45: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/45.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 46: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/46.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,
∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 47: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/47.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 48: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/48.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,
∂3z∂y2∂x
= 6x2, ∂3z∂y3 = 60y2,
∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 49: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/49.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,
∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 50: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/50.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 51: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/51.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 52: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/52.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 53: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/53.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Жишээ
z = x4 + x3y2 + y5 + 3 функцийн I,II,III эрэмбийнтухайн уламжлалуудыг ол.C ∂z
∂x = 4x3 + 3x2y2, ∂z∂y = 2x3y + 5y4
∂2z∂x2 = 12x2 + 6xy2, ∂2z
∂x∂y = 6x2y ,∂2z∂y∂x = 6x2y , ∂2z
∂y2 = 2x3 + 20y3
∂3z∂y∂x2 = 12xy , ∂3z
∂x∂y∂y = 6x2,∂3z
∂y2∂x= 6x2, ∂3z
∂y3 = 60y2,∂3z∂x3 = 24x + 6y2, ∂3z
∂x2∂y= 12xy ,
∂3z∂x∂y∂x = 12xy , ∂3z
∂x∂y2 = 6x2.
![Page 54: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/54.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийн хувьд f ′′xy (x ; y), f ′′yx(x ; y)-гэсэнхоёрдугаар эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг холимогуламжлал гэнэ.
Теорем
Хэрэв z = f (x ; y) функц ба түүнийf ′x , f
′y , f
′′xy , f
′′yx -уламжлалууд ямар нэг M(x ; y) цэг болон
түүний орчинд тодорхойлогдохын хамт тасралтгүй байвалM(x ; y) цэг дээр
f ′′xy = f ′′yx (10)
байна.
![Page 55: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/55.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн тухайн уламжлал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийн хувьд f ′′xy (x ; y), f ′′yx(x ; y)-гэсэнхоёрдугаар эрэмбийн тухайн уламжлалуудыг холимогуламжлал гэнэ.
Теорем
Хэрэв z = f (x ; y) функц ба түүнийf ′x , f
′y , f
′′xy , f
′′yx -уламжлалууд ямар нэг M(x ; y) цэг болон
түүний орчинд тодорхойлогдохын хамт тасралтгүй байвалM(x ; y) цэг дээр
f ′′xy = f ′′yx (10)
байна.
![Page 56: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/56.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2z = d(dz) = d(∂z∂x
dx +∂z
∂ydy
)= d
(∂z∂x
dx)
+ d(∂z∂y
dy)
=∂2z
∂x2dx2 + 2
∂2z
∂x∂ydxdy +
∂2z
∂y2dy2
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)2z
![Page 57: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/57.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2z = d(dz)
= d(∂z∂x
dx +∂z
∂ydy
)= d
(∂z∂x
dx)
+ d(∂z∂y
dy)
=∂2z
∂x2dx2 + 2
∂2z
∂x∂ydxdy +
∂2z
∂y2dy2
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)2z
![Page 58: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/58.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2z = d(dz) = d(∂z∂x
dx +∂z
∂ydy
)
= d(∂z∂x
dx)
+ d(∂z∂y
dy)
=∂2z
∂x2dx2 + 2
∂2z
∂x∂ydxdy +
∂2z
∂y2dy2
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)2z
![Page 59: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/59.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2z = d(dz) = d(∂z∂x
dx +∂z
∂ydy
)= d
(∂z∂x
dx)
+ d(∂z∂y
dy)
=∂2z
∂x2dx2 + 2
∂2z
∂x∂ydxdy +
∂2z
∂y2dy2
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)2z
![Page 60: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/60.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2z = d(dz) = d(∂z∂x
dx +∂z
∂ydy
)= d
(∂z∂x
dx)
+ d(∂z∂y
dy)
=∂2z
∂x2dx2 + 2
∂2z
∂x∂ydxdy +
∂2z
∂y2dy2
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)2z
![Page 61: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/61.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Тодорхойлт
z = f (x ; y) функцийг M(x ; y) цэг дээр II-эрэмбийнтасралтгүй тухайн уламжлалуудтай бол d(dz) = d2z-ыгтүүний II-эрэмбийн дифференциал гэнэ.
d2z = d(dz) = d(∂z∂x
dx +∂z
∂ydy
)= d
(∂z∂x
dx)
+ d(∂z∂y
dy)
=∂2z
∂x2dx2 + 2
∂2z
∂x∂ydxdy +
∂2z
∂y2dy2
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)2z
![Page 62: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/62.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2z) = d3z-ыг олбол
d3z
=∂3z
∂x3dx3 + 3
∂3z
∂x2∂ydx2dy+
+3∂3z
∂x∂y 2dxdy 2 +
∂3z
∂y 3dy 3
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)3
z
болно.
Өргөтгөл
II ба III-эрэмбийн дифференциалыг олох ерөнхий томъёог ашиглавалn-эрэмбийн дифференциалын хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.
dnz =( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)n
z (11)
![Page 63: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/63.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2z) = d3z-ыг олбол
d3z =∂3z
∂x3dx3 + 3
∂3z
∂x2∂ydx2dy+
+3∂3z
∂x∂y 2dxdy 2 +
∂3z
∂y 3dy 3
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)3
z
болно.
Өргөтгөл
II ба III-эрэмбийн дифференциалыг олох ерөнхий томъёог ашиглавалn-эрэмбийн дифференциалын хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.
dnz =( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)n
z (11)
![Page 64: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/64.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2z) = d3z-ыг олбол
d3z =∂3z
∂x3dx3 + 3
∂3z
∂x2∂ydx2dy+
+3∂3z
∂x∂y 2dxdy 2 +
∂3z
∂y 3dy 3
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)3
z
болно.
Өргөтгөл
II ба III-эрэмбийн дифференциалыг олох ерөнхий томъёог ашиглавалn-эрэмбийн дифференциалын хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.
dnz =( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)n
z (11)
![Page 65: Олон хувьсагчтай функцийн уламжлал ба дифференциал](https://reader031.vdocuments.net/reader031/viewer/2022012302/5887da041a28abfb678b548f/html5/thumbnails/65.jpg)
МАТЕМАТИК-2
Д.Баттөр
Агуулга
Олонхувьсагчтайфункц(ОХФ)(ОХФ)-ийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийнбүтэндифференциалДавхарфункцийнуламжлалДалдфункцийнуламжлал(ОХФ)-ийнөгөгдсөнчиглэлээравсануламжлал(ОХФ)-ийнградент
(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлалба бүтэндифференциал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийнтухайнуламжлал(ОХФ)-ийндээдэрэмбийндифференциал
(ОХФ)-ийн дээд эрэмбийн дифференциал
Гаргалгаа
Үүний адилаар d(d2z) = d3z-ыг олбол
d3z =∂3z
∂x3dx3 + 3
∂3z
∂x2∂ydx2dy+
+3∂3z
∂x∂y 2dxdy 2 +
∂3z
∂y 3dy 3
=( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)3
z
болно.
Өргөтгөл
II ба III-эрэмбийн дифференциалыг олох ерөнхий томъёог ашиглавалn-эрэмбийн дифференциалын хувьд дараахь дүгнэлтийг гаргаж болно.
dnz =( ∂
∂xdx +
∂
∂ydy
)n
z (11)