Легко розв’язати таку нову задачу, яка схожа на розв’язану раніше. Однак задачі з параметрами часто не схожі одна на одну і за аналогією їх розв’язувати не можна. Розв’язування задач з параметрами розвиває абстрактне мислення, спонукає до пошукової діяльності, формує навички аналізу.Це важливо для математичного розвитку особистості – якості, що застосовується під час розв’язування прикладних задач з фізики, інформатики, економіки тощо.

Параметр (від грецького - той, що відміряє) - величина, значення якої слугують для встановлення відмінності між елементами деякої множини. Якщо в рівняння (нерівність, систему рівнянь, систему нерівностей) крім невідомих величин, входять числа, що позначені буквами, які хоч і не вказані, але вважаються відомими та заданими на деякій числовій множині, то вони називаються параметрами.

Лінійні рівняння з параметрами (7 клас)

Рівняння виду ax+b=0, де a i b - сталі коефіцієнти, називається лінійним відносно невідомого x.

ax + b = 0 ax = - b

Лінійні нерівності з параметрами ( 8клас)Кожна з нерівностей виду ax >b, ax< b, ax b або ax b, де a i b - дійсні числа або функції від параметрів, x - невідома, називається лінійною нерівністю з невідомим x.

ax > b

Квадратні рівняння з параметрамиРівняння виду ax2+bx+с=0, де a0, b і с - сталі коефіцієнти або функції від параметрів, x - невідома, називається квадратним рівнянням з параметрами.

1 3-41

-3

-2х

уa > 0

вітки параболи

вгору

a < 0вітки

параболи донизу

Характеристики графіка

1 3-41

-3

-2х

ус > 0Перетин осі Оу в точці з додатною ординатою

с < 0Перетин осі Оу в точці з

від’ємною ординатою

1 3-41

-3

-2х

у

Координати вершини

x0

abx

20

cbxaxy 0200

y0

1 3-41

-3

-2х

у

Координати вершини

x0

abx

20

cbxaxy 0200

y0

Графічний Аналітичний

Графічно-аналітичний

Розв’язати рівняння з параметрами означає знайти всі розв’язки цього рівняння для кожної допустимої системи значень параметрів або вказати при яких значеннях параметра рівняння розв’язків не має.

Аналітичний спосіб Приклад 1При яких значеннях параметра а рівняння (а2-2а-3)х2- (а+1)х+5=0 має єдиний розв’язок?

1. Якщо а2-2а-3 = 0, то ми дістаємо лінійне рівняння х(а+1)=5. При а = 3 х = 1,25При а = -1 – розв’язків не має.2. При а -1, а 3 дискримінант D має дорівнювати нулю, тобто D= (a+1)2-20(a2-2a-3) =0 19a2- 42a – 61 = 0, Це можливо при а= -1 або а= 61/19Але при а = -1 – розв’язків не має.

Відповідь а=3 , а= 1943

1961

Графічний спосіб Приклад 2 Скільки розв’язків має рівняння |x2-3|х|- 4| = a залежно від параметра а?

Побудуємо графіки функцій у = |x2-3|х|- 4| та у = a у системі координат (х,у)

у = |x2-3|х|- 4|З побудови бачимо:1) якщо a < 0, розв’язків немає

у = a , a<0

2) якщо a = 0, має 2 розв’язки

у = a , a=0

3) якщо 0< a<4, має 4 розв’язки у = a ,0< a<4

4) якщо a=4, має 5 розв’язків у = a , a=4

Графічний спосіб Приклад 2 Скільки розв’язків має рівняння |x2-3|х|- 4| = a залежно від параметра а?

Побудуємо графіки функцій у = |x2-3|х|- 4| та у = a у системі координат (х,у)

у = |x2-3|х|- 4|З побудови бачимо:1) якщо a < 0, розв’язків немає

у = a , a>6,25

2) якщо a = 0, має 2 розв’язки у = a , a=6,25

3) якщо 0< a<4, має 4 розв’язки

4) якщо a=4, має 5 розв’язків

5) якщо 4< a<6,25, має 6 розв’язків

у = a , 4< a<6,25

6) якщо a=6,25, має 4 розв’язки

7) якщо a>6,25, має 2 розв’язки

Приклад 3Для яких значень параметрів а та b система рівняньмає один розв’язок?

Графічно-аналітичний спосіб

1

,1622

22

byax

yx

Графіком першого рівняння є коло радіусом 4 і центром у точці (0;0) Графіками другого рівняння є кола з центрами в точках (a; b) і радіусами 1. Для того, щоб дана система мала один розв’язок, кола повинні мати зовнішній або внутрішній дотик.

Приклад 3Для яких значень параметрів а та b система рівняньмає один розв’язок?

Графічно-аналітичний спосіб

1

,1622

22

byax

yx

25

,922

22

ba

ba

Геометричним місцем центрів кіл, що задовільняють умову задачі, є два концентричних кола з центрами в точці (0;0) і радіусами 3 і 5. Тому дана система рівнянь має один розв’язок для всіх значень a і b, що задовільняють сукупність:

Приклад 3Для яких значень параметрів а та b система рівняньмає один розв’язок?

Графічно-аналітичний спосіб

1

,1622

22

byax

yx

2

2

25

,9

ba

ba

Система має один розв’язок для всіх значень a і b таких, що :

1513119 + + + = 48

Дякую за увагу!