Г.М.Фихтенгольц КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

ТОМ 2 Содержание

ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11 263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11 264. Интеграл и задача об определении площади 14 265. Таблица основных интегралов 17 266. Простейшие правила интегрирования 18 267. Примеры 19 268. Интегрирование путем замены переменной 23 269. Примеры 27 270. Интегрирование по частям 31 271. Примеры 32

§ 2. Интегрирование рациональных выражений 36 272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36 273. Простые дроби и их интегрирование 37 274. Разложение правильных дробей на простые 38 275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42 276. Выделение рациональной части интеграла 43 277. Примеры 47

§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50

278. Интегрирование выражений вида

δ+γβ+α

mxxxR , . Примеры 50

279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51 280. Формулы приведения 54

281. Интегрирование выражений вида ( )cbxaxxR ++2, . Подстановки Эйлера

56

282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59 283. Примеры 60 284. Другие приемы вычисления 66 285. Примеры 72

§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и 74

показательную функции 286. Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x) dx 74 287. Интегрирование выражений sinν xcosµx 76 288. Примеры 78 289. Обзор других случаев 83

§ 5. Эллиптические интегралы 84 290. Общие замечания и определения 84 291. Вспомогательные преобразования 86 292. Приведение к канонической форме 88 293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94

294. Другой подход к задаче о площади 94 295. Определение 96 296. Суммы Дарбу 97 297. Условие существования интеграла 100 298. Классы интегрируемых функций 101 299. Свойства интегрируемых функций 103 300. Примеры и дополнения 105 301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106

§ 2. Свойства определенных интегралов 108 302. Интеграл по ориентированному промежутку 108 303. Свойства, выражаемые равенствами 109 304. Свойства, выражаемые неравенствами 110 305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115 306. Вторая теорема о среднем значении 117

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120 307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120 308. Основная формула интегрального исчисления 123 309. Примеры 125 310. Другой вывод основной формулы 128 311. Формулы приведения 130 312. Примеры 131 313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134

314. Примеры 135 315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141 316. Другой вывод формулы замены переменной 143

§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145 317. Формула Валлиса 145 318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146 319. Трансцендентность числа e 146 320. Многочлены Лежандра 148 321. Интегральные неравенства 151

§ 5. Приближенное вычисление интегралов 153 322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153 323. Параболическое интерполирование 156 324. Дробление промежутка интегрирования 158 325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159 326. Дополнительный член формулы трапеций 161 327. Дополнительный член формулы Симпсона 162 328. Примеры 164

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

§ 1. Длина кривой 169 329. Вычисление длины кривой 169 330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее

вычислению 171

331. Примеры 174 332. Натуральное уравнение плоской кривой 180 333. Примеры 183 334. Длина дуги пространственной кривой 185

§ 2. Площади и объемы 186 335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186 336. Площадь как предел 188 337. Классы квадрируемых областей 190 338. Выражение площади интегралом 192 339. Примеры 195 340. Определение понятия объема. Его свойства 202 341. Классы тел, имеющих объемы 204

342. Выражение объема интегралом 205 343. Примеры 208 344. Площадь поверхности вращения 214 345. Примеры 217 346. Площадь цилиндрической поверхности 220 347. Примеры 222

§ 3. Вычисление механических и физических величин 225 348. Схема применения определенного интеграла 225 349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228 350. Примеры 229 351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской

фигуры 230

352. Примеры 232 353. Механическая работа 233 354. Примеры 235 355. Работа силы трения в плоской пяте 237 356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244 357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244 358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение

переменных 245

359. Задачи 247 360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253 361. Задачи 254

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Введение 257 362. Основные понятия 257 363. Примеры 258 364. Основные теоремы 260

§ 2. Сходимость положительных рядов 262 365. Условие сходимости положительного ряда 262 366. Теоремы сравнения рядов 264 367. Примеры 266 368. Признаки Коши и Даламбера 270

369. Признак Раабе 272 370. Примеры 274 371. Признак Куммера 277 372. Признак Гаусса 279 373. Интегральный признак Маклорена—Коши 281 374. Признак Ермакова 285 375. Дополнения 287

§ 3. Сходимость произвольных рядов 293 376. Общее условие сходимости ряда 293 377. Абсолютная сходимость 294 378. Примеры 296 379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298 380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300 381. Знакопеременные ряды 302 382. Примеры 303 383. Преобразование Абеля 305 384. Признаки Абеля и Дирихле 307 385. Примеры 308

§ 4. Свойства сходящихся рядов 313 386. Сочетательное свойство 313 387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315 388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316 389. Умножение рядов 320 390. Примеры 323 391. Общая теорема из теории пределов 325 392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327

§ 5. Повторные и двойные ряды 329 393. Повторные ряды 329 394. Двойные ряды 333 395. Примеры 338 396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346 397. Примеры 348 398. Кратные ряды 350

§ 6. Бесконечные произведения 350 399. Основные понятия 350

400. Примеры 351 401. Основные теоремы. Связь с рядами 353 402. Примеры 356

§ 7. Разложения элементарных функций 364 403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364 404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических

функций и др. 366

405. Логарифмический ряд 368 406. Формула Стирлинга 369 407. Биномиальный ряд 371 408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374

§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378 409. Общие замечания 378 410. Вычисление числа π 379 411. Вычисление логарифмов 381 412. Вычисление корней 383 413. Преобразование рядов по Эйлеру 384 414. Примеры 386 415. Преобразование Куммера 388 416. Преобразование Маркова 392

§ 9. Суммирование расходящихся рядов 394 417. Введение 394 418. Метод степенных рядов 396 419. Теорема Таубера 398 420. Метод средних арифметических 401 421. Взаимоотношение между методами Пуассона—Абеля и Чезаро 403 422. Теорема Харди—Ландау 405 423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407 424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408 425. Примеры 413 426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

§ 1. Равномерная сходимость 419 427. Вводные замечания 419

428. Равномерная и неравномерная сходимости 421 429. Условие равномерной сходимости 425 430. Признаки равномерной сходимости рядов 427

§ 2. Функциональные свойства суммы ряда 430 431. Непрерывность суммы ряда 430 432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432 433. Почленный переход к пределу 434 434. Почленное интегрирование рядов 436 435. Почленное дифференцирование рядов 438 436. Точка зрения последовательности 441 437. Непрерывность суммы степенного ряда 444 438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447

§ 3. Приложения 450 439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к

пределу 450

440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457 441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468 442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474 443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477 444. Пример непрерывной функции без производной 479

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481 445. Действия над степенными рядами 481 446. Подстановка ряда в ряд 485 447. Примеры 487 448. Деление степенных рядов 492 449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494 450. Решение уравнений рядами 498 451. Обращение степенного ряда 502 452. Ряд Лагранжа 505

§ 5. Элементарные функции комплексной переменной 508 453. Комплексные числа 508 454. Комплексная варианта и ее предел 511 455. Функции комплексной переменной 513 456. Степенные ряды 515 457. Показательная функция 518

458. Логарифмическая функция 520 459. Тригонометрические функции и им обратные 522 460. Степенная функция 526 461. Примеры 527

§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера—Маклорена 531 462. Примеры 531 463. Определения 533 464. Основные свойства асимптотических разложений 536 465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена 540 466. Исследование дополнительного члена 542 467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544 468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена 547 469. Формула и ряд Стирлинга 550

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552

470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552 471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554 472. Примеры 555 473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558 474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559 475. Сходимость интеграла в общем случае 561 476. Признаки Абеля и Дирихле 563 477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566 478. Примеры 569

§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577 479. Определение интегралов от неограниченных функций 577 480. Замечание относительно особых точек 581 481. Применение основной формулы интегрального исчисления.

Примеры 582

482. Условия и признаки существования интеграла 584 483. Примеры 587 484. Главные значения несобственных интегралов 590 485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597 486. Простейшие свойства 597

487. Теоремы о среднем значении 600 488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602 489. Примеры 602 490. Замена переменных в несобственных интегралах 604 491. Примеры 605

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611 492. Некоторые замечательные интегралы 611 493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных

сумм. Случай интегралов с конечными пределами 615

494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617 495. Интегралы Фруллани 621 496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными

пределами 623

497. Смешанные примеры и упражнения 629 § 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641

498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641 499. Примеры 642 500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных

интегралов 646

501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом 647

502. Использование асимптотических разложений 650 ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ

ПАРАМЕТРА

§ 1. Элементарная теория 654 503. Постановка задачи 654 504. Равномерное стремление к предельной функции 654 505. Перестановка двух предельных переходов 657 506. Предельный переход под знаком интеграла 659 507. Дифференцирование под знаком интеграла 661 508. Интегрирование под знаком интеграла 663 509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665 510. Введение множителя, зависящего лишь от x 668 511. Примеры 669 512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680

§ 2. Равномерная сходимость интегралов 682

513. Определение равномерной сходимости интегралов 682 514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684 515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684 516. Другой случай равномерной сходимости 687 517. Примеры 689

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694 518. Предельный переход под знаком интеграла 694 519. Примеры 697 520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710 521. Интегрирование интеграла по параметру 714 522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717 523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723 524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733

§ 4. Дополнения 743 525. Лемма Арцела 743 526. Предельный переход под знаком интеграла 745 527. Дифференцирование под знаком интеграла 748 528. Интегрирование под знаком интеграла 749

§ 5. Эйлеровы интегралы 750 529. Эйлеров интеграл первого рода 750 530. Эйлеров интеграл второго рода 753 531. Простейшие свойства функции Г 754 532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760 533. Другая функциональная характеристика функции Г 762 534. Примеры 764 535. Логарифмическая производная функции Г 770 536. Теорема умножения для функции Г 772 537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774 538. Примеры и дополнения 775 539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782 540. Формула Стирлинга 789 541. Вычисление эйлеровой постоянной 792 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793 Алфавитный указатель 795

Алфавитный указатель

Абелевы интегралы 84 Абель 290, 292, 527 Абеля лемма 306 - подстановка 69, 608 - преобразование 305, 312, 403 - признак равномерной сходимости

ряда 429 - - сходимости интеграла 564 - - - ряда 307 - теорема 328, 397, 516 Абеля—Пуассона метод

обобщенного суммирования рядов 401, 409

Абсолютно интегрируемая функция 563, 586

- сходящееся произведение 356 - сходяшийся несобственный

интеграл 563, 586 - - ряд 296, 356, 513 - - - переместительное свойство 315,

332, 356, 513 - - - умножение 321, 513 Адамар 300 Аддитивная функция промежутка

225 Аддитивность объема 203 - площади 188 Алгебраическая часть интеграла,

выделение 68 Амплитуда 252 Аналитическая функция 449, 450,

491, 499, 502 Аргумент комплексного числа 510 Арксинус, главное значение 525 - степенной ряд 458, 467, 503, 526 Арктангенс, главное значение 524 - степенной ряд 368, 457, 524 Архимедова спираль 175, 199 Арцела 433, 438, 743, 745 Асимптотический ряд 534, 650, 793 - - действия 536 - - дифференцирование 540, 793 - - единственность 534 - - интегрирование 538

- - потенцирование 538 Астроида 175, 184, 185, 202, 210, 218 Барроу 15 Бернулли Иоганн 95 Бернуллиевы числа 494, 541, 703, 704 Бертрана признак 279 Бесконечно малых элементов

суммирование 221, 228 Бесселевы функции 345, 464, 468,

709, 734 Бесселя дифференциальное

уравнение 468, 675 Бета-функция 750 - - рекуррентная формула 751 - - связь с гамма-функцией 755 - - симметричность 751 Биномиальный дифференциал,

интегрирование 51 - ряд 372, 452, 468, 487, 526 Био и Савара закон 242, 557 Бонне формула 119 Бореля метод обобщенного

суммирования рядов 411 Буняковского неравенство 153, 590 Валлиса формула 145, 352, 371, 377,

613, 704 Ван-дер-Варден 479 Варианта комплексная 511 - - предел 511 Вейерштрасс 424, 479, 488 Вейерштрасса формула 362, 473, 775,

778 Вивиани кривая 186, 223 Виета 352 Винтовая линия 186 Вороного методы обобщенного

суммирования рядов 408 Выделение алгебраической части

интеграла 68 - рациональной части интеграла 44 Вычисление интегралов:

- ∫π

+−0

2 )cos21ln( dxrxr 122, 140, 464,

673

- ∫π

0

sinln xdx 611, 616, 726, 785

- dxe x∫∞

−

0

2

612, 704, 719, 757

- bxdxe x cos0

2

∫∞

− 701, 726

- dxx

x∫∞

0

sin 614, 621, 718, 742

- dxxax

∫∞

+β

022

cos 706, 721, 729, 740, 741

- dxxaxx

∫∞

+β

022

sin 721, 729, 740

- dxx

x∫∞ −α

+0

1

1 699, 717

- dxxdxx ∫∫∞∞

0

2

0

2 cos,sin 721, 729

Вычисление определенных интегралов, дифференцирование по параметру 673, 674, 717, 721, 723, 782

- - - интегральные суммы 120, 615, 617

- - - интегрирование по параметру 679, 718, 721, 722, 732, 756, 786

- - - интегрирование по частям 131, 603, 632, 634, 636

- - - искусственные приемы 611, 621, 623

- - - основная формула интегрального исчисления 124, 554, 582

- - - подстановка 134, 143, 605, 611, 630, 631, 764

- - - предельный переход по параметру 704, 717, 719, 722, 735, 788

- - - разложение в ряд 457—467, 614, 632, 670, 671, 672, 697, 710

Гамма-функция 361, 753 - Вейерштрасса формула 362, 775 - Гаусса формула 772 - график 755 - дополнения формула 377, 757 - Коши формула 771 - Лежандра формула 760, 774 - логарифмическая производная 473,

770, 774 - максимумы и минимумы 755, 780 - определение ее свойствами 760, 762 - Раабе интеграл 759 - распространение 780 - рекуррентная формула 361, 754 - Стирлинга формула и ряд 792, 793 - таблицы логарифмов 793 - Эйлера произведение 758 - Эйлера—Гаусса формула 361, 754,

769, 775, 780 Гармонический ряд 263, 267, 270, 289 Гаусс 281, 680, 769 Гаусса признак 280 - формулы 142, 772 Гаусса—Эйлера формула 361, 754,

769, 775, 780 Гельдера методы обобщенного

суммирования рядов 411 Гипербола 177, 195 Гиперболические подстановки 29 - функции, сопоставление с

тригонометрическими 196, 523 Гипергеометрический ряд 280, 297,

359, 470, 769 Гипергеометрическое

дифференциальное уравнение 470

Гипоциклоида 185 Главное значение аргумента

комплексного числа 510

- - арксинуса 525 - - арктангенса 524 - - логарифма 525 - - несобственного интеграла 591, 594 - - степени 526 Гладкая кривая 192 - поверхность 204 Гольдбах 338 Гульдина теоремы 229, 232 Даламбера признак 271, 278, 296, 513 Дарбу 97 - интегралы, верхний и нижний 100 - - как пределы 106 - суммы, верхняя и нижняя 97 - теорема 106 Двойной ряд 333, 452 Декартов лист 200 Дзета-функция 264, 287, 362, 469,

769, 777 Дини 290, 291, 292 - теорема 431 - - обобщение 657, 695, 711 Дирихле 290, 754, 769 - признак сходимости интеграла 564 - - - равномерной ряда 429 - - - ряда 307 - разрывный множитель 633, 640, 741 - ряды 309, 451, 469 - функция 105, 106, 587 Дифференциальное уравнение 244 - - Бесселя 469, 675 - - Гипергеометрическое 470 - - составление 253 Дифференцирование интеграла по

верхнему (нижнему) пределу 116, 600

- - по параметру (дифференцирование под знаков интеграла) 661, 666, 669, 710, 749

- ряда, почленное 447, 517 Длина кривой 169, 171 - - выражение интегралом 169 - - - производная 169 - - пространственной кривой 185

e (число), трансцендентность 146 Ермакова признак 285 Живой силы закон 235 Зайдель 424 Знакопеременный ряд 302 - - оценка остатка 303 Инерции момент плоской фигуры

241 - - тела 241 Интегральная сумма 97 - - верхняя, нижняя 97 Интегральный косинус 83, 566, 639,

652 - логарифм 83, 593, 650 - признак Маклорена—Коши 282 - синус 83, 566, 639, 652, 709 Интегралы, не выражающиеся в

конечном виде 36, 52, 83, 86, 92, 459

Интегрирование биномиальных дифференциалов 51

- в конечном виде 36 - интеграл по параметру

(интегрирование под знаком интеграла) 663, 669, 714, 749

- по частям 31, 130, 602 - подстановкой (путем замены

переменной) 23, 135, 143, 602 - правила 18 - простых дробей 37 - радикальных выражений 50, 51, 56,

66, 529 - рациональных выражений 43 - ряда почленное 447, 668, 697, 710 - тригонометрических и

показательных выражений 74, 83, 529

Интегрируемая функция 97 - - классы 101 - - свойства 103 - - с квадратом 590 Интегрируемость предельной

функции 437, 659

Интерполирование параболическое 156

Канторович 642 Кардиоида 178, 185, 200, 218 Каталана постоянная 168, 460, 734 Квадратура 16 Квадрируемая фигура 187 Квадрируемости условие 187, 189,

191 Квази-равномерная сходимость 433 Кеплера уравнение 509 Кнопп 311 Комплексная варианта 511 - переменная, функция от нее 513,

519, 520, 522, 526 - плоскость 509 Комплексное число 508 - - аргумент 510 - - вещественная часть 508 - - действия 508 - - мнимая часть 508 - - модуль 508 - - тригонометрическая форма 510 Конус круговой 208, 239, 240, 241 Корень из комплексного числа 511 Корни из вещественных чисел,

вычисление 383 Косинус, аналитическое определение

477 - бесконечное произведение 377 - в комплексной области 523 - гиперболический, бесконечное

произведение 378 - - степенной ряд 367 - степенной ряд 367, 523 - - - для логарифма 497 Котангенс, Адамара теорема 300 - гиперболический, разложение на

простые дроби 473 - разложение на простые дроби 472 - степенной ряд 484, 496, 524 Коши 290, 502, 591 - Гёльдера неравенство для

интегралов 151

- - - - рядов 293 - Маклорена признак 282 - признаки 270, 290, 561, 584 - теорема 321, 326 - формула 321 Кратный ряд 350 Кубируемое тело 202 Куммера преобразование рядов 388 - признак 277 Лагерра (Чебышева) многочлены 604 Лагранжа ряд 504 Ламберта ряд 311, 341 Ландау 310 Ландена преобразование 143 Лаплас 508, 701, 721, 729 Лежандр 92, 677, 703, 750, 753, 794 Лежандра многочлены 138, 148, 491,

508, 530, 671 - формула 760, 774 - функции K (k), E (k) 142, 166, 177,

214, 224, 252, 352, 465, 675, 734, 768

- - K (k, ϕ), E (k, ϕ) 93, 116, 177 Лейбниц 15, 95, 395 Лейбница и Ньютона теорема 15 - правило 661 - теорема 302, 308 Лемниската 178, 200, 219 Лиувилль 92 Лобачевский 614 Лобачевского формулы 634, 672 Логарифм комплексного числа 520 Логарифмическая спираль 176, 184,

185 - функция в комплексной области 520 - - степенной ряд 368, 453, 457, 484,

503, 522 Логарифмы, вычисление 381 Мажорантный интеграл 685 - ряд 427 Мажорантных рядов метод 502 Маклорена—Коши признак 281 Маркова преобразование рядов 392 Маятник математический 250

Мертенса теорема 328 Механическая работа 233 Минковского неравенств 293, 590 Многозначные функции комплексной

переменной 513, 521, 524, 525, 526

Множитель сходимости 718, 722 Моавра формула 374 Модуль комплексного числа 509 - перехода от натуральных

логарифмов к десятичным 382 - эллиптического интеграла 93 Момент инерции плоской фигуры,

тела 241 Мэшина формула 380 Направление в промежутке 108 Натуральное уравнение кривой 180 - - эволюты 185 Натуральный логарифм

комплексного числа 520 Начальное значение величины 14 Начальные условия 14, 244 Неабсолютно сходящееся

произведение 356 - сходящийся интеграл 563, 565, 569,

586 - - ряд 296, 304, 336, 516 Неопределенный интеграл 11 - - геометрическое истолкование 14 - - свойства 13 - - существование 116 - - таблица 17 Неопределенных коэффициентов

метод 42, 45, 67, 91, 470, 488, 492

Непрерывная функция без производной 479

Непрерывность интеграла по параметру 660, 675, 678, 710

- предельной функции 420, 657 - суммы ряд 430 - - степенного ряда 444, 446 - функции комплексной переменной

513

Неравенства для интегралов 151 - для рядов 293 Неравномерная сходимость

интеграла 683, 689 - - последовательности, ряда 429, 446 Неравномерности точки 425, 444 Несобственный интеграл от

неограниченной функции 577, 578

- - с бесконечным пределом 552, 580 - - сходящийся, расходящийся 552,

578 - - - аналогия и связь с рядами 558,

586, 713 - - - признаки сходимости 561, 564,

584 - - - свойства 597 - - - условия существования 562, 585 Нечетная функция, интеграл по

симметричному промежутку 138

Неявные функции 474, 498 Ньютон 15, 248, 372 Ньютона—Лейбница теорема 15 - - формула 124 Обвертывающий ряд 534, 544, 550,

651, 792 Обратные тригонометрические

функции - Арксинус и Арктангенс Обращение степенного ряда 502, 506 Объем тела 202 - - аддитивность 203 - - внутренний, внешний 202 - - вращения 207 - - выражение интегралом 205 - - как предел 203 - - по поперечным сечениям 206, 207 - - условие существования 203, 204 Определенный интеграл в

собственном смысле 96 - - вычисление с помощью

интегральных сумм 120 - - - - - первообразной 124

- - свойства 108 - - схема применения 225 - - условия существования 100, 105,

107 Ориентированный промежуток 108,

598 Основная последовательность

разбиений промежутка 96 - теорема алгебры 680 - формула интегрального исчисления

123, 127, 128, 554, 582 Особая точка функции 577, 580, 581 Особенности выделения при

вычислении интегралов 642, 646

Остаток ряда 260 Остаточное произведение 353 Остроградского метод выделения

рациональной части интеграла 43

- формула 45 Ось вещественная 509 - мнимая 509 Оценка остатка ряда 283, 303, 378 Парабола 16, 174, 197, 232, 233 Параметр 654 Первообразная функция 11 - - восстановление с помощью

определенного интеграла 129, 583

Переместительное свойство абсолютно сходящегося произведения 356

- - - - ряда 315, 332, 513 Перестановка двух предельных

переходов 442, 443, 658 Периодическая функция, интеграл по

периоду 138 π(число), приближенное вычисление

379 Площадь криволинейной трапеции

192 - - - как первообразная 16 - - - - предел суммы 94

- плоской фигуры 187 - - - аддитивность 188 - - - внутренняя, внешняя 187 - - - выражение интегралом 192 - - - как предел 188 - - - условия существования 187, 189,

191 - поверхности вращения 214 - цилиндрической поверхности 220 Повторный ряд 330 Подынтегральная функция 12 Подынтегральное выражение 12 Подстановка (замена переменной) 23,

134, 143, 604 - Абеля 69 - гиперболическая 29 - дробно-линейная 70, 87 - ряда в ряд 485 - тригонометрическая 29 - Эйлера 57, 59 Показательная функция в

комплексной области 517 - - связь с тригонометрическими

функциями 519, 523 - - степенной ряд 367, 452, 454, 468,

518 Последовательных приближений

метод 474 Почленное дифференцирование ряда

438, 517 - интегрирование ряда 436, 669, 697,

710 - умножение рядов 321, 328, 333, 407,

456, 513 Почленный переход к пределу 434,

515 Правильная дробь, разложение на

простые 21, 39 Предел интеграла по параметру

(предельный переход под знаком интеграла) 442, 659, 668, 694, 696, 745, 748

- функции комплексной переменной 514

Пределы интеграла нижний и верхний 97

Предельная функция, дифференцируемость 443

- - интегрируемость 443, 657 - - непрерывность 657 Предельный переход в ряде

почленный 434, 515 - - под знаком интеграла 443, 659,

668, 694, 696, 745, 748 Преобразование рядов по Куммеру

388 - - - Маркову 392 - - - Эйлеру 384 Приближенное вычисление

интегралов несобственных 641, 647, 650

- - - собственных 153, 646 Приближенные вычисления с

помощью рядов 378, 388, 390, 459, 460, 466, 650

Приведения формулы для биномиальных дифференциалов 54

- - - интегралов от sin^\nux cos^\mu x 78

- - - определенных интегралов 130 Произведение бесконечное 351 - - абсолютно сходящееся 356 - - признаки сходимости и

расходимости 354 - - расходящееся 351 - - сходящееся 351 - остаточное 353 - частичное 351 Производная функции комплексной

переменной 515 Производящая функция для

бесселевых функций 345 - - - многочленов Лежандра 492, 508 Простые дроби 37 - - интегрирование 37 - - разложение правильной дроби 21,

39, 42

- - разложение функций ctg x, cth x, tg x, x, x, x, 1/sin^2, 1/sh, 1/sin, 472, 473

Прямоугольников формула 154 - - дополнительный член 159 Псевдоэллиптнческие интегралы 86 Пуассон 122, 140, 612 Пуассона—Абеля метод

обобщенного суммирования рядов 396

Пуассона формула 256 Раабе интеграл 759 - признак 273, 278 Равномерная сходимость интеграла

682, 687, 688 - - - признаки 684, 688 - - - связь с рядами 684, 688 - - - условие 684, 687 - - ряда, последовательности 419, 422,

424, 515 - - - признаки Абеля 429 - - - - Вейерштрасса 427 - - - - Дирихле 429 - - - условие 425 - - степенного ряда 444, 446 Равномерное стремление к

предельной функции 654 Разрывный множитель Дирихле 633,

640, 736, 741 Расходящиеся бесконечные

произведения 351 Расходящийся интеграл 552, 578 - - обобщенное значение 595 - ряд 258, 333 Расходящихся рядов суммирование,

см. Суммирование рядов обобщенное

Рационализация подынтегрального выражения 50, 51, 57, 74, 85

Рациональная функция, интеграл между бесконечными пределами 623

- часть интеграла, выделение 44 Регулярный метод суммирования 395

Решение уравнений рядами 498 Риман 97, 264 Римана теорема 317 Риманова (интегральная) сумма 97 Ряд (бесконечный) 257, 512 - гармонический 263, 267, 270, 289 - гипергеометрический 280, 297, 359,

470, 769 - двойной 333, 513 - знакопеременный 302 - кратный 350 - лейбницевского типа 303 - повторный 330 - расходящийся 258, 292, 333 - сходящийся 258, 292, 333, 512 - - абсолютно 296, 336, 513 - - неабсолютно 296, 317, 336, 516 - остаток 260 - сумма 258, 333, 512 - условие сходимости 294 - частичная сумма степенной, ряд,

также, см, 257, 333, 512 Сапогова признак 291 Симпсона формула 159 - - дополнительный член 162 Синус, аналитическое определение

477 - бесконечное произведение 376 - в комплексной области 523 - гиперболический, бесконечное

произведение 378 - - разложение обратной величины на

простые дроби 473 - - степенной ряд 367 - разложение обратной величины на

простые дроби 472 - степенной ряд 367, 454, 522 - - - для log sin x/x 497 Сочетательное свойство ряда 313,

332 Спрямляемая кривая 169 Сравнения теоремы для

несобственных интегралов 560 - - - рядов 264

Среднее значение, теорема 113 - - - вторая 117, 600 - - - обобщенная 114, 600 - - - - связь с формулой Лагранжа 124 Статический момент кривой 228 - - плоской фигуры 231 - - поверхности вращения 240 - - тела 239 - - цилиндрической поверхности 240 Степенная функция, главное

значение 526 Степенной ряд 298, 364, 515 - - действия 481, 485, 518 - - деление 492, 518 - - дифференцирование 447, 449 - - единственность 445 - - интегрирование 447 - - круг сходимости 515 - - непрерывность 444, 446 - - обращение 502, 506, 518 - - промежуток сходимости 299, 516 - - радиус сходимости 300, 515 - - с двумя переменными 346 - - с несколькими переменными 350 Стильтьес 651 Стирлинг 360 Стирлинга ряд 550, 792 - формулы 369, 550, 793 Стоке 424 Сумма ряда 257, 333, 512 Суммирование рядов обобщенное

395 - - - метод Бореля 411 - - - - Вороного 408 - - - - Гельдера 411 - - - - Пуассона—Абеля 396 - - - - Чезаро 401, 409 - - - - Эйлера 416 Сфера (полусфера) 241 Сходимости пограничная абсцисса

309 - принцип 308, 512 Сходимость бесконечного

произведения, признаки 354

- - ряда, признаки: Абеля 307, Бертрана 279, Гаусса 279, Даламбера 271, 288, 296, 513, Дирихле 307, Ермакова 285, Коши 270, Коши—Маклорена 282, Куммера 277, Лейбница 302, 308, Раабе 273, 278, Сапогова 291

- - - условие 293 - несобственного интеграла,

признаки 561, 563, 584 - - - условие 560, 584 Сходящееся бесконечное

произведение 351 Сходящийся бесконечный ряд 258,

292 - несобственный интеграл 552, 578 Тангенс в комплексной области 523 - разложение на простые дроби 472 - степенной ряд 493, 497, 524 Таубера теорема 398, 405 Тейлора ряд 364, 449, 450 - формула 364 - - дополнительный член 146, 366 Теплица теорема 325 Тождество степенных рядов 445 Тор 230, 233 Торичелли 242 Трактриса 179, 248 Трапеций формула 155 - - дополнительный член 161 Тригонометрическая форма

комплексного числа 510 Тригонометрические подстановки 29 - функции, аналитическое

определение 477 - - в комплексной области 522, см.,

также, Синус, и, т.д. - - связь с гиперболическими

функциями 196б, 523 - - - - показательной функцией 519,

523 Улитка 177, 199

Умножение рядов 321, 328, 333, 407, 456, 513

Уникурсальная кривая 85 Френель 721, 729 Фробениус 401 - теорема 403 Фруллани интегралы 621, 635, 636,

638, 639 Харди 576, 740 Харди—Ландау теорема 403 Центр тяжести кривой 229 - - плоской фигуры 232 - - поверхности вращения 240 - - тела 239 - - цилиндрической поверхности 240 Цепная линия 174, 184, 195, 209, 217 Циклоида 175, 184, 185, 199, 209, 218,

230, 233 Цилиндрический отрезок 210, 222,

240 Частичная сумма 257, 333, 512 Чебышев 52 Чебышёва—Лагерра многочлены 604 Четная функция, интеграл по

симметричному промежутку 138

Шаровой пояс 217 Шлёмильх 373 Штейнер 339 Штольца теорема 326 Эвольвента круга 175, 183, 185 - цепной линии 189 Эволюта, натуральное уравнение 185 Эйлер 57, 255, 263, 358, 361, 362, 363,

376, 377, 395, 611, 699, 717, 756, 758, 764, 778

Эйлера метод обобщенного суммирования рядов 412

- преобразование рядов 384 - ряд 462, 490, 496, 671 - формулы 519, 527 Эйлера—Гаусса формула 361, 754,

775

Эйлера—Маклорена формула 540, 547

- - - дополнительный член 540, 548 Эйлера—Маклорена ряд 543, 549 - - - приближенные вычисления 546 Эйлерова постоянная 270, 285, 319,

353, 772, 775, 776, 782, 793 Эйлеровы интегралы первого и

второго рода 750, 753 - подстановки 57, 59

Эллипс 176, 195, 198, 199, 201, 202, 229, 233

Эллипсоид 209, 211, 212, 219 Эллиптические интегралы 86 - - в форме Лежзндра 93, 111 - - 1-го—3-го рода 90 - - полные 143, 166, 177, 179, 214,

224, 252, 352, 465, 675, 734, 768 Эллиптический синус 252 Эпициклоида 185 Эрмит 146