Методи усних обчислень

Пєшкова Марина 21 МФІ група

В методиці математики розрізняють усні та письмові прийоми обчислень.

Навчитися швидко рахувати не так вже й складно, а гарному фізику та математику просто необхідно

В історії математики відомо біля 30 загальних способів множення

Обчислити (усно):

((216+9)2-462 ) 15- 3371 23

Множення

Множення методом Ферроля

Для одержання одиниць перемножимо одиниці співмножників, для одержання

десятків перемножують десятки одного на одиниці другого співмножника і навпаки,а

потым результати додають, для одержання сотень перемножують десятки.

(10a + b)(10c + d)=100ac + 10(ad + bc) + bd.

Множення на одноцифрове число

Щоб помножити число на одноцифровий множник (наприклад, 278), виконують дії, починаючи з множення не одиниць, як при

письмовому множенні, а навпаки: множимо спочатку десятки множеного

(208=160), а потім одиниці (78=56) та додаэмо обидва результати (160+56=216).

Отримуємо:

((126+9)2-462 ) 15- 3371 23

(1352-462 ) 15- 3371 23

Застосуємо до нашого прикладу: 216=126

• 206=120• 16=6• 120+6=126

Множення на двоцифрове число

Множення на двоцифрове число намагаються полегшити для усного виконання, приводячи цю

дію до більш звичного множення на одноцифрове число.

Якщо ж обидва множники двоцифрові, подумки розбивають один з них на десятки та одиниці.

Якщо множник або множене легко розкласти подумки на одноцифрові числа (наприклад,

14=27), то користуються цим

Отримуємо: (1352-462 ) 15- 2343

23

Застосуємо до нашого прикладу: 3371= 7130+713=2130+213=2343

Множення “пірамідою”• Множимо цифри, що стоять

одна під одною, виділяючи по 2 знаки на кожен результат.

• Множимо навхрест сусідні цифри. Результат пишемо зі зсувом на 1 знак вліво під результатом першого кроку.

• .“Розсуваємо” крок хреста на одну позицію. Під нього попадають тільки крайні цифри. Записуємо їхный добуток під результатом попередного кроку зі зсувом на 1 знак вліво

Спрощене піднесення числа до степеня і добування з числа

кореня n-го степеня

Піднесення до квадрату чисел, що закінчуються на 5

Щоб піднести до квадрату число, що закінчується цифрою 5 (наприклад, 85), множать число

десятків (8) на нього ж, плюс одиниця (8*9=72) та дописують 25 (у нашому прикладі виходить 7225).

Наступні перетворення показують, що застосування такого прийому є цілком коректним

(10x+5)2=100x2+100x+25=100x(x+1)+25.

Отримуємо: (18225-462 ) 15- 2343

23

Застосуємо до нашого прикладу: 1352=18225

• 1314=182• 18200+25=18225

Піднесення до квадрату цілого числа А, якщо відомий квадрат

попередного (А-1) або наступного (А+1) числа.

З виразу (А + 1)2 = А2 + 2А + 1 отримуємо ряд зручних формул:

(А + 1)2 = А2 + А + (А + 1) А2=(А + 1)2 - 2 (А + 1) + 1, або

А2=(А+1)2-(А + 1)- А

Отримуємо: (18225-2116) 15- 2343

23

Застосуємо до нашого прикладу: 462=2116

• 452=45100+25=2000+25=2025• 462 = (45+1)2 = 2025+45+46=2116

Піднесення до квадрату цілого числа А, якщо відомі числа (А-2)2 або (А+2)2

Піднесення до квадрату цілого числа А, якщо відомі числа (А-2)2 або (А+2)2 виконується за

формулами:А2= (А+2)2-(А+(А+2))2 = А2+4А+4-4А-4 = А2;

А2 = (А-2)2 + (А + (А+2)) 2

(18225-2116)15- 2343 23

• 18225-2116=16109• 1610915=1610910+161095=161090+80545=24163

241635-2343 23

239292 23

10404

Добування квадратного кореня з числа, що має цілі корені

Якщо є число А2 , а А його цілий корінь, то знайти його можна так:

Розглянемо суму n послідовних непарних натурвльних чисел:

• 1+3+5+…+(2n-1)=(1+(2n-1))/2*n=2n/2*n=n2

Таким чином, квадрат натурального числа n дорівнює сумі n непарних послідовних натуральних чисел (починаючи від 1)

Застосуємо до нашого прикладу: 10404=102

Множення «решіткою»

Дякую за увагу