Элементы сферической геометрии

Элементы сферической

геометрии

Все что вам надо знать о сферике

Разработано Малыхиной Анастасией07.12.15

ОглавлениеO ВведениеO Немного истории

O АвтоликO ФеодосийO МенелайO Вклад восточных математиковO Альберт Жирар

O Основные элементы сферической геометрииO СфераO Большая и малая окружностиO Сферический отрезокO Угол на сфереO Многоугольник на сфереO Сферический треугольник

O Список использованных ресурсовO Проверка знаний O Обратная связь

Введение

Множество учёных-геометров, да и простых людей, интересовались такой фигурой как шар и его «оболочкой», носящей название

сфера. Удивительно, но шар является

единственным телом, обладающим меньшей площадью поверхности при

объёме, равном объёму других сравниваемых тел, таких как куб,призма

или прочие всевозможные многогранники.

С шарами мы имеем дело ежедневно.

К примеру:

Почти каждый человек пользуется шариковый ручкой, в конец стержня которой вмонтирован металлический шар, вращающийся под действием сил трения между ним и бумагой и в процессе поворота на своей поверхности шар «выносит» очередную порцию чернил.

Приращение знаний о шаре и сфере привело к возникновению нового раздела математики — сферической геометрии, в которой изучаются фигуры, расположенные на сфере.

Назад в Оглавление

Немного историиПервой по времени геометрией, отличной от евклидовой, была сферическая геометрия, или сферика, как её называли древние. Сферика возникла позже, чем евклидова геометрия плоскости и пространства. Основными стимулами для возникновения геометрии плоскости и пространства была необходимость измерения площадей полей и других плоских фигур и вместимости сосудов и амбаров различной формы, т.е. объёмов различных тел. Основным стимулом для возникновения сферики было изучение звёздного неба.

Наблюдение небесных светил производилось ещё в Древнем Египте и Вавилоне, прежде всего с целью установления календаря. Мы обязаны египтянам разделением суток на 24 часа. Вклад вавилонян в развитии астрономии был более значителен: наблюдения затмений и звёзд первых веков «эры Набонасара», начавшейся в VIII в. до н. э. Древние греки познакомились с вавилонской астрономией по крайней мере в IV в.

Астрономия, изложенная в «Альмагесте» Птолемея, была результатом продолжавшегося несколько веков развития науки, впитавшей традиции как вавилонских астрономов, так и греческих геометров.


АвтоликПервым античным

математическим сочинением, сохранившимся до наших дней, является книга «О

движущейся сфере» Автолика, жившего в конце IV в. до н. э.

«Если сфера равномерно движется вокруг оси, то все

её точки, не лежащие на оси, описывают параллельные

круги, имеющие те же полюсы, что и сфера, а плоскости этих кругов

перпендикулярны оси сферы».


ФеодосийПервое дошедшее до нас

систематическое изложение сферической геометрии

содержится в «Сферике» Феодосия, жившего во II-I

вв. до н. э.

«Сфера есть телесная фигура, содержащая внутри одной поверхности, такая, что все прямые, падающие

на неё из одной точки внутри

фигуры, равны между собой».


МенелайЗначительно более развитую

сферическую геометрию можно найти в трактате «О

сфере» Менелая, жившего в конце I в. н. э.

Если большинство предложений «Сферики»

Феодосия были стереометрическими, сочинение Менелая

посвящено геометрии на поверхности сферы,

трактуемой по аналогии с планиметрией Евклида.


Теорема МеналаяОсобую роль в истории сферической геометрии и тригонометрии сыграло предложение 1 книги III сочинения

Менелая, в которой доказывается как плоский, так и сферический случай теоремы, называемой в настоящее время «теоремой Менелая» или «теоремой о полном четырёхстороннике». Полным четырёхсторонником называется плоский или сферический четырёхугольник, пары противоположных сторон которого продолжены до пересечения.

Сферическая теорема Менелая изложена у Птолемея следующим образом: «Опишем на поверхности сферы дуги больших кругов так, чтобы проведённые к двум начерченным дугам АВ и АС две другие дуги ВЕ и СD пересекались в точке G; пусть каждая из этих дуг меньше полуокружности; то же будем предполагать и для всех таких построений. Я утверждаю, что отношение прямой под удвоенной дугой СЕ к прямой под удвоенной ЕА составлено из отношения прямой под удвоенной CG к прямой под удвоенной GD и отношения прямой под удвоенной DB к прямой под удвоенной ВА.»


Вклад восточных

математиковОсновные теоремы сферической

тригонометрии были открыты учеными средневекового

Востока. Соотношения, выражаемые

теоре мой косинусов, были установлены сирийским

математиком и астрономом IX века ал-Баттани, выходцем из семьи звездопоклонников - сабиев, у

которых в течение многих веков сохранялись вавилонские

астрономические традиции. Сферическая теорема сину сов

была открыта почти одновременно среднеазиатскими математи ками и астрономами X века Ибн Ираком

из Хорезма, Абу-л-Вафой из Хорасана и ал-Ходжанди из

Ходжента. Соотношения, выражаемые двойственной теоремой косинусов, были установлены (с помощью

полярного треугольника) в XIII веке работавшим в Азербайджане Насир-ад-дином ат - Туси, давшим

первое полное изложение всей системы сферической

тригонометрии.Назад в Оглавление

Альберт Жирар

Фламандский математик Альберт Жирар (1595-1632) первым выразил площади сферического

треугольника и многоугольника через их угловые избытки, в

статье «О мере поверхности сферических

треугольников и многоугольников, открытой вновь»,

опубликованной в виде приложения к «Новому открытию вы алгебре».


Элементы сферической

геометрии


СфераСферой называется

геометрическое место точек пространства,

расположенных на данном расстоянии от данной точки,

называемой её центром.Отрезок, соединяющий

центр сферы с какой-либо его точкой, называется

радиусом сферы.Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий, кроме того, через его центр, называется диаметром. Из определения следует, что все радиусы равны и что

диаметр равен удвоенному радиусу.


Большая и малая

окружностиВ этом случае окружность на сфере и называется большой окружностью. В геометрии на сфере большие окружности

играют роль прямых на плоскости.

Так как всякие две диаметральные плоскости сферы пересекаются по её

диаметру, то всякие две большие окружности пересекаются в двух

диаметрально противоположных точках

сферыЗдесь наблюдается отличие сферической геометрии от

плоской геометрии, в которой две прямые пересекаются не

более чем в одной точке.


Сферический отрезок

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере - кратчайшая из двух дуг большой окружности

(АВ), про ходящей через две не диаметрально

противоположные точки A и В сферы.

Теорема (минимальное свойство сферического

отрезка).Сферический отрезок,

соединяющий две точки на сфере, короче любой другой

линии на сфере, соединяющий эти две точки.


Угол на сфере

Величина внутреннего угла при вершине В сферического

многоугольника, образованного дугами АВ и ВС на сфере, определяется

как угол между двумя лучами, которые выходят из точки В и касаются дуг

АВ и ВС в точке В. Поскольку эти лучи

перпендикулярны радиусу ОВ, то угол при вершине В

равен двугранному углу между плоскостями ОАВ и ОВС. Понятно, что два угла сферического двуугольника

всегда равны


Многоугольник на сфере

Сферическим многоугольником называется часть сферы, ограниченная

дугами больших окружностей, меньшими

полуокружности, концами которых служат точки

пересечения этих больших окружностей, взятых в

последовательном порядке.

Сферический многоугольник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону

от каждого из больших кругов, частью которых служат его стороны; в противном случае он называется вогнутым.


Сферический треугольник

Сферическим треугольником называется фигура, состоящая из

трех точек сферы и трех отрезков, попарно соединяющей эти точки. Здесь под отрезками понимаем меньшую из двух дуг

большой окружности, проходящей через эти точки.

Многие свойства сферического треугольника (а они

одновременно являются и свойствами трехгранных углов)

почти полностью повторяют свойства обычного треугольника,

среди них- неравенство треугольника или, например, три

признака равенства треугольника. Все

планиметрические следствия упомянутых теорем вместе с их

доказательствами остаются справедливыми на сфере.


Список использованных ресурсов

O Адамар Ж. Элементарная геометрия. – Ч.2.: Стереометрия: Пособие – 3-е изд. – М.: Учпедгиз, 1998.- 760 с.

O АбрамовА.М, Виленкин Н.Я, ДорофеевГ.В, и др Избранныевопросы математики10 кл.: Факультативный курс./Под ред. ФирсоваВ.В/-М.:Просвещение 1992.

O Александров.А.Д. и др.Геометрия для 10-11 классовУчебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучениемматематики./А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик. — 3-е изд., перераб.-М.:Просвещение, 1992.- 464с.

O Атанасян Л.С. Геометрия: учебник для 10-11 классовсредней школы.-М: Просвещение, 2007.- 208 с.

O Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия: Пер. снем. – 3-е изд. – М.: Наука, 1981.- 344 с.

O Глаголев Н. А. Проективная геометрия: Учеб. Пособие. –2 –ое изд. испр. и доп. – М.: высш. школа, 1990. – 344 с.

O Давидов А. Начала тригонометрии: 3-е изд., 1885.O Перепелкин Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч II.Геометрия в пространстве: учеб. для

пед. инст-ов. –М. Л.: гос.O изд-вотехн-теоретич. литер. 1992. – 333 с.O Саранцев Г.И. Упражнения в обученииматематике.-М.: Просвещение, 1995.-240 с.O Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики, М.,Наука, 1984 г.O Энциклопедический словарь юного математика/Сост.А.П.Савин.-М.: Педагогика, 1985.-352с.,

ил.O Энциклопедия элементарной математики кн. IV, V. /Подред. В. И.Битюукова, И. Е, Морозовой,

М.: Наука, 1966.- 624 с.


Проверка знаний

Пройти тест


http://onlinetestpad.com/ru-ru/Go/Test-po-geometrii-dlya-11-klassa-po-teme-Elementy-sfericheskoj-geometrii-32577/Default.aspx

http://onlinetestpad.com/ru-ru/Go/Test-po-geometrii-dlya-11-klassa-po-teme-Elementy-sfericheskoj-geometrii-32577/Default.aspx

Обратная связьЕсть вопросы?

По всем вопросам обращайтесь по адресу ************@gmail.com


Элементы сферической геометрии

Education