第 6 章 谐振电路

在含有电阻、电感和电容的交流电路中，电路两端电压与其电流一般是不同相的，若调节电路参数或电源频率使电流与电源电压同相，电路呈电阻性，我们称这时电路的工作状态为谐振。 R 、 L 、 C 串联电路发生的谐振现象称为串联谐振； R 、 L 、 C 并联电路中发生的谐振称为并联谐振。

谐振现象是正弦交流电路的一种特定现象，它在电子和通信工程中得到广泛应用，但在电力系统中，发生谐振有可能破坏系统的正常工作，我们应设法预防。本章讨论最基本的 串联和并联谐振电路谐振时的特性。

6.1 串联谐振电路

6.1.16.1.1 串联电路谐振条件串联电路谐振条件6.1.26.1.2 串联谐振电路的基本特征串联谐振电路的基本特征6.1.36.1.3 串联谐振电路的频率特性串联谐振电路的频率特性

图 6-1-1 所示的 串联电路 ,在正弦激励下 , 其复阻抗为

6.1.16.1.1串联电路谐振条件串联电路谐振条件

图 6-1-1

图 6-1-2

/|Z|

jXR

)XX(jR

)C

1L(jRZ

CL

其中 22 )1

(C

LRZ

CLXXX

1

CL

式中 , XL 、 XC 都随激励的频率变化而变化，它们的频率特性曲线如图 6-1-2 所示。

由图 6-1-2 可见，在 ＜ 时， XL ＜ XC ， X ＜ 0 ，电路呈容性；在 ＞ 时， XL ＞ XC ， X ＞ 0, 电路呈感性；在 = 时， XL =XC ， X =0 ，电路呈阻性，发生谐振。因此，串联谐振的条件为

0

00

1L

C

0

1

LC

可见，调节 、 L 、 C 三个参数中的任意一个，都可使电路发生谐振（称为调谐）。在电路参数 L 、 C 一定时，调节电源激励的频率，使电路发生谐振，此时的角频率称为谐振角频率，用 表示，则有

0

(6-1)

相应的谐振频率为

显然，谐振频率仅与电路参数 L 、 C有关，与电阻值 R无关。

0

1

2f

LC (6-2)

6.1.26.1.2串联谐振电路的基本特征串联谐振电路的基本特征 1. 阻抗最小，且为纯电阻； 串联谐振时，由于复阻抗的虚部为零，电路复阻抗就等于电路中的电阻值 ，复阻抗的模达到最小值。当外加频率等于其谐振频率时其电路阻抗呈纯电阻性，且有最小值，它这个特性在实际应用中叫陷波器。 2. 电路中电流最大 , 且与电压同相； 在一定值的电压作用下，谐振时的电流将达到最大值，称为谐振电流。

(6-3)R

UI

3. 电感与电容两端的电压相等，相位相反，其大小为总电压的 Q 倍。 串联谐振时，电感电压与电容电压的有效值相等，相位相反，互相抵消，电阻电压等于电源电压。故串联谐振也称电压谐振。

R

L

U

UQ

IC

jIjXU

ILjIjXUUIRU

L

CC

LLR

0

0

0

)1

()(

:,

各元件上的电压为串联谐振时

6.1.36.1.3串联谐振电路的频率特性串联谐振电路的频率特性

串联谐振时，电路的电抗 X =0 ，但感抗 XL 和容抗 X C 并不为零，它们彼此相等，即

1. 特性阻抗和品质因数

LL L

C CLC

0

0

1 1(6-4)

式中，ρ 称为串联电路的特性阻抗，常用单Ω位为 ，它是一个只与电路参数L、C有关而与频

率无关的常量。。

在无线电技术中，常用谐振电路的特性阻抗与电路电阻值R的比值大小来表征谐振电路的性能，此比值用字母Q表示,即

L L

QR R CR R C

0

0

1 1 (6-5)

它也是一个仅与电路参数有关的常数，称为谐振电路的品质因数。

这样，谐振时电感和电容的电压有效值应为

L C ρ

UU U Iρ ρ Q U

R (6-6)

即该两元件上的电压有效值为电源电压的 ρQ 倍。

由于 L0 或 C0

1有可能远大于R值，即 ρQ有可能

很大，就使得在谐振时，电感和电容的电压有可能远大于激励电源的电压。在无线电工程中，微弱的信号可通过串联谐振在电感或电容上获得高于信号电压许多的输出信号而加以利用。但在电力工程中，由于电源电压较高，串联谐振可能产生危及设备的过电压，故应力求避免。

在R、L、C串联电路中，当电源电压幅值一定时，电流 I电压 LU 和 CU 随频率变化的曲线称为谐振曲线，如图6-1-4所示。

图6-1-4

图中， UI

R0

为谐振电流； f0

为谐振频率； f1下限截

止频率； f2上限截止频率； f f f 2 1

通频带。

2.谐振曲线与选择性

（1）0不变， I0

变化,如图6-1-5如示。

图6-1-5

此时，0不变，0

=LC

1 即LC 不变；I0变化， U

IR

0

，即R变化。 结论：R愈大， I0

愈小，谐振曲线愈尖锐，选择性好；反之R愈小，选择性差。

谐振曲线的讨论：

（2）I0不变，0

变化,如图6-1-6如示。

图6-1-6

此时，I0不变， U

IR

0，即U R、 不变；0

变化

，0=

LC

1 即LC变化；

结论：LC变小，0变大，通频带变宽，反之，

通频带变窄。

当为零时，因为 CX 为无限大，电路相当于开路，I为零， CU 等于U， LU 为零；当增大时，电流I逐渐增大， LU 逐渐增大，但由于 CX 在逐渐减小，故 CU 的值会在一段频率内有所增加。可以证明，在

品质因数 ρQ ＞1

2的电路中 ， LU 和 CU 的最大值分别

出现在小于0和大于0的某一频率处。 ρQ 值越大，两峰值越向谐振频率处靠近，但均不会出现在0处。但在0处的电流 I是最大值。当继续增大趋于无限大时， CX 趋于零， LX 趋于无限大， LU 趋于U，I趋于零。

U UI

ZR L

C

2 2| | 1

( )

U

R LLC

2 2 2

0 0

1( ) ( )

ρ

U U

ρ QR

22 2020

200

1 ( )1 ( )

所以

ρ

I

IQ

20 0

0

1

1 ( )

若以0

为横坐标，以 I I0/ 为纵坐标，对不同的

ρQ 值可作一组曲线。因为对于 ρQ 值相同的任何R L C、 、 串联电路，只有一条曲线与之相应，故该曲线称为串联谐振通用曲线。 图 6-1-7所示的是 ρQ 分别为 1、10、100时的通用曲线。

图 6-1-7

很明显，ρQ 值的大小影响电流 I在谐振频率附近变

化的陡度。ρQ 越大，I变化陡度越大，当

0

值稍偏离

1 时（即稍偏离0），电流就急剧下降，表明电路具

有选择最接近于谐振频率附近的电流的性能，这种性能在无线电技术中称为选择性。

ρQ 越大，选择性越好。

工程上还规定，在谐振通用曲线上 I I0/ 的值为

1/ 2，即 0.707所对应的两个频率之间的宽度称为通频带。它规定了谐振电路允许通过信号的频率范围。不难看出，电路的选择性越好，通频带就越窄；反之，通频带越宽，选择性越差。无线电技术中，往往是从不同的角度来选择通频带宽窄的，当强调电路的选择性时，就希望通频带窄一些；当强调电路的信号通过能力时，则希望通频带宽一些。

例 6-1 电路如图 12-18 所示。已知

求 : (l) 频率为何值时，电路发生谐振。

(2) 电路谐振时 , UL 和 UC 为何值。

V cos210)(S ωttu

例 6-1 电路

解： (l) 电压源的角频率应为

rad/s10rad/s1010

11 6

840

LC

(2) 电路的品质因数为

1000 R

LQ

则 V1000V10100SCL QUUU

UQR

UIUU

，C

L

RCRR

L

RQ：、

C

L

CL：、

LCff

CL：、

：

PC

等大反相谐振时电容与电压电压

品质因数

特性阻抗

条件

串联谐振

113

12

2

111

0

0

00

0

6.2 并联谐振电路

6.2.16.2.1 并联电路谐振条件并联电路谐振条件6.2.26.2.2 并联谐振电路的基本特征并联谐振电路的基本特征6.2.36.2.3 并联谐振电路的频率特性并联谐振电路的频率特性

6.2.16.2.1并联电路谐振条件并联电路谐振条件

图6-2-1

图 6-2-1所示并联电路的复导纳为

Y G jB G j CL

1

( )

R、L、C并联电路发生的谐振现象称为并联谐振。

显然，该电路发生并联谐振的条件为

CL

00

1

即 LC

0

1或 of

LC

1

2 （6-8）

式中，0为谐振角频率，与串联谐振条件是相同的,该频率 of 称为电路的固有频率,仅与L C、 参数有关,与R无关。

6.2.26.2.2并联谐振电路的基本特征并联谐振电路的基本特征 电路谐振的特征是对非谐振状态而言的。

1.并联谐振时输入导纳最小或者说输入阻抗最大。 并联谐振时，由于复导纳的虚部为零，电路复导

纳就等于电路中的电阻导纳值 G，复导纳的模达到最小值，或者说输入阻抗最大。

Y G jX G j C GL

00

1( )

当外加频率等于其谐振频率时其电路阻抗呈纯电阻性，且有最大值，它这个特性在实际应用中叫选频电路。

2.谐振时，因阻抗最大，在激励电流一定时，电压的有效值最大。 并联谐振时，复导纳最小，为Y G ，在一定幅

值的电流源 LI 作用下，电路的端电压U就达到最大值为

sU I G / （6-9）

3.电感和电容上电流相等，其电流为总电流的Q 倍。

谐振时电阻电流与电流源电流相等 R SI I 。电感电流与电容电流之和为零，即 L CI I 0 。电感电流或电容电流的幅度为电流源电流或电阻电流的 ρQ 倍，即 LI I QI Q I C S R

此时各元件上的电流分别为

sG s

L

C

II UG G I

G

I U jL

I U j C

0

0

1( )

( )

即电阻上电流等于电源电流；电感与电容元件的电流有效值相等，相位相反，互相抵消。故并联谐振也称为电流谐振。因为此时有

B L CI I I 0 所以，在图 6-2-1所示中 A、B两点的右边电路相当于开路。

工程上广泛应用实际电感线圈和实际电容器组成的

并联谐振电路。在不考虑实际电容器的介质损耗时，该

并联装置的电路模型如图 6-2-2所示。

图 6-2-2

R ωLY j C j ωC

R j L R ωL R ωL

2 2 2 2

1( )

( ) ( )

LC

R L

2 2( )

电路的复导纳为

电路发生谐振时，复导纳的虚部应为零，得

(6-11)

(6-10)

由上式可以看出，当电路的频率和实际电感线圈的参数R、L一定时，改变电容总能使电路达到谐振。

如果电路的参数一定，调节电源频率使电路达到谐

振所需的角频率,可上式得

R

LC L 2

0

1( ) (6-12)

从(6-12)式可看出，只有当R

LC L 21( ) ，即 R＜

L

C时，0才是实数，才有可能通过调频使电路达到谐振。

图 6-2-2所示并联电路发生谐振时的相量图如图

6-2-3所示。可以看出，调节电容C使电路达到谐振的

过程，实质上是使 LI 的无功分量与 CI 完全抵消的过程。

在一定的电压U作用下，谐振时电流最小。整个电路可

等效为一个电阻R0,它等于复导纳实部的倒数，由式

（6-10）得

R LR

R

2 2

0

( ) (6-13)

又因为谐振时L

CR L

2 2( )

，即

LR L

C 2 2( ) ，所以，谐振时的等效电阻为

LR

RC0

等效电导为 RC

GL

0

图 6-2-3

6.2.36.2.3 并联谐振电路的频率特性并联谐振电路的频率特性

1.特性阻抗和品质因数

与串联谐振电路一样，定义并联谐振电路的特性

阻抗为

L

C

并联谐振电路的品质因数定义为谐振时的感纳

（或容纳）与谐振时等效电导的比，即 C C L

QG RC L R

0 0 0

0 / (6-14)

实际电感线圈的电阻R较小，在(6-13)式中，一般

都可能有R远小于L

C，则式（6-12）可写为

LC 0

1 (6-15)

将式（6-12）代入式（6-14）可得并联电路的品

质因数为

LQ

R C R

1

(6-16)

例 6-2 将一个R=15 Ω，L=0.23 mH的电感线圈与

100μ F的电容器并联，求该并联电路的谐振频率和谐振

时的等效阻抗。

解：电路的谐振角频率为

R

LC L 2

0

1( )

23 12 3

1 15( )

0.23 10 100 10 0.23 10rad/s

=6557103rad/s

谐振频率为

f

30

0

6577 10

2π 2 3.14Hz=1444kHz

谐振时的等效阻抗为

KRC

LRZ 153

1010015

1023.012

3

0 或

KR

LR

YZ 153

15

)23.06577(15)(1 2220

2

从计算结果可以看出，谐振时，电路的等效阻抗Z很

大，比线圈电阻R大得多, Z是R的 10200倍。

必须指出，实际工程技术中遇到的谐振电路要比以

上介绍的电路复杂得多，而且可能在一个电路中，既有

串联谐振又有并联谐振。对它们的分析方法是类似的，

即谐振时，电路的等效复阻抗或复导纳的虚部为零。

6.3 谐振电路的应用与防护

6.3.16.3.1 谐振在电子技术中的应用谐振在电子技术中的应用

6.3.26.3.2 电力系统对谐振的防护电力系统对谐振的防护

6.3.16.3.1谐振在电子技术中的应用谐振在电子技术中的应用

在无线电技术中常应用串联谐振的选频特性来选择

信号。收音机通过接收天线，接收到各种频率的电磁波，

每一种频率的电磁波都要在天线回路中产生相应的微弱

的感应电流。为了达到选择信号的目的，通常在收音机

里采用如图 6-3-1(a)所示的谐振电路。把调谐回路中的

电容C调节到某一值，电路就具有一个固有的频率 f0。

如果这时某电台的电磁波的频率正好等于调谐电路的固

有频率，就能收听该电台的广播节目，其它频率的信号

被抑制掉，这样就实现了选择电台的目的。

在具有电感和电容元件的电路中，电路两端的电压与其中的电流一般是不同相的，如果我们调节电路的参数或电源的频率而使它们同相，这时电路中就发生谐振现象。上述案例即为谐振的应用。研究谐振的目的就是要认识这种客观现象，并在生产上充分利用谐振的特征，同时又要预防它所产生的危害。

(a) (b) 图 6-3-1

6.3.26.3.2电力系统对谐振的防护电力系统对谐振的防护含有电感线圈和电容器的无源（指不含独立电源）

线性时不变电路在某个特定频率的外加电源作用下，对

外呈纯电阻性质的现象。这一特定频率即为该电路的谐

振频率。以谐振为主要工作状态的电路称谐振电路。无

线电设备都用谐振电路完成调谐、滤波等功能。电力系

统则需防止谐振以免引起过电流、过电压。

电路中的谐振有线性谐振、非线性谐振和参量谐振。前者是发生在线性时不变无源电路中的谐振，以串联谐振电路中的谐振为典型。非线性谐振发生在含有非线性元件电路内。由铁心线圈和线性电容器串联（或并联）而成的电路（习称铁磁谐振电路 ）就能发生非线性谐振 。在正弦激励作用下，电路内会出现基波谐振、高次谐波谐振、分谐波谐振以及电流（或电压）的振幅和相位跳变的现象。这些现象统称铁磁谐振。参量谐振是发生在含时变元件电路内的谐振。一个凸极同步发电机带有容性负载的电路内就可能发生参量谐振。

串联谐振电路 用线性时不变的电感线圈和电容器

串联成的谐振电路。这种电路产生的谐振称串联谐振，

又称电压谐振。当外加电压的频率等于电路的谐振频率0时，即

0=LC

1

式中L为电感，C为电容，便产生谐振。除改变可

使电路谐振外，调整L、C的值也能使电路谐振。谐振时

电路内的能量过程是在电感和电容之间出现周期性的等

量能量交换。以品质因数值表示Q电路的性能，

QR C

ρ0

1

ρQ 值越大，谐振曲线越尖，则电路的选择性越好。

考虑信号源的内阻时， ρQ 值要下降 ，因此，串联谐振电

路不宜与高内阻信号源一起作用。

并联谐振电路 用线性时不变电感线圈和电容器并联组成的谐振电路。其中的谐振称并联谐振，又称电流谐振。以 ρQ 表示电路的性能，电路内的能量过程与串联谐振电路类似。信号源内阻会降低 ρQ 值，且内阻越小，品质因数值越小 ，所以并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起使用。

本章小结

R、L、C串联网络的谐振现象是一种处于特定条件下的频率响应。

1. 谐振条件：0=1/ LC或 f0＝1/(2π LC ), 即改变激励源的频率或调节电路参数均可以形成这种条件。

2.串联谐振的特征：电路的总阻抗为最小值()，电流达到最大值（ I U R / ），总电压与电流同相位，电路呈电阻性。谐振时电感和电容端电压相等，且比激励源电压大Q 倍，故串联谐振又称为电压谐振。

3.当改变激励源的频率，使电路的电流值下降到谐振点电流值的 2倍时所对应的频率范围，即上限频率 f2与下限频率 f1之差（ f f2 1），称为电路的频带。Q

值愈高，带宽就愈窄，电路对信号的选择性就愈好。 4. 串联谐振电路不宜与高内阻信号源一起使用。

R、L、C并联网络的谐振现象也是一种处于特定条件下的频率响应。

1.谐振条件：若电感线圈 ρQ 的值较高，则并联谐振与串联谐振的频率条件相同。

2.谐振特征：电路的总阻抗最大，谐振电流最小，总电流与电压同相，电路也呈电阻性。谐振时并联支路的电流几乎相等，且比总电流大Q 倍，故并联谐振又称为电流谐振。

3.频率特性：电路发生并联谐振时相当于一个高电阻，可从电路两端得到幅值较大的输出电压，这就是并联谐振电路的选频作用。

4.并联谐振电路不宜与低内阻信号源一起使用。

习题解答

6-1 含 R 、 L 的线圈与电容 C 串联，已知线圈电压 URL=50V ，电容电压 UC=30V ，总电压与电流同相，试问总电压是多大 ?解：因总电流与总电压同相，故

电路处在谐振谐振状态 UC 与 UL

等大反相， UC 、 UL 与 UR 正交，如图所示，

V

UUUU

UU

LRLR

CL

403050 22

22

6-2 RLC 组成的串联谐振电路，已知 U=10V ， I=1A ， U

C=80V 试问电阻及多大 ? 品质因数 Q 又是多大 ?

810

8010

1

10:

U

U

U

UQ

I

UR LC解

?

?,1

,36

端口相当于开路

哪些哪些端口相当于短路若如图所示LC

,

))((,

))((:

于开路相当而图短路

相当于图解db

Ca

6-4 串联谐振电路如图所示，已知电压表 V1 ， V2 的读数分别为 150V 和 120V ，试问电压表 V 的读数为多少 ?

V

V

UUUU

U

VUU

UU

LRLR

R

CL

LC

90

90120150

:,

,120

,:

22

22

电压表读数为

故正交且与

即等大反相与因解

6-5 在如图所示电路中， (1) 如果要收听 e1 台节目， C 多大 ? 已知 L=250μH ， R=20Ω ， f=820kHz 。(2)e1 信号在电路中产生的电流有多大 ? 在 C 上产生的电压是多少 ? 已知： e1=10μV ，L=250μH ， R=20Ω ， C1=150pF 。

PFF

LC

150105.1

10250)1082014.32(

11)1(:

10

6232

此时解

VV

VIXUU

VVVIXUU

AV

R

UI

LLC

CLC

e

3.64710473.6

102501082014.32105.0

3.64710473.6101501082014.32

105.0

5.020

10)2(

4

636

4123

6

1

或

6-6 在 RLC 串联谐振电路能力训练中，(1) 欲提高串联谐振电路的 Q 值，应如何改变 R 、 L 和 C?(2)RLC 串联电路发生振荡时，电阻电压达到最大值，试问电感电压和电容电压褪否达到最大值 ?

6-8 查阅相关资料或调研相关企业进一步了解谐振电路在实际中的应用。

6-7 参考实验八 RLC 串联谐振电路自行设计并联谐振电路的实验。

α∞ΦωβμΩσεφπ°∠Δ