Задача на слайде 7.3. Дано:МАВСДЕ – пирамидаАМ = 12Найти: МО, АО, СО, МСРешениеРассмотрим 300

МС = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300)Ответ: В боковых ребрах.Вывод: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.К углу наклона бокового ребра к плоскости основания.Вывод: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то:Около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.Около такой пирамиды можно описать шар. Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту шара..Задача со слайда 7.4

Дано:МАВСДN – пирамидаНайти: МК, ОК, МЕ, ОЕРешение1. Рассмотрим М

Рассмотрим 6МЕ = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300)МЕ = 12Ответ: Диктант Дано:МАВС – пирамидаМА = МВ = МС = 6,25АС = АВ = 5ВС =6Найти: Н; VРешениеТак как МА = МВ = МС, то ОА = ОВ = ОС = RПо формуле ГеронаИтак, Рассмотрим По следствию из теоремы Пифагора ; Рассмотрим Ответ: МАВС – пирамидаВС = 13 АС = 14 АВ =15Найти: Н; Sбок; Vбоковых ребрах.Вывод: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.К углу наклона бокового ребра к плоскости основания.Вывод: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то:Около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.Около такой пирамиды можно описать шар. Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту шара..Задача со сл 2003

По материалам учебника Л.С. Атанасян «Геометрия» § 2 п.28;29.

Определение пирамиды

Элементы пирамиды

Правильные пирамиды

(§ 28 стр. 65)

(§ 28 стр. 66)

(§ 29 стр. 66)

План урока:

А2

А1А4

А3

Аn

М

α

Многогранник, составленный из n-угольника А1А2А3…Аn и n треугольников МА1А2, МА2А3,…, МАnА1

называется ПИРАМИДОЙ.

ПИРАМИДА обозначается МА1А2А3…Аn.

Слово «пирамида» в геометрию ввели греки, которые, как полагают, заимствовали его у египтян, создавших самые знаменитые пирамиды на свете.

«Пирос» по-гречески рожь. Считают, что греки выпекали хлебцы, имевшие форму пирамиды.

Двугранный угол при ребре основания (угол наклона боковой грани к основанию): LMKO

Углы

Высоты

Грани

Ребра

Вершины

Угол наклона бокового ребра к плоскости основания (угол при ребре МА

1): LMA10

Высота боковой грани: (МК┴А2А3, МК=h)

Боковые грани: ∆А1МА2, ∆А2МА3,…

Ребра основания: А1А2, А2А3, А3А4,…

Вершины основания пирамиды: А1, А2, А3,…

n

Плоский угол при вершине пирамиды: LА1МА2, LА

2МА3,…

5

n+1Высота пирамиды МО┴(А1А2А3), МО=Н

4

n+1Основание: А1А2А3…Аn

3

2nБоковые ребра: МА1, МА2, МА3,…

2

n+1Вершина пирамиды: М

1

Элементы пирамиды

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

Боковые ребра четырехугольной пирамиды равны. Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания.

В ы в о д:

Если все боковые ребра пирамиды равны:

около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

О

К

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

О

Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом. Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды.

В ы в о д:

Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то:

около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.

Дано:

МАВСDЕ – пирамида

0

0

45МСО

60МАО

(ABC)MO

АМ = 12

Найти:

МО, АО, СО, МС.

Решение:

Рассмотрим 090МОА:ΔMAO

М

12

О А

600

6ОА

cos6012ОА

cosАМАОА0

36ОМ

sin6012ОМ

sinАМАОМ0

М

О С

450

Ответ: 66 ;36 6; ;36

36OCMO

66MC

Ccos

MOMC

А2

А1А4

А3

Аn

α

М

О

К

В четырехугольной пирамиде углы между плоскостями основания и боковых граней равны.

Докажите, что вершина пирамиды проектируется в центр окружности, вписанной в основание.

СВОЙСТВО ПИРАМИДЫ

В ы в о д:

Если в пирамиде все двугранные углы при ребрах основания равны, то в основание пирамиды можно вписать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.

Дано:

МАВСDN – пирамида

6МО

45МКО

30МЕО

(ABC)MO

0

0

Найти: МК, ОК, МЕ, ОЕ

Решение:

1. Рассмотрим 090МОК:ΔMOK

26sin45

6МК

sinК

ОММК

6МООК

0

2. Рассмотрим 090МОЕ:ΔMOE

МЕ = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300)

МЕ = 12

36OE

ctg306ОЕ

ctgЕМООЕ0

М

6

О К

450

М

6

О Е

300

Ответ: 36 12; 6; ;26

Sб=S1+S2+S3+…+Sn

Sп=Sб+Sосн

HS3

1V осн

Формулы для нахождения площади боковой поверхности, площади полной поверхности и объема пирамиды.

К

α

α

Виды пирамид

ПИРАМИДА называется правильной, если ее основание правильный многоугольник, а вершина проектируется в центр многоугольника.

Определение пирамиды

Элементы пирамиды

Правильные пирамиды

Итог урока:

Задача на слайде 7.3. Дано:МАВСДЕ – пирамидаАМ = 12Найти: МО, АО, СО, МСРешениеРассмотрим 300

МС = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300)Ответ: В боковых ребрах.Вывод: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.К углу наклона бокового ребра к плоскости основания.Вывод: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то:Около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.Около такой пирамиды можно описать шар. Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту шара..Задача со слайда 7.4

Дано:МАВСДN – пирамидаНайти: МК, ОК, МЕ, ОЕРешение1. Рассмотрим М

Рассмотрим 6МЕ = 2МО (свойство катета, лежащего против угла в 300)МЕ = 12Ответ: Диктант Дано:МАВС – пирамидаМА = МВ = МС = 6,25АС = АВ = 5ВС =6Найти: Н; VРешениеТак как МА = МВ = МС, то ОА = ОВ = ОС = RПо формуле ГеронаИтак, Рассмотрим По следствию из теоремы Пифагора ; Рассмотрим Ответ: МАВС – пирамидаВС = 13 АС = 14 АВ =15Найти: Н; Sбок; Vбоковых ребрах.Вывод: Если в пирамиде все боковые ребра равны, то около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.К углу наклона бокового ребра к плоскости основания.Вывод: Если все ребра пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то:Около основания пирамиды можно описать окружность и вершина пирамиды проектируется в центр этой окружности.Около такой пирамиды можно описать шар. Центр описанного шара лежит на прямой, содержащей высоту шара..Задача со сл 2003

Л.С. Атанасян. п. 28, 29

«Учимся решать задачи»

стр. 27 задачи № 1, 2, 3. стр. 29 №1 (1-6); №3.

Дано:

МАВС – пирамидаМА = МВ = МС = 6,25АС = АВ = 5ВС =6

Найти: Н; МАО; V.

Решение:

1. Так как МА = МВ = МС, то ОА = ОВ = ОС = R,4S

авсR

По формуле Герона .2

свар где ,с)в)(рa)(рp(pS

Итак, 3,125.124

655R

2. Рассмотрим 090МОА:ΔAMO

По следствию из теоремы Пифагора

22 ОААМОМ

8

325

8

25

4

25ОМ

22

3. Рассмотрим 090МОА:ΔAMO

060МАО 0,5.МАОcos .АМ

ОАМАОcos

2

325

8

32512

3

1V Н.S

3

1V 4. осн

2

325 ;60 ;

8

325 0Ответ:

ВС = 13 АС = 14 АВ =15

Найти: Н; Sбок; V

045МDО

MNOМКО

Дано:

МАВС – пирамида

Решение:

Рассмотрим

0

0

45МКО

;90МОК:ΔMOK

Так как

ОК = r.

МDОMNOМКО

p

Sr

8467821S

2

свар где ,c)в)(pa)(pp(pS

Итак, МО = ОК = 4

М

О К

450

421

84r

rOKMO

284cos45

84S

cosα

SS

0бокосн

бок

1124843

1V HS

3

1V осн

Ответ: 4; ;284 112.