中考复习：专题训练

§8.1 开放性问题

如图，已知∠ 1= ∠2 ， AE=AB, 要使△ ABC≌ △AED ，还需添一个条件（只需添加一个条件） 。 ∠ 3= C∠ ∠ B= E∠AD=AC

问题一

学什么

∠1=∠EDB

∠ADC=∠C

问题二

如图，已知 AD=AC, 1= 2∠ ∠ ， AE=AB, 则可得 （只需写出一个正确结论即可） 。

△ABC AED△ ∠ 3= C∠ ∠ B= E∠

ED=BC

∠1=∠EDB

∠ADC=∠C

AD 平分∠ EDC

①③④ ②

①②④ ③

如图在△ ABC 与△ ADE 中，有下列四个论断① AB= AE AD =AC B= ② ③∠ ∠E BC=ED④ ，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题是 . （用序号和 的形式写出）

问题三

这三个问题的一个共同的显著特点：正确答案不唯一 .

开放题 : 像上述这种正确答案不唯一的问题，我们把它称为开放题。

近年来，数学中考中连续出现了这类开放题，这类开放题知识面广，综合性强，故不可忽视。

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题

是条件开放性问题。

如图，已知∠ 1= ∠2 ， AE=AB, 要使△ ABC≌ △AED ，还需添一个条件（只需添加一个条件） 。 ∠ 3= C∠ ∠ B= E∠AD=AC

问题一 条件开放

∠1=∠EDB

∠ADC=∠C

AD 平分∠ EDC

给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，而符合条件的结论往往呈现多样性，这样的问题是结论开放性问题。

问题二 如图，已知 AD=AC, 1= 2∠ ∠ ， AE=AB, 则可得 （只需写出一个正确结论即可）

△ABC AED△ ∠ 3= C∠ ∠ B= E∠

ED=BC

结论开放

①③④ ②

①②④ ③

如图在△ ABC 与△ ADE 中，有下列四个论断① AB= AE AD =AC B= ② ③∠ ∠E BC=ED④ ，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题是 . （用序号和 的形式写出）

问题三条件结论双

开放

开放性问题数学开放题是指那些条件不完整，结论不确定，解法不限制的数学问题。

条件开放条件开放

结论开放结论开放

常见

题型：条件结论双条件结论双

开放开放

它的显著特点：正确答案不唯一 .

在 Rt△ABC 中 ,∠C 为直角 , CD⊥AB 于点 D ， BC=3 ， AB=5 ，写出其中的一对相似三角形是 ____和 _____; 并写出它的面积比 _____ .

(08N12)

考什么

（ 07 杭州 N.22 ）如图，已知 AB=AC ，∠ A=36° ， AB 的中垂线 MN 交 AC 于点 D ，交 AB 于点 M ，有下面 4 个结论：① 射线 BD 是∠ ABC 的角平分线；②△BCD 是等腰三角形；③△ABC∽△BCD ；④△AMD≌△BCD 。（ 1 ）判断其中正确的结论是哪几个？（ 2 ）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。

NDM

B

A

C

考查黄金三角形的性质

命题的判断

黄金三角形

课本中介绍我国古代数学名著《孙子算经》上有这样一道题 : 今有鸡兔同笼 , 上有三十五头 , 下有九十四足 , 问鸡兔各几头 ( 只 )? 如果假设鸡有只 , 兔有只 , 请你列出关于的二元一次方程组 ; 并写出你求解这个方程组的方法 .

（ 08N17)

在凸多边形中 , 四边形有 2 条对角线 , 五边形有 5 条对角线 , 经过观察、探索、归纳 , 你认为凸八边形的对角线条数应该是多少条 ? 简单扼要地写出你的思考过程 .

(08N19)

例 1. 已知点 P(x,y) 位于第二象限 , 并且y≤x+4,x,y 为整数 , 写出一个符合上述条件的 P 点的坐标 _______.

练什么

例 2. 李老师给出了一个函数 , 甲 , 乙 , 丙三位学生分别指出了这个函数的一个特征 .甲 : 他的图象经过第一象限 ;乙 : 他的图象也经过第二象限 ; 丙 : 在第一象限内函数值 y 随 x 的增大而增大 . 在你学过的函数中 , 写出一个满足上述特征的函数解析式 _______.

例 3. 如图，正方形 ABCD 中， E 与 F 分别是 AD 、 BC 上一点．在① AE=CF 、② BE∥DF 、③∠ 1=∠2 中，请选择其中一个条件，证明 BE=DF ．（ 1 ）你选择的条件是 （只需填写序号）；（ 2 ）证明：

CF

A

B

DE

1

2

例 4. CD 经过∠ BCA 顶点的一条直线， CB=CA ． E,F 分别是直线CD 上两点 , 且∠ BEC=∠CFA=∠α ．（ 1 ）若直线 CD 经过∠ BCA 的内部，且 E,F 在射线 CD 上，请解决下面两个问题：① 如图 1 ，若∠ BCA=90° ，∠ α=90° ，则 BE CF ； EF |BE-AF| （填“ >” ，“ <” 或“ =” ）；② 如图 2 ，若 0°<∠BEC<180° ，请添加一个关于∠ α 与∠ BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．（ 2 ）如图 3 ，若直线 CD 经过∠ BCA 的外部，∠α=∠BCA ，请提出 EF,BE,AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

A

B

C

EF D D

A

B

CEF

A

DF

C

E

B

（ 图1 ）

（ 图2 ）

（ 图3 ）

1. 如图，已知： OA 、 OB 是⊙ O 的半径，且 OA⊥OB ，P 是射线 OA 上一点（点 A 除外），直线 BP 交⊙ O于点 Q ，过 Q 作⊙ O 的切线交直线 OA 于点 E.(1) 如图 1 ，若点 P 在线段 OA 上，求证：∠ OBP+∠AQE=45° ；(2) 若点 P 在线段 OA 的延长线上，其它条件不变，∠OBP 、∠ AQE 之间是否存在某种确定的等量关系？请你完成图 2 ，并写出你的结论（不需证明）．

Q

PO

E

B

APO

B

A

2. 如图，在△ ABC 和△ DEF 中，∠ A ＝∠ D ＝ 90° ，AB ＝ DE ＝ 3 ， AC ＝ 2DF ＝ 4 ．（ 1 ）判断这两个三角形是否相似？并说明理由。（ 2 ）能否分别过 A ， D 在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ ABC 分割成的两个三角形与△ DEF 分割成的两个三角形分别对应相似？请说明理由。

一、条件开放型一、条件开放型例 1 如图，在梯形 ABCD 中， AB CD∥ ，E ， F ， G ， H 分别是梯形 ABCD 各边 AB ， BC ， CD ， DA 的中点，当梯形 ABCD 满足条件 时 ，四边形 EFGH 是菱形。（填上你认为正确的一个条件即可） BD=AC ∠ A= B∠

AD=BC

∠B+∠D=180°

∠A+∠C=180°

请在横线上填上适当的条件然后根据要求解题：在 Rt ABC△ 中已知∠ A: B: C= ∠ ∠ : : ，

求∠ A 、∠ B 、∠ C 的值。

做一做做一做

你认为填条件时应注意些什么 , 请用文字表达

一、条件开放型一、条件开放型

三角形的周长是 20 ，若三边比为 2 ： 5 ： ，求三条边 .

填写条件时，应符合题意或相关的概念、性质、定理 .

得出的结论应尽可能用上题目及图形所给的条件。

二、结论开放型二、结论开放型例 如图， AB 是⊙ O 的直径 ,CB 、 DA 、

CD 分别与⊙ O 相切于点 B 、 A 和 E ，根据图中所给出的已知条件及线段，请写出三个正确结论，并选其中之一加以证明。（本题将按正确结论的难易程度评分）

F

三、条件结论双开放型三、条件结论双开放型有一道习题 , 其一部分文字是这样的 :

已知二次函数 的图象过点 A(c,0)…… 图象关于直线 对称 . ……

其中省略号部分是一段被墨水染污了无法辨认的文字 .

请你把这道题补充完整 , 并完成该题 .

cbxxy 2

2x

条件结论双开放型条件结论双开放型

请你从下列各式中，任选两式作差，并将得到的式子进行因式分解．

2 2 24 ( ) 1 9a x y b， ， ，

做一做做一做

各班级分数段人数分布情况四、策略开放型例 有一块方角形钢板如下图所示，请你用一条直线将其分为面积相等的两部分（不写作法，保留作图痕迹，在图中直接画出）。

策略开放题，一般是指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题。

做一做：用三种不同方法把平行四边形面积四等分（在所给的图形中画出你的设计方案，画图工具不限）

策略开放

五、综合开放型

例 编写一道应用题，使得根据题意列出的方程为：

再解答你所列出的应用题。（要求：所编应用题完整，题意清楚，联系生活且其解符合实际。）

110

120120

xx

开放性问

题

作用：培养创新意识、创造能力

回顾总结回顾总结

正确答案不唯一

类型

特点

条件开放型

结论开放型 策略开放型

综合开放型

条件结论双开放

1. 平面上，经过两点 A （ 2 ， 0 ）， B （ 0 ， -1 ）的抛物线有无数条，请写出一条确定的抛物线解析式（不含字母系数）： 。 1

4

1 2 xy

2. 如图，已知∠ 1= 2∠ ，要 使 △ ABE ACE≌△ ，还需添一个条件（只需添加一个条件） 。 BE=EC

A

B

C

E 12

∠ B= C∠ ∠ BAE= CAE∠条件开放

结论开放

一个圆形街心花园，有三个出口 A 、 B 、 C ，每两个出口之间有一条 60 米长的道路，组成正三角形 ABC ，在中心点 O 处有一个亭子。为使亭子与原有的道路相通，需再修三条小路 OD 、 OE 、 OF ，使另一出口 D 、 E 、 F 分别落在△ ABC 的三边上，且这三条小路把△ ABC 分成三个全等的多边形，以备种不同品种的花草。   请你按以上要求设计两种不同的方案，将你的设计分别画在图中；任选一种你的设计方案，计算三条小路的总长。

得出的结论应尽可能用上题目及图形所给的条件。

如图 , AB 是⊙ O 的直径 , O⊙ 过 AC 的中点 D,DE⊥BC 于点 E.

(1) 由这些条件 , 你能推出哪些正确的结论 ( 至少三个 )?

(2) 要想得到 DE 是⊙ O 的切线，还需不需要添加什么条件 ? 若需要 , 请你添加条件 , 并证明你的结论 .

做一做做一做

结论开放：如图，已知⊙ O 内切于四边形 ABCD ， AB=AD ，连结 AC ， BD ，由这些条件你能推出哪些结论？ 。

（写出三个即可） A

B

C

DO

∠ABD= ADB∠ ， AC BD⊥ ，BC=CD

∠ BCA= ACD∠

△ABC △ ACD …△

∠BAC= CAD∠

如图 , 直线 MN 与⊙ O 相切于点 C ， AB 是⊙O 的直径，连结 AC 、 OC 、 BC ， AE M⊥N 于 E ， BF MN⊥ 于 F ， BF 与⊙ O 交于点 D 。根据图中所给出的已知条件及线段，请写出一个正确结论，并加以证明。ΔAEC∽ΔCFB,

EC=FC,AE=DF,AE+BF=AB,

EC2=AE·BF,FC2=FD·FB,

AC2/BC2=AE/BF

条件开放型条件开放型

给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件往往不是唯一的，这样的问题

是条件开放性问题。

你能写出三个 m 的值 , 使方程

的两根都是整数 , 且两根为异号吗 ?

082 mxx

注 : 此问题是条件开放题 , 关键是利用根与系数的关系 , 构建一正一负的两个整数的和是 8.

解 : 设方程的两根为 , 则 ,ba, mbaba ,8

取 , 所以2,10 ba 20 bam取 , 所以取 , 所以

3,11 ba 33 bam9,1 ba 9 bam

二、结论开放型二、结论开放型如图，⊙ O 是等腰三角形 ABC(AB=AC) 的

外接圆， AD 、 AE 分别是∠ BAC 和它邻补角的平分线， AD 交⊙ O 于点 D ，交 BC 于 F ，由这些条件直接写出 2 个正确的结论 : （不再连结其他线段）∠B= C , BF=CF, ∠

AB=AC, BD=CD,

AD⊥BC, AD AE, AE BC,⊥ ∥

AD 是⊙ O 的直径，

AE 是⊙ O 的切线… …

“ 创新是一个民族的灵魂” 培养创新精神和实践能力是当前全面推进素质教育的重点 .开放性、探索性的试题是考查这种能力的新题型 .这类试题涉及知识面宽 ,综合性强 ,要求学生有扎实的基础知识和熟练的基本技能 .是近几年的热门考题 .

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