Β΄ ομάδα – Κανόνας de l hospital...
TRANSCRIPT
Παράγωγοι
Παράγωγοι 325
***** Β΄ ομάδα – Κανόνας De L’ Hospital – Ασύμπτωτες*****
Έστω f :R R παραγωγίσιμη συνάρτηση.
Αν ισχύει 2x 1f 2x 1 2e για κάθε x R και f 1 2e να βρείτε
την εφαπτομένη της fC στο σημείο A 1,f 1 .
ΛΥΣΗ
Θέτουμε 2x 1 t και έχουμε: tf t 2e για κάθε t R .
Άρα tf t 2e tf t 2e 2e 2e tf t f 1 2e 2e 1
Για t 1 θα είναι: tf t f 1 2e 2e
t 1 t 1
0tt t0
t 1 t 1 t 1 t 1
2e 2ef t f 1 2e 2e 2elim lim lim lim 2e
t 1 t 1 1t 1
t 1
f t f 1lim 2e 2
t 1
Για t 1 από τη σχέση 1 θα έχουμε:
t t
t 1 t 1
f t f 1 f t f 12e 2e 2e 2elim lim
t 1 t 1 t 1 t 1
t 1
f t f 1lim 2e 3
t 1
διότι:
0tt t0
t 1 t 1 t 1
2e 2e2e 2e 2elim lim lim 2e
t 1 1t 1
.
231
Παράγωγοι
Παράγωγοι 326
Επομένως από τις σχέσεις 2 και 3 προκύπτει ότι:
t 1
f t f 1lim 2e f 1 2e
t 1
.
Άρα η εξίσωση εφαπτομένης της fC στο 0x 1 θα είναι:
y f 1 f 1 x 1 y 2e 2e x 1 y 2ex .
Δίνεται η συνάρτηση f : 0, R , με ln 1 x
f xx
.
Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα και να βρείτε το σύνολο
τιμών της.
ΛΥΣΗ
Έχουμε:
'
2
1x ln 1 xln 1 x 1 xf ' x
x x
2
x 1 x ln 1 x
x 1 x
Θεωρούμε τώρα συνάρτηση g x x 1 x ln 1 x , x 0
οπότε g x ln 1 x 0 για κάθε x 0
αφού 1 x 1 ln 1 x ln1 ln 1 x 0 , άρα η g είναι
γνησίως φθίνουσα στο 0, .
Συνεπώς g x g 0 g x 0 για κάθε x 0 άρα θα είναι και:
2
g xf x 0
x 1 x
, για κάθε x 0 .
Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα 0, οπότε το
232
Παράγωγοι
Παράγωγοι 327
σύνολο τιμών της f είναι x x 0
f A lim f x , lim f x
Βρίσκουμε λοιπόν τα όρια 1xlim f x
και 2x 0lim f x
. Είναι:
0
0
1x 0 x 0 x 0
ln 1 xln 1 x 1lim lim lim 1
x 1 xx
, και
2
x x x 0
ln 1 xln 1 x 1lim lim lim 0
x 1 xx
.
Άρα το σύνολο τιμών της f είναι 2 1f A , 0, 1
Έστω η συνάρτηση xf x e , x R .
Να υπολογίσετε το όριο
x 0
ln f xlim
1f
x
.
ΛΥΣΗ
1
x1
x x
1 1x 0 x 0 x 0 x 0 x 0
x x
eln f x lne x e
lim lim lim lim lim11 1f e exx x
1
x12x
x 0 x 0
2
1e
xlim lim e
1
x
αφού x 0
1lim
x
.
οπότε
1
x
x 0lim e
233
Παράγωγοι
Παράγωγοι 328
Δίνονται οι συναρτήσεις xg x lnx e e, x 0 και
xf x e x lnx e 1 , x 0 . Να βρεθεί το όριο:
x 0lim f x g x
.
ΛΥΣΗ
Είναι x
x 0 x 0lim f x lim e xln x ex x 1
αφού .
x 0 x 0 x 0 x 0
2
1ln x xlim x ln x lim lim lim x 01 1
x x
.
Ακόμη x
x 0 x 0lim g x lim ln x e e
οπότε
x 0lim f x g x
.
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : R R με
f 0 f 0 2012 . Αν ισχύει
2h 0
f x h 2f x f x hlim f x
h
να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f.
ΛΥΣΗ
Από την υπόθεση έχουμε:
0
0
2h 0
f x h 2f x f x hlim f x
h
0
0
h 0 2
f x h 2f x f x hlim f x
h
h 0
f x h x h 2f x f x h x hlim f x
2h
234
235
Παράγωγοι
Παράγωγοι 329
( η μεταβλητή ως προς την οποία παραγωγίζουμε είναι η h)
h 0
f x h f x hlim f x
2h
h 0
f x h f x f x h f x1lim f x
2 h
h 0
f x h f x f x h f x1lim f x
2 h h
(1).
Όμως από τον ορισμό της παραγώγου είναι
h 0
f x h f xf x lim
h
(2) αφού η f είναι δύο φορές
παραγωγίσιμη. Επίσης στο κλάσμα f ' x h f ' x
h
θέτουμε
h u οπότε u 0 όταν h 0 και επομένως:
h u
h 0 u 0 u 0
f ' x h f ' x f x u f x f x u f xlim lim lim
h u u
f x (3). Από (1), (2) και (3) θα έχουμε:
(2),(3)
h 0
f x h f x f x h f x1lim f x
2 h h
(2),(3) (2),(3)
h 0 h 0
f x h f x f x h f x1 1lim lim f x
2 h 2 h
1 1
f x f x f x f x f x2 2
xf x ce , c R 4
Παράγωγοι
Παράγωγοι 330
● Για x 0 , από την 4 έχουμε: f 0 c c 2012 και
επομένως:
4
x xf x 2012e f x 2012e
x1 1f x 2012e c , c R 5
● Για x 0 , από την 5 έχουμε: 1f 0 2012 c
1 12012 2012 c c 0 και επομένως:
5
xf x 2012e , x R
α) Να δειχθεί ότι 1xx α
1
για οποιαδήποτε x 0 και 1 .
β) Να δειχθεί ότι 1
x 5
xlim x 2 1
.
γ) Να δειχθεί ότι 1
2011 x2011x x 2010 e για κάθε x 0, .
ΛΥΣΗ
α) Είναι: 1αx x 1 01xx α
1
.
Θεωρούμε συνάρτηση 1xxxf α
1
, x 0, .
Οπότε: 1 1 1α
'1 11
f ' x x x 1 x 1 x 1
Επίσης είναι 1 1 1'
1 2 21 1f '' x x 1 1 x x 0
διότι x 0 και 1 . Άρα η f ' είναι γνησίως φθίνουσα.
Παρατηρούμε επίσης ότι f '(1) 0 και επομένως θα έχουμε:
236
Παράγωγοι
Παράγωγοι 331
f '
0 x 1 f '(x) f '(1) f '(x) 0
f '
x 1 f '(x) f '(1) f '(x) 0
Συνεπώς στο 0, 1 η f είναι γνησίως αύξουσα ενώ στο 1, είναι
γνησίως φθίνουσα. Στο 0x 1 η f παρουσιάζει μέγιστο με μέγιστη
τιμή 1αf 1 1 1 1 0 . Επομένως f (x) f (1) f (x) 0
για κάθε x 0 . Άρα 1 1α αx x 1 0 x x 1 .
β) Είναι 1
x 5
1ln x 2
x 5
x xlim x 2 lim e
. Επειδή όμως η εκθετική
συνάρτηση είναι συνεχής θα είναι: x
11 lim ln x 2ln x 2x 5x 5
xlim e e
.
Όμως
'
'x x x
ln x 21 ln x 2lim ln x 2 lim lim
x 5 x 5 (x 5)
'
x
1x 2
1x 2 lim 01 2(x 2)
.
Άρα: 1eelim2xlim 02xln
5x
1
xx
5x
1
γ) Η συνάρτηση f του (α) ερωτήματος για 2011 γίνεται
1
2011f x 2011x x 2010 και ισχύει 0xf για κάθε x 0 .
Επίσης είναι xe 0 για κάθε x R .
Άρα για κάθε x 0, ισχύει 1
2011 x2011x x 2010 e .
Παράγωγοι
Παράγωγοι 332
Έστω οι συναρτήσεις f , g : 0, R δυο φορές παραγωγίσιμες
ώστε xf " x f ' x 1 για κάθε x 0 και 4xfxglimx
.
Αν η ευθεία y x 2 είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της
f στο σημείο της A 1, f (1) , να βρεθεί η ασύμπτωτη της γραφικής
παράστασης της g στο .
ΛΥΣΗ
Η εφαπτομένη της fC στο σημείο A 1, f (1) έχει εξίσωση:
y f 1 f 1 x 1 y f 1 x f 1 f 1 .
Όμως μας δίνεται ότι η εφαπτομένη είναι η ευθεία y x 2 , άρα πρέπει
να είναι f '(1) 1 και f (1) f '(1) 2 οπότε f (1) 3 .
Για x 0 ισχύει:
2 2
xf " x f ' x 1xf " x f ' x 1
x x
f ' x 1
x x
f x 1
c f x cx 1x x
με c R .
Όμως f 1 1 c 1 1 c 2 . Άρα για x 0 είναι
'
2f x 2x 1 f x x x 2f x x x , R .
Όμως f 1 3 3 και επομένως είναι 3xxxf 2 , x 0
H ευθεία y x είναι ασύμπτωτη της Cg στο + οπότε θα
είναι: x
xglimx
και xxglimx
Θέτουμε τώρα xfxgxh , x 0 με 4xhlimx
.
237
Παράγωγοι
Παράγωγοι 333
Ισχύει 2g x h x f x g x h x x x 3 . Άρα:
2
2 2
g x g x1 x x 3 1 1 3h x h x 1
x x x x xx x
Είναι:
2x x
g x 1 1 3lim lim h x 1 4 0 1 1
x x x x
.
Επίσης, x xlim g x x lim h x f x x
2
2x x
x 3lim h x x x 3 x lim h x
x x 3 x
x
31
1 7xlim h x 42 21 3
1 1x x
.
Άρα η ευθεία με 2
7xy είναι η ασύμπτωτη της Cg στο +.
Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο R, για την οποία ισχύει
2 2 2012xf (x) 5x xf (x) e (1) για κάθε x R .
Δείξτε ότι η fC δεν έχει ασύμπτωτες.
ΛΥΣΗ
Κατ’ αρχάς η f είναι συνεχής στο R και επομένως δεν έχει
κατακόρυφες ασύμπτωτες. Αν είχε πλάγια ασύμπτωτη στο την
238
Παράγωγοι
Παράγωγοι 334
ευθεία y x θα έπρεπε να είναι
x
f xlim R
x και
και επίσης
xlim f x x R
. Οπότε στη δοθείσα σχέση (1)
διαιρώντας και τα δύο μέλη με 2x 0 θα έχουμε:
2 2 2012x2 2 2012x
2 2 2 2
f (x) 5x xf (x) ef (x) 5x xf (x) e
x x x x
2 22012x 2012x
2 2
f (x) f (x) e f (x) f (x) e5 5
x x x xx x
οπότε θα είναι
2 2012x
2x x
f (x) f (x) elim lim 5
x x x
2 2012x
2x x x
f (x) f (x) elim lim lim 5
x x x
2 το οποίο είναι άτοπο διότι R .
Είναι
'2012x2012x 2012x
2 'x x x2
ee 2012elim lim lim
2xx x
'2012x 2012x
'x x
2012e 1006 2012elim lim
12x
Επομένως
x
f xlim R
x
και δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη στο .
Στα ίδια συμπεράσματα καταλήγουμε και όταν x .
Επομένως η f δεν έχει ασύμπτωτες.
Παράγωγοι
Παράγωγοι 335
Έστω η παραγωγίσιμη στο (0, ) συνάρτηση f τέτοια ώστε:
xlim f (x) xf '(x) 2012
. Αν το xlim f (x)
υπάρχει και είναι
πραγματικός αριθμός διαφορετικός του μηδενός, δείξτε ότι:
α) xlim f (x) 2012
β) xlim xf '(x) 0
ΛΥΣΗ
α) Είναι:
'
'x x x x
xf (x)xf (x) f (x) xf ' (x)lim f (x) lim lim lim 2012
x 1(x)
διότι το xlim f (x)
υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός
διαφορετικός του μηδενός και επομένως xlim xf (x)
ή
οπότε από τον κανόνα De L’ Hospital θα είναι
'
'x x
xf (x)xf (x)lim lim
x (x)
β) Είναι: xf '(x) f (x) xf '(x) f (x) οπότε
x xlim xf '(x) lim f (x) xf '(x) f (x)
x xlim f (x) xf '(x) lim f (x) 2012 2012 0
239