™`HÉ`°`ù`dG q ` °`ü` dGh C’G »°SGQódG °üØdG

ÖdÉ£dG ÜÉàc

( ) .

. .

.

- -

¬q∏dG óÑY »∏Y Ú°ùM .CG»∏Y óªfi ¢ùfƒj á°üM .CGQhR ƒHCG Oƒªfi á«ëàa .CG

كتاب الطالب

ـــصـــف الــســابــع الا�ول الــدراســي الفصل

. . . House of Education

: ©.

( ) .

. .

. . êÉéM »WÉ©dG óÑY óªfi .CG»ªé©dG ¿ÉÑ«JQEG ó«Y ôjóZ .CG

π≤Y ΩÓ°ùdG óÑY ≈«ëj .CG…ôª°ûdG ¿É°VhQ áÑ«‚ .CG

á```````eó`≤e

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

äÉjƒàëŸG١٢ الوحدة األولى: علم اإلحصاء واستخداماته في الحياة العملية ١٣ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................

١٥ الوحدة األولى (أ): قراءة التمثيالت البيانية وتفسيرها ١٦ ١ - ١ قراءة التمثيالت البيانية ................................................................................................................................................................................................

١٩ ١ - ٢ التمثيالت البيانية المضللة ...........................................................................................................................................................................................

٢٢ ١ - ٣ مخطط االنتشار والنزعات ........................................................................................................................................................................................

٢٦ الوحدة األولى (ب): عرض البيانات ٢٧ ١ - ٤ العالمات التكرارية والجداول التكرارية، والتمثيل البياني بالنقاط المجمعة ....................................................................................

٣٠ ١ - ٥ المقاييس المدرجة والتمثيل البياني باألعمدة ...................................................................................................................................................

٣٣ ١ - ٦ مخططات الساق واألوراق .......................................................................................................................................................................................

٣٦ الوحدة األولى (جـ): وصف البيانات ٣٧ ١ - ٧ المتوسط الحسابي (الوسط) .....................................................................................................................................................................................

٣٨ ١ -٨ الوسيط والمنوال ..............................................................................................................................................................................................................

٤١ ١ - ٩ تأثيرات القيم الشاذة المتطرفة (البعيدة عن القيم األخرى لمجموعات البيانات) .........................................................................

٤٣ مخطط تنظيمي للوحدة األولى ................................................................................................................................................................................................................................

٤٤ الوحدة الثانية: ربط الحساب بالجبر ٤٥ مشروع الوحدة ............................................................................................................................................................................................................................................................

٤٧ الوحدة الثانية (أ): األعداد الكلية ٤٨ ٢ - ١ قراءة رموز األعداد وكتابتها حتى التريليونات ....................................................................................................................................................

٥٠ ٢ - ٢ تقريب (تدوير) األعداد .................................................................................................................................................................................................

٥٢ ٢ - ٣ مقارنة األعداد وترتيبها ..................................................................................................................................................................................................

٥٥ ٢ - ٤ اإلسس (المفرد: أس) .....................................................................................................................................................................................................

٥٨ الوحدة الثانية (ب): حس عددي وحس إجرائي ٥٩ ٢ - ٥ الحساب الذهني ...............................................................................................................................................................................................................

٦١ ٢ - ٦ تقدير نواتج الجمع والطرح ........................................................................................................................................................................................

٦٣ ٢ - ٧ تقدير نواتج الضرب والقسمة ....................................................................................................................................................................................

٦٧ ٢ - ٨ ترتيب العمليات ................................................................................................................................................................................................................

٦٩ ٢ - ٩ األنماط العددية ................................................................................................................................................................................................................

٧٤ الوحدة الثانية (جـ): مقدمة إلى الجبر ٧٥ ٢ - ١٠ المتغيرات والتعبيرات (المقادير) الجبرية .........................................................................................................................................................

٧٩ ٢ - ١١ كتابة التعبيرات (المقادير) الجبرية .....................................................................................................................................................................

٨٢ ٢ - ١٢ استخدام المعادالت ...................................................................................................................................................................................................

٨٤ ٢ - ١٣ حل المعادالت ..............................................................................................................................................................................................................

٨٦ الوحدة الثانية (د): األعداد الصحيحة ٨٧ ٢ - ١٤ األعداد الصحيحة ........................................................................................................................................................................................................

٩٠ ٢ - ١٥ جمع األعداد الصحيحة ............................................................................................................................................................................................

٩٣ ٢ - ١٦ طرح األعداد الصحيحة .............................................................................................................................................................................................

٩٧ ٢ - ١٧ ضرب األعداد الصحيحة وقسمتها .....................................................................................................................................................................

١٠١ ٢ - ١٨ حل المعادالت: h س + ب = جـ ......................................................................................................................................................................

١٠٣ مخطط تنظيمي للوحدة الثانية ...................................................................................................................................................................................................................................

١٠٤ الوحدة الثالثة: الكسور العشرية ١٠٥ مشروع الوحدة .....................................................................................................................................................................................................................................

١٠٧ الوحدة الثالثة: مفاهيم الكسور العشرية ١٠٨ ٣ - ١ األعداد العشرية ................................................................................................................................................................................................................

١١٤ ٣ - ٢ كتابة رموز األعداد بالصورة العلمية (القياسية) ...............................................................................................................................................

١١٨ ٣ - ٣ التقدير باستخدام الكسور العشرية ...........................................................................................................................................................................

١٢٠ ٣ - ٤جمع األعداد العشرية وطرحها .................................................................................................................................................................................

١٢٣ ٣ - ٥ حل المعادالت العشرية: الجمع والطرح ............................................................................................................................................................

١٢٥ ٣ - ٦ ضرب عدد كلي أو كسر عشري في كسر عشري .......................................................................................................................................

١٣٢ ٣ - ٧ القسمة على عدد كلي أو عدد عشري ................................................................................................................................................................

١٣٧ مخطط تنظيمي للوحدة الثالثة .................................................................................................................................................................................................................................

äÉjƒàëŸG

١٣٨ الوحدة الرابعة: القياس ١٣٩ مشروع الوحدة .............................................................................................................................................................................................................................................................

١٤١ الوحدة الرابعة (أ): وحدات القياس ١٤٢ ٤ - ١ المحيط ................................................................................................................................................................................................................................

١٤٧ ٤ - ٢ التحويل في النظام المتري ...........................................................................................................................................................................................

١٥٠ الوحدة الرابعة (ب): مساحة المضلعات ١٥١ ٤ - ٣ مساحة المربعات والمستطيالت .............................................................................................................................................................................

١٥٦ ٤ - ٤ مساحة متوازيات األضالع .........................................................................................................................................................................................

١٦٠ ٤ - ٥ مساحة المثلثات ...............................................................................................................................................................................................................

١٦٤ الوحدة الرابعة (جـ): الدوائر ١٦٥ ٤ - ٦ محيط الدائرة ...................................................................................................................................................................................................................

١٦٧ ٤ - ٧ مساحة الدوائر ................................................................................................................................................................................................................

١٧٠ ٤ - ٨ مساحة أشكال مستوية أخرى .................................................................................................................................................................................

١٧٥ مخطط تنظيمي للوحدة الرابعة ...............................................................................................................................................................................................................................

١٧٦ الوحدة الخامسة: األنماط ونظرية األعداد ١٧٧ مشروع الوحدة ...........................................................................................................................................................................................................................................................

١٧٩ الوحدة الخامسة (أ): نظرية األعداد ١٨٠ ٥ - أ قابلية القسمة (مراجعة) ..................................................................................................................................................................................................

١٨١ ٥ - ١ تحليل العدد إلى عوامله األولية ...............................................................................................................................................................................

١٨٤ ٥ - ٢ المضاعف المشترك األصغر .....................................................................................................................................................................................

١٨٩ الوحدة الخامسة (ب): الربط بين األعداد الكسرية واألعداد العشرية ١٩٠ ٥ - ٣ فهم الكسور االعتيادية ...............................................................................................................................................................................................

١٩٢ ٥ - ٤ تبسيط الكسور االعتيادية ..........................................................................................................................................................................................

١٩٥ ٥ - ٥ الكسور المركبة واألعداد الكسرية .....................................................................................................................................................................

١٩٨ ٥ - ٦ التحويل بين الكسور االعتيادية والكسور العشرية .......................................................................................................................................

٢٠١ ٥ - ٧ المقارنة والترتيب ...........................................................................................................................................................................................................

٢٠٣ مخطط تنظيمي للوحدة الخامسة ...........................................................................................................................................................................................................................

äÉjƒàëŸG

ÉgÒ°ùØJh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG IAGôbIóMƒdG(CG) ¤hC’G

oOGóYCÓd páq«∏ª©dG pIÉ«◊G ‘ ¬oJÉeGóîà°SGh pAÉ°üME’G oº∏YoIóMnƒdG¤hC’G

ترتيب حكام أسرة الصباحالشيخ صباح بن جابر األول ١٧٥٦-١٧٦٢الشيخ عبد اهللا الصباح ١٧٦٢-١٨١٢

١٨١٢-١٨٥٩ ( الشيخ جابر بن عبد اهللا الصباح (جابر األولالشيخ صباح بن جابر الصباح (صباح الثاني) ١٨٥٩-١٨٦٦

الشيخ عبد اهللا بن صباح الصباح (عبد اهللا الثاني) ١٨٦٦-١٨٩٢الشيخ محمد بن صباح الصباح ١٨٩٢-١٨٩٦

الشيخ مبارك الصباح ١٨٩٦-١٩١٥الشيخ جابر بن مبارك الصباح (جابر الثاني) ١٩١٦-١٩١٧

الشيخ سالم بن مبارك الصباح ١٩١٧-١٩٢١الشيخ أحمد الجابر الصباح ١٩٢١-١٩٥٠

األمير عبد اهللا السالم الصباح (أبو الدستور) ١٩٥٠-١٩٦٥األمير صباح السالم الصباح ١٩٦٥-١٩٧٧

األمير جابر األحمد الجابر الصباح ١٩٧٧-٢٠٠٦األمير سعد العبد اهللا السالم الصباح ٢٠٠٦

األمير صباح األحمد الجابر الصباح ٢٠٠٦ حتى اآلن

oáq«YɪàL’G oäÉ°SGQódG

نبذة عن المركز العلمي

الكويت مؤسسة شيدته الكويت لشعب عطاء هدية العلمي المركز للتقدم العلمي امتثاال لمبادرة سامية وكريمة من حضرة صاحب السمو الشيخ جابر األحمد الجابر الصباح (رحمه اهللا) ليكون مركزا متميزا . يقع المركز العلمي على لنشر المعرفة البيئية في منطقة الخليج العربيالواجهة البحرية في رأس األرض بمنطقة السالمية، ويشمل ٣ مرافق البيئات على االطالع للزائر يتيح الذي (األكواريوم) هي رئيسية التفاعلية بمعروضاتها االستكشاف) و(قاعة البحار، في الطبيعية ومركز تفاعلها المتميز الذي يحتضن برامج اإلثراء العلمي لألطفال باإلضافة إلى صالة العرض (آي ماكس) بسعة ٢٥٠ مقعدا يدعم كل مرسى إلى إضافة الهدايا، لبيع ومحل كالمطاعم أخرى مرافق ذلك السفن الشراعية بمساحة ٢٠٠٠ متر مربع يعرض سبع سفن شراعية

. تمثل السفن التقليدية في الكويت ومنطقة الخليج العربي

lá«∏°ùJ

1212

πFÉ°ùŸG πM ‘ õ«cÎdG

اقرأ المسألتين التاليتين ، ثم أجب عن األسئلة المطروحة عليهما

13

.سينتاسين.تيسنتدسيد ينستيبعاليبنالنتبيالمنتايبمنلتانيباليبتالمنتبايلبنيمتالنمالبينتلبالبنيالبنالرسي د

يدايسندتز

.سينتاسين.تيسنتدسيد ينسترسي ديدايسندتزيسدادس

.سينتاسين.تيسنتدسيد ينسترسي ديدايسندتزيسدادس

.سينتاسين.تيسنتدسيد ينسترسي ديدايسندتزيسدادس

láq«°SÉ°SCG láq«°VÉjQ l QÉμaCG

ط لمجموعة من البيانات يمكن أيضا أن الوسط أو المتوسيصف البيانات.

يمكن وصف مجموعة بيانات ضخمة، بتحديد قيمة تقع تماما في وسط البيانات، باإلضافة إلى القيمة التي تتكرر كثيرا.

يمكنك استخدام التمثيالت البيانية للساق واألوراق لعرض البيانات على فترات.

مخطط االنتشار هو تمثيل بياني يساعد على تحديد ما إذا كانت هناك عالقة بين مجموعتين من البيانات.

يستخدم التمثيل البياني لمقارنة األعداد بعضها ببعض، أو لمقارنة األعداد في فترة زمنية معينة، ومقارنة األعداد كجزء

بالنسبة إلى كل.

تطور علم دولة الكويت.

o¿ƒæØdG

العلم السليمي: من ١٧٦٢م إلى ١٨٧١م

أول علم وطني كويتي: من ١٩١٤م إلى ١٩٦١م

علم الكويت ١٩٠٣م

العلم األميري علم المشيخة١٩٢١م

العلم األميري ١٩٤٠م

العلم األميري ١٩٥٦م

من ١٩٦١ حتى وقتنا الحاضرأول علم وطني كويتي

ل للنمو السكاني في العالم حيث يبلغ يشهد الوطن العربي أعلى معد

وصلوا الذين العربي الوطن سكان عدد زيادة في يساعد مما ٪٢,٤

عدد سكان الدول نسمة ويتوقع ارتفاع حاليا إلى نحو ٣٤٠ مليون

العربية إلى ٠٠٠ ٠٠٠ ٥٠٠ نسمة بحلول العام ٢٠٢٥.

p⁄É©dG o܃©°T

pIóMnƒdG o höûe

بيانات تجمع سوف المشروع هذا في مكان أي عن قة مشو موضوعات عن سوف اآلخرون والطالب العالم. في اخترته، الذي المكان اسم يخمنون بالتفكير ابدأ بياناتك. خالل من وذلك لالهتمام، مثيرا تراه العالم في مكان في

وترغب في أن تعرف عنه المزيد.

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

Statistics - Real - World use of Numbers

13

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

pπFÉ°ùŸG uπM ≈∏Y oõ«cÎdG

قبل أن تحل المسألة، عليك أن تفهم المعطيات المذكورة في

المسألة.إجابة التساؤالت المطروحة

نك من حول المسألة تمكتنظيم البيانات وتطوير خطتك

. للتوصل إلى الحلفي أي عام ثار بركان مونالوا؟

(أ) ما الذي تدور حوله المسألة؟(ب) ما المطلوب إيجاده في المسألة؟

(جـ) على أي ارتفاع كانت ثورة البركان؟بثورة لتنذر حصلت التي الظواهر ما (د)

البركان؟معلومات ضوء في سؤاال اكتب (هـ)

المسألة، ثم أجب عنه بنفسك.

حوالى هاواي في كيالوا بركان ارتفاع الفيليبين، في كانالون بركان ارتفاع نصف أعلى اليابان في أون-تاك بركان وارتفاع من ارتفاع بركان كانالون بمقدار ٦٠٠ متر تقريبا. إذا كان مجموع ارتفاعات البراكين الثالثة حوالى ٦٦٠٠ متر، فكم تقريبا يبلغ

ارتفاع كل من البراكين الثالثة؟(أ) ما الذي تدور حوله المسألة؟

(ب) ما المطلوب إيجاده في المسألة؟(جـ) كم عدد المرات التي يقل فيها ارتفاع بركان كيالوا عن ارتفاع بركان كانالون؟

(د) ما هو أعلى البراكين الثالثة؟معلومات ضوء في سؤاال اكتب (هـ)

المسألة، ثم أجب عنه بنفسك.

١٢

قام (مركز رصد البراكين) في هاواي بعدة دراسات ميدانية حول هذه الظاهرة عام ١٩٤٢ األرض سطح من سحيقة أبعاد على مونالوا في عنيفة أرضية هزات حدوث سجل حيث تتراوح بين ٤٠-٥٠ كيلومترا. وفي ٢٢ فبراير من تلك السنة حدثت هزات أرضية قريبة من السطح على جوانب الجبل في مناطق الشقوق فيه. كانت هذه الهزات إنذارا لحدوث ثورة البركان التي حصلت على جوانب الجبل على ارتفاع ٢٥٠٠-٣٠٠٠ م بتاريخ ٢٦ إبريل

١٩٤٢. ولكن هل يمكن التنبؤ بصورة دقيقة بوقت حدوث النشاطات البركانية؟ولإلجابة عن هذا السؤال يجب أن نعرف أن علماء البراكين ما زالوا يتريثون في تقديم أي تنبؤات أكيدة ودقيقة عن زمان ومكان حدوث مثل هذه االنفجارات. على الرغم من ذلك فإن هناك بعض األحداث والشواهد التي يمكننا االستدالل منها على احتمال ثوران البراكين

وهي: حدوث الزالزل التي تسبق ثوران البراكين بساعات أو بسنين أحيانا.• التغير في صفات وسلوك الينابيع الحارة والفوارات األرضية والفوهات والبحيرات البركانية.• التغير في قوة واتجاهات المجاالت المغناطيسية لألرض.• زيادة الحرارة المنبعثة في المنطقة ويكون االستدالل عليها من التصوير باألشعة تحت •

الحمراء.التحول في القوى الكهربائية المحلية.•

14

ÉgoÒ°ùØJh páq«fÉ«ÑdG päÓ«ãªàdG oIAGôb oIóMnƒdG(CG) ¤hC’G

p¢Tô≤dG páμª°S oΩƒég !lô£Nالمياه وقطرات البحر، شاطگ على بمفردك تسير أنت

تتساقط فوق قدميك، وفجأة تشعر بوجود حيوان خلفك

يقترب منك، عندئذ تلتفت خلفك حياتك. الحيوان د يهد

وتنظر بفزع تجاهه، وتصرخ... كلب! اإلحصائيات تظهر

أن الذين قتلوا بسبب الكالب أكثر من الذين قتلوا بسبب

نوعا ٣٥٠ يوجد أنه المعروف فمن القرش. سمك

تهاجم التي هي فقط نوعا ٣٠ منها القرش، أسماك من

اإلنسان.

القدرة يسلبه فإنه اإلنسان، القرش سمك يهاجم عندما

على الحركة والتفكير. إذا فرض أنك تريد أن تكون عالما

في األحياء المائية، وتريد دراسة سمك القرش لتكون أكثر

ل الذهاب إليها، وما هي فهما له، فما هي األماكن التي تفض

أنسب أنواع أسماك القرش التي يمكنك دراستها؟

التي البيانية التمثيالت إلى ترجع أن هي الطرق إحدى

ننا وتمك المفترسة. القرش أسماك عن البيانات توضح

وتوضحها العددية، البيانات مقارنة من البيانية التمثيالت

بصورة مرئية، وتجعلنا ندرس األنماط واالتجاهات.

١ لماذا، من وجهة نظرك، كان عدد الذين قتلوا

بسبب الكالب أكثر من الذين قتلوا بسبب سمك القرش؟

٢ لماذا يعتبـر التمثيل البياني للبيانات أفضل من

سردها؟

Reading and Interpreting Graphs

15

صلة الدرس سبق لك دراسة أهمية استخدام المعلومات التخاذ القرارات، .والتمثيالت البيانية تعد طريقة مفيدة لتنظيم المعلومات

سوف تتعلم قراءة األعداد من أشكال مختلفة

للتمثيالت البيانية. مقارنة األعداد في التمثيل

البياني نفسه.

من االستخدامات

يستخدم عالم األحياء المائية التمثيالت البيانية لدراسة العالقات

بين حياة الكائنات البحرية وعوامل البيئة المحيطة، وذلك عند تطوير

الخطط البحثية.

المصطلحات األساسية

التمثيل البياني باألعمدةر التمثيل البياني المصو التمثيل البياني بالخطوط التمثيل البياني بالدائرة

1-1páq«fÉ«ÑdG päÓ«ãªàdG oIAGôb

استكشف قراءة التمثيالت البيانيةتجهيز البيانات

استخدم التمثيالت البيانية لإلجابة عن األسئلة التالية:

د التمثيل الذي يمكنك ١ في أي عمق حدث معظم هجوم سمك القرش؟ حداستخدامه لتحديد ذلك.

٢ في أي شهر يحدث أقل هجوم، وفي أي شهر يحدث أكثر هجوم؟٣ في أي وقت من اليوم تحدث معظم هجمات سمك القرش؟

ر كيفية توصلك ؟ فس ٤ ما عدد الهجمات التي درست للحصول على كل تمثيل بيانيإلى اإلجابات.

٥ إذا طلب منك تقديم نصيحة ألحد علماء األحياء المائية والذي يريد أن يغوص في أحد أعماق البحار، ففي أي شهر تنصحه للقيام بذلك؟ وإلى أي عمق تنصحه بالغوص؟

ر إجابتك. وفي أي وقت من اليوم تنصحه للقيام بذلك؟ فس

ياهالم

ق عم

هجوم سمكة القرش األسترالية

٦٠-٠٠

٢

٤

٦

٨

١٠

٩٠-٦١

١٢٠-٩١

١٥٠-١٢١

٦٠٠-١٥١

تجمااله

دد ع

عمق المياه (بالمتر)

هجوم سمكة القرش األسترالية

تجمااله

دد ع

الشهر

٤

٠

٨

١٢

١٦

٢٠

وبرأكت ايرين

مبرنوف

ايرفبر

مبريسد

سمار يلإبر

هجوم سمكة القرش األسترالية

= هجمتين

١٥١-٦٠٠ م

١٢١-١٥٠ م

٦١-٩٠ م

٠-٦٠ م

٩١-١٢٠ م

٣٪٧ - ١٠ صباحا

٪٢٧٢ - ٦مساء

٦ مساء - ٧ صباحا

٪٦١

٪٩

١٠ صباحا حتى ٢ مساء

أوقات هجوم سمكة القرش

16

Reading Graphs

16

استنباط المعلومات من التمثيالت البيانية تعلم

(أ) التمثيل البياني باألعمدة : تستخدم األعمدة الرأسية واألفقية لعرض المعلومات العددية، وطول

العمود يدلك على العدد الذي يمثله.مثال (١)

إلى أي عمق يستطيع أن يغطس غواص بجهاز

الغطس أكثر من الغواص الحر (من دون جهاز)؟

تأمل عمود الغواص الحر الذي يمثل عمق حوالى

١٥ مترا، وعمود الغواص بالجهاز الذي يمثل عمق

٥٠ مترا؛ عندئذ يكون الفرق هكذا:

٥٠ - ١٥ = ٣٥ مترا. ولذلك يغطس الغواص

. بالجهاز أعمق بـ ٣٥ مترا من الغواص الحر

ر : تستخدم فيه الرموز أو الصور لعرض المعلومات، وكل الرموز لها القيمة (ب) التمثيل البياني المصو

ر، قم بعد الرموز أو الصور واضرب في قيمة الرمز. نفسها. ولتحديد العدد في تمثيل بياني مصو

مثال (٢)

ما هو تقريبا عدد الحيوانات في حديقة الحيوان في

مدينة الكويت؟

ر، عدد الحيوانات في التمثيل البياني المصو

في حديقة الحيوان في مدينة الكويت يمثلها ٤

رات ونصف، علما بأن المصور الواحد مصو

يساوي ١٠٠ حيوان.

وهذا يعني أن:

(١ ^ ١٠٠ ٢ ) + (٤ ^ ١٠٠) = عدد الحيوانات

٥٠ + ٤٠٠ = = ٤٥٠ حيوان

حاول أن تحل

ر لإلجابة عن كل سؤال مما يلي: استخدم التمثيل البياني باألعمدة أو التمثيل البياني المصو١ ما العمق الذي يمكن لغواص غرفة الغوص غوصه أكثر من الغواص بالجهاز؟

٢ ما هو تقريبا عدد الحيوانات في حديقة الحيوان في سان أنطونيو؟

غرفة الغوص: وعاء ضخم ممتلئ بالهواء

يساعد الغواصين على البقاء فترة تحت

الماء.

تعلم؟ هل

مختلفةحدائق الحيوان وعدد الحيوانات ال

سان دياغو

سان أنطونيو

سيدنيالكويت

= ١٠٠ حيوان المفتاح

٣٠٠

٢٥٠

٢٠٠

١٥٠

١٠٠

٥٠

غواص حر

غواص بالجهاز

غرفة الغوص

متر بالمقالع

17

فكرة مفيدة للمذاكرةإحدى طرق المراجعة

لموضوع معين قبل عمل االختبار

القصير، هي مراجعة المصطلحات الرئيسية

وشرحها.

بالمستهلك الصلة يعلنون البائعين من العديد شبكة على منتجاتهم عن المعلنون وهؤالء اإلنترنت، الڤيديو استخدام يمكنهم ــتــمــثــيــالت واألغـــانـــي والــالن عن ــإلع كــة ل الــمــتــحــر

منتجاتهم.

قيمة سمكة القرش الفريدة المحنطة في معمل لألحياء المائية

ت)ارادينت المئا (بعرلسا

٢٠٠٦

٢٠٠٧

٢٠٠٨

٢٠٠٩

٦٠٥٠٤٠٣٠٢٠١٠

(جـ) التمثيل البياني بالخطوط هو تمثيل بياني يصل بين نقاط ليبين كيفية تغيير البيانات واتجاهها.

مثال (٣)

أوجد قيمة سمكة القرش الفريدة المحنطة في معمل

األحياء المائية، وذلك عام ٢٠٠٧.

بتحديد النقطة الممثلة لعام ٢٠٠٧ على الخط

الممثل للسنوات، تجد أن النقطة تقع إلى يمين

القيمة ٤٥٠٠ دينار مباشرة. لذلك فإن ثمن السمكة

الفريدة المحنطة عام ٢٠٠٧ هو ٤٥٠٠ دينار.

(د) التمثيل البياني بالدائرة (القطاعات الدائرية) يبين كيفية تقسيم مجموعة من البيانات بالمقارنة مع مجموعة البيانات كلها، فهناك قيم كبيرة تمثلها أجزاء كبيرة من الدائرة وقيم

صغيرة تمثلها أجزاء صغيرة.

مثال (٤)

لونها لإلعالن عن منتجاتهم. طلب إلى البائعين ذكر اسم التكنولوجيا التي يفض

فما هي التكنولوجيا األكثر تفضيال؟

لة للبائعين. الجزء األكبر من التمثيل البياني بالدائرة يمثل اإلنترنت، ولذلك فهو التكنولوجيا المفض

استخدم التمثيل البياني بالخطوط أو التمثيل البياني بالدائرة لإلجابة عما يلي:١ في أي عام كانت قيمة سمكة القرش الفريدة المحنطة حوالى ٢٠٠٠ دينار؟

٢ أي تكنولوجيا هي األقل تفضيال من قبل المعلنين؟ ٣ كم تتوقع قيمة سمكة القرش الفريدة المحنطة عام ٢٠١٤؟

١ كيف يبين كل نوع من أنواع التمثيالت البيانية قيمة وحدة البيانات؟ا من القيم هي العدد د أي ، كيف يمكنك أن تحد ٢ لكل نوع من أنواع التمثيل البياني

ها هي العدد األصغر؟ األكبر، وأي

صحف إعالنية ١٢٪

خدمات الخط الساخن ١٥٪

تلفزيون تفاعلي ٤٪

إنترنت ٢٩٪صحف يومية ٢٥٪

تسويق من التلفاز ٧٪

إعالنات شوارع ٨٪

من فهمك تحقق

حاول أن تحل

18

سوف تتعلم

تحديد طرق شائعة تستنتج فيها عالقات مضللة من التمثيل

. البياني

من االستخدامات

على المستهلك أن يراجع بدقة التمثيل البياني ليرى إن كان

ر المنتج الذي مضلال قبل أن يقرسيشتريه، أو نوع الخدمة التي

سيفيد منها.

المصطلحات األساسية:

التمثيل البياني المضلل

2-1صلة الدرس تعلمت، في الدرس السابق، بعض الطرق التي يمكن بها من خالل

التمثيل البياني أن تفهم البيانات فهما أفضل. واآلن سترى كيف يمكن أن يضللك التمثيل

. البياني

oá∏u∏°†ŸG oáq«fÉ«ÑdG oäÓ«ãªàdG

يعيش في دولة الكويت أنواع كثيرة من األسماك أهمها: الهامور ويصل طولها إلى ٩٠ سم، والشعري ويصل طولها إلى٣٠ سم، والحمرا ويصل طولها إلى ٦٠ سم.

الحظ التمثيالت البيانية التالية ثم أجب عما يلي:١ هل التمثيالت البيانية الممثلة ألطوال األسماك مضللة؟

٢ أي تمثيل بياني يبدو مضلال أكثر من اآلخر؟ح به أطوال األسماك. ا تصح ٣ اصنع تمثيال بياني

يوجد العديد من الطرق التي يمكن أن تجعل التمثيل البياني مضلال وقراءته غير واضحة. إحدى هذه الطرق هو بدء تقسيم الخط الرأسي للرسم البياني بعدد خالف الصفر، مع عدم اإلشارة إلى بعض األعداد التي تم إغفالها أو البدء من الصفر ولكن عدم االلتزام

بانتظام الفترات بين قيم البيانات.

التمثيالت البيانية المضللة تعلم

الهامورالحمراالشعري

(ب)

٠

٤٠

٦٠

٨٠

١٠٠

(أ)

عريالش حمرا

المورالها

٥٠

١٠٠

١٥٠

عريالش حمرا

المورالها

التمثيالت البيانية المضللة استكشف

Misleading Graphs

19

مثال (١)

الحظ التمثيل البياني ثم أجب:

هل طول سمكة القرش البيضاء الكبيرة ضعف طول

سمكة القرش العادية؟

في التمثيل البياني رقم (أ) طول العمود العلوي

. ولكن القيمة المناظرة ضعف طول العمود السفلي

لطول العمود العلوي ٤,٩ ليست ضعف القيمة

المناظرة لطول العمود السفلي وهي ٤. في التمثيل

البياني (ب) يبدو أن طول سمكة القرش البيضاء

الكبيرة ليس ضعف طول سمكة القرش العادية.

عندما يبدأ مقياس التمثيل البياني باألعمدة من الصفر وتكون فترات التجزيء متساوية، يصبح الرسم

. البياني غير مضلل

مثال (٢)

الحظ التمثيل البياني ثم أجب:

هل يستطيع فرس النهر كتم أنفاسه

ضعف المدة التي يستطيع فيها ثعلب

المياه كتم أنفاسه؟

كل من العمودين يبدأ من الصفر،

وطول العمود الذي يمثل فرس النهر

هو ضعف طول العمود الذي يمثل

ثعلب المياه.

ولكن قيم البيانات توضح أن ثعلب المياه يستطيع كتم أنفاسه لمدة ٥ دقائق، وفرس النهر لمدة

١٥ دقيقة، أي ثالثة أمثال ثعلب المياه، هنا يتولد انطباع مضلل؛ ألن الفترة من ٥ - ١٥ تعطي

قيما أكبر مما تعطيه الفترة من ٠ - ٥، ولكن كلتا الفترتين لها الطول نفسه.

التمثيل البياني قد يكون مضلال، بإطالة أو تقصير الفترات بين قيم البيانات، وذلك إلعطاء انطباع معين.

pΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

القرش أسماك عن معروف تهاجم أنها الكبيرة البيضاء اإلنسان، ولكنها عادة ال تأكله. وأسماك القرش البيضاء الكبيرة البحر، عجول تفترس ما عادة وسباع البحر والحيتان وأسماك

القرش األخرى.

pá¨∏dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

باإلنجليزية األسماك علم العلم وهو ،ichthyologyأجسام بنية يدرس الذي

األسماك وتصنيفها.

سمكة القرش البيضاء الكبيرة

(أ) طول سمكة القرش

الطول بالمتر

سمكة القرش العادية

٣,١ ٣,٤ ٣,٧ ٤ ٤,٣ ٤,٦ ٤,٩ ٥,٢

كسمع النو

(ب) طول سمكة القرش

الطول بالمتر٠ ١,٢ ٢,٤ ٣,٦ ٤,٨ ٦

سمكة القرش البيضاء الكبيرة

كسمكة القرش العاديةسمع النو

القدرة على كتم النفس

يقةدق بالمنالز

ثعلب المياه فرس النهر ٠

٥

١٥

٢٥

20

p QÉÑàNÓd oÒ°†ëàdG

كثير من التمثيالت البيانية قد تكون مضللة؛ ألن مقياس

التمثيل على الخط الرأسي قد رسم بطريقة خطأ. وعند

تقييم تمثيل بياني لمعرفة ما إذا كان يعطي انطباعا مضلال أم ال، راجع أوال

صحة مقياس التمثيل على . الخط الرأسي

الشوكوالتة والبسكويت

فآلالع بامباد العد

٠

١١٠

تكويبسال

التةكوشوال

األجور

ر)دينا(بال

ي وم اليجراأل

٠

٨

٨,٥

ير فطع الصانديلعاا

زا لبيتع اصان

ازةممتال

(ب) (أ)

مثال (٣)

أي من أسعار الدخول يتصاعد سريعا؟

ا، ولذلك يبدو الخط متصاعدا في التمثيل البياني األيسر: المسافات التي بين السنوات صغيرة جد

بسرعة ألعلى، ولكن كال التمثيلين البيانيين يعرض البيانات نفسها تقريبا، وأن كال منهما تتصاعد

أسعار دخوله بالسرعة نفسها.

حاول أن تحل

وضح كيف يمكن أن يولد كل من التمثيلين البيانيين التاليين انطباعا مضلال.

ر ما إذا كان التمثيل البياني مضلال أم ال؟ ١ ما الذي يجب أن تتأكد منه لتقر٢ لماذا قد يحتاج الفرد إلى عمل تمثيالت بيانية مضللة؟ أعط أمثلة من الحياة اليومية.

من فهمك تحقق

أسعار الدخول إلى المدينة الترفيهية

السنة

نارلديغ بامبلال

٢٠٠٠

٢٠٠٣

٢٠٠٦

٢٠٠٩

٢٠١٠

١,٥٠٠

٢

١

٢,٥٠٠

٣

٠

أسعار الدخول إلى المركز العلمي

السنة

نارلديغ بامبلال

٢,٥٠٠

٣

٢٠٠٠

٢٠٠٣

٢٠٠٦

٢٠٠٩

٢٠١٠

١,٥٠٠

٢

١

21

oäÉYõædGh pQÉ°ûàf’G o§ s£fl

استكشف تمثيل النقاط بيانيا

سوف تتعلم تحديد مجموعتي البيانات

الممثلة بنقط في مخطط االنتشار. تحديد ما إذا كان مخطط

االنتشار يوحي بنزعة معينة.

من االستخداماتيستخدم الباحثون في المجال الطبي مخطط االنتشار إليجاد

العالقات بين بيانات االختبارات الطبية، وصحة المرضى.

المصطلحات األساسية مخطط االنتشار

نزعة

صلة الدرس التمثيالت البيانية، التي شاهدتها حتى اآلن، تساعدك في مقارنة قيم مجموعة واحدة من البيانات العددية. وهذا الدرس يركز على التمثيالت البيانية التي

.تساعدك في المقارنة بين مجموعتين من البيانات

3-1

اختر بروازا!

ح الشكل مواقع تسع نقاط من مخطط ١ يوضبياني بدءا من النقطة أ إلى النقطة ط. كل من

البراويز المبينة أدناه تظهر نقطة من هذه النقاط مرسومة داخله.

د لكل برواز: نقطة من النقاط التسع تظهر حدداخله.

٢ كيف حددت النقطة التي ظهرت داخل كل برواز؟٣ اختر نقطة لم تظهر داخل أي من البراويز الثالثة، وارسم بروازا لها، ثم اطلب

د هذه النقطة من النقاط التسع. إلى أحد الطالب أن يحد، بدءا من ركن ٤ أعط توجيهات عن كيفية تحديد نقطة على التمثيل البياني

اليسار السفلي للتمثيل البياني إلى أي من النقاط التي على الرسم. استخدم كلمات ك ألعلى بعدد معين من ك جهة اليمين بعدد معين من المربعات» و«تحر مثل: «تحر

المربعات».

١٠٨٦

٤

٩٨

برواز(٣)برواز(٢)برواز(١)

٠

١٠

١٠٥العرض

اعرتفاال ٥

h بجـ

و زط

هـ

حد

Scatter Plots and Trends

22

مخطط االنتشار والنزعات تعلم

p Ωƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

ذكر سمك القرش العادية عادة

طوله يصبح أن إلى ينمو ما القرش سمك وأنثى مترين.

العادية تنمو إلى أن يصبح طولها ويعرف المتر. ونصف مترين

عن سمك القرش العادية أنه قد يصل طوله إلى ٤ أمتار.

التمثيالت البيانية التي درستها حتى اآلن تعرض بيانات مفردة، فمثال، كل عمود في التمثيل بة، والتمثيل البياني باألعمدة يمثل عددا واحدا. وأحيانا ترد البيانات في هيئة أزواج مرت

ح البيانات المزدوجة يسمى «مخطط االنتشار». البياني الذي يوض

كل نقطة في مخطط االنتشار تمثل قيمتين من البيانات، . أوجد وإليجاد القيمتين، ابدأ من ركن اليسار السفلي

القيمة األولى بتحديد عدد الوحدات التي تتجهها جهة دة، ثم أوجد اليمين حتى تصبح أسفل النقطة المحد

القيمة الثانية بإيجاد عدد الوحدات التي تصعدها ألعلى دة. حتى تصل إلى النقطة المحد

مثال (١)

يقارن شكل مخطط االنتشار التالي بين سرعات سمكة القرش العادية (م)، وسمكتين من سمك

القرش األزرق الكبير، (ك)، (ل) وذلك بالنسبة إلى أطوالها.

د طول وسرعة كل سمكة من سمك القرش. حد

لكي تصل إلى النقطة التي تمثل النوع األول من سمك القرش األزرق الكبير، اتجه يمينا مترا واحدا

ثم إلى أعلى تقريبا ٨٠ كم/ساعة، وهذا يعني أن النوع األول من سمك القرش األزرق الكبير طوله

متر واحد وسرعته ٨٠ كم/ساعة تقريبا.

النوع الثاني من سمك القرش األزرق الكبير: طوله

تقريبا متران وربع المتر، وسرعته ٦٥ كم/ساعة

تقريبا.

٣ المتر، ١سمكة القرش العادية: طولها ٢

وسرعتها ٥٠ كم/ساعة تقريبا.

حاول أن تحل

١ لكل نقطة من النقط الممثلة على

ر البيانات التي تمثلها هذه الرسم، قد

النقطة.

عةسا

ر/ومتكيل بالعةسرال

الطول بالمتر

ك

لم

٠

٥٠

١٠٠

١٥٠

٢٠٠

١٠ ٢٠ ٣٠ ٤٠

مبيعات الهواتف النقالة

h

f

د هـ

عدد القطع المباعة

نارلدين بالثما

٥٠

حـ

جهة اليمين ٧ وحدات أبدأ

مخطط االنتشار

إلى أعلى إلى أعلى ٥ وحداتوحدات

النقطة

23

أحيانا تشير النقاط التي على مخطط االنتشار إلى وجود عالقة بين كميتين مقاستين. تأمل ح في المثال (١)، والحظ أنه كلما ازداد بعد النقطة عن المحور مخطط االنتشار الموضح أنه بالنسبة إلى سمك القرش في هذه الرأسي قل بعدها عن المحور األفقي وهذا يوض

التجربة، فإن األكبر طوال هو األبطأ في السباحة. والعالقة بين مجموعتين من البيانات ح نمطا مثل هذا تسمى «نزعة». التي توض

أمثلة

د ما إذا كان لكل رسم من التمثيالت البيانية التالية «نزعة»: حد ٢

الحظ في مخطط االنتشار السابق أنه كلما ازداد بعد النقطة يمينا، ازداد بعدها ألعلى. وهذا

مة. يشير إلى أنه كلما زادت قوة الزلزال، زاد عدد المنازل المهد

٣

، وهذا يشير إلى أنه ال نالحظ في مخطط االنتشار التالي أن النقط ال تندرج تحت نمط خاصتوجد نزعة بين قوة الزلزال وعدد المنازل الحمراء.

١ ما أوجه التشابه بين التمثيل البياني بالخطوط ومخطط االنتشار؟ وما هي أوجه االختالف بينهما؟

٢ أعط مثاال لمجموعتين من البيانات المرتبطة، والتي قد تتزايد معا، ثم أعط مثاال لمجموعتين من البيانات المرتبطة، تتزايد إحداهما وتتناقص األخرى.

من فهمك تحقق

إذا وجدت صعوبة في عمل الواجبات المنزلية، فراجع

ح األمثلة، التي غالبا ما توضالحل خطوة خطوة وتساعدك

في حل مسائل الواجبات المنزلية.

فكرة مفيدة للمذاكرة

قوة الزلزال

مة هدالم

ل نازالم

دد ع

مة الزالزل والمنازل المهد

الزالزل والمنازل الحمراء

ونةقوة الزلزالدهالم

ل نازالم

دد ع

مرألحن اللوبا

24

(3-1) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGاستخدم مخطط االنتشار للسعرات الحرارية المطلوبة لكل عمر

في اإلجابة عن التساؤالت التالية:في أي عمر تحصل على أكبر فرق في السعرات الحرارية

ر ذلك؟ المطلوبة بين الذكور واإلناث؟ وأصغر فرق؟ كيف تفس

افهم

١ ما الذي تمثله هذه النقاط؟(أ) الزرقاء:

(ب) الصفراء:

٢ ماذا تمثل المسافة بين نقطتين، وعند أي عمر؟

خطط

٣ أكبر مسافة بين نقطتين ألي عمر تكون عند العمر ٤ أصغر مسافة بين نقطتين ألي عمر تكون عند العمر

حل

ر ذلك؟ ٥ عند أي عمر يكون الفرق في عدد السعرات الحرارية المطلوبة أكبر بين الذكور واإلناث؟ كيف تفس

ر ذلك؟ ٦ عند أي عمر يكون الفرق في عدد السعرات الحرارية المطلوبة أصغر بين الذكور واإلناث؟ كيف تفس

تحقق

٧ كيف يمكنك استخدام الطرح للتحقق من إجابتك؟

حل مسألة أخرى

٨ في أي األعمار يتساوى الفرق في عدد السعرات الحرارية المطلوبة؟

٠ ١٠ ١٤ ١٨ ٢٢ ٢٦ ٣٠ ٣٤ ٣٨ ٤٢ ٤٦ ٥٠ ٥٤

٢٠٠٠

٣٠٠٠

٤٠٠٠

السعرات الحرارية لكل عمر

وبةطلالم

ية رارلحت اعرالسد اعد المفتاح ذكر أنثى

25

päÉfÉ«ÑdG o¢VôY oIóMnƒdG(Ü) ¤hC’G

وظيفة على للحصول مناسبة فرصة اإلعالن هذا يبدو هل مرموقة؟

صعوبة اعتبارك في وضعت إذا مذهال المرتب يكون لن الوظيفة ومهامها.

فإذا نظرنا مثال إلى المهام الملقاة على أي وزير، سنجد أنه هذه البيانات. من هائلة كميات ر ويفس ينظم يوم كل في ا بالنسبة إلى اتخاذ القرارات التي البيانات هامة وحرجة جد

تؤثر في حياة ماليين الناس.هي للبيانات أفضل فهما تتيح قد التي الطرق إحدى الرياضيات؛ فأدوات الرياضيات، مثل التمثيالت استخدام البيانية والتمثيالت البيانية، والخطوط التكرارية، البيانية في تساعد كلها واألوراق، الساق ومخططات باألعمدة،

تصنيف البيانات وتجسيدها.

p샪£dG pÜÉÑ°û∏d mπªY oá°Uôa

وظيفة مرموقة بمرتب قدره ٠٠٠ ٨ دينار

شهريا

١ أي نوع من البيانات يحتاج الوزير إلى تصنيفها وتنظيمها؟ ٢ لماذا يكون من المهم تنظيم البيانات؟

Displaying Data

26

تنظيم البيانات استكشف

سوف تتعلم

تنظيم البيانات باستخدام العالمات التكرارية والجداول

التكرارية.استخدام النقاط المجمعة

لتوضيح شكل مجموعة البيانات.

من االستخدامات

يستخدم منفذو اإلعالنات الجداول التكرارية، والنقاط

المجمعة لتنظيم ونقل البيانات . عن الرأي العام

المصطلحات األساسية

عالمات تكرارية جداول تكرارية

تمثيل بياني بالنقاط المجمعة

عة لعرض البيانات بالتمثيالت صلة الدرس في الجزء السابق درست طرقا متنو البيانية، ولكن قبل عرضها يجب تنظيمها

pá© sªéŸG p•É≤ædÉH tÊÉ«ÑdG oπ«ãªàdGh , oáqjQGôμàdG o∫hGó÷Gh , oáqjQGôμàdG oäÉeÓ©dG 4-1

يبين الجدول التالي النسب المئوية التقريبية لعدد سكان المحافظات الكويتية مقارنة مع عدد سكان دولة الكويت والبالغ ٨١٣ ٤٤١ ٣ نسمة و ذلك وفقا إلحصاء ديسمبر

عام ٢٠٠٨ (وزارة التخطيط).

ا باستخدام النسب المئوية. ١ نظم البيانات تصاعدي٢ كم محافظة نسبة عدد سكانها أكبر من ١٥٪؟

ا من نسبة عدد سكان ٣ أي محافظتين مجموع نسب عدد سكانهما قريب جدالفروانية؟

النسبة المئوية عدد السكان المحافظة

٪١٨,٨ ٣١٣ ٦٤٨ األحمدي

٪١٤,٦ ٠٩٩ ٥٠٢ الكويت (العاصمة)

٪٢٦,٤ ٣٦٠ ٩٠٨ الفروانية

٪٢١,٥ ٨٨١ ٧٣٨ حولى

٪١٢,٢ ٦٧٤ ٤٢٠ الجهراء

٪٦,٥ ٤٧٥ ٢١٠ مبارك الكبير

Tallies, Frequency Tables and Line Plots

27

تعلم العالمات التكرارية والجداول التكرارية والنقاط المجمعة

درجات اختبار الرياضيات٥٨ ٦٤ ٧٧ ٩٥ ٨١

٦١ ١٠٠ ٩٢ ٧٩ ٦٢

٩١ ٨٣ ٨١ ٥٥ ٨٣

٩٥ ٨١ ٧٢ ٨٣ ٧٥

تذكرالمدى = أكبر قيمة - أصغر قيمة

الفئة ٥٠-تعني من ٥٠ إلى أقل من ٦٠

الفئة ٦٠-تعني من ٦٠ إلى أقل من ٧٠

تصبح بعض البيانات أكثر إذا تنظيمها في سهولة مجموعات في وضعت الطريقة هذه ر توف حيث أكثر وبيانات أقل فئات

لكل فئة.

لحل فكرة مفيدة المسائل

العالمات التكرارية: تستخدم لتنظيم مجموعة ضخمة من البيانات، وكل عالمة تكرارية ح ظهور قيمة من البيانات مرة واحدة. توض

: يمكن أن يساعدك على تنظيم البيانات بسرعة، وكل قيمة تظهر في الجدول التكراريالبيانات يتبعها عدد مرات تكرارها.

مثال (١)يوضح الجدول التالي ما يدخره طالب فصل في إحدى المدارس المتوسطة من الدنانير في شهر؛

علما بأن الفصل فيه خمسة وعشرون طالبا.

هناك ٤ طالب يدخر كل منهم ٥ دنانير في الشهر، و٩ طالب يدخر كل منهم ٦ دنانير في الشهر، و١٠ طالب يدخر كل منهم ٧ دنانير في الشهر، وطالبان يدخر كل منهما ٨ دنانير في الشهر.

حاول أن تحل

ن جدوال تكراريا لدرجات االختبار مستخدما (أ) كوالفئات التالية:

- ٦٠- ، ٧٠ -، ٨٠ -، ٩٠(ب) ما عدد الطالب الذين حصلوا على ٨٠ -؟ما عدد الطالب الذين حصلوا على أقل من ٧٠؟

ما يدخره طالب الفصلالمبلغ بالدينار

اسمالطالب

المبلغ بالدينار

اسم الطالب

المبلغ بالدينار

اسم الطالب

المبلغ بالدينار

اسم الطالب

المبلغ بالدينار

اسمالطالب

٦

٥

٨

٦

٧

جاسم

حسن

عبد الرحمن

صالح

سامي

٦

٥

٨

٧

٦

خالد

مشعل

أنور

عبد اهللا

ثامر

٧

٧

٧

٧

٧

سليمان

عيسى

وليد

محمد

فيصل

٧

٦

٥

٧

٦

وائل

يوسف

فوزي

خليفة

فهد

٦

٥

٦

٦

٧

مشاري

أحمد

فارس

حمد

سيف

عد العالمات التكرارية وأوجد التكرارات

اكتب عالمات تكرارية لكل وحدة بيانات

تنظيم المبلغ بالترتيب

التكرار عالمات تكرارية المبالغ٤ ٥٩ ٦١٠ ٧٢ ٨

28

ط المكالمات الهاتفية اليومية متوس

٢ ٥ ٥ ٣ ٢٤ ٣ ٣ ٠ ١٤ ٣ ٣ ٥ ١٤ ١ ١ ٣ ٢

بالرياضة الصلة

تعتبر لعبة كرة القدم من أكثر األلعاب شيوعا في دولة

الكويت.

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦

النقاط المجمعة: يبين التمثيل البياني بالنقاط المجمعة شكل مجموعة من البيانات، تمثل فوق ح في ما يلي، وبدال من خط أعداد وهو يماثل مجموعة من العالمات التكرارية كما هو موضاستخدام العالمات التكرارية، نستخدم العالمة × لتوضيح ظهور قيمة من البيانات مرة واحدة.

مثال (٢)مثل البيانات التالية باستخدام النقاط المجمعة:

يوضح التمثيل البياني بالنقاط المجمعة أن العدد ٢ هو عدد األهداف األكثر شيوعا، وأن العددين ٠،٦ هما عدد األهداف األقل شيوعا. ٣ ،٤ ،٥ لها عدد التكرارات نفسه.

حاول أن تحل

الجدول المجاور يوضح نتائج استطالع رأي ٢٠ طالبا في ط عدد المكالمات إحدى المدارس المتوسطة، ويبين متوس

الهاتفية اليومية التي يجريها كل منهم. مثل البيانات باستخدام النقاط المجمعة.

ما هو االنطباع الذي يوضحه التمثيل البياني بالنقاط المجمعة؟

١ ما أوجه الشبه بين جدول العالمات التكراري والتمثيل بالنقاط المجمعة؟ وما أوجه االختالف؟

٢ هل يمكن عرض البيانات نفسها باستخدام جدول العالمات التكراري والنقاط ر إجابتك. المجمعة؟ فس

تفحص أن المفيد مــن في تبدأ أن قبل البيانات، ألن ــهــا؛ تــكــرارات حــصــر عن فكرة سيعطيك ذلك ضخامة أو صغر حجمها.

لحل فكرة مفيدة المسائل

من فهمك تحقق

العالمة التكرارية خر المبلغ المد

٥

٦

٧

٨

عدد األهداف التي تم إحرازها في مباريات دوري الشباب لكرة القدم

٢ ٠ ٣ ٣ ٥ ٢٢ ٢ ١ ١ ٥ ٢١ ٦ ٢ ٤ ٤ ٢

٥ ٦ ٧ ٨

خر المبلغ المد

29

ر التمثيل البياني باألعمدة، واآلن سوف صلة الدرس إنك تعرف كيف تقرأ وتفس .تتعلم صنع التمثيل البياني باألعمدة

pIóªYC’ÉH tÊÉ«ÑdG oπ«ãªàdGh oáLsQóŸG o¢ù«jÉ≤ŸG 5-1سوف تتعلم

صنع التمثيل البياني باألعمدة.

من االستخدامات

يستخدم المحللون السياسيون التمثيل البياني باألعمدة، لتحديد شعبية المرشحين لعضوية مجلس

األمة.

المصطلحات األساسيةج مقياس مدر

فترة طول الفترة محور رأسي محور أفقي

مدى

المقاييس المدرجة والتمثيل البياني باألعمدة استكشف

التمثيل البياني باألعمدة: هو طريقة مرئية لعرض البيانات ومقارنة البيانات العددية.

المقياس المدرج للتمثيل البياني باألعمدة: هو «مسطرة» لقياس ارتفاعات األعمدة.

د على القياس الفترات: هي تقسيمات متساوية تحدلتجعله أسهل في القراءة.

طول الفترة = نهاية الفترة - بداية الفترة.. والخطوط التي يبنى عليها التمثيل البياني باألعمدة هي المحور األفقي والمحور الرأسي

يبين الجدول التالي عدد الناخبين المقيدين بكشوف االنتخابات في دولة الكويت خالل شهر مايو ٢٠٠٩ وذلك في الدوائر الخمس.

١ يمكنك استخدام البيانات التي سجلتها على صفحة spreadsheet في صنع تمثيل بياني باألعمدة.

٢ استخدم البيانات التي سجلتها في الجدول في صنع تمثيل بياني آخر باألعمدة، ج. مستخدما طول فترة أصغر للمقياس المدر

٣ استخدم البيانات التي سجلتها في الجدول في صنع تمثيل بياني ثالث باألعمدة، ج. مستخدما طول فترة أكبر للمقياس المدر

ر في شكل التمثيل البياني باألعمدة. ج يؤث ر كيف أن اختيار المقياس المدر ٤ فس

المحور الرأسي

المحور األفقي

فترات

سقياالم

عدد الناخبين الدائرة

١٣٢ ٦٩ األولى

٤٧٣ ٤٣ الثانية

٥٨٧ ٦٢ الثالثة

٨٨٢ ٩٩ الرابعة

٧١٦ ١٠٩ الخامسة

Scales and Bar Graphs

30

استنباط المعلومات من الرسوم البيانية استكشف

يشير المدى في أي مجموعة من البيانات إلى الفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة لهذه المجموعة. وأكبر قيمة في مجموعة البيانات المجاورة هي

٣١، وأصغر قيمة هي ٢٨، والفرق بين ٣١ و٢٨ هو ٣، أي أن المدى هو ٣.

وإذا كانت البيانات في مجموعة منتشرة باعتدال دون تحيز من أصغر قيمة إلى أعلى قيمة، فإنه من

األفضل في التمثيل البياني باألعمدة أن نبدأ المقياس من العدد صفر.

مثال (١)

أنشأ بعض التالميذ في المدرسة «نادي التراث» وقاموا

ف المواطنين الكويتيين بوضع ملصقات وكتيبات تعر

بتراث بلدهم.

استخدم البيانات لصنع تمثيل بياني باألعمدة.

مثل كل صف بعمود رأسي له العرض

نفسه، وأعط كل عمود اسما، ثم ضع

. عنوانا للتمثيل البياني

استنبااطططططط اللللللمعللللللوماات من اللللللرسوم اللللللبياانيةةة المقاييس المدرجة والتمثيل البياني باألعمدةااستكككككككككشففف تعلم

الحساب الذهنيكل عدد ينتهي بـ ٠ أو ٥ يمكن تقسيمه

بالتساوي إلى مجموعات يتألف كل

منها من ٥.

الناس ف ــعــر ي أحيانا من بقولهم: «الــمــدى» ــر) إلى ــدد األصــغ ــع (ال(العدد األكبر). يمكنك هذه مــدى إن ــقــول الالبيانات من المجموعة

«من ٢٨ إلى ٣١».

هل تعلم؟

عدد األيام في الشهر

٣٠ ٣١ ٢٨ ٣١٣١ ٣١ ٣٠ ٣١٣١ ٣٠ ٣١ ٣٠

عدد التالميذ من كل صف الصف١٧ األول

٤ الثاني

١٥ الثالث

٤ الرابع

٢ الخامس

يجب أن تكون أعلى قيمة للمقياس أكبر من ١٧؛ واألعداد التي آحادها صفر من السهل التعامل معها، وتقسيمها إلى فترات، ولذلك

فإن ٢٠ يعد اختيارا مناسبا لقمة المقياس.

أصغر عدد في البيانات هو ٢، والبيانات منتشرة باعتدال دون تحيز عبر المدى من ٢ إلى ١٧، ولذلك فإن الصفر هو اختيار

مناسب لبداية المقياس.

من السهل تقسيم ٢٠ إلى فترات من خمسات.

٠٥١٥٢٠٢٥

يمكنك أيضا استخدام فترات طولها ٢ أو ٤ أو ١٠.

ثلثالا

نيالثا ابعالر

ولاأل

سخام٠ال

٥

١٠

١٥

٢٠

التالميذ المشاركون في " نادي التراث "

ميذتالد العد

الصفوف

31

تتجمع أحيانا كل قيم البيانات عند أعلى قيمة في المدى، وأحيانا ال نجد بيانات لجزء كبير ئ» المقياس: ل في هذين الموقفين أن «تجز من المدى. وقد تفض

مثال (٢)مثل البيانات التالية باألعمدة:

بما أن قيم كل البيانات تبدأ من ٣١٠ فأكثر، وربما تريد أن تتجاهل القيم بين صفر و٣١٠، وذلك بتجزيء المقياس لتوفير مسافة. ومع ذلك، إذا أردت أن تبين االرتفاعات الحقيقية لكل األعمدة،

فاستخدم المقياس الكامل الذي يبدأ من الصفر، مثل التمثيل البياني الموضح إلى اليسار.(ب) (أ)

حاول أن تحل

مثل بيانيا باألعمدة عدد سنوات الحكم لبعض أمراء دولة الكويت في ما يلي:١ الشيخ جابر األحمد الصباح (٢٩ سنة)٢ الشيخ صباح السالم الصباح (١٢ سنة)

٣ الشيخ عبد اهللا السالم الصباح (١٥ سنة)٤ الشيخ أحمد الجابر الصباح (٢٩ سنة)

ر المدى في مقياس وفترات التمثيل البياني باألعمدة؟ ١ كيف يؤثأ في التمثيل البياني باألعمدة؟ أعط مثاال. ٢ متى يجب عليك استخدام مقياس مجز

ر إجابتك. ٣ هل يمكن استخدام مقياس واحد لتمثيل بياني باألعمدة؟ فس

البحيرات العظمى

طول البحيرات العظمى

سوبيريور أنتاريو متشجن هيورن إيري البحيرة

٥٦٣ ٣١٠ ٤٩٤ ٣٣٠ ٣٨٨ الطول بالكم

ريإي

رنهيو

جنتشم

ريوأنتا

وريريسوب

٠

١٥٠

٣٠٠

٤٥٠

٦٠٠

البحيرات العظمى

ريإي

رنهيو

جنتشم

ريوأنتا

وريريسوب

٠٣٢٠

٤٠٠

٤٨٠٥٦٠

٦٤٠البحيرات العظمى

من فهمك تحقق

32

سوف تتعلم تنظيم المجموعات

الضخمة من البيانات باستخدام مخططات الساق واألوراق.

من االستخداماتيستخدم علماء الحفريات

مخططات الساق واألوراق لدراسة أحجام مجموعات

الديناصورات.

المصطلحات األساسية مخطط الساق واألوراق.

يبين الجدول أدناه التقرير اإلحصائي السنوي عن التعليم في دولة الكويت لعام ٢٠٠٩-٢٠١٠

عدد المدارس حسب كل مرحلة

* ال يوجد " مختلط " في المدارس العربية الخاصة.

ا. ب مراحل التعليم الحكومي وفق عدد المدارس تصاعدي ١ رت٢ في أي مرحلة من مراحل التعليم الخاص كان عدد المدارس هو األكبر؟

٣ في أي مرحلة من مراحل التعليم الحكومي يكون هناك تقارب في عدد مدارس البنين مع عدد مدارس البنات؟

ترتيب البيانات استكشف

صلة الدرس رأيت كيف يساعد التمثيل البياني بالنقاط المجمعة على تنظيم البيانات .المفردة. وفي بعض األحيان ستحتاج إلى تنظيم البيانات في فترات

p¥GQhC’Gh p¥É°ùdG oäÉ£ s£fl 6-1

المرحلة من التعليمعدد المدارس

التعليم الحكومي

رياض األطفال

االبتدائية

المتوسطة *

الثانوية *

١٩٧

٢٤٨

٢٠١

١٣٣

١٩٧

٣٣

١٢٦

٩٨

٦٢٧١

١٠٣

١٠١

١٢٢

١٢٧

١٢٦

٩٦٩٠١٨

٩٩٣١

٢٧٦٩٢٨٢٤٤٩

٩

-بنين-

-

-

-

بناتمختلط

بنينبناتمختلط

بنينبناتمختلطبنينبنات

مختلطبنينبنات

مختلط

بنينبنات

مختلطبنينبنات

مختلطبنينبنات

مختلط

التعليم الخاصمدارس عربية + مدارس أجنبية

Stem-and-Leaf Diagrams

33

مخططات الساق واألوراق تعلم

المبالغ التي ادخرها ١٧ طالبا خالل ٣ شهور بالدينار

٥٥ ٥٦ ٥١ ٤٢٦٠ ٥١ ٥٤ ٥١٥٦ ٥٥ ٤٣ ٦٢٦٤ ٦٩ ٥٢ ٦١

٤٦

٤٧٨

الساقاألوراق

٠

٧ ٤٧٠ ٧١٢ ٨٨٦ ٦

٦ ٣ ٢٢ ٦ ٥ ١ ٤ ١ ٥ ٦ ١٤ ٩ ١ ٢ ٠

٤٥٦

الساقاألوراق

٦ ٣ ٢٦ ٦ ٥ ٥ ٤ ٢ ١ ١ ١٩ ٤ ٢ ١ ٠

٤٥٦

الساقاألوراق من المفيد أن تكتب كل السيقان قبل البدء في كتابة األوراق.

فكرة لحلمفيدة المسائل

مخطط الساق واألوراق هو تمثيل بياني يبين شكل البيانات تبعا لقيمها المكانية. «الورقة» هي عادة الجزء من العدد الذي يوجد جهة اليمين. «الساق» هي الجزء من العدد الذي يوجد

نا من منزلتين، فإن يسار الورقة و عندما يكون العدد مكوالورقة هي آحاد العدد والساق هي عشرات العدد.

مثال (١)حلل شكل البيانات في الجدول بصنع مخطط الساق نا من عمودين، واكتب واألوراق. ارسم جدوال مكوالساق في العمود األيسر والورقة في العمود األيمن،

وبما أن كل البيانات تمثل مبالغ مالية في حدود األربعين أو الخمسين أو الستين دينارا، لذلك فإنك

تحتاج فقط إلى ثالثة أعداد في الساق هي ٤، ٥، ٦، ولكل منها. اكتب رقم آحاد العدد والذي يمثل

«الورقة» في العمود األيمن على السطر نفسه وذلك بما يتالءم مع الساق.

أعد رسم المخطط مرتبا األوراق من األصغر إلى األكبر.

خرة المخطط البياني السابق يوضح مدى البيانات من ٤٢ إلى ٦٩، ونالحظ أن أكثر المبالغ المدخرة كانت في حدود الخمسينات من الدنانير. تكرارا هي ٥١ دينارا، وأن أغلب المبالغ المد

الحظ أن: مخطط الساق واألوراق يجمع البيانات في فترات، كما في الجداول التكرارية ذي مئات.

حاول أن تحل

اعمل مخططا للساق واألوراق لدرجات ٢٨ طالبا في مادة الرياضيات

٥٤ ٤٣ ٦٢ ٧٤ ٨٩ ٩٧ ٥٩ ٤٧ ٦٠ ٦٢ ٨٧ ٥٠ ٩٢ ٨١

٥٣ ٧٨ ٧٦ ٨٥ ٩٩ ٧١ ٤٦ ٥٩ ٤٥ ٦٧ ٦٦ ٦٠ ٨٢ ٥٣

34

يحتاج كل من جاسم ونبيل إلى وضع خطة إلقامة حفل ألعضاء جمعية «أصدقاء مرضى را نوع الحفل الذي سيقام، كانا في حاجة إلى معرفة توزيعات أعمار السرطان» وقبل أن يقر

األعضاء.أعمار أعضاء جمعية «أصدقاء مرضى السرطان»

١١ ١٩ ٣٤ ٩ ٢١ ٤١ ٢٦ ١٦ ٣٤ ٢١٤١ ٣٢ ١٤ ٣٢ ٥٩ ٢١ ١٨ ٢٤ ٣٩ ٢٠٢٠ ١٣ ٢٨ ١٦ ٢٦ ٢٧ ٤٣ ٣٦ ٢١ ١٤

١ ما االستنتاجات التي يمكن لكل من جاسم ونبيل التوصل إليها من خالل عرضهما

للبيانات؟٢ في أي أغراض يمكنك استخدام أي من العرضين استخداما جيدا مثل اآلخر؟

متى يكون لعرض فهد مميزات أفضل من عرض جاسم؟ ومتى يكون لعرض جاسم مميزات أفضل من عرض نبيل؟

١ ما أوجه التشابه بين مخطط الساق واألوراق والنقاط المجمعة؟ وما أوجه االختالف؟٢ لماذا يكون مخطط الساق واألوراق مفيدا عند محاولة تنظيم مجموعة ضخمة من

البيانات؟

مـــا؟رأيك

ما رأيك؟

من فهمك تحقق

ر … نبيل يفكسوف أعمل مخطط الساق

واألوراق.الساق األوراق ٠ ٩ ١ ١٣٤٤٦٦٨٩ ٢ ٠٠١١١١٤٦٦٧٨٣ ٢٢٤٤٦٩ ٤ ١١٣ ٩ ٥٥

ر … جاسم يفكا ذا مئات. سوف أعمل جدوال تكراري

التكرار العالمات الفترات١ ١ - ١٠١٠ ١١ - ٢٠٩ ٢١ - ٣٠٦ ٣١ - ٤٠٣ ٤١ - ٥٠١ ٥٠ وأكثر

35

päÉfÉ«ÑdG o∞°Uh oIóMnƒdG(`L) ¤hC’G

األنشطة الرياضية في الكويت

الصيد نادي داخل الوطني الرماية مركز وجود من الرغم على الرماية: والفروسية، يعتبر هذا المركز كيانا منفصال ويمكن ألي شخص استخدام مرافقه

في مقابل رسوم رمزية.

تتم حيث الكويت، في المحببة الرياضات من السلة كرة تعتبـر السلة: كرة ممارسة هذه الرياضة في جميع النوادي الرياضية الرئيسية.

الصيد نادي مثل أماكن عدة في بولينغ مالعب الكويت في يوجد البولينغ: والفروسية ومنتزه الخيران وحديقة الشعب وغيرها.

الفروسية: يقع نادي الصيد والفروسية على الطريق الدائري السادس. رياضة الرياضية والحفالت السباقات وإلقامة الخيل لركوب مسارات النادي يضم ومساحة ومطعما بولينغ وملعب واالسكواش للتنس وقاعات سباحة وحمام

للرياضات الداخلية.

على الشامية بوابة عند الجليد على التزلج صالة تقع الجليد: على التزلج بمساحتها إحداهما تتميز حلبتين التزلج صالة وتضم األول. الدائري الطريق األخرى التزلج حلبة أما األولمبية، التزلج حلبات مساحة تساوي التي الكبيرة للسيدات واألطفال. يمكنك أيضا االشتراك في دورات صة ومخص فهي صغيرة من التزلج ومالبس معدات وشراء وتأجير الجليد على التزلج لتعلم تدريبية تفتح التزلج. صالة في الموجود الصغير المقهى وزيارة صة، المتخص المحالت وحتى صباحا ٠٩:٠٠ الساعة من السبت عدا يوميا الجليد على التزلج صالة

الساعة ٠٩:٠٠ مساء.

سباق السيارات: تقوم جمعية هواة مسابقة السيارات والدراجات البخارية التي تقع في النادي العلمي على الطريق الدائري السادس برعاية هذه الرياضة، وتقيم سباقات المركبات السريعة كل يوم خميس. تقام سباقات الدراجات البخارية من شهر مايو وحتى شهر أكتوبر، في حين تقام سباقات السيارات على مدار العام.

١ اذكر بعض األنشطة الرياضية في دولة الكويت.٢ كيف يمكنك استخدام البيانات لتحديد أفضل نشاط رياضي؟٣ في أي المواقف، بخالف األنشطة الرياضية، يمكنك استخدام

الرياضيات ؟

Describing Data

36

صلة الدرس تعلمت قسمة عدد علىعدد آخر، واآلن سوف تستخدم عملية القسمة .ط الحسابي لمجموعة من البيانات إليجاد المتوس

7-1سوف تتعلم

ط الحسابي أن تحسب المتوسلمجموعة من البيانات.

من االستخدامات

ط د مصانع السيارات متوس تحدأبعاد أجسام األشخاص عند

تصميم السيارة.

المصطلحات األساسية

ط الحسابي (وسط) المتوس

ط الحسابي (الوسط) المتوس تعلم

من فهمك تحقق

تذكرط الحسابي المتوس

لمجموعة من القيم ليس من الضروري أن يكون إحدى

هذه القيم.

ط الحسابي لمجموعة من البيانات: هو مجموع قيم هذه المجموعة مقسوما على عددها. المتوسمجموع القيم عدد القيم

ط الحسابي = أي أن المتوس

، اجمع كل قيم البيانات، ثم اقسم المجموع على عددها. ط الحسابي إليجاد المتوس

مثال (١)

إذا كانت الدرجات التي حصل عليها ١٠ طالب في المسابقة العلمية هي ٧، ٨، ٦، ٩، ٦، ٥،

٣، ٤، ٦، ٩ (الدرجات من ١٠)

ط الحسابي للدرجات التي حصل عليها الطالب فأوجد المتوس

مجموع القيم عدد القيم

= ط الحسابي المتوس

=

= ٦,٣ درجات

حاول أن تحل

ط الحسابي لثمن كرة القدم من األسعار التالية بالدينار: ١ أوجد المتوس١٢,٥٠ ، ١٦ ، ١٩ ، ٩,٥ ، ٣٩

ط الحسابي لعدد أهداف كرة القدم للمباريات التالية: ٢ أوجد المتوس٢ ، ٣ ، ١ ، ١ ، ٢ ، ٥ ، ٠ ، ٢ ، ١ ، ٣ ، ٠ ، ١ ، ٥

ط الحسابي بأنه «العدد الناتج من التقسيم المتساوي». أحيانا يعرف المتوس

ط هو أي من هذه القيم. إذا كان كل من قيم مجموعة بيانات، مساويا تماما لآلخر، فإن المتوس

ر إجابتك. ط الحسابي فكرة مقنعة عن البيانات؟ فس م المتوس ١ هل يقدط الحسابي لمجموعة من البيانات هو عدد من أعداد هذه المجموعة؟ ٢ هل المتوس

ر إجابتك. فس

٧ + ٨ + ٦ + ٩ + ٦ + ٥ + ٣ + ٤ + ٦ + ٩ ١٠

( o§°SƒdG) t»HÉ°ù◊G o§ u°SƒàŸGThe Meaning of Mean

37

صلة الدرس تعلمت كيف تنظم البيانات مستخدما الجداول التكرارية، وكيف تعرض شكل مجموعة بيانات باستخدام الخطوط البيانية أو مخطط الساق واألوراق.

.واآلن سوف تتعلم إيجاد قيم مجموعات بأكملها من البيانات

8-1سوف تتعلم

أن تحسب الوسيط والمنوال لمجموعة من البيانات.

من االستخدامات

يستخدم العاملون في مجال االستثمار العقاري الوسيط

والمنوال للمقارنة بين تكاليف المنازل المعروضة للبيع.

المصطلحات األساسية

وسيط منوال

استكشف األوسط واألكثر

الثقافة للجميعح الجدول التالي مجموع النقاط التي حققها ١٥ طالبا في إحدى المسابقات يوض

الثقافية على مستوى المنطقة التعليمية:

٣٢٦ مشعل ٣٦١ فيصل ٥١١ إبراهيم

٣٢٤ موسى ٣٦١ محمد ٤١٦ أحمد

٣١٩ مبارك ٣٤٢ سيف ٣٧٣ كامل

٣١٨ ناجي ٣٢٩ تامر ٣٧٣ خال

٣١٤ نبيل ٣٢٧ وليد ٣٦٣ صالح

١ العب مع زميل لك، يختار أحدكما عددا من البيانات المكتوبة، يخمن اآلخر ما العدد الذي اختاره زميله، وذلك كلما أمكن في أقل عدد من المرات، على أنه بعد كل

تخمين يجب أن يقول الشخص األول «أعلى من ذلك» أو «أقل من ذلك» أو «صحيح».٢ العب هذه المباراة مرتين، مع تبديل األدوار مع زميلك.٣ أي األعداد هو أفضل عدد يمكن تخمينه؟ ولماذا؟

٤ إذا اختار زميلك عددا بطريقة عشوائية، وكان عليك أن تخمن تخمينا واحدا، فما هو أفضل تخمين؟ ولماذا؟

ا (من ب تصاعدي وسيط مجموعة من البيانات هو العدد الذي يتوسط البيانات عندما ترتط األصغر إلى األكبر) وإذا كان لمجموعة البيانات عددان وسطان، فإن الوسيط هو متوس

هذين العددين.منوال مجموعة من البيانات هو المفردة أو القيمة األكثر شيوعا (تكرارا)، وإذا كانت كل

المفردات أو القيم تظهر مرة واحدة فلن يكون هناك منوال لهذه القيم، وإذا كانت هناك مفردات كثيرة تظهر عدة مرات متساوية، فإن كال منها هو «منوال».

تعلم الوسيط والمنوال

o∫GƒæŸGh o§«°SƒdGMedian and Mode

38

أمثلة

١ القيم التالية توضح الوقت بالدقائق الذي استغرقه ٩ طالب في اإلجابة عن أحد األسئلة في

مادة الرياضيات: ١٥، ١٤، ١٨، ١٤، ١٣، ١٦، ١٥، ١٧، ١٤

احسب الوسيط والمنوال للوقت المستغرق في اإلجابة عن هذا السؤال.

القيم مرتبة: - ١٣، ١٤، ١٤، ١٤، ١٥، ١٥، ١٦، ١٧، ١٨

الوسيط (القيمة التي تتوسط القيم بعد ترتيبها تصاعديا أو تنازليا) أي أن الوسيط هو القيمة الخامسة

فيكون ١٥. المنوال (القيمة األكثر تكرارا بين مجموعة القيم) أي أن المنوال هو ١٤.

٢ إذا كانت أجور ١٢ عامال بالدينار خالل أسبوع هي:

٣٧، ١١٤، ١٥٨، ١٥٤، ١٢٧، ٧٦، ٥٠، ٤٠، ٢٦، ٥٠، ٧٦، ١١٤

أوجد الوسيط والمنوال ألجور العمال في هذا األسبوع

القيم مرتبة: ٢٦، ٣٧، ٤٠، ٥٠، ٥٠، ٧٦، ١١٤، ١١٤، ١٢٧، ١٥٢، ١٥٤، ١٥٨

الوسيط (القيمة التي تتوسط القيم بعد ترتيبها تصاعديا أو تنازليا)

ط هاتين نالحظ أن هناك قيمتين تتوسطان بقية القيم هما ١١٤،٧٦ ولذلك فالوسيط هو متوس

القيمتين.

= ٩٥ دينارا ١٩٠٢

= ٧٦ + ١١٤

٢ الوسيط: =

المنوال: ٥٠ ،١١٤

حاول أن تحل

إذا كانت درجات الحرارة خالل ٧ أيام متتالية هي:

٣٥ ، ٣٣ ، ٣٤ ، ٣٧ ، ٣٤ ، ٣٤ ، ٣٦

أوجد الوسيط والمنوال لدرجات الحرارة خالل هذه األيام؟

ر إجابتك. هما أكبر: الوسيط أم المنوال؟ فس ١ ألي مجموعة من البيانات، أي

٢ وسيط مجموعة البيانات، هل يكون دائما أحد أعداد هذه المجموعة؟ وماذا عن

ر إجابتك. المنوال؟ فس

لمجموعة من القيم:القيم عدد كان إذا هو الوسيط فإن ا فرديالقيمة التي تتوسط القيم المرتبة أما إذا كان عدد ا فإن الوسيط القيم زوجيالحسابي ط المتوس هو للقيمتين اللتين تتوسطان

القيم بعد ترتيبها.

هل تعلم؟

من فهمك تحقق

39

حل المسائل والتفكير المنطقي

تعتبر لعبة كرة القدم من أكثر األلعاب شيوعا في دولة الكويت. ط الحسابي ١٠. نة من ١٠ أعداد بحيث يكون الوسيط لها ٨، والمتوس ١ التفكير الناقد: اكتب مجموعة من البيانات مكو

٢ التفكير الناقد: البيانات اآلتية تمثل العبي كرة القدم واألهداف التي أحرزوها في موسم كروي معين، والبيان عند جاسم مفقود، إذا كان وسيط مجموعة البيانات هو ١٣، والمنوال

هو ١٠، ١٣، فما هو البيان المفقود؟

ح ماذا تفعل إذا كانت مجموعة البيانات ٣ المجلة: صف كيف يمكنك إيجاد الوسيط لمجموعة بيانات. وصفك يجب أن يوضتحتوي على كل من رمز عدد زوجي أو رمز عدد فردي من القيم.

ط الحسابي لها ١٠. نة من خمسة أعداد مختلفة يكون المتوس ٤ التفكير الناقد: أوجد مجموعة بيانات مكوح طريقتك. وض

٥ اختر اإلستراتيجية: بفرض أنك حصلت على الدرجات اآلتية: ٩٣، ٨٤، ٨٩، ٨٧، ما الدرجة التي يجب أن تحصل عليها في ط الحسابي لدرجاتك ٨٨ درجة؟ االختبار القادم ليكون المتوس

ط الحسابي لمجموعة بيانات في حالة ما إذا أضفت عددا إلى البيانات، وهذا العدد الجديد ٦ التفكير الناقد: كيف يتغير المتوس؟ ط الحسابي يكون مساويا تماما للمتوس

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

بدر ١٣

جابر ١٠

جاسم ؟

فهد ١٠

أحمد ٧

حمد ١٥

يوسف ١٨

ناجي ١٤

محمود ١٩

حميد ١٢

40

p áauô£àŸG p IqPÉ°ûdG p º«≤dG oäGÒKCÉJ(p äÉfÉ«ÑdG p äÉYƒªéŸ iôNC’G p º«≤dG øY p Ió«©ÑdG) 9-1

سوف تتعلم

تحديد ما إذا كانت القيم فة (البعيدة عن القيم المتطر

األخرى لمجموعات البيانات) ر على تحليل مجموعة تؤث

البيانات.

من االستخدامات

على الباحثين في مجال التدريب أن يتحققوا مما إذا

كانت بياناتهم قد تأثرت بالقيم فة (القيم البعيدة عن القيم المتطراألخرى لمجموعات البيانات)

قبل استخدامها في التوصية بإجراءات جديدة للتدريب.

المصطلحات األساسية

فة قيمة متطر

فة) القيم الشاذة (المتطر استكشف

أضخم سمكة!ح في إحدى مسابقات صيد األسماك قام ٨ متسابقين بعرض أكبر األسماك كما هو موض

في الجدول.

حمد طارق سعد حسن علي محمد أحمد فهد المتسابق

٦ ٣٠ ٥ ٦ ٦ ٤ ٧ ٨ وزن السمكة بالكجم

ط الحسابي والوسيط والمنوال للبيانات. ١ أوجد المتوس٢ إذا تم استبعاد طارق من المسابقة الستخدامه أدوات غير مرخصة، فاحسب

المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال.ط الحسابي والوسيط والمنوال؟ ٣ ما تأثير بيانات «طارق» على كل من المتوس

فة): هي عدد في مجموعة البيانات، مختلف تماما عن بقية األعداد. القيمة الشاذة (المتطر. ط الحسابي ولها تأثير كبير على المتوس

حة في الجدول هو ط الحسابي لدرجات الحرارة اليومية المرتفعة الموض فمثال، المتوسط ٤٦، بفرض أن درجة الحرارة يوم السبت أصبحت ٢٢°، فانظر ماذا سيحدث للمتوس

: الحسابي٤٤ + ٤٧ + ٤٩ + ٤٦ + ٤٤ + ٢٢ = ط الحسابي ٦ المتوس

٤٢ = ٢٥٢٦ =

الحرارة لدرجات الحسابي ط المتوسخمس من أقل وهو ،°٤٢ يساوي الست الدرجات من للحرارة درجات نتيجة ط المتوس انخفض وقد المعطاة، فة وهي ٢٢°. انجذابه تجاه القيمة المتطر

فة تأثيرات القيم المتطر تعلم

درجات الحرارة اليومية المرتفعة في بعض أيام شهر أغسطس (درجة مئوية)

٤٤٤٧٤٩٤٦٤٤

االثنينالثالثاءاألربعاءالخميسالجمعة

صلة الدرس لقد عرفت ثالث مفردات يمكنك أن تصف بها مجموعة بيانات وهي ر القيم التي تختلف ط الحسابي والوسيط والمنوال واآلن سوف ترى كيف تؤث المتوس

.ط الحسابي والوسيط والمنوال كثيرا عن بقية القيم في مجموعة البيانات على المتوس

The Effects of Outliers

41

عدد الطلبة المشتركين في رحلة «اعرف بلدك»

الثاني عشر

الحادي عشر العاشر التاسع الثامن السابع السادس الخامس الصف

٢٣ ٩٦ ٢٥ ١٩ ٢٧ ١٤ ١١ ٩ عدد الطلبة

من فهمك تحقق

فة لدرجة ح أن الوسيط قد تغير تغيرا طفيفا بإضافة القيمة المتطر الجدول المجاور يوضحرارة يوم السبت، أما المنوال فلم يتغير.

فة، فإنه يمكن دائما تمثيلها مما سبق يتضح أنه إذا كانت مجموعة البيانات فيها قيمة متطرط الحسابي غالبا ما ينجذب بقدر كبير تجاه بشكل أفضل بالوسيط أو المنوال. والمتوس

فة وبالتالي فهو ال يمثل مجموعة البيانات في هذه الحالة بطريقة جيدة. القيمة المتطر

مثال (١)فة ط الحسابي للبيانات الموضحة في الجدول بالقيمة المتطر أوجد الوسيط والمنوال والمتوس

ومن دونها.

حاول أن تحلفة لبيانات فة، ومن دون القيمة المتطر ط الحسابي بالقيمة المتطر أوجد الوسيط والمنوال والمتوس

الجدول التالي:

فة إلى مجموعة البيانات؟ ١ لماذا ال يتغير المنوال عندما تضاف القيمة المتطرران بطريقة مختلفة على فة الصغيرة تؤث فة الكبيرة والقيمة المتطر ٢ هل القيمة المتطر

ر إجابتك. مجموعة البيانات؟ فس

ارتفاعات ناطحات السحاب في إحدى المدن

االرتفاع بالمتر ناطحات السحاب

٠١٢ ١٤٠٠٣٥٦٣٤٥

الناطحة األولى

الناطحة الثانية

الناطحة الثالثة

الناطحة الرابعةفة بالقيمة المتطر

٣٧٨ = ٧٥٦ ٢

= ٤٠٠ + ٣٥٦

٢ = الوسيط

ال يوجد منوال= ٥٢٨,٢٥ مترا

٢١١٣ ٤

= ٤٠٠+ ٣٥٦ + ٣٤٥ + ١٠١٢

٤ = ط الحسابي المتوس

فة من دون القيمة المتطر٣٥٦ = الوسيط

ال يوجد منوال= ٣٦٧ مترا

١١٠١ ٣

=

٤٠٠+ ٣٥٦ + ٣٤٥ ٣

= ط الحسابي المتوس

من االثنينإلى السبت

من االثنين إلى الجمعة

٤٢٤٥٤٤

٤٦٤٦٤٤

ط الحسابي المتوس

الوسيطالمنوال

42

IóMƒ∏d »ª«¶æJ §£fl¤hC’G pIóMnƒ∏d w»ª«¶æJ l§ s£fl

وصف البيانات

فة قيم متطر

نزعة

مخطط الساق واألوراق

جدول تكراري

النقاط المجمعة مخطط االنتشار

الصور

الدائرة

الخط

األعمدة

قياسات

المنوال

الوسيط

ط المتوسالحسابي

عرض البيانات قراءة البيانات

43

44

ÉgÒ°ùØJh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG IAGôbIóMƒdG(CG) ¤hC’G

oIóMnƒdGoá«fÉãdG

» تقيس بعد النقطة التي معادلة «الوميض والدوييومض عندها البرق، وذلك بقسمة عدد الثواني التي تمر بين حدوث الوميض ودوي الرعد على

٣ لتنتج المسافة بالكيلومتر.

تستخدم إحدى المجالت الفنية هذه القاعدة لترتيب األلبومات الغنائية التي ستصبح على قمة ٤٠ ألبوما غنائيا: قيمة األلبوم الغنائي = (عدد

النسخ المباعة من األلبوم ^ ٠,٤) + (عدد مرات إذاعته في اإلذاعة ^ ٠,٦)

عندما تتحدث عن المزادات الفنية، فإنك ستحتاج إلى استخدام األعداد الكبيرة؛ فاللوحة التي رسمها الرسام الهولندي الشهير «فنسانت

ڤان غوغ» واسمها «صورة الدكتور جاشيه»، بيعت بمبلغ يعادل ١٥ مليون دينار.

oΩƒ∏©dG

lá«∏°ùJ

oÜGOB’Gh o¿ƒæØdG

pÈ÷ÉH pÜÉ°ù◊G o§HQ

4444

45

láq«°SÉ°SCG láq«°VÉjQ l QÉμaCG

المعادلة هي جملة رياضية تحوي متغيرا أو أكثر، وعالقة المساواة يمكن استخدامها لتمثيل مواقف حياتية حقيقية.

المتغير هو رمز رياضي يمثل قيمة مجهولة أو مجموعة من القيم.

عندما تكون اإلجابة الدقيقة غير ضرورية، فإنه يمكن استخدام إستراتيجيات التقدير لتحديد أقرب إجابة مناسبة.

يمكن استخدام إستراتيجيات الحساب الذهني في إجراء الحسابات دون استخدام الورقة والقلم أو اآللة الحاسبة.

يمكن كتابة رموز األعداد الكبيرة باستخدام منزالت عددية جديدة. ساعدت ثقافات عديدة على تطوير علم الجبر،

فأول من استخدمه هم المصريون، وأضاف اإلغريق استخدام الحروف للتعبير عن رموز

األعداد المجهولة، ثم أضاف العرب الصفر عند دراستهم لعلم الجبر.

يستخدم الناس في الصين المعداد ليساعدهم على إجراء الحسابات. وكل عمود من الخرز في

المعداد يمثل قيمة مكانية: اآلحاد، العشرات، المئات. ويمكنك أن تجمع، وتطرح، وتضرب،

وتقسم األعداد بتحريك الخرز إلى أعلى وأسفل.

oáq«YɪàL’G oäÉ°SGQódG

p⁄É©dG o܃©°T

pIóMnƒdG o höûe

افترض أنك تخطط لتكريم شخص مبدع في المجتمع أو تهنئة فريق كرة القدم

. الفائز ببطولة الدورير مكان الحفل ووقته وأنواع الزينة عليك أن تقروالمرطبات وبرنامج الحفل. يجب عليك وضع خطة لالحتفال، تراعي فيها كيفية توفير تكاليف

االحتفال، وما قيمة المبلغ الذي سيدفعه كل طالب . في الصف

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

Connecting Arithmetic to Algebra

45

46

قبل أن تحل المسألة عليك أن تفهم المعطيات المذكورة

اقرأ المسألتين التاليتين ، ثم أجب عن األسئلة المطروحة عليهما :

من أشهر براكين إندونيسيا افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

د الجمل التي ال تحتوي على معلومات ضرورية، مع مالحظة أنه لكل من المسائل المعطاة، حدفي بعض المسائل ربما تحتوي جميع الجمل على معلومات ضرورية:

تحديد المعلومات غير الضرورية:

لحل المشكالت الحياتية، فإنك

تحتاج إلى أن تفهم البيانات

المتاحة؛ إذ ستحتاج إلى بعضها

للتوصل إلى اإلجابة. إن تحديد

المعلومات التي تساعدك على

التوصل إلى حل التساؤل

المطروح، يعد خطوة هامة

. للتوصل إلى الحل

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

إڤرست، جبل هو العالم، في جبل أعلى وارتفاعه ٧٠٨ ٨ أمتار تقريبا، ويوجد في يليه الذي والجبل آسيا، قارة في النيبال في االرتفاع هو (كي تو)، وارتفاعه يقل ٢٣٣ مترا تقريبا عن جبل إڤرست. وثالث كانشينجونجا، جبل هو جبل أعلى

وارتفاعه ٤٦٢ ٨ مترا تقريبا.تو) (كي جبلي بين االرتفاع فرق ما

وكانشينجونجا؟

في قارة أنتاركتيكا (قارة غير مأهولة ( بالسكان تقع حول القطب الجنوبي

يوجد جبالن ارتفاعهما أكبر من٨٠٠ ٤ متر تقريبا، وعشرة جبال

ارتفاعاتها أكبر من ٢٠٠ ٤ متر، وتوجد ثالثة جبال تتراوح ارتفاعاتها بين

٥٠٠ ٤ و ٨٠٠ ٤ متر، أسماؤها: شن، التي الجبال عدد كم إيبرلي. جاردنر، ٤ و٥٠٠ ٤ ٢٠٠ بين أطوالها تتراوح

متر؟

جبل فوق النفايات من ا طن ٥٠ ثمة تسلقوا الذين األشخاص تركها إڤرست ا في المنطقة الجنوبية الجبل، منها ١٧ طنتقع والتي الجبل، قمم من قمتين بين عدد كم للجبل، الرئيسية القمة أسفل العثور يمكن التي الباقية النفايات أطنان

عليها فوق باقي الجبل؟

١٢

٣

pπFÉ°ùŸG uπM ≈∏Y oõ«cÎdG

46

oáq«q∏μdG oOGóYC’G

p¢VQC’G pÖcƒc øe ºμd ÉæpJÉq«–

هل نحن وحدنا في هذا الكون؟ التاريخ يخبرنا بمحاوالت اإلنسان استكشاف الفضاء بحثا عن اإلجابة. في عام ١٩٧٢ اتخذ العلماء منهجا مباشرا؛ إذ أطلقوا المركبة الفضائية «بايونير ١٠». وبعد أربعة عشر عاما عبرت «بايونير ١٠» مدار بلوتو، وأصبحت أول شيء من صنع اإلنسان يغادر نظامنا نا المحطات الفضائية عة لدراسة الكون، ويدور رواد الفضاء حول مدار األرض، ويهبطون على القمر. وتمد . ويستخدم العلماء تقنيات متنو الشمسيالبعيدة تصفنا وتدعو أي شخص بالمعلومات التي من المحال الحصول عليها من األرض. وقد أرسلت إشارات إلى النجوم والتلسكوبات المدارية يستقبل هذه الرسالة إلى زيارتنا. ومن أجل وصف الكون ودراسته، يجب على اإلنسان استخدام أعداد أكبر من المئات واآلالف، بل أكبر من الماليين.

دة مالئمة وفعالة للحديث عن األعداد الكبيرة. والرياضيات تمد اإلنسان بأدوات متعدوفي الوقت نفسه، انطلقت «بايونير ١٠» تجاه نجم بعيد يسمى روس ٢٤٨، ويجب أن تصل في عام ٦٠٠ ٣٤، إال إذا واجهها ما يعوقها؛ شيء أو

شخص ما!!

١ لماذا سوف تستغرق «بايونير ١٠» أكثر من ٠٠٠ ٣٢ عام لكي تصل إلى النجم روس ٢٤٨؟

٢ لماذا يقضي اإلنسان كثيرا من الوقت والجهد في محاولة الكشف عن وجود ؟ حياة في الفضاء الخارجي

٣ لماذا تحتاج إلى الرياضيات لتتعلم وتصف أشياء عن الكون؟

oIóMnƒdG(CG) oá«fÉãdGWhole Numbers

47

سوف تتعلمالقيم المكانية ألرقام األعداد.

كتابة األعداد :، - الشكل النظامي

- االسم اللفظي بالكلمات،- االسم اللفظي الموجز،

ل. - االسم المطو

من االستخداماتيجب أن يكون علماء الفلك

قادرين على قراءة رموز األعداد األكبر من المليارات وكتابتها عند

دراسة المسافة بين الكواكب.

المصطلحات األساسية القيمة المكانية.

صلة الدرس تعلمت قراءة األعداد وكتابتها حتى المليارات (البليون)، واآلن ستتعلم .قراءة وكتابة األعداد حتى التريليونات

األعداد حتى التريليونات استكشف

رسالة من مراقبة البعثات الفضائية: هل تقرأ بياناتي؟

أنت قائد سفينة فضاء فيها عطل، وتريد مراقبة البعثات الفضائية معرفة بعد سفينتك عن األرض، وعلى الرغم إال عنهم، الصادرة الرسائل سماع تستطيع أنك من يخمنون مرة كل وفي سماعك، يستطيعون ال أنهم بعد سفينتك عن األرض. يجب عليك أن تضغط على

أحد أزرار اإلشارات.اعمل مع زميل لك، أحدكما يقوم بدور قائد المركبة

الفضائية، واآلخر بدور ضابط المراقبة:ا مسافة من ١ إلى ١٠٠ كيلومتر، وسوف يحاول ١ قائد المركبة الفضائية يختار سرضابط المراقبة تخمين المسافة بأقل عدد من التخمينات قدر اإلمكان. وبعد كل تخمين،

ا» أو «صحيح». ا» أو «منخفض جد على قائد المركبة أن يقول: «مرتفع جدال األدوار، وفي هذه الحالة يختار قائد المركبة الفضائية مسافة من ١ إلى ٢ بد

٠٠٠ ١ كيلومتر.٣ أي من المباريات السابقة كانت أسهل؟ ولماذا؟

٤ أي من المباريات التالية ستكون أسرع: مباراة تبدأ من ٢٠ ألفا إلى ٥٠ ألفا، أم مباراة تبدأ من ٢٠ مليونا إلى ٥٠ مليونا؟ ولماذا؟

هذا يمثلها التي القيمة العددية المنزلة فك وتعر مكانية، قيمة له العدد رمز في رقم كل الرقم. فمثال في رمز العدد ٣٦٤ ٢، الرقم ٣ يمثل مئات أو (٣٠٠)؛ ألن الرقم ٣ في

منزلة المئات.

قراءة األعداد وكتابتها تعلم

ا مرتفع جد

ا منخفض جدصحيح

1-2päÉfƒ«∏jÎdG ≈qàM É¡oàHÉàch OGóYC’G pRƒeQ oIAGôbReading and Writing Numbers till trillions

48

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

هو معروف نجم أكبر «منكب الجوزاء» في كوكبة

الجبار.منكب الجوزاء طول قطره

٠٠٠ ٢٠٠ ٦٤٣ كيلومتر

طول من أكبر أي تقريبا، قطر الشمس ٥٠٠ مرة.

أطوال أقطار ستة من أكثر النجوم لمعانا

القطر (بالكم) االسم٠٠٠ ٤٠٠ ١ الشمس

٨٥٢ ٥٠٢ ٢ الشعري اليمانية

٥٧٥ ٧١٤ ٤١ سهيل

٦٢٢ ٦٦٨ ١ الظلمان

١٩٠ ٩٨١ ٣١ السماك الرامح

٤٧٤ ١٧١ ٤ النسر الواقع

المنزالت العددية (القيم المكانية)

٤ ٥ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠ ٠

آحاد آحاد آحاد آحاد آحادعشرات

عشراتعشرات

عشراتعشراتمئاتمئاتمئاتمئاتمئات

حلقة التريليونات حلقة الملياراتحلقة الماليينحلقة اآلالفحلقة الوحدات

يمكن كتابة رمز العدد بثالث صور مختلفة:٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٤٥ : الشكل النظامي

االسم اللفظي بالكلمات: خمسة وأربعون تريليونا. االسم اللفظي الموجز : ٤٥ تريليونا.

من فهمك تحقق

أمثلة«السماك النجم قطر طول في ٨ للرقم المكانية القيمة أوجد ١

الرامح»:في يقع ٨ والرقم ٣١ ٩٨١ ١٩٠ هو الرامح السماك قطر طول

منزلة عشرات اآلالف، وتمثل ٨ عشرات آالف أو ٠٠٠ ٨٠.الموجز للعدد الذي ٢ اكتب االسم اللفظي بالكلمات وبالشكل

يمثل طول قطر النجم «الظلمان».- مليون وستمائة وثمانية وستون ألفا وستمائة واثنان وعشرون

- ١ مليون و ٦٦٨ ألفا و٦٢٢ل للعدد: سبعة مليارات وأربعين ألفا واثنين ٣ اكتب االسم المطو

٢ + ٠٠٠ ٤٠ + ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٧ ٤ اكتب العدد ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٣٦ بالصورة اللفظية الموجزة

٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٣٦ = ٣٦ مليارا

حاول أن تحل

١ أوجد منزلة الرقم ٣ في طول قطر النجم «السماك الرامح»

٢ اكتب طول قطر النجم «السماك الرامح» بالصورة اللفظية .

: خمسة تريليونات وعشرين مليارا وثالثمائة. ٣ اكتب رمز العدد التالي بالشكل النظامي

ح عالقة كل منزلة عددية (قيمة مكانية) بالمنزلة التي تسبقها مباشرة جهة اليمين. ١ وضر إجابتك. ٢ هل يوجد اسم لكل عدد مهما كبر؟ فس

pá¨∏dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

الكلمة الــعــلــمــاء اســتــخــدم مليون عن لتعبر ميجا البادئة ميجابايت)، في (كما واحد لتعبر جيجا البادئة والكلمة في (كما واحــد مليار عن

جيجابايت).

49

سوف تتعلماألعداد (تدوير) تقريب

باستخدام قواعد التقريب. استخدام فهمك العام لتقريب

األعداد في المواقف الحياتية.

من االستخداماتعلى الصحف مراسلو يعمل رواياتهم لجعل البيانات تقريب

دقيقة وأكثر سهولة في القراءة.

المصطلحات األساسية تقريب (تدوير)

تقريب األعداد الكبيرة تعلم

هناك صعوبة عند التعامل مع رموز األعداد الكبيرة، مع العلم بأنك لست دائما في حاجة الستخدام القيمة الدقيقة لها؛ إذ إنه غالبا ما تستخدم أعدادا قريبة من هذه األعداد،

وتكون أسهل في االستخدام.=التقريب: هو إحدى الطرق إليجاد عدد أكثر مالءمة، حيث يعطيك التقريب أقرب عدد

مالئم، تبعا للمنزلة المعطاة.ح أربع خطوات متتالية إلجراء عملية التقريب: وفي ما يلي جدول يوض

أمثلة

تبعا إلحصائيات وزارة التربية والتعليم عام ٢٠٠٧، في إحدى الدول العربية، فإن عدد طالب

ب هذا العدد إلى المنزالت العددية التالية: التعليم قبل الجامعي هو ٣٧٩ ٧٢٨ ١٤ طالبا، قر

٢ عشرات الماليين ١ آحاد الماليين ٣٧٩ ٧٢٨ ١٤ ٠٠٠ ٠٠٠ ١٠ ٣٧٩ ٧٢٨ ١٤ ٠٠٠ ٠٠٠ ١٥

صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كيفية قراءة رموز األعداد وكتابتها حتى .التريليونات، واآلن سوف تتعلم كيف تجعل هذه األعداد الكبيرة أكثر سهولة

حاول أن تحل

ب العدد ٩٥٢ ٤٧٣ ٨٠٦ ١٧٥ ٣ إلى المنزالت العددية المعطاة: قر

(أ) عشرات األلوف (ب) مئات المليارات (جـ) آحاد التريليونات

رمز هذا العدد ليس من أن التقريب إلى قيمة أكبر أو أصغر ذا معنى مفهوم، على الرغم أحيانا، يكون

هو رمز العدد األقرب.

ب العدد ٣٤١ ٢ إلى قرأقرب مائة

الخطوات ب العدد قر٦٨٣ ٦٧ إلى أقرب ألف

٣٤١ ٢ د المنزلة حد ٦٨٣ ٦٧٣٤١ ٢ تأمل الرقم الذي يقع على اليمين ٦٨٣ ٦٧٣٤١ ٢

يترك كما هو

إذا كان هذا الرقم ٥ أو أكبر، يضاف ١ دة، إذا كان هذا إلى رقم المنزلة المحدالرقم أصغر من ٥، يترك رقم المنزلة

دة كما هو. المحد

٦٨٣ ٦٧

يضاف ١

٣٠٠ ٢ غير األرقام جهة اليمين إلى أصفار ٠٠٠ ٦٨

2-2pOGóYC’G (oôjhóJ) oÖjô≤JRounding Numbers

5050

من فهمك تحقق

ب أسهل في التعامل؟ ١ لماذا يعتبر العدد المقر٢ اعرض موقفين في أحدهما سوف تجري، عمدا، تقريبا إلى األكبر، وفي اآلخر سوف تجري ، عمدا ، تقريبا إلى األصغر

حل المسائل والتفكير المنطقي

بة، ثم اكتب قائمة أخرى من المواقف ١ المجلة: اكتب قائمة من المواقف اليومية التي يجب فيها استخدام أعداد غير مقربة. اليومية، التي يمكنك فيها استخدام أعداد مقر

٢ التفكير الناقد: عند إدخال بيانات تعداد السكان عام ٢٠٠٠ في الحاسوب، أخطأ موظف اإلحصاء بإغفال أرقام من تعداد

سكان مدينتين.ع لسكان المدينتين؟ ب إلى ٠٠٠ ٢٠ نسمة ألقرب ألف، فما العدد المتوق وقد تذكر الموظف أن أعداد السكان في المدينتين تقر

اشرح لماذا.

، وسوف تستخدم الحافالت المدرسية لنقل ٣ التواصل: نظمت األستاذة مريم في مدرسة العلوم رحلة إلى المركز العلميع اشتراكهم في الرحلة ٢٦٣ طالبا، وكانت الحافلة المدرسية الواحدة تقل ٣٠ طالبا، فكم الطالب. إذا كان عدد الطالب المتوق

عدد الحافالت المدرسية التي سوف تحتاج إليها األستاذة مريم؟ ولماذا؟

٤ التفكير الناقد: عندما تصطف الكواكب (تصبح في صف واحد)، تكون األرض على بعد ٤٠٠ ٧٢٦ ٤٩٥ ١ كم تقريبا من

الشمس. ويصبح كوكب بلوتو على بعد ١٠٠ ٣٤٣ ٧٤٩ ٥كم تقريبا من األرض ، ما

المسافة تقريبا بين كوكب بلوتو والشمس؟ اشرح.

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

51

3-13-2ر صلة الدرس تعلمت قراءة األعداد وكتابتها وتقريبها، واآلن سوف تتعلم كيف تقر

.أن عددا أكبر من عدد آخرسوف تتعلم

مقارنة األعداد وترتيبها.

من االستخداماتموظفو البورصة التجارية يقومون بمقارنة األعداد وترتيبها لتحديد

الشركات األكثر نجاحا.

اصطفوا - هذا أمر!

ح ثماني مركبات فضاء أميركية تم إرسالها إلى كواكب أخرى في الجدول المجاور يوض، ومدى بعدها عن الشمس، وذلك أثناء زيارتها لهذه الكواكب أو أثناء نظامنا الشمسي

عبورها لمداراتها.١ صل كل مركبة فضائية والمسافة المناظرة لها بالكوكب الذي زارته أو

بمدار الكوكب الذي عبرته.٢ اشرح كيف حددت المركبة الفضائية

التي تم توصيلها بكل كوكب.٣ إذا فرض أنه تم اكتشاف كوكب جديد بين مداري نبتون وبلوتو، فما المسافة المحتملة بينه وبين الشمس؟

الرمزان >، < يستخدمان لمقارنة األعداد المختلفة الرمز > يعني «أكبر من»

والرمز < يعني «أصغر من».

المقارنة والترتيب استكشف

مقارنة األعداد وترتيبها تعلم

الحساب الذهنيرمز العدد الذي

يتألف من منزالت أكثر من غيره، هو

العدد األكبر.

المسافة (كيلومتر) المركبة الفضائية

٠٠٠ ٧٣٦ ١٠٧ مارينير ٢٠٠٠ ٠٠٠ ٨٠٤ بايونير ١٠٠٠٠ ٠٠٠ ٤٣٢ ٦ بايونير ١٠٥ مليارات بايونير ١١٦٤ مليونا مارينير ١٠٢٤١ مليونا ڤايكنج ١

٠٠٠ ٦٠٠ ٧٣٣ ٢ ڤوياجير ٢١,٦٠٨ مليار ڤوياجير ١

لوتوبتونب

نوسورانأ

زحلتريلمشا

يخ مررضال

زهرةاألطاردال

ع

مسالش

É¡oÑ«JôJh pOGóYC’G oáfQÉ≤eComparing and Ordering Numbers

52

من فهمك تحقق

هما أسهل: المقارنة بين األعداد عندما تكتب بالشكل النظامي أو عندما تكتب ١ أيبالصورة اللفظية؟ ولماذا؟

٢ إذا كان الرقم األول من اليسار في رمز عدد هو ٧، فهل هذا العدد أكبر من عدد آخر ر إجابتك. رقمه األول من اليسار ٦؟ فس

الفوهات التي على القمر

طول القطر (م) االسم

٠٠٠ ٢٣٤٠٠٠ ٢٢٧٠٠٠ ٣٠٣

ديسالندرزشيكاردبيللي

أمثلة

١ طول أحد الطرق ٧٨٧ ٢٢ م، وطول طريق ثان ٦٦٤ ٢٢ م، قارن بين طولي الطريقين. : عدد المنزالت متساو في العددين. الحل

ابدأ من اليسار وقارن بين الرقمين الواقعين في المنزلة نفسها. بما أن ٧ > ٦، فإن ٧٨٧ ٢٢ > ٦٦٤ ٢٢ لذلك طول الطريق األول أكبر من طول الطريق الثاني.

نة على الجانب المرئي للقمر . ٢ رتب تنازليا أطوال أقطار الفوهات الثالث المتكو

: الحلعدد المنزالت متساو في األعداد الثالثة:

- رقم مئات األلوف ٣ هو األكبر فيكون العدد ٣٠٣٠٠٠ هو األكبر.

٠٠٠ ٢٣٤ - قارن بين العددين: ٠٠٠ ٢٢٧

بما أن ٣ > ٢ يكون : ٠٠٠ ٢٣٤ > ٠٠٠ ٢٢٧- الترتيب هو:

.٠٠٠ ٣٠٣ ، ٠٠٠ ٢٢٧ ، ٠٠٠ ٢٣٤

حاول أن تحل

١ رتب تصاعديا:

٤١٧ ١٣٨ ، ٤١٦ ١٤٦ ، ٤١٩ ٩٨

صالة الحديقة السياحية ٠٠٠ ٧٨ م٢. مساحة أكوابارك ٦٠٠٠٠ م٢. مساحة ٢ مساحة

التزلج ٣٩٨ ٨ م٢. رتب تنازليا األماكن السابقة حسب مساحتها.

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

عندما تتكون حفرة الفوهة: يصطدم نيزك بسطح كوكب

أو سطح قمر.

53

ح توزيع سكان أحد البلدان في المحافظات طبقا لتقديرات عام ٢٠٠٠ م. التمثيل البياني المجاور باألعمدة، يوضوهي: ٤٤٣ ٧٢٤ ٢١؛ ٩٢٢ ٨٦٣ ٢٦؛ ٨١٧ ٩١٠ ١٧ ؛ ٠٥٦ ٥٦٤ ١

صل كل محافظة بتعداد سكانها.

افهم

ا تحت المطلوب إليك إجراؤه. ١ ضع خط٢ ضع دائرة حول المعلومات التي تحتاج إليها.

خطط

٣ المحافظة أ، أم المحافظة ب هي التي فيها أكبر تعداد من السكان؟ اشرح.

حل

ا في تعداد السكان. ب المحافظات تنازلي ٤ باستخدام التمثيل البياني باألعمدة، رت

ا. ب تعداد السكان تنازلي ٥ رت٦ صل كل محافظة بتعداد سكانها.

تحقق

٧ كيف يمكنك حل هذه المسألة بطريقة أخرى؟

حل مسألة أخرى

٨ عند صنع تمثيل بياني باألعمدة، فإن ارتفاع العمود الذي يمثل تعداد السكان في المحافظة هـ، يقع بين األعمدة التي تمثل تعداد السكان في المحافظتين أ وب، فأي األعداد التالية يمثل تقريبا تعداد السكان في المحافظة هـ؟

(جـ) ٠٠٠ ٨٢٦ ١٧ (ب) ٠٠٠ ١٤٢ ١٨ (أ) ٠٠٠ ٤٥٦ ٢٠

٢٥

١٥

٥

٢٠

١٠

٠

فظة ألمحاا

افظة بالمحافظة ج

المحظة دمحافال

ونملي بالدادلتعا

(3-2) p πFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGافهمخططحلتحقق

حلالمسائل

حل المسائل والتفكير المنطقي

ن من ٥ أرقام، بحيث ١ التفكير الناقد: استخدم األرقام ٧، ١، ٥، ٩، ٣ لكتابة أكبر وأصغر عددين ممكنين، وكل منهما مكويستخدم كل رقم مرة واحدة فقط. استخدم الرمز > أو < لمقارنة إجاباتك.

٢ التفكير الناقد: إن مساحة بعض الدول العربية هي: األردن ٣٠٠ ٩٢ كم٢، الكويت ٨٢٠ ١٧ كم٢ ،ا. ب هذه المساحات تصاعدي سلطنة عمان ٤٦٠ ٢١٢ كم٢ ، اإلمارات العربية المتحدة : ٨٨٠ ٨٢ كم٢ . رت

ا؟ ٣ إذا كانت مساحة المملكة العربية السعودية ٥٨٢ ٢٤٠ ٢ كم٢، فأين سيكون مركزها في الترتيب تصاعديا ؟ ٤ إذا كانت مساحة لبنان ٤٥٢ ١٠ كم٢، فأين سيكون مركزه في الترتيب تصاعدي

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

54

صلة الدرس تعلمت تقريب األعداد الكبيرة ومقارنتها، واآلن سوف تتعلم طريقة .سهلة لكتابة رموز األعداد الكبيرة

( w¢SCG :oOôØŸG) o¢ù°SC’G

سوف تتعلماستخدام األسس في التعبير عن

األعداد.كتابة تعبيرات تحتوي على

األسس في العدد.من االستخدامات

تستخدم وزارة الصحة األسس للتوقع والتنبک بالزيادة الرهيبة في

عدد السكان.

المصطلحات األساسية عامل أساس أس قوة

مربع عدد مكعب عدد

نh الصورة األسية

... ^ h ^ h ^ h الصورة البسيطة ن من المرات

ر الضرب المتكر استكشف

األسس تعلم

واحد، اثنان، ثالثة، أربعة ... اضغط!

األدوات المستخدمة: اآللة الحاسبة العلمية

١ استخدم فقط رموز األعداد: ١، ٢، ٣، ٤، وباستخدام اآللة الحاسبة اضغط بالتتابع: 1 yx 2 =

2 yx 3 =

4 yx 3 =

ل رموز األعداد التي ضغطت عليها، واإلجابة التي حصلت عليها من اآللة الحاسبة. سج

ر الخطوة رقم (١) مرات عديدة حتى تستطيع أن تفهم كيف أوجدت اآللة ٢ كرالحاسبة الناتج. اشرح طريقة اآللة الحاسبة.

ع ناتج ما يلي، ثم استخدم اآللة الحاسبة الختبار صحة توقعك. ٣ توق 1 0 yx 3 = (ج) 6 yx 2 = (ب) 2 yx 5 = (أ)

5 yx 3 = (ب) 3 yx 5 = ٤ أوجد : (أ) باستخدام اآللة الحاسبة الخاصة بك: هل الناتجان متساويان؟ ولماذا؟

عندما نضرب أعدادا في بعضها، فإن كل عدد يسمى عامال للناتج.عوامل العدد ٣٠ ٢ ^ ٣ ^ ٥ = ٣٠

ر للعدد نفسه باستخدام الرموز األسية. يمكنك تمثيل الضرب المتكراألساس هو العدد المضروب، واألس هو عدد تكرارات األساس كعامل.

٥ هو األس

٥٣ = ٣ ^ ٣ ^ ٣ ^ ٣ ^ ٣ "نقرأ ٣ أس ٥"

٥ عوامل ٣ هو األساس

Exponents

55

كتابته يمكن عدد أكبر رقمين هو ٩٩ باستخدام

ويساوي: ٤٨٩ ٤٢٠ ٣٨٧

هل تعلم؟

3 yx 5 = 243

األعداد التي تحتوي على أسس يمكن كتابتها بثالثة أشكال مختلفة:الصورة األسية: ٤٩

الصورة البسيطة (ناتج ضرب): ٩ ^ ٩ ^ ٩ ^ ٩رمز العدد : ٥٦١ ٦

عندما يكون األساس واألس عددين صغيرين، فإنه يمكنك استخدام الحساب الذهني أو yx في اآللة الحاسبة الورقة والقلم لكتابة رمز العدد، وخالف ذلك استخدم المفتاح

الخاصة بك ٤٣ = ٣ ^ ٣ ^ ٣ ^ ٣ ^ ٣ = ٢٤٣

أمثلة

١ اكتب ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ باستخدام الصورة األسية٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ = ٦٨

٢ اكتب ٤٧ في الصورة البسيطة٤٧ = ٧ ^ ٧ ^ ٧ ^ ٧

٣ أوجد قيمة ٣٥٣٥ = ٥ ^ ٥ ^ ٥ = ١٢٥

٤ عندما اجتازت مركبة الفضاء مارينير ١٠ كوكب عطارد عام ١٩٧٢، كانت سرعة المركبة ٤٣٠ كيلومترا/ساعة.

اكتب قيمة ٤٣٠:٠٠٠ ٨١٠ = 3 0 yx 4 = ٤٣٠ = ٣٠ ^ ٣٠ ^ ٣٠ ^ ٣٠

سرعة مارينير ١٠ كانت ٠٠٠ ٨١٠ كم/ساعة.

حاول أن تحل

(أ) اكتب ١٢ ^ ١٢ ^ ١٢ ^ ١٢ باستخدام الصورة األسية. (ب) اكتب ٦٥ بالصورة البسيطة.

(جـ) استخدم الحساب الذهني إليجاد قيمة ٢٩. (د) أوجد قيمة ٥١١.

يسمى األس أيضا بالقوة. نحن نقرأ ٦٣ كاآلتي: «٣ مرفوعة للقوة السادسة» أو للسهولة «٣ للقوة السادسة».

القوتان الثانية، والثالثة لهما اسمان خاصان:نحن نقرأ ٢٥ كاآلتي: «٥ للقوة الثانية» أو «٥ تربيع».

نحن نقرأ ٣٨ كاآلتي: «٨ للقوة الثالثة» أو «٨ تكعيب».

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

عطارد كوكب يستغرق حول للدوران يوما ٨٨فتاة احتفلت إذا الشمس، عشر الثاني ميالدها بعيد (١٢) على كوكب األرض،

من أكبر عمرها فسيكون ٤٩ سنة على عطارد.

56

علم خالد ومحمد في حصة العلوم أن الشمس تبعد حوالى ٨١٠ ميل عن األرض، وقد أرادا حساب قيمة ٨١٠ ميل.

را له قيمة تذكر أن ٣٨، و٨^٣ ليس لهما المعنى نفسه؛ حيث: ٨^٣ تعني جمعا متكررا له قيمة ٨^٨^٨ نفسها. ٨+٨+٨ نفسها. أما ٣٨ فتعني ضربا متكر

ولكن ٣٨=٥١٢ ٨^٣=٢٤

من فهمك تحقق

ما رأيك؟

١ ما ميزة استخدام األس في كتابة األعداد؟ر إجابتك. ٢ هل ٧٣ تساوي ٣٧؟ فس

٣ ماذا يحدث للعدد عندما ترفعه للقوة واحد؟

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ اختر إستراتجية: ما العدد الذي يرفع للقوة الرابعة فيكون الناتج مساويا ٢٩٦ ١؟

ر... خالد يفكسوف أستخدم آلتي الحاسبة.

1 0 yx 8 = 100 000 000

ر... محمد يفك٢١٠=١٠^١٠=١٠٠

واحد وعلى يمينه صفران.٣١٠=١٠^١٠^١٠=١٠٠٠

أي واحد على يمينه ثالثة أصفار.وفي كل مرة، عندما تضرب ١ في ١٠ يكون الناتج واحدا

على يمينه أصفار، وعلى ذلك فإن ناتج ٨١٠ هو ١ على يمينه ثمانية أصفار؛ أي ٠٠٠ ٠٠٠ ١٠٠

مـــا؟رأيك

١ أي من الطريقتين السابقتين سوف تستخدمها لحساب ٢٥١٠؟ ولماذا؟٢ ما القاعدة التي كان محمد سيستخدمها إليجاد قوة ١٠٠؟

ما رأيك؟

57

w»FGôLEG w¢ùMh w…OóY w¢ùM oIóMnƒdG(Ü) oá«fÉãdG

pßØë∏d lá櫪K läÉYƒª›- منذ مائة عام مضت، تسلم فتى خطابا عليه طابع بريد بما يعادل روبية، وقد

ألقى هذا الولد بالظرف، ولكنه احتفظ بالخطاب إلعطائه ألحفاده.- منذ مائة عام مضت، تسلم فتى خطابا ومائة روبية، وقد صرف هذا الفتى

مبلغ المائة روبية، ولكنه احتفظ بالخطاب إلعطائه ألحفاده.من غرابة ما تسمعه، فالقصتان السابقتان هما بالضبط قصة - وعلى الرغم واحدة، إذا فرض أنه في عام ١٨٩٨ احتفظ أحد األشخاص بطابع بريد قيمته روبية وصل إليه من الكويت، فإن حفيده أو حفيدته سوف يستطيع بيعه اليوم بمبلغ يزيد عن مائة دينار، وهذا يعني المال الكثير، ولكن لشخص يهوى جمع

الطوابع، فإن هذا الطابع يعني ثروة بالنسبة إليه.

يقتني الناس كل أنواع األشياء، من المخطوطات إلى السيارات، والهاوي دة عند محاوالته اقتناء أفضل األشياء بأقل سعر. الماهر يستخدم مهارات متعد

واحدة من أهم هذه المهارات هي الفهم الجيد للرياضيات.

١ لماذا يكون سعر بعض األشياء التي يتم اقتناؤها أغلى ثمنا من األشياء األخرى؟

٢ كيف يكون فهمك الجيد للرياضيات عامال مساعدا القتناء األشياء بأقل سعر؟

Number Sense and Operation Sense

58

5-2سوف تتعلم

ا، لتبسيط المسائل ذهنياستخدم األنماط: خاصية

التوزيع، رموز األعداد المتوافقة، التعويض.

من االستخداماتمون األطعمة يستخدم من يقدفي المطاعم الحساب الذهني

للتحقق من صحة الفواتير مة للزبائن. المقد

المصطلحات األساسية خاصية التوزيع

صلة الدرس لقد تعلمت طرقا عديدة للتعامل مع عدد واحد، وتشمل تقريبه وتمثيله ا مع رمز عددين ا، وكتابته في صورة أسية. واآلن سوف تتعلم بعض الطرق للتعامل ذهني بياني

.أو أكثر

طابع االمتياز!أثناء عقد االحتفال السنوي بالعيد الوطني وعيد التحرير لدولة الكويت قامت وزارة

المواصالت بتنظيم مسابقة في مضمونها أنه على كل مشترك حل المسائل العشر التالية من دون استخدام الورقة والقلم أو اآللة الحاسبة، وسوف يحصل الفائز على مجموعة قيمة من

الطوابع.(جـ) ٢٥ + ١٦ + ٧٥ (ب) ٣٧ ^ ١٦ (أ) ٦٠ ^ ١٠٠

(و) ١٩ ^ ٤ (هـ) ٣١٥ ÷ ١٢ (د) ٣٨١ + ٩٩ (ط) ٢١ ^ ٥ (ح) ٤ ^ ٢٥ ^ ٧ (ز) ٢٠٠ ١ ÷ ٤

(ي) ٤٩٨ + ٧٩٥١ أي من هذه المسائل تعتقد أن زمالء فصلك سوف يحلونها بصورة صحيحة وسهلة

في أذهانهم؟ وأي منها تعتقد أن ال أحد من زمالئك يستطيع حلها بسهولة؟ اشرح وجهة نظرك.

ب هذه المسائل من األسهل إلى األصعب. ٢ رت٣ اشرح كيف يمكنك حل أسهل ثالث مسائل في ذهنك.

ا ٤ اكتب ثالث مسائل مشابهة للمسائل الثالث التي اخترتها، والتي يمكنك حلها ذهنيل هذه المسائل مع باتباع الطرق نفسها التي سبق لك استخدامها لحل هذه المسائل. بد

ا. مسائل زميل لك، وليحل كل منكما مسائل اآلخر ذهني

دة ا، وفي ما يلي طرق متعد في أحوال كثيرة، من المالئم حل المسائل الرياضية ذهني. ومفيدة للحساب الذهني

د قيمة - األعداد المتوافقة (المتسقة): هي زوج من األعداد يمكن حسابهما بسهولة. حدد قيمة ما تبقى من أعداد. األعداد المتوافقة، ثم حد

- األنماط: عند ضرب مضاعفات العشرة، اضرب األجزاء التي ليس فيها أصفار أوال، ثم أضف إلى الناتج صفرا واحدا لكل صفر في المسألة. وعند قسمة مضاعفات العشرة، اقسم األجزاء التي ليس فيها أصفار إن أمكن، ثم اطرح عدد أصفار المقسوم عليه من عدد أصفار

المقسوم لتحصل على عدد األصفار التي تضاف لناتج القسمة.أمثلة

٣٠٠ ^ ٥٠ = ٠٠٠ ١٥ ٣٠ ^ ٥ = ١٥٠ ١ ٣ ^ ٥ = ١٥

٠٠٠ ١٢ ÷ ٠٠٠ ٤ = ٣ ١٢٠٠ ÷ ٤٠ = ٣٠ ٢ ١٢ ÷ ٤ = ٣

الحساب الذهني استكشف

الحساب الذهني تعلم

t»ægòdG oÜÉ°ù◊GMental Math

59

من فهمك تحقق

تذكرخاصية اإلبدال تنص على أنه:

عند تغيير ترتيب رموز األعداد في عمليتي الجمع أو الضرب

سوف ال يحدث تغيير في ناتج الجمع أو الضرب.

٤ ^ ٧ =٧ ^ ٤=٢٨

تذكرالخاصية التجميعية تنص على أن: تغيير ترتيب العمليات في

األعداد المجمعة أو المضروبة ال يغير من ناتج الجمع أو

الضرب، مثال: (٥ + ٣) + ٧ = ٥+(٣+٧)=١٥

ا من العدد في المسألة، ثم اضبط الناتج ليتوافق مع العدد - التعويض: اختر عددا قريبا جدالذي اخترته.

ک األعداد إلى أعداد صغيرة، ثم احسب مستخدما هذه األعداد - خاصية التوزيع: جزالصغيرة، ثم ضع النواتج معا.

أمثلة

حاول أن تحل

(ب) ٠٠٠ ٢١٠ ÷ ٧٠٠ (أ) ٠٠٠ ٤ ^ ٣٠٠ (د) ٢٨٥ + ٤٧ + ١٥ (جـ) ٦١ ^ ٣

(و) ٢٩٦ + ٥٥ (هـ) ٥٠ ^ ٢ ^ ١٣ (ح) ١٠٢ ^ ٧ (ز) ٢٩ ^ ٦

(أ) األعداد المتوافقة هي أعداد يسهل جمعها أو ضربها معا. اعرض مجموعة من األعداد المتوافقة لعملية الجمع، ومجموعة أخرى من األعداد المتوافقة لعملية الضرب.

ا؟ (ب) لماذا من المفيد أن تكون قادرا على إجراء الحسابات ذهني(جـ) اشرح الفرق بين استخدام األعداد المتوافقة والتعويض؟

أعط أمثلة لتوضيح إجابتك.

أوجد ناتج: ١ ٢٠ ^ ٧٠٠

استخدم األنماط ١٤ = ٧ ٢

٠٠٠ ١٤ = ٧٠٠ ٢٠

٢ ٠٠٠ ٤٠٠ ٥ ÷ ٩٠استخدم األنماط

٦ = ٩ ÷ ٥٤ ٠٠٠ ٦٠ = ٩٠ ÷ ٠٠٠ ٤٠٠ ٥

٣ ٢٥ + ١٨ + ٧٥ ٢٥ ، ٧٥ عددان متوافقان

ألنه من السهل جمعهما ١٨ + (٢٥ + ٧٥) = ٢٥ + ١٨ + ٧٥ ١٨ + ١٠٠ =

١١٨ =

٤ ٥٨ ^ ٣ب إلى ٦٠، فإنه يمكنك بما أن ٥٨ تقر

استخدام التعويض(٢ ^ ٣) - (٦٠ ^ ٣) = ٥٨ ^ ٣ ٦ - ١٨٠ =

١٧٤ =

٥ أراد هاو عرض خمسة ملصقات عالمية للبيع، وذلك بمبلغ ٣٢ دينارا للملصق الواحد،. استخدم خاصية التوزيع إليجاد الثمن الكلي

( ٢ + ٣٠ ) ^ ٥ = ٥ ^ ٣٢ (٥ ^ ٣) + (٥ ^ ٢) = ١٥٠ + ١٠ =

١٦٠ =

60

عملة نادرةح الجدول التالي أسعار عملة تذكارية منذ عام ١٩١٣ في ثالثة معارض للمقتنيات يوض

: القديمة، مصنفة إلى خمسة تصنيفات خاصة بالجودة، واألسعار بالدينار الكويتي

د أربعة أسعار مختلفة من الجدول السابق ١ من دون استخدام اآللة الحاسبة: حدمجموعها يقترب، ما أمكن، من ٣٠ دينارا، بحيث ال يزيد المجموع على ٣٠ دينارا.

استمر في البحث حتى تجد أربعة أسعار مجموعها أقرب ما يكون من ٣٠ دينارا.ر كيف يقترب مجموعك من ٣٠ دينارا. اشرح تقديرك. ٢ قد

٣ أوجد مجموع األسعار األربعة كما هي معطاة في الجدول، وقارن إجابتك بإجابات زمالئك.

ر مجموعهما، فكيف تتأكد أن تقديرك ال يزيد عن ٤ إذا قربت سعرين مما سبق لتقدالمجموع الفعلي لهما؟

ح أن مجموع ثمني العملة التذكارية في ٥ من دون استخدام اآللة الحاسبة: كيف توضحالتها الممتازة، في كل من المعرضين األول والثالث، يزيد عن ١١ دينارا؟

وعندما التقدير، يمكنك فإنه المسألة، ناتج في الدقيقة القيمة إلى تحتاج ال عندما تستخدم التقدير، اجمع أو اطرح مستخدما المنزلة ذات القيمة الكبرى فقط في كل عدد. نة من بقية األرقام، ثم أضف هذا التقدير إلى التقدير ر ناتج جمع أو طرح األعداد المكو قد

األول، ولتقدير أكثر دقة، احسب مستخدما المنزلتين األخيرتين.

سوف تتعلم تقدير نواتج الجمع ونواتج

الطرح، باستخدام المنزلة األكبر وعمل المجموعات. (الجمع

ر) المتكر

من االستخداماتعند العمل في مشروع ما، فإنه،

ر عمال من حين إلى آخر، يقدالدهان النتائج للوقوف على

مدى تقدمهم في العمل.

تقدير نواتج الجمع والطرح استكشف

صلة الدرس تعلمت استخدام الحساب الذهني إليجاد نواتج دقيقة، وفي هذا الدرس سوف تتعلم تقدير نواتج المسائل التي تشمل عمليات الجمع والطرح، عندما ال تكون في

.حاجة إلى إجابات دقيقة

تقدير نواتج الجمع والطرح تعلم

في حالة فائقة

في حالة ممتازة ا جد

في حالة ممتازة

في حالةا جيدة جد

في حالة جيدة

المعرض

١٦,٧٥٩,٢٠٢٤,٩٥

٨,٣٠٢,٧٥١١,١٩

٣,٧٩١,١٩٧,٤٥

١,٩٥٠,٦٥٦,٦٥

٠,٨٥٠,٤٩٥,١٥

األولالثانيالثالث

هناك العديد من العمالت التي تصدر في دولة الكويت، منها العمالت الورقية التي يصدرها ، الكويتي المركزي البنك المعدنية، العمالت ومنها التي التذكارية والعمالت تصدر في المناسبات الخاصة المالية، وزارة وتصدرها تذكارية عمالت وهناك ر بمئات قديمة ثمنها اآلن يقد

الدنانير.

تعلم؟ هل

6-2pìô£dGh p™ª÷G pœGƒf oôjó≤JEstimating Sums and Differences

61

أمثلة

ر ناتج ٩٨٢ - ٥٣٩ باستخدام المنزلة ذات القيمة األكبر ١ قد

ر ناتج ٧٤٥ ٢٣ + ٨٨١ ٤٥ مستخدما المنزلتين األخيرتين ٢ قد

ر) لتقدير ناتج الجمع. ضع عند جمع عدة أعداد متساوية تقريبا، استخدم الضرب (الجمع المتكربدال من هذه األعداد عددا واحدا يمثل تقريبا هذه األعداد. هذا العدد يكون من السهل استخدامه

في إجراء عملية الضرب، ثم اضرب في عدد هذه األعداد. وهذا مثال على ذلك.

ر مجموع أطوال الخطوات األربع. ٣ قاس العلماء أربع خطوات واسعة لديناصور، قد

كل مسافة تساوي تقريبا ٢٠٠ سم٢٠٠ + ٢٠٠ + ٢٠٠ + ٢٠٠ = ٤ ^ ٢٠٠ = ٨٠٠

سار الديناصور حوالى ٨٠٠ سم تقريبا.

حاول أن تحل

ر ناتج كل مما يأتي: قد(ب) ٧٠٧ ٦ - ٥٥٩ ٤ (جـ) ٣٠٧ + ٢٩٧ + ٢٩٩ (أ) ٧٧٣ + ٨٤٨

١ صف بعض المواقف الحياتية التي تستخدم فيها عمليات جمع وطرح وتحتاج إلى إجابات دقيقة، وصف بعض المواقف األخرى التي يكون فيها تقدير نواتج الجمع والطرح

مرضيا.٢ هل التقريب باستخدام تقدير المنزلة ذات القيمة الكبرى يجعلنا نحصل على الناتج

ر إجابتك. ب، ثم نجري عملية الجمع؟ فس نفسه عندما نقر

من فهمك تحقق

الحساب الذهنيعند جمع أعداد متساوية يمكنك استخدام الضرب

لالختصار.١٩٣ سم ١٩٦ سم٢١١ سم٢٠٧ سم

تذكرالتقدير التقريبي

١٠٠٠ ← ٩٨٢-

٥٠٠ ← ٥٣٩

٥٠٠

١٠٠٠ ≈ ٥٠٠ - ٩٨٢

٩٨٢ ٥٣٩ -

٧٤٥ ٢٣ ٨٨١ ٥٤ +

٤٠٠ = ٥٠٠ - ٩٠٠ ٥٠ ≈ ٣٩ - ٨٢ ٤٥٠ = ٥٠ + ٤٠٠ ٤٥٠ ≈ ٥٣٩ - فيكون : ٩٨٢

٠٠٠ ٧٧ = ٠٠٠ ٥٤ + ٠٠٠ ٢٣ ٥٠٠ ١ ≈ ٨٨١ + ٧٤٥ ٥٠٠ ٧٨ = ٥٠٠ ١ + ٠٠٠ ٧٧

٥٠٠ ٧٨ ≈ ٨٨١ ٥٤ + ٧٤٥ ٢٣ فيكون :

62

سوف تتعلم تقدير نواتج الضرب والقسمة

باستخدام التقريب واألعداد المتوافقة (المتسقة).

من االستخداماتالتقدير مهارات الطهاة يستخدم التي نات المكو كمية لتحديد

يجب استخدامها في الطهي.

صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق طرقا مالئمة لتقدير نواتج الجمع والطرح، .واآلن سوف تتعلم طريقتين يمكن استخدامهما جيدا في تقدير نواتج الضرب والقسمة

عيون القطط

يبيع محل للعب األطفال نوعا نادرا

من البلي يشبه عيون القطط؛ وثمن

علب البلي (التيل) يتغير من شهر إلى

آخر. أجب عن األسئلة التالية من دون

استخدام اآللة الحاسبة:

ر. ١ في شهر فبراير: هل ثمن العلبة الواحدة من البلي تزايد أو تناقص؟ فس

ر. ٢ في شهر مارس: هل ثمن العلبة الواحدة من البلي تزايد أو تناقص؟ فس

ر. ٣ في شهر أبريل: هل ثمن العلبة الواحدة من البلي تزايد أو تناقص؟ فس

ر. ٤ في شهر مايو: هل ثمن العلبة الواحدة من البلي تزايد أو تناقص؟ فس

ر. ٥ في أي شهر كان ثمن العلبة الواحدة للبلي أعلى؟ فس

ر. ٦ في أي شهر كان ثمن العلبة الواحدة للبلي أقل؟ فس

يمكن تقدير نواتج الضرب و القسمة، مثل نواتج الجمع والطرح، وذلك عندما ال

نحتاج إلى نواتج دقيقة. ولتقدير نواتج الضرب أو القسمة، استخدم التقريب أو األعداد

المتوافقة.

تقدير نواتج الضرب والقسمة استكشف

تقدير نواتج الضرب و القسمة تعلم

البلي (التيل) النادر

علبة واحدة بمبلغ ٥,٨٠٠ دنانير ٣ علب بمبلغ ١٤,٩٠٠ دينارا٤ علب بمبلغ ١٤,٩٠٠ دينارا٥ علب بمبلغ ٢٥,٠٠٠ دينارعلبتان بمبلغ ٨,٢٠٠ دنانير

ينايرفبرايرمارسأبريلمايو

مد يد المساعدةالطرق إحدى هو التقريب مالئمة، أكثر عدد إليجاد حيث يعطيك التقريب أقرب للمنزلة تبعا مالئم عدد

المعطاة.

7-2

تيلة

p᪰ù≤dGh pÜö†dG pœGƒf oôjó≤J Estimating products and Quotients

63

أمثلة

ر ناتج ما يأتي مستخدما التقريب: قد ١٧٠ ١ ÷ ٤٥ ٢ ٤٢٩ ^ ١٦ ١

٠٠٠ ١ ÷ ٥٠ بالتقريب ≈ ١٧٠ ١ ÷ ٤٥ ٤٠٠ ^ ٢٠ بالتقريب ≈ ٤٢٩ ^ ١٦ ٢٠ ≈ ٠٠٠ ٨ ≈

حاول أن تحل

ر ناتج ما يأتي مستخدما التقريب قد

(ب) ٩١٢ ٧ ÷ ٤٣ (أ) ٨٤ ^ ٢٧٩

ر النواتج مستخدما األعداد المتوافقة (المتسقة)، أعد كتابة المسألة مستخدما رموز أعداد لتقديسهل ضربها أو قسمتها، ثم اضرب أو اقسم.

أمثلة

ر ناتج ٤٨ ^ ١٢ مستخدما األعداد المتوافقة (المتسقة) ٣ قد٤٨ ^ ١٢ ≈ ٥٠ ^ ١٠ ≈ ٥٠٠

٤ أحرز مبارك ٢٣١ نقطة خالل ٢٨ مباراة من مباريات ط الحسابي لعدد ر المتوس دوري كرة السلة للمعاقين. قد

النقاط التي أحرزها مبارك في كل مباراة.

٢٣١ ÷ ٢٨ ≈ ٢٤٠ ÷ ٣٠ ≈ ٨

أحرز مبارك حوالى ٨ نقاط في كل مباراة.

حاول أن تحل

ر ناتج ما يأتي مستخدما األعداد المتوافقة: قد

(ب) ٥٥٣ ÷ ٧٩ (أ) ٢٢ ^ ٣١

١ هل التقريب واألعداد المتوافقة، يعدان طريقتين للتقدير مفيدتين في مسائل الضرب ر إجابتك. والقسمة ؟ فس

٢ اشرح بطريقتين مختلفتين كيف يمكنك تقدير ناتج ١٧٧ ٣ ÷ ٤٥.

من فهمك تحقق

تذكر الرمز ≈ يعني: يساوي تقريبا.

64

(7-2) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGتحمل إحدى الطائرات ٥٤ مسافرا لكل منهم حقيبتا سفر، وزن كل حقيبة ٣٦ كجم.

إذا كانت الطائرة مصممة لحمل ٠٠٠ ٥ كجم من األمتعة، فهل تجاوزت الطائرة الحد المسموح به أو ال؟

افهم

١ ما المطلوب إليك إيجاده؟

خطط

ر اإلجابة؟ ٢ لماذا يكون من المقبول أن تقد٣ أي من الطرق التالية سوف تستخدمها للتقدير؟

(أ) تقدير الحد النهائي (ب) التقريب

(جـ) التعويض

حل

ر عدد الحقائب التي على الطائرة؟ ٤ قد............ = ............ ^ ..........

ر عدد الكيلوجرامات التي تزنها األمتعة. ٥ قد............ = ............ ^ ..........

٦ قارن تقديرك بـ ٠٠٠ ٥ كجم.هل تجاوزت الطائرة الحد المسموح به أو ال؟

تحقق

٧ كيف يمكنك حل المسألة بطريقة أخرى؟

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

65

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: لديك كومة من الصناديق وزن كل صندوق ١٠٥ كجم، يراد وضعها على رافعة شحن، وهناك الفتة على الرافعة ر إجابتك. ن عليها «الوزن اإلجمالي ال يزيد عن ١٠٠٠ كجم». فما أكبر عدد من الصناديق يمكن وضعه على الرافعة؟ فس مدو

ر لماذا. رة، وفس ٢ اعرض موقفين من األفضل فيهما أن يكون لدينا إجابة دقيقة عن اإلجابة المقد

٣ اختر اإلستراتيجية: ربح حمد مبلغا من المال، من مسابقة ثقافية، صرف منه ١٤ دينارا في شراء قرص مدمج للحاسوب ر المبلغ ا بمبلغ ١٨ دينارا، وتبقى معه مبلغ ٢٥ دينارا. قد CD-ROM، واشترى طابعة بمبلغ ٣٠ دينارا، واشترى قميصا رياضي

ر إجابتك. الذي ربحه حمد، ثم فس

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

66

الصلة بالتكنولوجيا

سوف تتعلم استخدام قواعد ترتيب

العمليات لحل المسائل الحسابية.

من االستخداماتيستخدم الصرافون القواعد

نفسها لحساب األسعار التي تشمل ضرائب المبيعات،

والتخفيضات، وقسائم البيع.

المصطلحات األساسيةترتيب العمليات

تعتمد قيمة المقدار الذي يحتوي على عدد من العمليات على الترتيب الذي اتبعته في قيمة ٩ + ٦ ÷ ٣، فإنه يمكنك أن إجراء هذه العمليات، إذا فرض أنك تريد إيجاد

تجمع أوال أو تقسم:

اقسم أوال: ٦ ÷ ٣ = ٢ اجمع أوال: ٩ + ٦ = ١٥ اآلن اجمع: ٩ + ٢ = ١١ اآلن اقسم: ١٥ ÷ ٣ = ٥

يستخدم علماء الرياضيات األقواس لتوضيح أي جزء من المسألة يجب إجراؤه أوال، ولكن هناك بعض المسائل ال تحتوي على أقواس. وللتأكد من أن أي شخص سوف يحصل على الناتج نفسه للمسألة، استخدم علماء الرياضيات عدة قواعد تعرف باسم

ترتيب العمليات.

ترتيب العمليات

١- احسب ما بداخل األقواس.٢- احسب قيمة األعداد الموضوعة بالصورة األسية.

٣- اضرب واقسم من اليمين إلى اليسار.٤- اجمع واطرح من اليمين إلى اليسار.

٥- عمليات الضرب والقسمة تسبق عمليات الجمع والطرح.

أمثلة

أوجد ناتج ما يلي:(٣ + ٢) ^ ٧ ١

احسب ما بداخل األقواس أوال ثم اضرب. ٧ ^ ٥ = (٣ + ٢) ^ ٧ ٣٥ =

٥ ^ ٢٣ ٢٥ ^ ٩ = ٥ ^ ٢٣

٤٥ =

صلة الدرس تعلمت كيف تتعامل مع المسائل الحسابية مستخدما عملية واحدة، .واآلن سوف تتعلم كيفية حل المسائل مستخدما عدة عمليات

8-2

ترتيب العمليات تعلم

احسب قيمة العدد الموضوع بالصورة األسية أوال ثم اضرب.

لمعرفة ما إذا كانت آلتك الحاسبة

تتبع ترتيب العمليات بشكل صحيح،

4 + 3 ^ 2 = اضغط

إذا كان الناتج يساوي ١٠، فإن آلتك

الحاسبة تتبع قواعد ترتيب العمليات.

päÉq«∏ª©dG oÖ«JôJOrder of Operations

67

ابدأ بإجراء العمليات من اليمين إلى اليسار

١٢ + ٥ ^ ٤ ٣١٢ + ٢٠ = ١٢ + ٥ ^ ٤

٣٢ = ١٦ ÷ ٢ ^ ٩ ٤

٨ ^ ٩ = ١٦ ÷ ٢ ^ ٩ ٧٢ =

حاول أن تحل

أوجد ناتج ما يلي:(ب) ٣٦ ÷ ١٢ ÷ ٣ (أ) ٢٨ - ١٢ ÷ ٤ (د) ٨ ^ (١٠ - ٤) (جـ) ١٩ - ٢٤

١ لماذا تحتاج إلى قواعد ترتيب العمليات لحساب ناتج ٢٠ + ٥ ^ ٣؟دة، وهذا الشيء يتفق الناس ٢ أعط مثاال من الحياة لشيء يمكنك إجراؤه بطرق متعد

على إجرائه بالطريقة نفسها.

١ التفكير الناقد: يقول عامل دهان جدران إن قياس الحائط «عشرون زائدا عشرة تربيع» متر مربع. اعرض لتفسيرين ممكنين لهذه المقولة؛ مستخدما ترتيب العمليات. ما المعنى

الرياضي الصحيح لمقولة عامل الدهان؟٢ التفكير الناقد: صرفت أنت وصديقاك مبلغا ما في أحد المطاعم، وتم تقسيم المبلغ

المدفوع عليكم بالتساوي، وفي المطعم تم طلب فطيرة كبيرة وثالثة مشروبات غازية وطبق فواكه، فما ترتيب العمليات الحسابية التي سوف تستخدمها إليجاد قيمة ما سوف

يدفعه كل فرد؟

اضرب أوال ثم اجمع.

من فهمك تحقق

حل المسائل والتفكير المنطقي

68

سوف تتعلم تحديد أو استكمال أنماط عددية تعتمد على الجمع أو

الطرح.

من االستخداماتحراس أمن الشواطگ يستخدمون

األنماط العددية عند تحديد أوقات المد العالي والمد

المنخفض.

المصطلحات األساسية: األنماط العددية

صلة الدرس رأيت كيف ساعدك الحس العددي في حل المسائل الحسابية، واآلن .سوف تتعلم كيفية استخدام الحس العددي لتحديد األنماط العددية وتكملتها

التقاطعات مقفلة!األدوات المستخدمة: لوحات المئات، أقالم تلوين

ن كل قائمة من قوائم األعداد التالية. في لوحة مئات ١ كومختلفة.

القائمة أ: ١، ٣، ٥، ٧، ٩، ١١، ١٣، ١٥، ١٧، ١٩، ٢١القائمة ب: ٥، ٨، ١١، ١٤، ١٧، ٢٠، ٢٣، ٢٦، ٢٩، ٣٢

القائمة ج: ٩٧، ٨٦، ٧٥، ٦٤، ٥٣القائمة د: ١٠٠، ٩٩، ٩٨، ٩٧، ٩٦، ٩٥، ٩٤، ٩٣، ٩٢، ٩١

ن العدد ٢ في كل لوحة مئات، إذا استمريت في تلوين األعداد بالنمط نفسه، فهل سيلور. ٤٤؟ فس

نه على لوحة مئات، ثم ٣ اكتب من عندك نمطا من األعداد مشابها لنمط القائمة أ، ثم لواكتب قائمة كل األعداد التي تقل عن ٥٠ في النمط الذي كتبته.

د ما إذا كان عدد معين أكبر من ٥٠ ل القوائم مع زميل لك، واطلب إليه أن يحد ٤ بدسوف يكون موجودا في نمطك أم ال.

النمط العددي هو قائمة من رموز األعداد تتكرر بطريقة يمكن التوقع بها.واألنماط العددية يمكن استخدامها لوصف أشياء

، وتحلل المواد الخام، واقعية، مثل التزايد السكانيومن الممكن استخدامها أيضا في ابتكارات فنية،

مثل الفتافيت أو الكسوريات fractals، وهي صور رياضية مركبة تتم بتكرار نمط رياضي بسيط.

والعديد من النماذج تستخدم الجمع والطرح. وإليجاد النمط، اكتب العدد الذي تحتاج إلى إضافته أو طرحه، إليجاد العدد التالي في النمط.

األنماط العددية استكشف

األنماط العددية تعلم

9-2

والــكــســوريــات الفتافيت هي fractals (الفسيفساء) تعتمد مركبة رياضية صور تتكرر بسيطة أنماط على

باستمرار.

تعلم؟ هل

oáqjOó©dG o•É‰C’GNumerical Patterns

69

أمثلة

لكل نمط من األنماط الرياضية اآلتية، أوجد رموز األعداد الثالثة التالية:... ، ١ ٨ ، ١٥ ، ٢٢ ، ٢٩ ، ٣٦

اكتب رمز العدد الذي يجب إضافته إلى كل عدد حتى تحصل على العدد التالي.

استخدم النمط لحساب األعداد الثالثة التالية.

... ، ٢ ٥٠ ، ٤٩ ، ٤٧ ، ٤٤ ، ٤٠اكتب رمز العدد الذي يجب طرحه من كل عدد

حتى تحصل على العدد التالي.

استخدم النمط لحساب األعداد الثالثة التالية.

... ، ٣ ١٤ ، ٢٤ ، ٢٢ ، ٣٢ ، ٣٠اكتب العدد الذي يجب جمعه أو طرحه من كل عدد حتى تحصل على العدد التالي.

استخدم النمط لحساب األعداد الثالثة التالية.

٤ اشترت هند طابع بريد تذكاريا بمبلغ ٣ دنانير، وقد أخبرها البائع أن العام القادم سوف يصبح ثمنه ٦ دنانير، وأن العام الذي يليه سوف يصبح ثمنه ١٢ دينارا، وأن العام التالي سوف يصبح ثمنه ٢٤ دينارا، إذا ت الزيادة في ثمن طابع البريد بالطريقة نفسها، فكم سيصبح ثمن هذا الطابع بعد ٦ سنوات من اآلن؟ استمر

اكتب قائمة األعداد والحظ النمط. ٣ ، ٦ ، ١٢ ، ٢٤ اكتب العدد الذي يجب إضافته لتحصل على

العدد التالي. استخدم النمط لحساب القيمة بعد ٦ سنوات

من اآلن.

ثمن الطابع سوف يصبح ١٩٢ دينارا بعد ٦ سنوات من اآلن.

حاول أن تحل

لكل من األنماط اآلتية، أوجد العدد الناقص:(أ) ١٠ ، ١٢ ، ١٥ ، ١٩ ، ٢٤ ، ...

(ب) ٣٠ ، ٢٦ ، ٢٢ ، ١٨ ، ١٤ ، ...

، ٣٦ ٢٩ ،٢٢ ،١٥ ،٨٧+٧+٧+٧+

، ٥٧ ٥٠ ،٤٣ ،٣٦٧+٧+٧+

، ٣٦ ٢٩ ،٢٢ ،١٥ ،٨٤-٣-٢-١-

، ٢٢ ٢٩ ،٣٥ ،٤٠٧-٦-٥-

، ٣٠ ٣٢ ،٢٢ ،٢٤ ،١٤٢+١٠-٢+١٠-

، ٤٨ ٣٨ ،٤٠ ،٣٠١٠-٢+١٠+

، ٢٤ ١٢ ،٦ ،٣١٢+٦+٣+

، ١٩٢ ٩٦ ،٤٨ ،٢٤٩٦+٤٨+٢٤+

70

قام فيصل ونبيل بإجراء تجربة لدراسة نمو فطر معين، والجدول ح البيانات التي قاما بجمعها، وقد أرادا معرفة المدة التالي يوض

التي سوف يستغرقها الفطر لكي يصل وزنه على األقل إلى ٠٠٠ ١ جرام.

١ كيف يمكنك استخدام الحساب لفهم األنماط العددية؟٢ هل كل نمط عددي يزيد أو ينقص بالعدد نفسه؟

ر ... نبيل يفكالنمط هو واحد مضافا إلى ضعف العدد السابق، وباستمرار النمط سوف أصل

إلى ٠٠٠ ١ جرام أو أكثر.

٣١ ١٥ ٧ ٣

٦٣ ١٢٧ ٢٥٥ ٥١١ ١٠٢٣سوف يصبح وزن الفطر أكثر من ٠٠٠ ١ جرام في اليوم التاسع.

ر ... فيصل يفكسوف النمط وباستمرار مسبقا، المضاف العدد ضعف إضافة هو النمط

أصل إلى ٠٠٠ ١ جرام أو أكثر.٥١٢+ ٢٥٦+ ١٢٨+ ٤ +٨ +١٦ +٣٢ +٦٤+

٣، ٧، ١٥، ٣١، ٦٣، ١٢٧، ٢٥٥، ٥١١، ٠٢٣ ١سوف يزيد وزن الفطر على ٠٠٠ ١ جرام في اليوم التاسع.

الوزن بالجرام اليوم

٣٧١٥٣١٦٣

١٢٣٤٥

من فهمك تحقق

(٢^١٥)+١ (٢^٧)+١ (٢^٣)+١

(٢^٥١١)+١+(٢^٦٣) ١+(٢^١٢٧) ١+(٢^٢٥٥) ١

مـــا؟رأيك

لها؟ اشرح. ١ إذا أردت أن تكمل النمط من دون استخدام اآللة الحاسبة، فأي طريقة سوف تفض٢ هل يمكنك التوصل إلى نمط مختلف عن النمط الذي توصل إليه كل من فيصل ونبيل؟ اشرح.

ما رأيك؟

71

(9-2) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGحلالمسائلافهمخططحلتحقق

يجري محمد تجربة علمية لزيادة أعداد ثالثة أرانب. إذا كانت أعداد األرانب تتضاعف كل شهر، فكم عدد األرانب التي سوف تكون لدى محمد بعد ٥ شهور؟

افهم

. ١ ضع مستطيال حول المعلومات التي تحتاج إليها للحل٢ ماذا يعني بقوله إن أعداد األرانب «تتضاعف»؟

٣ هل أعداد األرانب تتزايد أو تتناقص؟

خطط

٤ ماذا ستستخدم لحل المسألة: عملية الجمع أو عملية الضرب؟ ؟ ٥ ما النمط العددي

٦ أي مما يأتي يعد إجابة مقبولة لعدد األرانب لدى محمد بعد ٥ شهور؟

(أ) حوالى ١٥ (ب) حوالى ١٠٠ (جـ) حوالى ٢٠٠

حل

٧ ما عدد األرانب التي سوف تكون لدى محمد بعد شهر واحد؟ ٨ أكمل النمط للشهور ١، ٢، ٣، ٤، ٥

، ، ، ، ،

شهر واحد شهرين ثالثة شهور أربعة شهور خمسة شهور

٩ اكتب جملة تعطي اإلجابة النهائية.

تحقق

١٠ ما اإلستراتيجيات األخرى التي يمكنك استخدامها للتوصل إلى الحل؟

72

حل مسألة أخرى

تجري حنان تجربة علمية على أربعة فئران، تتضاعف أعداد الفئران كل شهرين، فما أعداد الفئران لديها بعد ٨ شهور؟

حل المسائل والتفكير المنطقي

نا من ستة أعداد يبدأ بالعدد ٢ وينتهي بالعدد ٢٠٤٨، مستخدما الضرب. ١ التفكير الناقد: ابتكر نمطا مكو

٢ التواصل: بعد كم خطوة إضافية سوف يكون في هذين النمطين العدد نفسه؟ر إجابتك. فس

٢٣٤، ٢٤٦، ٢٥٨، ٢٧٠، ... ؛٢٣٥، ٢٤٨، ٢٦١، ٢٧٤، ... ؛

٣ المجلة : إلى كم عددا تحتاج في النمط الكتشافه؟

٤ التفكير الناقد: يسمى النمط التالي «متتالية فيبوناتشي» وسمي بعد القرن الثالث عشر باسم العالم الذي اكتشفه. صف هذا النمط، ثم أوجد األعداد الثالثة التالية:

... ،١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨، ١٣، ٢١

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

73

oIóMnƒdG(`L) oá«fÉãdG

رحلة إلىقاع البحر

١ قارن بين الضغوط على عمقي ١٥٠ مترا

و٣٠٠ متر؛ وعلى عمقي ٩٦٠ مترا و٩٢٠ ١ مترا،

وعلى عمقي ٣٠٠ متر و٠٠٠ ٣ متر.

ما النمط الذي تراه؟ هل تعتقد أنه من الممكن التنبؤ

بالضغط على أي عمق؟ ر. فس

٢ لماذا يتزايد الظالم والبرودة والضغط كلما تعمقنا داخل المحيط؟

يستخدم علماء البحار أدوات عديدة في دراسة أعماق البحار والمحيطات مثل معدات الغطس، واإلنسان اآللي الذي يتم التحكم فيه

عن بعد، والرياضيات.

ماذا نعرف عن الحياة في أعماق البحار؟

معظم األسماك المألوفة والثدييات تعيش بالقرب من السطح.

الضغط حوالى ١٦ كجم / سم٢.

سمك القرش، والحيتان، واألخطبوط والحبار تغامر بالنزول إلى هذا العمق.

الضغط حوالى ٣١ كجم / سم٢.

أدنى حدود اإلضاءة. وكل الكائنات الحية أدنى هذه النقطة تعيش في ظالم دامس.

الضغط حوالى ٧٠ كجم / سم٢.

بعض األسماك هنا لها عيون واسعة لترى في الظالم، وبعض األنواع األخرى تصنع

اإلضاءة الخاصة بها. الضغط حوالى ٩٨ كجم / سم٢.

األسماك هنا تشبه الجيالتين، والعديد منها ال يرى.

الضغط حوالى ١٩٧ كجم / سم٢.

درجة حرارة الماء أعلى قليال من درجة التجمد. طعام قليل. كائنات حية بسيطة.

الضغط حوالى ٣١٠ كجم / سم٢.

أعمق نقطة في المحيط. درجة الحرارة أقل من درجة التجمد. الضغط

حوالى ١١١١ كجم / سم٢.

٣٠٠ متر

١٥٠ مترا

٦٩٠ مترا

٩٦٠ مترا

١٩٢٠ مترا

٣٠٠٠ متر

١٠٧٢٥ مترا

pÈ÷G ¤EG láe qó≤eIntroduction to Algebra

74

سوف تتعلم الفرق بين المتغير والثابت.إيجاد قيمة تعبيرات (مقادير)

جبرية.

من االستخداماتيستخدم المحاسبون المتغيرات

لتحديد عائد وديعة من المال بمرور الوقت.

المصطلحات األساسية تعبير (مقدار) جبري

صلة الدرس تعلمت التعامل مع مقادير حسابية مثل ٢٥ ^ ٣، حيث العددان معلومان. وفي هذا الدرس سوف تتعلم التعامل مع التعبيرات (المقادير) التي فيها أعداد

ورموز.

نقب عن المعادن

يعد المحيط كنزا من المواد المذابة، فعلى سبيل المثال، لو نا من ٣٠ أخذت مقدارا من ماء المحيط يعادل مبنى مكو

طابقا، فإن هذا الحجم من ماء المحيط يحتوي على ما يعادل ٤٠ دينارا وهو ثمن الذهب المذاب فيه. إذا فرض أنك ابتكرت طريقة الستخالص الذهب

من كمية من الماء في حجم المبنى، بتكلفة ٢٥ دينارا:ح المبالغ المالية التي ستنفقها في عمليات استخراج ١ أكمل الجدول التالي لتوض

الذهب من ماء المحيط.

٢ كيف يمكنك إيجاد كل قيمة في العمود الثاني والثالث والرابع؟٣ أوجد القيمة في كل عمود لحجم من الماء يعادل مليون مبنى.

الربح تكاليف االستخراج قيمة الذهب عدد المباني (الحجم)

١٥ دينارا ٢٥ دينارا ٤٠ دينارا ١

٢

٣

٤

٥

١٠

٢٠

٥٠

١٠٠

المتغيرات والتعبيرات الجبرية استكشف

10-2oáqjÈ÷G (oôjOÉ≤ŸG) oäGÒÑ©àdGh oäG uÒ¨àŸGVariables and Expressions

75

المتغيرات والتعبيرات (المقادير) الجبرية تعلم

المتغير: هو كمية من الممكن أن تتغير أو تتنوع؛ فمثال، درجة حرارة الماء تعد متغيرا ألنها تتغير من ساعة ألخرى. والرياضيات تستخدم الحروف للتعبير عن المتغيرات.

الكمية التي ال تتغير تسمى «ثابتا»؛ فمثال درجة تجمد الماء في مستوى سطح البحر تكون «ثابتة»، وهي دائما صفر درجة سيلزية (مئوية).

: هو تعبير رياضي يشتمل على ثوابت ومتغيرات ورموز للعمليات. وهناك المقدار الجبريطرق مختلفة لتمثيل العمليات المختلفة.

قسمة ضرب طرح جمع ٨س

٨ ^ س ٨ - س ٨ + س

إذا علمت قيم المتغير، أمكنك حساب قيمة المقدار بإبدال المتغير بكل قيمة، وهذا ما يعرف بالتعويض بقيمة للمتغير.

أمثلة٢ ١١ - س ١ س + ٥

١٢س

٤ ٣ ٤ س

حاول أن تحلاحسب قيمة كل مقدار جبري مما يلي عندما س = ٣، س = ٤، س = ٥

(د) س + ٢٣ ٦٠س

(جـ) (ب) ١٥ - س (أ) ٧ س

١ ما مميزات استخدام المتغير في التعبير عن رمز العدد؟٢ هل يمكن استخدام حرف غير "س" للتعبير عن المتغيرات؟

٣ كم عدد أرباع الدنانير في عدد م من الدنانير؟ وكم عدد الفلسات؟

من فهمك تحقق

س + ٥ س١ + ٥ = ٦٢ + ٥ = ٧٣ + ٥ = ٨

١٢٣

١١ - س س١١ - ١ = ١٠١١ - ٢ = ٩١١ - ٣ = ٨

١٢٣

٤ س س٤ ^ ١ = ٤٤ ^ ٢ = ٨٤ ^ ٣ = ١٢

١٢٣

١٢ ÷ س س

١٢÷ ١= ١٢١٢÷٢ = ٦١٢÷٣ = ٤

١٢٣

مفاتيح اآللة الحاسبة تستخدم المتغيرات لتعبر

عن رمز العدد عند ظهوره على الشاشة، مثال: المفتاح

ع العدد عند x2 سوف يرب

ظهوره.

الصلة بالتكنولوجيا

الحرف نستخدم ما ــادة عالمتغير عــن للتعبير (س) في ولكن الرياضيات، في إمكانك استخدام أي حرف

للتعبير عن المتغير.

تعلم؟ هل

76

(10-2) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG

أكمل الجدول المجاور؛ علما بأن كمية الطعام التي يلتهمها الحوت األزرق هي ٤٠٠٠ كجم في اليوم.

افهم

رة بالكجم؟ ا، مقد ١ ما كمية الطعام التي يلتهمها الحوت األزرق يومي

٢ ما الذي تحتاج إلى إيجاده لتكمل الجدول؟ ٣ ماذا يمثل الحرف س في الجدول؟

خطط

٤ ما العملية الحسابية التي سوف تستخدمها لتكمل الجدول؟ ٥ كيف يمكنك استخدام األنماط لتحصل على اإلجابة؟

حل

٦ اكتب التعبير الذي تستخدمه إليجاد عدد األيام التي سيستغرقها الحوت ألكل ٠٠٠ ٢٨ كجم من الطعام.

٧ اكتب التعبير الجبري الذي سوف تستخدمه إليجاد عدد األيام التي سيستغرقها الحوت ألكل س كجم من الطعام.

٨ أكمل الجدول أعاله.

تحقق

٩ كيف يمكنك التأكد من أن التعبير الجبري الذي كتبته لعدد س من األيام صحيح؟

حل مسألة أخرى

أكمل الجدول المجاور؛ علما بأن كمية الطعام التي يلتهمها الفيل البري هي ٢٠٠ كجم في اليوم.

عدد األيام كمية الطعام (كجم)٠٠٠ ٢٨٠٠٠ ٣٦٠٠٠ ٥٦س

عدد األيام كمية الطعام (كجم)٠٠ ١٦٠٠ ٤٢س

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

77

حل المسائل والتفكير المنطقي

ر معنى ٧س، ثم اشرح كيف توجد قيمة ٧س عندما س = ٣، س = ٤. ١ المجلة : فس

: ٢ التفكير الناقد: صل كل موقف بما يناسبه من تعبير جبري

(i) س - ٥ (أ) عدد أصابع س يد

(ii) ٥س (ب) ثمن قرص مدمج س دينار مع تخفيض ٥ دنانير.

(iii) س + ٥ (جـ) ثمن بنطلون س دينار مع قيمة تصليح ٥ دنانير.

ر إجابتك. ٣ التواصل: أي من التعبيرات الجبرية التالية له الحل نفسه دائما، مهما اخترت من قيم للمتغير س؟ فس

س + ٣ ، ٥ - س ، ٠ ^ س

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

78

سوف تتعلماللفظية المسائل ل تحو كيف

إلى مقادير جبرية.

من االستخداماتتساعد التعبيرات الجبرية الطبيب الت معد مقارنة على البيطري

نمو الحيوانات.

المصطلحات األساسية ناتج جمع

ناتج طرح ناتج ضرب ناتج قسمة

صلة الدرس تعلمت إيجاد قيم المقدار الجبري إذا علمت قيم المتغير. واآلن سوف .تتعلم كيفية تحويل المسائل اللفظية إلى لغة الثوابت والمتغيرات والمقادير الجبرية

حكايات األستاذ عمرفي ساعة متأخرة من الليل، كتب األستاذ عمر اختبارا في

الرياضيات شمل أربع مسائل لفظية. ولسوء الحظ كان متعبا ا عندما أنهى كتابة االختبار، وعن طريق الخطأ ألقى جداألستاذ عمر بالمسائل اللفظية في سلة المهمالت. وفي الصباح لم يجد إال حلول المسائل اللفظية األربع، وهي:

١٤٠ - ٦٠ = ٨٠ ١٥ + ١٣ = ٢٨ ٤٨ ÷ ٤= ١٢ ١٢ ^ ٥ = ٦٠

١ لكل من الحلول السابقة، اكتب مسألة لفظية يكون حلها كما هو معطى، مع عدم استخدام الكلمات: اجمع، اطرح، اضرب، اقسم، أو أي أشكال من هذه الكلمات، ثم

ر في مواقف تؤدي إلى استخدام هذه العمليات بصورة طبيعية. فك٢ تبادل عرض المسائل مع زمالئك في الفصل، وساعد معلمك في كتابة قائمة

بالمواقف التي يمكن فيها استخدام كل من هذه العمليات الحسابية.

يمكن ترجمة بعض الكلمات في اللغة العربية إلى عمليات رياضية معينة:

التعبير الرمزي التعبير اللفظي

س + ٣ عدد مضافا إليه ٣س - ٣ عدد مطروحا منه ٣٣ - س عدد مطروحا من ٣٢س ضعف عدد ٥س خمسة أمثال عدد

س٢

عدد مقسوما على ٢

كتابة التعبيرات (المقادير) الجبرية استكشف

كتابة التعبيرات (المقادير) الجبرية تعلم

تذكراألعداد التي نضربها معا

للحصول على ناتج الضرب، تسمى عوامل ناتج الضرب.

11-2páqjÈ÷G (pôjOÉ≤ŸG) päGÒÑ©àdG oáHÉàcWriting Expressions

79

عند تحويل مواقف من الصور الكالمية التي ال تتضمن هذه الكلمات إلى الصور الرمزية، فإنك في حاجة إلى اختيار عملية مناسبة للموقف. ربما يكون من السهل عليك اختيار عملية ما، إذا قمت أوال

بإبدال المتغير بعدد.

أمثلة

: اكتب في صورة تعبير جبري

١ ما ناتج ضرب ٢٠، ك؟ناتج الضرب يعني إجراء عملية الضرب ٢٠ ^ ك ونعبر عنها ٢٠ك.

٢ ما ناتج طرح ٦ من ل؟يعني إجراء عملية الطرح ل - ٦.

٣ اشترت مريم (ب) موزة، أكلت ثالث موزات، فكم موزة تبقى معها؟إذا فرض أن مريم اشترت ١٠ موزات، وأكلت منها ثالث موزات،

فسوف يبقى معها ٧ موزات ألن ١٠ - ٣ = ٧. العملية المستخدمة هي الطرح. فيكون التعبير هو ب - ٣

٤ لدى هدى كتاب عن السيرة النبوية. الكتاب فيه ٢٠٠ صفحة، في كل يوم تقرأ (س) من الصفحات،فكم يوما تستغرقه في قراءة هذا الكتاب؟

إذا فرض أن هدى تقرأ ١٠ صفحات كل يوم، فإنها سوف تستغرق ٢٠ يوما في قراءته،٢٠٠س ألن ٢٠٠ ÷ ١٠ = ٢٠. العملية المستخدمة هي القسمة. فيكون التعبير هو

حاول أن تحل

(أ) ما ناتج جمع ج، ٨؟(ب) ما ناتج قسمة ن على ٩؟

(جـ) لدى خالد س حقيبة سفر، ولدى هاني ٥ حقائب سفر، فكم عدد الحقائب التي لديهما معا؟(د) يجري حمد حول ملعب كرة القدم س من المرات يوميا، ولمدة ٧ أيام، فكم عدد المرات التي جراها حمد؟

١ بخالف الكلمات: ناتج جمع، ناتج طرح، ناتج ضرب، ناتج قسمة، ما الكلمات التي تقترحها الستخدام العمليات: جمع، طرح، ضرب، قسمة؟

. h ص ، ٥٠٢٤

٢ أعط موقفا يعبر عن التعبيرات الجبرية التالية: ١٠ - ن ،

ا من العمليات الحسابية (جمع، طرح، ضرب، قسمة) ثم اعرض لثالثة مواقف كل ٣ المجلة: اختر أيمنها يتطلب استخدام هذه العملية.

من فهمك تحقق

80

(11-2) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGا لمحيط كل من المربعات اآلتية: اكتب تعبيرا جبري

(أ) (ب) (جـ)

افهم

حة في: ١ ما طول كل ضلع من أضالع المربعات الموض(أ) المربع أ؟................................................................................ (ب) المربع ب؟................................................................................ (جـ) المربع جـ؟................................................................................المربع؟............................................................................................................................................................................................................................................................................................ محيط توجد كيف ٢٣ ما عدد التعبيرات الجبرية التي سوف تكتبها؟..........................................................................................................................................................................................................................................................

خطط

٤ اكتب تعبيرا يبين محيط المربع الذي طول ضلعه ١٠ سم. ...................................................................................................................................................................................................

حل

ا لمحيط المربع بالتعويض عن طول ضلعه بدال من ١٠ في التعبير الجبري الذي كتبته في بند ٤. ٥ اكتب تعبيرا جبري...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ر خطوات البند ٥؛ لكتابة تعبير جبري لمحيط المربع ب.............................................................................................................................................................................................. ٦ كر

ر خطوات البند ٥؛ لكتابة تعبير جبري لمحيط المربع جـ............................................................................................................................................................................................ ٧ كر

تحقق

٨ قد قمت بحل مسألة بسيطة للتوصل إلى حل هذه المسألة، فما اإلستراتيجية األخرى التي يمكنك استخدامها؟

حل مسألة أخرى

ا لمحيط كل من المثلثات المتطابقة األضالع اآلتية: اكتب تعبيرا جبري (أ) (ب) (جـ)

............................................. ............................................ ............................................

٣ ص + + ٤ص

ص

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

س + ٣

س + ٢

س

81

سوف تتعلم معنى المعادلة.

تحديد ما إذا كانت قيمة ما تصلح ألن تكون حال للمعادلة

أم ال.

من االستخداماتيستخدم علماء األرصاد الجوية

المعادالت لتحويل درجات الحرارة بين نظامي القياس:

.( الفهرنهيتي والسيلزي (المئوي

المصطلحات األساسية معادلة

صلة الدرس تعلمت في الدرس السابق كتابة تعبيرات جبرية ناتجها النهائي غير .معلوم، واآلن سوف تتعلم كتابة التعبيرات الجبرية التي يكون ناتجها النهائي معلوما

هل زرت مربى األسماك؟

في مساء يوم االثنين، قام أربعة مسؤولين في المربى المائي لألسماك بعمل التغييرات التالية في معارض األسماك بالمربى:

(أ) وجد حمد أن ثالثة أمثال عدد أسماك نجم البحر األملس، يساوي ٣٠.

(اللخمة)، فأصبح عددها ٧. (ب) حذف بدر ٤ من أسماك الشفنين الخفاشي

(ج) أضاف وليد ٥ أسماك صخرية (سمك يألف أعماق البحار)، فأصبح عددها ١٣.

(د) استبعد نايف نصف أسماك ثعبان الماء الذئبي (سمك بحري كبير يتميز بضراوته وأسنانه القوية) فصار عددها ١٠.

الجدول التالي يوضح عدد أسماك كل نوع في صباح يوم االثنين قبل إجراء أي تعديالت:

١ ما عدد أسماك نجم البحر األملس؟ علل صحة إجابتك.؟ علل صحة إجابتك. ٢ ما عدد أسماك الشفنين الخفاشي

٣ ما عدد األسماك الصخرية؟ علل صحة إجابتك.؟ علل صحة إجابتك. ٤ ما عدد أسماك ثعبان الماء الذئبي

٥ اختر نوعا من األسماك، واكتب سؤاال من عندك يماثل أحد األسئلة السابقة. تبادل األسئلة مع زميلك، وتناقشا في اإلجابات.

صباح يوم االثنين

٨

١٠

٥٥

٢٠

١٣

١١

٧

نجم البحر

ثعبان الماء الذئبي

الشفنين الخفاشيالسمك الصخري

12-2

استكشف استخدام المعادالت

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

على تعيش التي األسماك سطح تحت كم ٢ عمق غير بميزات تتمتع البحر، عادية تساعدها على الحياة، المنبسطة األجسام وتشمل غير المجعدة، والجلد الذي

يتوهج في الظالم.

pä’OÉ©ŸG oΩGóîà°SGUsing Equations

82

استنباط المعلومات من الرسوم البيانية استخدام المعادالتاستنبااطططططط اللللللمعللللللوماات من اللللللرسوم اللللللبياانيةةةااستكككككككككشففف استكشف تعلم

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

هي األرض في نقطة أعمق «قــاع في ماريانا» «أخـــدود وهي الـــهـــادي»، المحيط ١٠ مــن ــر أكــث عــمــق على سطح تحت كيلومترات البحر. وأعلى نقطة هي قمة على وهــي إڤــرســت، جبل أعلى كيلومترات ٩ ارتفاع

سطح البحر.

ح أن تعبيرين متساويان. المعادلة: هي جملة رياضية تستخدم عالمة التساوي «=» لتوضأمثلة عن المعادالت:

٣ م-١=٨ ٢ ٣ ص=١٢ ١ س+٥=٧

حل المعادلة: هو قيمة المتغير الذي يجعل المعادلة عبارة صحيحة.فمثال س=٢ حل للمعادلة س+٥=٧ وذلك ألن ٢+٥=٧ عبارة صحيحةص=٤ حل للمعادلة ٣ص=١٢ وذلك ألن ٣^٤=١٢ عبارة صحيحة كذلك م=٩ حل للمعادلة م-١=٨ وذلك ألن ٩-١=٨ عبارة صحيحة وأيضا

أمثلة

ر إجابتك. اختبر ما إذا كانت القيمة المعطاة تصلح ألن تكون حال للمعادلة المعطاة. فس٢ ر + ٢٠ = ٣٥، ر = ١٠ ١ ٥ص = ٤٠، ص = ٨

حيث إن ٥ ^ ٨ = ٤٠ عبارة صحيحة حيث إن ١٠ + ٢٠ = ٣٥ عبارة خطأ ص = ٨ حل للمعادلة ر = ١٠ ليس حال للمعادلة

حاول أن تحل

ر إجابتك. اختبر ما إذا كانت القيمة المعطاة تصلح ألن تكون حال للمعادلة المعطاة. فس(أ) ف - ١٢ = ٢٤، ف = ١٢ (ب) ٣٠ ÷ س = ٣، س = ٦

(جـ) ٥ + ل = ٥، ل = ٠

يمكن استخدام المعادالت الرياضية، مثل التعبيرات الرياضية، سبيل فعلى الحقيقية. الحياتية المواقف من نماذج لصياغة الغوص رياضة في عليه المتعارف العمق كان إذا المثال، الترفيهي هو ١٣٠ مترا، إذا غطست (س) مترا، وأمامك ٥٠ يمكنك فإنه العمق، هذا نهاية إلى تصل لكي أخرى مترا

صياغة هذا الموقف بمعادلة رياضية كاآلتي:س + ٥٠ = ١٣٠.

؟ ١ ما الفرق بين المعادلة والتعبير الجبرير. ٢ هل كل معادلة تشتمل على متغير؟ فس

ر إجابتك. . هل توافقها؟ فس ٣ تقول أسماء إن س ^ صفر= ٤ ليس لها حل

من فهمك تحقق

83

سوف تتعلم إيجاد قيمة المتغير الذي يجعل

المعادلة عبارة صحيحة (يحقق المعادلة).

من االستخداماتيستخدم مصممو ألواح التزحلق ذات العجل المعادالت لتحديد

الوزن الذي يمكن أن تتحمله ألواح التزحلق.

د ما إذا كانت قيمة معطاة للمتغير تصلح ألن تكون صلة الدرس تعلمت كيف تحدحال للمعادلة. واآلن سوف تتعلم كيفية إيجاد حل المعادلة باستخدام الحساب الذهني

أو العملية العكسية

تدوير الجداول

حة لكل من القيم المعطاة: ١ احسب قيمة المقادير الموض

: ٢ أوجد قيم المتغير المناظرة للقيم المعطاة للمقدار الجبري

٣ اشرح كيف أمكنك إيجاد قيم العمود األول في (٢).

يساعد الحس العددي على حل المعادالت؛ إذ يمكنك أن تعبر عن المتغير بقولك «ما العدد»؟ على سبيل المثال س + ٥ = ٧ يمكنك قراءتها: «ما العدد الذي يضاف إلى ٥

ليصبح الناتج ٧؟» استخدم الحساب الذهني لإلجابة عن هذا التساؤل.

س - ٣ س

٣٥٦١٠

٢٤

س

س

١٢٣٤

س + ٧ س

١٠١٤١٩٣١

٢ س س

٦١٤٢٨٤٢

حل المعادالت تعلم

13-2

حل المعادالت استكشف

pä’OÉ©ŸG tπMSolving Equations

84

أمثلةحل المعادالت اآلتية:

٢٠ = ١٣ + ع ١تقرأ كالتالي: «ما العدد الذي يضاف إلى ١٣ ليكون الناتج٢٠؟» ٢٠ = ١٣ + ع

استخدم الحساب الذهني ٢٠ = ١٣ + ٧ تحقق من صحة اختيارك (تأكد أن العبارة صحيحة) ٢٠ = ٢٠

ع تساوي ٧ إذا كان من الصعب حل المعادالت ذهنيا، تستطيع أن تستخدم العملية العكسية:

عكس عملية الجمع هو الطرح ١٣ - ٢٠ = ١٣ - ١٣ + ع ١٣ - ٢٠ = ع

٧ = ع

١٤ = ١٠ - س ٢١٠ + ١٤ = ١٠ + ١٠ - س ١٠ + ١٤ = س

٢٤ = س

تقرأ كالتالي: «ما العدد الذي يضرب في ٩ ليصبح الناتج ١٨٠؟» ١٨٠ = ٩ص ٣ص تساوي ٢٠ استخدم الحساب الذهني ١٨٠ = ٩ ^ ٢٠

كذلك يمكنك استخدام العملية العكسية للضرب وهي القسمة: ١٨٠ = ٩ ^ ص

١٨٠٩ = ^ ص

٩٩

٢٠ = ص

٤ قسمت هند الوقت الذي استغرقته في الغوص إلى دورات، مدة الدورة الواحدة٢٥ دقيقة، إذا كان عدد الدورات كلها ٤ دورات، فكم دقيقة استغرقتها في الغوص؟

لتكن س دقيقة المدة التي استغرقتها في الغوصاكتب معادلة تقرأ كالتالي: ٤ = س

٢٥

«ما العدد الذي يقسم على ٢٥ ليصبح الناتج ٤؟» ٢٥ ٤ = ٢٥ ^ س٢٥

استخدم الحساب الذهني أو العملية العكسية ١٠٠ = س

سوف تستغرق ١٠٠ دقيقة في الغوص.

حاول أن تحل

حل المعادالت اآلتية:٤هـ = ١٢ (د) (جـ) ٥ ج = ١١٠ (ب) ب - ١٢ = ٥١ (أ) أ + ٧ = ٢٢

١ هل يمكن التعويض بأي قيمة للمتغير س في س + ٥؟ر إجابتك. ٢ هل يمكن التعويض بأي قيمة للمتغير س في س + ٥ = ٧؟ للحصول على حل للمعادلة، فس

من فهمك تحقق

85

oIóMnƒdG(O) oá«fÉãdG

هناك ثالث خطط مفترضة لقياس ارتفاع أي جبل:تسقط ثم الجبل، قاعدة إلى تصل حفرة وتحفر الجبل، قمة تصعد أن (أ): الخطة

ا من أعلى القمة إلى قاعدة الجبل. شريط قياس طويال جدالخطة (ب) : أن تقوم أنت والمئات من أصدقائك ببناء مسطرة عمالقة ووضعها في

وضع قائم خلف الجبل مباشرة.أن يتحرك الخطة (ج) : أن تذهب إلى جبل تعلم ارتفاعه، ثم تطلب إلى هذا الجبل

ليقف خلف الجبل الذي تريد قياس ارتفاعه.بالطبع، ال أحد يستطيع استخدام أي من الخطط السابقة، ولذلك يسأل معظم الناس عن كيفية القياس ويطرحون أسئلة أخرى عديدة تدور حول األرض. في البداية ال بد أن تعرف أن الناس الذين يقومون بدراسة األرض يسمون علماء األرض، وهؤالء العلماء يقومون الذين النبات وعلماء الحيوانات، يدرسون الذين الحيوان علماء يشملون األرصاد وعلماء الصخور، بدراسة يقومون الذين والجيولوجيين النباتات، بدراسة والمحيطات، البحار يدرسون الذين البحار وعلماء الطقس، بدراسة يقومون الذين

وأنواعا أخرى كثيرة من العلماء.انخفاض أو ارتفاع إيجاد كيفية دراسة على قادرين العلماء هؤالء يكون أن بد وال درجات الحرارة ارتفاعا أو انخفاضا نقطة ما عن مستوى سطح البحر، وعلى قياس عن درجة تجمد الماء؛ كما يجب عليهم تتبع تزايد عدد أفراد تجمع حيواني معين، أو تناقص هذا العدد. ولكي يستطيع العلماء تحقيق ذلك، فإنهم يحتاجون إلى استخدام

نوع خاص من األعداد تعرف باألعداد الصحيحة.

١ بخالف القياسات السابق ذكرها، ما القياسات األخرى التي يمكنك قياسها عن األرض؟

٢ اشرح فائدة أن يكون لدى االنسان فهم جيد لألرض.

كيف تستطيع قياس ارتفاع جبل؟

oáë«ë°üdG oOGóYC’GIntegers

86

األعداد الصحيحة استكشف

صل الدين

د مبلغ النقود الذي سوف يصبح لدى كل شخص، أو المدين به كل شخص في ١ حدحالة تسديد كل الديون المستحقة.

ب األصدقاء الخمسة بادئا بمن لديه أكثر كمية من النقود ومنتهيا بأكثرهم ٢ رتمديونية.

د موضع كل من األشخاص الخمسة على الشكل التالي. ٣ حد

د ما إذا كانت اإلجابة «٦» تعني ٤ من دون استخدام الكلمات، كيف تستطيع أن تحد

أن الشخص لديه ٦ دنانير أم مدين بمبلغ ٦ دنانير.

سوف تتعلم ما العدد الصحيح

ترتيب األعداد الصحيحة.

من االستخداماتيتعامل عمال منطاد الهواء

الساخن، باألعداد الصحيحة لتحديد الثقل أو الوزن الالزم

للحفاظ على ارتفاع معين.

المصطلحات األساسية عدد موجب عدد سالب عدد صحيح

مجموعة األعداد الكلية (الطبيعية)

ط : {٠، ١، ٢، ٣، ٠٠٠}مجموعة األعداد الصحيحة

الموجبة {١، ٢، ٣، ٠٠٠} = +w

مجموعة األعداد الصحيحة السالبة{١، -٢، -٣، ٠٠٠-} = -w

مجموعة األعداد الصحيحة{٠٠٠، -٢، -١، ٠، ١، ٢، ٣، ٠٠٠} =w

صلة الدرس تعلمت كيفية تحديد األعداد الكلية على خط األعداد. واآلن سوف تستقصي مجموعة من رموز األعداد ترتبط بهذه األعداد الكلية وتقوم بتمثيلها على خط

.األعداد

أنا مدين لسليمان بمبلغ ستة دنانير، ولدي ستة دنانير في

حصالتي.

أنا مدين لنبيل بأحد عشر دينارا ولدي خمسة عشر

دينارا في محفظتي.

أنا مدينة ألختي بمبلغ ثالثة دنانير، ومدينة لمنال بمبلغ

تسعة دنانير.

مدينلديه نقود

١٤ ١٢ ١٠ ٨ ٦ ٤ ٢ ٠ ٢ ٤ ٦ ٨ ١٠ ١٢ ١٤

ريم حصالح

خليفة هنادي أسيل أ

لدي ثالثة دنانير في محفظتي، وأدين لجميلة

بمبلغ ثمانية دنانير.

لدي ثمانية دنانير في حصالتي، وأخي مدين لي بمبلغ أربعة

دنانير.

14-2oáë«ë°üdG oOGóYC’GIntegers

87

األعداد الصحيحة تعلم

من فهمك تحقق

pΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

العالم دول أغلب تستخدم (المئوية) السيليزية الدرجات

لقياس درجات الحرارة.يتجمد السيلزي النظام في سيليزية صفر درجة عند الماء ويغلي عند درجة ١٠٠ درجة

سيليزية.المتحدة الواليات وتستخدم الفهرنهيتي النظام األميركية عند الماء فيه يتجمد والــذي ودرجة فهرنهيتية، º٣٢ درجة

غليانه هي º٢١٢ فهرنهيتية.

٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ـ١ ـ٢ ـ٣ ـ٤ ـ٥ ـ٦

سالبموجب الصفر

٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ٠ ـ١ ـ٢ ـ٣ ـ٤ ـ٥ ـ٦

معظم األعداد التي شاهدتها من قبل كانت أكبر من الصفر أو تساويه. وتعرف األعداد األكبر من الصفر باألعداد الموجبة. وتوجد مجموعة أخرى من األعداد جميعها أصغر من

الصفر، وتعرف باألعداد السالبة.

تستخدم األعداد السالبة للحفاظ على تسلسل القيم األقل من درجة معينة. وتستخدم هذه

األعداد لوصف الديون، واألعماق األقل من مستوى سطح البحر، ودرجات الحرارة السيلزية (المئوية) األقل من درجة التجمد.

وتظهر األعداد السالبة دائما مع إشارة سالبة (-). وربما تأخذ األعداد الموجبة إشارة موجبة (+)

أو ربما ال تأخذ. وتتكون مجموعة األعداد الصحيحة من األعداد الصحيحة الموجبة = {١، ٢، ٣، ...}

واألعداد الصحيحة السالبة {-١، -٢، -٣، ...} والصفر.م تجاه يمين العدد يعني التقدم تجاه العدد األكبر منه، وعلى خط األعداد يصبح التقد

والتقدم تجاه يسار العدد يعني التقدم تجاه العدد األصغر منه.

مثال (١)

رتب األعداد الصحيحة التالية تصاعديا: ١ ، - ٢، ٤، -٥.

د مواضع األعداد على خط األعداد، أبعد عدد تجاه اليسار وهو (-٥) ثم تليه األعداد -٢، حد

١ ،٤ أي أن ترتيب األعداد تصاعديا هو:٥، -٢، ١، ٤-

حاول أن تحل

اذكر أي درجات الحرارة المئوية اآلتية أكبر: ºأو ٦ º(ب) -٧ ºأو -٤ º(أ) ٤

رتب األعداد الصحيحة التالية تصاعديا:(جـ) ٣ ، -١٠ ، ٧ ، ١٠ ، ١ ، ٠

١ ما نوع األعداد التي تنتمي إلى األعداد الصحيحة؟ر. ٢ هل األعداد الصحيحة السالبة دائما أصغر من األعداد الصحيحة الموجبة؟ فس

الصحيح العدد هو الصفر الوحيد الذي ليس موجبا وال

سالبا.

تعلم؟ هل

88

حل المسائل والتفكير المنطقي

ر إجابتك. ١ عدد صحيح؟ فس٢

١ عدد صحيح؟ هل - ٢

١ التواصل: هل ...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

٢ التفكير الناقد: األعداد العشرية مثل األعداد الصحيحة يمكن أن تكون موجبة أو سالبة.ا. ب كل مجموعة من مجموعات األعداد العشرية اآلتية تصاعدي رت

(ب) -٧,٣ ، -٢,٥ ، -٥,٨ (أ) ١,٦ ، -٢,٧ ، -٥,٦

(د) -٠,٣ ، -٠,٥ ، -٠,٤ (ج) -٠,٢٥ ، ٠,٥ ، -٠,٧٥

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

٣ المجلة: ما أكبر عدد صحيح موجب، وأكبر عدد صحيح سالب؟اشرح إجابتك.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

ب األعداد نفسها من األقرب إلى الصفر إلى األبعد عن ا، ثم رت ب -٥ ، -٢٦ ، ٨ ، ١٩ ، -٢٠ تصاعدي ٤ التفكير الناقد: رتالصفر. اشرح أوجه التشابه واالختالف بين قائمتي األعداد.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................................................................................

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

89

سوف تتعلم. (النظير المعكوس الجمعي

.( الجمعي جمع األعداد الصحيحة.

من االستخداماتيستخدم حكام لعبة كرة القدم

جمع األعداد الصحيحة عند إدارتهم للمباريات.

المصطلحات األساسية( معكوس جمعي (نظير جمعي

صلة الدرس تعلمت في الدرس األخير أن األعداد الصحيحة تشمل أعدادا موجبةوأعدادا سالبة. واآلن ستتعلم كيفية جمع هذه األعداد معا.

المعكوس الجمعي لعدد صحيح هو عدد صحيح في الجهة

األخرى من الصفر، ولكن على المسافة نفسها من الصفر.٨،-٨ لهما المسافة نفسها من الصفر، ولذلك فكل منهما معكوس جمعي للعدد

اآلخر.

ناتج جمع عدد صحيح ومعكوسه الجمعي يساوي صفرا دائما.

٠٨- ٨

٨ وحدات

تذكربعدد الموجب العدد نمذجة تمت له، مساو الصفراء األقراص من بعدد السالب العدد نمذجة وتمت

من األقراص الحمراء مساو له.

٨ وحدات

اثنان غير موجودين يساويان صفرا!

األدوات المستخدمة: أقراص بالستيكية بلونين مختلفين.

جمع األعداد الصحيحة١ عد عددا كافيا من األقراص الصفراء

لتمثيل العدد األول الموجب (+).٢ عد عددا كافيا من األقراص الحمراء

لتمثيل العدد الثاني السالب (-).ن كل الثنائيات الصفرية الممكنة من األقراص والتي في كل منها قرص أصفر ٣ كو

وقرص أحمر، ونعلم أن كل زوج يمثل صفرا، احذف هذه الثنائيات.

د لون وعدد األقراص المتبقية. ٤ حد١ - نمذج كل مسألة من المسائل اآلتية، ثم اذكر الناتج:

(د) ٦ + ٢ (جـ) -٣ + (-٨) (ب) -٦ + ٥ (أ) ١٠ + (-٧) (ح) -٧ + ٧ (ز) -٤ + ٤ (و) -٥ + ٠ (هـ) ٤ + (-١٢)

٢ - ما ناتج جمع عددين صحيحين موجبين؟ ما ناتج عددين صحيحين سالبين؟ ر. فس

٣ - كيف يمكنك التوقع بنوع ناتج الجمع لعددين صحيحين، أحدهما موجب واآلخر سالب؟

+٥+(-٧)=؟

الناتج =-٢

جمع األعداد الصحيحة استكشف

15-2páë«ë°üdG pOGóYC’G o™ªLAdding Integers

90

استنباط المعلومات من الرسوم البيانية استنبااطططططط اللللللمعللللللوماات من اللللللرسوم اللللللبياانيةةةااستكككككككككشففف استكشف

يمكنك استخدام خط األعداد في جمع األعداد الصحيحة. ك جهة اليمين د العدد األول على خط األعداد، ثم تحر حد

ك جهة اليسار لجمع عدد سالب. لجمع عدد موجب، أو تحر

أمثلة

٢ اجمع ٢ + (-٤) ١ اجمع -٣ + ٥

٣ التقطت عالمة جيولوجيا عينة صخرية من عمق ١٢ مترا تحت مستوى سطح البحر، ثم تسلقت مسافة ٣١ مترا ألعلى والتقطت عينة صخرية أخرى.

من أي ارتفاع عن مستوى سطح البحر تم التقاط العينة الصخرية الثانية؟

: الحل

اكتب تعبيرا رياضيا ١٢ + ٣١-

اجمع ١٩ =

تم التقاط العينة الصخرية الثانية من ارتفاع ١٩ مترا فوق مستوى سطح البحر.

حاول أن تحل

اجمع

(ب) -٣ + (-٥) (أ) ٦ + ٤

(د) ٢+ (-٢) (جـ) -٧ + ٨

(و) -٦ + ١٢ (هـ) ١٠ + (-٣)

(ح) ٥+ (-٨) (ز) ٥+ (-٢)

١ إذا جمعت عددا صحيحا موجبا وعددا صحيحا سالبا، فهل ناتج الجمع سيكون موجبا ر. أو سالبا؟ فس

ر. ؟ فس ٢ ما ناتج جمع العدد الصحيح ومعكوسه الجمعي

جمع األعداد الصحيحة تعلم

من فهمك تحقق

إلدخال عدد سالب إلى اآللة الحاسبة،

مممممأدخل عددا ثم اضغط -/+ على المفتاح

٠ ٣-٢-١١- ٢ ٣

اتجه ٤ يسارا

٢ + (-٤) = -٢٠ ٣-٢-١١- ٢ ٣

اتجه ٥ يمينا

٣ + ٥ = ٢-

٠ ٣-٢-١١- ٢ ٣

اتجه ٣ يمينا

(-٢)+٣=١ابدأالمجموع

ppΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

ــجــزء الــخــارجــي يــســمــى الاألرض بسطح المحيط ويــتــرواح األرض، بقشرة كم. و٤ كم ٨ بين سمكها ودرجة حرارة أعمق األجزاء تكفي األرض قــشــرة فــي

لصهر الصخور.

91

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: نال أحمد على الدرجات التالية في اختبار الرياضيات خالل خمسة شهور: ٨٧، ٩١، ٨٨، ٩٥، ٨٩، قال ط درجاتي حوالي ٩٠ درجة، وذلك ألن درجاتي تبعد عن هذه الدرجة بمقدار: -٣، +١، -٢، أحمد: «أتوقع أن يكون متوس

». هل تتفق مع أحمد؟ +٥، -١، عندما أجمع هذه األعداد، يكون ناتج جمعها مساويا للصفر. ولذلك يجب أن أكون على حقاشرح إجابتك.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

٢ التفكير الناقد: تقوم حنان بعمل بعض األشغال اليدوية وبيعها للحصول على النقود. إذا كانت حنان قد كسبت وأنفقت المبالغ التالية بالدينار الكويتي : -٣ ؛ +٤ ؛ -٣ ؛ +٦ ؛ -٢ ؛ +٥ ؛ +١٢، فكيف يمكنك تحديد ما إذا كانت حنان ادخرت أو

خسرت نقودا؟...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

٣ المجلة: هل -٥ + ٣ يساوي ٣ + (-٥)؟ استخدم خط األعداد لتفسير إجابتك.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

92

ليس لديهم شيء يخسرونه!األدوات المستخدمة: أقراص بالستيكية بلونين مختلفين

طرح األعداد الصحيحة

١ أوجد ٥ - (-٤) باستخدام األقراص. استخدم أقراصا صفراء لتمثل +٥ • لتطرح (-٤) أنت بحاجة إلى إضافة ٤ ثنائيات صفرية من •

األقراص.اشطب ٤ أقراص حمراء لتبين أنك تطرح (-٤)•

عد عدد األقراص المتبقية وهي ٩ صفراء فيكون الناتج هو ٩أي أن ٥ - (-٤) = ٩

٢ أوجد -٣ - (-٤) باستخدام األقراص.استخدم أقراصا حمراء لتمثل -٣ • أضف ٤ ثنائيات صفرية لتطرح (-٤)• اشطب ٤ من األقراص الحمراء• ل أزواجا من الثنائي الصفري إلى أن يبقى لديك لون • شك

واحد من األقراص، الحظ بقي قرص أصفر واحد فيكون الناتج هو+١،

أي أن -٣ - (-٢) = -١

٣ نمذج كل مسألة مما يلي، ثم اذكر الناتج.(جـ) -٤ - (-١) (أ) +٤ - (-١) (ب) -٥ - (-٣)

(و) ٠ - (-٥) (هـ) +٢ - (-٢) (د) +٥ - (+٣) (ح) -٧ -(+٧) (ز) -٧ - (-٧)

؟ ٤ عند طرح عدد موجب، هل يكون ناتج الطرح أصغر أو أكبر من العدد األصلي

الجمع والطرح عمليتان عكسيتان. عند إضافة عدد سالب إلى عدد آخر، فإن الناتج ، وعند طرح عدد سالب من عدد آخر، فإن الناتج سوف سيكون أصغر من العدد األصلي

. يزيد عن العدد األصلي

سوف تتعلمطرح األعداد الصحيحة

من االستخداماتيستخدم عمالء المصارف جمع األعداد الصحيحة وطرحها عند تجديد دفاتر الشيكات الخاصة

بهم.

طرح األعداد الصحيحة تعلم

طرح األعداد الصحيحة استكشف

صلة الدرس في الدرس السابق، تعلمت كيف تجمع األعداد الصحيحة، واآلن سوف .تتعلم كيف تطرحها

تذكرالثنائي الصفري

يتألف من هو زوج من األقراص قرص أحمر وآخر أصفر.

-

- +

+

16-2

++++

páë«ë°üdG pOGóYC’G oìôWSubtracting Integer

++++

++++

93

يمكنك استخدام خط األعداد في طرح األعداد الصحيحة، وذلك باستخدام عكس

اإلجراءات المتبعة في الجمع.

أمثلة٢ اطرح ١ - ٣ ١ اطرح -١ - (-٤)

حاول أن تحل

(ب) -٢ - ٦ (أ) ٥ - ٧ (د) - ٤ -٣ (جـ) ٣ - (-١)

إذا طرحت ١٢ - ٢٠، فإن الناتج سوف يكون -٨، وإذا جمعت ١٢ + (-٢٠)، فسوف يكون الناتج - ٨ أيضا.

. وهذا يعني أنه لطرح عدد صحيح تقوم بإضافة معكوسه الجمعي(٢٠- ) + ١٢- (+ ٢٠) = ١٢

مثال (٣)حصل خليفة على مبلغ ١٤ دينارا نظير عمله في مزرعة مائية، وقد أنفق ١٦ دينارا في شراء حذاء

وقفاز الزمين لهذا العمل. ما المبلغ الذي كسبه أو خسره؟اكتب تعبيرا ١٤ - ١٦

أعد كتابة التعبير بإضافة المعكوس الجمعي (١٦-) + ١٤ = اجمع ٢- =

لقد خسر دينارين

حاول أن تحل

اطرح: (أ) ٥ - (-١٢) (ب) -٨ - (-١٣) (جـ) ١٠ - (-١٦) (د) -٢٤ - (-١٣)

p Ωƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGالمائية ــة ــزراع ال علم يهتم بدراسة نمو النباتات المزروعة المواد بعض فيه أذيب ماء في استخدام دون أي ية، المغذالتربة الزراعية المألوفة. ويمكن في المائية الزراعة استخدام تربة فيها ر متوف غير أماكن مثل الصحارى أو ظهر زراعية

السفن في البحر.

١ ٢-٢٠١- ٣ ٤

اتجه ٤ يمينا

١-(-٤ ) = ٣-١ ٢٠ ٣

اتجه ٣ يسارا

١ - ٣ = -٢٣-٢-١-

د العدد األول على خط األعداد، حدك يسارا لطرح عدد موجب، ثم تحر

ك يمينا لطرح عدد سالب. أو تحر

تذكرناتج جمع ومعكوسه الجمعي

يساويان صفرا دائما مثل:-٤+٤ = صفرا٥ + (-٥) = صفرا

٠ ٣-٢-١١- ٢ ٣

اتجه ٣ يمينا

ابدأ

٢-(-٣)=١-

ناتج الطرح (الفرق)

94

يعمل فيصل ونبيل كمندوبي توصيل الطلبات إلى المنازل على دراجة نارية، وحيث إنهما يمتلكان دراجة واحدة، وقد كسبا مبلغا من المال قدره ١٥٣ دينارا، فقد قررا شراء دراجة

أخرى من شقيق فيصل الذي قرر بيع دراجته بمبلغ ٢١٠ دنانير مع إبقاء جزء من الثمن كدين. إذا وافق فيصل ونبيل على شراء الدراجة، فما المبلغ الذي سيظالن مديونين به؟

، فأي الطريقتين ستكون أسهل؟ ١ إذا استخدمت الورقة والقلم في الحل، فأي الطريقتين ستكون أسهل؟ ٢ إذا استخدمت اآللة الحاسبة في الحل

١ كيف يكون طرح األعداد الصحيحة مشابها لجمع األعداد الصحيحة؟؟ ٢ عندما نطرح عددا سالبا من عدد آخر، لماذا يكون الناتج أكبر من العدد األصلي

من فهمك تحقق

ر ... فيصل يفكسوف أجمع المبلغ الذي لدينا وهو ١٥٣ دينارا إلى ثمن

بيع الدراجة وهو ٢١٠ دنانير١٥٣ + (-٢١٠) = -٥٧

سوف نظل مديونين بمبلغ ٥٧ دينارا

ر ... نبيل يفكسوف أطرح المبلغ الذي لدينا وهو ١٥٣ دينارا من ثمن

بيع الدراجة وهو ٢١٠، والفرق سيكون المبلغ الذي سنظل مديونين به.

٢١٠ - ١٥٣= ٥٧سوف نظل مديونين بمبلغ ٥٧ دينارا

ما رأيك؟

مـــا؟رأيك

95

قامت ناديا بزيارة والدها في مقر عمله فضلت طريقها داخل المبنى. لقد بدأت من الطابق األول، فصعدت ٤ طوابق بواسطة المصعد، ثم هبطت طابقين، ثم صعدت ٦ طوابق أخرى، ثم هبطت طابقا واحدا.

(أ) اكتب عبارة تمثل هذا الموقف.(ب) إذا بدأت ناديا من الطابق األول، فأي طابق ستنتهي عنده صعودا؟

افهم

ا تحت الجمل التي تصف الطوابق التي توقف عندها المصعد. ١ ضع خط

خطط

. ٢ ارسم مخططا للمبنى. ربما ترغب في استخدام خط أعداد رأسي يبدأ من الصفر ممثال للطابق األرضي٣ هل ستستخدم رموز أعداد موجبة أو رموز أعداد سالبة للتعبير عن الطوابق التي هبطتها ناديا باستخدام المصعد؟

٤ اكتب رمز العدد الصحيح الدال على كل جزء من الطريق الذي اتخذه مصعد ناديا.

(أ) بدأت من الطابق األول (ب) صعودا ٤ طوابق

(جـ) هبوطا طابقين (د) صعودا ٦ طوابق

(هـ) هبوطا طابقا واحدا

حل

٥ استخدم األعداد في السؤال رقم (٤) لكتابة عبارة. د الطابق الذي انتهت عنده ناديا في صعودها. ط عبارتك لتحد ٦ بس

تحقق

٧ لماذا يكون رسم شكل، يعبر عن المسألة، عامال مساعدا لحلها؟

حل مسألة أخرى

٨ صعد تامر طابقا على درجات السلم، ثم ركب المصعد هابطا طابقين، ثم صاعدا ٥ طوابق، ثم هابطا ٣ طوابق، ثم صاعدا طابقا واحدا.

(أ) اكتب عبارة تمثل هذا الموقف. ، فأي طابق سينتهي عنده صعودا؟ (ب) إذا بدأ تامر من الطابق األرضي

(16-2) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGحلالمسائلافهمخططحلتحقق

96

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ اختر اإلستراتيجية: في إحدى المدارس الثانوية التجريبية يجب أن يحوي الفصل ٣٠ طالبا فقط، ولكن بعض الفصول فيه أكثر

من ٣٠ طالبا وبعضها اآلخر فيه أقل من ٣٠ طالبا. استخدم المسؤول برنامج Spreadsheet لتحديد عدد الطالب الذين يجب

نقلهم.

جبأالتعديلعدد الطالبترقيم الحجرة

١١٠٣١١-٢١١٢٥٥+٣١٢٢٧٤١٣٣٤٥١٤٣-٦١٥٤+

(أ) كم عدد الطالب الذي يجب نقلهم من وإلى الحجرتين رقمي ١٢ ، ١٣؟ ما العدد الصحيح الذي يجب أن يحويه عمود

التعديل لكل حجرة منهما؟ اشرح إجابتك.

ر إجابتك. (ب) كم عدد الطالب الحالي في الحجرتين رقمي ١٤ و١٥؟ فس

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

97

سوف تتعلمضرب األعداد الصحيحة وقسمتها.

من االستخداماتيستخدم الحرفيون ضرب األعداد

الصحيحة وقسمتها عند حساب الدخل والمصروف اليوميين.

ضرب األعداد الصحيحة وقسمتها استكشف

صلة الدرس تعلمت كيف تجمع األعداد الصحيحة، واآلن سوف تتعلم ضرب هذه .األعداد وقسمتها

Spreadsheet األدوات المستخدمة: اآللة الحاسبة أو برنامج ما عالمتك؟ ١ يمكنك استخدام اآللة الحاسبة أو برنامج Spreadsheet لتكوين جدول الضرب Spreadsheet الخاص باألعداد الموجبة والسالبة. أدخل البيانات اآلتية في صفحة

البيضاء.

٢ أدخل الصيغة أ٢*ب١ في الخلية ب٢، ثم انقل الصيغة إلى أن تصل إلى العمود (ز)، ثم في كل عمود، انقل الصيغة نزوال إلى الصف رقم ١٠.

٣ ادرس إشارات نواتج الضرب على صفحة الـ Spreadsheet وصف أي أنماط تراها.٤ توقع نوع ناتج ضرب عددين صحيحين في الحاالت التالية:(ب) موجب، سالب (أ) موجب، موجب (د) سالب، سالب (جـ) سالب، موجب

٥ هل تعتقد أن ناتج الضرب (-٣) ^ (-٣) ^ (-٣) سوف يكون عددا موجبا أو ر إجابتك. سالبا؟ فس

ز و هـ د ج ب أ

٢ ١ ٠ ١- ٢- ٣- ١

٤- ٢

٣- ٣

٢- ٤

١- ٥

٠ ٦

١ ٧

٢ ٨

٣ ٩

٤ ١٠

É¡oરùbh páë«ë°üdG pOGóYC’G oÜöVMultiplying and Dividing Integers 17-2

98

ر، وهذا ما يساعدك في إيجاد ناتج ضرب عدد تذكر أن الضرب هو عملية جمع متكرصحيح موجب في عدد صحيح سالب.

٣ ^ (-٢) = (-٢) + (-٢) + (-٢) = -٦

مثال (١)اضرب:٣ × (-٣)

٩-٧-٨-٦-٥-٤-٣-٢-٠١-

٣ ^ ٤ =١٢ ∗ إذا كان العددان الصحيحان (-٢٠) ÷ (-٤)= ٥ موجبين معا أو سالبين معا،

فإن ناتج ضربهما أو ناتج قسمتهما سوف يكون موجبا.

٣ ^ ٤ = -١٢- * إذا كان العددان الصحيحان ٢٠ ÷ (-٤) = -٥ أحدهما موجب واآلخر سالب،

فإن ناتج ضربهما أو ناتج قسمتهما سوف يكون سالبا.

أمثلة٢ اضرب: -٧ ^ (-٩)

العددان سالبان؛ لذلك فإن ناتج الضرب سوف يكون موجبا.(-٧) ^ (-٩) = ٦٣

٣ اقسم ٧٢ ÷ (-٩)العددان أحدهما موجب واآلخر سالب؛ لذلك فإن ناتج القسمة سوف يكون سالبا.

٧٢ ÷ (-٩) = -٨٤ خالل أربع ساعات متتالية، انخفضت درجة الحرارة من صفر º سيليزية إلى -١٦º سيليزية.

إذا فرض أن درجة الحرارة انخفضت بالقدر نفسه كل ساعة، فما مقدار التغير الحادث في درجة الحرارة كل ساعة؟

: الحلاكتب تعبيرا رياضيا ١٦ ÷ ٤ - أوجد ناتج القسمة ١٦ ÷ ٤= -٤ -

انخفضت درجة الحرارة ٤ درجات سيليزية كل ساعة.

حاول أن تحل

(د) ١٠ ^ ١ (جـ) ١٢ ^ ٥ (ب) -١٥ ^ (-٦) اضرب: (أ) ٤ ^ (-٩)

(ح) -٩ ÷ (-٣) (ز) ٣٠ ÷ (-٥) (و) ٢٤ ÷ ٨ اقسم: (هـ) -١٢ ÷ ٣

ضرب األعداد الصحيحة وقسمتها تعلم

تذكريمكن اعتبار القسمة أيضا

را. طرحا متكر

فكرة مفيدة للمذاكرةعند حل مسألة لفظية، أعد

قراءة المسألة جيدا ثم اختبر صحة إجابتك للتأكد من

أنك قد أجبت عن السؤال المطروح.

٦-٥-٤-٣-٢-٠١-

٩- =

99

١ ما الذي تعلمه عن نوع عددين صحيحين، إذا كان ناتج ضربهما موجبا؟ وإذا كان ناتج قسمتهما سالبا؟

ا لكل من عمليتي ضرب وقسمة كل منهما يشمل عددا صحيحا سالبا. ٢ أعط مثاال حياتي

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: سجل مروان النقاط اآلتية في إحدى األلعاب:

ط ط نقاطه بأنها -٥. اذكر الفرق بين المتوس -٥، -١٠، ٥، -٢٠، ١٥. قدر مروان متوس

ط. اشرح إجابتك. الفعلي لنقاطه، وتقديره لهذا المتوس٢ المجلة: هل -٦ ^ ٤ تساوي ٤ ^ (-٦)؟ استخدم خط األعداد لتفسير إجابتك.

من فهمك تحقق

100

18-2سوف تتعلم

إيجاد قيمة المتغير الذي يحقق معادلة على صورة

h س + ب = جـ

من االستخدامات

يستخدم أصحاب محالت تأجير األفالم على األقراص المدمجة

(CD) الدفعة األولى والكلفة

الشهرية لحساب أرباحهم السنوية.

حة لكل من القيم. ١ احسب قيمة المقادير الموض

٢ أوجد قيم المتغير المناظرة للقيم المعطاة (خمن وتحقق).(اعمل بطريقة عكسية).

٣ اشرح كيف تمكنت من إيجاد الحلول في الجداول.

دة تستخدم فيها معادالت من متغير واحد مع عامل سوف تصادف مواقف حياتية متعدلهذا المتغير.

سوف تحتاج إلى عمليات عكسية في الجمع والطرح والضرب والقسمة لحل مثل هذه . الت البسيطة استخدام الحساب الذهني المعادالت، ويمكن في بعض المعد

حل المعادالت: h س + ب = جـ استكشف

حل المعادالت: h س + ب = جـ تعلم

صلة الدرس تعلمت حل المعادالت على صورة س + ب = جـ وعلى صورة h س= جـ حيث س هي المتغير ولكن كال من h ، ب، جـ هي ثوابت. اآلن سوف تتعلم حل المعادلة على

٠= h ، س + ب= جـ h صورة/

٤س - ٥س١٣٦١٢

٥س + ٢س٢٤٦٨

٢س - ٣س١٣٥٧

٤س + ٢س٢٦١٤١٨

`L = Ü + ¢S h : pä’OÉ©ŸG tπMSolving Equations: ax+b=c

101

من فهمك تحقق

أمثلة:

حل المعادالت اآلتية:١ ٢س + ١٥ = ٢٥

استخدم العملية العكسية للجمع:٢٥ - ١٥ = ٢س + ١٥ - ١٥

ط بس ١٠ = ٢س

استخدم العملية العكسية للضرب ١٠٢

= ٢س٢

٥ = س

٢ ٤ س - ٧ = ٢١٢١ + ٧ = ٤س - ٧ + ٧

٢٨ = ٤س

٢٨٤ =

٤س٤

٧ = س

صة دفعة أولى ٣ أراد محمد االشتراك بشبكة اإلنترنت فطلبت إليه إحدى الشركات المتخص٧٥ دينارا مقابل اشتراك وعليه دفعة شهرية ٢٠ دينارا.

(أ) اكتب تعبيرا رياضيا يمثل ما سيدفعه محمد بعد س شهر .٢٠س + ٧٥

كم عدد األشهر في حال بلغ ما دفعه محمد ٥٥٥ دينارا؟

نكتب المعادلة ٥٥٥ = (ب) ٢٠س+٧٥

٥٥٥ - ٧٥ = ٢٠س+٧٥-٧٥

٤٨٠ = ٢٠س

٤٨٠٢٠

= ٢٠س٢٠

فيكون عدد األشهر ٢٤ شهرا ٢٤ = س

حاول أن تحل

(ب) ٥ د - ٧ = ٢٨ (أ) ٣ س + ٥ = ١٧

١ هل يمكن التعويض بأي قيمة للمتغير س في ٣ س + ٤؟٢ هل يمكن التعويض بأي قيمة للمتغير س في ٣ س + ٤ = ٢٢ للحصول

على حل للمعادلة؟ ٣ هل تجد أن الحساب الذهني هو طريقة دائمة لحل المعادالت

h س + ب= جـ؟

102

حس عددي

الجبر

معادالت

التعبيرات (المقادير)

حساب ذهني ل االسم المطو

أنماط عددية

تقدير

حس إجراء العمليات األعداد األعداد الكبيرة

الصحيحة

فهم األعداد الصحيحة

االسم اللفظي الموجز

االسم اللفظي بالكلمات

الشكل النظامي

الطرحالجمعاألس

الضرب والقسمة

pá«fÉãdG pIóMnƒ∏d w»ª«¶æJ l§ s£fl

103

ÉgÒ°ùØJh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG IAGôbIóMƒdG(CG) ¤hC’G

oIóMnƒdGoáãdÉãdG

إحدى الفرعونية المصرية تعتبر الحضارة استخدمت التي الحضارات أولى

استخدام يمكننا وال صفرا. العدد اآلن السائد العشري النظام ١٠ والذي يعتمد على األساس

من دون هذا العدد.

oáq«YɪàL’G oäÉ°SGQódG

تستخدم الفاصلة في بعض الدول لتدل على العالمة العشرية، أما في باقي الدول فتستخدم

النقطة لتدل عليها.

p⁄É©dG o܃©°T

ق حدد أحد المعلمين جائزة مالية للطالب المتفوفي مادة الرياضيات قيمتها دينار واحد ومائة ر كيف سيوفر وأربعة فلوس من دون أن يفس

أربعة فلوس!

oÜGOB’Gh o¿ƒæØdG

8^45 nÒfÉfO

7^15 nÒfÉfO

6^65 nÒfÉfO

oáqjöû©dG o Qƒ°ùμdG

104104

láq«°SÉ°SCG láq«°VÉjQ l QÉμaCG

حصل نادي الكويت على المركز األول في البطولة العامة أللعاب القوى لفئة البراعم بعد

جمع ١٦٩ نقطة.

lá«∏°ùJ

يستخدم مقياس ريختر الكسور العشرية لقياس ل قوة زلزال ما ١,٣، قوة الزلزال. عندما تسج

ل قوة زلزال فإن الناس ال تشعر به. وعندما تسجما ٦,١ يحدث تدمير للمباني. أما الزالزل التي ل قوة أعلى من ٧,٩ فإنها تحدث تدميرا تسج

كامال.

oΩƒ∏©dG

يمكنك ضرب األعداد العشرية وقسمتها كما لو كانت أعدادا كلية، ولكنك تحتاج إلى االنتباه إلى مكان الفاصلة العشرية

في الناتج.

يمكن جمع األعداد العشرية وطرحها مثل األعداد الكلية عندما توضع الفواصل العشرية في خط عمودي واحد.

يمكن تقريب األعداد العشرية إلى أقرب منزلة بالطريقة نفسها التي يتم فيها تقريب األعداد الكلية.

المنزالت العشرية مثل جزء من عشرة أو جزء من مائة أو جزء من ألف تمثل كميات أصغر من ١.

تستخدم األعداد العشرية لوصف بعض األعداد الواقعة بين األعداد الكلية.

pIóMnƒdG o höûe حلالمسائلافهمخططحلتحقق

في هذا المشروع ستقوم ببحث ميزانيتك الشخصية عن طريق تحليل كم صرفت من

دة. ابدأ بتقدير المبلغ المال في فترة زمنية محدالذي تصرفه كل أسبوع على الطعام والمواصالت

والتسلية.

Decimal Numbers

105

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

pπFÉ°ùŸG uπM ≈∏Y oõ«cÎdG

تحديد المعلومات غير الضروريةعندما تتعثر أثناء محاولتك في فهم أحيانا يساعدك قد فإنه ما، مسألة متعلقة أبسط أسئلة عن تجيب أن طريق وعن نفسها، بالمسألة المعطاة المعلومات في التمعن في يساعدك سوف هذا فإن لك، التي اإلستراتيجية نوع د تحد أن

سوف تتبعها في حل المسألة.

:ɪ¡æe xπμH pá≤u∏©àŸG pá∏Ä°SC’G øY rÖ pLCGh ,Úà«dÉàdG ÚàdCÉ°ùŸG pCGôbG

١ إذا افترضنا أنه بين كل ١٠٠ أسرة ط يوجد ٣١ أسرة تربي قططا، ومتوس

عدد القطط في كل أسرة هو قطتان؛ وإذا كان عدد القطط الموجودة في مدينة ما

٠٠٠ ٠٠٠ ٥٧ قطة، فما عدد األسر الموجودة في هذه المدينة؟

(أ) ما الفكرة التي تدور حولها هذه المسألة؟

(ب) ما المطلوب في هذه المسألة؟(جـ) كم يبلغ تقريبا عدد القطط

الموجودة في المدينة؟ط عدد األسر في (د) إذا افترضنا أن متوسمنطقة مجاورة للمدينة يبلغ ٦٠٠ أسرة،

فما عدد األسر التي يمتلك أصحابها قططا في هذه المنطقة؟

(هـ) اكتب سؤاال من عندك، ثم أجب عنه.

٢ في إحدى السنوات، وجد أن عدد لين في المرحلة االبتدائية التالميذ المسج

يبلغ ٣٩٣ ١٢٦ طالبا، وعدد التالميذ لين في المرحلة المتوسطة المسج ٦٢١ ٤٢ طالبا، وعدد الطالب

لين في الصفين العاشر والحادي المسجعشر ١٢٩ ٤٦ طالبا، وعدد الطالب

في الصف الثاني عشر ٩٤٧ ٣٩ طالبا. هل العدد الدال على مجموع طالب المرحلتين المتوسطة والثانوية أكبر أو

أصغر من عدد الطالب في المرحلة االبتدائية؟

(أ) ما الفكرة التي تدور حولها المسألة؟(ب) ما المطلوب في هذه المسألة؟

(جـ) كم عدد الطالب الذين تم تسجيلهم في المرحلة المتوسطة؟

لون هما أكثر عددا: الطالب المسج (د) أيفي الصفين العاشر والحادي عشر أم في

الصف الثاني عشر؟(هـ) اكتب سؤاال من عندك، ثم أجب

عنه.

106

oIóMnƒdG(CG) oáãdÉãdG

lπLQh l GQP É¡d lπLQh ...... lπLQh ...

١ لماذا يخاف بعض الناس من العناكب؟٢ ما نوع المعلومات التي تعتقد أنها مهمة بالنسبة إلى علماء العناكب الذين يدرسون

ا من هذه العناكب؟ نوعا أو صنفا خاص٣ لماذا تحتاج إلى استخدام األعداد الصغيرة عند دراسة العناكب؟

«مرحبا ... نعم أود الحصول على ثالث من ورد شيلي ثمن الواحدة ١,٥٠٠

من وواحدة دينار، ٢,٥٠٠ الواحدة ثمن پيرو ورد من واثنتين دينار،

بمبلغ واحدة زرقاء ونورة دينار، ١,٧٥٠ بسعر ستاربرست

غريب الطلب هذا دينارا. ١٤ كلها وثمنها دينار. ٢,٧٥٠

ق أو ال ومكلف بالنسبة إلى محل بيع الزهور، ولكن صد

لنوع طلبا كان ولكنه للزهور، طلبا ليس فهذا ق تصد

من العناكب السامة المعروفة باسم الرتيالء!

األخرى من واألنواع الرتيالء أن يرى بعض الناس

ويرى تجنبها، يجب مخيفة مخلوقات العناكب

الخاصة عاداتها لها مخلوقات أنها اآلخر بعضها

في الصيد والتزاوج، والتي تختلف عن عادات أي

الدنانير، آالف العناكب علماء وينفق آخر. حيوان

المخلوقات هذه لدراسة طويلة ساعات ويقضون

. وتلعب الرياضيات دورا العجيبة ذات الثماني أرجل

صغيرة. مخلوقات فالعناكب العناكب؛ دراسة في مهما

األعداد إلى تحتاج فأنت ووصفها، بدراستها تقوم عندما

ك الرياضيات بهذا النوع من األعداد. الصغيرة والدقيقة. وتمد

páqjöû©dG pQƒ°ùμdG oº«gÉØeDecimal Concepts

107

سوف تتعلم كيف تكتب األعداد في الصورة

العشرية. كيف تمثل األعداد العشرية

باستخدام شبكة الخطوط المربعة. تقريب الكسور العشرية مقارنة األعداد العشرية

من االستخداماتيستخدم علماء الزالزل األعداد

العشرية لوصف كمية الطاقة الناتجة عن الزلزال.

تؤخذ القياسات من مرسمة الزلزال وتترجم إلى كمية الطاقة.

المصطلحات األساسيةالقيمة المكانية.

الدرس في الفصل السابق تعلمت كيف تقرأ وتكتب وتقارن األعداد الكلية، صلةبها، واآلن سوف تتعلم كيف تقرأ وتكتب األعداد غير الكلية، وبخاصة وكيف تقر

.ب الكسور العشرية وكيف تقارن األعداد العشرية األعداد بين ٠ و ١، وكيف تقر

1-3

األعداد العشرية استكشف

ما اسم هذه القيمة؟األدوات المستخدمة: آلة حاسبة

١ استخدم اآللة الحاسبة ومعلوماتك عن األنماط إلكمال الجدول السابق.٢ أسماء األعمدة الثالثة إلى يمين عمود اآلحاد هي: «جزء من عشرة»، «جزء من مائة»،

ر أسباب هذه التسمية. «جزء من ألف». فس

٣ فيم تتشابه األعمدة التي إلى يسار عمود «اآلحاد» واألعمدة التي إلى يمين عمود «اآلحاد»؟ وفيم تختلف؟

يسمح لك نظام القيمة المكانية لكل من اآلحاد والعشرات والمئات ... بكتابة العدد

الكلي مستخدما األرقام من صفر إلى ٩. وتستطيع كتابة بعض األعداد الموجودة بين

األعداد الكلية باستخدام الفاصلة العشرية والمنزالت (القيم المكانية) األصغر من

اآلحاد.

١ ٣١٠ = ٠,٣ ٧١٠٠ = ٠,٠٧

األعداد العشرية تعلم

فجزء من أل

جزء من مائة

جزء من عشرة

آحاد

فآال

تعشراتمئا

٧٣,١

,

المئات العشرات اآلحاد

الصورة الحسابية

١٠٠ ÷ ١ ١٠ ÷ ١ ١ ÷ ١

الصورة الكسرية

١٠٠١

الصورة على اآللة الحاسبة

oáqjöû©dG oOGóYC’GDecimal Numbers

108

فكرة مفيدة للمذاكرةجميع القيم العددية األصغر

من الواحد تبدأ بكلمة (جزء):١١٠ جزء من عشرة =

١١٠٠ جزء من مائة =

١١٠٠٠ جزء من ألف =

وهكذا ...

الترابط والتداخل بالعلومالصحراء رتيالء تقوم ما نادرا بلدغ الناس، وتأثير سمها ليس

أخطر من لدغة النحلة.

أمثلة

٢ ارسم شبكة لتمثيل العدد ٠,٧ ١ ما العدد الذي تمثله شبكة الخطوط أدناه؟

تمثل الشبكة العدد العشري ٠,٣٢

٣ اكتب واحدا صحيحا وواحدا وعشرين جزءا من ألف بالصورة العشرية.

واحد صحيح وواحد وعشرون من ألف = ١,٠٢١٤ يبلغ طول العنكبوت المعروفة باسم الرتيالء ٦,٩٤ سم.

اكتب هذا العدد بالصورة اللفظية.٦,٩٤ = ستة صحيح وأربعة وتسعون جزءا من مائة

حاول أن تحل

ما هو الكسر العشري الذي تمثله كل من شبكات الخطوط التالية؟(ب) (أ)

(د) ٠,١٣ مثل الكسور التالية على شبكة الخطوط: (جـ) ٠,٢

109

الترابط والتداخل بالعلوم

على حشرات، ليست العناكب أو الفقاريات أنها من الرغم . حيوانات من دون عمود فقريأخرى شعبة إلى تنتمي وهي تسمى المفصلية الحيوانات من

العنكبوتيات.

تذكرإليجاد طريقة هو التقريب إلى األقرب يكون تقدير

قيمة عددية معطاة

تقريب الكسور العشرية تعلم

مقارنة الكسور العشرية وترتيبها تعلم

110

تذكر أنك تستطيع تقريب األعداد عندما تريد تقدير إجابة ما أو عندما ال تكون بحاجة إلى استخدام القياسات في صورتها المعطاة لك.

لتقريب عدد عشري انظر إلى الرقم الموجود يمين المنزلة التي تريد التقريب إليها. إذا كان الرقم يساوي ٥ أو أكبر، يضاف ١ لرقم المنزلة التي يراد التقريب إليها، وإذا كان الرقم أصغر من ٥، يظل الرقم في

المنزلة كما هو ثم احذف األرقام يمين هذه المنزلة.

مثال (١)

يساعد مقياس الرسم الموضوع في شريحة الميكروسكوب عالم األحياء على تقدير األطوال إلى

أقرب جزء من مائة من السنتيمتر.يبلغ طول بيضة العنكبوت ٠,١٣٤٧ سم. أوجد تقدير

عالم األحياء لطول البيضة ألقرب جزء من مائة.ط المنزلة المراد التقريب إليها. ٠,١٣٤٧ حو

جزء من مائة انظر إلى الرقم يمين هذه المنزلة. إذا كان ٥ أو أكبر، فأضف ٠,١٣٤٧واحدا إلى الرقم الموجود في هذه المنزلة. وإذا كان أصغر من

٥، فاترك الرقم كما هو.احذف األرقام يمين هذه المنزلة. ٠,١٣

الطول هو تقريبا ٠,١٣ سم

حاول أن تحل

ب إلى المنزلة المعطاة: ١ قر(أ) ٠,٨٤٦ إلى أقرب جزء من عشرة(ب) ٧,٠٤٥ إلى أقرب جزء من مائة

٢ تستطيع العنكبوت إفراز مادة لزجة وقذفها على فريسة تصل إلى بعد ١,٩٠٥سم.قرب هذه المسافة إلى أقرب جزء من عشرة؟

، فإن قيمته ال تتغير. عندما تضع أصفارا إلى يمين عدد عشريفمثال:

٤,٣٧ = ٤,٣٧٠ = ٤,٣٧٠٠ = ٤,٣٧٠٠٠األعداد العشرية تكون سهلة في المقارنة عندما يكون لها العدد نفسه من األرقام التي تسبق تحقيق في تساعدك اليمين جهة من أصفار وإضافة اليمين)، جهة (من العشرية الفاصلة

ذلك.110

تذكر

٠,٨ = ٠,٨٠ = ٠,٨٠٠

الترابط والتداخل بالعلوم

عندما تتكون حفرة الفوهة: يصطدم نيزك بسطح كوكب أو

سطح قمر.

؟ ١ لماذا يشار إلى نظام النقود الكويتي على أنه نظام عشري٢ ما أوجه الشبه بين التقريب إلى اآلالف والتقريب إلى الجزء من األلف؟ وما

أوجه االختالف؟ ٣ إذا كانت ٣٥ أكبر من ٤، فلماذا تكون ٠,٤ أكبر من ٠,٣٥؟

من فهمك تحقق

٠ ٠,١ ٠,٢ ٠,٣ ٠,٤ ٠,٥ ٠,٦ ٠,٧ ٠,٨ ٠,٩ ١ أصغر أكبر

أمثلة

٢ قارن بين ٣٢,٢٠٧ ،٣٢,٣ ١ قارن بين ٠,٥ ، ٠,٠٧ ٣٢,٢٠٧ ٣٢,٣٠٠ (أضف أصفارا) ٠,٥٠ ٠,٠٧ (أضف أصفارا)

٣٢,٢٠٧ < ٣٢,٣ ٠,٥ > ٠,٠٧

حاول أن تحل

استخدم أحد رمزي العالقتين > و < لمقارنة أزواج األعداد العشرية التالية:(ب) ٠,٦٧ ٠,٠٦٧ (أ) ٢,٨ ٢,٤٥

يمكنك استخدام خط األعداد لترتيب األعداد العشرية حيث إنه قد يكون أسرع من إضافة األصفار.

مثال (٣)في الموجودة القطع أطوال بقياس كريم قام قطع. سبع من العنكبوت أرجل من رجل كل تتكون ٠,٨٩٨؛ ٠,٨٠٤؛ ٠,٨٨١؛ ٠,٩؛ يلي: كما فكانت الصيادة، الذهبية العنكبوت أرجل إحدى

٠,٨٧؛ ٠,٨٥؛ ٠,٨٧٦ رتب هذه األطوال تصاعديا.: الحل

يمكن تقسيم المسافة من ٠ إلى ١ على خط األعداد إلى أجزاء من عشرة، وأجزاء من مائة، وأجزاء من ألف (إذا لزم األمر)، وعندئذ تستطيع أن تمثل كل كسر عشري على خط األعداد.

أطوال القطع تصاعديا هي: ٠,٨٠٤، ٠,٨٥، ٠,٨٧، ٠,٨٧٦، ٠,٨٨١، ٠,٨٩٢، ٠,٩

حاول أن تحلرتب من األصغر إلى األكبر: ١,٧٤، ١,٠٨، ١,٠٠٩، ١,٧٢٥، ١,٦

٠ ٠,١ ٠,٢ ٠,٣ ٠,٤ ٠,٥ ٠,٦ ٠,٧ ٠,٨ ٠,٩ ١ أجزاء من العشرة

٠,٨ ٠,٨١ ٠,٨٢ ٠,٨٣ ٠,٨٤ ٠,٨٥ ٠,٨٦ ٠,٨٧ ٠,٨٨ ٠,٨٩ ٠,٩

أجزاء من األلف

أجزاء من المائة

٠,٩٠,٨٩٢٠,٨٨١٠,٨٧٠,٨٥٠,٨٠٤

٩,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,٠ ١

٩٢٨٩١

٠,٨٧٦

111

(1-3) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG

المدة الزمنية (بالثواني) السباح٣٢,٠١ جابر٣١,٨٤ فهد٣١,٩٢ يوسف

ح الجدول المدة الزمنية المستغرقة في إنهاء سباق السباحة. من حصل على المركز األول؟ الثاني؟ الثالث؟ يوض

افهم

١ ما المدة الزمنية التي استغرقها فهد إلنهاء السباق؟ ٢ هل المدة الزمنية التي يستغرقها األسرع أقل من أو أكثر من الزمن الذي يستغرقه

ر إجابتك. األبطأ؟ فس

خطط

٣ لكتابة المدد الزمنية بالترتيب، أي المنازل قارنتها أوال؟ثانيا؟ ثالثا؟ رابعا؟

حل

ا. ٤ اكتب المدد الزمنية بالترتيب تصاعدي٥ اكتب المدد الزمنية بالترتيب من األسرع إلى األبطأ.

٦ من جاء في المركز األول؟ الثاني؟ الثالث؟

تحقق

ر إجابتك. ٧ هل كنت بحاجة إلى مقارنة جميع المنزالت العددية لترتيب المدد الزمنية؟ فس

حل مسألة أخرى

يبين الجدول المقابل المدد الزمنية إلنهاء سباق الجري. من أتت في المركز األول ثم الثاني ثم الثالث؟

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

المدة الزمنية (بالثواني) العداءة٢٨,١٠ سهى٢٨,٠١ سعاد٢١,٠٨ منى

112

حل المسائل والتفكير المنطقي

ب إلى ب الى أقرب جزء من عشرة (يزيد) وإذا قر ا من األرقام ١، ٢، ٤، ٦، ٨ بحيث إذا قر ن عددا عشري ١ التفكير الناقد: كو. أنت ال تحتاج إلى استخدام األرقام الخمسة جميعا. أقرب جزء من مائة يظل كما هو أو يقل

ر لماذا يكون تقريب العدد ٤,٩٥ إلى أقرب جزء من عشرة هو ٥,٠ ليس ٥٠,٠؟ ٢ التواصل: فس

ب العدد ٥,٩٩٩٩٩٩٩ إلى أي منزلة عشرية سنحصل على اإلجابة نفسها مهما كانت ٣ التواصل: قال سامي إنه عندما نقرر إجابتك. ب إليها. هل هو على صواب؟ فس القيمة المنزلية التي نقر

٤ المجلة: لماذا تكون القياسات دائما قيما تقديرية؟

٥ التفكير الناقد: قام كل من أحمد وجاسم بتقريب العدد ٣,٤٦٨٢. قال أحمد إنه قرب العدد إلى منزلة ما فكبر العدد، وقال ر إجابتك. جاسم إنه قرب العدد إلى منزلة ما فصغر العدد. إلى أي منزلة قرب كل من أحمد وجاسم العدد؟ فس

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

113

تذكر أن األس يدلك إلى عدد مرات تكرار العدد (األساس) عند استخدامه كعامل.األساس ٨ واألس ٥ ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ ^ ٨ = ٥٨

وتقرأ: «ثمانية أس خمسة».

كثير من األصفار! األدوات المستخدمة: اآللة الحاسبة العلمية

١ أكمل الجدول باألسس الزوجية للعدد ١٠ من ٢ إلى ١٦. لتعرف كيف تظهر اآللة الحاسبة األعداد في الصورة األسية.

yx استخدم

1 0 yx 2 = مثال: إليجاد ٢١٠ استخدم

عدد األصفار في الشكل

النظاميعلى شاشة اآللة الحاسبة ) العدد ١٠ قوى (أس الصورة األسية

٢٤

١٠٠٠٠٠ ١٠

٢٤

٢١٠٤١٠

؟ ٢ كيف تقارن عدد األصفار باألس٣ لماذا ال تظهر اآللة الحاسبة ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ١ كقيمة للعدد ١٢١٠؟٤ كيف تظهر اآللة الحاسبة العدد ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ١٠٠؟

ظهرت العناكب للمرة األولى على سطح األرض منذ ٠٠٠ ٠٠٠ ٣٥٠ سنة. ومن الصعب األصفار. من كبير عدد على الحتوائها نظرا ٣٥٠ ٠٠٠ ٠٠٠ مثل أعداد مع التعامل يستخدم العلماء الصورة العلمية ألنها أسهل طريقة لكتابة رموز هذه األعداد. يكتب العدد بالصورة العلمية كناتج ضرب عاملين. األول أكبر من أو يساوي ١ وأصغر من ١٠ والثاني

أحد قوى العدد ١٠.إلى اليمين العشرية ك الفاصلة ، حر لتحويل العدد من الصورة العلمية إلى الشكل النظامي

عدد المنزالت نفسه التي تماثل أس العدد ١٠.الشكل النظامي الصورة العلمية

٣,٥ مع تحريك الفاصلة ٣,٥ ^ ٨١٠ = ٠٠٠ ٠٠٠ ٣٥٠العشرية ٨ منزالت إلى اليمين.

2-3سوف تتعلم

بالصورة األعداد رموز كتابة العلمية (القياسية).

من االستخداماتيستخدم عالم األحياء الصورة

العلمية عند تعقب عدد الخاليا في البكتيريا واألنسجة المزروعة

لألغراض العلمية والطبية.

المصطلحات األساسية الصورة العلمية القياسية لكتابة

رمز العدد.

استكشف الصورة العلمية لكتابة العدد

الصورة العلمية لكتابة رمز العدد تعلم

الدرس لقد رأيت أن األعداد قد تبدو كبيرة أو صغيرة. واآلن سترى كيفية صلة) التي درستها في الوحدة السابقة، لتسهيل كتابة األعداد استخدام األسس (جمع أس

.الكبيرة

الترابط والتداخل بالعلومرهاب العناكب، هو الخوف

المرضي من العناكب.

( páq«°SÉ«≤dG) páq«ª∏©dG pIQƒ°üdÉH pOGóYC’G pRƒeQ oáHÉàcScientific Notation

114

من فهمك تحقق

عدد عشري ذو رقم واحد قبل الفاصلة العشرية

قوى العدد ١٠ في الصورة األسية

يوجد في معظم الحاسبات العلمية زر

«EE» يجعلك تضع األعداد في الصورة

العلمية. أدخل العامل EE األول ثم اضغط

. وبعد ذلك األسمثال: ٣,٢ ^ ٥١٠

3 . 2 EE 5

لتحويل رمز عدد من الشكل النظامي إلى الصورة العلمية، اكتب رمز العدد في صورة ناتج ضرب عاملين.

العامل األول هو عدد أكبر من أو يساوي واحدا وأصغر من ١٠.العامل الثاني هو إحدى قوى العدد ١٠ في الصورة األسية.

الصورة العلمية (القياسية) الشكل النظامي ٢,٦٨ ^ ٤١٠ = ٢٦٨٠٠

أمثلة

١ اكتب ٥,١٣٣ ^ ٧١٠ في الشكل النظامياألس = ٧ والفاصلة العشرية يجب أن تتحرك ٧ منزالت إلى اليمين

٥,١٣٣ ^ ٧١٠ = ٠٠٠ ٣٣٠ ٥١٢ اكتب ٠٠٠ ٠٠٠ ٤٣٧ بالصورة العلمية٠٠٠ ٠٠٠ ٤٣٧ = ٤,٣٧ ^ ؟

العامل األول: يجب أن يكون عددا عشريا ذا رقم واحد إلى يسار الفاصلة العشرية: ٤,٣٧.العامل الثاني: هو إحدى قوى العدد ١٠، واألس هو عدد المنزالت التي تتحركها الفاصلة العشرية

جهة اليسار، تتحرك الفاصلة العشرية ٨ منزالت، أي أن٠٠٠ ٠٠٠ ٤٣٧ = ٤,٣٧ ^ ٨١٠

حاول أن تحل

اكتب في الشكل النظامي(ب) ٩,٠٦٢ ^ ١٠١٠ (أ) ٣ ^ ٤١٠

اكتب بالصورة العلمية(د) ٠٠٠ ٠٠٠ ٧٤٠ ١ (جـ) ٠٠٠ ٥٢

) بدال من قوى العدد معظم اآلالت الحاسبة العلمية تظهر الصورة العلمية مع الحرف E (لألس١٠، كمثال 7.55E14 له معنى ٧,٥٥ ^ ١٤١٠ نفسه أو

٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٧٥٥

ر إجابتك. ١ هل ٣١٠ يساوي ٠٠٠ ١؟ فس؟ وما عيوبها؟ ٢ ما مميزات الصورة العلمية عن الشكل النظامي

115

أصدرت وزارة المواصالت طوابع عليها صورة المرحوم الشيخ «عبد اهللا السالم الصباح» وهذا العدد مكتوب بالصورة العلمية، والعدد يحتوي على األس ٥، والعامل العشري له ثالثة أرقام جميعها أعداد فردية. والعدد أكبر من ٥,١٣ وأصغر من ٥,١٩ وجميع أرقامه مختلفة، فما عدد الطوابع التي تحمل صورة الشيخ «عبد اهللا السالم».

افهم

١ ما المطلوب إيجاده؟٢ كيف يمكن كتابة العدد الدال إلى عدد الطوابع؟

(ب) الصورة العلمية (أ) الشكل النظامي

خطط

٣ اكتب قوى العدد ١٠ لعدد الطوابع.٤ أرقام العامل العشري جميعها أرقام فردية.؟ أي األرقام يمكن أن يتضمنها العامل العشري

٥ يقع العامل العشري بين ٥,١٣، ٥,١٩، فأي رقم يكون:(ب) في منزلة الجزء من عشرة؟ (أ) في منزلة اآلحاد؟

(جـ) حيث إنه ال يمكن تكرار أي رقم في اإلجابة، فأي األرقام يمكن استخدامها في منزلة الجزء من مائة؟

حل

ح عدد الطوابع التي تم إصدارها. ٦ اجمع بين المعلومات التي وجدت في البندين ٤، ٥ لتكتب جملة توض

تحقق

٧ ما اإلستراتيجية التي استخدمتها للحصول على إجابتك؟

حل مسألة أخرى

تتكون أرقام أحد األعداد في الصورة العلمية من مضاعفات العدد ٣ ما عدا األساس ١٠ لقوى العشرة، وكل رقم استخدم مرة واحدة، والعدد هو أكبر عدد ممكن، فما العدد؟

(2-3) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGحلالمسائلافهمخططحلتحقق

116

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التواصل: اشرح لماذا يكون العدد ٣,٦١ ^ ٥١٠ وليس العدد ٣٦١^٣١٠ هو الصورة العلمية الصحيحة للعدد ٠٠٠ ٣٦١.

٢ المجلة: كيف يكون عدد األصفار في العدد ٠٠٠ ٠٠٠ ٠٠٠ ٤٥ مرتبطا باألس في العدد ٤,٥ ^ ١٠١٠؟

ر إجابتك. ٣ التفكير الناقد: ما الشكل النظامي للعدد ٣,٦٥ ^ ٥١٠؟ فس

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

117

سوف تتعلم تقدير نواتج جمع الكسور

العشرية وطرحها وضربها وقسمتها.

من االستخداماتيستخدم مصممو األقمشة ب التقديرات عند شراء المواد. يقر األحيان معظم وفي العشرية. الكسور وفرق مجموع لتقدير التقريب استخدام تستطيع

، ولمزيد من الدقة يقومون بالتقريب إلى األشخاص الكسور العشرية إلى أقرب عدد كليأقرب رقم عشري واحد (جزء من عشرة).

مثال (١)

١ أثناء التخفيضات الموسمية في مهرجان هال فبراير في الكويت، شاهدت تهاني قميصا ثمنه ٤,٥٠٠ دنانير وعباءة ثمنها ١٤,٩٥٠ دينارا، وأرادت شراءهما. إذا كان معها ٢٠

دينارا، فهل يكفي هذا المبلغ؟

ب كل عدد إلى أقرب دينار قر ٤,٥٠ دنانير ٥ دنانير

اجمع دينارا ١٥٢٠

١٤,٩٥ دينارا

الفعلي المجموع تهاني قربت إلى األعلى، فإن في حدود ٢٠ دينارا، وبما أن كانت التكلفة

يكون أصغر من التقدير؛ أي أن تهاني تملك مبلغا كافيا لشراء القميص والعباءة.

تستطيع أيضا التقريب لتقدير ناتج الضرب أو القسمة لألعداد العشرية.

٢ ٣٦,٩٥ ÷ ٧,٣٩بة ليست أسهل في استخدامها من األعداد األصلية. من المحتمل أن تكون األعداد المقر

٣٧ ÷ ٧ = ؟

عند تقدير ناتج الضرب أو المتوافقة (المتسقة) أفضل في التعامل األعداد لهذا السبب فإن

ناتج القسمة لألعداد العشرية.

تعلم التقدير باستخدام الكسور العشرية

الدرس في السابق استخدمت طرقا كثيرة لتقدير جمع األعداد الكلية وطرحها صلةوضربها وقسمتها. واآلن سوف تستخدم بعض هذه الطرق للتقدير باستخدام الكسور

.العشرية

3-3

{

páqjöû©dG pQƒ°ùμdG pΩGóîà°SÉH oôjó≤àdG Estimating with Decimals

118

من فهمك تحقق

تذكرهي المتوافقة األعداد إجراء يسهل التي األعداد

العمليات عليها مثل:٧٥ + ٢٥ أو ٤ ^ ٢٥

أمثلة

ر ٩,٨٨ ^ ٢٣,١٥ ٢ قد

اختر أعدادا متوافقة بالنسبة إلى عملية الضرب ٩,٨٨ ١٠

٢٣,١٥ ٢٣

١٠ ^ ٢٣ = ٢٣٠

ر ١٥٨,٧٥ ÷ ٢٨,٩٥ ٣ قد

اختر أعدادا متوافقة إلجراء عملية القسمة ١٥٨,٧٥ ١٥٠

٢٨,٩٥ ٣٠

١٥٠ ÷ ٣٠ = ٥

حاول أن تحل

ر كال من ناتج الجمع والطرح والضرب والقسمة التالية: قد

(ب) ٥٨,٣٧ - ٢٢,٨٤ (أ) ١٤,٦٣ + ١٩,٢٦

(د) ٤٧,١٣ ÷ ٦,٤ (جـ) ٦٧,٥٢ ^ ٩,١٨

؟ ر إذا كان تقدير ناتج جمع الكسور العشرية أكبر وأصغر من الناتج الفعلي ١ كيف تقر

٢ تتطلب بعض المسائل التي تحوي أعدادا عشرية إيجاد اإلجابة الدقيقة، وبعضها اآلخر

يكون فيها التقدير كافيا. أعط مثاال على كل منهما.

{

{

تعلم؟ هل

يستخدم الدينار في عدد من الدول العربية مثل: الكويت، كما ... األردن البحرين، دول في الــريــال يستخدم قطر ــل: مــث أخـــرى ــة عــربــي

والمملكة العربية السعودية.

119

جمع الكسور العشرية وطرحها استكشف

سوف تتعلم جمع األعداد العشرية وطرحها.

من االستخداماتيجمع الطيارون األعداد العشرية

لتحديد ارتفاعهم فوق سطح األرض.

األدوات المستخدمة: شبكة األجزاء من مائة، أقالم تلوين خشبيةجمع الكسور العشرية: أوجد ٠,١٤ + ٠,٦٧

ن األجزاء التي تمثل الكسر العشري األول ٠,١٤. - لو

ن األجزاء التي تمثل الكسر العشري الثاني ٠,٦٧. - لو- اكتب العدد الممثل في الشبكة.

١ مثل العمليات التالية على شبكة األجزاء من مائة:(ب) ٠,٦٣ + ٠,٢٠ (أ) ٠,٣٥ + ٠,٤٢ (د) ٠,٨٥ + ٠,٠٧ (جـ) ٠,١٦ + ٠,٧٧

طرح الكسور العشرية أوجد ٠,٧٥ - ٠,٣٦ن ما يمثل العدد األول على الشبكة. - لو

- احذف ما يمثل العدد الثاني من العدد األول.- اكتب العدد الذي يمثل األجزاء الباقية على الشبكة.

٢ مثل العمليات التالية على الشبكة:(ب) ٠,٩٣ - ٠,٤٠ (أ) ٠,٦٨ - ٠,٢٧ (د) ٠,٨٨ - ٠,٤٩ (جـ) ٠,٥٢ - ٠,١٩

٣ في العبارة ٠,٠٧ + ٠,٠٣ = ٠,١٠ كل من العددين اللذين تم جمعهما لهما أجزاء من مائة، لماذا لم نجد عند جمعهما جزءا من مائة في اإلجابة؟

٤ في العبارة ٠,٥٢ - ٠,٠٨ = ٠,٤٤ كيف تستطيع طرح ثمانية أجزاء من مائة من العدد األول الذي فيه جزءان من مائة؟

جمع األعداد العشرية وطرحها تعلم

عندما تجري عملية الجمع، تجمع الجزء من عشرة مع الجزء من عشرة وتجمع الجزء من مائة مع الجزء من مائة، وهكذا ... لكي نفعل ذلك نضع الفواصل العشرية فوق بعضها في

، ثم نقوم بعملية الجمع كما لو كنا نجمع األعداد الكلية. خط رأسي

صلة الدرس في الدرس السابق قمت بتقدير حلول المسائل التي تتضمن األعداد .العشرية، واآلن ستقوم بإيجاد القيم الدقيقة لعمليات الجمع والطرح

4-3

^^^^^

^^^^^

^^^^^

^^^

É¡ oMôWh páqjöû©dG pOGóYC’G o™ªLAdding and Subtracting Decimals Numbers

120

تذكرإضافة أصفار يمين

الفاصلة العشرية للعدد ال يغير من قيمة العدد.

مثال (١)ر ٢ + ٢ = ٤ قد اجمع ١,٧ ، ٢,٤٩

ضع الفاصلة العشرية في خط رأسي واحد.

أضف أصفارا إذا كان أحد العددين يحوي عددا من منزالت يمين الفاصلة العشرية أكثر من العدد اآلخر.

مثال (٢)تستخدم دولة الكويت أجزاء العملة المتداولة التي أساسها الدينار. لدى يوسف ١,٨ دينار، ولدى

فيصل ١,٣٨٥ دينار فقط، كم دينارا لدى يوسف أكثر مما لدى فيصل؟اطرح لتجد الفرق.

ر ألقرب رقم عشري واحد: ١,٨ - ١,٤ = ٠,٤ قد

ضع الفاصلة العشرية في خط رأسي واحد.

أضف أصفارا.

أي أن لدى يوسف ٠,٤١٥ دينارا أكثر مما لدى فيصل.

حاول أن تحل

أوجد الناتج:(ب) ٨,٥٩٢ - ٤,٦٣٥ (أ) ٤,٦٣١ + ٣,٩٨٦

(د) ٧,٣ - ٤,٤٥ (جـ) ٥,٦ + ١,٩٧٣

١,٧٢,٤٩ +

٤,١٩

١,٨٠٠١,٣٨٥-

٠,٤١٥

، وضع الفواصل العشرية في خط رأسي سواء في عملية الجمع أو ١ لماذا يكون من المهمالطرح لألعداد العشرية؟

٢ كيف تستطيع التحقق من أنك أجريت عملية الجمع أو الطرح لعددين عشريين بدقة؟

من فهمك تحقق

121

سوف تتعلم حل المعادالت التي تتضمن جمع األعداد العشرية وطرحها.

من االستخداماتيستخدم مديرو المتاجر المعادالت

العشرية لتحديد المبلغ الذي يجب طرحه من سعر السلعة في

التخفيضات.

ترى أين ...؟يبين هذا المخطط طول ضلعين من أضالع مثلث، وأعطي محيط المثلث أيضا.

(ب) (أ) المحيط = ١٦,٢ المحيط = ١٩,٨

(د) (جـ) المحيط = ١٤,٧ المحيط = ١٩,٣

(و) (هـ) المحيط = ٢٧,٦ المحيط = ٢٣,٣

١ أكمل الجدول.٢ اختر أحد األشكال، واكتب معادلة مستخدما الجمع كي تصف هذا الشكل.

٣ اختر شكال آخر، واكتب معادلة مستخدما الطرح كي تصف هذا الشكل.٤ هل يمكن وصف كل شكل بمعادلتين يستخدم في إحداهما الجمع، وفي األخرى

ر إجابتك. الطرح؟ فس

األطوال الناقصة استكشف

الدرس لقد استخدمت الحساب الذهني والعملية العكسية لحل معادالت صلةتحتوي على أعداد كلية. واآلن سوف تستخدم الطريقة نفسها لحل معادالت الجمع

.والطرح التي تحتوي على أعداد عشرية

5-3

٤,٥

٦,٧س

٨,٢

٦,٢

س

س

٤٨,٢

س

٦,١٤,٣

س٩

١٠,٨

س

٥,٨١١,٥

تذكرمجموع = المضلع محيط

أطوال أضالعه

٧,٨ ٧,١ ٥,٤ ٦ ٤,٣ ٥ قيم س

رمز الشكل

تذكر أنك تستطيع حل المعادالت التي تشتمل على جمع األعداد الكلية وطرحها باستخدام الحساب الذهني أو العملية العكسية. وتستطيع أيضا حل المعادالت التي

تشتمل على جمع كسور وأعداد عشرية وطرحها بالطريقة نفسها.

حل المعادالت التي تشتمل على جمع أعداد عشرية وطرحها تعلم

pìô£dGh p™ª÷G : páqjöû©dG pä’OÉ©ŸG tπM Solving Decimal Equations: Addition and Subtraction

122

من فهمك تحقق

تذكرالرمز ≈ يعني: يساوي تقريبا.

فكرة مفيدة لحل المسائل

يمكنك أيضا حل المسألة الطرح عملية باستخدام

لتراجع خطواتك.

أمثلة

١ حل المعادلة: س + ٢,٣ = ٣,٤استخدم العملية العكسية للجمع. ٣,٤ - ٢,٣ = س + ٢,٣ - ٢,٣

ط بس ١,١ = س

٣,٤ تحقق ١,١ + ٢,٣ =

٣,٤ = ٣,٤

قيمة س هي ١,١.

٢ خطط فريق الكشافة لعبور ممر أحد الجبال سيرا على

األقدام. في اليوم األول قطع مسافة ٨ كيلومترات، وفي اليوم

، إذا وجد عالمة في نهاية الممر الثاني وصل إلى نهاية الممر

تشير إلى أن طول الممر هو ١٠,٦ كيلومترات ، فما المسافة

التي قطعها الفريق في اليوم الثاني؟

: الحل

نفرض أن س هي المسافة التي قطعها الفريق في اليوم الثاني. تكتب المعادلة:

٨ + س = ١٠,٦

استخدم العملية العكسية للجمع. ٨ - ٨ + س = ١٠,٦ - ٨

ط بس س = ٢,٦

قطع الفريق ٢,٦ من الكيلومتر سيرا على األقدام في اليوم الثاني.

حاول أن تحل

حل كال من المعادالت التالية:

(ب) ن - ٠,٥ = ١٠,١ (أ) س + ٩,٤ = ١٩,٥

(د) أ - ٢,٠ = ٠,٢ (جـ) ص + ٧,١ = ١٢,٢

١ هل ستحل المعادلة ٤,٣ + س = ٧,٧ بالطريقة نفسها التي ستحل بها المعادلة ر إجابتك. س + ٤,٣ = ٧,٧؟ فس

٢ أعط مسألة حياتية يمكن أن نعبر عنها بالمعادلة س - ٢,٥ = ١٥,٣

123

سوف تتعلم كيفية ضرب عدد كلي في كسر

. عشري كيفية ضرب عدد كلي أو كسر

. عشري في كسر عشري

من االستخداماتيستخدم المهندسون المدنيون

الضرب في الكسور العشرية لمعرفة أقصى حمولة يمكن أن

يتحملها جسر ما.

ا! أنت أيضا تستطيع أن تكون طالبا مثالياألدوات المستخدمة: شبكة األجزاء من مائة، أقالم تلوين خشبية

ضرب عدد كلي في كسر عشري- أوجد ٣ ^ ٠,٤١

، ن ما يمثل األجزاء من عشرة في الكسر العشري - لو. ر ذلك عددا من المرات يساوي العدد الكلي ثم كر

ر ذلك عددا من المرات ، ثم كر ن ما يمثل األجزاء من مائة في الكسر العشري - لو. يساوي العدد الكلي

- اكتب العدد الذي تم تمثيله على الشبكة وهو يمثل ناتج الضرب، فيكون:٠,٤١ ^ ٣ = ١,٣٢

١ مثل المسائل التالية علىالشبكة، وأوجدالناتج:

(د) ٩ ^ ٠,٢٢ (جـ) ٧ ^ ٠,٠٩ (ب) ٣ ^ ٠,١٤ (أ) ٢ ^ ٠,٣٠ ا في كسر عشري أصغر من الواحد له جزء من عشرة وليس ٢ عندما نضرب عددا كلي

له أجزاء من مائة، فهل ستحوي إجابتك جزءا من عشرة أو جزءا من مائة؟ لماذا؟ا في كسر عشري أصغر من الواحد له جزء من مائة وليس له ٣ عندما نضرب عددا كلي

أجزاء من عشرة، فهل ستحوي إجابتك جزءا من عشرة أو جزءا من مائة؟ ولماذا؟، فهل يكون الناتج أكبر أو أصغر من العدد ا في عدد كلي ٤ عندما نضرب كسرا عشري

؟ ولماذا؟ الكلي

رة، وعملية ضرب عدد كلي في كسر تذكر أن عملية الضرب هي عملية جمع متكررة للكسر العشري مع نفسه عددا من المرات تساوي العدد عشري هي عملية جمع متكر

. الكلي

ضرب عدد كلي في كسر عشري استكشف

صلة الدرس تعلمت كيفية إجراء عملية ضرب األعداد الكلية، وكيفية جمع الكسور العشرية، واآلن سوف تتعلم كيفية إجراء عملية ضرب عدد كلي أو كسر عشري في

. كسر عشري

6-3

ضرب عدد كلي في عدد عشري تعلم

x…öûY möùc ‘ x…öûY möùc hCG x»q∏c mOóY oÜöVMultiplying a Whole Number or Decimal

by a Decimal Number

124

أمثلة١ اضرب ٢,٥ ^ ٣

إحدى الطرق إليجاد ناتج الضرب هي أن تجمع ٢,٥ ثالث مرات:

٢,٥ ٢,٥ ٢,٥

اإلجابة ٧,٥

٢,٥ ^ ٣ = ٧,٥. ٢ يمكنك استخدام الحساب لضرب عدد كلي في عدد عشري

، ثم ضع الفاصلة اضرب كأنك تضرب عددين كليين، عد المنزالت العشرية في العامل العشريالعشرية في الناتج لكي يكون للناتج عدد المنزالت العشرية نفسها.

أوجد ناتج ٤٣ ^ ٠,٢٧.٤٣ ^ ٠,٢٧ = ١١,٦١

٣ في مصنع، يصرف يوميا لكل عامل من عمال المصنع، الذين تجاوزوا الخمسين من عمرهم، ١,٥ من الكوب من عصير البرتقال.

إذا كان عدد العمال هو سبعة، فكم كوبا من البرتقال يشربه العمال في اليوم؟

ما يشربه العمال = ١,٥ ^ ٧ = ١٠,٥ أكواب.

الحساب الذهنيتستطيع أيضا استخدام

خاصية التوزيع. اجمع العدد الكلي ثالث مرات: ٢ + ٢ + ٢ = ٦

اجمع العدد العشري ثالث مرات:

٠,٥ + ٠,٥ + ٠,٥ = ١,٥اجمع ٦ + ١,٥ لتحصل

على ٧,٥.

٠ ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨٧,٥ ٩ ١٠

٤٣ ٢٧ ^٣٠١

٨٦٠ ١١٦١

+

125

تذكرإذا أضيفت أصفار إلى يمين ، فلن تتغير الكسر العشري

قيمته.

الترابط والتداخل بالتاريخالخطابات إرسال نظام كان السريع على متن الجياد الرشيقة مكلفا. عشر، التاسع القرن في خطاب إرسال تكلفة كانت وزنه ٢٨,٣٥ جراما حوالى ٦

دنانير.

٤ اضرب ٤,٧١ ^ ٢٣ر ٤,٧١ ^ ٢٣ ≈ ٥ ^ ٢٥ ≈ ١٢٥ قد

٤,٧١ ^ ٢٣ = ١٠٨,٣٣ (منزلتان عشريتان)التقدير ١٢٥ إذا اإلجابة منطقية.

استخدم هذا األسلوب المختصر لضرب عدد في كل من ١٠، ١٠٠، ٠٠٠ ١

ك الفاصلة العشرية منزلة واحدة إلى اليمين. - للضرب في ١٠ حرك الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليمين. - للضرب في ١٠٠ حر

ك الفاصلة العشرية ثالث منزالت إلى اليمين. - للضرب في ٠٠٠ ١ حرمن الممكن إضافة أصفار إلى العدد من جهة اليمين إذا لم تكن هناك أماكن كافية لتحريك الفاصلة العشرية

إلى اليمين.

٥ كان راكبو الجياد في نظام إرسال الخطابات السريع يحملون الخطابات في حقيبة مصنوعة من الجلد تسمى «مخالة». وكان راكب الجياد يحمل في العادة حوالى ٠٠٠ ١ خطاب وزن كل منها

٠,٠٢ كجم، أوجد وزن البريد الموجود في المخالة.: الحل

وزن البريد = ٠,٠٢ ^ ٠٠٠ ١ = ؟أضف أصفارا حتى تستطيع تحريك الفاصلة العشرية.

٠,٠٢٠ ^ ٠٠٠ ١ = ٢٠ك الفاصلة العشرية ثالث منزالت إلى اليمين. حر

وزن البريد الموجود في المخالة حوالى ٢٠ كجم.

حاول أن تحل

أوجد الناتج في كل مما يلي:(ب) ٠,٦ ^ ٧ (أ) ١,٢ ^ ٤

(د) ٠,٦٢ ^ ١٠٠٠ (جـ) ٩,٨١٣ ^ ١٢

٤٧١ ٢٣ ^١٤١٣

٩٤٢٠ + ١٠٨٣٣

126

من االستخدامات

يستخدم رجال اإلطفاء ضرب الكسور العشرية لتحديد كمية

قة من الخرطوم عند المياه المتدفدة. ضغط معين في مدة زمنية محد

ضرب كسر عشري في كسر عشري استكشف

البحث عن أجزاء من المائة!األدوات المستخدمة: شبكة األجزاء من مائة، أقالم تلوين خشبية

ضرب كسر عشري في كسر عشريأوجد ناتج ٠,٣ ^ ٠,٤

ا ن ما يمثل العدد األول رأسي - لوا ن ما يمثل العدد الثاني أفقي - لو

- اكتب رمز العدد الذي يمثل منطقة تداخل اللونين.فيكون ٠,٣ ^ ٠,٤ = ٠,١٢

١ مثل هذه المسائل على شبكة المربعات:(ب) ٠,٨ ^ ٠,٣ (أ) ٠,٣ ^ ٠,٢ (د) ٠,٧ ^ ٠,١ (جـ) ٠,٥ ^ ٠,٢

(هـ) ٠,٩ ^ ٠,٥٢ إذا ضرب كسران عشريان كل منهما يحتوي على جزء من عشرة فقط، فهل

ر إجابتك. سيحتوي الناتج على جزء من عشرة فقط؟ فس٣ عندما تضرب كسرين عشريين بين ٠ و١، هل سيكون الناتج أكبر منهما أو أصغر،

أو أكبر من أحدهما وأصغر من اآلخر؟

. اضرب ضرب كسر عشري في كسر عشري يشبه ضرب كسر عشري في عدد كليالكسرين كأنهما عددان كليان. ناتج ضرب الكسور العشرية ال بد أن يحتوي على

عدد المنزالت العشرية نفسه المساوي لناتج جمع عدد المنزالت العشرية في كل من العاملين.

٤,٣ ^ ٢,٧ = ١١,٦١(منزلتان عشريتان)

ضرب كسر عشري في كسر عشري تعلم

٤٣ ٢٧ ^

٣٠١ ٨٦٠+١١٦١

127

من فهمك تحقق

إذا ضغطت على الزر ٠ في اآللة الحاسبة قبل

الضغط على مفاتيح األرقام، ستقوم اآللة

الحاسبة بوضع صفر قبل الفاصلة العشرية تلقائيا.

وإلدخال ٠,١ عليك فقط الضغط على

. . 1

٦٤ ٣٧ ^

٤٤٨ ١٩٢٠+٢٣٦٨

فكرة مفيدة للمذاكرةلالختبار أدائــــك خـــالل ــار ــب االخــت أو ــري ــه ــش الألن اإلجابة ر قــد ، اليوميذلك يساعدك على تحديد اإلجابة كــانــت إذا ما منطقية (مقبولة) أم ال.

أمثلة٧ اضرب ٠,٠٦٤ ^ ٣,٧ ٦ اضرب ٤,٨ ^ ٢,٣ ر ٠,٠٦ ^ ٤ = ٠,٢٤ قد ر ٥ ^ ٢ = ١٠ قد

٤ أرقام عشرية في ناتج الضرب رقمان عشريان في ناتج الضرب ٠,٠٦٤ ^ ٣,٧ = ٠,٢٣٦٨ ٤,٨ ^ ٢,٣ = ١١,٠٤

استخدم الطرق المختصرة السابقة لضرب عدد في كل من ٠,١ أو ٠,٠١ أو ٠,٠٠١:

ك الفاصلة العشرية منزلة واحدة إلى اليسار. - للضرب في ٠,١ حرك الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليسار. - للضرب في ٠,٠١ حر

ك الفاصلة العشرية ثالث منزالت إلى اليسار. - للضرب في ٠,٠٠١ حر

من الممكن إضافة أصفار إلى الناتج من جهة اليسار لتستطيع تحريك الفاصلة العشرية. ٥,٤٧ ^ ٠,٠٠١ = ٠,٠٠٥٤٧

أمثلة٩ أوجد ناتج ٦ ^ ٠,٠٠١ ٨ أوجد ناتج ٢١ ^ ٠,١ ٦ ^ ٠,٠٠١ = ٠,٠٠٦ ٢١ ^ ٠,١ = ٢,١

حاول أن تحل

أوجد ناتج(ب) ٥٢,٤ ^ ٢,٨ (أ) ٠,٤ ^ ٢٣,٦ (د) ٥٦٧٧ ^ ٠,٠١ (جـ) ٠,٠٠٩ ^ ٤,١

(هـ) ٦ ^ ٠,١

ر إجابتك. هما أكبر: ٦,٢ ^ ٠,٤ أم ٦,٢ ^ ٠,٠٠٤؟ فس ١ أير إجابتك. ٢ عندما تضرب عددا في ٠,١، هل سيكون الناتج أكبر أو أصغر من العدد؟ فس

٣ ما وجه الشبه بين ضرب كسر عشري في كسر عشري وضرب عددين كليين؟٤ اشرح لماذا ٠,٤ ^ ٠,٢ = ٠,٨

٤٨ ٢٣ ^

١٤٤ ٩٦٠+١١٠٤

128

(6-3) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGتشرب إيمان ١,٥ لتر من اللبن كل أسبوع، وتشرب أيضا ٠,٥ لتر من عصير برتقال و٨ أكواب من الماء

ا، وجميع أكواب المياه لها السعة نفسها، أوجد باللترات كل يوم، فإذا كانت تشرب ١٩ لترا من السوائل أسبوعيمقدار ما يحتويه كل كوب من الماء؟

افهم

١ ما المطلوب إيجاده؟

٢ ضع مستطيال حول البيانات المعطاة باللتر في األسبوع.

ا تحت البيانات المعطاة باللتر في اليوم. ٣ ضع خط

خطط

٤ كيف ستوجد مقدار ما تشربه إيمان في أسبوع واحد عندما تعطى الكمية التي تشربها في اليوم الواحد؟

٥ كم كوبا من الماء تشربه كل يوم؟

٦ كم كوبا من الماء تشربه كل أسبوع؟

٧ كم تشرب من عصير البرتقال كل أسبوع باللتر؟

حل

ا باللتر؟ ٨ كم تشرب من اللبن وعصير البرتقال أسبوعي

٩ اطرح إليجاد ما تشربه من الماء كل أسبوع باللتر.

١٠ اقسم على ٥٦ إليجاد مقدار ما يحتويه كل كوب ماء باللتر.

تحقق

١١ كيف يمكنك العمل بطريقة عكسية الختبار صحة إجابتك؟

حل مسألة أخرى

ا نظير عملها في محل لبيع العطور، وتحصل على أجر إضافي يومي نظير تحصل ريم على مبلغ ٥٦,٥٣٠ دينارا أسبوعي ا بعناية الطفل وإذا كان مجموع ما تحصل عليه من أجر ا، فإذا عملت خمسة أيام أسبوعي العناية بأحد األطفال لمدة ساعتين يومي

هو ٧٤,٠٣٠ دينارا كل أسبوع، فما األجر الذي تحصل عليه نظير عنايتها بالطفل في الساعة الواحدة؟

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

129

(1-6) πFÉ°ùŸG π◊ ó°TôŸGحل المسائل والتفكير المنطقي

ر غرامة اجتياز السرعة بالدينار من المعادلة ٣,٢٥٠ + س حيث س هي عدد ١ التفكير الناقد: في إحدى المدن تقدالكيلومترات زائدة على الحد األقصى للسرعة.

(أ) ما غرامة السير بسرعة ٣٨,٦ كيلومترا/ ساعة في منطقة مدارس، حيث السرعة ٢٥ كيلومترا/ساعة؟

(ب) وجد حازم أن غرامة السرعة الخاصة به هي ١٥,٢٥٠ دينارا في منطقة مدارس، فكم كانت سرعته؟

٢ التواصل: ادرس النموذجس + ٣,٢ = ٩,٢

س + ٦,٤ = ١٢,٤

س + ٩,٦ = ١٥,٦

(أ) ما قيمة س؟

(ب) ما المعادالت الثالث التالية في هذا النموذج؟

ا بك، مستخدما جمع األعداد العشرية، س = ٨ ن نموذجا خاص (جـ) كو

٣ التفكير الناقد: لدى رياض ٣٠ مترا من السياج لعمل كشك مستطيل الشكل لكلبه، يكون عرضه ٣,٧٥ أمتار فقط، ، فما هو أكبر طول ممكن للكشك؟

٤ اختر اإلستراتيجية: لدى سها وسارة وريم مبلغ ٤,٢٥ دنانير فإذا كان لدى سهى دينار واحد أكثر من سارة، ولدى سها ضعف ما لدى ريم، فما نصيب كل فتاة؟

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

130

7-3

القسمة على عدد كلي استكشف

القسمة على عدد كلي تعلم

سوف تتعلم قسمة عدد عشري على عدد

كلي ال يساوي صفرا. قسمة عدد عشري على عدد

. عشري

من االستخداماتيستخدم علماء التغذية قسمة األعداد العشرية لمعرفة كمية البروتين التي يجب أن يأكلها

اإلنسان كل يوم.

المصطلحات األساسية المقسوم

المقسوم عليه ناتج القسمة

األدوات المستخدمة: شرائط األجزاء من عشرة. تصغير

القسمة على عدد كلي ال يساوي صفرا.أوجد ناتج القسمة: ٤,٨ ÷ ٦ن ما يمثل العدد األول. - لو

م العدد األول إلى مجموعات متساوية بحيث يكون عدد هذه المجموعات - قسمساويا للعدد الثاني.

- صف مجموعة واحدة على الشبكة.٤,٨ ÷ ٦ = ٠,٨

٦ ٥ ٤ ٣ ٢ ١ ١ مثل هذه المسائل بشرائط األجزاء من عشرة:

(د) ٣,٥ ÷ ٧ (جـ) ٢,٤ ÷ ٤ (ب) ٢,١ ÷ ٣ (أ) ٢,٠ ÷ ٥ ر إجابتك. ٢ هل لـ ٢,٤ ÷ ٣ ناتج ٣ ÷ ٢,٤ نفسه؟ فس

، وقسمة عدد كلي على عدد ٣ ما وجه الشبه بين قسمة كسر عشري على عدد كلي؟ كلي

عندما تقسم عددا على آخر، فإن العدد الذي ستقسمه هو «المقسوم» والعدد الذي تقسم عليه هو «المقسوم عليه» والناتج هو «ناتج القسمة». عندما نقسم على عدد كلي فإننا نقسم

المقسوم إلى مجموعات متساوية.ناتج القسمة المقسوم عليه المقسوم

٤ = ٣ ÷ ١٢

الدرس في الدرس األول من هذا الفصل، تعاملت مع مسائل تشتمل على صلةعمليات ضرب وناتجها كسور عشرية، واآلن سوف تتعلم كيفية إجراء مسائل القسمة

. التي يحتوي ناتجها على كسر عشري

تذكرال يمكن القسمة على الصفر.

x…öûY mOóY hCG »q∏c mOóY ≈∏Y o᪰ù≤dGDividing by a Whole Number or Decimal Number

131

تذكرط الحسابي هو ناتج المتوس

قسمة مجموع مجموعة األعداد على عدد هذه األعداد.

ا، اقسم كما لو كنت تقسم أعدادا كلية، ثم ضع فاصلة عندما يكون المقسوم كسرا عشريعشرية في ناتج القسمة مباشرة فوق الفاصلة العشرية للمقسوم.

أمثلة

٢ اقسم ١٥٣,٩٢ ÷ ٣٢ ١ اقسم ٤٢٧,٨ ÷ ٦

ر ١٥٠ ÷ ٣٠ = ٥ ر ٤٢٠ ÷ ٦ = ٧٠ قد قد

١٥٢,٩٢ ÷ ٣٢ = ٤,٨١ ٤٢٧,٨ ÷ ٦ = ٧١,٣

- استخدم هذه الطريقة المختصرة لقسمة عدد على ١٠ أو ١٠٠ أو ٠٠٠ ١.

ك الفاصلة العشرية منزلة واحدة إلى اليسار. - إلجراء القسمة على ١٠ حر

ك الفاصلة العشرية منزلتين إلى اليسار. - إلجراء القسمة على ١٠٠ حر

ك الفاصلة العشرية ثالث منزالت إلى اليسار. - إلجراء القسمة على ٠٠٠ ١ حر

٢,٥٣٢٧ ٦٨,٣١

٥٤ ١٤٣ ١٣٥ ٨١٨١٠٠

٧١,٣ ٤٢٧,٨٤٢

٦ ٠٠٧

١٨ ١٨ ٠٠

٦ ٤,٨١

١٥٣,٩٢١٢٨

٢٥٦ ٢٥٩

٣٢ ٣٢

٠٠

٣٢

132

تعلم القسمة على عدد عشري

العشري العدد احتواء مرات عدد د نحد ، عشري كسر على عشري عدد قسمة عند (المقسوم) للكسر العشري (المقسوم عليه) مثل:

٢,٥ ÷ ٠,٥كم ٠,٥ في ٢,٥.

أي أن ٢,٥ ÷ ٠,٥ = ٥

٥ ٤ ٣ ٢ ١

ل سكان العالم يزيد بمعد تعداد وفي ثانية. كل فرد من أســرع الوقت نفسه الذي تقرأ فيه هذه ٢٥ من أكثر يولد المعلومة،

طفال في أنحاء العالم.

تعلم؟ هل مثال (٣)

يعطي الجدول التالي تقديرا لتعداد السكان على مستوى العالم في فترة زمنية قدرها ١٠٠ عامل الزيادة في السكان كل سنة؟ - ما معد

٠٠٠ ٠٠٠ ٢٦١ ٦ ٠٠٠ ٠٠٠ ٦٠٠ ١ -٠٠٠ ٠٠٠ ٦٦١ ٤

الزيادة الكلية في ١٠٠ سنة حوالى ٠٠٠ ٠٠٠ ٦٦١ ٤ل الزيادة كل سنة، اقسم على ١٠٠ إليجاد معد

٠٠٠ ٠٠٠ ٦٦١ ٤ ÷ ١٠٠ = ٠٠٠ ٦١٠ ٤٦ل الزيادة السنوية حوالى ٠٠٠ ٦١٠ ٤٦ معد

حاول أن تحل

اقسم:(ب) ٢٠,٤٧ ÷ ٢٣ (أ) ١٥٤,٤ ÷ ٨ (د) ٢٦,٢ ÷ ١٠٠ (جـ) ٨,٠٢٩ ÷ ٧٤

(هـ) ٤٥ ÷ ١٠

تقدير التعداد العالمي للسكان

التعداد السنة ٠٠٠ ٠٠٠ ٦٠٠ ١ ١٩٠٠٠٠٠ ٠٠٠ ٢٦١ ٦ ٢٠٠٠

133

، ولكن يمكنك تغيير المسألة إلى يصعب حل المسألة التي فيها المقسوم عليه كسر عشريا. الحظ أنه عند ضرب كل من المقسوم أخرى ال يكون فيها المقسوم عليه كسرا عشري

والمقسوم عليه في العدد نفسه يظل ناتج القسمة كما هو.ناتج القسمة = المقسوم عليه ÷ المقسوم

٣ = ٢ ÷ ٦ اضرب كال من المقسوم

والمقسوم عليه في العدد ١٠اضرب كال من المقسوم

والمقسوم عليه في العدد ١٠٠اضرب كال من المقسوم

والمقسوم عليه في العدد ٠٠٠ ١ا، اضرب كال من المقسوم عليه والمقسوم في عندما يكون المقسوم عليه كسرا عشري

ا. قوى العدد ١٠ والتي تجعل المقسوم عليه عددا كلي٢,٦١٨ ÷ ٠,٣٤ = ٢٦,١٨ ÷ ٣,٤ = ٢٦١,٨ ÷ ٣٤

أمثلة

{{{

٣ = ٢٠ ÷ ٦٠ الحساب الذهني

لضرب عدد في ١٠، ك الفاصلة العشرية حر

منزلة واحدة جهة اليمين.

الترابط والتداخل بالتاريخالطاقة الكويت تعرف لم ١٩١٣م عام في إال الكهربائية بريطاني هندي مهندس بواسطة مع اتفاقية عقدت حيث بتاريخ الصباح مبارك الشيخ

١٩١٣/١٠/١٣

٤ أوجد ناتج قسمة ٥,٧٦ ÷ ١,٦٥,٧٦ ÷ ١,٦ = ٥٧,٦ ÷ ١٦

. اضرب كال من المقسوم والمقسوم عليه في العدد ١٠ لتحويل المقسوم عليه إلى عدد كلي

٥،٧٦ ÷ ١،٦ = ٣,٦

٥ في عام ١٩١٣ أدخل الشيخ مبارك الصباح الكهرباء إلى قصر السيف وذلك بقيمة ٧٠٠٠ روبية (وهي العملة في ذلك التاريخ) لتشغيل ٤٠٠ لمبة مع المكينة التي تعمل على الكيروسين.

أوجد كلفة تشغيل لمبة واحدة آنذاك.اقسم: ٧٠٠٠ ÷ ٤٠٠ = ٧٠ ÷ ٤

٧٠٠٠ ÷ ٤٠٠ = ٧٠ ÷ ٤ = ١٧,٥فتكون كلفة اللمبة الواحدة في ذلك الوقت ١٧,٥ روبية

٣,٦٥٧,٦٤٨

٩٦ ٠٩٦

٠٠

١٦

١٧,٥٧٠,٠

٤

٢٨ ٣٠

٢٠

٤

٢٠ ٠٠

٣ = ٢٠٠ ÷ ٦٠٠

٣ = ٢٠٠٠ ÷ ٦٠٠٠

134

يانها. فإذا كان أراد خالد ومحمد شراء ٣٠ كجم من طعام مجفف للطيور التي يربالطعام المجفف يباع بسعر ٢٥٠ فلسا لكل كجم، أو يباع صندوق منه يحتوي على

٣٢,٥ كجم بمبلغ ٦,٥٠٠ دنانير ، فأيهما أفضل للشراء؟

؟ باستخدام الورقة وقلم الرصاص أم ١ أي طريقة أسهل في إجرائها باستخدام الحساب الذهنيباستخدام اآللة الحاسبة؟

٢ كيف يستطيع محمد اختبار صحة حساباته؟ وكيف يستطيع خالد اختبار صحة حساباته؟

من فهمك تحقق

، فكم يكون عدد المنزالت العشرية في ١ إذا قسمت عددا له ثالثة أرقام عشرية على عدد كلير إجابتك. الناتج؟ فس

ك الفاصلة العشرية إلى اليمين، والضرب ٢ التواصل: اشرح لماذا ضرب األعداد في ٠٠٠ ١ يحرك الفاصلة العشرية إلى اليسار؟ في ٠,٠٠١ يحر

٣ اكتب مسألتين لقسمة األعداد العشرية بحيث يكون ناتج القسمة فيهما، هو نفسه قسمة.٢٠ ÷ ٢,٥

، ولكن أكبر ٤ لماذا يكون ناتج مسألة القسمة أصغر من المقسوم عند القسمة على عدد كليمنه عند القسمة على كسر عشري بين صفر و١؟

ر... خالد يفكسوف أقوم بقسمة تكلفة الصندوق على وزنه لتحديد ثمن الكيلوجرام الواحد.

٦,٥٠٠ ÷ ٣٢,٥ = ٦٥,٠٠ ÷ ٣٢٥

ثمن بيع الكيلوجرام في الصندوق هو ٠,٢٠٠ دينار، وهذا أقل من ثمن الكيلوجرام المفرد. أي أن شراء الصندوق أفضل.

مـــا؟رأيك

ما رأيك؟

ر ... محمد يفكسوف أجد ثمن ٣٠ كيلوجراما عن طريق ثمن الكيلوجرام الواحد.

الفاصلة العشرية بعد رقمين ٣٠ ٠,٢٥ = ٧,٥٠

تكلفة شراء ٣٠ كيلوجراما هي ٧,٥٠٠ دنانير، وهي أكبر من تكلفة شراء الصندوق؛ أي أن الصندوق هو أفضل للشراء.

حد.

ثا

٠,٢٠٠٦٥,٠٠٦٥٠٠

٠٠

٣٢٥

135

سوف تتعلم حل معادالت تشتمل على

كسور عشرية وتتضمن عمليات ضرب وقسمة.

من االستخداماتيستخدم البحارة المعادالت التي

تشتمل على كسور عشرية لتحديد سرعة اإلبحار للوصول إلى ميناء

د. معين في يوم محد

تستطيع حل معادالت الضرب والقسمة التي تشتمل على كسور عشرية باستخدام ، وباستخدام العملية العكسية. الحساب الذهني

أمثلةحل المعادالت التالية:

٠,٥ = س٣

١

العملية العكسية للقسمة هي الضرب. ٠,٥ ^ ٣ = ٣ ^ س٣

الفاصلة العشرية بعد منزلة عشرية واحدة. ١,٥ = س

تحقق : ٠,٥ =

١,٥٣

ا مقدارها ٢ لجأ متجر إلى التخلص من السلع الراكدة في مخزنه ببيعها بأسعار مخفضة جد. إذا باع سلعة بمبلغ ٣,٨٠٠ دنانير، فما ثمنها األصلي ؟ ٠,٠٢ من ثمن البيع األصلي

ثمن البيع األصلي = افرض أن : س

٣,٨٠٠ = ٠,٠٢ س فيكون :

العملية العكسية للضرب هي القسمة. ٣,٨٠٠٠,٠٢

= س ٠,٠٢٠,٠٢

٠,٠٢ ÷ ٣,٨٠٠ = س ٢ ÷ ٣٨٠ = س

١٩٠ = س أي أن الثمن األصلي للسلعة المباعة هو ١٩٠ دينارا.

حاول أن تحل

حل كال من المعادالت التالية:

(ب) ٠,٤ س = ٢,٤ (أ) ٣ ل = ٢,١

٠,٧ف = ٠,٧ (د) ١,١ = ص٥

(جـ)

١ أعط مسألة حياتية يمكن تمثيلها بالمعادلة ٠,٥ س = ٣,٥

الدرس سوف تستخدم في حل معادالت الضرب والقسمة التي تشتمل على صلة.كسور عشرية

8-3

حل معادالت الضرب والقسمة. تعلم

من فهمك تحقق

. p᪰ù≤dGh pÜö†dG : páqjöû©dG pä’OÉ©ŸG tπMSolving Decimal Equations Multiplication and Division

136

áãdÉãdG p IóMnƒ∏d w»ª«¶æJ l§ s£fl

الضرب والقسمة

التقدير

حل المعادالت

القياسات المترية

أشكال الكسر

الجمع والطرح الكسور العشرية

التقريببالكلمات

على شبكة الخطوط المربعة رمز األعداد

الصورة العلمية

137

ÉgÒ°ùØJh á«fÉ«ÑdG Ωƒ°SôdG IAGôbIóMƒdG(CG) ¤hC’G

استخدم قديما حبل ذو عقد لتحديد مساحات الحقول، وتحديد قيمة الضريبة المستحقة عليها.

oáq«YɪàL’G oäÉ°SGQódG

عرف المتر في البداية على أنه

من المسافة بين خط ١

٠٠٠ ٠٠٠ ١٠. االستواء والقطب الشمالي

oΩƒ∏©dG

يعتبر مجمع المارينا أحد أجمل المجمعات في الكويت وأحدثها. ويضم تشكيلة كبيرة من المحالت ذات االسم . وال يعتبر العالمي الشهير، والمقاهي، والمطاعم الفخمةد مجمع للتسوق ... بل يضم عدة (مجمع المارينا) مجر

مرافق أخرى تجعل منه مشروعا متكامال. يحتوي مجمع المارينا على أربعة مرافق رئيسية، وأخرى فرعية من مطاعم ، وواجهة بحرية. والمرافق الرئيسية هي: المجمع الرئيسي

مارينا كريسنت، فندق المارينا ومارينا ويفز.

oÜGOB’Gh o¿ƒæØdG

oIóMnƒdGoá©HGôdG

oo¢SÉ«≤dG

138138

، إستاد رياضي كويتي إستاد جابر األحمد الدوليد األغراض يقع في محافظة الفروانية جنوب متعد

مدينة الكويت. تبلغ الطاقة االستيعابية لإلستاد حوالى ج، ويعتبر أكبر إستاد رياضي في ٠٠٠ ٦٠ متفر

الكويت إذ يمتد على مساحة ٠٠٠ ٤٠٠ متر مربع.

lá«∏°ùJ

سور الصين العظيم، الذي بناه الصينيون القدماء، يغطي مساحة شاسعة يمكن رؤيتها من الفضاء

. الخارجي

p⁄É©dG o܃©°T

láq«°SÉ°SCG láq«°VÉjQ l QÉμaCG

يمكن إيجاد محيط مساحة الدائرة باستخدام عدد خاص يعرف باسم النسبة التقريبية (ط) وطول نصف القطر (نق).

تستطيع حساب مساحة المربع أو المستطيل أو متوازي األضالع أو المثلث، إذا عرفت كال من القاعدة واالرتفاع

والقاعدة المناسبة ( القانون المناسب).

مساحة الشكل هي مقدار الحيز الذي يغطيه الشكل من المستوي.

نا النظام المتري بأنواع مختلفة من الوحدات لقياس كل يمدمن الطول والوزن والسعة.

ملعب بتصميم ستقوم المشروع هذا في

مصغر للعبة كرة القدم. ابدأ بالتفكير في

األهداف شبكات ومواقع الملعب، ألرضية التخطيط

حسب الرئيسية والمنصة المشاهدين، ومدرجات

القياسات العالمية.

pIóMnƒdG o höûe حلالمسائلافهمخططحلتحقق

Measurement

139

pπFÉ°ùŸG uπM ≈∏Y oõ«cÎdG

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

لكل مسألة لفظية مما يلي، اذكر المعلومات العددية الضرورية للحل وغير الضرورية : . بعض هذه المسائل قد ال يحتوي على أي معلومات غير ضرورية للحل للحل

١ المركبة الفضائية لونيك ٢ هي أول ما صنعه اإلنسان بهدف الهبوط على سطح القمر، وقد أطلقت من االتحاد

السوڤييتي سابقا في ١٢ سبتمبر ١٩٥٩، وهبطت على سطح القمر في ١٤

سبتمبر ١٩٥٩. ما الزمن الذي استغرقته المركبة الفضائية في هذه الرحلة؟

٢ يبلغ طول قطر فوهة «جريمالدي» ٢٢٢ كم، ويبلغ طول قطر فوهة «يانسن»

١٩٠ كم. ما الفرق بين طولي قطري الفوهتين؟

٣ أطلق أول قمر اصطناعي «سبوتنيك ١» ثاني وأطلق ،١٩٥٧ أكتوبر من ٤ في من ٣ في «٢ «سبوتنيك اصطناعي قمر نوفمبر ١٩٥٧؛ فبعد كم يوما أطلق القمر

الصناعي الثاني «سبوتنيك ٢»؟

الفضاء رائد كان ،١٩٦١ عام في ٤بالدوران قام من أول غاغارين» «يوري قام وبعدها واحدة، مرة األرض حول األرض حول بالدوران تيتوڤ» «غيرمان «جون ويعتبر .«٢ «ڤوستك في مرة ١٧غلن» أول رائد فضاء أميركي قام بالدوران عام في مرات ثالث األرض حول الرواد هؤالء بها قام دورة كم .١٩٦٢

حول األرض؟

تحديد المعلومات غير الضرورية:دنا المسائل بأعداد كثيرة. غالبا ما تزو

بعض هذه األعداد يكون ضروريا لحل المسألة، ولكن ليس جميعها. ولفهم

المسألة تحتاج إلى تحديد أي من هذه . األعداد غير ضروري

140

oIóMnƒdG(CG) oá©HGôdG

ادرس هاتين القائمتين من الكلمات:

العمود (ب) العمود (أ) عرائس إطار سيارة ممزق

مجارف كنس علب معدنية فارغة جواهر لتزيين القبعات لوحة مستعملة لرقم السيارة

أحذية أغطية إطارات قديمة حافظات أوراق جلدية مصابيح محترقة

تماثيل متقنة ١ صل كل مفردة من مفردات أكياس أسمنت يمكن بما «أ» بالعمود النفايات تصنيعه منها من مفردات العمود

«ب».٢ ما المعلومات التي يمكنك التصنيع إعادة عن جمعها

وأثره؟نستخدم أن يمكن كيف ٣في للتحكم الرياضيات

النفايات؟

جميع مفردات العمود «أ» تبدو وكأنها نفايات، وجميع مفردات العمود «ب» تبدو وكأنها أشياء .« نافعة، وكذلك تبدو لزائري «متحف الفن الشعبي الدولي

» في «سانتا في Santa Fe» في والية «نيومكسيكو» في يقع «متحف الفن الشعبي الدوليالواليات المتحدة األميركية، وهناك يقوم أمناء المتحف بدراسة كيفية تناول الناس للنفايات

وتحويلها إلى أشياء نافعة أو سارة أو مسلية.ينتج العالم أطنانا من النفايات يوميا، ولذلك يجب علينا إيجاد طرق لتقليل كمية النفايات التي ننتجها، وإعادة استخدام األشياء قبل التخلص منها، وإعادة تدوير األشياء التي نعتبرها نفايات.

قد ال يكون لدينا متسع من الوقت إلجراء ذلك، ولكن من ناحية أخرى لدينا الرياضيات.

مصائب قوم عند قوم فوائد

p¢SÉ«≤dG oäGóMnhUnits of Measurement

141

1-4سوف تتعلم

. إيجاد محيط شكل هندسي

من االستخداماتيقوم مالكو العقارات بحساب

المحيط عند بناء أسوار لعقاراتهم.

المصطلحات األساسية المحيط

استكشف المحيط

الدرس تعلمت كيف تجمع الكسور العشرية واألعداد الكلية، واآلن سوف صلة .تستخدم هذه المهارات إليجاد محيط بعض األشكال الهندسية

مالحظة أطوال األضالعفي كل صف من صفوف الجدول التالي مجموعة من المثلثات المتطابقة األضالع،

ل في الجدول محيط الشكل الناتج بعد والتي طول كل ضلع منها ٤ وحدات طولية. سجإضافة مثلث في كل مرة.

محيط الشكل الناتج الرسم عدد المثلثات

١٢ ١

٤

٤

٤

٤٢

٣

٤

٥

ـــــــــــــــ ١٠

ـــــــــــــــ ١٠٠

١ أكمل الجدول. ال ترسم الشكلين األخيرين.٢ محيط المثلث هو ١٢ وحدة طولية، لماذا ال يزيد المحيط ١٢ وحدة طولية أخرى

بعد إضافة مثلث جديد؟٣ ما محيط الشكل الناتج للصفوف الخمسة األولى؟

المحيط تعلم

تعرف المسافة حول األضالع الخارجية للشكل بأنها «المحيط»؛ وإليجاد محيط مضلع ، فإنك تجمع أطوال أضالعه. هندسي

٤ ٤

٤

o§«ëŸGPerimeter

142

تذكرعند جمع األعداد العشرية، ضع الفواصل العشرية فوق

بعضها.

مثل العضوية، النفايات مــزج يسمح والــحــشــائــش، الــقــشــر بتحللها بسرعة وبصورة طبيعية، ولذا فإن هذه العملية تترك مكانا يمكن ال التي النفايات لتخزين إعادة تدويرها أو التي ال تتحلل

بسرعة.

pΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

سم١٨,٣ سم ١٢

,٥

٢٠ سم

٩ سم١٢٠ سم٠

مثال (١)

أوجد محيط المثلث:المحيط = ١٢,٥ + ١٨,٣ + ٢٠

= ٥٠,٨ سم

أحيانا ال يعطي الشكل أطوال األضالع، لكن يمكنك تعيين طول الضلع المجهول من مالحظة الضلع المقابل.

أمثلة٢ أراد أحمد صنع صندوق لجمع أوراق األشجار اليابسة التي في حقله،

وذلك من سلك شبكي عرضه ٣٠ سم ؛ إذا كانت فوهة الصندوق على شكل مستطيل أبعاده ١٢٠ سم و٩٠ سم،

وارتفاعه ٣٠ سم، فكم سنتيمترا من السلك الشبكي يحتاج؟فوهة الصندوق لها شكل مستطيل فيكون:

محيط فوهة الصندوق = ١٢٠ + ١٢٠ + ٩٠ + ٩٠ = ٤٢٠ سم.

. يحتاج أحمد إلى ٤٢٠ سم من السلك الشبكي

٣ أوجد المحيط (في الشكل المقابل):طول الضلع السفلي يساوي مجموع طولي الضلعين

العلويين. ٨ + ١٥ = ٢٣ سم.

الحظ أن طول الضلع األصغر ١٠ - ٧ = ٣المحيط =١٥ + ٣ + ٨ + ١٠ + ٢٣ + ٧

= ٦٦ وحدة طول

حاول أن تحل

أوجد محيط الشكل التالي:١٢

٦

٥

٥

١١

٨

٧

٨ + ١٥ = ٢٣

١٥ ٣

١٠=٧+٣

٨

٧

١٥

١٠

٧

143

قام فيصل ونبيل بالجري حول ملعب المدرسة المستطيل الشكل. إذا كان طول الملعب يساوي ٢٩ مترا وعرضه ١٥ مترا، فكم عدد الدورات التي يجب على فيصل ونبيل جريها

لقطع مسافة ٥٢٨ مترا؟

١ إذا علمت طول أحد أضالع مربع، فكيف يمكنك استخدام عملية الضرب في إيجاد ر إجابتك. المحيط؟ فس

٢ إذا كان محيط أحد األشكال أكبر من محيط شكل آخر، فهل يكون عدد أضالع ر إجابتك. الشكل األول أكثر من عدد أضالع الشكل اآلخر؟ فس

من فهمك تحقق

مـــا؟رأيك

ر ... فيصل يفكسوف أرسم شكال يمثل أرضية الملعب، ثم أكتب على كل ضلع طوله.

المحيط = الطول + العرض + الطول + العرضمح = ٢٩ + ١٥ + ٢٩ + ١٥

مح = ٨٨محيط الملعب هو ٨٨ مترا

عدد الدورات = ٢٨ ٥ ÷ ٨٨ = ٦ دورات

ر ... نبيل يفكسوف أجمع طول المستطيل وعرضه، وأنا أعلم أن له طولين وعرضين،

ولذلك سوف أضرب هذا المجموع في العدد ٢ إليجاد المحيط.٨٨ = (٤٤) ^ ٢ = المحيط = ٢ ^ (٢٩ + ١٥)

محيط الملعب هو ٨٨ متراعدد الدورات = ٥٢٨ ÷ ٨٨ = ٦ دورات

٢٩ متراترا١ م٥

ترا١ م٥

٢٩ مترا

ل، إذا كانت األطوال فيها كسور عشرية؟ ١ أي طريقة مما سبق تفض٢ كيف منعت كلتا الطريقتين الخطأ في استخدام طول واحد وعرض واحد لحساب المحيط؟

ما رأيك؟

144

(1-4) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGأرادت وفاء عمل محرقة خاصة لحرق بعض النفايات العضوية، فقامت بتخطيط منطقة مثلثية الشكل على األرض لحفرها واستخدامها كمحرقة، وكان طوال ضلعين من أضالع المثلث المرسوم ٦ أمتار و٨ أمتار، إذا كان محيط

فوهة المحرقة ٢١ مترا، فما طول الضلع الثالث؟

افهم

١ ما المطلوب إيجاده؟ ٢ ما طول الضلعين المعلومين؟

خطط

٣ اكتب معادلة جمع تساعدك في حل المشكلة، وذلك بفرض أن س هو طول الضلع المطلوب إيجاده.

٤ أي اإلجابات اآلتية تعطي المدى المنطقي لطول الضلع الثالث؟ (جـ) أكبر من ١٥ مترا (ب) بين ٥ ،١٥ مترا (أ) أصغر من ٥ أمتار

حل

٥ حل المعادلة، ما طول الضلع الثالث؟

٦ اكتب جملة واصفا شكل المحرقة وأبعادها.

تحقق

٧ اكتب معادلة تحتوي على عملية طرح تستطيع استخدامها إليجاد طول الضلع الثالث.

حل مسألة أخرى

خططت وفاء منطقة مستطيلة الشكل على األرض، إذا كان طول أحد األضالع ٦ أمتار ومحيط المستطيل ٢٨ مترا، فما أطوال األضالع األخرى؟

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

145

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: قام طالب إحدى مدارس الكويت بزراعة حديقة مستطيلة الشكل واستخدموا ستة وثالثين مترا من الشرائط ر إجابتك. نة لبناء سور حول الحديقة، ارسم شكلين محتملين لهذه الحديقة. فس الملو

ر إجابتك. ٢ المجلة: إذا تضاعف كل من الطول والعرض في أحد المستطيالت، فهل يتضاعف المحيط أيضا؟ فس

٣ التواصل: اشرح الخطوات الالزمة إليجاد طول الضلع المجهول في المثلث، إذا كان طول الضلعين اآلخرين ٧ سم، ٩ سم، والمحيط يساوي ٣٠ سم.

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

146

سوف تتعلماستخدام النظام المتري في القياس وتحويل الوحدات باستخدام هذا

النظام.

من االستخداماتيقوم أطباء األسنان بتحويل

الوحدات إلى النظام المتري عند اختيارهم األدوات واألجهزة المستخدمة في عالج جذور

األسنان.

المصطلحات األساسية نظام متري

متر جرام لتر كيلو

سنتيمتر مليمتر

التحويل في النظام المتري استكشف

2-4

القوى العليا للعدد ١٠األدوات المستخدمة: آلة حاسبة

١ أكمل الجدول التالي باستخدام اآللة الحاسبة:

٠٠٠ ١ ^ ١٠٠ ^ ١٠ ^ الوحدة

األساسية١٠ ÷ ١٠٠ ÷ ٠٠٠ ١ ÷

٥٠٠ ٥٠ ٥ ٠,٥ ٠,٠٥١٧٠ ١٧ ١,٧

٢١

٠,٥٥

٣٦,٧

أ ٠,٠٠٤٥

٢٧٠ ب

ج ٠,٠٠٠٠٢١

ر إجابتك. ٢ ما قيمة كل من أ، ب، ج؟ فس٣ كيف تستطيع ملء فراغات الجدول من دون استخدام اآللة الحاسبة؟

كيف بينهما؟ سيكون عمودا فكم نفسه، الصف في ٣٤ و٠٠٠ ٠,٠٣٤ كان إذا ٤حصلت على اإلجابة؟

الوحدة والسعات. واألوزان األطوال لوصف يستخدم للقياس نظام هو المتري النظام األساسية في النظام المتري لقياس األطوال هي المتر. والوحدة األساسية لقياس الوزن هي

الجرام. والوحدة األساسية لقياس السعة هي اللتر.يستخدم النظام المتري مقاطع من الكلمات لوصف الكميات األكبر من الوحدة األساسية، ، ١١٠٠

أو األصغر منها. وأكثر المقاطع استخداما: الكيلو ويعني ٠٠٠ ١، والسنتي ويعني

.١

٠٠٠ ١والملي ويعني

صلة الدرس تعلمت أن النظام العشري قد أسس على العدد ١٠، واآلن سوف .تستخدم القياسات المترية والتي أسست أيضا على العدد ١٠

التحويل في النظام المتري تعلم

u…ΟG pΩɶædG ‘ oπjƒëàdGConverting in the Metric System

147

ح الجدول السابق الوحدات المالئمة التي يمكنك اختيارها للقياس عندما يكون الشيء يوضا، وتكون سهلة القياس باألمتار أو بالجرامات أو باللترات. ا، أو صغيرا جد كبيرا جد

للتحويل في النظام المتري تقوم بالضرب أو بالقسمة على قوى العدد ١٠. يبين الجدول التالي قوى العدد ١٠ التي تستخدم عند التحويل.

مقارنة تقريبية عدد الوحدات األساسية المختصر االسم

طول حمام السباحة ٢٠ مرة ٠٠٠ ١ كم كيلومتر

نصف ارتفاع الباب ١ م متر

طول حبة عنب مجففة ١١٠٠

سم سنتيمتر

طول قطر شريط مشبك ورق ١٠٠٠ ١

مم مليمتر

وزن ثمرة واحدة من األناناس ٠٠٠ ١ كجم كيلوجرام

وزن حبة عنب مجففة ١ جم جرام

سعة ٤ أكواب من الماء ١ ل لتر

نصف نقطة من قطرة العين ١٠٠٠ ١

مل مليلتر

لها المترية القياسات بعض أسماء، ولكن نادرا ما تستخدم.

ومن بين هذه األسماء:هيكتومتر = ١٠٠ مترديكامتر = ١٠ أمتار

ديسيمتر = ٠,١ من المتر

تعلم؟ ÷ ٠٠٠ ١ هل ١٠٠ ÷ ١٠ ÷ الوحدة األساسية ١٠ ^ ١٠٠ ^ ٠٠٠ ١ ^كيلومتر هيكتومتر ديكامتر متر ديسيمتر سنتيمتر مليمتر

جرام

لتر

٠٠٠ ١ ^ ١٠٠ ^ ١٠ ^ الوحدة األساسية ١٠ ÷ ١٠٠ ÷ ٠٠٠ ١ ÷

تذكراختصار عملية الضرب ٠٠٠ ١ بنقل يكون العشرية الكسور في منزالت ثالث العشرية الفاصلة عملية واختصار اليمين. إلى القسمة على ٠٠٠ ١ يكون بنقل منزالت ثالث العشرية الفاصلة

إلى اليسار.

148

ــه أن على ــا ــاس أس الــمــتــر عــــرف ١ من المسافة بين

٠٠٠ ٠٠٠ ١٠

. خط االستواء والقطب الشماليهذه بقياس الفرنسيون وقـــام الفترة في وحسابها المسافة واليوم ،١٧٩٨ إلى ١٧٩٢ من تلك أن الصناعية األقمار أكدت القياس عن تختلف القياسات الفعلي بمقدار ٠,٢ من المليمتر

فقط.

ال يبلى الزجاج أبدا ألنه يمكن إعادة تصنيعه إلى األبد.

pp Ωƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

pp Ωƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGأمثلة

١ يبلغ طول طريق ٥ كم. ما طول الطريق باألمتار؟للتحويل من كيلومترات إلى أمتار نضرب في ٠٠٠ ١.

٥ كم ^ ٠٠٠ ١ = ٠٠٠ ٥ م

٢ ٠٠٠ ٦٠ سم = ... كمأوال: للتحويل من سنتيمترات إلى أمتار نقسم على ١٠٠،

بعد ذلك للتحويل من أمتار إلى كيلومترات نقسم على ٠٠٠ ١.٠٠٠ ٦٠ سم ÷ ١٠٠ = ٦٠٠ م٦٠٠ م ÷ ٠٠٠ ١ = ٠,٦ كم

حاول أن تحل

(ب) ٠,٠٠٨ ل = .................... مل (أ) ٧,٣٦ كم = .................... م (جـ) ٣٢٥ جم = .................... كجم

ا ومقبوال. عند التحويل إلى يساعد الحس العددي على تحديد ما إذا كان التحويل منطقيالوحدات األكبر تجد إجابتك أصغر من العدد المعطى، وعند التحويل إلى الوحدات األصغر

تجد إجابتك أكبر من العدد المعطى.

مثال (٣)

أكمل مستخدما الرمز للوحدة المترية المناسبة.ارتفاع زجاجة واحدة من زجاجات سائل التنظيف هو ١٧ ...

بما أن االرتفاع هو طول، فإن الوحدة األساسية لقياس الطول هي المتر، وبما أن االرتفاع يبلغ ١٧، فإن أنسب وحدة هي السنتيمتر ويرمز إليها بالرمز «سم».

االرتفاع = ١٧ سم

حاول أن تحلأكمل مستخدما أنسب وحدة لكل من الوحدات المترية:

(ب) طول مضمار سباق الماراثون (أ) عرض ظفر اإلبهام(د) كمية المياه في حوض سمك صغير (جـ) وزن خروف

١ ما أوجه التشابه بين الكيلوجرام والكيلومتر؟ وما أوجه االختالف بينهما؟٢ هل أي قياس بالمليلتر يمكن تحويله إلى لترات؟ وهل كل قياس بالمليجرام يمكن

ر إجابتك. تحويله إلى أمتار؟ فس

من فهمك تحقق

149

oIóMnƒdG(Ü) oá©HGôdG

w…QÉŒ l™ sª›w…QÉŒ l™ sª›يعتبـر مجمع األفنيوز مول أكبر مجمع

ومركز تسوق تجاري في دولة الكويت، وتبلغ مساحته ٠٠٠ ١٠٠ ١ متر مربع. ويعتبـر التصميم المعماري للمجمع من

أجمل التصاميم المعمارية والهندسية في دولة الكويت.

١ لماذا يقوم الناس ببناء المراكز التجارية؟٢ ما المعلومات التي يجب أن يلم بها (يعرفها) المصممون

قبل التخطيط لبناء هذه المراكز؟٣ ما أهمية معرفة مساحة كل حجرة في المبنى

قبل البدء في بنائه؟

päÉ©q∏°†ŸG oáMÉ°ùeArea of Polygons

150

استنباط المعلومات من الرسوم البيانية استكشف

3-4

ااستنبااطططططط االلللللمعللللللوماات من االلللللرسوم االلللللبياانيةةةااستككككككككشفف

سوف تتعلم كيفية إيجاد مساحة المربعات

والمستطيالت.

من االستخداماتيجب على العاملين في محالت «اللوحات الفنية» إيجاد المساحة عند القيام بعمل برواز أو تغطية

لوحات الزبائن بالزجاج.

المصطلحات األساسية مساحة

سنتيمتر مربع طول القاعدة (ق)

ارتفاع (ع) زاوية قائمة

األدوات المستخدمة: شبكة مربعات شفافة المطابقة على الشبكة (ج) (ب) (أ)

(و) (هـ) (د)

ر عدد الوحدات المربعة الصغيرة التي يحويها ١ تحوي الشبكة ١٠٠ مربع صغير. قدكل شكل من األشكال الرمادية.

٢ عندما تنتهي من كتابة كل تقديراتك، أحضر الشبكة الشفافة وضعها على كل شكل، ل العدد الفعلي من المربعات الصغيرة التي تغطي الشكل. وسج

٣ أي األشكال تطابق فيها التقدير مع قياسك بالشبكة الشفافة؟ ولماذا كان تقديرك دقيقا؟

٤ أي األشكال لم يتطابق فيها تقديرك مع قياسك بالشبكة الشفافة؟ ولماذا كان تقديرك غير دقيق؟

٥ لماذا تكون بعض قياساتك عن طريق الشبكة الشفافة تقديرية؟

استكشف مساحة المربعات والمستطيالت

صلة الدرس لقد تعلمت كيفية إيجاد محيط المضلعات بأنواعها، واآلن سنقوم بحساب مقدار الحيز الذي يغطيه الشكل من المستوي

تذكرعندما نقول مساحة شكل

نعني مساحة منطقة الشكل. فمثال مساحة المربع تعني مساحة المنطقة المربعة

وهكذا.

päÓ«£à°ùŸGh päÉ©qHôŸG oáMÉ°ùeArea of Squares and Rectangles

151

المساحة = الطول ^ العرضالمساحة = طول القاعدة ^ االرتفاع= ق ^ ع وحدة مربعة

واالرتفاع القاعدة تعرف والعرض الطول أنهما على

أيضا.

تعلم؟ هل

١سم١سم٢

١سم

تعلم مساحة المربعات والمستطيالت

مساحة أي شكل هي مقدار السطح الذي يغطيه. تقاس المساحة عادة بعدد وحدات المربعات المتطابقة والتي تغطي هذا الشكل.

مثال (١)

أي من المستطيلين التاليين مساحته أكبر؟

األول مستطيل يحتوي على ٢٨ مربعا، أي مساحته هي ٢٨ وحدة مربعة.

الثاني مستطيل يحتوي على ٢٧ مربعا، أي مساحته هي ٢٧ وحدة مربعة.

المستطيل األول أكبر في المساحة.

السنتيمتر المربع (سم٢) هو مربع طول ضلعه ١ سم. وإذا لم تذكر الوحدة المقاس بها طول ضلع

المربع فإن مساحته تكون (وحدة مربعة).

حاول أن تحل

١ أوجد مساحة كل من األشكال التالية مستخدما الوحدة المناسبة:

(جـ) (ب) (أ)

تستطيع تحديد مساحة المربع أو المستطيل من دون عد المربعات التي في الداخل عن طريق استخدام القانون.

طول قاعدة المربع أو المستطيل: هي طول الضلع األسفل.االرتفاع: هو طول أحد الجانبين ، والذي يصنع دائما زاوية

قائمة مع القاعدة.

١ سم٣ سم٧ سم

٤ سم

٧ م

٤ م

قاعدة

ارتفاع

152

عندما تجري عملية الضرب ، اختبر صحة في عدد عشري

إجابتك بالتأكد من أن عدد األرقام العشرية يمين الفاصلة

في ناتج الضرب مساو لمجموع األرقام العشرية في

العوامل المضروبة.

pπFÉ°ùŸG uπ◊ lIó«Øe lIôμa(٢) مثال

يريد مدير فندق صنع غطاء لحمام السباحة الخاص بالفندق، وحمام السباحة قاعدته على شكل

مستطيل طولها يساوي ٩ أمتار، وعرضها يساوي ٥,٥ أمتار؛ كم تبلغ مساحة هذا الغطاء؟

المساحة = الطول ^ العرض = ٩ ^ ٥,٥ = ٤٩,٥ مترا مربعا.

حاول أن تحل

٢ أوجد مساحة كل من األشكال التالية:

(أ) (ب) (جـ)

ر إجابتك. ١ لماذا تقاس المساحة عادة بالوحدات المربعة؟ فس

١٤ سم٢ سم

١٢ سم

٤,٥ سم

٤ سم

٥ سم

تحقق من فهمك

153

محل لبيع الكتب مستطيل الشكل محيطه ٢٢٠ مترا وطوله ٦٠ مترا. ما قيمة اإليجار السنوي لهذا المحل إذا كانت ر إجابتك. قيمة اإليجار السنوي للمتر المربع الواحد هي ٨ دنانير؟ فس

افهم

١ ضع مستطيال حول المحيط، الطول، اإليجار السنوي لمحل بيع الكتب.

٢ اإليجار المعطى هو للمتر المربع الواحد. كيف يمكنك إيجاد عدد الوحدات المربعة في الشكل المستطيل؟

خطط

٣ إذا أعطيت طول أحد أضالع محل بيع الكتب، فما طول الضلع المقابل له؟ ٤ إذا أعطيت المحيط، فكيف تستخدم طول الضلعين المتقابلين المعلومين إليجاد طول الضلعين المتقابلين اآلخرين للمستطيل؟

٥ ما عرض محل بيع الكتب؟ ؟ ٦ ما العملية الحسابية التي ترى استخدامها لحساب اإليجار السنوي

حل

٧ اكتب جملة عددية إليجاد عدد األمتار المربعة. ٨ أوجد اإليجار السنوي لمحل بيع الكتب.

٩ اشرح لماذا من الضروري اتباع الخطوات السابقة.

تحقق

١٠ اشرح كيف يمكن أن يساعدك رسم شكل يمثل المسألة في حلها.

حل مسألة أخرى

١١ محل لبيع الكتب مستطيل الشكل محيطه ١٨٠ مترا. إذا كان طوله ٥٠ مترا، فما اإليجار السنوي لهذا المحل إذا كان ر إجابتك. اإليجار السنوي للمتر المربع الواحد هو ٩ دنانير؟ فس

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل (3-4) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG

154

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التواصل: مساحة مستطيل ١٢٠ سم٢.ر إجابتك. ما عدد االحتماالت الممكنة ألزواج القاعدة واالرتفاع التي يمكن إيجادها؟ فس

٢ التفكير الناقد: مكتبة لبيع الكتب مستطيلة الشكل محيطها ١٦٠ مترا، وطولها ٥٠ مترا. ما اإليجار السنوي لهذه المكتبة، إذا ر إجابتك. ا؟ فس كان إيجار المتر المربع الواحد ٤,٥٠٠ دنانير سنوي

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

155

4-4

ما زالت مساحة الشكل كما هي؟ (٢) (١)

(٤) (٣)

(٦) (٥)

ر إجابتك. ١ هل يمكن أن يكون لشكلين مختلفين المساحة نفسها؟ فس٢ إذا قمت بقطع جزء من الشكل ثم لصقه على الجانب اآلخر من الشكل، فهل تظل

ر إجابتك. للشكل المساحة نفسها؟ فس

متوازي األضالع: هو مضلع له أربعة أضالع. وكل ضلعين متقابلين متوازيان.القاعدة طول في معه يتساوى الذي نفسها المستطيل مساحة له األضالع متوازي

واالرتفاع.

صلة الدرس تعلمت كيف توجد مساحة المربعات والمستطيالت، واآلن سوف .تتعلم كيفية إيجاد مساحة متوازي األضالع

سوف تتعلم إيجاد مساحة متوازي األضالع.

من االستخداماتيقوم مخططو المدن بحساب

المساحة عند التخطيط لبناء أماكن . انتظار السيارات لالستخدام العام

المصطلحات األساسية متوازي األضالع

مساحة متوازيات األضالع تعلم

استكشف مساحة متوازيات األضالع

p Ó°VC’G päÉjRGƒàe oáMÉ°ùeArea of Parallelograms

156

يمكنك قطع قطعة مثلثة من أحد جوانب متوازي األضالع وتحريكها في اتجاه

الجانب اآلخر لمتوازي ن مستطيال. األضالع لتكو

إليجاد مساحة متوازي األضالع تستخدم قانون المساحة نفسه للمستطيل.

المساحة = طول القاعدة ^ االرتفاع = ق ^ ع

مثال (١)أوجد المساحة.

المساحة = طول القاعدة ^ االرتفاع= ق ^ ع

=٧ ^ ٤ = ٢٨ وحدة مربعة

أوجد المساحة.

(ب) (أ)

تحقق من فهمك

١ هل يمكن تحويل كل متوازي أضالع إلى مستطيل بتحريك جزء منه؟ر إجابتك. فس

٢ هل كل شكل رباعي يمكن تحويله إلى مستطيل بتحريك جزء منه؟ر إجابتك. فس

فكرة مفيدة للمذاكرةالخطوط المتوازية هي

خطوط مستقيمة ال تتقاطع مطلقا.

٤

٧

حاول أن تحل

٦مم٣٣مم

157

(4-4) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG

رسم حامد متوازي أضالع طول قاعدته ٢ سم وارتفاعه ٢ سم. ورسم متوازيا آخر طول قاعدته ٢ سم وارتفاعه ٤ سم وثالثا طول قاعدته ٢ سم وارتفاعه ٨ سم.

إذا استمر كامل في رسم متوازيات أضالع بالنمط نفسه، فما مساحة متوازي األضالع السادس؟

افهم

. ١ ضع مستطيال حول المعلومات التي تحتاج إليها في الحل

٢ ستقوم بإيجاد مساحة متوازي األضالع الذي ترتيبه في النموذج.

٣ ما القانون المستخدم إليجاد مساحة متوازي األضالع؟

خطط

٤ ارسم صورة لمتوازيات األضالع الثالثة المعطاة في النمط، وضع طول كل قاعدة وارتفاع على الرسم.

٥ ما النمط الذي تراه؟

حل

٦ ما طول كل من القاعدة واالرتفاع لمتوازي األضالع السادس؟ ٧ ما مساحة متوازي األضالع السادس؟

تحقق

٨ ما الطريقة األخرى التي تستطيع بها إيجاد النمط؟

حل مسألة أخرى

قامت ريم برسم متوازي أضالع طول قاعدته ٣ سم وارتفاعه ٢ سم. ورسمت آخر طول قاعدته ٤ سم وارتفاعه ٣ سم، ورسمت ت ريم في رسم متوازيات األضالع على النمط نفسه، ما هي مساحة متوازي ثالثا طول قاعدته ٥ سم وارتفاعه ٤ سم، واستمر

األضالع السابع؟

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

158

حل المسائل والتفكير المنطقي

ح في ١ اختر اإلستراتجية: أرادت مريم إضافة متوازيات أضالع إلى التصميم الموضالشكل، بحيث تكون مساحة كل متوازي أضالع ٣٦ سم٢ تقريبا؛ إذا أرادت أن يكون

ر إجابتك. االرتفاع أربعة أضعاف طول القاعدة، فما ارتفاع كل متوازي أضالع؟ فس

٢ المجلة: صف أوجه التشابه، وأوجه االختالف بين:

مستطيل أبعاده ٤ سم، ٢ سم ومتوازي أضالع طول قاعدته ٢ سم وارتفاعه ٤ سم.

٣ التواصل: أي األشكال لها أكبر مساحة: مستطيل طول قاعدته ٥٠ سم، وارتفاعه ٢٠ ر إجابتك. سم، أو متوازي أضالع طول قاعدته ٥٠ سم وطول ضلعه المائل ٢٠؟ فس

راتك. ٤ التفكير الناقد: أوجد كال من المساحات التالية. اشرح مبر

١٦ سم

٢ م

٢٤ مم

سم ١

,٩ مم ٦

٢,٢ سم

سم ٥٩

٤ م

(ب)

(د)

(أ)

(جـ)

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

159

5-4

طريقة القياس!األدوات المستخدمة: أوراق منقطة (تتضمن نقاطا على أبعاد متساوية)

١ ارسم في كل صف مستطيال له المساحة المعطاة. بعض المستطيالت يمكن رسمها بأكثر من طريقة.

٢ في كل رسم، ظلل المثلث الناتج من توصيل رأسين غير متتاليين في الشكل الناتج. ر مساحة المثلث الناتج. قد

٣ صف إحدى الطرق التي تراها لمقارنة مساحات المستطيالت بمساحات المثلثات الناتجة لدينا.

٤ بالنسبة إلى مستطيل مساحته ٥٠ وحدة مربعة، ما مساحة المثلث الناتج من توصيل رأسين غير متتاليين فيه؟ اشرح ذلك.

صلة الدرس تعلمت كيفية إيجاد مساحة العديد من األشكال الرباعية، واآلن سوف .تتعلم كيفية إيجاد مساحة المثلث

سوف تتعلمإيجاد مساحة المثلث.

من االستخدامات يقوم عمال لصق السجاد بحساب المساحات، لتحديد الكمية التي

يحتاجون إليها من السجاد.

مساحة المثلث الناتج من توصيل أحد أركان المستطيل بالركن المقابل له

الرسم مساحة المستطيلبالوحدة المربعة

١

٢

١

٢

٣

٤

٥

مساحة المثلثات استكشف

päÉãq∏ãŸG oáMÉ°ùeArea of Triangles

160

تعلم مساحة المثلثات

تذكرعند قسمة عدد على عدد آخر ال

يمثل أحد عوامل العدد األول، فإن اإلجابة ستحتوي على رمز

. عدد عشريالبد من وضع الفاصلة العشرية

للناتج فوق الفاصلة العشرية للمقسوم.

pïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

الطائرة الورقية أقدم أنواع ا. الطائرات المصنعة يدوي

مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل الذي له طول القاعدة واالرتفاع نفسهما. تستطيع إيجاد مساحة المستطيل وقسمتها على ٢.

ويمكنك أيضا استخدام قانون مساحة المثلث. المساحة = (طول القاعدة ^ االرتفاع) ÷ ٢

= (ق ^ ع) ÷ ٢

أمثلة

٢ أوجد المساحة. ١ أوجد المساحة.

طول القاعدة ٧ وحدات.ارتفاع المثلث ٣ وحدات.

المساحة = (ق ^ ع) ÷ ٢ المساحة = (طول القاعدة ^ االرتفاع) ÷ ٢ (١٠ ^ ٦,٤) ÷ ٢ = (٧ ^ ٣) ÷ ٢ =

٦٤ ÷ ٢ = ٢١ ÷ ٢ = = ٣٢ سم٢. = ١٠,٥ وحدات مربعة.

٣ يريد صالح صنع طائرة ورقية على شكل مثلث طول قاعدته ٣ أمتار، وارتفاعه ٢ متر. ما مساحة الورق الذي يحتاج إليه؟

المساحة = (ق ^ ع) ÷ ٢ (٢ ^ ٣) ÷ ٢ = ٣ =

يحتاج صالح إلى ٣ أمتار مربعة من الورق.

حاول أن تحل

أوجد مساحة المثلثات التالية:(أ) (ب) (جـ)

طول القاعدة

االرتفاع

٦,٤سم

١٠ سم

٧,٥ سم

سم ٠

,٣

متر ٢

٥ أمتار

٣ م

٢م

161

قام فيصل ونبيل بطالء مثلث كبير من الكرتون، وكان طول قاعدة المثلث ٥ أمتار وارتفاعه ٣ أمتار، ولديهم طالء يكفي حوالى ٨ أمتار مربعة من الكرتون. هل لديهم طالء كاف؟

ما رأيك؟

١ لماذا تقوم بالقسمة على ٢ عند إيجاد مساحة المثلث؟٢ هل يتساوى مثلثان في المساحة إذا كان لهما االرتفاع نفسه؟

ر ... فيصل يفكأتخيل أن هناك مستطيال له طول القاعدة أجد سوف نفسهما. المثلث وارتفاع

مساحة المستطيل وأقسمها على ٢.مساحة المستطيل = ق ^ ع = ٥ ^ ٣ = ١٥ م٢

مساحة المثلث = ١٥ ÷ ٢ = ٧,٥ م٢، لذلك مساحة الكرتون ٧,٥ م٢،ولهذا لدينا ما يكفي من الطالء.

ر ... نبيل يفكسوف أستخدم القانون الخاص بمساحة المثلث

مساحة المثلث = (ق ^ ع) ÷ ٢ = (٥ ^ ٣) ÷ ٢ = ٧,٥ م٢

المساحة هي ٧,٥ م٢، ونحن لدينا ما يكفي من الطالء.

٥ م

٣ م

مـــا؟رأيك

١ ما المعلومات التي كان فيصل ونبيل في حاجة إليها لحل المسألة؟

ما رأيك؟

تحقق من فهمك

162

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: تحتوي الساحة المركزية في المركز التجاري على أربعة أحواض زهور مثلثة الشكل، وطول قاعدة كل حوض متران، وارتفاعه ١,٥ متر. إذا كان من الممكن زرع شتلة واحدة كل ٣٠٠ سنتيمتر مربع، فكم عدد الشتالت التي تحتاج إليها

ر إجابتك. لملء أحواض الزهور؟ فس

ن من خمسة أضالع متساوية - وذلك إذا ٢ التواصل: صف كيف يمكنك إيجاد مساحة الخماسي المنتظم - هو شكل مكوعلمت كيفية إيجاد مساحة المثلثات.

ر كيف يكون لهما العدد نفسه. ٣ المجلة: قطعة أرض مثلثة الشكل طول قاعدتها كيلومتر، ومساحتها كيلومتر مربع. فس

، تختفي فيه السفن والطائرات بطريقة ٤ مثلث برمودا جزء من المحيط األطلنطي١٨ كمغامضة منذ عام ١٩٤٠. استخدم الرسم المقابل إليجاد مساحة مثلث برمودا.

٥٠

١٥٣٠ كم

كم ١٥٣٠

بورتوريكو

فلوريدا

برمودا١٢١٦ كم

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

163

oIóMnƒdG(`L) oá©HGôdG

أي االختراعات التالية حصل على براءة االختراع من مكتب براءات االختراع:١ كرسي هزاز وفي الوقت نفسه ممخضة للبن.

٢ زوج من الحماالت يمكن استخدامه كحبل للهرب من المباني التي يشب فيها حريق.

٣ منطاد تحمله النسور.٤ المنبه الذي يوقظ الشخص بإسقاط قطرات من الماء على رأسه.

ا منها فإن اختيارك صحيح. كل اختراع من االختراعات إذا خمنت واخترت أيالمذكورة سابقا سجل براءة اختراع في مكتب براءة االختراع.

منذ آالف السنين توصل الناس إلى العديد من االختراعات التي تجعل أعمالهم أسهل. بعض االختراعات، مثل التلفون والسيارة والحاسوب غيرت في طريقة المعيشة، ا على البيض ال وبعض االختراعات األخرى، مثل ماكينة طبع العالمة التجارية آلي

يمكن أن تكون واسعة االنتشار. واليوم يحتاج تصميم كل اختراع فعلي معقد إلى فهم للرياضيات.

١ هل جعلت كل االختراعات العمل أسهل؟٢ بخالف التلفون والسيارة والحاسوب، ما االختراعات التي غيرت

طريقة المعيشة؟٣ لماذا يكون من المهم فهم الرياضيات عند تصميم االختراعات؟

الحكمة من االختراع

oôFGhódGCircles

164

6-4صلة الدرس لقد تعلمت كيفية إيجاد محيط المضلعات، واآلن ستتعرف إلى محيط

الدائرة سوف تتعلم إيجاد محيط الدائرة.

من االستخداماتيحتاج راكبو الدراجات إلى

حساب محيط إطارات الدراجة ر السرعة. عند ضبط مؤش

المصطلحات األساسية نصف القطر

القطر المحيط π = ط

pá¨∏dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGقطر باللغة اإلنجليزية

diameter، والمقطع di يعني اثنين. والقطر يقسم الدائرة إلى

قسمين متساويين.

تذكر٣,١٤ V ط

V تقرأ تساوي تقريبا

دة. الدائرة: هي كل النقاط في المستوي الموجودة على المسافة نفسها من نقطة محددة مركز الدائرة: تقع كل النقاط الموجودة على الدائرة على المسافة نفسها من نقطة محد

في المستوي تسمى مركز الدائرة.نصف قطر الدائرة: هو أي قطعة مستقيمة تصل

بين المركز و أي نقطة على الدائرة. ويرمز إلى

.B طول نصف القطر بالرمزقطر الدائرة: هو أي قطعة مستقيمة تصل بين

أي نقطتين على الدائرة وتمر بالمركز. .B وطول القطر = ٢

الوتر: هو قطعة مستقيمة تقع نقطتا نهايتها على الدائرة.القوس: هو جزء من الدائرة.

محيط الدائرة: هو المسافة التي تحيط بالدائرة.بالنسبة إلى أي دائرة يكون ناتج قسمة محيطها على طول قطرها يساوي تقريبا

٣,١٤١٥٩٢٦٥. وتسمى هذه القيمة «ط» ويرمز إليها بالرمز اليوناني π. وألن عدد منزالت (أرقام) «ط» النهائية وغير ثابتة يستخدم العدد ٣,١٤ كقيمة تقريبية له.

أمثلة١ إذا عرفت طول القطر أمكنك استخدام ط

إليجاد المحيط.أوجد محيط إطار سيارة إذا كان طول القطر

يساوي ٥٠ سم.المحيط = طول القطر ^ ط

مح = ٥٠ ^ ط

م٥٠ سم

كيفية اكتشاف محيط الدائرة تعلم

٢ إذا عرفت محيط الدائرة أمكنك استخدام ط إليجاد طول القطر.

أوجد طول قطر دائرة قطعة نقود معدنية إذا كان محيطها يساوي ١٧,٥ سم.

طول القطر=المحيط ÷ ططول القطر = ١٧,٥ ÷ ط

مح = ١٧,٥ سم

م

pIôFGódG o§«fiCircumference of a Circle

نصف الدائرةh جـ هـ

زاويةمركزية

مركزالدائرة

القطرh جـ

الوتر هـ و و

د

h

هـ

جـب

القوس دجـ

165

pΩƒ∏©dÉH oπNGóàdGh o§HGÎdGعند تركيب أجزاء الكمبيوتر

المادية، يحتاج المهندسون إلى التأكد من أن الكمبيوتر يقوم بإجراء

العمليات الحسابية بصورة صحيحة. وإحدى طرق اختبار دقة الكمبيوتر

هي حساب قيمة ط إلى ألف رقم . عشري

في بعض اآلالت الحاسبة زر يحمل

العالمة π يمكن الضغط عليه إلدخال القيمة التقريبية له. إذا كان

طول قطر دائرة يساوي ١٥,٧ فأدخل

سوف تحصل على المحيط.

تذكرπ ^ B المحيط =٢B π ٢=

=π^71 5 .

١ التواصل: عندما تقوم بضرب طول قطر الدائرة في ط لتحصل على محيط الدائرة، لماذا تكون اإلجابة دائما غير دقيقة؟

٢ التفكير الناقد: إذا كان طول نصف قطر إطار دراجة فيصل هو ٢٦ سم وأراد أن يركب ر إجابتك . الدراجة مسافة ٦٣٣,٦٠ مترا، فكم عدد مرات دوران اإلطار ؟ فس

٣ التفكير الناقد: شب حريق بين األعشاب وقد تم خالله حرق جزء على شكل دائرة نصف قطرها ٦,٥ أمتار، كم عدد رجال اإلطفاء الالزم للسيطرة على الحريق، إذا كانت المسافة

ر إجابتك . بين كل رجلين متتاليين هي ١٠ أمتار والمسافة بينهما وبين النار مترين. فسج فوق الجليد مسارا على شكل دائرتين مثل الشكل 8، طول قطر ٤ التفكير الناقد: يتبع المتزل

إحديهما ٨ م وطول قطر األخرى ١٠ م. ر إجابتك . ج في رحلة لعمل دورة كاملة حول الشكل 8 ؟ فس ما المسافة التي يقطعها المتزل

مثال (٣) إذا كان طول قطر الغشاء الخاص إلحدى عدسات عين

الدجاجة هو ٠,٥ سم، فما محيطه؟المحيط = طول القطر ^ ط

٠,٥ ^ ٣,١٤ ≈ ≈ ١,٥٧ سم

حاول أن تحل

(أ) أوجد محيط القرص الصلب الذي طول قطره ١٢ سم.(ب) ما طول قطر حلقة معدنية محيطها ٧٥ سم.

(د) أوجد طول قطر. (جـ) أوجد محيط الطبق الدائري التالي:

١ لماذا نستخدم ٣,١٤ كقيمة تقريبية في التعويض عن ط؟٢ هل ستحصل على تقريب أدق للعدد ط بقياس كل من محيط وقطر دائرة كبيرة كإطار

سيارة أو دائرة صغيرة كالعملة المعدنية؟ لماذا؟٣ يملك محسن دراجة طول نصف قطر إطارها ٢٦ سم. إذا سار بالدراجة مسافة

ر إجابتك. ٦٣٣٦٠ سم، فكم عدد المرات التي سيدورها اإلطار؟ فس

سم ٦

المحيط =٦٩ سم

من فهمك تحقق

حل المسائل والتفكير المنطقي

166

7-4سوف تتعلم

إيجاد مساحة الدوائر.

من االستخداماتيستخدم الحكام مساحة الدائرة

للتحقق من صحة مساحة موضع قاذف الكرة في ملعب البيسبول.

مساحة الدوائر تعلم

تستخدم قيمة π لحساب مساحة منطقة الدائرة.م الدائرة إلى أجزاء كتلك المبينة إلى اليسار. قس

أعد ترتيب األجزاء لتحصل على شكل يشبه متوازي األضالع.

استخدم قاعدة حساب مساحة متوازي األضالع لتكتب قاعدة لحساب مساحة منطقة الدائرة.

مساحة منطقة متوازي األضالع:م = ق ^ ع

B ^ ١٢ محيط الدائرة م =

B ^ B π = B ^ (B π ٢) ١٢

٢B π =

٢B π = مساحة منطقة الدائرة: م

يرتبط كل من نصف قطر الدائرة، ومساحتها برمز العدد ط، فإذا عرفت طول نصف قطر الدائرة، تستطيع أن تستخدم العدد ط إليجاد المساحة. ويمكن وصف ذلك بالقاعدة:

المساحة = ط ^ ٢B حيث نق هو طول نصف القطر.= ط ^ ٢١٠

مثال (١)

٢B ^ ط = المساحة ٢(V) ^ ٣,١٤ = ٣,١٤ ^ ٤٩ =

= ١٥٣,٨٦ سم٢

صلة الدرس لقد تعلمت طريقة إيجاد محيط الدائرة، واآلن ستتعلم كيفية إيجاد .مساحة منطقة الدائرة

تذكر٢B π = مساحة الدائرة

٧ سم

١٢ محيط الدائرة

١٢ محيط الدائرة

إن ارتفاع متوازي األضالع هو بمثابة طول نصف قطر الدائرة

إن قاعدة متوازي األضالع (ق) ١٢ محيط الدائرة تقريبا. هي

م١٠

م

pôFGhódG oáMÉ°ùeArea of Circles

167

تذكر٢٧ تعني ٧ ^ ٧

توماس إديسون هو مخترع ، والحاكي المصباح الكهربائي

(الفونوغراف). وقد حصل على ٠٩٣ ١ براءة اختراع

الختراعاته.

تعلم؟ هل

٦,٢ م

١٩ سم

٢ م

٣١٤ ٩٦١^

٣١٤ ٨٤٠ ١٨ ٦٠٠ ٢٨٢+

٧٥٤ ٣٠١

٣١ ٣١^

٣١ ٩٣٠+

٩٦١

مثال (٢)

طول القطر = ٦,٢ م. وطول نصف القطر يساوي ٦,٢ ÷ ٢ = ٣,١ م

٢B ^ المساحة = ط ٣,١٤ ^ (٣,١)٢ =

٣,١٤ ^ ٩,٦١ = = ٣٠,١٧٥٤ م٢

حاول أن تحل

أوجد المساحة

(ب) (أ)

من فهمك تحقق

١ لماذا تحسب مساحة الدائرة بالوحدات المربعة؟٢ إذا علمت طول نصف قطر دائرة، فكيف تستطيع إيجاد كل من محيطها ومساحتها؟

168

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: سجادة دائرية الشكل موضوعة في غرفة مربعة الشكل. تبلغ مساحة السجادة ١١٣ مترا مربعا، وتصل بين كل ر إجابتك. ر مساحة الغرفة، وفس حائطين متقابلين في الغرفة. قد

ر ٢ المجلة: هل مساحة الدائرة التي طول قطرها سنتيمتران أكبر من مساحة مربع طول ضلعه ٢ سم، أو أصغر منها؟ فس

إجابتك من دون استخدام األعداد.

٣ التواصل: يبلغ طول نصف قطر الدائرة (أ) ١٢ سم، وطول نصف قطر الدائرة (ب) ٦ سم،وطول نصف قطر الدائرة (ج) ٣٦ سم، وطول نصف الدائرة (د) ١٣٢ سم.

ب الدوائر من حيث المساحة من األصغر إلى األكبر. (أ) رت

ر إجابتك. (ب) هل ستتغير القائمة إذا تم ترتيب الدوائر من حيث المحيط؟ فس

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

169

سوف تتعلم

8-4

جـبأ

٣٠ سم٢٠ سم٤٠ سم

١٣٠ سم ٦٠ سمسم

١٠٠

سم ١٠٠

سم ٦٠

٩٠ سم

جـبأ

تمثل األشكال السابقة ثالثة تصميمات لمنحدرات قابلة للنقل والحمل، صنع كل منها من ثالث قطع خشبية، لها جميعها السمك نفسه. والمستطيل يمثل السطح، والمثلثان الت، لذلك يمثالن الدعامتين، وقد تم توصيل السطح بهذه الدعامات عن طريق مفص

يمكن بسهولة طي المنحدر وحمله.

ر كيف حصلت على إجابتك. ١ ما المنحدر الذي له أكبر سطح مستطيل الشكل؟ فسر كيف حصلت على إجابتك. ٢ ما المنحدر الذي له أكبر دعامة مثلثية الشكل؟ فسر كيف حصلت ٣ ما المنحدر الذي استخدم في صنعه أكبر كمية من الخشب؟ فس

على إجابتك.

ليست األشكال دائما مستطيالت أو مثلثات أو دوائر كاملة.إليجاد مساحة أي شكل مستو تحتاج إلى تقسيمه إلى قطع مألوفة صغيرة لكي تستطيع

إيجاد مساحة كل قطعة صغيرة.

فمثال الشكل:

يمكن تقسيمه

صلة الدرس تعلمت كيفية إيجاد مساحة المربعات والمستطيالت ومتوازيات األضالع والمثلثات والدوائر.

.سوف ترى اآلن كيفية استخدام هذه المعلومات في إيجاد مساحة أشكال مستوية أخرىسوف تتعلم

إيجاد مساحة أشكال مستوية أخرى.

من االستخداماتيقوم مساحو األراضي بحساب

مساحة األشكال غير المنتظمة عند القيام بإجراء عملية مسح األراضي،

ها. لمعرفة خواص

وجهات نظر

مساحة أشكال مستوية أخرى استكشف

مساحة أشكال مستوية أخرى تعلم

iôNCG májƒà°ùe m∫Éμ°TCG oáMÉ°ùeArea of Another Plane Figures

170

أمثلة١ أوجد المساحة

: الحليمكن تقسيم الشكل إلى مثلث ومربع، مساحة المربع = طول الضلع ^ نفسه

٨ ^ ٨ = = ٦٤ سم ٢

ارتفاع المثلث ٨ سم وطول قاعدته ١٣ - ٨ = ٥ سم، مساحة المثلث = (طول القاعدة ^ االرتفاع) ÷ ٢ ( ٨ ^ ٥ ) ÷ ٢ = ٤٠ ÷ ٢ =

= ٢٠ سم ٢المساحة الكلية للشكل تساوي ٦٤ + ٢٠=٨٤ سم٢

٢ ما مساحة سطح الجزء العلوي للشكل الموضح في الرسم؟ : الحل

سطح الجزء العلوي على شكل نصف دائرة طول نصف قطرها ٠,٨ سم.٢ ≈ ٣,١٤ ^ (٠,٨)٢π ^ مساحة الدائرة = ط ≈ ٢,٠٠٩٦ سم٢

وبما أن الشكل نصف دائرة، فاقسم المساحة على ٢مساحة نصف الدائرة ≈ ٢,٠٠٩٦ ÷ ٢ ≈ ١,٠٠٤٨ سم٢

الجزء األسفل على شكل مثلث طول قاعدته ١,٦ سم وارتفاعه ٢ سم.مساحة المثلث = ( ق ^ ع) ÷ ٢

(١,٦ ^ ٢) ÷ ٢ = = ١,٦ سم٢

المساحة الكلية ≈ ١,٠٠٤٨ + ١,٦ ≈ ٢,٦٠٤٨ سم٢

٨سم

٨سم

١٣سم

٨سم

٥سم ٨سم

٨سم

١,٦ سم

سم ٢

فكرة مفيدة للمذاكرةغالبا ما تساعد كتابة

القاعدة أوال، ثم التعويض فيها مباشرة

باألعداد المناسبة، على فهم مدلول الرموز التي

تحويها القاعدة.

171

من فهمك تحقق

يقوم فيصل ونبيل بالتخطيط لزراعة جزء من حديقة المدرسة أثناء حصص العلوم. يمثل الشكل المجاور هذا الجزء من الحديقة، وكل القياسات بالمتر. ما هي مساحة الجزء الذي سيزرعانه؟

١ كيف تجد مساحة نصف دائرة؟ر ٢ هل يمكن تجزيء جميع األشكال إلى أشكال صغيرة من السهل إيجاد مساحتها؟ فس

إجابتك.

ر ... فيصل يفكسوف أقسم الحديقة إلى مستطيلين، وسوف أستنتج

األطوال الناقصة، ومساحة كل مستطيل، ثم أجمع المساحتين معا:

مساحة المستطيل العلوي = ٣ ^ ٩ = ٢٧ م٢مساحة المستطيل السفلي = ١٢ ^ ٧ = ٨٤ م٢

= ٢٧ + ٨٤ = ١١١ م٢ المساحة الكلية

١٠

١٢

٣

١٢-٣=٩

٧=٣-١٠١٠

١٢

٣ ٣

ر ... نبيل يفك

مربع، منه قطع مستطيل شكل على الحديقة أطرح ثم المستطيل، مساحة أجد منه سوف . مساحة الجزء المقطوع (المربع) من الركن العلويالمساحة الكلية للمستطيل = ١٢ ١٠= ١٢٠ م٢مساحة الجزء المقطوع = ٣ ^ ٣ = ٩ م٢المساحة الكلية = ١٢٠ - ٩ = ١١١ م٢

١٠

١٢

٣٣

مـــا؟رأيك

١ هل يستطيع فيصل أن يجزئ الحديقة إلى مستطيلين بطرق مختلفة؟ هل سيحصل على إجابات مختلفة؟

ر إجابتك. ٢ أي طريقة تتطلب إجراء عملية طرح أكثر؟ فس

ما رأيك؟

172

(8-4) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸGأرادت ريم تلوين قطعة من الكرتون مثلثة الشكل، وذلك لإلعداد لالحتفال السنوي في المدرسة، إذا كان ارتفاع

قطعة الكرتون المثلثة الشكل هو ٧ أمتار، وطول قاعدتها ٧ أمتار، والمثلث فيه قطعة مفتوحة على شكل مربع طول ر إجابتك. نه ريم؟ فس ضلعه ٣ م كما هو مبين في الرسم، فكم مترا مربعا سوف تلو

افهم

١ ما المطلوب إيجاده؟ ا تحت ارتفاع المثلث وطول قاعدته. ٢ ضع خط

خطط

٣ ما قانون مساحة المثلث؟ ٤ ما قانون مساحة المربع؟

٥ هل تجمع أو تطرح إليجاد المساحة المراد تلوينها؟

حل

٦ ما مساحة المثلث ؟ والمربع؟ ٧ اكتب جملة عددية تبين كيفية الحصول على المساحة المراد تلوينها.

ر إجابتك. ٨ كم عدد األمتار المربعة التي ستقوم ريم بتلوينها؟ فس

تحقق

ن من المثلث والمربع معا. ح ما سيظهر عليه لوح الكرتون إذا احتاجت ريم إلى تلوين شكل مكو ٩ ارسم شكال يوض

حل مسألة أخرى

حة في الشكل، وهي على شكل مربع طول ضلعه ٨ أمتار، تريد مريم تلوين قطعة من الكرتون كالموضر إجابتك. قطعت منه دائرة طول قطرها ٦ أمتار. كم وحدة متر مربعة تحتاج مريم إلى تلوينها؟ فس

٦ أمتار

٨م

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

٧م

٣م ٧م

173

حل المسائل والتفكير المنطقي

١ التفكير الناقد: قام مصنع بصنع مفرش لمنضدة مستديرة الشكل؛ إذا كان محيط المنضدة ١٣,٨٠ م، والمصنع لديه قطعة من القماش مربعة الشكل طول ضلعها ٤,٥ م؛ وإذا تم قص أكبر دائرة ممكنة من قطعة القماش، فهل ستكون من الكبر بحيث تكفي

ر إجابتك . لتغطية المنضدة؟ فس

٢ اختر اإلستراتيجية : أرادت مها تلوين قطعة من الكرتون مثلثة الشكل لتمثل شكل خيمة، وذلك لإلعداد لالحتفال السنوي في

المدرسة؛ إذا كان طول قطعة الكرتون مثلثة الشكل هو ١٨ مترا وارتفاعها هو ١٨ مترا، والمثلث فيه قطعة مفتوحة على شكل ر إجابتك نه مها؟ فس مربع طول ضلعه ٥ سم، كما هو مبين في الرسم، فكم سنتيمترا مربعا سوف تلو

.

٣ التفكير الناقد: قام عامل بإعادة تغطية أرضية إحدى القاعات والمطبخ الملحق بها بنوع خاص من الفلين. فكم مترا مربعا من الفلين يحتاج إليه لتغطية األرضية؟

مالحظة : يمثل الجزء المظلل المساحة المراد تغطيتها.

تار أم٥

٨ أمتار ١٣ مترا

متر١٠ أمتار ٢

إستراتيجيات حل المسائل• اختر نمطا.• نظم قائمة.

• اعمل جدوال.• خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني• حل مسألة أبسط.

174

pá©HGôdG pIóMnƒ∏d w»ª«¶æJ l§ s£fl

حل المعادالت

مساحةالمضلعات

المحيط األنظمة

وحدات القياس

النظام المتري

قوى العدد ١٠

القوانين األجزاء

الدوائر

المركز

قطر

نصف قطر

المساحة

المحيط

ط

175

IóMƒdG(CG) ¤hC’GoIóMnƒdG

oá°ùeÉÿG

شالالت إنجل في فنزويال ٩٧٩ مترا، يبلغ ارتفاع

يبلغ إذ العالم، في للمياه مفرد مسقط أطول وفيها

طوله ٨٠٧ أمتار.

٣٤ الشالل كله. طول هذا المسقط يفوق

oáq«YɪàL’G oäÉ°SGQódG

١٣ سكان العالم بالشوكة والسكين، يأكل حوالى

١٣ اآلخر بعيدان تناول الطعام. في حين يأكل الـ

١٣ األخير فيأكل بيديه. أما الـ

p⁄É©dG o܃©°T

يصف نمط فيبوناتشي لألعداد ١، ١، ٢، ٣، ٥، ٨ كثيرة في الطبيعة، بما فيها كيف تنمو فروع أشياء

الشجرة وكيف يبدو سطح ثمرة األناناس.

oΩƒ∏©dG

pOGóYC’G oáqjô¶fh o•É‰C’G

176

láq«°SÉ°SCG láq«°VÉjQ l QÉμaCG

ري تعتبر الكويت إحدى أهم منتجي ومصدالنفط في العالم وهي عضو مؤسس في أوبك

وتمتلك خامس أكبر احتياطي نفطي في العالم احتياطي النفط في

١١٠ فيتواجد في أرضها

العالم.

oáq«YɪàL’G oäÉ°SGQódG

من رموز الكويت وعلى سواحلها تقع أبراج نة من ثالثة أبراج. الكويت المكو

oÜGOB’Gh o¿ƒæØdG

الكسر االعتيادي يمكن أن يصف بعض أجزاء من كل.

العدد الكسري يمكن أن يصف العدد األكبر من الواحد.

ل إلى كسور اعتيادية، الكسور العشرية يمكن أن تحول إلى كسور عشرية. والكسور االعتيادية يمكن أن تحو

العدد األولي يقبل القسمة فقط على نفسه وعلى الواحد.

كل عددكلي أكبر من الواحد، إما أنه عدد أولي أو عدد . غير أولي

إن قواعد قابلية القسمة تصف األنماط التي تساعدك على تحديد ما إذا كان عدد يقبل القسمة على آخر.

pIóMnƒdG o höûe

في هذا المشروع، سوف تقوم بإنشاء عرض مرئي للعدد المفضل لديك. ابدأ بالتفكير في كل الطرق المختلفة التي يمكن كتابة العدد

فيها.

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

Patterns and Number Theory

177

pπFÉ°ùŸG uπM ≈∏Y oõ«cÎdG

وبعض المسألة، لتحل إليها تحتاج التي اإلضافية المعلومات د حد مسألة، لكل المسائل ال يحتاج إلى معلومات إضافية:

١ أراد بعض أطفال الحي مساعدة أحد العمال في بناء كشك من الخشب. تطوع أحمد لتحديد القياسات لمعرفة احتياجاتهم

من الخشب فوجد أن السقف يحتاج إلى ١٢ مترا مربعا من الخشب، واألربعة جدران تحتاج إلى ٩ أمتار مربعة من الخشب.

كم مترا مربعا من الخشب يحتاج إليه األطفال لبناء الكشك ؟ الخشبي

٢ تطوع خالد ليثبت الجدران باألرضية، فوجد أنه يحتاج إلى مسمار كل ١٠ سم. كم مسمارا يحتاج إليه خالد ليثبت الجدران

األربعة؟٣ تطوع محمد لشراء دهان الجدران فوجد أنه يحتاج إلى ليتر

من اللون األبيض بسعر ٢,٥٠٠ دينار وليتر من اللون األخضر بسعر٣,٢٥٠ دنانير. كم دينارا يحتاج محمد لشراء الدهانات؟٤ اشترك األطفال الثالثة في دهان الجدران، فاستغرق أحمد

١٢ ٣ ساعات في حين استغرق محمد ٤ ساعات واستغرق خالد ٥ ساعات. كم ساعة استغرقها األوالد الثالثة لدهان الجدران؟

تحديد المعلومات غير الضرورية:في االختبارات، عادة ما تعطى

كل البيانات التي تحتاج إليها لحل المسألة.

لكن في الحياة لن يكون الحال كذلك، فال بد أن تستخدم مهاراتك

ومعلوماتك السابقة لتحصل على كل ما تحتاج إليه لتحل المسألة.

وعندما تبدأ بتطوير خطة ما لحل المسألة، فإن عليك أن تكون بارعا

في تعريف وتحديد المعلومات التي تحتاج إليها ولم تتوفر في المسألة.

افهمخططحلتحقق

حلالمسائل

178

oIóMnƒdG(CG) oá°ùeÉÿG

كما يقول الشاعر إن الوقت ليس بالشيء المنتظم، ففي الشهور مثال ال يتساوى شهر مع آخر، فمثال (عدد أيام شهر يوليو أكثر من عدد أيام شهر يونيو بيوم واحد). وإذا كان هذا في الشهور فإن األعوام أيضا ليست متساوية في عدد األيام (فعدد أيام السنة الكبيسة أكثر من عدد أيام السنة البسيطة)، وكذلك ال يتساوى كل قرن مع اآلخر (فاألرض

١٢ الثانية كل قرن). ئ من سرعتها حوالى تهدولضبط ذلك بذلت جهود كثيرة من أجل اختراع ساعات وتقويمات

سهلة االستخدام. ففي القرن الثاني عشر، كانت الساعة الواحدة تمثل ١١٢ من طول اليوم، ابتداء من طلوع الشمس حتى غروبها مع إغفال

طول هذه الساعة. وفي القرن السابع عشر لم تكن هناك مناطق توقيت مختلفة.

وفي بداية القرن التاسع عشر، وتبعا لتوقيت خط التوقيت الدولي (جرينتش) فإن اليوم يبدأ وينتهي ظهرا. وكل التعديالت التي بذلت كان

هدفها جعل التوقيت أكثر دقة ومالءمة، غير أننا ال بد أن نشير إلى أن كل هذه الجهود التي بذلت من أجل جعل هذا التوقيت دقيقا اعتمدت

على الرياضيات.

pâbƒdG ‘ l∫qƒ–وسبتمبر (يونيو الشهور من كل أيام عدد هي يوما ٣٠

وأبريل ونوڤمبر) و٣١ يوما هي عدد أيام باقي األشهر.لكن شهر فبراير هو الوحيد الذي عدد أيامه ٢٨ يوما، وفي

السنة الكبيسة ٢٩ يوما.

١ كيف كان اإلنسان يحسب وقته قبل اختراع الساعات اآللية؟

٢ لماذا ال تتساوى كل األعوام في عدد أيامها؟

٣ ما نوع الرياضيات التي تحتاج إليها لصنع ساعة دقيقة أو تقويم؟

pOGóYC’G oáqjô¶fNumber Theory

179

العدد الكلي يقبل القسمة على عدد كلي آخر إذا قسم األول على الثاني من دون باق. ٧

٣ ٢١ ٢١ يقبل القسمة على ٣

والباقي ١ ٥

٤ ٢١ ٢١ ال يقبل القسمة على ٤

ألي عدد، يمكنك أن تكتب كل األعداد التي تقبل القسمة عليه. في بعض األحيان سوف د ما إذا كان عدد يقبل القسمة على آخر من تفحص بعض األنماط التي ستساعدك لكي تحد

دون الحاجة إلى إجراء عملية القسمة.

قواعد قابلية القسمة

أمثلة: يقبل العدد الكلي القسمة على:

... ،٢، ٤، ٦، ٨، ١٠، ١٢، ١٤، ١٦، ١٨، ٢٠... ،٥، ١٠، ١٥، ٢٠، ٢٥، ٣٠، ٣٥، ٤٠، ٤٥

... ،١٠، ٢٠، ٣٠، ٤٠، ٥٠، ٦٠

إذا كان رقم اآلحاد عددا زوجياإذا كان رقم اآلحاد صفرا أو ٥إذا كان رقم اآلحاد صفرا

٢٥١٠

بعض القواعد تعتمد على مجموع أرقام العدد:

أمثلة: يقبل العدد الكلي القسمة على:

٣، ٦، ٩، ١٢، ١٥، ١٨، ٢١٩، ١٨، ٢٧، ٣٦، ٤٥، ٥٤

إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على ٣إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على ٩

٣٩

بعض القواعد تعتمد على قواعد أخرى.

أمثلة: يقبل العدد الكلي القسمة على:

... ،٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠، ٣٦، ٤٢ إذا كان العدد يقبل القسمة على ٢، ٣ معا ٦

حاول أن تحلهل األعداد التالية تقبل القسمة على ٢، ٣، ٥، ٦، ٩، ١٠؟

(جـ) ٦٨٤ (ب) ٤٥٥ (أ) ١٤١ (هـ) ٧٠٠ ٢ (د) ٥٥٥

١ ما ميزات تعلم قواعد قابلية القسمة؟ر إجابتك. ٢ أي من قواعد قابلية القسمة تعتقد أنها أسهل في االستخدام؟ فس

تذكر العدد الزوجي يكون رقم

آحاده ٠، ٢، ٤، ٦، ٨. العدد الفردي يكون رقم

آحاده ١، ٣، ٥، ٧، ٩.

القسمة لقابلية قواعد توجد على األعداد ٤، ٧، ٨ ولكنها معقدة بعض الشيء، وعادة ما أسرع القسمة عملية تكون هناك هل معرفة نريد عندما

باق من ناتج القسمة أو ال.

تعلم؟ هل

القسمة عملية إجراء يمكنك والتأكد من النتيجة باستخدام الناتج كان إذا الحاسبة. اآللة أعداد أي على يحتوي ال عشرية، فإن العدد األول يقبل

القسمة على الثاني.

من فهمك تحقق

lá©LGôe

نظرية تناولت معروفة وثيقة أقدم إن األعداد كتبت في بابل ما بين األعوام الميالد، قبل و١٩٠٠ ١٦٠٠النظام على كتابتها في واعتمدت على يؤسس الذي لألعداد الستيني

العدد ٦٠.

p᪰ù≤dG oáq«∏HÉbDivisibility

180

سوف تتعلم الفرق بين العدد األولي والعدد

. غير األولي تحليل العدد إلى عوامله األولية.

من االستخداماتيستخدم واضعو برامج الكمبيوتر

األعداد األولية لتطوير برامج األمان التي تجعل من الصعب

قراءة المعلومات لغير مستخدمي الجهاز.

المصطلحات األساسية عدد أولي

عدد غير أولي تحليل العدد إلى عوامله األولية

الدرس سبق أن تعلمت قابلية القسمة، واآلن سوف تتعلم الفرق بين العدد صلة .األولي والعدد غير األولي وكيفية تحليل العدد إلى عوامله األولية

. كل عدد كلي أكبر من ١ يكون إما عددا أوليا أو عددا غير أوليالعدد األولي له عامالن فقط، هما العدد «١» والعدد نفسه،

أما العدد غير األولي فله أكثر من عاملين.أول عشرة أعداد أولية هي: ٢، ٣، ٥، ٧، ١١، ١٣، ١٧، ١٩، ٢٣، ٢٩. وتحليل العدد

إلى عوامله األولية يقصد به إيجاد مجموعة األعداد األولية التي ناتج ضربها معا هو العدد نفسه.

يمكنك أن تستخدم «شجرة العوامل األولية» لكي تحلل العدد إلى عوامله األولية.

أمثلة١ حلل العدد ٦٣٠ إلى عوامله األولية.

استخدم قواعد قابلية القسمة إليجاد العوامل، ثم ارسم فروع الشجرة. تحليل العدد ٦٣٠ إلى عوامله األولية هو ٢ ^ ٣ ^ ٣ ^ ٥ ^ ٧

٦٣٠ = ٢ ^ ٢٣ ^ ٥ ^ ٧

أوجد العوامل األولية لكل مما يلي:(جـ) ٦٠٢ (ب) ٢١٠ (أ) ١٥٢

٢ أوجد العامل المشترك األكبر ع.م.h للعددين باستخدام التحليل:(ب) ١٢، ١٨ (أ) ٩، ٦

عوامل العدد ٦ هي ١ ، ٢، ٣ ، ٦ عوامل العدد ٩ هي ١ ، ٣ ، ٩

٢ ^ ٣ = ٦ = h.٣ ع.م = (h.ع.م) العامل المشترك األكبر

أوجد العوامل األولية لكل من األعداد التالية:

(هـ) ٢١٠ (د) ٤٥ (جـ) ٣٦ (ب) ٢٠ (أ) ١٢

٢٩ ٢٥ ١٠ ٧ ٤

١، ٢٩ ١، ٥، ٢٥ ١، ٢، ٥، ١٠ ١، ٧ ١، ٢، ٤ العوامل

أولي غير أولي غير أولي أولي غير أولي النوع

تذكر٢٣ هو عدد أسي ويعني

٣ ^ ٣. واألس هنا ٢ ويعني عدد مرات تكرار األساس ٣.

1-5

تحليل العدد إلى عوامله األولية وإيجاد ع.م.h لعددين تعلم

حاول أن تحل

حاول أن تحل

١٨ = ٢ ^ ٣ ^ ٣١٢ = ٢ ^ ٢ ^ ٣

٧

٧

٢٣

٢٣٠

١٠

٩٢٥

٥ ٢ ٣ ٣^ ^ ^^

^^^

^

páq«dqhC’G ¬p∏eGƒY ¤EG pOó©dG oπ«∏– Prime Factorization

181

يخطط فيصل ونبيل لزراعة حديقة مستطيلة الشكل، ناتج ضرب طولها في عرضها يساوي٩٠ مترا مربعا. إنهما يحاوالن إيجاد طول الحديقة وعرضها بأبعاد هي أعداد كلية.

١ ما أفضل طرق التحليل التي يمكن استخدامها عند التعامل مع األعداد الكبيرة؟ ولماذا؟

٢ كيف يتأكد فيصل من أن العدد ٩٠ ال يقبل القسمة على ٤ أو ٨؟

مـــا؟رأيك

ما رأيك؟

ر ... نبيل يفكسأستخدم تحليل العدد ٩٠ لعوامله األولية لكي تساعدني:

فيصبح لدينا ١٢ عامال بما فيها ١، ٩٠. أي أن هناك ٦ أزواج من األعداد للحصول على عدد ٩٠.

يوجد هنالك ٦ طرق لتخطيط الحديقة.

عامالن أوليان (٣ ^ ٢)٩(٣ ^ ٣)، ٦

(٥ ^ ٢)١٥(٥ ^ ٣)، ١٠

عامل واحد ٥، ٣، ٢

ثالثة عوامل أولية (٣ ^ ٣ ^ ٢)٣٠(٥ ^ ٣ ^ ٢)، ١٨

(٥ ^ ٣ ^ ٣)٤٥

٩٠

١٠

٥ ٢

٩

٣ ٣

^

^ ^^

ما رأيك؟

ر ... نبيل يفكلعوامله األولية لكي تساعدني: سأستخدم تحليل العدد ٩٠

٩٠. أي أن هناك عامال بما فيها ١، ١٢ فيصبح لدينا.٩٠ ٦ أزواج من األعداد للحصول على عدد

طرق لتخطيط الحديقة. ٦ يوجد هنالك

عامالن أوليان (٣ ^ ٢)٣)، ٦ ^ ٩(٣

(٥ ^ ٢)١٠ ،(٥ ^ ٣)١٥

عامل واحد ٥، ٣، ٢

ثالثة عوامل أولية (٣ ^ ٣ ^ ٢)٣٠(٥ ^ ٣ ^ ٢)، ١٨

(٣ ^ ٣ ^ ٤٥(٥

٩٠

١٠٩

٣ ٢٥٣٣٣ ٣

^

^ ^^

ر ... فيصل يفكد كل زوج من العوامل التي سأستخدم قواعد قابلية القسمة والحس العددي لكي أحد

ناتج ضربها ٩٠.١ ^ ٩٠ كل عدد يقبل القسمة على ١ لذا ٩٠ تقبل القسمة على ٢ ٢ ^ ٤٥ ٩٠ آحادها ٠ لذا ٩٠ تقبل القسمة على ٣ ٣ ^ ٣٠ ٩ + ٠ = ٩لذا ٩٠ تقبل القسمة على ٥ ٥ ^ ١٨ ٩٠ آحادها ٠ ١٥ ^ ٦ لذا ٩٠ تقبل القسمة على ٦ ٩٠ تقبل القسمة على ٢، ٣ ٩ ^ ١٠ لذا ٩٠ تقبل القسمة على ١٠ ٩٠ آحادها ٠ ، فإن ٩٠ ال تقبل القسمة على ٤. وحيث إن ناتج قسمة ٩٠ ÷ ٢ هو عدد فردي

وهكذا فإن لدينا ٦ طرق لتخطيط الحديقة.

182

من فهمك تحقق

د العوامل التي تبدأ بها الشجرة؟ ١ عندما تبدأ برسم شجرة العوامل األولية لعدد ما، كيف تحد

؟ ٢ لماذا العدد ٢ هو العدد الوحيد األولي الزوجي

حل المسائل والتفكير المنطقي

، عوامله هي أول خمسة أعداد أولية؟ ١ التواصل: ما أصغر عدد غير أولي

٢ المجلة: العدد األولي هو العدد الذي له عامالن فقط: الواحد والعدد نفسه.

ا. ح لماذا العدد ١ ليس عددا أولي وض

183

(1-4) πFÉ°ùŸG π◊ ó°TôŸG2-5

سوف تتعلمإيجاد المضاعف المشترك

األصغر لعددين.

من االستخداماتيستخدم علماء الفلك المضاعف

المشترك األصغر لتحديد متى ستجتاز األجرام السماوية

األرض في آن واحد.

المصطلحات األساسية المضاعف

المضاعف المشترك المضاعف المشترك

(h.م.م) األصغر

صلة الدرس درست في ما سبق إيجاد األعداد التي تقسم عددا ما، واآلن سوف تدرس كيفية إيجاد العدد الذي تقبل األعداد القسمة عليه

المضاعف المشترك األصغر تعلم

مضاعفات العدد ٦ هي: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤ ، ٣٠، ٣٦، ٤٢، ٤٨، ٥٤، ٦٠، ...مضاعفات العدد ٨ هي: ٨، ١٦، ٢٤ ، ٣٢، ٤٠، ٤٨ ، ٥٦، ٦٤، ٧٢ ، ٨٠، ...

األعداد التي تظهر في كل من قائمتي األعداد هي المضاعفات المشتركة، وأصغرها هو .h .المضاعف المشترك األصغر م. م

د أصغر المضاعفات أول طرق إيجاد م. م.h: هي أن تكتب مضاعفات العددين، ثم تحدللعددين، والذي يظهر في قائمتي المضاعفات.

أمثلة١ أوجد المضاعف المشترك األصغر لكل من ١٠، ١٢.

مضاعفات العدد ١٠: ١٠، ٢٠، ٣٠، ٤٠، ٥٠، ٦٠، ٧٠، ٨٠، ٩٠، ...مضاعفات العدد ١٢: ١٢، ٢٤، ٣٦، ٤٨، ٦٠، ...

المضاعف المشترك األصغر للعددين ١٠، ١٢ هو ٦٠.

٢ في دول كثيرة من العالم يجري انتخاب رئيس الجمهورية مرة واحدة كل ٦ سنوات ويجري انتخاب أعضاء مجلس الشعب مرة واحدة كل ٤ سنوات إذا صادفت في واحدة من هذه الدول أنه في العام ٢٠١٠ جرى انتخاب رئيس الجمهورية وأعضاء مجلس الشعب، في أي سنة سيعاد

انتخاب رئيس الجمهورية وأعضاء مجلس الشعب معا؟مضاعفات العدد ٤: ٤، ٨، ١٢، ١٦، ٢٠، ٢٤، ...

مضاعفات العدد ٦: ٦، ١٢، ١٨، ٢٤، ٣٠، ...وبالتالي بعد ١٢ سنة من اآلن سيتم انتخاب رئيس الجمهورية وأعضاء مجلس الشعب معا، أي

في العام ٢٠٢٢.p ïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

في دول عديدة تتبع النظام الملكي ال يتم فيها االنتخاب إال فقط ألعضاء مجلس األمة

أو مجلس الشعب.

oô¨°UC’G o∑nΰûŸG o∞nYÉ°†ŸGLeast Common Multiple

184

ثاني طرق إيجاد المضاعف المشترك األصغر م. م.h. بطريقة التحليل الى العوامل األولية.طريقة التحليل: تحليل كل من العددين إلى عوامله األولية، ثم يتم ضرب العوامل كلها مع

األسس األكبر إليجاد المضاعف المشترك األصغر.

أمثلة

٣ أوجد المضاعف المشترك األصغر للعددين ٨، ١٢

تحليل العدد ٨ الى عوامله األولية: ٨ = ٢ ^ ٢ ^ ٢تحليل العدد ١٢ الى عوامله األولية: ١٢ = ٢ ^ ٢ ^ ٣ م. م. h للعددين ٨ و١٢ = ٢ ^ ٢ ^ ٢^ ٣

٣٢ ^ ٣ = ٢٤ = وبالتالي المضاعف المشترك األصغر للعددين ٨ و١٢ هو ٢٤

٤ أوجد م.م.h للعددين ٩ و١٥

(أ) باستخدام المضاعفات:مضاعفات العدد ٩: ٩، ١٨، ٢٧، ٣٦، ٤٥، ٥٤

مضاعفات العدد ١٥: ١٥، ٣٠، ٤٥، ٦٠وبالتالي المضاعف المشترك األصغر للعددين ٩، ١٥ هو العدد ٤٥

(ب) استخدام التحليل:٣ ^ ٣ = ٩

٣ ^ ٥ = ١٥ ٣ ^ ٣ ^ ٥ = ٤٥ = h.م.م

المضاعف المشترك األصغر للعددين ٩ و١٥ هو ٤٥

حاول أن تحل

أوجد م.م.h لكل زوج من األعداد التالية:(جـ) ٤، ١٠ (ب) ١٠، ٣ (أ) ٥، ٧

185

مثال (٥)تعد الساعة المائية من أوائل أجهزة التوقيت المستخدمة في العالم، وفيها كان الماء ينساب من

د الزمن المستغرق. ل ثابت ليحد وعاء إلى وعاء آخر بمعدوهناك أيضا الساعات الرملية التي ينساب الرمل فيها من الوعاء األعلى إلى الوعاء األسفل.

إحدى الساعات المائية القديمة كان يعاد ملؤها بالماء كل ١٢ دقيقة، وأحد أنواع الساعات الرملية كانت تقلب كل ٣٠ دقيقة.

إذا بدأت الساعتان معا بحساب الوقت في آن واحد، فمتى ستحتاج إلى إعادة تشغيلهما مرة أخرى في وقت واحد؟

أوجد المضاعف المشترك األصغر لكل من ١٢، ٣٠١٢ = ٢ ^ ٢ ^ ٣٣٠ = ٢ ^ ٣ ^ ٥

٢ ^ ٢ ^ ٣ ^ ٥ = ٦٠ = h.م.مالمضاعف المشترك األصغر للعددين ٣٠، ١٢ هو ٦٠.

معنى ذلك أنك ستعيد تشغيل الساعتين معا كل ٦٠ دقيقة.

حاول أن تحل

أوجد م.م.h لكل زوج من األعداد التالية:(ب) ٨، ٢ (أ) ٦، ٩ (د) ١٠، ١٢ (جـ) ٢٠، ٢٥ (و) ٦، ١٥ (هـ) ٥، ١١

(ح) ٢٩٧ ،١١ (ز) ٦، ٥٤

ح ذلك. ١ هل المضاعف المشترك األصغر ألي عددين أكبر من كل من العددين؟ وض٢ يعتقد خالد أن المضاعف المشترك األصغر لعددين أوليين هو ناتج ضربهما. هل

ر إجابتك. اعتقاد خالد صحيح؟ فس

٣ ما الفرق بين العامل والمضاعف؟ كم عامال للعدد ٨؟ وكم مضاعفا للعدد نفسه؟

من فهمك تحقق

pïjQÉàdÉH oπNGóàdGh o§HGÎdG

أجهزة أحد هي المائية الساعة في استخدمت التي التوقيت العصور في القضاء ساحات فيها توضع وكانت السابقة. مما بهدوء تنساب التي المياه وقت يستغل أن للمحامي يتيح حتى الدفاع في المياه انسياب يتوقف الماء فيتوقف عن دفاعه.

فكرة مفيدة للمذاكرةالعوامل والمضاعفات

لها معان مترابطة، فمثال مضاعفات العدد ٦ هي

٦، ١٢، ١٨، وهكذا. وعوامل العدد ٦

هي ١، ٢، ٣، ٦.

186

(2-5) pπFÉ°ùŸG uπ◊ oó°TôŸG، وقميصا رة» تحت كل عاشر كرسي خبأ مدير إحدى المدارس المتوسطة جوائز طالبه تحت كراسي قاعة االحتفال، فوضع «مفكعليه شعار المدرسة تحت كل كرسي ترتيبه الخامس عشر، وحقيبة تحت كل كرسي ترتيبه الخمسون، إذا ابتدأ في وضع الهدايا

من الكرسي الرقم ١، فما أول كرسي سيضع فيه المدير الهدايا الثالث؟

افهم

١ أعد كتابة المسألة بكلماتك الخاصة.

خطط

٢ أوجد المضاعف المشترك األعلى لألعداد ١٠، ١٥، ٥٠.(أ) أوجد مضاعفات العدد ١٠.

(ب) أوجد مضاعفات العدد ١٥.

(جـ) أوجد مضاعفات العدد ٥٠.

حل

٣ ما المضاعف المشترك األصغر لألعداد ١٠، ١٥، ٥٠؟ ٤ ما الكرسي الذي ستكون تحته الهدايا الثالث؟

تحقق

٥ أوجد طريقة أخرى لحل هذه المسألة.

حل مسألة أخرى

تطوع أحمد ووليد وخالد للعمل مجانا في حديقة الحيوانات. يعمل أحمد يوما واحدا كل ٥ أيام، ويعمل وليد يوما واحدا كل ٦ أيام، ويعمل خالد يوما واحدا كل ١٥ يوما. هم يعملون اليوم معا، فبعد كم يوما سيعمل الثالثة معا مرة أخرى؟

حلالمسائلافهمخططحلتحقق

187

حل المسائل والتفكير المنطقي

اختر اإلستراتيجية المناسبة لحل التمارين من رقم ١ إلى رقم ٤ مستخدما الجدول التالي:يدير األستاذ صالح أحد محالت المالبس، ويوجد بعض الموظفين المختصين بتوصيل د أيام كل موظف في شهر يناير. الطلبات إلى المنازل. صممت إدارة المحل جدوال ليحد

الموظف أيام التوصيل

هاني كل ٥ أيام

موسى كل يومين

خالد كل ٦ أيام

كامل كل ٤ أيام

١ كم مرة سيشترك كل من خالد وموسى في التوصيل؟

٢ كم مرة سيشترك كل من خالد وكامل في التوصيل؟

٣ كم مرة سيشترك كل الموظفين في التوصيل؟

٤ في األول من يناير من السنة غير الكبيسة سيشترك كل الموظفين في توصيل الطلبات. ما أول تاريخ سيشترك فيه جميع الموظفين في التوصيل مرة أخرى؟

ح لماذا ال يوجد أكبر مضاعف مشترك ألي عددين؟ ٥ المجلة: وض

ر إجابتك. ٦ التواصل: ما المضاعف المشترك األصغر (م. م. h) للكسرين العشريين ٠,٣، ٠,٧؟ فس

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

188

(1-4) πFÉ°ùŸG π◊ ó°TôŸGoIóMnƒdG(Ü) oá°ùeÉÿG

إن استخدام األداة يسهل عملك، ولكن اختيار األداة نفسها هو عمل صعب، ألنه يوجد

الكثير من األدوات التي يجب أن تختار منها. وقد صدر كتاب حديث مؤخرا يحتوي على

نة من حوالى ألف آلة يستخدمها العمال. خذ، على سبيل المثال، مفاتيح الربط التي قائمة مكو

تستخدم في ربط أو فك المسامير والصواميل. بعض أنواع مفاتيح الربط لها مقاسات مختلفة

)، ومفتاح الربط ذي السلسلة. مثل مفتاح الربط المنزلق (اإلنجليزي

بعض مفاتيح الربط األخرى لها مقاسات ثابتة، مثل مفاتيح الربط الصندوقية، ومفاتيح الربط

المفتوحة الطرف. كما يوجد بعض مفاتيح الربط التي صممت الستخدامات خاصة، مثل

مفاتيح ربط الدراجات وإطارات السيارات.

ومما يزيد األمر صعوبة وتعقيدا أن كل نوع من أنواع مفاتيح الربط يأتي في مجموعة تتألف

من مقاسات مختلفة. في هذا الفصل سوف تتعلم كيف تستخدم الكسور العشرية والكسور

االعتيادية لمعرفة قياس هذه المفاتيح. سوف تتعرف إلى اآلالت الخاصة المستخدمة لقياس

أبعاد (أحجام) األشياء، مثل العظام والمنسوجات والدقيق والمطر.

١ اذكر اسم آلة استخدمتها لقياس شيء ما.ما هي الوحدة التي استخدمتها في القياس؟ هل كانت القياسات

عشرية أو اعتيادية؟٢ ما المشكالت التي ستحدث إذا كانت وحدة قياس مفتاح

الربط الذي تستخدمه بالسنتيمتر، والشيء المراد إحكام ربطه مقيسا بالمليمتر؟

٣ لماذا توجد أنواع مختلفة من األدوات؟ ولماذا توجد أنظمة قياس مختلفة تستخدم لقياسها؟

p§HôdG oí«JÉØe

páqjöû©dG pOGóYC’Gh páqjöùμdG pOGóYC’G nÚH o§HôdGConnecting Fractions and Decimals

189

أ الكل إلى أجزاء الكسر: يصف جزءا من الكل عندما يجزمت إلى ٤ أجزاء متساوية، متساوية. المسطرة التي أمامك قس

١٤ أو جزءا من أربعة أجزاء. وكل جزء يسمى

ف بطريقتك نصنة بألوان األدوات المستخدمة: أربع أوراق ملو

. مختلفة، مقصم الصفحة األولى إلى جزءين متطابقين، ١ قس

. ١٢ واكتب على كل منها م الصفحة الثانية إلى ٤ أجزاء متطابقة، - قس

. ١٤ واكتب على كل منها م الصفحة الثالثة إلى ٨ أجزاء متطابقة، - قس

. ١٨ واكتب على كل منها م الصفحة الرابعة إلى ١٦ جزءا متطابقا، - قس

واكتب على كل منها ١١٦ .

، ١٢ ٢٤ ينطبقان تماما على ٢ الحظ:

.١٢ = ٢٤

استخدم رقائق الكسور لتبين أن هناك كسورا أخرى متكافئة. ارسم تخطيطا كالذي أمامك

ح ذلك. لتوض٣ في أحد األيام الممطرة في مدينة الكويت، وجد أن ارتفاع منسوب المياه في أحد

ر إجابتك. ٢٨ سم، أي المنسوبين أعلى؟ فس ١٤ سم وفي أرض المطار الشوارع ٣٤ من ٤ سيارتان لهما سعة خزان الوقود نفسها، إحداهما يمتلئ خزانها بالبنزين حتى

سعته، واألخرى يمتلئ حتى ١١١٦ من سعته.

ر إجابتك. أي الخزانين مملوء بالبنزين أكثر من اآلخر؟ فس

190

سوف تتعلم تمثيل القيم بين األعداد الكلية

في صورة كسور اعتيادية.

المصطلحات األساسية كسر بسط مقام

كسور متكافئة

الكسور االعتيادية استكشف

الدرس تعلمت في الفصل السابق الكسور العشرية وكيفية استخدامها، وعرفت صلةأن قيمة كل منها أصغر من الواحد. واآلن سوف تتعلم استخدام الكسور االعتيادية التي

تعبر عن األعداد كأجزاء متساوية من الكل

١٢١

٤

lá©LGôe

٢١ سم ٤

٣٤

١٤

{ {

١٢

١٤

١٤١٤

١٤

١٢

١٢

١٤

١٤

١٨١٨

١٨١٨

١٨١٨

١٨١٨

١١٦١١٦١١٦١١٦

١١٦١١٦١١٦١١٦

١١٦١١٦١١٦١١٦

١١٦١١٦١١٦١١٦

١٢

١٢

١٤

١٤

١٤

١٤

رقائق الكسور

páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdG oº¡aUnderstanding Fractions

190

٥٨ بطريقتين: خمسة أثمان أو خمسة يمكنك أن تقرأ الكسر على ثمانية. وعندما يساوي البسط المقام فإن الكسر يساوي

الواحد.

أمثلة١ تختلف المفكات حسب الطرف المستخدم

لفك أو ربط اللولب. واألنواع الشائعة االستخدام هي ذات الطرف الشبيه بـ (-) أو ذات الطرف الشبيه

بـ (+). وفي الشكل المقابل اذكر الكسر الدال على المفكات التي تنتهي بالرأس (+) بالنسبة إلى عدد

. المفكات الكلي

يوجد ١٢ مفكا ينتهي ٧ منها بالطرف (+)

، أما الكسر الدال على عدد المفكات التي تنتهي بالطرف والكسر الذي يمثل هذا العدد هو ٧١٢

(-) فهو ٥١٢ .

الكسور أيضا لها أسماء مختلفة، فالكسران اللذان لهما القيمة نفسها يسميان «كسرين متكافئين».

وتالحظ أن األجزاء نفسها مظللة في المستطيلين،. ٤٦ = ٢٣ لذلك

٣٥ من المستطيل تم تظليلها. ٢

. ٣٥ اذكر كسرا متكافئا للكسر

يمكنك رسم خط في منتصف المستطيل ليقسمه إلى عشرة أجزاء

متطابقة، ثم ظلل ٦ أجزاء. ٣٥ = ٦١٠

حاول أن تحل

(أ) ما الكسر الدال على الفلفل األحمر؟وما الكسر الدال على الفلفل غير األحمر؟

(ب) ما الكسر الذي يمثله الجزء المظلل من المستطيل؟ أعط كسرا مكافئا لهذا الكسر.

تم اختراع الكثير من المفكات الستعمالها في

استخدامات خاصة؛ فالمفك ذو الطرف الخماسي اخترع

لفك سدادات وصمامات صنابير الحريق. والطرف

السداسي استخدم لتركيب الدروع في القرن الخامس

عشر.

تذكريصف الكسر تقسيمات شيء

إلى أجزاء متطابقة. والعدد ح العلوي يسمى البسط، ويوض ، عدد األجزاء من العدد الكليوالعدد األسفل يسمى المقام،

. ويصف عدد األجزاء الكلي

٦٦ = ١

páYÉæ°üdÉH oá∏°üdG

٢٣

٤٦

٣٥

تعلم فهم الكسور االعتيادية

191

يمكنك أن تحصل على صورة أخرى من الكسر، وذلك بضرب أو قسمة كل من البسط والمقام في العدد نفسه.

مثال (١)

. ٩١٢

أوجد كسرين مكافئين للكسر

١٨٢٤

= ٩ ^ ٢١٢ ^ ٢

= ٩١٢

اضرب البسط والمقام في ٢

٣٤

= ٩ ÷ ٣١٢ ÷ ٣

= ٩١٢

اقسم البسط والمقام على ٣

٣٤

،١٨٢٤

٩ هما ١٢

الكسران المكافئان للكسر

عندما تضرب بسط ومقام الكسر في عدد لكي تحصل على كسر آخر مكافگ له، استخدم أي عدد ما عدا الصفر. وعند القسمة ال بد من أن نجد عددا يقسم كال من

ا يقسم كال من البسط والمقام، فإن البسط والمقام في آن واحد، وإذا لم تجد عددا كليالكسر هو في صورته البسيطة (في أبسط صورة).

مثال (٢)

٢٤ في أبسط صورة.٦٠

ضع الكسر

ليس في أبسط صورة ١٢٣٠

الكسر ١٢٣٠

= ٢٤ ÷ ٢٦٠ ÷ ٢

= ٢٤٦٠

بقسمة البسط والمقام على ٦ = =

حيث إنه ال توجد عوامل مشتركة بين ٢، ٥ غير الواحد. ٢٥

٢٤ في أبسط صورة هو ٦٠

يمكنك أن تختصر الكسر ألبسط صورة في خطوة واحدة، وذلك إذا قسمت كال من البسط والمقام على أكبر عدد يقبالن القسمة عليه،"h .ويسمى هذا العدد «العامل المشترك األكبر " ع. م

3-5سوف تتعلم

كتابة الكسر االعتيادي في أبسط صورة.

من االستخداماتمن المهم ألصحاب المزارع

والبساتين أن يعرفوا تبسيط الكسور عند استخدامهم المواد

العضوية في حدائقهم.

المصطلحات األساسية أبسط صورة

العامل المشترك(h .ع. م) األكبر

تبسيط الكسور (الكسور في أبسط صورة) تعلم

.الدرس تعلمت كيف توجد كسرا متكافئا آلخر صلة

٢٤ = ٤٨ ٢٤ = ١٢

١٢ ÷ ٦٣٠ ÷ ٦

٢٥

١٢٣٠

١١٢

١٣

١٤

١٤

١٥

١٥

١٥

١٥١٦١٨

١٨

١٨

١٨

١٨

١٨

١٨

١٨١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١١٠

١٦

١٦

١٦

١٦

١٦

١٥

١٤

١٤

١٣

١٢

١٣

لوحة رقائق الكسور

páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdG o§«°ùÑJFractions in Lowest Terms

192

تذكريختلف العامل المشترك األكبر (ع. م. h) عن المضاعف

(h .م. م) المشترك األصغر

مثال (٣)

في أبسط صورة.٣٦٩٠ ضع الكسر

أوجد ع. م. h. للعددين ٣٦ ، ٩٠

٣٦ = ٢ ^ ٢ ^ ٣ ^ ٣

٩٠ = ٢ ^ ٣ ^ ٣ ^ ٥ ٢ ^ ٣ ^ ٣ = ١٨ = .h .ع.م ٢٥ =

٣٦ ÷ ١٨٣٦ = ٩٠ ÷ ١٨

٩٠وبالتالي

حاول أن تحل

١ أوجد كسرين مكافئين لكل من الكسور اآلتية: ٧٢١

(جـ) ١٢١٥

(ب) ٦١٠

(أ)

٢ اكتب الكسور التالية في أبسط صورة: ٣٦٤٨

(جـ) ٤٢٥٦

(ب) ١٨٤٥

(أ)

١ كيف تستخدم ع. م. h. عندما تختصر الكسر ألبسط صورة؟٢ يمكنك كتابة الكسر في أبسط صورة ممكنة. هل تستطيع كتابته في أكبر صورة

ح ذلك. ممكنة؟ وض

من فهمك تحقق

الحساب الذهنياستخدام قواعد قابلية القسمة يساعدك على إيجاد العوامل األولية

للعدد.

193

(1-4) πFÉ°ùŸG π◊ ó°TôŸGحل المسائل والتفكير المنطقي

٢٨ من هذه التذاكر، في حين ٣٦ من تذاكر اليانصيب، وباعت هنادي ١ اختر اإلستراتيجية: في أحد االحتفاالت باعت منال ر إجابتك. باعت مها باقي التذاكر. من باع أكثر، منال أم هنادي ومها معا؟ فس

ر إجابتك. ح الفرق بين م. م. h ، ع. م. h هل يمكن أن يتساوى م. م. h ، ع. م. h ؟ فس ٢ المجلة: وض

ح لماذا ال يمكن كتابة الكسور التالية في أبسط صورة: ٣ التفكير الناقد: وض

٥٧ . ماذا نفعل لنحصل على مقام مشترك لهذه الكسور؟ ، ٢٣ ، ٢١٧ ، ١١١٣

ر إجابتك. ٤ التواصل: ما العامل المشترك األكبر (ع. م. h.) للعددين ١، س حيث س هو متغير؟ فس

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

194

4-5سوف تتعلم

تحويل الكسر المركب إلى . عدد كسري

من االستخداماتيستخدم البقال الكسور المركبة

واألعداد الكسرية عند وزن اللحوم والجبن.

المصطلحات األساسية كسر مركب عدد كسري

الكسور المركبة واألعداد الكسرية استكشف

صلة الدرس تعلمت في الدروس السابقة كيف تتعامل مع الكسور االعتيادية األصغر .من الواحد. واآلن سوف ترى كسورا اعتيادية أكبر من الواحد

٢٠٩ كسر مركب.كسر مركب: هو كسر اعتيادي بسطه أكبر من مقامه أو يساويه. فمثال

. . فمثال ٣٤٥ عدد كسري : يتكون من عدد كلي غير صفري وكسر اعتيادي عدد كسري

األدوات المستخدمة: نماذج من قوالب تمثل مضلعات مختلفةحة إلكمال الجدول التالي: ١ استخدم النماذج الموض

؟ ٢ (أ) هل يمكن كتابة أي كسر مركب على صورة عدد كسري(ب) هل يمكن إعادة كتابة أي عدد كسري في صورة كسر مركب؟

ر إجابتك. فس

عدد كسري كسر مركب الجزء الواحد األجزاء أكمل

١ ١٦

٧٦

١٦

oáqjöùμdG oOGóYC’Gh oáÑ scôŸG o Qƒ°ùμdG Improper Fractions and Mixed Numbers

195

٤الكسر االعتيادي له قيمة أصغر من ١. وتذكر أن كسور اعتيادية٨

= ٣٦

= ٢٤

= ١٢

دة. الكسر االعتيادي يمكن أن تكون له أسماء متعد

الكسور المركبة واألعداد الكسرية لها قيمة كسور مركبة ١٦١٢

= ١٢٩

= ٨٦

= ٤٣

أكبر من الواحد أو تساويه. والكسور المركبة دة. وفي بعض واألعداد الكسرية لها أيضا أسماء متعداألحيان يكون استخدام أحد هذه األسماء أسهل من

استخدام األسماء األخرى.

أمثلة . كتابة كسر مركب في صورة عدد كسري

: ١١ في صورة عدد كسري٤

١ أعد كتابة

٤٢

١١والباقي ٣

١١ = ١١ ÷ ٤ = ٢ والباقي ٣ ٤

٢٣٤

= ١١٤

وبالتالي

كتابة عدد كسري في صورة كسر مركب.

٤٣ في صورة كسر مركب.٥

٢ اكتب

طريقة (٢) طريقة (١)

٢٣٥

= (٥ ^ ٤) + ٣٥

= ٤٣٥

٣٥

+ ٤٣ = ٤٥

٣٥

+ ٤ ^ ٥٥

= ٤٣٥

٣٥

+ ٢٠٥

= ٤٣٥

٢٣٥

= ٤٣٥

٢٣٥

= ٤٣٥

وبالتالي

حاول أن تحل

: ١ اكتب في صورة عدد كسري ٣٥٤

(جـ) ٢٦٩

(ب) ١٤٣

(أ)

٢ اكتب في صورة كسر مركب:٢٣٥

(جـ) ٤١٨

(ب) ١٥٦

(أ)

الكسور المركبة واألعداد الكسرية تعلم

أعداد كسرية٧٤٨

= ٧٣٦

= ٧٢٤

= ٧١٢

196

ر إجابتك. ١ هل يمكن أن يساوي العدد الكسري الواحد؟ فسر إجابتك. ا؟ فس ٢ هل يمكن أن يساوي كسر مركب عددا كلي

د ما إذا كان الكسر أصغر من العدد ١، أو مساويا للعدد ١ أو أكبر من العدد ١؟ ٣ كيف يمكن أن تحد

حل المسائل والتفكير المنطقي

٤٥٤ سم، هل يمكن وضع المطرقة داخل ١٥٣٤ سم، ويبلغ طول المطرقة ١ التفكير الناقد: يبلغ طول صندوق عدة صالح الصندوق؟

٢ التفكير الناقد: أراد علي أن يقيس قطعة من الخشب طولها ٣ أمتار تقريبا. لم يجد المسطرة التي يقيس بها، لكنه يعلم أن طول ١٥ متر، فكم يبلغ طول قطعة الخشب مقيسة باليد؟ يده

حها الصورة في صورة عدد كسري وفي صورة ح الصورة نموذجا لعدد أكبر من الواحد. اكتب القيمة التي توض ٣ التفكير الناقد: توضكسر مركب.

، في حين ال يمكن فعل ذلك مع الكسر األصغر من الواحد. ح لماذا يمكن كتابة الكسر المركب على صورة عدد كسري ٤ المجلة: وض

ر ١١٢ من شرائح الفطيرة نفسها؟ فس ٩٤ من شرائح فطيرة أم هما أكبر: ٥ التواصل: أيإجابتك.

من فهمك تحقق

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

197

الدرس لقد تعلمت أن تكتب األعداد بالصورة العشرية والصورة الكسرية. صلة واآلن سوف تتعلم التحويل من صورة إلى أخرى

سوف تتعلمالتحويل بين الكسور االعتيادية

والكسور العشرية.

من االستخداماتعلى المسافرين إلى الدول

المختلفة أن يفهموا العالقة بين الكسور االعتيادية والكسور

العشرية بخاصة عندما يسافرون إلى دول أجنبية.

المصطلحات األساسية كسر عشري منته

ر) كسر عشري دوري (متكر

5-5

اصنع شبكةاألدوات المستخدمة: شبكات عشرات، شبكات مئات

تمثيل الكسور االعتيادية على شبكة العشرات٣٥ مثل

م الشرائح الطولية إلى عدد من المجموعات تساوي المقام، (أ) قسولكل مجموعة العدد نفسه من الشرائح.ن هذه المجموعات بعدد البسط. (ب) لو

(جـ) صف العدد الممثل على الشبكة بالصورة العشرية.١ مثل كال من الكسور اآلتية ككسر عشري على شبكة العشرات:

٤٥ (د) (جـ) ٧١٠ ٢٥ (ب) ١٢ (أ)

تمثيل الكسور على شبكة المئات

على شبكة المئات.٣٤ مثل

م المربعات إلى عدد من المجموعات تساوي المقام، (أ) قسكل مجموعة لها عدد مربعات المجموعات األخرى نفسه.

ن هذه المجموعات بعدد البسط. (ب) لو(جـ) صف العدد الممثل على الشبكة.

٢ مثل كال من الكسور اآلتية ككسر عشري على شبكة مربعات:

١٣(د) ٥٠ (جـ) ٣٢٠ ١٤ (ب) (أ) ٤١٠

ر إجابتك. ١٤ على شبكة العشرات؟ فس ٣ هل يمكنك تمثيل العدد

١٣ على شبكة العشرات؟ هل يمكنك تمثيل هذا العدد على ٤ هل يمكنك تمثيل العدد ر إجابتك. شبكة المئات؟ فس

٥ أي مما يلي له أكبر عدد من المربعات المظللة:شبكة تمثل الكسر االعتيادي ٣١٠ أو شبكة تمثل الكسر العشري ٠,٣٧؟

ر إجابتك. فس

١ ٢ ٣ ٤ ٥

الكسور االعتيادية والكسور العشرية استكشف

páqjöû©dG pQƒ°ùμdGh páqjOÉ«àY’G pQƒ°ùμdG ÚH oπjƒëàdG Converting Fractions and Decimal

198

الكسور االعتيادية والكسور العشرية طريقتان مختلفتان لوصف بعض األعداد المحصورة بين األعداد الكلية. ومن المهم أن تستطيع المقارنة بين هذه األعداد، حتى إذا كتبت بعضها

في صورة كسور عشرية وبعضها اآلخر في صورة كسور اعتيادية.

أمثلة ١٣ ١٠٠٠ ١ اكتب ٠,٠١٣ في صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة. ٠,٠١٣ =

٧٥١٠٠

٢ اكتب ٠,٧٥ في صورة كسر اعتيادي في أبسط صورة. ٠,٧٥ =

٣٤

= ٧٥ ÷ ٢٥١٠٠ ÷ ٢٥

العامل المشترك للعددين ٧٥ ،١٠٠ هو ٢٥. ٠,٧٥ =

٣ يحتاج عماد إلى المثقاب (الشنيور) لعمل ثقب قطره ٠,٧ بوصة. المثقاب فيه البنطة رقم ٥ بوصة. هل اتساع الثقب الذي سوف يحدثه المثقاب سيكون كافيا؟

٨١٠، والتي قطرها

الثقب الذي سوف يحدثه المثقاب قطره يساوي ٠,٦٢٥ بوصة، وبما أن ٠,٦٢٥ < ٠,٧ لذا لن

يكون الثقب واسعا بدرجة كافية.

٥ = ٠,٦٢٥ ويسمى كسرا عشريا منتهيا.٨

الحظ أن القسمة منتهية.

ر باستمرار نمطا من األرقام. الكسر العشري الدوري يكر

. ٤ في صورة كسر عشري١١

٤ اكتب

=٤ ÷ ١١

٠,٣٦٣٦ ≈ ٤١١ وبالتالي:

الحساب الذهنياألعداد العشرية األكبر من العدد ١، يمكن تحويلها واألرقام . كسري عدد إلى الفاصلة يسار إلى التي ، العشرية تمثل العدد الكلييمين إلى التي واألرقام ل إلى الفاصلة العشرية تحو

. الجزء الكسري

تذكرالبوصة = ٢,٤٥ سم

٥ على مقامه.٨

اقسم بسط الكسر

عند تركيب أجزاء الحاسوب المهندسون يحتاج المادية، إلى التأكد من أن الحاسوب العمليات بإجراء يقوم صحيحة. بصورة الحسابية دقة اختبار طرق وإحدى الحاسوب هي حساب قيمة

. ط إلى ألف رقم عشري

páYÉæ°üdÉH oá∏°üdG

.

الكسور االعتيادية والكسور العشرية تعلم

٨٠,٦٢٥٥,٠٠٠٤ ٨ -٢٠١٦٤٠٤٠٠٠

-

-

١١٠,٣٦٣٠٠٠٤,٠٣ ٣ -٧٠٦٦٤٠٣٣٧٠٠

-

-

199

الحظ أن القسمة غير منتهية. رة مثال ٤١١ = ٠,٣٦ ا «-» فوق األرقام المتكر ر)، ضع خط عند كتابة كسر عشري دوري (متكر

حاول أن تحل

١ اكتب الكسور العشرية التالية في صورة كسور اعتيادية في أبسط صورة:(جـ) ٠,٣٧٥ (ب) ٠,٢٤ (أ) ٠,٨

د ما إذا كان هذا الكسر ٢ اكتب الكسور االعتيادية التالية في صورة كسور عشرية، وحدا: منتهيا أو دوري

١٢(و) ٣٣ (هـ) ١٣٢٠ ١

٥(د)

ر إجابتك. ١ هل يمكن تحويل كل الكسور االعتيادية إلى كسور عشرية؟ فس

من فهمك تحقق

عند استخدام اآللة الحاسبة لتحويل عدد

، اجمع إلى كسر عشريالعدد الكلي إلى ناتج قسمة كل من البسط

والمقام متبعا الخطوات التالية:

÷ المقام البسط . + العدد الكلي

١ التواصل: اشترى سيف بعض أنواع الخضار لعمل سلطة، وكانت أوزان أصناف

الخضروات كاآلتي: ٠,٦ كجم، ٠,٢٥ كجم، ٠,٣٧٥ كجم. اكتب األوزان السابقة في صور كسر اعتيادي في

أبسط صورة.

ر إجابتك. ٢٣ أقرب إلى العدد ٠,٦٧ أو العدد ٠,٦٧٧؟ فس ٢ التواصل: هل

في صورة كسور عشرية. أي ٣٧٩٩و ٢٩٩

لة، اكتب ٣ التفكير الناقد: باستخدام القسمة المطو

العمليتين أطول في الخطوات؟ ولماذا؟

، لكن ١٣ إلى كسر عشري لة، حولت مريم العدد ٤ التواصل: باستخدام القسمة المطو

ح لماذا حدث ذلك. كيف يمكن لمريم أن تكتب الكسر العشري القسمة لم تنته. وضالناتج؟

ر). ح الفرق بين الكسر العشري المنتهي، والكسر العشري الدوري (المتكر ٥ المجلة: وض

حل المسائل والتفكير المنطقي

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

200

6-5سوف تتعلم

مقارنة الكسور االعتيادية وترتيبها.

م.م.h تعني المضاعف المشترك األصغر.

المصطلحات األساسية مقام مشترك

تعلم المقارنة والترتيب

صلة الدرس تعلمت مقارنة الكسور العشرية وترتيبها. وفي هذا الدرس سوف .تتعلم مقارنة الكسور االعتيادية وترتيبها

تقاس أدوات ومواد البناء بالسنتيمتر، وكسور السنتيمتر، ، أو مسمار، أو منشار ولكي تعرف إذا كان قياس مفك

أكبر أو أصغر من اآلخر، فال بد أن تكون قادرا على مقارنة الكسور االعتيادية.

إحدى طرق المقارنة هي تحويل الكسور االعتيادية بحيث يصبح لها المقام نفسه، وعندئذ تقارن بين بسطي الكسرين. وعندما تكون للكسور

االعتيادية المقامات نفسها، فإنه يطلق على هذا المقام اسم «مقام مشترك».

أمثلةم. م. h. للعددين ٦، ٨ = ٢٤ ٧

٨٥ و٦

١ قارن بين

٢٠٢٤

= ٥ ^ ٤٦ ^ ٤

= ٥٦

٢١٢٤

= ٧ ^ ٣٨ ^ ٣

= ٧٨

. ٥٦

< ٧٨

٢٠ فإن ٢٤

< ٢١٢٤

بما أن

٢ يحتاج خالد إلى قطعة قماش من نوع خاص طولها ٠,٦٢ متر لعمل غطاء

لمضرب التنس الخاص به، وقد عثر خالد على قطعة من هذا النوع من القماش

٢ متر. فهل يشتريها خالد؟٣

طولها

استخدم اآللة الحاسبة لكتابة الكسور االعتيادية في صورة كسور عشرية

٢ ٣ ٠,٦٦٦٦٦

٢ > ٠,٦٢؛ لذا فإن خالدا يمكنه شراء قطعة القماش.٣

٠,٦ > ٠,٦٢ ولذلك فإن:

حاول أن تحل

أيهما أكبر؟٥٧

، ٨١١

(جـ) ٥٦

(ب) ٠,٧٥ ، ٧١٦

، ٣٨

(أ)

أصغر مقام مشترك يعرف أيضا باسم المقام المشترك األصغر.

تعلم؟ هل

oÖ«JÎdGh oáfQÉ≤ŸGComparing and Ordering

201

ر إجابتك. ٤؟ فس٣

< ٥٨

١ بما أن ٥ > ٤، فهل

٢ كسران اعتياديان لهما البسط نفسه، كيف يمكنك استخدام المقامات للمقارنة بين الكسرين؟

من فهمك تحقق

حل المسائل والتفكير المنطقي

ا ب تصاعدي ١ التفكير الناقد: رت

٢٣ ، ٠,١٤٥ (أ) ٠,٣٤،

٢٣ ، ٠,٤ ،١٢ ، ٠,٢٣ (ب)

١٧ ،٣٤ ، ٠,٧٧ (جـ)

ا أن العدد د ذهني ا، فهل يمكن أن تحد ٢ المجلة: عند إجراء عملية القسمة باستخدام اآللة الحاسبة وإذا كان الناتج كسرا عشري

الناتج منته أو غير منته.

ر إجابتك. ؟ فس هما أكبر ٠,٣ أم ٠,٣ ٣ التواصل: أي

٤ اختر اإلستراتيجية: يخطط مبارك لمؤتمر خاص بعمله وكان جدول المؤتمر كالتالي:

االجتماع األول يليه وجبة خفيفة.االجتماع الثاني يليه غداء.

االجتماع الثالث يليه راحة بعد الظهر ثم االجتماع األخير.٩ ساعة،

١٢٤٥ ساعة،

٣٠٤٢ ساعة، ١٢ ساعة، وتستغرق االجتماعات األربعة

وأطول اجتماع هو االجتماع الذي يلي الوجبة الخفيفة، وثاني أطول االجتماعات هو التالي للغداء مباشرة، وأقصر اجتماع هو التالي للراحة. فكم مدة أول اجتماع، وثاني اجتماع،

وثالث اجتماع، ورابع اجتماع؟

إستراتيجيات حل المسائل

• اختر نمطا. • نظم قائمة.

• اعمل جدوال. • خمن وتحقق.

• اعمل بطريقة عكسية.. • استخدم التفكير المنطقي

ا. • ارسم تمثيال بياني • حل مسألة أبسط.

202

pá°ùeÉÿG pIóMnƒ∏d w»ª«¶æJ l§ s£fl

كسر عشري

ر) كسر عشري دوري (متكر

كسر عشري منتهتحويل

كسران متكافئان

مقارنة الكسور وترتيبها

كسور اعتيادية عدد كلي

أشكال الكسور

المضاعف المشترك األصغر

عدد غير أولي عدد أولي

كسر مركب

أبسط صورة عدد كسري

تحليل العدد إلى عوامله األولية

203