worrydream.comworrydream.com/refs/borwein - aesthetics for the working...b 4 4 . 4 ! ' . '...
TRANSCRIPT
���������� �� ��� ���� �������������
�������� �� ����� ���������� ������� ���� �� � ��������� �� ������ � ������� ����
���� ������ ��������� � ������ �� ������
�������� ��� ������ �������� �� ����� �������� ��� ��� ��������� ������ ��������� ��� ����������
� ��� ��� ����
������� �����
���� � ���� � ����� ������ � ������ �� ���� ��������� � ���� � �� ���������� ����� �� �� � ���� !
"��� ����� �� ��������� ��� ����������
� ������ �������� ���#�� ���#$� %&'$�
��� ������ ��������� �( �������� ���������� ������������� ��������������� �
)������� �� ���� * +��)'� ,�-�'�.+'� ��� �� '����� )������� '����/������
�
� �����������
��� � �������� ��� ����� �� �� ��� � ���� ��������� ��� ����
� �� ���� ���������������� ��� ��� � �� ��� ���� � ���� ���� �����
� ���� ������������ ��� ���� ���� ������� �� �������� ��� � ���
���� � ������������ ��� ��� ���� �!� � �� ��������� �� ���������� ��
��� � �� �� � ������� ��������� ���� �� ���� ����� ������� ���
��� ��� � �� �� �� �����������" 01����� ��������2
,�� �������� ������������ ������ ���3 ��� � �*�� ��� ��� ����*���������� �*�� ����� ������ �� �� ������ � �4 ��������� +�����.����� �� � �� � � �������� ������� ������ ���� ����� ������� 0 ��� ���� ����2 ��������� ��� �� � ����������� ���� ����� *��� ������ * ��������� �� ������5
�#� � �� ���� ���� ��������� �� �� ���� $�� ������ �� � ��� �
��� ������� �� � � ������ ����� �� ������ ��� ��������� ������ ��
��������� �� ��� �������� �� ��� ��������� �� ���� ������� ��
��� � ���� ��� � ��������� �� ����� �� �� ����� ���� ���� �����
�� ����� ��� �������� � ������� ���������� %�� ��� ��� � �� ���
��� ��� ����� �� ���� �� ��� �����& ����� ���� ����� ��� ����������
���� � �� �������������� #� ���� � ����������� �� ��� ���� ��'
������� ��� ��� ��� �� � ����� �� ��� �!��� ���� �� ���� ���� �� ���
�������� �� ��� �� � ����(� � ���� ��� ��� � ������������ ��� �
��� ���)��������" 0���� ����� ��%�.�%6��25
� ����� �������� ����� 4�� �������� *�4��� ���� -������ � ���� �4 �(��. ����� � ��� � �������� ��� ��� ��� �� ����� � �� �������� ���� 4��� ����� ���� ����� �� �� � �������� � �� �������� ��� ������� � ����������� ����� *�������� 7 � ��� ������ �4 �� ���������� � -��� �� �� �� ��� ��� ���������� ���� ��� �� ��������� �4 �������8����� ������� ����*�� ������� ���������� ��4����
��� ����������� ���� ���� �� ������
9� �� :���� ��� ���������� * ��������� ��� ��� �������� ���5
���������� ��* � �������� � � ����� �4 �� *����4�� �� � �� ������� �4��������
��������� ��� ������ ���� ������������� �� �������� �������������� ��� ������� ��������� � � ��� ������������
������������ � ������ �� ����� ���� ��� !����� "���� #����$��%&���$� '�( )��*� �+++��,-� �������������� ��� ��-�� ��������� �.������$ �-� ������������ �-�� �-�� ����� ��
����� �� ��� �/����� ��������������������� ��������� ������������������������������ ��������� �������������� ���������������������� �������������������
�0� �.���� ����� �-�� ���������� �� �������� �� '��-��� #�����1� �,-� ����-������ ���/����� � ��� ��� ���� � ������������ �� 2�++ 3� ��%���
�
� ������ � ����� �4 �� *����4��; ���������8�� * � ���� �4 *��� # �������� �� ���������� �� ��������� ��� ��� ������ ��� ��������
�� � ���� � ��� ����������� < � ������ ����� ������ �� ���� �� ���� �� ���������� � �� �� �� � ����� ���
��� � ���5 �� ����� ������ *��� ���4����� ��� ����� �4 � ��� �� *�� ��3 ���������.��� �������
$ �������� 6 ������� �� ��� �4 �� ����� �4 �������� ����� ������ �� � �������������� ��������� ��:���
����������� ���� � �� *����� �4 ������ � ������� ��� ���� ������ ���� *����4��� �� ���� �� ��*����� �� ������ �� � �� � ����*�� � �� :������ ��� � ���� � ���*������� �� ������� ��� ������ �4 ������� ������������������ ���3� �4 ��� ��� �� ����� ��� ��������� �� ����4��� ���� ����.����
� ��� ����� �� ��� ��� ��� ������� �� �� ����� �� ��� ����� �� ������
/��������� � ����� ��=���� 0���( ����2 ��� ���� �� ������8���� �� � ��.�� ��� ��(� �� ������ �������� ��� ����� �4 >���� ������� ��� ����� ?� ���� � ������� ��� ������� ��� ��������� �������� �� �� � �� �������� �� ��� 4�� ��������� ������� � �� *������ �������� �� �� �� ������� ���� �4 �� ������� �( �������� ��� � �� �� ���� � ������ ���� ���.����� ������ ���@���� ��� ����� 4����� ��� ���� ���������� �=�������� "��� �4 ��������� ���� �� ����� �� ������� ��� ����
� ������ ������� ��� ����
-���� �4 � ������� ���������� ������� ��� ��@���� ��� 4��� ��@��������� ��� ���4 ���������� �� �� ������� ��� �� ����� �4 ���������
��� �����
'��� "�������� 1���� 0�&&&.��$$2 ���� ���4�������
�� ���� ��� ���� �� ��� � �� ��� ��� ��� ��� �� ��� ���"
A�� �4 1����B� ������ ������������ �� �&%%� ��� �� ���������� *������� ��������� ���� 4������ ��� �� ��������.�������� ���� ������� -������ *���� �� � ���� ��� ������� �*�������� -�� ���� 1���� ���� ����� ���� �� �� ����� ����� ������ �� � � � �� ��� ���� � ����������
C� ��� ����� �� � ���� � �� �� ����� ���� �4 �������� ����� ���� ����� ������� 4������ ���� 1����B� � ���:� ��������� *���� �� �*��� �4�������� ������� * ������� 0�6%�.�&&�2� ��� �� �� ���� ����� �4 �� �������
�
�
� �
�
����� ��
�#�� �4��� 0����/1� 5��* �6 #���� ��� '����� ������������ 4��� 0����/ ��� !� 0�#-���� 2����3� �����7�� ��� '������� '�( )��* 2 ���3� ��
#
������ ���������� ��� �� ���� �4 �� �� ��� ��������� ������� ����� *�� 5D �� �� 5D
�� ��� ��� ����
���� 5D�� E ��
�� ���� 5D
�����
-�� ��=������ ��� �� ���� � ������ ���� ���%��<��#<&#$$%���&< � � �
?���� �*���� �� ������� �� �� �������� �� ���� 4�������� ����� �� ���������� 7 ��� ��� ���F ������� ������� ������5 G������ 4����B ���� ����������� ���� � G���������B ���� �� *��������� ��� ��� ������� ��� ����0���� G*����� ���G2 ���� �� ����� +������� ����� ������ ��� )������>��3��B� G�� *���� ������3��G
��� ������ �
� ������������ �( �������� ��� ������� ������ �������� 4�� �������������� ����� �� *��� ��� � ��� ���5
$�� ��*��� �� ��������� ����� �� �� �������� ��� ������!� ���
���+����� �� ���������� ��� ����� ��� ����� ��� ����� ��*��� ��� ���
0H C��������2
H��=��� C������� 0��6$.�%6#2 ��� ���� � �� ������ ����������� ����3 ��� � ��� �������� �*�� �������� �� ���������� C� �� =���� ������� ���� �� ���� ������ ����� � � ������ ������ � ��� ���� � ������ ����� ����������� ���� ������������ � ��� ���� ������
C������� ��� *�� �� ����� �4 �-�� ������� �4 �������� �� �� ���.������� :���! 0�%<$2� � *��3 �� ���� ������� ����� ��� ������ ��� ��. ������4 �� /���� +��*�� -������ 0��%625
�$�� ����� �� ����� ��� ���� � ����� �� � �� ���� ��� �"
-��� ��� ��� �4 �� ���������� ������ �4 �%� ����� ��������� ��� ����� ������ �� ���� ��������� ��� ����� ��� �( ����������
��� �� ���� �������
'����� ������� 1 C C��� 0��&&.�%<&2� �� ������� I����� ����� �4 �� :�����4 �4 �� ������ ����� ��� ���� � ����� ����� ��� ���� ��� ��������� ��4���� �4 ��� ��������� C� ���� ��
�� ���������� ��� � ���� ��� +���� ��������� � ������������
��� ����������� ����� ������"
�4� 8� 5���� �9���� ��� � �-����� ��� 6��������� ���� :����� �� "���$� ���� �� �����
�������� ������ �� �� ���� ��������� ��� ����� ��� �������� � ���� ������ 2;�������8������3� '�( )��*� !�-� ��� 2 �� 3� ��� �% �<�
�=�-�� �-�� ������>�?
<
�� ��� � ������� �� ,����������B� � ����! -�� � ���� �� � � ����� ��.4���� �4 *��� ���� ����5
������� �� ��� )��� ����� $���� �� �� �������� � ��� �� ��� ��� �
��� �� � ����������"
-�� ����� ��� ������ ��
�,�� ��������� � � � �� � ��� ��� � -��� ���(�"
��� *��� ����. ���� ��� �� ��� � � ���� ��� ����� ����� �� �� �������4 �� ���� � ��� ���� ����� �4 ����*�� ��� ���*�� ���� ��������� 4������ ��� ��� I� �� ���� ��3�������� ��
��� ��� ������ �� ������ ��� � �� �� ���� ��� ��� �������� ���
������� � �������� � �������� ���"
���� 1���� ����� *� �������� -�� � ���� �� ��� �4 ���8��B� *�� ������� ��� �� �(������ �4 ���8���
�� 1������ ����� �� � ��� *� ���� ��� ������� ��� � *�*������ ��� ����������� ��������� � ������ ��� ������ � :�� �� ������
C���� �� ��� ��*�� � )�������� ������ �)��������� -����� 9������� � � �! ��� �$� ����� �� ��.������ G�3���� ���*��B �� � ����� ��� ���� � �� �
�� �� ���*������" -�� �������
��� D
� �
�
��
��� �
�� � ��� ���� � ��(������ � �0�2� �� ���*�� �4 ����� �� �(������� � -���� �� ��� D $� &6�� <$$ ����� �0���2 D $� &6�� ��%�
� ��� ���������� ����� �0�2
����� 4�� ��� � ��� ������ � �� 4�� ��� � �3���� �� �%## ������ �� :��
�( ���� �������� � ������
��
-��� ��� * ��� *��� ��� ������� � � ���������� ���*��� � ���� ������� ���� ���� *���� ����� ��� ������� �����
���� �(�� ��� ���� 4����*� �� ����� �� ������� �( ����������� � �����4 � ����� ����� ,�� ���� *� 4������� ��� �� G9�� �4 ����� ���*���B ��������� C��� �� ��� ��� ���� ���*�� ������� ���� �� G9�� �4 ����� ���.*���B5 � �� ������ ��� ������ � ��� ��� ����� ��� ����� �( ������� �� � ��� ����� ��� ���� �� �� �� �� ������ �� ���B� ����� ���� ������ ��*� � ����� ���*��
?� ����� ��� )�������� ����� �� �� ��=���
� ������� ����������� ��� ����
�� � ��� ������� ��� �( �������� ��� ����������� � ���� ���� ��5����� � ������ ������� � ��� ��� ����������� ���������� �� ������*�� �� ��
$
������ � ������ ��������� �� ���������� 4�� ���������� ��� ���� � � ������ ������ � ��� �� � ����=�����5
� "�� �� �� ����:�����
� "�� ��������� ��� 4����:�����; ���4� ��� ��4������
?�� �� G���B �� �������� ��� �� ��� �� �(����� ������� �4 ����� ������������ ��� �����*������ ?� ��� ���� ��� ���� �*�� �5
� ,��� ���� J ������� ����� J ������ �� ���4� J �( �������
� ,��� �������� ��� *������ � ���� ��� ������
� ��4��� ��� ���������� ��������� ��� ��������5 ������� ����*������������� J � ��������
-��� �� ������� �� ������ �� ���������� ������ ��� �� � ������ � ����� ������ � �� *���� ��5
� ,������ ��� ����� ��� ��������� 7 ������� �� ��=����� I��3�B�������� �� *����� �� ��� ����
� K������8���� 7 ���� �� � �� �4 ���������� +������ �� ��� �( ��� ������� ������ ��� ���� �� �� ������
� G'�����B ��� G,�����.*������B 0�� ���� 9�3���B �����2 -�� ������������4�� ��� ����� ���5
� ��� ��� ����3�5 ��� ����� �� � ���
� ��02� � � � � ��.
������ �� � ���� ���� �� �� �� � ������ ����� �� ������ ����������� ������ ������
� �������8�� ����3�5 �4 �=������� ������ ����*��� �� ������ ��� ������ ��������� ������ 3�������� �� ������.�(�� ��� ���� ��.��������� ������ ��� ������
, ��� ��������� �� ���� ������ ��5
� 0.��� /��������2 ��� ����� �4 �*���0�2 4�� ��*��=��� �(��������
� /������ ,���������� �4 ,�� 0����� 0� � � ����� '�',B� ������� '����.���� ��� B)�����B2��� �� ��+������ 0�B� � ����� ���� J L���������B�G�4��B �� ������ ��� /���@�B� A����� ������ ����2
�!��� 5��(��� ��� ��5� 5��(���� �;-���$�� 6�� ���-������ ;�������$�� �������
�� ������� � ������� ���� ���@!��� � 2�++ 3� ��%��� A;8;� �������� ++B <+�C�!����-�� �� 5��(��� ��� ������ ;������ �8���$��$ ���� 6�� �.��������� ���-����%
���� �������� ��������� ���� � ��� 2 ���3� ���%�+�� A;8;� �������� ��B +C��4#; ���� ����� -�/� -��$�� 6��� +�� ����$ � ��������� �� ��� �� +"� ����$ D������/�����1 ������
6
# �(������ ��� �4 ������� ,� ����� ������5 /�12 J 111 ��� ""- ��
�(������� *����� ��� �� ������ ���4�� ��� ���� ������ ������ � ������ *�� 4�� G�( �������� ,��������B
< ���� ������� ������ ������ 0����� ������ �4 #� �'3�� ������ ��2
��� ���� ���� ��� �������*�� ������ �� ����� '�', ��*����
��� ����� �� ��� �������
��� � ��� ���� �� �������� ����� �� ��������� �( �������� � ������
��� �� � ��� ��� � ��������� ����������� ����� ��� ����� � �������
������ �( ��� �������� �( ������ �� ������ �� ����� ������ ��
��� �������� ������� ���� ����� ��� �� ��� ���� ��������� �� ����(�
����� ��� � ���� � ����� ��� �� ���� ���� ��� �( ����� �� � ���
��� � ������� �� ���� �( ��� ��� �����" 0H��� ,�������2
9� �� �������� �� 4�������� ������ �4 8����� �4 ��� ��������� �� ������� ����*�� � ������������������ ����� -���� ������ ��� ���� �������� ������*�� �� � ����� ����� � �� �� �� ��� ���� ��� ��� �� � ������������ �� ����� �4 ���*��� �����
?� ���� *��� *������� ���������� ��4���� ��� ���� ���� � ��*��.���� ���� �� 9��>�,�� �� -�� ���� �� � ��������� ������ ������ 0� � ������� �������� ��*�� �( ������� ����� �� G1��� �4 9�4�B2 ����� ��3�������� ����*�� 0� � � /������ ������ �@�� ������ ���� ���*��� �� ��� ������*�� ��� �( ������� �� �� ������� ��������� ������M2
I� ��*��� ��� �4�� ���� �����*�� ��� ������ -�� 4�������� ����� �� ��� � *� �������� �� � ����� ��� 4��� � *� �������� � ��� ��� ��� � �� �� �� � � � �(�� ����� �4 ������*��� � ������� ����.��� � ����� ���� I� ������� ���� � ���������� 4���� ��� ������� � ���� �������� ���� -��4���� �������� �� ��� ����� ���� *��3 � �������� ����� 4�� ������� ���M
��E������� �� ��� �6 �-� ��� ��� �0$����-�1� 6�� �-� 0$���� ������ #������ #�����F��� �� �+++�
�������� �� �� �� �������� � ���! �� 8� ��$�� � � ���$-�6� ��< -������ �6 �-�4�������� 6�� 0�/���� #�����
��E�G� 5���� ��� !��� 5��(���� �8.��������� ���-������B ����� E�/�������� ���F����� =����*�� ������������� "�������� # �� ��� $����� 5� 8�$:���� ��� � #-���28���3� #����$��%&���$� �+++� 4#5' �%��+%<<� �%�� A;8;� �������� ��B ��C
��#�� ����������������������
&
��� ��� ����� � �!�� �����
,������ ���4��� ������������ 4��� 4���� �4 ������:� �( ������
�� -�� ������� �(�� ��5 ��������� ��� ��������� ���.��������� �����.���� 0� ��*����� ���� ��2 * �� ������ ������B� �(��� �4 �������� 0�� ���������=������� � �2 ��� ��������� 4���� !�� -�� �������� �( ������ �� � �������� �� � ���� � � ������ �� ������� ��� �� �����=����� �4 G���� ����� ��B �� ���� �4 ����� ������� �*�� !�� ������������ ������������5 �� � ��������� � � 4���B� ������ ��������� ��� �� ��� 3��3�; ����� ������ �� ��������� �4 �� ���B� ������ ����� ������� �4 � *���� ��� ��� �� *��� ����� ���� ���� ��3� �� ��� ���**�� !�� -�� ��� �� ���� �� ��������5 �� ������� �( ������ N ��� �� �������.����� *����� ����*������ ���� �� ����� ��� ����� ����� �� ���:����� �� ������ �� ��� �3��� �� ��3�� �� ���3 � �� ���� �4 ��������� !
-�� :�� ���� 4���� ��� ������ �� ���������� �� 4���� �� �� � ������ �� ��� ��� �4 �� 4��� 4���� ����� ��� �� ������ � ��3� �( ��������,�������� ��� � ������� �� ����*�� ������:� ���� ���� ����
� � � ���� � �!����� � � �
)����3�*� ��� ��� ���� :�� ��� ������� �� �� ����� �����5
��F��� ����� ����(��1� (�����6� %����� � � &��� ���������� G����� 2 �H�3���#�� ���B E�G� 5���� ��� !��� 5��(���� �8.��������� ���-������B ����� E�/���%����� ��� F����� =����*��
�
"�� # ����������
?� ����� ��� ������� -�� � ����B� ����� ��� �������� ���4�� �4 �� ��.�������� �4
��
�� !� '������� �� �� ��� ����.������ �������� ������� ��� ������ ����� '���������*� � ������ �4 ����� �� ������� ���� ��� ������� �� ����� ���� � ������
The square root of 2 is irrational
-�� �� �� �������� ������� �� ����� ������� � � �
"�� $�����������
� ���� ��3�� ����� �������5
���
�����
D�
�0�����2
D�
��
D ��
C���� * ��� ������� � �� ��� ��� ���� ��� �5
������
�
�� � � ��
��
�� �� ��
�� ����� ���� �� ��� ������ �� ���� ��� ��������� ���*��� ��� ���� � ������� I� ��� �� �� 3��� ����� ����F A�� �� *���� � ��������������� ������ � ����� ������ ��� '�� ��� �� �������� ��
5D�
� ��� � 5D � ���0#2 ���� � D #
���%% ������� '�/����� �+++� �� %����
%
�� ,� �� ���:��� -��� ��������� ����� �� ����:����� �� �4�� ������ ����������� 0�������� �� 4�� ���� ������� �� ������ ��� 4�����8���� �� � ��*��� �4 ������ ���� ��� ������� 4�� �.��������2 -���� ��� ���� ����*��0��2������� �� ���5
� D ��
��� :����� �(�� ��� �4 ��� ����� �� ��� � :�� ����� �����
"�� � � � ��� �%� ����� ���
���� ,� �� 3���� � �D ��� �����
� �
� �
�
0�� �2���
� E ���� D
��
&� ��
����� � ����� *� ����� � ��3 G��B � ��� ��4��� �� ��������� ���G������B � ��� �F �� ������� ,� �� �������� ��� �� 4�������� �����'
���(� ����5 � �
�
�
���� D
�����
�
���
��� ������ ��3�� � ���:�� ��� ����� ����3� ��������� ��������� 4����*���� ���4
����� �� ��� �� ��� ���� ���� ������ ��3��� ������� �� �*����� �����3�� ���� ���� ����� ��� �� -��� �� ���3���� �� ���� �� /�����B� -�������5������������������ ����� �@���� �� �� ���� �(�� �� ����� ��� 4���.�� ������� �� �(��*��� �� �� �������� *������� �������� I������3� �����
�$�� ������� ��� �� ���� ������� ��� ���� ������ �� ������'
��� ����������� ���������� ��� ��� )��� ��� ���� ���������� � �
�������� �� ��� ����� �� ������� ������ ���� � � ��� ����� ������
��� ���������� ������� ���� ��� �����"
��� ��������
� $�� ���� �� ��������� �� ����� ��� �� �� �� ����� ���� �������
� ������� �������� ��� ��� � �� ���� ���� �� ���� �� � ��� ��������
����� ���� �� ���� ���� ����� �������� ��� ����4������ �� ���� ��'
����� �� ��� ���� ����� �� ����������� �� ��� ��� �� �� �� � ��� � ����
��� ������ ��� ������� ��� ��� ��� ��� ����� ��������� ��� ��� �������
�� 0�������� ��������� ������ �� ������� ��� +����� ��������
�� ���� ��� ���� �� �� �� ����
I� �� ��� �� ����� �� �� �������� ���� ����*�� �� ������� �� ��� �������� ��� � ���� �� �� ��� �������� �� ������" 0>����I������3���2
��,(� :����� 4 �$��� (��- 6��� 5�����*�1� �0 ,��� �6 �-� ;������ ����-��� 5��*�� ���
��
" � ��� ������
, �������� ��� � *����� �� � ���� �@��� ������� ��� �� ������ � ���.����� -�� ��( �������� ���� �� �4 ���3 �4 )��������
&�� � ������� ������� '� %��� ( '� %��� �)*"
�� �� D 6� <�
� ��� � D�
�� � �����
��� D�� 0�� ��2���
� E 0�� ��2���0�2
���� D ��0� E ���2��� ��������0� E ��� E ����20�2
-��� �� ��������� +������� � � ���
?� ���� �(��*��� �% ���� �4 ��� �� ����*���� �=������ 0�� �2 �� ������� �� 4��� ���� )� �� ��� ���� ��� ��@�� 4��� � 0�� ��� ����*���� �������.����� ���*��2 ��� �4�� &�� *������ ����� �4�� �& ����� ��� ���� ����� ���� ������� *�88M
-��� ������� ��� *��� ���� ����� �%�6� ��� �� �������.I��� ������� *I���� 09������� I��3��� 9�*�2 ��� * O����� 0-�3�2 �� �%%&� O�������� ��� ���� $� *������ ����� �� � C����� �� ����� ��� 0�� ��������� �$��� �� ��� � �B�2 C�� ����� ����� ������ �� ��� ����� �� � ��� �%%% � *������0���2 ���� ��� ����� ��� *��� ��4����� �� � ������ /����� �� /' �� �����% ���
-�� $� *������� ������� ���� �4 � �� �4 �� �� �<� M ��� �4�� �� *������ ������
���#<$6&�% ��� :���� � ����� ��� I������B� 4����� ��������� �(�� �� ���
���������M�
"���� � #$��%�� ����� �# �����$&��
1 + ?����� ���������� ��� ��� ���� � ���� 4������� �4 �� ������4�� ���������������� ������ )�������� 0���&.�%��2� ������*��5
�� ���� ����� �� ��������������� � ��� ��� ���� � ��� ���� � �����
��� ��������� 0���� �� ��� 5��� � ����� ��� ��� ������ � ��� ���'
���� ������ �� ��� ���� ������� ������������ -6���( -0�����( -��������(
��� -6���( ����� ���� ���� � ��� ��� ���� ��� ��� �� 7�� ����
��(����� ��� 1����!� ��(������" 01 + ?����� ���6.�%6$2
A�� �4 ���� �� )��������B� �����3�*�� 4������� *���� � �� �� ���� ����� ������� 4������ ���� ������� * 1�����
�
�D
��
�
%���
�����
0<�2M 0���# E �6#%��2
0�M2� #%6���
��E����� ����� � ��� �� ������������������� ��������� � �����������
��
���� ��� �4 ��� ������ ������� �� ��������� ����� ������ ����� �� �� �����7 ��� ��� �� ������
�� �� �� � ������� � ������ I��� 1�� �� ���� ���
4������ � ��� �� �& ������� ���� �4 �� �������� 4������ 4�� � �� �%�$ -��� �� �4 ������ *������ �� ���� ��� �� ���� �� �� �������� 4������ 4��� �� ��*������ ����� ������� ���� ��� �� ���
-�� ����� )�������� ��4��� ������ �( ���� 4���� ���� ��
���06<�#���2��6#
D #��<�$%�6$#$�%&%#��6<� ��
������ ���� �� ���������� ����� -�� ���*�� �� �� �� ������ ������������ � 4�� ��� �� 0* ���� ��
������2 A�� G��@��������B ���� � �*��� ��������� ���� �� �*��� 4�� ����� �� 0�1,2
&�� #����� ������� ���������
?� ��3� � *���4 ���������� � ������*� ��� ������ ������� ������� �������� �� ?� ��� � � ��� � � ��
"���� '%� $��� �# ((( ��� �()
*+!,-,', -5 � ����� 0��� ��� � � � � ��2 �4 ����� ��������� �� ������� �� �����
�4 ���� ��� ������� �� �� ��� 8��� ���
� D ���� E ���� E � � �E �����
�� �(+5 "��� �� �4 ���� �(�� �4 ��� �*��� ����� G�(�������B *����� ���� ��8� �4 ����*�� ��
(.', -5 "�� � D �� ��� ��(� � ������ ����� � ������� "�� � � #� ������H���*�� /������P�� ,��3���3�� /������ ��� ��� ����� ����� ������ -��)��� ������ � ������ ��� 4���� �� �%&& * "������� J "������ ����� B&&��� ��� ��� �������5 ((( 0���� �� ,� �� ��� ,��������2� CH9�� /�A���() 0B%�� ����������� B%%2
������ )������ >������ ��� ������ ���3�� ����� ��� �� ������������ �� ������ ��Q����� �� �� ������ ��� ��� ������ �4 ������� ��� ��.��������� �� �� ��� ������! * H >������� ��� " �������� �� 5������� ��
������� 8 ������������ � 0����2� ��.�# ���� ����� ����5 ,��� '����� ���. ��(� O���� ��*� ���� �) >���� ������� ����3���� � ""-� "�� ,��� ���,����
�,-��� ��� �� ����� �� ����������������������� ������������ ����#�� ��� !��� 5��(��� ��� �� 9����I�*� �0��������� �6 4���$�� ������� 0$����-����
'��� ��� ������������ ��� 2�+++3� <�%��� A;8;� ������- ������ �HB +�C
��
"���� ��/�0���� �$�0���
��3��� �*�� ����*����� �� ������� * ��� ���� � ������� ���� ����.���� 0A0� D ��22 ��� � � 999 �� /�9� � �� �����
0�� � �� � � � � ���2�
� ������� �������� ��� ��� �������� �4 � �������� ��3�� ����:�� * �4 ��� ��� ��� ��� � �E� ����� ��� ��� 999 ����� � �4 ���� ������ � ����� � ����������� ���:�� �� ����� � ���� ����� ���� �������� �� ����� G4���� ������B 4�� � �� ��
� �4 �� ������� �� 4����� �(������� *����� ��� �*������ ����� 4�� �(�� ���� �� �������� �4 ������ ���� ��� � ��� ���� �� ��������� �����4 �� �������� �� �(���� �4 � 0�4�� �����������2
"���� !�����1��/ #���$���
�4 �� 3��� �� ��� �� �� ����� �(��� ������ �������� ������ ��� ��� ����4��
� 0��� ���� ������2 ?� � ,� ��B� �� ��� 4������ ��
R�����0�2� �����0��$2� �����0���#%2S
��� G�������B ��� ��� �� -�� ���
�
<D < �����0
�
$2� �����0
�
�#%2�
,�����B� 4������ ��� ���� �� ��� ������� ��� ������ �4 � 4��� �&�60��� �����2 � �%&# 0� ������� �����2 �4�� �%��� �� ������ ������*���*��� ����� � *� ���� ������
� 0������ ������2 ?� � �� ��� ��
R��<� �����0���2� �����0��$2� �����0���2S
��� ������� ���� �� �� �� -�� ���
�
<D �����0
�
�2 E �����0
�
$2 E �����0
�
�2�
-��� ��� ���� * >��� � ��� �� ��� ����� �4 � �� ��� ���� �� ���� ��� ������ 4�� �4 ����� �������� ���� 7 G �T�B �� � ����� *������ G�T�#%B 4�� ��� �� ���
�#
&�� +����� ,� ��� -���� ��� .���
������ *��������� ��� ���� �4 ������ �������� ��� ������� ��4� �� ������ ��(������ 0��� ��*����2 ���*���� ���� �� �� ,��-��� C���� ������� ����.����� �5 �������� ������������ ��������� A�� �� :�� ������ ������ ����� ��� �� ������������ � ������ �� ��� ������ ?� �������� ������� * ������� ���*��� ��� � ��� �*�� >���
�L�������� >��� 0���<.��6�2 ��� �������*�� ���������� �3���� *� ��.�� ���������� �*��� C� ���� �(��*����� �4 ��� ���������� ��.��� �� 1������ ������ ��� ������� ?���� �� K����� �� ��<� ����� ����� � ��� ��� ����� 4�� ������:� �� ���� ��� �� ��������� ������ ��� 1���� ��� �����
>��� ���� ��� ���������� �*��� � �������� � ��� ����� �� ��<< -��� ��� �*������ �� '�����B� H������ 4�� ��<< >��� ���� ���.������ & :���� ��� �*��� ��� ������� � �*�� �4 4����� �4 ������*��� *����� & ��� ��� ��� �� ��� ���
1���� ��=����� �� �� C��*��� ������ �4 �������� ����� >���� ����� ������4 4���.��� � ��� ���������� ���3 *�� ��������� ������ � ���� >��� ���� *�4��� �� ��� �*�� � �� ���� �������3 �
&�" ������� ������� � ���� � �������
I����� / I������ ��� /���@� 0�%%62 ���������� � ������ 4�� � 0��� ������ ���.��� ���� 4�� ���� ���� �� � ��������� ���������2 ����� ������� ���������.���� ������ ��� � ��� �� ��(�������� ����� �4 � ������� ��� ���� ��������� -�� �������� ����� ��� ���� ����� ��� �� ���� �� �������� -��������� ��� ����� ��� ������ 4���� ��� ������� �� �� ����� �4 �� ����*���� ��� ���
-�� 3�� 4���� * G/�9�B� �� ������*�� �*���� ��5
� D
�����
��
�6
�� � <
�� E �� �
�� E <� �
�� E $� �
�� E 6
�
O������ �� �������� ����� 4����� �� � �� ������� ����� ������ * ���. ��� 4�� ���� � 4������ A��� 4����� � �� ��� � ���� �� ,��������� ��,� �� �� * ���� 7 ��� ������� � ��� ���� �������� �(������
-��� ��� � ��� �������4�� ���� �4
)�K�)�� ,�-C�,�-�'�9 �+1�+��)�+1
-��� �� ������ ������*��� 1�� ������� ��� ���� ��� ��� �5 �� �� ��*���%%& "�*���� I������ 0�+)��2 ���� � ������ �4 ��� 4������ � ��� �� �$�*���� ����� �4 �� ������ � �� ��� ����� �������� 0����2 -��� ��3 �� ����� �� ���3.������ ���3��� �� ������� ���� �� ������
�<
"���� �����2�� �� �%� 3�0
�� ����� �%%� '���� /������� 0�"�� ��� �&2 :������ � ������� ������� �� ���.*���������� �������! ��� ����� �4 �� )�� ��� ����� ��� 0����� �$ ��������� �*�� �� ���� �� � ��� �4 I������2 �� ��������� �������� �� �*�����5
�&�<$&##��&%��$�$%&%�
-�� ������ ������ *���� ����� �4 � ������ � �� <� �������� ���� ���
������������������
I �� ��*�� ����� �� =����������� *� ��� *��� 4���� � *� G�B 0����� �$�� � ���� �� �&#< �������� 4��� $6 ��������2 ������ � �� %%%� %%%� %%%� %%%� %%&�*� �4 � ��� ���5
����������������������������������
# $���� ��� ������� ������
/�� .� ,� ���
������� >� ,������ ��� �4 �� ��� ��Q������ �������� �4 ��� ������ ����5
�5��������� � ������ �� ������ � ������� ����� ��� �� ��� ���������
�� �������� ��� � ����� �� �� �� 7������� ��� ��� �������� �����
��� �������� ������ � ������ �� �� ���� �������� �� ����� ���������
�� ��� ��� �� ��� �������� ��� )����� �� ����� ���������� �� �� ���'
������� ��� �� ������� ����������� ��������������� �� ��� ���� �
� ���� ��� � ���� ���� � ��� ����� �� �� ���� �� ���� �������� ��
� ����������� ������� �� ��� )���� ����� ����� ��� ��� �� ��� ���
� ����"
0������� >� ,������ ���6.&�� "��� 9����� ,��������� �����/������� ��2
� ������� �� >� ,����� ����� ���� *��� �� ��� ����� H���K���9�*5������������������ ����� -��� �� O����� /������B� ������ ������� �4"���( O����B� 0��<�.�%��2 4����� �������� ������ '����� �������� � ��������������� ������� �4 ������ �� ������� * '��������� ��� ����� �� ��������� ��� �������� ���� ��������� ��� �� ������ ��� ���*�� � 7������(�
� ������� ����� �� ��������� �� ����� �� ���� � ��� �� ��� ������ O����� ��3�>�,������ ��� �=���� ��Q������ �� �� ������� ��� �� � ����������
��F��� 0����� ���� � -�� ��*�� � "���� ���-������ ,��-��?� �00 ����-�� !��� ���� �� ��+�
�$
/�� 0��1���� �� ���� ��
�$�� ��� � ����� �� ��� �� ��� � � ����� �� ��������"
0H���� H��� � �������� ���<.%&� ������ 9����� ,��������� ��.��� /������� ��2
I� ������� ������ 0��� ���� �� 4������ �� G��� ������� ������B��� ������ �(�� �� �4 ��� ���4�� ��� ���������2 ��� ��@����5
'4+ �+� 1���� + ���.��������� ���� �� �� ���� ���� �� � ������ ���������� ��� �� ���� ��
�������B� ��������� ��� � ����� 4������ 4�� $� ���� � ��� :�� ���*.������ 7�*���! �� �� ����� �� �� ���4 �� ���� ���� ��� ������ 7 *1����� 0�%<#2 ��� ���� * /��� ����� ��� ����� G�� I��3B �� ����� 1�� 3�� ����������� ��4�� ���4� ����� ��� �� ����� O���B� ���4 ��� ������ �*������ * >����� '�(��� �� �� ,�� ,���� �� �%<�M � :�� �(�� �� �4��� �� �������� ������ �� �� �*������
/�� 2������ 3� �� �� 45�� '���� 6
Sylvester
�� !� '������� �� ��� � ����� � � ���� � �� �� �� ��� �� ��� �� ������� ���� ���� �� � 0�� ����8���� ����2
-�� ������ �4 ���� ���� ���� �� ������ � ���� � �� ���� ����M
��4� E� ��G��� �;��� #������� 2 ���3�������� �� ��� ���������� ������ �� 2 ���3�
�6
� �� ��� ��� ���4 �4 �� ���������� �4�
� �� ��� �� ���� �4 �� �������� ���)��������
-�� ���� �(�� ��� �� *����� �� G�� I��3B ��� �@����� *5
� +����B� ���������� ���4 ��� �%<& ���4 �� � �� ���������
0��� ����������������� �������� ��������2; ���
� ��� (� �� 7 ���� ��� ��� �� '������� � ���*���� �� /������ �� ��� ������ ������� � ���� ������ ��� � ����� ������ �����������F
% &�������� ��� '������
������ ��*��� �� ��� *� ���� ����� �������*�� �� ������� ���*�� ������� ������ ��������� ������ -�� ���*�� �4 �������� ���������� �4 �� �0�2� ���������� *
� 0�2 5D����
0�� ��2���
-��� �0$2 D & �����
$ D < E � D # E � D # E � E � D � E � E �
D � E � E � E � D � E � E � E � E ��
).+', -5 C�� ���� �� �0�2 � ��� �� 7 �� �%�� 04�� ,��,����2 ����� ���� 04�� ,� ��2F
�-�+�5 ������� 4�� ,� ��� ����� 4�� ,��,���� � �� ��������� ���3 �4 ������ ��� �4 �� *����4�� ��� ��� ������� �4 �������� * C����)�������� ��� ������ ����� ���� *��� ��� �� �� �� ���� * ���� 4����� ���. �����F
�( �� 4��� ���������� ������� ��� *� ���� � 4������� ���� ���������� �������� �4 ������� �������� ��� �� � ����5
����
0�� ��2 D
������
0��2������������
)�������� ���� ,��,����B� �*�� �4 �0�2 � ���� �����3�*�� ��� ��� ����������� ���� ��
�0$� E <2 � ��� $
�0&� E $2 � ��� &
����0���E 62 � ��� ���
�&
4��� ��� ��3�
� 0�2 D � E � E � �� E # �� E $ �� E & �� E �� �� E �$ �� E �� �� E #� �
E <� ��� E $6 ��� E && ��� E ��� ��� E �#$ ��� E �&6 ��� E �#� ���
E �%& ��� E #�$ ��� E <%� �� E 6�& ���� E &%� ���� E ���� ��� E ��$$ ��� E � � �
�4 ����� ����� 4����� �� ��� �������8� �� ��������� ������ ����������*��� �� � ���� ��� /���@�B� ��.���� G������ ���� �4 ������ ��=������B5���� ���� ������������ ������������������������������ C��� ����� � ��� :�� �(�� �� �4 ��� �������! � � ������� � ������� �� �� �� ����4 O��� >�����B� �%%& *��3 ��� ���� ���� �� �������� *� ����
( $��� ��������� ����������
*�� ��� �� 7���8 ( $� ��� 9� :���;
�,����� 6���������� ����� ��� 0����� �� ����
�� ����� ����� ���� ���� *��� ����������� �������� �� ��������������� 7 �������� �� ���� � ��4���� *������ �� ��� �����.������� �4 ��������� �� /���� � �� ��� ��4���� �4 ������� ������� ��� �� 4��������5
9� $�� �������� �� ���� -�� ������� ����� �4 ��� *������ ���*����� ��� ��� ������ 4��������� �� �� ����� �������� ���������� � ��� ����� ������ -��� �������� ���������� ����� ���� ���������� ������
:� $�� ��������� ������������ ,�� ����� �� ����������� 7 ���� ������ �� �� "������� ����� *� ��� � ���������*�� � �������������� ����� ����� ?� ����� ���3 ������ � ��� ����� �������� ��� � ��� ���.����� ����� �������� -��� �������� ������������� �����
;� ���������� �������� "�� �� ��� ��� ����� *����� ����� .����8� �*���� ����� � �� ������� ����� ����� ����� ��� ������4 ��������� �������� �� ������.���� ����� -�� ��������� *����� �� �*���� �� ��� �������� �� ���� �4 �� ����� �� ��������������� ������� ,��������� ����� ���� ��3�� ��� �4 ���.�� ��� ��� ���� �� ���� �� ����� ����8� ���*��� �� ���� ��� ���� !��
-�� ���� �*�����5
������ ������� ������� ����$-�� �-��� ��� 6��� �����%����$� 2E�-���� �� ��� �#������6 ���-������ ,-��*��$B 5�-�/���� ��� 5����%4��$��$ 8/������� �������� ��� H� ���3�
��F��� � -��� ���-������ ;���� F����� 5��� 5��*�� �+++� �� ��
��
�#��� �� ������� �� � ������ ����� ���� �� ���� �� �� ��� ��� ���
������� ����� �� ������ �� � ������� �� ��� ���� �� �� ������
��� ���� � �� �� ���� ���� ������ ��� ��� � ������� �� ���<"��
� :�� ���� ������� ���������� ������ ��������� *� ���� � ���:� ��.������� �4 ��������� 4����� ��� ������������ '�� ��� � ���� ������������� ����� � ���� �� ����5
�$�� ����� �� ������� �� ������ ���� �����"
0����� )����*���� ��� +��*�� ?�������2
*�� �� � ����%� �������
�$�� ����� �� ��� ���� ��� ��� � ���� �� �� ��� ������ ��� ��������
����� �� ��� ����� ��� ������� ��� ���� ����� ��� ��� ��� �� ���
�� �� ��� ����� �� ��� � ����� � ����� ��� �� ��� ���� �� �� ����
�� ��� ���� �� �� ����� ���� ��� � �� ��� ��� ��������� ���
��� �� ��� ���� � ���� ��� ���+���� � �� ���" 0>B��� -��� �����A� 1���� ��� "���! �%�&2� 2
� ����� �4�� *����� ����� � ���3 �������� ��� ���� ��������������� ����� ������F
�$�� ���� ���� �� ��� � � � ��� ��� ��������� � � ���� � ���'
���� �� ��� ��� ���� ��� ���� �� ���������� ������� � ������� �� ����
���� ��������� �� ����� ��� ����� <" 01��� '������ ����.����� ����2
'������� �� ��� ������� �� ����� ������ �4 �� ����� G�� � ���G5 ���.����� ��������� 0G ����� 4������B2; ������ ��������� 0G���������� ��*����B2;������ �����3� 0G������� ��� ����B2; >+� ��� ����� 0G�������� �������� ��*����B2; ��� =����� ��� ���� 0G������ ���������B2
*�� 2��� ��� ������
,��� �4 ��� � ���� ������*�� �� ����� �� �� ������ �������� �������� ������� �4 ���3��� ,�� ��4���� ���3��� ���� ���� ������� �� �����5
�$�� ����� �� ������� ������ ��� ����� �� ���+������ � ���� �� ��
���� ��� ��������� � ����
� � ��� ����� ������ ������� ����� ��� ����� �� �� ������ $�� ��������
�� � ������� ��� ������� �� ������� �� � ���������� ����������
���� ������ �� �������" 0-����� O�����2
��9�*�J ��� '���K� �� � ��������� �� �� ;� 9��(����� �� �������� �� �<�� F�� <� �++ � 2,-� (���� )����
4�����3��4� �-��� 5�1� �,-� #�6%���� ,�������B ������� F�������� �� '�������
���������������� ��� ���������������������4� �� �� �������� � ���!
�%
���
�� � � � ��� �������)� ����� ���� ��� ������ �� ���������� ��� ����'
����� ��� � ��� ��� ��� ��� ����� ��� ������ ������� ��� ���������
��� ��� � ��� ���������� ����� �� ����(� ��� ��� ���� ���"
0��*�� ������� =����� ,�( /����3��2
*�" �� ���� �������� ����������
C������ ���� ���� ������� ���4� ��� ������� �� ������ �4 ���� ���.�������� ��������� �� ��� ���� ������ � ���=��� ����� ������3��� ������)��*�� C����B� �������� 4�� � ������� ������ � �4 ���������� �� ���. ������ *����� *����� ���� ���������� �� ��� �����5
9� ��������� �� ���� � �� �� �4 ��� :� ��� ����� ������ � ���� �� ���� "����B� ����� �4 �� �*����� �������� ����������*������ �����
:� ��������� ��� ���� �� �� �� � �� �� �������� ������.��� ��� ������� * ��3��� ����3�� ��� ��� ��������� �� ������.��������� ��� -�� �4����*�����! �4 ��������� �� *�������������� �� 9�3���B /����� ��� ,����������
;� $���� ��� ��4����� �������� �� ����� �� ������ �������� �4 �������� ��� �� ������ �� ���� ����� ��� ���� ����� -�� ��� �4��� ���� �� 4����� ���4�� �(�� ��:�� * �� ��� ���.������� ���4 �4 �� 4��� ����� ������ �� �%&&� �� ��� ��� �(�� �� �4 ���������� ������������ ������� �4 �����
=� ������� ��������� ������� �������������� ��� ������� �����
����� � ��� �� � �� ������ ���� �� �� ���� �� ���������� ����.������ ����� ���B ���������� ����� �� *�� �� �4 ��������
>� ��������� ��*���� ��� � ������ ������� �� � ����� '�� ���� '
��������� ��*��� '����� � �� ��������� �4 ������ ��.��������������� ��������� ����� *� ��������� �� ����� � ��� 4����4 �������� �� �������� +����������� ��� ���������� �*������� *� ���� �� ������ ������ ��3� ,�* >��3 �� ��������� �� ����������� '���� ��� �� �������� ��
-�� ���������� �� �=����.�������! ������ �� *� ���� � ���� ���.������� ������ ��� ���������� ����� �� �� �������� ��� �������� �4 ���.������ ������� ��� ������� �� ����� ��� ��� ������ ��� ��*���� �������� ������������ ���� ��3�������� ���� ����
��F��� �,-� ������� 5����� �� F�"� ��L��� #����$��� ������F��� �F���- 5���K�� �� �-� �-�����-� �6 ���-�������� �������� ���������
���� � 0�$���%#�������� ���� ��������
��
*�& 0��������
�#��� �� ���� ������ �� � )�� ��� �� ����� ��� ��� �� ��� ������
��� ��� �� ��� ������ �� � ��� � ���������� �������� ���� ��� �������
�� ��� ������� ��� � �������� �� ��� ���� ��� ��� ������������ �� ���
���� ������ �� ���� ��� ��� ������� ���������� �� �� ��� ������
��� ����� �� ������ ���� �� ��� ��� ���� ���� �� ��!� �� �� ���� ��'
����� ��� ���� �� �������� ����� �� ��� �� �������� ��� ������� ���
����� � ��������� � �� �� ��� ������ � ������� �� �� �� ���������
��*��� ���
-��� ��� � �������� ��� ���� 4�������� �������� ��� ������� ������ � � �� *� ��� 4�������� ��� ������������� *� � �� � ����� ���5
��� ���� �� ��� ����� �� �� �� � ��� � ���� �� �� ��� ���� �� � ��� �
�� ������ ��� ��� ����� �� ��� ��� ��� ��� ������� �� ������ ���
�� ��� � ���� � �������� �����& � ����� ��� ���� �� ����� ��������
� ��� ������ � �� ��� ������� ��� ����� �������� ��� � ����� �� ��
��� ��� ��� �� � ������� �� � ������� ���� ���� � ����� 7��� ���
���� � ��� � ��������� ����� �� ���� ��� ��� �� ��� ��� �� ��������
� � � ����� � ��� �� ��� �� ������ �� �� ���� �� ���� �!�� ��
������ �������� �� ��� ���������������" 01����� ���������2
-� ����� ���������� �4 ���3�������� � :���� * =����� H��� "������5
�� � � �� �� �� ����� �������� �� ������ �� ��� ������ � �������� ���
����� ��� �� �� ��� �������� ��� �� �� ������"
*�/ � �% <��� ���� 1������
� >��� ��� ��� 7 ���� � ������� � � � M� ?���� ���4� ��� �4�� �� �4 ����� � ������ �� ������ ��� *���� �����
���������� ������������� ���� ������� �� ��
� 1��� ��4���� ��3���� ��� ��3� ����� ����� � �������*�� 0� � � ,��.������ ��� �3��� ��2
� /������� �� ���� G��� 4������ � � ���B 0��� ������� ������� �4 /����3B������� �� �������� ���*�� � +���� I���2
� G?� ��� /��������� /�� ��B 0O����� ����2
� GU�� ���B �� ���� �����B 0-����� ?��4�2
��F��� �,-� #���� �6 5������� ��<���4� M����� 8$��1� ���* )������ �� � �� � � ��� $��������� �� ������
��
"��� ���� �4 ?������ I��3�B� ����� �� ��������� ��� ����������
0'��*���� 0���$2 ������2
��