ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

Εισαγωγικές έννοιες

- Pοή ονομάζεται η κίνηση ρευστού σε περιοχή του χώρου

- Η περιοχή αυτή ονομάζεται πεδίο ροής

- H τροχιά την οποία διαγράφει στοιχειώδης όγκος του ρευστού

(«σωματίδιο» ρευστού) κατά την κίνησή του στο πεδίο ροής, ονομάζεται

γραμμή ροής.

v

• Καθώς αυτά κινούνται η ταχύτητα τους μπορεί

να μεταβάλλεται σε μέτρο και κατεύθυνση.

• Η ταχύτητα τους σε κάθε σημείο θα είναι

εφαπτόμενη της γραμμής ροής.

• Οι γραμμές ροής δεν τέμνονται πουθενά γιατί

τότε το «σωματίδιο» που θα έφτανε σε αυτή την

τομή θα είχε ταυτόχρονα δύο ταχύτητες –

ΑΔΥΝΑΤΟ.

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΑ – ΙΔΑΝΙΚΑ ΡΕΥΣΤΑ

Η κίνηση των πραγματικών ρευστών είναι πολύπλοκη και δεν έχει κατανοηθεί

πλήρως μέχρι σήμερα ( εμφανίζουν αποδιάταξη στο χώρο και τον χρόνο –

ΧΑΟΣ)

ΑΡΧΙΚΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ: Ιδανικά ρευστά

Υποθέσεις ΜΟΝΙΜΗ – ΣΤΡΩΤΗ ΡΟΗ: Aν ο στοιχειώδης όγκος του ρευστού, που περνά

από το τυχαίο σημείο του πεδίου ροής, διαγράφει πάντοτε την ίδια γραμμή

ροής ενώ η ταχύτητά του στο δεδομένο σημείο είναι ανεξάρτητη του χρόνου, η

ροή ονομάζεται μόνιμη (steady). Στην ειδική περίπτωση που η μόνιμη ροή

γίνεται κατά παράλληλα στρώματα, καθένα από τα οποία έχει καθορισμένη

ταχύτητα, η ροή ονομάζεται στρωτή (laminar). Στη γενική περίπτωση η ροή εξαρτάται από τον χρόνο, και είναι δυνατόν ο στοιχειώδης

όγκος dV του υγρού, που διέρχεται από δεδομένο σημείο του πεδίου ροής, είτε να

διαγράφει διαφορετικές γραμμές ροής σε διαφορετικές χρονικές στιγμές είτε να

σχηματίζει στροβίλους. Tότε η ροή ονομάζεται τυρβώδης ή στροβιλώδης και το

αποτέλεσμα είναι η εμφάνιση εσωτερικής τριβής, οπότε ένα μέρος από τη μηχανική

ενέργεια μετατρέπεται σε θερμότητα.

1.ΑΣΥΜΠΙΕΣΤΑ: Η πυκνότητα των ιδανικών ρευστών είναι παντού σταθερή. Η παραδοχή της μη συμπιεστότητας είναι συνήθως μια καλή προσέγγιση για υγρά.

Μπορούμε και ένα αέριο να το θεωρήσουμε ως ασυμπίεστο όταν η διαφορά πίεσης

μεταξύ των διαφόρων περιοχών του δεν είναι πολύ μεγάλη.

Ιδανικά ρευστά - Υποθέσεις (συνέχεια)

3. Η ΡΟΗ ΔΕΝ ΣΥΝΑΝΤΑ ΚΑΜΙΑ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ (Nonviscous flow). Η

εσωτερική αντίσταση που εμφανίζει ένα ρευστό όταν ρέει μετράται με το

ιξώδες. Π.χ ροή μελιού – ροή νερού. Το ιξώδες είναι το ανάλογο της τριβής

μεταξύ των στερεών διότι και στους δύο μηχανισμούς η ΚΕ της κίνησης

μετατρέπεται σε θερμική ενέργεια.

- Η εσωτερική τριβή σε ένα ρευστό προκαλεί διατμητικές τάσεις, όταν ένα

στρώμα ρευστού κινείται ως προς κάποιο γειτονικό του στρώμα, όπως για

παράδειγμα σε ένα ρευστό που ρέει μέσα σε ένα σωλήνα ή γύρω από ένα

αντικείμενο. Σε μερικές περιπτώσεις, μπορούμε να αγνοήσουμε αυτές τις δια

τμητικές δυνάμεις, που είναι αμελητέες συγκρινόμενες με αυτές που

προέρχονται από τη βαρύτητα και τις διαφορές πίεσης.

- Απουσία τριβής ένα στερεό σώμα θα ολίσθαινε με σταθερή ταχύτητα σε μια

οριζόντια επιφάνεια. Ομοίως, ένα σώμα δεν θα συναντούσε καμία αντίσταση

κατά την κίνηση του μέσα σε ιδανικό ρευστό. Ο Λόρδος Rayleigh παρατήρησε ότι η

προπέλα ενός πλοίου δεν θα δούλευε σε ιδανικό ρευστό, από την άλλη όμως, το πλοίο

(αφού τεθεί σε κίνηση σε τέτοιο ρευστό) δεν θα χρειαζόταν προπέλα.

4. Μη περιστροφική κίνηση (Irrotational flow). Εάν μελετήσουμε τη κίνηση ενός

μικρού κόκκου σκόνης που κινείται μαζί με το ρευστό τότε ο κόκκος μπορεί να

κινείται σε κυκλική διαδρομή όχι όμως γύρω από άξονα που περνά από το

κέντρο μάζας του. «Χαλαρό ανάλογο»: η κίνηση της ρόδας ενός ποταμόπλοιου είναι

περιστροφική όχι όμως και των επιβατών του.

Ένα «σωματίδιο ρευστού» που βρίσκεται σε μια τέτοια φλέβα δεν μπορεί να

δραπετεύσει από τα νοητά τοιχώματα της. Εάν αυτό συνέβαινε θα είχαμε τομή

ρευματικών γραμμών.

Σε ροή που ακολουθεί τα προηγούμενα μπορούμε να μελετήσουμε την κίνηση

απομονώνοντας την σε νοητό σωλήνα – φλέβα φτιαγμένο από γραμμές ροής

(στρωτή ροή, όχι στρόβιλοι - ρευματικές γραμμές).

*Στο πλαίσιο αυτού του μαθήματος θα θεωρήσουμε μόνο μόνιμες καταστάσεις, στις

οποίες οι γραμμές ροής συμπίπτουν με τις ρευματικές γραμμές

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ Β: το ρευστό κινείται με ταχύτητα υ1.

Στο χρονικό διάστημα dt, ένα «σωματίδιο»

ρευστού θα διανύσει απόσταση υ1 dt και όγκος

dV = A1 υ1 dt θα περάσει από την A1.

Αφού το ρευστό είναι ασυμπίεστο ο ίδιος όγκος θα

περάσει από το C.

C: Εάν η ταχύτητα εκεί είναι υ2 τότε:

dV = A1 υ1 dt = A2 υ2 dt

ή A1 υ1 dt = A2 υ2 dt

ή Q = dV/dt = Aυ = σταθ.

(ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ)

A2

A1

Β

C

Παροχή φλέβας Q ονομάζεται ο όγκος dV ρευστού που διέρχεται από μία διατομή

της σε χρόνο dt, διά του χρόνου αυτού:

Q = dV/dt Μονάδα μετρήσεως της παροχής είναι το 1 m3/sec ή 1 cm3/sec.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ:

• Η ροή είναι ταχύτερη στα στενότερα τμήματα ενός σωλήνα όπου οι ρευματικές

γραμμές είναι πυκνότερες

• Είναι μια έκφραση της αρχής διατήρησης της μάζας (αφού ρ = σταθ. mass flow

rate – SI units kg/s - constant)

Το ρευστό δεν διαπερνά το πλευρικό

τοίχωμα σε κανένα σημείο του.

Εξίσωση συνέχειας ως απόρροια της αρχής διατήρησης της μάζας:

Αν η πυκνότητα του ρευστού είναι ρ (=σταθερή, ασυμπίεστο ρευστό), η

μάζα dm1 που εισρέει στο σωλήνα στη διατομή Β είναι: dm1 = ρ A1 υ1 dt.

Παρόμοια, η μάζα dm2, που εκρέει μέσα από την A2 (διατομή C) στον ίδιο

χρόνο είναι dm2 = ρ A2 υ2 dt.

Στη μόνιμη ροή, η ολική μάζα μέσα στο θεωρούμενο τμήμα του σωλήνα

ροής είναι σταθερή, οπότε:

ρ A1 υ1 dt = ρ A2 υ2 dt ή A υ = σταθ.

Ο ρυθμός ροής μάζας ανά μονάδα χρόνου διαμέσου μιας εγκάρσιας διατομής

(Παροχή μάζας), ισούται με την πυκνότητα επί την παροχή όγκου (παροχή φλέβας)

dt

dV

dt

dm

Μπορούμε να γενικεύσουμε για την περίπτωση που το ρευστό δεν είναι ασυμπίεστο.

Αν ρ1 και ρ2 είναι οι πυκνότητες στις διατομές B και C, τότε:

ρ1 A1 υ1 = ρ2 A2 υ2

Εξίσωση Συνέχειας: Η παροχή είναι σταθερή κατά μήκος οποιουδήποτε σωλήνα

ροής

Συνακόλουθο: Όταν η εγκάρσια διατομή ενός σωλήνα ροής ελαττώνεται, η

ταχύτητα αυξάνει.

Παραδείγματα:

1) Έστω ποταμός σταθερού πλάτους. Το ρηχό τμήμα του ποταμού έχει μικρότερη

εγκάρσια διατομή και γρηγορότερο ρεύμα από το βαθύ τμήμα αφού η παροχή

είναι ίδια και στα δύο. Επομένως, το νερό ¨τρέχει¨ γρηγορότερα εκεί που το

ποτάμι είναι ρηχό και βραδύτερα (πιο σιγανά) εκεί όπου είναι βαθύ.

Τα σιγανά (που είναι τα βαθύτερα) ποτάμια να φοβάσαι...

2) Βρύση

ΕΦΑΡΜΟΓΗ (Άσκηση 22 από Κουίζ)

Καθώς το νερό «πέφτει», η ταχύτητα του αυξάνει και

επομένως η διατομή θα πρέπει να μειώνεται σύμφωνα

με την εξ. συνέχειας.

ΑΣΚΗΣΗ:

Το εμβαδόν της διατομής στη στάθμη Α0 είναι 1,2 cm2

και στην Α: 0,35 cm2. H απόσταση h μεταξύ των Α0 και Α

είναι 45 mm. Πόση είναι η παροχή του νερού από τη

βρύση;

Από εξ. συνέχειας: Α0υ0 = Αυ

Το νερό εκτελεί ελεύθερη πτώση με σταθερή επιτάχυνση g,

επομένως: υ2 = υ02 + 2gh (Υπολογίζεται εύκολα εφαρμόζοντας ΘΜΚΕ)

Απαλείφουμε το υ στις παραπάνω και έχουμε:

scmsmcmcm

cmmsm

AA

ghA/6,28/286,0

)35,0()2,1(

)35,0)(045,0)(/8,9(222222

222

22

0

2

0

Η παροχή είναι τότε: Q = A0υ0 = (1,2 cm2) (28,6 cm/s) = 34 cm3/s

Με αυτή την παροχή θα χρειαστούν περίπου 3s για να γεμίσει δοχείο 100 ml

Άσκηση 23

Ένα λάστιχο ποτίσματος εσωτερικής διαμέτρου 2 cm συνδέεται με ένα ραντιστήρι

που αποτελείται απλώς από ένα κλειστό περίβλημα με 24 τρύπες, η καθεμιά

διαμέτρου 0,12 cm. Αν το νερό στο λάστιχο έχει ταχύτητα 1 m/sec, με ποια

ταχύτητα φεύγει το νερό από τις τρύπες του ραντιστηριού;

ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI

(για στρωτή, ασυμπίεστη, χωρίς εσωτερικές τριβές ροή)

Η Αρχή Διατήρησης της Μηχανικής Ενέργειας στον φορμαλισμό της ρευστομηχανικής

Ο νόμος Bernoulli απαιτεί την ανυπαρξία απώλειών μηχανικής ενέργειας κατά τη ροή,

δηλαδή την ανυπαρξία εσωτερικής τριβής.

Θεωρήστε τη χωρίς εσωτερικές τριβές, στρωτή, ασυμπίεστη ροή ενός ρευστού μέσα από

ένα σωλήνα ή μια φλέβα ροής.

ΘΜΚΕ: W = ΔΚ

(Το έργο που παράγεται από τη συνισταμένη δύναμη η οποία δρα πάνω σε ένα

σύστημα ισούται με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος)

ΔΚ = ½ dm υ22 – ½ dm υ1

2 = ½ ρ dV (υ22 - υ1

2)

ρ=σταθ. – Ασυμπίεστο ρευστό

Οι δυνάμεις που παράγουν έργο πάνω στο σύστημα, υποθέτοντας ότι

μπορούμε να αγνοήσουμε τις δυνάμεις τριβής, είναι οι δυνάμεις πίεσης p1A1 και

p2A2 που δρουν στο αριστερό και δεξί άκρο του συστήματος αντίστοιχα και η

δύναμη βαρύτητας.

Καθώς το ρευστό ρέει μέσα στο σωλήνα το συνολικό αποτέλεσμα είναι η

ανύψωση ενός ποσού ρευστού που δείχνεται με τη γραμμοσκιασμένη περιοχή

του (α) στη θέση που δείχνει το (β). Το ποσό του ρευστού που παριστάνεται με τις

οριζόντιες γραμμές δεν έχει μεταβληθεί κατά τη ροή.

Το έργο W που παράγει πάνω στο σύστημα η

συνισταμένη δύναμη είναι:

1. Το έργο που παράγεται πάνω στο σύστημα από τη

βαρύτητα συνδέεται με την ανύψωση του

γραμμοσκιασμένου ρευστού μάζας dm από το ύψος y1 του

επιπέδου εισαγωγής του ρευστού σε ύψος y2 στο επίπεδο

εξόδου.

Wg = - dm g (y2 – y1) = - ρ g dV (y2 – y1)

Το έργο είναι αρνητικό αφού η κάθετη μετατόπιση («προς

τα πάνω») έχει αντίθετη κατεύθυνση από το βάρος («προς

τα κάτω»). Δηλ. παράγεται έργο από το σύστημα ενάντια

στη δύναμη βαρύτητας.

2. Έργο που παράγει πάνω στο σύστημα η δύναμη πίεσης p1A1 (στο άκρο εισόδου) για να

σπρώξει το υγρό στο σωλήνα και έργο που παράγει πάνω στο σύστημα η δύναμη

πιέσεως p2A2 (στο άκρο εξόδου)

Γενικά: Το έργο που παράγεται από μια δύναμη F που κινεί ρευστό κατά απόσταση dx μέσα

σε σωλήνα διατομής S, είναι:

F dx = (p Α) dx = p (Α dx) = p dV

Υποθέτουμε για το σχήμα: p1 > p2 (ροή από αριστερά προς τα δεξιά)

- Στο άκρο εισόδου: Έργο θετικό, δύναμη-ροή ίδια κατεύθυνση +p1 dV

- Στο άκρο εξόδου: Έργο αρνητικό, δύναμη-ροή αντίθετη κατεύθυνση -p2 dV (αρνητικό σημαίνει

ότι θετικό έργο παράγεται από το σύστημα για να σπρώξει το υγρό προς τα εμπρός.

dV = σταθ. – ασυμπίεστο ρευστό

Wp = - p2 dV + p1 dV = - (p2 – p1) dV

W = Wg + Wp = ΔΚ

- ρ g dV (y2 – y1) - (p2 – p1) dV = ½ ρ dV (υ22 - υ1

2)

2

2

221

2

11 gy2

1pgy

2

1p

. ρgyρ2

1p 2

- H πίεση p ονομάζεται στατική, είναι εκείνη που θα μετρηθεί με μανόμετρο

τοποθετημένο στη φλέβα, και συνδέεται με τις δυνάμεις που προκαλούν τη ροή του

ρευστού. Μπορεί να λεχθεί ότι η στατική πίεση είναι, στην περίπτωση αυτή, το

έργο που παράγεται από τις δυνάμεις αυτές σε κάθε μονάδα όγκου του ρευστού.

- H πίεση 1/2ρυ2 ονομάζεται δυναμική και συνδέεται με την κινητική ενέργεια του

ρευστού, είναι δηλαδή η κινητική ενέργεια ανά μονάδα όγκου.

- O όρος ρgh είναι η υδροστατική πίεση που συνδέεται με τη δυναμική ενέργεια,

δηλαδή απεικονίζει την επίδραση του πεδίου βαρύτητας στην κίνηση του

ρευστού.

Επομένως ο νόμος του Bernoulli εκφράζει ότι κατά τη ροή ιδανικού ρευστού το

άθροισμα της στατικής πίεσης p, της υδροστατικής ρgh και της δυναμικής 1/2ρυ2,

κατά μήκος μιας φλέβας παραμένει σταθερό.

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

. ρghρ2

1p 2

• Aν το ρευστό είναι ακίνητο υ = 0, οπότε η δυναμική πίεση είναι επίσης 0, ο

νόμος του Bernoulli εκφυλίζεται στη θεμελιώδη εξίσωση της στατικής των

ρευστών.

• Aν αντίθετα η κίνηση του υγρού γίνεται σε οριζόντιο σωλήνα, οπότε h=0 και η

υδροστατική πίεση μηδενίζεται, ο νόμος του Bernoulli γίνεται:

. 2ρ2

1p

Όταν λοιπόν η διατομή του σωλήνα δεν είναι σταθερή, στα σημεία στα οποία

η ταχύτητα είναι μικρότερη, είναι μεγαλύτερη η πίεση και αντίστροφα.

Εάν η ταχύτητα ενός σωματιδίου ρευστού αυξάνεται καθώς ταξιδεύει σε μια

ρευματική γραμμή, η πίεση του ρευστού ελαττώνεται και αντίστροφα.

ΑΛΛΙΩΣ: Εκεί που οι ρευματικές γραμμές είναι σχετικά πυκνές (επομένως η

ταχύτητα είναι σχετικά μεγάλη) η πίεση είναι σχετικά μικρή και αντίστροφα.

Εξ. Συνέχειας: ↓Α ↑υ

τότε εξ. Bernoulli: ↓p

Ερώτηση 24 από Κουίζ (ΟΧΙ)

Στοιχειώδης όγκος dV ασυμπίεστου ρευστού που

ακολουθεί μόνιμη ροή μεταφέρεται μέσα από τη φλέβα

ρευματικών γραμμών του σχήματος από ύψος z1 σε

ύψος z2. (i) Ποιο είναι το έργο που παράγει η πίεση

πάνω στη μάζα του ρευστού στο αριστερό και στο δεξιό

άκρο αυτού του τμήματος κατά τη διάρκεια της κίνησης;

i) Αριστερό άκρο: dW1 = p1dV Δεξί άκρο: dW2 = - p2dV

Άσκηση 24

(α) Πόσο έργο παράγεται από την πίεση όταν ωθεί 10 m3 νερού μέσα σε ένα

σωλήνα αν η διαφορά πιέσεως στα δύο άκρα του σωλήνα είναι 150 Pa;

(β) Αν τέτοια ποσότητα νερού πέφτει κάθε λεπτό (δηλ. με ρυθμό 10 m3/min) από

ύψος 10 m και κινεί έναν υδροστρόβιλο, ποιά η μέγιστη ισχύς που μπορεί να

αναπτύξει ο στρόβιλος αυτός;

kWattsJoules

mN

s

mm

s

m

m

kgP 3,16/103,16103,16

60

10108,910 33

3

23

3

ΕΡΩΤΗΣΗ Πολ. Επιλ.

Ποιά από τις ακόλουθες προτάσεις είναι λάθος για το ανεύρυσμα

(περιοχή με εξασθενισμένο αρτηριακό τοίχωμα) που παριστάνεται

στο ακόλουθο σχήμα;

(α) Ο ρυθμός ροής (παροχή) στο Α είναι ίδιος με αυτόν στο Β

(β) Η ταχύτητα στο Β είναι μικρότερη από αυτήν στο Α

(γ) Η πίεση στο Β είναι μικρότερη από αυτήν στο Α

(δ) Η πυκνότητα στο Β είναι η ίδια με αυτήν στο Α

Σε αυτή την περίπτωση η πίεση τοπικά

θα μειωθεί σημαντικά και εάν η

εναπόθεση αθηρωματικής πλάκας είναι

μεγάλη, μπορεί να πέσει σε τιμές τέτοιες

που η διαφορά τους με την τιμή της

εξωτερικής πίεσης να είναι αρκετή ώστε

να προκαλέσει κατάρρευση της

αρτηρίας, διακόπτοντας έτσι τη ροή του

αίματος.

Όταν αυτό εμφανίζεται στη στεφανιαία

αρτηρία, η οποία τροφοδοτεί με αίμα

τους μυς της καρδιάς, προκαλείται

στηθάγχη και ενδεχομένως έμφραγμα.

Όταν εμφανίζεται στις αρτηρίες που

οδηγούν στον εγκέφαλο ή στις

εγκεφαλικές αρτηρίες, προκαλείται

παροδικό ισχαιμικό επεισόδιο και

ενδεχομένως εγκεφαλικό επεισόδιο.

Ένα άλλο σημαντικό παράδειγμα είναι αυτό μιας αρτηρίας με μερική έμφραξη

που μπορεί να οφείλεται παραδείγματος χάρη στην εμφάνιση αθηρωματικών

πλακών στο τοίχωμα των οποίων ο πυρήνας αποτελείται κυρίως από

χοληστερόλη. Η ασθένεια αυτή είναι γνωστή ως αθηροσκλήρωση.

ΑΣΚΗΣΗ 25

Υπολογίστε τη μεταβολή της πίεσης υγρού στην

περίπτωση που αυτό ρέει σε οριζόντια φλέβα η

ακτίνα της οποίας υποτριπλασιάζεται. Υποθέστε ότι η

ταχύτητα της ροής του υγρού στην περιοχή όπου δεν

υπάρχει στένωση είναι 50 cm/s. Η πυκνότητα του

υγρού είναι 1050 kg/m3.

Οριζόντια φλέβα h1 = h2 r2 = 3r1 και υ2 = 50 cm/s

Άρα εξ. Bernoulli: p1 + ½ ρυ12 = p2 + ½ ρυ2

2 Δp = p2 - p1 = ½ ρ (υ12 – υ2

2) (1)

Εξ. Συνέχειας: Α1 υ1 = Α2 υ2

π r12 υ1 = π r2

2 υ2 υ1 = (r2/r1)2 υ2 (2)

(1), (2) και αφού r2 = 3r1

Δp = ½ ρ ((r2/r1)4 υ2

2 – υ22 ) = ½ 80 ρ υ2

2 = 10500 Pa

ΑΣΚΗΣΗ

Υποθέστε ότι ο άνεμος φυσά με ταχύτητα 20 m/s πάνω από τη

σκεπή του σπιτιού σας. (ρατμ.αέρα = 1,3 kg/m3)

(α) Βρείτε πόσο χαμηλότερα από την τιμή της ατμοσφαιρικής

πίεσης απουσία κάθε ανέμου έχει μειωθεί η πίεση πάνω από τη

σκεπή.

(β) Εάν το εμβαδόν της σκεπής είναι 300 m2, βρείτε την ολική

δύναμη που ασκείται πάνω της. (Η πίεση στο εσωτερικό του

σπιτιού είναι ίση με την ατμοσφαιρική και θεωρείστε ότι η

εσωτερική και η εξωτερική πλευρά της σκεπής βρίσκονται στο ίδιο

ύψος h)

ΑΣΚΗΣΗ 26

α) Υπό ποιες προϋποθέσεις ένα ρευστό ικανοποιεί: (i) την εξίσωση συνέχειας (ii) την

εξίσωση Bernoulli;

β) Σε κάποιο σημείο ενός σωλήνα ύδρευσης, η ταχύτητα του νερού είναι 4 m/s και η

διαφορική πίεση 5 x 104 Pa. Βρείτε τη διαφορική πίεση σε ένα άλλο σημείο του

σωλήνα, που είναι 12m χαμηλότερα από το πρώτο και όπου η διατομή έχει εμβαδόν

υπόδιπλάσιο από αυτό στο ψηλότερο σημείο (g = 9,8 m/s2).

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ α) (i) Ασυμπίεστο ρευστό (ρ=σταθ.)

(ii) Ασυμπίεστο ΚΑΙ χωρίς ιξώδες ρευστό

β) Σημείο (1): υ1 = 4 m/s p1 – patm = 5 x 104 Pa.

Σημείο (2): A2 = (½)A1 z1 – z2 = 12 m p2 – patm = ?

121

2

122211 2

A

AAA

PaPaPa

PaPa

zzgpppp

gzppgzpp

mgzpmgzp

atmatm

atmatm

444

34

21

2

2

2

112

2

2

221

2

11

2

2

221

2

11

1036,141036,9105

128,9162

310105

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

Εξ. Συνέχειας Εξ. Bernoulli

ΑΣΚΗΣΗ 27: Η διαφορική πίεση (p – patm) σε ένα πυροσβεστικό σωλήνα διαμέτρου 6,4

cm είναι 3,5 x 105 Ν/m2 και η ταχύτητα ροής είναι 4,0 m/s. Ο σωλήνας καταλήγει σε ένα

μεταλλικό ακροφύσιο διαμέτρου 2,5cm

Η πίεση του νερού στο ακροφύσιο μπορεί τότε να υπολογιστεί από την εξίσωση Bernoulli με z1 = z2 = 0:

Για να μετατρέψουμε αυτή τη σχέση σε εξίσωση διαφορικών πιέσεων αφαιρούμε patm και από τα δύο σκέλη:

smm

msm

A

A/2,26

)2/105,2(

)2/104,6(/4

22

22

2

112

2

2

2

1122

1

2

1 pp

2

2

2

1122

1

2

1 atmatm pppp

Από εξ. Συνέχειας:

Με p1 - patm = 3,5 x 105 N/m παίρνουμε

α) Πόση είναι η διαφορική πίεση και η ταχύτητα του νερού στο ακροφύσιο;

β) Πόση είναι η ταχύτητα του νερού ακριβώς έξω από το ακροφύσιο;

γ) Η διάμετρος της φλέβας του νερού αυξάνεται, ελαττώνεται ή παραμένει ίδια καθώς

αυτό εγκαταλείπει το ακροφύσιο;

Θεώρημα Torricelli

'Eστω ότι στο κατώτερο σημείο δοχείου που είναι γεμάτο

με κάποιο υγρό υπάρχει ένα μικρό άνοιγμα εκροής.

Eφαρμογή του νόμου του Bernoulli* στο σημείο 1 της

ελεύθερης επιφάνειας και στο σημείο εκροής 2 δίνει:

2

22

2

112

1pgh

2

1p

2

2

2

1 ρ2

1ρghρ

2

1 από την οποία προκύπτει: 2gh2

12

Συμπεραίνουμε ότι η ταχύτητα εκροής του υγρού είναι ίδια με εκείνη που θα είχε ένα

σώμα που θα εκτελούσε ελεύθερη πτώση από το ίδιο ύψος h, με αρχική ταχύτητα υ1.

Tο συμπέρασμα αυτό είναι γνωστό ως θεώρημα του Torricelli.

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

)1(2

22

2

112

1pgh

2

1p

i) ΑΝΟΙΚΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ (στο σημείο (1) p1 = patm )

- Πώμα κλειστό στη θέση (2): τότε υ1 = υ2 ( ακίνητο ρευστό )

p1 = patm και p2 = patm + ρgh (θεμ. εξ. Υδροστατικής)

- Πώμα ανοικτό στη θέση (2): τότε υ1 υ2 (ροή)

p1 = patm και αφού δεξαμενή ανοικτή και στις δύο περιοχές (1) και (2)

p2 = p1 = patm και η σχέση (1) απλοποιείται και γίνεται:

Επειδή η Α2 είναι πολύ μικρότερη από την Α1, η υ12 είναι πολύ μικρότερη από την υ2

2

και μπορεί να παραληφθεί (Γιατί; Έλεγξε την εξ. συνέχειας). Έτσι η σχέση για την

ταχύτητα εκροής μπορεί να απλοποιηθεί ακόμα περισσότερο και να γίνει: 2gh2

Η παροχή στο (2) θα δίνεται τότε ως: 2gh2Adt

dV

ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ

)1(2

22

2

112

1pgh

2

1p

ii) ΚΛΕΙΣΤΗ ΔΕΞΑΜΕΝΗ (στο σημείο (1). Πίεση στο (1) ίση με p1 )

- Πώμα κλειστό στη θέση (2): τότε υ1 = υ2 ( ακίνητο ρευστό )

p2 = p1 + ρgh (θεμ. εξ. Υδροστατικής)

- Πώμα ανοικτό στη θέση (2): τότε υ1 υ2 (ροή)

Η δεξαμενή ανοικτή στο (2) και κλειστή στο (1) p2 p1 και από τη σχέση (1)

ghpp

22 21

2

1

2

2

Επειδή η Α2 είναι πολύ μικρότερη από την Α1, η υ12 είναι πολύ μικρότερη από την υ2

2

και μπορεί να παραληφθεί και η σχέση για την ταχύτητα εκροής γίνεται:

ghpp

22 21

22

Η ταχύτητα εκροής εξαρτάται από τη διαφορά πίεσης p1 – p2 και από το ύψος

h της στάθμης του υγρού στη δεξαμενή.

ΑΣΚΗΣΗ 28

Υποθέστε ότι δύο δοχεία, το καθένα με ένα μεγάλο άνοιγμα στην κορυφή, περιέχουν

διαφορετικά υγρά. Μια μικρή τρύπα ανοίγεται στο πλευρό του καθενός δοχείου στην

ίδια απόσταση h κάτω από την επιφάνεια του υγρού, η μία όμως τρύπα έχει διπλάσια

διατομή από την άλλη. (α) Ποιος ο λόγος των πυκνοτήτων των ρευστών αν

παρατηρείται ότι η ροή μάζας είναι η ίδια για κάθε τρύπα;

(β) Ποια η σχέση μεταξύ των παροχών όγκου στις δύο τρύπες;

(γ) Μπορούν οι παροχές όγκου να γίνουν ίσες; Πως;

ΑΣΚΗΣΗ 29

Στην πλευρική επιφάνεια μεγάλης δεξαμενής νερού υπάρχει κυκλική τρύπα

με διάμετρο 2cm, 16 m κάτω από την ελεύθερη επιφάνεια του νερού στη

δεξαμενή. Η οροφή της δεξαμενής είναι ανοιχτή στον αέρα. Βρείτε α) την

ταχύτητα εκροής και β) τον όγκο που εκρέει ανά μονάδα χρόνου. (ή το χρόνο

που απαιτείται για να γεμίσει δοχείο όγκου 500 ml)

ΛΥΣΗ

2

2

2

1 ρ2

1ρghρ

2

1 από την οποία προκύπτει: 2gh2

12

Μεγάλη δεξαμενή σημαίνει ότι η Α2 είναι πολύ μικρότερη από την Α1, η υ12 είναι πολύ

μικρότερη από την υ22 και μπορεί να παραληφθεί και επομένως η ταχύτητα εκροής

είναι:

2gh2

Η παροχή θα δίνεται τότε ως: 2gh2Adt

dV

Φαινόμενο Venturi

Εξ. Συνέχειας: Α1υ1 = Α2υ2 (Α1 > Α2)

Εξ. Bernoulli: 2

2

221

2

11 ρghρu2

1pρgρu

2

1p h

για h1 h2: 2

22

2

11 ρu2

1pρu

2

1p

και αντικαθιστώντας από την εξ. συνέχειας:

2

1

2

2

2

12

221

)(

2

1

A

AApp

Αφού Α1 > Α2 τότε και p1 > p2.

Όταν το ρευστό εισέρχεται στην περιοχή 3, επιβραδύνεται εξαιτίας της υψηλότερης

πίεσης και αποκτά την αρχική του ταχύτητα (της περιοχής 1).

Η μείωση της πίεσης που

συνοδεύεται από αύξηση

της ταχύτητας του ρευστού

ονομάζεται φαινόμενο

Venturi από τον Ιταλό

ερευνητή που πρώτος το

μελέτησε (1791).

ΑΣΚΗΣΗ 30

Η στάθμη του

στελέχους που

βρίσκεται κάθετα στην

περιοχή όπου ο

ανομοιόμορφος

εικονιζόμενος σωλήνας

έχει διατομή Αp =

200cm2, εμφανίζει

διαφορά Δy = 5cm ως

προς το ύψος της σε

σχέση με τη στάθμη

στο κατακόρυφο

στέλεχος όπου η

διάμετρος του «στενού

λαιμού» του σωλήνα

είναι d = 10cm.

Υπολογίστε την

παροχή του υγρού

στον σωλήνα.

(Θεωρείστε ιδανικό το

υγρό, g = 9,8m/s2)

Σωλήνας Pitot

gh

gh

pghp

Bernoullipp

ba

ba

2

2

1

2

1

2

2

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

Basic mechanics of bird flight

- Lift

- Gliding

- Flapping

- Drag

H δυναμική άνωση

Στα ιδανικά ρευστά δεν δεχόμαστε την ύπαρξη δυνάμεων συνάφειας μεταξύ αυτών

και του στερεού, σε σχέση με το οποίο κινούνται. Γι΄ αυτό κατά τη ροή ιδανικού

ρευστού γύρω από ακίνητο κύλινδρο οι ρευματικές γραμμές παίρνουν μορφή

εντελώς συμμετρική και από τις δύο πλευρές του, με αποτέλεσμα να εμφανίζεται

ισοκατανομή των πιέσεων.

Έστω τώρα ότι το ρευστό είναι πραγματικό και ότι

παραμένει ακίνητο ενώ ο κύλινδρος εκτελεί

περιστροφική κίνηση. Tο ρευστό παρασύρεται, λόγω

δυνάμεων συνάφειας μεταξύ κυλίνδρου και ρευστού, σε

περιστροφική κίνηση και οι ρευματικές γραμμές είναι

περιφέρειες κύκλων ομόκεντρων με την τομή του

κυλίνδρου .

H δυναμική άνωση

Δυναμική άνωση είναι η

δύναμη που δρα πάνω σε ένα

σώμα, όπως είναι μια πτέρυγα

αεροπλάνου, ένας

υδροολισθητήρας ή μια μπάλα

που στριφογυρίζει, ως

αποτέλεσμα της κίνησης του

μέσα σε ένα ρευστό.

Πρέπει να τη διακρίνουμε από

τη στατική άνωση, που είναι η

δύναμη που εξασκείται πάνω σε

ένα σώμα, όπως ένα μπαλόνι,

σύμφωνα με την Αρχή του

Αρχιμήδη.

Aν τελικά θεωρηθεί ότι ο περιστρεφόμενος κύλινδρος

βρίσκεται μέσα σε ρεύμα πραγματικού ρευστού,

εκτελούνται και οι δύο κινήσεις ταυτόχρονα, δηλαδή

κίνηση του ρευστού και περιστροφή του κυλίνδρου,

και η τελική μορφή της ροής είναι μία επαλληλία και

των δύο ροών. Yπάρχει δηλαδή μία περιοχή όπου οι

γραμμές ροής είναι πυκνές και όπου η ταχύτητα του

ρευστού είναι αυξημένη, ενώ η πίεση έχει αντίστοιχα

ελαττωθεί και υπάρχει κάποια άλλη περιοχή, στην

οποία εμφανίζεται το ακριβώς αντίθετο φαινόμενο. H

διαφορά πιέσεων έχει ως τελικό αποτέλεσμα την

άσκηση δυνάμεως στον κύλινδρο, εκ μέρους του

ρευστού, η οποία μπορεί να έχει φορά είτε προς τα

επάνω είτε προς τα κάτω, ανάλογα με τη φορά

περιστροφής του. Aν, δηλαδή, οι δυναμικές γραμμές

είναι πυκνότερες στην περιοχή που βρίσκεται επάνω

από τον κύλινδρο, η δύναμη έχει φορά προς τα πάνω,

οπότε ο κύλινδρος ανυψώνεται. Τότε η δύναμη

ονομάζεται δυναμική άνωση. Αν όμως παρατηρηθεί

αραίωση των δυναμικών γραμμών στην ίδια περιοχή,

η δύναμη έχει φορά προς τα κάτω. Το φαινόμενο της

εμφανίσεως δυναμικής ανώσεως κατά την περιστροφή

στερεού μέσα σε ρευστό φαινόμενο Magnus.

Προς τα ¨Πραγματικά Ρευστά¨ - Ιξώδες, Στροβιλισμός

Ιξώδες

• Τα πραγματικά ρευστά είναι ιξώδη.

• Ιξώδες είναι η εσωτερική τριβή σε ένα ρευστό. Οι δυνάμεις τριβής αντιτίθενται

στην κίνηση ενός τμήματος του ρευστού ως προς ένα άλλο τμήμα του.

• Οι αλληλεπιδράσεις μεταξύ των μορίων τους προκαλεί, κατά την κίνησή τους,

την εμφάνιση ελκτικών διατμητικών δυνάμεων μεταξύ των κινουμένων

τμημάτων τους, τα οποία δεν μπορεί πλέον να θεωρηθεί ότι κινούνται

ανεξάρτητα. Η επενέργεια των διαμοριακών δυνάμεων προκαλεί μεταφορά

ενέργειας από το ένα τμήμα του ρευστού στο άλλο, με αποτέλεσμα οι ταχύτητες

των τμημάτων αυτών να τείνουν να εξισωθούν έχουν ως αποτέλεσμα την

ανάπτυξη δυνάμεων τριβής ή αντίστασης σε κάθε σχετική κίνηση των μορίων.

Το έργο αυτών των δυνάμεων αντίστασης είναι οι απώλειες της μηχανικής

ενέργειας του ρευστού που εκδηλώνονται με την ελαφρά θέρμανσή του.

• Μπορούμε να θεωρήσουμε το ιξώδες ως μέτρο της αντίστασης ενός υγρού στη

ροή του.

• Ένας ποσοτικός ορισμός του ιξώδους δίνεται εξετάζοντας την περίπτωση

στρωτής ροής υγρού ανάμεσα σε δύο παράλληλες πλάκες

Ποσοτικός προσδιορισμός ιξώδους

Στρωτή ροή μεταξύ δύο παραλλήλων πλακών

-Η κάτω πλάκα ακίνητη, η πάνω κινείται με ταχύτητα u.

-Η πάνω πλάκα σύρεται από

εξωτερική δύναμη ώστε να

κινείται με σταθερή ταχύτητα u

παράλληλα στην επιφάνειά της.

(Αν το υγρό δεν ασκούσε καμία

αντίσταση στην σταθερή

εξωτερική δύναμη, η άνω πλάκα

θα επιταχυνόταν συνεχώς

ομαλά. Αντίθετα, εξαιτίας των

δυνάμεων αντίστασης του

υγρού, η πάνω πλάκα σύντομα

αποκτά σταθερή ταχύτητα

εκτελώντας ομαλή κίνηση.)

y

u

Ποσοτικός προσδιορισμός ιξώδους

Στρωτή ροή μεταξύ δύο παραλλήλων πλακών

- Στη στρωτή ροή τα στρώματα του ρευστού ολισθαίνουν ομαλά μεταξύ

τους.

- Δύο στρώματα εφαπτόμενα κατά επιφάνεια Α, ασκούν το ένα στο

άλλο, λόγω των δυνάμεων συνοχής, διατμητική δύναμη F (ίσου

μέτρου, προς τα αριστερά στο πάνω μέρος, προς τα δεξιά στο κάτω) η

οποία τείνει να εξισώσει τις ταχύτητες.

y

u

Νόμος Νεύτωνα για το

ιξώδες:

Για στρωτή ροή η διατμητική

τάση τ, μεταξύ των

ενδιαμέσων στρωμάτων του

ρευστού είναι ανάλογη της

βαθμίδας της ταχύτητας Δu/Δy

στην κάθετη διεύθυνση ως

προς αυτά τα στρώματα, δηλ.

με άλλα λόγια της σχετικής

κίνησης των στρωμάτων του

ρευστού. y

u

A

F

O συντελεστής η, που υπεισέρχεται στον νόμο του

Nεύτωνα, είναι σταθερά χαρακτηριστική του ρευστού και

ονομάζεται συντελεστής ιξώδους ή απλώς ιξώδες.

y

u

Το ιξώδες (η) ορίζεται από τη σχέση μεταξύ:

της διατμητικής τάσης, ή της δύναμης παράλληλα στην επιφάνεια

της πλάκας ανά μονάδα επιφάνειας που απαιτείται για να

διατηρείται ομαλή η κίνηση της άνω πλάκας

και της βαθμίδας της ταχύτητας ανάμεσα στις πλάκες, Δu/Δy

(γνωστή ως ρυθμός διατμητικής παραμόρφωσης)

y

u

A

F

Η σχέση αυτή διαφέρει από τη

σχέση τάσης-παραμόρφωσης για τα

στερεά όπου στο δεξί μέλος της

εξίσωσης, εμφανίζεται η διατμητική

παραμόρφωση Δx/Δy και όχι ο

ρυθμός μεταβολής της όπως στα

υγρά.

Ο ρυθμός μεταβολής της

διατμητικής παραμόρφωσης που

εδώ θα ονομάζεται και ρυθμός

παραμόρφωσης προκύπτει με τον

συνήθη τρόπο από την παραγώγιση

της ως προς το χρόνο, (Δx/Δy)/Δt =

(Δx/Δt)/Δy = Δu/Δy.

y

u

A

F

Όταν αυξάνεται η θερμοκρασία αυξάνουν και οι μέσες αποστάσεις μεταξύ των

μορίων, επομένως μικραίνουν τα μέτρα των διαμοριακών δυνάμεων, και γι’ αυτό

μικραίνει και το μέτρο της μακροσκοπικής ελκτικής δυνάμεως F.

Eπομένως όταν αυξάνει η θερμοκρασία ελαττώνεται το ιξώδες.

Aυτό ισχύει στην περίπτωση των υγρών αλλά όχι και των αερίων, στα οποία οι

διαμοριακές δυνάμεις είναι από πολύ μικρές μέχρι αμελητέες σε σύγκριση με τις

αντίστοιχες των υγρών. Το ιξώδες των αερίων οφείλεται σε συγκρούσεις μεταξύ

των μορίων κατά την κίνησή τους. Η πιθανότητα να συμβεί μια σύγκρουση

αυξάνει με τη θερμοκρασία με αποτέλεσμα το ιξώδες να αυξάνει όταν αυξάνει η

θερμοκρασία.

ΥΓΡΑ: ↑ T ↑ διαμοριακές αποστάσεις & ↓ ελκτικές διαμοριακές δυνάμεις

↓ F ↓η

ΑΕΡΙΑ: διαμοριακές δυνάμεις πολύ μικρές

↑ T αύξηση ποσοστού συγκρούσεων ↑ η

Aν εξετασθεί το φαινόμενο από ενεργειακή άποψη, θα διαπιστωθεί ότι το

ιξώδες προκαλεί μετατροπή μέρους της μηχανικής ενέργειας σε θερμότητα.

ΜΟΝΑΔΕΣ:

Mονάδα μετρήσεως του ιξώδους:

Στο S.I. είναι το pascal x second (Pa·s) = 1 N·s/m2 or 1 kg/(m·s). Στη Γαλλία

χρησιμοποιείται το poiseuille (Pl) ως Pa·s όχι όμως διεθνώς. Δεν πρέπει να

συγχέουμε το poiseuille με το poise που αναφέρεται στο όνομα του ίδιου

προσώπου!

Συνήθως χρησιμοποιείται η αντίστοιχη του C.G.S. το poise (P) που πήρε το όνομα

του από τον Jean Louis Marie Poiseuille. Mεταξύ των δύο μονάδων υπάρχει η

σχέση 1 Pl=10 Po. H μοναδα Po είναι κατάλληλη για τη μέτρηση του ιξώδους μόνο

παχύρευστων υγρών, όπως η γλυκερίνη ή τα ορυκτέλαια. Για τη μέτρηση των

λεπτόρευστων χρησιμοποιείται συνήθως το centipoise (cP).

Το centipoise χρησιμοποιείται επίσης, επειδή το νερό έχει ιξώδες ίσο με 1.0020 cP

στους 20 °C.

1 poise = 100 centipoise = 1 g/(cm·s) = 0.1 Pa·s.

1 centipoise = 1 mPa·s.

Τιμές ιξώδους για μερικά κοινά

Νευτώνια ρευστά:

Gases (at 0 °C): (Pa·s)

Hydrogen 8.4 × 10-6

Air 17.4 × 10-6

Xenon 21.2 × 10-6

Liquids (at 20 °C): (Pa·s)

ethyl alcohol 0.248 × 10-3

Acetone 0.326 × 10-3

Methanol 0.597 × 10-3

propyl alcohol 2.256 × 10-3

Benzene 0.64 × 10-3

Water 1.0030 × 10-3

Nitrobenzene 2.0 × 10-3

Mercury 17.0 × 10-3

sulfuric acid 30 × 10-3

olive oil 81 × 10-3

castor oil 0.985

Glycerol 1.485

molten polymers 103

Pitch 107

Glass 1040

Ρευστά που αποτελούνται από διάφορα

στοιχεία, όπως το μέλι, εμφανίζουν μεγάλη

ποικιλία ως προς το ιξώδες τους.

H γραμμική σχέση του Nεύτωνα ισχύει για μεγάλο

αριθμό ρευστών, τα οποία ονομάζονται νευτώνια και

που είναι τα αέρια και τα λεπτόρευστα υγρά. Eκτός

όμως από αυτά υπάρχει και μια μεγάλη κατηγορία

ρευστών για τα οποία η σχέση αυτή αποτελεί απλώς

μια προσέγγιση. Tέτοια είναι τα παχύρευστα υγρά και

τα διαλύματα μακρομορίων. Σ' αυτά η σχέση μεταξύ

διατμητικής τάσης και βαθμίδας ταχύτητας δεν είναι

γραμμική, αλλά πολυπλοκότερη. Τα ρευστά αυτά

ονομάζονται μη νευτώνια. Eκτός από τους δύο αυτούς τύπους ρευστών υπάρχουν και

άλλοι με ιδιότυπη συμπεριφορά. Yπάρχουν, π.χ., ρευστά,

που μέχρι μία ορισμένη τιμή της διατμητικής τάσεως

συμπεριφέρονται σαν στερεά και μετά σαν παχύρευστα μη

νευτώνια και ονομάζονται πλαστικά, ενώ άλλα ρευστά για

μικρές βαθμίδες ταχύτητας κινούνται εύκολα και εμφανίζουν

μικρό ιξώδες, ενώ για μεγαλύτερες συμπεριφέρονται σαν

στερεά, όπως η άμμος, και ονομάζονται διασταλτά.

ΝΕΥΤΩΝΙΑ – ΜΗ ΝΕΥΤΩΝΙΑ ΡΕΥΣΤΑ

Η συνάρτηση η=f(τ) για

νευτώνια και μη νευτώνια υγρά

y

u

A

F

O νόμος του Poiseuille

Για στρωτή ροή, η μη σταθερή βαθμίδα ταχύτητας μπορεί να είναι

αποτέλεσμα της γεωμετρίας.

Απλούστερο παράδειγμα: το διάγραμμα ταχυτήτων της ροής ενός

ιξώδους ρευστού σε κυλινδρικό σωλήνα. Η ταχύτητα είναι μέγιστη κατά

μήκος του άξονα και μηδενική στα τοιχώματα του σωλήνα. Το ρευστό

μοιάζει με σύστημα ομοαξονικών τηλεσκοπικών σωλήνων που

ολισθαίνουν μεταξύ τους ώστε ο κεντρικός να κινείται με τη μεγαλύτερη

ταχύτητα, ενώ ο ακραίος ακινητεί.

Έστω σωλήνας μήκους L και ακτίνας R, στα άκρα του οποίου

επικρατούν πιέσεις p1 και p2. ' Έστω ακόμα κυλινδρικό στρώμα

ρευστού ακτίνας r και ομοαξονικό του κυλίνδρου, που κινείται με

σταθερή ταχύτητα υ, γεγονός από το οποίο εξάγεται το

συμπέρασμα ότι το άθροισμα των ασκουμένων επάνω του

δυνάμεων είναι μηδέν. Oι δυνάμεις αυτές είναι τρεις, οι

ασκούμενες στα άκρα του λόγω των πιέσεων:

L

R

p1 p2

F1=πr2p1 και F2=πr2p2 και η δύναμη του ιξώδους:

Tο αρνητικό σημείο στη σχέση αυτή οφείλεται στο ότι r=R-y και επομένως dr=-dy. Tο άθροισμα των

δυνάμεων είναι: F1+F2+T=0 ή F1=F2+T από την οποία με αντικατάσταση θα προκύψει:

ή

Στα τοιχώματα του σωλήνα, όπου r=R, η ταχύτητα είναι μηδενική, ενώ σε απόσταση r από το κέντρο του

σωλήνα είναι u. Mε ολοκλήρωση λοιπόν της προηγουμένης σχέσεως προκύπτει:

dr

dη2πrL

dy

dηSΤ

dr

drL2ηpπrpπr 2

2

1

2 π rdr

2Lη

ppd 21

rdr2η

ppd

r

R

21

0L

r

R

221 |rL 2

pp )r(R

L

pp

4η

1 2221

Επομένως, η ταχύτητα ροής υ σε απόσταση r από τον άξονα σωλήνα, ακτίνας R είναι:

)r(RL

pp

4η

1 2221

Σύμφωνα με τη σχέση αυτή, η ταχύτητα σε κάθε σημείο είναι ανάλογη προς τη μεταβολή της

πίεσης ανά μονάδα μήκους (p2-p1)/L ή dp/dx, που ονομάζεται και βαθμίδα πίεσης.

Η φορά της ροής είναι πάντα αντίθετη προς την dp/dx. Δηλ., υ ~ - (p2-p1)/L ή υ ~ (p1-p2)/L

H παροχή του σωλήνα Q, βρίσκεται αν θεωρηθεί στοιχειώδης όγκος με τη μορφή κυλίνδρου

πάχους dr. H παροχή αυτή είναι: dQ = dV/dt =υ·dS = υ·2πrdr, όπου dS η επιφάνεια της διατομής.

Eπομένως:

Kαι με ολοκλήρωση της σχέσεως αυτής από r = 0 ως r = R, βρίσκεται η ολική παροχή Q

οριζόντιου σωλήνα μήκους L και ακτίνας R, ο οποίος διαρρέεται από ρευστό ιξώδους η, και στα

άκρα του οποίου υπάρχουν πιέσεις p1 και p2, η οποία δίνεται από τη σχέση:

dr)2r(RL

pp

4η

1dQ 2221 r

Nόμος του Poiseuille 421 R

L

pp

8η

πQ

Δείχνει ότι η παροχή όγκου είναι:

- αντιστρόφως ανάλογη προς τον συντελεστή ιξώδους, όπως θα περιμέναμε,

- ανάλογη προς τη βαθμίδα πίεσης (p1-p2)/L

- ανάλογη της τέταρτης δύναμης της ακτίνας R.

Aν ο σωλήνας δεν είναι οριζόντιος, αλλά μεταξύ των άκρων του υπάρχει υψομετρική

διαφορά h, πρέπει να ληφθεί υπόψη και η υδροστατική πίεση, η οποία επίσης επιδρά στην

κίνηση του ρευστού και έτσι ο νόμος του Poiseuille παίρνει τη μορφή:

421 )RL

ρgh+

L

pp(

8η

πQ

Για να είναι η παροχή Q μη μηδενική, για να κινηθεί δηλαδή το ρευστό μέσα στο σωλήνα,

πρέπει να υπάρχει και διαφορά πιέσεως Δp ή βαθμίδα πιέσεως Δp/L μη μηδενική. H βαθμίδα

πιέσεως μπορεί να οφείλεται είτε σε διαφορετικές στατικές πιέσεις στα άκρα του σωλήνα, είτε

σε διαφορετική υδροστατική πίεση, είτε και στα δύο.

Καθημερινές εφαρμογές

-Σχεδιασμός υδραυλικών συστημάτων και υποδερμικών βελόνων (διπλασιασμός

της διαμέτρου της βελόνας ισοδυναμεί σε16πλασια δύναμη του αντίχειρα.

-Η ροή του αίματος στις αρτηρίες και στις φλέβες, με σχετικά μικρές μεταβολές στη

διάμετρο τους, μπορεί να κυμανθεί σε μια ευρεία κλίμακα. Αυτό συνιστά σημαντικό

μηχανισμό θερμοκρασιακού ελέγχου στα θερμόαιμα ζώα.

-Σχετικά ασήμαντη στένωση των αρτηριών από αρτηριοσκλήρωση μπορεί να

προκαλέσει αύξηση της πίεσης του αίματος και πρόσθετη καταπόνηση των

καρδιακών μυών.

Nόμος του Poiseuille 421 R

L

pp

8η

πQ

Tριχοειδές ιξωδόμετρο (Ostwald)

Συσκευή που βασίζεται στο νόμο Poiseuille για

τη μέτρηση του ιξώδους των υγρών.

Στην ουσία είναι ένας τριχοειδής σωλήνας στον

οποίο τοποθετείται το υγρό και γίνονται

μετρήσεις του χρόνου που απαιτείται για να

ρεύσει μέσα από αυτόν συγκεκριμένος όγκος του

υγρού .

Αν μετρήσουμε τους χρόνους εκροής υγρού

αγνώστου ιξώδους και ίσου όγκου υγρού

γνωστού ιξώδους, έχουμε:

Εάν οι πυκνότητες και των δύο υγρών είναι γνωστές τότε το άγνωστο ιξώδες μπορεί να

προσδιοριστεί απλά με τις μετρήσεις των χρόνων εκροής. Οι μετρήσεις αυτές οδηγούν

σε αποτελέσματα που προσδιορίζουν με ακρίβεια την τιμή ιξώδους για καθαρά υγρά ή

διαλύματα (συνήθη ιοντικά διαλύματα).

H αντίσταση κατά την κίνηση στερεού μέσα σε ρευστό

Όταν στερεό κινείται σε σχέση με πραγματικό ρευστό, ασκείται επάνω του δύναμη, που

αντιτίθεται στην κίνησή του και η οποία ονομάζεται αντίσταση. H αντίσταση εξαρτάται

από το ρευστό και τη σχετική ταχύτητα ρευστού-στερεού, είναι δε η συνισταμένη των

δυνάμεων τις οποίες δέχονται τα στοιχειώδη τμήματα της επιφάνειας του στερεού, λόγω

των δυνάμεων συνάφειας ρευστού-στερεού. H τιμή της αντιστάσεως προσδιορίζεται από

διαφορετικούς νόμους, ανάλογα με την τιμή της σχετικής ταχύτητας.

Ας θεωρήσουμε ότι το στερεό είναι ακίνητο μέσα σε κινούμενο ρευστό. Όταν η σχετική

ταχύτητα είναι μικρή η ροή του ρευστού είναι στρωτή και έχει τη μορφή του σχήματος. Tο

στρώμα του ρευστού που εφάπτεται στο στερεό είναι ακίνητο ως προς αυτό λόγω των

δυνάμεων συνάφειας. Επομένως το στερεό και το στρώμα αυτό του ρευστού κινούνται με

την ίδια ταχύτητα. Tα άλλα στρώματα κινούνται "παράλληλα" προς το εφαπτομενικό

στρώμα, με ταχύτητα που τείνει να αυξηθεί όσο απομακρυνόμαστε από το στερεό.

Το ρευστό τείνει να παρασύρει το στερεό κατά την κίνησή του, ασκώντας επάνω του

δύναμη, την αντίσταση η οποία είναι ανάλογη του συντελεστή ιξώδους η, της σχετικής

ταχύτητας υ και μιας γραμμικής διαστάσεως του στερεού d:

F=kηυd

Όταν το στερεό είναι σφαίρα η σχέση αυτή γίνεται:

F = 6πηrυ όπου r η ακτίνα της σφαίρας.

Η σχέση αυτή ονομάζεται νόμος του Stokes

Πτώση σφαίρας σε ρευστό

Έστω ότι σφαίρα ακτίνας R, μάζας m και πυκνότητας ρ1 αφήνεται να πέσει σε ρευστό

πυκνότητας ρ2 και ιξώδους η. Kατά την πτώση ασκούνται επάνω της το βάρος της W, η άνωση

Fανωση εκ μέρους του ρευστού και η αντίσταση T, λόγω της κινήσεώς της μέσα σ’ αυτό. H

συνισταμένη των δυνάμεων αυτών προσδίδει στη σφαίρα επιτάχυνση γ που υπολογίζεται από

τη σχέση: ma = W – Fαν – T με

gρπR3

4gVρW 1

3

1 gρπR3

4gVρF 2

3

2

όπου V ο όγκος της σφαίρας και g η επιτάχυνση της βαρύτητας. H αντίσταση του ρευστού,

σύμφωνα με το νόμο του Stokes, είναι:

T=6πηRυ Έτσι, προκύπτει ότι η επιτάχυνση α είναι: ]R6)gρ-(ρπR

3

4[

m

121

3

Aπό τη σχέση αυτή διαπιστώνεται ότι όσο αυξάνει η ταχύτητα υ της σφαίρας μικραίνει η

επιτάχυνση α, η οποία κάποια στιγμή θα μηδενισθεί. Tότε η ταχύτητα είναι η μέγιστη δυνατή,

ονομάζεται ορική ταχύτητα και από την προηγούμενη σχέση υπολογίζεται:

9η

)gρ-(ρ2Ru 21

2

ορ

To φαινόμενο αυτό εμφανίζεται συχνά στη φύση.

Π.χ. ορική ταχύτητα αποκτούν οι σταγόνες της βροχής όταν πέφτουν μέσα στον αέρα και γι’

αυτό δεν βλάπτουν τα έμβια όντα.

Ορική είναι και η τελική ταχύτητα πτώσης των αλεξιπτωτιστών.

ΕΡΩΤΗΣΗ Πολ. Επιλ.

Ένα σώμα αφήνεται από ηρεμία σε t = 0 να πέσει μέσα

σε ιξώδες ρευστό. Ποιο από τα διαγράμματα περιγράφει

καλύτερα την ταχύτητα του σώματος σε συνάρτηση με το

χρόνο;

ΑΣΚΗΣΗ

Πόση ταχύτητα πρέπει να έχει μια χρυσή σφαίρα ακτίνας 6,00mm μέσα σε καστορέλαιο

(ρετσινόλαδο) στους 20C, ώστε η αντίσταση που υφίσταται να ισούται με το ¼ του

βάρους της σφαίρας;

Δίνονται:

- Ο συντελεστής ιξώδους του ρετσινόλαδου είναι 9,86 poise στη θερμοκρασία αυτή

- 1 poise = 1 dyns/cm2 (1 dyn = 1 gcm/s2)

- Νόμος Stokes: Fαν = 6πηrσφυ

ΑΣΚΗΣΗ

Μια χάλκινη σφαίρα με μάζα 0,2 g πέφτει με ορική ταχύτητα 5,0 cm/s μέσα σε άγνωστο

ρευστό. Αν η πυκνότητα του χαλκού είναι 8900 kg/m3 και του ρευστού 2800 kg/m3,

πόσος είναι ο συντελεστής ιξώδους του ρευστού (σε poise);

1 poise = 1 dyns/cm2 (1 dyn = 1 gcm/s2)

ΑΣΚΗΣΗ

Ένα κομμάτι πάγου (χαλάζι) πέφτει ξεκινώντας από την ηρεμία μέσα στον ατμοσφαιρικό

αέρα του οποίου η πυκνότητα δίνεται ρ=1,2x10-3 gr/cm3. Αν η δύναμη της αντίστασης

δίνεται ως:

με μέση τιμή του συντελεστή αντίστασης CD = 0,45, υπολογίστε την ορική του ταχύτητα

2

5

1 aDD VCF

ΑΣΚΗΣΗ

Μια χρυσή σφαίρα ακτίνας 6,00mm αφήνεται από ηρεμία να πέσει στην επιφάνεια

καστορέλαιου (ρετσινόλαδου) που περιέχεται σε αρκετά μεγάλο δοχείο στους 20C. Ποια

είναι η επιτάχυνση της σφαίρας όταν αυτή έχει i) υ = υορική, ii) υ = υορική/2 (Δίνονται: ρχρυσού

= 19,3 g/cm3, ρρετσινόλαδου = 0,961 g/cm3, ηρετσινόλαδου = 9,86 poise στους 20C)

ΓΕΝΙΚΑ

Vσφαιρας = (4/3) πR3

1 poise = 1 dyns/cm2 (1 dyn = 1 gcm/s2)

Νόμος Stokes για σφαίρα: )

Απάντηση: 288,74 m/s

Τυρβώδης ροή

Μέχρι τώρα εξετάσαμε τη ροή ιξώδων ρευστών για περιπτώσεις που η διατμητική

τάση μεταξύ των στρωμάτων τους είναι μικρή. Αν η διατμητική αυτή τάση είναι

μεγαλύτερη, παρατηρείται τυρβώδης ροή, η εικόνα της οποίας είναι πολύ διαφορετική

από αυτή της στρωτής ροής. Στην τυρβώδη ροή, τα αποτελέσματα της εσωτερικής

τριβής είναι ακόμη πιο έντονα εξαιτίας του σχηματισμού στριβίλων και ο ρυθμός

παραμόρφωσης Δv/Δr κοντά στα τοιχώματα είναι πολύ μεγαλύτερος

Η εικόνα της τυρβώδους ροής είναι εξαιρετικά ακανόνιστη και πολύπλοκή και

μεταβάλλεται διαρκώς με την πάροδο του χρόνου (ακανόνιστη, χαοτική ροή).

Το είδος της ροής (μόνιμη ή τυρβώδης) εξαρτάται από την ταχύτητα του

ρευστού v, το είδος του πεδίου ροής, την πυκνότητα ρ και το ιξώδες η του

ρευστού.

Oι παράγοντες αυτοί υπεισέρχονται σε ένα αδιάστατο μέγεθος το οποίο

χαρακτηρίζει τη ροή και ονομάζεται αριθμός του Reynolds:

όπου L μία γραμμική γεωμετρική διάσταση που καθορίζεται από το είδος της ροής.

π.χ.

Αν το ρευστό κινείται μέσα σε κυλινδρικό σωλήνα, L είναι η ακτίνα του ή η

διάμετρός του.

Αν σωματίδιο κινείται μέσα σε ρευστό, L είναι το χαρακτηριστικό μέγεθος του

σωματιδίου.

Τυρβώδης ροή

H ταχύτητα του ρευστού στον σωλήνα μεταβάλλεται με το

τετράγωνο της αποστάσεως r από τον άξονα του σωλήνα και

η μεταβολή δίνεται στο διπλανό σχήμα.

Aν η ροή είναι τυρβώδης η ταχύτητα μεταβάλλεται με το

χρόνο και μπορούμε ν' αναφερόμαστε μόνο στη μέση

ταχύτητα του ρευστού. H μέση ταχύτητα δεν μεταβάλλεται με

το r2 όπως στη μόνιμη ροή. Kοντά στα τοιχώματα

παρατηρείται πτώση της ταχύτητας, ενώ από κάποιο σημείο

της ακτίνας και μετά η τιμή της είναι σταθερή

Σε μόνιμη ροή μέσα σε σωλήνα, η ταχύτητα ροής υ σε απόσταση r από τον άξονα σωλήνα,

ακτίνας R είναι:

)r(RL

pp

4η

1 2221

Τυρβώδης ροή

Yπάρχει μία τιμή του αριθμού του

Reynolds, που χαρακτηρίζει τη ροή, και η

οποία ονομάζεται κρίσιμος αριθμός του

Reynolds Rκρ.

Για R > Rκρ η ροή είναι τυρβώδης, ενώ για

μικρότερες μόνιμη.

Κατά τη ροή ρευστού σε σωλήνα η

κρίσιμη τιμή Rκρ είναι 2000 ενώ κατά την

κίνηση της σφαίρας σε ρευστό μόλις 10.

Και στις δύο περιπτώσεις ως γραμμική

διάσταση θεωρείται η ακτίνα. Mε τη

βοήθεια του αριθμού του Reynolds

μπορεί να καθοριστεί για δεδομένο υγρό

και δεδομένο είδος ροής ποιά είναι η

κρίσιμη ταχύτητα πάνω από την οποία η

ροή γίνεται τυρβώδης.

Τυρβώδης ροή

Σφαίρα ακτίνας r, στερεωμένη έτσι ώστε να

παραμένει ακίνητη μέσα στη ροή ενός ρευστού. Αν

η ροή είνα στρωτή, με R της τάξης του 1 ή

μικρότερο, το ρευστό θα ρέει γύρω από αυτή

συμμετρικά (πάνω σχήμα). Δύναμη τριβής στη

σφαίρα από Νόμο Stokes: F = - 6π η r v

Η δύναμη της τριβής σε αυτήν την περίπτωση,

μεταβάλλεται γραμμικά με την ταχύτητα και το

ιξώδες του ρευστού αλλά και με το μέγεθος της

σφαίρας.

Καθώς η ταχύτητα του ρευστού αυξάνεται, η ροή

εμφανίζεται πιο πολύπλοκη και ασύμμετρη και η

δύναμη τριβής γίνεται ανάλογη του v2. Πίσω από τη

σφαίρα, ακολουθώντας τη ροή του ρευστού, η

ταχύτητα του ρευστού ελαττώνεται καθώς ο

αριθμός Reynolds αυξάνεται και μετά από μια

συγκεκριμένη τιμή του, η ροή γίνεται ασταθής με

δίνες ή στρόβιλους σχηματίζοντας μια περιοχή

γνωστή ως ίχνη αύλακος του σώματος ή απόνερα

όταν πρόκειται για πλεύση πλοίου (Σχήμα - μέση).

Σε ακόμη μεγαλύτερους αριθμούς Reynolds η ροή

γίνεται τυρβώδης (Σχήμα - κάτω).

Με προσεκτικό σχεδιασμό του σχήματος ενός σώματος,

αυτές οι δυνάμεις τριβής μπορούν να μειωθούν. Σημαντική

βελτίωση έχει επιτευχθεί στις αεροδυναμικές επιδόσεις

αυτοκινήτων και αεροπλάνων που έχουν σχεδιαστεί από

μηχανικούς κατά αυτόν τον τρόπο.

Στον κόσμο των ζώων, ο εξελικτικός σχεδιασμός έχει

επίσης οδηγήσει σε τέτοιες μορφές, με σχήματα ευνοϊκής

υδροδυναμικής και αεροδυναμικής, ειδικά στις περιπτώσεις

πολλών υδρόβιων και ιπτάμενων ζώων.

Ιξώδες εναιωρήματος σωμάτων σε ρευστό

Όταν περισσότερα από ένα σώματα βρίσκονται σε ένα ρευστό το αυλάκι

ασταθούς ροής που δημιουργείται πίσω από ένα σώμα μπορεί να

αλληλεπιδράσει με άλλα σώματα μέσω των λεγόμενων υδροδυναμικών

αλληλεπιδράσεων.

Αϊνστάιν (1906), προσδιόρισε το ιξώδες εναιωρήματος όμοιων

σφαιρικών σωματιδίων ηs ως:

όπου ηο είναι το ιξώδες του διαλύτη και Φ είναι το ποσοστό του όγκου

που καταλαμβάνεται από τα σφαιρικά σωμάτια.

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ:

• Το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την ακτίνα των σωματιδίων. Όσο

μεγαλύτερα είναι τα σφαιρικά σωματίδια τόσο λιγότερα απαιτούνται για να

καταλάβουν ένα συγκεκριμένο ποσοστό του συνολικού όγκου και επομένως η

τιμή του ιξώδους του εναιωρήματος θα είναι η ίδια.

• Για σωματίδια άλλων σχημάτων ο παράγοντας 2,5 αντικαθίσταται από έναν

άλλο αριθμητικό παράγοντα που εξαρτάται από το σχήμα.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Υπολογίστε το ιξώδες υδατικού διαλύματος 100 μΜ σφαιρικών πρωτεϊνών ακτίνας 5 nm

και μοριακής μάζας 40.000 στους 20°C. Τέτοιο θα μπορούσε να είναι ένα διάλυμα της

σφαιρικής πρωτεΐνης ακτίνης.

Λύση:

Υπολογίζουμε το κλάσμα του όγκου που καταλαμβάνει η πρωτεΐνη.

Κάθε πρωτεϊνικό μόριο καταλαμβάνει όγκο 4/3 π r3 = 5,2 × 10-25 m3

και έχει μάζα ίση με 40000/ΝΑ,

όπου ΝΑ είναι ο αριθμός Avogadro, ή αλλιώς 6,6 × 10-20 g = 6,6 × 10-23 kg.

Διάλυμα 100 μΜ έχει πυκνότητα ίση με 40000 g/mol × 10-4 mol/L = 4 g/1000 cm3 =

= 4 × 10-3 kg/10-3 m3 = 4 kg/m3, χρησιμοποιώντας ότι 1 cm3 = 10-6 m3.

Επομένως, σε κάθε μονάδα όγκου (1 m3) υπάρχουν 4/(6,6 × 10-23) = 6,1 × 1022 μόρια

που καταλαμβάνουν όγκο (6,1 × 1022) (5,2 × 10-25) = 0,03 m3.

Έτσι, το κλάσμα του όγκου είναι 0,03 και το ιξώδες υπολογίζεται

(δεδομένου ότι ηο = 10-3 Pa×s για το νερό):

η = [1 +(2,5)(0,03)] × 10-3 Pa×s = 1,075 x 10-3 Pa×s.

Η τιμή αυτή είναι αυξημένη κατά 7,7% συγκριτικά με αυτή του καθαρού νερού.

ΑΙΜΑ ΚΑΙ ΑΛΛΑ ΣΥΝΘΕΤΑ ΡΕΥΣΤΑ

Ο όρος “σύνθετα ρευστά” χρησιμοποιείται συνήθως για τα μη-

Νευτώνεια ρευστά όπου η διατμητική τάση δεν είναι ανάλογη του

ρυθμού παραμόρφωσης.

Τα περισσότερα βιολογικά ρευστά, συμπεριλαμβανομένου του

αίματος, είναι σύνθετα.

Ακόμη και απλά εναιωρήματα ασύμμετρων μακρομορίων είναι

μη-Νευτώνεια εξαιτίας του προσανατολισμού που αποκτούν τα

μακρομόρια σε μεγάλους ρυθμούς παραμόρφωσης: μεγάλες

εγκάρσιες μεταβολές της ταχύτητας δημιουργούν ροπές σε τέτοια

μόρια οι οποίες τείνουν να τα ευθυγραμμίσουν με τη ροή του

ρευστού, ακριβώς όπως μια ράβδος ευθυγραμμίζεται με τη ροή σε

ένα ταχέως κινούμενο ρεύμα. Άλλα σύνθετα βιολογικά “ρευστά”

είναι το κυτταρικό κυτόπλασμα το οποίο έχει ιξωδοελαστικές

ιδιότητες και οι βιολογικές μεμβράνες οι οποίες εμφανίζουν στις 2

διαστάσεις ιδιότητες σαν αυτές των ρευστών.

Το χαρακτηριστικό της μη-νευτώνειας φύσης του ρευστού είναι η μεταβολή του ιξώδους

κατά μεγάλους παράγοντες καθώς μεταβάλλεται ο ρυθμός παραμόρφωσης, όταν το αίμα

περιέχει κύτταρα.

Το πλάσμα του αίματος είναι νευτώνειο ρευστό, επειδή το ιξώδες του είναι ανεξάρτητο

του ρυθμού παραμόρφωσης (κάτω καμπύλη). Τα ερυθρά αιμοσφαίρια αποτελούν

κανονικά περίπου το 50% του όγκου του αίματος, συνεπώς είναι σαφές ότι οι μη-

νευτώνειες ρεολογικές ιδιότητες του αίματος οφείλονται κυρίως στα ερυθρά αιμοσφαίρια.

Η ισχυρή εξάρτηση από το περιεχόμενο του αίματος σε ερυθροκύτταρα είναι επίσης

ενδεικτική της μεγάλης επίπτωσης τους στις ρεολογικές ιδιότητες του αίματος. Τα ερυθρά

αιμοσφαίρια έχουν σχήμα αμφίκοιλων δίσκων (λεπτότεροι στο μέσον από ότι στην

περιφέρεια), διαμέτρου περίπου 8 μm και παρουσιάζουν την τάση να συσσωρεύονται

μαζί σε στοίβες όπως τα νομίσματα. Οι συστοιχίες αυτές είναι γνωστές ως διατάξεις

rouleaux (ρουλώ). Η έκταση της συσσωμάτωσης εξαρτάται ισχυρά από το ρυθμό

παραμόρφωσης. Οι συστοιχίες σπάνε όταν ο ρυθμός παραμόρφωσης αυξάνεται αρκετά,

γεγονός που εξηγεί ποιοτικά τη μείωση του ιξώδους με την αύξηση του ρυθμού

παραμόρφωσης (πάνω διάγραμμα)

Ερυθρά αιμοσφαίρια (αριστερά:

φαίνεται το σχήμα αμφίκοιλων δίσκων

και δεξιά: συστοιχίες ερυθρών

αιμοσφαιρίων ή διάταξη rouleaux)

Το αίμα είναι εξαιρετικά ρευστό. Ένα εναιώρημα μικρών άκαμπτων

σφαιρών 50% (κατ' όγκο) θα είναι στερεό και δεν θα ήταν δυνατόν

να ρέει. Αντίθετα το αίμα είναι ιδιαίτερα ρευστό, ακόμη και για

μεγάλες τιμές αιματοκρίτη . Αυτή η ρευστότητα οφείλεται στις

ιδιαίτερες ιδιότητες των ερυθρών αιμοσφαιρίων του αίματος.

Σχετικό ιξώδες ως προς το καθαρό νερό για το ανθρώπινο αίμα (κάτω καμπύλη,

συνεχής) και για εναιώρημα στερεών σφαιριδίων σε καθαρό νερό (άνω καμπύλη,

διακεκομμένη) ως συνάρτηση του κλάσματος του όγκου που καταλαμβάνουν τα

σωματίδια. Για κλάσματα όγκου μεγαλύτερα από 50% το εναιώρημα στερεών

σφαιριδίων συμπεριφέρεται ως στερεό.

Οι ελαστικές ιδιότητες της μεμβράνης και το σχήμα των ερυθρών αιμοσφαιρίων,

επιτρέπουν τη ροή λόγω της τεράστιας παραμόρφωσης που αυτά μπορούν να

υφίστανται. Η διάμετρος πολλών μικρών τριχοειδών αιμοφόρων αγγείων είναι

της τάξεως της διαμέτρου του ερυθρού αιμοσφαιρίου ή ακόμη μικρότερη και

επομένως, χωρίς τη μεγάλη ευελιξία των ερυθρών αιμοσφαιρίων δεν θα ήταν

δυνατή η ροή του αίματος. Σε ορισμένες ασθένειες όπως στην περίπτωση

δρεπανοκυτταρικής αναιμίας, τα ερυθρά αιμοσφαίρια είναι παραμορφωμένα

και έχουν χάσει τις ελαστικές ιδιότητες τους με αποτέλεσμα να φράσσουν τα

μικρά αιμοφόρα αγγεία.

Σύμφωνα με την εξίσωση συνέχειας, η ταχύτητα ροής ενός ασυμπίεστου υγρού σε

σωλήνα είναι αντιστρόφως ανάλογη προς το εμβαδόν της διατομής του σωλήνα, έτσι

ώστε να ικανοποιείται η αρχή διατήρησης της μάζας. Στο κυκλοφορικό σύστημα, μια

μεγάλη αρτηρία (με συνήθη εσωτερική διάμετρο 1 cm) διαχωρίζεται σε πολλά αρτηρίδια

(με συνήθη διάμετρο 5 μm), καθένα από τα οποία διαχωρίζεται με τη σειρά του σε πολλά

τριχοειδή αγγεία (με συνήθη διάμετρο 0,6 μm). Τα τριχοειδή έχουν τη μικρότερη διάμετρο

και γι’ αυτό θα περιμέναμε το αίμα να ρέει γρηγορότερα μέσα σε αυτά τα αγγεία. Αν και

τα τριχοειδή έχουν τη μικρότερη διατομή, το συνολικό εμβαδόν διατομής των, κατ’

εκτίμηση, πέντε δισεκατομυρίων τριχοειδών αγγείων είναι περίπου πέντε φορές

μεγαλύτερο από αυτό των αρτηριδίων. Επομένως, η ταχύτητα του αίματος στα τριχοειδή

αγγεία είναι μικρότερη από την ταχύτητα σε οποιοδήποτε άλλο αιμοφόρο αγγείο. Η τιμή

της είναι περίπου 0,07 cm/s, μόνο. Οι διάμετροι των τριχοειδών είναι συγκρίσιμοι με το

μέγεθος των ερυθρών αιμοσφαιρίων και γι’ αυτό η ροή του αίματος διαμέσου των

τριχοειδών, γνωστή ως ροή βλωμού, εμφανίζει αρκετές ιδιαιτερότητες. Για να

προωθηθεί η ροή των ερυθρών αιμοσφαιρίων και η ανταλλαγή αερίων και άλλων ουσιών

μέσω των τοιχωμάτων των αγγείων, τα ελαστικά ερυθρά αιμοσφαίρια παγιδεύουν

ανάμεσά τους πλάσμα αίματος που στροβιλίζεται.

Ροή βλωμού των ερυθρών

αιμοσφαιρίων καθώς κινούνται προς τα

αριστερά σε ένα τριχοειδές αγγείο.

Ανάμεσα στα κύτταρα η ροή του

παγιδευμένου πλάσματος είναι

στροβιλώδης.