罗素Bertrand Russell 1872-1970

纯数学是这样一门学科，在其中我们并不知道我们在谈论什么，或者我们不知道我们所谈论者是否是真的。

第 9 讲

真理与定理Godel Theorem

• 希尔伯特纲领

• 梦想的破灭

• 梦想与悖论

笛卡尔René Descartes

1596-1650

• 1596 年 3 月 31 日生于法国的图伦

• 1619 年 11 月 10 日

• Ausonius: Quod vitae sectabor iter

• 在我的一生中，我该走哪条路？

• 1650 年 2 月 11 日在斯德哥尔摩去世

• 科学中正确运用理性和追求真理的方法论• 1637 年 6 月 8 日

•《折光学》•《气象学》•《几何学》

• 寻求知识的途径• 寻求知识的途径• 寻求知识的途径• 寻求知识的途径

仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西仅接纳自己理解并可以排除疑问的东西

把大的困难拆分成小的困难把大的困难拆分成小的困难

从简单到复杂的推理从简单到复杂的推理

进行检验进行检验

• 笛卡尔之梦• 笛卡尔之梦

现实问题现实问题

数学问题（几何问题）

数学问题（几何问题）

代数问题（解析几何）

代数问题（解析几何）

多项式方程组多项式方程组

一元高次方程一元高次方程

• 笛卡尔的梦想：将世界数学化• 笛卡尔的梦想：将世界数学化

• 人类的所有问题，都可以通过逻辑计算，理性地、系统地加以解决。

• 人类的所有问题，都可以通过逻辑计算，理性地、系统地加以解决。

数学真理 = 数学定理 数学真理 = 数学定理

莱布尼兹（德国）

Gottfried Leibniz (1646-1716)

笛卡尔计划的一个具体的实现方案 : 将思维演算化、计算化，以至于可以计算机化。

笛卡尔计划的一个具体的实现方案 : 将思维演算化、计算化，以至于可以计算机化。

解析几何如同一台庞大的绞肉机，你把问题塞进去，只要摇动曲柄，就可以得到答案。

解析几何如同一台庞大的绞肉机，你把问题塞进去，只要摇动曲柄，就可以得到答案。

沙勒 ( 法国）Michel Chasles

1793~1880

为几何大厦添砖加瓦，从此就用不着天才那样的人物了。

《几何方法的起源和发展的历史概述》

为几何大厦添砖加瓦，从此就用不着天才那样的人物了。

《几何方法的起源和发展的历史概述》

•1900 年前后，逻辑悖论的出现• 罗素：日常语言和逻辑中可以出现悖论

• 理发师悖论• 村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。• 谁给理发师理发？

• 理发师悖论• 村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。• 谁给理发师理发？

庞伽莱（法国）Henri Poincaré （ 1854-1912 ）

为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼。

为了防备狼，羊群已用篱笆圈了起来，但却不知道圈里有没有狼。

数学的完备性 completeness数学的完备性 completeness

• 一个数学系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，每一个数学真理都对应着一个数学定理。

• 一个数学系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被证明的，每一个数学真理都对应着一个数学定理。

• 1930 年之前 : 两个基本问题 I

• 每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出答案，或者是证明它不可解。

• 每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出答案，或者是证明它不可解。

数学的一致性 consistency数学的一致性 consistency

• 1930 年之前：两个基本问题 II

• 一致性（相容性、无矛盾、协调性）• 如果说一个数学系统是一致的，不可能得出 0≠0 的结果。

• 不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的，即不能出现悖论。

如果一个系统是不一致的，则可以按照我们的喜好来证明一个论断是真的，或者假的，那样的话，我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。

如果一个系统是不一致的，则可以按照我们的喜好来证明一个论断是真的，或者假的，那样的话，我们的知识就不会建立在一个可靠的基础之上了。

• 罗素 : 我是教皇

如果我们承认 2+2=5 ，则有 2=3

或者 2=1

因为教皇和罗素是两个人，且 2=1

于是 1=2

所以，罗素就是教皇。

• 梦想与悖论

• 梦想的破灭

• 希尔伯特纲领

• 1900 年巴黎国际数学家大会

• 希尔伯特 23 问题• 第二个问题“算术公理的一致性”

• 希尔伯特 23 问题• 第二个问题“算术公理的一致性”

• 数学推理的可靠性：只要按照数学推理的规则，就不应该得出相互矛盾的陈述。

• 希尔伯特：一致性是任何类型的公理化系统的必要条件

• 希尔伯特：一致性是任何类型的公理化系统的必要条件

• 为什么希尔伯特要操心这样的事情呢？

• 2+2=5 真的可以发生吗？

• 三角形的内角和≠ 180º吗？

• 几何原本• 1482 年• 威尼斯

罗巴切夫斯基（俄国）Nikolai Lobachevski （ 1792-185

6 ）

波约（匈牙利）Janos Bolyai （ 1802-1860 ）

• 存在着完全一致的、关于点和线的数学系统，他们不同于欧几里得的系统。

• 三角形的内角和可以大于 180º

• 椭圆几何

• 三角形的内角和可以小于 180º

• 双曲几何

• 三种几何

平面 双曲 (马鞍） 椭圆 （球）

1 条平行线 许多平行线 没有平行线

= 180º < 180º > 180º

平面宇宙 开放宇宙 封闭宇宙

冷寂 冷寂 大挤压

欧几里得 罗巴切夫斯基 黎曼

希尔伯特

David Hilbert

1862 年 1 月 23日

生于哥尼斯堡

1943 年 2 月 14日

死于哥廷根

• 希尔伯特纲领建立的动机

• 罗素悖论产生的原因：自然陈述中语义的含糊性

• 罗素悖论产生的原因：自然陈述中语义的含糊性

• 铲除悖论：为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架，在其中可以谈论数学的真或假。

• 铲除悖论：为全部数学构建一种纯句法的、实质上“无意义”的框架，在其中可以谈论数学的真或假。

• 将每一个数学真理都形式化，从而永远排除在数学中出现悖论陈述的可能性。也不会产生不可判定的命题。

• 将每一个数学真理都形式化，从而永远排除在数学中出现悖论陈述的可能性。也不会产生不可判定的命题。

• 形式系统：形式化了的公理系统。系统中的符号与符号串（公式）完全不含意义。

• 形式系统：形式化了的公理系统。系统中的符号与符号串（公式）完全不含意义。

• 形式系统

• 公式：按照一定的形式规则排列的符号串• 公理：一个公式• 推理规则：由有限个确定的公式（规则的假设）得到某一个确定的公式（规则的结论）

• 公式：按照一定的形式规则排列的符号串• 公理：一个公式• 推理规则：由有限个确定的公式（规则的假设）得到某一个确定的公式（规则的结论）

• 定理：公理； • 若规则的假设是定理，其结论也是• 定理：公理； • 若规则的假设是定理，其结论也是

• 形式系统的公式是否定理，可以机械地验证

• 希尔伯特纲领

• 第一步，建立形式系统

• 第二步，考虑数学结构 将数学对象与形式系统中的符号、公式相匹配，用不含意义的形式语言来解释含有意义的数学对象。

•　不使用那些有争议的推论•　不使用那些有争议的推论

•　 1920 年～ 1930 年•　希尔伯特、阿克曼、伯奈斯、冯诺伊曼•　元数学（或称证明论）

•　 1920 年～ 1930 年•　希尔伯特、阿克曼、伯奈斯、冯诺伊曼•　元数学（或称证明论）

•　用矛盾去证明存在•　超限归纳•　实无穷集•　非断言性的定义•　选择公理

•　用矛盾去证明存在•　超限归纳•　实无穷集•　非断言性的定义•　选择公理

•　存在性的证明也必须是构造性的•　存在性的证明也必须是构造性的

•　元数学证明的概念与方法是有限性的•　元数学证明的概念与方法是有限性的

• 希尔伯特（ 1928 年）：• 利用这种新的数学基础—人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。

• 希尔伯特（ 1928 年）：• 利用这种新的数学基础—人们完全可以称之为证明理论，我将可以解决世界上所有的基础问题。

• 所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。

• 所有有意义的论述都将被证明或证伪，那样就不存在悬而未决的命题了。

• 希尔伯特的梦想

• 构造一个形式系统，它既是完备的，又是一致的。• 在数学结构的真理与形式系统的定理之间建立一种完美的一一对应的关系。

• 构造一个形式系统，它既是完备的，又是一致的。• 在数学结构的真理与形式系统的定理之间建立一种完美的一一对应的关系。

• 把整个数学真理全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。

• 把整个数学真理全部形式化，以防止悖论跨越自然语言与数学语言的界限而侵入纯洁的数学世界。

定 理陈述

定 理陈述

证明机器

结果：真 \假结果：真 \假

• 希尔伯特的形式系统

• 证明机器

希尔伯特1900 年

• 1928 年 9 月波伦亚国际数学家大会• “数学基础问题”（四个问题）

• 1928 年 9 月波伦亚国际数学家大会• “数学基础问题”（四个问题）

• 基本问题：可否证明每一个真的数学陈述。• 基本问题：可否证明每一个真的数学陈述。

• 梦想与悖论

• 希尔伯特纲领

• 梦想的破灭

哥德尔Kurt Godel (1906-1978)

• 1906 年 4 月 28 日出生于捷克的布尔诺 Brno

• 1924 年 入维也纳大学，理论物理

• 1929 年获奥地利国籍，完成博士论文

• 1931 年不完备性定理发表

• 1940 年定居普林斯顿

• 1948 年加入美国国籍

• 1978 年 1 月 14 日在普林斯顿去世

哥德尔和它的父母及哥哥，约 1910 年

• 哥德尔和阿黛勒德结婚照

维也纳

•

一九三八年9

月30

日

• 哥德尔与爱因斯坦，普林斯

顿

•

一九五零年8

月

• 罗素与怀特海：《数学原理》

• John Kemeny ：这是一本“被每个哲学家所讨论，而实际上又无人读过的名著。”

• John Kemeny ：这是一本“被每个哲学家所讨论，而实际上又无人读过的名著。”

符号 哥德尔数 意义

～ 1 非

∨ 2 或

3 如果……那么……

4 存在

= 5 等于

0 6 零

s 7 ……的直接后继

（ 8 标点符号

） 9 标点符号

• 基本逻辑符号的哥德尔配数（简化本）

))(( syxx 逻辑公式：

• 存在着一个数 x ，它是数 y 的直接后继。• 存在着一个数 x ，它是数 y 的直接后继。x 、 y ：数值变元 ; 用大于 10 的素数来表示。令 x = 11 、 y = 13 。

))(( syxx

x = 11 、 y = 13

[8 ， 4 ， 11 ， 9 ， 8 ， 11 ， 5 ， 7 ，13 ， 9]

符号 哥德尔数 意义～ 1 非∨ 2 或

3 如果……那么……4 存在

= 5 等于0 6 零s 7 ……的直接后继

（ 8 标点符号 ） 9 标点符号

[8 ， 4 ， 11 ， 9 ， 8 ， 11 ， 5 ， 7 ，13 ， 9]

))(( syxx

9137511891148 2923191713117532 n

• 莱布尼兹、希尔伯特 用数来表示概念或词句• 莱布尼兹、希尔伯特 用数来表示概念或词句

• 应用“哥德尔配数法”使语法算术化• 应用“哥德尔配数法”使语法算术化

•《数学原理》中的每一条陈述，都可以安排一个唯一的数与之对应。

•《数学原理》中的每一条陈述，都可以安排一个唯一的数与之对应。

• 说谎者 悖 论 （ Liar’s paradox ）

• 避开难以捉摸的真与假的概念• 用“可证性”的概念代替“真”

• 利用哥德尔的编码方案，可以编码上述论断• 通过 46 条推理，得到这条陈述，称为哥德尔句G

这个句子是错的这个句子是错的

这个陈述是不可证的这个陈述是不可证的

• 如果哥德尔陈述 G 是可证的

• 如果哥德尔陈述 G 是可证的

• 由于 G 是真的，根据论断，它不可证

• 在这个系统中，陈述 G 和它的否定都成立

这个陈述 G 是不可证的 这个陈述 G 是不可证的

• 所以，这个系统是不一致的• 所以，这个系统是不一致的

• 如果哥德尔陈述 G 是不可证的

• 如果哥德尔陈述 G 是不可证的

• 这个系统是不完备的• 这个系统是不完备的

• 由于陈述 G 是真的，但是却不可证

这个陈述 G 是不可证的 这个陈述 G 是不可证的

• 哥德尔不完备定理 : 对于算术的任何一致的形式化系统，都存在着一个命题 G ，在这个系统中不可证明。

• 哥德尔不完备定理 : 对于算术的任何一致的形式化系统，都存在着一个命题 G ，在这个系统中不可证明。

• 1931 ： “论《数学原理》及其有关系统中的形式不可判定命题 I ”

• 1931 ： “论《数学原理》及其有关系统中的形式不可判定命题 I ”

• 哥德尔定理证明的两个关键步骤

• 哥德尔配数：对算术中的所有可能的陈述进行编码；

• 哥德尔配数：对算术中的所有可能的陈述进行编码；

• 编码一个论断 ( 哥德尔句 G) ：“这个陈述 G 是不可证的”。

• 编码一个论断 ( 哥德尔句 G) ：“这个陈述 G 是不可证的”。

哥德尔定理

被证明被否证

G2 G1

数学真理 ＞ 数学定理数学真理 ＞ 数学定理直觉 < 证明直觉 < 证明

The End

第 10讲 数学猜想第 10讲 数学猜想

• 时间 : 5 月 21 日• 主讲 : 王辉