必修一必修一 第二章 函数的概念和基本初等函数Ⅰ 第二章 函数的概念和基本初等函数Ⅰ CAICAI 课件课件

课题课题 :: 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解

江苏省东台中学高一数学组江苏省东台中学高一数学组

问题情境 CCTV2“ 幸运 52” 片段 ： 主持人李咏说道 : 猜一猜这架家用型数码相

机的价格 . 观众甲 :2000! 李咏 : 高了 ! 观众乙 :1000! 李咏 : 低了 ! 观众丙 :1500! 李咏 : 还是低了 !········

问题 1: 你知道这件商品的价格在什么范围内吗 ?

问题 2: 若接下来让你猜的话 , 你会猜多少价格比较合理呢 ?

答案 :1500 至 2000 之间

学生活动

问题 3 ：方程 的解是什么？

0122 xx

若不用求根公式，如何求方程 的一个近似解呢？

0122 xx

21x答案：

例 1 、求方程 的一个正的近似 解？（精确到 0.1 ）

0122 xx

第二步：取 2 与 3 的平均数 2.5 第三步：再取 2 与 2.5 的平均数 2.25

如此继续取下去得： 0)3(,0)2( ff )3,2(1x0)5.2(,0)2( ff )5.2,2(1x0)5.2(,0)25.2( ff )5.2,25.2(1x0)5.2(,0)375.2( ff

)4375.2,375.2(1x0)4375.2(,0)375.2( ff )5.2,375.2(1x

第四步：因为 2.375 与 2.4375 精确到 0.1 的近似值都为 2.4, 所以此方程的近似解为 4.2

1x

图象

算法

第一步：得到初始区间（ 2 ， 3 ）设 先画出函数图象的简图，12)( 2 xxxf分析：

32

2.5 32

2.25 2.5 32

2.375 2.5 32

2.43752.375 32

建构数学

建构

6

4

2

-2

-4

-5 54320 1

f x( ) = x2-2× x-1

解答

放大

8

6

4

2

-2

-10 -5 5

0.25

2.5 4321

f x( ) = x2-2× x-1

解答 放大

10

8

6

4

2

-2

-10 -5 5-0.4375

2.25

2.50 4321

f x( ) = x2-2× x-1

解答

1. 二分法的描述：

建构数学

对于区间 [a,b] 上连续不断、且f(a)f(b)<0 的函数 y=f(x), 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法

2. 用二分法求一元方程 f(x)=0 的近似解的基本步骤 :

)(2

11 bax

建构数学

第一步 确定初始区间 [a,b] ，验证 f(a)f(b)<0第二步 求区间 [a,b] 两端点的平均值 x1

建构数学第三步 计算 f(x1) 并判断：(1) 如果 f(x1)=0 ，则 x1 就是 f(x) 的零点，计算终止 ;

(2) 如果 f(a)f(x1)<0 ，则零点 否则零点第四步 重复步骤 2 ～ 3, 直至所得区间的两端点在要求的精确度下取得的近似值相等 .

),( 1xax

),( 1 bxx

注意 1: 利用二分法求近似值 , 取到区间长度第一次小于精确度即可 , 如果端点取近似值相等即为所求解 .

练习 .y=f(x) 零点在 [0,1] 内欲得零点近似值 , 精确到 0.01 则二分法取中点最少多少次 ?

A 6 B 7 C 8 D 9

例二、利用计算器，求方程 的近似解 ( 精确到 0.1)

解一 : 在两个函数图象的交点处，函数值 相等。因此这个点的横坐标就是方程 lgx=3-x 的解。

由图象可知方程 lgx=3-x 有惟一解，记为 x1 ，并且这个解在区间（ 2 ，3 ）内。

xx 3lg

数学应用

分析：

问题 5 ：你将怎样设函数，便于作出简图？ 设 y1=lgx 和 y2=3-x ，在同一个直角坐标系内作出函数的图象

y

x3210

3

2

1

r x = 3-x

q x = logx

数学应用

0)3(,0)2( ff 0)3(,0)5.2( ff

0)625.2(,0)5625.2( ff

0)75.2(,0)5.2( ff 0)625.2(,0)5.2( ff

因为 2.5625 与 2.625 精确到 0.1 的近似值都为 2.6 ，所以原方程的近似解为

6.21 x

解二 : 设 f(x)=lgx+x-3 用计算器计算，得：

32

2.5 32

2.752.5 32

2.6252.5 32

2.56252.625 32

)625.2,5.2(1x

3,21x 3,5.2

1x

75.2,5.21x

)625.2,5625.2(1x

1.2.3.6.

)(,310

,3lg,.3

21

21

D���C���B���A

���xxx

xxxxx 等于则的根

分别是方程设例

.)1(2

.

的根的情况讨论方程

练习

axx