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Centro de Preparaçao aos Exames de Admisao ao Ensino Superior- CPEAES www.cpeaes.ac.mz Por: Justino M. J. Rodrigues
Justino Rodrigues ( Coordenador ),E– Mail [email protected] , Cel? 82-0432 760- www.cpeaes.ac.mz
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PREFÁCIO
O presente livro (manual) foi preparado pelos professores deste centro (CPEAES) sob a sua
coordenação e é destinado ao âmplo circulo de estudantes ocupados no estudo de preparação aos
exames de admissão para o ensino superior ou no desenvolvimento da actividade pedagógica nos
centros de ensino e pesquisa em particular.
O traço característico deste livro (manual) consiste em expor os problemas e as tendências
actuais de planos curriculares orientados para o ensino geral e técnico nacional, o
aperfeiçoamento e assimilação das matérias dadas nas escolas, assinalados sob óptica do
desenvolvimento estável dos princípios básicos da teoria e da prática, planificação dos métodos
de estudos, sem expor a metodologia concreta de planificação.
Os autores põe em destaque os elementos que devem ser assimilados e que possam ser úteis nas
diferentes condições de avaliação nos exames de admissão de modo a alcançar os objectivos
desejados.
O livro pode ser utilizado como material de estudo.
O CPEAES ficar-lhe-á muito grato se nos dar a conhecer a sua opinião a cerca da tradução do
presente livro, assim como acerca da sua apresentação e impressão.
Agradecer-lhe-emos também qualquer outra sugestão.
NB: Este livro é propriedade do centro e todos seus direitos e obrigações estão reservados a este
centro ( CPEAES )
É expressamente proibido a sua reprodução, seja ela por fotocópia ou outra forma electrónica,
tanto como a sua venda fora deste estabelecimento (CPEAES) como detentor de todos direitos.
Maputo, Maio de 2007
Justino M. J. Rodrigues (Coordenador )
Centro de Preparação aos Exames de Admissão ao Ensino Superior – www.cpeaes.ac.mz
e-mail: [email protected] Cell: +258-82 043 2760
Curso de Física – Manual de Apoio ao Estudante – Parte I Por: Edson Anselmo José
1
Ao Estudante O conhecimento das leis e fenómenos físicos constitui um complemento indispensável à formação cultural do homem moderno, não só em virtude do grande desenvolvimento científico e tecnológico do mundo actual, como também porque o mundo da Física nos rodeia por completo. Assim, com a orientação do facilitador, lendo com atenção os textos de cada capítulo, discutindo com seus colegas e procurando realizar as actividades sugeridas, espera-se que no final deste curso, você consiga transpor a barreira dos exames de admissão sem dificuldades.
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Curso de Física – Manual de Apoio ao Estudante – Parte I Por: Edson Anselmo José
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Os Ramos da Física No início do desenvolvimento das ciências, os sentidos do homem eram fontes de informação
utilizadas na observação dos fenómenos que ocorrem na natureza. Por isso mesmo o estudo da
Física foi se desenvolvendo, subdividido em diversos ramos, cada um deles agrupando
fenómeno relacionados com sentido pelos quais eles eram percebidos. Então surgiram:
1) Mecânica – É o ramo da Física que estuda os fenómenos relacionados com os
movimentos dos corpos. Assim, estamos tratando fenómenos mecânicos quando
estudamos o movimento de queda de um corpo, o movimento dos planetas, a colisão de
dois automóveis, etc.
2) Calor – Como o próprio nome indica, este ramo da Física trata de fenómenos térmicos.
Portanto, a variação da temperatura de um corpo, a fusão de um pedaço de gelo, a
dilatação de um corpo aquecido, são fenómenos estudados neste ramo da Física.
3) Movimento Ondulatório – Nesta parte estudam-se as propriedades das ondas que se
propagam num meio material como, por exemplo, as ondas em uma corda ou na
superfície da água. Também são estudados, aqui, os fenómenos sonoros, porque o som
nada mais é do que um tipo de onda que se propaga em meios materiais.
4) Óptica – É a parte da Física que estuda os fenómenos relacionados com a luz. A
formação de sua imagem em um espelho, a observação de um objecto distante através
de uma luneta, a separação da luz solar nas cores do arco-íris etc., são fenómenos
ópticos.
5) Electricidade – Neste ramo da Física, incluem-se os fenómenos eléctricos e magnéticos.
Desta maneira, são estudadas: as atracções e repulsões entre os corpos electrizados, o
funcionamento dos diversos aparelhos electrodomésticos, as propriedades de um íman, a
produção de um relâmpago em uma tempestade, etc.
6) Física Moderna – Esta parte, cobre o desenvolvimento da Física alcançado no século
XX, abrangendo o estudo da estrutura do átomo, do fenómeno da radioactividade, da
teoria de relatividade de Einstein, etc.
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1. Cinemática – Movimento Rectilíneo
Introdução
1.1 Sistemas de Referência
1.2 Relatividade de Movimentos
Velocidade Relativa
1.3 Velocidade Escalar, Deslocamento e Velocidade
1.3.1 Velocidade Escalar Média
1.3.2 Deslocamento e Velocidade
1.3.3 Interpretação Gráfica de Velocidade
1.4 Velocidade Instantânea — Interpretação matemática da Velocidade Instantânea
Questionário e Exercícios
Introdução
O objectivo da Cinemática é o estudo dos movimentos, isto é, descreve a posição de um
objecto em relação a um observador. No caso da descrição dos movimentos, os principais
conceitos são posição, deslocamento, velocidade e aceleração, que precisamos de definir. Na
cinemática não se especifica a natureza do corpo móvel, nem se atende às causas que
eventualmente sejam responsáveis pelos movimentos, mas sim estabelece-se a relação entre a
posição, a velocidade e a aceleração dos móveis, e o tempo em que os movimentos se efectuam.
Para simplificar a descrição, por vezes tratam-se os objectos como partículas ou pontos
materiais1, isto é, um ponto no qual se considera toda a massa do objecto concentrada. Por
exemplo, um carro ao longo duma auto estrada ou a Terra no seu movimento em torno do sol,
podemos tratar como pontos materiais. No caso da Terra estamos interessados somente no
movimento do seu centro ignorando o seu tamanho e a sua rotação. No movimento do carro
podemos escolher qualquer ponto da carroçaria para descrever o seu deslocamento, apesar do
movimento complicado dos pontos das rodas.
1 Designa-se ponto material, a um corpo de dimensões desprezíveis em relação às distâncias consideradas no
estudo do seu movimento.
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z
y
x
P(x,y,z)
O
y
x
P(x,y)
1.1 Sistemas de Referência
Para descrever o movimento de um corpo, necessitamos de um
referencial. Referencial é um sistema de eixos no qual podemos,
em qualquer instante, localizar o corpo por intermédio das
coordenadas dos seus pontos. No caso geral, dum movimento
qualquer no espaço (por exemplo dum avião no espaço),
precisamos de três eixos x,y,z perpendiculares entre si.
A fig. 1.1 mostra como a posição P de um objecto em relação ao ponto O é determinada pelas
coordenadas x,y,z nos eixos correspondentes. Movendo-se o objecto, as suas coordenadas
variam ao longo do tempo considerando-se funções do tempo x(t), y(t), z(t),
A fig. 1.2 mostra a posição P de um objecto em relação ao ponto O, é
determinada a posição pelas coordenadas x, y. Movendo-se o objecto ao
longo do tempo, portanto são funções do tempo x(t), y(t).
Finalmente limitamo-nos a discussão do movimento ao longo duma linha recta, isto é, ao
movimento rectilíneo, que é o movimento em que um objecto descreve, em relação à Terra uma
linha recta. O referencial que convém para descrever um movimento rectilíneo
(unidimensional) deverá ter o seu eixo coincidente com a linha recta que é a trajectória do
objecto. Um exemplo deste tipo de movimento pode ser um carro movendo-se ao longo de uma
auto-estrada plana e recta. A fig. 3 mostra o exemplo de um movimento unidimensional.
Para distinguir as posições P1 e P2, a distâncias iguais do ponto O, chama-se à parte, à direita do
ponto O, o eixo positivo e à esquerda o eixo negativo, como mostra a fig. 3. A escolha do ponto
O, do eixo positivo e negativo é arbitrária, porém a escolha é essencial para a forma da função
x(t), por isso é obrigatório fazer e indicar essa escolha do referencial em cada problema..
x P2 O P1 Fig. 1.3
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1.2 Relatividade dos Movimentos
Qualquer pessoa que observe um objecto, por exemplo, um automóvel é capaz de dizer se ele
está parado ou se está em movimento. No entanto, uma análise científica da situação mostra-
nos qualquer destas afirmações é discutível. Um automóvel que esteja parado junto ao passeio,
acompanha a Terra no seu movimento. Um observador que estivesse ligado à Terra diria que o
mesmo automóvel estava em movimento. Analogamente, um ocupante de um automóvel em
movimento dirá que a mala colocada no assento, ao seu lado, está imóvel, enquanto que um
observador que, da berma da estrada vê passar o automóvel, dirá que a mesma mala está em
movimento.
O estado de repouso ou de movimento de qualquer corpo, precisa portanto, de ser referido a um
outro corpo. Diremos, por exemplo, que a mala está em repouso em relação ao automóvel mas
que está em movimento em relação à Terra. Por sua vez, o automóvel estacionado está em
repouso em relação à Terra mas em movimento em relação ao Sol. Diremos então que o estado
de repouso ou de movimento de um corpo é relativo e não absoluto.
Velocidade Relativa
Supunha que um carro A ande com velocidade constante de 80km/h e um outro carro B no
mesmo sentido ande com velocidade de 50km/h e que o carro B tenha um avanço de 10km.
Quanto tempo o carro A leva para alcançar e ultrapassar o carro B?
Neste exemplo não importam as velocidades VA e VB, mas sim a diferença das duas VA-VB.
Esta diferença chama-se velocidade relativa (de A em relação a B).
Definição de Velocidade Relativa (de A em relação a B)
BAAB VVV −= (1.0)
Em termos de sistema de referência, considera-se no exemplo presente o carro B como
referencial. Portanto, o carro A aproxima o carro B com velocidade VAB = 80-50 = 30 e precisa
de 40min para alcançar e ultrapassar o carro B.
VA = 80km/h VB = 50km/h
VAB = 30km/h
Fig. 1.4
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x -x
P’
O
P
X
Quando, no exemplo dado, os dois carros andam em sentidos contrários, a velocidade relativa
ou a velocidade com que A vai ao encontro de B é igual à:
VAB = 80-(-50) = 130km/h VA = 80km/h 50km/h = VB
VAB = 130km/h
Considerando neste caso VA positiva, consequentemente VB é negativa por ter sentido contrário
como mostra a figura.
Observação
A atribuição do sinal positivo ou negativo à velocidade dum objecto, dependendo do sentido
desta, significa que estamos a tratar deste modo o movimento unidimensional vectorialmente.
1.3 Velocidade escalar, Deslocamento e Velocidade
1.3.1 Velocidade Escalar Média
Se um móvel cobre uma distância de 200km em 5h, diz se que a sua velocidade média é
(200km)/(5h) = 40km/h. A velocidade média obtida desta maneira, denomina-se na Física
velocidade escalar média, isto é, a razão entre o percurso total percorrido e o tempo gasto no
percurso.
Velocidade Escalartotaltempo
totalpercursoMedia = (1.1)
A velocidade escalar média não diz nada sobre os detalhes da viagem. É possível que o carro
tenha sido conduzido a 40km/h durante as 5h ou possa ter andado mais rápido parte do tempo e
mais lento no restante percurso. O conceito de velocidade escalar média não diz nada sobre a
direcção do objecto em movimento; a única informação que ela nos dá é o percurso medido ao
longo da trajectória que pode ter qualquer forma, e o tempo correspondente.
1.3.2 Deslocamento e Velocidade Média
Limitando-nos aos movimentos rectilíneos escolhemos um sistema de referência, neste caso um
eixo x no qual se escolhe uma origem O. A posição P do objecto em relação ao ponto O é
definida pela distância x entre P e O, sendo x positivo à direita e negativo à esquerda.
Fig. 1.5
Fig. 1.6
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Movendo-se o objecto da distância x até a origem varia ao longo do tempo, isto significa que a
posição é uma função do tempo: x(t).
Suponhamos que o nosso objecto esteja na posição x(t1) no instante t1 (ou com outra designação
x1, a posição inicial) e na posição x(t2) no instante t2 (ou x2) a posição final. A variação da
posição da partícula x2 - x1, é o deslocamento da mesma. É habitual usar a letra grega ∆, para
indicar a variação de uma grandeza, assim a variação x é escrita como ∆x.
Definição do Deslocamento
)()( 2112 txtxxxx −=−=∆ (1.2)
A velocidade média dum objecto é definida como a razão entre o deslocamento ∆x e o intervalo
tempo ∆t = t2-t1.
Definição de Velocidade Media
O deslocamento e a velocidade média podem ser positivos ou negativos, dependendo de ser x2
maior ou menor que x1.
12
12
12
12 )()(tt
txtxttxx
txVmed −
−=
−−
=∆∆
= (1.3)
Observação
Um valor positivo indica movimento para a direita e um valor negativo indica movimento para
a esquerda.
Exemplo 1:
Sendo x1 = 18m em t1 = 2.0 s, e x2 = 3.0m em t2 = 7.0 s, calcular o deslocamento e a velocidade
média neste intervalo de tempo. Pela definição, o deslocamento é
∆x = x2 – x1 = 3.0m –18m = -15m e a velocidade média é
smsm
ssmm
ttxx
txVmed /0.3
0.515
0.20.7180.3
12
12 −=−
=−−
=−−
=∆∆
=
Portanto, o objecto move-se para a esquerda!
X1=18 m x2=3.0m O
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Exemplo 2:
Um corredor cobre 100m em 10s e depois retorna andando 50m, na direcção do ponto de
partida, em 30s. Qual é a sua velocidade escalar média e qual a velocidade média durante todo
o evento?
O percurso total percorrido é 100m + 50m =150m, e o tempo total correspondente é 40s. Então
a velocidade escalar média é (150m)/(40s) = 3.75m/s.
Para ter a velocidade média, primeiro determinamos o deslocamento, que é 50m
(tomando x1 = 0 e x2 = 50m). Portanto, a velocidade média é (50m)/(40s) = 1.25m/s. Repare
bem a diferença nas duas respostas devido às definições diferentes. O exemplo 2 mostra que a
diferença entre as definições dos conceitos de velocidade escalar média e de velocidade média é
essencial.
1.3.3 Interpretação gráfica da velocidade Média
Suponhamos que se determinem as posições x(t) dum
objecto em movimento rectilíneo. A fig.7 mostra o
gráfico das posições em função do tempo. Na figura
traçamos uma recta entre a posição inicial, identificada
como ponto P1, e a posição final, identificada pelo
ponto P2. O deslocamento ∆x = x2 – x1 e o intervalo de
tempo ∆t = t2 – t1, correspondente a estes pontos, estão
indicados na figura 1.7.
O segmento de recta entre P1 e P2 é a hipotenusa do triângulo cujos lados são ∆t e ∆x. a razão
∆x/∆t é o coeficiente angular ou inclinação deste segmento. Para um dado intervalo de tempo
∆t, quando mais inclinada for a recta, maior será o valor de ∆x/∆t. Sendo Vmed = ∆x/∆t,
chegamos à conclusão:
O coeficiente angular ou inclinação da recta, que une dois pontos do gráfico x – t, é
equivalente à velocidade média no intervalo de tempo concernente.
A velocidade média depende do intervalo de tempo em que é medida. Por exemplo, a
velocidade média no intervalo de tempo ∆t’, correspondente aos pontos P1 e P’2 da figura acima
é maior, conforme se vê pela maior inclinação da recta que passa por estes pontos.
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1.4 Velocidade Instantânea
Quando o valor da velocidade de um corpo não se mantém constante, dizemos que este corpo
está em movimento variado. Isto ocorre, por exemplo, com automóvel cujo ponteiro do
velocímetro indica valores diferentes a cada instante. O valor indicado no velocímetro a cada
instante, é a velocidade instantânea do automóvel naquele momento. Como definir a
velocidade instantânea e como determiná-la sem ajuda do velocímetro?
Tentemos que definir a velocidade instantânea no instante t1 do movimento representado pela
fig. 7 anterior. A fig. 8 abaixo é a mesma curva de x – t da figura anterior, mostrando uma
sequência de intervalos ∆t1, ∆t2, ∆t3, …, cada qual menor que o seu antecedente. Em cada
intervalo ∆t, a velocidade média é representada pela inclinação da linha de intersecção
pontilhada, pertencente ao intervalo.
Fig. 1.8
A figura mostra que, enquanto os intervalos de tempo diminuem, as rectas tornam-se mais
inclinadas, mas não mais inclinadas que a tangente à curva no ponto correspondente a t1. A
interpretação disto é importante:
Pretendendo definir a velocidade instantânea no momento t1, consideramos a velocidade média
no intervalo de tempo, t1 até t2. Diminuindo este intervalo de tempo, o ponto P2 aproxima-se
cada vez mais do ponto P1. Simultaneamente a inclinação da recta de intersecção entre P1 e P2,
quer dizer a velocidade média no intervalo considerado, aproxima-se cada vez mais da
inclinação da tangente no ponto P1. Portanto, definimos graficamente a velocidade instantânea
no instante t1 como a inclinação da tangente à curva no ponto P1.
Definição gráfica de Velocidade Instantânea:
v(t) = inclinação da tangente à curva x(t) (1.4)
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Exemplo 3:
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x(m)
0
2
4
6
8
10
0 1 2 3 4 5 6
t (s)
x(m)
Dum certo movimento está dado o gráfico x - t, como mostra a fig. 9.a. Determine a velocidade
instantânea no instante t = 2.0s.
Para resolver este problema, temos que traçar a tangente à curva no instante t = 2.0s, como
mostra a fig. 9.b, e determinar a inclinação desta tangente, escolhendo dois pontos apropriados
na mesma recta para executar o procedimento.
smv /22.10.42.08.5)0.2( =
−−
=
Repare Bem: Os dois pontos na tangente para determinar a inclinação desta recta, e,
por conseguinte, para determinar a velocidade instantânea no instante t = 2.0s, não
fazem parte da própria curva x – t!
Exemplo 4:
A posição, em relação ao ponto de partida, de uma pedra que cai do alto de uma montanha, a
partir de repouso, é dada por x(t) = 5t2, onde x está em metros e t em segundos. Como se obtém
a função de um objecto em queda livre mostrar-se-á futuramente. Calcule o deslocamento e a
velocidade média em intervalos de tempo ∆t cada vez menores, partindo todos eles em
t = 2,0s. Tomando t1 sempre igual a 2.0s e variando t2 de tal maneira que ∆t = t2 – t1 fique cada
vez menor, aproximando-se assim a zero, podemos calcular ∆x = x(t2) – x(t1) e vmed = ∆x/∆t.
Fig 1.9.a Fig.1.9 b
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A tabela mostra o resultado deste cálculo.
∆t (s) ∆x (m) ∆x/∆t (m/s)
1.00 25.0 25.0
0.500 11.25 22.5
0.200 4.20 21.0
0.100 2.05 20.5
0.050 1.0125 20.25
0.010 0.2005 20.05
0.001 0.020005 20.005
A tabela mostra claramente que, quanto menor for o intervalo ∆t, mais se aproxima vmed do
valor 20m/s. Portanto, a velocidade instantânea no instante t = 2.0s é igual a 20m/s.
Matematicamente, este exemplo seria:
Sendo a função da posição dada por x(t) = 5t2, a posição de pedra no instante t1 é: x(t1) = 5t2.
Num instante posterior t2 = t1 + ∆t a posição é x(t2), dada por:
x(t2) = 5t22 = 5.(t1 + ∆t)2 = 5.[t1
2 + 2.t1. ∆t + (∆t)2]
= 5.t12 + 10.t1. ∆t + 5.( ∆t)2.
O deslocamento, neste intervalo de tempo, é: ∆x = x(t2) – x(t1) = 10.t1. ∆t + 5.( ∆t)2
A velocidade média, neste intervalo de tempo é: tttxVmed ∆+=∆∆
= .5.10 1
A medida que consideramos intervalos de tempo cada vez mais curtos, ∆t se aproxima de zero e
a segunda parcela 5. ∆t também se aproxima de zero, enquanto a primeira permanece
inalterada. A velocidade instantânea no instante t1 é, então:
101 10lim)( ttxtv
t=
∆∆
=→∆
Preenchendo nesta expressão t1 = 2.0s, encontramos de novo o valor da velocidade instantânea
v(2.0) = 20m/s. A partir deste tratamento podemos formular a definição matemática da
velocidade instantânea.
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Definição de Velocidade Instantânea:
A velocidade instantânea é igual ao limite do quociente ∆x/∆t, quando ∆t tende a zero; este limite é igual à inclinação da tangente à curva x(t):
dtdx
txtv
t=
∆∆
=→∆ 0
lim)( (1.5)
dx/dt chama-se derivada de x em relação a t;
Uma vez conhecida a função x(t), podemos aplicar as regras do cálculo diferencial para
encontrar a velocidade em função do tempo, isto é, a velocidade instantânea em qualquer
instante .
Questionário:
1. A distância da terra ao Sol é cerca de 104 vezes maior do que o diâmetro da Terra. Ao
estudarmos o movimento da Terra em torno do Sol, acha que pode ser tratada como ponto
material?
2. Dois carros A e B deslocam-se numa estrada plana e recta, ambos no mesmo sentido. O
carro A desenvolve uma velocidade de 60km/h e o carro B, um pouco mais à frente,
desenvolve também uma velocidade de 60km/h.
a) A distância entre A e B está variando?
b) Para um observador em A o carro B está parado ou em movimento?
3. Um satélite artificial, de 10m de raio, está girando em torno da Terra a uma altura de
500km. Sabe-se que o raio da Terra vale cerca de 6000km. No estudo deste movimento:
a) A Terra pode ser considerada um ponto material?
b) E o satélite?
4. Uma pessoa que se encontra sentada num comboio que se desloca com velocidade
constante, deixa cair um objecto. Descreva o movimento do objecto visto:
a) Por esta pessoa;
b) Por um observador colocado na plataforma pela qual passa o comboio;
5. Um carro desloca-se durante 4h à uma velocidade constante de 30km/h. Depois ele passa a
desenvolver uma velocidade de 80km/h durante uma hora. Calcule a velocidade escalar
média do carro no percurso total;
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6. Um estudante calculou a velocidade média no problema anterior como sendo a média
aritmética das duas velocidades desenvolvidas. Justifique porque é que este método está
errado.
7. Quando Vmed = 0 num dado intervalo de tempo ∆t, a velocidade instantânea deve ser zero
num certo instante dentro deste intervalo? Justifique a sua resposta mediante o gráfico de
uma curva de x-t em que ∆x = 0 num intervalo ∆t correspondente.
Exercícios
1. Desenhe um sistema de referência tridimensional com eixos ortogonais, indique no mesmo
os pontos P(2,4,1) e M(1,6,4) e determine a distância entre P e M.
2. A tabela abaixo dá as distâncias de um objecto em relação a uma certa origem, medidas em
certos instantes.
t(s) 0.6 1.5 2.0 2.8 3.5 4.4 5.1
x(m) 1.8 4.5 6.0 8.4 10.5 13.2 15.3
a) Construa o gráfico x-t;
b) Caracterize o movimento;
c) Determine a inclinação do gráfico;
d) Qual é o significado físico desta inclinação;
e) Mantendo este movimento qual é a distância até a origem no momento t = 17.0s;
3. Um objecto move-se em linha recta. A distância até a origem é dada por: x(t) = 5 + 2t2 (t em
s, x em m).
a) Faça uma tabela dos valores de x(t) e t, tomando t = 0, 1, 2, 3, 4, 5s;
b) Construa o gráfico x-t
c) Calcule a velocidade média no intervalo de t = 2.0s até t = 50s;
4. Dois comboios movem-se ao longo de caminhos paralelos um ao encontro do outro com
velocidades de 36km/h e 54km/h respectivamente. Um passageiro no primeiro comboio
observa que a passagem do outro leva 10s. Determine o comprimento do segundo comboio.
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5. Um atleta vai de uma aldeia à outra percorrendo metade do caminho com uma velocidade
V1=12km/h, logo a seguir percorre metade do tempo que lhe resta com velocidade
V2=6km/h, para depois percorrer o resto da distância com uma velocidade V3=4m/s.
a) Faça o desenho do problema num sistema unidimensional;
b) Determine a velocidade média do atleta durante todo o percurso;
c) Calcule a distância total que separa as aldeias;
6. No gráfico x(t) abaixo calcule:
a) A velocidade média entre os instantes t=0,0s e t=6,0s
b) A velocidade instantânea em t=5s mediante a medida da inclinação da tangente.
0
1
2
3
4
5
6
7
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
t(s)
x(m)
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2. Movimento Rectilíneo (continuação)
Índice
Introdução
2.1 Movimento Uniforme
2.2 A área sob o gráfico v-t
2.3 Movimento Variado
2.3.1 Movimento Uniformemente Acelerado
2.4 Aceleração
2.5 Queda Livre
2.6 Relações Gerais entre x(t), v(t), a(t)
Questionário e Exercícios
Introdução
No capítulo anterior iniciamos a descrição de movimentos introduzindo as noções necessárias,
como sistemas de referência, deslocamento, velocidade média e velocidade instantânea.
Definindo o conceito de velocidade, distinguimos entre a velocidade escalar e velocidade
média. Neste capítulo vamos completar essa teoria e aplicá-la a certos tipos de movimentos
rectilíneos, nomeadamente o movimento uniforme e o movimento uniformemente acelerado.
2.1 Movimento Uniforme
Movimento uniforme é, como já se sabe do curso geral, o movimento de um corpo que percorre
espaços iguais em intervalos de tempo iguais, isto é, em que a velocidade é constante. Nesta
definição não se refere à forma da trajectória do movimento, pelo que se admite que possa ter
uma forma qualquer. Se este movimento efectuar-se numa trajectória de linha recta, sob as
mesmas condições acima descritas este chamar-se-á movimento rectilíneo uniforme.
Por ser o caso mais simples, começamos por estudar o movimento uniforme com trajectória
rectilínea e as conclusões a que chegarmos serão posteriormente alargadas a uma trajectória
qualquer. Suponha que um carro ande a velocidade constante de 20m/s numa estrada recta.
Durante 1s o carro desloca-se 20m; durante 2s 40m; durante 3s 60m; etc. Para determinar a
velocidade média podemos dividir qualquer deslocamento pelo intervalo de tempo
correspondente.
sms
ms
msmvm /20
0.360
0.240
0.120
====
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Note-se entretanto, que no movimento uniforme e rectilíneo o corpo desloca-se em linha recta
sempre no mesmo sentido, e que, portanto, o módulo do deslocamento x∆ , coincide com o
espaço percorrido seja qual for o intervalo de tempo ∆t considerado. De acordo com a definição
do movimento uniforme, diremos que nesse movimento os espaços percorridos pelo corpo são
directamente proporcionais aos intervalos de tempo gastos em percorre-lo. Este é o enunciado
da chamada lei dos espaços do movimento uniforme. A sua expressão matemática será:
ktx=
∆∆ (2.1)
A grandeza constante K tem um valor numérico igual ao do espaço percorrido numa unidade de
tempo. Esta grandeza é designada velocidade do ponto material.
Lei do Movimento Uniforme
O deslocamento de um móvel, em movimento rectilíneo e uniforme é directamente proporcional
ao intervalo de tempo em que se efectua.
Portanto, neste caso há coincidência entre a velocidade média e a velocidade de um ponto
material: vm = v. Segundo a definição (1.3) do capítulo anterior: ktxvvm =∆∆
==
Exemplo 1:
Um automóvel percorre uma distância de 150km desenvolvendo, nos primeiros 120km, uma
velocidade média de 80km/h e, nos restantes 30km uma velocidade média de 60km/h.
a) Qual é o tempo total da viagem;
b) Qual é a velocidade média do automóvel no percurso total?
a. Conhecendo-se à distância percorrida e a velocidade média a relação txvm ∆
∆= nos fornece
mvxt ∆
= . Então, na primeira parte do percurso, o tempo gasto foi: 80
1201 =t ou t1=1.5h; na
segunda parte do percurso teremos: 6030
2 =t ou t2=0.5h. Assim o tempo total de viagem foi:
t = t1 + t2 = 1.5h + 0.5h = 2.0h.
b. Sendo de 150km a distância total percorrida e 2.0h o tempo total de viagem, a velocidade
média neste percurso, terá sido: hkmh
kmvm /750.2
150== .
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0 t
x0
x
Expressão Analítica da Lei do Movimento Uniforme:
Sendo ∆x um deslocamento qualquer e ∆t o intervalo de tempo correspondente, tomando o
intervalo de tempo de 0 até t, o deslocamento ∆x é )0()( xtx − , então: 0
)0()(−−
=t
xtxv ou
)0()(. xtxtv −= . Consequentemente a função do movimento uniforme será:
tvxtx .)0()( += Utilizaremos na expressão muitas vezes o símbolo x0 em vez de x(0), portanto teremos:
tvxtx .)( 0 += (2.2)
A função (2.2) descreve a posição dum objecto em função do tempo para o caso geral do
movimento uniforme.
As figuras 2.1.a e 2.1.b mostram os gráficos x-t e v-t deste movimento no caso de velocidade
positiva, e as figuras 2.2.a e 2.2.b mostram os gráficos no caso de velocidade negativa. Note
que a inclinação do gráfico x-t representa o valor da velocidade, que é valor constante no
gráfico v-t.
Fig. 2.1.a Fig. 2.1.b
x v xo 0 0 t t Fig. 2.2.a Fig. 2.2.b
0 t
v
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t1 0
v
t
v
2.2 A área sob o gráfico v-t A lei do movimento uniforme é, como já vimos, uma relação de proporcionalidade directa.
Como já se sabe da matemática, uma relação deste tipo é traduzida graficamente por uma linha
recta.
Fig. 2.3.a Fig. 2.3.b
Como já vimos anteriormente, estas figuras são os gráficos v-t do movimento uniforme. Na fig.
2.3.a a área tracejada representa o produto v.t1, que segundo a equação 2.2, é igual ao
deslocamento entre os instantes 0 e t1, isto é, ∆x = x(t1) – x0. Pela mesma razão é, na fig. 2.3.b a
área tracejada igual ao deslocamento entre os instantes t1 e t2;
v.(t2 – t1) = v.t2 – v.t1 = (x0 – v.t2) – (x0 – v.t1) = x(t2) – x(t1) = ∆x
Portanto:
O deslocamento dum objecto, movendo-se a velocidade constante, é equivalente à área sob o
gráfico v-t entre os momentos correspondentes. É de notar que, com auxílio da área sobre
gráfico v-t, só podemos determinar o deslocamento, mas não a posição do objecto.
No caso em que a velocidade seja negativa, como a parte B da figura abaixo, o deslocamento,
portanto a área da parte B, é também negativo.
v
A
B t
Fig. 2.6
x
v
0 t1 t2 t
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Exemplo 2:
Um automóvel, em frente a um sinal de tráfego, logo que a luz
verde se acendeu, arrancou com uma velocidade variando de
acordo com o gráfico. Depois de decorridos 10s, qual a distância
que o carro percorreu?
Como o movimento é variado (a velocidade variou de v=0 a v=2m/s em 10s), a distância
percorrida deverá ser calculada através da área sob o gráfico v-t. Na figura, esta área é a do
triângulo mostrado, cuja base corresponde ao tempo de 10s e a altura corresponde à velocidade
de 20m/s. Então, como para um triângulo temos área = (base * altura)/2 virá:
mx 1002
20*10==∆
2.3 Movimento Variado
Os movimentos que conhecemos na vida prática não são, em geral uniformes; as velocidades
dos móveis variam com o tempo não só em direcção e sentido, mas também em módulo.
Chama-se a estes movimentos variados.
2.3.1 Movimentos Acelerados e Retardados
Um movimento é acelerado se o módulo da sua velocidade aumenta; é retardado se o módulo
da sua velocidade diminui. No caso de o movimento ser rectilíneo, o carácter de acelerado ou
retardado entre duas posições P1 e P2 está relacionado com o sentido da variação da velocidade
do móvel entre as mesmas posições. Esta variação é definida por:
12 vvv −=∆ (2.3)
Se ∆v tem o sentido de v, isto é, o sentido do movimento, este é acelerado: 12 vv > ; se ∆v tem
o sentido contrário, o movimento é retardado: 12 vv < . É evidente que só podemos ter
movimento retardado se a velocidade inicial não for nula.
0
20
10
v(m/s)
t(s)
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2.3.2 Movimento Uniformemente Variado
Um movimento diz-se uniformemente variado quando a sua velocidade varia de quantidades
iguais em intervalos de tempos iguais.
Lei das Velocidades do Movimento Uniformemente Variado
Nos movimentos uniformemente variados, a variação da velocidade é directamente
proporcional ao intervalo de tempo em que se verifica essa variação. Portanto:
ktv=
∆∆ , com k constante
2.4 Aceleração
Definição
A aceleração média am dum objecto em movimento é o quociente entre a variação da
velocidade ∆v e o intervalo de tempo correspondente ∆t.
Matematicamente:
tvam ∆
∆= (2.4)
A unidade da aceleração segue da definição:
[ ] 2/1*/ smss
ms
sma ===
O conceito aceleração descreve como a velocidade se altera: o aumento ou diminuição da
velocidade por segundo. Para a = 2m/s2 significa que, em cada segundo a velocidade aumenta
em 2m/s. O sinal da aceleração depende do sinal da variação da velocidade ∆v, pois ∆t sempre
é positivo. Neste caso ∆v>0 quer dizer a>0 e ∆v <0 também a <0.
Mas repare bem: a>0 pode significar tanto uma aceleração como retardação. O mesmo vale
para a<0.
A figura 2.5, mostra esquematicamente as quatro possibilidades. É de salientar que se fala dum
movimento acelerado quando o valor absoluto da velocidade aumenta, e dum movimento
retardado, quando o valor absoluto da velocidade diminui.
As situações a e b da figura esclarecem; em ambos casos o valor absoluto da velocidade
aumenta e, por isso fala-se dum movimento acelerado.
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Entretanto, no caso “a” a aceleração é positiva e no caso “b” negativa, por causa dos sentidos
das velocidades v1 e v2 e, por consequência o de ∆v.
0 x a.
movimento acelerado com a > 0 b.
movimento acelerado com a < 0 c. movimento retardado com a < 0 d.
2.4.1 Movimento Uniformemente Acelerado
Um movimento rectilíneo uniformemente acelerado é todo aquele em que a aceleração é
constante. Pelo facto de a aceleração ser constante, também mantêm-se constante a aceleração
média.
Portanto: tvaa m ∆
∆==
Em que ∆t é um intervalo qualquer de tempo e ∆v a variação correspondente da velocidade.
Tomando o intervalo de tempo ∆t de 0 até t, a variação da velocidade correspondente é
)0()( vtv − ; então: t
vtva )0()( −= ou )0()(* vtvta −=
consequentemente a equação do movimento rectilíneo uniformemente acelerado será:
tavtv *)( 0 += (2.5)
V1 V2 ∆v > 0 a > 0
V2 V1 ∆v < 0 a <0
V1 V2 ∆v < 0 a < 0
V2 V1 ∆v a > 0
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v(t)
v0
t
∆v = v(t) – v0
∆t = t - 0
A figura 2.8 mostra o gráfico correspondente a este tipo de movimento: a curva v(t) é uma linha
recta (neste caso v0 e a são ambos positivos).
Para derivar a função x(t) podemos aplicar o princípio explicado na secção anterior; a área sob
o gráfico v-t é equivalente ao deslocamento. Na figura 2.8 acima a área tracejada é equivalente
à: 0)( xtxx −=∆ ; esta área tem duas partes:
• um rectângulo com área: v0.t
• um triângulo com área: ])(.[21
0vtvt −
Segundo a equação 2.5: tavtv *)( 0 =− ; portanto a área do triângulo é: 2
21*
21 atatt = ;
adicionando as áreas teremos:
200 2
1)( attvxtxx +=−=∆ e rescrevendo a equação anterior obteremos a função do movimento
rectilíneo uniformemente acelerado:
200 *
21)( tatvxtx ++= (2.6)
Podemos obter a expressão (2.5) derivando em relação ao tempo a expressão (2.6)
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2.5- Queda Livre
Queda dos Corpos
Entre os diversos movimentos que ocorrem na natureza, houve sempre interesse no estudo do
movimento de queda dos corpos próximos à superfície da Terra. Quando abandonamos um
objecto (uma pedra por exemplo) de uma certa altura, podemos verificar que ao cair, sua
velocidade decresce, isto é, o seu movimento é acelerado.
Se lançarmos um objecto para cima, sua velocidade diminui gradualmente até se anular no
ponto mais alto, isto é, o movimento de subida é retardado. As características destes
movimentos de subida e descida foram objecto de estudo desde há tempos bastante remotos.
Queda Livre
Como deve ter visto muitas vezes, ao deixarmos cair uma pedra e uma pena ao mesmo tempo, a
pedra cai mais depressa, assim afirmava Aristóteles. Entretanto, isto ocorre porque o ar exerce
um efeito retardador na queda de qualquer objecto e que este efeito exerce maior influência
sobre o movimento da pena do que sobre o movimento da pedra.
De facto se deixarmos cair a pedra e a pena dentro de um tubo, do qual se retirou o ar (foi feito
vácuo no tubo), verifica-se que os dois objectos caem simultaneamente, como afirmava Galileu.
O movimento de queda dos corpos no vácuo ou no ar, quando a resistência do ar é desprezível,
é denominado queda livre.
Aceleração de Gravidade
Conforme já foi dito, o movimento de queda livre é acelerado. Com suas experiências, Galileu
conseguiu verificar que o movimento é uniformemente acelerado, isto é, durante a queda o
corpo cai com aceleração constante.
Esta aceleração é denominada, aceleração de gravidade, e é representada pela letra “g”, que
segundo experimentalmente concluiu-se que o seu valor é o mesmo para todos os corpos em
queda livre. O valor de “g” é cerca de 9.8m/s2 (o valor depende de certa maneira do local da
Terra: 9.83m/s2 nos pólos, 9.78m/s2 no equador).
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Então se a força de gravidade for a única que actua no objecto, podemos substituir nas equações
(2.5) e (2.6) a aceleração “a” por “g”, para descrever este movimento vertical. Portanto, as
equações x(t) e v(t) para a queda livre serão:
200 *
21)( tgtvyty ++= (2.7)
tgvtv *)( 0 += (2.8)
Importante: O valor de y0 depende da escolha do referencial, isto é, da escolha do local da
origem e da escolha do eixo positivo e negativo. Dependendo desta escolha os valores de v0 e g
são positivos ou negativos.
Exemplo 3:
Duma altura de 80m, lança-se uma bola verticalmente para cima. Ao sair da mão, a bola tem
uma velocidade inicial de 30m/s.
a) Faça uma escolha do referencial e escreva as
equações para descrever o movimento referido.
b) Em que instante e com que velocidade a bola atinge o
chão?
c) Em que instante a bola atinge o ponto mais alto e qual
essa altura?
d) Trace os gráficos y-t e v-t
a. Pode-se escolher um sistema de referência de diferentes maneiras. A escolha tem influência
nas equações mas não na solução. Aqui se escolhe a origem do eixo de referência na Terra e o
eixo positivo para cima.
Uma vez que v0 está dirigida para cima no sentido do eixo positivo, ela é positiva: v0 = +30m/s.
Entretanto, g está dirigida para baixo, no sentido do eixo negativo, portanto g é negativo:
g = -10m/s2, (utilizando o valor arredondado).
Então as equações do movimento serão:
y(t) = 80 + 30t – 5t2
v(t) = 30 – 10t
V0 = 30m/s y
0
80m g = -10m/s2
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b. No chão é válido: y(t) = 0
Portanto: 80 + 30t – 5t2
5t2 – 30t – 80 = 0
t2 – 6t – 16 = 0
(t – 8)(t + 2) = 0
Daí: t = 8.0s ou t = -2.0s
t = -2.0s não tem significado físico, pois a bola foi lançada no instante t = 0s.
A velocidade da bola, ao atingir o chão:
v(8) = 30 – 10*8 = -50m/s (negativo, pois o sentido da velocidade no chão é para baixo, no
sentido do eixo negativo).
c. No ponto mais alto v(t) = 0
então: 30 – 10t = 0 t = 3.0s
A distância até a origem no momento t = 3.0s: y(3) = 80 + 30*3 – 5*32 = 125m.
d. Veja os gráficos abaixo:
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
0 1 2 3 4 5 6
t(s)
v(m)
Fig. 2. 10.b
0
20
40
60
80
100
120
140
0 1 2 3 4 5 6 7 8
t(s)
x(m)
Fig.2.10.a
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2.6 Relações Gerais entre x(t), v(t) e a(t)
Mostrou-se no Capítulo 1 que a velocidade instantânea v(t) é igual a derivada, em relação ao
tempo t, da posição x(t).
Matematicamente:
dtdxtxtv == )()( ' (2.9)
A partir da definição da aceleração média, passando ao limite do quociente ∆v/∆t, pode-se
mostrar que a aceleração num certo instante, ou a aceleração instantânea é igual à derivada
de v em relação a t:
dtdvtvta == )()( ' (2.10)
Isto significa que, no gráfico v-t, a aceleração num certo instante é equivalente à inclinação à
curva v(t).
Nota:
Num gráfico v-t que seja linha recta, a inclinação desta recta representa a aceleração num dado
intervalo de tem correspondente.
Para um gráfico v-t que seja uma curva, traça-se uma recta tangente num dado tempo t e
escolhem-se dois pontos nesta recta tangente para encontrar a inclinação da mesma, que é
equivalente à aceleração.
Questionário:
1. Uma pessoa informa-lhe que um corpo está em movimento rectilíneo uniforme:
a) O que esta indicado pelo termo rectilíneo?
b) E pelo termo uniforme?
2. Quando um corpo está em movimento uniforme, com velocidade v, qual é a expressão
matemática que nos permite calcular a distância x que ele percorre após decorrido um
tempo t?
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3. Um automóvel desloca-se em linha recta. Classifique o movimento supondo que:
a) O ponteiro do velocímetro indica sempre o mesmo valor.
b) A posição do ponteiro varia de um instante para o outro.
4. No movimento uniforme vimos que o gráfico x-t é uma recta passando pela origem e sua
inclinação nos fornece o valor da velocidade. No movimento variado, o gráfico x-t é ainda
uma linha recta?
5. Um automóvel, desloca-se em linha recta, tem sua velocidade variando com o tempo de
acordo com a tabela deste exercício.
v(m/s) 10 12 14 16 16 16 15 18 20
t(s) 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0
a) Em que intervalo a aceleração do carro se anula?
b) Em que intervalo a aceleração é negativa?
c) Em que intervalo o movimento é uniformemente acelerado?
6. Um corpo em movimento uniformemente variado, com velocidade inicial v0 e aceleração a,
percorre uma distância x. Qual é a equação que nos permite calcular a velocidade no fim do
percurso em função destes dados. ( Repare que o tempo t não é dado do problema).
7. Um corpo, partindo de repouso, desloca-se em linha recta com aceleração constante.
a) Que tipo de relação existe entre x e t?
b) Faça um desenho mostrando o aspecto do gráfico x-t.
8. Duas partículas têm no instante t =0 uma distância mútua d e movem-se ao longo de uma
linha recta com velocidades iguais e contrárias. Determine a função que descreve a
distância entre elas em função do tempo.
9. Abandonando um objecto duma certa altura, sem velocidade inicial, as funções x(t) e v(t)
do objecto simplificam-se bastante. Escreva essas funções neste caso, tomando o ponto de
partida como origem e o eixo positivo para baixo.
10. Dê exemplo de um movimento em que a velocidade seja negativa, mas a aceleração
positiva. Esboce um gráfico v-t que representa este caso. Faça o mesmo para o caso em que
a velocidade e a aceleração sejam negativa.
11. É possível um corpo ter velocidade nula e aceleração diferente de zero?
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Exercícios:
1. Uma pessoa fornece-lhe a equação da posição em função do tempo dum objecto que se
desloca em linha recta: x(t) = 6t + 2,5t2 (t em s e x em m). A partir desta informação
determine:
a) O tipo de movimento e a velocidade inicial do objecto;
b) A aceleração do movimento;
2. Duas pessoas movem-se ao longo de uma estrada recta ao encontro um do outro. A pessoa
A tem uma velocidade de 18km/h e a pessoa B 36km/h. No instante t = 0s a distância entre
elas é de 75m.
a) Escolhendo o local, onde se encontra a pessoa A no instante t = 0s, como a origem, escreva
as funções XA(t) e XB(t);
b) Calcule o momento e o lugar de encontro das duas pessoas;
c) Faça um gráfico com as duas funções XA(t) e XB(t) e verifique a partir do gráfico a resposta
à pergunta b;
3. Dois corpos A e B movem-se no mesmo sentido. O corpo A tem uma velocidade constante
de 10m/s. O corpo B está em movimento uniformemente acelerado com uma aceleração de
1.6m/s2 e a velocidade inicial é zero. No instante t = 0s eles encontram-se na origem.
a) Escreva as duas funções XA(t) e XB(t);
b) Quanto tempo decorre para B alcançar A?
c) Faça um gráfico com as duas funções;
d) Qual é o instante em que A e B têm a mesma velocidade;
e) Explique que neste instante a distância entre A e B é máxima;
4. Um astronauta na Lua, lançou um objecto verticalmente para cima, com uma velocidade
inicial de 8,0m/s. O objecto gastou 5,0s para atingir o ponto mais alto da sua trajectória.
Com estes dados calcule:
a) O valor da aceleração de gravidade na Lua;
b) A altura que o objecto alcançou;
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29
5. Lançou-se um objecto A verticalmente para cima com velocidade inicial de 30m/s.
Simultaneamente lançou-se um objecto B para baixo com
velocidade inicial 10m/s, de uma altura de 40m.
a) Escreva para os dois objectos as funções x(t) e v(t); tomando
o sistema de referência, cuja origem está no chão;
b) Calcule o momento e a altura de encontros dos dois objectos;
6. A figura deste problema é um gráfico v-t para um automóvel ao arrancar diante de um
semáforo, quando a luz verde se acendeu.
a) Qual é a distância equivalente à área de cada malha?
b) Qual é o percurso do carro até o instante t=5.0s;
c) Qual foi a velocidade média do carro no instante
t = 0,0s a t = 5,0s?
d) Esboce o gráfico a-t deste movimento;
7. Os movimentos de três carros A, B e C em uma rua estão representados no gráfico v-t da
figura deste problema. No instante t = 0,0s, os três carros estão um ao lado do outro e
situados a uma distância de 140m de um sinal de trânsito proibido.
a) Descreva o movimento de cada
carro;
b) Usando o gráfico, verifique se
algum deles avançou o sinal;
c) Desenhe os gráficos XA(t),
XB(t) e Xc(t) numa única figura;
8. Miriam, a namorada do super-homem, é empurrada do alto de um edifício de 180m de
altura e cai em queda livre. O super-homem chega ao alto do edifício 4.0s após o início da
queda da Miriam e, parte com velocidade constante para salvá-la. Qual é o mínimo valor de
velocidade que o super-homem deve desenvolver para alcançar sua namorada antes que ela
chegue ao chão. Considere g = 10m/s2.
0
5
10
15
20
25
30
35
0 2 4 6 8 10 12 14
t(s)
v(m/s)
A
BC
0
5
1 0
1 5
2 0
2 5
0 1 2 3 4 5
t ( s )
v ( m / s )
40m
B V0B=10m/s
V0A=30m/s A
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30
9. Um corpo é atirado de baixo para cima com uma velocidade v1 = 3.1m/s. Quando atinge o
seu ponto mais alto, do mesmo ponto de partida e mesma velocidade atira-se um segundo
corpo de baixo para cima.
a) Desenhe um sistema referencial indicando os dois corpos em movimento e determine o
tempo e o local de encontro dos dois
10. A posição de uma partícula em movimento é determinada pela seguinte expressão:
x(t) = 3t2 + 4t + 7, onde x é em metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade da partícula 10s depois;
b) Determine a aceleração nesse mesmo instante;
c) Qual é o percurso total coberto pela partícula?
d) Explique graficamente os resultados obtidos;
11. Dois carros vão um ao encontro do outro. Um deles movimenta-se com uma velocidade de
18km/h e o seu movimento é retardado, com uma aceleração de 20cm/s2. O outro
movimenta-se com uma velocidade de 5.4km/h e o seu movimento é acelerado com uma
aceleração de 0.2m/s2.
a) Depois de quanto tempo os dois carros se encontram?
b) Qual é o percurso percorrido por cada uma destes carros se a distância que os separava era
de 130m?
c) Resolva o problema graficamente;
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31
3. Cinemática - Movimento Curvilíneo
Índice
Introdução
3.1 Grandezas Vectoriais e Escalares
3.2 Vectores
3.2.1 Propriedades dos Vectores
3.2.3 Componentes de um Vector
3.3 Vector Velocidade
3.3.1 Vector posição e vector deslocamento
3.3.2 Vector velocidade média
3.3.3 Vector velocidade instantânea
3.4 Vector aceleração
3.5 Lançamentos horizontais
3.6 Movimento circular uniforme
3.6.1 Velocidade tangencial (ou escalar)
3.6.2 Velocidade angular
3.6.3 Relação entre velocidade tangencial e velocidade angular
3.6.4 Aceleração centrípeta
Questionário e Exercícios
Introdução
Neste capítulo vamos aplicar a descrição de movimentos de um objecto para os casos gerais do
movimento em duas ou três dimensões. Neste movimento geral, o deslocamento, a velocidade e
a aceleração são vectores. Discutiremos as diferenças essenciais entre grandezas vectoriais e
grandezas escalares, bem como as propriedades do cálculo vectorial.
3.1 Grandezas Vectoriais e Escalares
Na vida prática estamos habituados a lidar com uma série grandezas como, por exemplo o
volume de um corpo, a área de um terreno, a temperatura de um objecto, etc. Assim dizemos
que o volume de uma lata de tinta é de 5 litros, a área coberta por uma sala de aulas é de 200m2
ou que a temperatura de um indivíduo é de 400C.
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32
Entretanto, todas as grandezas aqui mencionadas são completamente conhecidas quando
especificamos o seu valor, isto é, o seu módulo (magnitude), e a unidade usada na medida.
Portanto, uma GRANDEZA ESCALAR é aquela que só tem módulo ou valor numérico. Os
escalares somam-se pelos métodos comuns da álgebra,; por exemplo: 2S + 5S = 7S.
Por outro lado, uma GRANDEZA VECTORIAL é aquela que para além do módulo, possui
direcção e sentido, portanto, uma grandeza vectorial só fica completamente determinada
quando são conhecidos o seu módulo, a sua direcção e o seu sentido. Por exemplo :
1) Deslocamento - avião que voa a uma distancia de 160km para o sul;
2) Velocidade - um carro que anda à 20km/h para leste;
3) Força – uma força de 10N aplicada a um corpo na vertical e com sentido para cima;
3.2 Vectores
Como vimos existe uma diferença entre grandezas vectoriais e escalares e definimos
anteriormente, uma grandeza vectorial é aquela que tem para além de módulo, sentido e
direcção, é necessário que tenhamos uma representação do símbolo desta grandeza que nos
facilite estas duas grandezas.
Fig. 3.1
Em caso de grandezas vectoriais escrevemos uma flecha por cima do símbolo, por exemplo, a
força →
F (vector força), velocidade →
v , etc. Quando nos referimos apenas ao módulo de um
vector, deixamos de colocar a flecha sobre a letra que o representa, escrevendo simplesmente F,
v, etc. →
F : representa o vector (módulo, sentido e direcção);
F: representa apenas o módulo;
B
a A
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33
3.2.1 Propriedades dos Vectores
Igualdade
Dois vectores →
A e →
B são iguais, por definição quando têm o mesmo módulo, o mesmo sentido
e direcção. Não se exige que os pontos inicial e final do vector sejam coincidentes para serem
iguais.
N.B: deslocar um vector no espaço, sem mudar a sua direcção e sentido deixa o vector
inalterado.
Adição Vectorial (geometricamente)
A resultante de dois vectores cujas direcções formam um ângulo se representa por um vector
cuja direcção é a diagonal do paralelogramo formado com os vectores dados e a origem
coincide com a origem comum de ambos.
(a) (b)
→→→
+= bac Fig. 3.2
Uma outra alternativa para determinar graficamente a soma de dois vectores é deslocar o vector →
a colocando a sua origem na extremidade do vector →
b . O vector resultante terá neste caso a
sua origem coincidente com a origem do vector →
b e a sua extremidade coincidente com a
extremidade do vector →
a , como mostra a Fig. 3.2 (b).
Subtracção Vectorial (geometricamente)
Para subtrair um vector →
A dum vector →
B basta somar geometricamente, o vector →
A com o
oposto do vector →
B .; quer dizer: )(→→→→
−+=− BABA .
→
c
→
b
→
a →
c
→
b →
a
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34
θ
→
V vy
vx
y
x 0 B
A
3.2.2 Componentes de um vector
Componente de um vector segundo uma direcção, é a projecção ortogonal do vector sobre a
dita direcção. Por exemplo, a componente horizontal de um vector é a sua projecção sobre a
direcção horizontal.
Consideremos o vector →
v representado na figura 3.3. Tracemos a partir da origem 0 do vector,
os eixos perpendiculares 0X e 0Y. Da extremidade de →
v ,
tracemos uma perpendicular sobre 0X. Assim estamos
projectando o vector →
v sobre o eixo 0X e obtemos o vector →
xv mostrado na figura. Este vector →
xv denomina-se
componente do vector →
v segundo a direcção do eixo 0X.
Do mesmo modo, podemos obter a componente de →
v sobre o eixo 0Y, projectando-se sobre
este eixo. Esta componente →
yv , é também mostrada na figura. Vx e Vy são denominadas
componentes rectangulares do vector →
v .
Para calcular matematicamente os valores das componentes, podemos usar as relações de um
triângulo rectângulo:
hipotenusaaopostocatetoSen θθ = e
hipotenusaaadjacentecatetoCos θθ =
Teremos para o triângulo OAB da figura
vv
Sen y=θ donde θvSenvy = e vv
Cos x=θ donde θvCosvx =
N.B: Para calcular a resultante →
R de dois ou mais vectores seguem-se os procedimentos acima
descritos, considerando: Portanto:
222yx VVV += (3.1)
x
y
VV
tg =θ (3.2)
Fig. 3.3
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35
É de salientar que as componentes de um vector são escalares, e somam-se pelos métodos
comuns da álgebra. Se uma componente está dirigida no sentido do eixo positivo, então o seu
valor é positivo e se estiver dirigida no sentido do eixo negativo, então o seu valor é negativo.
....+++= xxxx CBAR e ...+++= yyyy CBAR donde 22yx RRR +=
Exemplo 1:
Os vectores da figura representam forças que
actuam sobre um objecto que se encontra no
ponto O. Os módulos destas forças têm os valores
A=40N, α=600 e B=30N, β=300. Determine o
vector resultante →
R , o seu módulo e a sua
direcção.
Portanto dados os vectores →
A e →
B e os seus respectivos módulos e ângulos, podemos
determinar a resultante →
R , mediante as componentes dos vectores, procedendo:
• Decompor os vectores →
A e →
B e calcular as componentes Ax, Ay, Bx e By. Sendo:
NAAx 2060cos*40cos* 0 === α ; NsensenAAy 6.3460*40* 0 === α ;
NBBx 2630cos*30cos* 0 === β ; NsensenBBy 1530*30* 0 === β ;
• Calcular as componentes Rx e Ry, sendo:
NNNBAR xxx 462620 =+=+= ; NNNBAR yyy 6.49156.34 =+=+= ; então:
NRRR yx 6.676.4946 2222 =+=+= ;
• Calculamos a direcção, sabendo que:
078.146
6.49===
x
y
RR
tgδ ; portanto 02.47078.1 == arctgδ ;
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36
3.3 Vector velocidade
3.3.1 Vector posição e vector deslocamento
Considere uma partícula movendo-se ao longo de uma curva em duas dimensões, como mostra
a figura. No instante t1 ela está no ponto P1, e em um instante posterior t2 em P2. pode-se
descrever a posição da partícula pelo vector →
1r da origem a posição da partícula.
Fig. 3.4
Da figura vemos que o vector deslocamento →
∆ r é a diferença dos dois vectores da posição.
Assim:
→→→
−=∆ 12 rrr (3.3)
O vector posição →
2r é a soma do vector posição →
1r e o vector deslocamento →
∆ r .
3.3.2 Vector velocidade média
Define-se o vector velocidade média da mesma maneira que no caso unidimensional, isto é, o
quociente entre o vector deslocamento →
∆ r e o intervalo de tempo correspondente 12 ttt −=∆ .
Assim:
trvmed ∆
∆=
→→
(3.4)
Pode-se concluir que o vector velocidade média tem a mesma direcção e sentido que o vector
deslocamento. Além disso pode-se observar que o módulo do vector deslocamento →
∆ r não é
igual à distância percorrida ∆S ao longo do arco da curva. Na realidade →
∆ r é menor que a
distância ∆S.
Note: O vector deslocamento →
∆ r , é igual à distância percorrida ∆S somente quando a partícula
se desloca numa linha recta. Neste caso ∆S ≅ →
∆ r .
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37
3.3.3 Vector velocidade instantânea
Se considerarmos intervalos de tempo cada vez mais pequenos, de acordo com a figura 3.5, o
valor do deslocamento se aproxima à distância percorrida ao longo da curva. Também a
direcção e sentido de →
∆ r se aproxima da direcção e sentido da recta tangente a curva no ponto
P1.
Figura.3.5
Definição do vector velocidade instantânea
Define-se o vector velocidade instantânea como o limite de velocidade média quando o intervalo de tempo ∆t tende para zero.
trtv
t ∆∆
=
→
→∆
→
0lim)( (3.5)
O vector velocidade instantânea num certo ponto da trajectória tem sempre a direcção da
tangente à curva neste ponto. Na fig. 3.5 mostra-se que diminuindo o deslocamento →
∆ r , o
mesmo coincide cada vez mais com o percurso percorrido ao longo da trajectória designada ∆S.
A consequência deste facto é:
O valor absoluto do vector velocidade é a velocidade escalar, que foi introduzida no capítulo 1.
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v2
v1
v0
B
A
3.4 O Vector aceleração
Definimos o vector aceleração média correspondente ao caso unidimensional, como sendo a
razão entre a variação do vector velocidade instantânea ∆v e o intervalo de tempo ∆t: Assim:
tvv
tvamed ∆
−=
∆∆
=
→→→
12 (3.6)
O vector aceleração instantânea segue do vector aceleração média por tomar ∆t cada vez
menor, deste modo aproximando ∆t a zero. Pode-se dizer que o vector aceleração instantânea é
a derivada do vector velocidade instantânea em relação ao tempo. Portanto:
dtvd
tvta
t
→→
→∆
→
=∆∆
=0
lim)( (3.7)
É de salientar que o vector velocidade pode estar modificando tanto o seu módulo como a sua
direcção ou ambos. No entanto, um objecto pode mover-se com velocidade escalar constante e
estar acelerado caso a direcção esteja modificando.
3.5 Lançamentos Horizontais
Chama-se lançamento horizontal a todo aquele em que a velocidade inicial está dirigida
horizontalmente.
Fig. 3.6
De acordo com a figura acima, largando uma bola em A, esta atinge o ponto B com velocidade →
0V , que é a velocidade inicial do lançamento; reconhece-se que a trajectória é curvilínea e que
o vector velocidade se altera continuamente. Da figura pode-se ver ainda que a bola está
animada de dois movimentos simultâneos; um movimento rectilíneo e outro queda livre;
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39
Para descrever este movimento, decompõe-se em dois movimentos independentes um do outro:
um ao longo do eixo X e o outro ao longo do eixo Y.
Fig. 3.7
Nota-se que o movimento real compõe-se de um uniformemente acelerado ao longo do eixo-y e
o outro uniforme ao longo do eixo-x. Reconhece-se que o vector velocidade em cada instante é
igual à resultante das velocidades ao longo do eixo-x e ao longo do eixo-y. Sendo o movimento
ao longo do eixo-x uniforme com v0, a expressão da coordenada em função do tempo x(t) é:
tvtx .)( 0= , onde v0 é constante;
Ao longo do eixo-y o movimento é uniformemente acelerado com velocidade inicial zero;
assim:
2..21)( tgty =
Donde se obtém para as correspondentes velocidades:
0)( vtvx = e tgtvy .)( = Assim:
O movimento ao longo do eixo-x:
tvtx .)( 0= (3.8)
0)( vtvx = (3.9)
O movimento uniformemente acelerado ao longo do eixo-y
2..21)( tgty = (3.10)
tgtvx .)( = (3.11)
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40
Assim em qualquer ponto da trajectória teremos:
)()()( 22 tvtvtv yx += (3.12)
Exemplo 2
Lança-se horizontalmente uma bola com uma velocidade inicial de 20m/s. Considere g=10m/s2.
a) Calcule as posições e as velocidades nos movimentos t = 0, 1, 2, 3, e 4 s;
b) Construa nesta figura os vectores da velocidade nos instantes t = 0, 1, 2, 3, e 4s;
c) Determine a direcção da velocidade no instante t = 4s;
a. Substituindo nas expressões (3.8), (3.9),(3.10) e (3.11) v0 = 20m/s e g = 10m/s2, podemos
calcular x(t), y(t), vx(t) e vy(t). Uma vez que vx(t) e vy(t) são perpendiculares entre si ,
calculamos a velocidade instantânea v(t) com a expressão (3.12).
Veja a tabela:
t(0s) x(t) (m) y(t) (m) vx(t) (m/s) vy(t) (m/s) v(t) (m/s)
0 0 0 20 0 20
1 20 5 20 10 22
2 40 20 20 20 28
3 60 45 20 30 36
4 80 80 20 40 48
b. Para podermos desenhar o vector velocidade é necessário escolher uma escala. Aqui
representamos v = 10m/s por um vector de 1cm de comprimento. As velocidades →
v (1), →
v (2),
etc. são os vector velocidades (instantânea) da bola na trajectória. Estes vectores têm a direcção
da tangente à curva, como foi dito anteriormente.
c. Podemos calcular o ângulo da seguinte maneira;
0.22040
===y
x
vv
tgα donde 063)0.2( == arctgα
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3.6 Movimento Circular Uniforme
Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajectória é uma
circunferência, como por exemplo, a trajectória descrita por uma pedra que gira presa a uma
extremidade de uma corda. Se além disso o valor da velocidade permanecer constante, o
movimento é denominado circular uniforme.
Figura 3.8
Neste movimento o vector velocidade tem módulo constante, mas a
sua direcção varia continuamente.
3.6.1 Velocidade Tangencial (ou escalar)
De acordo com a figura anterior, o vector velocidade está sempre dirigido segundo a tangente à
trajectória. O tempo que a partícula gasta para efectuar uma volta completa é denominado
período do movimento e é representado por T. O espaço percorrido pela partícula durante um
período, é o comprimento da circunferência, que como sabemos, vale 2πr; onde r é o raio da
trajectória. Portanto, como o movimento é uniforme o valor da velocidade será dado por:
TR
percursonogastotempopercorridoespaçov π2
== (3.13)
3.6.2 Velocidade Angular
Consideremos uma partícula em movimento circular, passando pela posição P1 mostrada na
figura. Após um intervalo de tempo ∆t, a partícula estará passando pela posição P2, deslocando-
se numa distância ∆S ao longo da circunferência. Neste intervalo de tempo ∆t, o raio que
acompanha a partícula em seu movimento descreve um ângulo ∆θ. Portanto pode-se exprimir
em radianos o ângulo ∆θ pela relação:
RS∆
=∆θ ∆θ em rad. (3.14)
Onde θ∆=∆ .RS (3.15)
Lembre-se que 3600 = 2πrad e 1 rad = 57.30.
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A relação entre o ângulo descrito pela partícula e o intervalo de tempo gasto para descreve-lo é
denominada velocidade angular da partícula e representa-se pela letra ω. Portanto:
Velocidade angular ω é o ângulo descrito por unidade de tempo, quer dizer, por segundo.
t∆∆
=θω (3.16)
Se a partícula efectuar uma volta completa, então substituímos ∆θ por 2πR e t por T daí teremos:
Tπω 2
= (3.17)
3.6.3 Relação entre v e ω
Segundo a equação (3.13) RTT
Rv *)2(2 ππ== ; vista no movimento circular uniforme a
velocidade tangencial (ou escalar) acima descrita. Como Tπ2 é a velocidade angular,
concluímos:
Rv *ω= (3.18)
Esta expressão permite-nos calcular a velocidade tangencial (escalar) quando conhecemos a
velocidade angular ω e o raio R da trajectória. Repare que ela é só válida se os ângulos
estiverem expressos em radianos.
3.6.4 Aceleração Centrípeta
No movimento circular uniforme fica constante o módulo do vector velocidade →
v , ou seja fica
constante a velocidade tangencial (ou velocidade escalar). No entanto a sua direcção varia
continuamente, como mostra a figura.
Figura 3.9
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43
Na figura, →
1v e →
2v são vectores, portanto →
1v é diferente de →
2v , pois as suas direcções são
diferentes. Na mesma figura está deslocado o vector →
2v para o ponto A afim de podermos
determina a variação 12 vvv −=∆ . Portanto, visto vectorialmente, há uma variação de
velocidade →
∆ v e consequentemente uma aceleração (média) (a) no intervalo de tempo
decorrido entre os dois instantes correspondentes à velocidades →
1v e →
2v .
Diminuindo, o intervalo de tempo pode-se observar que a aceleração está dirigida
perpendicularmente à velocidade tangencial, como mostra a figura.
A aceleração centrípeta ac, que está sempre dirigida para o centro da circunferência e por isso está perpendicular à velocidade tangencial. Assim
Rvac
2
= (3.19)
Dado que Rv *ω= , então Rac *2ω= (3.20)
Questionário:
1. Compare as velocidades angulares dos ponteiros dos minutos e das horas de um relógio.
Qual é a proporcionalidade entre as duas velocidades angulares?
2. Qual é a aceleração de um projéctil, lançado verticalmente para cima, no topo da sua
trajectória?
3. Certo ou errado:
a) O vector velocidade instantânea está sempre orientado na direcção do movimento;
b) O vector aceleração instantânea está sempre na direcção do movimento;
c) Quando a velocidade escalar é constante, a aceleração tem que ser nula;
d) Quando a aceleração é nula, a velocidade escalar tem que ser nula;
e) O módulo da soma de dois vectores deve ser maior que o módulo de qualquer dos dois
vectores;
f) É impossível efectuar uma curva sem aceleração
g) O tempo necessário para que uma bala, disparada horizontalmente atinja o solo, é mesmo
que ela gastaria se caísse do repouso, de igual altura;
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Exercícios
1. Um atleta corre ao redor de uma pista circular a uma velocidade angular de 4rpm e uma
aceleração radial de 3.8m/s2.
a) Determine o raio da pista;
b) Qual é a velocidade linear do atleta;
c) Quanto tempo ele gasta para completar uma volta mantendo esta velocidade;
2. Um automóvel, sendo testado em um pista circular de 300m de raio, parte do ponto A
mostrado na figura deste problema.
a) Desenhe na figura o vector →
r , que representa o deslocamento do
automóvel, após ele ter completado meia volta;
b) Qual é o módulo deste deslocamento
c) Qual será o módulo do deslocamento do automóvel após ter completado uma volta;
3. Dois deslocamentos →
1r e →
2r têm módulos 4,0m e 3,0m respectivamente. Sabe-se que →
1r
tem direcção horizontal e sentido da esquerda para a direita.
a) Qual deve ser a direcção e sentido de →
2r para que a resultante desses vectores tenha módulo
igual a 7,0m;
b) Responda a questão anterior, para que a resultante tenha módulo igual a 1,0m;
4. Dadas as distâncias indicadas na figura ao lado, calcule
a velocidade mínima que a bola deve ter para atingir o
outro lado, desprezando o atrito. Tome g = 10m/s2.
5. Uma pedra desprende-se duma montanha e rola pela encosta,
chegando à beirada de um penhasco com a velocidade →
0v . Em
virtude desta velocidade inicial ela atinge o solo no ponto P.
a) Sabendo-se que h = 20m e considerando g = 10m/s2, calcule o
tempo que a pedra gasta para se deslocar da beirada até ao solo;
b) Supondo que vo = 6,0m/s, calcule a distância d mostrada na figura.
c) Qual é a velocidade com que a pedra atinge o solo;
A
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6. Os vectores posição →
A e →
B na figura deste exercício têm o módulo
2,0m.
a) Determine as componentes x e y destes vectores;
b) Determine as componentes, o módulo e a direcção da soma →
A +→
B ;
c) Determine as componentes, o módulo e a direcção da diferença →
A -→
B ;
7. Uma pedra presa a um barbante, é colocada em movimento circular uniforme de período
T=0,20s e raio R = 10cm. Calcule para a pedra:
a) A velocidade angular em rad/s;
b) A velocidade escalar, em m/s; e a aceleração, em m/s2;
8. Um menino, nadando com velocidade →
Mv deve atravessar um rio cuja corrente tem uma
velocidade →
cv . Suponha que ele queira seguir a
trajectória AB, perpendicular às margens (veja a
figura). Para isto, o menino nada orientando a sua
velocidade numa direcção. que forma um ângulo θ
com a margem.
a) Desenhe na figura, as componentes vMx e vMy.
Escreva as expressões destas componentes em
função de vM e θ;
b) Qual deve ser a relação entre vMx e vC para que o menino siga a trajectória AB;
c) Considerando que vc = 0,50m/s e vM = 1,0m/s, calcule o valor de θ para que o menino siga
a trajectória AB;
d) Sabendo-se que o rio tem uma largura de 87m, quanto tempo gasta o menino para
atravessar;
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9. A figura deste exercício mostra um objecto A, caindo de
repouso verticalmente para baixo, e um objecto B, lançado
horizontalmente com velocidade inicial →
Hv . Suponha que o
corpo A gastou 0,45s para atingir o solo e que o corpo B
tenha sido lançado com velocidade vH = 2,0m/s.
a) Quanto tempo o corpo B gastou para atingir o solo;
b) A que distância do pé da mesa cairá o corpo B no solo;
c) Qual é a altura da mesa;
d) Calcule a velocidade com que os corpos A e B atingem o solo;
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4. Dinâmica – Leis de Newton
Índice
Introdução
4.1 A Primeira Lei de Newton
4.1.1 Conceito de Força
4.2 A Segunda Lei de Newton
4.2.1 Relação entre Força e Aceleração
4.2.2 Massa
4.2.3 Relação entre Força, Massa e Aceleração
4.3 A Terceira Lei de Newton
4.4 Força de Gravidade, Peso e Força Normal
4.4.1 Força de Gravidade
4.4.2 Peso, Força Normal e Tensão numa corda
Questionário e Exercícios
Introdução
Nos capítulos anteriores discutimos e descrevemos os movimentos e determinamos num certo
instante a posição, a velocidade e a aceleração. Neste capítulo vamos iniciar o estudo da
dinâmica, procurando responder as questões tais como: o que provoca um movimento.
Aproximadamente há três séculos, o famoso físico e matemático inglês Isaac Newton (1642-
1727), baseado em observações suas e de outros cientistas, formulou três princípios que são
fundamentais para responder estas questões e na solução de outros problemas relacionados com
os movimentos.
Estas leis constituem os verdadeiros pilares da Mecânica e foram enunciadas na famosa obra de
Newton Princípios Matemáticos da Filosofia Natural, publicada em 1686. Elas são conhecidas
como 1a, 2a e 3a leis de Newton, de acordo com a ordem em que aparecem na obra citada.
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4.1 A Primeira Lei de Newton
4.1.1 Conceito de Força
Quando exercemos um esforço muscular para puxar um objecto, estamos lhe comunicando uma
força; um jacto de água exerce força para accionar uma turbina, etc. Analisando os exemplos
acima descritos, podemos concluir que, para que o efeito de uma força fique bem definido, será
necessário especificar o seu módulo, a sua direcção e o seu sentido; portanto:
força é toda causa capaz de modificar o estado de movimento ou de repouso de um corpo; é
algo que causa uma aceleração.
Definição da primeira lei de Newton
Na ausência de forças, um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento move-se em linha recta, com velocidade constante.
Esta lei é chamada por vezes lei da inércia porque um objecto tende a manter inalterado o seu
estado a menos que seja obrigado a modificar tal estado quando sobre ele actuarem forças.
4.2 A Segunda Lei de Newton
A primeira lei de Newton descreve o estado de um corpo na ausência de uma força,
equivalente a situação em que a força resultante →
R é igual a zero, logo a aceleração é nula.
A segunda lei de Newton descreve o estado de um corpo que sofre a acção de uma ou mais
forças cuja resultante é diferente de zero.
4.2.1 Relação entre a força e a aceleração
Aqui consideramos o aspecto da aceleração, provocada por uma
força.
Consideremos um objecto colocado sobre uma superfície lisa (sem
atrito), sendo puxado por uma força →
F .
Fig. 1
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Como outras forças que actuam no corpo (peso e a reacção normal) se equilibram, podemos
considerar a força →
F como a única que actua no corpo. A figura anterior mostra as posições
tomadas pelo corpo em intervalos de tempo iguais em seu movimento.
Como a distância entre duas posições está crescendo sucessivamente é evidente que a
velocidade do corpo está aumentando, ou seja, o movimento corpo é acelerado. Conclui-se que
um corpo sob acção de uma força única, adquire uma aceleração, isto é, se 0≠→
F , então temos
≠→
a 0.
No exemplo anterior, para um dado valor de força →
F aplicada no corpo, podemos medir o valor
da aceleração →
a que o corpo adquire. Repetindo a experiência com diversos valores de força →
F , verifica-se que:
Duplicando F, o valor de a também duplica
Triplicando F, o valor de a também triplica
Quadruplicando F, o valor de a também quadruplica, etc.
Portanto através da experiência conclui-se que:
A força F que actua em um corpo é directamente proporcional à aceleração “a” que ela produz no corpo, isto é, F ∝ a.
Desta maneira construindo um gráfico F – a, com os valores obtidos através da experiência
citada, obteremos uma recta passando pela origem:
Fig. 2
Matematicamente teremos:
constaF= (4.1)
a
F
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4.2.2 Massa
É mais fácil colocar em movimento uma bola de ténis do que uma bola de futebol ou uma
bicicleta em comparação com um carro. Diz-se que o carro tem uma massa, maior do que a
bicicleta e que a bola de futebol tem massa maior que de ténis. Um carro contém mais matéria
do que uma bicicleta. De facto, a massa de um objecto é uma medida para a quantidade de
matéria do objecto.
Toda a matéria compõe-se pelas mesmas partículas: protões, neutrões e electrões, os quais
constituem os átomos dos diferentes materiais. Portanto, dentro de um átomo, a massa de um
electrão é desprezável em comparação com a dos protões e neutrões (que têm massas
praticamente iguais). Daí que a quantidade de matéria de um certo objecto significa: a matéria
total armazenada nos protões e neutrões do objecto.
A massa de um objecto tem como unidade Quilograma (kg) e é considerada como quantidade
de matéria. A massa é uma característica intrínseca do objecto, isto é, não depende de factores
externos, por exemplo, da força de gravidade do planeta no qual se encontra.
4.2.3 Relação entre força, massa e aceleração
Ao determinar a relação entre a força aplicada e a aceleração provocada pela mesma,
conservamos a massa constante, executando a experiência com um só objecto. Como vimos, a
figura 2 mostra o resultado desta experiência, enquanto que a equação (4.1) expressa
matematicamente a experiência.
Sendo F ∝ a, sabemos que a relação F/a é constante e esta constante é
igual à inclinação do gráfico F – a. Suponha que a experiência fosse
repetida usando-se porém um outro corpo. Construindo o gráfico F- a
para este outro corpo, obteríamos ainda uma recta passando pela
origem, mas com uma inclinação diferente da anterior.
De um modo geral verificamos que, para um dado corpo temos sempre F ∝ a, mas a inclinação
do gráfico F – a varia de um corpo para o outro como mostra a figura. Portanto, o quociente F/a
tem um valor constante para um dado corpo sendo assim característico de cada objecto.
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Sabendo que a inclinação é igual à razão F/a podemos chegar à conclusão que esta constante é
directamente proporcional à massa do objecto:
aF ∝ m (4.2)
Portanto a constante em (4.1) depende linearmente da massa. A massa de um corpo é o
quociente entre a força que actua no corpo e a aceleração que ela produz nele.
Pode-se escolher a unidade de força de tal maneira que a proporcionalidade (4.2) se torne numa
igualdade:
1 Newton (N) é a força que provoca a um objecto, de massa 1 kg, uma aceleração de 1 m/s2.
Assim torna-se a equação (4.2) na 2a lei de Newton:
Segunda lei de Newton
A aceleração que um corpo adquire é directamente proporcional à resultante das forças que actuam nele e tem a mesma direcção e o mesmo sentido desta resultante:
maF= ou amF *= (4.3)
A 2a lei de Newton é uma das leis básicas da Mecânica, sendo utilizada na análise dos
movimentos que observamos próximos à superfície da Terra e também no estudo dos corpos
celestes. O próprio Newton aplicou ao desenvolver os estudos dos movimentos dos planetas e o
grande sucesso alcançado constituiu uma das primeiras confirmações desta lei.
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4.3 A Terceira Lei de Newton
Em seus estudos de Dinâmica, Newton percebeu que as forças sempre aparecem como
resultado da interacção de dois corpos. Em outras palavras, a acção de uma força sobre um
corpo não pode se manifestar sem que haja um outro corpo que provoque esta acção. Além
disso, Newton constatou que, na interacção de dois corpos, as forças sempre aparecem aos
pares: para cada acção de um corpo existirá sempre uma reacção igual e contrária deste outro
sobre o primeiro. Estas observações de Newton podem ser sintetizadas no enunciado da sua 3a
lei, também denominada lei da acção e reacção:
A terceira Lei de Newton (Lei de Acção e Reacção)
Quando um corpo A exerce uma força sobre um corpo B, o corpo B reage sobre A com uma
força de mesmo módulo, mesma direcção e de sentido contrário.
Nesta figura mostra-se que por causa dos dois
imanes os dois carrinhos exercem forças entre si. →
aF e rF→
nunca se anulam, são forças actuando
em diferentes objectos.
4.4 Força de gravidade, peso e força normal
4.4.1 Força de Gravidade
Deixando cair um objecto de massa m, ele adquire a aceleração de gravidade g, supondo que
não haja outras forças actuando sobre o objecto, por exemplo, o atrito do ar. Aplicando a este
caso a 2a lei de Newton, obtém-se:
→→
= gmFg * (4.5)
Substituindo na expressão (4.5) g por 10m/s2 e a amassa por 1kg, obtém-se: NFg 10= .
Portanto, perto da Terra, onde se pode considerar a força de gravidade constante, uma massa de
1kg é atraída pela Terra com uma força de cerca de 10N.
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A força de gravidade é uma grandeza vectorial. O vector →
gF desenha-se no
centro do objecto, que se chama centro de massa. O centro de massa ou
centro de gravidade é o ponto onde podemos considerar actuando a força de
gravidade sobre o objecto inteiro. Veja a figura ao lado.
4.4.2 Peso, Força Normal e Tensão numa corda
Num bloco, colocado sobre uma superfície, actua a força
de gravidade. Por causa desta força o bloco realiza uma
força sobre a superfície. Define-se esta força o peso do
bloco.
Fig. 4.6.a Fig. 4.6.b
Definição de Peso:
O peso de um corpo é a força que o corpo exerce sobre a superfície de sustentação.
Portanto, o peso é uma força não actuando sobre o corpo, mas sim sobre o plano de sustentação,
como está mostrado na figura acima.
A força de reacção, provocada pelo peso, é a força normal, isto é, a força que o plano de
sustentação realiza sobre o bloco. As duas forças sobre o bloco, a força de gravidade e a força
normal desenhadas na figura 4.6.a, estão em equilíbrio, pois o bloco permanece em repouso.
Então : →
→
−= ng FF (equilíbrio)
Também : →
→
=− PFn (3a lei de Newton)
Portanto : →
→
= PFg
Este resultado significa que para um corpo em repouso ou em movimento uniforme o valor da
força de gravidade é igual ao peso do objecto.
→→
= gmFg *
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Suspendendo o bloco por uma corda, a força de
gravidade continua a actuar do mesmo modo. Por
conseguinte, a força que o bloco realiza sobre a corda,
define-se como sendo o seu peso. Veja as figuras ao
lado. Então, uma definição melhor de peso é:
Fig. 4.7.a Fig. 4.7.b
O peso é a força que o corpo exerce sobre o plano de sustentação ou sobre o ponto de
suspensão.
Por conseguinte, a corda sofre a força do bloco (o peso do bloco) e reage com a força de
reacção: a tensão na corda, desenhada na Fig. 4.7.a no centro da massa.
Da mesma maneira que anteriormente, pode-se mostrar que de novo é válido: →
→
= PFg , desde
que o bloco esteja em repouso ou em movimento uniforme.
Questionário:
a. Certo ou errado:
a) Quando não existem forças actuando sobre um corpo, o corpo não está acelerado;
b) Quando um corpo não está acelerado, não existem forças actuando sobre ele;
c) O movimento dum corpo ocorre sempre na direcção da resultante;
d) As forças de acção e reacção nunca actuam sobre o mesmo objecto;
e) A massa dum objecto depende da sua localização;
f) A força de acção só é igual à força de reacção quando os corpos não estão acelerados;
b. Num foguetão a caminho da Lua, cujo motor está desligado, uma pessoa torna-se
imponderável. O que é que pode dizer sobre a força de gravidade, o peso e a massa desta
pessoa?
c. Suponha que um corpo é remetido para o espaço sideral, longe das galáxias, das estrelas e
de outros corpos. Qual seria a variação da sua massa?
d. O que acontece com a massa, a força de gravidade e o peso de um objecto de massa 10kg,
quando transportado para a Lua?
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e. Um Volkswagen choca com um grande camião carregado.
a) Nesta interacção, a força que o Volkswagen exerce no camião é maior, menor ou igual à
força que o camião exerce no Volkswagen?
b) Então, por que o Volkswagen, normalmente se estraga mais do que o camião?
f. Um carrinho bem vedado contém blocos de gelo. Aplicando-se no carrinho uma força de
15N, verifica-se que ele adquire uma aceleração de 0,50m/s2. se o gelo derreter,
transformando-se totalmente em água, qual deve ser a força aplicada no carrinho para que
ele adquira a mesma aceleração? Porque?
Exercícios:
1. Um corpo de massa m = 2,5kg estava se deslocando sobre uma superfície horizontal e lisa,
com uma velocidade v1 = 3,5m/s. Exercendo-se sobre o corpo uma força →
F horizontal,
constante, em sentido contrário à velocidade 1
→
v , verificou-se que, após um intervalo de
tempo ∆t = 1,5s, o corpo passou a se mover com uma velocidade v2 = 2,5m/s em sentido
contrário ao movimento inicial.
a) Descreva o movimento do corpo durante o intervalo de tempo ∆t;
b) Qual é o módulo da aceleração que a força →
F produziu no corpo;
c) Qual é o valor da força →
F ;
2. Um arado desloca-se em movimento rectilíneo
uniforme, puxado por dois cavalos que exercem sobre
ele as forças →
1F e →
2F , como mostra a figura. Cada uma
dessas forças vale 103N e há uma força →
f , força total de
resistência que tende a impedir o movimento do arado.
a) O arado está em equilíbrio?
b) Qual é o valor da resultante das forças que actuam sobre o arado?
c) Calcule a força resultante de →
1F e →
2F ;
d) Qual é o valor da força →
f ?
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3. De acordo com a figura, dois corpos apoiados sobre uma superfície
horizontal sem atrito são empurrados por uma pessoa. As massas
dos dois corpos são 2,0 e 1,0kg, respectivamente. A força exercida
pela mão sobre o corpo de 2,0 kg é de 5,0N.
a) Qual é a aceleração do sistema dos dois blocos?
b) Qual deve ser a força resultante sobre o bloco de 1,0 kg e qual é a origem desta força?
4. Um sinal de trânsito está sustentado por um sistema constituído por uma
haste horizontal e um cabo inclinado, como mostra a figura. Para além
das forças indicadas na figura actua a força de gravidade sobre o sinal,
cuja massa é de 20kg.
a) Como são provocadas as forças →
T e →
F ?
b) Determine os valores de →
T e →
F ;
5. Um carro numa estrada recta tem uma velocidade de 25m/s. O
motorista desliga o motor o que faz com que o carro ainda se
desloque 250m antes de parar. O carro tem uma massa de 900kg.
a) Desenhe as forças que actuam no carro e indique a resultante das mesmas;
b) Calcule a aceleração do carro supondo que o movimento seja uniformemente retardado;
c) Calcule a força de atrito;
6. A figura deste exercício mostra uma pessoa de peso →
P , no interior de um
elevador que sobe com uma aceleração →
a dirigida para cima. →
1F é a força
com que a pessoa comprime o assoalho do elevador e →
2F é a força do
assoalho sobre a pessoa. Entre as afirmativas seguintes, assinale aquelas que
estão correctas:
a) O valor da resultante das forças que actuam na pessoa é F2 – P – F1;
b) F2>P porque a pessoa possui uma aceleração a para cima;
c) F1 = F2 porque constituem uma par de acção e reacção;
d) F1 = P, isto é, a compressão da pessoa sobre o assoalho é igual ao seu peso;
e) F2 = P porque constituem um par de acção e reacção;
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5. Aplicação das Leis de Newton
Introdução
5.1 Atrito
5.1.1 Força de Atrito Estático
5.1.2 Força de Atrito Cinético
5.1.3 Atrito Indispensável
5.2 Plano Inclinado
5.3 Corpos ligados por um fio
5.3.1 Em Equilíbrio
5.3.2 Em Movimento Acelerado
Exercícios
Introdução
No capítulo anterior tratamos as três leis de Newton. Como foi dito, elas são as leis básicas da
Mecânica Clássica. Neste capítulo vamos aplicá-las em várias situações práticas. Na resolução
de problemas reais é necessário considerar o fenómeno de atrito. Por este motivo, vamos
primeiro ampliar o nosso conhecimento na aplicação de tal fenómeno.
5.1 Atrito
Consideremos um bloco apoiado numa superfície horizontal.
Como o bloco está em repouso, as forças que actuam sobre
ele têm resultante nula, isto é, o seu peso →
P , é equilibrado
pela reacção normal →
NF da superfície. Fig. 5.1
Fig. 5.1
Suponhamos agora que uma pessoa puxe ou
empurre o bloco com uma força →
F e que o
bloco continue em repouso. Então, a
resultante das forças que actuam no bloco é,
ainda nula. Deve portanto, existir uma força
actuando no bloco, que equilibre a força →
F . Este equilíbrio é devido a uma força exercida pela
superfície sobre o bloco, denominada força de atrito.
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A força de atrito sempre se opõe a tendência de movimento do corpo sobre a superfície e é
devida, entre outros factores, a existência de pequenas irregularidades das superfícies em
contacto. Fig. 5.2
5.1.1 Força de Atrito Estático
Na figura 5.2, se aumentarmos o valor da força →
F e verificarmos que o bloco continua em
repouso, podemos concluir que a força de atrito →
f continua equilibrando a força →
F . Em outras
palavras, o módulo de →
f também tornou-se maior ao aumentarmos o valor de →
F . Esta força
de atrito que actua no bloco em repouso, é denominada força de atrito estático →
ef .
A força de atrito estático →
ef é variável, estando sempre a equilibrar as forças que tendem a
colocar o corpo em movimento.
Aumentando continuamente o valor de →
F , verificamos que a força de atrito estático →
ef também
cresce, continuando sempre com o seu módulo igual ao módulo de →
F . Entretanto, a força →
ef
cresce até um valor limite, além do qual ela não mais equilibra a força →
F . Este valor limite de →
ef denomina-se força de atrito estático máxima, →
eMf . Quando o valor de →
F ultrapassa o valor
de →
eMf , o bloco começa a movimentar-se. Experimentalmente pode-se encontrar a dependência
de →
eMf dos factores que a influenciam:
A força normal →
NF , pois quanto maior for esta força, tanto mais forte será o contacto do
objecto com a superfície;
A natureza das superfícies em contacto;
Verifica-se que valor de →
eMf é proporcional ao valor de →
NF . Portanto, escrever-se →
eMf ∝→
NF .
A relação entre as duas grandezas é dada por:
NeeM Ff *µ= (5.1)
eµ denomina-se coeficiente de atrito estático e depende da natureza das superfícies em
contacto.
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5.1.2 Força de Atrito Cinético
Suponhamos que na figura 5.2, o valor de →
F tenha se tornado superior ao valor de →
eMf . Nesta
condições, o bloco estará em movimento. Observamos então que a força de atrito continua, a
actuar sobre o corpo, sempre se opondo ao seu movimento. Esta força de atrito que actua sobre
o corpo em movimento se denomina força de atrito cinético, →
cf . Verifica-se que o valor de →
cf
é menor do que o valor de →
ef , isto é, o valor da força de atrito diminui quando o movimento se
inicia. O valor de →
cf é praticamente constante (não depende da velocidade do corpo) é
proporcional ao valor de →
NF . Então:
Ncc Ff *µ= (5.2)
Em geral, cµ é inferior a eµ e que cµ depende até certo grau das velocidades relativas das
superfícies. Experiências mostram que eµ é um pouco superior a cµ . Para simplificar o
tratamento, vamos supor que eµ = cµ . Com outras palavras supomos que a força de atrito
sobre o objecto em movimento seja igual à no princípio do movimento: →
cf = →
ef .
5.1.3 Atrito Indispensável
Uma pessoa que anda a pé não sofre incómodos da força de atrito entre os pés e o chão, isto é,
não vai ser retardada por esta força; pelo contrário, ela aproveita da força de atrito para poder
andar.
Consideremos mais pormenores desta afirmação:
A pessoa andando, um dos pés tem, durante um pequeno intervalo de tempo, contacto fixo com
o chão. Neste intervalo de tempo o pé exerce uma força para trás sobre o chão (graças a força
de atrito) a que força o chão reage com uma força para frente (a força de reacção segundo a
terceira lei de Newton).
É esta última força, do chão sobre o pé, que possibilita a pessoa andar, pois sem atrito seria
impossível tal movimento. Nesta situação a força de atrito entre as duas superfícies em contacto
não tem efeito retardador pela ausência de velocidade de uma superfície relativa à outra.
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Apesar de ser mais difícil entender, podemos aplicar o mesmo raciocínio ao movimento dum
carro numa estrada. Enquanto que as rodas estão a rolar, há uma sucessão de contactos fixos,
durante um intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno, entre os pontos sucessivos dos
pneus e o chão. Deste modo a força do motor actua, mediante as rodas, para trás sobre o chão,
o qual reage com uma força para frente sobre o carro. De novo a força de atrito entre os pneus e
o chão possibilita o movimento e não tem efeito retardador.
A resistência que encontra a pessoa, andando a pé, ou o carro circulando a certa velocidade, é
sobretudo de natureza aerodinâmica, isto é, é causada pela resistência do ar (é claro que, no
caso do carro, também existe fricção entre partes do próprio motor).
Em resumo pode-se dizer:
Em caso de escorregamento existe a força de atrito cinético; neste caso as duas
superfícies, que fazem contacto, movem-se uma relativa à outra;
Em caso de movimentos sem escorregamento é a força de atrito entre as superfícies, em
contacto, que possibilita o movimento sem retardá-lo;
5.2 Plano Inclinado
Um corpo encontra-se num plano inclinado. Suponha-se que o atrito seja desprezável. Sobre o
bloco actuam neste caso duas forças, a força de gravidade verticalmente para baixo e a força
normal (como sempre perpendicular à superfície). A figura abaixo mostra o método para
determinar graficamente a resultante →
RF (note que →
RF é paralelo ao plano inclinado.
Fig 5.3ª Fig 5.3b
O bloco da figura 5.3ª tem uma massa m e o ângulo de inclinação denominado α. Escolhe-se
um eixo-x e um eixo-y para decompor a força de gravidade →
gF , como está representado na
figura 5.3b. Deste modo substitui-se a força →
gF pelas componentes →
gxF e →
gyF .
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Devido a componente →
gyF da força de gravidade, o bloco realiza uma força perpendicular ao
plano inclinado. Esta força não está indicada na figura, pois é uma força do bloco sobre o plano
e é mais sensato só indicar no desenho as forças que actuam sobre o bloco.
O plano inclinado reage a esta força com uma força normal →
NF . As componentes →
NF e →
gyF
anulam-se, restando apenas a componente →
gxF . Conclui-se pois, que a resultante →
RF das duas
forças →
gF e →
NF sobre o bloco é igual à componente →
gxF . Portanto:
gxR FF = (5.3)
Além disso é válido que (no caso do eixo x no sentido de →
gxF )
g
gx
FF
sen =α ou αsengmFgx **= (5.4)
Logo:
αsengmFR **= (5.5)
Da 2a lei de Newton temos: amFR *= , então: amsengm *** =α
Donde:
αsenga *= (5.6)
Portanto, no caso em que o atrito é desprezável o bloco adquire um movimento uniformemente
acelerado ao longo do plano com αsenga *= .
No caso em que o atrito não é desprezável, trata-se o problema do mesmo modo, considerando
os casos segundo a figura:
Fig. 5.4
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62
Há três forças →
gF , →
NF e →
aF (força de atrito), actuando sobre o bloco. As componentes →
gxF e
→
gyF substituem a força de gravidade →
gF .
Agora a resultante →
RF é igual a agx FF − , em que →
aF é o módulo da força de atrito. Sendo
conhecida a força de atrito →
aF e →
gxF , calculada com base em (5.4), pode-se calcular →
RF e, com
auxílio da 2a lei de Newton a aceleração a.
Quando o valor da força de atrito não é conhecido, mas sim o coeficiente de atrito cinético µc,
pode-se calcular a força de atrito com base em (5.2): Nca FF *µ=
Além disso é válido que g
gy
F
F=αcos e Ngy FF = (os módulos). Logo:
αcos** gmFN = , donde:
αµ cos*** gmF ca = (5.7)
Ângulo Crítico
Existe um método directo para determinar experimentalmente o coeficiente de atrito cinético
µc. Colocando um bloco num plano horizontal, inclina-se o plano até que o bloco principie a
escorregar ao longo do plano. Seja αc o ângulo crítico onde principia o escorregamento. Com
ângulos menores a força de atrito estático anula a componente →
gxF ; com ângulos maiores que
αc, o bloco acelera ao longo do plano, pois →
gxF será superior a →
eMf . Entretanto, com α = αc, é
válido: gxeM Ff =→
. Portanto: cceNe sengmgmF ααµµ **cos**** == ; daí:
cc
cce tg
senα
αα
µµ ===cos
(5.8)
Assim determinado o ângulo crítico αc, podemos calcular directamente o coeficiente de atrito
mediante a equação (5.8).
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63
5.3 Corpos Ligados por um fio
5.3.1 Em equilíbrio (em repouso ou em movimento uniforme)
Dois blocos A e B, de mesma massa M, estão
suspensos numa roldana, sem atrito, por meio de um
fio, cuja massa é desprezável, como mostram as
figuras 5.5a e 5.5b. Para entender o movimento deste
conjunto, é útil considerar tanto as forças externas
sobre o sistema inteiro dos dois blocos, ligados pelo
fio, como as forças sobre um bloco individual.
Considerando o sistema inteiro:
As duas forças de gravidade →→
= gMFg . , que actuam sobre os blocos A e B, são as únicas forças
externas, que determinam o estado de movimento do sistema. Apesar de elas terem o mesmo
sentido, é claro que as duas forças estão a contrariar um ao outro e devem se anular, pois o
sistema está em equilíbrio.
Considerando uma parte do sistema
Dentro do sistema actua a força de tensão no fio (os dois blocos esticam o fio o que causa a
tensão no mesmo). Uma vez que actua dentro do sistema, denomina-se esta força um força
interna, que actua tanto no bloco A como no bloco B. Consideremos as forças actuando no
bloco A, por exemplo:
Como o sistema inteiro está em repouso, também está o bloco A. Portanto, a força de tensão →
tF
do fio deve anular a força de gravidade actuando sobre A. O mesmo é válido para as duas
forças, actuando sobre B. È importante compreender que a tensão sobre A e a tensão sobre B
são de facto forças de acção e reacção:
São as forças →
ABF e →
BAF que A e B exercem entre si por meio do fio. Segundo a 3a lei de
Newton estas duas forças são sempre iguais, mesmo que o sistema esteja em movimento
acelerado.
Fig. 5.5ª Fig. 5.5b
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64
5.3.2 Em movimento Acelerado
Agora colocando sobre o bloco B um sobrepeso de massa m. Desprezamos de novo a força de
atrito.
Fig. 5.6
Considerando o sistema inteiro
As duas forças de gravidade sobre A e B são as únicas forças externas que actuam no sistema.
Veja a figura 5ª. A resultante destas duas forças é: gmgMgmMFR ***)( =−+= . De facto,
a força de gravidade é a única força que acelera o sistema, cuja massa total é igual a 2M + m.
Portanto, aceleração do sistema é:
mMgm
mF
atot
R
+==
2* (5.9)
Considerando uma parte do sistema
Para determinar a força de tensão no fio, é necessário considerar uma parte do sistema, por
exemplo o bloco A. É lógico que o bloco A tem a mesma aceleração, neste caso para cima, que
o sistema inteiro. A força resultante sobre A é igual à diferença das duas forças, actuando sobre
o bloco, aMgMFt ** =− é possível calcular tF , depois de calcular a aceleração a partir da
equação (5.9).
Exemplo 1:
As massas dos blocos A e B são M = 5,0kg. O sobrepeso, colocado em cima do bloco B, é de
massa m = 2,0kg. Calcule a aceleração do sistema e a tensão no fio (g = 10m/s2).
Considerando o sistema inteiro, isto é, as duas forças de gravidade, actuando nos dois blocos,
chegamos à conclusão que a força resultante, que acelera o sistema é:
NgMgmMFR 0,20**)( =−+= e a aceleração a do sistema: 2/67,10,120,20 smkgN
mF
atot
R === .
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65
Considerando agora somente o bloco A, aplicando a 2a lei de Newton a este, obtemos:
67,1*00,50,50** =−→=−= ttRA FaMgMFF ; daí: NFt 4,58= .
Este valor pode ser verificado considerando o bloco B. O bloco B está sujeito a mesma tensão
que o bloco A (3a Lei de Newton).
A força resultante RBF sobre B é:
NFgmMF tRB 6,114,580,70*)( =−=−+=
Este valor é correcto, pois RBF também é igual a:
NamMFRB 7,1167,1*00,7*)( ==+= ; (a diferença de 0,1 N é causada por arredondar). A
máquina acima descrita chama-se máquina de Atwood.
Exercícios:
1. Sobre um bloco de massa 5,0kg situado sobre uma superfície horizontal, aplica-se uma
força horizontal de 20,0N durante 3s. Sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o
bloco e a superfície é de 0.25, achar a velocidade que o bloco adquire ao fim dos três
segundos.
2. Um corpo cai por um plano inclinado que forma um ângulo de 300 com a horizontal.
Supondo que não há atrito, calcular a velocidade v do corpo ao fim de 8s do início do
movimento a partir de repouso e o tempo t que empregará em percorrer 8m.
3. Calcular a força constante →
F que é necessária aplicar
para que o bloco de 20N suba com uma aceleração de 1
m/s2. (Considere 25kgf = 25N e g = 10m/s2).
a) Qual é a tensão da corda?
4. Um avião de 23t aterra com uma velocidade de 229km/h num porta-aviões. A força média
de travagem é de 4,3.105N.
a) Calcule a aceleração;
b) Quanto tempo demora a aterragem;
c) Quantos metros percorre o avião no porta-aviões;
5. Uma certa combinação de um bloco e um plano tem um coeficiente de atrito cinético de
0,35. Qual deve ser o ângulo de inclinação para que o bloco tenha um movimento uniforme
ao longo do plano.
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66
6. Duas pessoas puxam o barco da figura de massa igual
a 500kg, uma com uma força de 150N e a outra com
uma de 200 N.
a) Determine a direcção em que se move o barco;
b) Determine a aceleração com que o barco se move
supondo que não haja atrito;
7. Uma bola de massa 200g e velocidade 350m/s penetra numa quantidade de areia atingindo
uma profundidade de 15cm. Calcule a aceleração média de retardação.
8. O carrinho da figura desloca-se sem atrito.
a) Calcule a aceleração;
b) Calcule a força normal;
c) Sabendo que em seguida o mesmo carrinho sofre o
atrito e possui uma aceleração de 1,0m/s2 calcule a
força de atrito a que está sujeito;
9. O bloco A de massa 3,0kg pode-se mover sem atrito. O bloco
B tem uma massa de 1,0kg. Tome g = 10m/s2.
a) Calcule a aceleração dos dois blocos;
b) Calcule a tensão na corda;
10. Do problema anterior, se considerarmos que existe uma força de atrito entre o bloco A e a
mesa igual a 2,0N.
a) Calcule de novo a aceleração;
b) Calcule a tensão na corda;
11. O bloco A de massa 4,0kg, pode mover-se sem atrito.
O bloco B tem uma massa de 1,0kg. Tome g = 10m/s2.
a) Calcule a aceleração dos dois blocos;
b) Calcule a tensão na corda;
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67
6. O Movimento Circular Uniforme
Índice
Introdução
6.1 Força Centrípeta
6.2 Aplicações do Movimento Circular
6.2.1 Movimento de um objecto sobre o prato de um gira-discos
6.2.2 Pêndulo Cónico
6.3 Força Gravitacional
6.3.1 Lei de Gravitação Universal
6.3.2 Aceleração de Gravidade
6.3.3 Órbitas de Satélites e Planetas
Questionário e Exercícios
Introdução
Anteriormente abordamos o movimento circular uniforme, através da introdução de alguns
conceitos novos, tais como: velocidade angular e a aceleração centrípeta.
Neste capítulo, vamos tratar a dinâmica deste tipo de movimento, isto é, aplicar as três leis de
Newton ao movimento circular. Também aplicaremos essas teorias para descrever os
movimentos dos planetas em torno do Sol e de satélites em torno da Terra.
6.1 Força Centrípeta
Na secção 3.6 estudamos o movimento circular uniforme, no qual o
vector →
v , tem módulo constante e direcção variável. Vimos então, que a
variação da direcção do vector →
v é caracterizada por uma aceleração
centrípeta →
ca , dirigida para o centro da curvatura, cujo módulo é dado
Fig. 6.1 por:
Rvac
2
= (6.1)
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68
Sendo a relação entre v e a velocidade angular ω, v = ω*R, pode-se escrever (6.1) do seguinte
modo:
Rac *2ω= (6.2)
Onde R é o raio da circunferência.
Como o movimento do corpo apresenta uma aceleração, concluímos, pela 2a lei de Newton, que
deve estar actuando sobre o corpo uma força responsável por esta aceleração. Esta força terá a
mesma direcção e o mesmo sentido da aceleração →
ca , isto é, estará apontada para o centro da
curva. Por este motivo, ela é denominada força centrípeta, →
cF . Sendo m a massa do corpo em
movimento, podemos escrever:
cc amF *= (6.3)
É de salientar que →
cF não é uma nova força, actuando sobre o objecto, mas é de facto a força
resultante de todas as forças que actuam sobre o corpo e esta resultante das forças é
responsável pela mudança contínua da direcção do vector velocidade do corpo. Combinando
(6.1) e (6.3) ou (6.2) e (6.3), obtém-se a seguinte expressão para →
cF :
RvmFc
2
*= (6.4)
ou
RmFc ** 2ω= (6.5)
A força centrípeta →
cF é a resultante de todas as forças que actuam sobre um objecto, que
descreve um movimento circular uniforme; →
cF aponta para o centro da circunferência.
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69
6.2 Aplicação do Movimento Circular Uniforme
6.2.1 Força centrípeta em alguns movimentos
A figura representa o prato de um gira-discos visto de cima, no qual se
encontra um cubo preso a um dinamómetro fixo no centro do disco. A
partir de repouso aumenta-se lentamente o número de rotações até o
prato e cubo atingirem o número de 33 rotações/minuto. Observa-se
que o dinamómetro se estica, enquanto o cubo descreve um círculo de
um raio de 0,20m.
Fig 6.2
Sabendo que a massa do cubo é de 100g e desprezando a força de atrito, a velocidade angular
do gira-discos é dada por:
t∆∆
=φω , onde ∆φ é o ângulo descrito e ∆t é o intervalo de tempo correspondente; sendo
∆φ=33*2π e ∆t=60s; cada ponto do prato descreve, num certo intervalo de tempo, o mesmo
ângulo, portanto cada ponto tem a mesma velocidade angular. Esta velocidade angular terá o
valor:
srads
/5,360
2*33==
πω
A velocidade tangencial ou (escalar) do cubo será:
Rv *ω= , portanto, mv 70,020,0*5,3 ==
Da figura pode-se ver que as forças que actuam no bloco são:
A força de gravidade →
gF , a força normal →
NF , e a força do
dinamómetro →
dF . Porque →
NF e →
gF se anulam, a resultante das três
forças é igual a →
dF . Tratando-se dum movimento circular uniforme,
esta resultante chama-se força centrípeta →
cF , portanto, nesta figura →
cF = →
dF .
Neste caso, o valor indicado pelo dinamómetro será:
NRmFF cd 25,02,0*)5,3(*1,0** 22 ==== ω ;
Fig 6.3
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70
6.2.2 Pêndulo Cónico
Consideremos um avião preso a extremidade de uma corda e a outra
extremidade fixa num ponto. O avião descreve um movimento circular
uniforme que se denomina pêndulo cónico
A figura mostra esquematicamente o pêndulo cónico.
Fig 6.4
Simplificando, pode-se considerar que actuam sobre o corpo duas forças, a força de gravidade →
gF e a tensão no fio →
tF .
Fig 6.5a Fig 6.5b Fig. 6.5c
Na realidade actuam a força do propulsor e a do atrito, mas estas duas anulam-se, uma vez que
a velocidade escalar se mantém constante.
A resultante, como mostra a figura 6.5b, determinada pelo paralelogramo, deve ser a força
centrípeta →
cF . A figura 6.5c mostra as forças decompostas ao longo dos eixos x e y. A força →
tF
é decomposta pelas componentes →
txF e →
tyF . →
gF e →
tyF anulam-se, donde segue que a resultante
é igual à componente →
txF . Portanto, →
txF =→
cF .
Pelas figuras 6.5b e 6.5c pode-se ver facilmente:
gr
mgrm
FF
FF
tgg
c
ty
tx22 ** ωωα ==== (6.6)
Portanto:
αω tgrg *2 = (6.7)
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71
De (6.7) pode-se concluir que:
Medindo o comprimento e o raio, é possível calcular hrtg =α (com auxílio de αsen ou do
teorema de Pitágoras) para depois calcular ω.
Uma vez que Tπω 2
= ou ωπ2
=T , pode-se calcular o período deste movimento.
Exemplo 1:
Considerando que o comprimento do fio é de 1,80m e o raio da circunferência descrita pelo
avião é de 1,20m, calcule a velocidade angular e o período do movimento.
Da relação (6.7) temos: αω tgrg *2 = ; da figura pode-se ver que:
lrsen =α e
lh
=αcos , logo:
hrsentg ==
ααα
cos, mas 22222 rlhrhl −=⇒+=
Então: sradl
rlrg /71,2
8,1)2,1()8,1(
*2,1
10*2222
=−
=−
=ω
sT 32,271.2
14,3*22===
ωπ ;
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72
6.3 Força Gravitacional
6.3.1 Lei de Gravitação Universal
As leis de Kepler
Alguns anos após a morte de Copérnico, o astrónomo dinamarquês, Tycho Brahe, começou a
desenvolver um importante trabalho no sentido de obter medidas mais precisas das posições dos
corpos celestes. Os dados colhidos por Tycho Brahe, cuidadosamente tabelados, constituíram a
base de trabalho que foi desenvolvido, após a sua morte, por seu discípulo, o astrónomo alemão
Johannes Kepler (1571-1630). O trabalho de Kepler foi coroado de êxitos, tendo conseguido
descobrir as três leis sobre o movimento dos planetas, que deram origem ao nascimento da
Mecânica celeste. Apresentam-se a seguir as três leis de Kepler:
1ª Lei de Kepler:
Qualquer planeta gira em torno do Sol, descrevendo uma órbita elíptica, da qual o Sol ocupa um dos focos.
2ª Lei de Kepler
A recta que une um planeta ao Sol, varre áreas iguais em tempos iguais
3ª Lei de Kepler
Os quadrados dos períodos de revolução dos planetas são proporcionais aos cubos dos raios de suas órbitas.
Estudando o movimento dos planetas, apoiando-se nas leis de Kepler, Newton observou que,
como eles descrevem órbitas em torno do sol, devem estar sujeitos a uma força centrípeta pois,
de contrário, suas trajectórias não seriam curvas. Desta maneira, Newton estava admitindo que
as suas leis (de movimento) seriam válidas também para os corpos celestes e concluiu que:
A força centrípeta, que mantém um planeta em sua órbita, é devida a atracção do Sol sobre
este planeta.
Baseando-se em suas leis (de movimento) e nos estudos de Kepler, Newton conseguiu chegar à
expressão matemática da força de atracção entre o Sol e um planeta.
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73
Lei de Gravitação Universal
Dois corpos quaisquer atraem-se com uma força proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa; Portanto:
2
*r
mMGFG = (6.8)
G é a constante de gravitação universal, medida por Cavendish através de uma balança de
torção sensível. Ele conseguiu medir a força gravitacional entre duas massas m1 e m2 e daí foi
possível calcular o valor de G com auxílio da equação (6.8). G = 6,67.10-11 Nm2/kg2.
6.3.2 Aceleração de Gravidade
Já sabemos que um objecto, de massa m, na superfície da Terra sofre uma força de gravidade
Fg = m*g. Entretanto, com auxílio da expressão (6.8) pode-se dizer: mR
MGR
mMGFg *..22 == .
Em que M é a massa da Terra e R o raio dela. Portanto, pode-se ver que a aceleração de
gravidade g na superfície da Terra é igual à:
2
.R
MGg = (6.9)
A partir de (6.9) pode-se compreender porque é que:
a aceleração de gravidade é constante na superfície da Terra, e não depende da massa;
a aceleração de gravidade somente perto da Terra tem este valor constante g = 9,8 m/s2;
a aceleração de gravidade nos pólos da Terra difere um pouco da no equador;
6.3.3 Órbitas de Satélites e de Planetas
Aplicando a lei de Gravitação Universal às órbitas dos planetas em torno do Sol ou dos
satélites, em torno da Terra, simplifica-se o tratamento considerando as órbitas em forma de
circunferências; na realidade são elípticas mas com eixos quase iguais.
A figura representa a órbita da Terra em torno do Sol; a única força actuando
na Terra é a força de gravidade, apontada para o centro do Sol e é causada
pela atracção mútua do Sol e da Terra.
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74
Neste caso →
gF é o agente que fornece a força centrípeta necessária para descrever esta órbita
circular: →
gF = →
cF donde: rvm
rmMG
2
2
..= ou seja:
rMGv
rMGv ..2 =⇒= (6.10)
Com:
Trv π2
= (6.11)
A partir de (6.10) e (6.11) obtém-se a terceira lei de Kepler:
22
3
4.πMG
Tr
= (6.12)
O membro direito da equação (6.12) é constante, sendo M a massa do Sol. A terceira lei de
Kepler foi derivada, considerando a órbita da Terra. Entretanto, para qualquer planeta que gira
em torno do Sol, pode-se chegar à mesma equação, sendo r o raio do planeta e T o seu período.
Portanto, para cada planeta dos sistema solar é válido:
constTr
=2
3
(6.13)
A equação (6.13) expressa a relação que existe entre o raio e o período de um certo planeta,
mas mostra também como os raios e os períodos de diferentes planetas no sistema solar estão
relacionados.
Exemplo 2:
O raio da Terra em torno do Sol é de rT = 1,496.1011m; o raio da órbita do Saturno em torno do
Sol é: rS = 1,433.1012m; quantos anos (terrestres) dura o período TS do Saturno?
constTr
=2
3
, o que significa 2
3
2
3
S
S
T
T
Tr
Tr
= ; substituindo os dados dos raios e o período da Terra TT
por 1 ano (terrestre), pode-se mostrar que: TS = 29,7 anos.
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75
Exemplo 3
Calcule, com base nos dados da órbita da Terra, a massa do Sol:
Na órbita da Terra é válido: →
gF = →
cF , donde se deriva a equação (6.12); daí: 2
324GT
rM π= ;
com: r = 1,496.1011m; T = 365,25 dias = 3,156.107s; G = 6,67.1011Nm2/kg2
Efectuando o cálculo obtém-se: M = 1,99.1030kg.
Satélite Estacionário
Suponha que um satélite seja colocado em órbita a uma altura h sobre um ponto do equador. O
raio da sua órbita será:
hRr += (6.14)
Onde R é o raio da Terra e h a altura em que foi colocado o satélite medidos a partir da
superfície da Terra;
A partir da equação (6.10) calculamos a velocidade do satélite e o período do satélite pela
equação (6.11).
Se por exemplo h for igual à 3600km então v será igual à 10.800km/h e T será 24h. Observe
que este período é igual ao período de rotação da Terra. Como ele está no plano do equador
terrestre e gira junto com a Terra, gastando ambos o mesmo tempo para dar uma volta, o
satélite parecerá estar parado para um observador na Terra.
Questionário
1. Mostre porque g só perto da superfície da Terra é aproximadamente constante;
2. Mostre porque o valor de g no equador é diferente do g nos pólos da Terra;
3. Porque é melhor andar mais lentamente numa curva numa estrada molhada;
4. Que força fornece a força centrípeta para um carro numa curva;
5. Explique por que um satélite deve ser colocado em órbita em regiões fora da atmosfera
terrestre;
6. Imagine que a massa do Sol se tornasse subitamente 4 vezes maior. Para que a força de
atracção do Sol sobre a Terra não fosse alteração, qual deveria ser a distância entre ambos;
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Exercícios
1. A velocidade angular do movimento de rotação de Júpiter é de π/5 rad/h.
a) Quantas horas Júpiter gasta para dar uma volta completa em torno do seu eixo?
b) Imagine que existisse em Júpiter um satélite estacionário usado apara telecomunicações.
Qual seria o período do satélite?
2. Uma curva de 30m tem uma inclinação tal que um automóvel pode faze-la com uma
velocidade de 15m/s. Determine o ângulo de inclinação da curva;
3. Uma bola está unida a uma extremidade de um fio de 24cm de comprimento e a outra
extremidade é um ponto fixo O. A bola descreve uma circunferência horizontal de raio r.
Determine a velocidade da bola sabendo que o fio forma uma ângulo de 300 com a vertical;
4. Um satélite artificial descreve uma órbita circular em torno da Terra em um período
gRT 24π= , onde R é o raio da Terra e g a aceleração de gravidade na superfície terrestre.
A que altura acima da superfície da Terra se encontra o satélite;
5. Dois satélites A e B de massas ma = 100kg e mb = 300kg respectivamente, orbitam em volta
da Terra. O satélite A está a uma altura h igual ao raio da Terra e o satélite B está a uma
altura que é 2 vezes maior que o raio da terra. Qual é a relação dos períodos de rotação dos
dois satélites;
6. Satélites estacionários são aqueles que giram de tal modo que a sua posição relativa a certo
ponto na Terra permanece constante. Tal satélite deve estar situado no plano do equador.
a) Qual deve ser o período dum satélite estacionário?
b) Mostre com cálculos que a altura deste satélite é cerca de 3,6.104km;
7. Uma bola de massa m = 0,50kg está suspensa na extremidade dum fio de comprimento
0,50m. Solta-se a bola a certa distância da posição de equilíbrio de tal modo que ela passa
pelo ponto mais baixo com velocidade de 2,0m/s. Calcule a tensão no fio no ponto mais
baixo;
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8. O prato de um gira-discos gira com uma velocidade angular de 4rad/s. Uma moeda, cuja
massa é de 20g, sobre o prato, gira com ele a uma distância R = 10cm do eixo:
a) Qual é a velocidade escalar da moeda?
b) Quais são as forças que actuam na moeda?
c) Quais destas forças proporcionam a força centrípeta que actua na moeda?
d) Calcule a força de atrito que actua na moeda;
9. A força de atracção do Sol sobre a Terra vale, aproximadamente 4.1022N. Diga qual seria o
valor desta força supondo que:
a) A massa da Terra fosse três vezes maior;
b) A massa do Sol fosse duas vezes menor;
c) A distância entre a Terra e o Sol fosse duas vezes menor;
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7. Oscilações
Índice
Introdução
7.1 Cinemática do Movimento Harmónico
7.1.1 Posição x(t) do Movimento Harmónico
7.1.2 Velocidade v(t) do Movimento harmónico
7.1.3 Aceleração a(t) do Movimento Harmónico
7.2 Força Harmónica
7.3 Aplicações
7.3.1 Oscilações numa Mola
7.3.2 Pêndulo Simples
Questionário e Exercícios
Introdução
Um dos movimentos mais importantes que encontramos na natureza é a oscilação, que é um
movimento periódico em torno de um ponto fixo, chamado ponto de equilíbrio. Um corpo
vibrando na extremidade de uma mola, uma corda de viola em vibração, um pêndulo, são
alguns exemplos deste tipo de movimento. Dentre os movimentos periódicos destaca-se o
movimento harmónico, que é a projecção do movimento circular uniforme.
O conhecimento das oscilações é essencial para entender os fenómenos ondulatórios, tais como
o som, ondas de rádio, a luz, etc. Este capítulo limita-se ao tratamento de um tipo especial de
oscilações, denominado movimento harmónico.
7.1 Cinemática do Movimento Harmónico
Movimento harmónico (linear ou de translação) é um movimento periódico rectilíneo da direita
para a esquerda, de cima para baixo, etc., no qual a aceleração e a força restauradora são:
proporcionais à elongação; de sentido contrário ao deslocamento, isto é, dirigem-se sempre
para o centro da trajectória. Algumas grandezas que caracterizam o movimento harmónico são
a amplitude (A), o período (T) e a frequência (f).
A amplitude A é a distância entre a posição de equilíbrio e uma das posições extremas
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O período T de uma oscilação é o intervalo de tempo depois do qual o movimento se repete identicamente.
A frequência f é o número de oscilações por unidade de tempo:
tnf = (7.1)
Entre a frequência e o período existe uma relação de inversa proporcionalidade:
Tf 1= (7.2)
7.1.1 Posição x(t) do Movimento Harmónico A posição X(t) do movimento harmónico é dada pela seguinte expressão :
)()( tASentX ω= (7.3)
Considerando que Tπω 2
= , a expressão (7.3) pode tomar a seguinte forma:
).2()( tT
ASentX π= (7.4)
Onde :
X(t) .é posição (em m)
A .. é a amplitude (em m)
ω .... é frequência cíclica (em rad/s)
t .......é o tempo (em s)
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7.1.2 Velocidade v(t) do Movimento Harmónico
A velocidade em função do tempo no movimento harmónico é expressa através da seguinte
fórmula:
)()( tCosAtV ωϖ= (7.5)
A velocidade máxima, isto é, a velocidade com que o corpo passa pela posição de equilíbrio é
dada pela seguinte expressão:
ϖAVmáx = (7.6)
7.1.3 Aceleração a(t) do movimento harmónico
A aceleração do movimento harmónico é expressa pela seguinte expressão:
)()( 2 tSenAta ωϖ−= (7.7)
A aceleração máxima, isto é, a aceleração com que o corpo oscilante passa pela posição de
equilíbrio pode ser escrita da seguinte forma:
2ϖAamáx −= (7.8)
7.2 Força harmónica
Sobre o movimento harmónico actua uma força, a força harmónica, que é uma força dirigida
para a posição de equilíbrio. Esta força é directamente proporcional à distância do objecto até a
posição de equilíbrio, consequentemente, a força harmónica é tanto maior quanto maior for a
distância X até a posição de equilíbrio.
7.2.1 Função da força harmónica
Da segunda lei de Newton sabe-se que amF *= . Substituindo a expressão (7.7) na equação
(7.9) resulta:
)()( 2 tASenmtF ωϖ−= (7.9)
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Substituindo (7.3) na expressão (7.9) obtém-se:
)()( 2 tXmtF ϖ−= (7.10)
O sinal negativo na equação indica o sentido da força harmónica:
• Quando X(t) é positiva, F(t) é negativa, o que quer dizer que nesta situação a força
aponta no sentido do eixo negativo.
• Quando X(t) é negativa, F(t) é negativa
Conclusão:
A força harmónica F(t) está sempre dirigida para a posição de equilíbrio
7.3 Aplicações
7.3.1 Oscilações numa mola
Suponha que um objecto é preso a uma mola que é esticada e comprimida. A mola exerce uma
força sobre o objecto. Esta força é proporcional ao deslocamento da mola a partir de sua
posição de equilíbrio e é no sentido oposto ao deslocamento:
XKF .−= (7.11)
Esta forma para a força é chamada lei de Hooke.
Fig. 7.4
Aplicando a segunda lei de Newton é possível estabelecer uma relação entre o período T, do
movimento, a massa, m, do corpo e a constante elástica, K, da mola:
.2KmT π= (7.12)
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Analisando esta expressão vemos que:
Quanto maior for a massa do corpo, maior será o seu período de oscilações, isto é, um
corpo de maior massa oscila com menor frequência (oscila lentamente).
Quanto maior for a constante da mola (mola mais dura), menor será o período de
oscilação, maior será a frequência com que o corpo oscila.
O período não depende da amplitude.
7.3.2 O pêndulo simples (ou pêndulo matemático)
Um pêndulo simples é um corpo ideal que consiste de uma partícula suspensa por um fio
inextensível e de massa desprezível.
Quando afastado da sua posição de equilíbrio e solto, o pêndulo oscilará, o movimento é
periódico e oscilatório, sendo assim, podemos determinar o período do movimento:
.2glT π= (7.13)
Esta expressão nos mostra que:
Quanto maior for o comprimento do pêndulo, maior será o seu período.
Quanto maior for o valor da aceleração de gravidade no local onde o pêndulo oscila,
menor será o seu período.
O período do pêndulo não depende nem da sua massa, nem da amplitude de oscilação
(desde que ela seja pequena).
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Questionário e Exercícios:
1. Certo ou errado:
a) Todo movimento periódico é um movimento harmónico.
b) Todo o movimento harmónico é periódico
c) No movimento harmónico simples a aceleração é proporcional ao deslocamento e tem
sentido oposto.
2. Sendo dada a elongação de um Movimento Harmónico simples (MHS) X(t)=8Sen(πt),
determine:
a) A amplitude do movimento
b) A frequência do movimento
3. Demonstre que a constante K de um pêndulo matemático é igual a mg/l.
4. Suponha que um astronauta levasse um relógio de pêndulo para a lua:
a) O período do pêndulo aumentaria ou diminuiria?
b) E a frequência do pêndulo?
c) Então o relógio se adiantaria ou atrasaria?
d) Para acertar o relógio, o astronauta deveria aumentar ou diminuir o comprimento do
pêndulo?
5. Um corpo executa um MHS, preso à extremidade de uma mola. Diga se o tempo que corpo
gasta para efectuar uma vibração completa aumentará, diminuirá ou não sofrerá alteração,
em cada um dos seguintes casos:
a) O corpo é substituído por outro de massa menor;
b) A mola é substituída por uma outra mais macia;
c) O corpo é colocado em vibração com uma amplitude menor;
6. Determine o valor da aceleração de gravidade num lugar onde um pêndulo simples de
150cm de comprimento realiza 100 oscilações em 246s.
7. O período de um movimento harmónico é 6s. No instante t=0s o objecto oscilante passa
pela origem para cima.
a) Em que instante o desvio é igual a amplitude?
b) Em que instante o desvio é igual a metade da amplitude?
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8. Um corpo oscila harmonicamente com uma frequência de 8Hz e uma amplitude de 2cm. No
instante t=0s ele passa pela origem para cima.
a) Escreva a equação de desvio em função do tempo.
b) Construa o gráfico x-t desse movimento.
9. Resolva o problema anterior mas no instante t=0 o corpo encontra-se no ponto mais baixo.
a) Construa o gráfico x-t desse movimento.
b) Construa o gráfico v-t desse movimento.
c) Construa o gráfico a-t desse movimento.
10. A equação ).4
()( tCostV ππ= mostra como varia a velocidade dum pêndulo simples em MHS
a) Calcule o comprimento do pêndulo.
b) Qual é o valor da elongação máxima do oscilador.
c) Escreva para este movimento a equação de elongação em função do tempo.
11. Um bloco de 40g está preso numa mola de k=16N/m em cima de uma mesa lisa. Põe-se o
bloco em movimento de tal maneira que ele oscila entre as posições 0cm e 6cm.
a) Qual seria o valor de x na posição de equilíbrio?
b) Determine a amplitude desse movimento.
c) Calcule a velocidade angular dessa oscilação.
d) Determine o valor da força harmónica para x=4cm. Qual é a direcção dessa força.
12. Um bloco de 50g está preso numa mola de k=10N/m em cima de uma mesa lisa. Põe-se o
bloco em movimento de tal maneira que ele oscila entre as posições de 4cm e 10cm.
a) Qual será o valor de x na posição de equilíbrio?
b) Determine a amplitude do movimento
c) Calcule o seu período.
13. O gráfico ao lado mostra como varia a elongação de um
corpo de massa 400g por uma mola suspenso por uma mola.
a) Calcule a constante elástica da mola.
b) Qual é a velocidade máxima que o corpo atinge?
c) Escreva a equação da velocidade em função do tempo para este movimento;
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14. Um ponto material realiza um MHS de acordo com o gráfico (v-t).
Determine:
a) O período e a amplitude.
b) A equação de elongação em função do tempo.
15. Uma bola presa na extremidade dum fio oscila em torno
da posição de equilíbrio entre as posições indicadas na
figura. A massa do corpo é m=200g.
Sabendo que o corpo faz 30 oscilações por minuto, (dar a resposta em unidades do S.I)
a) Calcule a frequência da oscilação.
b) Escreva a equação do movimento do corpo em função do tempo sabendo que no instante
t=0s ele passa pela posição de equilíbrio para a direita. As grandezas conhecidas devem ser
substituídas.
c) Calcule a velocidade do corpo em t=0,4s
d) Calcule a força harmónica no mesmo instante. O corpo está no lado esquerdo ou direito da
posição de equilíbrio? Justifique.
16. Uma bola de massa igual a 400g presa numa extremidade de um fio de 1m de comprimento
encontra-se em oscilação, sendo a sua amplitude de 10cm. No instante t=0s ela passa pelo
ponto mais baixo para a direita.
a) Calcule o período do pêndulo
b) Calcule a distância até a origem no instante t=1,2s.
c) Calcule a velocidade máxima.
d) Calcule a velocidade no instante t=1,2s.
e) Calcule a força harmónica nesse instante.
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8. Movimento Ondulatório
Índice
Introdução
8.1 Noção de Ondas.
8.2 Tipos de Onda e sua classificação
8.2.1 Origem ou natureza das Ondas
8.2.2 Direcção de propagação das Ondas
8.2.3 Direcção de vibração ou oscilação
8.2.4 Tipo de energia transmitida pela Onda
8.2.5 Ondas esféricas e Ondas planas
8.3 Propagação de Ondas
8.3.1 Propagação de uma Onda sinusoidal ao longo de uma corda
8.3.2 Ondas aperiódicas e periódicas
8.3.2.1 Características das Ondas
8.3.3 Princípio de superposição
8.4 Propriedades das Ondas
Questionário e Exercícios
Introdução
O homem sempre sentiu fascínio e curiosidade pelas ondas do mar. No nosso mundo estamos
rodeados por ondas; ondas mecânicas, sonoras, luminosas, ondas de rádio, electromagnéticas,
etc. Na história da Física, grandes cientistas dedicaram-se ao estudo das ondas, entre eles:
Christian Huygens (1629-1695), Robert Hooke (1635-1703), Isaac Newton (1643-1727),
Guglielmo Marconi (1874-1937), Doppler (1803-1853). Graças às ondas é que existem muitas
das maravilhas do mundo moderno, como a televisão, a rádio, as telecomunicações via satélite,
o radar, o forno de microondas, entre outras.
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8.1 Noção de Ondas.
Quando se deixa cair uma pedra na superfície da água, em repouso, nota-se no líquido, uma
formação sucessiva de círculos de raios cada vez maiores. Quando a pedra atinge a superfície
da água, esta sofre uma deformação brusca, que não fica localizada, mas que se vai
transmitindo a toda a superfície.
Colocando pequenos corpos flutuantes na superfície da água à distâncias diferentes da origem
da perturbação, verifica-se que ficam sujeitos a movimentos de subida e descida de pequena
amplitude. A propagação da perturbação constitui um movimento ondulatório. Portanto,
denomina-se onda o movimento causado por uma perturbação que se propaga através de um
meio. Uma onda transmite energia sem o transporte de matéria.
8.2 Tipos de Ondas e sua classificação:
As ondas podem ser classificadas de quatro modos:
• Sua origem ou natureza
• Direcção de propagação
• Direcção de vibração ou oscilação
• Tipo de energia transportada.
8.2.1 Origem ou natureza das Ondas:
Quanto à origem uma onda pode ser classificada em onda mecânica e onda electromagnética.
Ondas mecânicas: Ondas mecânicas são as ondas produzidas por uma perturbação num meio
material, como, por exemplo, uma onda na água, a vibração de uma corda de violão, a voz de
uma pessoa, etc.
Fig. 8.1
As Ondas mecânicas precisam de um meio material para se propagar (não se propagam no
vácuo). Exemplo: Ondas em cordas e ondas sonoras (som).
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Ondas electromagnéticas: são geradas (produzidas) por variação de um campo eléctrico
(cargas eléctricas oscilantes) e um campo magnético, tais como as ondas de rádio, de televisão,
as microondas e outras mais; não necessitam de uma meio material para se propagar, podendo
se propagar no vácuo. Exemplos: Ondas de rádio, de televisão, de luz, raios X, raios laser,
ondas de radar etc.
Fig. 8.2
8.2.2 Direcção de propagação da Onda:
Uma outra classificação de onda é em relação à direcção de oscilação, comparada com a
direcção de propagação:
Unidimensionais: são aquelas que se propagam numa só direcção. Exemplo: Ondas em cordas.
Bidimensionais: são aquelas que se propagam num plano. Exemplo: Ondas na superfície de um
lago.
Tridimensionais: são aquelas que se propagam em todas as direcções. Exemplo: Ondas
sonoras no ar atmosférico ou em metais. 8.2.3 Direcção de vibração ou oscilação
Quanto a direcção de vibração ou oscilação as ondas podem ser:
Transversais: são aquelas cujas vibrações (oscilações) são perpendiculares à direcção de
propagação. Exemplo: Ondas em corda.
Fig. 8.3
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Longitudinais: são aquelas cujas vibrações coincidem com a direcção de propagação.
Exemplos: Ondas sonoras, ondas em molas.
Fig. 8.4
Existem também as ondas mistas, como o som nos sólidos.
8.2.4 Tipo de energia transmitida pela Onda
Quanto ao tipo de energia transmitida pela onda, podemos classificá-la em ondas sonoras,
ondas luminosas, ondas térmicas, etc.
8.2.5 Ondas esféricas e Ondas planas
Chama-se superfície de uma onda a qualquer superfície de um meio elástico cujos pontos
entram em vibração num mesmo instante. Uma perturbação causada pelo impacto duma pedra
na água origina um movimento que se propaga pela superfície do lago como circunferências de
mesmo centro, afastando-se do ponto de impacto.
Fig. 8.5
Qualquer superfície que imaginemos num fluído, e que seja concêntrica da esféra-origem,
constitui uma superfície de onda. As ondas consideradas dizem-se ondas esféricas figura 8.5.
Chama-se raio de onda a qualquer linha normal à superfície de onda, em cada ponto. O raio da
Onda indica a direcção de propagação da mesma. Em regiões muito afastadas da origem da
perturbação, as superfícies de onda das Ondas esféricas podem considerar-se numa extensão
apreciável, como sendo planas. Diz-se então que as ondas propagadas são planas. Os raios de
Onda são linhas paralelas e, portanto, corresponde a estas Ondas uma única direcção de
propagação.
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8.3 Propagação de Ondas
8.3.1 Propagação de uma Onda sinusoidal ao longo de uma corda
Considere uma corda de comprimento ℓ.
Fig. 8.6
Suponha que a mão de uma pessoa, agindo na extremidade livre da corda, realiza um
movimento vertical, periódico, de sobe-e-desce. Um movimento sinusoidal, rectilíneo, de
amplitude a e de período T passa a propagar-se horizontalmente com velocidade v. Cada ponto
da corda entrará em vibração com um atraso, em tempo τ, proporcional à distância que o separa
da origem.
Cada ponto da corda sobe e desce. Assim que o ponto A
começa seu movimento (quando O sobe), B inicia seu
movimento (quando O se encontra na posição inicial),
movendo-se para baixo. O ponto D inicia seu
movimento quando o ponto O descreve um ciclo
completo (subiu, baixou e voltou a subir e regressou à
posição inicial). Se continuarmos a movimentar o ponto
O, chegará o instante em que todos os pontos da corda
estarão em vibração.
Fig. 8.7
Seja A um ponto da corda situado à distância x da origem, quando A e O estão em repouso. Se
tomarmos como origem dos tempos o instante em que a origem, O¸ da perturbação começa
efectuar uma vibração, a elongação de O, no instante t, será dada por:
tT
aseny π20 = (8.1)
A perturbação sinusoidal originada em O, demora um intervalo de tempo vx
=τ para atingir o
ponto A. No instante t, a elongação de A será, por isso, igual à elongação do ponto O no instante
(t - τ), então podemos escrever:
)(2 τπ−= t
TAseny ou )(2
vxt
TAseny −=
π
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Assim:
)(2vTx
TtAseny −= π (8.2)
Como nesta equação, a distância x tem um valor fixo para um dado ponto A, concluímos que ela
será a equação do movimento do ponto A e que, portanto, permitirá calcular os valores das
elongações desse ponto, no decorrer do tempo.
Como A é um ponto qualquer, concluímos também que qualquer ponto da corda executa um
movimento vibratório sinusoidal, de amplitude a e período T iguais aos da origem, com um
desfasamento de vT
xπ2 em relação a essa origem. Além disso a equação (8.2) permite conhecer
os valores das elongações de todos os pontos da corda, num determinado instante. Por todas as
razões apontadas à equação (8.2) designa-se por equação da Onda.
8.3.2 Ondas aperiódicas e periódicas
Ondas aperiódicas
Quando se desloca a extremidade de uma corda, nas condições da figura 8.7, cada ponto da
corda permanece em repouso até que a perturbação o atinja. À chegada da perturbação cada um
dos pontos inicia um movimento idêntico ao que se imprimiu à extremidade e volta novamente
ao repouso. Diz-se, neste caso, que se produziu um impulso ou uma onda única e que o
movimento ondulatório é aperiódico porque os diferentes pontos da corda não são perturbados
periodicamente.
Ondas periódicas
Considere uma pessoa executando um movimento vertical de sobe-e-desce na extremidade livre
da corda indicada na figura, em intervalos de tempo iguais.
Fig. 8.8
Se a pessoa continuar a agitar a extremidade da corda, num e noutro sentido, produz-se uma
sucessão de ondas que se designa por trem de ondas.
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Se o movimento comunicado à extremidade da corda for periódico, então produz-se um trem de
ondas periódicas e cada ponto do meio (corda) executa um movimento periódico. No caso
particular de a origem constituir um oscilador harmónico simples diz-se que as ondas
propagadas no meio (corda neste caso) são ondas periódicas sinusoidais.
8.3.2.1 Características das Ondas
Características das ondas (Amplitude, velocidade, comprimento de onda, período e frequência)
A parte elevada (figura 8.8) denomina-se crista da onda e a cavidade entre duas cristas chama-
se vale.
Denomina-se período T o tempo necessário para que duas cristas consecutivas passem pelo
mesmo ponto.
Chama-se frequência f o número de cristas consecutivas que passam por um mesmo ponto, em
cada unidade de tempo. Entre T e f vale a relação:T
f 1= do capítulo anterior.
A distância entre duas cristas ou dois vales consecutivos é denominada comprimento de onda,
representada por λ, e a é a amplitude da onda.
Como um pulso se propaga com velocidade constante, vale a expressão s = vt.
Fazendo s = λ, temos t = T. Logo:
Tv.=λ ou seja f
v 1.=λ (8.3)
O comprimento de Onda é uma grandeza que caracteriza um dado movimento ondulatório. O
seu valor depende da frequência de perturbação e da natureza do meio que determina o valor da
velocidade de propagação da Onda. Podemos então escrever a equação (8.2):
)(2λ
π xTtAseny −= (8.4)
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Exemplo 1:
O movimento de um oscilador harmónico simples é traduzido pela equação: y = a sen t, em que
A = 1,0cm. O comprimento de Onda resultante da propagação desse movimento num meio
elástico é de 10cm. Calcule no instante t = 62,8s, o valor da elongação de uma partícula que no
repouso, dista 20cm do oscilador.
Da equação (8.3) podemos resolver o problema.
Sendo )(2λ
π xTtAseny −= , e igualando a equação (8.2) com a lei de movimento do oscilador
e substituindo os dados teremos:
cmseny 0,0)10.110.2
14,3.28,62(180.210.1 1
12 =−= −
−− .
8.3.3 Princípio de Superposição
Quando duas ou mais ondas se propagam, simultaneamente, num mesmo meio, diz-se que há
uma superposição de ondas. Como exemplo, considere duas ondas propagando-se conforme
indica a figura.
Fig. 8.9
Supondo que as duas Ondas atinjam o ponto P no mesmo instante, elas causarão nesse ponto
uma perturbação que é igual à soma das perturbações que cada onda causaria se o tivesse
atingido individualmente, ou seja, a onda resultante é igual à soma algébrica das ondas que cada
uma produziria individualmente no ponto P, no instante considerado.
Após a superposição, as ondas continuam a propagar-se com as mesmas características que
tinham antes. Os efeitos são subtraídos (soma algébrica), podendo-se anular no caso de duas
propagações com deslocamento invertido.
Fig. 8.10
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94
Em resumo:
• Quando ocorre o encontro de duas cristas, ambas levantam o meio naquele ponto; por isso
ele sobe muito mais (ondas progressivas).
• Quando dois vales se encontram eles tendem a baixar o meio naquele ponto (ondas
progressivas)
• Quando ocorre o encontro entre um vale e uma crista, um deles quer puxar o ponto para
baixo e o outro quer puxá-lo para cima. Se a amplitude das duas ondas for a mesma, não
ocorrerá deslocamento, pois eles se cancelam (amplitude zero) e o meio não sobe e nem
desce naquele ponto (ondas estacionárias).
Fig. 8.11a Fig. 8.11b
Ondas Estacionárias
Ondas estacionárias, são ondas resultantes da superposição de duas ondas de mesma
frequência, amplitude, comprimento de Onda, direcção e sentidos opostos.
Fig. 8.12
Em que: N = nós ou nodos e V= ventres.
Ao atingirem a extremidade fixa, elas se reflectem, retornando com sentido de deslocamento
contrário ao anterior. Dessa forma, as perturbações superpõem-se às outras que estão chegando
à parede, originando o fenómeno das ondas estacionárias.
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Uma onda estacionária caracteriza-se pela amplitude variável de ponto para ponto, isto é, há
pontos da corda que não se movimentam (amplitude nula), chamados nós (ou nodos), e pontos
que vibram com amplitude máxima, chamados ventres. É evidente que, entre nós, os pontos da
corda vibram com a mesma frequência, mas com amplitudes diferentes.
Observe que:
Como os nós estão em repouso, não pode haver passagem de energia por eles, não havendo,
então, em uma corda estacionária o transporte é 2λ de energia.
A distância entre dois nós consecutivos vale 2λ .
A distância entre dois ventres consecutivos vale 2λ .
A distância entre um nó e um ventre consecutivo vale2λ .
Ondas progressivas
A equação (8.4) mostra que a cada valor de t corresponde uma função y = f(x) cuja
representação gráfica é um sinusóide. As sinusóides correspondentes aos vários valores de t têm
todas a mesma amplitude e o mesmo período e representam aspectos instantâneos de uma
mesma sinusóide que se desloca ao longo de um eixo OX, sem se deformar com a velocidade v.
Nestas condições diz-se que há uma propagação ao longo da corda de uma Onda transversal
progressiva. Exemplo de uma onda progressiva pode-se ver na figura 11.a
8.4 Propriedades das Ondas
Na propagação do som observam-se os fenómenos gerais da propagação ondulatória. Dada sua
natureza longitudinal, o som não pode ser polarizado; sofre, entretanto, os demais fenómenos, a
saber: difracção, reflexão, refracção, interferência e efeito Doppler.
Difracção
A difracção depende do comprimento de onda; é a propriedade que a onda apresenta em
contornar (teoria da ondulatória “no princípio de Huyghens”) os obstáculos que encontra
durante sua propagação. Como o comprimento de Onda das Ondas sonoras é bastante grande
(enorme, em relação ao comprimento de onda da luz), a difracção sonora é intensa.
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96
Reflexão
Quando um pulso, propagando-se numa corda, atinge sua extremidade, pode retornar para o
meio em que estava se propagando. Esse fenómeno é denominado reflexão. A reflexão do som
obedece às leis da reflexão ondulatória nos meios materiais elásticos e suas consequências.
Refracção
Propagando-se numa corda de menor densidade, se um pulso passa para outra de maior
densidade, dizemos que sofreu uma refracção. A refracção do som obedece às leis da refracção
ondulatória, fenómeno que caracteriza o desvio sofrido pela frente de onda, que geralmente
ocorre, quando ela passa de um campo ondulatório (por exemplo, ar) a outro de elasticidade (ou
compressibilidade, para as ondas longitudinais) diferente (por exemplo, água).
Convém frisar que ao passar de um meio para outro (do ar para a água, no exemplo), a
característica do som que se mantém é a sua frequência; assim, tanto o comprimento de Onda
como sua velocidade de propagação são diferentes em cada campo ondulatório.
Efeito Doppler
O efeito Doppler é a consequência do movimento relativo entre o observador e a fonte sonora,
o que determina uma modificação aparente na altura do som recebido pelo observador.
Questionário
1. Explique a diferença entre uma onda transversal e uma onda longitudinal.
2. Qual é a relação matemática existente entre a velocidade de uma onda, sua frequência e seu
comprimento de onda?
3. Qual é a única coisa que uma onda pode transportar?
4. Ondas mecânicas podem ser do tipo transversal, longitudinal, ou mistas. Numa onda
transversal, as partículas do meio:
a) não se movem;
b) movem-se numa direcção perpendicular à direcção de propagação da onda;
c) movem-se nu realizam movimento rectilíneo uniforme ma direcção paralela à direcção de
propagação da onda;
d) nenhuma das alíneas anterior;
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97
5. Considere uma pessoa batendo periodicamente em um ponto da superfície de um líquido.
Uma onda passa a se propagar nessa superfície. Portanto podemos afirmar que:
A. A velocidade de propagação da Onda na superfície de um líquido depende do meio. Assim,
em líquidos diferentes (água, óleo etc.) teremos velocidades de propagação diferentes.
B. A distância entre duas cristas sucessivas é o comprimento de onda λ.
C. A frequência (f) da onda é igual à frequência da fonte que deu origem à onda.
D. As grandezas v, f e λ estão relacionadas pela equação λ = v/f e, portanto, como v é
constante para um dado meio, quanto maior for f, menor será o valor de λ neste meio.
Assinale a alternativa correcta:
a) apenas as afirmativas A, B e D são correctas;
b) apenas as afirmativas A, e C são correctas;
c) apenas as afirmativas A, C e D são correctas;
d) apenas as afirmativas B e D são correctas;
e) se todas as afirmativas forem correctas;
6. Um rapaz e uma rapariga estão em lados opostos de uma lagoa de águas calmas. O rapaz,
querendo comunicar-se com a rapariga, coloca dentro de um frasco plástico um bilhete e,
tapa o frasco, coloca-o na água e dá-lhe uma pequena velocidade inicial. A seguir, o rapaz
pratica movimentos periódicos sobre a água, produzindo ondas que se propagam,
pretendendo com isso aumentar a velocidade do frasco em direcção à rapariga. Com
relação a esse facto podemos afirmar:
a) se o rapaz produzir ondas de grande amplitude, a garrafa chega à outra margem mais
rapidamente.
b) o tempo que a garrafa gasta para atravessar o lago dependerá de seu peso.
c) quanto maior a frequência das ondas, menor será o tempo de percurso até a outra margem.
d) a velocidade da garrafa não varia, porque o que se transporta é a perturbação e não o meio.
e) quanto menor o comprimento de onda, maior será o aumento na velocidade da garrafa.
7. Quando uma gota de chuva cai sobre uma poça de água, forma-se um pulso que se propaga
por sua superfície. Esse pulso é transversal ou longitudinal?
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98
-0,2
0
0,2
0 20 40 60 80 100 X(m)
y(m
)
-0,20
0,2
0 5 10 15 20 25t(s)
y(m
)
Exercícios 1. A figura abaixo representa uma onda periódica propagando-se na água (a onda está
representada de perfil). A velocidade de propagação desta onda é de 40m/s, e cada
quadradinho possui 1m de lado.
Determine:
a) O comprimento de onda (λ) desta Onda.
b) A amplitude (A) desta onda.
c) A frequência (f) da onda.
d) O período (T) de oscilação do barquinho sobre a onda.
2. Uma onda desloca-se na superfície de um lago com velocidade de 0,3m/s. Sabendo que o
comprimento de onda é 0,6m, determine quantas vezes por segundo um pedaço de madeira
que flutua neste lago vai realizar um movimento de “sobe-desce”. Isso corresponde a
perguntar qual é a frequência deste movimento oscilatório, em hertz.
3. Os gráficos abaixo mostram a elongação de uma Onda que se propaga numa corda em função
do tempo e em função da posição. Determine a equação de Onda.
4. Do exercício anterior determine:
a) o comprimento de onda;
b) a velocidade e o período de propagação da Onda;
c) a frequência de propagação da Onda;
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99
9. Equilíbrio de um Ponto Material
Índice
Introdução
9.1 Equilíbrio de um Ponto Material
Forças Concorrentes
9.2 Momento de uma Força
9.3 Equilíbrio de Rotação
9.4 Condições Gerais de Equilíbrio
Questionário e Exercícios
Introdução
Nos capítulos anteriores consideramos algumas aplicações das leis de Newton, analisando e
discutindo o movimento de um corpo a partir das forças que actuam sobre ele. Neste capítulo
vamos falar sobre o equilíbrio. Um objecto diz-se que está em equilíbrio quando está em
repouso ou quando executa um movimento uniforme.
9.1 Forças concorrentes
Forças concorrentes são forças cujas linhas de acção têm um ponto comum de intersecção.
Chama-se linha de acção de uma força →
F a linha ao longo do qual actua o vector →
F .
Fig. 9.1
Na figura 9.1 temos um caso em que sobre um objecto actuam forças no mesmo ponto,
facilmente se pode determinar a resultante →
RF das forças como abordamos nos capítulos
anteriores.
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100
9.2 Condições de equilíbrio de translação
Actuando sobre um objecto, forças concorrentes, isto é, as linhas de acção das forças
intersectam –se no mesmo ponto, as condições para se obter o equilíbrio são:
0== ∑ ixRX FF (9.1)
0== ∑ yxRY FF (9.2)
Se a resultante neste caso não for nula, o objecto executará um movimento de translação. Por
esta razão, as equações (9.1) e (9.2) são denominadas por condições de equilíbrio de
translação.
9.3 Momento de uma força
As condições (9.1) e (9.2) são válidas para o caso em que as forças actuam no mesmo ponto.
Vamos considerar agora o caso em que sobre um objecto actuam forças em pontos arbitrários:
A barra horizontal pode girar livremente em torno de um eixo
horizontal através do ponto O. A esta barra são aplicadas duas
forças →
1F e →
2F de módulos iguais e de sentidos contrários.
Além disso, sobre a barra actuam também a força de gravidade →
gF e a força de reacção (ou força normal) →
rF que se anulam
mutuamente. Figura 9.2
Verifica-se facilmente que a soma de todas as forças sobre a barra é zero, isto significa que a
barra está em equilíbrio de translação. No entanto, verifica-se também que sob mesmas
condições a barra adquire um movimento de rotação, tanto →
1F como →
2F causam uma rotação no
mesmo sentido. Por esta razão, introduzimos uma nova grandeza física que se chama momento
de uma força em relação a um certo ponto.
Definição:
Chama-se momento de uma força M em relação a um ponto O ao produto do módulo da força pelo braço da força. O braço da força (d) em relação ao ponto O é a distância perpendicular da linha de acção de F até O.
dFM *= (9.3)
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101
A partir da definição, conclui-se facilmente que a unidade do momento S.I é N.m. Por
convenção tem-se:
Uma rotação horária é negativa e uma rotação anti-horária é positiva
9.4 Equilíbrio de rotação
9.4.1 Condição de equilíbrio de rotação
Um objecto encontra-se em equilíbrio de rotação quando a soma algébrica dos momentos das forças é zero: 0=∑ iM (9.4)
Isto quer dizer que a soma dos momentos no sentido horário, em relação a um eixo qualquer,
deve ser igual à soma dos momentos em sentido contrário em relação ao mesmo eixo.
Figura 9.3
Consideremos duas massas penduradas (Fig. 9.3). Os momentos 1M e 2M podem ser
calculados com base na equação (9.3):
1M =→
1F .d = -60.0,16 = -9,6Nm; 2M =→
2F .d = +80.0,12 = +9,6Nm
Os sinais (negativo e positivo) dependem dos sentidos (horário e anti-horário).
9.5 Condições gerais de equilíbrio
Para um objecto estar completamente em equilíbrio, isto é, tanto de translação como de rotação,
é necessário que se verifiquem as duas condições:
0== ∑ ixRX FF
0== ∑ yxRY FF (9.5)
0=∑ iM (9.6)
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102
Nota:
No caso de translação, equilíbrio significa que o objecto está em repouso ou tem
velocidade constante.
No caso de rotação, equilíbrio significa que o objecto está em repouso ou tem
velocidade angular constante.
Vamos aplicar as condições (9.5) para resolver alguns exemplos.
Exemplo 1:
Uma tábua rígida de 3m, de peso desprezível, apoia-se pelas extremidades em duas balanças
conforme ilustra a figura. Um pequeno peso de 60N está sobre a tábua. Determine as leituras
das balanças.
Fig. 9.4a Fig. 9.4b
Resolução:
A figura 9.4b mostra o diagrama das forças sobre a tábua. A força EF é a que actua na
extremidade esquerda, provocada pela balança. Uma vez que a tábua exerce sobre a balança
uma força igual mas oposta, o módulo de EF é a leitura da balança esquerda. Da primeira
condição de equilíbrio (a força resultante deve ser nula) sabemos que EF + NFD 60= .
Teremos uma segunda relação entre EF e DF se analisarmos os momentos. Imaginemos que o
ponto de aplicação seja o “ponto fixo”, teremos então, dois momentos, um horário e o outro
anti-horário. Igualando os dois momentos tem-se ED FF 5,25,0 = resolvendo obtém–se
NFE 10= e NFD 50= .
Exemplo 2:
Uma barra homogénea de massa 2kg está suspensa em
duas cordas. A uma distância de 0,5m do ponto P (veja
a figura abaixo) suspende-se uma massa de 8kg. Calcule
as tensões nas cordas 1 e 2.
Fig. 9.5
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103
Resolução:
Calculemos os momentos das forças em relação ao ponto P:
0=∑ iM → -80*0.5-20*1+ 2T *2 = 0 → 2T = 30 N
0=∑ iyF → 03020801 =+−−T → NT 701 =
Exemplo 3:
A massa do braço da balança da figura abaixo é de 2kg. A uma
distância de 20cm à esquerda do eixo O está suspensa uma massa
de 5kg:
a) A que distância se deve suspender uma massa de 7,5kg para
estabelecer equilíbrio
b) Calcule a força do eixo sobre o braço.
Resolução :
Sobre o braço actuam quatro forças, três para baixo e uma para cima, não existem forças na
direcção do eixo das abcissas.
Tomando em conta as condições de equilíbrio, temos:
0=∑ iyF → 0752050 =−−−eF → NFe 145=
0=∑ iM → +50*0.2-75*x= 0 → x =0,13 m
Exercícios
1. Certo ou errado:
a) Quando um objecto está em equilíbrio de translação, portanto quando 0=∑ xF e
0=∑ yF , necessariamente o objecto não pode fazer uma rotação.
b) Quando um objecto está em equilíbrio de rotação, portanto quando a soma dos momentos
for nula, necessariamente o objecto não pode fazer translação.
c) Quando a soma dos momentos, que actuam sobre um objecto, é igual a zero em relação a
certo ponto, essa soma será igual a zero em relação a qualquer outro ponto.
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2. Uma esfera uniforme de massa m=15kg está presa entre dois planos lisos
(veja a figura ao lado), sendo AB vertical. Determine as forças que os
planos exercem sobre a esfera.
Indicação: No centro de gravidade actuam três forças em equilíbrio: a força de
gravidade e as duas forças normais dois planos
3. Uma barra está colocada em cima de dois postes. Sobre
as extremidades da barra actuam os pesos das massas
de 100kg e 50kg como mostra a figura ao lado. A massa
da barra é igual a 30kg. Calcule as forças dos postes
sobre a barra nos pontos A e B.
4. Uma escada de 5m, uniforme, pesa 12N e está apoiada
contra uma parede vertical, com atrito desprezível(figura
ao lado). O pé da escada está a 3m da parede. Qual é o
coeficiente de atrito mínimo entre a escada e o solo para
que não haja escorregamento?
5. A massa da barra é de 30 kg. Calcule a força que o
suporte S actua sobre a barra e a tensão na corda C.
6. Uma mesa tem um peso de 300N.
a) Qual é a força necessária para levantar um lado puxando
este para cima?
b) Qual é a força necessária para levantar um lado
empurrando o outro para baixo?
7. Uma barra uniforme horizontal de massa m = 60kg está
articulada no ponto A de uma parede vertical e sustentada
pelo fio BC. Determine a tensão no fio e a força →
F ,
exercida pela articulação A sobre a barra (o módulo, a
direcção e o sentido de →
F )
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105
8. Tendo m um valor apropriado e encontrando-se no local certo, a barra está em equilíbrio. A
massa da barra é de 150g.
a) Mostre que a barra não está em equilíbrio sem a massa m.
b) Calcule m se x=50g.
c) Calcule a força sobre a barra no ponto S nesta nova situação.
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106
10. Energia
Introdução
10.1 Trabalho de uma força constante
10.1.1 Trabalho da força resultante
10.2 Trabalho de uma força variável
10.3 Energia
10.3.1 Energia e a relação trabalho
10.3.2 Lei de conservação de energia
10.4 Trabalho e energia cinética
10.5 Potencia e rendimento
10.6 Energia potencial Gravitacional
Questionário e Exercícios
Introdução
Energia é uma das ideias mais importantes em Física e também um termo muito usado na
nossa vida diária. Embora o termo “energia” se use todos os dias, ele tem um significado bem
preciso em Física, como veremos ao longo do estudo desta unidade temática.
Comecemos por tentar explicar o que queremos dizer quando usamos certas frases, por
exemplo, “estou cheio de energia” significa que nos sentimos em forma e capazes de fazer
muita coisa; de uma pessoa que está sempre activa e ocupada dizemos que é uma pessoa
enérgica; depois de um dia de trabalho duro ou mesmo de uma actividade física como, por
exemplo, um jogo de futebol, dizemos que estamos “sem energia”.
Na linguagem quotidiana, as palavras “força” e “energia” têm mais ou menos o mesmo
significado, entretanto, em Física é necessário distinguir estas noções. Na dinâmica, definimos
a força como sendo toda a causa capaz de modificar o estado de movimento ou de repouso de
um corpo, isto é, algo que causa aceleração. A questão agora é definir o conceito “energia”, esta
abordagem será feita ao longo desta unidade temática.
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10.1 Trabalho de uma força constante
No caso especial de uma força constante que actua sobre uma partícula, definimos trabalho (W)
realizado por uma força F como o produto do deslocamento pela componente da força ao longo
da trajectória:
θCosdFW **= (10.1)
De (10.1) pode-se concluir que o trabalho é positivo se o movimento ocorre na mesma direcção
que a força e é negativo se a sua direcção é oposta. No sistema internacional (S.I), a unidade do
trabalho é o Joule (J) : 1J = 1. N.m
Observações :
Na definição de trabalho estão envolvidas duas grandezas vectoriais (força e deslocamento),
entretanto, na equação (10.1) estamos nos referindo apenas aos módulos dessas grandezas,
isto é, o trabalho é uma grandeza escalar.
Se uma força for aplicada a um corpo e este não sofrer um deslocamento (d=0) , o trabalho
dessa força é nulo.
Apesar de terem mesmas unidades mesmas expressões e sob certas condições, o trabalho
(W) e o momento (M) de uma força são noções completamente diferentes.
10.1.1 Trabalho da força resultante
Quando diversas forças actuam sobre uma partícula, podemos calcular o trabalho efectuado
isoladamente por cada uma delas com base na equação (10.1). O trabalho total ou líquido é, o
trabalho efectuado por todas as forças que agem sobre a partícula e é igual à soma algébrica dos
trabalhos efectuados pelas forças isoladamente. O trabalho líquido é igual ao trabalho efectuado
pela força resultante:
........321 +++= WWWWtotal (10.2)
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108
10.2 Trabalho de uma força variável
Na maior parte das ilustrações a respeito das leis de
movimento, escolhemos circunstâncias em que, para
simplificar os problemas, as forças tinham módulo constante.
Quando as forças são constantes, as funções posição e
velocidade determinam-se pelas fórmulas de aceleração Fig. 10.1
constante, uma vez tenha sido determinada a aceleração pela segunda lei de Newton. Na
maioria das situações da Física, as forças não são constantes, dependem das posições das
partículas.
No caso de uma força variável, o trabalho realizado pela força numericamente, é igual à área
compreendida entre a curva que representa a força e o eixo entre as posições 1x e 2x . Fig. 10.1.
Para distender uma mola devemos exercer sobre ela uma força
XKF *= sendo K a constante elástica da mola: Fig. 10.2.
Calculando a área do triângulo da figura 10.2, achamos que o
trabalho realizado pela força sobre a mola é dado pela seguinte
expressão:
2**21 xkW = (10.3)
10.3 Energia
10.3.1 Energia e a relação com o trabalho
Um sistema tem energia se tiver a possibilidade de realizar trabalho. Por realizar trabalho positivo ele transfere a sua energia a outro sistema; por realizar trabalho negativo, um sistema retira energia do outro recebendo assim, essa energia.
Então, a quantidade de trabalho que um sistema pode realizar é a medida da energia que possui,
consequentemente, a energia é medida com as mesmas unidades com que se mede o trabalho,
isto é, no S.I a unidade da energia é o Joule.
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109
10.3.2 Lei de conservação de energia
Na água de Cahora Bassa está armazenada energia bem como numa pilha ou numa bateria
energia eléctrica. Há muitas possibilidades para conservar energia. Mas uma vez que certa
forma de energia se transforma em calor (sempre que um objecto ou máquina se move uma
parte da sua energia cinética transforma-se em calor) é muito difícil, ou seja, impossível
conservar esta energia.
Além disso, é impossível transformar calor completamente numa outra forma de energia.
Portanto, apesar da lei de conservação de energia, existe um problema de energia no mundo
devido à “perda” de energia sob forma de calor.
Lei de conservação de energia
Em cada transferência ou transformação a energia total permanece constante.
10.4 Trabalho e energia cinética
Quando um corpo de uma massa m está se movendo com uma velocidade v, ele possui energia
cinética ( cE ) que é dada pela seguinte expressão:
2
2mvEc = (10.4)
Há uma relação importante entre o trabalho líquido efectuado sobre uma partícula e a
velocidade escalar da partícula nas posições inicial e final (veja a figura 10.3)
Figura 10.3
Procuremos calcular o trabalho total, ABW , realizado sobre o corpo, desde A até B. Este
trabalho, como vimos, é dado pelo trabalho da força resultante. Como a força resultante actua
no sentido do movimento (θ = 0) e desloca o corpo numa distância d, temos:
dFWAB *= (10.5)
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110
Da segunda lei de Newton sabe-se que amF *= , onde “a” representa a aceleração adquirida
pelo corpo. Além disso, como o movimento é uniformemente acelerado, podemos relacionar
Av , Bv , a e d, com base na expressão advv AB 222 += (10.6) . Isolando d na expressão (10.6) e
substituindo na relação (10.5) resulta:
22
21
21* ABAB mvmvdFW −== (10.6)
Mas 2
21
Bmv representa a energia cinética do corpo ao chegar em B ( cBE ) e 2
21
Amv é a energia
cinética que ele possuía em A ( cAE ). Logo, o trabalho total realizado sobre o corpo é igual à
variação da energia cinética:
iniciocfimcc EEEW ,, −=∆= (10.7)
Exemplo1:
Um corpo, de massa m = 2,0kg passa por um ponto A com uma velocidade de 3,0 m/s.
a) Se a velocidade do corpo ao passar por um outro B, for 4,0m/s, qual foi o trabalho total
realizado sobre o corpo?
Resolução:
jmvE BcB 16521 2 == , jmvE AcA 9
21 2 ==
jjjEEEW iniciocfimcc 7916,, =−=−=∆=
10.5 Energia potencial
A energia potencial é a energia que um corpo possui devido à sua posição, isto é, a capacidade
que um corpo possui de realizar trabalho devido ao estado ou posição em que ele se encontra.
10.5.1 Energia potencial gravitacional (energia gravitacional)
Se um corpo de massa m encontra-se a uma altura h acima de um nível de referência , este
corpo possui energia potencial ( PE ), relativa a esse nível, expressa por :
mghEP = (10.8)
Onde g é a aceleração de gravidade.
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111
10.5.2 Energia potencial elástica
É a energia que uma mola possui devido à tendência de recuperar sua posição primitiva depois
de uma deformação. Essa energia é expressa pelo semi-produto da constante k da mola pelo
quadrado da sua deformação:
2
21 kxEPel = (10.9)
9.5.3 Relação entre trabalho e energia potencial Gravitacional
Consideremos um corpo de massa m, inicialmente no ponto A, a m altura a
uma altura Ah acima de um nível de referência ( figura 10.4). Quando um
corpo se desloca de um ponto A para um outro B, o seu peso realiza um
trabalho que é igual à diferença entre as energias potenciais gravitacionais
deste corpo naqueles pontos, isto é:
PBPAAB EEW −= (10.10)
10.6 Conservação de energia
10.6.1 Forças conservativas e dissipativas
As forças cujo trabalho não depende do caminho são denominadas forças conservativas. São
alguns exemplos desse tipo de forças, a força de gravidade, a força elástica e a força eléctrica.
O trabalho realizado por uma força conservativa entre dois pontos A e B é sempre dado pela
seguinte expressão:
PBPAAB EEW −= (10.11)
As forças cujo trabalho depende do caminho são denominadas forças dissipativas ou forças não
conservativas. Um exemplo típico de força dissipativa é a força de atrito. Ao contrário das
forças conservativas, não existe uma energia potencial relacionada com uma força dissipativa.
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112
10.6.2 Conservação de energia mecânica
Suponhamos que um corpo se desloca de uma posição A para B ao longo de uma trajectória
qualquer e que sobre ele actuam somente forças conservativas. O trabalho realizado por estas
forças, como já vimos, é dado pela expressão (10.11), sabemos também que quaisquer que
sejam as forças, o trabalho total realizado por elas é igual a variação da energia cinética
(equação 10.7). Igualando (10.7) e (10.11) resulta:
cBPBcAPA EEEE +=+ (10.12)
Conclusão:
Se apenas forças conservativas actuam sobre um corpo em movimento, a soma da energia cinética do corpo com a sua energia potencial permanece constante.
A soma da energia cinética de um corpo com sua energia potencial, num dado ponto, é
denominada energia mecânica.
10.7 Potência e rendimento
Como vimos, para o cálculo do trabalho de uma força não é necessário conhecer o tempo
decorrido na realização desse trabalho. Na vida prática, porém, o conhecimento desse tempo
pode ser importante pois, de maneira geral temos interesse em que um determinado trabalho
seja realizado em menor tempo possível. Para se medir a rapidez com que se realiza um certo
trabalho, define-se uma grandeza denominada potência (P):
A potência é a razão entre o trabalho realizado e o tempo gasto ao realizá-lo.
tWP∆∆
= (10.13)
No S.I a unidade da potência é o Watt, Watt = 1J/s .
O rendimento é razão entre o trabalho realizado ou energia útil pela energia fornecida:
100*fornecida
realizado
EW
=η % (10.14)
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113
Exemplo 2:
Uma bola é lançada verticalmente para cima com uma velocidade
inicial 0v . Determine a altura máxima atingida pela bola supondo que:
a) Não existe atrito
b) Actua uma força de atrito constante e que um processo dissipa uma
certa quantidade de calor Q.
Resolução:
a) Sem atrito
Podemos escrever: cBPBcAPA EEEE +=+
Considerando o nível de referência em A teremos:
0=PAE pois, para o ponto A, tem-se h=0
2
21
AcA mvE = onde m é massa do corpo
mghEPB = sendo h a altura de B em relação a A
0=cBE porque a velocidade do corpo é nula em B
Assim, cBPBcAPA EEEE +=+ ⇔ mghmvA =2
21
⇒ g
vh A
2
2
=
b) Com atrito: cBPBcAPA EQEEE ++=+
0=cBE , facilmente se chega ao resultado de que:mg
mvh
A2
21
=
Exemplo 3:
Um bloco de massa m =2kg está apoiado numa superfície
horizontal, encostado a uma mola de constante elástica
k=32N/m. A mola está comprimida de x =10cm e
mantida nesta situação por meio de um barbante amarrado
a ela. Queimando-se o barbante, a mola se distende,
empurrando o bloco. Qual é a velocidade com que o bloco abandona a mola?
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114
Resolução:
A medida que a mola se distende, a energia potencial elástica do corpo vai diminuindo,
enquanto sua energia cinética aumenta. Pela conservação da energia mecânica vem:
cBPBcAPA EEEE +=+
Mas 2.21 XKEPA = , 0=cAE , 0=PBE e 2
21 mvEcB = , então, 22
21
21 mvKX = ,
Donde: smXmkv /4,0* ==
Questionário/Exercício
1. Certo ou errado:
a) Somente a força resultante que actua sobre um corpo é capaz de efectuar trabalho.
b) Nenhum trabalho pode ser realizado sobre uma partícula que permanece em repouso.
c) O trabalho é a área subentendida pela curva da força contra o tempo.
d) Uma força que é sempre perpendicular à velocidade de uma partícula não efectua trabalho
sobre a partícula.
e) O quilowatt-hora é uma unidade da potência.
f) Somente as forças conservativas podem efectuar trabalho.
g) A qualquer força está associada uma função energia potencial.
h) Quando somente actuam forças conservativas, a energia cinética de uma partícula não se
altera.
i) O trabalho efectuado por uma força conservativa diminui a energia potencial associada a
esta força.
j) Quando uma partícula efectua uma trajectória fechada, o trabalho total efectuado por uma
força conservativa qualquer é igual a zero.
2. Sob acção de uma força constante, um móvel de 49kg de massa adquiriu uma velocidade
de 40m/s ao fim de 25s. Calcule:
a) O trabalho da força.
b) A potência da força.
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115
3. Um corpo que pesa 2N é lançado, verticalmente, de baixo para cima, com 0v =39,2m/s num
local onde a aceleração de gravidade é 210sm . Calcule :
a) A energia cinética ao fim de 5 segundos.
b) A energia potencial nesse instante.
c) O trabalho realizado pela gravidade entre o quinto e o sexto segundos.
4. Uma pedra, de massa igual a 2kg é abandonada ( 00 =v ) do
ponto A, caindo verticalmente, como mostra a figura deste
problema. Supondo que a resistência do ar não é desprezível
assinale, entre as afirmações seguintes, aquelas que são
correctas (considere 10=g m/s2):
A energia mecânica total, em A, é igual a 100 J.
a) A energia mecânica total, em B, é igual a 100J.
b) A energia potencial em B é igual a 40J
c) A energia cinética em B é igual a 60 J
d) A energia potencial perdida pela pedra, durante a queda, transforma-se integralmente em
energia cinética.
5. Dá-se um tiro contra uma porta. A bala de massa m = 20g, antes de atravessar a porta tinha
uma velocidade 1v = 800m/s. Logo após ter atravessado a porta sua velocidade passou a ser
de 2v = 200m/s.
a) Qual o trabalho da resultante das forças que agiram sobre a bala enquanto estava
atravessando a porta?
b) Qual é o valor da força resultante suposta constante? Considere a espessura da porta igual a
5cm.
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116
6. Um menino, exercendo uma força F = 30N, está puxando
um carrinho, cujo peso é P = 50N, ao longo da rampa
mostrada na figura deste problema. Desprezando o atrito
entre o carro e a rampa e considerando o deslocamento
AB=4m, assinale entre as afirmações seguintes, as
verdadeiras e as falsas:
a) O trabalho realizado pela reacção norma é nulo.
b) O ângulo formado pela forca F com o deslocamento do carrinho é de o30 .
c) O trabalho realizado pela componente→
TP é de -100J.
d) O ângulo formado pela componente→
NP com o deslocamento do carrinho é de o90 .
e) O trabalho total realizado sobre o carrinho é de 20J.
7. Um corpo de peso igual a 800N desce num plano inclinado de o30 . A força de atrito vale
100N. Calcule o trabalho da resultante das forças que agem sobre o corpo se o
deslocamento sofrido pelo corpo é igual a 5cm.
8. Uma pequena esfera de massa m = 2kg, desliza sem
atrito ao longo do trilho ABCD mostrado na figura
deste problema. Em A, a energia cinética da esfera é de
10J e sua potencial vale 54J. Quais das afirmações
seguintes são correctas:
a) A energia cinética da esfera ao passar por B é de 64J.
b) A energia potencial da esfera em C vale 18J.
c) A energia cinética da esfera da esfera em C vale 46J.
d) A energia mecânica total da esfera em D vale 64J.
e) A velocidade da esfera em D é de 8m/s.
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9. Uma pessoa lança um objecto para cima fazendo um
ângulo de o25 com a vertical. A bola escapa a mão com
uma velocidade inicial de 15,8m/s a uma altura de
1,20m (veja o ponto A da figura) e aterra num tecto no
ponto B, 12m acima do chão. A bola pára 1,9m depois
no ponto C. A massa da bola é 485g. Use 210 smg = .
Escolha o chão como referência da energia potencial.
a) Calcule a energia cinética e potencial da bola no ponto A.
b) E no ponto C.
c) Para a bola, escreva a equação da conservação de energia comparando as energias
mecânicas dos pontos A e C.
d) Calcule a energia dissipada para o ambiente neste lançamento de A para C.
10. Um objecto de massa m = 2kg está inicialmente em repouso sobre uma mesa horizontal. O
coeficiente de atrito cinético entre o objecto e a mesa é 0,40. O objecto é impulsionado
sobre a mesa a uma distância de 3m por uma força aplicada horizontal de 10N. Determine:
a) O trabalho efectuado pela força aplicada.
b) O trabalho efectuado pelo atrito.
c) A variação da energia cinética do objecto..
d) A velocidade do objecto depois de cobrir a distância de 3m.
11. Um fazendeiro possui nas suas terras uma pequena queda de água, cuja altura é de 10m,
tendo verificado que nesta cachoeira, caem 36m de água em 2 minutos.
a) Qual é a energia potencial que 36m de água possuem quando situados no alto da cachoeira?
b) Qual é o trabalho que esta massa de 36m é capaz de realizar ao chegar à base da cachoeira?
c) O fazendeiro necessita de uma potência de 7KW para a instalação eléctrica da fazenda.
d) Uma hidroeléctrica, instalada nesta cachoeira, resolveria as necessidades do fazendeiro?
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118
11. Quantidade de Movimento - Colisões
Introdução
11.1 Impulso e Quantidade de Movimento
11.2 Lei de Conservação de Quantidade de Movimento
11.3 Forças Impulsivas - Colisões
Questionário e exercícios
Introdução
Neste capitulo introduzem-se dois conceitos novos: impulso e quantidade de movimento. Estes
conceitos permitem-nos descrever a segunda lei de Newton de um outro ponto de vista. Além
disso, ser-se-á capaz de encontrar a lei de conservação de quantidade de movimento. Esta lei é
útil para a descrição do colisões ou, mais em geral, de situações nas quais só forças mútuas
actuam dentro de um sistema de objectos.
11.1 Impulso e Quantidade de Movimento
Quando um jogador de futebol cobra uma penalidade ou quando um tenista, usando sua
raquete, rebate a bola, em ambos os casos temos uma força actuando durante um curto intervalo
de tempo sobre a bola, o que faz com que ela seja impulsionada. De um modo geral, sempre
que uma força actuar em um corpo durante um certo intervalo de tempo, diz-se que recebeu um
impulso. Para o caso de uma força F constante, actuando durante um intervalo de tempo t∆ ,
define-se o impulso I , exercido pela força, através da expressão:
tFI ∆= . (11.1)
Veja que I é um vector que tem a mesma direcção e sentido de F como mostra a figura 11.1.
Pela expressão 11.1 vemos que, no sistema internacional (S.I.) a unidade do impulso é [N.s].
Fig. 11.1a e 11.1b
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119
Quantidade de movimento
A figura 11.2 mostra um carrinho, com um propulsor, que exerce uma força F constante sobre
ele. No instante t=0 o carro já tem uma velocidade inicial iv . Qual é a velocidade final fv , se
F actuar durante o intervalo de tempo t∆ ?
Fig. 11.2
Sendo constante a aceleração, é válido: tav ∆=∆ . . Segundo a 2a lei de Newton: mFa = ,
portanto tmFv ∆=∆ . e daí: tFvm ∆=∆ .. . Como foi visto anteriormente o produto tF ∆. chama-
se impulso.
O termo vm ∆. pode-se interpretar e definir da seguinte maneira: if vvv ∆−∆=∆ , e pode-se
escrever: if vmvmvm ... −=∆ . Ao produto vm∆. chama-se quantidade de movimento p .
Definindo assim o produto pvm ∆=∆. , nota-se claramente que é a variação p∆ da quantidade
de movimento.
Relação entre impulso e quantidade de movimento
O impulso é igual a variação da quantidade de movimento
if vmvmpvmtFI ..).(. −=∆=∆=∆= (11.2)
A unidade de quantidade de movimento é [kg.m/s].
A equação 11.2 expressa mais em geral a 2a lei de Newton:
tp
tvmF
∆∆
=∆
∆=
).( (11.3)
t∆ mais tarde 0=t
F Fiv fv
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120
Sendo m constante, o que é quase sempre o caso, (10.3) reduz-se em:
amtvmF .. =
∆∆
= (11.4)
Entretanto, se m não for constante, por exemplo a massa de um foguetão, expelindo grandes
quantidades de gases para trás, é necessário aplicar as expressões (11.2) ou (11.3).
Quantidade de movimento vmp = tem dois aspectos que a determinam: a velocidade e a
massa do objecto. Por exemplo, a quantidade de movimento de um carro carregado,
andando com certa velocidade, é maior do que a de um que anda com mesma velocidade e
que esteja vazio. Para diminuir a quantidade de movimento até zero numa situação perigosa
(isto é, para parar), o carro carregado precisará de mais tempo em ralação ao carro vazio.
A expressão ).21( 2vmEW c ∆=∆= usa−se para calcular a velocidade, se for conhecida a
força, que actua sobre o objecto e o deslocamento. Tanto w como cE são grandezas
escalares, portanto as direcções de F e v não importam. A expressão pI ∆= pode-se usar
para calcular a mudança de velocidade no caso em que a força e o intervalo de tempo são
conhecidos. Entretanto, I e p são grandezas vectoriais.
Exemplo 1:
O carrinho descrito na derivação das equações (11.2) e (11.3) tem uma massa de 0,80kg e uma
velocidade inicial de 4,0m/s. Durante 2,0s actua sobre ele uma força de 8,0N no mesmo sentido
que a velocidade inicial. Calcule a velocidade do carrinho depois do intervalo de tempo em que
actua a força, desprezando o atrito.
Apliquemos (11.2): if vmvmtF ... −=∆ , então, smm
vmtFv if /24
8,00,4*8,00,2*0,8..=
+=
+= .
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121
Exemplo 2:
O mesmo problema que no exemplo 1. Agora consideremos a força de atrito não desprezável e
igual a 2,0N. Calcule de novo a velocidade do carrinho depois de 2,0s.
É de salientar que a força nas equações (11.2) e (11.3) deve ser sempre a força resultante de
todas as forças que actuam no sistema.
Aqui a força resultante é: NFR 0,60,20,8 =−= , daí que:
smm
vmtFv if /19
8,00,4*8,00,2*0,6..=
+=
+= .
Exemplo 3:
Uma bola de 220g de massa tem uma velocidade de 0,40m/s para a esquerda. Colidindo com a
parede a velocidade num certo instante torna-se zero. Em seguida a bola volta à direita com
uma velocidade de 0,30m/s. Qual é a variação da quantidade de movimento p∆ ?
Sabe-se que 12 .. vmvmp −=∆ . Se escolhermos 2v positivo, por conseguinte 1v é negativo.
Portanto: skgmp /154,0)4,0(220,03,0*220,0 =−−=∆ . Tomando o aspecto vectorial a
variação da velocidade é de 0,70m/s.
Exemplo 4:
11.3a 11.3b
Uma bola de ténis tem uma velocidade iv de 30m/s. Um tenista muda a velocidade em 50m/s,
como mostra a figura 11.3a.
a) Qual é o impulso (ou variação de quantidade de movimento) da bola, sendo a massa da bola
de 110g?
skgmpi /3,330*11,0 == ; skgmp f /5,550*110,0 == ;
smvi /30=
smv f /50=
skgmp i /3,3=
skgmp f /5,5= if pppI −=∆=
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A figura 11.3b em forma de triângulo mostra os vectores ip , fp e p∆ , com ppp if ∆+= .
Usando o teorema de Pitágoras, obtemos: skgmp /4,6)5,5()3,3( 22 =+=∆ .
b) Qual é o sentido da força da raqueta?
Como tFI ∆= * , sendo t∆ o intervalo de tempo de contacto entre a bola e a raqueta, a força
F tem o mesmo sentido que I . O ângulo α, que faz a direcção de F com a linha horizontal,
podemos calcular com o auxílio de αtan : 05967,1arctan67,13,35,5tan ==→=== αα
i
f
pp
.
c) Sendo o tempo de contacto st 10,0=∆ , calcule a força da raqueta sobre a bola.
tFI ∆= * , em que NspI 4,6=∆= . Portanto, NF 64= .
11.2 Lei de conservação de quantidade de movimento
Na secção anterior formulamos a 2a lei de Newton com auxílio das grandezas impulso e
quantidade de movimento. Nesta secção encontraremos uma Lei importante, baseada na 3a lei
de Newton, que diz, como já sabe:
Quando o objecto A exerce uma força ABF sobre B, B exerce uma força BAF sobre A, de
módulo igual e de sentido contrário. Ou seja BAAB FF −= .
Sendo t∆ o intervalo de tempo, durante o qual as forças actuam mutuamente, por exemplo
durante uma colisão, é válido a partir da igualdade acima:
tFtF BAAB ∆−=∆ .. , com BAB ptF ∆=∆. e AAB ptF ∆=∆. , obtemos:
AB pp ∆−=∆ ou ).().( AABB vmvm ∆−=∆ (11.5)
A expressão (11.5) significa:
Quando A e B exercem só forças mútuas entre si, as quantidades de movimento de A e B varia
de tal maneira que o ganho de quantidade de movimento de A é exactamente igual à perda de
B ou vice-versa.
Representando a quantidade de movimento total, BA pp + , por totp , pode-se formular a Lei de
conservação de quantidade de movimento de um movimento do seguinte modo:
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Lei de conservação de quantidade de movimento:
Se actuarem só forças mútuas entre dois objectos A e B, a quantidade de movimento total permanece constante:
teconspp BA tan=+ ou depoistotantestot pp ,, = (11.6)
O mesmo raciocínio pode ser aplicado a um sistema de mais partículas. Sob a condição que só
actuarem forças mútuas entre as partículas de um sistema, é válido que:
permanecepppptot ...321 +++= tecons tan .
Forças Internas e Externas
As forças que actuam num sistema de partículas podem ser
classificadas em forças internas e forças externas. Se uma partícula do
sistema exercer uma força em outra partícula que também pertence ao
sistema, esta força será uma força interna. Por outro lado, se a força que
actua numa partícula do sistema for exercida por um agente que não
pertence ao sistema, ela será uma força externa. Fig. 11.4
Por exemplo podemos considerar duas bolas de bilhar como um sistema.
Colidindo as bolas, as forças mútuas durante colisão são forças internas. A força de atrito se no
caso existir, actuando sobre as bolas, é uma for externa, de como a força de gravidade e a força
normal sobre as bolas.
Usando estes termos pode-se formular a lei de conservação de quantidade de movimento da
seguinte maneira:
Lei de conservação de quantidade de movimento:
Se a resultante das forças externas, que actuam num sistema de partículas, for nula, a quantidade de movimento total do sistema teconspppptot tan...321 =+++=
No exemplo das bolas de bilhar isto significa que, sendo desprezável a força de atrito, somente
há troca de quantidade de movimento das bolas durante uma colisão.
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Como já foi dito, a força de gravidade e a força normal sobre as bolas são forças externas. No
entanto, estas forças anulam-se num plano horizontal e por isso não têm influência à quantidade
de movimento total das bolas. Por outro lado, se não for desprezável a força de atrito, a
quantidade total de movimento das bolas vai diminuindo, devido a esta força externa
retardadora.
Um outro exemplo:
Um objecto qualquer tem um sistema de moléculas que exercem forças internas sobre si. Cada
molécula tem uma quantidade de movimento que se altera continuamente. A soma vectorial das
quantidades de movimento das moléculas individuais fornece a quantidade do movimento total
do objecto: vmp .= . Sendo nula a resultante das forças externas, vm. permanece constante, o
que não é nada mais que a 1a lei de Newton. Por outro lado, se uma força externa, por exemplo
a força de gravidade actuar sobre o objecto, este vai se a acelerar, portanto a quantidade de
movimento total deste sistema vai aumentar.
11.3 Forças Impulsivas - Colisões
Forças Impulsivas
Quando uma bomba explode ou quando dois automóveis colidem e em várias outras situações
semelhantes, aparecem, entre os corpos, forças muito grandes mas que actuam durante um
intervalo de tempo muito curto.
Considerando dois objectos que colidem como um sistema, as forças mútuas são forças internas
dentro deste sistema. Como as forças internas provocam grandes variações nas velocidades dos
objectos que colidem em intervalos de tempo muito pequenos, ou seja, provocam acelerações
apreciáveis, estas forças internas são grande. Por esta razão chama-se forças impulsivas.
Em situações, nas quais não existem forças externas ou a resultante das forças externas é nula,
por exemplo, dois objectos colidindo num plano horizontal liso, a consequência é que a
quantidade de movimento total dos dois objectos permanece constante.
Entretanto, mesmo que existam forças externas, é permitido postular que a quantidade de
movimento de um sistema, imediatamente antes e imediatamente depois de qualquer colisão,
pode ser considerada como sendo inalterada. A razão é que o impulso das forças externas é
muito pequeno em relação aos das forças impulsivas, sendo o intervalo de tempo da colisão
muito pequeno.
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125
Então, a lei de conservação de quantidade de movimento no caso de colisão ou explosões,
formula-se da seguinte maneira:
No caso de uma colisão ou de uma explosão, a quantidade de movimento total do sistema, imediatamente antes do acontecimento é igual à quantidade de movimento total do sistema imediatamente após o acontecimento:
depoistotantestot pp ,, = (11.7)
Exemplo 5:
Um canhão de 1,0.103kg de massa lança uma granada, de massa m=2,0kg, com uma velocidade
inicial de 800m/s. Qual é a velocidade é a velocidade com que o canhão se move para trás?
Antes do lançamento o sistema “canhão e granada” tem uma quantidade de movimento
total igual a zero: 0, =antestotp .
Depois do lançamento a granada possui uma quantidade de movimento:
skgpg /10.6,1800*2 3== e o canhão: vpc .1000= . Portanto:
0.100016000.10001600 ,, =+⇒==+= vpvp antestotapostot logo smv /6,1−=
Em geral: se objectos estiverem inicialmente em repouso e se repelirem, a quantidade de
movimento permanece zero.
Colisões directas e Obliquas
Quando dois corpos colidem, por exemplo, no choque entre duas bolas de bilhar, pode
acontecer que a direcção do movimento dos corpos não seja alterada pelo choque, isto é, eles se
movimentam sobre uma mesma recta antes e depois da colisão. Quando isto acontece diz-se
que ocorreu uma colisão directa, ou uma colisão central, ou, ainda, que houve um choque
unidimensional.
Por outro lado, pode ocorrer que os corpos se movimentem em direcções diferentes, antes ou
depois da colisão. Neste caso, a colisão é denominada colisão obliqua.
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Colisões elásticas e inelástica
Considere a colisão representada na figura abaixo. Suponha que as energias cinéticas dos
corpos, antes da colisão, sejam JECA 8= e JECB 4= e que, após o choque passaram a ser:
JECA 5' = e JECB 7' = . Observe que antes da colisão, a energia cinética total do sistema era
JJJEE CBCA =+=+ 48
Calculando-se a energia cinética dos sistema após a colisão,
verificamos que JJJEE CBCA 1275'' =+=+ .
Fig. 11.3
Portanto, nesta colisão, a energia cinética total tem o mesmo valor antes e depois do choque,
isto é, a energia cinética do sistema se conservou. Sempre que isto ocorre diz-se que é uma
colisão elástica.
De modo geral o choque é elástico quando os corpos que colidem não sofrem deformações
permanentes durante a colisão. Duas bolas de bilhar por exemplo, realizam colisões que
podem ser consideradas elásticas.
No caso contrário, se os corpos apresentarem deformações permanentes em virtude da colisão,
ou se houver produção de calor durante o choque, verificamos que haverá uma redução no valor
da energia cinética do sistema, pois parte desta energia cinética foi utilizada para produzir
deformações ou foi transformada em calor. Sempre que os valores da energia cinética do
sistema, antes e depois da colisão, forem diferentes, diz-se que a colisão é inelástica.
Um caso particular de colisão inelástica ocorre quando os corpos, após o choque, passam a ter
velocidades iguais. Isto ocorre, por exemplo, quando dois automóveis colidem e movem-se
colados após o choque. Neste caso verifica-se a maior redução possível no valor da energia
cinética do sistema. Por isso, esta colisão é denominada completamente inelástica.
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127
Exemplo 6:
Dois carrinhos deslocam-se um de encontro ao
outro. Uma agulha presa no carrinho A faz com que
os dois andem ligados por diante depois da colisão.
a) Calcule a velocidade com que os dois andam
juntamente por diante.
vvmmvmvmpp BABBAAdepoistotantestot ).2,05,0(10.2,07.5,0).(..,, +=−⇒+=−⇔=
(Somar vectorialmente antestotBA ppp ,=+ significa aqui que Ap é positivo e Bp é negativo!).
Donde: smv /1,2= .
O sinal positivo de v significa que o sistema dos dois carrinhos move-se para a direita.
b) Calcule a perda de energia cinética durante a colisão.
JvmvmE BBAAantesc 2210.2,0.217.5,0.
21.
21.
21 2222
, =+=+=
JvmmE BAaposc 5,1)1,2.(7,0.21).(
21 22
, ==+=
Portanto. A perda de energia cinética é igual: J5,205,122 =−
Durante a penetração da agulha no carrinho B, esta energia cinética transformou-se em calor.
Exemplo 7:
Dois objectos deslocam-se como está indicado na figura abaixo. No ponto 0 realiza-se uma
colisão completamente inelástica, portanto os dois objectos movimentam-se juntamente depois
da colisão.
a) Determine a velocidade (módulo e sentido) deste objecto.
Fig. 11.4
smvB /2=
smva /3= A 2,0Kg
B 4,0Kg
α
totp
skgmp A /0,6=
skgmpB /0,8=
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128
Antes da colisão a quantidade de movimento total BAantestot ppp +=, . A figura 11.4 mostra
como determinar a quantidade de movimento total graficamente. Analiticamente determina-se a
quantidade total de movimento:
skgmppp BAantestot /1086 2222, =+=+= ; como sempre é válido: apostotantestot pp ,, = , assim:
skgmp antestot /10, = e vvmmp BAapostot .6).(, =+= , logo: smv /7,16
10== e:
05333,13,168tan =→==== αα
A
B
pp
b) Calcule a perda de energia cinética durante a colisão:
JvmvmE BBAAantesC 17..21..
21 22
, =+= , e JvmmE BAaposC 7,8)..(21 2
, =+= , portanto a perda de
energia cinética é igual a: JE perdidaC 3,87,817, =−= . Esta energia transformou-se em calor
devido à deformação dos objectos A e B durante a colisão.
Repare bem:
Independentemente do tipo de colisão sempre é válido que a quantidade de movimento total
dos objectos se mantém constante. Somente nas colisões elásticas é válido que a energia
cinética total se mantém constante.
Exemplo 8:
Uma bola de 2,0kg de massa com uma velocidade de 3,0m/s colide elásticamente com uma bola
de 1,0kg de massa que está em repouso. A colisão é central. Calcule as velocidades 1v e 2v
após a colisão.
Além de: apostotantestot pp ,, = (1)
também é válido: ∑∑ = aposCantesC EE ,, , logo: (2)
21.203*2 vv +=+ ou 21.26 vv += (1)
22
21
2 .21.2.
2103.2.
21 vv +=+ ou 2
221.218 vv += (2)
como se pode ver é um sistema de duas equações com duas incógnitas. Substituindo:
12 .26 vv −= em (2), obtém-se: 21
21 ).26(.218 vv −+= , dai: 018.24.6 1
21 =+− vv ,
donde: 03.4 121 =+− vv , dai: 0)1)(3( 11 =−− vv ;
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129
logo substituindo na equação (1):
smv /0,31 = e smv /0,11 =
smv /0,02 = e smv /0,42 =
A solução smv /0,31 = e smv /0,02 = é lógica: sem colisão totp e totalCE , permanece também
constante. Portanto após a colisão as velocidades são smv /0,11 = e smv /0,42 = , verifica-se
facilmente que estas velocidades cumprem as equações (1) e (2).
Exemplo 9:
Um carro L com uma velocidade de 20m/s, colide frontalmente com um carro R do mesmo
tipo, que está estacionado. Durante o choque os carros amolgam-se, para depois continuarem o
caminho conjuntamente até o repouso. Durante o choque, ao amolgarem-se mutuamente, a
lanterna traseira do carro R desloca-se 0,50m.
a) Quanto é que se encurtaram os carros devido ao choque?
b) Qual é o carro que tem a maior avaria depois do choque?
Os dois carros colidem completa e inelásticamente. Aplicando o princípio de conservação de
quantidade de movimento, encontra-se a velocidade comum depois da colisão. smv /0,10= .
Durante a colisão, isto é, até atingir a velocidade comum, a velocidade do carro L diminui de
20m/s até 10m/s, portanto a sua velocidade média neste período é de (20+10)/2=15m/s. No
mesmo intervalo de tempo a velocidade do carro R aumente de 0m/s até 10m/s, portanto, a sua
velocidade média é de 5m/s.
A lanterna traseira do carro R desloca-se 0,50m durante a sua deformação. O carro L tem neste
período uma velocidade média 3 vezes maior, portanto, desloca-se 1,5m. Isto significa que “se
perdeu” 1,5-0,5=1,0m. Portanto, os carros encurtam-se 1,0m.
Que carro tem a maior avaria?
Durante a colisão a força de L sobre R é igual à de R sobre L (3a lei de Newton). Como os
carros são idênticos, também as avarias provocadas devem ser iguais. Com diferentes carros
não é fácil prever que carro sofrerá a maior avaria; depende tanto da massa como da construção
dos carros.
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130
Questionário
1. Mostre que as unidades N.s e kgm/s são equivalentes;
2. Atirando um pedaço de argila contra parede, “desaparece” quantidade de movimento.
Comente esta afirmação.
3. Quando é que a lei de conservação de quantidade de movimento é válida e quando é que se
conserva a energia cinética de dois objectos que colidem?
4. Porquê se pode aplicar a lei de conservação de quantidade de movimento, logo antes e depois
da colisão, à colisão de dois carros, mesmo quando existem forças externas como, por
exemplo, o atrito.
5. Considere um sistema constituído pela Terra e a Lua. Diga se cada uma das forças seguintes é
uma força externa.
a. força da Terra sobre a Lua;
b. força do Sol sobre a Terra;
c. força do Sol sobre a Lua;
d. força da Lua sobre a Terra;
Exercícios
1. Um foguete na plataforma de lançamento possui uma massa total (incluindo o combustível)
de 4.103kg. Processando-se a combustão, o foguete expele rapidamente 800kg de gás, com
uma velocidade de 2,0.103m/s. Determine a velocidade adquirida pelo foguete após expulsar
esta massa de gás.
2. Um camião de brinquedo, cuja massa é m1=3,5kg, está se deslocando com uma velocidade
smv /20,01 = sobre uma superfície horizontal lisa. Um menino arremessa, sobre a carroceria
do camião, um tijolo de massa m2=0,50kg, com uma velocidade horizontal smv /0,52 = .
Logo após o impacto, o camião e o tijolo (dentro da carroceria) passam a deslocar-se juntos,
com velocidade v . Considerando o sistema camião+tijolo indique, entre as afirmativas
seguintes, aquelas que estão correctas:
a. A colisão do tijolo com o camião é uma colisão elástica;
b. A quantidade de movimento do sistema, imediatamente antes da colisão era 3,2kgm/s;
c. A quantidade de movimento do sistema, logo depois da colisão, é menor que antes da colisão;
d. A energia cinética do sistema, logo após a colisão, é menor do que antes da colisão;
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131
e. A velocidade do camião deve diminuir, porque a sua massa aumentou;
f. A velocidade do sistema, logo após a colisão, é smv /80,0= .
3. Dois automóveis, de massa m1=2,0t e m2=1,0t deslocam-se ao longo de duas ruas
perpendiculares, com velocidades smv /201 = e smv /302 = . Na esquina destas ruas eles
colidem e passam a mover-se juntos após a colisão.
a) Calcule em unidade de S.I., a quantidade de movimento total dos dois carros antes do choque.
b) Qual é o valor da velocidade comum dos dois carros após a colisão?
4. Uma granada, de massa m=1,0kg, é lançada verticalmente para cima e explode no ponto mais
alto, fragmentando-se em três pedaços. Imediatamente após a explosão, o primeiro fragmento
cuja massa é de 0,20kg, move-se verticalmente para cima com velocidade de 100m/s. O
segundo fragmento, cuja massa é 0,70kg, move-se verticalmente para baixo com velocidade
de 10m/s.
a) Qual é o módulo, a direcção e o sentido da velocidade do terceiro fragmento?
b) Determine a energia libertada na explosão da granada.
5. Uma granada de massa igual a 10kg, é lançada
verticalmente para cima e explode no ponto mais alto,
fragmentando-se em três pedaços. A figura deste
problema mostra de que maneira afastam-se dois dos três
pedaços logo depois da explosão.
a) Calcule a velocidade do terceiro pedaço (o módulo e o sentido), logo depois da explosão.
b) Calcule a energia libertada na explosão.
6. Pêndulo balístico.
Para determinar a velocidade duma bala de revólver, pode-se
fazer a experiência seguinte. Considere uma bala m, disparada
com velocidade v , cujo valor desejamos medir. Fazendo a bala
incidir contra um bloco de madeira, massa M, suspenso por um
fio, a bala se engata no bloco e o conjunto sobe até uma altura h.
Veja a figura deste problema. Supondo que, em uma experiência,
na qual m=8,0g e M=2,0kg, tenha-se observado que h=20cm.
1,0kg 100m/s
300
4,0kg 50m/s
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132
a) Sendo v a velocidade do conjunto da bala+bloco logo após a colisão, expresse v em função
de V .
b) Lembrando-se que a energia cinética, com que o conjunto parte após a colisão, transforma-se
em energia potencial, calcule o valor de V .
c) Determine a velocidade de v , com que a bala foi disparada
7. Um rapaz cuja massa é igual a 40kg, corre a uma velocidade de 6,0m/s atrás de um carrinho
de 50kg de massa que tem uma velocidade igual a 3,0m/s. Determine a velocidade do
carrinho depois de o rapaz saltar em cima dele.
8. Duas bolas A e B colidem central e elasticamente, como a figura deste problema mostra. A
massa de A é igual à massa de B. Calcule as velocidades Av e Bv e os sentidos das bolas
depois da colisão.
B 2,0m/s A 4,0m/s
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133
Exercícios Complementares
1. Um motorista percorre uma distância de 80km a uma velocidade constante de 20km/h e, em
seguida percorre uma distância de 160km a uma velocidade constante de 80km/h. Determine
a velocidade média do motorista.
2. A figura abaixo mostra o movimento de dois objectos I e II. O ponto de intersecção dos dois
gráficos fisicamente significa que neste momento os dois I e II:
A. estão na mesma distância do ponto de referência
B. possuem a mesma velocidade
C. possuem a mesma aceleração
D. possuem trajectórias que se cruzam
3. A velocidade de um peão que se move em linha recta, sobre um superfície horizontal, varia
em função de tempo de acordo com o gráfico v=V(t) abaixo. Considere v dado em km/h e t
em horas. Nas primeiras 4h o peão percorreu:
A. 40km
B. 20km
C. 30km
D. 60km
4. Se no problema anterior, o peão passar da origem no instante t=0, então ao fim de 8h estará
afastado da origem:
A. 30km B. 25km C. 35km D. 40km
5. O peão do problema anterior realiza em geral, movimento variado. Mas especificamente nos
trechos 2-4 e 6-8 horas pode-se considerar que o peão realiza:
A. movimento uniformemente acelerado. B. movimento uniforme
C. movimento uniformemente retardado. D. acelerado e retardado respectivamente
6. Uma pedra é lançada verticalmente para cima, no vácuo. No ponto mais alto da trajectória a
velocidade da pedra é nula e a aceleração é:
A. 9,8m/s2 dirigida para cima B. depende da massa da pedra
C. nula D. 9,8m/s2 dirigida para baixo
0
10
20
30
40
50
60
70
0 1 2 3 4
I
II
t(s)
-10
-5
0
5
10
0 2 4 6 8 10
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134
B
A
7. Um carro desce um plano inclinado que faz com a horizontal um ângulo de 300 à velocidade
constante. A aceleração do carro é igual à:
A. 9,8m/s2 B. 0m/s2
C. 4,5m/s2 D. depende da massa do carro
8. Um rapaz deixa cair uma pedra de um prédio de altura h. Desprezando o atrito do ar a
velocidade com que a pedra atinge o solo pode ser calculada pela expressão:
A. gh /2 B. hg2
C. hg 2/ D. )2/(1 hg
9. Quando um corpo cai livremente a partir de certa altura, e sem resistência do ar, então, no
âmbito da conservação de energia tem lugar o seguinte:
A. energia cinética é conservada B. energia potencial é conservada
C. as duas energias conservam-se D. a grande Ec + Ep é conservada
E. a quantidade de movimento p é constante F. a EP transforma-se em p
10. Uma bola de massa m largada em A, a uma altura de 2,20m, passa por um trilho circular de
raio 0,50m segundo a figura. A bola sai do trilho em B, a altura de 0,20m, com velocidade
igual à:
A. 10m/s
B. 20m/s
C. 1,0m/s
D. 2,0m/s
11. Considere o problema anterior. Durante o movimento, a bola exerce sobre o trilho uma força
variável. Ao passar pela parte inferior do trilho o valor dessa força é:
A. igual a mg B. superior a mg C. inferior a mg D. 0
12. Na extremidade de um fio que passa por uma roldana fixa está preso um corpo de 8kg de
massa. Para que o corpo se movimente para cima com uma aceleração de 5m/s2 é preciso
puxar a extremidade do fio com uma força aproximadamente igual à:
A. 8N B. 80N C. 120N D. 13N
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135
13. A relação entre os vectores velocidade (v) e aceleração (a) de um movimento circular
uniforme é graficamente representado por:
A B C D
14. Um corpo parte de repouso e percorre em queda livre 10m no último segundo. Desprezando a
resistência do ar, a altura a que se encontrava o corpo é igual à:
A. 11,25m B. 10,0m C. 9,25m D. 8,0m
15. Um automóvel fez um percurso rectilíneo com velocidade escalar média negativa. Podemos
afirmar que:
A. deslocou-se de marcha atrás
B. teve um movimento com sentido contrário à orientação positiva do eixo coincidente com
a trajectória
C. é impossível esta situação, pois não há significado físico para velocidade escalar negativa
D. a velocidade escalar (instantânea) foi diminuindo
16. Num trajecto de 60km a velocidade máxima permitida é de 80km/h. Um condutor excede-a
em 29km/h. Qual foi o tempo que poupo com a transgressão?
A. 45 minutos B. 9 minutos C. 1 hora D. 5 minutos
17. Um corpo, no instante de tempo t0=0s, é lançado verticalmente para cima e alcança uma
altura h num instante de tempo t. Supondo nula a resistência do ar, identifique entre os
gráficos abaixo, o que melhor representa a variação do deslocamento do corpo, em função do
tempo, desde t0 até t. As curvas são ramos de parábola.
a
v
v
a
a
v
a
v
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136
18. Um comboio que possui 100m de comprimento atinge a boca de um túnel e, 30s após, a
extremidade de seu último vagão abandona o túnel. Sabendo que a velocidade do comboio é
constante e igual a 20m/s, podemos concluir que o comprimento do túnel é:
A. 4,5x102m B. 5,0x102m C. 6,0x102 m D. 7,0x102 m E. 7,5x102m
19. Um corpo, que se movimenta rectilineamente, tem sua velocidade variando em função do
tempo, conforme mostra o gráfico abaixo.
Pode-se afirmar que aceleração deste corpo foi:
A. maior no intervalo "C" do que no intervalo "A".
B. nula no intervalo de tempo "B".
C. nula no intervalo de tempo "D".
D. variável nos intervalos de tempo "B" e "D".
E. constante no intervalo de tempo "D".
20. Quando um corpo se movimenta rectilineamente, sua velocidade varia de acordo com o
tempo, conforme mostra a seguinte tabela:
O Gráfico que melhor representa o comportamento da aceleração deste corpo em função do
tempo é:
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137
21. O esquema ao lado representa um corpo que desliza, sem
atrito. No instante de tempo tA=0, o corpo encontra-se no
ponto A com velocidade vA. O ponto C é o ponto mais alto
da superfície inclinada atingido pelo corpo; ele o atinge no
instante t=tC. O ponto B é equidistante de A e C. Na
subida, quando o corpo passa por B, pode-se afirmar que:
22. Um corpo de massa m movimenta-se sobre uma estrada
rectilínea, partindo de uma posição inicial -10m. O gráfico
representa a velocidade deste corpo em função do tempo.
A equação da velocidade que descreve este movimento é:
23. Lança-se um corpo para cima com uma velocidade inicial vi e este leva um tempo t1 para
atingir a altura máxima. Pode-se afirmar, desprezando as forças de resistência do ar:
A. na metade da altura v=vi/2
B. na metade da altura t=t1/2
C. para t=t1 a aceleração é zero.
D. para t=2t1 o corpo estará no ponto de partida.
E. na metade da altura t=3t1/2
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24. Considere o gráfico posição x em função do tempo t para um móvel
em movimento rectilíneo. Qual é o gráfico velocidade v em função
do tempo t correspondente?
25. O gráfico em função do tempo mostra dois carros A e B em
movimento rectilíneo. Em t= 0s os carros estão na mesma
posição. O instante em que os carros novamente se encontram na
mesma posição é:
A. 2,0s B. 4,0s C. 6,0s D. 8,0s E. 10s
26. Um corpo é lançado de baixo para cima sobre um plano inclinado, livre de atrito, com
velocidade inicial de 6,0m/s. Após 5/3s ele atinge o topo do plano com velocidade de 1,0m/s.
A equação de velocidade que melhor se adapta a este movimento é:
A. v = 6 - 5t/3 B. v = 5 - 5t/3 C. v = 1 - 5t/3 D. v = 6 - 3t E. v = 6 –t
27. Dois móveis, A e B, descrevem respectivamente um movimento
rectilíneo, representados pelo gráfico v=f(t) ao lado. A razão entre
os deslocamentos dos móveis A e B durante os respectivos
intervalos de tempo é:
A. 5/6 B. ¾ C. ½ D. 1/3 E. 4/3
28. Uma polia A de raio RA = 0,2 m está ligado, através de uma
correia, a outra polia B de raio RB = 0,4 m sem nenhum
deslizamento entre as polias e a correia, durante o movimento.
Se o movimento descrito pelas polias A e B for movimento
circular uniforme, então a velocidade angular da polia A é numericamente.
A. igual à velocidade angular da polia B. B. igual à velocidade tangencial da polia A
C. menor que a velocidade angular da polia B D. maior que a velocidade angular da polia B
E. igual à velocidade tangencial da polia B.
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29. Um móvel descreve um movimento rectilíneo sob a acção de uma força constante, partindo
da origem com velocidade inicial nula e passando sucessivamente pelas posições x1, x2, x3, x4
e x5 . O móvel gasta um intervalo de tempo igual a 1/10 de segundo na passagem entre duas
posições sucessivas.
Sendo constante a aceleração do móvel, podemos afirmar que esta aceleração vale, em m/s2:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
30. Uma esfera está deslizando sobre uma mesa sem atritos, com
certa velocidade v0. Quando a esfera abandona a superfície da
mesa, projectando-se no vácuo, descreve a trajectória
representada na figura ao lado.
A altura da mesa Y é de 5m e o alcance horizontal X é 10m. Qual a velocidade inicial v0 da
esfera, em m/s?
A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 E. 10
31. Um projéctil é disparado contra um alvo por um atirador. Sabe-se que o ruído do impacto é
ouvido pelo atirador 1,2s após o disparo e que a velocidade do projéctil tem valor constante
de 680m/s. Considerando que a velocidade do som no ar é de 340m/s, a distância entre o
atirador e o alvo, em metros, é de:
A. 170 B. 272 C. 300 D. 480 E. 560
32. Para responder às duas próximas questões, utilizar o gráfico v = f(t)
ao lado.
33. No intervalo de tempo compreendido entre t = 0s e t = 2s, a aceleração, em m/s2, é igual a:
A. zero B. 2 C. 3,5 D. 4,0 E. 5,0
34. Entre os instantes t = 4s e t = 8s, a distância percorrida pelo móvel, em metros, é de:
A. 5 B. 10 C. 20 D. 30 E. 40
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140
35. Qual dos gráficos abaixo representa a variação da velocidade v, em função do tempo t, de
uma pedra lançada verticalmente para cima? (A resistência do ar é desprezível.)
36. A posição inicial de um móvel que descreve um movimento rectilíneo,
representado pelo gráfico v = f(t) a seguir, vale 10 m. A equação horária
que melhor representa o movimento considerado é:
A. x = 10 + 30t - 4t2 B. x = 10 + 30t + 2t2 C. x = 10 + 30t - 2t2
D. x = 30t - 4t2 E. x = 30t - 2t2
37. Dois automóveis, A e B, se deslocam sobre uma mesma estrada, na mesma direcção e em
sentidos opostos, animados, respectivamente, das velocidades constantes vA=90km/h e
vB=60km/h. Num determinado instante t0 = 0, passam pelo mesmo referencial. Ao final de
15min contados a partir da passagem pelo referencial, a distância entre os automóveis, em
km, será:
A. 10,0 B. 37,5 C. 42,7 D. 54,8 E. 81,3
38. O disco da figura gira no plano da folha em torno do eixo
C, no sentido horário, animado de um MCU. O eixo C é
perpendicular ao plano da figura. Os pontos 1 e 2,
situados às distâncias R1 e R2 do eixo C, giram solidários
com o disco. Sabendo que R1=1/2R2, a relação entre as
velocidades lineares v1 e v2 dos pontos 1 e 2 é:
A. v1 = 1/3v2 B. v1 = 1/2v2 C. v1 = v2 D. v1 = 2v2 E. V1 = 3v2
39. Um móvel, inicialmente em repouso, parte do referencial A da figura, no instante t = 0,
ocupando, sucessivamente, as posições B, C, D e E de segundo em segundo. Cada divisão do
papel milimétrico corresponde a 1,0m.
A
aceleração do móvel, em m/s2, vale:
A. 2,25 B. 3,00 C. 3,75 D. 4,50 E. 5,25
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141
40. Um motor acciona o eixo 1, imprimindo a este uma velocidade
angular constante de módulo w. As polias B e C estão ligadas
através de uma correia e as polias A e B estão ligadas por um
eixo.
Com relação aos sistema, podemos afirmar que as velocidades
periféricas tangenciais de módulo v e angulares de módulo w de
cada polia são:
A. vB>vC wB=wA; B. vB=vC wB=wA; C. vB=vC wB>wA; D. vB<vC wB>wA; E. vB<vC wB=wA
41. Uma partícula parte do repouso com aceleração constante, percorrendo os pontos A, B, C e D
em intervalos de tempos iguais (1s).
Se a partir do ponto D a aceleração da partícula for duplicada, então a distância DE valerá, em
metros:
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 E. 8
42. Duas partículas são lançadas de alturas diferentes, h e 2h, com
velocidades horizontais iniciais iguais, através de duas calhas
conforme a figura. Quando a partícula A estiver sobre a posição
3, a partícula B estará simultaneamente sobre a posição:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 E. 6
43. As figuras abaixo representam quadrados nos quais todos os lados são formados por vectores
de módulos iguais. A resultante do sistema de vectores é nula na figura de número:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
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142
44. Um avião está voando na horizontal em relação ao solo, com velocidade constante de 50m/s,
quando abandona uma bomba de uma altura vertical de 405m acima do solo. Considerando
nula a resistência do ar e a aceleração da gravidade g = 10m/s2, a bomba ao atingir o solo,
terá percorrido na horizontal uma distância, em metros, igual a:
A. 50 B. 100 C. 200 D. 450 E. 900
45. Dois carros, A e B, deslocam-se numa estrada rectilínea como mostra
o gráfico ao lado, onde x representa a distância percorrida durante o
tempo t. Podemos afirmar que a velocidade do carro B:
A. é menor que a do carro A B. é maior que a do carro A
C. é igual à do carro A D. cresce com o tempo E. decresce com o tempo.
46. Um móvel, partindo do repouso, executa um movimento rectilíneo uniformemente variado.
Ao término dos 2,0s iniciais a sua velocidade é de 8,0m/s. Qual a distância percorrida, em
metros, após 5,0s de movimento?
A. 30 B. 40 C. 50 D. 60 E. 70
47. Um objecto é lançado verticalmente para cima, com velocidade inicial v0, sendo 2t0 o tempo
necessário para voltar ao ponto de partida. Dos gráficos da velocidade v em função do tempo
t, a seguir apresentados, o que melhor representa a variação da velocidade do objecto
enquanto se manteve em movimento é:
48. Duas polias, A e B, unidas através de um eixo rígido, executam
movimento circular uniforme conforme mostra a figura. Qual é
a relação entre as velocidades lineares vA e vB dos pontos da
periferia das respectivas polias, sabendo-se que o raio da polia
A vale a metade do raio da polia B?
A. vA=0,5vB B. vA=1,0vB C. vA=1,5vB D. vA=2,0vA E. vA=2,5vB
A
B
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143
49. Duas esferas, A e B, deslocam-se com velocidades constantes vA e vB, respectivamente,
ocupando sucessivas posições ao longo do percurso indicado a seguir.
Sabendo-se que vA=2.vB e que num dado instante elas ocupam as posições indicadas, concluí-se
que a esfera A alcançara a esfera B na posição:
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19 E. 20 Instrução:
Responda às 2 questões seguintes considerando o gráfico abaixo. O gráfico da velocidade v em
função do tempo t, mostra o deslocamento rectilíneo de uma partícula.
50. A partícula, nos 2,0s iniciais de movimento, apresenta, em m/s2, aceleração de:
A. 2,0 B. 3,0 C. 4,0 D. 5,0 E. 6,0
51. O deslocamento da partícula no intervalo de tempo de 4,0 s a 8,0 s, em metros, é de:
A. 15 B. 18 C. 20 D. 22 E. 25
52. Em relação à aceleração de um móvel que executa um movimento circular uniforme, pode-se
afirmar que:
A. é constante em módulo B. é variável em módulo C. é nula
D. tem componente tangencial diferente de zero E. tem direcção constante
53. Nos gráficos abaixo estão representadas velocidade (v), aceleração (a) e posição (d) como
funções do tempo (t). O gráfico que representa um movimento uniformemente acelerado é o:
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144
54. Dizer que um movimento se realiza com aceleração constante de 5m/s2 significa que:
A. em cada segundo o móvel se desloca 5m
B. em cada segundo a velocidade do móvel aumenta de 5m/s
C. em cada segundo a aceleração do móvel aumenta de 5m/s
D. em cada 5 segundos a velocidade aumenta de 1m/s
E. a velocidade é constante e igual a 5m/s
55. Um disco de gravação em que há dois pontos, A e B, está representado na figura. Ao
considerar o disco em movimento de rotação, podemos afirmar que:
A. A tem velocidade angular maior que B
B. A tem velocidade angular menor que B
C. os dois têm a mesma velocidade linear.
D. os dois têm a mesma velocidade angular
E. B tem velocidade linear menor que A
56. O gráfico abaixo representa a posição x ocupada por um móvel em
movimento rectilíneo e uniforme, em função do tempo t. A expressão
matemática desta função é:
A. x = 2 + 1t B. x = -1 + 2t C. x = 2 + 3t D. x = 2 + 2t E. x = 4 - 2t
57. O gráfico da velocidade v em função do tempo t representa movimentos rectilíneos de dois
móveis A e B. Considerando-se os 8s iniciais de movimento, é
correcto afirmar que:
A. o móvel A tem aceleração menor do que o móvel B
B. o móvel B percorre maior distância do que o móvel A
C. o movimento do móvel A é uniforme
D. os móveis percorrem distâncias iguais
E. os móveis têm a mesma aceleração
58. A equação horária da posição x de uma partícula material em movimento uniformemente
variado é dada pela expressão x = 3t + 2t2, onde x está em metros e t em segundos. Após 5s
de movimento, o móvel adquire velocidade, em m/s, igual a:
A. 10 B. 13 C. 17 D. 23 E. 25
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145
Instrução:
Responda às 2 próximas questões baseando-se no enunciado abaixo.
Dois móveis, A e B, percorreram uma trajectória rectilínea, conforme as equações horárias
xA=30 + 20t e xB=90 - 10t, sendo a posição x em metros e o tempo t, em segundos:
59. No instante t = 0s, a distância entre os móveis, em metros, era:
A. 30 B. 50 C. 60 D. 80 E. 120
60. O instante de encontro dos dois móveis, em segundos foi:
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 E. 5
61. Um rapaz estava conduzindo uma motocicleta a uma velocidade de 72,0km/h, quando
accionou os travões e parou em 4,0s. A aceleração imprimida à motocicleta pelos travões foi,
em módulo, igual a:
A. 2km/h2 B. 4,0m/s2 C. 5,0m/s2 D. 15m/min2 E. 4,8km/h2
62. No gráfico ao lado está representada a velocidade v = f(t) de um determinado
movimento, e cinco alternativas para a aceleração a = f(t) correspondente.
Assinale a correcta.
63. Um atirador ouve o ruído da bala atingindo um alvo 4,0 segundos após dispará-la com
velocidade média de 1020m/s. Supondo-se que a velocidade do som no ar seja 340m/s, a
distância entre o atirador e o alvo, em metros é:
A. 340 B. 680 C. 1020 D. 1360 E. 1700
64. As afirmações a seguir referem-se a um movimento rectilíneo realizado por um objecto
qualquer.
I - O vector velocidade pode mudar de sentido
II - O vector velocidade tem sempre módulo constante
III - O vector velocidade tem direcção constante
A alternativa que representa correctamente o movimento rectilíneo é:
A. I, II e III B. somente III C. somente II D. II e III E. I e III
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146
65. Um pequeno objecto é lançado verticalmente para cima realizando na descida um movimento
de queda livre. Supondo-se positiva a velocidade do objecto na subida, pode-se afirmar que
sua aceleração será:
A. positiva na subida e negativa na descida B. negativa na subida e positiva na descida.
C. constante e positiva na subida e na descida D. constante e negativa na subida e na
descida.
E. variável e negativa na subida e na descida.
66. Nos pares de gráficos a seguir, estão representadas velocidade v e aceleração a, ambas em
função do tempo t. O par de gráficos que representa o mesmo movimento é o da alternativa:
67. A barra da figura é um corpo rígido de peso
desprezível, apoiada no ponto P.
Qual o módulo da força que mantém a barra
em equilíbrio mecânico na posição horizontal?
A. 10 N B. 20 N C. 30 N D. 40 N E. 60 N
68. Uma barra homogénea X, de 1,0m de comprimento, está pendurada horizontalmente pelos
seus extremos, enquanto o bloco Y está pendurado a
25cm da extremidade esquerda dessa barra, conforme
mostra a figura. A barra pesa 60N e o bloco, 40N. Qual
a tensão na corda presa na extremidade direita dessa
barra?
A. 30N B. 40N C. 50N D. 70N E. 100N
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147
69. A barra homogénea BC da figura tem um
peso de 100kN e seu comprimento é de 10m.
O centro de gravidade CG da barra e o ponto
de apoio A estão, respectivamente, a 5m e
2m da extremidade B. Qual é o peso do corpo X que deve ser suspenso na extremidade B para
que a barra se mantenha em equilíbrio mecânico na posição horizontal?
A. 10kN B. 66kN C. 150kN D. 170kN E. 600kN
70. A figura representa uma barra rígida e homogénea em
equilíbrio estático, a qual pode girar livremente no plano da
página, em torno do ponto de apoio P. Quando for aplicada
uma força de 3N, no ponto 2, na direcção e sentidos indicados
na figura, é possível manter a barra em equilíbrio, aplicando-se sobre ela outra força igual a:
A. 3N, para cima, na posição 5 B. 3N, para baio, na posição 5
C. 2N, para cima, na posição 7 D. 2N, para baio, na posição 7
E. 3N, para baixo, na posição 7
71. Uma barra homogénea de massa 2,0kg está apoiada nos seus extremos A e B, distanciados de
1,0 m. A 20cm da extremidade B foi colocado um bloco de massa m igual 2,0kg.
Considerando a aceleração da gravidade igual a 10m/s2, quais os módulos das forças que os
apoios exercem sobre a barra em A e B, respectivamente?
A. 1,0N e 3,0N B. 2,0N e 6,0N C. 8,0N e 32N D. 10,0N e 30,0N E. 14.0N e 26,0N
72. Uma régua de 60cm de comprimento, cuja massa por unidade de comprimento é constante,
está suspensa por um fio na marca dos 30cm. Um peso de 1N é suspenso na régua, na marca
dos 10cm. Para que a régua permaneça em equilíbrio mecânico, na posição horizontal, um
peso de 2N deve ser suspenso na marca dos:
A. 30cm B. 40cm C. 45cm D. 50cm E. 60cm
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148
73. Na figura, o segmento AB representa uma barra homogénea, de 1m de comprimento, que é
mantida em equilíbrio mecânico na posição horizontal. A barra está apoiada num ponto a 25
cm da extremidade A, e o módulo da força , aplicada na extremidade B, é 2 N. Qual é o
peso da barra?
A. 0,66N B. 1N C. 4N D. 6N E. 8N
74. A figura representa a barra homogénea AO, rígida e horizontal, de
peso . A barra é mantida em equilíbrio, sustentada numa
extremidade pela articulação O e, na outra extremidade, por um
cabo AB, preso a uma parede no ponto B. No ponto O, a força
exercida pela articulação sobre a barra tem uma componente vertical que é:
A. diferente de zero e dirigida para cima B. diferente de zero e dirigida para baixo
C. diferente de zero e de sentido indefinido D. igual a zero
E. igual, em módulo, ao peso da barra.
75. A figura ao lado representa uma régua
uniforme, apoiada directamente abaixo
do seu centro, na qual podem ser
penduradas massas de valores M1 e M2.
Para tanto, a cada 5cm há um pequeno
gancho de massa desprezível.
No caso indicado na figura acima, a régua encontra-se em equilíbrio. Observe os três casos
abaixo. Quais deles também representam a régua em equilíbrio?
A. apenas I B. apenas I e II C. apenas I e III D. apenas II e III E. I, II e III
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76. A figura mostra uma alavanca de 1,0m de comprimento, apoiada a 20cm da extremidade
esquerda.
Considerando desprezível o peso da alavanca, qual o modulo da força que deve ser aplicada
na extremidade direita para sustentar, em equilíbrio, um peso de 500N colocado na outra
extremidade?
A. 50N B. 100N C. 125N D. 250N E. 500N
77. As figuras das alternativas representam uma alavanca de massa desprezível apoiada sobre um
fulcro. Uma caixa de massa M foi depositada sobre a alavanca. Em qual das alternativas é
maior a força que a pessoa deve exercer para manter a alavanca em equilíbrio mecânico?
(A) (B) (C) (D) (E)
78. Expresse as quantidades seguintes nas unidades escritas do lado direito:
a) 1,2kg = ____________ g;
b) 22,3J = ____________ kJ;
c) 50mm2 = ____________ m2;
d) 8,2g-1 0C-1 = ____________Jkg-1K-1
e) 2,1km h-1 = ____________ms-1
79. É dada r
mvF2
= da dinâmica.
a) Quais são as grandezas representadas nesta equação;
b) Quais são as unidades no SI de cada uma destas grandezas?
c) Qual é a relação de proporcionalidade que existe entre F e r, quando m e v permanecem
constante?
d) O que acontecerá à F, quando v for duplicada? Tome m e r constantes.
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150
0
20
40
60
80
0 2 4 6 8 10t(s)
X(m)80. Um atleta correu uma certa distância. A figura
mostra o gráfico x – t do movimento deste atleta.
a) Descreva os tipos de movimentos mostrados nos
intervalos (0 a 2); (2 a 7,5) e (7,5 a 10) do
gráfico, dizendo o que se passa com o
deslocamento e com a velocidade em cada
intervalo;
b) Qual foi a distância total percorrida pelo atleta?
c) Calcule a velocidade do atleta no instante t =
5,5s.
81. Um bloco B de massa igual a 6,0kg move-se verticalmente para baixo,
puxando um outro bloco A de 15kg. O bloco A move-se ao longo
duma superfície cujo coeficiente de atrito é µ = 0,20.
a) Na figura, identifique todas as forças que actuam sobre estas massas;
b) Escreva as equações de movimento para cada massa. A partir destas equações, exprima a
aceleração do sistema em função das massas;
c) Calcule a aceleração do bloco A;
d) Determine a força de tensão sobre o bloco A;
82. Expresse as quantidades seguintes nas unidades escritas ao lado direito:
a) 15m = _____________ mm
b) 9,1dm2 = _____________ mm2
c) 1,8kΩ = _____________ Ω
d) 415kg/m3 = _____________ kg/dm3
e) 0,2g/mm2 = _____________ kg/m3
83. É dada a equação 2rMmGF = da gravitação, onde G é uma constante:
a) Quais são as grandezas representadas nesta equação?
b) Quais são as unidades no SI destas grandezas?
c) Qual é a relação de proporcionalidade que existe entre F e r, quando M e m permanecem
constante?
d) O que é que acontecerá a F, quando r passar para a metade?
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84. A figura mostra o movimento de oscilação
harmónica de um pêndulo simples.
a) Qual é a amplitude da oscilação do pêndulo?
b) Indique o período da sua oscilação;
c) Calcule a frequência da oscilação;
d) Calcule a velocidade máxima do pêndulo;
85. Duas massas A e B de 5,0kg e 4,4kg, respectivamente, estão penduradas
numa máquina de Atwood. Despreze o atrito entre o fio e a roldana, bem
como as massas da roldana e do fio. Tome g = 10m/s2;
a) Na figura, identifique todas as forças que actuam sobre estas massas;
b) Escreva as equações de movimento para cada massa. A partir destas
equações, exprima a aceleração do sistema em função das massas;
c) Calcule a aceleração;
d) Calcule a força de tensão;
86. Os movimentos de dois objectos A e B, estão
representados no gráfico x-t da figura ao lado. O
objecto B está em movimento uniformemente
acelerado com aceleração 1,6m/s2 e velocidade
inicial igual a zero.
a) Escreva a função posição x(t) para cada
objecto;
b) Leia no gráfico o instante em que os objectos se encontram;
c) Verifique analiticamente o resultado da alínea anterior, a partir das equações XA(t) e XB(t);
87. Um bloco de massa 2kg é puxado uniformemente para cima por
uma força F, de 19,2N, ao longo de um plano inclinado rugoso
(com atrito) e que faz um ângulo de 450 com a horizontal.
a) Desenhe na figura todas as forças que actuam sobre o bloco. Faça a
legenda dessas forças.
b) Qual é a aceleração do bloco? Justifique;
c) Usando a equação de movimento do bloco, mostre através de cálculos que o coeficiente de
atrito cinético entre o bloco e a superfície é µ = 0,35. Use para o efeito cos450 = sen450=0,71
e g = 10m/s2.
-0,4
0
0,4
0 0,2 0,4 0,6 0,8t(s)
X(m)
B
A
020406080
100120140160
0 4 8 12 t(s)
X(m)
A
B
F
450
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88. Um objecto A é lançado verticalmente para cima com uma velocidade de 8m/s.
Simultaneamente, do ponto máximo que A pode atingir, lança-se para baixo, um outro
objecto B com a mesma velocidade inicial. Tome g = 10m/s2.
a) Escreva a função posição x(t) para cada objecto, tomando o ponto de lançamento de A
como origem do eixo.
b) Determine a velocidade de cada objecto no momento de encontro;
89. Um bloco de massa 2kg é acelerado sob acção da força F = 15N
e do atrito com o solo, caracterizado pelo coeficiente µ = 0,2.
a) Determine a aceleração do bloco para α = 300;
b) Calcule a força que o solo exerce sobre o bloco na situação da
alínea anterior;
90. Um carro percorre para o Norte com uma velocidade de 120km/h. Depois faz o percurso no
sentido contrário com uma velocidade de 80km/h.
a) Calcule a velocidade escalar média do carro;
b) Esboce o gráfico da posição (espaço) em função do tempo;
91. Uma bolinha é lançada verticalmente para cima a partir de um prédio de 100m de altura.
Sabendo que a velocidade inicial da bolinha é de 50m/s, determine:
a) O tempo necessário para atingir a altura máxima;
b) A altura máxima atingida (medida a partir da base do prédio);
c) O tempo de permanência no ar;
92. A partir de um helicóptero que se encontra a 300m do solo, deixa-se cair um objecto. Depois
de quanto tempo o objecto atinge o solo se:
a) O helicóptero desce com velocidade constante de 5m/s?
b) O helicóptero sobe com velocidade constante de 5m/s?
93. Um projéctil de 100kg, movendo-se horizontalmente com velocidade de 500m/s, ao longo de
uma linha férrea, colide frontalmente com um vagão cheio de areia e que pesa 10t. Usando
um dos princípios de conservação, determine a velocidade do vagão imediatamente após a
colisão, se este movia-se ao encontro do projéctil, com uma velocidade de 36km/h;
α
F
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94. A figura ao lado mostra o gráfico da elongação
(posição) de um certo movimento harmónico
simples.
a) Determine a amplitude e a frequência cíclica
das oscilações;
b) Represente no mesmo diagrama o gráfico da velocidade do movimento em causa;
c) Determine o primeiro instante em que a velocidade da partícula oscilante é igual a
velocidade máxima;
95. Dadas as fórmulas, que experimentem as leis de newton e Coulomb: 221.
rqqKF = e
221.
rmmGF = , podemos dizer que;
a) G e K dependem do meio;
b) As forças gravitacionais exprimem, em geral, interacções mais intensas que as
electrostáticas;
c) O valor da relação K/G não depende do sistema de unidades;
d) G é uma grandeza adimensional;
e) As alternativas a, b, c, e d não são correctas;
96. No eixo de uma roldana móvel está presa a massa m = 8kg. Com que força
F é preciso puxar a extremidade livre do fio enrolado na segunda roldana,
para que:
a) A massa m se movimento para cima com aceleração de 5m/s2;
b) A massa m esteja em repouso;
97. Dois objectos são lançados verticalmente para cima com a mesma velocidade inicial v0. Se os
objectos forem separados por um intervalo τ = 2s, a velocidade relativa do segundo
comparativamente ao primeiro objecto será:
A. 40m/s B. 10m/s C. 30m/s D. 20m/s
98. Um objecto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial 10m/s.
Simultaneamente, 1 segundo objecto cai livremente a partir de uma altura de 90m. Passados
3s, a distância que separa os dois objectos será igual à:
A. 70m B. 45m C. 30m D. 60m
-8-6-4-202468
0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3
t(s)
X(m)
F
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99. Observe atentamente as figuras 1.2, 1.3, 1.4 e 1.5
Fig. 1.2 Fig. 1.3 Fig. 1.4 Fig. 1.5
A. Cada um dos gráficos representa um certo movimento rectilíneo uniforme;
B. Há dois gráficos que representam um intervalo de tempo durante o qual os objectos estão
parados;
C. No instante t = 10s os objectos representados pelo gráfico 1.2 e 1.3 têm a mesma posição;
D. Há pelo menos um gráfico que representa o movimento rectilíneo uniformemente variado;
100. Um camião cuja massa bruta é 5t passa por uma ponte convexa à velocidade de 36km/h.
Supondo que o raio de curvatura da ponte seja de 50m, a força que o camião exerce sobre o
centro da ponte é:
A. 4,0.104N B. 5,8.104N C. 4,5.104N D. 6,0.104N
101. A cabine de um elevador tem de massa 400kg e descendo em movimento uniformemente
acelerado percorreu 30m em 10s. A que tensão esteve sujeito durante este movimento o cabo
do elevador:
A. 6380N B. 8630N C. 3680N D. 1830N
102. Uma espingarda automática dispara 600 balas por minuto. Cada bala tem uma massa de 30g e
é disparada com velocidade de 50m/s. A força média exercida pela espingarda contra o
suporte onde está apoiada é:
A. 20N B. 12N C. 1,7 D. 15N
103. Um pequeno tractor com massa 4t, estava deslocando-se em uma estrada. Repentinamente,
surgiu a sua frente um automóvel com massa 900kg e uma velocidade 80km/h, na contramão
colidindo frontalmente com o tractor. Sabendo-se que as velocidades dos veículos se
anularam logo após o choque, podemos afirmar que a colisão é completamente:
A. inelástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 18km/h;
B. elástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 18km/h;
C. inelástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 40km/h;
D. elástica, e a velocidade do tractor antes do choque é 40km/h;
-20
0
20
0 5 10t(s)
x(m)
-10
0
10
0 5 10t(s)
x(m)
0
10
0 5 10
t(s)
X(m)
0
2
0 5 10
t(s)
v(m)
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155
104. Num dia de chuva intensa em que a altitude das nuvens relativamente ao solo era de 500m,
mediram-se várias grandezas para a caracterizar (a chuva). Algumas das grandezas obtidas
são: caudal da água, Q = 5.10-3l/m2s, a velocidade da queda das gotas da chuva, v = 5m/s; e a
massa média das gotas, m = 65.10-3g. O valor absoluto do trabalho realizado pelas forças de
atrito sobre uma gota é igual a massa média das gotas é igual a:
A. 8.10-4J B. 3,2.10-1J C. 31,85.10-2J D. 65.10-3J
105. Um corpo com a massa 2kg move-se sobre um plano horizontal com velocidade 4m/s e
embate-se com uma mola colocada a sua frente. A constante elástica da mola é de 200N/m e
não existe atrito entre o corpo e o plano. A deformação sofrida pela mola é de:
A. 0,2m B. 0,4m C. 0,6m D. 0,8m
106. A figura ao lado mostra uma bola de massa m, suspensa na
extremidade de um arame de massa desprezível, que é largada de
uma altura h e colide elasticamente quando chega ao seu ponto
mais baixo, com um bloco de massa 2m em repouso numa
superfície sem atrito. Depois do choque, a bola eleva-se até uma
altura igual à:
A. h/9 B. h/8 C. h/2 D. 2h/3
107. Um elevador tem massa igual a 500kg e está a descer com uma velocidade constante de 5m/s.
A tensão no cabo do elevador é igual a:
A. 500N B. 5000N C. 100N D. 1000N
108. A figura ao lado representa um sistema de dois blocos
ligados por um fio inextensível. O coeficiente de atrito entre
o bloco de 4kg e a superfície do plano inclinado em que é
arrastado vale 0,2. Nestas condições, a aceleração do
sistema, em m/s2, vale:
A. 1,0N B. 2,0 C. 3,0 D. 4,0
109. Duas forças concorrentes de 8N e 6N admitem como resultante uma força R. Das hipóteses
abaixo, a única impossível é:
A. R < 14N B. R > 2 C. R > 14N D. 2N ≤ R ≤ 14N
m
h 2m
4kg
6kg 300
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156
110. Um cilindro de massa m e raio r, assenta em dois suportes à
distância L um do outro, como mostra a figura. O módulo da
reacção de cada suporte é dado por:
A. 224 Lr
mgrR−
= B. 22
2
4 LrmgrR
−= C.
224 rLmgrR
−= D.
22
2
4 rLmgrR
−=
111. A figura representa uma esfera de 2kg deslocada da sua posição de
equilíbrio devido a acção de uma força F. O valor da força F em N, é
de:
A. 320 B. 340 C.
3320 D.
3340
112. O sistema da figura, constituído por uma haste horizontal, um cabo inclinado
e uma massa m está em equilíbrio. Desprezando a massa do cabo, a tensão T
no fio e a reacção R da haste sobre o cabo são dadas por:
A. R = m.g.cotg300; T = m.g/sen300 B. T = m.g.cotg300; R = m.g/sen300
C. R = m.g.tg300; T = m.g/cos300 D. T = m.g.tg300; R = m.g/cos300
113. Um carro está deslocar-se com velocidade 15m/s, quando o motorista pisa no travão. A partir
deste instante o movimento do carro passa a ser uniformemente retardado, fazendo o carro
parar em 3s. A aceleração imprimida ao carro é igual à:
A. -3m/s2 B. -5m/s2 C. -15m/s2 D. -45m/s2
114. Um avião, voando horizontalmente a 180m de altitude, precisa largar um saco com
mantimentos no centro de uma povoação. O módulo da sua velocidade é constante e igual a
100m/s. A que distância do centro da povoação terá de situar-se a vertical que passa pelo
ponto de lançamento?
A. 1,8m B. 100m C. 180m D. 600m
115. Uma pedra cai em queda livre do cimo de um prédio de 60m de altura. Depois de quanto
tempo a pedra terá percorrido um terço da altura do prédio?
A. 6s B. 4s C. 2s D. 12
L
F
300
T
m
300
0
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157
116. O gráfico ao lado representa a velocidade em função do
tempo para o movimento de uma partícula. Sabe-se que a
posição inicial da partícula é nula. Dos gráficos abaixo, o
que representa correctamente a posição em função do
tempo para o movimento da partícula é:
A. B. C. D.
117. Um avião voa 40km na direcção Sul-Norte e seguidamente 30km na direcção Oeste-Este. A
que distância fica o avião do ponto de partida?
A. 10km B. 70km C. -10km D. 50km
118. Um automóvel circula a 80km/h durante 40km e a 120km/h durante outros 40km. A sua
velocidade média é de:
A. 96km/h B. 100km/h C. 90km/h D. 2,5km/h
119. A lei dos espaços de determinado movimento é: x = 20 + 6t + 8t2. Será incorrecto afirmar:
A. é um movimento uniformemente acelerado B. a aceleração é de 16m/s2
C. é um movimento uniforme D. a velocidade inicial é 6m/s2
120. Observe o gráfico da aceleração em função do tempo de um
M.H.S mostrado na figura. Dentre os gráficos abaixo o que
representa a elongação correspondente em função do tempo
para o movimento é:
Considere: (20 = 2π2; -20 = -2π2); (13 = 4π2; -13 = 4π2); (25 = 8π2; -25 = 8π2)
A. B. C. D.
-10
0
10
20
0 2 4 6 8
t(s)
v(m/s)
-10
10
30
50
0 2 4 6
t(s)
x(m)
-1010
3050
0 2 4 6
t(s)
X(m)
-10103050
0 2 4 6
t(s)
X(m)
-100
1020304050
0 2 4 6
t(s)
X(m)
-20
0
20
0 1 2 3 4 5 6
t(s)a(m/s2)
-4
0
4
0 1 2 3 4 5
t(s)
y(m)
-8
0
8
0 1 2 3 4 5
t(s)
y(m)
-13
0
13
0 1 2 3 4 5
t(s)
y(m)
-25
0
25
0 1 2 3 4 5
t(s)
y(m)
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158
121. Os gráficos ao lado mostram a elongação de uma Onda
que se propaga numa corda em função do tempo e em
função da posição. A equação da Onda em função do
tempo é dada por:
A. )205
(2,0)( xtsenty ππ−= B. )
205(2,0)( txsenty ππ
−=
C. )520
(2,0)( xtsenty ππ−= D. )
205(2,0)(
xtsenty ππ
−=
122. Um oscilador tem um movimento harmónico simples (MHS) cuja equação, em função do
tempo, é dada por: )62
(2,1)( π+=
tsentx (SI). Para este movimento o valor do período é igual:
A. 1,2s B. 1/2s C. π/6 D. 12,56s
123. A equação da elongação em função do tempo dum M.H.S é dada pela expressão:
)2
(21)( tsenty π
= , em unidades do SI. O gráfico correcto da elongação em função do tempo
para a expressão dada é:
A. B. C. D.
124. A posição de uma partícula que se desloca numa
recta varia com o tempo de acordo com o gráfico
da figura ao lado. Coloque em ordem crescente as
velocidades correspondentes aos instantes
CBA ttt ,, e Dt :
A. DCBA vvvv <<< B. ADCB vvvv <<<
C. BADC vvvv <<< D. BCDA vvvv <<<
-0,2
0
0,2
0 5 10 15 20 25
t(s)y(m)
-0,2
0
0,2
0 20 40 60 80 100
X(m)y(m)
-2
0
2
0 1 2
t(s)
y
-0,25
0
0,25
0 4 8
t(s)
y
-0,5
0
0,5
0 2 4
t(s)
y
-0,5
0
0,5
0 0,5 1
t(s)
y
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i
Definições e Conversões Grandeza Físicas
Força
1 pound é a intensidade da força resultante que imprime aceleração de 1 pé/s2 na massa de 1 lb,
ou,
1 pdl = (1 lb).(1 pé/s2) = (0,454 kg).(0,305 m/s2) = 0,138N
1 kgf é o peso normal do quilograma-padrão, ou,
1 kgf = (1 kg).(9,806 65 m/s2) ~ 9,8 N
1 lbf é o peso normal da libra-massa, ou,
1 lbf = (1 lb).(32,2 pé/s2) = 32,2 pdl = (0,454 kg).(9,81 m/s2) ~ 4,45N
1 tf é o peso normal da massa de 1t, com 1t = 1000kg, ou,
1 tf = (1t).(9,806 65m/s2) = (1000kg).(9,81m/s2) = 1000kgf = 9810N
1 dina (dyn) = 10-5N
Massa
1utm (unidade técnica de massa) é a massa na qual a força de intensidade 1kgf imprime
aceleração de 1m/s2, ou,
1utm = (1kgf)/(1m/s2) ~ (9,81N)/(1m/s2) = 9,81kg
1 slug é a massa na qual a força de intensidade 1 lbf imprime aceleração de 1 pé/s2 ou,
1 slug = (1 lbf)/(1pé/s2) ~ (32,2pdl)/(1pé/s2) ~ 32,2lb ~ (4,45N)/(0,305m/s2) ~ 14,6kg
1t (tonelada) = 1 000kg
1c (quintal métrico) = 100kg
1quilate = 2.10-4kg (é utilizado exclusivamente para a definição de massa das pedras
preciosas; a onça, para a massa de metais preciosos); 1 onça = 31,103g
Trabalho
1 pdl.1pé é o trabalho de uma força constante de intensidade 1pdl cujo ponto de aplicação se
desloca de 1pé na mesma direcção e sentido da força, ou,
1 pdl.pé = (0,138 N).(0,305 m) ~ 0,042 09J
Analogamente se definem:
1kgm = (1kgf).(1 m) ~ 9,81J
1 lbf.pé = (1 lbf).(1pé) = (4,45N).(0,305m) ~ 1,356J
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ii
Potência
1 pdl.(1pé/s) é a potência da força que realiza trabalho uniformemente à razão de 1pdl.pé em
cada segundo, ou,
1 pdl.pé/s = 0,0421W
Analogamente definem-se o kgm/s e a lbf.pé/s, ou seja,
1kgm/s ~ 9,81W e 1lbf.pé/s ~ 1,356W
Definem-se também os múltiplos:
Cavalo-vapor: 1CV = 75kgm/s ~ 736W
Horse-power: 1HP = 550lbf.pé/s ~ 746W
Pressão
A unidade do Sistema Internacional (SI) é o pascal: 1Pa = 1N/m2. Outras unidades usuais de
pressão originaram-se no Sistema CGS (centímetro, grama, segundo). Pela ordem:
Unidade CGS de força = 1dina = (1g).(1cm/s2) = 10-5N
Unidade CGS de pressão = 1bar = 1dina/cm2 = 10-1Pa
Múltiplo usual: 1 bar = 1Mbar = 105Pa
Atmosfera normal = 1Atm = 101 325Pa (por definição) ~ 1bar.
São usuais também:
atmosfera técnica = 1at = 1kgf/cm2 ~ 9,81x104Pa
psi = (pound-weight) per (square-inch) = libra-força por polegada quadrada, ou,
1 psi = 1 lbf/pol2 = 6899, portanto, 1 At ~ 14,7psi.
Em resumo: Pa/1 = bar/105 = At/101325 = at/9,81x104 = psi/6899
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iii
Grandezas Fundamentais - Unidades Básicas do SI
Grandeza Nome Símbolo
Comprimento Metro m
Massa Quilograma kg
Tempo Segundo s
Intensidade de Corrente Eléctrica Ampere A
Temperatura Termodinâmica Kelvin K
Quantidade de Substância Mole mol
Intensidade Luminosa Candela cd
Unidades Suplementares do SI
Grandeza Nome Símbolo Unidade do SI
Ângulo plano radiano rad m.m-1 = 1
Ângulo sólido esterorradiano sr m2. m-2 = 1
Unidades Derivadas com nomes e símbolos Especiais
Grandeza Nome Símbolo Relação
Frequência Hertz Hz s-1
Força Newton N kg.m.s-2
Pressão Pascal Pa N m-2 kg.m-1.s-2
Energia, trabalho, Quantidade de calor Joule J N m kg.m2s-2
Potência Watt W J s-1 kg.m2s-3
Quantidade de electricidade carga eléctrica
Coulomb C A.s
Potencial eléctrico força electromotriz Volt V W.A-1 kg.m2s-3.A-1
Resistência eléctrica Ohm Ω V.A-1 kg.m2.s-3.A-2
Capacitância eléctrica Farad F C.V-1 kg-1m-2.s4.A2
Fluxo magnético Weber Wb V.s kg.m2.s-2.A-1
Indução magnética Tesla T Wb.m2 kg.s-2.A1
Indutância Henry H Wb.A-1 kg.m2.s-2.A-2
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iv
Grandeza Nome Símbolo Relação Viscosidade dinâmica pascal Segundo Pa s m-1.kg.s-1
Entropia joule por kelvin J/K m2.kg.s-2K-1
Capacidade térmica específica joule por quilograma. kelvin J/(kg K) m2 s-2.K-1
Condutividade térmica watt por metro kelvin W/(m K) m.kg.s-3.K-1
Intensidade de campo eléctrico volt por metro V/m m.kg.s-3.A-1
Prefixos no Sistema Internacional
Factor Nome Símbolo Factor Nome Símbolo1024 yotta Y 10-1 Deci D 1021 zetta Z 10-2 Centi C 1018 exa E 10-3 Milli M 1015 peta P 10-6 Micro µ 1012 tera T 10-9 Nano N 109 giga G 10-12 Pico P 106 mega M 10-15 Femto F 103 kilo k 10-18 Atto A 102 hecto h 10-21 Zepto Z 100 deka da
10-24 Yocto Y
Factores de conversão para unidades do S.I.
Tabela 1: Conversão de unidades inglesas de comprimento, para unidades SI correspondentes
Para converter de para multiplique por jardas (yd) metro (m) 0, 914 4 pés (ft) metro (m) 0, 304 8 polegada (inch) metro (m) 0, 025 4 milha terrestre quilómetro (km) 1, 610 milha náutica quilómetro (km) 1, 853 Tabela 2: Conversão de unidades inglesas ou usuais de área, para unidades SI correspondentes
Para converter de Para multiplique por acre quilómetro quadrado (km2) 0, 004 047 hectare quilómetro quadrado (km2) 0, 01 jarda quadrada (yd2) metro quadrado (m2) 0, 836 13 polegada quadrada (inch2) metro quadrado (m2) 0, 000 645 2 pé quadrado (ft2) metro quadrado (m2) 0, 092 9 milha quadrada quilómetro quadrado (km2) 2, 59
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v
Tabela 3: Conversão de unidades inglesas de volume e de capacidade, para unidades SI
correspondentes
Para converter de para multiplique por Barril (EUA) litros (l) 115, 63 Barril (Inglaterra) litros (l) 163, 66 Barril de Petróleo (EUA) litros (l) 158, 98 galão (EUA) metro3(m3) 0, 003 785 galão (EUA) litros (l) 3, 785 galão (Inglaterra) metro3(m3) 0, 004 545 9 galão (Inglaterra) litros (l) 4, 545 9 gill litros (l) 0, 142 06 pés3 metro3(m3) 0, 028 32 pés3 litros (l) 28, 32 pint (EUA) litros (l) 0, 473 164 pint (Inglaterra) litros (l) 0, 568 245 pol3 metro3(m3) 0, 000 016 39 pol3 litros (l) 0, 016 39
* O litro (l) é empregado como um nome especial para o decímetro cúbico, dm3, porém não é
recomendável o seu uso para medidas técnicas de precisão.
Tabela 4: Conversão de unidades inglesas de massa, para unidades SI correspondentes
Para converter de Para multiplique por libra-massa avoirdupois (lbm) quilograma (kg) 0, 454 libra-massa troy quilograma (kg) 0, 373 241 onça avoirdupois (oz) quilograma (kg) 0, 028 35 onça troy quilograma (kg) 0, 031 103 5 slug quilograma (kg) 14, 6 Tabela 5: Conversão de unidades inglesas ou usuais de força , para unidades SI correspondentes
Para converter de Para multiplique por dina newton (N) 0, 000 01 kilograma-força (kgf) newton (N) 9, 807 libra-força (lbf) newton (N) 4, 45 pound newton (N) 0, 138 3
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vi
Tabela 6: Conversão de unidades inglesas ou usuais de pressão, para unidades SI
correspondentes
Para converter de Para multiplique por atmosfera (atm) pascal (Pa) 101 300, 0 bar pascal (Pa) 100 000, 0 dina/cm2 pascal (Pa) 0, 1 libra-força/pé2 pascal (Pa) 47, 88 libra-força/pol2 (psi) pascal (Pa) 6 895, 0 milímetros Hg (mmHg) pascal (Pa) 133, 3 polegada H2O (pol H2O) pascal (Pa) 249, 0 polegada Hg (pol Hg) pascal (Pa) 5, 248 quilograma-força/cm 2 (kgf/cm2) pascal (Pa) 98 066, 5 torr pascal (Pa) 133, 3
Tabela 7: Conversão de unidades inglesas de trabalho, energia, calor , para unidades SI
correspondentes
Para converter de Para multiplique por caloria (cal) joule (J) 4, 186 unidade térmica inglesa (BTU) joule (J) 1055, 0 Watt-hora (Wh) joule (J) 3600, 0 cavalo vapor-hora (CVh) kilojoule (kJ) 2 684, 525 horse power-hora (HPh) kilojoule (kJ) 2 647, 796 pé . libra-força (ft.lb) joule (J) 1, 356 kilograma-força . metro (kgf.m) joule (J) 9, 80665 Todas as unidades derivadas inglesas são do sistema USCS; isto indica o uso da libra massa
avoirdupois e não o slug.
O pound é a denominação especial da libra massa x pé/segundo2 (lbm.ft/s2). O quilograma não é uma unidade de força, mas muitas vezes é popularmente usado como tal e,
infelizmente, nem a denominação completa é usada, restringindo-se apenas a "quilo"; um
quilograma-força significa que a massa de um quilograma sofre a força de 9,807 newtons sob a
acção da gravidade padrão (g = 9,807 m/s2).
O pascal é a denominação especial do newton/metro2 (N/m2).
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vii
Tabela 8: Conversão de unidades inglesas de potência , para unidades SI correspondentes
Para converter de Para multiplique por BTU/s kilowatt (kW) 1, 054 8 cavalo vapor (CV) kilowatt (kW) 0, 735 497 horsepower (HP) kilowatt (kW) 0, 746 kcal/s kilowatt (kW) 4, 185 pé.libra-força/segundo watt (W) 1, 35 Tabela 9: Conversão de unidades inglesas de velocidade , para unidades SI correspondentes
Para converter de Para multiplique por quilómetros horários (km/h) metro/segundo (m/s) 0, 277 8 milhas horárias (mile/h) metro/segundo (m/s) 0, 447 nós (USA)* metro/segundo (m/s) 0, 514 4 pés/segundo (ft/s) metro/segundo (m/s) 0, 304 8 * nó é a milha marítima (náutica) horária. 1 nó = 1 milha marítima/hora.
Algumas Grandeza e Constantes em Física
Aceleração máxima para ejectar um banco de um caça 1,7.100 m/s2
Aceleração de gravidade na superfície lunar 1,5.102 m/s2
Aceleração de gravidade (latitude 00) 9,78039.100 m/s2
Aceleração de gravidade (lat 900) 9,83217.100 m/s2
Aceleração de gravidade (média) 9,8067.100 m/s2
Aceleração de gravidade na superfície do Sol 2,7.102 m/s2
Carga transferida em um relâmpago 2,5.101 CCarga eléctrica 1,6021.10-19 CCampo magnético da Terra (média) 5.10-5 TCalor de fusão do mercúrio 1,1.104 J/kgCalor de fusão da água 3,29.105 J/kgCalor de vaporização do mercúrio 2,88.105 J/kgCalor de vaporização da água 2,285.106 J/kgCalor produzido por um homem (média) 1.102 J/sConstante Gravitacional – G 6,6720.10-1 1m3/s2.kgConstante do Gás Ideal – R 8,3143.100J/KmolConstante de Boltzmann 1,380662.10-23 J/KConstante de Planck – h 6,6256.10-34 J.sConstante de Faraday – F 9,6487.104 C/molConstante dieléctrica do ar 1,00054.100
Constante dieléctrica do vácuo 1.100
Constante dieléctrica da água 8,0.101
Número de Avogadro - N 6,02205.1023 /molDensidade do Sol 1,410.103 kg/m3
Densidade da água (273 K) 9,9987.102 kg/m3
Densidade da água (277,13 K) 1,00.103 kg/m3
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viii
Densidade do ar em CNTP 1,2250.100 kg/m3
Densidade da Terra 5,519.103 kg/m3
Densidade da Lua 3,342.104 kg/m3
Dióxido de carbono exalado - homem (médio) 1,2.10-5 kg/sDióxido de carbono exalado - mulher (média) 1,0.10-5 kg/sDiâmetro do cabelo humano 1.10-4 mEnergia de um relâmpago 1.109 JEnergia cinética da translação da Terra ao redor do Sol 2,6.1033 JEnergia cinética de rotação da Terra 2,1.1024 JEnergia cinética de uma gota de chuva 4,0.10-3 JInclinação do eixo da Terra em relação ao plano da órbita 2,345.101grausÍndice de refracção da água 1,33.100
Ingestão de gordura – homem (média) 1,4.10-6 kg/sIngestão de gordura – mulher (média) 9,3.10-7 kg/sForça Gravitacional da Terra sobre um homem 7,3.102 NForça Gravitacional da Terra sobre a Lua 2,0.1020 NForça Gravitacional do Sol sobre a Terra 3,5.1022 NMassa do átomo de hidrogénio 1,68.10-27 kgMassa da Lua 7,354.1022 kgMassa do protão 1,6726485.10-27 kgMassa de uma gota de chuva 2,0.10-6 kgMassa do Sol 1,99.1030 kgPeríodo da translação da Terra 3,1558150.107 sPeríodo de translação da Lua 2,36055.106 sPeríodo de rotação da Terra 8,616406.104 sPeríodo de rotação da Lua 2,36055.106 sPeríodo de rotação do Sol 2,125.106 sPeríodo de uma batida de coração típica 9.10-1 sPermissividade do vácuo 8,85418781.10-12 F/mPermeabilidade do vácuo 1,25663706.10-6 H/mPonto de ebulição da água 3,73.102 KPonto de fusão da água 2,73.102 KPotência da luz solar que atinge a Terra 1,7.1017 J/sPotência irradiada pelo Sol para o espaço 3,7.1026 J/sPressão no fundo do oceano 6.107 PaPressão no centro da Terra 4.1011 PaPressão no nível do mar 1,01.105 PaPressão atmosférica a 10 km de altitude 2,80.104 PaPressão atmosférica a 20 km de altitude 5,6.103 PaPressão atmosférica a 50 km de altitude 9,9.101 PaPressão atmosférica a 100 km de altitude 5,6.10-2 PaPressão sanguínea diastólica 1,1.104 PaProfundidade dos oceanos (média) 3,794.103 mRaio da órbita da Terra 1,49457.1011 mRaio da órbita da Lua 3,84403.108 mRaio da Terra 6,371.106 mRaio da Lua 1,7383.106 m
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ix
Raio do Sol 6,95950.108 mTemperatura média na superfície da Terra 2,87.102 KTemperatura de corpo negro da Terra 2,50.102 KTemperatura de corpo negro do Sol 5,75.103 KUnidade de massa atómica 1,6605655.10-27 kgVolume molar de um gás em CNTP 2,241383.10-2 m3
Volume de ar inalado - homem (médio) 2,64.10-4 m3/sVolume de ar inalado - mulher (médio) 2,44.10-4 m3/sVelocidade de rotação da Terra no equador 4,651.102 m/s