˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3...

126
@T|ih 5v5A,5 6 ,"NAW5 # A+Wj wB,+ 5N+,5 6 wW,+ ,"NAW5 | |i i@h| Lu *?i@h @*}iMh@ @?_ 4U Lu @TT*i_ 4@|i4@|Ut t |i ThLM*i4 Lu tL*?} t)t|i4t Lu *?i@h i^@|L?t `@| @hi *?i@h i^@|L?tq t4T*i i@4T*i Lu @ *?i@h i^@|L? t @% n K+ ' S E ihi % @?_ + @hi hi@* @h@M*it @?_ @c K @?_ S @hi }i? hi@* ?4Miht Wu @ @?_ K @hi ?L| ML| 3ihLc |i? |i }h@T Lu |t i^@|L? t @ t|h@}| *?i( |t t L?i hi@tL? ) |i i^@|L? t U@**i_ *?i@h Etii 6} ,^@|L? E t U@**i_ L?i *?i@h i^@|L? ? |i |L ?!?L?t % @?_ + Ai *?i@h i^@|L? | |hii hi@* @h@M*it %c +c @?_ 5 @% n K+ n S5 ' _ ihi @c Kc Sc @?_ _ @hi hi@* ?4Mihtc ?L| @** 3ihLc hiThiti?|t @ T*@?i ? |i t|@?_@h_ %+5 ULLh_?@|i t)t|i4 }h@T Lu 2% n2+ n5 ' S t tL? ? 6} 2 u ULhtic @? i^@|L? U@? UL?|@? 4Lhi |@? |hii @h@M*it 6Lh @ ?L?tUi?|U i@4T*ic @ TihtL? 4@) @i i i4T*L)iitc i@U T@_ @ _gihi?| Lh*) @}i @?_ i@U Lh!?} @ @h@M*i ?4Mih Lu Lht i@U ii!c @t tL? ? A@M*i Ai ii!*) T@)hL** t }i? M) 'eD% n.D% nD% nSD% nD.D%

Upload: others

Post on 23-Mar-2020

4 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

������� �

�� �� ����������� ����� �������

��� ����� �� ������ ��������

�� ��� ����� �� ���� ��� �� ��� ���� �� ����� ���������� � ��� ��� ���� ����� ������� �� ���� ��������� ���� ��� ���� ���������

� ���� ������ �� � ���� ������� �

��� �� � � �������

���� � ��� � ��� ��� ���� �� ��� �� � ��� � ��� ���� ��� ��� ���� !� ���� � ��� ��� ��� "���# ���� ��� ����� �� ��� ������� � � ������� ��$��� � ��� ������ �� ��� ������� � ���� ������ ���� %�� ������� &������������� � ���� ��� ������ � !����� �� ��� �"� !�#��"�$ � ��% ��

'�� ���� ������� �� ����� ��� ���� �� �� �# ��� �

��� �� � �� � �

���� �� �� �# ��� � ��� ��� ��� ���# ��� � "���# ���������� � ���� � ����������� ��� ��������� ������� � ����� �� (� � (� � )� � * � ��� � �%�� ����(�

+� ������# �� ������� ��� ������ ���� ���� ����� ���� ��� %�� ���������,� ������# � ������ ��� ���� ,�� ��������# ���� ��� � �-���������� ��� ��� ���� ��.�� � ���� � ��� �� �� ����� ���� ��.# �� ��� �� '� � ������ '�� ��.� ����� � ���� �

� /0�� � )10�2 � 0�� � *�0�e � 010�D

Page 2: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

( ������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��&�� �����

�'����� �� (���

� )���� '���� (��� '��� (��*��

� 2/�03 ��( 2)�10 �2) 20�33 ��/ 2*��0 �e0 20�10 �D

'�� � ��� ���� ������� � ,�� ���� ���'�� �������� ��� � ������� �� ��� ������ ���� �� � ���� ��# ���4

����� � 5�,���� ������

��+������ ������ � ������ � !����� � ��� � ���� �� ��� �2� � �? ���� ������� �� ��� ����

���� � �2�2 � � � �� �?�? � �

���� ��� �2� � �? ��� � ��� ��� �� ������� ��� ����

�� ������ �� ���� �������� ������ ������ ��� ��� �

� � ���? � �?3� � 3 � � �� (� )�

���� � ��� ��� � � ��� ������� ��� ��2 � ���� '���� ������������ � � ������"���� �� �� ������� ������ ��� �������� �������� ��������� ���������

�� ������� ��� � ��� � ��� ���� ���� � 5�,���� ����� � �������������� %�� ������#

��2 � �2

2 � /

���� � � (

���

�� � ��2� � )�� � 14Vhh Dss1 L iru d uhylhz ri F/ wkh vhw ri frpsoh{ qxpehuv1

Page 3: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � ������ ������ � )

��� ������� ��������� 6����� �� ��� ,��� � � ��� ��� � � %�� ����)� ���&# ����������� 7���� ���� ��� ������ ��� ��� ������� ����

'�� ��� �� �� 8�����9 ������� �� ���� �������� � �� �����������# �� � ���� � ��� ������� �� ��� ��� �� ��� ������� %��� ��� ����� �������� ���� � ��,����

��+������ ����,� � $��!���� �� ��� ���� ���� �������

���� � �2�2 � � � �� �?�? � �

� �� ������� �4���� �� ������ ��� ���2 ���� �2� � �?� ��� ��� �� 4������� ��� ��� ��� �2 ��� �2# ��� �� ��� ��� ��� ������� ��.� � � �������������� ����������

�-�.��� �� '�� ������� (�� � /�2 � : ��� ������ ���� �� �������� +��� �� � /# �2 � 3$ ������� � �� � *# �2 � �$ ��� ��� ������� � �� � �/#�2 � �/� ������ �� ������� ����# ����� ��� �/#3�# �*#��# ��� ��/��/�#�����������

�-�.��� ,� ���� � ������ ������ �� ��� ������� (�� � /�2 � :�

��!���� ;�� �2 � �# ���� � ���������� �� �� ����� ��� ��� '��� �� 4������ ��� ��� �������� �� ����

(�� � /� � :<���� ��� �� �� ������� ��� �� ����

�� � / � (�

'�� ������ ��� � �����

�� � / � (��2 � �

�� �/ � (�� ��

7��� ���� � ����� � ��.� �� ��� ����,� ����� 3# �# �� �/# � � ��� ���������� ���� � &����� �� =� ����# � � ��� � � (� �# ���� �� � :�(�#�2 � (� �# ��� � ���� � ������ ������� !� ��� ��.�� �� ��� ��������� ��������� �� � ��� ��� ���# ���� ������ ������� ��� � ���� ����

!� &����� ( � ���� ���� ��� �� � � ��� ����� ��� �2# �� ,�� �2 ����(� ( � ��(� (�

5Ri frxuvh/ wkh vhw frxog frqvlvw ri sxuho| uhdo qxpehuv/ ehfdxvh wkh uhdo qxpehuv duhd vxevhw ri wkh vhw ri frpsoh{ qxpehuv1

Page 4: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

/ ������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�-�.��� /� <�� ���� �� � � � �# �2 � �� � � � ������ ��

�) � ���� � �� � ���2 � / � /�

�� � �2 � (�

��!���� <� ������� ��� ���� ��� ��� ��� ��� ���� �������� ����

�) � ���� � �� � �� � ����� �� � �( � /�� � �( � 3�� � / � /�

�� � ��� ��� �� � (�

�-�.��� 0� <���

��� � �(� ���2 � /� )��� � ���� � �2 � �)� �

�����(�

��!���� �� ��� ��� ��� ��������� .����% �1 $!&$���!�����<���� ��� ������ ������� ��� �2 ��� �� ������� ��� ������� ������������ �2 � ��� ,��� �������# � ,��

��� � �(� ��>) � �� �� � ����? � /� )���� � 1� �� �) � ���� � /� )�

�) � (���� � �)� (��� � ��

'��� �� ������� �� �� � �� ��� ��� ������ ������� � �����(� ���� ���2 � (�

'���� ��� � ������� �� � ���� �������� ������ ��� ��@

��� ���$� �!�%�.����� )��&��. �1 ������ ��2�&�� 3�4�!���� �1 � !�����$5

6��� � �������� � ��� � ��.�� �� ��� �2� � �?#

����� � ��2�2 � � � �� ��?�? � ���2��� � �22�2 � � � �� �2?�? � �2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6��� � �62�2 � � � �� �6?�? � �6

�����)�

Page 5: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � ������ ������ � 0

�� 5������� ������ ������� ����# >� $��!���� � �� �4������ ��� ��� ��� ����,�� ��� ��� � !�����$ �� �����)� $�4.!������!$�6�?

(� !� ������� ����# ������� � �� �����

'�� ������ �����(� ,�� ��� ���� �� �����)�@

����� � ��2�2 � ��

�2��� � �22�2 � �2

�� ��� � �� ��2 � (� �# �2� � �� �# �22 � ��# �� � /� )�# ��� �2 � �)� ������7 '�� ��� ���

���� ��2� � ��?�2�� �22� � �2?� � � � � � � � � � � � � � � � ��6�� �62� � �6?

��� ��� �2� � �6 � �����)� ��� ���� ������ ��� ����� '�� �� ������ ���

��������� ��� � �� ��� ���� �����

��� ��Wkh qxpehu lv lq Ht1 +l, � � Wkh qxpehu lv pxowlsolhg � Wkh qxpehu lv

e| wkh mwk xqnqrzq/ {m lq Ht1 +l,

'�� ��� �� �� ����� ���� �������� � �������� � ���� ������ !���� ��� �� �������# ��� �������� ��� ��� �������

�-�.��� 8� �6�������� %�� ��� ���� �� ���������� �� ��� ������� ���)�� (� � * ��� /�� /� � :���!���� ��� ���� �� ���������� ���� ������ ��� �������� �����4������� '�� ������ ��� � ����� � �� �������# �� � &����� /� '�������� � � � (# � � 3� '��� ��� ���� �� ���������� � �(#3�� <�� %�� ����/�

�-�.��� 9� �A��.�� �����# ��������� ��� ��� !� ������ ��������# ��� ������� �� ��� � �������� ��� ������� ��� �� ��� ������� �������� ������� � �������� ���� %�� ������# � �� ������ �����# ������4���� ����� �� � ��������� ��� ���� ��� � ������ ������� ��������� �� ����� �� ��� ��

6Dv dozd|v/ zkhq zh xvh wkh whup frpsoh{ qxpehuv/ zh doorz wkh srvvlelolw| wkdwdoo wkh qxpehuv xqghu frqvlghudwlrq duh sxuho| uhdo1 Lq idfw/ lq prvw dssolfdwlrqv wklv lvwkh fdvh1

Page 6: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

* ������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�� !� ��� ��������� ��.� �� ��� �# � ��.� �� ��� ���� � �������� ���BB ������� �� ��� ����

(� !� ��� ��������� ��� �� ��� �# � ��� �� ��� ���� � �������� ��� 0������� �� ��� ����

'���� ����� ��� � ����������� ���������� � '� � ����(�'�� ������� �� A��.�� �����# �������� � ���� ���� � C���� 0# ���

� ���� �� ��� ���� ��� �������� ��� ������ �� ��������� �������� �� ������ ������ �� ����� �2 ���� ������ ��� ��������

��&�� ����,

�� )����� ���������� �����

���� �������

�BB �B0 <������ ���� ����3� �30 %���� ���� ���

3BB�� � 3B0�2 � ��

33��� � 330�2 � �2

�� � �2 � �

'� ����# � ����� ����� ��� ��� ��� ,��� � � ��������# �� ,��

�33��� � 3B0�2 � 33 � 3

�� � �2 � �

�+�� �� ��� �������� �� ���������D�<���� � �� �������# � ,��

�� �B0

B*�2 �

B*

'�� ��������� ��� � ��� ��3/ ������� �� ��� ��� ��� ���������

Page 7: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � ������ ������ � 1

�-�.��� :� �+���� ������# ������� ���������� � ���� ��������������� � � ���� �����# C����� ��� C����� E��# � ���� ������� � ���� �� C����� ������� � ��� �� � ��� �* ���� �� ���# �� � ���� ��C����� E�� ������� ( ���� �� � ��� �* ���� �� ���� !� ��������# ���������� ��� �( ���� �� � ��� ��( ���� �� ���� ������� ��� ������� ���� �� ��� � �� ��������# �� ���� ������ �� ���� ���� �� ���� ����� � ���������

��!���� ;�� �� � ��� ��� �� �� ������ �� C����� ��� �2 � ��� ��� ���� ������ �� C����� E��� '�� ������ �� � ���� �

��� � (�2 ����� �� � ��� ���� ���� �������

��� ��� ������ �� ���� ��� �

�*�� � �*�2 ����� �� ��� ��� ���� ���� �������

'� ������ ��� �������� ��������# � ���� ����

�� � (�2 � �(

�*�� � �*�2 � ��(

'�� ������ � �� � (� �2 � 0� '��� ( ������ �� C����� ��� 0 ������ ��C����� E�� ������ ��� �������� ���������

7��� ���� � ��� �������� ,����� � &����� 1 ��� ��� �-�����# �8���9 ������ ���� ��� ����� %�� �������# � ��� �������� ��� �( ������ � ��� ��* ���� �� ���# � ��� ���� �� ��� ������ �� � (0# �2 � /10�!� �������� ������ ������ � ���������# ����� ������� ���� � ��������� �������� � ��������� ������� ��� ��� ��� �� ��� ���� ���������'�� ���� ���� � ���� � ��� ��� � � � �� ������� ��� ����������������� '�� ������ ��� � ���� ��� ��� ������� ������ ������� ��������� �-����� ������ ��������

�-�.��� ;� �<�������� ������# �� ���������� !������ ������ ��� ������F������ �� � ����� ��������� ��� �������� � ��������� � ������������ �� ���� �������� �� ���� � � ���� ���� ����� ��� ��� ���G������ '�� ������� �� �������� ��� � ���� ���������$ ��� � ����������# �� ����# ������� ��� �����e � %�� ����0�

7M1M1 D}du/ Pdwul{ Vwuxfwxudo Dqdo|vlv/ Shujdprq/ R{irug/ 4<:51

Page 8: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

: ������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

'�� ������� ��������� ��-���� �������� ��� ���� � ������ ����� ��H����I� ������ ��� ����� �����������

/03�:�� � 3B�� � *

/03�:�2 � 3B�� � �)3B�� � 3B�2 � �(3�� � 3

'�� ������ � �� � 3�))(B � � � � �2 � �33***) � � � # �� � �3333/BB0 � � � �'���� ��� ��� ��������� ��F����� �� ��� ���� � ��� � ��� � ����������� ��� �2� � ����� ��� ��� ������ � ��� ����� ���� ���� �� ��� ���� �������� �� ���� ���� � ��� ������ � ������� ��

�� � 3�))) �2 � �33*** �� � �33330

���� � ���� ��� �� ���������� ������ �� ��� ��� ��� '�� ��������������� ��� ��� � ���� �� ��� ���� ��������� ��-���� �������� ������� ��� ��.�� ��� =� ����# ��� ����� ������ � ����� �J����� ������ ������� ������ � ����� ,����

'�� ������� ���� �� ��� ������� ��� ,��� �� ��������� ��� ������������$ ���� ��� ����� � ������ A��� ���� ��������� ��� ���� �����

)��&��.$ ���� �� C����� ��� ��� �� �������� �� ���� �� ��������

3�5 �2 � � � � � 13<5 ��� � � 33�5 � �

��2 � /

325 ���� ��� � � 30

3&5 ����� � � 33%5 )�� (� � � � *315 �� � ��� � �2

3�5 ��� � )�2 � 0� (�

(� '�� ��� �� ������� �� ���� �������� ���� �������� C����������� !� �� ������� ��� ���� ���� ��� ������# ��� ��� �������������

3�5 )�� (� � 1(�� � � �/

3<5 (�� � )�2 � ��/�� � *�2 � �(�� � �2 � �

3�5 ��� � (��2 � �

�� � ���� � �2 � ��3&5 �� � � /

)�� )� � �(3%5 (�� � 0�2 � �3

Page 9: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � ������ ������ � B

315 �� � ���� � ��� ���2 � ( (�� � (��2 � (� (�

)� � ���� ���.�� ��� ��� ��� ����� ��� ������ ���� � ���� �� ���������� ��

2 �� ��� ��� :�

2 �� ��� ����# �� � ���� �� ����� ���

������� � �� ��� ��� B �� ��� ����� '�� ������ ��� �3 �� ��� ���:3 �� ��� ����� =� ���� ������ �� ��� ��� ����� ��� ������ ��� ����� ��� ���.�� ������� �� ��� �� � ��� ���� ��� ��� ��� ���� ������

/� � �.�� ��� � � .��� �� � ��� ���# ������ ��� ����� � ���� &��� ���� �� ����� ��� ������ � ��� ��� ���� 03 �� F��� ��� ( �������� &��� ���� �� ����� ��� ����� � ��� ��� ���� /B �� F��� ���/ �� ������ '�� �.�� ��� *B3 �� F��� ��� /: �� ������ =� ���� ������ �� ���� ���� �� �� ����� � ���� �� ��� � ��� F������ ������

0� K�� ��� ������ �� �� ������� ��� � �������� �� ����

�� 3(� � �B(

��/�� 3*� � �)/:*� K�� ��� ������ �� �� ������� ��� � �������� �� ����

�3(�� )(� � �(�:3)�� �3�� � �3/

1� %�� ��� ���� �� ���������� �� �� )� � 1 ��� (�� 1� � B�:� %�� ��� ���� �� ���������� �� �� /� � ) ��� � � (� � 3�B� � �������� ,�� � ����� ��� �������� ��� �# ������ � �����

� # ��� ����� �� ����� ��. �� '�� ����� ���# ����������# 2/33 �������# 23�)0 ��� ��# ��� 2�(3 ��� ����� ���� � ���� ������� ������ �� ������ � � ����� �� ��� # ��� ��

�3� '�� ������� ��� � ���4������ ��� ������ ������� �� ��� ��� �� ������� �� ������# ����� ������# ��� ������� ������ ���� !�5���� �� �B:*# ��� ������� ����� ��� ���� ���# ����������# :)�B#1)�B# ��� 1*�B ������ ;����� ��# ��� � ��������� ��� ��� �� ������� �� ������# �����# ��� �������# ����������# ��� � ���������# ��� � ���� ������� �� ������� ��� 5���� �� ��������

Page 10: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��, ��'�� �� ��� �������

�� ������� ��� ��� �� �� ����� ��� ������ �� ���� ��������

����� � � � �� ��?�? � ���2��� � � � �� �2?�? � �2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6��� � � � �� �6?�? � �6

� ��� ������� �� ������� �� ���� ��� ���� �� ���� ��� �� ��� 8����4���� ���9 ����� ��� �2� � �6 � ��� ���� �� "���# ��� ������ �� �������� ���� �����.�2����!$� !� �� � �2 � � � � � �6 � 3# ��� ������ ���������� � ���� ��.�2����!$�

�����.�2����!$ ������ � !�����$ .�6 ��=� �� $��!����$> �-4�<��6 ��� $��!����> �� ��+�����6 .��6 $��!����$� � ����� ���� ������ ����� ���� � ��� ���� ���� �� � � �������� � � � ��.�� ��� %��������# ��� ������

�� � � 3

�� � � (���(���

��� ��� ��� ������ � � �� � � � ���� %�� ��(���� H�� ��� ������

�� � � (

�� � � )���(�(�

��� �� ������ ���� ��� ��� ����������� � ��� �������� �� ��� ������������ %�� ��(�(�� '�� ������

�� � � (

(�� (� � /���(�)�

��� �� �,��� ��� �� �� ������� ���� ���� ������� ������ ������������� ���� ��� &��� ���� �� ��� ������ �� � � ������ ���� %�� ��(�)��

'�.�2����!$ ������ � !�����$ ��=� ������ �-�<��6 ��� $��!����������# �� � �2 � � � � � �? � 3# ���� ��� ���=��� $��!����D� �� ��

8D vroxwlrq lv qrqwulyldo li dq| rqh ri wkh xqnqrzqv lv qrw htxdo wr }hur1

Page 11: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � ��

��+���� �!.&�� �1 $��!����$ ������� ��� ���� �������� %�� ������#��� ������

�� � � 3

�� � � 3

��� ��� ��� ������ � � 3� � � 3# �� ��� ������

�� � � 3

(�� (� � 3

��� ������� � � �� � � ��# ��� ��� ��� �� � �� � � 3# � ��� ��� ������������

%�� �� ������ ������ ����� ��.�� ��# �������

�� � � 3

� � � � 3

���� � ������ ��� ������ �� � ���� &��� ������� � ���� �� � ���������� ������� ��� ����� '�� ������ � ���������� ��� ������� �� ����� ���������� �� ��� �����# ��� � �������� � � � � � � �# ���� �� ��� ��� ��� ��� <�� %�� ��(�/�

'���� ������� ��� ����� ���� ����� � ���� �� ���� ��.�� ��# ���������� ��� � �J��� �� ����� �� �� ���� ���� ������� �� �� �����4���� ������ ������� �� ���� �������� ���� ��� ,�� ��� ������� ������� �� ����� �� ��� � ������ ������� ���� 2�!$$���S ���.��������'�� ������ � �������� � ��� ���� �������

�-�.��� �� <���

(�� � � � � ���� (� � � � 0

)�� � � (� � 3

9Qdphg diwhu F1I1 Jdxvv +4:::04;88,/ Jhupdq sk|vlflvw/ dvwurqrphu/ dqg pdwkhpdwl0fldq/ zkr zdv d slrqhhu lq wkh �hog ri vwdwlvwlfv dqg wkhru| ri pdjqhwlvp1 Klv pdwkhpdwlfdozrun rq fxuyhv dqg vxuidfhv ohg wr wkh sulqflsohv ri fxuyhg vsdfh wlph1 Klv qdph lv ohqwwr d xqlw ri pdjqhwlf �x{ ghqvlw|1 Lq Zruog Zdu LL vr0fdoohg ghjdxvvlqj jlugohv zhuh xvhgwr surwhfw vwhho vklsv sdvvlqj wkurxjk zdwhuv frqwdlqlqj pdjqhwlf plqhv1

Page 12: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��!���� '�� ��� � �� ������ ��� � ���� � ,���� '�� ��������� ���4 ��� ��������� � ��� ��� �� �������� ��������� <��� �� ����������� � !�=����� � ���� ���� ��� ���� ������ ���� '�� ��������� � ��� ���

�� A�������� �� ��� ������� � � ���"��� ��������

(� !���������� �� ��� � � �������

)� ������ �� �� ������� ��� ����� �� ������� ������� ������� �� ��������

'���� ��� ���� ��� �� ������ ���� �� �� ���� � ������ �� ������������� '�� ������ � ��� � ����� ��� ���� ��� ��� � ��� ����� %��� � ���������� ��� ,��� ��� ������ �������� ��������� (�# �� ���� ����������� ������ � ������� � � ������ '�� ����� �

�� (� � � � 0

(�� � � � � ��)�� � � (� � 3

7� ��� �� ��� ������ ������� ��� ����� �� ������� ��� ,��� ������� � �( �� � ���

(�� � � � � � ��(�� /� � (� � ��3

0� � )� � ���0� � )� � ���0� � )� � ������ ��� �� ��� ���� ������� ��� ����� �� ������� ��� ,��� ������� ��) ��������� )�@

)�� � � (� � 3

�)�� *� � )� � ��00� � 0� � ��00� � 0� � ��00� � 0� � ��0

�� � ��� ��� �������� ������

�� (� � � � 0

0� � )� � ���0� � )� � ���0� � )� � ���0� � 0� � ��00� � 0� � ��00� � 0� � ��0

Page 13: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � �)

7� � ������ � � ��� ���� ������� � ����� �� ��� ���� ���������� ����� �� ������� ��� ������ ������� � �� ��������� )�@

0� � 0� � ��00� � 0� � ��00� � 0� � ��0�0� � )� � ��

�(� � �/�(� � �/�(� � �/

'�� � ���� �� �� �������� ������

�� (� � � � 0

0� � )� � ���0� � )� � ���0� � )� � ����(� � � /�(� � � /�(� � � /

'�� ��� �� ����� �������� ��� �� ���� � � (� 7� � ��� ��� ������ ��&�<# $!&$���!���� �� ���� ��� � ��� �� <� ������� � � ( ��� ��� �������������# � ���� 0� � * � ��� ��� ���� � � ��� 7� ����� ����� ��� ���� � ��� � �� ������� ��� ��� ,��� �������# �� ,�� � � ( � ( � 0 ���� � �� '��������# ��� ������ �

� � � � � �� � � (

�� ��� � ����.�� � �� ������� � ��� ����� ���������

'�� .�� �� ������� ������� � ���� ��� ��������� ���� ��� �� �������� ��� ��� �������� �� ��� �� ���������

������. ��,��� �� � ��� �� ���� �� ���� ������� �� �� ��� ���������������� ��� ��� ��� ��� ��� �� �� ���� ��� ������� ��� ���� ��� ����� �� ��� ����� ��� �� �� �����

��� � �������� �� �� �� ��� �� � ����� ������

��� ��������� �� ��� �� ����

��� ����� �� � �� ��� ��� ��� �� �� � ������ ������ �� ��� �� �������

Page 14: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

����� E���� ��� ��� �&� ��� ��� �� ��� ������� �� ����� ���� �<�� ;������ �2� � �?� � � ������ ��

����� � ��2�2 � � � �� ��?�? � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ � ��2�2 � � � �� ��?�? � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��R��� � �R2�2 � � � �� �R?�? � �R� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6��� � �62�2 � � � �� �6?�? � �6

<������ � ��� �� &�� ��� ��� ����� �� ������� &�� ��� � �� '������ �� ������ ��� � �-����� &�� ���@

����� � �R���� � ����2 � �R2��2 � � � �� ����? � �R?��? � ��� � �R

<��� ��� ���� �� ��� �������� ��� ���������# ���� � �?� � �� � ��������� ����� ��������� <� ������� �� � ��� � �? � �? � ��� �� &�� ������ �������# � ����

������� � � � �� ��?�?� � ��R��� � � � �� �R?�?� � ��� � �R

��� ���� � �?� � � ������ �� ��� �� &�� ����C��������# ������� ���� ���� �2� � �?� � ��� ������ �� ��� �� �������

'��� �# ������� ����

����� � � � �� ��?�? � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ � �R���� � � � � ����? � �R?��? � ��� � �R� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�6��� � � � �� �6?�? � �6

A���� &�� ��� � �� ��� ��� ��� ����� �� &�� ��� �� � ��� ��� ����������� �� ���� �2� � �?� �� � �������

'� �������� ��� ��.# � ��� ���� ������ � ��� � �������� �������� ��� ��� ��� ��������� ����� %�� ������#

�MMhi��@|�L? �i@?�?}

)&( A���� &�� �(� � )�&( � &0 !���������� &�� �(� ��� �0���(&/ � &1 ��� ��� ����� �� ������� &�� �/� � �( ��

&�� �1�# ��� ������ &�� �1� � ��� ������

Page 15: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � �0

�-�.��� ,� <���

�� � (�2 � )�� � /

/�� � 0�2 � *�� � 1

1�� � :�2 � B�� � �3

��!����

�� � (�2 � )�� � / �� � (�2 � )�2 � /

/�� � 0�2 � *�� � 13e,�n,2�������3.,�n,�

� )�2 � *�� � � B1�� � :�2 � B�� � �3 � *�2 � �(�� � ��:�� � (�2 � )�� � / �� � (�2 � )�� � /

32,2n,������� � )�2 � *�� � �B 3

�.2���� �2 � (�� � )

3 � 3 3 � 3

7� � ���� ��� � � �������� � ����� ��.�� ��� !� ��� ������ ����4���# � ��� �� �� � �# ���� � � ��� ������ ��� ��� '��� �2 � )� (��<� ������� �� � � ��� �2 � )� (� ��� ��� ,��� �������# � ����

�� � /� (�2 � )�� � /� (�)� (��� )��� � �( � �

'��� ��� ������ ������ �

��( � �� )� (�� �� ���� � �( � ��2 � )� (��� � �

��� � ��� ���� ��� ������ ��� �� �,��� ��� �� �� �������� <���,�������� ��� � ��������� � ������� ����,� ����� ��� ��

�-�.��� /� <���

�� � (�2 � )�� � /

/�� � 0�2 � *�� � 1

1�� � :�2 � B�� � �(

��!���� <��� ��� ���J����� �� ��� �2# ��� �� ��� ��� ���� �� � &����� (#��� ���� ��� ��� ��������� ��� ����� '�� ���# �� ���� ���� �����# � ��

Page 16: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��� ���� ��� ��.�� �� ���� ���$ ���� � ��.�� �� .��� ��� ���J������ ������ ���

�� � (�2 � )�� � //�� � 0�2 � *�� � 11�� � :�2 � B�� � �(

�� � ( ) // 0 * 11 : B �(

�� 3e,�n,2333333333<

3.,�n,�

�� � ( ) /3 �) �* �B3 �* ��( ��*

��

32,2n,��������

�� � ( ) /3 �) �* �B3 3 3 (

��

�� � (�2 � )�� � /3�� � )�2 � *�� � �B3�� � 3�2 � 3�� � (

'�� ��� 8�������#9 3 � (# ��� ����� ��� ��������� �� ��� ����� ��������� ��� �2# ��� ��� L������ ��� ��� ���������� ������ ��� �� ������# �������� ������ �� �������� ��� �� �������

��+������ ��,��� �.����- � ��� ����� �� ��� ���# �������� � ���"������ � ��� ������ �������

'�� ����������� �� ��� ���J����� ��� ����4���� ���� �� ��� ������ �&����� ) � �� ������ �� � ������ !� � ���� ��� �!2.����% .����-�1 ��� $6$��.� '�� ����� �� ��� ���4���� ��� �� ��� ������ �� � ������� <��?<���� .����- �� ��� �������

�-�.��� 0� <���

�� � (�2 � )�� � 3

/�� � 0�2 � *�� � 3

1�� � :�2 � B�� � 3

�3�� � ���2 � �(�� � 3

Page 17: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � �1

��!���� K�� ������� ������� �� ��� ��������� ���������

� ( ) 3/ 0 * 31 : B 3�3 �� �( 3

����

3e,�n,23.,�n,���������3�f,�n,e

����� ( ) 33 �) �* 33 �* ��( 33 �B ��: 3

����

3�

�,2������

����� ( ) 33 � ( 33 �* ��( 33 �B ��: 3

����

S,2n,�33333333<

b,2n,2

����� ( ) 3@ � ( 3@ @ @ 3@ @ @ 3

����

'��������

�� � (�2 � )�� � 3

�2 � (�� � 3

��� ������ �� � � ����

�2 � �(��� � �(�2 � )�� � /� � )� � �

<� � ����

�� � �

�2 � �(��� � �

�-�.��� 8� <���

�� � (�2 � �� � 3

)�� � �2 � �� � 3

��� � /�2 � �� � 3

Page 18: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��!���� �� �����# � ��� ������� ������� �� ��� ��������� ������� ��� ������@�

� � �( � 3) �� � 3

�� / �� 3

�� 3�,�n,2����

,�n,�

�� � �( � 3

@ 0 �( 3@ ( 3 3

��

D,2�����

�� � �( � 3

@ � �2D3

@ ( 3 3

��

32,2n,����������

�� � �( � 3

@ � �2D3

@ @ eD3

��

D

e,2�����

�� � �( � 3

@ � �2D3

@ @ � 3

��

%��� ��� ��� �� # � ��� ���� �� � 3� <� ������� ��� ��� ��� ������������������ � ��� ������ �� ���� �2 �

2D�� � 3� %��� �� �������

�2 � 3# �� � 3 ��� ��� ������� ����������� � ��� ,��� �� # � ,�� �� � 3�'�������� ��� ������ ��� ��� ��� ���� �������

���� ����� ������� ��%�<��� � ��� ��� ��@

� ������ �� ���� �������� ��� ���� �� ������� ���� ��������� ������# �� ���� �� �,��� ��� �� �� ��������

���

'� �������� ��� ���� �� �� ������� �� �� � ������ �� ������������# ������� ������� ��� � �����

�� ���� ��� ��� ������ ����� ����������� '�� � ���� �� � ����������� ��� ���

�� �� ������"� ��� ��������� ��� ������� �������# ������� ����� ������ ��������

� ������ � ����@

����� � ��2�2 � � � �� ��?�? � ���2��2 � �22�2 � � � �� �2?�2 � �2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6��� � �62�2 � � � �� �6?�? � �6

�� M�������� ��� ������ � �� ���4

Page 19: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � �B

������ �������� ��� ��2 ��? ��

�2� �22 �2? �2� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 �6? �6

���

(� A�.� ���� ���� ��� ��� �� ���� ,��� �� ��� ,��� ����� ����"���# � ����������� � ��� � � ���������� �'�� ���4�������� �� ����������� � ����������� '�� ��� �� ����� � ��=�� �!.&��� !� ���,��� ����� ������� � "����#���� �� ��� ������ ������

)� + ��� � ���� ��� �� �� � �����������.

/� + ��� � "��� �� ��� ����� ���� �� �� ��� ����I��� � '� �� ��� � � �� �������� �&A�<� ��"�# ����� ������� �� � � �������� ��� ������ ����� �� ��� � G��� �� �

� ������ � ����@

�2 � �� � �e � 3

(�� � �2 � )�� � �e � *

/�� � /�2 � /�e � �(

)�� � )�2 � *�� � )�e � B�����3 � �� � 3

( �� ) �� *

/ / 3 / �(

) �) * �) B

�����

!���������� �� � � ��� (�

Slyrw qxpehu

�����( �� ) �� *

3 � �� � 3

/ / 3 / �(

) �) * �) B

�����

A���� �� � � �2

Slyrw

������ ��

2�2

��2

)

@ � �� � 3

/ / 3 / �(

) �) * �) B

�����

A���� �� � � �/# ��� ����� �� )� A���� �� � � �)#��� ��� �� �� /�

������ ��

2�2

��2)

@ � �� � 3

@ * �* * 3

@ ��2

�2

��23

�����

0� M������ �������� �� ��� �� 4����� �� ��� ��������� ������ ����� � ������ � ����4��� ���� �� � ��� ������

:Dfwxdoo| wklv vwhs lv qrw qhfhvvdu|1 Krzhyhu/ lw pdnhv wkh dulwkphwlf vlpsohu lq pdq|

sureohpv1 Pruh lpsruwdqw/ wklv vwhs lv xvhg zkhq zh glvfxvv hfkhorq irupv ri pdwulfhv/

gh�qhg odwhu lq wklv vhfwlrq1

Page 20: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

(3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

*� 6� ��. �� ���� ( ��� ��� ��.�� �� ��� �� �����# �������� �� ����� ��� �� ���"���������

1� ���� ,�����# ��� ��� ���4����

:� C���. ���� ������������ ��

2�2

��2)

@ � �� � @

@ 9 �9 9 @

@ ��2

�2

��2

@

�����

Zrun zlwk wklv1

A���� �� ( � �*# ��� ����� �� )� A���� �� ( �)N(# ��� ��� �� �� /��

����� ��

2�2

��2)

@ � �� � 3

@ @ @ @ @

@ @ @ @ @

�����

Qr qrq}hur slyrwv

�� ���� � � �������� � ������.�� ��� '��� � � �� ��� ��4.�� �� ��� � �� ����� ��4������ ;�� �e � � ��� �� � ��'���

�� � �

(�2 �

)

(�� �

(� � )

�2 � �� � � 3

�2 � �� �

�� ��

(��� ��� )

(��

(�� )

� ��� )

'�� ��� �# ������ ����.��# �� ,�� ����� ��� � ��� "���� �� ��������# ��.�� ���� ��� ����� ���4���� ������ �� ��� ��� ���� ��� �� ������ ������� ������� � �������# ��� ��������� ����� � ��� �� �� ��" �<����� 1��.� '��� �#

�� '�� ������� ���"��� ����� � ��� �� � ��

(� !� �� � � ��� ,��� � � � ����� �# ���� ��� ,��� � � �� � � � � �� ����� �� ��� ���� ����� ��

)� M� � �������� � "���� ��� �� ��� �����

'�� ����� ������� ���� * � ��� ��������� �� ������� ������� � ��� ������ �����

'� � ������# � ���� ���� ��,������

��+������ ��,�,� '�� ���.�����6 ��" ���������$ �� � ����� ���

Page 21: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � (�

��� A�������� �� � �� � � ���"��� ��� �� � ����� �# ����������� ���� ��� �� � ��� �� � ��

�&� !���������� �� � � �� �

�<� M��������� �� � �� ���� ��� ��� �� � � �� � ��� � �������� ����������� ��

'�� ��������� �� ��������� ���������� �� ��� ��� ��� ��������� ���� ��� �������� �������� ���� � ���� ��� �� �������� ���� '������ ��(����

��+������ ��,�/� ' � ������� ��� ��"4� !�=����� � ��� ��� � � ��������� ��� ����� � � ,��� ��� �� �� ��������� �� ���������

�-�.��� 9� C������ ��� �������

� �

�� � � �( 3( � � �� � ( �(

�� � �

�� ( � � �� � �( 3� � ( �(

��

� �

�� � 3 ) 3� � �( 3� � ( �(

��

A���� � � �� 4�������� �� � ������ � � � ����� ���� � � ��� �4��������� �� �� � � ��� (� A���� � � �� 4�������� �� � ������ � �� ����� ���� � � ��� �� �������� �M(�M�� A���� � � �� 4���������� � ������ � � � ����� ���� � � ��������� ��� ���� �� ���������� ���������

��+������ ��,�0� � ����� � � ��" �<����� 1��. �

��� � �� � �� � "��� ������ ��� �� � �� � ��� ���� �� ���� ������"��� ������

�&� '�� ,��� ���"��� ����� ������� ���� ��� ���� � � �� � �� ��� �"����� � ��

�<� !� �� �# � ��� ,��� � � � ����� �# ���� � �� �� � ��� ,��� � � �� ����� �� ��� ���� �� ����� ��

��+������ ��,�8� � ����� � � ��%!<�% ��" �<����� 1��. � � � ��� ������ ���� ��� ���� ����� ��� ������� ��� ����� ���"��� ������� � �� ��� � ����� ����� ������ ���� �� "����

Page 22: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

((������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�-�.��� :� K�� �� ��������� �� ������ ��� ����� �� � �� ������ ����@

�� � �� () / �)B 0 3

��

��!���� K��� ��� �������� ��������� ����

�� � �� () / �)B 0 3

�� 3�+�n+2������

3b+�n+�

�� � �� (3 1 �B3 �/ ��:

��

.+2

3333<�

�e+�

�� � �� (3 � � b

.

3 � � b.

��3�+2n+�������

�� � �� (

@ � �b.

@ @ @

��

'�� ��� ����� � � �� ������ ����� 7��� ���� �� ������� �� ������������ � ��������� �� ������� ������ ��� ����� �� ������� �� ������ ����@

+2n+����� � 3 D

.

@ � � b.

@ @ @

��

�-�.��� ;� <���

�2 � �� � � B(�� � �2 � /�� � (B

�� � �2 � )�� � �(3

� ������� ��� ��������� ����� �� ��� ������ �� ������� �� �����������

Page 23: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � ()

��!����

�� 3 � �� �B( �� / (B� � �) �(3

�� +��+������

�� � � �) �(3( �� / (B3 � �� �B

��

32+�n+2������

�� � � �) �(3

@ �) �3 *B@ � �� �B

��

3�

�+2�������

�� � � �) �(3

@ � � �f�

�()@ � �� �B

��

3+2n+�������

�� � � �) �(3

@ � � �f�

�()@ @ .

��/

��

.+�������

�� � � �) �(3

@ � ��f�

�()@ @ � *

��

�f

�+�n+2

33333333<

�+�n+�3�+2n+�

�� � @ @ �

@ � @ �)@ @ � *

��

!� � ���� �� ��� ���� �� � �� �2 � �)� �� � *�'�� ������� �� ����� � ������ � ������� ��� ��������� ����� ��

������� �� ������ ���� � ���� ��!$$4B��%�� ���.��������

�-�.��� C� <���

�� � �2 � (�� � /

)�� � /�2 � �� � :

0�� � B�2 � /�� � �)

� ���� 6����4O����� ��������

Page 24: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

(/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��!���� �� � �� ( /) / �� :0 B �/ �)

�� 3�+n+2

3333333<

3D+�n+�

�� � �� ( /3 1 �1 �/3 �/ ��/ �1

��

.+2������

�� � �� ( /

@ � �� � e.

@ �/ ��/ �1

��

3�e+2n+��������

�� � �� ( /

@ � �� � e.

@ @ @ �

��

e

.+�n+2

3333333<

3e+�n+�+2n+�

�� � @ � 3

@ � �� 3@ @ @ �

��

'�� ��� �� ���������� 3 � �# ��� ����� ���� ��� ������ ��� �� �������

L� ���� ��� �� ������ ���� �� � �����# ����� � ������ �� ������������� ���� ����� C�� ����� ������ �� ���� �������� � ����� � ������ ������ ����� '��� �# � �=��6 ����� �� 4�������� �� � ����� ��� ������ ����� '�� ��� �� �� ��� �������� ������� � ��� ��� � ���������� �� ��� ���� ��������

������. ��,�,� !"��� ����� � ���#�� "���� �� � ����� ��� ��� ��������� ����

����� <������ ��� ����� �

����� ��2 � � � ��?

�2� �22 � � � �2?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 � � � �6?

��

�� ��� ����� ���� �� ����� ���� � ��� ������� �� ������� ��������� ���� (3� �� ��� ������ ����� � ��� � ���"��� ��� ��� +��� � ,�� ������� � � ����# � ��� �� �� �� ��� ,��� �� � ���������� �� �������� !� � �� ��� ,�� ���# � �� �� ����� (# ��� �� ��� ������� � �� ����� ���� "����# ��� ������ ���# �� � ��� ���� ��� ����� � ������ � �������

Page 25: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � (0

�� ������ ������ 7� ��� ����� ��.� .�

�� � �

����

��� ��2 � � � ��?�2� �22 � � � �2?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ���� ��2 � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 � � � �6?

����

�� ��� ����� �� � � ����� ��� ���� ������ � ��� ��� ��� �� ������ �� %�� ������# �� ��� ��" ,��� �� # ��2�M��M( ������� �������� � �� (# ����� �� 7� � ���� ��� �� 4�������� ������

�� ��2 � � � ��?3 P�22 � � � P�2?� � � � � � � � � � � � � � � � � � �3 P�62 � � � P�6?

��

�'�� 8����9 ������ ��� �� ������ ����� ��� ��� �� � ���������� �� ��� ��� ��������� ���� �� ��� $!&.����-�

P�22 � � � P�2?� � � � � � � � � � � � � � � �P�62 � � � P�6?

��� ������������� � ����� � �� ������ ����# � ��� � ��� � ������� �� ������

���� � ������� ��������� � ��� ��� ,��� � � ���� �� � '��� ���������� � �� 4�������� �� � ����� � ������� �� ������ �����

� ����� ��� ��� ��� ������� �� ������ ����� <�� E�� � �1�

��=��2 6$��.$ "��� ��.���- ���?<����$ ���� � ��� �� ���� ����4���� �� ������ ���J����� � �� � �����# � ��� � ������� �� � ������ �� ��� ���J������

�-�.��� �@� L� ������ ��� ��.�� �� ��� ��� ��� ������� �����#��� ���� ��� ������

�) � ���� � �� � ���2 � / � /�

�� � �2 � (�

� �������� �� � ��� ���J���� ������ �� ���� �������� � ���� ��.�� ����M��� ���� ��� � &����� ) �� <��� �����

Page 26: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

(*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��!���� ���� �� � �� � ��� ��� �2 � �2 � ��2# ���� ��� �2� ��# ��� �2 ������ ���� �� ��� �� ������ �� � ���

�) � ����� � ���� � �� � ����2 � ��2� � / � /�

�� � ��� � ��2 � ��2� � (�

��� ����

)�� � �� � ���� � )��� � ��2 � �2� � ���2 � �2� � / � /�

��� � �2� � ���� � �2� � 3 � (�

7� ������ ��� ��� ��� ���� � ��� ��� � ���� ��� ��� ������� �������� ����� '�������� � ���� �� �� �������� ������

)�� � �� � �2 � �2 � /

�� � )�� � �2 � �2 � /

�� � �2 � 3

�� � �2 � 3

L� ���� ������� �������# ��� ������ �� ��� ������ �

�� � � �2 � � �2 � �� �� � �

'�������� ��� ������ �� ��� ����� ������ �

�� � � � � �2 � �� �

�-�.��� ��� <��� ��� ������ ���� &����� �3 ����� ������ ��� ��4.�� �� ��� ��� ��� ������� �����# ���� ������� ������� �� �������� ������

��!�����) � � � � � / � /�� �� �(�

�+��+2�������

�� �� (�

) � � � � � / � /�

3E�n��+�n+2����������� �� (�3 / � (� *� (�

�'��������

�2 �*� (�/ � (�

� �� �

��� ���� ��. �� ������� � ,�� ���� �� � � � ���� �� �� �� ����� ��� ,��� ������� � ��� ��� ������ �� ���� ����4

����� '�� ������� ��� �� � ��� ��� ������ ��� �� ����������� ���������

Page 27: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � (1

������. ��,�/� �� �� ��� � �������� � ������ �� ���� �� ���� ���� ��� ���� �� $��� ������� ��� ���� �� �� ����� ��� ��������� ��� � ���"�� ��� ��

����� <������ ��� ������ ��� � �������� ��� � ��.�� ��# �� � � ������� � ����� ��� ������� �� ������ ���� �� ��� ��������� �����# ����� �� �������� ������ �� � ��������# � � � �� '��� �# �� ��� (� � � ��� ��� ���"��� �� � ���� � ������ ��� "����� 7� ������� ���������� � � �� � � � ����� ��$ ���� ��� ��.�� � �&� ������� �� ���"������J���� ��� � �� � ��� ����� ��# � � �� (� � �� '�� ����� ���� �����&� # � � �� (� � �# ��� � ����� � ����� �� ��� ����� � � � ��.�� ��#�� ���� ��� �2� � �?3R� '��� �# � ��� ��� ��� �2� � �?3R ��� ����� � ��# ��� ���� �&�� �&2� � �&R ��� ��� ��������� ��� � ������� ������������

�-�.��� �,� ���� '������ ��(�) �� ��� ����������� ������ �� ������������

(�� � /�2 � (�� � �3�e � 3

�� � (�2 � (�� � 1�e � 3

�� � (�2 � �� � 0�e � 3

<��� ��� ������# �������� �&�� �&2� ��� �2 ���� ��� ����� �� '������ ��(�)�

��!���� <��� � ���� ��� ����� �������� � ���� ��.�� ��# '���4��� ��(�) ���������� � ������� ������� '�� ��������� ����� ��������� �

� � ( 3 ) 33 3 � ( 33 3 3 3 3

��

'��������# �&� � ��� �&2 � ��# �� � �2# ��� �2 � �e� �� ���� ��� ����������������

�� � �)�e � (�2�� � �(�e

<�# ������ �2 � � ��� �e � �# � ���� ������� �� � �)� � (�# �2 � �#�� � �(�# ��� �e � ��

Page 28: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

(:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�-�.��� �/� �Q ����� �������# �������� ���������� �� ��������� ��� ����������� ���� �������� ���� � ���� �� � ����� ���������������� !� ,���� ��� ����� ����� �� � ����� �� ��� ������ � %�� ��(�0#��� ��������

�(� ���� � �2 � 3

� �� � �(� ���2 � �� � 3

� �2 � �(� ���� � 3

���� ���� � � ��� ������ �� ��� ������������ ���������� �� ��� ������ �� ������� ����� �� � ��� ��� ��� ������ ��� ������� �������� ��� �������� �� �� ��� ����������� �� ��� ������ ���� ��� �����<��� ��� �������� ��� � � (�

��!���� <����� � � (# � ���� ��� ��������� ����� ��� ���������� 3 �� 3 3

�� 3 �� 33 �� 3 3

�� +�n+2�����

�� �� 3 �� 3

3 �� 3 33 �� 3 3

�� 3�+�

3�+2�����+2n+�

�� � 3 � 33 � 3 33 3 3 3

��

'�� ������� ��� �� � ��# �2 � 3# ��� �� � �� �� ��� � � ���� ����������� ��� ����� ���� ����� ( � ��������� ��� ������ � ��� ) ��� � �������� � ������� ���������

�-�.��� �0� 5������� �������� �� �� �# ��� � �� ����

�� � (�2 � )�� � �

/�� � 0�2 � *�� � �

1�� � :�2 � B�� � �

���� �� ������� �� ���� �� �,��� ��� �� �� ��������

��!���� E�������� ��� ���� �� ��������� �� � &����� ) ���� �� �������� �

� � ( ) �3 �) �* �� /�3 3 3 �� (�� �

��

Page 29: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � (B

!� � � (� � � �� 3# ���� �� ������ ������ !� � � (� � � � 3# � ���� � ��������� � ����� ��.�� �� ��� � ��� ��� �� �� ����� ��� ���� ���� ����� ��� �2�

)��&��.$ ��,�

�� K�� ������� ������� �� �������� ������ ��� ��� �� ����������� �� �������# ������ ��� ������# �� �� �,��� ��� �� �� ���4����� <���� ��� �������# � ���� �����

��� �� � �2 � �� � * ��� (�� � )�2 � �� � 0�� � �2 � (�� � : �� � �2 � �� � )(�� � )�2 � �� � � /�� � �2 � �� � ��

��� �� � )�2 � �� � * ��� �� � �2 � /(�� � �2 � )�� � �( (�� � �2 � 1�� � /�2 � /�� � 3 0�� � (�2 � �B

��� )�� � (�2 � �� � �( � � �� � (�2 � *�� � *�2 � /�� � * )�� � *�2 � :

0�� � �3�2 � �(

(� <��� ��� ������� �� �������� � E�� � � � ���� 6����4O����� ��4������

)� ���� �� ��� ��� �� ������� ��� � ������� �� ������ �����

���

��3 � ( 3 )3 3 3 � 33 3 3 3 3

�� ���

��� 3 3 ( �3 � 3 3 33 3 � 3 3

��

���

����� � �3 3 �3 3 33 3 3

���� ���

��3 3 3 �3 3 3 33 3 3 3

��

���

����� 3 ( �3 � 3 �3 3 � 33 3 3 3

���� � �

����� 3 3 33 � 3 33 3 � 33 3 3 (

����

�!�

�3 3 33 3 3

�� �

�����333

����

Page 30: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

)3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

/� E�� ��� ��� �� ������� � �� ������ ���� ��� ������� �� �����������

���

��� �� (3 0 */ 1 0

�� ���

��� � ( (( ( � �3 3 ( (

�� ���

����

� )( /

�� �*( 1

����

���

��3 3 �3 � 3� 3 3

�� ���

����

� �� ( (3 � ) *( �� 1 �3

�� ( � /

���� � �

��� 3 3( � 3) / �

��

0� %�� ���� ������ ����� �������� �� ���� �� �� �# ��� � ��� ���������� �� ������ �� �� �,��� ��� �� �� ������� ��� ��� �������

��� (�� )� � � ��� �� � � ��� /� � � (�� (� � �

��� �� � � � � ) ��� �� (� � � � ��� � � � � � � �� � � )� � �(�� � � (� � � �(�� � � �3� � �

*� %�� ��� ����� �� � �� ���� ��� ��� ��� ������ ��� �� ��� ���������# �� �� �������# �� �� �,��� ��� �� �� ��������

��� �� � �2 � ) ��� �� � (��2 � 1)�� � ��2 � * �� � ��

2 � ���2 � )

��� �� (� � )� � / ��� ��� � �2 � �/�� 0� � �� � ) �� � ��2 � (

1�� :� �)�

(� � 3

��� ��� � �2 � � � � ��� ���� � ��� � ��2 � � ����� �� � ��

1� K�� ������� ������� �� ����

��� � ��2 � �

��� � ��2 � �

���� �� �� �# ��� � ��� ���"��� ��� ��� ���� <���� � ������� ����� �� ��� ���������� � ����� �������

Page 31: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � )�

:� !� ��� �� � 3 ���� �� � ���� �� � �

� �� 3

��� �������� �� � ��� � ��������� �� �������� �� �,������ �� �� ��������

B� K�� ������� ������� �� ����

��� � ��2 � � � �� 3��� � ��2 � � � �� 3

��� � �e � �!�� � �e � "

<���� �������� �� �� �� �� �� �� � !# ��� ��� ��������� � ������������

�3� <�� ���� � ��� �� �� 3# ���� ��� ������� �� ������ ���� ���� �� �

��

�� 33 �

��� !� ��� �� � 3# ��� ��� ��� ��� � ��� ��� ������� �� ������ ������ ��� ��� �� ������ �

� �� �

��(� <��� ��� ��� �� ����������� ��������

��� )�� /� � 3 ��� �� � � 3(�� � � 3 �)�� )� � 3

�� � � 3

��� (�� )� � /� � 3 ��� �� � � � � 3�� (� � � � 3 )�� � � � � 3/�� � � (� � 3 ��� (� � � � 3

��� �� � (�2 � �� � �e � 3 � � ��� (� � 3)�� � �2 � 0�� � �e � 3 30�� �� � 3�� � �� � (�e � 3�� � �2 � 1�� � 3

Page 32: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

)(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�)� ;�� � � �� � � � � � ������ ��

��� �� � 3

��� �� � 3

��� � � "� � � # � � ������ ��

��� �� � �

��� �� � �

<�� ���� � � " � �� � � # � � � ��� � ������ �� ��� ������ ��� �����������

�/� ;�� � � �� � � � ��� � � "� � � # � ������� ��

��� �� � 3

��� �� � 3

<�� ���� ��� � � ��"� � � ��# � � ������$ ��� � � ��"# � � ��#� � ������$ ��� � � ��# � � ��# ���� � � � ��������# � � ���������� K�� �� ������ �� ��� ���� � � ��"# � � �� # � ��� ���������� �������

�0� <��� ��� �������� � &����� �) �� � � (��(�

�*� <�� ���� � ����� � � �� 4�������� �� �# ���� � � �� 4���������� �� <�� ���� � � � �� 4�������� �� � ��� � � �� 4���������� �# ���� � � �� 4�������� �� ��

�1� !� � ���� � ������ ���� � ����� �� � �� � ��� � ������ � �� 4�������� �� ��� ��� ������� �� ������ ����� <�� ��� ����� �� ������������ ��� ������� �� � � �� � ��� � � ������ � �����������# ���# ��� ����

��� <�� ���� � ����� �� � � �� � ��� � � ������ ��� ���� ������ �� ��� ��� �� ������� �� ������ �����@�

� 33 �

� �3 �3 3

� �� �3 3

� �3 33 3

��� <�� ���� ���� �� ��� ���� ������� � ���� ��� � �� 4���������

Page 33: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ��������� � ))

��� K��� ��� ��� ���# ����� ���� ����� ��� � ��� ��� ������� �� ������ ���� ��� ��� ������� ����� ������������

�:� '�� ������� �� ������ ���� ���� � ( )/ 0 *1 : B

��

��� � "���� � ��� ��� �� $ ��� ���� ��� ���� � ���� �������� ( ) /0 * 1 :B �3 �� �(�) �/ �0 �*

����

�B� ���� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� �� �� ��� ������� �� ������ ������ ��� ��� ���

������ ( ) � � � �

�� � �� ( �� ) � � � (�(�� � (�� ( (�� ) � � � )�

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�2 � �� � �2 � �� ( �2 � �� ) � � � �2

������

(3� C������ ��� ������ �� ��������

�� R� � �( � (�R�� � � (

<��� ��� ������ � ��.�� ��� ������ ���G����� �� ��� ���� �� ��������� ������� ��� ����� �� ���� ��� �$ ���� �� ������ �� ,�� �#

(�� <���

R�� �� � (

��� R� � (�

�A���� ��� ������ ������� � �# ���� ��.� ���G��������

((� <��� E�� �� (3 ��� (� � ����� ��� ��������� ��� ��������

()� E���� ����� ��� ��� ��� �� '������ ��(���

Page 34: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

)/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��/ �� )����> �������� �����>

��� ������ �� ������

��� �������

!� �������# ������� �� �������� ��� ��� ����� � ����$ ��������� ��� �����L������ �� ��� � ���� ������� ���� ������� �� ������ �����������C�������� ��� ,��� �������� ������� � ����� ��� ��� ���. �� ���� �� ���� �� .

b���� ��� ������� ���� ��# � �������� ��� ������ ��

���� �� � ��� �� ��� �����

111111

��

11111:

�������� �� ������ ��������� ������� �-� �� ������� �� ���� �� ���4���� 1111111 � � � �� � ��4��� ��� ��� L��� �������������� �� .

b��� ���

�����# ��� ��� ��� ����� ��� ��� ����� � �������� � ���� �� .

b# �����

� ���������� %�� ������# B � .

b� 1# �� B � 111111 � *BBBBB �����

�� ���� ��� ����������� !� ��� ��� ������ ��������� �� ���������#����� �<<!.!������ ��� � ���,�����

'� ���� � ���������� ��� �� �������� �� � �������� ������������ �����# ��� �� ��� � ��������� �� ��� ������ G��� ��������� '������� ��� �� ��� �@

�� %������� ��� .����.���<�� ���&��.�

(� 5����� � ����4 �4���� ������� ������# ���� �� ��2�����.# �������������� ��� ������ �� ��� ��� ���

)� ���� � <�.�!��� ���2��. ��� ���� ��� ������� � � ���� ������� �������� ��� ���������� ��� ����� ����

/� C������ �� ����� ����6$�$ �� ������� ��� �������� �� ��� ��������I������� �� ��� ��� ��

7������ ������ � ��� ����� �� ���������� ��������� �� ���� (������� / � ���� �� ����������� �� ���� (� L����� ���� ���# � ������ �������� ���� �� ��������� ����� ��� ��� ��� �� ������ �����

Page 35: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ��������� � )0

C������� ����� F����� ���� ����� ��� ��� � ��� ����

�� �� ��� ����2 � � � �?���& � � ������ ������ ���)���

���� ���2 � � � �? � ���� ���.����$$�# � � ���� ��� &�$�# ��� � � ������� �-������� '�� ��� �� � � ���� ��� �!.&�� �1 $�2��+<��� %�2��$�� ��� ������� <��� � ��� ��� ���� � ��������� ��� ��� � ��� ���� �����)���# ������� �� ��������� ���� ��.� ����� K���� � � (# :# �3# �� �*��� ��� � � �3 ��� ���� �� �������������

�-�.��� �� <������ � �������� ������ ��� ��� � ��� ���� ���2�� ��3?� '��� �# ��� �������� ������ ����� ���,���� ����� %�� ��� ��� ����� ���# ��� ���� ������ �������# ������� ������� ��� ���������@ � 2

�#

)*1:# �(((/# /�(1:# �3**1�

��!����

QXPEHU URXQGHG YHUVLRQ WUXQFDWHG YHUVLRQ

� 2

��**1� �3f �***� �3f

)*1: �)*:� �3e )*1� �3e�(((/ (((� �3f (((� �3f/�(1: /(:� �3� /(1� �3��3**1 �**1� �33� �**1� �33�

�-�.��� ,� <������ ��� �������� ���� &����� � ���� ��� ()�/ ��� �(�)�'�� ��� ��� ��� ������ � ��� ���� ()/� �32 ��� (�)� �3f� '� � �����#��� ��������� ���� �����# �� � ������ (�)� �3f �� 33(�)� �32� ��������� �()/�33(�)���32 � ()*�)��32 ��� ���� � ������� �� ()*��32�� � ������� <� ��� ������ ������� ��� ��� �� ()�*� <��� ��� ����� ���� ()�*�)# � �����4�- ����� �� �3�) ��� ��� ����������

�-�.��� /� <������ ���� ��� �������� � &����� (# ����� ����� ()�/ ����(�)# ���� ����� ���� ��� � �33#333 �� � ���� ���� '�� ��������� ��� ������� �� ��� �# ���� �33#333 � ������ �� �� �3S@

��� �3S��()*� �32� � 3()*� �3H ������ �� 3(/� �3H

'�� ��� �� ��� � �������� �� (/3#333� '�� ����� ������� �� �33� 333�()/�(�)� � ()*#�)3� '�� ������- ����� ���� &����� ) ��� ���������� �4����� �� �� ����� � ������� ���������

Page 36: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

)*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

&����� ) �������� ��� ���� ���� ��������� � � ���� ��� �� �������� � � ��� ��� ��� ��� ����� � ���� ������- ������ +���� �������� ���� ������- ����� ��� ����� � ���� ��� �� �� � ��� ��� �� �� �� 4������� � � ��� ��� ��� ��� ����� ����� '�� � ��� � � &����� /�

�-�.��� 0� K��� ��� ���� �������� �� � ��� ������� ������� ���������� )(::� )(:* ��� ��� (/*3 � (�

��!���� !� ��� ��������� � � ��� ��� ��� ������ ����� �� ��� ��� ����

��� 5-������ � )(B� �3e� )(B��3e � 333� �3e� '�� �-������ ��� � �������� �� 3�

���

<�� � (/* � �3e � (� �3� � (/*� �3e � 333(� �3e� (/*(� �3e � (/*� �3e

Urxqg r�

'�� ��� ��� � �������� �� (/*3�

!� ��� ����� ��� ����� ��� �������� (�

�� ���� ��� � ������ ������� �� �� ����� ��� � ��������� ������������� � ������ ������������ 5�,����� �� ������ ��� �������� ������� ��� �� �����

��+������ ��/��� ��� ����� ��� �� ������- �� ��������� � ���� ��!�%4�D ������

��+������ ��/�,� ;�� $ � � ��� �� ��� $U@*U � ��� �������� ������4����� �� $ � '��� ��� �&$��!�� ����� ��� �� ���� $U@*U �

$U@*U �$

'�� ������=� ����� �$U@*U �$

$$ �� 3

�-�.��� 8� 5������� ��� � ����� ��� ������ ������ � &����� /��

��!���� <��� $ � ( ��� $U@*U � 3# ��� � ����� ����� � �( ��� ��������� ����� � � 2

�� ��33 ��������

Page 37: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ��������� � )1

'���� ������� ����� ��� ��� �� �� ����� ������� �������� ���������������� M�����# ���� .��� �� ���� �� ��� ��� �� �� ����� �����������C���� �� ������ �������� ������� � ��� ���� � ��� �( ���,�������� �� ��������# ��� ���� ���� � � ��� �� �� ��� �� ��� ����� L��������� ����� ���������� � ��� ������ ������ ���# �� ��� �����4����# ��� ���� ��������� +�� �� � �� ���� ����� � ��� ��� ��� ������������� ��������� � ���� ��� ��� ���� &����� )��

!����������� �� ������� ������� �� � �������� ����� ���"����� ���������� �� ������- ������ M� �������� ������ ����� �� � �� �� � ����� � � ��� ��� '��������# � � ��� ��� ��� ����� �� � � ������ � ��� �� �� ���� �� M���� ��# ����� � ��� ��� ��� ��������������- ������ �� �� ������� � �������� ��� ������ ���� ����������'�� ������ � ���� ������� ��=����2�

�-�.��� 9� <������ � ���� ��� ������

3333��� � �2 � �333

�� � �2 � 3

� ��� ��� ����� ������ �� � �2 � 3BBBB3333BBBB3333� � ��� �������� ��������� �� ���� ���,���� ����� !� � �� ��� ��������� ��� ��������# � �����

3333� �333 �333�333 ��333 3

��

f�fff�+��������

�� �3� 333 �3� 333� �� 3

3+�n+2�������� �3� 333 �3� 3333 ��3� 333 ��3� 333

� ��� ��� ������ �� � 3� �2 � �� '�� �������� ������ ��� �� � ��� ������ ��� ���� ������� =� ����# � � � ��� �� � �� ���� ��� ,��� ���J����� ��� ,��� �� � ��� ������ ��� �� � ��� ,��� �����# � �� �����@�

� �� 33333� � �

�3f�fff�+�n+2����������

�� �� 33 � �

��� � �2 � �

'�� ������ �������� � ��� ������ �� � ���� ���� �� ��� ����� �������

'�� �������� �� ���������� �� � �� ���� ��� ���� ������ � ��� �������� ��������� � �� ����� � ���� ������� ��=����2� '�� �������� ��������� � &����� 1� ������ ��=����2 � ������� � � ������

Page 38: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

):������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�-�.��� :� <���

�� (� � � � 3

(�� � � )� � �0/�� � � 0� � �1

� ���� ����� �������

��!���� '�� ������ ��� �� ��������� ������� � �( � 3

, � �/ �80 �� 8 �:

��

L������ �� ��� ������� �����# � ��� ���� / � ��� ������ �����# �� ����������� �� � � ��� ) ��� �������$�

� 0 �� 8 �:, � �/ �8� �( � 3

�� �

e+�������

�� � ��

e

D

e

�.

e

, � �/ �8� �( � 3

��

32+�n+23333333<

3+�n+2

��� � ��

e

D

e

�.

e

@ �

2���

2�2.

2

3 � .

e��

e��.

e

���

7� � ���� ��� �������� �� ��� �� �������

2���

2�2.

2

�.

e� �

e��.

e

��� ����� ���� � .

e� % ��

2�# �� � ���������� �� � ( ��� )� C������� ���

������� �������# � ,����� � ��

e

D

e

�.

e

3 �.

e��

e� �.

e

@ �

2���

2�2.

2

��� 3

e

.+2�������

��� � ��

e

D

e

�.

e

3 � �

.

�.

.

@ �

2���

2�2.

2

���

3�

2+2n+��������

��� � ��

e

D

e

�.

e

3 � �

.

�.

.

@ @ �Hf

�e��2f

.

���

3�e

Hf+��������

��� � ��

e

D

e

�.

e

3 � �

.

�.

.

@ @ � /

���

Page 39: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ��������� � )B

'�� ������ � �� � �� �2 � (� �� � )�'�� ������ G��� �������� � .�� � �� ������� ��=����2# �� ��������

� ���� ���� ������� !� ����� ������# � ������ ��� ��� ����� �� �������� ��� ��� ���� ������ ������ � ��������� !� ���� ������ � ��������� ����� ���J���� ����� ��� �� ������ ��� ��� ������ ������ �� �������� � ���� ������� '� ��� �� ���� ������ ��.�# � �� ��. &����� 1�

�-�.��� ;� <��� ��� ������ �� &����� 1 �� ���� �������

��!���� '�� ������ ��� �� ��������� ������� � �( � 3( � �) �0/ �� 8 �1

��

�� ������ ��� ���J���� ����� ��� ,�� 0 �� ��� ������ ������ � ����4����� !����������� <��!.�$ � ��� ) ��� ���� ��"$ � ��� )# � �����

� 8 �� / �1�) � ( �0� �( � 3

��

�� � ���� ����� �� ���� ��� ����� ������������ �� � � �� ����� )��� ��� ����� ������������ �� � � �� ����� �� '� ������"� ���# � ��� ��� ��.�� �� �� ���� ������� E�������� �� ��� ��������������# � �����

� 0 �� / �1�) � ( �0� �( � 3

�� �

D+�������

�� � ��

D

e

D

�.

D

�) � ( �0� �( � 3

��

� � � � � �

�+�n+23333333<

3+�n+2

��� � � �

D

e

D

�.

D

3 2

D

22

D

2S

D

3 � b

D

D� �.

D

���

� � �

7� � ��� ���J���� ���� �� ��� �� ����� 22

D� ��� ������ ������ �

��������� '� ��� � � ��� ���� ������# ������ ( ��� ) ���� � �4����������� ����<� ���� ���$ �����<���2� �D�<�$ ������$ �!�$�%� ���

Page 40: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

/3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

$!&.����-> ���E ���$ �$ � %�D����<� &��"��� ����� ��% ������� ��=4����2� C������� �� ������� ���� ��

��� � ��

D

e

D

�.

D

3 2

D

22

D

2S

D

3 �b

D

D��.

D

��� �2����������

��� � e

D��

D

�.

D

3 22

D

2

D

2S

D

3 �

D�b

D��.

D

���

� � � � � �

D

22+2������

��� � e

D��

D

�.

D

3 � �

��

��

��

3 �

D�b

D� �.

D

���

� � �

3�

D+2n+����������

��� � e

D��

D

�.

D

3 � �

��

��

��

3 �

D� �ff

DD�2ff

DD

���

� � �

��� ���� � � )� � � �� � � (�

&����� : ��� � ���� ���� ������ ������� ���� ��..����� ��������� ������ ���� ������ ��� � ������������ +� ������# � � ��������� ���� ��� ��..�����# ��� ������ �� �� ��� ��� ���� �$ ���,���� ���� ����� ��� ��� �������� ����� �� ��.� ������ ����������� %�� ����������� ��� ��� �-������ ��� � ���,����� C�������� %�� ��)��# ���� ��� ���� ��� ���� ���������� ��� � 03� 03 ������ ��� /(#:10 ��� ���������� ��� ��� �((0 ��� ����� ������� %�� � 03 � 03 ������# ���������� ������� � ��� )0 ���� �� ���� �������� ���� L������ ����������� ����� �����# ����� ������ � ������� � �� ���� ������# ���� ���������� ������ � ������� �� ������ �� ����� ������� '�� ����� ����������� � ����� ������ � ��J���� ��� ���� ��� ����

+���� ������ ��������� ��� � ������� !� ������# ����� � �� �� ����. � 8 ���9 ������ ���������

)��&��.$ ��/� �� M���� ��� ��� �� ��� ��� �� ���� ���,���� �������� �3331:* �&� 0#/1B#:(B�) �<� �1B)3(B:/1 �%� 0333�33/

Page 41: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ��������� � /�

(� C������ ��� �� �� ��� ���

�(/*

)*1(

/3*1

1�(0

)01�

*/:B

(:�*

/�B:

)*01

:1:0

��� ��� ���� ��� �� �����# ������� �� ���� ���,���� ���� ������ �������

�&� ��� ���� ����� �� ���# ������� �� ���� ���,���� ���� ������ �������

�<� ��� ��� ��� ��� ����� ��������

�%� C������ ��� ��� � ���# �&�# ��� �<��

)� !� ��� �� � ���� ��� �������� ��� ��� ��� ��� �� �� �# ��� � ����

���

����

��

��

K��� ���� ���,���� ���� ��� �������# ��� ���� � � � �)# � � )#� � 333)# ��� � � (# ���� ��� ������� ���� ��� ��� ��� ���������������

/� C����� ����� ��� �� �# ��� � ��� ��� ���� �

�� ��� �� � ��� ��� �

�� ���� ���,���� ���� ��� ������� ��.� ��� ������� �����

!� E�� �� 0 �� :# ������� �� �������� ��� ����� <��� ���� ������ ��� ����� ������ �&� �� ����� ������# �<� �� ���� ������� M��������� ���� �����������

Page 42: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

/(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

0� 333��� � )�1(�2 � )�1)*1(��� � /((1�2 � (/B/�S��� ��� ���� ���,���� ������

*� )�� � (�2 � /�� � 1���� �

�f�2 � �� � �):

2�� �� � (0�S��� ��� � � ���,���� ������

1� 3��� � �2 � 3� �� � �2 � �� � �BB�

� �2 � �3�� � 3�S��� ��� ����� ���,���� ������

:� 3��� � �2 � ��� � �2 � 3

�S��� ��� � � ���,���� ������

B� <����� �

2�2 �

��� �

��

S

2�� �

��2 �

e�� �

��

�2

��� �

e�2 �

D�� �

e.

Sf

��� ���� ����� �������� ��� �&� .����� ��� ����� ���,���� �����

�3� K��� ,�� ���,���� ���� ��� ��������� ����� �# 3��()1 � 3��()��� �� ���# ������� ��� ������� �� �2�(30�*��(��() � 3 � ������� �������� ������

� ��� �

�2 � /��(�

����� ������� ��� �3�3(B* � � � ��� �(30�/B1 � � � � ��� � ��� ��4���� ����� � ���� ����� ������ ������� � ����� ����� ����� 03�������� K��

� ��(�

����2 � /��

�� ������� ��� ����� ������# ���� ���� ,�� ���,���� ���� ������������� ��� � ���� ��� �� ���� �������� ��� ����

Page 43: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������� /)

��0 ������

!� ������� ������� � ���� ������� ������� �� ���� ������� �� ������������� ��������� ������� ��� ���� �� �� ��� ���J����� �� ��� ��4.�� �� ��� ��� ����4����4��� ������ A������ ��� ����� � ���� ����� �������� ��� ���������# ��� G��� ��� ����� ���� �������� ��� ���� ��� ����� ��������

�-�.��� �� �C����� ���������� A������ ���� � ������ ���������� ��� ������ �� ������ � ��� ����H M����� ����.��# ��� ��� ������������� �� � ������ ���� ������� � ����� �� � �����# ���� �� ��� � ��� ����� �� ��� ������� '� �������� ��� ������������ �� ���� �����# �������� � �� � �� � ��� � ����������������

����&'� &' 3 � � � 3

� ����&'� &'� � �

���

3 � ����&'����

� � � 3

���� � � � � � ����&'� &'

3 � � � 3 � ����&'�

���������

� ���� �� � ���������� ����$ '���& ��� ��������� ������ �� ��� �����4��� ������ ������ ��� ��� ����� �� �����

�� ��� ����� � ��� �� � � ����� � �������� �� �� ��� ������%�� ������# � ����� � ������ ������ ������ ��������

� �

�� � �� () � � * �/3 0� �(

��

��� ��� �� 0� � � �� ) ��� ����� (� ������� �� �� ��� ��� �# 80�� ��� ����6 �� � � ��� )#( �������9 !� � ��� ��������� �� �������������� � �� ��� ����� ��� � ���� �� ����� � ����� � � ���������

�-�.��� ,� �6���� ������� ������� ���� � ��� ������� ���� � �����������# ��� ��� � ����� �� ��������� ������ ��� ������� ��� ��.�#

;Q1U1 Dpxqgvrq/ Pdwkhpdwlfdo Phwkrgv lq Fkhplfdo Hqjlqhhulqj/ Suhqwlfh0

Kdoo/ Hqjohzrrg Fol�v/ Q1M1/ 4<991

Page 44: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

//������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

����� ����� ,���� � 2���� � � ������� �� �������# ���� �� ��� ���G���� � ��� ��� ������ �� ������ �� � ����� � ��� � � %�� ��/��# ���� ������ � � ��� =����<�$ ��� ��� ��� � � ��� ������ '�� ��<�%��<�.����- � �� ��� ����� � � ����� �� ������ 3 ��� � �� ��� �@

��� �

�� � ���� � ������� ������ �3 ����� ��

%�� ��� ����� � %�� ��/��#

� �

� ( ) / 0 * 1 :�����

������� � 3 3 3 3 3 �3 � � � 3 3 3 33 3 � � � 3 3 33 3 3 3 � � � 33 3 3 3 3 � � �

������

��+������ ��0��� � ����� ���� �� � ���� � � �� �� �1 ��%�� �� �� � ��� � �� � ��� � ������� !� � ��� �� ������ ��� �"� �� �� �� ������ �# � ��� ��� �6f?� � ����� � $ !��� � � � �� ��

;�� � ��� � � ����� �� � �������@

� �

�����

��� ��2 ��� � � � ��?�2� �22 �2� � � � �2?��� ��2 ��� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 �6� � � � �6?

����� � �

�����

��� ��2 ��� � � � ��?�2� �22 �2� � � � �2?��� ��2 ��� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 �6� � � � �6?

�����

�� ��� � ��� � ��� � !�� � ��� � ��� ��� � � � �� (� �� ��� � ��� (� � �� '��� �# ��� ������ �� � ��� � � ��� ���� ������ ��� �����'��� �

� 30 *

��

�� 30 *

� �� �

� 30 *

���

�� �0 *

���� �

� 30 *

���

�� 3 30 * 3

Page 45: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������� /0

!� ��� ��� ���� ��� ������� ��� ��� ���� ������ ���� ��� ��� ��� �����"��

'���� ��� ����� ��� ��������� ������ �������# ��� � ��� �������� ����� ������� �� ���� ��������� '�� ��������� ��� ����� ������#����� ���������# ��� ����� ����������

��+������ ��0�,� '�� $<���� .!������ <� �� ����� �# ���� � � � ���4��� ��� �� �������# � � ����� ��,��� �

����� � � � ��?

��� � � � ��� � � � ��?�6� � � � �6?

�� �

�� ���� � � � ���?

���� � � � ���� � � � ���?��6� � � � ��6?

��

�� �� � ������6f? � ������6f?� '��� �# ���� ����� �� � � ������ � ��

�-�.��� /� ;��

� �

�� �( )1 / �*

�C������ (�# �)�� 3�� ��# ��� ���

��!���� K��� ��� ��,���� ����

(� �

�(��� (��(� (�)�(�1� (�/� (��*�

��

�( �/ *�/ : ��(

!� ��� ���� ��

�)� �

� �) * �B�(� ��( �:

��� �

�� �( )1 / �*

3� �

�3 3 33 3 3

��� �

�� �(� )�1� /� �*�

7���� ���� �� � ��'�� �������� �� ��������� � ������ ����������� �� ������� ��

����� ������ �� �������� � � ��������� %�� ������# � � ��� �����

:�� �

/� � (

���

(� �

:

���/���

Page 46: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

/*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

� ����# � ���� ����� ��� �������� � :# � ����� �� 8���� ��� �������� ��������#9 �� � ���

�� (� � �*:�� /� � �

'�� ������������ ��������� ��� ��� ��������� ����� ��� ���/��� ��� ������ ��������� � :@

:

��

H� �

e(

� �

2

H

��

�� �( �*: / �

���+������ ��0�/� !� � ��� � ��� ��� �� �# ���� ���� ��� <��1��.�&��1�� �%%����� ��� ��� $!. � ��,��� �

��� �

����� � ��� � � � ��? � ��?

� � � ��� � ��� � � ��?� � �?� � � � �6? � �6?

��

'��� �# ��� ������ � ��������� ����� � ������

'�� �-������ ��� �� � ��� � � ��,��� � ������ ��� ���� �� ����� ���# �� ��� ������� � �����

�-�.��� 0� %�� ��� ��� �� ���� �� �������# �������� ��� ��� ����-������# � ���� �����

��� � �

�� �� (3 � )

�� �

�( �0 *

�) ( � � 3

��&� � �

�� 3) �/

�� �

�� � (3 �( 3

��<� � �

�()

�� �

� �(�1

��%� � �

��

2� �D

H

�� �

��3

���!����

��� A������ � ��� � ��� (� ) ��� �������� � ��� ������ ��� �� ����4����

��� �

�� � ( �� � �0 (*3 ��) � � ( � � ) � 3

��

�) 30 :�) ) � � )

��� �

��� ( ��� �0 (� *

3� ��)� �� �( � �� )� 3��

��� �(0 �/) ��� � )

Page 47: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������� /1

�&� A���� � � (�(# ��� � � (�)� <��� � ��� � ��� ��� ��� ���� �"�#���� ��� ��� �������� � ��� ������ �� �� ��������

�<� A������ � ��� � ��� �������� � ��� ������ ��� �� ������� �������� ��� ��� ���� �"��

��� �

�( � ��(�) � �1

��

�3/1

�� � �

�(� ��(�)� �1

��

�/�)

�%� A������ � ��� � ��� ��� �������� � ��� ������ �� �� ������� ����� � �� ( ��� � � (� ��

'�� �������� �� ������ ����������� �� ����� ������� �� ���������%�� ������# � � ��� �� ���� ��� ������

�� � � /

�� � � (���/�(�

� ���� ��� ��� ,��� ������� �� ��� ������ ��� .��� ��� ������ '������������� �� ����� � ������

3�� 3� � 3

�� � � /���/�)�

�� ��� ������ ���/�(�� ����� ��� ��������� ��������� � /� �� (

��

�3 3 3� � /

��

�� � /( 3 *

� ��� ���� (� � *# �� � � )� '��� � � � � ����� � ���� ��� ,��� ��������'�� ���� �������� ��� �������� �� � � ������� � ��� �������� !�

��� � ���� � ������� ��������� �� ����� � ��� ������ �� ������ ��. ���� ��� ������ ������� ����� ��� ������� !� ��������# � ����4������ ��.4 �� � ��� � � %�� ��/�(� �� ��� ���� ��� �� ��� ����������� ��� ���� ���� ��������T� � ������� �#� ��� #2� ��� � � ���4����� �(� ��� (2�T��� ��������� �� ��� �� �� ����� �#� ��� (�� ���������� �#2 ��� (2�� ���� ��� �� ��� ��� � ���� ������ ���������$#

Page 48: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

/:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

����� ���� ��������� ���� ��2� �2� ��� �22 � ��� ������ �� ��� � ���� ��� ��� ���� ����

#� � ���#2 � ��2(2

(� � �2�#2 � �22(2

�� ��� ���. �� ��� ����4���� ���� �� ����� �������� �� ��� ���������� ��� ��� �� ��@'�� ���� �� �� ��� ��� �� � �� 4����� ��������

��+������ ��0�0� ;�� � � � � � ��� � � � � �� '�� ��"4<��!.����%!<� �� �� � �� � > ��� ��.� .� ������2 � � � ��?�? �� ����� � �� � ��� ��.� .� �

��������2�����?�

�����

� ������� ������ ��� � ��,��� ��

������ � ������ � ��2�2� � � � �� ��?�?�

�<�� %�� ��/�)��

�-�.��� 8� ;��

� �

�� �� (3 � )

���� � �

��� �� �)� ( /� ) *

��

C������ �����2 ��� ����2��

��!���� 7� # �����2 ������� ��� �� 4����� ������� �� �� � �� � �������� ( �� �@

�� �� ,

�� ��

,/

�� � ����� � ����,� ,�/� � ��� ( � * � )

����2� � �3 � /�

�� �)

09

�� � 3��)� � ��0� � /�9� � ((

Page 49: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������� /B

7� � ��� ���� ��� ���� �� ��. �� � �������� ��� � ��� � �� �%�� ��/�/� ' � ����4������ ���� ��� � ��������� �� � %�� ��/�0� !� � ��� �� ��� ��� ��� ��� ����� �� ��� � � ����# � ��� ,��� ���������� ����� �� �� � ��� ���� ������� ��� ����� �� �� �� 5��� ���# ����� ������ �� %�� ��/�0�

#2 � ���#� � ��2(� #� � ���#2 � ��2(2

(2 � �2�#� � �22(� (� � �2�#2 � �22(2

<� ������� ��� ���������� ��� #2 ��� (2 ��� ��� ��� � � ��������# �� ���

#� � ������� � ��2�2��#� � ������2 � ��2�22�(�

(� � ��2���� � �22�2��#� � ��2���2 � �22�22�(�

'��������# ��� ��� ��� �� � ���������"�� � ��� ���� ���J����� �� �������4���� ��� �� ��� ��� � � ��������� '� ������� ����� ���J����� � ���� ����� ��# � ��,�� ��� ����� ��������

��+������ ��0�8� ;�� � � � � � ��� � � � � �� '��� � ��� � ���<��1��.�&�� ��� ��� ����� ������� ��� '�� ���%!<� � �� �# ��� �������� � �� � ��� ����� � �� �� � ������� !� ��� ������� � ����������� � �6fR# ����

��� �?�

&'�

��&�&�

�-�.��� 9� ;��

� �

�� �� (3 � )

���� � �

��� �( �)� ( /� ) *

��

C������ ��� 5��� ��� ������� �� �����

Page 50: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

03������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��!����

�� �

���������� � � (�

�����

�� �� � � (�

����

()

�� �� � � (�

���)

/*

��

�3 � )�

�����

�� �3 � )�

����

()

�� �3 � )�

���)

/*

��

��������

�( ) 0/ �� ((

'�� ������� �� � ��� ��,���@

��f� �2f�

� �Qrw htxdo/ vr qrw frqirupdeoh

�-�.��� :� ;��

� �

�) �3 (

���� � �

�� 3) �

C������ �� ��� ���

��!����

�� �

�) �3 (

��� 3) �

��

�* �* (

�� �

�� 3) �

��) �3 (

��

�) �B 0

7��� ���� ������� �� ��� �� ��� ��� ��,���# �� �� ��# ��������� � �� ������� �� ������� � ��� ��

6��� ��� ��,���� �� ��� ����� �������# � ��� ���� ��� ����� �� ������ �� ��. ���� � %�� ��/�0 � ��������� � ����� �� ��� ������� �� �� ���������� ��� ��������� ��� ������ ����� '�� ��� �� ����� ������������ �� ��� ��# � ������# �� ��� ��� � ���� �� ��@ !� ��� ��. ����� � ����� ��� ��������# ��� ����� �� ��� ����� ��� ��� � ��� ����� +������ � ��� �� � ���� �� �� � ��� � � �$ � ����� �� ��. ����# ���

Page 51: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������� 0�

����� ���� � � ������� ��G����� ������ ��. ����# � �� ��� ������ �������� �� ��� ����� ������

������� �������� �������� �� ��� ����� ������� � �� ��� ���� ��������� �� ���� �������� � ������� ����� !� ��� ����� �� ���J����� ����� ������ � � ��� ��� ����� �� ��� ����4���� ���� � �# ���� � ��� � � ����� ��� � �������� ��� � ��.�� �� ��� � � �� �� � � ��� ��� ��.�� �� ��

) �

��������2����?

�����

���� ��� ������ ��� � �����

�) � �

��� ��� ���������# '������ ��(�) ��� � �������� � �����

3 �

���3���3

���

6f�

������. ��0��� �� � � �� ��� ��� ������

�6f?)?f� � 3

��� � ���"�� ��� ��

����� � �������� �� ����� ��� ��# � � � � �� ����� �������#��� ����� ����� �������� � ���# ������� �� ���� ���������

)��&��.$ ��0� �� � ����� ��� �� ����� �� ��� ����� ��� ����� <������� �����I� �� ��� ������

Page 52: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

0(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

���

�� �)( �

�$�) �&�

�� �� � �� (3 � �)� �* � � 1

�� $�* � �

�<�

��) ( �/ * 1

�$ / �%�

����) (/ �* 10 B

���� $ 0

��5

�� � � �� !

�$ ! �1�

����������

���))(1

����������$ (

(� � ����� �� � �� � �� ��� �� ��� � ����� ��� �� ��� ���� ��� ������� ���� <���� ��� ������������ ������

���

�) *� 0

�$ �(� �� �&�

�) � (� * �( �*/� � �* ( 0

�$ �(� )�

�<�

����� �� �� !

���� $ �)� (� �%�

��� ( �� * /) �� ( 1 */ / ( * 0

�� $ ��� /�

)� ���� ��� ��������� ������� ��� ��� ������� � E�� � � �� <����� ��(�<���� ��� �"�# �� �# �� ��� ������

/� ;��

� �

��� (( )

�� �

�� 3� 3

�� �

�� 3 ��( � )

�+ �

��( 3� (� )

��

, �

�� ��� �

%�� ���� ���� �� ��� ��� ��# ������� ��� ����� �������� ��� �� !�� �������� ������ � ���������# ��� ���

Page 53: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������� 0)

��� )� �&� �� � �<� �+�%� �� � ��� )���� �1� �� �+��2� �� � �+ ��� �( � ��� ��� �,�A� ���, �#� �, ��� ��� � ���.� �� ��� ��� ��� ��� � ����� �� � � ,, ��� �����

0� 6�� �� ������ �� ��f� ��� ��f� ���� ���� �� � ���

*� 6�� �� ������ �� ��f� ��� ��f� ���� ���� �� �� ���

1� ;��

� �

�� �� �

�� �

��( �(/ /

�� �

��� ��) )

�<�� ���� �� � �� ���� ������ � �� ��

:� ��� ;�� � � � ������ <�� ���� �� � ��

� � ;�� � � � ������ <�� ���� -� � � ����� �� � ���������� �� "����

B� A��� ��� ������� �� �������� � ������� �� ������ ������ � ������ �� ������ ������� !� ���� ��� �� � ��# ��� �� ������ ����������

�3� %�� ���"��� ��� ��� ��� �� � � � �� 3� !� � ����� � ��� ���"��� ���������# ���� �� ���� ������ ������� !� ���� ��� �� � ��# ������� �� �� �������

��� <�� ���� ��� ����� � &����� � ��� � ����� � ��� �������������

���� �� � 3 3 � � � 3� ���� �� � 3 � � � 33 � ���� �� � � � � 3���

� � � � � � � � ����

3� � � � � � �

� � � � ���� ��

���������

�(� %�� ������� ������� ��� ��� ��� �� ������ ���� &����� (��

�)� ;�� � ��� � � �������� � ��� ������� !� ��� � �# ��� ��� ������ � ��� ��

Page 54: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

0/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�/� ;�� � ��� � � �������� � ��� ��� ������� ��� !� ���� ����� �� � �"���# ��� ��� ��� ��� � ��� ��� ������ � ���

�0� !� ���# ��� � ��� � � � � ��� �� � �� ��� �� � ��# ������ � ��� !� ���# ������� �� �� �������

�*� !� ���� ���������# �-����� .��� �� ����� �������� ��� ������ %��������# � ��. ��� ���� ���� �������� ���� ��� ������� ���� ���-����� ������� �����# ��� ��� ��������� ��� � ������ � ���������� � ��� . ��������� ��� ��������@

C������� �� �2 �� C����������� �� �2 ��E������ .� .2 .� !������� ����� (� (2 (�

'� �������� ��� ���� ������ ��� �� ������� �� ��� ��� �� ��� ����# � �������

���� � �2�2 � ���� � .�(� � .2(2 � .�(�

'�� ����������� �� ������� ��� ������� ����� �� ��� ����� ���������� ��� ��� ������� ����# � ����� � � ������� ��� � ���� ��� ��� ��# �� � ��� ������@�

� ( ��) 3 (

��0 3 )

�� �� *

�� 0 � 3� )� )� 3 � �( � ��

K��� ��� �������# ����� ��� ��� �� ���� �� �������# � ���� ��

���

�� 33 �

��3 �� 3

��&�

�( )* 0

��/ ( �) 0 (

��<�

�� �� �

��� ��

�� �

��%�

�� �� �

��3 33 3

��1� M������� E�� � �*# � ��� ��. ����� �� .�� ��� ������ ��� ��

������� �� ��<� ���# ��� �������� ����# �2�2# ���� .�(�# .2(2# ��� .�(� ��� ��� � �����# �� ����� � � ���� �����@�

�� �2 ��.� .2 .�

���� �2 ��(� (2 (�

��

����� �2�2 ����.�(� .2(2 .�(�

�<�# ��� ��� .�� �� �������#�

� ) 3/ ( �

��� 3 �

�( ) 0

��

�� 3 3

�: * 0

Page 55: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� 00

<���� � ���� ��� ��� ��� ��� �������� K��� ��� �������# �������� ��� �� ���� �� �������# � ���� ��

���

��� �3 (� �

���

) �3 (

��&�

�) * B� ( )

��� 3 �

�( ) 3

�<�

�0 �3

�� 1

��) */ 1

��%�

����0)*�

����

������3()

����

�:� '�� E�� ��� �������

� �

�3 �� 3

�� �

�3 ��� 3

�� �

�� 33 ��

���� ���� � ��� ����� �� ������� ���� C������ ��# ��# ��# ��#��# ��� �� ���

��8 ����� �������

!� ��� ��� ������# � ��,��� ��� ���# �-������# ����� �����# ��� ����4��� �� �������� C�������� ������ ������� ��� ����� ��������� ����������� � ������ ����# ��� ��� �������� � ��� ������� '�� ���������������� � ���� .����- ��2�&���

A��� �� ��� ��������� � ����� ��. ���� �� ��������� �� ��� ������ ���� =� ����# ���� ��,����� ��� �������� � �� � %�� �������#��� ,��� �������� � ����� � ��� ���������� �������� ��� ������� '��� �#��� � ���� '�� ��.� ������ .� ��� ���������� �������� �� ��������� ��� ��� ��� ���# ������ ��� ������ � ��� � ����� ��� ������� �������� ���� ��� ��� ���� =� ����# �� � ���# ��� �������� ������� �� ������������ �� � ����� ��� ������� �� ��� ��� ��� �� ���� ���� �������� �

L��� ���� ��� ����� ��� �� ��� �������� � ��� ��� �� ��������

������. ��8��� � ���� �������� ��� ���� �� ���� ��� �� ���� ��� ����#��� "��"�� ��� ��� ������� ����� ��� ��� �������� �� �� ��%��� �� ��� ��� � �� ������� ����� &�������� ��� ���� �� ��� ��� �� �

Page 56: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

0*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��� ��� � � ��

��� �� �� � �� � ����� � �

��� ��� � �� � �� ���

��� �� � ��� � ��� ��

��� ����� � �����

��� ������ � ��� ��

��� �� � ��� � ��� ��

��� ����� � ����� � ����� � �����

������ � �����������

������ � �����������������A�������� ���� �������� �������

A�������� � �����������������<���� ������������� ���� ���� �������

'����� �� ���"� ��� �������� � ��� ����� ��� � ������ ��� ����� (�������� ��� �� ��������� ���� �� ������ ��� �� �� �� � ������ �������� �"���� �� � ����� ���� �� �� � ����� ' � � �� �� �� ��� ����� �� � ��������"�� ������� ���� �� ��� ������� ����� �� ������ ��� �������� �����"��� �� �� �� ��"���� ������ ��� ��"��� � ����� ����� � �� ���������� ����� �� ���"� �������� �� �� ����� ���� � �� � �� �� ���� �������� ���� )� �� ���� � ����� ��� �� �� ��"��* ��� � � �� �� ������� �� �������$ ��� ������ �� ����� � ��������� ����� � ������ �� ����������� ������ �������� �� ���"� � ��� ���� ��� ��"�� �� +���"� ������� �� ��� ������, � �� ��������� ��� ��

��� �������� ���� ������� ��� ��������� "��"� ��� ����"������� �� �� �� ���"�� �� �� ��� ������ �� ����������� � ������� ��� ��� -���"��� � �� ������ �� ���$ ���� ��$�� ���� ���$ .���������� ������ ��� ���������

%�� � � (� )� ��� ��� �� ��� ,��� � ������ ������� � ���� ���(�

������� �� �� ��� ��� �

� � ( � � � �� � ����� ��

(� � (� )�

;�� �� ��� � � �������

Page 57: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� 01

����� / ��� �������� '�� ��������� � ���� ��� � � ( ������

) � � � ( �(�( � ��

(

������ ���� >��� � ��� ������� ��������� �!=�?

� � ( � � � �� � ���� � ��

(�!=�

��� ����� ����

� � ( � � � �� � � �� � �� ��� � ���� � (�

(

��� � � � �� ��� ���� �� ��� != �� � ���

� � ( � � � �� � � �� � �� ���� � ��

(� �� � �� �

��� � �� � (�� � ��

(

��� � (��� � ��

(

'��������# � ��� ������ �� ���������� �������# ��� ��������� ������

����� 0 <������ � � ����� '�� ����� � ��� ��� ��� � �������

� � ( � ) � � � �� ��� (� � ��� �� � �

Vxpv duh �� �

�� ���� � ���� ��( ���� �� ��� ���# ���� ��� ����� �� �� �� '����������� ���� ��� � ���� ���(� !� � � ���# ����� �� ��� �@

� � ( � ) � � � �� ��� )� � ��� (� � ��� �� � �

<��� �� � � ����# ��� ��� �

��� �����(

� � ���� ���

(

'�� ������ ����� ���� � ��G����� � ����# ��� � ��� � �� ��� �����4���� � ����� <������� � ��� ������ �� ��� ����# ��� ����� ���� ���� �������� +�� ������� � �� ��.� �� ���� ������ �� ������� ������ �� 7� �� � ����� �� '������ ��0���

Page 58: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

0:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

����� �� (������ / 1 / '�� ����� �� ���� ��������� ������� �� ����������� ������ ��� ��� � ��.�� �� ��� ������ ������� �� ��� �������� %��������# �� ����� '������ ��0��1# ������� � � �����6f? ��� � � �����6f?�'��� ��� ���4���� ��� �� �1� �

������ � ������� � ������ � ������ � �����

� ������ � ����� � ����� � �����

� E| glvwulexwlyh surshuw|

ri frpsoh{ qxpehuv

'�� ����4���� ��� �

��� �� � ������ � ������ � ������ � ������

� ����� � �����

<��� ��� ���� �� �1� ������ �� ��� ���� �����# ���� ��� �����'�� ����� ����� ��. ��� ���� ��� %�� ���� ���# � ��� ��. �� ���

���� ����@

��� � ����� � ����� � ���� � ����

� �� � ����� � ����� � ���� � ����

<��� ��� ��� ��� ������ ��� ���# ��� � ��� � ��� � ���# ��� �� � � � �� ���

�-�.��� �� 6�� �� ������ �� ������� '������ ��0��<�

��!���� '� ������� ������ � �����# � ����� ��� ��� ��������� ��� �� � �����������$ (� ( ������� � ,��� ;��

� �

�� ��( )

�� �

�3 �(

�/ �

�� �

��/ (� 1

�� ����

��� � �� �

�� ��( )

���3 �(

�/ �

��

��/ (� 1

���

�� ��( )

���/ 3�) :

� �� �:��1 (/

Page 59: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� 0B

���

�� ��� �

�� ��( )

��3 �(

�/ �

��

�� ��( )

���/ (� 1

�/ �)

��( ����

��0 �0�0 (0

� �� �:��1 (/

�'�� ��� �� ������ ��� ��� ������� ���� ��� ��� ���� �� 3 ��� � ���

���� ����� ���������� %�� ������# � � 3 � 3 ��� � �� � � 3 � � ��� � �#��� � � � � � ��� � �� ���������# � ��� ���� ���� ����� ��������

'�� F��� .����- 36f? ��� � ������ "���@

36f? �

���3 � � � 33 � � � 3� � � � � � � � � � �3 � � � 3

���

6f?

'�� �%�����6 .����- (?f? ��� ��� � �� � � �� (� � �# ��� � ����� ������"���@

(? �

������ 3 3 � � � 33 � 3 � � � 33 3 � � � � 3� � � � � � � � � � � � � � � � �3 3 3 � � � �

�����

?f?

������� �� �� ����� ��� � �� ��� ��� *����<#�� %���� ��� � /�� ��� ����� � � � � � ��� ����� 3 � � �� �� '��� (?�/���?f?�

'�� $<���� .����- �(?f? ��� ��� � �# � � �� (� � �# ��� � ����� ������"���@

�(? �

������ 3 3 � � � 33 � 3 � � � 33 3 � � � � 3� � � � � � � � � � � � � � � � �3 3 3 � �

����� � ��/���?f?

<��� �� ��� ��������� �� ����� ����� ������� ��� �������� � '���4��� ��0�(�

������. ��8�,� � ���� �������� ��� ���� �� ���� ��� �� ���� ��� ����#��� "��"�� ��� ��� ������� ����� ��� ��� �������� �� �� ��%��� �� ��� �

Page 60: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

*3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�� � ���� (�� ������� �������� ��� �� � ��� �� 3 � �� 3 �� � � ��� �� � � 3��� �3 � 3 ��� 3� � 3��� �( � � ��� (� � ���� �(� � �� ��� ���(� � ��

����� �� ����� ��� ��� ���� ��� ���� �� ��� ������� ;�� � � �����6f?�'���

�( �

������ ��2 � � � ��?

�2� �22 � � � �2?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��6� �62 � � � �6?

���

���� 3 � � � 33 � � � � 3� � � � � � � � � � � � � �3 3 � � � �

���

?f?

'�� �� ����� �� �( � ��� ��� �� �� � ���� ��� ����� �� (# ���� �#

��� ��2 � � � ��� � � � ��?

33�������3

� E����� �

<� ��� �� ����� �� �( � ���# ��� �� ����� �� �� '��� �( � ��

�-�.��� ,� !��������� �� '������ ��0�(�>&><# ��� ��

��� ;��

� �

�� � � �� (3 ) 1

�'���

�� 3 �

�� � � �� (3 ) 1

��

�3 3 33 3 3

�� � �� 3 �� � 3 ( � 33 � 3 ) � 3 1 � 3

�� � � �� (3 ) 1

�� �

Page 61: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� *�

�&� ;��

� �

�� ��

(� )� /

�'���

��� �

�� ��

(� )� /

���

� ��(� )� /

��� � ��� ����

(� (� �)� )�� /� /��

�3 33 3

�<� ;��

� �

��� )( ��/ *

�� ��� 3 �

�3 33 3

'���

�3 �

��� )( ��/ *

���

3 33 3

��

��� � 3 � ) � 3 � � 3 � ) � 3( � 3� � � 3 ( � 3� � � 3/ � 3 � * � 3 / � 3 � * � 3

�� �

��3 33 33 3

�� � 3

7��� ���� 3� � ��� ��,��� � ��� ������# ������ ���� ������� � �����,����

��� ;��

� �

�� �� (/ �) *

���� ( �

��� 3 33 � 33 3 �

��

'���

�( �

�� �� (/ �) *

���� 3 33 � 33 3 �

�� �

�� � 3 � 3 3� � � 3 3 � 3 � (/ � 3 � 3 3� ) � 3 3 � 3 � *

�� �� (/ �) *

�� �

7��� ���� (� � ��� ��,��� � ��� ������# ������ ���� ������� ���� ��,����

Page 62: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

*(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

+���� ����� ������� �������� � ��������� ��� ������# ��������#��������# ��� �������� ��������

��+������ ��8��� � %��2���� .����- � � ������ ����� ����� �� ��� � 3� � �� �� '��� �# ��� ������� ��� ��� ��� �� ��� .��� %��2���� �� ����� � "����

�-�.��� /� '�� ��� �� ��� ������� �� ������ ��������

��� 3 33 �� 33 3 )

�� �

) � � 33 (

� �����1 3 33 �: 3 33 3 / 33 3 3 *

����

��� 3 33 � 33 3 3

��

'�� ��� ������ � ��� ������ ��� ���� ���� ��� ����� ���4���� �������� ��� � �� ����4���� ������ �� ���� ������

��+������ ��8�,� � ������ ����� �?f?# � � )# � ���%��2���� � ��� � 3 ��� � % � � � �� � % �� �� '��� �# � ��� �� ��� �� ��� ����� ��� ���� ��� ����� �-�� � ( �� ����# ��� ����� ���� � "���� '�� ����� ��������� ������������

�-�.��� 0� �������� �� ��� ��,����# � � /� / �������� ������������ ��2 ��� ��e�2� �22 �2� �2e��� ��2 ��� ��e�e� �e2 �e� �ee

����

��� ������ ���� ��e� �2e� ���� �e�# ��� �e2 ���� � � "���� <��� /� / �����4��� ������� ����

���) / 3 3* �� ( 33 ��1 ( 33 3 �� 3

����

����� 3 3 3� � 1� (� 33 � 3 �3 3 � � � �

����

� ������ ������� ��� ��� ���������

Page 63: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� *)

�� ������ �� � �������� ����� ����� � ������ ��������� ������ � &����� � �� ��� ��� ������� '�� ����� �� �� ��� �����

�����������

���� �� � 3 3 � � � 3� ���� �� �� � �

3 � � � 3

3� � ��� � �

���� ��� � � � � � 3

� � � � � � � � � � � ����

���� � � � � � � � � � ���� ��

� � � �3 3 3 � � � � ���� ��

������������

<��� �������� ������� ��� ���� B�<�&� .����<�$�

��+������ ��8�/� � ������ ����� ����� � !���� �����2!��� � ��� � 3 ������� � % �� '��� �# � ��� � �� ��� ��� ������# ��� � 3� � ����������� ����� � ��"�� �����2!��� � ��� � 3 ������� � � ��

�-�.��� 8� <��� ����� �������� ������� ���

�3 )3 3

� �� /3 (

� ��� 1 *3 ( 33 3 )

��

����0 * �) * � �3 3 / (3 3 �* (�3 3 3 (

����

'�� ��� �� ������� ��� � �� ��������@

��� 3�) (

� �� 3 3 3(� � � 33 ( �:

��

����� 3 3 31 �( 3 3� �* ) 31� ( 0 (

����

+�� ������ �� �������� ������� ��� �������� � ���� ��� �� �������������� ��� �� �� � ������ ��� ������� ������ ��� �� ����� ������4�� ����� �� ���J������ !� 6����4O����� �������# ��� ������� �������������� ��� � ������ ����� �� ���J������

�� �������� �������� ��� �� ������� � ��� ��� �� ������ ������� ������ ��������� ��� �� � ��� ������ ��� ������������ '���� ��� ����$6..����< �������$ �� ��,�� ��� ���# � ���� ��� ��� �� ��� ��������� ��� ������

Page 64: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

*/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��+������ ��8�0� '�� ����$��$� �� ����� ����� � � ��� ��� ������A ���� ���� ��� �� ����� �� �A � ��� �� ����� �� ��

�-�.��� 9� C������ �A ��� ��� ��� �� ��������

��� � �

�� (�3 *

�&� � �

�� � �( (

) 3 /�* * (

��

�<� � �

�) � �3 ( 0

���!���� �� ������� �A � ��.�� ��� ,��� �� �� � ��� ,��� ����� ���A # ��� ������ �� �� � ��� ������ ����� �� �A # ��� �� ��� %�� ������#� ���� ���

� �

�� (�(�(�@ 9

��� �A �

�� @(�(�(� ***

�&��A �

�� � ) �*�( 3 *( / (

��

� � �4vw urz ri � 5g urz ri � 6g urz ri �

�<� �A �

��) 3� (� 0

��

7��� ���� � �� (� ) ��� �A � )� (���+������ ��8�8� � ������ ����� � $6..����< � �A � �� '��� �#� � ����� � �������� � ��� ��� � ��� � ��� ��� � � ��� ��

�-�.��� :� <�� ����

� �

�� � �� �:�� , 0�: 0 8

��

� ���������

Page 65: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� *0

��!���� �� ���� �� ��� ���� �A � �� 7�

�A �

�� � �� �:�� , 0�: 0 8

��

� � �4vw urz ri � 5g urz ri � 6g urz ri �

��� ����� �� 7���� ���� � ��� � 8����� ����9 ��������@ !� ��� ������ ����� ���� ��� ��� ������# ��� ��� ��� �� ��� �� ���� ����� ��� ������

� � �� �1�� ( /�1 / 0

��

6L*_

<������� ������� ��� ���� � ��� ������ �� ���� ���� ������� �������� !!!�# ��� � ���� � ���� �� �������� ������ ��� ������� ����������� ��������� ��� ����

!�������� ��������� �� ��� ��������� �������� ��� �������� ��� ���4����� ������� ��� �������� � '������ ��0�)�

������. ��8�/� 2�� � �� � �� ������� �� ��� ������� ��� �� ���� ������� �� ��� ��"� ���� (�� ������� ��������� ��� �� ��

��� ��A �A � �

��� �����A � �A ��A

��� ����A � ��A

��� ����A � �A�A

�(�� �������� �� � ���� �� � ��� ���� �� �� ��� ��������� ��"��������� �

��� �� � � ���� ������� ���� ���� �A � ����� � ����� ���� ���

��� �� � � ������ ����������� �A � ������ ����������

��� �� � �� � ��� �������� �� �� � ��� ��� �� � ��������

��� �� � �� � ��� ���� ������� ���� ���� ��� �� � ���� ����������� ���

Page 66: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

**������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

L����� ������ ����� �� ��� �������# � ��� ������� �������� ������&� ��� �%��

�-�.��� ;� !������� '������ ��0�)& ��� %$ ���� � �����A � �A ��A

��� ����A � �A�A �

��!����

�&� ;��

� �

�� 3

�� (

�� �

�) 1* /

�'���

�����A �

�/ 10 *

�A

�/ 01 *

�A ��A �

�� ��3 (

��

�) *1 /

��

�/ 01 *

�%� ;��

� �

�� 3

�� (

�� �

�) 1* /

�'���

����A �

�) 1B �

�A

�) B1 �

�A�A �

�) *1 /

��� ��3 (

��

�) B1 �

����� �� (������ / 1 3� �� � %�� ���� �&�# �� � ��� � � �� �� '�� ������� �� �����A � �� ����� �� �� � � �� ����� �� �� �� ����� �� � � ������� �� �A � �� ����� �� �A � �� ����� �� �A ��A �

%�� �%�# �� � � �� � ��� �� � � �� ��

�� ����� �� ����A � �� ����� �� �� �?�

&'�

��&�&�

�?�

&'�

�&���& �?�

&'�

>��� ����� �� �A ���� ����� �� �A �?

� �� ����� �� �A�A

'�� ������ �� ��� ����� ����� �� ��� ������� ��� ��� �� ��� ��� ����

Page 67: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� *1

�-�.��� C� 6�� �� ������ �� � � �������� ������� � ��� � ��� ����� � ��� ���������

��!���� ;��

� �

�� (( /

�� �

��� ** )

�'���

�� �

��� �((( (/

�7��� ���� �� �� ���

!� &����� B � �� ������� � ��� � ��� ��� �� ��� �� �����,��� �� �� �� ��� '�� ��� � ���� ����� ��������� �# � ������#��� ����������� '�� � �� �������� �-������ �� ��� ��������� �������� ��� ��� � ��� � ����������� ��� ��������� �� ��������

'�� �� �� �� � ������ �����# ��� � �������� � ��� �� G��� �� A��.������� � ��� � �������� ��F� � <��� ���� � �� ��,����

��+������ ��8�9� '�� ��� �� �� �� � ������ ����� � � ���� � � � ������������� � ����� �? ��� � ��,��� �� ��� �@

!� � � �� �� � �$ ��� � � (� �? � ���?3���

�-�.��� �@� ;��

� �

�� (3 /

�C������ �2� ��# ��� �S�

��!����

�2 �

�� (3 /

��� (3 /

��� �33 �*

�� �

�� (3 /

��� �33 �*

��

�� /(3 */

'� ������� �S# � ��� ��� ��# ����� ���� � � �� ��������� ��� ��� �� ����� ������� ����� ��# �� � ��� ����$

�S � ���� �

�� /(3 */

��� /(3 */

��

�� (1)33 /3B*

Page 68: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

*:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

7���� ���� � � ����� �������� ��� ��� �� ��� � �������� ��� � ��������������

�� �������� �������� �� ��� �� �� �� � ����� � ����

�6�? � �6n? ��� � ������ ������� � ��� �

'�� ��� � ���� � ���� ��� ���������� �� ��������� ��� ����

�6�? � � � � ��� �� �6 |�4it

� � � ��� �� �? |�4it

� � � � ��� � �� �� �6n? |�4it

� �6n?

'��� ��6�? � �6? ��� ������ ������� � ��� � � ��� � ������!� � ����� � ��� ������ ������# ��.�� ��� ���G����� �� ����� ������

����� � � �� �����# ���� ��� <��A!2��� �1 ��

��+������ ��8�:� ;�� � � �����6f?� '�� <��A!2��� �� � � ����� R� �����,��� �

R� � �R����6f?

���� �� �� � �� ��� '�� <��A!2��� ����$��$� �� � � ����� �W �����8� ����9� ��� � ��,��� �

�W � R�A

�-�.��� ��� %�� ��� ��� �� �������# ������� ��� ���G����� ��� ���4G����� ����������

� �

�( � � �

�� � )

�� �

��� �( 31 �( *� 0 3

��

��!���� R� �

�( � � �

�� � )

��

�( �� �

� � � )

��W � R�A �

�( � � �

�� � )

� � � �W � �A� �A �

�� � 1 ��( �( 03 * 3

��

!� &����� ��# ����� ���� �W � �� A������ ��� ��� ��� � ���� ������� ���.������ 7��� ���� � � ������� �����# R��� � ����

Page 69: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� *B

�-�.��� �,� �A�������� A���� ��� �� ��� ��� � ����������� ��� $���$$���$�� � ��� ��� ���� ��������� '�� ������ ������ � ���������� � � �)� ) �����

0 �

��0�� 0�2 0��02� 022 02�0�� 0�2 0��

��

��� ��������� � ���� �� ������� � �������

����

� ���� �

��� 0��1��1�� � 0�21��1�2 � 0��1��1��

� 02�1�21�� � 0221�21�2 � 02�1�21��

� 0��1��1�� � 0�21��1�2 � 0��1��1��

��� ��� 1�� ���� ���� ��� �������

�� �

��1��1�21��

�� � � �� (� )

'�� ������ ����

�� � ���� �� ����� �� �� � ������� =� ����# ���� �������������# � ���� �

��� �A

� 0��

��� � ����� �� ����� �� ��� ������� ��� � ���������

�� ��� �� ����� ���� �������� � ��� ��� ������ �� ��������� �� ����# � �� ) � ��� ����� ����� �� ��.�� ���

������. ��8�0� �� � � � � � �� ��� ������ �) � 3 ��� � ���"����� ��� ��� � � ���#�� "���� �� (

����� ;�� � � ��� ������� �� ������ ���� �� �� '��� �) � 3 ����� ������� ������� '��������# � '������ ��/��# � � � ��� ��� �� �����"��� �� � �� �# � ���� ���� � � �$ �� ��� ����� ����# ���� � � ���# � .�� ���� � �� '��� � � � ��� � � ( ���� E�� � )0��

Page 70: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

13������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

������. ��8�8� �� �) � � �� �2 � 3� ��� ��) � 2 � � � (��� ��� ) � � ��� �� �� ��� ��������� � �� ��� �� 2 � � ��� �� ����� �������� � �� ���� ���� � � � � ��� �� �� ��� ��������� ��� ��� �����"�� �"��� ��� �� �� �) � � � �� ��� ����

����� '� ��� ���� ) � 2 � � ������# �������

��) � 2 � � �) ��2 � � � 3 � �

7� �� 3 � ��� ������ �� ��� �������������� �������# ���� �# �3 � ���� ��� ��� 3 � �3�2 ��2 # ��� 3�2 � � ������ �� ��� ����������������� �� ������ ��3 � 2 � � �3 � �2 � � � 3 � ��

������. ��8�9� �� � � ��� �� �) � 3 ��� � ���"�� ��� ��� ����) � � ��� � � � ��� ��

����� L� '������ ��0�/# � � �� 4�������� �� (� '��� �# ��� �������������� � �� 4�������� ���

������

� 3 � � � 3 ��3 � � � � 3 �2���� � � � � �

������

���� � � � � �

������

3 3 � � � 3 � �?

�������

��� ��� ������ () � 4 � �������� �� �) � �� '��������# ��� ����������� �� �) � � � �� � ��� �2 � �2� � �? � �?�

�-�.��� �/� �!�������� �� '������ ��0�/� �� �� � &����� 0 �� <��� ��(���� ��� ������

�) �

�� � �( �

) �� ��� / ��

��

�����2��

�� �

��333

��

��� �� ������� ������� %�� �� ��� �� �������� ����� �� ��� �� ��������� 2

DM)�M(# �M)�M�# (M(�M�# � ��� ���� � ��� ( ��� �� �������

�� ������ �����

Page 71: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� 1�

�-�.��� �0� �!�������� �� '������ ��0�0� C������ ��� ������

�) �

��� ( )/ 0 *1 : B

��

�����2��

�� �

�� /1�3

�� � �

���� &����� ( �� <��� ��(� �� ����� ��� ���������( � �)� (�

��

���� � � �� ������ '�� ��� � ����� �����(

)3

���

�� ��(�

��

���� ��� ������ ���� � ��� ��� ����� �) � 3 ��� ��� ,��� ���� ������) � �� '�� 8���9 �� ��� ������ � ��� ���� � ����$ �) � 3 � ����� � ������� ���� &����� /# <��� ��(��

)��&��.$ ��8� ���� �� ��� $�!%���7 <��� �� ����� ��� ��� �� ���8���� ��� ��� �� � �����9 %�� ������# E�� � ��/ ��.�# !� ��� ��� ���������� ������� ��� ��������� !� ��� ��� �� � ��# �� ������ ����� � ���� �� �������� M��������# ��� �� �� ����� �������� ��� ��� ��� ��� �� ��� �������T� ��� ������ ������� ��� ��� �� � ���# ��� �� ������ ������ �� ������������ �� ��� ����� %�� ���� ������� ��� ����� ����������� ,� ��� ����������� �� ��� ��� ��@ K�� (# "���# �����# �� �������������� !� ��� �� ���� ������� ��� � ��� ��� �� �� � ��# ��� ���� ������� ���� ��� ���

�� ;��

� �

�� (

�) (

�� �

�3 /( 0

�� �

�� 30 (

�� � / � � �1

K�� ����� ������� ��� ��� ��� ��� �� ������� '������ ��0��� �� ��

(� E���� '������ ��0�(� ��� &�

)� !� ��� ��� �� ������ ������� ��� �������

Page 72: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

1(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

/� !� ��� ��� �� �������� ������� ��� ���������

0� !� ��� ��� �� �������� ������� ��� ���������

*� !� ��� ��� �� ����� �������� ������� ��� ����� ���������

1� ��� �� E�� �� ) ������� * �� $!. ������� � ���%!<��

:� E���� '������ ��0�)�> <> �> 1# ��� ��

B� K��� � ��� � ���� E�� � �# ������� ��������2 ��� ����2�(����2�

�3� ��� <�� ���� � � ��� � ��� �� � �������# ����

�����2 � �2 ��� �����2

�&� 5����� ���� �����2 � �2�(����2 � ��� ��� � �� � ���

��� � ����� � ���� $#�"4$6..����< ��� ������������ � �A � ���

�� 6�� �� ������ �� � �.� 4�������� ������

&� !� ��� ��� �� �.� 4�������� ������� ��� �.� 4���������

<� !� ��� ������ �� � �.� 4�������� ����� ��� �.� 4���������

%� !� ��� �� � �� � �.� 4�������� ����� ��� �.� 4���������

�� ���� ��� ��� ��� � ��� ��� ������� �� � �.� 4�������� ��� ��������� ������

1� ���� ��� ��� ��� � ��� ��� ��� ������ �� � �.� 4��������������

�(� E���� '������ ��0�(<> %> 1> 2# ��� ��

�)� 5��� �������� �� ���� �2 ��2�

�/� <�� ���� ��?�A � ��A �? ��� � � ������ �������

�0� ;��

� �

�� ��� ��

�� �

�� 3� 3

�<�� ���� �� � �# ���� ������ � �� (�

Page 73: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� 1)

�*� !� � ��� � ��� �� � ������ �������# ���� �� � ���� �� ���

�1� !� � � �� � ��� + � �� �� � ������ �����# ���� �+ � ���� ��+�� ���� � + � � ����� ������

�:� C������ R� ��� �W�

��� � �

�� ��

�� �

��&� � �

�� �� �

( � )� �

�<� � �

�� � � ��

� ( 1��( * �/

�� �%� � �

�� �R� �

�B <�� ���� � � ��� ������ �� � ����� ��� ���# ���� R� � ��

(3� ��<�.��$����� �1 <�.���- $6$��.$� <������ � ��� ��.�� �� �����3 � +# ���� �?f? ��� +?f� ��� ������ �������� <�� ���� � ���� 3 � )��2 ��� ������� ��� ��� ������� ����� �� ��������#��� ������ �� � ������ � �������� �� ��� (�� (� ��� ������

�) � �2 � 5

�) ��2 � 4

���� + � 5� �4� <�� ������� ���� ��� ������ ��� � ������� ��� �

��)

2

��

�5

4

'���� ��� ������� ��� ���� ����������% .����<�$ ���� E�� � )(��

(�� M��� &����� �3 ���� <��� ��(�

�) � ���� � �� � ���2 � / � /�

�� � �2 � (�

K�� ��� ����� �� E�� � (3 �� � ��� ��� ��� ����������) � �� ��� �� 3 3� � ) �3 3 � ��

����

�������2���2

���� �

����/3/(

����

Page 74: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

1/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

((� <�� ������� � �

'

� �&� ����� � R����<� �� � �� �%� �� � R��

()� <�� ������� �WW � � �&� �����W � �W ��W �<� ����W � �W�W

(/� <�� ���� R�A � ��A ��

(0� <�� ���� �W� � ��������

(*� <�� ���� � � ��� � ��� �� �# ��� �� � ��������# ��� � ��� ���� ��������# ���� �� � ���

(1� ;�� � � ������� <�� ���� ���A � ��������

(:� ;�� � � ������� <�� ���� ���A � �.� 4���������

(B� <�� ���� ��� ������ ����� ��� � ����� �� ��� ��� �� � ����������� � �.� 4�������� ������

)3� ���� ��� ��� ��� � ��� ��� ������ ������� �� � ������� ������!� � � �������# ��� �� � ��������

)�� ��� ;��

� �

�3 �3 3

�<�� ���� �2 � 3�

�&� ;��

� �

��3 � 33 3 �3 3 3

��

<�� ���� �� � 3�

&� ;�� � � � � � �� ��� � � � � � � � � ��� ��� � 3 � � �� � � ������ ��� ��� ��� � ��� �?�

Page 75: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ������ ������� 10

)(� )���������% .����<�$� � ����� ��� ��� ��.� ��������� � ���4��� �� ��� ��� � ���� � ����������% .����-� ��������� ����������� <��� ��( ��� ��������� �������� '�� ������

���� �� 3( ) 33 3 �3 3 *

����

� � ��������� �����$ � � ��������� �� ��� ��� ��.� �� 3� ������E������� �� ��������� ������� ��� � �������� � ������� ��������������# ������� ��.� �� ������# �� ��� �� ��� ��.� ������� � ������ ��� �������� �� ;����� ��� ����� � ��� �

� �

��2f2 32f�32f2 �2f�

���� �����

+ �

�,2f�

6�f�

��

�� � �� 3) ( �� � 3

��

� ��� ���

�+ �

�� 33 �

��,6

��

��, � 363, � �6

��

��,�6

��

����

�( �) ��� / 1� � 3* * 3

����

A���� ��� ��� �� �������# � ��������� ,��������) ( 3 3� �� 3 33 3 � (3 3 ( *

����

����

3 � � 3� � 3 �( 1 3 3

�) * 3 3

����

))� � <����� �����# ��� � ���� � ��� ���������� ������ �� .����# �� ������ ����� 7 ��� ����,��

7 � 7 A � 6

���� 6 � � ���� ������ %�� ��� ��� �� 6 I� ��� 7 �� � �������

��� 6 �

�3 �� 3

���� 6 �

�3 ��� 3

���� 6 � 3?f?

Page 76: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

1*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

)/� !� ����� ��� ��� ����� ������� 7 � 7 A � 6 �� ���� � ������# ��� ���� � ���� ��� ��� ������ ������ �� 6� ���� ���� � ������������ ��� �������� �� 6�

)0� <�� ���� � �� � � � ����� � � ������� �� ������ ���� ��� ����� "��� �� �# ���� ��� ����� � (?�

)*� A�.� � ������� � ��,���� ��� 8�.� 4������� ������9

)1� '�� E�� ��� �������# ���� �� ����� ������� ���# ��� ���� �E�� � �: �� <��� ��/� ���� �� ��� ��� ������� ��� ��������# �.� 4��������# �� ��������

):� <�� ���� � � � � �����# ��� � � � ������ �����# ���� ����? � �?�?#��� � � ������ �������

)B� <�� ���� � � � � ����� ��� � ��� � ��� ������ ������� �� �� ���# ���� ����? � �?�? � �?�? ��� �6�6 � �?�6# ���� � ���� ��� ������ ��������

��9 ����� ����� ������ ��G ����

��� ������ ��������

'�� %����.����� �� � ������ ����� � � ��� �� ��� � ���� ����� ���� ������ �� �������� ��� ��� � �������� � � ���������� ��� �������

��+������ ��9��� '�� %����.����� �� ��� (� ( �����

� �

���� ��2�2� �22

�� ��� ��� �� ����22���2�2�� '�� ������� ��� ��� ���������� �� � � �����

�-�.��� �� C������ ��� ���������� �� ��� ��� �� ��������

���

�� (3 )

��&�

��� (�� 1

��<�

�� �

�) �)�

��!����

��� ���

�� (3 )

�� ) � �� ( � 3 � )

Page 77: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� 11

�&� ���

��� (�� 1

�� ����1� ����( � �0

�<� ���

�� �

�) �)�� ���)�� ���)� � �) � )�

+�� ��,���� �� ���� ��� � (� ( ����� �� � �� �� ������� ����?f?

� ������� ��� ��� �� �� ������ ����������� �� ( � ( �������� !� �����,����# � ��� �� ������ ��������

��+������ ��9�,� %�� �� �� � ��4��� �� ���� � ��� ��� �� ��� ��� � �������� � ��� ��� �� ��@

�� C����� ��� �� �� �# ���# ���#��2# ���� � ��? ��� �# ���� �� �� ����� ��������

(� ;�� 8�� � ��� �� � �� � �� ��� ����� � ����� ���� � �������� ��� ��� ��� �� ��� �������� �� �

)�

���� � �����n���� ���8��

� �����n2��2 ���8�2

� � � �� �����n?��? ���8�?

C������ � �

�� � �( (/ � �)( � �

��

�� C����� �� (@

�� � �( (

0 � �/( � �

��

(�

82� �

� �( (� �

�822 �

�� (( �

�82� �

�� �(( �

)�

���� � �����0��(� (�� ����e���� /�� ����D��/�>�� ��/�?

� �*� ) � �0 � (:

�� ��� ��� �� ��� � �������� � �� ��������� ��@

�� C����� ��� ����� �� �# ���#���������2����

�?�

�����

������ �� � �� �������

(� ;�� 8�� � �� � ( � ����

)�

���� � �����n���� ���8��

� ����2n��2� ���82�

� � � �� ����?n��?� ���8?�

Page 78: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

1:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�� C����� ����� )@

�� � �( ,/ � �/( � �

��

(�

8�� �

�/ �( �

�82� �

�� �(( �

�8�� �

�� �(/ �

)�

���� � ����e,�/� (�� ����D��/�>�� ��/�?� ����S�>�� ��:�?� / � �0 � B � (:

7��� ���� ��� ���������� �� �� �� � ����� � ��,��� �� � ��� �� ����� ����������� �� ������ ����� �������� &��� �� ����� ������������ �������� �� � ��� �� � ���� ����������� �� ���(�� ���(� ��������C������� ��� �������# � ��. �� � �� ����������� �� ( � ( �������# ��� � .�� �� �� �������� !� � ��� �� � � ���� � �� ����� �������� � ���������� �� ��� ����� �� �� �� ����� ��� ��������� '������������ � ��� ��,��� ��� ��������� ��������

�-�.��� ,� C������

���

�� � ( ��/ � 3) �� 3

��

��� � ������� � �� ��� �&� � ������� � ������

��!���� %��� � ��� � ���� �� �� ����� �� ������ �� ��� �� ���� � ���� ��� ��,����� %�� ���# �����n� � ��$ ��� � ���� �� ������� �� �� �# � ���� � ��� �� �� ���� ����2n� � �� ��� �����n2 � ���'��� �# ��� ��� ������� �� � ���� ��� �� �� �� �� �# �� ��� ����� ����� ����� <� ��� � )� ) ����� ��� ���� ����

�� � �� � �� � �

��

��� K�� ��� ������ �� � '�� � ������� � �� ���� �� � ������ ��� "�������� � ������ � ������� ����������# ��� ��� � "����

Page 79: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� 1B

K��� ��� ������ �� ���� %�� ��*��� ����

���

�� � ( ��

0 � @) �� 3

�� ��/�/�/ ���

�( ��

�� 3

�� � ���

�� ��) 3

� @ ���

�� () ��

�� �/���� � ��)�� 3� 1

�&� K�� ����� ) ���� � ��� ��� ���� "�����

���

�� � ( ������/ 3 �) �� @

�� � ��������� ���

�/ �) ��

� @ ���

�� () ��

�� @���

�� (/ �

�� ����1�� 3 � 3 � 1

�-�.��� /� C������

���

����

� �( / 31 ) 3 )

�� � �/ 33 ) ( �

����

��!���� C����� ����� / ���� � ��� ��� ���� "����� '�� ���� ���

����� � � �� � � �� � � �� � � �

����

Page 80: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

:3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

<�

���

����

� �( / @1 ) 3 /

�� � �/ @3 ) ( �

���� ��)�)�)���

�� � �( /

�� � �/3 ) (

��

� �� �Nti UL*�4? �

� � ���

�� � �( /

1 ) 3�� � �/

��

� �� �Nti UL*�4? �

� /

�� ���

�� �/) (

�� �������� ���

� �( /) (

��

� �

�0���

�1 )

�� �

�� ��/�/�/� ���

�� �(1 )

��� )>�/ � ���*�? � >/��3�� /��1�? � �)/

�-�.��� 0� C������

���

����

( �� / *) �( 1 �13 3 3 3

�/ ) �* �(

����

��!���� C����� �� )# ���� � ��� ��� ���� "�����

���

����

( �� / *) �( 1 �13 3 3 3

�/ ) �* �(

���� � 3 � ���� � � 3 � ���� � � 3 � ���� � � 3 � ���� �

� 3

'�� ������ �������� ��� ���� ���� � � ����� ��� � �� ��� �������������� � "����# ��� ���������� � "����

�-�.��� 8� C������

���

����( �* �1 /3 �) (( �)3 3 * 33 3 3 �

����

Page 81: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� :�

��!���� C����� ����� � ���� � ��� ��� ���� "�����

���

����( �* �1 /3 �) (( �)3 3 * 33 3 3 �

���� � (���

�� �) (( �)

3 * 33 3 �

��

� �� �Nti UL*�4? �

� �(��)� ����

33 �

� �(��)��*� � �)*

������� ��. �� &����� 0 ��� � �� ���� ��� ���������� �� ��� ��������� �� ��� ������� �� ��� ������ �������� ������� ��� ���� ��������� ��� � �������# � ���� � ��� ����� � ����� �� � �� ���������

������. ��9��� �� �?f? � ���� ��� ������ ���� ���� ��� ���� � ����22� � � �??

����� ;�� �� ��� ��� ������ �� ���������� �������� '�� ������������� � �� ��� �@ �� � � � ����� �������� ����� � ��� ��������������22 � � � �??�

%���# � ����. ��(�� ���� � � (#

� �

���� ��23 �22

��� � ��,���� ���� � ����22� '�� ��������� � ���� ��� � � (�%�� ��� ������� ��������� � ������� ���� ���� � ����� '��� �#

������� ���� � �&f& � ����� ��������# ����

����&f& � ����22 � � � �&&'� ������� ��� �����# � ���� ��� ���� ����&n�f&n� � ����22 � � � �&n�c&n������� �&n�f&n�# � �����

���������

��� ��2 ��& ��c&n�3 �22 �2& �2c&n����

� � ����

���� � �

���

3 3� � � �&& �&c&n�

3 3 3 � � � 3 3 �&n�c&n�

����������

Page 82: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

:(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�� ������� ����&n�f&n� � ���� �� � � � �� ,��

����&n�f&n� � ����2&n2�&n�c&n� ����&f&

E| lqgxfwlrqk|srwkhvlv�@

� �&n�c&n����� � � � �&&�

� ��� � � � �&&�&n�c&n�'��� � ��� ������ �� ���������� �������# ��� ��������� � ���� ���� ��

��������"�� ����� ;��

� �

�������

���3 �223 3 ��� ������������������ 3��

���� � �

3 � � � 3 � � � �??

�������

K�� ��� ,��� ����� �� �������@

��� � � � ��� ���

�����

�223 ��� ������������������ 3��

� � �

3 � � � 3 � � � �??

�����

K�� ��� ,��� ����� ����@

���� � ����22 ���

�������� ���������������

� � �

3��3��3���??

�����

C������� �� � ��� ��� ��� ,��� ����� ����

���� � ����22 � � � �?32c?32 ����

�?3�c?3� �?3�c?3 �??

�� ����22 � � � �??

L��� ������ ��� ����� ��� ���� ��� � �� �������� �������� '�� � ����� ��� ��� ����

Page 83: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� :)

<�# � � � ����� �� � �� ��������# ��� ���������� � ���� �� ��������'� ��� ��� ����# � ��� �� 4������ � ����� �� ����� �� � �� ������4�� ����# ������� ��� ���������� �� ��� ������� �����# ��� ���� ��������� ���������� �� ��� ���������� �� ��� ����� ������ '�� ������� ���������� � %�� ��*�(�

'�� ��������� �� ��� ��� ���������� �� � ����� ��� � �� 4������������� � �������� � ��� ��� �� ��������� '���� �������� ��� ������ ������ �� �� ���������T���� ��� ��� ���� ��� ����� ����������

������. ��9�,� 2�� � �� � � � � ����� �� ��� ��4���� ���� �� � ������������� ��� �������� �� ��� �� ����� � � ����

����� ;�� � � ��� ����� �� ����������� � � ��G����� �� � �� �# �� ����

� �

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��c� ��c2 � � � ��c?��n�c� ��n�c2 � � � ��n�c?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��

� �

�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��n�c� ��n�c2 � � � ��n�c?��c� ��c2 � � � ��c?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�� � 5�

� 5�n�

7� ������� ���� � ���� �� �# ��� ������� ���� � ��� �� �� �@

���� � �����n���� ���8�� � � � �� �����n?��c? ���8�?

���� � �����n2��� ���8�� � � � �� �����n�n?��c? ���8�?

7���� ���� ��� ����������� �� ��� �� ������� ��� $!&%����.�����$� ������ ����� '�� ��� �-������� �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ����� !���������#

��� � � � � ���� �� ���� � � ����

������. ��9�/� �� �� ��� ���� �� � ��� ���������� ��� �������� ����� �� ����� �� ��� � ����

����� '�� ���������� �� � � �� � ��� � ��� � ���������� �� ����� ��� �� �� ��G����� �� ������������ <������ � �� �� ������������ � �� �� � ��� A���� �� � �� �� �� � �� ������ � ��G�����

Page 84: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

:/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

������������ '��� �� ���� �� ��� � ��� � �� ��� �� ����� ���� � ��� �� �� �� � ������� � � � ��G����� ������������ � ����� �� � ���� ���� ����� �������� '�� ���� ��� �� �� ����������� � ���� � �(� � �# ��� � �� ��� ��� ��� &��� ��G����� ���������� ������� ������ �� ��� ����������� �� ��� ��� �� �� ��� ������� ����� ��� ����� ��� ����� ����������� �'�� ���� ���� ��� ���������� �� � � �� ���� � ���������� �� ��� �� ��� ��� �� �� ��G����� �� �������������� � ���� ��� ����� �� ����� �� � ����������# ��� � ��� ������� ���� ������

��������6� !� � � �� � �� � ��� ������# ���� ���� � 3�

����� !� � ���������� ��� ������ �� �# ��� ���������� �� ��� �� ��4��� � � ����� L�� ��� �� ����� � ���� �� �� <�

���� � � ����

'�� ��� ������ ��� � ���� � 3�

������. ��9�0� 2�� � �� � �� � �����

��� �� � ��� �� � � � ������ �� � ���� �� ��� �������� �� ��� ������� � � ����

��� �� ��� ��� �� �� � ������ � ��� �� � �� � ������ � ����� �� ��������� �� �� ��� �������� �� ��� �� ����� � �� �� �� ����

����� ��� ;��

� �

����

��� ��2 � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������������� ���2���2���2 � � � ���?���?���?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��?� �?2 � � � �??

����

��� � ��� ����� � �� ��� �� � ������ � �� C������ ���� � ���� �� ��

���� � �����n������������� ���8�� � � � �� �����n?���?���?���? ���8�?

� �������n���� ���8�� � � � �� �����n?��? ���8�?�

� � ����

Page 85: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� :0

� � <������ � ���� ����� � ���� �� � �� � �� �� �# �� ��� � ������$

� �

�������

��� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � �6����� � �6����� � �6� � � � ���? � �6?���? � �6?���? � �6?� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

�?� � � � �??

�������

K�� �� � �� ������� ����@

���� � ����6n������ � �6����� � �6����� � �6�� ���86�

� � � �� ����6n?����? � �6?���? � �6?���? � �6?� ���86?

� ���>����6n���������� ���86� � � � �� ����6n?��?��?��?86??

� >����6n��6��6��6� ���86� � � � �� ����6n?�6?�6?�6? ���86??

� ��� ���

���������� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � ���� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � ���������� � � � ��?��?��?� � � � � � � � � � � � � � ��?� � � � �??

�������� ����

L� ��� ������� ��� ,��� ���������� � "��� ������ � � �� � ���������� '��������# ���� � �����

7� � ��� ����� ������ �� ������� ���� ������������

�-�.��� 9� ;��

� �

����

� �� ( 1/ ) � (

�� : * (( �( / �)

����

C������ �����

Page 86: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

:*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

��!���� �� �� 4����������

� �� ( 1/ ) � (

�� : * (( �( / �)

����

3e+�n+233333333<

+�n+�32+�n+e

����� �� ( 13 1 �1 �(*3 1 : B3 3 3 ��1

����

3+2n+��������

����� �� ( 13 1 �1 �(*3 3 �0 )03 3 3 ��1

����

L� '������� ��*�/& ��� ��*��#

���� � ���

����� �� ( 13 1 �1 �(*3 3 �0 )03 3 3 ��1

���� � ����1���0����1� � ��1:0

�-�.��� :� ;��

� �

����

� 1 �( )�� ��� ( (( / �/ �1) ( �* �0

����

C������ �����

��!���� �� ����� ���� ����� ) � G��� �( ���� ����� �� <�

�2��n���������

����

� 1 3 )�� ��� 3 (( / 3 �1) ( 3 �0

����

<��� ��� ��� ����� ��� � ����� �� � "����# �� ���������� � "��� ���,����� M���� ��# ��� �������� ��� ���� �� 8�� 9 ������� � 8��4����9

���.��G$ �!�� � �� ��������� �������� �� �����������# ��� ������ �� � '�� ��� ��� � ���� �� ������� ������� ��

�) � �

Page 87: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� :1

��� � � ������� %�� �������� ������� � � ������ ����� ��� ���� � �� ��� ������ �� �� ��� ����� C�����I� ����

;�� � � �� �� � ������ '�� ������ �� ��������

�) � �

��� � ����� ������ � ��� ��� � ���� �� 3� '�� ������ ��� � ��������� ���� ���� �� �� ��� ;�� �& � ��� ����� � ����� � ������� ������ �� � � ��� ����� ����� �� '���

�� ������

����

�2 �����2

�������

�? �����?

�����-�.��� ;� <���

)�� � �2 � �� � /

�� � �2 � �� � *

�� � �2 � �� � �/ � ���� C�����I� ����

��!���� %��� � ������� ����@

���� � ���

�� ) �� �� � �� �� ��

�� �

+2n+�

���

�� ) �� �� � �( 3 3

�� � (���

� �� �� �

�� �/

7� �� ������

� �

�� /

*�/

��

��� ����� � ��� �������

�� �

���

�� / �� �

* � ��/ �� �

��

�/ �3�2n��

���

�� / �� (

* � 3�/ �� 3

��

�/ ��/�/ � �

Page 88: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

::������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

<����#

�2 �

���

�� ) / �� * �� �/ ��

��

�/ �3e�2n�2

���

�� ) 3 �� ( �� 3 ��

��

�/ ��:�/ � (

�� �

���

�� ) �� /� � *� �� �/

��

�/ �+2n+�+�n+2

���

�� ) �� // 3 �3( 3 (

��

�/ ���(�/ � )

'�� ��� �� ����.�# � ����� �� ��������

'�� ������� � ����� �����

������. ��9�8� .�� ��� � � � ������� � �� �� ��� ����A � ���� ����� ������� � ��������

'�� ����� �� ���� ��� � ��� �� ��� ��� ���$ ��� ����� �� �&� � ��������� � ������ ��������� ������� � ��� ���� �������

�-�.��� C� K��� ��� ������� � &����� ) ��� 0# ������� '������ ��*�0&�

��!���� ;��

� �

����

� �( / 31 ) 3 )

�� � �/ 33 ) ( �

���� ��� � �

����( �* �1 /3 �) (( �)3 3 * 33 3 3 �

����

'���

�� �

����

( (( �) �3�/ �3) �:0 ((�( ��B ��B �13 �B 1: �:

����

Page 89: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� :B

'�� ��������� 1M) � M( ��� M) � M� ��� ����

������� � ���

����

3 ) �(( )3 �)3 0( �(1

�( ��B ��B �13 �B 1: �:

����

� �( ����� ) �(( )

�)3 0( �(1�B 1: �:

��

7� ���� �C� � C)� �3C) � C�# ��� �)M) � M�# � ���� �����# � ����

����� � �( ����� 3 �(0* �)3 0( )� 1: �

��

� �( ���� �(0* �)

0( )

�� �((/

+� ��� ����� ����# ������������ � ��)/���)*� � �((/�)��&��.$ ��9� �� C������ ��� ����������� �� ��� ��� ��� �������

� ���� ��� ��,�����

���

�� () ��

��&�

�� ( 3 �0 �( )* � (

�� �<�

����) 0 ( �3 ( 3 0* �1 � 3( 3 ) 3

����

(� C������ ��� ����������� �� ��� ��� �� ������� � ���� �� ��4�������

���

�� � �( �3 ) *� / 1

�� �&�

�� ( � )0 / *: 1 B

�� �<�

����

� �( 3 )( / � *

�� ) / �( 0 0 �3

����

)� &������ ��� ����������� �� ��� ��� �� ������� � ���� ���������� �������� �� ����� ��������� �� ��� ������

���

�� � �� () * �3� �� (

�� �&�

����� 3 3 3( / 3 31 ) ( 3: * 0 1

���� �<�

�� 3 � �)3 / �*3 1 �)

��

Page 90: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

B3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

/� � ��� �� �������� ��� ���������� �� � )� ) �������� � �� � ! �

��

��� � �������� ��

C��� ��� � � ������ � � �� � ! �

� �� �!

��! � ! ��� ��� � ! ��

���

��� � �� � ! �

�� � ���� � ! � �� � ��! � � � ���

<�# �� �������

���

�� � �� (3 ) */ �1 (

��

� ��� � �� (3 ) */ �1 (

� ��3 )/ �1

(/ �/( 3 * �(/ 3

��� ����

��� � * � ��(/� � 3� (/� ��/(�� 3� 3

K�� ��� ������ �� ������� ��� ����������� � E�� �� �&# (�# (&#��� )<�

0� K�� C�����I� ��� �� ���� ��� ��� �� ��������

���)�� (� � 1���/�� � � :

�&��� (� � � � )

��� � � � � 0)�� � � 1� � �)

Page 91: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ����������� ��� ������� ���� B�

*� E���� '������ ��*�� ��� ��� ���� �� � �� �������� ��������

1� K�� '������ ��*�0 �� ��� ���� ����� � ������

:� <�� ���

� �

�� � �� (

�) � /� ( )

��

���� ���� � ����A �

B� K���

� �

�� (

�* )

���� � �

�( �)1 ��

��������

����� � ��������

�3� %�� ����� ��� � ��� ��.� ��� ���������� �� ��� ���� ����� ������ "����

���

�� � � (� �

��&�

�� � ( 0�3 � � )

��<�

�� �

�� �

���� E���� '������ ��*�0�� �'���@ K�� �� � ��� ����# ������ ��� ����A ��

�(� <�� ���� ��� R� � �����

�)� <�� ���� ����W � �����

�/� <�� ���� ��� (? � ��

�0� <�� ���� ��� �(? � �?�

�*� <�� ���� � �?f?�?f? � (# ���� �������� � ���� �� � �� ���

�1� !� �2 � �# ���� � � ���� �%�.������� <�� ���� � � � ���������#���� ��� ���������� �� � � ����� � �� 3�

�:� !� �2 � (# ���� � � ���� ��=��!���6� <�� ���� � � � ��������#���� ��� � ����� ���� �� ��� ���������� �� � ����� ��

�B� !� �? � 3 ��� ���� ������ ������ �# ���� � � ���� ��������� ������� ��� ��������� �� %�� ���� � �����# ��� ��� ��� ��� � ��� �������������

Page 92: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

B(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

(3� !� � ���� � ��� �� � � � ����� � �� ��� ������ �� ������ ���������� �2 � �( ��� � � ���� ���� � � � �����

(�� !� ���� � ����# ���� � � ���� �� ��

((� <�� ���� ��� �� � �? �����

()� !� � � �.� 4��������# ��� ��� ��� ��� � ��� �����

(/� K�� E�� � �) �� ��� ���� � � � �������# ���� ���� � ����

(0� ;�� �? � � ���?f?# ���� �� � ���� � � � ��� C������ ����? ���� � (� )� /�

��: ��'�� �� ����� ��H���

'� ���� ��� �������

�� � � ���1���

���� � ��� � ��� ��� �� ������ ��� ���# � ��� ���� ���� ��� ������ ���1��� � � �� � �� 3� �� ,�� � � ���� '���� � � ���� ������ ��������

�) � � ���1�(�

���� � ��� � ��� �������� '�� ������ � ���� ��� .����% �1 .����-��=��$���� ������� ��� ������ � ��� ����� ������� ��� ����������������# � ��� ��������� ��� � �������� ����� ������� �������# �� � ��� � ��� ���� �������

�� ������ 8����9 ��� ���� �� ���1�(� � �� '� ��� ��� � ������# ����� ��� ��������� ������ �3� �� � ��� ��� �� �� !� � ����� ������� �� ���1��� � �3�# � ����

�3��� � �3��

�� � �3��

� � �3��

'� ������� ��� ������ ��� �) � �# � ���� �� ��,�� ��� ��������������� �� � ������ ����� ��

Page 93: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ B)

��+������ ��:��� � .!������<���=� ��=��$� �� �?f? � ��� ����� 8?f?

��� ���

8� � �8 � (?

�-�.��� �� <�� ���� �/ ��

�) �

�� � ��������� ������ �� �

� �) /

���!���� <��� �

/ ���) �

��� �) /

��

�� 33 �

�� (2

��� �� �) /

��/ ��

�) �

��

�� 33 �

�� (2

� .�� ���� �/ ��

�) �

�� � ��������� ������ �� �

� �) /

�� ������ ����� ���� ��� ���� � ��������� ������� %�� ������#

�������

� �

�( 33 3

���� ��� �� ,�� � ��������� ������

8 �

�� �� �

<��� �8 ��� �� � ���� �� (# � ���� �����( 33 3

��� �� �

��

�� 33 �

Page 94: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

B/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�� �(� (�3 3

��

�� 33 �

���

(� � � (� � 3 3 � 3 3 � �

<��� ��� ��� ������� ��� ����� ���# ����� � �� ����� ��� �� �� �# ��� ���� ��� �8 � (�

<� � ��� ���� ���� ������� ���� ��������� ������� ��� ������ ������ �� �� ��� ���� �1 � ��$ � .!������<���=� ��=��$�> ��� ��=��$��$ !�� !��

������. ��:��� �� �?f? ��� � � �������"� "����� ��� "���� � � �

����� �� ��� ���� � � � ������� ��� ������� �� �# ���� ���� ��������� ��� ����� <������ 8� ��� 82 ��� ������� �� �# �� ���� 8�� ��8� � ( ��� 82� � �82 � (� <���� ��

8�� � (

��� ����� �� ��� ���� � 82 �� ,��

�8���82 � (82 �82

��� � ��� ��������� � �

8���82� �82

7� �82 � (# ��8�( �82

���8� �82

<��� ��� ��������� ������ ��� � �����# � ��� � ����� ��� ��� ��������� �@ �3�� '��� � ����

�3�� � ��3� � (

7� �� ���� �) � �# ��� ��� ��� ��� ����� ������# � � �����@

�� %�� �3� �� � �������

Page 95: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ B0

(� A���� �� ��� � �3� �� ��� �3��) � �3���

)� '�� ������ � ) � �3���

�-�.��� ,� <���

�� � �2 � (

)�� � /�2 � �

� ��� ����� ������ �������

��!���� <���

� �

�� �) /

� � .�� ����

�3� �

�/ ��

�) �

��<�� &����� ��� '���������

���2

�� �3�

�(�

��

�/ ��

�) �

��(�

��

�1

�0�

��� �� � 1 ��� �2 � �0�������� � ���� ���� ��� ������ ������ ��.# � � ���� ��������

�������� ��� �� ����� ����@

�� 6��� �# ��� � �������� ������ �3� ������

(� !� �3� �����# �� �� � ,�� ��

'� ��� �� ��� �� �� �� �� ��� �� ����� ��������# � ��� ��. �� ������� �� (� ( �������� ;��

� �

���� ��2�2� �22

� � �� �� ����� (� ( ����� ��� ��� �� ,�� � (� ( ������

� �� �

Page 96: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

B*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�� ���� ���� ��2�2� �22

��� �� �

��

�� 33 �

����1�)�

!� � ��� �� ���# ���� �� �� �

�� �3�� ����� ��� ��� ���4���� ��� �� ���1�)� ��� ������� ������� ���������# � ����

����� ��2� � � �

���� � ��2� � 3

�2��� �22� � 3

�2�� � �22� � �

�� ��� �� ��� ��� �� � � �������@

����� ��2� � � ���� � ��2� � 3�2��� �22� � 3 �2�� � �22� � �

���1�/�

%��� C�����I� ��� � ��� ���� ������ ��� �� �� �# ��� � � ��� ��� �

���

���� ��2�2� �22

��� 3

���� �# ���� �� 3� <� ��� � (�( ����� ���3� ����� � ��� ��� � ���� �� 3�!� ����# ��� � ���� ��� ��� �������# ��� ��� ����� ������ ���� ��� ������ �������� �� � ��� ��� ���� C�����I� ����

������. ��:�,� ����� � ��� � � �������"� "���� � �� ��� � ���� ��3

�-�.��� /� ���� �� ��� ��� �� ������� ��� � ��������� �������

���

�3 �� 3

��&�

��� ( )1 : B/ 0 *

�� �<

�� 0 3 (3 �� 13 3 (

�� �%�

�)� (� � � �

��!����

��� '�� ���������� � ��# ��� � ���"���$ ��� ����� ��� �� �������

Page 97: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ B1

�&� '�� ���������� � 3� '�� ����� ���� ��� ���� �� �������

�<� '�� ���������� � ��3# ��� � ���"���$ ��� ����� ��� �� ��������%� '�� ���������� � �0 � )� �� 3$ ��� ����� ��� �� ������7� � ��� �� �� ,�� �3�# � ����� ��� �������� � ���1�/� ���

�� �� �# ��� �� !� ��������� ��� � �������� ��2 ��2� �22 3

� ���� ��2 3�2� �22 �

����� �� �� ���� ����

���1�0�

<� � � ������ ���� �� � ���� 6����4O����� �������# � ,�� �� �� �#��� � � ������ �- ��� ����4���� ����� %�� ������# � ��� �������

� �

�� �) /

&������� ���1�0� ����� � �) / @

� �� � @) / �

�3�+�n+2�������

� �� � �3 � �)

�3�+�n+2�������

� �� � 33 � �

�3+2n+��������

� �� 3 /3 � �)

�3+2n+��������

� �� 3 ��3 � �

�� � / � � �) � � �� � � �

���1�*�

<�

�3� �

�/ ��

�) �

�<��� � ���� ��� ���� �� ��������� � ��� ����� � ���1�*�# � ��� ������� ��� ����� � G���� ��� ��������� ������� �� � ����� � � @) / @ �

�3�+�n+2�������

�� � � 33 � �) �

�3+2n+��������

�� 3 / ��3 � �) �

�7���� ���� ��� � ��� ��� ������� �� (2# ���� (2 ��� ��� ������� ���3�� !� ����# ��� ������� ��� ������ ������� �� ��� ������

Page 98: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

B:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

������. ��:�/� 2�� � �� � ��� ����� ���� ��� � � �������"� "���� (�� �3� �� �� �� � �� ��� �������

�� � (� hL� LiTh@|�L?t |L���������hi_�Ui � |L U

�( � �3��

� ����� �� ��� ������� ��� � ���� � ���� ���.�����6 .����<�$# ��� � ������ ���� � ��� �������

�-�.��� 0� <���

�� � � (

(�� /� � /

� ����� ��������

��!����

� �

�� ��( /

���� ���� � * �� 3

'��������# �3� ������ '� ,�� �# �� ��� �� ����������� �� � 3( / 3 �

�32+�n+2�������

�� �� � 33 * �( �

��

S+2�������

�� �� � 33 � ��

��S

�+2n+��������

�� 3 2

��S

3 � � ��

�S

<�

�3� �

�2�

�S

���

�S

����

���

��

�2�

�S

� ��

�S

��(/

��

�(3

�!� � ������ ����� � ��� � ��������� ������# � � ���� ��=����&��#

�� ���$��2!���� !� �3� ���� ��� ����# ���� � � ���� $��2!���� ���� � ��� �� ,�� �3� ��� � ���� ����� �# � ���� ��� ������� ���� ����� ������ �� ��������� �� ���(�� !� � ��� �������� �� �� ��������� �,�� � �� �� � "���� � ��� �� 4������� ���� �� �# � .�� ���� ���� � 3��� �3� ���� ��� ����� �� .�� ���� � 3 ������ ��� ���������� �� ��� �������� �� � �-��� ���� ���� ��� � � ���"��� ������

<��� ��������� �� �3� ��� � ���� ���� ��� �������� � ��� ������������

Page 99: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ BB

������. ��:�0� 2�� � �� � �� � � � "������ ������� (�� ��� ���#���� ��� �� �

��� ����� �� � "������� �� ����3� � �3��3�

��� .�� � � �� (� )� � ��&�3� � ��3��&

��� ����3� � �_i|�

��� ����� �A � "������� �� ��A �3� � ��3��A

��� �� � � � ����� ������� ��� �� � "������ �� ����3� � ������3�

��� ����� �3� � "������� �� ��3��3� � �

����� ��� '�� ���� � ��� � � ����� ��������� � ��� ���������3��3� ��� �� ������ �� ���

������3��3�� � ����3���3� � �(�3� � ��3� � (

��3��3������ � �3���3���� � �3�(� � �3�� � (

<��� ����� �������� ���� (# ����� �� � ����� �# ��� �3��3� ���� ������ �� ���

�&�

��?�3� � ��� � � ���� �� �? ULT�it

3� � >� �� � � ���� �� �?3� ULT�it

?3�

�) T@h| E@�

� �� � � ���� �� �?3 � ULT�it

3��3� � >� �� � � ���� �� �?32 ULT�it

?3��3�

� �� � � ���� �� �?32 ULT�it

3��3��3�

C������� ��� �������# � ,��� � ���

�3��3� � � ��3�� �� �? ULT�it

� ��3��?

Page 100: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�33������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�<� <�����3� � (# ������3�� � ��� (� '�� ����� ���� �����������3�� ��� '�� ����� �� �� � ���� ���� ���� �� 3# �� � ��� ���� ����� �� ,��

����3� ��

����

E����� �� �%�# ���# ��� �1� ��� ��� �� ��� ��� ����

7� �� ��� �������� �� ��������� �������� �� � � � ���.�����6.����- � ��� ����� � ����� ���� (? � �� ��������� �� ��������� <��

�� 3 33 � 3( 3 �

��

�� � 3 33 �) 33 3 �

��

��3 � 3� 3 33 3 �

��

��� ��������� ������� ������� ���� ��� ��������� (M��M)# �)M(# ���M�� M( �� (��

'�� ��������� �� ��������� ������� � ���� ��� ����� �� � �� ����4���� �� � ����� � ��� � � ����� � ������� � � ��� ������������������� ������

;�� � � �� �� � ����� ��� , ��� ��������� ����� ������������ ��� �� ��������� !� ��� �� �������� �� � ������ � �# ����

,� � �

%�� ������# � ��� )� ) ����# �� ��� �� �������� � �)M��M)� '����������� ��������� ����� �

, �

�� � 3 3

3 � 3�) 3 �

��

7� �

� �

�� � ( �

�( * �/ ( )

��

����

�3�+�n+��������

�� � ( �

�( * �� �/ 3

��

Page 101: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ �3�

���

,� �

�� � 3 3

3 � 3�) 3 �

��

�� � ( �

�( * �/ ( )

�� �

�� � ( �

�( * �� �/ 3

��

+� ������# � �������� �� � �� ��������� ���� �� � �������� �� �����4���� ������� ,�� ,2� ,�� � ,6# ��� ��� ����� �� ��� �� ��������� ���?f? �

�,6 � � � �,��,2�,����� � � � � � ,6,63� � � �,�,2,��

%�� ������# �

� �

�� () /

���� � ������� ��� �� ����������

� () /

�3�+�n+2��������

�� (3 �(

�+2n+��������

�� 33 �(

�3

2+2�������

�� 33 �

� � ��������

,� �

�� 3

�) �

�,2 �

�� �3 �

�,� �

�� 33 ��

2

�A������# � ����

,�,2,�� �

�� 33 ��

2

��� �3 �

��� 3

�) �

��� () /

�� 33 ��

2

��� �3 �

��� (3 �(

�� 33 ��

2

��� 33 �(

�� 33 �

�'�� ���� �������� ���� � ��� ��������� ������� � ���� ���� ��� �4

���� �� '�� ��� � ������

�5� �5� � ������� � ��5� �5�

�5� � ������� ��

�5� ������ ��# � �� 3�

5� � 5� � ������� � 5� � 5�

Page 102: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�3(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

<�# ��� ������# � ��� )� ) ���� �)M� � M) ������ ��� � 3 3

3 � 3�) 3 �

��

��� )M� � M) ������ � ��� 3 33 � 3) 3 �

��

'�� ������� ��� � 3 3

3 � 3�) 3 �

��

��� 3 33 � 3) 3 �

�� �

�� � 3 3

3 � 3�) � ) 3 �

�� � (�

!� � � ����� �# �� ������� �� ������ ���� � (# ������ ���������� �� ����������� ���� G��� � � �������� ���� ��� ������������ ��� ������� �� ������ ���� �� � ��� ���� �� 3� '��������# � ������������ ������� ������������ �� ��� �� ��������� ��� ������ � ��( ��� ������� � ,�� ,2� � ,6# � ����

,6 � � �,2,�� � (

���� � ,3�

� ,3�2 � � �,3�

6 (

7� ��� ������ �� � ������� � ��� ������� �� ��� ������� � ��� ������������ ��

�3� � (3��,3�6 �3� � � � �,3�

2 �3��,3�� �3�

� ,6 � � �,2,�(

'�� ��� � �����3� ��� � ����������� � ������ ��� �� ��������� ��������� � �� ( �� ��� ������ ������ '��� � ���� ������ '������ ��1�)�

�-�.��� 8� 5������� ������

� �

�� ( / *

/ 0 *�/ �* �:

��

� ����� �� !� � �# ������� �3��

Page 103: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ �3)

��!���� C������ ���(� ��� �� 4��������� ( / * � 3 3

/ 0 * 3 � 3�/ �* �: 3 3 �

�� �

2+��������

�� � ( ) �

23 3

/ 0 * 3 � 3�/ �* �: 3 3 �

��

3e+�n+2��������3�e+�n+�

�� � ( ) �

23 3

3 �) �* �( � 33 ��( �(/ �1 3 �

��

3�

�+2�������

3�

�2+�

��� � ( ) �

23 3

3 � ( 2�

� ��

3

3 � ( .�2

3 � ��2

���

3+2n+��������

��� � ( ) �

23 3

3 � ( 2�

���

3

3 3 3 � ��2

��

� ��2

���

<��� ��� ���� �� �� ��� �������� �� � � � "����# ���� � 3 ��� �� �3�

���� ��� ����� A���� � � �������

�-�.��� 9� '�� ������ �� �������� � ���� �� ������� ���������� � ��4������� ��� ���� !� ��� ���� �� ������������� ������#b ��� � � � � ���������� �����

+ �

���������

� 3 3 3 � � � 39 � 3 3 � � � 392 9 � 3 � � � 39� 92 9 � � � � 3���

������

� � � � � ����

9?3� 9?32 9?3� 9?3e � � � 9 �

���������

���� � ������� �9 � � ��� ��� �� ������ �� ������ � ����������� �� ���������� ��� �������� %�� +3��

��!���� '� ��� �� ��� �� ��� +3� ����� �# � ����. ��� ) � ) ����

<M1Y1 Ehfn dqg N1M1 Duqrog/ Sdudphwhu Hvwlpdwlrq lq Hqjlqhhulqj dqg Vflhqfh/

Mrkq Zloh| ) Vrqv/ Qhz \run/ 4<::1

Page 104: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�3/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

,���@ �� � 3 3 � 3 3

9 � 3 3 � 392 9 � 3 3 �

�� 34+�n+2�������

342+�n+�

�� � 3 3 � 3 33 � 3 �9 � 33 9 � �92 3 �

��

34+2n+���������� � 3 3 � 3 33 � 3 �9 � 33 3 � 3 �9 �

��

'���

+3� � ��� � 3 3�9 � 33 �9 �

��

!� � ��. ��� ��� /� / ����# � ,��

+3� �

����� 3 3 3�9 � 3 33 �9 � 33 3 �9 �

����

� ������� � ����� � ���� � ��� �� � ����

+3� �

����������

� 3 3 3 � � � 3�9 � 3 3 � � � 3

3 �9 �� � �

������

� � � � � � � � ����

���� � � � � � 3

3 � � � 3 � � � �9 �

����������

5���� ��������� ��� � ++3� � (� L������ ��� ������ �� � ����� ������# ��� +3�+ � (# ��� ����� � ��������

'�� �������� ������ �� ��� ������ �� �� �� ����� ��� ��� ����� ����� ������ �� ���� ���������

������. ��:�8� 2�� � �� � �� � ����� �� � �� � �� � ����� (��������� ��������� ��� �� "����

��� �) � � ��� � � � ��� ��

��� � � ���#�� "���� �� (

Page 105: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ �30

��� � � "������

��� ���� �� 3 ����� �� ��� ���� ��� ���� �&�# �&� ���� �<�# �<� ���� �%�#��� �%� ���� ����

��� ���� �&�@ ����� �� �������� �� ����� ��� ������� �� ���������� �� ��� ��������� �����# �5�4�# ���� ��������� �� �������� �������L� ���������# ��� ������� ������ ��� � ����� ������� !� ��� � ���� 5���� � (?$ ���� � � �� 4�������� �� (�

�&� ���� �<�@ !� � � �� 4�������� �� (# ���� � G��� ���� ���"�������� �� ��� (� '�������� ���� �� 3� L� '������ ��1�(# � � ����� ��

�<� ���� �%�@ !� � � ����� �# ���� ��3� � ( ��� �����3� ���������3� � ��� ( � �� '�������� ������ ���� ��� ����3� � "����

�%� ���� ���@ '�� ��� � ���� C�����I� ����

�� ���� ���� '������ ��1�0 ���� � ����� ��� � ����� ����

;�� � � �� �� � ������ '�� ����������� �������

�) � 3

��� � ������� ������ � ��� ��� � ���� � 3�

%���# �� ������� � ��� ��� ������# � ��� � ����� �� ����� �������������� %��� � ���� ���� � , � �� ��������� �����# ���� ���,� �����,�������� '�� � ���� ���� � ��������� ����� ����� ������������ �� ����� ��� ����� ��������� �� ��������� , ����������� 7� # ��� ��� ����������# ������� ���� ��� ������� �� ������ ����� �� � ��� � ��� .�� ��'�� ������� ���� � ( �� �

(6 33 3

�<������ ��� ��� ,��� ���� ���� � ��� ��� ������� �� ������ ���� �� (� '��� � ����

������� � ����,3�� � � �,3�& ��

Page 106: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�3*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

L������ ��� ,� ��� ��������� �������# �� ��� ���� �������� K��� ��� ,��������. � ��� ���������# � ����

����� � ���,3�� � � � ���,3�& ����

� ����,3�� � � �,3�& � ����

� ��������

!� ��� ������ ����# ������� � ��� ��� ������ ���� � ������� �� ����������� '��� ���� � 3 ��� ������������ � 3� ��� ������� � 3 �������� ��� �� ������ �� � �� ���� �� ������# ��� ������ ��� ���� �� ��3��3�# �� �3� ���� ��� ������ '��� ������� � 3 � �������������

)��&��.$ ��:� �� %�� ��� ��� �� ������� �# �������� ������ �3�

������ !� �3� �����# ,�� ��

���

�� () /

��&�

�( � � *3 �)

��<�

�3 �� 3

�%5

�� ) �� (

�* / ��1 �( )

�� ���

����� �� 3 3( / 3 33 3 0 (3 3 �* �(

����

(� <��� ��� ��� �� ������� � ���� ��� ������ ���������� �� � � 1

�� � � )��� �� (� � *

)�� � � 1��� �� (� � � � *

)�� � � � � 1��� � � 1� � *

)� !� �� (

�) *

�� ��� ��������� ������ �� �# ��� � ��� ������ �� )��

/� !� �?f? ��� �?f? ��� ����� �# � ��� ����� ��

0� !������� '������ ��1�/ �� ��������

*� ;�� � � � ������ ������ ������� ���� �� ���� �� (� 5�,��

�3? � ��3��?

Page 107: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�� ���� � � ������ ������ �31

��� � � � ��������� ������ ;��

� �

�) 0� (

C������ �3�� �32# ��� �3��

1� <������ � � ����� � ��� � � ���� <�� ���� �� � ��� ����� ���'���@ C������ �������

:� <��� �) 0� (

����

��

���

���� ��� ��� �� �����@

���

���

��

�33

��&�

���

��

�)�

��<�

���

��

��*�1

�B� ;�� � � ��������� ��� ������� ���� �� � ��� <�� ���� � � ��

�3� <������ ���� ���# ��� � ��� ������� ��� ���� �3� ������ <�� ����� �3��� � �# ���� ���� � �����

��� <�� ���

� �

���� : �� :

� �� : ��� :

����� �3� � �A �

�(� <�� ���� � � � ����� � ��� �3� � �A # ���� ���� � �� �'���@M���� �� ���� ����A � ������

�)� ��� <�� ���� � � � ����� � ��� �3� � �W# ���� � ����� � ����'���@ M���� ��# ��� ������ ��� ��� �R� � ���2��

� � C������

� �

�3 ��� 3

�<�� ���� �W� � (� A���� � � � )�!�� $��� .����-� !� � ������ ����� ������� ��� � ������� ���������

�/� !� � � � �������� ��������� �����# � �3� ��������� ��� �� ������� ������� ��� �.� 4�������� ��������

Page 108: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�3:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�0� !� � ���� � ��� � ) � ) ����� �� � ��� ��������� ��� �.� 4��������� 6�����"� ��� ������

�*� E���� '������ ��1�/%> �# ��� 1�

�1� <�� ���� ����� ������� ����� ���� � �������

�:� !� � ��� �� ��� �� � ��� ����� �# ���� � � ����� ��

�B� ;�� � ��� � � �� �� !� �� ��� �� ��� ����� �# ���� ��� � ���� � ����� ��

(3� !� � � � ��� �3� �����# ���� �3� � �3��

(�� ;�� � ��� � � �� �� !� �3� � �3�# ���� � � ��

((� !� � � ����� �������� ��� ���������# � �3� � ����� ���������

()� ;�� �? � � ���?f?# ���� �� � ���� � � � ��� =��� �? � ���� �'��&��� .����-� !� E�� � (0 �� <��� ��*# ��� ����������� �� �2���#��� �e ��� ��������� ��� �2���# ��� �e ����� �� !� ��# ���������� ����������� �� ��� ��������

(/� ;�� �? � ��,��� �� � E�� � ()�

��� C������ �3�� �

�&� K�� �3�� �� ����

��) �

����

��

S

���2

e.Sf

����

�<� C������ �3�� # .����� ��� ����� ���,���� ���� ��� �������

� ���� ��������� S��� ��� ����� ���,���� ���� � ��� �������� �� <��� ��� ������� � �&� �����

Page 109: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � �3B

��; ������ ���� )������ ���

���4����� ���������> �(�

��� �� )��������� ��'��

A���� ��� �� �� � �� �� ����� � � �������� ����������� ���������� ����� ������� �� ���� ��������� %��� � ������ �� ������������

!� ��� ������ ����� � ��� � ����� �� �� # ���� � � � �� ����������� � � �� ����� �������� �����# ��� ��� ������ �) � � ��� � �����������# ���� ��� �������� ��� � ����� � � � ������ <��� �) � ��)# � ��� ��� �) ���� �� 2 �2 � �� .�� � ���� ���

�� <��� �2 � � ��� 2 �

(� <��� �) � 2 ��� )�

�� ,��� �����# ��� ��� ���� �� � ���� ��. ���� ����� ��� �������������� =� ����# ����� �2 � � ��� �) � 2 � ���� ���� � ��� ���� �������� ��������

�-�.��� �� 6��� ����

� �

�� � ( �

( ( )�� �) 3

�� �

�� � 3 3

( � 3�� �

2�

��

�� � ( �3 �( �3 3 �

2

�� � ��

��� ��� � �4���� ������� ����� �� � ��� �� ����

�) �

��3)(

�� � �

��!���� %��� � ����

�2 � � ��� 2 �

�����2��

��

'�� ������ � ��������� ����� ���� ��� � 3 3 3

( � 3 )�� �

2� (

��

Page 110: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

��3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

'� ���� ���# � ��� 1��"��% $!&$���!����� '�� ,��� ������� ���� ���������� �� � 3� <� ������� ��� ��� ��� ������ �������# � ,���2 � )� %���# ������ �� � 3# �2 � ) ��� ��� ���� �������# � �����

2� �� � (# �� �� �

2�

<��� ( ������ �����

�) � 2 �

��3)

2

��

'�� ������ � ����������� ��� � ( � 33 �( � )3 3 �

2

2

��

��� � .�� � ����� � &�<# $!&$���!����@ �� � � �� �(�2 � � � )#��� �2 � ��� %��� �� � (��� � � � 3# �� �� � � ��� ��� ������ �

) �

�� �

���

��

������� ��� �� ����������� ���� �� � �� �� ���� �) � �# ����� ��� ��� � �� �� ,�� � ��� � �� ������ ���� ���� ��� � ���� ������� �� �� ��� � � ������� %��� � ����� ���� �������� � ��� ����� ����������� ������ � ������

�� !� � ����� � ����� �) � � ��� ������ ������ �� �� A������ � ���� ��� � ������ � ��� ��������# ��� ��� � �4���� �������

<��� �2 � �

<��� �) � 2

������ ��� ��� ��� ��� ��. �� �������# ��� � ���� �������4������ '��� �) � ��# �) � �2� � �) � �? ��� � ����� �������.��

(� !� � � ��������# �� ����� ������� � ��������� �� �������4������� ��� ��� �-������ ��������# ��� �� ����������� �� � ��� � ����� ���� ��� �� ���� ��� ����� ����������� '�������� � ������ ��� ������ �� ����� ��� �������� ��������

Page 111: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � ���

)� !� � � $6..����< ��� ��$���=� %�+���� �� � ��,��� �� � ��������,��� � )A�) % 3 ��� � ) �� 3�# ���� � ������ �� ������������ ���� ���� �� � ���� !� �

� � ��A

��� � ������� ��� ������� ����� ���� ��� ������ �� ������������'�� ��������� ������ ������ � .�� � �� �����$#6G$ .����%� ���������� ��� ��J���� ������� ��� � �������� ����� �� � ��������,��� � ���� ���� � ��� �������

'� ,�� � ��� � � �� �� ����������� �� �?f?# � ��� ��� �� ����� ��������� '� ��� ���# � ��� ��������� �������� K��� � ����� ������� �������� ���� 5 ��� � � ����� �� ��������� �� ��� ���� �5��5�# ���� � � � ���� � ��$$�&�� ���6 "��� ���F��� ��=��$ ��� �&�����%�1��� ��<� ��" ����������# � ����

,6 � � �,2,�� � 5

7� 5 � ����� �������� ��� ,& � � �� ��������# � � �� (� ��� ���,3�& � � �� ��������# ��

� � ,3�� ,3�

2 � � �,3�6� �� � 5����

wL�ih|h�@?}�*@h� �� �

NTTih|h�@?}�*@h� �� �

'��������#

6��� �� �� � ����� ��� ��� � ����� �� �� ������� ������"��� ������ ��� � ����� � ������� � �� ����� ������������ �� ���� ��� �� ��������� �� ��� ���� �5� �5��

�-�.��� ,� %�� �� �� ����������� ��� ��� ����� ���� &����� ���� � ( �

( ( )�� �) 3

���������

32+�n+2�+�n+�

�� � ( �3 �( �3 �� �

���������

3�

2+2n+�

�� � ( �3 �( �3 3 �

2

�� � �

C������� ,�� ,2# ��� ,�# � ����

,3�� ,3�

2 ,3�� �

�� � 3 3�( � 3�� ��

2�

�� � �

Page 112: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

��(������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

7���� ���� ��� �������� �� ��� ������� � ���� �� �������� ��� ��������� �� !� ����# � � ��� �5� � 5&# ���� �� ���� � ��� �� ��� �� �� �� ������ � ��� ���� �������

C���.�� ��� ��.# � ����

�� �

�� � 3 3

( � 3�� �

2�

��

�� � ( �3 �( �3 3 �

2

�� �

�� � ( �

( ( )�� �) 3

��

�-�.��� /� %�� �� �� ����������� ���

� �

������

� �� 3 3 3�� ) �� 3 33 �� � �� 33 3 �� � ��3 3 3 �� ��

������

��!���� M� 4������� ����������

� �� 3 3 3�� ) �� 3 33 �� � �� 33 3 �� � ��3 3 3 �� �

������ n�+�n+2�������

f+�n+�f+�n+ef+�n+D

������� �� 3 3 33 ( �� 3 33 �� � �� 33 3 �� � ��3 3 3 �� �

������

4vw froxpq ri O ehorz gldjrqdo irup e| qhjdwlyhv ri wkhvh

n �

2n�

2n �

2+2n+��������

f+2n+ef+2n+D

������� �� 3 3 33 ( �� 3 33 3 �

2�� 3

3 3 �� � ��3 3 3 �� �

������

5g froxpq ri O ehorz gldjrqdo iruphg e| qhjdwlyhv ri wkhvh

n2n2n2+�n+e�������nfnfnf+�n+D

������� �� 3 3 33 ( �� 3 33 3 �

2�� 3

3 3 3 �� ��3 3 3 �� �

������

Page 113: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � ��)

6g froxpq ri O ehorz gldjrqdo iruphg e| qhjdwlyhv ri wkhvh

3� +en+D�������

������� �� 3 3 33 ( �� 3 33 3 �

2�� 3

3 3 3 �� ��3 3 3 3 (

������ � �

7wk froxpq ri O ehorz gldjrqdo iruphg e| qhjdwlyhv ri wklv

'��������

� �

������

� 3 3 3 3�� � 3 3 3@ ��

2� 3 3

@ @ �, � 3@ @ @ � �

������

�-�.��� 0� <��� &����� * �� <��� ��) � ���� �� ������������ �4 ��� ����� �� ���� ���,���� ,������

��!���� �� ��. �� � &����� )@�3333� �� ��

�3�fcfff+�n+2��������

�3333� �3 ��3� 333

�� �

���

� 3�3� 333 �

�'��������#�

3333� �3 ��

��

�� 3

�3� 333 �

��3333� �3 ��3� 333

�3333� �� 3

��� ���� ���� ������- ����� � ������ �-����� ��� ��� �� ���� �� � ��������� ���� �� �� 7� � ����

�2 � � �

��3

Page 114: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

��/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

���

�) � 2

%�� �2 � �# � ������ 3 �

�3� 333 � 3

�� �� � �

�2 � ��3� 333

��� ��� �) � 2 #�3333� � �3 ��3� 333 ��3� 333

�� �� � � �� � 3

��� � ��� ���� ��� �� �� ������

&����� / ��� � ��� ���� �� ���������� ��� ���� ���,����� ��� ������ ��������$ ��� ��������� ������ ����� ��� ��.�!��� ��!�����1 ������ ��2�&���< 6$��.$ � 6�&� %������� ��� C�L� A��� �E������4=�# &��� ��� C-�# 7�O�# �B*1��

M����� ����.��# ��� ����� ��� ������ �) � � ���� � ���� ��� �������� "��� ������# ������� ������� �� ����� ������� � ��� ������ �������� !� � � 8 ��� ��9 � ��� ����� ���� ��� ��� ���� ����� ������ ������������� ��� ���� �������� ���� !� � � ����� ��������� �� ��������,��� ��� ���������# ���� �� ����������� � ������ ���� ���������� ���� ��� ��������� ����� �� ����� !� � ��� ����� �) � � ��� �������I� ��� � ��� �� �� �����������# ���� �� ���������� � ��� �������� ����� ������ � � ������ �� ,�� � ��� � ���� ��� ��� � ��� ���� ������ � �4���� ������� �� ���� ��

���4���%������% ����<�$ '���� � � ���� �� ������� ��� ��� �������4<��%������%� !� � � 4���������# �����

�) � �

� �J��� ������ ��� ������ � ������� ����� �� � ��� �������� ��������� %�� ������#

B�� :� � 3::�� 1� � 31

���:���

Page 115: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � ��0

��� ������ � � 3� � � 3�� !� � �������� �� ����� �� 3�3� � ��� ����4�������� ��� ����

B�� :� � 3:�:�� 1� � 3*B

���:�(�

� ,�� ����� ����� ��������� ����

� � �3�0 � � 3(1

�� ��� ���� ��� ����� �� 3�3� � ��� ����4���� ��� �� ���:��� �� �� ������� �� 3��1 ��1 ���� �� ����� �� ��� ����� � �� � ��� �������� �� ��'���� ��� ���� ����� ��������� ��� ����� ������� �� 4����������������� =� ����# ����� ��������� ��� ����� ��� ����� �� ��� �����

���<#��2 ��� ��.�!���G$ ��$"�� '� ��� ������ � �������� ������)UL4T � � ���� ������ �� �) � �# � ���� ������� ��� ��$�%!�� =�<���� ��,��� �

� � �)UL4T ��

��� ������� �� .�2���!%� �555� ��

�2� � �22 � � � �� �2?� !� �555� � $.���# ����� ������ )UL4T �� � ���� �� ��� ����� ������� ����� �# � 555

� 3

����� �# � �555� � 3�# ����

�)UL4T � �� 3

����)UL4T

� �

�M���� �� ����� ����� 8����������� ���� ���9�

6������# �������� ��� ������ ��� ��������� ������ �555� � ������� ������# �555� � 33333�� ��� � � ���� �� �� ���� ��� �������� ����.�� � � ��� ��� =� ����# � � � 4���������# �)UL4T � � ���� ���������� � ��� ���� � )UL4T � ��� ���� �� ��� ������� %�� ������# � ��������� � � �3�0# � � 3(1 �� ���:�(� � �������� �� ��� ������ �� ���:���#��� ������ �

555 �

�B :: 1

�� �3�03(1

���3:31

��

�33�

�33��

7���� ���� �555� � ��33��2 � �33��2

� 33�/� '��� ��� ������ � ���#

�� )UL4T � ��� ���� ��

) �

�33�

Page 116: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

��*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

!� ����#

�)UL4T �)� � � �3�0

3�1

� � 3((1'�� �������� ������ ��� �������� ������� ��� �����@ !� �����

�) � �# � � � 4���������# ����� �������� ��� ��� �� ������ ����4���� 5����� ��������� �� 4��������� ������� ��� � ����� � ������������� ����� �� ����� ���� �� ��.�!�������� ����%$ �1 ������ ��42�&��# � 5�S� %����� ��� Q�7� %������ �%������# <�� %�������# �B*)��

��!$$4��%�� ��������� !� ���� ��������� � ������ ��� ���������#� ������ �) � � ���� � ����� � ��� � � $���$�� � ����� � $���$�� ���� �� �� ������ ��� "����� %�� ������#�

���3 3 � 33 3 3 �� 3 3 33 3 � 3

����

� � ������ ������ �� �� ��� ������� ��� ��� .�$�# �� ������� �������� � �4����� �� ��� ������ �� � ����� � "��� ��� � �� ����� �� �������

6������ ������� � ������ ��� ������� �� ������ �� A��� ����� �� ��������� ������ �� ���� ��# �� ��� �������� ������ ��� ������������ ��� ��� '�������� ������� ����� ���� ����� �� ��� ��� � �������� ���� ��� �������� ��� ������ �������� '�� 6����4<��� ������� ��� �� ������

'�� ��� ���� ��� 6����4<��� ������ � ���������T��������� ��������� �� ���� ��������� ���� ������ ��� ����� ��� ����� �� � ��������� ��� %�� ������# � � ��,��

�?n� ��?(��

�?� � �� (� )�

��� ��� �� � �# � ,��

�2 ���(��

����

(��

(� �0

�� ��2(��

�2��0

(�

�0� �/�***** � � �

�e ���(��

��� 313:))) � 3130::() � � � � �/�/(�0* � � �

Page 117: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � ��1

��� � ��� ���� ��� �������� �� �������� ����� ����� �� � ����� � ���(� !� ����# ��� � ���� �� � 7� ���I� ������ ���� �������# ��� ��� �����

�� ����������� � ����� � ���� ����� �� ������� ������� '�� ���� ����� 6������4<��� ������ � �����

!� ��� 6������4<��� ������# � ������� �� ��� �@ ;��

� �

���� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � ��?� � � � �??

�� ��� �� 3� � �?? �� 3� !� � � ����� �# ���������� �� �� � ��� � ��������� �&& �� 3 ���� ��� ��� ������� ����

� �

�������

��� 3 � � � 3�2� �22 3 � � � 3

� � � � � ����

������

� � � 3�?� �?2 � � � �??

�������

� �� ��

�������3 ���2 ���� � � � ���?3 3 ��2� � � ����

� � � � � ����

3 � � � 3 ��?3�c?3 � � � 3 3

�������

� �� �� $ �

(� ���� �) � � �� �$ � �) � �# ��� �� ��� � ��

$) � � � )

)� ;�� )� � ��� �� � ����� �����# ��� ��,�� ��� ������� ���� �

$)6 � � � )63� � � (� )� /� ���:�)�

'��� �# ���� ���:�)� ��� )6# ���� )63� � ��������� <��� $ ������ �# ���:�)� � ��� � ���� �� 7���� ���� ���� � ��� �������� ���� ���$ � ����22 � � � �?? �� 3 ��� '������ ��1�0 �� � ��� ����������� �� $3� ��� ����� ���� �� �� $) � 2 � '��� �# �����������<�� ��$!��$ �1 �<� ��: ��� !��� !$�1!� �� !$ ��" ��%�=������2 � �!.���<�� .����%�

/� + ����� ��� ������ �� ��� �������� �)?��

Page 118: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

��:������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�-�.��� 8� K�� ��� 6����4<��� ������ �� ����

�) �

�� ( �� 3

�� ( ��3 �� (

��

�����2��

�� �

���3�

�� � �

��!���� L� ���� �#

$ �

�� ( 3 3

�� ( 33 �� (

�� ��� �

��3 � 33 3 �3 3 3

��

;��

)� �

���()

��

��� ��� �� ��� ������� ���� ���:�)� �� � ���

$)2 � � � )� �

���3�

���

��3 � 33 3 �3 3 3

��

���()

�� �

��))�

��

<���� ��� ������� �� ( 3 3

�� ( 33 �� (

��)2 �

��))�

��

� ��� ��� �� ������� ����

)2 �

���

2

b

e

��

H

��� �

�� �0((0�*(0

��

=���� )2# � �� ���� ��� )�@

$)� � � � )2

'�� ������ �

)� �

�� �*(0�*(0�)�(0

��

Page 119: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � ��B

C������� � ��� ��# � ,��

)e �

�� �)�(0�)�(0��0*(0

��

)D �

����0*(0��0*(0�31:�)

��

)S �

���31:�)�31:�)�3)B3*

��

���

)�D �

���333�0�333�0�3333:

��

<��� ��� ����� ������ � �����

��

� ��� ���� ��� �������� )�� )2� )�� � ������ ����� �� ��� ����� ���4����

� ��� ����� ��� ��� 6����4<��� ������ � �� ��� �@

;�� � � ��������# ������ ��,���# �� � ������ ����4�� �������� ��� $ ��� ������ �� � ���# ��� ��������)�� )2� � )?� ��,��� � ��� ������� ���� ���:�)� ����������� ��� ������ �� �) � �# ��� ��6 ����� �� )�� �'��� �# �� ���������# ��� ��� ��� �)6 �)� �������� "�����

'�� ������� ���� ���� � � � �������� ��� ������ ��,���# ���&& % 3# � � �� (� � �# ���� ��� 6����4<��� �������� �� ��������������������� �� ��� ������ �� �) � � ��� ��6 ����� �� )�� =� ����# �������� )� � �� ��� ������# ��� ������ ��� �������� )�� )2� ��������� ����� ������� %�� ������# � � &����� � � �����

)� �

�� �)33

(333�033

��

Page 120: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�(3������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

� ��� ���� �� ������� )2� �� ���� �� ���������� ������ ������� ��� ��� ������� ���� !� ����# � ��� ���� � ��� ����

)22 �

���333()�333()�333�1

�� )2� �

���333�(�333�(�3333*

��

<��� ���� �� ��� ������ ������� � ��������� ������ ��� ������������ ��� �������# � � �� �������� ������ '�� ����� ������� ������� ��� � ���� ��� ���������

� ��������� ��� ��J���� ������� ��� � $6..����< ��� ����� �� ������� ��,��� �

��� % 3

���

���� ��2�2� �22

�% 3

���

����� ��2 ����2� �22 �2���� ��2 ���

�� % 3

���

���

���� � � � ��?� � � � � � � � � � � � � � ��?� � � � �??

�% 3

�-�.��� 9� <�� ����

� �

�� ( �� 3

�� ( ��3 �� (

��

� ������ ��,���� 7��� ���� � � ���������

��!���� <��� ��� � ( % 3 ���

���

�( ��

�� (

�� ) % 3 ��� ���

�� ( �� 3

�� ( ��3 �� (

�� � / % 3

����� � � ������ ��,���� <��� � � �������� ��� ������ ��,��� �������� ������ ������# � ��� ��� ���� ��� 6����4<��� ������������� &����� 0 ��� ���������� �� ���������

Page 121: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � �(�

+���� ������� ������� ���� ��� ����� ��� 6����4<��� ������ ����.� ��� �������� )�� )2� � )?� �������� ��� ������ ���� ���.����� 6����4<��� ����� +�� ������ ��� � ��������� �-����� � ���$!<<�$$�=� �=������-����� �<+M�.����%� '�� <+M ������ � �������� ���� ����� �� ������� �������

)��&��.$ ��;� �� %�� ��� ���J���� ������� ���� E�� �� 0# *# ��� 1 ��<��� ��)# ������� �� �������������

(� <��� ��� ������ � E�� �� 0# *# ��� 1 �� <��� ��) � ���� ��� �������������

)� !� ��� � ������ ���� � � ����� � ������ �� 4������� �������#���� ��� 6����4<��� ������ ��������� � ����� �?f? � $���<��6��"4%��2�����6 %�.����� �<M5� � ��� � ����� ���� �� ��� ������������ � ����� �� � ������� ���� ��� ��� �� ��� � ����� ����� ����� ����� ������� � ��� ���� �� � %�� ������#�

� �) � 30 �3 (

��BB ( �/

��

� <M5 ����

� � )� % ���� �3���3� % �0�� �(�

� � /� % � � �BB�� �(�

5������� ��� �� ��� ��� �� ������� ��� <M5�

���

�� ( �� 3

�� ( ��3 �� (

�� �&� ��� ������ �����

�<� ��� �.� 4�������� ����� �%�

����

) � 3 �� / �( 30( ( * �

�0 �* � �0

����

/� !� ��� ��� �� <M5 ������� <M5�

0� !� ��� ������� <M5 ������� <M5�

Page 122: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�((������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

*� !� ��� ������ �� �� <M5 ����� <M5�

1� <�� ����

� �

�� � � ��( ) �0) 0 �B

��

��� �� �� ������������ �7���@ � � ��������

:� ���� ��� 6����4<��� ������ �� ��� ��� �� ��������

���

����

/ �� 3 ���� / �� 33 �� / 3

�� 3 3 /

����

�������2���e

���� �

����(())

����

K�� )f � 3� �'�� � � ���4���� ������ �� ��� ��� ����� � ������-������ ����������

�&�

�� ) �� 3

�� ( ��3 �� (

��

�����2��

�� �

�� �

0�*

��

A���� � � ��� ���� <M5� =� ����# � � ������ ��,��� �� ������������ �������

B� �� .�� ���� ��� 6����4<��� ������ ��. ��� �) � � � �� <M5 �� � � � �������� ������ ��,��� �� ������ �������������

��� 6�� (� ( ��� )� ) ������� �� ������� ��� ��� <M5 �� ������ ������ ��,��� �� ������ ������ �������

�&� 6�� (�( ��� )�) ������� �� ������� ��� ��� ��� <M5 ����� ������ ��,��� �� ������ ������ �������

�3� <�� ���� �� ����� � ����� �?f? ��� � �� 4�������� ���� �# ������ �22� � �?? � ���"���# ���� � � � ����� ���� � ������ � �� ������������ �'���@ !� �� �� ���������� ��� ��.� �&& �� 3 ��� �����# ��� ��� ��� ��� � ��� ����� � ��� ������

��� 6��# � ��������# � � �-����� �� ������������ ��� (# ����� ���� �� ���� ��� �� ����������� ��� � ����� � ��� ����� ������������ ���������� ��� ��� �� ��� ������ �� � �� � �

Page 123: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � �()

� ��

'�� ,��� ��� ���� ��� ��� �� �� ���� ��� �� � ����� ������� �� ������������� ���.������� �1 =����&��$ � � ������ ��� ����� ���� ����4���� ��� ��� � ���� � ���� �� ��������� �� � ��������� ����� ������ �� �������� � ����� � ���� � ��������# ��� ���������� ����!�%�D ����� � ������������ '�� �������� �� ������� ��=����2 ���������� ��� ���������� �� ������- ����� � ��� �������� �� ������� �������� �� ���� ��� ' � ����� ������� ������� ��"� ��� �� %�4<�.��$����� ��� ��!$$4��%�� ����������

����<�$ ��� ���� �� ����� ���J����� ��� ����4���� ���� �� ��������� ���� �������� �� ���� ������� �� ���� �� ���� � ������ ��� � �������� ��� ��!$$��� ���.������� �� �� ��" �<����� 1��.$ �� �������#��� 6����4O����� ������� �� ��%!<�% �� ������ ������ '�� ����������� ��� ��� �������� �������� ��� ���� ����������� �� �� �� �������������� � ��� ��� ������ �� ���� ��������� =� ����# ��� ���� �� ������������� �� ����� � ��� �������� ��� ������ ��.����- ��2�&��� !� ���4�����# ��� ���� �� .����- .!������<�����$> %����.�����$# ��� .����-��=��$�$ ��� �������� ��������� A�������# $��<��� .����<�$ ���� ���%�����6> F���> �����2!���# ��� $6..����< ������� ��� ����������

'�� ������ �� ���� �������� �������� � ��� �� ��� � ������"���� ��� �@

;�� �6f? ��� �?f� � �����

�� ;�� � � �$ ���� �# � � ������� '��� �) � � ��� � ����� ������� ��� ��� � �3� �����$ �) � � ��� � ����� ������ � ��� ���� ���� �� 3$ ��� �) � � ��� � ����� ������ � ��� ��� � � ��� 4�������� �� (�

(� ;�� � ��� � 3� !� � � �# ���� �) � 3 ��� � ������� ������ ���� ��� � ���� � 3� !� � � �# ���� �) � 3 ��� � ������� �������

'�� ������ ���# �� ��� ���� ����������# ���� ��� � �� �� ���� �����.�2����!$ ��� �����.�2����!$ ������� �� ���� �������� � � 4������ ��������� �� ���� ��� ���� �������� ��� ��� �� ���� ��� ���A������ ��� �� �������� ��� �� ������������ �� ������ ������������� ������� ��� ���� � ����� ����������� � ������ �� ���������������� � ���� � C���� (# � ��� � ���� � ��� ���� �� �����#������ � G������ ��� � ���� ������ ������ ��� C���� )�

Page 124: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�(/������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

���������� )�����

�� 6��� � ������ �� ���� �������� ��� ��� � ����� ������# ������ � ��� ��G�� ������� ������� �� ���� ��� ������� ������ ��� ���������

(� 6��� � ������ �� ���� �������� ��� ��� � ����� ������# ������ � ��� ��G�� ������� ������� �� ���� ��� ������� ������ ��� ���,��� ��� �� �� ��������

)� !� � ��������� ������ �� ���� �������� �?f?)?f� � �?f� ��� � ���� �� � ��� ������# ���� ) ���� � ��� �������

/� !� ��� ��������� ������ � E�� � ) ��� � ��� � �� � ������������ �� ���"��� ������� �����# ����) ���� ������ �� ���"���������� ������

0� !� � ��� � ��� ����� �# � � � �� ����� �� ���� � � ��� � ���������� �� � ����

*� � ����� �?f? �������� �?f? � ��� � ��� ��� � �� �# ��� � ��� ���� � ��� � � �� !� � � �# ���� � � ���� ���� �2 � �2� ���� � ������� � � 3�

1� !� � � �# � ���� � �����

:� � ������ ����� � � ��� �� ���� � ��� ������ ���� � ����� ����� ������ � ����� ���� ���� � � �2� %�� ������# ��� ( ��� �( ��������� ����� �� (� 6�� �� ������ �� � ��� ����� ��� ��� �� ��������� ����� !� � ����� ��� � ��� ������ ����# ��� ��� ��� ��� � ����� ����������� !� � ����� ��� � ������ ������# ���� � ���� � ��������� �����

B� ;�� � � �� �� <�� ���� ��� (?� ��� ��� (?� ��������

�3� ���#��2 �1 <�.�������$� <������ � ���� � ��� �� �� ������4���� ��� � ��"�� �� ��� ��� ����� � �� ��������� ������ ��� ����������� � ������ ��� � � ��� ��� � 3 � ��������� � � ������������ ��������� �� �� ��� ��� � 3� A���� � � ���� � %�.����<�

Page 125: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

� �� ��� �� ��� � ��� ���!����� ������� � �(0

.����-� <� � � ���� ����� ���������� �� � �������� ���� (# )�������� ���� �# ��� ( �������� ���� )# � ���� ��� �������� �����

� �

��3 � 33 3 �� 3 3

��

!� ������# ��� � ���������� � � ����

4 � ���2 � � � ���?3�

���� ��� ��� �� �� � �� 4 � ���� ��� ��"�� �� ��������� �� <� ������ ���������� � ���# � ���� 4 � � � �2� <�� ���� ��� �� �� ������ ������ � ���� �� ( ��� ��������� ��������� <�������� ���� � ���� ��� ����� ���������� �� � �������� ���� (# ��������� ���� )# ��� ) �������� ���� (� C������ ��� �� �� �� ��������������

��� %��� ������� ��� �� ������� ��� ��� ��� ����4���4� �����������'�� �������� ����� � ��������� ���� ���� �������$ � � ������������ ����� ( �� )# ( � �������� ���� /# ) � �������� ���� (# ��� / ��������� ���� ����� � �� )� C������ ��� �� �� �� ���� ���������#��� ������ � �����

�(� %�� ��� ����� �� ������� �� 5� ���� � %�� E���(� ��� ����� �

� �

�� 5�

3 �

%�� ��� ����� � %�� E���(& ��� ����� �

� �

�� � 3�

52

��

!� ����� ������ ��� ��� �������� � ��� ����� � ���� � ���� ��� ������# �� � %�� E���(<# ��� ����������� ����� ��� ��� ��� ��� ��4��� � ��� C������ ��� !� � ��� ����� ��� ��� ����� ��� � �%�� E���(%�

Page 126: ˘ˇ ˆdallen/linear_algebra/chapter1.pdf˛˚+˚˛˚!.&˜1$˜˝!˛˜˚$ ˛ ˜ %ˆ # ˙ ˝3 ˝3 ˝3 ˝3# ˙ ˝3 ( ˙( ˝3 ˝ˇ ˝ ˇ# ˇ ˛ ˇ ˝3# ˜ % ˆ

�(*������� � ���� � ������ � ��� ������ �������

�)� M������� E�� � �(# ������� ��� ���� ��� ��� �������� � ��� ������ ���� � ���� ��� �� ����� '�� ����������� ����� ��� ��� ������ ��� !� �� � ��� ���� ���� ��� ��� � ��� ��� � � ��� ���������� ��� ���� ���������

�/� ��������� �� ���� ��� ���������� � � ����� ���� � $<�������2.����- 4� !� � �� ��� ����

4 � ��� (���� (�3�

'�� ������ ��� ��� ��������� � ������� ��� �������� �� � ���� ���G������# ��� � � ��������� <�� ���� 4 � ���������

�0� !� ��. ���� �� (�( ����������� ������� ��� ��������� � �����#�� � %�� E���0 ���� ��� ����� �� ��� ��� ��� ����� � � � ��C������ ��� ����� �� ��� �����# ���� � ��� � ���� E�� � �(� �������� ��� ����������� �� ����� ������ ��� � ��� ��� ������������� ����� �������