The Upper Envelope of Voronoi Surfaces and Its Applications

המעטפת העליונה של משטחי וורונויואפליקציות הקשורות אליה

נכתב ע”י:

Daniel P. Huttenlocher

קלרה קדם

מיכה שריר

במה יעסוק המאמר: משטחי m. נדון במבנה של המעטפת העליונה של 1

וורונוי:

א. נקבע חסם על מספר הקודקודים )הסיבוכיות של המעטפת(.

ב. נספק אלגוריתם מספק לחישוב הקודקודים.

. נדון בשני מיקרים:2

)דו-מימדי(. R2 קבוצות של נקודות ב-m א.

.R2 קבוצות של סגמנטים ב -m ב.

מוטיבציה

המעטפת העליונה של מספר משטחי וורונוי המוגדרים כל אחד לקבוצה שונה של מקורות , יכולה לעזור בפתרון

מינימלי בין שתי Hausdorffהבעיה של מציאת מרחק קבוצות נקודות או סגמנטים.

נבנה את המעטפת העליונה של משטחי וורונוי 1במימד

1דיאגרמת וורונוי במימד

)d)x(=min P)x,p להיות:Sנגדיר את משטח וורונוי של קבוצה pS

x

y

את המעטפת העליונה)f)xנסמן ב-

סימונים

S={pj | j=1,…,n}.)קבוצה של מקורות )נקודות או סגמנטים -

Vor)S( דיאגרמת וורונוי של קבוצה - S.

m=|{Si | i=1,….,m}| מספר הקבוצות של -המקורות.

ni=|Si |, i=1,….,m-מספר המקורות ב -Si .

n= ∑ni- סה”כ המקורות

p1

p2

p3

p4

p5

xMin P(x,q)

d(x)

S={p1,p2,p3,p4,p5} מקורות במישור

שתי אבחנות:. x=pj( כאשר 0 הוא בנקודת מינימום מקומית )השווה ל-x(d. המשטח )1

הוא בנקודת מקסימום מקומית עבור נקודות x(d. המשטח )2 .S(Vorהנמצאות על גבול התאים של )

Sהגדרנו את משטח וורונוי של קבוצה להיות:

d)x(=min P)x,p(pS

R2קבוצת נקודות ב- קבוצות של נקודות במישור.mאוסף של S1 ,…., Smיהיו

משטחי וורונוי mנחשב את הסיבוכיות של המעטפת העליונה של (di)x.

, ,כאשר המקור הקרוב x0בהנתן נק’ מאשר המקור x0 , רחוק יותר מ- Si(Vorב- ) x0ביותר ל-

.Sj(Vorבכל דיאגרמה אחרת של ) x0הקרוב ביותר ל-

f)x0(=di)x0(

אבחנה :

.)f)x(=max di)xכלומר: i=1,..,m

P

F

F -תא ב –Vor)Si( המוגדר ע"י p.

שבו )Si(Vor לקבוע את החלק )יתכן ריק( ב-1נשתמש באבחנה מס' f)x(=di)x( . האיחוד של כל החלקים הללו מכל התאים בכלm דיאגרמות וורונוי, .)f)x של כל המשטח xyמגדירות את ההיטל-

p

f)x(=di)x( שבהם מתקיים - Fהחלקים ב-

F

Vor)Si(ב- qהתא של

Qj1Qj2

q

Vor)Si Sj(ב- qהתא של

.j עבור כל Qj F נשים לב ש-

Q = Qjj≠i

:למה

עבור )x(di שווה ל- )f)xהמעטפת העליונה xF אמ"ם .xF-Q

Qj1

Qj2

x

p

x

y

q

Qj2

Qj3

Qj1

γ3)σ(=max γj)σ( J=1,….,m

σ

γ1)σ(

כפונקציה Qנייצג את פולרית.

(r, σ)מאחר וכל תא הוא בצורת כוכב , ניתן להציג קורדינטות פולאריות כגרף המיוצג ע"י הפונקציה Qj הוא הראשית ולהתייחס לגבולות של qכש-

γj)σ( = r.

max γj(σ) = r

ji – מספר הצלעות של Cjנסמן: Qj.

CF=Cj.

הוכחה:

, הצלעות בדיאגרמה הם סגמנטים בכיוונים 2Lעבור דיאגרמות וורונוי המבוססות על שרירותיים. מכיוון שכל שניים מהם נחתכים לכל היותר פעם אחת , אזי שפת האיחוד

.O)CF)CF(( [16]שלהם היא מסיבוכיות

4 , גבולות התא מכילות סגמנטים רק ב-L ו-1Lבמקרה של ] אנחנו 6 ע"י שימוש באלגוריתם הפרד ומשול לחישוב שפת האיחוד [כיוונים.

משפחות הסגמנטים ע"מ לקבל מעטפת עליונה שסיבוכיותה ליניארית 4משלבים את .CFל-

: למה

, CF לינארית ביחס ל- Qהסיבוכיות של שפת האיחוד של . L ו-1Lעבור דיאגרמות וורונוי המבוססות על

.L2 עבור ))O)CF)CF והיא

, עבור כל Qj– מספר הצלעות שיוצרות את N=F CFיהי תאי וורונוי בכל הדיאגרמות.

למה:

N = O)mn(.

הוכחה:

ע"מ ליצור )SiSj(Vor ניקח את כל הדיאגרמות )Vor)Siעבור . מספר )Vor)Si אשר בכל תא של -יםQjאת כל הגבולות של ה-

.)ni+nj(O הוא )Vor)SiSjהצלעות עבור כל

= O)nim+n( CF(( = ni+nj) : ונקבלjiנסכום עבור כל

O) נסכום עבור כלSi,i=1,…,mונקבל : iO)mni+n( = O)mn+i)mni(( = O)mn(

:משפט

הסיבוכיות של המעטפת העליונה של קבוצות של mמשטחי וורונוי , המורכבת מ- מקורות היא nנקודות במישור ועם סך של

O(mn) -ב L1 -ו L.

.L2 כשמשתמשים ב-O(mn(mn))והיא

y0

y0 –2)H-δ(2)H-δ(

2H 2H 2H 2H 2H

2)H-δ( 2)H-δ( 2)H-δ( 2)H-δ( 2)H-δ(

נראה כי מספר הקודקודים במעטפת העליונה .))mnשל משטחי וורונוי היא במקרה הגרוע

נוכיח בעזרת :בנייה

.f(x)חישוב המעטפת העליונה .)f)xנשתמש במשפט הקובע את הסיבוכיות של

שלבים בסיסים:2האלגוריתם עוקב אחרי הבניה הזו, ויש בו

עבור )Vor)SiSjמחשב את "דיאגרמת הזוגות" 1.1ijm.

.Q , מחשב את הגבולות של Si בכל qעבור כל מקור 2. ,מכיוון שהגודל של כל ))O)mn log)mn, לוקח זמן של 1שלב .)O)mnהזוגות הוא

, q [17] עבור כל מקור )O)CFlogCF, לוקח זמן של 2שלב

כך שעבור כל המקורות של דיאגרמות וורונוי , ובהתחשב בכך ש- FCF=O)mn( מתקבל הזמן הרצוי O)mn log)mn((.

.f(x)מציאת המינימום המקומי של

, ויהי q המכיל את )Vor)Si תא ב-F מקור כלשהו, ויהי qSiיהי Q האזור סביב q.כפי שהגדרנו קודם

, נמצא על השפה xF-Q עבור )f)xאזי, המינימום המקומי של .Qשל

Qj,1Qj,2

x

p

בלי עלות )f)xומכאן שניתן להשיג את המינמום המקומי של נוספת.

q

F

x

q’

q על x היא הנק' הקרובה ביותר’q-ל

F – Vor)Si) ב- q התא של

Qj,3

Qj,2

Qj,1

qj,1

qj,2

qj,3

q

Sjסגמנטים מ -

F

Q

q*

x

qq’

qj,l

A Voronoi cell of a “line segments Voronoi diagram” has the weak star shape property .

Qj,3

Qj,2

Qj,1 q

f)x( = di)x( for x in F iif x in F – Q Q = U U Qj,l

The combinatorial complexity of the boundary of Q is O)cα)c (( for L1, L∞ and O)c 2^α)c (( for L2 .

Metric Combinatorial complexity of the upper envelope

time

L1

L∞

n^2 α)n( n^2log n

L2

n^2*2^)α)n(( n^2 α)n(log n

AB

a1

a2a3

b1

b2

b3

B לנקודה ב - a1 המרחק הקצר ביותר - מ

h)A*,B*( = המרחק הגדול ביותר מבין המרחקים הקצרים

AB

H(A,B) – Aשאינן קרובות לנקודות ב - B גדול,מכיוון שיש נקודות-ב

D(A,B) – Aלנקודה ב- B קטן,מכיוון שיש העתקה שמקרבת כל נקודה-ב

H

D

A B

h)A* , B*( = max min ρ )a , b(

H)A,B( = max)h)A* , B*( , h)B* , A*((

D)A,B( = min H)A , B ⊕ x(

ai

bj

x

ai

bj

ai bj

ai-bj

x

δi,j)x( = ρ)ai , bj + x( = ρ)ai – bj , x(

Lets define the function di)x( to be the lower envelope of δi,j)x( for a fixed point ai in A and over all bj in B :

di)x( = min δi,j)x( bj ∈ B

d’j)x( = min δi,j)x( ai ∈ A

Si = { ai – bj | bj ∈ B} S’j = {ai – bj | ai ∈ A}

di)x( = min δi,j)x( bj ∈ B

δi,j)x( = ρ)ai – bj , x(

d’j)x( = min δi,j)x( ai ∈ A

di)x( = min ρ)p , x(p ∈ Si

d’j)x( = min ρ)p , x(p ∈ S'j

f)x( = )max )max di)x( , max d’j)x(( = H)A , B ⊕ x(

min f)x( = min H)A , B ⊕ x( = D)A,B( x x

h)A* , B*( = max min ρ )a , b(

H)A,B( = max)h)A* , B*( , h)B* , A*((

D)A,B( = min H)A , B ⊕ x(

f)x( = max )max di)x( , max d’j)x(( =

di)x( = min ρ)p , x(p ∈ Si

d’j)x( = min ρ)p , x(p ∈ S’j

max)h)A* , B*( , h)B* , A*(( = H)A , B ⊕ x(

di)x( = min ρ)p , x(p ∈ Si

is by definition the Voronoi surface of Si .

To find D between two sets A , B we have to identify the value of x that

minimizes the upper envelope of all Voronoi surfaces defined by the sets

Si = ai -* B and S’j = A – bj .

Example in one dimension

0 1 4A

B2 110

Hausdorff distance = 3

3 3

How do we get this result by using the Voronoi surfaces ???

A = {1 , 4} B = {2 , 11}

0

S’1 = {-1 , 2}

S’2 = {-10 , -7}

S1 = {-1 , -10}

S2 = {2 , -7}

2-1-7-10

)-4,3(

Example in one dimension )cont.(