pgmec · de calor e massa juntamente com o material analisado. neste trabalho, propõe-se um neste...

PGMECPÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICAESCOLA DE ENGENHARIAUNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

Dissertação de Mestrado

DESENVOLVIMENTO DE

FORMULAÇÕES ADIMENSIONAIS

PARA SIMULAÇÃO DA

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E

MASSA NA SECAGEM DE GRÃOS

DANIELLE OLIVEIRA DE ANDRADE

MARÇO DE 2011

DANIELLE OLIVEIRA DE ANDRADE

DESENVOLVIMENTO DE FORMULAÇÕESADIMENSIONAIS PARA SIMULAÇÃO DA

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA NASECAGEM DE GRÃOS

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica da UFFcomo parte dos requisitos para a obtenção do tí-tulo de Mestre em Ciências em Engenharia Me-cânica

Orientador(es): Leandro Alcoforado Sphaier, Ph.D. (PGMEC/UFF)

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

NITERÓI, MARÇO DE 2011

DESENVOLVIMENTO DE FORMULAÇÕESADIMENSIONAIS PARA SIMULAÇÃO DA

TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA NASECAGEM DE GRÃOS

Esta dissertação foi julgada adequada para a obtenção do título de

MESTRE EM ENGENHARIA MECÂNICA

na área de concentração de Termociências, e aprovada em sua forma finalpela Banca Examinadora formada pelos membros abaixo:

Leandro Alcoforado Sphaier (Ph.D.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF (Orientador)

Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Ednilton Tavares de Andrade (D.Sc.)Universidade Federal Fluminense – PGMEC/UFF

Leonardo Santos de Brito Alves (Ph.D.)Instituto Militar de Engenharia – PGED/IME

Agradecimentos

A Deus, por permitir que eu chegasse até aqui.

Ao meu marido, Oscar Piamba Tulcan, pelo apoio, amor, dedicação e muita paci-

ência.

A minha família, pelo incentivo.

Ao meu orientador Professor Leandro Alcoforado Sphaier, pelo crédito, orientação,

ajuda e compreensão.

Aos Professores Ednilton Tavares de Andrade, Roberto Guimarães e aos demais

professores do PGMEC, pelos ensinamentos dentro de sala de aula.

Ao PGMEC, pela oportunidade oferecida para a realização do mestrado.

A CAPES, pelo auxílio financeiro.

Aos amigos Ângelo Lessa, Juliana Basílio e Gabriela Nieva e aos demais colegas

de sala de aula, que contribuíram direta e indiretamente para a conclusão desta disser-

tação.

Enfim, a todos que de alguma forma contribuíram para a realização desta disserta-

ção.

iv

Resumo

O processo de secagem é uma etapa importante na cadeia produtiva de diversos tipos

de alimentos, pois esta operação reduz a quantidade de água contida neles até limites

considerados seguros para a armazenagem, além de prolongar o tempo de conservação

destes produtos agrícolas. Com isso, a modelagem e simulação do processo de seca-

gem tornam-se ferramentas importantes para otimizar o controle da quantidade de água

contida em alimentos, e em conseqüência, maximizar o aproveitamento e evitar as per-

das destes. Para obter uma formulação que descreva o processo de secagem, modelos

físicos e matemáticos tornam-se necessários. Estes envolvem a transferência acoplada

de calor e massa juntamente com o material analisado. Neste trabalho, propõe-se um

modelo matemático para descrever a transferência de calor e massa no processo de

secagem de grãos esféricos sem haver variação da geometria dos mesmos. A mudança

de fase envolvida na secagem é modelada considerando adsorção física de água. O

modelo resultante é um sistema de equações diferencias parciais que constituem um

problema de valor inicial para determinar a variação da temperatura e o teor de água no

grão, assim como na corrente de ar de secagem, em função do tempo e da posição do

grão. Além do modelo, parâmetros adimensionais relevantes ao problema de secagem

foram introduzidos. Faixas de valores para estes paramêtros foram determinados a par-

tir de dados na literatura. Após a adimensionalização, o modelo proposto é resolvido

numericamente, utilizando o Método Numérico das Linhas com discretização espacial

utilizando volumes finitos. Foram realizadas simulações com diferentes condições de

secagem aplicadas no modelo proposto.

Palavras-chave: secagem; grãos; transferência de calor e massa; adsorção.

v

Abstract

Drying is an important process in the production chain different kinds food, since this

operation reduces the amount of water contained in them to limits considered safe for

storage, and also extends the shelf life of these agricultural products. Thus, modeling

and simulation of drying processes becomes important steps in controling the amount

of moisture contained in grains, there by maximizing recovery and preventing losses.

To this end, physical and mathematical models become essential tools for describing

drying of tools. These involve coupled heat and mass as will as phase change, in the

analyzed material. This work proposes a mathematical model to describe heat and

mass transfer in the drying of spherical grains with no change in the geometry. The

involved phase change is modeled considering physical adsorption of water. The resul-

ting model is a system of partial differential equations that constitute an initial-value

problem to determine the temperature and concentration of water variation into the

grain, as well as the current of drying air, as a function of time. In addition dimen-

sionless parameters, relevant to the studied problem are introduced. Range for this

parameters were evaluated based on literature. After dimensionless the formulations,

model is computationly solved using the Numerical Method of Lines with finite vo-

lume discretization. Simulations were then conducted with different drying conditions

applied in the proposed model.

Keywords: drying; grain; mass and heat transfer; adsortion.

vi

Sumário

Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv

Resumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

Abstract . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi

Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiv

1. Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Revisão Bibliográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2. Formulação Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1 Hipóteses Simplificadoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Volumes, Porosidades e Concentrações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Concentrações em Base Seca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Fluxos de Massa e Calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Balanço de massa para um grão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.6 Balanço de energia para um grão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Médias volumétricas em um grão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Balanço de massa para o leito poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.8.1 Balanço de massa para a corrente de secagem . . . . . . . . . . 24

2.9 Balanço de energia para o leito poroso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.9.1 Balanço de energia para a corrente de secagem . . . . . . . . . 26

2.10 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10.1 Condição de entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.10.2 Condição de contorno na superfície dos grãos . . . . . . . . . . 27

2.10.3 Equações resultantes para a corrente de secagem . . . . . . . . 28

vii

Sumário viii

2.11 Relação para Concentração na Fase Adsorvida . . . . . . . . . . . . . . 30

2.12 Condições Iniciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.13 Resumo das equações dimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. Adimensionalização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1 Variáveis adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Relação entre parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Equações da massa e energia para um grão . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Condições de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Balanços de massa e energia para o espaço entre grãos . . . . . . . . . 39

3.6 Demais condições de contorno e condições iniciais . . . . . . . . . . . 40

3.7 Modelos simplificados para difusão no grão . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7.1 Outras simplificações na equação do grão . . . . . . . . . . . . 42

3.7.2 Cálculo de χ e χ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7.3 Simplificação para alta vazão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8 Valores para parâmetros adimensionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.1 Relações para difusividade de massa . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.8.2 Relação entre o coeficiente de transferência de calor e massa . 44

3.8.3 Relações para demais propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.9 Resumo da formulação adimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Solução Numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 Métodos Númericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.2 Método de Volumes Finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2.1 Esquema de numeração de células (ou volumes finitos) . . . . 50

4.2.2 Equações para os grãos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2.3 Equações para a corrente de secagem . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.4 Mapeamento computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Isoterma de adsorção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Sumário ix

4.4 Implementação computacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5. Resultados e Discussão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.1 Casos simulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2 Análise de tamanho de malha para os grãos . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Caso A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.1 Caso A1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3.2 Caso A2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.3.3 Caso A3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.3.4 Caso A4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.4 Caso B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4.1 Caso B1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.4.2 Caso B2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4.3 Caso B3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.4.4 Caso B4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.5 Caso C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.1 Caso C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.5.2 Caso C2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.5.3 Caso C3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.5.4 Caso C4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.5.5 Comparação entre os Casos A, B, C e D . . . . . . . . . . . . . 94

5.6 Validação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6. Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Referências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A. Apêndice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.1 Propriedades de outros alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

A.2 Simulação Caso D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Lista de Figuras

2.1 Configuração dos Grãos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4.1 Malha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1 Distribuição do teor de água na fase adsorvida e da temperatura vari-

ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.2 Distribuição da temperatura e dos teores de água nas fases adsorvida e

gasosa dentro do grão durante a secagem – Caso A1. . . . . . . . . . . 71


ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78


gasosa dentro do grão durante a secagem – Caso B1. . . . . . . . . . . 79


ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80



x

Lista de Figuras xi

5.13 Distribuição do teor de água na fase adsorida e da temperatura variando

com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


gasosa dentro do grão durante a secagem – Caso C1. . . . . . . . . . . 87


ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92



5.25 Validação do teor de água na fase adsorvida com o tempo – Casos A,

B, C e D, respectivamente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

A.1 Distribuição do teor de água na fase adsorvida e da temperatura vari-

ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Lista de Figuras xii

A.2 Distribuição da temperatura e dos teores de água nas fases adsorvida e

gasosa dentro do grão durante a secagem – Caso D1. . . . . . . . . . . 111


ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114




ando com o tempo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116



Lista de Tabelas

3.1 Propriedades Termofísicas da Soja e Dados de Processo . . . . . . . . . 45

3.2 Valores de Parâmetros Adimensionais Calculados . . . . . . . . . . . . 46

5.1 Condições no processo de secagem do grão . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Temperatura no processo de secagem do grão . . . . . . . . . . . . . . 64

5.3 Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso A1 . . . . . . . 65




5.7 Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso B1 . . . . . . . 66




5.11 Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso C1 . . . . . . . 67




5.15 Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso D1 . . . . . . . 68




5.19 Análise das condições de simulação da malha . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.20 Temperaturas para a validação do processo de secagem do grão . . . . 96

5.21 Condições para a validação do processo de secagem do grão . . . . . . 96

A.1 Paramêtros Relacionados aos Alimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

xiii

Nomenclatura

m Vazão em massa líquida

g Taxa de adsorção

Q Vazão de calor

W Taxa de trabalho

U Fluxo de energia interma

E Fluxo de energia

I Fluxo de entalpia

R Constante dos gases ideais

R Raio da partícula

T Temperatura

U Energia interna

K Energia cinética

W Concentração d’água na fase adsorvida

Y Concentração d’água na fase gasosa

Yi Concentração d’água na fase gasosa da corrente de ar de secagem

L Altura do reservatório

b Constante de energia de adsorção

i Entalpia

c Calor específico

u Energia interna específica

p Pressão

t Tempo

x Posição na direção da altura do reservatório

r Posição na direção do raio

xiv

Nomenclatura xv

v Velocidade

k Condutividade térmica

h Coeficiente de transferência por convecção

m Massa

r Razão

q Constante de capacidade de adsorção

Bi Número de Biot

Fi Número de Fick

Fo Número de Fourier

Le Número de Lewis

Nu Número de Nusselt

Sh Número de Sherwood

Cr∗ Razão de capacidade térmica

Vr∗ Razão de capacidade volumétrica

A Área

S Superfície

V Volume

D Difusividade

RU Razão de umidade

NU T Número de unidades de transferências

Vetores e Tensores

j ′′ Fluxo de massa

q ′′ Fluxo de calor

n Vetor normal

Símbolos Gregos

α Difusividade térmica

Nomenclatura xvi

β Constante de expansão dos gases

ρ Massa específica

ζ Tortuosidade

τ Tempo

ε Porosidade

Ω Capacidade máxima de adsorção adimensional

δ Poros fechados

π Poros abertos

γ Coeficiente

ψ Psicrometria

φ Umidade relativa do ar

χ Relação de capacidade térmica

Subscritos

m Massa

h Calor

s Sólido

b Leito poroso

p Partícula

a Ar seco

M Molecular

K Knudsen

v Vapor d’água

i Poros entre partículas

g Gasosa

l Adsorvida

n Normal

Nomenclatura xvii

t Tangencial

k Potencial

e Efetiva

o Inicial

0 Temperatura de referência

R Contorno

v, i Vapor d’água da corrente de ar de secagem

p, a Ar seco à pressão constante

p, v Vapor à pressão constante

f v Forças volumétricas

d w Residência

v s Saturação do vapor

i n Entrada

ap Aparente

sor Adsorção

atm Atmosfera

min Mínimo

max Máximo

Sobrescritos

m Massa

h Calor

Símbolos Sobrescritos

¯ Média

˜ Base seca

+ Global

∗ Quantidade adimensionalizada

Nomenclatura xviii

Capítulo 1

Introdução

1.1 Motivação

Com a expansão da produção de grãos no mundo, o interesse pelo desenvolvimento

de novas técnicas de secagem vêm surgindo, com o objetivo de reduzir os gastos as-

sociados ao processo produtivo, mantendo sempre a boa qualidade desses grãos. Para

isso, algumas recomendações são sugeridas, entre elas, que os grãos sejam colhidos

antecipadamente, visando minimizar as perdas no campo, ocasionados por ataques de

insetos, doenças e microorganismos. Com esta antecipação da colheita, é recomen-

dado que se utilize um processo para diminuir o elevado teor de água contido nesses

grãos para que isto não afete diretamente a vida pós-colheita destes, onde um alto

teor de água pode ocasionar uma deterioração muito mais rápida devido a aceleração

do metabolismo (os grãos são organismos vivos e a sua atividade respiratória varia de

acordo com o teor de água), um processo respirátorio intenso provoca um aquecimento

nos grãos que propicia o desenvolvimento de microorganismos. Daí, o interesse pelo

estudo do processo de secagem.

A secagem pode ser definida como um processo que envolve, de maneira simultâ-

nea, a transferência de calor e massa, resultando na remoção do teor de água por meio

de evaporação.

Em unidades de processamento de grãos esse processo industrial demanda muita

1

1. Introdução 2

energia quando o produto é colhido com alto teor de água, podendo chegar a cerca

de 60% do total de energia utilizado em toda a cadeia de produção do grão [1]. A

otimização do custo desta operação e a preservação da qualidade dos grãos requer um

importante estudo dos processos físicos que ocorrem durante a secagem.

Grãos são constituídos de matéria seca e água, e em sua estrutura porosa encontra-

mos zonas com altas e baixas concentrações de água, além de cavidades que facilitam a

formação e o movimento de vapor de água no interior do mesmo. Em geral, a secagem

de grãos acontece em um reservatório, onde uma corrente de ar passa através de uma

massa de grãos. Neste processo ocorre a transferência de água e energia da superfície

dos grãos para o ar, havendo também movimento de massa d’água e calor, que se dá

por difusão dentro do grão.

Diante da importância que o processo de secagem representa torna-se necessário

um estudo mais aprofundado sobre o mesmo. Hoje, com o uso de modelos mate-

máticos e os avanços computacionais é possível simular este processo com precisão,

permitindo prever o tempo de secagem, a evolução da temperatura e da concentração

de água, tanto no ar como nos grãos. O uso dessas ferramentas é fundamental para pro-

jetar equipamentos mais eficientes sem que haja desperdícios relacionados à energia e

tempo, proporcionando assim uma secagem de qualidade e a preservação de grãos por

longos períodos de armazenamento.

1.2 Revisão Bibliográfica

O processo de secagem é comumente utilizado em unidades processadoras de grãos

para a retirada de água. Uma secagem mal realizada pode ser responsável pelo au-

mento da susceptibilidade à quebra dos grãos e pelo decréscimo na qualidade, além

de poder ocasionar alterações químicas, físicas e nutricionais nos alimentos, segundo

Wang e Brennan [2]. Segundo Puzzi [3], os principais fatores físicos que alteram as

características dos grãos são a temperatura, o teor de água e o tempo. Portanto, os

efeitos indesejáveis podem ser melhor controlados, se a distribuição de temperatura e

teor de água dos alimentos em função do tempo de secagem forem previstas [4].

1. Introdução 3

A secagem artificial ocorre quando um fluxo de ar é forçado através de um sistema

de ventilação a passar pela massa de grãos, removendo a água contida na superfície

dos grãos e gerando um gradiente de umidade no interior do mesmo. Nos processos de

secagem com ar quente a remoção do vapor de água é maior, devido à menor pressão

parcial de vapor resultante, aumentando assim a taxa de evaporação. Uma vez retirada

a água da superfície do grão, reduz-se novamente a pressão de vapor e a concentração

deste no interior do grão, ocasionando uma migração da água do centro para a superfí-

cie, dando continuidade ao processo. A quantidade de calor e massa transferida é mais

acentuada no início, diminuindo ao longo do tempo. Isto ocorre devido a temperatura

dos grãos que se aproxima da temperatura do ar de secagem na entrada da câmara,

reduzindo os gradientes de temperatura. O mesmo acontece com o teor de água, onde

a diferença de concentração de vapor entre os grãos e a corrente de secagem diminui

ao longo do tempo se aproximando assim do teor de água de equilíbrio dos grãos com

o ar de secagem [5].

Conforme Puzzi [3], a água no interior do grão pode estar na forma de moléculas

de água ligadas a grupos moleculares de matéria biológica ou, então, na forma de

grupos moleculares de água líquida ou na forma de vapor no interior de pequenos poros

existentes nos grãos. A água na forma de moléculas ligadas à matéria biológica é muito

difícil de ser removida e acredita-se que durante o período de secagem a água removida

seja a do grupo molecular líquida ou na forma de vapor [5]. Como a distribuição de

água dentro do grão não é uniforme, gradientes de concentrações fazem com que a

água se desloque dos pontos de maior concentração para os de menor concentração.

Muitos estudos tem sido conduzidos para analisar o processo de secagem, no en-

tanto é difícil descrevê-lo com um modelo único e simples devido a complexidade do

processo. Alguns trabalhos [2, 6–11], relacionam a temperatura dos alimentos durante

a secagem com a qualidade final deste produto. Outras pesquisas têm estudado o fenô-

meno de transferência de calor e massa descrevendo matematicamente o processo com

equações diferenciais parciais que não tem solução analítica.

Pavón-Melendez et al. [12], apresentaram uma análise adimensional para a trans-

1. Introdução 4

ferência de calor e massa no processo de secagem. Em alguns estudos são utilizadas

simplificações, desprezando a transferência de calor para descrever o processo de se-

cagem [13–15].

Thorvaldsson e Janestad [16], analisaram a secagem de alimentos de estrutura po-

rosa considerando que há evaporação de água em toda a superfície exposta. Os autores

constataram que, devido à alta porosidade interna do produto, ocorre uma geração de

vapor no interior do alimento que não é desprezível, portanto, a formação deste vapor

deve ser considerada ao formular as equações de transferência de calor e massa.

Em leitos porosos o estudo da transferência de calor e massa é complexo. Segundo

Datta [17], muitas vezes é necessário supor diversas hipóteses para tornar o problema

viável o que pode acarretar negligência na solução do problema abordado. Outras

abordagens sobre modelos de transferência de calor e massa em leitos porosos são

encontrados em Petry [5], Datta [17], Whitaker [18], Luikov [19], Turner e Ferguson

[20], Mhimid et al. [21], Wang e Chen [22], Prommas et al. [23].

Modelos de secagem para materiais porosos podem ser classificados em três dife-

rentes grupos: teóricos, empíricos e semi-empíricos. Modelos teóricos são baseados

em formulações de equações de trasporte de calor e massa e sua posterior resolução.

Modelos empíricos são resultados do ajuste de curvas a partir de valores experimen-

tais e os modelos semi-empíricos utilizam dados experimentais em formulações de

equações teóricas. Em geral, modelos teóricos consideram a resistência interna para

transferência de água como um fenômeno local, enquanto modelos empíricos e semi-

empíricos não consideram estes fenômeno localmente [24].

Os modelos teóricos são interessantes porque permitem simular o decréscimo da

taxa de secagem, que é ocasinado pelo aumento da resistência interna ao trasnporte de

água e a descontinuidade do fluxo de água na superfícice de evaporação [1]. Devido a

complexidade de uma estrutura porosa, o uso de modelos teóricos vêm sendo utilizados

para facilitar a modelagem para o processo de secagem.

Segundo Kahveci e Cihan [24] vários modelos teóricos têm sido reportados, entre

eles: o modelo de difusão molecular, o modelo de Philip e Vries [25], o modelo de

1. Introdução 5

Luikov [26, 27], o modelo de Krischer [28], o modelo de Berger e Pei [29] e desta-

que para o modelo de Whitaker [18, 30] que utiliza a técnica de volume médio. A

maior vantagem desta técnica é que a física do modelo é facilmente compreendida, as

condições assumidas são muito claras e os parâmetros são bem definidos.

No modelo de Philip e Vries [25] considera que o teor de água e o gradiente de tem-

peratura são como forças motrizes no transporte de água. A água pode se transportar

na forma de vapor e na forma líquida. No caso do vapor o transporte atende a equação

da primeira lei de Fick, considerando as diferenças de concentração de vapor no meio.

No caso do líquido, as condições de capilaridade são consideradas e o transporte se

modela utilizando a lei de Darcy. Com base nestes fluxos diferenciados é realizado

finalmente o balanço de massa e energia.

O modelo de Luikov [26, 27] está fundamentado na termodinâmica do não-equilíbrio.

Este sistema indica que quando se tem diferenças de potenciais entre dois pontos, causa

um fluxo de um ponto para o outro na procura de equilíbrio do sistema. Quando ocorre

diferenças de temperatura e teor de água há fluxos de calor e de massa, existindo re-

lações cruzadas entre fatores e efeitos. Os potenciais avaliados podem corresponder

a todas as condições termodinâmicas associadas ao problema, temperatura, pressão e

concentração e cada um desses potenciais podem causar qualquer um dos fluxos, sendo

sua influência maior ou menor para cada caso. Diferenças de pressão dentro do grão

podem causar fluxos de massa.

O modelo de Krischer [28] é uma modificação do modelo de Luikov onde o trans-

porte de água acontece por efeitos combinados de capilaridade e difusão de vapor. É

usado um mecanismo diferente para cada um dos fenômenos de transporte de massa,

água líquida e vapor de água. O vapor de água flui como consequência dos gradientes

de pressão parcial de vapor no ar contido nos poros, enquanto a água líquida atende

aos gradientes de concentração de água líquida no corpo. Finalmente a evaporação do

líquido é modelada a partir da difusão de Stefan.

No modelo de Berger e Pei [29], a água líquida flui por capilaridade em função dos

gradientes de concentração, enquanto o vapor flui através dos poros forçado pelos gra-

1. Introdução 6

dientes de pressão parcial de vapor, sendo representados usando a lei de Fick. O fluxo

de calor no interior do corpo atende a condução de calor e a entalpia de vaporização

da água. Adicionalmente, esclarece que os fluxos de calor e massa no contorno são

escritos em função das diferenças de temperatura e da pressão parcial de vapor entre a

superfície do sólido e a secagem do ar. A diferença com o modelo de Krischer é o me-

canismo de evaporação, que atende as equações de Clausius-Clapeyron e as isotermas

de adsorção.

Este modelo de Whitaker [18, 30] descreve simultaneamente a transferência de

calor, massa e momentum em um leito poroso. A física do problema é bem compreen-

dida, as hipóteses são muito claras e os parâmetros estão bem definidos. Além disso,

todos os mecanismos foram levados em consideração. Para o transporte de massa são

inclusos os mecanismos de capilaridade, fluxo de vapor e gás por convecção, difusão

e evaporação interna. Para o transporte de energia são utilizados os mecanismos de

convecção, difusão e condução.

A utilização de modelos matemáticos tem se tornado uma prática comum na análise

do fenômeno de secagem, principalmente devido ao custo e o tempo envolvidos em

estudos experimentais. Além disso, os modelos matemáticos são ferramentas muito

úteis para o projeto e a análise dos processos de transferência de calor e massa.

Muitos trabalhos encontrados na literatura são baseados em um sistema de equa-

ções diferenciais parciais e muitas simplificações são utilizadas para facilitar a solução.

Para solucionar esse sistema de equações usualmente é realizado uma discretização por

algum método que pode ser: volumes finitos, diferenças finitas ou elementos finitos. A

implementação do método numérico é valioso, pois estima o comportamento térmico

dos alimentos em condições complexas, como as variações de temperatura inicial e

propriedades térmicas não-lineares [31].

Purlis e Salvadori [32] implementaram códigos numéricos para resolver a transfe-

rência de calor e massa acoplados, em geometrias específicas. Balaban e Pigott [7]

utilizaram o método de diferenças finitas em malhas variáveis para solucionar de ma-

neira simultânea as equação de transferência de calor e massa variando os parâmetros

1. Introdução 7

de transporte para estimar a quantidade de água em função do tempo e variações de

temperatura durante a secagem. Murugesan et al. [33] realizaram uma análise de ele-

mentos finitos unidimensional para estudar a variação de temperatura e teor de água

de materiais porosos durante a secagem. Seguindo a mesma linha, Aversa et al. [34]

apresentaram um modelo teórico, utilizando o método de elementos finitos. O objetivo

do estudo foi determinar a influência das variáveis operacionais, especialmente o teor

de água, velocidade e temperatura do ar sobre o desempenho do processo de secagem

sem considerar os efeitos do encolhimento.

Simular o modelo matemático utilizando métodos numéricos requer recursos de

cálculo que crescem em função do número de variáveis a resolver e os critérios de dis-

cretização. Para facilitar este processo são utilizadas ferramentas computacionais que

permitem a solução dinâmica e eficiente deste tipo de modelo, representados por um

arranjo de equações lineares provenientes da discretização. Autores, como Oliveira e

Haghighi [35], apresentaram simulações computacionais onde consideraram duas si-

tuações, a de um e a de dois grãos submetidos a um escoamento de ar, onde analisaram

a influência da velocidade do ar sobre a variação do teor de água do grão. O uso de

simulações computacionais também permite a visualização dos perfis dos parâmetros

relacionados a secagem, como no trabalho de Souraki e Mowla [36], onde apresenta

os perfis de distribuição do teor de água e variação de temperatura de feijão verde,

submetidos a diferentes potências de uma fonte de microondas e diferentes fluxos de

ar de secagem.

Desta forma é importante desenvolver modelos matemáticos para analisar o com-

portamento do processo de secagem de grãos, porque eles permitem estudar o processo

e também minimiza os custos relacionados a energia permitindo manter a qualidade

dos grãos.

1.3 Objetivos

Com base nas informações descritas anteriormente, o objetivo deste trabalho foi de de-

senvolver um modelo matemático para descrever os processos de transferência de calor

1. Introdução 8

e massa que ocorrem durante a secagem dos alimentos tratando estes como meios po-

rosos. O foco principal será no estudo da secagem de grãos, os quais serão modelados

como partículas esféricas com volume constante (isto é, sem encolhimento durante o

processo). Com estas considerações, um modelo unidimensional para a transferência

de calor e massa em grãos será obtido.

Um segundo objetivo foi introduzir e desenvolver paramêtros adimensionais para

as equações de transferência de calor e massa do modelo desenvolvido. Para resolver

o modelo numericamente foi utilizado o Método das Linhas Numérico [37] combi-

nado com o Método de Volumes Finitos para discretização espacial. Para a verificação

foram realizadas simulações computacionais para diferentes condições de secagem e

validação com dados da literatura.

Capítulo 2

Formulação Matemática

Neste capítulo um conjunto de equações que serviram de base para obter o modelo

desenvolvido é apresentado, juntamente com suas respectivas demonstrações mas antes

disso serão definidos parâmetros que são introduzidos no modelo de transferência de

calor e massa.

Neste trabalho, os grãos são modelados como uma esfera porosa que contém uma

quantidade de água. O desenvolvimento do modelo matemático para o processo de

secagem foram analisados casos: para um grão e para o leito poroso. Os grãos estão

agrupados de forma ordenada e estáticos dentro de um reservatório circular e o ar está

passando entre eles.

2.1 Hipóteses Simplificadoras

Para obter o modelo matemático que descreve a distribuição de temperatura e do teor

de água no ar e nos grãos foram adotadas algumas hipóteses simplificadoras, como

segue abaixo:

1. Os efeitos da radiação são desprezíveis, devido a presença de baixas temperatu-

ras;

2. Nenhuma reação química ocorre, nem existem quaisquer fontes de energia den-

tro do sistema;

9

2. Formulação Matemática 10

3. Os efeitos da força da gravidade são desprezíveis;

4. O escoamento no leito poroso (entre partículas) é incompressível e o aqueci-

mento por dissipação viscosa é desprezada;

5. As propriedades na entrada da corrente de ar de secagem são uniformes e a vazão

em massa de ar seco é constante;

6. A queda de pressão ao longo do comprimento axial devido à fricção na superfície

é pequena comparada com a pressão total, tal que, as propriedades termodinâ-

micas não são afetadas;

7. Todos os fenômenos de adsorção são termodinamicamente reversíveis;

8. A difusão axial na corrente de ar é pequena comparada à transferência advectiva,

sendo desprezível;

9. O escoamento através do leito poroso é totalmente desenvolvido, as transferên-

cias convectivas de calor e massa entre a partícula e a corrente de ar podem ser

avaliadas pela utilização de coeficientes convectivos;

10. Os componentes gasosos da mistura de fluidos são tratados como gases ideais

com propriedades constantes;

11. A concentração de ar seco na mistura se mantém constante;

12. O calor específico e a condutividade térmica do adsorvente seco e da água são

assumidos constantes;

13. As misturas de gases (ar seco e vapor d’água) são soluções diluídas (pequenas

concentrações de vapor);

14. As partículas são consideradas homogêneas e isotrópicas;

15. Equilíbrio termodinâmico existe em qualquer ponto entre a água na fase gasosa

e na fase adsorvida;


16. Não há nenhuma influência explícita da transferência através dos efeitos de Soret

1 ou Dufor2 [38].

2.2 Volumes, Porosidades e Concentrações

O problema de remoção de água em grãos envolve o transporte de calor e de massa

dentro de um reservatório cheio de numerosas partículas porosas (os grãos em si),

conforme a Figura 2.1, onde o processo de transferência de calor e massa inicia-se

com a passagem de ar no sentido vertical entre os grãos.

V

Vπ

VsVδ

Vi

Vp

↑ ↑ ↑ ↑ ↑

↑ ↑ ↑ ↑ ↑Corrente do ar de secagem

Fig. 2.1: Configuração dos Grãos

O volume do reservatório V é subdividido, de uma forma geral, em:

V = Vs + Vδ + Vi + Vπ = Vp + Vi , (2.1)

onde os valores anteriores, ilustrados na Figura 2.1, são definidos como:

1 a transferência de massa depende da difusão térmica.2 a transferência de calor depende da redistribuição de massa.


V - volume total do reservatório;

Vi - volume total adjacente entre as partículas;

Vπ - volume total dos poros abertos;

Vδ - volume total dos poros fechados;

Vs - volume do sólido da partícula;

Vp - volume total das partículas.

A soma Vi +Vπ corresponde ao volume vazio total utilizável. Os poros fechados

não contribuem para a transferência de massa e consequentemente (o volume efetiva-

mente útil) se exclui Vδ.

Assumindo que os espaços vazios são uniformemente distribuídos no meio poroso,

podemos definir a porosidade como frações de volume de poros vazios [17], conforme

a equação a seguir:

ε = Vi +Vπ

V, εb = Vi

V, εp = Vπ

Vp, (2.2)

onde,

ε - porosidade total;

εb - porosidade do leito poroso, formado pelos grãos;

εp - porosidade de uma partícula.

Das equações definidas em 2.1 e 2.2, podemos deduzir que a porosidade total está

relacionada com o leito poroso e a porosidade da partícula como:

(1−ε) = (1−εb) (1−εp ), (2.3)

Assumindo que a massa do sólido é uniformemente distribuída, a massa específica

do sólido (correspondendo ao grão seco), que abrange o volume de pequenos espaços


vazios num sólido e os poros fechados, é definida como:

ρs = ms

Vs + Vδ, (2.4)

onde,

ρs - massa específica do sólido;

ms - massa do sólido.

A seguir, a massa específica do leito poroso, e a massa específica de uma partícula

são definidos por:

ρb = ms

V, ρp = ms

Vp, (2.5)

onde,

ρb - massa específica do meio poroso;

ρp - massa específica da partícula.

Das equações 2.3 e 2.4 as massas específicas do leito poroso e da partícula podem

ser expressas:

ρb = ρs (1−εb) (1−εp ) = ρs (1−ε), ρp = ρs (1−εp ), (2.6)

A concentração da fase gasosa é escrita em termos de espaços vazios, excluindo

os poros fechados. Considerando que a concentração da fase adsorvida é definida em

termos do volume da partícula, têm-se:

ρg = dmg

dVg, ρl =

dml

dVp, (2.7)

onde quantidades infinitesimais são consideradas acima.

ρg - massa específica na fase gasosa;


ρl - massa específica na fase adsorvida;

mg - massa na fase gasosa;

ml - massa na fase adsorvida;

Vg - volume de vazio útil.

A fase gasosa é composta do ar seco e vapor d’água, de tal forma que pode ser

escrita como:

ρg = ρa + ρv , (2.8)

e ρa e ρv são as massas específicas do ar seco e vapor d’água, respectivamente.

As equações gerais das massas específicas do ar seco e vapor d’água é dado por:

ρa = dma

dVg, ρv = dmv

dVg, (2.9)

e ma e mv são as massas do ar seco e do vapor d’água, respectivamente.

Para expressar em termos de uma partícula (grão) individual, têm-se:

ρa = dma

dVπ, ρv = dmv

dVπ, (2.10)

enquanto que para os espaços entre grãos:

ρa = dma

dVi, ρv = ρv,i =

dmv,i

dVi. (2.11)

2.3 Concentrações em Base Seca

Como o problema considerado envolve misturas diluídas (pequenas concentrações de

vapor), é comum expressar a massa específica em termos de concentrações em base


seca. Estas são definidas como:

W =(ρl

ρp

)Vp

, Y =(ρv

ρa

)Vp

, Yi =(ρv

ρa

)Vi

=(ρv,i

ρa

)Vi

. (2.12)

onde,

W - concentração d’água na fase adsorvida (dentro dos grãos);

Y - concentração d’água na fase gasosa (dentro dos grãos);

Yi - concentração d’água na fase gasosa da corrente de ar de secagem (no espaço entre

os grãos).

2.4 Fluxos de Massa e Calor

O modelo proposto considera que dentro do grão existem quantidades de água em

formas de vapor e líquida. Quando começa o processo de secagem essa água líquida se

transforma em vapor d’água e sai do grão, não ocorrendo o fenômeno de capilaridade.

O fluxo de massa é composto pelos fluxos de vapor e líquido. Então o fluxo de vapor

na fase gasosa pode ser escrito utilizando a Lei de Fick.

j ′′v = −Dg εp

ζg∇ρv , (2.13)

onde,

j ′′v - fluxo de vapor na fase gasosa;

ζg - fator de tortuosidade (leva em consideração que os poros não são cilíndricos);

Dg - difusividade na fase gasosa.

Este fluxo pode ocorrer devido à difusão molecular e/ou à difusão de Knudsen. A

equação da difusividade na fase gasosa é dada por Ruthven [39]:

1

Dg= 1

DM+ 1

DK, (2.14)


DM - difusividade molecular;

DK - difusividade de Knudsen.

O fluxo de massa na fase líquida (adsorvida) é devido à difusão superfícial e a

fórmula proposta em [40, 41] pode ser empregada:

j ′′l = −Ds

ζs∇ρl , Ds = D0 exp

(−αs

isor

R T

), (2.15)

j ′′l - fluxo líquido;

Ds - difusividade superfícial;

ζs - fator de tortuosidade (leva em consideração que os poros não são cilíndricos);

D0 - difusividade a temperatura de referência;

αs - difusividade térmica;

isor - calor diferencial de adsorção;

R - constante dos gases ideais;

T - temperatura.

Com as definições das concentrações em base seca, é conveniente introduzir esses

parâmetros nas equações dos fluxos de massa:

′′v = j ′′vρa

= −Dg εp

ζg∇Y , ′′l = j ′′l

ρp= −Ds

ζs∇W, (2.16)

onde ′′v e ′′l são os fluxos de massa em base seca.

O fluxo de calor é escrito usando a Lei de Fourier, a seguir .

q ′′ = −k ∇T. (2.17)

q ′′ - fluxo de calor;

k - condutividade térmica efetiva do grão poroso;

T - temperatura.


2.5 Balanço de massa para um grão

Depois de definidos todos os parâmetros, a seguir será apresentado um conjunto de

equações do modelo desenvolvido de transferência de calor e massa para o processo

de secagem dos grãos.

Considerando que a concentração do ar seco permanece inalterada, o balanço geral

de massa para o vapor d’água é escrito para um volume de controle fixo envolvendo

uma partícula:

(dm

dt

)Vp

= m, (2.18)

onde m é a massa total armazenada, m é a vazão em massa líquida e t é o tempo.

A massa total de água armazenada em uma partícula é dado em função da con-

centração de massa na fase gasosa, que é expressa em termos de volume de poros e a

concentração da fase líquida, que é representada em termos de volume total da partí-

cula:

(m)Vp =∫Vπ

ρv dV +∫Vp

ρl dV (2.19)

Para colocar a concentração de massa na fase gasosa, em termos de volume total

da partícula, utilizamos a relação em 2.2 referente a porosidade da partícula.

(m)Vp =∫Vp

(εp ρv +ρl

)dV. (2.20)

O fluxo em massa líquida para dentro de uma partícula é expressa pelos fluxos de

massa, isto é, os fluxos de vapor e líquido:

m = −∫Sp

(j ′′v + j ′′l

)·n dA = −

∫Vp

(∇· j ′′v + ∇· j ′′l

)dV, (2.21)


Finalmente, introduzindo na equação 2.18, as equações 2.20 e 2.21, a seguinte

equação é obtida:

εp∂ρv

∂t+ ∂ρl

∂t= −∇· j ′′v − ∇· j ′′l . (2.22)

Com a introdução das concentrações e fluxos em base seca, as equações que regem

o problema são simplificadas para:

εp∂Y

∂t+ ρp

ρa

∂W

∂t= −∇· ′′v − ρp

ρa∇· ′′l (2.23)

2.6 Balanço de energia para um grão

De maneira geral, o balanço de energia é escrito em termos de um volume de controle

fixo envolvendo uma partícula:

(dU

dt+ dK

dt

)Vp

= Q + W f v + Wn + Wt + U + Ek , (2.24)

U - energia interna;

K - energia cinética;

Q - vazão de calor;

W f v - trabalho de forças volumétricas;

Wn - trabalho da força normal;

Wt - trabalho da força tangencial;

U - fluxo de energia interna;

Ek - fluxo de energia potencial.

A taxa de trabalho realizado no volume de controle é subdividida em trabalho de

forças volumétricas (ou corpo) e trabalho de forças de superfície (normal e tangencial).

Supondo que o aquecimento devido ao atrito no fluido é desprezível e que o efeito


combinado da variação de energia cinética e potencial são desprezíveis, têm-se:

Wt ≈ 0,dK

dt− Ek −W f v ≈ 0 (2.25)

As quantidades remanescentes na equação (2.24) podem ser escritas como:

(U )Vp =∫Vp

(εp (ua ρa + uv ρv ) + ul ρl + us ρp

)dV, (2.26)

onde ua , uv , ul e us são as energias específicas do ar seco, do vapor d’água, do líquido

e do sólido, respectivamente.

Q = −∫Sp

q ′′·n dA = −∫Vp

∇·q ′′ dV, (2.27)

I = U + Wn = −∫Sp

(ia j ′′a + iv j ′′v + il j ′′l

)·n dA =

= −∫Vp

[∇·

(ia j ′′a

)+ ∇·

(iv j ′′v

)+ ∇·

(il j ′′l

)]dV, (2.28)

onde I representa o fluxo de entalpia e ia , iv e il são as entalpias específicas do ar seco,

do vapor d’água e do líquido, respectivamente.

Substituindo na equação (2.24) e simplificando:

εp∂

∂t(ua ρa +uv ρv )+ ∂

∂t(ul ρl ) + ∂

∂t(us ρp ) + ∇·q ′′ = −∇·(iv j ′′v )−∇·(il j ′′l ). (2.29)

onde o fato de que não há movimento de ar seco dentro de uma partícula foi conside-


rada. Então, empregando as relações termodinâmicas:

d(ρa ua) = ρa dia + ia dρa − dpa , (2.30)

d(ρv uv ) = ρv div + iv dρv − dpv , (2.31)

d(ρp us) = ρp dus , (2.32)

d(ρl ul ) = d(ρl il ) = ρl dil + il dρl , (2.33)

dus = cs dT, dil = cl dT, (2.34)

dia = cp a dT (2.35)

div = cp v dT (2.36)

onde pa e pv são as pressões do ar seco e do vapor d’água e cs , cl , cp a e cp v são os ca-

lores específicos do sólido, do líquido, do ar seco e do vapor d’água, respectivamente.

Assumindo a variação da pressão desprezível, o balanço de energia pode ser sim-

plificado, resultando em:

ρe ce∂T

∂t+ (

cp v j ′′v + cl j ′′l)·(∇T ) = −∇·q ′′ + isor g ′′′

sor , (2.37)

onde,

ρe ce - capacidade térmica efetiva;

g ′′′sor - taxa de adsorção;

isor - calor diferencial de adsorção.

Definidos como:

ρe ce = (ρp cs +ρl cl ) + εp (ρa cp a +ρv cp v ), (2.38)

g ′′′sor = ∂ρl

∂t+∇· j ′′l , (2.39)

isor = iv − il . (2.40)

Uma última simplificação leva em conta o fato de que, dentro das partículas, o


fluxo de massa é devido à difusão somente. Assim, os termos de transporte advectivo

associados a esses fluxos de massa são relativamente pequenos e conseqüentemente

considerados insignificantes, levando à seguinte forma:

ρe ce∂T

∂t= −∇·q ′′ + isor g ′′′

sor , (2.41)

Com a introdução da base seca:

ρe ce = ρp (cs +W cl ) + εp ρa (cp a +Y cp v ), (2.42)

g ′′′sor = ρp

(∂W

∂t+∇· ′′l

). (2.43)

2.7 Médias volumétricas em um grão

As equações obtidas dificilmente podem ser solucionadas devido a geometria e a dis-

tribuição de fases na escala microscópica, as quais são muito complexas ou difíceis

de observar. Whitaker [18, 30, 42], introduziu o conceito fundamental de médias vo-

lumétricas para relacionar as propriedades geométricas e físicas em um leito poroso.

Com este método, as equações que são válidas para um lugar específico pode ser es-

pacialmente suavizadas tornando-as válidas em todos os lugares. A média volumétrica

associa um valor médio de um paramêtro avaliado a cada ponto do material poroso.

Afim de facilitar os balanços de massa e energia feitos nas seguintes seções, médias

volumétricas em um grão poroso arbitrário agora são definidas:

ρv = 1

Vp

∫Vp

ρv dV ρl =1

Vp

∫Vp

ρl dV (2.44)

Y = 1

Vp

∫Vp

Y dV W = 1

Vp

∫Vp

W dV (2.45)


de modo que:

ρv = ρa Y ρl = ρp W (2.46)

ua = 1

Vp

∫Vp

ua dV uv ρv = 1

Vp

∫Vp

uv ρv dV (2.47)

ul ρl =1

Vp

∫Vp

ul ρl dV us = 1

Vp

∫Vp

us dV (2.48)

As médias das equações da conservação de massa e energia para um grão resultam

em:

Equação da massa

1

Vp

∫Vp

(εp∂ρv

∂t+ ∂ρl

∂t

)dV = − 1

Vp

∫Sp

( j ′′v + j ′′l )·n dA (2.49)

Equação da energia

1

Vp

∫Vp

(εp

∂

∂t(ua ρa +uv ρv )+ ∂

∂t(ul ρl ) + ∂

∂t(us ρp )

)dV =

= − 1

Vp

∫Sp

(q ′′ + iv j ′′v + il j ′′l ) dA (2.50)

Como o volume da partícula é constante e utilizando a definição de média na par-

tícula pode-se escrever:

Equação da massa

∂

∂t

(1

Vp

∫Vp

(εp ρv + ρl

)dV

)= − 1

Vp

∫Sp

( j ′′v + j ′′l )·n dA (2.51)

∂

∂t

(εp ρv + ρl

) = − 1

Vp

∫Sp

( j ′′v + j ′′l )·n dA (2.52)


Equação da energia

∂

∂t

(1

Vp

∫Vp

(εp (ua ρa +uv ρv )+ul ρl + us ρp

)dV

)=

= − 1

Vp

∫Sp

(q ′′ + iv j ′′v + il j ′′l ) dA (2.53)

∂

∂t

(εp (ua ρa +uv ρv )+ul ρl + us ρp

) = − 1

Vp

∫Sp

(q ′′ + iv j ′′v + il j ′′l ) dA (2.54)

2.8 Balanço de massa para o leito poroso

Assumindo que no espaço preenchido pelo conjunto de grãos só há variação de pro-

priedades ao longo da direção de escoamento (x), o balanço geral para um volume de

controle no leito poroso ∆V=Ax dx, é definido como:

(dm

dt

)∆V

= m|x − m|x+dx (2.55)

onde a massa d’água dentro deste volume ((m)∆V) pode ser escrita como:

(m)∆V = (ml + mv )∆Vp + (mv )∆Vi (2.56)

(m)∆V = ((1−εb) (εp ρv +ρl ) + εb ρv,i

)Ax dx (2.57)

e o fluxo líquido de água (m) para dentro deste volume de controle é dada por:

m|x − m|x+dx = −∂m

∂xdx (2.58)

Substituindo na equação de balanço geral:

∂

∂t

((εp (1 − εb)ρv + (1 − εb)ρl + εb ρv,i

)Ax dx

)= −∂m

∂xdx (2.59)


O fluxo d’água no leito poroso é dada por:

m = ma Yi = (ρa va Ax)Yi = (ρa v εb Ax)Yi (2.60)

a velocidade real do escoamento no espaço entre grãos (v) é dada por:

v = vap

εb(2.61)

onde vap é a velocidade aparente ou efetiva, definida em termos da vazão volumétrica

(V) através da área total (Ax) de escoamento:

vap = V

Ax(2.62)

Fazendo com que a equação (2.59) seja escrita na forma:

(1 − εb)

(εp∂ρv

∂t+ ∂ρl

∂t

)+ εb

∂ρv,i

∂t= −v εb ρa

∂Yi

∂x(2.63)

2.8.1 Balanço de massa para a corrente de secagem

Utilizando a média da equação de conservação de massa da partícula (2.52) junta-

mente com a equação (2.59) gera uma equação de balanço de massa para a corrente de

secagem, que flui no espaço entre os grãos:

εb∂ρv,i

∂t+ v εb ρa

∂Yi

∂x= (1 − εb)

Vp

∫Sp

( j ′′v + j ′′l )·n dA (2.64)

Finalmente, introduzindo as relações de base seca produz o seguinte balanço de

massa:

εb ρa∂Yi

∂t+ v εb ρa

∂Yi

∂x= (1 − εb)

Vp

∫Sp

( ′′v ρa + ′′l ρp

)·n dA (2.65)


2.9 Balanço de energia para o leito poroso

O balanço geral de energia para um volume de controle no leito poroso ∆V=Ax dx, é

definido conforme a equação (2.24) e o seu balanço resulta em:

(dU

dt

)∆V

= (Q + I )|x − (Q + I )|x+dx (2.66)

onde I é a vazão de entalpia, contabilizando a vazão de energia interna e a taxa de

trabalho de escoamento. As quantidades envolvidas nesta equação são dadas por:

(U )∆V =((1−εb) (εp (uv ρv + ua ρa)+ul ρl + us ρp )+

+ εb (uv,i ρv,i +uv,a ρa))Ax dx (2.67)

(Q + I )|x − (Q + I )|x+dx = − ∂

∂x

(Q + I

)dx (2.68)

onde uv,i e uv,a são as energias interna específica do vapor d’água e do ar seco na

corrente de ar, respectivamente.

Substituindo no balanço de energia:

∂

∂t

(((1−εb) (εp (uv ρv + ua ρa)+ul ρl + us ρp )+

+ εb (uv,i ρv,i +uv,a ρa))Ax dx

)= − ∂

∂x

(Q + I

)dx (2.69)

As vazões de calor (Q) e entalpia (I ) podem ser escritas como:

Q = −k∂Ti

∂xAx (2.70)

I = (ia + iv,i Yi ) v εb ρa Ax (2.71)

onde iv,i é a entalpia específica do vapor d’água da corrente de secagem.


Substituindo na equação (2.69):

∂

∂t

(((1−εb) (εp (uv ρv + ua ρa)+ul ρl + us ρp )+

+ εb (uv,i ρv,i +uv,a ρa))) = ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)− v εb ρa

∂

∂x(ia + iv,i Yi ) (2.72)

2.9.1 Balanço de energia para a corrente de secagem

Introduzindo a média da equação de conservação da energia na partícula (2.54), junta-

mente com o balanço de energia dado pela equação (2.72) resulta na seguinte equação:

εb∂

∂t(uv,i ρv,i +uv,a ρa)+ v εb ρa

∂

∂x(ia + iv,i Yi ) = ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

Vp

∫Sp

(q ′′ + iv j ′′v + il j ′′l )·n dA (2.73)

Finalmente, introduzindo as relações de base seca:

εb ρa∂

∂t(uv,a +uv,i Yi )+ v εb ρa

∂

∂x(ia + iv,i Yi ) = ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

Vp

∫Sp

(q ′′ + iv j ′′v + il j ′′l )·n dA (2.74)

2.10 Condições de contorno

2.10.1 Condição de entrada

As condições de contorno na entrada da corrente de secagem, são definidas simples-

mente por:

Ti (0, t ) = Ti i n , Yi (0, t ) = Yi i n . (2.75)

onde Ti i n é a temperatura da corrente de secagem na entrada e Yi i n é o teor de água

da corrente de secagem na entrada.


2.10.2 Condição de contorno na superfície dos grãos

As condições de contorno na superfície externa dos grãos (R) são dadas por:

( j ′′v + j ′′l )·n = m′′R = hm (ρv |R −ρv,i ), em r = R, (2.76)

(iv j ′′v + il j ′′l )·n + q ′′·n = iv,i m′′R + hh (T |R −Ti ), em r = R, (2.77)

onde,

r - posição dentro do grão;

m′′R - fluxo de massa d’água no contorno do grão;

hm - coeficiente de transferência de massa por convecção;

hh - coeficiente de transferência de calor por convecção.

A condição de contorno de energia pode ser simplificada utilizando a condição de

contorno de massa, levando a:

q ′′·n = isor j ′′l ·n + hh (T |R −Ti ) − (iv − iv,i )hm (ρv |R −ρv,i ), em r = R,

(2.78)

Definindo-se a diferença de calor sensível (∆ iv ):

∆ iv = iv,i − iv (2.79)

e introduzindo na condição de contorno de energia,

q ′′·n = isor j ′′l ·n + hh (T |R −Ti ) + ∆ iv hm (ρv |R −ρv,i ), em r = R, (2.80)

onde se pode observar um termo relacionado ao aquecimento de adsorção na fronteira.

Usando relações termodinâmicas, a última equação pode ser escrita como:

q ′′·n = isor j ′′l ·n + h+h (T |R −Ti ), em r = R, (2.81)


onde,

h+h - coeficiente de transferência de calor global.

Este sendo definido como:

h+h = hh +∆ iv m′′

R = hh +∆ iv hm (ρv |R −ρv,i ) (2.82)

Introduzindo as definições de base seca, finalmente, as condições de contorno são

escritas nas seguintes formas:

( ′′v ρa + ′′l ρp )·n = ρa hm (Y |R −Yi ), em r = R, (2.83)

q ′′·n = ρp isor ′′l ·n + h+h (T |R −Ti ) em r = R, (2.84)

onde o parâmetro h+ é escrito na forma:

h+h = hh +∆ iv hm ρa (Y |R −Yi ). (2.85)

2.10.3 Equações resultantes para a corrente de secagem

Substituindo as condições de contorno em r = R para as equações (2.65) e (2.74) re-

sultam nos seguintes balanços de massa e energia para a corrente de secagem:

εb ρa∂Yi

∂t+ v εb ρa

∂Yi

∂x= (1 − εb)

VpAp hm ρa (Y |R −Yi ), (2.86)

εb ρa∂


∂

∂x(ia + iv,i Yi ) = ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

VpAp

(hh (T |R −Ti ) + iv,i hm (ρv |R −ρv,i )

)(2.87)


enquanto a equação da energia é simplificada para:

εb ρa∂


∂

∂x(ia + iv,i Yi ) = ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

VpAp

(hh (T |R −Ti ) + iv,i hm ρa (Y |R −Yi )

)(2.88)

Como as variações de pressão são pequenas, a equação da energia pode ser rees-

crita:

εb ρa∂

∂t(ia + iv,i Yi )+ v εb ρa

∂

∂x(ia + iv,i Yi ) = ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

VpAp

(hh (T |R −Ti ) + iv,i hm ρa (Y |R −Yi )

)(2.89)

Subtraindo a equação (2.86) multiplicada por iv,i de (2.89) fornece:

εb ρa

(∂ia

∂t+ Yi

∂iv,i

∂t

)+ v εb ρa

(∂ia

∂x+Yi

∂iv,i

∂x

)= ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

VpAp (hh (T |R −Ti )) (2.90)

Introduzindo definições de calores específicos:

εb ρa (cp,a +Yi cp,v )∂Ti

∂t+ v εb ρa (cp,a +Yi cp,v )

∂Ti

∂x= ∂

∂x

(k∂Ti

∂x

)+

+ (1−εb)

VpAp hh (T |R −Ti ) (2.91)

Finalmente, como a difusão de calor na corrente de ar é pequena:

ρa (cp,a +Yi cp,v )

(εb∂Ti

∂t+ v εb

∂Ti

∂x

)= (1−εb)

VpAp hh (T |R −Ti ) (2.92)


2.11 Relação para Concentração na Fase Adsorvida

A concentração ρl pode ser expressa em termos da temperatura e da concentração na

fase gasosa utilizando uma isoterma de adsorção. Esta é escrita na forma geral, como:

ρl = ρl (T,ρv ), (2.93)

onde a forma funcional dependerá do adsorvente e do adsorvato selecionados. Uma

relação bem conhecida é a isoterma de adsorção de Langmuir:

ρl

ρb= qm

b pv

1+b pv, (2.94)

onde qm e b dependem da temperatura e da pressão parcial da fase de vapor (pv ),

a qual é diretamente relacionada com ρv . Outra forma é expressar ρl em função da

umidade relativa φ, do ar úmido nos poros do grão:

W ∗ = φ (2.95)

2.12 Condições Iniciais

As condições iniciais para o problema seguinte são dados em termos de concentração

e temperatura:

Y |t=0 = Y0, T |t=0 = T0, (2.96)

Yi (x,0) = Y0, Ti (x,0) = T0, (2.97)

2.13 Resumo das equações dimensionais

O sistema dado pelas equações (2.23) e (2.41), as condições de contorno (2.83) e

(2.84), devem ser resolvidas em conjunto com as equações (2.86) e (2.92), as con-

dições iniciais (2.96) e (2.97), e as condições de entrada (2.75).


Para o grão poroso:

εp∂Y

∂t+ ρp

ρa

∂W

∂t= −∇· ′′v − ρp

ρa∇· ′′l (2.23)

ρe ce∂T

∂t= −∇·q ′′ + isor g ′′′

sor , (2.41)


(∂W

∂t+∇· ′′l

), (2.43)

Para a corrente de secagem:

εb ρa∂Yi

∂t+ v εb ρa

∂Yi

∂x= (1 − εb)

VpAp hm ρa (Y |R −Yi ), (2.86)


(εb∂Ti

∂t+ v εb

∂Ti

∂x

)= (1−εb)

VpAp hh (T |R −Ti ) (2.92)

Condições de contorno na interface entre os grãos e a corrente de secagem:

( ′′v + ρp

ρa ′′l

)·n = hm (Y −Yi ), em r = R, (2.83)

q ′′·n = ρp isor ′′l ·n + h+h (T −Ti ) em r = R, (2.84)

onde:

h+h = hh +∆ iv hm ρa (Y −Yi ). (2.85)

Os fluxos de massa e calor dentro dos grãos, que aparecem nas equações anteriores,

são dados por:

′′v = j ′′vρa

= −Dg εp

ζg∇Y , ′′l = j ′′l

ρp= −Ds

ζs∇W. (2.16)

q ′′ = −k ∇T, (2.17)

Capítulo 3

Adimensionalização

A introdução de formulações adimensionais são importantes porque podemos visuali-

zar a influência de cada parâmetro adimensional nas equações obtida para a transferên-

cia de calor e massa. Neste capítulo, as equações de massa e energia para os grãos e

para o espaço entre eles desenvolvidas no capículo anterior serão adimensionalizadas,

além das condições de contorno.

3.1 Variáveis adimensionais

Nesta seção a adimensionalização é realizada a partir das seguintes grandezas adimen-

sionais aqui definidas. As variáveis independentes, na forma adimensionais são dadas

por:

r ∗ = r

R, x∗ = x

L, t∗ = t

τ, (3.1)

e as variáveis dependente são definidas como:

W ∗ = W

Wmax, Y ∗ = Y −Ymin

Ymax −Ymin, T ∗ = T −Tmin

Tmax −Tmin, (3.2)

Y ∗ = Yi −Ymin

Ymax −Ymin, T ∗ = Ti −Tmin

Tmax −Tmin. (3.3)

Finalmente, os fluxos de calor e massa adimensionais são definidos pelas relações

32

3. Adimensionalização 33

abaixo:

q∗ = −∇∗T ∗, j∗v = −∇∗Y ∗, j∗l = −∇∗W ∗, (3.4)

onde o operador gradiente está adimensionalizado utilizando o comprimento R (raio

dos grãos).

3.2 Parâmetros adimensionais

Algumas simplificações podem ser realizadas através dos parâmetros adimensionais,

apresentados a seguir.

O número de Fick (Fi) representa a taxa de difusão de massa e o número de Fourier

(Fo) é a relação da taxa de condução de calor com a taxa de armazenamento de energia

térmica em um sólido, adimensional do tempo, onde são definidos como:

Fis = D?s τ

R2, Fig =

D?g τ

R2, Fo = α?e τ

R2. (3.5)

onde α?e = k/(ρp cs), D?s =Ds/ζs e D?

g =Dg /ζg .

O número de Biot (Bi), que compara a resistência à transferência de massa ou calor

na superfície de um sólido com a resistência no interior do sólido, é definido em três

diferentes formas, de acordo com as resistências internas e externas ao grão:

Bimg = hm R

D?g

, Bims = hm R

D?s

, Bih = hh R

k?. (3.6)

O número de Lewis (Le) é baseado na razão entre a difusividade térmica e a difu-

sividade de massa, sendo definido em duas formas para a difusão de calor e massa nos

grãos:

Leg = α?eD?

g, Les = α?e

D?s

, (3.7)


e em uma forma adicional para a transferência de calor e massa na corrente de secagem:

Leg = αi

Di. (3.8)

onde αi = ka/(ρa cp,a), representando a difusividade térmica do ar seco.

A capacidade máxima de adsorção adimensional (Ω) é dado pela razão abaixo:

Ω = Wmaxρp

∆Y ρa εp. (3.9)

representando a razão entre a capacidade máxima armazenada na fase adsorvida e a

variação máxima de vapor d’água na fase gasosa (nos poros) de um grão.

Enquanto isto, o calor de adsorção adimensional (i∗sor ) é definido na forma:

i∗sor = isor ∆Y ρa εp

∆T ρp cs. (3.10)

representando a razão entre a energia liberada para provocar uma remoção de vapor

d’água do ar nos poros dos grãos relativo à variação de concentração ∆Y , e, o calor

sensível necessário para provocar uma variação de temperatura ∆T no grão seco.

De maneira similar outro calor de adsorção (∆ i∗v ) é definido, baseado na diferença

de calor sensível ∆ iv :

∆ i∗v = ∆ iv ∆Y ρa

∆T ρp cs, (3.11)

onde a equação pode ser simplificada

∆ iv = iv TA − iv TB , (3.12)

∆ iv ≈∆T cp v , (3.13)

substituindo na equação

∆ i∗v ≈ cp v ∆Y ρa

ρp cs. (3.14)


O tempo de residência adimensional (τ∗d w ) é definido como a razão entre o tempo

de residência (o tempo que leva para uma partícula fluida da corrente de secagem

atravessar todo reservatório) e o tempo de secagem:

τ∗d w = L

v τ. (3.15)

A razão de capacidades volumétricas (Vr∗) ou simplesmente volumes, entre o

espaço ocupado pelos grão e o espaço entre estes resulta na definição do parâmetro

abaixo:

Vr∗ = Vp

Vi= 1 − εb

εb. (3.16)

De maneira análoga, a razão de capacidades térmicas (Cr∗) dos grãos secos (des-

prezando a capacidade térmica do ar seco nos poros) e do ar seco que ocupa o espaço

entre os grãos é contemplada na definição do parâmetro abaixo:

Cr∗ = ρp cs Vp

ρa cp,a Vi= ρp cs

ρa cp,aVr

∗. (3.17)

O número de unidades de transferência1 (NUT) para transferência de massa é de-

finido em termos da vazão volumétrica da corrente de secagem:

NUTm = Ap hm

Ax εb v, (3.18)

enquanto para transferência de calor, este é definido em termos da vazão de capacidade

térmica da corrente de ar (considerado seco) de secagem:

NUTh = Ap hh

Ax εb v ρa cp a

. (3.19)

Um importante parâmetro adimensional é a razão de psicrometria (ψr ), definida

1 paramêtro de uso comum em trocadores de calor.


em [43] e utilizada em [44, 45], sendo dada por:

ψr = hh

hm ρa cp,a, (3.20)

Como mostrado em [44], esta pode ser facilmente expressa em termos dos parâme-

tros adimensionas previamente definidos:

ψr = NUTh

NUTm= Lei

Nu

Sh. (3.21)

onde Nu2 e Sh3 representam os números de Nusselt e Sherwood na transferência de

calor e massa entre grãos e a corrente de secagem.

Dois últimos parâmetros podem ser definidos combinando as razões de capacidades

térmicas e volumétricas e o tempo de residência adimensional.

V∗r = Vp

/τ

Vi= Vr

∗τ∗d w , (3.22)

C∗r = cs mp

/τ

cp,a mi= Cr

∗τ∗d w . (3.23)

Os parâmetros anteriores, denominados razão de taxas de capacidades (volumé-

trica e térmica, respectivamente), são utilizados em outros trabalhos na literatura [44–

47].

3.2.1 Relação entre parâmetros

A razão entre o número de unidades de transferência de massa e o tempo de residência

adimensional resulta em outros parâmetros, como mostrado abaixo:

NUTm

τ∗d w

= Ap hm

εb Ax v

v τ

L= Ap hm

εb Ax

τ

L

D?g

R2

R

D?g

R = Ap R

εb V

D?g τ

R2

R hm

D?g

, (3.24)

2 relação entre a transferência de calor por convecção e por condução.3 relação entre a transferência de massa convectiva e difusiva.


que resulta em:

NUTm

τ∗d w

= Kr Vr∗ Fig Big , (3.25)

onde Kr é uma razão geométrica, definida por:

Kr = Ap R

Vp, (3.26)

que para partículas (ou seja, grãos) esféricas resulta em:

Kr = (4πR2)R

4/3πR3= 3. (3.27)

De maneira similar ao exibido anteriormente, a razão entre NUTh e τ∗d w fornece:

NUTh

τ∗d w

= Ap hh

εb Ax v cp,a ρa

v τ

L= Ap hh

εb Ax cp,a ρa

τ

L

k

ρp cs R2

R ρp cs

kR =

= Ap R cs ρp

εb Vcp,a ρa

α?e τ

R2

R hh

k= Kr Cr

∗ FoBih . (3.28)

3.3 Equações da massa e energia para um grão

Substituindo as variáveis dependentes e independentes na equação da massa e introdu-

zindo a definição dos parâmetros adimensionais:

εp∆Y1

τ

∂Y ∗

∂t∗+ ρp

ρaWmax

1

τ

∂W ∗

∂t∗= −∆Y

D?g εp

R2∇∗· j∗v − Wmax

D?s

R2

ρp

ρa∇∗· j∗l (3.29)

∂Y ∗

∂t∗+Ω ∂W ∗

∂t∗= −Fig ∇∗· j∗v −ΩFis ∇∗· j∗l (3.30)


Substituindo variáveis dependentes e independentes na equação da energia:

ρe ce∆T

τ

∂T ∗

∂t∗= − 1

R∇∗·q ′′ + isor g ′′′

sor , (3.31)


(Wmax

τ

∂W ∗

∂t∗+ 1

R∇∗· ′′l

), (3.32)

q ′′ = −∆T

Rk ∇∗T ∗, (3.33)

ρe ce∆T

τ

∂T ∗

∂t∗= − k∆T

R2∇∗·q∗ + isor ρp

(Wmax

τ

∂W ∗

∂t∗+ WmaxD

?s

R2∇∗· j∗l

), (3.34)

χ∂T ∗

∂t∗= −Fo∇∗·q∗ + i∗sor Ωεp

(∂W ∗

∂t∗+Fis ∇∗· j∗l

), (3.35)

onde o coeficiente χ carrega a dependência da variação da capacidade térmica com a

quantidade d’água no grão, sendo definido por:

χ = ρe ce

ρp cs. (3.36)

para um grão seco χ= 1.

3.4 Condições de contorno

Substituindo as variáveis dependentes e independentes nas equações (2.83)

(∆Y D?

g εp

Rj∗v + ρp

ρa

WmaxD?s

Rj∗l

)·n = hm∆Y (Y ∗− Y ∗), (3.37)

εp

(1

Bimg

j∗v ·n + Ω

Bims

j∗l ·n)= Y ∗− Y ∗. (3.38)

e (2.84):

∆T k

Rq∗·n = ρp isor

WmaxD?s

Rj∗l ·n+

+ (hh + cp v hm ρa∆Y (Y ∗− Y ∗)) (T ∗− T ∗)∆T (3.39)


Finalmente, substituindo os parâmetros adimensionais chega-se à seguinte forma:

q∗·n = i∗sorΩ

Lesj∗l ·n + Bih (T ∗− T ∗) +

Bimg

Leg∆ i∗v (Y ∗− Y ∗) (T ∗− T ∗), (3.40)

que pode ser escrita em função do número de Biot modificado (porém variável):

q∗·n = i∗sorΩ

Lesj∗l ·n + Bih

+ (T ∗− T ∗), (3.41)

onde o número de Biot modificado (Bih+) é expresso abaixo:

Bih+ = Bih +

Bimg

Leg∆ i∗v (Y ∗− Y ∗). (3.42)

3.5 Balanços de massa e energia para o espaço entre grãos

Esta seção apresenta a adimensionalização das equações para o espaço entre os grãos,

ou seja, para a corrente de secagem. A seguir, as equações (2.86) e (2.92) adimensio-

nalizadas:

εb ρa∂Yi

∂t+ v εb ρa

∂Yi

∂x= (1 − εb)

VpAp hm ρa (Y |R −Yi ) (3.43)

εb ρa∆Y

τ

∂Y ∗

∂t∗+ v εb ρa

∆Y

L

∂Y ∗

∂x∗ = (1 − εb)

VpAp hm ρa∆Y (Y ∗|R − Y ∗) (3.44)

Finalmente, introduzindo os parâmetros adimensionais:

τ∗d w

∂Y ∗

∂t∗+ ∂Y ∗

∂x∗ = NUTm (Y ∗|R − Y ∗) (3.45)

O mesmo procedimento é realizado para a equação (2.92), substituindo as variá-

veis:

ρa (cp,a +Yi cp,v ) = ρa cp,i (3.46)

χ = ρa cp,i

ρa cp,a(3.47)


se desenvolvendo em:


(εb∂Ti

∂t+ v εb

∂Ti

∂x

)= (1−εb)

VpAp hh (T |R −Ti ) (3.48)

ρa cp,i

(1

τ

∂T ∗

∂t∗+ v

1

L

∂T ∗

∂x∗

)= (1−εb)

εb VpAp hh (T ∗|R − T ∗) (3.49)

e finalmente resultando na equação abaixo, após a introdução dos parâmetros adimen-

sionais:

χ

(τ∗d w

∂T ∗

∂t∗+ ∂T ∗

∂x∗

)= NUTh (T ∗|R − T ∗) (3.50)

3.6 Demais condições de contorno e condições iniciais

A adimensionalização das condições de entrada e inicial é simples e não envolve ne-

nhum parâmetro adimensional, sendo dadas por:

• Condições iniciais:

T ∗ = 0 e Y ∗ = 1, em t∗ = 0 (3.51)

• Condições de entrada:

T ∗(0, t ) = T ∗i n , Y ∗(0, t ) = Y ∗

i n . (3.52)

Como o domínio para os grãos considerados são esferas maciças, ainda é necessá-

rio considerar as condições físicas abaixo na origem dos mesmos:

|T ∗(r ∗ = 0)| <∞, |Y ∗(r ∗ = 0)| <∞. (3.53)

3.7 Modelos simplificados para difusão no grão

A adimensionalização das equações permite, baseando-se nos valores dos parâmetros

adimensionais, que simplificações nas equações de transferência de calor e massa se-


jam propostas.

As primeiras considerações são feitas abaixo:

1. O armazenamento na fase adsorvida é muito superior ao armazenamento na fase

gasosa (dentro dos grãos), resultando em ΩÀ 1.

2. A difusividade gasosa (Dg ) é muito maior que a difusividade superficial (Ds),

de modo que Fig À Fis e que Big ¿ Bis .

3. O aquecimento sensível provocado por ∆ iv é desprezível comparado aos demais

termos na condição de contorno de energia na superfície do grão, ou seja, Bih À(Bim

g /Leg )∆ i∗v .

4. Devido ainda à baixíssima difusividade superficial, o número de Lewis baseado

neste componente é relativamente grande, de modo que Les ÀΩ i∗sor .

As considerações 1 e 2 permitem que as equações de transporte para os grãos sejam

simplificadas para:

∂Y ∗

∂t∗+Ω ∂W ∗

∂t∗= −Fig ∇∗· j∗v para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.54)

χ∂T ∗

∂t∗= −Fo∇∗·q∗ + i∗sor Ωεp

∂W ∗

∂t∗para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.55)

Além das considerações anteriores, as considerações 3 e 4 permitem que as condições

de contorno sejam simplificadas para:

j∗v ·n =Bim

g

εp(Y ∗− Y ∗), em r ∗ = 1, (3.56)

q∗·n = Bih (T ∗− T ∗), em r ∗ = 1. (3.57)


3.7.1 Outras simplificações na equação do grão

Substituindo os fluxos de calor e massa adimensionais têm-se:

∂Y ∗

∂t∗+Ω ∂W ∗

∂t∗= Fig ∇∗·(∇∗Y ∗) para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.58)

χ∂T ∗

∂t∗= Fo∇∗·(∇∗T ∗) + i∗sor Ωεp

∂W ∗

∂t∗para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.59)

−(∇∗Y ∗)·n =Bim

g

εp(Y ∗− Y ∗), em r ∗ = 1, (3.60)

−(∇∗T ∗)·n = Bih (T ∗− T ∗), em r ∗ = 1. (3.61)

Em coordenadas esféricas:

∂Y ∗

∂t∗+Ω ∂W ∗

∂t∗= Fig

1

r ∗2

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.62)

χ∂T ∗

∂t∗= Fo

1

r ∗2

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)+ i∗sor Ωεp

∂W ∗

∂t∗para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.63)

−∂Y ∗

∂r ∗ =Bim

g

εp(Y ∗− Y ∗), em r ∗ = 1, (3.64)

−∂T ∗

∂r ∗ = Bih (T ∗− T ∗), em r ∗ = 1. (3.65)

3.7.2 Cálculo de χ e χ

Os coeficientes χ e χ dependem com a quantidade de água e são calculados baseados

nas relações abaixo:

χ = εp ρa (cp,a + cp,v Y ) + ρp (cs + cl W )

ρp cs(3.66)

χ = εp ρa cp,a

ρp cs

(1+Y

cp,v

cp,a

)+ 1 + cl

csW (3.67)

χ = 1

Cr∗

(1+Y

cp,v

cp,a

)+ 1 + cl

csW (3.68)

χ = cp,a +Yi cp,v

cp,a= 1 + Yi

cp,v

cp,a(3.69)


3.7.3 Simplificação para alta vazão

Se for considerado um caso especial onde a vazão da corrente de secagem for alta,

sendo sem que as resistências à transferências convectivas (hm As)−1 e (hh As)−1 não

sejam baixas, os valores para os números de unidades de transferência tendem a zero,

fazendo com que a temperatura e o teor de água da corrente de secagem mantenham-

se constantes (condição obtida sempre mais ao final da secagem). Para este caso,

a solução do problema de secagem se reduz apenas à solução das equações para o

transporte de calor e massa nos grãos.

3.8 Valores para parâmetros adimensionais

Após a introdução dos parâmetros adimensionais e normalização das equações, a por-

ção final deste capítulo é dedicada a estimar faixas reais dos parâmetros adimensionais

previamente descritos. Para tal, valores para propriedades dimensionais comumente

encontradas em processos de secagem de grãos são extraídos da literatura, incluindo

correlações para calcular propriedades.

3.8.1 Relações para difusividade de massa

Dentro do grão, a difusividade de massa na fase gasosa (Dg ) pode incluir os meca-

nismos de difusão molecular e difusão de Knudsen [39], conforme equação (2.14). A

seguir as equações das difusividades molecular e de Knudsen são apresentadas:

DM = 1,735×10−9 T 1,685

p, (3.70)

DK = 48,5Rπ

(T

18,015

)1/2

, (3.71)

onde, p é a pressão dada em atmosferas, T é a temperatura em Kelvin e Rπ é o raio

médio dos poros. Para poros muito pequenos a difusão de Knudsen é dominante, como

mostra a expressão (2.14).

Para a difusividade na corrente de secagem, a difusão de Knudsen pode ser des-


considerada, de forma que a difusividade Di é dada por:

Di = DM , (3.72)

Para a difusão superficial, a expressão dada em [41] é utilizada:

Ds = 1,6×10−6 exp

(−0,45

isor

461,52T

). (3.73)

3.8.2 Relação entre o coeficiente de transferência de calor e massa

Para determinar a relação entre o coeficiente de transferência de calor e massa por

convecção, faz-se a aproximação de Lewis (mencionada em [48]), onde considera que

a razão de psicrometria é igual à unidade:

ψr ≈ 1. (3.74)

3.8.3 Relações para demais propriedades

Massa específica do ar seco (ρa) pode ser calculada da relação de gases ideais [49]:

ρa = p

Ra T. (3.75)

onde Ra é a constante de gases ideias para o ar seco.

A Tabela 3.2 apresenta dados encontrados na literatura e calculados para as pro-

priedades termofísicas da soja. Este grão foi escolhido devido a sua semelhança a

geometria esférica considerada, sua importância como alimento e a maior disponibili-

dade de dados na literatura. Foi levado em consideração o tamanho do poro, onde o

valor de 10−6 corresponde a um poro pequeno e 10−8 a um poro grande.


Tab.

3.1:

Prop

ried

ades

Term

ofís

icas

daSo

jae

Dad

osde

Proc

esso

Prop

ried

ade

Val

orU

nida

deR

efer

ênci

aD

ifus

ivid

ade

más

sica

gaso

sano

grão

(por

ope

quen

o),D

g1,

81×1

0−6

a3,

04×1

0−5

m2/s

[39]

Dif

usiv

idad

em

ássi

caga

sosa

nogr

ão(p

oro

gran

de),D

g1,

97×1

0−5

a2,

67×1

0−5

m2/s

[39]

Dif

usiv

idad

em

ássi

casu

perfi

cial

nogr

ão,D

s5,

32×1

0−10

a2,

46×1

0−9

m2/s

[40,

41]

Dif

usiv

idad

em

ássi

cana

corr

ente

dese

cage

m,D

i2,

47×1

0−5

a3,

54×1

0−5

m2/s

[39]

Dif

usiv

idad

eté

rmic

aef

etiv

ado

grão

,αe

8,19

×10−

8a

8,91

×10−

8m

2/s

Cal

cula

doD

ifus

ivid

ade

térm

ica

naco

rren

tede

seca

gem

,αi

2,18

×10−

5a

2,69

×10−

5m

2/s

Cal

cula

doC

ondu

tivid

ade

térm

ica

dogr

ão,k

0,21

W/m

K[5

0]C

ondu

tivid

ade

térm

ica

naco

rren

tede

seca

gem

,ka

2,67

×10−

2J/

msK

[51]

Mas

saes

pecí

fica

dapa

rtíc

ula,ρ

p1.

149

a1.

250

kg/m

3[5

0–52

]M

assa

espe

cífic

ado

arse

co,ρ

a0,

98a

1,21

kg/m

3[4

9]C

alor

espe

cífic

odo

sólid

o,c s

2.05

1,14

J/kg

K[5

3]C

alor

espe

cífic

oda

água

(liq

.),c l

4.18

6J/

kgK

[53]

Cal

ores

pecí

fico

doág

ua(v

ap.),

c p,v

1.88

3,7

J/kg

K[5

3]C

alor

espe

cífic

odo

arse

co,c

p,a

1.01

3J/

kgK

[53]

Cal

ordi

fere

ncia

lde

adso

rção

,iso

r2.

398,

58×1

03J/

kg[5

1]Po

rosi

dade

dole

itopo

roso

,εb

0,36

a0,

39—

[51,

54]

Poro

sida

dedo

grão

,εp

0,36

78a

0,44

54—

[52,

54]

Tort

uosi

dade

dos

grão

s,ζ

1,34

—[5

5]Ta

man

ho(r

aio)

degr

ãos,

Rp

3×1

0−3

a3,

55×1

0−3

m[5

1,54

]Ta

man

hode

poro

sdo

grão

,Rπ

10−8

a10

−6m

[17,

24]

Coe

ficie

nte

detr

ansf

erên

cia

dem

assa

,hm

5,13

×10−

2a

5,98

×10−

2m

/s[5

]C

oefic

ient

ede

tran

sfer

ênci

ade

calo

r,h

h59

,4a

62,9

W/m

2K

[50]

Altu

rado

leito

poro

so,L

0,00

6a

0,64

m[5

1]Te

mpe

ratu

rado

arde

seca

gem

,Ti i

n29

2a

361

K[5

0,53

]Te

mpo

dese

cage

m,τ

900

a36

.000

s[5

,50]

Vel

ocid

ade

real

,v0,

22a

3,17

m/s

[24,

50]

Teor

deág

uain

icia

ldo

grão

emba

sese

ca4 ,W

ini

0,26

15kg

/kg

[50]

Teor

deág

uade

equi

líbri

oem

base

seca

,Weq

0,12

kg/k

g[5

6]


Tab. 3.2: Valores de Parâmetros Adimensionais Calculados

Número Adimensional Mínimo MáximoNúmero de Biot térmico, Bih 0,85 1,06Número de Biot mássico (poro pequeno), Bim

g 185 321Número de Biot mássico (poro grande), Bim

g 7,30 15,3Número de Biot mássico, Bim

s 3,36×105 5,20×105

Número de Fick (poro pequeno), Fig 50 3,14×103

Número de Fick (poro grande), Fig 1,05×103 7,96×104

Núnero de Fick, Fis 0,04 5,24Número de Fourier, Fo 5 356Número de Lewis (gas., poro pequeno), Leg 0,10 0,13Número de Lewis (gas., poro grande), Leg 0,41×10−2 0,60×10−2

Número de Lewis (liq.), Les 45 206Número de Lewis (corrente), Leg ,i 0,62 1,09Razão de capacidade volumétrica, Vr

∗ 1,56 1,78Razão de capacidade térmica Cr

∗ 3×103 4,59×103

Calor sensível adimensional, ∆ i∗v 3,60×10−5 4,84×10−5

Relação de capacidade térmica para o grão, χ 2,55 2,86Relação de capacidade térmica para a corrente de ar de secagem, χ 0,89 1,35Calor de adsorção adimensional, i∗sor 2,44×10−4 3,97×10−4

Razão de armazenamento de água, Ω 1,12×104 1,81×104

Tempo de residência adimensional, τ∗d w 5,26×10−8 3,23×10−3

Número de unidades de transferência de calor, NUTh 2,35×10−3 1,69×104

Número de unidades de transferência de massa, (poro pequeno) NUTm 2,28×10−3 1,74×104

Número de unidades de transferência de massa, (poro grande) NUTm 1,90×10−3 2,10×104

3.9 Resumo da formulação adimensional

Depois de adimensionalizadas e simplificadas as equações da massa e energia para os

grãos e o espaço entre eles, juntamente com as condições de contorno são apresentadas

abaixo:

∂Y ∗

∂t∗+Ω ∂W ∗

∂t∗= Fig

1

r ∗2

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.62)

χ∂T ∗

∂t∗= Fo

1

r ∗2

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)+ i∗sor Ωεp

∂W ∗

∂t∗para 0 ≤ r ∗ ≤ 1, (3.63)


Condições de contorno em r ∗ = 1:

−∂Y ∗

∂r ∗ =Bim

g

εp(Y ∗− Y ∗), em r ∗ = 1, (3.64)

−∂T ∗

∂r ∗ = Bih (T ∗− T ∗), em r ∗ = 1, (3.65)

Equações para o espaço entre os grãos (corrente de secagem):

τ∗d w

∂Y ∗

∂t∗+ ∂Y ∗

∂x∗ = NUTm (Y ∗|R − Y ∗), (3.45)

χ

(τ∗d w

∂T ∗

∂t∗+ ∂T ∗

∂x∗

)= NUTh (T ∗|R − T ∗). (3.50)

Capítulo 4

Solução Numérica

Neste capítulo, é apresentado uma solução numérica para as equações obtidas no ca-

pítulo anterior. Para resolver numericamente as equações foi utilizado o Método de

Volumes Finitos combinado com o Método das Linhas, no qual as equações são dis-

cretizadas no espaço utilizando uma malha uniforme. Será inicialmente apresentada

a discretização para as equações relacionadas ao grão, e logo adiante a discretização

para as equações de massa e energia na corrente de secagem.

4.1 Métodos Númericos

Os métodos numéricos correspondem a um conjunto de ferramentas ou métodos usa-

dos para se obter a solução de problemas matemáticos de forma aproximada. Esses

métodos se aplicam a problemas que não apresentam uma solução exata, portanto pre-

cisam ser resolvidos numericamente. Os métodos de discretização mais usuais são:

volumes finitos, elementos finitos e diferenças finitas.

O método de volumes finitos é um método bem adequado para a simulação nu-

mérica das leis de conservação e têm sido amplamente utilizado em vários campos da

engenharia, como mecânica dos fluidos, transferência de calor e massa, entre outros.

Algumas das características importantes deste método é a sua aplicação em geometrias

arbitrárias e malhas estruturadas ou não estruturadas. Uma característica adicional é a

48

4. Solução Numérica 49

conservação local do fluxo numérico, o que significa que o fluxo é conservado de uma

célula de discretização para o seu vizinho. Esta última característica torna o método de

volumes finitos bastante atraente quando os problemas de modelagem são de fluxo. O

método de volumes finitos é localmente conservativo porque se baseia em uma análise

de "balanço", onde um equilíbrio local está escrito em cada célula de discretização, que

é freqüentemente chamado de "volume de controle"; pela fórmula da divergência, uma

formulação integral dos fluxos sobre o limite do volume de controle é então obtido. Os

fluxos no contorno são discretizados com relação as variáveis do problema analisado.

O método de volumes finitos é diferente do método de diferenças finitas e do método

dos elementos finitos.

O princípio do método de diferenças finitas, a grosso modo, é dado por um número

de pontos discretizados que são definidos pela malha, as variáveis em cada um dos

pontos são definidos e as equação correspondentes são escritas. Para cada um dos pon-

tos, as derivadas são definidas mediante expansões da Série de Taylor. O método das

diferenças finitas apresenta dificuldade de aplicação quando os coeficientes das equa-

ções são descontinuos, como nos meios heterogêneos. No método dos volumes finitos

a discontinuidade nos coeficientes não apresentam nenhum problema para a simulação

se a malha é mudada e modelada como uma condição de contorno. Comunmente, o

método de aproximação por diferenças finitas é utilizado para resolver a discretização

no método dos volumes finitos.

O método dos elementos finitos é baseado em uma formulação variacional, que é

escrito, tanto para problemas contínuos, quanto discretos. A formulação variacional é

obtido multiplicando-se a equação original por uma função "teste". A variável para

avaliar é então aproximada por uma combinação linear de funções de teste, que é

chamada de "expansão de Galerkin"; a equação resultante é integrada sobre o domínio.

O método de volumes finitos é por vezes chamado de "método de elementos finitos

descontínuos", já que a equação original é multiplicado pela função característica a

cada célula da malha.

O problema apresentado neste trabalho foi simplificado a um modelo unidimen-


sional de condições de contorno convectivas sob condições transientes, que inclui os

processos de transferência de calor e massa acopladas, onde os balanços de fluxo são

fundamentais para a solução discretizada do problema. Considerando a descrição dos

métodos numéricos e as características do problema a sulucionar, foi escolhido o mé-

todo dos volumes finitos como ferramenta para a solução do modelo.

Antes de iniciar a discretização por volumes finitos, é realizado uma pré-solução.

A quantidade de água na fase adsorvida é escrita em termos das temperatura e concen-

tração de vapor na fase gasosa do grão:

dW ∗ = ∂W ∗

∂T ∗ dT ∗ + ∂W ∗

∂Y ∗ dY ∗ (4.1)

Substituindo esta relação nas equações (3.62)-(3.63) resultam em:

γ1∂T ∗

∂t∗+ γ2

∂Y ∗

∂t∗= Fig

1

r ∗2

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)(4.2)

γ3∂T ∗

∂t∗+ γ4

∂Y ∗

∂t∗= Fo

1

r ∗2

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)(4.3)

onde os coeficientes γ são funções de T ∗ e Y ∗, sendo dados por:

γ1 = Ω∂W ∗

∂T ∗ γ2 = 1 +Ω ∂W ∗

∂Y ∗ (4.4)

γ3 = χ − i∗sor Ωεp∂W ∗

∂T ∗ γ4 = −i∗sor Ωεp∂W ∗

∂Y ∗ (4.5)

4.2 Método de Volumes Finitos

4.2.1 Esquema de numeração de células (ou volumes finitos)

A corrente de secagem é dividida em volumes finitos de tamanho uniforme ∆x∗, a

posição do centro de um destes volumes recebe o índice P , enquanto o adjacente em

x∗+∆x∗ recebe o índice N e o adjacente em x∗−∆x∗ recebe o índice S. Em cada um

destes volumes, os grãos são divididos em volumes esféricos de espessura ∆r ∗, onde o

volume adjacente adiante (no maior valor de r ∗) recebe o índice E enquanto o anterior

recebe o índice W . Desta forma, os centros destes volumes são dados por x∗P e r ∗

P ,


sendo que nestes volumes:

x∗P −∆x∗/2 ≤ x∗ ≤ x∗

P +∆x∗/2, (4.6)

r ∗P −∆r ∗/2 ≤ r ∗ ≤ r ∗

P +∆r ∗/2. (4.7)

Fig. 4.1: Malha

O tamanho dos volumes finitos acima descrito são calculados pelo número de divi-

sões utilizado na malha para os grãos ( jmax) e na malha da corrente de secagem (kmax),

através das relações:

∆x∗ = 1

kmax, ∆r ∗ = 1

jmax. (4.8)


4.2.2 Equações para os grãos

A discretização por volumes finitos é iniciada integrando as equações de transporte no

grão em um volume finito esférico:

∫ r∗e

r∗w

γ1∂T ∗

∂t∗r ∗2 dr ∗ +

∫ r∗e

r∗w

γ2∂Y ∗

∂t∗r ∗2 dr ∗ = Fig

∫ r∗e

r∗w

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)dr ∗ (4.9)∫ r∗

e

r∗w

γ3∂T ∗

∂t∗r ∗2 dr ∗ +

∫ r∗e

r∗w

γ4∂Y ∗

∂t∗r ∗2 dr ∗ = Fo

∫ r∗e

r∗w

∂

∂r ∗

(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)dr ∗ (4.10)

As seguintes aproximações para as integrais são utilizadas:

∫ r∗e

r∗w

f r ∗2 dr ∗ ≈ ( f |r∗=r∗P

)1

3(r ∗

e3 − r ∗

w3) ≈ ( f )P r ∗

P2∆r ∗ (4.11)

substituindo e integrando leva à seguinte forma:

(γ1∂T ∗

∂t∗+ γ2

∂Y ∗

∂t∗

)P

r ∗P

2∆r ∗ = Fig

(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)r∗e

r∗w

(4.12)(γ3∂T ∗

∂t∗+ γ4

∂Y ∗

∂t∗

)P

r ∗P

2∆r ∗ = Fo

(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)r∗e

r∗w

(4.13)

Finalmente, aplicando os limites de integração e rearrumando produz:

(γ1∂T ∗

∂t∗+ γ2

∂Y ∗

∂t∗

)P= Fig

1

r ∗P

2∆r ∗

[(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)e−

(r ∗2 ∂Y ∗

∂r ∗

)w

](4.14)(

γ3∂T ∗

∂t∗+ γ4

∂Y ∗

∂t∗

)P= Fo

1

r ∗P

2∆r ∗

[(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)e−

(r ∗2 ∂T ∗

∂r ∗

)w

](4.15)

As derivadas espaciais nas faces dos volumes (em r ∗ = r ∗e e r ∗ = r ∗

w ) ainda deverão

ser aproximadas. Porém, independente das fórmulas utilizadas para esta aproximação,

as equações para todos os volumes finitos dos grãos podem ser escrita na seguinte

forma compacta:

(γ1∂T ∗

∂t∗+ γ2

∂Y ∗

∂t∗

)P= F m

P (t ) (4.16)(γ3∂T ∗

∂t∗+ γ4

∂Y ∗

∂t∗

)P= F h

P (t ) (4.17)


Estas equações constituem um sistema de equações diferenciais ordinárias (EDOs)

para determinar a temperatura e teor de água absoluto (adimensionais) nos centros do

volumes dos grãos. As funções F mP e F h

P carregam toda a informação sobre a discreti-

zação espacial.

Para os volumes adjacentes a r ∗ = 0 e r ∗ = 1, condições de contorno devem ser

utilizadas nas equações anteriores. Para volumes adjacentes a r ∗ = 0 tem-se:

(∂T ∗

∂r ∗

)w

= 0,

(∂Y ∗

∂r ∗

)w

= 0, (4.18)

enquanto para volumes adjacentes a r ∗ = 1 as seguintes equações se aplicam:

−(∂Y ∗

∂r ∗

)e=

Bimg

εp(Y ∗

e − Y ∗P ), (4.19)

−(∂T ∗

∂r ∗

)e= Bih (T ∗

e − T ∗P ), (4.20)

As derivadas espaciais nas demais faces dos volumes finitos são calculadas utilizando

aproximações centradas de segunda ordem:

(∂ f

∂r ∗

)w

≈ ( f )P − ( f )W

r ∗P − r ∗

W

,

(∂ f

∂r ∗

)e≈ ( f )E − ( f )P

r ∗E − r ∗

P

. (4.21)

Com base nas equações anteriores, as funções de discretização para os grãos, de

acordo com a posição do volume finito, são descritas abaixo:

• Para volumes adjacente ao centro do grão:

F mP = Fig

1

r ∗P

2∆r ∗

(r ∗

e2 Y ∗

E −Y ∗P

∆r ∗

)(4.22)

F hP = Fo

1

r ∗P

2∆r ∗

(r ∗

e2 T ∗

E −T ∗P

∆r ∗

)(4.23)


• Para volumes internos aos grãos:

F mP = Fig

1

r ∗P

2∆r ∗

[(r ∗

e2 Y ∗

E −Y ∗P

∆r ∗

)−

(r ∗

w2 Y ∗

P −Y ∗W

∆r ∗

)](4.24)

F hP = Fo

1

r ∗P

2∆r ∗

[(r ∗

e2 T ∗

E −T ∗P

∆r ∗

)−

(r ∗

w2 T ∗

P −T ∗W

∆r ∗

)](4.25)

• Para volumes adjacentes às superfícies externas do grãos:

F mP = Fig

1

r ∗P

2∆r ∗

[−

Bimg

εpr ∗

e2 (Y ∗

e − Y ∗P )−

(r ∗

w2 Y ∗

P − Y ∗W

∆r ∗

)](4.26)

F hP = Fo

1

r ∗P

2∆r ∗

[−Bih r ∗

e2 (T ∗

e − T ∗P )−

(r ∗

w2 T ∗

P − T ∗W

∆r ∗

)](4.27)

onde T ∗e e Y ∗

e são calculadas por:

T ∗e = 3T ∗

P −T ∗W

2, Y ∗

e = 3Y ∗P −Y ∗

W

2. (4.28)

4.2.3 Equações para a corrente de secagem

O primeiro passo na discretização é a integração das equações de transporte em um

volume de espessura ∆x∗ = x∗n −x∗

s :

∫ x∗n

x∗s

τ∗d w

∂Y ∗

∂t∗dx∗ +

∫ x∗n

x∗s

∂Y ∗

∂x∗ dx∗ = NUTm

∫ x∗n

x∗s

(Y ∗|R − Y ∗) dx∗ (4.29)

χP

(∫ x∗n

x∗s

τ∗d w

∂T ∗

∂t∗dx∗ +

∫ x∗n

x∗s

∂T ∗

∂x∗ dx∗)= NUTh

∫ x∗n

x∗s

(T ∗|R − T ∗) dx∗ (4.30)

Em seguida as integrais são aproximadas pela relação abaixo:

∫ x∗n

x∗s

f dx∗ ≈ ( f )P x∗|x∗n

x∗s≈ fP ∆x∗ (4.31)


Substituindo e integrando produz:

τ∗d w

(∂Y ∗

∂t∗

)P∆x∗ + Y ∗|x∗

nx∗

s= NUTm (Y ∗|R − Y ∗)P ∆x∗ (4.32)

χP

(τ∗d w

(∂T ∗

∂t∗

)P∆x∗ + T ∗|x∗

nx∗

s

)= NUTh (T ∗|R − T ∗)P ∆x∗ (4.33)

Finalmente, aplicando os limites de integração e rearrumando:

τ∗d w

(∂Y ∗

∂t∗

)P+ Y ∗

n − Y ∗s

∆x∗ = NUTm (Y ∗|R − Y ∗)P , (4.34)

τ∗d w

(∂T ∗

∂t∗

)P+ T ∗

n − T ∗s

∆x∗ = NUTh

χP(T ∗|R − T ∗)P . (4.35)

As equações de transporte discretizadas são então escritas na seguinte forma:

τ∗d w

(∂Y ∗

∂t∗

)P= Gm

P (t∗), (4.36)

τ∗d w

(∂T ∗

∂t∗

)P= Gh

P (t∗), (4.37)

onde as funções Gm e Gh carregam toda a informação sobre a discretização por volu-

mes finitos.

De maneira similar às equações para os grãos, estas funções são dadas por ex-

pressões diferentes de acordo com a posição do volume finito, devido às condições de

contorno. Para as equações adjacentes a entrada (x∗ = 0), as condições de entrada são

utilizadas, fornecendo:

T ∗s = T ∗

i n , Y ∗s = Y ∗

i n . (4.38)

para equações adjacentes à saída (x∗ = 1) aproximações são utilizadas para calcular

T ∗n e Y ∗

n em função dos pontos anteriores:

T ∗n ≈ 2 T ∗

P − T ∗s ≈ 2 T ∗

P − 1

2(T ∗

P + T ∗S ) = 3

2T ∗

P − 1

2T ∗

S , (4.39)

Y ∗n ≈ 3

2Y ∗

P − 1

2Y ∗

S . (4.40)


Para as demais equações as seguintes aproximações são utilizadas:

fn ≈ 1

2( fN + fP ), fs ≈ 1

2( fP + fS). (4.41)

Baseando-se nas equações anteriores as fórmulas para as funções de discretização

são apresentadas a seguir:

• Para o volume adjacente à entrada da corrente de secagem:

GmP (t∗) = − Y ∗

N + Y ∗P −2 Y ∗

i n

2∆x∗ + NUTm (Y ∗|R − Y ∗P ) (4.42)

GhP (t∗) = − T ∗

N + T ∗P −2 T ∗

i n

2∆x∗ + NUTh

χP(T ∗|R − T ∗

P ) (4.43)

• Para volumes internos (nem adjacente à entrada nem à saida):

GmP (t∗) = − Y ∗

N − Y ∗S

2∆x∗ + NUTm (Y ∗|R − Y ∗P ) (4.44)

GhP (t∗) = − T ∗

N − T ∗S

2∆x∗ + NUTh

χP(T ∗|R − T ∗

P ) (4.45)

• Para volumes adjacentes à saída da corrente de secagem:

GmP (t∗) = − Y ∗

P − Y ∗S

∆x∗ + NUTm (Y ∗|R − Y ∗P ) (4.46)

GhP (t∗) = − T ∗

P − T ∗S

∆x∗ + NUTP

χP(T ∗|R − T ∗

P ) (4.47)

Nas equações anteriores T ∗|R e Y ∗|R representam valores da temperatura e umi-

dade absoluta adimensionais na superfície dos grãos. Estes devem ser calculados utili-

zando as seguintes aproximações:

T ∗|R = 3

2T ∗

P − 1

2T ∗

S , Y ∗|R = 3

2Y ∗

P − 1

2Y ∗

S , (4.48)

onde P corresponde ao volume adjacente a r ∗ = 1.


4.2.4 Mapeamento computacional

Para poder implementar a solução numérica aqui construída é necessário que a nota-

ção de volumes finitos seja mapeada para um domínio computacional. No domínio

físico, para cada um dos volumes finitos da corrente de secagem (de um total de kmax

volumes), existem jmax volumes finitos dos grãos esféricos, desta forma, é necessário

um total de jmax × kmax equações para determinar o campo de temperatura discreto

nos grãos T ∗ e o mesmo número para o campo do teor de água Y ∗. Para a corrente

de secagem apenas kmax equações são necessárias para cada variável dependente (T ∗

e Y ∗). Desta forma, as equações para a corrente de secagem são escritas em função

do índice k, com k = 1,2, . . . ,kmax. Todavia, para escrever as equações para os grãos

é conveniente introduzir um novo índice l , relacionado à k e j através da seguinte

expressão:

l = (k − 1) jmax + j , (4.49)

onde j = 1,2, . . . , jmax.

Para calcular qual volume finito k da corrente de secagem corresponde a um vo-

lume finito de um grão qualquer l , basta aplicar a relação:

k = ((l −1)÷ jmax)+1 (4.50)

onde o operador ÷ representa uma divisão de números inteiros (sem resto). De maneira

análoga, a posição j dentro de um grão é calculada a partir de l através de:

j = mod ((l −1), jmax)+1 (4.51)

De acordo com as expressões anteriores, para as variáveis T ∗ e Y ∗, as seguintes

regras são válidas:

P = l , E = l +1, W = l −1, (4.52)


enquanto isto, para as variáveis T ∗ e Y ∗ as seguintes relações se aplicam:

P = k, N = k +1, S = k −1, (4.53)

de modo que as equações discretizadas são reduzidas ao seguinte sistema de EDOs:

γ1(T ∗l ,Y ∗

l )∂T ∗

l

∂t∗+ γ2(T ∗

l ,Y ∗l )

∂Y ∗l

∂t∗= F m

l (t ), for l = 1, . . . , jmax kmax, (4.54)

γ3(T ∗l ,Y ∗

l )∂T ∗

l

∂t∗+ γ4(T ∗

l ,Y ∗l )

∂Y ∗l

∂t∗= F h

l (t ), for l = 1, . . . , jmax kmax, (4.55)

τ∗d w

(∂Y ∗

∂t∗

)k= Gm

k (t∗), for k = 1, . . . ,kmax, (4.56)

τ∗d w

(∂T ∗

∂t∗

)k= Gh

k (t∗), for k = 1, . . . ,kmax. (4.57)

As funções F são definidas de acordo com os valores de l , como descrito abaixo:

• Para mod (l , jmax) = 1:

F ml = Fig

1

r ∗l

2∆r ∗

(r ∗

e2 Y ∗

l+1 −Y ∗l

∆r ∗

), (4.58)

F hl = Fo

1

r ∗l

2∆r ∗

(r ∗

e2 T ∗

l+1 −T ∗l

∆r ∗

), (4.59)

• para mod (l , jmax) = 0:

F ml = Fig

1

r ∗l

2∆r ∗

[−

Bimg

εpr ∗

e2(3Y ∗

l −Y ∗l−1

2− Y ∗

k

)−

(r ∗

w2 Y ∗

l − Y ∗l−1

∆r ∗

)],

(4.60)

F hl = Fo

1

r ∗l

2∆r ∗

[−Bih r ∗

e2(3T ∗

l − T ∗l−1

2− T ∗

k

)−

(r ∗

w2 T ∗

l − T ∗l−1

∆r ∗

)], (4.61)

• para os demais valores de l :

F ml == Fig

1

r ∗l

2∆r ∗

[(r ∗

e2 Y ∗

l+1 −Y ∗l

∆r ∗

)−

(r ∗

w2 Y ∗

l −Y ∗l−1

∆r ∗

)], (4.62)

F hl = Fo

1

r ∗l

2∆r ∗

[(r ∗

e2 T ∗

l+1 −T ∗l

∆r ∗

)−

(r ∗

w2 T ∗

l −T ∗l−1

∆r ∗

)], (4.63)


onde as quantidades nas faces dos volumes são calculadas para:

r ∗w = r ∗

P −∆r ∗/2, r ∗e = r ∗

P +∆r ∗/2, (4.64)

e k é calculado pela equação (4.50).

Já para as funções G , os valores são calculados de acordo com o valor de k:

• Para k = 1:

Gmk = − Y ∗

k+1 + Y ∗k − 2 Y ∗

i n

2∆x∗ + NUTm

(3Y ∗l − Y ∗

l−1

2− Y ∗

k

)(4.65)

Ghk = − T ∗

k+1 + T ∗k −2 T ∗

i n

2∆x∗ + NUTh

χk

(3T ∗l −T ∗

l−1

2− T ∗

k

)(4.66)

• para 1 < k < kmax

Gmk = − Y ∗

k+1 − Y ∗k−1

2∆x∗ + NUTm

(3Y ∗l −Y ∗

l−1

2− Y ∗

k

)(4.67)

Ghk = − T ∗

k+1 − T ∗k−1

2∆x∗ + NUTh

χk

(3T ∗l −T ∗

l−1

2− T ∗

k

)(4.68)

• para k = kmax

Gmk = − Y ∗

k − Y ∗k−1

∆x∗ + NUTm

(3Y ∗l −Y ∗

l−1

2− Y ∗

k

)(4.69)

Ghk = − T ∗

k − T ∗k−1

∆x∗ + NUTh

χk

(3T ∗l −T ∗

l−1

2− T ∗

k

)(4.70)

Todavia o valor de l nas equações anteriores é dado em função de k apenas, uma

vez que este corresponde sempre ao volume adjacente a r ∗ = 1 nos grãos:

l = k jmax. (4.71)

Uma vez que o problema foi escrito na forma discretizada dada pelas equações (4.54),

(4.55), (4.56) e (4.57), uma metodologia alternativa de solução é utilizada. Ao invés

de se utilizar os tradicionais esquemas de integração no tempo (explícitos e/ou implíci-


tos), o sistema é resolvido através de uma rotina de integração de sistemas de equações

diferenciais ordinárias (EDOs). Tal rotina permite que o usuário especifique a preci-

são desejada na integração temporal, melhorando significativamente o controle de erro

da solução final. Esta metodologia de solução é denominada como Método Numérico

das Linhas [37], e sua utilização em problemas de transferência de calor e massa foi

analisada em um estudo recente por Sphaier e Worek [57].

4.3 Isoterma de adsorção

O cálculo dos coeficientes γ envolve as derivadas de W ∗, obtidas através de uma iso-

terma de adsorção. O modelo simples com uma isoterma linear é selecionado

W ∗ = φ (4.72)

onde φ é a umidade relativa do ar, dada por:

φ = φ(T,Y ) = Y

rM +Y

patm

pv s(T )(4.73)

e pv s é a pressão de saturação do vapor e T é a temperatura absoluta, dada pela seguinte

relação [58]:

log(pv s) = C8

T+ C9 + T C10 + T 2 C11 + T 3 C12 + C13 log(T ) (4.74)

ou

pv s = exp

(C8

T+ C9 + T C10 + T 2 C11 + T 3 C12 + C13 log(T )

)(4.75)

onde pv s é dado em Pascal (Pa) e a temperatura é dado em Kelvin (K).

A definição de rM é a razão entre as massas moleculares da água e do ar e o valor

deste pode ser encontrado em [58], juntamente com os valores de Ci , os quais são


dispostos abaixo:

C8 = −5,8002206×103, (4.76)

C9 = 1,3914993, (4.77)

C10 = −4,8640239×10−2, (4.78)

C11 = 4,1764768×10−5, (4.79)

C12 = −1,4452093×10−8, (4.80)

C13 = 6,5459673, (4.81)

rM = 0,62198kg H2O/kg ar seco, (4.82)

patm = 101325 Pa. (4.83)

As derivadas de φ em relação a temperatura e o teor de água absoluto são dadas

por:

∂φ

∂T= ∂φ

∂pv s

dpv s

dT= − Y

rM +Y

patm

p2v s

dpv s

dT= − φ

pv s

dpv s

dT(4.84)

∂φ

∂Y= rM

(rM +Y )2

patm

pv s= rM

Y (rM +Y )φ (4.85)

Naturalmente, em termos das variáveis dependentes normalizadas, estas derivadas

são dadas por:

∂φ

∂T ∗ = ∆T∂φ

∂T(4.86)

∂φ

∂Y ∗ = ∆Y∂φ

∂Y(4.87)

Finalmente, a derivada p ′v s(T ) é calculada, fornecendo:

dpv s

dT=

(−C8

T 2+ C10 + 2T C11 + 3T 2 C12 + C13

T

)pv s(T ) (4.88)


4.4 Implementação computacional

Para solucionar as equações obtidas foi utilizado o programa Mathematica [59], cuja

finalidade é solucionar desde cálculos numéricos simples até expressões analíticas com

resultados aproximados ou exatos. A solução numérica do sistema de equações dife-

renciais ordinárias é feita utilizando a função NDSolve.

A média volumétrica adimensional, para o pós-processamento dos resultados, é

calculada da seguinte forma:

f = 3∫ 1

0f r ∗2 dr ∗ ≈ 3

jmax∑j=1

fP r ∗P

2∆r ∗ (4.89)

Capítulo 5

Resultados e Discussão

Uma vez que a solução numérica foi implementada, os resultados ilustrativos da for-

mulação são apresentados. Neste estudo inicial, situações diferentes de secagem foram

analisadas. Como o maior foco deste trabalho foi dado a modelagem do problema de

secagem e o desenvolvimento de parâmetros adimensionais, apenas a solução simples

onde não há variação na temperatura e o teor de água do ar de secagem (como descrito

na seção 3.7.3) foi implementada computacionalmente.

5.1 Casos simulados

Para a simulação de diferentes casos foram utilizadas as faixas de valores estimadas

na tabela 3.2, para os seguintes parâmetros adimensionais: Ω = 1,5×104, Cr∗ = 103,

i∗sor = 3×10−4, εp = 0,4, Ymin = 0, Ymax = 50 g/kg. O número de Biot de massa e calor,

de Fick e Fourier são apresentados na tabela 5.1, variando para cada caso. Além dessas

condições, a simulação também considera a variação de temperatura, como mostra a

tabela 5.2.

63

5. Resultados e Discussão 64

Tab. 5.1: Condições no processo de secagem do grãoCaso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

Bimg 100 100 10 1

Bih 1 1 0,1 0,01Fig 1000 100 1000 1000Fo 100 10 100 100

Tab. 5.2: Temperatura no processo de secagem do grãoCaso A Caso B Caso C Caso D

Tmin (°C) 30 15 30 15Tmax (°C) 70 55 50 35∆T (°C) 40 40 20 20

Muitos estudos recomendam utilizar temperaturas máximas de 40 a 50°C para a

secagem de sementes ou grãos sojas. Temperaturas superiores a estas, podem redu-

zir a germinação das sementes, como também as invibializar para o armazenamento

[60, 61]. A escolha das variações nas faixas de temperatura são para avaliar o compor-

tamento no processo de secagem.

5.2 Análise de tamanho de malha para os grãos

Esta seção tem o objetivo de analisar a influência do tamanho da malha sobre a precisão

de solução obtida. Essa análise utiliza como critério a convergência dos resultados em

três dígitos, para garantir que a solução final não apresente variação maior que 1% do

valor convergido. As tabelas 5.3-5.18 apresentam os valores da temperatura e teores

d’água dentro do grão (T ∗, Y ∗ e W ∗), para diferentes tamanho de malha, determinadas

pelo número de divisões jmax. Os valores médios no volume do grão (T ∗, Y ∗ e W ∗)

assim como os valores na superfície do grão (T ∗R , Y ∗

R e W ∗R ) são apresentados para

o tempo adimensional t∗ = 1. A coluna CPU corresponde ao tempo computacional

necessário para o cálculo de cada simulação, em segundos.


Tab. 5.3: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso A1

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.999372 0.999517 0.665590 0.545670 0.164981 0.136623 2.920 0.999378 0.999521 0.663785 0.545657 0.164552 0.136597 7.340 0.999380 0.999522 0.663174 0.545653 0.164408 0.136591 14.080 0.999380 0.999523 0.663005 0.545651 0.164368 0.136589 30.6

160 0.999381 0.999523 0.662961 0.545651 0.164357 0.136589 73.6320 0.999381 0.999523 0.662950 0.545651 0.164355 0.136589 185.3640 0.999381 0.999523 0.662947 0.545651 0.164354 0.136589 492.8

Tab. 5.4: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso A2jmax T ∗(1) T ∗

R (1) Y ∗(1) Y ∗R (1) W ∗(1) W ∗

R (1) CPU10 0.985773 0.988427 2.70135 0.581016 0.573288 0.159585 2.920 0.985057 0.987790 2.75828 0.582943 0.583438 0.151852 7.140 0.984850 0.987605 2.77296 0.583498 0.586020 0.149535 13.480 0.984797 0.987556 2.77665 0.583642 0.586657 0.148938 26.9160 0.984783 0.987544 2.77758 0.583678 0.586816 0.148790 60.1320 0.984779 0.987541 2.77781 0.583687 0.586855 0.148753 139.7640 0.984779 0.987540 2.77787 0.583689 0.586865 0.148744 315.9

Tab. 5.5: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso A3

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.989717 0.989992 0.786364 0.574102 0.196133 0.145879 2.620 0.989651 0.989926 0.786364 0.574267 0.196143 0.145862 5.440 0.989638 0.989913 0.786192 0.574298 0.196104 0.145856 11.480 0.989635 0.989910 0.786130 0.574304 0.196090 0.145855 35.0

160 0.989634 0.989909 0.786113 0.574306 0.196086 0.145855 55.4320 0.989634 0.989909 0.786109 0.574306 0.196085 0.145855 135.0640 0.989634 0.989909 0.786107 0.574307 0.196084 0.145854 398.6

Tab. 5.6: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso A4jmax T ∗(1) T ∗

R (1) Y ∗(1) Y ∗R (1) W ∗(1) W ∗

R (1) CPU10 0.677019 0.677682 1.67138 1.28671 0.688155 0.545807 1.220 0.676679 0.677350 1.67792 1.28884 0.690951 0.546537 3.040 0.676574 0.677246 1.67955 1.28944 0.691676 0.546754 7.180 0.676545 0.677218 1.67995 1.28960 0.691860 0.546813 16.4

160 0.676537 0.677210 1.68005 1.28964 0.691906 0.546829 40.2320 0.676535 0.677208 1.68008 1.28965 0.691918 0.546833 86.9640 0.676535 0.677207 1.68008 1.28966 0.691921 0.546834 191.3


Tab. 5.7: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso B1

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.998516 0.998855 0.497868 0.216750 0.246488 0.110691 3.120 0.998503 0.998843 0.498684 0.216789 0.246815 0.110450 6.340 0.998501 0.998841 0.498674 0.216797 0.246794 0.110395 13.980 0.998500 0.998840 0.498648 0.216799 0.246777 0.110382 35.5

160 0.998500 0.998840 0.498640 0.216799 0.246772 0.110379 77.0320 0.998500 0.998840 0.498638 0.216800 0.246771 0.110378 193.4640 0.998500 0.998840 0.498637 0.216800 0.246770 0.110378 351.5

Tab. 5.8: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso B2jmax T ∗(1) T ∗

R (1) Y ∗(1) Y ∗R (1) W ∗(1) W ∗

R (1) CPU10 0.990165 0.991675 1.45288 0.239853 0.673024 0.135852 2.2120 0.989209 0.990786 1.49909 0.242587 0.693718 0.129198 4.740 0.988906 0.990503 1.51168 0.243453 0.699395 0.126766 10.080 0.988822 0.990424 1.51490 0.243690 0.700842 0.126095 26.6160 0.988800 0.990404 1.51571 0.243751 0.701205 0.125926 54.4320 0.988795 0.990399 1.51591 0.243767 0.701296 0.125884 141.2640 0.988794 0.990397 1.51596 0.243771 0.701318 0.125873 342.7

Tab. 5.9: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso B3

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.983423 0.983865 0.616618 0.263761 0.311027 0.138273 2.020 0.983135 0.983582 0.620514 0.264604 0.312977 0.138340 4.640 0.983062 0.983510 0.621360 0.264819 0.313401 0.138364 8.980 0.983044 0.983491 0.621557 0.264873 0.313500 0.138372 20.7

160 0.983039 0.983487 0.621606 0.264886 0.313524 0.138374 48.8320 0.983038 0.983486 0.621617 0.264890 0.313530 0.138374 100.3640 0.983038 0.983485 0.621620 0.264891 0.313532 0.138374 256.7

Tab. 5.10: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso B4jmax T ∗(1) T ∗

R (1) Y ∗(1) Y ∗R (1) W ∗(1) W ∗

R (1) CPU10 0.738765 0.739248 0.99708 0.758645 0.801057 0.621299 1.420 0.738938 0.739428 1.00226 0.759183 0.804612 0.621073 3.140 0.738959 0.739450 1.00359 0.759446 0.805566 0.621123 6.080 0.738960 0.739452 1.00392 0.759529 0.805812 0.621151 16.4160 0.738960 0.739452 1.00400 0.759552 0.805875 0.621160 37.7320 0.738960 0.739452 1.00402 0.759558 0.805891 0.621162 81.4640 0.738960 0.739452 1.00403 0.759560 0.805895 0.621163 160.9


Tab. 5.11: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso C1

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.998827 0.999093 0.768268 0.547084 0.476575 0.346197 2.420 0.998812 0.999080 0.769680 0.547128 0.477350 0.346030 5.040 0.998808 0.999077 0.769880 0.547138 0.477454 0.345992 10.780 0.998808 0.999076 0.769910 0.547140 0.477468 0.345983 29.1

160 0.998807 0.999076 0.769916 0.547140 0.477470 0.345981 57.4320 0.998807 0.999076 0.769917 0.547140 0.477470 0.345981 133.7640 0.998807 0.999076 0.769917 0.547141 0.477470 0.345981 290.3

Tab. 5.12: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso C2jmax T ∗(1) T ∗

R (1) Y ∗(1) Y ∗R (1) W ∗(1) W ∗

R (1) CPU10 0.993696 0.994613 1.29849 0.561521 0.774946 0.362433 1.820 0.992954 0.993917 1.32972 0.563660 0.792539 0.359895 3.240 0.992718 0.993694 1.33830 0.564341 0.797386 0.358865 8.380 0.992652 0.993632 1.34048 0.564530 0.798616 0.358576 22.8160 0.992635 0.993616 1.34102 0.564578 0.798921 0.358502 44.3320 0.992631 0.993612 1.34116 0.564590 0.798997 0.358484 111.0640 0.992630 0.993611 1.34119 0.564593 0.799016 0.358480 285.1

Tab. 5.13: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso C3

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.987979 0.988296 0.834532 0.581011 0.520504 0.370747 2.020 0.987739 0.988060 0.837744 0.581715 0.522442 0.370989 4.640 0.987679 0.988000 0.838446 0.581892 0.522867 0.371054 11.280 0.987664 0.987986 0.838608 0.581936 0.522965 0.371071 25.2

160 0.987660 0.987982 0.838646 0.581947 0.522988 0.371075 49.6320 0.987659 0.987981 0.838656 0.581950 0.522994 0.371076 111.2640 0.987659 0.987981 0.838658 0.581950 0.522995 0.371076 313.6

Tab. 5.14: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso C4jmax T ∗(1) T ∗

R (1) Y ∗(1) Y ∗R (1) W ∗(1) W ∗

R (1) CPU10 0.766881 0.767320 1.10708 0.934453 0.847781 0.725250 1.220 0.766836 0.767282 1.11061 0.934659 0.850293 0.725229 2.640 0.766814 0.767261 1.11154 0.934793 0.850965 0.725280 5.680 0.766807 0.767254 1.11177 0.934837 0.851138 0.725302 10.1160 0.766804 0.767252 1.11183 0.934850 0.851182 0.725308 27.6320 0.766804 0.767252 1.11185 0.934853 0.851193 0.725310 72.2640 0.766804 0.767252 1.11185 0.934854 0.851196 0.725310 140.2


Tab. 5.15: Convergência com o tamanho de malha do grão – Caso D1

jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.998834 0.999074 0.415629 0.216034 0.580945 0.308258 1.920 0.998795 0.999040 0.419302 0.216148 0.585854 0.307973 5.340 0.998785 0.999031 0.420138 0.216177 0.586966 0.307902 11.380 0.998783 0.999029 0.420331 0.216184 0.587221 0.307886 30.9

160 0.998783 0.999028 0.420377 0.216186 0.587282 0.307882 59.5320 0.998782 0.999028 0.420388 0.216186 0.587297 0.307881 147.5640 0.998782 0.999028 0.420391 0.216186 0.587300 0.307881 317.0


jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.996191 0.996643 0.590100 0.223948 0.816305 0.324687 1.420 0.995243 0.995731 0.612081 0.226786 0.846519 0.326107 4.040 0.994921 0.995420 0.618582 0.227742 0.855497 0.326028 8.480 0.994822 0.995325 0.620324 0.228035 0.857912 0.325966 26.8

160 0.994795 0.995299 0.620766 0.228114 0.858526 0.325950 50.6320 0.994788 0.995292 0.620877 0.228134 0.858679 0.325946 117.8640 0.994787 0.995290 0.620904 0.228139 0.858718 0.325945 265.2


jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.988927 0.989178 0.450678 0.247698 0.635435 0.356434 1.820 0.988502 0.988759 0.455371 0.248993 0.642078 0.357910 3.740 0.988385 0.988643 0.456531 0.249348 0.643727 0.358320 8.880 0.988355 0.988614 0.456814 0.249439 0.644130 0.358426 18.4

160 0.988348 0.988606 0.456884 0.249462 0.644230 0.358454 42.8320 0.988346 0.988604 0.456901 0.249468 0.644254 0.358460 94.6640 0.988345 0.988604 0.456906 0.249469 0.644260 0.358462 289.1


jmax T ∗(1) T ∗R (1) Y ∗(1) Y ∗

R (1) W ∗(1) W ∗R (1) CPU

10 0.806891 0.807225 0.530521 0.453290 0.914440 0.786048 1.320 0.807113 0.807455 0.532279 0.451596 0.917114 0.782889 2.140 0.807170 0.807514 0.532782 0.451275 0.917885 0.782254 5.980 0.807184 0.807528 0.532915 0.451209 0.918090 0.782120 11.3

160 0.807187 0.807531 0.532948 0.451195 0.918143 0.782089 28.3320 0.807188 0.807532 0.532957 0.451192 0.918157 0.782082 64.1640 0.807188 0.807532 0.532959 0.451191 0.918160 0.782080 135.7


Após análise dos resultados podemos concluir que os valores obtidos na simulação

do caso A3 convergiram (com três dígitos) para o valor mínimo de divisões na malha,

jmax = 10. Este foi o caso onde se teve o melhor desempenho computacional. Já para o

caso C2 (que foi o pior caso) foram necessárias 640 divisões. A seguir é apresentada a

Tabela 5.19, que mostra o desempenho das simulações identificando o parâmetro com

maior dificuldade de estabilizar e o número de divisões de malha para consegui-lo.

Em relação ao tempo computacional gasto nas simulações é possível perceber que

para o caso A1 com 640 divisões este tempo é maior em torno de 492,8 segundos, esse

resultado é devido ao número de divisões e devido as condições de simulação, para

parâmetros de simulação que gera uma maior dinâmica no processo são necessários

maiores divisões na malha e em consequência maiores tempos computacionais. Já nos

casos A4 e C4 são os que apresentam maior rapidez na resolução.

Tab. 5.19: Análise das condições de simulação da malhaCasos Parâmetro Crítico jmax CPU

C2 W ∗ 640 285,1A1 Y ∗ 160 73,6B2 Y ∗, W ∗ e W ∗

R 160 54,4D2 W ∗ 160 50,6A4 Y ∗ 160 40,2B4 Y ∗ 160 37,7D1 W ∗ 80 30,9C3 T ∗

R 80 25,2D3 W ∗ 80 18,4D4 W ∗ 80 11,3C1 W ∗

R 40 10,7C4 W ∗ 80 10,1B3 Y ∗ e W ∗ 40 8,9B1 Y ∗ 20 6,3A2 Y ∗ 160 6,1A3 — 10 2,6


5.3 Caso A

5.3.1 Caso A1

A figura 5.1 apresenta a evolução das médias espaciais do teor de água adimensional

na fase adsorvida (W ∗) e da temperatura no grão.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

40

50

60

70TH°CL

TR

T

Fig. 5.1: Distribuição do teor de água na fase adsorvida e da temperatura variando como tempo.

Em seguida, a figura 5.2 apresenta os campos de temperatura T , teores de água

adimensional nas fases adsorvida W ∗ e gasosa Y , em função da posição adimensional

r ∗ para diferentes instantes de tempo.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

40

50

60

70T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

50

100

150

200

250

300Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

Fig. 5.2: Distribuição da temperatura e dos teores de água nas fases adsorvida e gasosadentro do grão durante a secagem – Caso A1.


Nas figuras 5.1 e 5.2, pode se observar que a temperatura eleva-se rapidamente em

todo o grão e o teor de água evapora-se mais rápido na superfície e no interior do grão

acontece gradativamente. Na fase gasosa quando o processo se inicia, há um aumento

do teor de água devido a rápida evaporação da água líquida, a medida que o tempo

aumenta o teor de água na fase gasosa vai diminuindo até ficar em equilíbrio com o

teor de água na fase gasosa da corrente de ar.

5.3.2 Caso A2

A figura 5.3 apresenta a evolução das médias espaciais da quantidade do teor de água

adimensional na fase adsorvida (W ∗) e da temperatura no grão, para o caso A2.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

40

50

60

70TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

40

50

60

70T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

50

100

150

200

250

300Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



No caso A2, os números de Fick e Fourier são menores comparado ao caso anterior.

Pode-se observar que a velocidade de secagem diminui e o teor de água média na

fase adsorvida não alcança o valor mínimo do tempo estabelecido mas na superfície a

evaporação é rápida. Na figura 5.4, é possível visualizar que o processo de secagem é

mais lento ocasionando um aumento na concentração do teor de água na fase gasosa,

onde o escoamento para fora do grão acontece de forma mais lento devido ao baixo

valor de Fick.

5.3.3 Caso A3

A figura 5.5 apresenta a evolução das médias espaciais da quantidade de teor de água


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

40

50

60

70TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

40

50

60

70T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

50

100

150

200

250

300Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



No caso A3, o baixo valor de Biot de massa combinado com o alto valor de Fick,

provoca uma secagem rápida mas ao mesmo tempo uniforme dentro do grão. As tem-

peraturas média e na superfície são uniformes em todo o processo devido ao baixo

valor de Biot de calor. Na figura 5.6 o comportamento da simulação é similar ao caso

A1, sendo que para valores pequenos de Biot ocasiona uma taxa de secagem menor.

5.3.4 Caso A4



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

40

50

60

70TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

40

50

60

70T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0


Nas figuras 5.7 e 5.8 mostram que a combinação de baixos valores dos números

de Biot de massa e calor com os altos valores dos números de Fick e Fourier, diminui


drasticamente o processo de secagem comparado aos casos anteriores. A temperatura

do grão demora mais para alcançar a temperatura de equilíbrio. A concentração do teor

de água na fase gasosa no começo do processo é muito baixa e ao decorrer do processo

vai aumentando lentamente, isto ocorre devido ao baixo valor do númedo de Biot de

massa e de calor.

5.4 Caso B

5.4.1 Caso B1


adimensional na fase adsorvida (W ∗) e da temperatura no grão, para o caso B1.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

30

40

50

TH°CL

TR

T






0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

30

40

50

T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

Fig. 5.10: Distribuição da temperatura e dos teores de água nas fases adsorvida e ga-sosa dentro do grão durante a secagem – Caso B1.


Comparado ao caso A1, verifica-se que as simulação são similares. A temperatura

inicial neste caso, é menor que no caso A1, tendo como consequência uma menor

capacidade do ar de absorver o vapor e portanto diminuindo a taxa de secagem.

5.4.2 Caso B2



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

30

40

50

TH°CL

TR

T

Fig. 5.11: Distribuição do teor de água na fase adsorvida e da temperatura variandocom o tempo.





0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

30

40

50

T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



Neste caso observa-se que o processo de secagem é mais lento que no caso A2,

consequência da temperatura inicial dos grãos.

5.4.3 Caso B3



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

30

40

50

TH°CL

TR

T

Fig. 5.13: Distribuição do teor de água na fase adsorida e da temperatura variando como tempo.





0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

30

40

50

T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



Este caso é similar ao A3, onde a diferença se deve a menor temperatura inicial. No

gráfico de Y ∗ versus r ∗, pode-se observar uma menor umidificação do ar e a lentidão

do processo.

5.4.4 Caso B4



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

30

40

50

TH°CL

TR

T






0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

30

40

50

T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

10

20

30

40

50

60

70Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



Similar ao caso A4 apresentando um processo de secagem mais lenta devido a

menor temperatura inicial do grão.

5.5 Caso C

5.5.1 Caso C1


adimensional na fase adsorvida (W ∗) e da temperatura no grão, para o caso C1.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

35

40

45

50TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

35

40

45

50T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

Fig. 5.18: Distribuição da temperatura e dos teores de água nas fases adsorvida e ga-sosa dentro do grão durante a secagem – Caso C1.


Com uma maior diferença de temperatura entre o grão e a corrente de ar, o processo

de secagem do grão é mais rápido. Isto pode ser observado comparando o caso C1 a

A1. Percebe-se que o teor de água média do grão diminui gradativamente até alcançar

níveis muito próximos do estabelecido. Também pode ser observado que a quantidade

de teor de água líquida evaporada e de vapor dentro do grão são menores em relação

ao caso B1.

5.5.2 Caso C2



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

35

40

45

50TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

35

40

45

50T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



Este caso é similar ao A2, sendo que com a influência da diferença de temperatura,

faz que a secagem nessas condições seja mais lenta.

5.5.3 Caso C3

A figura 5.19 apresenta a evolução das médias espaciais de quantidade de teor de água


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

35

40

45

50TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

35

40

45

50T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



As curvas de teor de água na fase adsorvida são bem parecidas com o caso B3.

Com a mudança da faixa de temperatura as faixas de teores de água foram deslocadas

para valores menores, isto é, havendo uma evaporação mais lenta e a quantidade de

teor de água na fase gasosa também diminuiu em relação ao caso anterior.

5.5.4 Caso C4



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

35

40

45

50TH°CL

TR

T






0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

35

40

45

50T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

10

20

30

40

50

60

70Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



Similar ao caso B4, sendo que a diferença no teor de água na fase gasosa no interior

do grão inicialmente é muito maior.

O caso D encontra-se no apêndice por reproduzir condições similares as descritas

anteriormente.

5.5.5 Comparação entre os Casos A, B, C e D

Nas figuras resultantes da simulação pode-se concluir que maiores diferenças de tem-

peratura entre o grão e a corrente de ar fazem com que o processo de secagem aconteça

com mais rapidez. Por outro lado maiores temperaturas iniciais do grão facilitam o pro-

cesso de secagem. Isto se deve ao comportamento de adsorção de vapor no ar, o qual

indica que com maiores temperaturas, o ar é capaz de transportar maiores quantidades

de vapor nele diluídos.

Pode-se observar nos resultados obtidos para o teor de água líquida dentro do grão

que valores grandes de Fick e Biot de massa tem como consequência maior rapidez no

processo de secagem. E, as curvas de temperatura, indicam que para valores grandes

de Biot de calor e Fourier, os grãos alcançam mais rápido a temperatura de equilíbrio.

5.6 Validação

Para a validação do modelo desenvolvido buscou-se na literatura um modelo matemá-

tico que permitisse simular situações do processo de secagem para comparar com o

modelo proposto. O modelo selecionado foi de Thompson et al. [62], o qual foi de-

senvolvido inicialmente para o milho, mas este modelo pode ser utilizado para outros

grãos, modificando as constantes que dependem do produto e da temperatura, as quais

estão disponíveis no trabalho de Mata et al. [63]. O modelo de Thompson permite pre-

dizer o tempo de secagem para uma camada fina de grãos a partir das condições inicias

do teor de água do grão, as condições do ar de secagem e o teor de água esperado no

final do processo. A seguir, é apresentado o modelo de Thompson e sua modificação

para a comparação com o modelo desenvolvido nesta dissertação.


Modelo de Thompson

t = A ln(RU )+B [ln(RU )]2 (5.1)

RU = U −Ue

Uo −Ue(5.2)

onde,

t - tempo, em horas;

A, B - constantes que dependem do produto e da temperatura;

RU - razão de umidade, adimensional;

U - teor de água;

Ue - teor de água de equilíbrio;

Uo - teor de água inicial.

Adaptação para a utilização do modelo de Thompson, sendo:

W ∗ = U

UoX = ln(RU ) t∗ = t

τ(5.3)

e substituindo nas equações 5.1 e 5.2:

t = A X +B X 2 (5.4)

B X 2 + A X −τ t∗ = 0 (5.5)

RU =Uo

(U−Ue

Uo

)Uo −Ue

=Uo

(W ∗− Ue

Uo

)Uo −Ue

(5.6)

A solução do modelo adaptado é:

X = −A±p

A2 −4B τ t∗

2B(5.7)

Selecionando a solução adequada ao processo, o valor de W ∗ pode ser resolvido em

função do tempo. Para realizar a comparação do comportamento entre os dois mode-

los, foram realizadas simulações para diferentes condições de secagem. As condições


simuladas são apresentadas nas seguintes tabelas 5.20 e 5.21:

Tab. 5.20: Temperaturas para a validação do processo de secagem do grãoCaso A Caso B Caso C Caso D

Tmin 30 15 30 15∆T 40 40 20 20

Para as condições simuladas, os paramêtros utilizados no modelo desenvolvido foi:

Tab. 5.21: Condições para a validação do processo de secagem do grãoBim

g Bih Fig Fo200 1 50 5

Para a simulação dos casos A, B, C e D apresentados na seção anterior, foram uti-

lizados diferentes faixas para os números adimensionais com o objetivo de mostrar

a variação do desempenho do modelo no processo de secagem. Já para a validação

foram utilizados valores de números adimensionais mais próximos à processos expe-

rimentais. Dados experimentais e outros modelos de secagem podem ser encontrados

disponíveis em Borges [64].

A seguir, a figura 5.25 apresenta a variação média do teor de água na fase adsorvida

com o tempo adimensionais, para o modelo de Thompson e o modelo proposto, em

diferentes temperaturas.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

W*

Thomp

W*

Wmin

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

W*

Thomp

W*

Wmin

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

W*

Thomp

W*

Wmin

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

W*

Thomp

W*

Wmin

Fig. 5.25: Validação do teor de água na fase adsorvida com o tempo – Casos A, B, C eD, respectivamente.


Avaliando as figuras anteriores pode-se concluir que os dois modelos apresentam

comportamento similar em diferentes faixas de temperaturas. Observando as curvas

percebe-se que com maiores diferenças de temperaturas entre o ar ambiente e o ar de

secagem, o comportamento dos dois modelos tendem a ser iguais, já para menores

diferenças de temperatura observa-se que o teor de água contido no grão é menor no

modelo de Thompson quando comparado ao modelo desenvolvido, isto é, o modelo

Thompson prediz uma secagem mais rápida.

Capítulo 6

Conclusões

Este trabalho apresentou o desenvolvimento de uma formulação matemática para a si-

mulação do processo de secagem em grãos. Tal formulação contempla equações para

transferência de calor e massa acopladas com a presença de adsorção física. As equa-

ções de transporte foram normalizadas utilizando parâmetros adimensionais relevantes

em transferência de calor e massa com adsorção. Como resultados da modelagem ma-

temática foram obtidos um conjunto de equações que consideram os conteúdos em

fase líquida e fase gasosa dentro do grão e os mecanismos envolvidos no processo de

secagem. Estas equações foram então adimensionalizadas, podendo-se observar na

modelagem final a influência dos números de Biot de massa e Fick nas equações de

balanço de massa e o Biot de calor e Fourier nas equações de balanço de energia.

Como o problema resultante é não-linear, uma solução numérica utilizando o Mé-

todo de Volumes Finitos combinado ao Método das Linhas foi implementada. Após

a implementação da solução numérica, simulações ilustrativas foram feitas, conside-

rando quatro casos com diferentes parâmetros adimensionais e com quatro configura-

ções de temperatura inicial e diferenças de temperatura entre o ar e o grão, resultando

em 16 casos-testes. As simulações procuraram reproduzir condições de secagem simi-

lares às reais. O primeiro e o terceiro caso levaram em consideração uma temperatura

inicial dos grãos similar as condições ambientais de climas tropicais, sendo que para a

secagem do Caso A foi utilizado ar seco e aquecido numa temperatura mais elevada do

99

6. Conclusões 100

que o Caso C. Já no segundo e quarto caso a temperatura inicial do grão corresponde

a climas mais amenos e as condições da corrente de ar de secagem também é seco e

aquecido sendo que para o caso B, a diferença de temperatura é maior. Os resultados

obtidos na simulação do modelo de secagem proposto são coerentes com que acontece

em um processo de secagem real.

Avaliando o comportamento dos processos de secagem pode-se concluir que para

maiores temperaturas do grão e maiores diferenças de temperatura na corrente de ar o

processo de secagem é favorecido, mas avaliando no ponto de vista da qualidade do

produto essa secagem excessivamente rápida na superfície pode provocar trincas e/ou

rupturas na superfície do grão. No caso contrário, quando a temperatura inicial é baixa

e a diferença de temperatura na corrente de ar também, o processo de secagem acontece

de maneira uniforme e fácil de controlar mas os tempos de secagem aumentam exces-

sivamente comparado com o caso anterior. O modelo desenvolvido permite simular

diferentes condições de secagem possibilitando otimizar o processo com o objetivo de

se obter um grão seco de boa qualidade no menor tempo possível.

O tempo computacional resultante das simulações permite dizer que os casos A2,

B2, C2 e D2 requerem maior número de divisões na malha. Para os casos A3, B3,

C3 e D3 requerem um número de divisões menor. Pode-se concluir que a simulação

dos processos de secagem sob condições que geram uma maior dinâmica no processo

precisam de maior número de divisões na malha e consomem maiores recursos com-

putacionais.

O modelo desenvolvido foi validado realizando uma comparação com o modelo de

Thompson. Desta validação se conclui que este modelo permite simular o processo

de secagem de grãos com igual precisão como no modelo de Thompson, apresentando

como vantagem a possibilidade de conhecer a distribuição do teor de água e da tempe-

ratura no interior do grão durante o processo.

Como comentários finais, deve-se mencionar que este estudo utilizou na modela-

gem mecanismos de processo de secagem diferentes dos utilizados por outros autores

obtendo resultados satisfatórios. Diferentes processos de secagem utilizando diferen-

6. Conclusões 101

tes condições e diferentes valores para os parâmetros adimensionais foram testados,

um modelo que leve em consideração um conjunto de grãos foi desenvolvido.

Referências

[1] D. B. Brokker, F. W. Bakker-Arkema, e C. M. Hall. Drying and Storage of Grains

and Oilseeds. Van Nostrand Reinhold, New York, 1992.

[2] N. Wang e J. G. Brennan. A mathematical model of simultaneous heat and mass

transfer during drying of potato. Journal of Food Engineering, 24:47–60, 1995.

[3] D. Puzzi. Conservação dos grãos armazenados. Agronômica Ceres, 1973.

[4] M. Mishkin, I. Saguy, e M. Karel. Dynamic optimization of dehydration process:

Minimising browning in dehydration of potatoes. Journal of Food Science, 48:

1617–1621, 1983.

[5] Vitor José Petry. Desenvolvimento de um Modelo para a Transferência de Calor

e Massa em Meios Granulares. Tese de Doutorado, Universidade Federal do Rio

Grande do Sul, Porto Alegre, RS, 2007.

[6] A. Husain, C. S. Chen, J. T. Clayton, e L. F. Whitney. Mathematical simulation

of mass and heat transfer in high moisture foods. Transaction of the ASAE, 15:

732–736, 1972.

[7] M. Balaban e G. M. Pigott. Mathematical model of simultaneous heat and mass

transfer in food with dimensional changes and variable transport parameters.

Journal of Food Science, 53(3):935–939, 1988.

[8] N. Sakai e K. I. Hayakawa. Heat and moisture transfer in composite food-

theorical analisys of influence of surface conductance and component arrange-

ment. Journal of Food Science, 58(6):1335–1339, 1993.

[9] A. Mulet. Drying modeling and water diffusivity in carrots and potatoes. Journal

of Food Engineering, 22:329–348, 1994.

[10] Z. B. Maurolis, C. T. Kiranoudis, e D. Marionos-Kouris. Heat and mass transfer

modeling in air drying of foods. Journal of Engineering, 26:113–130, 1995.

102

6. Conclusões 103

[11] C. Ratti e G. H. Crapiste. Determination of heat transfer coefficients during

drying of foodstuff. Journal of Food Process Engineering, 18:41–53, 1995.

[12] G. Pavón-Melendez, J. A. Hernández, M. A. Salgado, e M. A. García. Dimensi-

onless analysis of the simultaneous heat and mass transfer in food drying. Journal


[13] V. T. Karathanos, G. Villalobos, e G. D. Saravacos. Comparison of two methods

of estimation of the effective moisture diffusivity from driyng data. Journal of

Food Science, 55(1):218–223, 1990.

[14] C. Chávez, M. A. Salgado, H. S. García, J. De la Cruz, e M. A. García. Modeling

of drying curves for some foodstuff using a kinetic equation of high order. Drying

Technology, 13(8–9):2113–2122, 1995.

[15] N. P. Zogzas e Z. B. Maurolis. Effective moisture diffusivity estimation from

drying data. a comparison between various methods of analysis. Drying Techno-

logy, 14(7–8):1543–1573, 1996.

[16] K. Thorvaldsson e H. Janestad. A model for simultaneous heat, water and vapour

diffusion. Journal of Food Engineering, 40, 1999.

[17] A. K. Datta. Porous media approaches to studying simultaneous heat and mass

transfer in food processes. i: Problem formulations. Food Engineering, 80:80–95,

2007.

[18] S. Whitaker. Simultaneous heat, mass and momentum transfer in porous media:

A theory of drying. In Thomas Francis Irvine e James P. Hartnett, editors, Ad-

vances in heat transfer, volume 13, pages 119–203. NewYork: Academic Press,

1977.

[19] A. V. Luikov. Systems of differential equations of heat and mass transfer in

capillary-porous bodies (review). International Journal of Heat and Mass Trans-

fer, 18(1):1–14, 1975.

6. Conclusões 104

[20] I. W. Turner e W. J Ferguson. An unstructured mesh cell-centered control volume

method for simulating heat and mass transfer in porous media: Application to

softwood drying, part 1: The isotropic model. Appl. Math. Modelling, 19:654–

667, 1995.

[21] A. Mhimid, S. B. Nasrallah, e J. P. Fohr. Heat and mass transfer during drying of

granular products - simulation with convective and conductive boundary conditi-

ons. International Journal of Heat and Mass Trasfer, 43, 2000.

[22] Z. H. Wang e G. Chen. Heat and mass transfer in batch fluidized-bed drying of

porous particles. Chemical Engineering Science, 55, 2000.

[23] R. Prommas, P. Rattandecho, e D. Cholaseuk. Energy and exergy analyses in

drying process of porous media using hot air. International Communications in

Heat and Mass Transfer, 37:372–378, 2010.

[24] Kamil Kahveci e Ahmet Cihan. Drying of Food Materials: Transport Pheno-

mena. Nova Science Publishers Inc., New York, 2008.

[25] J. R. Philip e D. A. De Vries. Trans. am. geophys. Union, 38(2):222–232, 1957.

[26] A. V. Luikov. In Advances in Heat Transfer, volume 1. Academic Press, New

York, 1964.

[27] A. V. Luikov. Heat and Mass Transfer in Capillary Porous Bodies. Pergamon

Pres, Oxford, 1966.

[28] O. Krischer e W. Kast. Die Wissenschaftlichen Grundlagen der Trocknungstech-

nik. Erster Band, dritte Auflage, Berlin, 1992.

[29] D. Berger e D. C. T. Pei. Drying of hygroscopic capillary porous solids – a

theoretical approach. International Journal of Heat and Mass Transfer, 16(2):

293–302, 1973.

[30] S. Whitaker. In Heat and Mass Transfer in Granular Porous Media: Advances in

Drying 1. A. S. Hemisphere Publ. Corp., Washington DC, 1980.

6. Conclusões 105

[31] E. Barati e J. A. Esfahani. Mathematical modeling of convective drying: Lumped

temperature and spatially distributed moisture in slab. Energy, pages 1–8, 2010.

[32] E. Purlis e V. O. Salvadori. Bread baking as a moving boundary problem, part 2:

Model validation and numerical simulation. Food Engineering, 91(3):434–442,

2009.

[33] K. Murugesan, K. N. Seetharamu, e P. A. A. Narayana. A onedimensional analy-

sis of convective drying of porous materials. Heat and Mass Transfer, 32(1),

1996.

[34] M. Aversa, S. Curcio, V. Calabro, e G. Dorio. An analysis of the transport pheno-

mena occurring during food drying process. Food Engineering, 78(3):922–932,

2007.

[35] L. Oliveira e K. Haghighi. Conjugate heat ans mass transfer in convective drying

of multiparticle systems. part ii: Soybean ddrying. Drying Technology, 17, 1998.

[36] B. A. Souraki e D. Mowla. Simulation of drying behaviour of a small spherical

foodstuff in a microwave assisted fluidized bed of inert particles. Food Research

International, 41:255–265, 2008.

[37] W. E. Schiesser. The Numerical Method of Lines: Integration of Partial Differen-

tial Equations. Academic Press, San Diego, 1991.

[38] Jacob Bear. Dynamics of Fluids in Porous Media. Dover, Mineola, NY, 1988.

[39] D. M. Ruthven. Principles of Adsorption and Adsorption Processes. John Wiley

& Sons, New York, NY, 1984.

[40] E. R. Gilliland, R. F. Baddour, G. Perkinson, e K. J. Sladek. Diffusion on sur-

faces – I: Effect of concentration on the diffusivity of physically adsorbed gases.

Industrial and Engineering Chemistry Fundamentals, 13(2):95–100, 1974.

6. Conclusões 106

[41] K. J. Sladek, E. R. Gilliland, e R. F. Baddour. Diffusion on surfaces – II: Corre-

lation of diffusivities of physically and chemically adsorbed species. Industrial

and Engineering Chemistry Fundamentals, 13(2):100–105, 1974.

[42] S. Whitaker. The Method of Volume Averaging. Netherlands, 1999.

[43] R. E. Treybal. Mass-Transfer Operations. McGraw–Hill, 1980.

[44] L. A. Sphaier e W. M. Worek. Analysis of heat and mass transfer in porous

sorbents used in rotary regenerators. Transaction of the ASAE, 47:3415–3430,

2004.

[45] L. A. Sphaier. Notas de aulas de transferência de calor por convecção. Pós-

Graduação em Engenharia Mecânica. Universidade Federal Fluminense, 2009.

[46] L. A. Sphaier e W. M. Worek. Comparisons between 2D and 1D formulations of

heat and mass transfer in rotary regenerators. Numerical Heat Transfer – Part B,

49:223–237, 2006.

[47] L. A. Sphaier e W. M. Worek. The effect of axial diffusion in desiccant and

enthalpy wheels. International Journal of Heat and Mass Transfer, 49:1412–

1419, 2006.

[48] Leandro Alcoforado Sphaier. A Unified Model of Heat and Mass Diffusion in

Porous Materials Used in Rotary Heat and Mass Exchangers. Tese de Doutorado,

University of Illinois at Chicago, Chicago, IL, USA, December 2005.

[49] Y. Cengel. Transferência de Calor. McGrawHill, Mexico, 2rd edition, 2004.

[50] M. C. Gely e S. A. Giner. Diffusion coefficient relationships during drying of

soya bean cultivars. Biosystems Engineering, 96(2):213–222, 2007.

[51] S. M. C. Celestino. Transferência de calor e massa em leito deslizante e escoa-

mentos concorrentes: Secagem de sementes de soja. Dissertação de Mestrado,

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Química, Universidade Federal de

Uberlândia, Uberlândia, MG, 1998.

6. Conclusões 107

[52] M. Kashaninejad, M. Ahmadi, A. Daraei, e D. Chabra. Handling and frictional

characteristics of soybean as a function of moisture content and variety. Powder

Technology, 188, 2008.

[53] D. V. Brooker, F. W. Bakker-Arkema, e C. W. Hall. Drying Cereal Grains. The

Avi Publishing Company, Inc., Westport, 1974.

[54] S. Prachayawarakorn, S. Ruengnarong, e S. Soponronnarit. Characteristics of

heat transfer in two-dimensional spouted bed. Journal of Food Engineering, 76

(3):327–333, 2006.

[55] M. Quintard, L. Bletzacker, e S. Whitaker. Nonlinear, multicomponent, mass

transport in porous media. Chemical Engineering Science, 61:2643–2669, 2006.

[56] V. G. S. Raghavan e V. Sosle. Handbook of Industrial Drying. CRC Press,

Singapore, 2007.

[57] L. A. Sphaier e W. M. Worek. Numerical solution and optimization of combined

heat and mass diffusion in rotary regenerators. Numerical Heat Transfer – Part

A, 53(11):1133–1155, 2008.

[58] ASHRAE. ASHRAE Handbook Fundamentals. American Society of Heating,

Refrigerating and Air-conditioning Engineers, Atlanta, GA, 2005.

[59] S. Wolfram. The Mathematica Book. Wolfram Media/Cambridge University

Press, New York/Champaign, IL, 5th edition, 2003.

[60] C. A. Claser. Efeito da temperatura e da umidade relativa do ar de secagem na

germinação de sementes de soja. Dissertação de Mestrado, Mestrado em Enge-

nharia Agrícola, Universidade Federal de Viçosa, Viçosa, MG, 1995.

[61] T. A. Soares, M. A. N. Biaggioni, e J. B. F. Neto. Análise da acidez graxa como

Índice de qualidade em grãos de soja. Energia na Agricultura, 20(1):91–102,

2005.

6. Conclusões 108

[62] T. L. Thompson, R. M. Peart, e G. H. Foster. Mathematical simulation of corn

drying a new modelo. Transaction of the ASAE, 11(4):582–586, 1968.

[63] M. E. R. M. C. Mata, L. A. Dantas, e M. E. D. Braga. Programa computacional

para a simulação de secagem de grãos. Revista Brasileira de Produtos Agroin-

dustriais, 1(1), 1999.

[64] Pedro Augusto Pereira Borges. Modelagem dos Processos Envolvidos nos Siste-

mas de Secagem e Armazenamento de Grãos. Tese de Doutorado, Universidade

Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, 2002.

[65] M. D. Matteo, L. Cinquanta, G. Galiero, e S. Crescitelli. A mathematical model

of mass transfer in spherical geometry: Plum (prunus domestica) drying. Journal


[66] S. Simal, A. Mulet, J. Tarrazo, e C. Rossello. Drying models for green peas. Food

Chemistry, 55(2), 1996.

[67] S. Sokhansanj, W. Lang, e D. Gu. Advances in mathematical modeling of heat

and mass transfer during through flow-air drying of cereal grain. Science Tech-

nological Int., 3(3), 1997.

[68] S. A. Giner, R. M. T. Irigoyen, S. Cicuttín, e C. Fiorentini. The variable nature of

biot numbers in food drying. Journal of Food Engineering, 101:214–222, 2010.

Apêndice A

Apêndice

A.1 Propriedades de outros alimentos

Tab. A.1: Paramêtros Relacionados aos Alimentos

Paramêtros Alimento Valor Unidade Ref.Difusividade gasosa (Dg ) Ameixa 7,355×10−10 ±2,77×10−13 m2/s [65]Condutividade térmica (k) Ameixa 0,115 W/mK [65]Coeficiente de transferência de massa (hm) Ameixa 1,025×10−7 ±5,55×10−11 m/s [65]Calor específico de vapor (cp v ) Ervilha 1,884 J/kgK [66]Raio (R) Ervilha 5,05×10−3 ±0,5×10−4 m [66]Temperatura (T ) Ervilha 40 a 90 °C [66]Porosidade leito poroso (εb) Trigo 0,43 — [67]Raio (R) Trigo 1,8×10−3 a 2,0×10−3 m [68]Coeficiente de transferência de calor (hh) Trigo 21,9 W/m2K1 [68]Coeficiente de transferência de massa (hm) Trigo 1,51×10−7 kg/m2sPa [68]Umidade relativa do ar Trigo 0,08 — [68]Massa especifíca do sólido (ρs) Trigo 1.058,5 kg/m3 [68]

109

Apêndice A. Apêndice 110

A.2 Simulação Caso D

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

20

25

30

35TH°CL

TR

T

Fig. A.1: Distribuição do teor de água na fase adsorvida e da temperatura variandocom o tempo.


0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

25

30

35T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

Fig. A.2: Distribuição da temperatura e dos teores de água nas fases adsorvida e gasosadentro do grão durante a secagem – Caso D1.


0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

20

25

30

35TH°CL

TR

T



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

25

30

35T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

20

25

30

35TH°CL

TR

T



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

25

30

35T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

40

60

80

100

120Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0



0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0W *

WR*

W*

Wmin*

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0t*

20

25

30

35TH°CL

TR

T



0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

W *

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

20

25

30

35T

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0r*

10

20

30

40

50

60

70Y HgkgL

t*= 1.0

t*= 0.8

t*= 0.6

t*= 0.4

t*= 0.2

t*= 0.0


pgmec · de calor e massa juntamente com o material analisado. neste trabalho, propõe-se um neste...

Documents