integraalrekening. · de oppervlakte van een positieve funktie tussen de grenzen a,b is gel ijk aan...
TRANSCRIPT
1
INTEGRAALREKENING.
Onder een primitieve funktie F(x) van een funktie f(x) verstaan
we de funktie F(x) waarvoor geldt:
F ' (x) = f (x)
B i j v. f (x) = 2x F (x) = x2 + c (c R)
een primitieve funktie f(x) = 2x F(x) = x2
de primitieve funktie f(x) = 2x F(x) = x2 + c
Rekenregels:
Als f(x) = c
f (x) = xn (n~1)
f (x) = 4(x) + v(x)
f (x) = sin x
f (x) =cos x
f (x) _ ~cos2x
f (x) = eX
f (x) = X (= x- ~)
Voorbeelden:
F(x) = cx + C
F (x) = n+1 xn+l + C
F (x) = U (x) + V(x) + C
F(x) _ - cos x + C
F (x) = s i n x+ C
F (x) = tan x + C
F(x) = eX + C
F (x) = In /x/+C
Vb : 1 . f (x) = 3x4 + x2 - g
~ _ 1 1
~ (" 3 5x5 + 3x3 - gx + C
~ 1 1 - 6/5f (x =~=X65= x
F ~ x ~ _ 1 - 1/ 5-1/5x
5 x -1 / 5 + c
= x~~5 + c = 55X + cV
Het bepalen van de primitieve funktie noemt men wel
onbepaald integreren.
2)
Integreren van samengestelde funkties:
vb: 2. f x2dx = 3 x3 + C
f (2x + 1) 2dx =
Noem: p = 2x + 1
dx = 2
dp = 2dx dx = Z dp f (2x + 1) 2 dx
d(2x + 1) = 2dx
dx = 2d (2x + 1) f (p) 2 2 dp
Z 3 (~b) 3 .
z 3 (2x+1) 3 +C
6 (2x + 1) 3 + C
(2x + 1) 2 .dx
_ (2x + 1) 2 Z d (2x + 1)
= Z (2x+1) 2 d(2x + 1)
= z p2. dp = 2 3 p3 + C
_ ~ (2x+1) 3 +C
Vb: 3. f sin 2x dx
Noem: p = 2x
dx 2
dp=2dx dx=z dp.
f s i n 2x dx
= j sin p. Z dp
= Zfsin p dp = 2 f sin p dp
= Z (- cos p) + C
_ -Z cos 2x + C
3)
Vb: 4. f s i n x cos x dx
Noem: p = sin x
dx = cos x
dp = cos x dx dx =cos x
f sinx cosx dx
= f p dp = Z p2 + C
= 2 s i n2x + C
Vb: 5. f x sin (3x2 - 4) dx
Noem: ~ _ 3x2 - 4
dp = 6x
dp = 6x dx
dx = x
p d 1f x sin ~= f 6 sin p dp = 6 sin p dp
6 (-cos p) + C = 6 (-cos 3x2 - 4) + C
_ -~ cos (3x2 -4) +C
Vb: 6• ~ sin2 5x dx p = 5x
d = 5
dx = 5 dp.
f sing 5x dx2 1= f sin p 5 dP ( cos 2 p = 1 - 2 sing p~
= 5 f sing p dp ~ 2 1 - cos -p~ sin p = 2
= 5 ~ ( 2 - 2 cos _Z p) dp
5 J 2 dp 5 J 2 cos2p dp
1 1 1 2 Zsin2p + C5 2 p _ ~
10 p 20 sin 2p + C
= 2x-20 sin 10x+C
4)
vb: 7.
i
f x cos(x2 + 1) dx
x cos (x2 + 1) dx
dgf x cos g Zx
Stel : g = (x2 + 1)
dg = 2x dx = Zg
f cos g Zg = ~ 2 cos g d ~g 2 f cos g dg
12 sin g+C
12 sin (x2 + 1) + C
4~~ dx Stel : g = x2 + 1x + 1 d
g =2xdx
dg = 2x dx
dx = gZ
4x d9 _ f 2 ~g = 2 f g d9f 9 2x
= 2 In / g / + C
= 2 to /x2 + 1 /+C
Een primitieve funktie wordt een logaritmevan:
c. K' (x)K x
Vb: 9• ( x eX2+4. dxJ
d= 1 x. e9 2g
( 12 eg dg
12 f eg dg
= 2 eg +C
2 eX2+4 + C .
Stel : g = x2 + 4
dg = 2x
dg = 2x dx
dx = 2g
indien f(x) de vorm heeft
5)
vb: ~o.cos x dx Stel : g = sin x
s in3x dgdx—cos x
s in-3x cos x dx dg = cos x dx
d d_ ( g-3 cos x dxcos x cos x .
f - 1g-3 dg __ fi g-2 + ~_ + CJ
22 sin x
6)
BEPAALDE INTEGRALEN EN OPPERVLAKTEBEREKENING.
Onder een bepaalde integraal , aangeduid metbf f(x) dx, verstaan we F(b) - F(a)a
f (x) hee.t de integrand. a = ondergrens.
b = bovengrens.
1Voorbeeld 1: f x.dx ~ x2 + C ~ _ (~ 2 1
o ~ 2 0 2 ~~~ + ~~ - ~Z.o2 + c)
= 2+c-o+c1
= 2 .Re els:
~ ~ b bf c. f (x) dx = c f f (x) dxa a b
Bew i j s: c f (x) dx = c F (x) a
= c F (b) - c F (a)
= c ( F(b) - F(a) )
= c. f (x) dx.
2 ~ b c bf f (x) dx = f f (x) dx + f' f (x) dx met a C c < ba a c
6f f(x) dx = F(b) - F(c) +
a
f f(x) dx + f f(x) dx = F(b) - F(a) (b f(x) dx .a c a
7)
~.~...~~
~ ' ,j x. dx + f x. dx = ~ ~ x2~ 2 + ~ ~ x27 3
1 2 1 J 2
_ (2 22 - 2 12) + (2 32 - 2 22) = 4.
f X.dx (2 X21 3 21 ~ 1
42 • .f /x-3 / dx
2
/ x-3 / x-3 als x ~ 3
- x+3 als x ~ 3
32 -2 .1.2 =4.
4 3 4f /x-3/dx= .1/x-3/dx+ j /x-3/dx2 2 3
3 4= l -(x-3) dx + .l (x-3) dx2 3
3 4,l (-x+3) dx + j (x-3) dx2 3
3 4C 1 x2 + 3x~ + L 1 X2 3x~2 2 2 3
= C - 29 +g) - (2.4+6) + (2 16- 12) ( 2 9 - 9 )
= Z- 4- 4+ 2= 1
2
OPPERVLAKTE BEREKENING.
x ~ --~ Ox 1
x2 --~ Ox 2
Bij elke x E ~a,b' behoort precies een Ox: dit is dus
een funktie 0(x)
p (x) = Ox )
p (x+h) = Ox+h ~ opp. P.QRS = Ox + h - Ox
opp. PQRS ~ h. f (x)
f (x) ~ p (x+h) - p (x)h.
1 im Pax+h) - P(x)f (x) =h ~ ~ h.
f (x) = p' (x)
p (x) = F(x) + C
p (a) = F(a) + C
p (a) = 0.
p (x) = F(x) - F(a)
F(a) + C = 0
C =- F(a)
opp. ABCD = pb(b) = F(b) - F(a)
opp. ABCD = ( f(x) dx..1a
Gegeven een funktie f(x) op C a,bJ
JJ
S tel l ing:
De oppervlakte van een positieve funktie tussen de grenzen
a,b is gel ijk aan bf f(x) dx .a
Indien de oppervlakte onder de x-as l igt geldt dat deze opper-
vlakte gel ijk is aan bf f (x) dxa
Voorbeeld 1: Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door
de 1 i jnen f (x) = x, (x = 0) , x = 4 en de x-as.
4 40 = ,~ f (x) dx = f x. dx =
0 0
Voorbeeld 2:
1 2 x2 4 = 2 42 - 2 02 = 8~ 0
Bereken de opp. ingesloten door f(x) = x2 - 4,
x = 0, x = 1 en de x-as.
1 10 = - j f (x) dx = - J (x2 - 4) . dx = - ~ 3x3 - 4x~
0 0
1
0
10)
Voorbeeld 3: Bereken de opp. van de vlakdelen ingesloten door
de grafieken van f(x) = cos x X = 0, X = i► en
de x-as.
.I[. Tt" "f"f2 2 2
q~ = J f(x) dx = J cos x dx = sin x10 0 0
zC= sin 2 - sin o = 1 - o = 1
T~ ~i'~
0~ _ - ✓ f (x) dx = - J cos x dx = - ~ s i n x~~ .~ ~2 2 2
_ - ( sin"1'I~' - sin' ) _ - (o - 1) _ - ( - 1) = 1
tot -~ +1 =2.
Voorbeeld 4: Als voorbeeld 3, maar f(x) = sing x.
~~
0 = f f(x). dx = ~ sin2x dx. f 1-c~s2x dx
0 0 0
cos2x = 1 - 2 s i n2x ,
= 2 cos2x - 1
2 sin2x = 1 - cos2x ,
s in2x = 1 - cos2x2
Tf= f c2 - 2 ~os2 x) dX
0
1 1 1 T_ ~ 2 x- 2 2 s i n ~y~0
-,(2 TI - 4 sirs~TT) - .(2.0 - 2. 2. sin2.0)
_L_L.2
Voorbeeld 5: De opp. van het vlakdeel ingesloten door
f (x) , y = 1 , y = 3 en de y-as;, a ~ s, f (x~ ~ 7x~-4
2 20 = f(x) dx = x+4.dx - ~n / x+4 /
-1 -1
= In 6 - In 3 = 1n36 = In 2
12)
Voorbeeld 6: Bereken de opp. van het vlakdeel
f (x) = x2 en g (x) = 2x + 3 .
f (x) = g (x)
x2 =2x+3
x2 - 2x - 3 = 0
3 30 = f g (x) dx - f f (x) dx
-1 -1
3 3
-1(2x + 3 - x2) dx
3_ ~x2 + 3x - 3x3, _ (g+9-g) - (1-3+ 3) = g + 1 3 10 2/3
-1
Berekening van de snijpunten:
2 + 4 + 12x ~~ 2 = ~ 2+42 x~ =3 x2=-1
13)
Voorbeeld 7: Opp. vlakdeel ingesloten door
f (x) = x2 - 2x - 4 en g (x) = x2 + x +
Snijpunten: f(x) = g(x)
x2 -2x-4=-x2 +x+1
2x2 - 3x - 5 = o
x =-1 v x=52
Snijpunt x-as: f(x) = 0: x2 - 2x - 4 = 0
X
2 + ~Z 0 '/—x1 ,2 2 x~ = 1 + 5x2 = 1 - V 5.
X1 ,2 -2 x1 2 } 2 ~ 5 X2 2 2 ~ 5 '
We verschuiven de x-as tot het to berekenen vlakdeel boven de
x-as komt to l iggen.
De x-as over 5 eenheden Haar beneden schuiven is hetzelfde als de
grafieken over 5 eenheden Haar boven schuiven. T.o.v. het nieuwe
assenstelsel worden de vergel ijkingen resp.
14)
f (x) = x2 - 2x - 4 + (5) = x2 - 2x + 1 .
g (x) =-x2 +x+ 1 + (5) _ -x2 +x+6.
5 50 = ! g(x) dx - 12 f(x).dx
-1 -1
52
= f g (x) - f (x) dx
-1
52
-1
52
3x3 + 2x2 + 5x~1
_ ( -224 +~8+~2 ) - (3+2 - 5)
254 225 300 68= C - 24 + ~2 + + 24 ~ - ~ - 24 )
34324
15)
Voorbeeld 8: f(x) = cos2x + 2 sin x met 0° ~~ x ~ 360°.
a) Snijpunten met de x-asb) Bepaa 1 f' (x)c) Bereken de lokale extremend) Bereken de buigpunten (x coordinaten)e) Bereken de opp. van het vlakdeel dat boven de
x-as l igt.
a ) Sni jpunten met de x-as:
f x = ~ cos2x + Z s i n x= 0
1 - sin2x + 2 sin x = 0
s in2x - 2 sin x - 1 = 0
s in 2 = 2 ± Vts2
s in x = 1 + ~2 v sin x= 1 - V 2
s in x = 2,4 v
geen opl .
b) f' (x): Stel : f' (x) = 0
sin x = - 0,4
x = 2050
x = 335°
- 2 cos x s i n x+ 2 cos x~ o
Z cos x (- sin x + 1) = 0
2 cos x= 0 v s i n .x = 1
cos x = 0 x = 90°.
x =9po
v x = 270°
f ~ + o _ o + 360°0 9~0 2700
max. min.F st. , dal . , st.
90° 27~°
16)
~~- ~~
c) Maximum voor x = g0°: f(9~~) = 02 + 2.1 = 2.
Minimum voor x = 270°: f(270°) = 02 - 2.1 = -2.
Randextremen voor x = 0° f(0) = 1.
Randextremen voor x = 360° f(0) = 1 .
d) Buigpunten.
f ' (x) _- 2 s i n x cos x+ 2 cos x
f " (x) = 2 sin x sin x - 2.cos x cos x - 2 sin x
= 2 sin2x - 2 sin x- 2 cost x
s in2x - sin x - cos2x = 0
s in2x - sin x + sin2x - 1 = 0
2 sin2x - sin x - 1 = 0
2 sin2x-2 sinx+sin x- 1 =0
s in x~ _ - Z sin x2 = 1 .
x ~ = 210° x2 = 9~~
v x~ = 33po
B.P. B.P.__ o+ — ~ 360
o g0° 210° 3300
BUICn n
i~~~ ~
17)
205° 360e) Otot. ~ f(x).dx +
~~ 335
205
f (x) dx of 0 = ~ f (x) . dxtot.
-X50
2052(cos x+ 2 s i n x) dx
-25
205
_ ~cos~x + 1 + 2 sin x)2-25
dx
205
_ ~ ~cos,~x + ~ + 2 sin x) dx2 2-25
3,61 1
~ 2 sin2x + 2 x - 2 cos x~ -0,44
4 sin 410° + 2 (3,6) - 2 cos 205° - 4 sin(-5~)~ + Z - 2.cos(-25) 0
-~4. 0,766 + 1,8 - 2. (-0,91), - C ~+ (0,766) - 0,22 - 2.0,91
= 0,191 + 1,8 + 1,81 - C- 0,191 - 0,22 - 1 ,82 _
_ (3,811) - (-2,231) = 6,042
18)
1Voorbeeld 9~ Gegeven: f(x) = x+4.
Bereken de opp. van het vlakdeel ingesloten door
f (x) y= 3 y= 1 en de y -as .
1e manier: f(x) = 3 3 = ~ f(x) = 1 1 = X+4
3x+12= 1 x+4= 13x = -11 x = -3
x = - 113
1 7 33tot - 3 3=3= 11
02 = 3.7 = 3•
-31
~1 x+4 dx =
- 1 13
-3
1 n / x+4~~ _l"(-3
= In / -3+4 / - In /~+ 4 /
= In 1 - In 3 = 0 - In 3
= 0 - (ln 1 - In 3)
= 0 - (0 - In 3) = In 3•
tot 0 3 - 02 = 11 - 3 - 1 n 3
= 8- 1n 3•
x
f ~"~ - X+~-t .
,.,.~ y
y = 1~. --~ x= y+4. ~ y=X -4
3 30 = - (( -~ - 4).dx = - ~ 1n / x / - 4x~ ~
J1
_ -~(ln 3 - 12) - (ln 1 - 4)} _ - €ln 3 - 12 + 4~ _
~ ~ n3- 8~
= 8- ln3
20)
tVoorbeel d _1 D: Gegeven: f (t) = e1 tb ( _ = 10 sec)
Gevraagd: 1) Voor Welke t geldt f(t) = 0,8 fmax.
a ) Bereken fmax.
e = e
f ' ~t) = e-~'~ t - ~. 10
1 0 e~ 10
Df= ~t/t>, 0~
te ~ 10 ~ 0 voor elke t ~ f' (t) < 0 voor elke t
f ' (t) < 0 -~ f(t) datend voor elke t
f (t)
f (t) = 0,8 f max
e1-0,1t _ 0,8 e
dalend
Randmax. treedt op voor t = 0
f (0) = fmax = e~ -~ = e
In e1-0,1t _ ~n 0,8 e - 0,1t = In 0,8
(1-0,1t) 1 = In 0,8 + In e t = -10 In 0,8
1-0,1t = In 0,8 + 1
21)
2Voorbeeld 11: f(x) = x.e-x +1
a) Snijpunten met de x-as:2
2x = 0 v e-x +1 _ ~
Ov = x = 0 ~ S = (0,0)
2 2b) f' (x) - e-x +1 + x. (-2x) e-x + 1
2= e-x +1 ~ - 2x2 + 1~
E) Extremen waarden: Stel : f' (x) = 0
2e-x +1 _2x2 + 1) = 02e-x +1 _ 0 v -2x2 + 1 = 0
- 2x2 = -12 _ ,x - Z
x =+ 2 v x= - 2
b af - + -
- z ~2 +Z
f . dal . m;n st. max dal .
-Z 2 +Z 2
Minimum voor x = -21r2: f(-Z~2) _ -2 ~2.e2 = -2 ~2 ~e = -Z 2e ,~ - 1,16
Maximum voor x = z ~2: f(Z~)= Z V ~.e2 = 2 Y ~ e 1 ,16.
22)
d) Bereken de opp. van het gearceerde vlak:Z1~2 ZV2 2
0 = ~ f (x) dx = f x. e-x +1
0 0 2
Primitieve funktie ~ x e-X +1. dx
- ~ dgx. eg-2x
Zeg dg_
~
--
Z .eg + C
_ -2 e-x2+1 + C,~~/- 2 ~ Z
J0_ - 2 ~ + Z e
= 2 (e- 1~e)
. dx
S tel : g = -x2+1
gd = -2x
dx= d9-2x
x --~ c~ x + c~ exL— I = U )
23)
Voorbeeld 12:
x
F (x) = f t ~~ dt a) T.b F(x) = In / x - 1 /
° b) Ber. F(1), F(0) en F(1) -F(0)
x
a) F(x) _ ~ t~~ dt
0 x
= I ln / t-1 /] 0
= In/x-1 /- In/0-1 /
= In / x-1 /
b) F(1) = In / 1-1 / = In 0 bestaat niet.
F (0) = In / 0-1 / = In + 1: = 0
F (1) - F(0) bestaat niet want F(1) bestaat niet.
2Voorbeeld 13: f(x) = In xx1
Gevraagd: a) Domein
Oplossing:
_b)-Snijpun~en_met de x-a_sc ) Extremen en~'de waa'rden van x waarvoor
ze optredend) Grafieke) Buigpunten.
a) X2x_~ > 0
teller
noemer
breuk
Opl .: x , 1
+ + o + - +0
- - - Q + +1
o ~
2 2b) Snijpunt x-as: Stel : f(x) = 0: In X_~ = 0 X_~ = 7
x2 = x - 1
x2 -x+l =0
D ~ 0 ~ geen snijpunten.
24)
c ) f' (x) - x-1 2x (x-1) -x2 .x2 (x-1) Z
x-1= 2 .x
2x2 - 2x - x2(x-1) 2
2x - 2x - x2
x2 (x-1)
(x-1) .x (x-2)x2 (x-1) 2
x-2x x-1
x = 2.
f ' Q + + +~ X=2
f / ~ del min st.%1 x=2
M inimum voor x = 2
X= ~.
d)
f(2) = In 24 ~ = In 4
25)
e) Buigpunten: f' (x) = x-2 x-2x x-1 x2-2
f " (x) = 1. (x2-x) - (x-2) (2x - 1)
~ X2 - x) 2
-x2 + 4x - 2
x (x-1) 2
S tel : f"(x) = 0 - x2 + 4x - 2 = 0
-4 ± ~16r-~8x12 — -2
x ~ ~ 2 = -4 ± 2 ~2-2
x = 2 + ~ v x = ~ 2 -~Z vervalt (L 1)
+ Q -
1 2+ V 'L
Buigpunt voor x = 2 + V Z.