MATEMÁTICA NA MESOPOTÂMIA

OBJETIVOS

- Desmitificar a idéia de que a matemática é uma ciência pautada numa estrutura única.

- Realizar breve contextualização histórica e como isso afetou o modo dos babilônicos produzirem matemática.

- Apresentar o sistema de numeração sexagesimal e especificar as diferenças para o sistema de numeração decimal.

OBJETIVOS

- Capacitar, através de recursos computacionais, os alunos a realizarem operações com o sistema de numeração babilônico.

- Apresentar uma nova interpretação para problemas babilônicos e resolvê-los na prática com procedimentos de “cortar” e “colar” figuras geométricas.

INTRODUÇÃO

Um dos mitos concebidos pela historiografia tradicional é o de que a matemática é uma ciência universal. Na verdade, diversas práticas matemáticas coexistiram desde os tempos primórdios, levando sempre em conta o contexto social dos povos - que influenciava diretamente em sua aplicação.

INTRODUÇÃO

A primeira forma de matemática que tem-se registro trata da matemática mesopotâmica. A palavra “Mesopotâmia”, em grego, significa “Entre Rios” e designa uma extensão geográfica. Dentre os povos que habitaram a Mesopotâmia, estão os sumérios e os acadianos.

MAPA DA MESOPOTÂMIA

ESCRITA E NÚMEROS

O surgimento dos números é geralmente associado à necessidade de contagem, relacionado a problemas de subsistência. O frequente exemplo utilizado é o do pastor de ovelhas. Ele controla seu rebanho associando uma pedra para cada animal. Além de rebanhos, eram registrados insumos relacionados à sobrevivência e à organização da sociedade.

ESCRITA E NÚMEROS

ESCRITA E NÚMEROS

As primeiras formas de escrita que temos registro datam do final do quarto milênio a.E.C. A pesquisadora Denise Schmandt-Besserat, propôs, nos anos 1990, a tese de que a forma mais antiga de escrita teria origem num dispositivo de contagem. Nas suas escavações, foram encontrados pequenos tokens – objetos de argila com diversos formatos.

ESCRITA E NÚMEROS

Eis os tokens:

ESCRITA E NÚMEROS

Esses objetos serviam à economia, na manutenção do controle de produtos agrícolas e, posteriormente, na fase urbana, controle de bens manufaturados. Com o desenvolvimento social, os métodos para armazenamento dos tolkens foram aperfeiçoados. Eles passaram, então a serem guardados em invólucros de argila e marcados na superfície.

ESCRITA E NÚMEROS

ESCRITA E NÚMEROS

Posteriormente, os contadores perceberam que o conteúdo do invólucro se fazia desnecessário tendo em vista as marcas nas superfícies – que passaram a incluir sinais traçados com estilete. A substituição de tokens por sinais foi o primeiro passo para a escrita. Aos poucos, as impressões nos invólucros foram transportadas para tabletes.

ESCRITA E NÚMEROS

ESCRITA E NÚMEROS

Atividade 1: Criação de tabletes de argila em sala de aula.

ESCRITA E NÚMEROS

Os primeiros numerais não eram símbolos criados para a representação de números abstratos, mas sim utilizados para a contagem de grãos. Os tabletes daquele período apontam que eram utilizados diferentes sistemas de medidas e bases, em função do assunto tratado nos balanços.

ESCRITA E NÚMEROS

A escrita protocuneiforme, isto é, que antecede a escrita cuneiforme - “em forma de cunha”. Esse desenvolvimento deu-se ao longo do terceiro milênio. Com a sua estabilização, ocorreram duas mudanças: a função de contagem de objetos discretos deu lugar aos cálculos e um mesmo sinal passou a ser usado para representar valores distintos.

ESCRITA E NÚMEROS

Evolução da escrita cuneiforme:

O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL

A maioria dos tabletes cuneiformes são do período em torno do ano 1700 a.E.C. Os babilônios passaram a empregar um sistema em que um mesmo algarismo poderia assumir valores diferentes, dependendo da posição que ocupasse no numeral. Assim como o nosso sistema, esse era um sistema de numeração posicional.

O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL

Esse sistema era construído a partir de dois símbolos básicos: um com valor absoluto 1 e outro com valor absoluto 10. Esses símbolos eram combinados por meio de um processo aditivo simples para formar os numerais de 1 a 59. A partir daí, o algarismo de valor absoluto 1 era novamente utilizado para representar o primeiro grupo de 60.

O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL

Em sequência, os algarismos “a” de valores absolutos entre 1 a 59 eram usados para representar, respectivamente, os valores “a x 60”. Em suma, os símbolos de 1 a 59 eram formados a partir de um princípio aditivo e os símbolos a partir de 60 eram formados a partir de um princípio posicional. Portanto, é um sistema misto de numeração.

O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL

O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL

Diferenças entre o Sistema Sexagesimal e o Sistema Decimal:

- No sistema sexagesimal, algarismos de 1 a 59 são representados pela combinação dos símbolos 1 e 10, ao contrário do sistema decimal, em que os algarismos de 0 a 9 são representados por símbolos diferentes.

O SISTEMA SEXAGESIMAL POSICIONAL

- No sistema sexagesimal, não havia um símbolo para representar o algarismo zero.

Tais diferenças eram responsáveis por sérias ambiguidades!

OPERAÇÕES COM O SISTEMA SEXAGESIMAL

Os babilônios resolviam operações de soma, subtração, multiplicação, divisão, potências e raízes quadradas e registravam todos os resultados em tabletes.

Atividade 2: Realizar operações através do software “Cuneiform Calculator”.

OPERAÇÕES COM O SISTEMA SEXAGESIMAL

A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES

Além dos tabletes contendo resultados de operações, os babilônios possuiam tabletes de procedimentos, como se fossem exercícios resolvidos. Veremos, a seguir, um exemplo de procedimento descrito em um dos tabletes:

Procedimento: “Adicionei a área e o lado de um quadrado: obtive 0,45. Qual o lado?”

A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES

Atualmente, podemos resolver esse exemplo por uma equação do tipo Ax² + Bx = C, com A, B e C coeficientes. Contudo, essa técnica de resolução demanda a utilização de símbolos que não faziam parte da matemática antiga. As quantidades desconhecidas representavam comprimentos, larguras e áreas dadas por números, e não letras. Nesse caso, como evitar o anacronismo?

A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES

Recentemente, O historiador J. Hoyrup realizou novas traduções, que motivam uma interpretação geométrica desses procedimentos.

Tradução do exemplo:Procedimento: “A supefície e a minha confrontação acumulei: obtive 0,45”

A “ÁLGEBRA” BABILÔNICA E NOVAS TRADUÇÕES

Atividade 3: Através de operações de “cortar e colar” figuras geométricas, encontrar a confrontação (lado da superfície, que é um quadrado).

Consideração final: Tal prática não pode ser descrita como álgebra, sendo a expressão “cálculo com grandezas” a mais apropriada.

BIBLIOGRAFIA

ROQUE, Tatiana. História da matemática: uma visão crítica, desfazendo mitos e lendas. 2° Reimpressão. Rio de Janeiro: Zahar, 2014.

Link do site: http://it.stlawu.edu/~dmelvill/mesomath/calculator/scalc.html

UMA BOA ELEIÇÃO PARA TODOS!