数字信号处理(Digital Signal Processing)

国家电工电子实验示范中心 数字信号处理课程组

第第 77 章 章 FIR FIR 数字滤波器设计数字滤波器设计7.1 FIR DF 设计的窗函数法

7.2 窗函数

7.3 FIR DF 设计的频率抽样法

7.4 FIR DF 设计的切比雪夫最佳一致逼近法

7.5 几种简单形式的滤波器

7.6 简单整系数滤波器

7.7 差分滤波器

IIR 数字滤波器：( ) ( ) ( )H z B z A z

有极点，也有零点，因此可以借用经典的连续滤波器的设计方法，且取得非常好的效果，如好的衰减特性，准确的边缘频率。由于 FIR 数字滤波器

( ) ( )H z B z

只有零点而没有极点，所以没办法借用连续滤波器的设计方法。其思路是：

直接从频域出发，即以某种准则逼近理想的频率特性，且保证滤波器具有线性相位。

7.1 Fourier 级数法（窗函数法）

1. 由理想的频率响应 得到理的 ；( )dh n

2. 由 得到因果、 有限长的单位抽样响应 ;

( )dh n

( )h n

3. 对 加窗得到较好的频率响应。

( )h n

理想频率响应

( )jdH e

22 c c

1

一、思路与方法：

设理想低通滤波器的幅频为 1 ，相频为零：1

( ) ( )2

j j nd dh n H e e d

1

2

c

c

j ne d

sin( )cn

n

则：

特点： 无限长 非因果 偶对称

解决方法： 截短， 移位 保留

( ) ( 2)dh n h n M

, 0,1,...,n M

即：隐含着使用了窗函数

0

( ) ( )M

n

n

H z h n z

于是：

注意： H(Z) 是因果的，且是线性相位的，即 ( ) 2M

即事先给一线性相位

2( )j jMdH e e

为了省去每次的移位，可以令：

在通带内

2

( )0

j Mj

d

eH e

0 c

c

这样：

21 sin( 2)( )

2 ( 2)

c

c

jM j n cd

n Mh n e e d

n M

( ) ( )dh n h n 0,1,...n M

于是：

使用了矩形窗

上式的的表达式及设计 的思路可推广到高通、带阻及带通滤波器，也可推广到其它特殊类型的滤波器。实际上，给定一个 ，只要能积分得到 ，即可由截短、移位的方法得到因果的、且具有线性相位的 FIR 滤波器 。

( )dh n

( )H z

( )jdH e

( )H z

高通：2

( )0

j Mj

d

eH e

0

c

c

sin[( 2) ] sin[( 2) ]( )

( 2)c

d

n M n Mh n

n M

令：

相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器

（实际上是全通滤波器）减去一个截止频率

在 处的低通滤波器。

c

2

( )0

j Mj

d

eH e

l h

其它

sin[( 2) ] sin[( 2) ]( )

( 2)h l

d

n M n Mh n

n M

令：

相当于用一个截止频率在 处的低通滤波器

减去一个截止频率在 处的低通滤波器。lh

带通：

2

( )0

j Mj

d

eH e

,l h

其它

sin[( ) ] sin[( ) ] sin[( ) ]2 2 2( )

( 2)

l h

d

M M Mn n n

h nn M

令：

( ) ( ) ( ), 0,1,...,dh n h n w n n M

：窗函数，自然截短即是矩形窗。 当然也可以用其它形式的窗函数。

( )w n

相当于

带阻：

例 1. 设计低通 FIR

DF, 令归一化截止频

率 ＝ 0.125,

M ＝10 ， 20 ， 40 ，

用矩形窗截短。结果如右图

c

接上例： M ＝10

分别用矩形窗

和 Hamming 窗

使用 Hamming 窗后，阻带衰减变好，但过渡带变宽。

例： 理想差分器及其设计( )x t ( )y t

( )H s

( )( )

dx ty t

dt ( )H j j ( )H s s

( )x n ( )y n( )H z

( ) ( ) , ( ) ( )s st nT t nTx n x t y n y t 令：

理想差分器的频率特性： ( ) ,jH e j

理想微分器的频率特性：

jeH jd )(

奇对称，纯虚函数

/ 2

( ) ( / 2) ( )

( 1)( ) , 0,1, ,

/ 2

d

n M

h n h n M w n

w n n Mn M

02/

02/)(

d理想相频特性

1 1( ) ( 1)

2j n n

dh n j e dn

第 2 类

FIR 滤波器

02/2/

02/2/)(

M

M 实际相频特性

有关各种差分器的性能，本 章将继续讨论

幅频：

1 矩形窗

2 哈明窗

例： 设计 Hilbert 变换器

0( )

0j

d

jH e

j

0 :( ) 2

:d

n evenh n

n oddn

0

0( ) [ ]

2j n j n

d

jh n e d e d

第 2 类FIR 滤波器

思考：能否用上一章的方法设计差分器和Hilbert 变换器？

优点： 1. 无稳定性问题； 2. 容易做到线性相位； 3. 可以设计各种特殊类型的滤波器； 4. 方法特别简单。缺点： 1. 不易控制边缘频率； 2. 幅频性能不理想； 3. 较长；( )h n

二、 FIR DF 设计的窗函数法的特点：

改进： 1. 使用其它类型的窗函数； 2. 改进设计方法。

三、关于对 截短的讨论( )dh n

( ) ( ) ( ), 0,1,...,dh n h n w n n M

( ) ( ) ( )j j jdH e H e W e

( ) ( ) ( )j jdE H e H e

误差曲线22 1

( )2ME E d

误差能量

22 2 20 0

1 1

2 2

1

( )( ) ( )

2

( )

M M

M n n n nn n

n nn M

a AE a A b B

a b

11

0 )sin()cos(2

)(n

nn

nj

d nbnaa

eH

0

1 1

( ) cos( ) sin( )2

M Mj

n nn n

AH e A n B n

请自己导出此式

什么情况下 为最小2ME

1

22 )(Mn

dM nhE

0 0

,

1, 2, ,

n n

n n

a A

a A

b B

n M

最小

所以，有限项傅立叶级数是在最小平方意

义上对原信号的逼近。傅立叶级数是正交

变换，这也体现了正交变换的性质。

1( ) ( )

2j j n

d dh n H e e d

( ) ( 2)dh n h n M

0,1,...,n M

窗函数法

1( ) ( )

2j j n

d dh n H e e d

( ) ( )j j nd d

n

H e h n e

周期信号展开为傅里叶级数

傅里叶系数

傅里叶级数法

同一事情不同名称

7.2 7.2 窗函数窗函数窗函数的使用在数字信号处理中是不可避免的。数据、频谱、自相关函数等都需要截短。对窗函数提出那几方面的要求？

关键是要搞清楚使用窗函数后所产生的影响：一个域相乘，在另一个域是卷积。

)()()( nwnxnxN

deWeXeX jjjN )()(

2

1)( )(

1

0

( 1) / 2

( ) ( )

sin( ) / sin( )2 2

Nj j n

n

j N

D e d n e

Ne

矩形窗

B0 4 /B N 2 / N

B

2. 边瓣最大峰值 （ dB ）A

3. 边瓣谱峰衰减速度 （ dB/oct ）

D

越小越好！

越小越好！

越大越好！

对窗函数的技术要求：

1. 3 dB 带宽 ：主瓣归一化幅度降到－ 3 dB 时的带宽；或直接用 。令 则 的单位为 ；

B0 4 /B N 2 / N

B

常用窗函数：1. 矩形窗2. 三角窗 Bartlett窗

0.89 , 13dB, 6dB/ octB A D

3.汉宁窗Hanning

4.汉明窗Hamming

2 / 0,1, , / 2( )

( ) / 2, , 1

n N n Nw n

w N n n N N

1.28 , 27dB, 12dB/ octB A D

1.44 , 32dB, 18dB/ octB A D

2( ) 0.5 0.5cos( ), 0,1, , 1

nw n n N

N

2( ) 0.54 0.46cos( ), 0,1, , 1

nw n n N

N

1.3 , 43dB, 6dB/ octB A D

0 10 20 300

0.5

1 b

oxc

ar

-0.5 0 0.5-60

-40

-20

0

0 10 20 300

0.5

1

tria

ng

-0.5 0 0.5-100

-50

0

0 10 20 300

0.5

1

ha

mm

ing

-0.5 0 0.5-100

-50

0

窗函数

窗函数

7.3 FIR DF 设计的频率抽样法

1( ) ( )

2j j n

d dh n H e e d

1

2

c

c

j ne d

sin( )cn

n

窗函数法：给定连续的理想的 ，用( )jdH e

( ) ( ) ( ), 0,1,...,dh n h n w n n M

得到因果的、具有线性相位的 FIR DF ( )H z

( )jdH e ( )jH e 逼近

( )jdH e ( )dH k离散化 直接赋值

12 /

0

1( ) ( )

Nj nk N

dk

h n H k eN

计算更容易

( )dh n ( )h n

思考： ( )jdH e

( )dH k

相等？

1

0

( ) ( )N

n

n

H z h n z

滤波器已设计出

可指定：1

( )0d

for passband kH k

for stopband k

如何指定( )dH k

cc

( )jdH e

1N 0

k

( )dH k

/ 2 1N

转移函数、频率响应和给定的 的关系：( )dH k

1

2 / 10

1 1( ) ( )

1

NN

d j k Nk

zH z H k

N e z

1

0

1 12 /

0 0

( ) ( )

1( )

Nn

n

N Nj nk N n

dn k

H z h n z

H k e zN

用 DFT 系数作为权函数来表示设计出的 ( )H z

有何特点

1

2 /0

1 1( ) ( )

1

j NNj

d j k N jk

eH e H k

N e e

1

( 1) /2

0

( ) ( , )N

j Nd

k

e H k S k

( 1) / sin[ ( 2 / ) / 2]

( , )sin[( 2 / ) / 2]

j N k N N k NS k e

N k N

( )jdH e

( )dH k原抽样 N

( )jH e ( )H k

再抽样mN

关系？

( ) ( ), 0, , 1, 0, , 1dH l mk H k l mN k N

1( 1) /2

0

( ) ( ) ( , )N

j j Nd

k

H e e H k S k

用插值的方法得到所要的滤波器：插值函数权重线性相位

应为实数

所以： ( 1) /( ) j N k NdH k e

如何指定 ( )dH k

为偶数：N( 1) /

( 1) /

0,1, , / 2 1

( ) 0 / 2

/ 2 1, , 1

j N k N

d

j N k N

e k N

H k k N

e k N N

为奇数：N( 1) /( ) 0,1, , 1j N k N

dH k e k N

其它赋值方法见书。当然，阻带内应指定为零。另外，为了得到好的幅频响应，在 1 和 0之间加过渡点，如 0.5 。

7.4 用 Chebyshev 最佳一致逼近设计 FIR DF

7.4.1 最佳一致逼近定理

7.4.2 利用最佳一致逼近理论设计 FIR DF

7.4.3 关于误差函数的极值特性

7.4.4 FIR DF 的四种表示形式

7.4.5 设计举例

7.4.6 滤波器阶次估计

上述两种方法（窗函数法和频率抽样法）设计

的 FIR DF 的频率响应都不理想，即通带不够

平，阻带衰减不够大，过渡带过宽，频率边缘

不能精确指定。因此我们要寻找新的设计方法。

此方法即是 Chebyshev 最佳一致逼近 法。该方

法在数字信号处理中占有重要的定位，是设计

FIR DF 最理想的方法。但是，该方法的原理稍为复杂。

给定理想的 ， 设计 ，

使 是对 的“最佳”逼近。

( )jdH e ( )H z

( )jdH e ( )jH e

1. 最小平方逼近：2min [ ( ) ( )]

b

ap x f x dx

着眼积分区间内整体误差最小。傅立叶级数法即是这一种。

( )f x对函数 f(x) 逼近的方法：

目标：

nkxfxp kk ,,1,0)()(

2.插值法：寻找 阶多项式 ，使其 在 个点 上满足：

n ( )p x

1n 0 1, , , nx x x

频率抽样方法

)()()( xfxpxE 3. 最佳一致逼近：寻找 ，使误差( )p x

[ , ]a b在区间 [a,b] 均匀一致，并使误差的极大值达到最小。

Chebyshev 最佳一致逼近理论解决了 的存

在性、唯一性及构造方法等问题。

( )p x

将最佳一致逼近理论应用于 FIR DF 的设计，

是数学和信号处理理论相结合的又一典型范

例。该方法可以设计出性能优良的 FIR DF ，

是 FIR 设计的主要方法。该方法又称McClellan----Parks 方法

一、切比雪夫最佳一致逼近定理

ˆmax ( ) ( ) min{max ( ) ( )}a x b a x b

p x f x p x f x

在 阶多项式的集合中，寻找多项式

使其相对其它所有的多项式 对

的偏差为最小：

n ˆ ( )p x

( )p x ( )f x

最小最大原理

交错点组原理：)()(max xfxpE

bxan

)()()( xfxpxE 令：

误差最大值

误差曲线

是 最佳一致逼近的充要条件是，

在 上至少存在 个交错点

( )p x ( )f x ( )E x

[ , ]a b

1 2 2na x x x b 2n

使得： ( ) , 1, 2, , 2i nE x E i n

1( ) ( ), 1, 2, , 2i iE x E x i n 极值点交错点

所以： 1 2 2, , , nx x x

是 的极值点，它们构成了一个“交错点 组”

( )E x

什么样的函数（或多项式）可以充当

误差曲线 ( )E x Chebyshev 多项式：

11)arccoscos()( xxnxCn

在区间 [-1,1] 上存在 个点：1n

cos( ), 0,1, ,kx k n k n

轮流使 取极值＋ 1 ，－ 1 。( )E x

( )nC x 是 的 阶多项式，最高项系数是 ，

在所有阶多项式的集合中， 和 0 的偏

差为最小。因此，可用 为误差多项式。

x n 12n

1( ) / 2nnC x

( )nC x

： 个极值点( )nC x 1n 交错点组定 理要求： 2n 个极值点

二、利用最佳一致逼近理论设计 FIR DF ( ) 1

0

( ) 0

jd

p

jd

c

H e

H e

理想滤波器

( 1) /2

( )

( )

j

j N jg

H e

e H e

要设计的滤波器

0

( ) ( ) cos( ), ( 1) / 2M

jg

n

H e a n n M N

四种情况下的“滤波器增益” 都是实函数，也有四种表示形式。其一是：

(0), (1), , ( )a a a M

线性相位 FIR 滤波器有四种形式：

( ) ( 1 )h n h N n :

:

N odd

N even

我们用 逼近理想滤波器。显然，若能求

出 ，则滤波器也就设计出来了。

( )jgH e

( )jdH e ( )j

gH e 用 一致逼近

目标

使误差曲线(0), (1), , ( )a a a M寻找

0

( ) ( ) ( )

( ) cos( ) ( )

j j jg d

Mj

dn

E e H e H e

a n n H e

的最大值为最小，并呈现交错。

1 21/ 0 , /( )

pj

s

k kW e

k

0

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) cos( ) ( )

j j j jg d

Mj j

dn

E e W e H e H e

W e a n n H e

定义加权函数：

在设计滤波器时，对通带和阻带往往有不同的要求，如通带要求特别平，这是需要牺牲阻带；反之，要想阻带衰减特别大，则需要牺牲通带。实现方法：给以不同的加权。

需要离散化

由交错点组定理：

0

( ) ( ) ( ) cos( ) ( 1)

0,1, , 1

max ( )

Mk

k d k kn

nF

W H a n n

k M

E E

注意，将频率分成了 个离散的点。分

点在通带和阻带上，过渡带不考虑。目的是

取得 个极值点。

2M

2M

写成矩阵形式

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)1()cos()2cos()cos(1

)(

)1()cos()2cos()cos(1

)(

1)cos()2cos()cos(1

)(

1)cos()2cos()cos(1

)(

1)cos()2cos()cos(1

1

2

1

0

2

1

0

1

1

111

2222

1111

0000

Md

Md

d

d

d

M

M

M

MMM

M

M

MMM H

H

H

H

H

a

a

a

a

WM

WM

WM

WM

WM

( 2) ( 2)M M 方阵，可唯一地求出(0), (1), , ( ),a a a M

McClellan. J.H & Parks. T. W 等于 70年代初提出用数值分析中的 Remez算法，靠一次次的迭代来求解最优的系数 及 。从而达到滤波器设计的目的。

(0), (1), , ( )a a a M

该方法不但可以用来设计低通、高通、带通、带阻等经典滤波器，而且可以用来设计差分滤波器， Hilbert 变换器。不但可以给出好的幅频特性、线性相位，而且可以给出较为准确定边缘频率。

数字信号处理中最有名的算法之一！

1

01

0

( )

( 1) / ( )

M

k d kk

Mk

k kk

H

W

1

0,

1( 1)

[cos( ) cos( )]

Mk

ki i k i k

Step1. 先在通带、阻带频率轴上等间隔取 M ＋ 2

个频率点 ，计算出 。它是相对第

一次指定的交错点组产生的误差

0 1, , ,M

A.

0

0

cos( ) cos( )( )

cos( ) cos( )

Mk

kk k

g Mk

k k

C

H

( ) ( 1) , 0, 1, ,( )

kk d k

k

C H k MW

0,

1( 1)

[cos( ) cos( )]

Mk

ki i k i k

求出 后，利用插值公式，在不知 的情况下求出 。

(0), (1), , ( )a a a M( )j

gH e

B.

当然，初次求出的 肯定不是最优的！( )jgH e

将求出的 代入( )jgH e

( ) ( ) ( ) ( )j j j jg dE e W e H e H e C

. 可求出误差函数 。( )jE e

如果第一次迭代即是最优，那么 应是

的极值点。当然，一次迭代是不够的。

( )jE e

完成第一次迭代！

Step2. 检查是否有 的频率点（肯定

有）。将出现这种情况的频率点和原来指定的

频率点 中相距最近的点相交换（注

意：这样的点可能不止一个），这样，就得到

一组新的频率点组 ，当然，它们不

再是原频率区间的等分。

( )jE e

0 1, , M

0 1, , M

Step3. 将新的频率点组

再重复步骤 2，又可得到一组新的交错点组： 0 1 1, , , M

代入公式 A.

求出新的

( )jgH e 再代入公式 求出新的B

.( )jE e 再代入公式 求出新的C

.

重复了步骤 1

如此重复迭代，每一次都是把新的局部极值点

当作新的交错点组，所以，每一次的 都是递

增的，最后收敛到自己的上限。再迭代一次，

也不会再增加，频率点组也不会再移动，

这时的 即是对 的最佳一致逼近。

( )jgH e ( )j

dH e

Step4. 将最优的 配上线性相位，作傅

立叶反变换，即可得所设计滤波器的 。

( )jgH e

( )h n

通带内的峰

值偏差

2

1 2k

最佳一致逼近是在通带与阻带内进行的，过渡带没有考虑。 迭代

步骤

是阻带峰值偏差 ；

三、关于误差函数的极值特性（见书）

四、 FIR DF 的四种表示形式

0

( ) ( ) cos( ), ( 1) 2M

gn

H a n n M N

1

1( ) ( ) cos[( ) ], / 2

2

M

gn

H b n n M N

1

( ) ( )sin( ), ( 1) / 2M

gn

H c n n M N

1

1( ) ( )sin ( ) , / 2

2

M

gn

H d n n M N

把上述四种形式稍作改造，得到如下的统一形式，目的是便于编程：

( ) ( ) ( )gH Q P

例 1 ： 设计低通 FIR DF:

0.6p , 0.7s 调整通带、阻带的加权及滤波器的长度。

设计结果

五、设计举例

参数调整对滤波器性能的影响：

例 2 ： 设计多带滤波器，抽样频率 500Hz, 在 50Hz 、 100Hz 及 150Hz 处陷波。

通带加权为 8 ，阻带为1-17dB

通带、阻带加权都是1-25dB

六、阶次估计设计滤波器之前，滤波器的长度（即阶次）是未知道。显然，要求：通带越平，阻带衰减越大，过渡带越窄，滤波器的阶次越高。

1 2

2 1 1log

3 10N

b

( ) / 2s pb

1 ：通带纹波2 ：阻带纹波

经验公式

1 220log 131

14.6N

b

另一估计公式：

估计出的阶次稍低

1 2 0.0582

0.35 0.3 0.05b 33N

例如，对例 1 的第一种情况：

求出：

和原来给定的相同

7.5 几种简单形式的滤波器一、平均滤波器

二、平滑滤波器

三、梳状滤波器

这一类滤波器性能不是很好，但滤波器简单，有时很实用，有的具有一些特殊的用途。

信噪比 (SNR)与噪声减少比（ NRR ）

信噪比：

( ) ( ) ( )x n s n u n

观察信号 信号 噪声

2SNR 10lg 10lg (dB)s s

u u

P P

P

为了减少噪声，将 通过一个滤波器( )x n ( )H z

( )

( ) ( )

x n

s n u n ( )

( ) ( )s u

y n

y n y n ( )H z

噪声减少比（ Noise Reduction Ration, NRR): 2

2NRR uy

u

越小越好！

可以证明：

SNR 1

SNR NR Ry

x

一、平均滤波器1 / 0,1, , 1

( )0

N n Nh n

其他

1

10

1 1( )

1

NNn

n

zH z z

N N z

1=

1

0

1( ) ( )

1[ ( ) ( 1) ( 1)]

N

k

y n x n kN

x n x n x n NN

点平均器

N

IIR 系统

1 2 1

1 1( ) , ( )

1

NzH z H z

N z

21

11

0

1( ) (1 )

N j kN

k

H z e zN

1 2( ) ( ) ( )H z H z H z

1 1( )

1

j Nj

j

eH e

N e

1

1 1( )

1

NzH z

N z

1 ( )H z

( )H z

NRR 1 N可以求出：

可见 N 足够大，即可就可以获得足够小的 NRR 。但是， N 过大会使滤波器具有过大的延迟：

群延迟 = （ N － 1 ） /2

而且会使其主瓣的单边的带宽大大降低，这就有可能在滤波时使有用的信号 s(n) 也受到损失。因此，在平均器中， N 不宜取得过大。

二、平滑滤波器Savitzky － Golay 平滑器：基于多项式拟合的方法，具体推导过程见教材。

5 点 2 次（抛物线）拟合：( ) [ 3, 12, 17, 12, 3] 35h n

7 点 3 次拟合：( ) [ 2, 3, 6, 7, 6 3 2] 21h n

在 NRR 和阶次 N之间取得折中。 MATLAB文件： sgolay.m

三、梳状滤波器作用：去除周期性的噪声，或是增强周期

性的信号分量。

1

1 1( ) ,

21

N

N

zH z b b

z

0.9

8N

2

1 1( ) ,

21

N

N

zH z b b

z

0.9, 8N

3

1( ) , 1, 1

1

N

N

rzH z r

z

0.96, 0.98r 0.98, 0.96r

7.6 建立在极零抵消基础上的 简单整系数的滤波

器 对信号作实时滤波处理时，有时对滤波器的性能要求并不很高，但要求计算速度快，滤波器的设计也应简单易行，因而希望滤波器的系数为整数。特别是当用汇编语言编写程序时，更希望如此。采用极零抵消的方法，可以设计出简单整系数的低通、高通、带通和带阻滤波器。

LP 1

1( )

1

MzH z

z

1. 低通

单位圆上均匀分布 M 个零点

设置一极点，抵消掉 z=1 处零点M 点平均器

j j( 1) /2LP

sin( 2)(e ) e

sin( 2)M M

H

LP 1

1( )

1

MzH z

z

2. 高通

单位圆上均匀分布 M 个零点

设置一极点，抵消掉 z= － 1 处零点

j ( 1)j 2 2

LP

sin( 2)(e ) e

cos( 2)

M MH

上述低通和高通滤波器的系数都是整系数（系数 1/N 可最后单独处理），如果认为幅频响应不满意，可以取

LP 1

1( )

1

KMzH z

z

H P 1

1( )

1

KMzH z

z

滤波器系数仍为整数

3. 带通 2 2

B P 1 1

22

1( )

1 1

1

1 2cos

M

j j

M

zH z

z e z e

z

z

B P 22

1( )

1 2cos

KMzH z

z

实际应用

为保证分母取整数，要求

22cos 取整数

因此：2

2, ,

3 2 3

2

2, ,

6 4 6s s sf f f

f

在要求整系数的情况下，对带通滤波器，其通带的中心频率收到限制。

4. 带阻设计

方法幅频： 全通幅频－带通幅频

相频： 配置相频

例 令 ，设计 50Hz陷波器，

中心频率范围在

400Hzsf

50Hz (1 ~ 2Hz)解：取

B P 22

1( )

1 2cos

KMzH z

z

1let K

由于 2

50 22 , ,

400 4 3 2 3

因此增加一对共轭极点：

3 31 1 1 1 44 4 4 41 1 1 1 1

j j j jz e z e z e z e z

150Hz

4

4 (2 1)

1

1

j M

jM j P

z e z

e e

现在需要确定 M:

4(2 1)M p

4(2 1)

B P 4

1( )

1

PzH z

z

4(2 1)

B P 4

1( )

1

PzH z

z

4B P

cos[2(2 1) ]( )

cos 2j j p p

H e e

4AP ( )j j pH e e 具有相同相位

4B P

1 cos[2(2 1) ]( ) 1

2 1 cos 2j j pp

H e eP

BP

4

2 1H P

50, 1p K

24, 1p K 24, 2p K

7.7 低阶低通差分滤波器( )x t ( ) d ( ) dy t x t t( )H s

( )x n ( )y n( )H z

st nTst nT

理想微分器： ( )H j j

理想差分器： ( )jH e j

( )jH e

为了防止在高频端将噪声放大，取：低通差分器：

( )0

jd

jH e

( )jdH e

差分器的一般形式：

1

( ) sinM

jk

k

H e j C k

1 2

j k j kM

kk

e eC

1

( )2

k kM

kk

z zH z C

1

( ) ( )( )

2

M

kk

x n k x n ky n C

差分器的抽样响应：

0, 1, 2, , , 0k kC C k M C L

所以，差分器是奇对称的。

现在的任务是确定系数 kC

两点中心差分： 1( ) [ ( 1) ( 1)]

2y n x n x n

“最佳”差分器

( )0

jd

jH e

other

1

( ) sinM

jk

k

H e j C k

逼近

2( , ) ( ) ( )j j

k dE C H e H e d

误差：

( , )0, 1, ,k

k

E Ck M

C

L

( , )0,

( )kE C

得到最佳系数

得到最佳通带

最佳通带：( )

2jH e j

可求出： M ＝ 2

1 20.2595, 0.3702,

0.34, ( , ) 0.343k

C C

E C

可求出： M ＝ 3

1 2 30.097, 0.1666, 0.1897

0.24, ( , ) 0.126k

C C C

E C

M ＝ 2 和 3 时“最佳”差分器的幅频特性：

但是，上述“最佳”差分器的系数全是小数，我们希望得到整系数。实际上，人们从不同的角度，已给出了不同形式的整系数差分器。后来，人们还导出了“次最佳”的整系数差分器。

1. 单纯 M 次差分；

2.牛顿－柯斯特差分；

3. Lanczos 差分（多项式拟合）；

4. 平滑化差分；

5. 最佳差分；

整系数

比较参数：

( , )kE C

7.8 滤波器设计小结IIR 滤波器的优点：

1. 好的通带与阻带衰减 ; 准确的通带与阻带边缘频率 ;

2. 滤波时需要的计算量较少

缺点 : 不具有线性相位，有可能存在稳定性问题。FIR 滤波器的优点：

1. 可取得线性相位 ;

2. 无稳定性问题 ;

缺点： 滤波时需要的计算量较少

FIR

窗函数法

频率抽样法

一致逼近法

简单平均

简单平滑

设计方法简单，性能不够好

性能非常好

简单，实用，性能不够好

IIR梳状滤波器

极零抵消滤波器

特殊用途，周期性

简单实用，速度快

产生窗函数的文件有八个：1. bartlett （三角窗） ;

2. blackman （布莱克曼窗） ;

3. boxcar （矩形窗） ;

4. hamming （哈明窗） ;

5. hanning （汉宁窗） ;

6. triang （三角窗） ;

7. chebwin （切比雪夫窗） ;

8 .kaiser （凯赛窗） ;

两端为零

两端不为零

调用方式都非常简单请见help文件

稍为复杂

9 ． fir1.m 用“窗函数法”设计 FIR DF 。

调用格式：

（ 1 ） b = fir1(N,Wn);

(2) b = fir1(N,Wn,‘high’);

(3) b = fir1(N,Wn, ‘stop’);

N ：阶次，滤波器长度为 N ＋ 1 ；

Wn ：通带截止频率，其值在 0～ 1之间， 1 对应 Fs/2

b: 滤波器系数。

对格式（ 1 ），若 Wn 为标量，则设计低通滤波器，若

Wn 是 1×2 的向量，则用来设计带通滤波器，若 Wn 是

1×L 的向量，则可用来设计 L 带滤波器。这时，格式

（ 1 ）要改为 : b = fir1(N,Wn, 'DC-1'),

或 b = fir1(N,Wn, 'DC-0')

前者保证第一个带为通带，后者保证第一个带为阻带。

格式（ 2 ）用来设计高通滤波器，

格式（ 3 ）用来设计带阻滤波器。

在上述所有格式中，若不指定窗函数的类型， fir1 自动选择 Hamming 窗。

10 ． fir2.m 本文件采用“窗函数法”设计具有任意幅

频相应的 FIR 数字滤波器。其调用格式是：

b = fir1(N, F, M);

F 是频率向量，其值在 0～ 1之间， M 是和 F 相对应

的所希望的幅频相应。如同 fir1, 缺省时自动选用

Hamming 窗。例 ：设计一多带滤波器，要求频率在 0.2~0.3, 0.6~0.8 之间为 1 ，其余处为零。

设计结果如下：

0 5 10 15 20 25 30 35-0.5

0

0.5

0 20 40 60 80 100-0.5

0

0.5

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.5

1

N=30,90时幅频响应响应及理想幅频响应；

N=30

N=90

( )h n

( )jH e

11. remez.m 设计 Chebyshev 最佳一致逼近 FIR 滤波器、 Hilbert 变换器和差分器。调用格式是：

(1) b=remez(N, F, A);

(2) b=remez(N, F, A, W);

（ 3 ） b=remez(N,F,A,W,‘Hilbert’); (4) b=remez(N, F, A,W, ‘'differentiator')

N 是给定的滤波器的阶次， b 是设计的滤波器的系数，其长度为 N ＋ 1 ； F 是频率向量， A 是对应 F 的各频段上的理想幅频响应， W 是各频段上的加权向量。

F 、 A 及 W 的指定方式和例 7.4.1 和 7.4.2 所讨论过的一样，唯一的差别是 F 的范围为 0 ～ 1 ，而非～ 0 ～ 0.5, 1 对应抽样频率的一半。需要指出的是，若 b的长度为偶数，设计高通和带阻滤波器时有可能出现错误，因此，最好保证 b的长度为奇数，也即 N 应为偶数。

例 1 ： 设计低通 FIR DF:

0.6p , 0.7s

b=remez(N, F, A, W)

0.6

0.7

1

N 32

F = (0, 0.6, 0.7, 1)A = (1, 0)

W = (1, 10)

12 ． remezord.m 本文件用来确定在用 Chebyshev 最佳一致逼近设计 FIR 滤波器时所需要的滤波器阶次。其调用格式是：

[N, Fo, Ao, W] = remezord(F, A, DEV, Fs) 。

F 、 A 的含意同文件 remez ， DEV 是通带和阻带上的偏差；输出的是适合要求的滤波器阶次 N 、频率向量Fo 、幅度向量 Ao 和加权向量 W 。若设计者事先不能确定要设计的滤波器的阶次，那么，调用 remezord 后，就可利用这一族参数调用 remez, 即 b=remez(N, Fo, Ao, W) ， 从 而 设 计 出 所 需 要 滤 波 器 。 因 此 ， remez 和remezord 常结合起来使用。需要说明的是， remezord给出的阶次 N 有可能偏低，这时适当增加 N 即可；另外，最好判断一下，若 N 为奇数，就令其加一，使其变为偶数，这样 b 的长度为奇数。

13. firls.m 用最小平方法设计线性相位 FIR 滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应；

14. fircls.m 用带约束的最小平方法设计线性相位 FIR滤波器，可设计任意给定的理想幅频响应；

15. fircls1.m 用带约束的最小平方方法设计线性相位FIR 低通和高通滤波器。

16. sgolay.m 用来设计 Savitzky-Golay FIR 平滑滤波器，其原理见 9.1.1 节

17. firrcos.m 用来设计低通线性相位 FIR 滤波器，其过渡带为余弦函数形状。