ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ...
TRANSCRIPT
Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского
Л. В. Борисова, В. В. Новиков, С. В. Тышкевич, А. В. Шаталина
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие для студентов механико-математического, физического
и геологического факультетов
Издание второе, исправленное и дополненное
ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА 2004
2
УДК 517.55(075.8) ББК 22.161.5я73 Б82
Борисова Л. В., Новиков В. В., Тышкевич С. В., Шаталина А. В. Б82 Теория функций комплексной переменной: Учеб. пособие для сту-
дентов мех.-мат., физ. и геол. фак. 2-е изд., испр. и доп. – Сара-тов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. – 84 с.: ил. (Б-ка "Основы математики"; Вып. 26).
ISBN 5-292-03290-5
Пособие содержит краткие теоретические сведения, задачи и упражнения по тео-рии аналитических функций. Особое внимание уделено изучению элементарных функ-ций в комплексной области, конформным отображениям, которые могут осуществить эти функции. К некоторым задачам и упражнениям даны полные решения.
Для студентов механико-математического, физического, геологического факуль-тетов.
Р е к ом е н д ую т к п е ч а т и :
Кафедра теории функций и приближений механико-математического факультета
Саратовского государственного университета Доктор физико-математических наук В. Ю. Ольшанский
УДК 517.55(075.8) ББК 22.161.5я73
Работа издана в авторской редакции
ISBN 5-292-03290-5 © Борисова Л. В., Новиков В. В., Тышкевич С. В., Шаталина А. В., 2004
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вв е д е н и е ...................................................................................................................... 4 Программа курса по теории функций комплексной переменной ............................... 5 Глава 1. Методические указания к программе ....................................................... 7 Глава 2. Комплексные числа ....................................................................................... 9 Глава 3. Конформные отображения ........................................................................... 12
3.1. Дробно-линейная функция ..................................................................... 12 3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента .................................................................................................. 15 3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем .............................................................................................. 18 3.4. Функция Жуковского .............................................................................. 25 3.5. Конформные отображения, определяемые комбинациями ос- новных элементарных функций ............................................................ 28
Глава 4. Интеграл от функции комплексной переменной .................................... 31 4.1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной .................. 31 4.2. Интегральная теорема Коши ................................................................... 32 4.3. Интегральная формула Коши .................................................................. 34
Глава 5. Степенные ряды ............................................................................................. 37 5.1. Понятие степенного ряда ......................................................................... 37 5.2. Ряд Тейлора ............................................................................................... 38 5.3. Ряд Лорана ................................................................................................. 45 5.4. Классификация изолированных особых точек однозначного характера аналитической функции ......................................................... 48
Глава 6. Вычеты ............................................................................................................. 51 6.1. Вычисление вычетов ................................................................................ 51 6.2. Вычисление интегралов с помощью вычетов ........................................ 56
Контрольные работы ..................................................................................................... 63 Библиографический список .............................................................................................. 83
4
ВВЕДЕНИЕ
Теория функций комплексной переменной (теория аналитических функций) в рамках университетского курса является в основном продол-жением курса математического анализа.
Основы теории функций комплексной переменной (ТФКП) были за-ложены в середине XVIII века Л. Эйлером, а как самостоятельная ветвь математики дисциплина оформилась около середины XIX века благодаря работам О. Коши, К. Вейерштрасса, Ю. В. Сохоцкого и Б. Римана.
Сейчас ТФКП является одним из важнейших разделов математики. Ее идеи и результаты проникли во многие другие математические дисцип-лины, такие как алгебраическая топология, обыкновенные дифференци-альные уравнения, математическая физика, функциональный анализ, тео-рия вероятностей, вычислительная математика и др. Методы ТФКП стали привычными и в ряде прикладных дисциплин (гидро- и аэромеханика, тео-рия упругости, теория элементарных частиц). В связи с этим курс ТФКП является обязательным на всех отделениях механико-математического, фи-зического и геологического факультетов.
Относительная легкость формального усвоения теоретического ма-териала сочетается с серьезными трудностями в овладении конкретными методами ТФКП. На экзамене же студент обязан показать свое умение ре-шать конкретные задачи.
Материал пособия авторы старались изложить так, чтобы макси-мально помочь читателю овладеть основами ТФКП. С этой целью здесь подробно разобрано большое количество примеров. Авторы надеются, что примеры помогут студентам глубже усвоить теоретический материал и приобрести навыки в решении задач. Кроме того, пособие содержит зада-чи, подобные тем, которые предлагаются в контрольных работах и на эк-заменах. В указаниях содержатся практические рекомендации к решению задач и соответствующие разъяснения. В качестве образцов в заключи-тельной части пособия приведены контрольные работы, предлагаемые сту-дентам на зачетах.
Изучение теоретического курса [4, 6] рекомендуется сопровождать решением задач из соответствующих разделов задачника [5]. В целях об-легчения усвоения материала и подготовки к экзамену в этом пособии про-грамма по ТФКП написана в основном в форме экзаменационных вопро-сов. При этом каждый вопрос снабжен ссылкой на наиболее подходящий (с точки зрения авторов настоящего пособия) учебник.
5
ПРОГРАММА КУРСА ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
1. Понятие аналитической функции действительной переменной. Пе-
реход к комплексной переменной. Предмет теории аналитических функций и роль этой теории в математике и ее приложениях [2, введение].
2. Комплексные числа, действия над ними. Их геометрическое изо-бражение на плоскости и на сфере. Бесконечно удаленная точка [1, гл. 1, §1, 2].
3. Множества точек на плоскости: открытые, замкнутые, связные. Путь, кривая, область, граница области. Теория пределов: сходящиеся по-следовательности и ряды комплексных чисел [1, гл. 1, §1 – 4].
4. Функции комплексной переменной. Предел. Непрерывность, рав-номерная непрерывность [1, гл. 2, §1, 2, гл.2, §1 – 4].
5. Понятие производной и дифференциала. Необходимое и достаточ-ное условие существования производной [1, гл. 2, §1, 4; 2, гл. 2, §5 – 7].
6. Аналитическая функция. Вещественная и мнимая части аналити-ческой функции как сопряженные гармонические функции [2, гл. 2, §13, 14; 1, гл. 2, §4, 5].
7. Геометрический смысл аргумента и модуля производной. Кон-формные отображения [2, гл. 2, §8 – 11; 1, гл. 2, §4, 5].
8. Элементарные функции. Линейная и дробно-линейная функции. Свойства дробно-линейного преобразования [1, гл. 3, §1, п.1 – 10; 2, гл. 3, §4 – 9].
9. Показательная функция и логарифм. Степень с произвольным комплексным показателем, функция Жуковского и им обратные функции. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции. Приложе-ние аналитических функций к решению прикладных задач [1, гл. 3, §3; 2, гл. 3, §1 3; 10 21].
10. Интеграл от функции комплексной переменной и его свойства. Связь с криволинейными интегралами [1, гл. 4, §1, п. 1, 2; 2, гл. 5, §1 – 3].
11. Интегральная теорема Коши для простого и сложного контуров. Интеграл и первообразная. Выражение определенного интеграла через первообразную функцию (Формула Ньютона – Лейбница) [1, гл. 4, §2; 2, гл. 5, §4 – 10].
6
12. Интеграл и интегральная формула Коши. Ее следствия. Принцип максимума модуля. Интеграл типа Коши [1, гл. 4, §3, п. 3, 4, 7, гл. 5, §2, п. 5].
13. Обращение интегральной теоремы. Теорема Морера [1, гл. 4, §3, п. 5].
14. Ряды с комплексными членами. Абсолютно сходящиеся ряды. Степенные ряды. Круг сходимости и радиус сходимости [1, гл. 1, §5; 1, гл. 2, §3].
15. Разложение аналитической функции в степенной ряд. Неравенст-во Коши для коэффициентов [1, гл. 5, §2, п. 1– 3, 8, 9; 2, гл. 6, §2].
16. Ряд Лорана [2, гл. 7, §1, 2]. 17. Классификация изолированных особых точек однозначного ха-
рактера. Характер поведения функции в окрестности изолированной осо-бой точки. Случай бесконечно удаленной точки. Связь между нулем и по-люсом [1, гл. 6, §1, 2; 2, гл. 7, §3, 4, 6].
18. Вычеты. Основная теорема о вычетах. Вычисление вычета [1, гл. 6, §2; 2, гл. 8, §1, 3].
19. Применение теории вычетов к вычислению интегралов. Примеры [1, гл. 7, §2; 3, гл. 5, §2, п. 73, 74].
20. Аналитическое продолжение функции. Понятие полной аналити-ческой функции и римановой поверхности [1, гл. 2, §4, гл. 10, §1, 2; 2, гл. 9, §1 – 4, 6].
21. Понятие об общих свойствах конформных преобразований [1, гл. 12, §1, 2].
22. Приложение теории функций комплексной переменной. Краткий обзор развития теории функций комплексной переменной и важнейшие достижения отечественных ученых в этой области науки.
7
Глава 1. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ПРОГРАММЕ
2. Компактификация комплексной плоскости состоит в присоедине-
нии к ней бесконечно удаленной точки. Плоскость с присоединенной бес-конечно удаленной точкой (расширенная комплексная плоскость) при сте-реографическом проектировании соответствует полной числовой сфере. При соответствующем определении окрестности бесконечно удаленной точки стереографическое проектирование расширенной комплексной плоскости на замкнутую числовую сферу (сферу Римана) непрерывно в обе стороны в каждой точке. Расширенная комплексная плоскость, как и замкнутая числовая сфера, являются компактами. Подчеркнем, что в рас-ширенной комплексной плоскости имеется одна бесконечно удаленная точка в отличие от числовой прямой, которая обычно дополняется двумя несобственными точками ∞−∞+ , , и от проективной плоскости, допол-няемой целой бесконечно удаленной прямой.
Стремление ∞→z означает лишь то, что +∞→z и не имеет значе-ния, каким образом, в каком направлении z удаляется от начала координат. Стереографическая проекция показывает, что в окрестности бесконечно удаленной точки расширенная комплексная плоскость устроена так же, как и в окрестности любой конечной точки.
5. Обратить внимание на то, что для наличия производной ( )0' zf функции ( ) ( ) ( )yxivyxuzf ,, += в точке 000 iyxz += необходимо и доста-точно выполнение двух условий: а) дифференцируемости ( )yxu , и ( )yxv , в точке ( )00 , yx как функций двух переменных, что означает наличие полно-го дифференциала у этих функций в точке ( )00 , yx ; б) условия Даламбера – Эйлера (Коши – Римана).
Напомним, что из существования частных производных у функции ( )yxu , в точке ( )00 , yx не вытекает ее дифференцируемость в этой точке.
7. Что касается конформных отображений, то сделаем следующее замечание: если ( )zf аналитична в некоторой окрестности точки 0z , то ус-ловие ( ) 0' 0 ≠zf является не только достаточным для конформности ото-бражения ( )zfw = в точке 0z , но и необходимым.
8. 9. Рекомендуется решение задач (см. гл. 3).
8
Уяснить взаимоотношение понятий однозначности и однолистности. Обратить внимание на области однолистности рассматриваемых элемен-тарных функций.
При поверхностном рассмотрении элементарных многозначных функций может создаться впечатление, что все многозначные аналитиче-ские функции суть функции обратные к однозначным аналитическим. Следующие примеры показывают, что это не так:
1) при ( ) 2/3zzw = имеем ( ) 3/2wwz = ; 2) если P(z) – полином и ( )zww = определяется как решение уравне-
ния ( ) ( ) 1=wPzP , то функция ( )zww = совпадает со своей обратной ( )wz . При построении конформных отображений конкретных областей
нужно следить за тем, чтобы, во-первых, это отображение было взаимно-однозначным (т. е. однозначным и однолистным) и непрерывным. Для это-го нужно следить за тем, чтобы отображаемая (открытая) область попадала в область однолистности применяемой функции и, во-вторых, когда при-меняется многолистная функция, каким-либо условием выделить ее одно-значную аналитическую ветвь.
10. См. гл. 4. 11. Интегральная теорема Коши – центральная тема курса. Почти все
дальнейшие результаты основываются на этой теореме. 12. Интегральная формула Коши показывает, что значение аналити-
ческой функции во внутренних точках области полностью определяется ее значениями на границе области и позволяет производить соответствующие вычисления (см. гл. 4, п. 4.3).
13. Теорема Мореры вместе с интегральной теоремой Коши позволя-ет дать следующее определение аналитической функции: однозначная функция ( )zf называется ан али тич е с кой в обл а с ти G , если ( )zf непрерывна в G и равен нулю интеграл вдоль любого жорданова спрям-ляемого контура, лежащего в G вместе со своей внутренностью (т. е. с ог-раниченной областью, для которой этот контур является границей).
14. Обратить внимание на то, что степенной ряд во всем (открытом) круге сходимости может сходиться неравномерно, в то время как на каж-дой замкнутой ограниченной подобласти круга сходимости он сходится равномерно.
Затруднения вызывает применение формулы Коши – Адамара для радиуса R сходимости степенного ряда ( )nn azc −∑
( ) nnn
cR
/1lim1∞→
=
в случае, когда на самом деле приходится вычислять верхний предел, по-скольку не существует обычного предела, и в особенности, когда степен-ной ряд имеет пропуски, т. е. когда 0=nc для бесконечного числа индек-сов n . Соответствующий пример приведен в гл. 5.
9
15. В процессе разложения аналитической функции
( ) ( )∫ ξ
−ξξ
π=
C
dz
fi
zf21
в степенной ряд производится разложение в степенной ряд по степеням
( )az − ядра Коши – функции z−ξ
1 :
( )( )
.10
1∑∞
=+−ξ
−=
−ξ nn
n
aaz
z
При этом z – фиксированная точка, лежащая строго внутри окружности 0,: >=−ξ ppaC , а ξ – произвольная точка окружности C . Этот ряд, а
также ряд, полученный из него умножением каждого его члена на величи-
ну ( )ξπ
fi2
1 , сходится равномерно по C∈ξ . Именно благодаря этому мож-
но последний ряд проинтегрировать почленно (при фиксированном z). На границе круга сходимости степенного ряда всегда имеется по
крайней мере одна особая точка его суммы (заметим, что сам ряд может сходиться в этой точке).
16. 17. Обратить внимание на разницу в определении главной части ряда Лорана в случае конечной точки a и в случае бесконечно удаленной точки.
Классификация изолированных особых точек однозначного характе-ра производится двумя эквивалентными способами:
1) по поведению функции вблизи рассматриваемой точки; 2) по виду лорановского разложения функции в проколотой окрест-
ности рассматриваемой точки (см. гл. 5). 18. Теория вычетов имеет многочисленные теоретические и практи-
ческие приложения. В качестве практических приложений отметим вычис-ление интегралов – контурных и сводящихся к контурным (см. п. 6.2, при-меры).
Глава 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА Комплек сными числ ами называются выражения вида iyxz += (алгебраическая форма), где x и y – действительные числа,
i = 1− – мнимая единица, т.е. число, квадрат которого равен –1. Число x называют д ей с т ви т ел ьной ч а с т ью комплек сно го чи сл а z, чис-ло y – его мнимой ч а с т ью (обозначения zx Re= , zy Im= ). Если
0=y , то комплексное число xz = +0⋅i отождествляется с действительным числом x. Множество всех комплексных чисел обозначается C. Два комплексных числа 1z и 2z считаются р а вными , если
10
21 ReRe zz = , 21 ImIm zz = . Суммой комплек сных чис ел 111 iyxz += и 222 iyxz += называется число ( ) ( )212121 yyixxzz +++=+ , а их про -и з в ед ением – число ( ) ( )1221212121 yxyxiyyxxzz ++−= . В частности, ес-ли izz == 21 , то из определения произведения получаем, что 12 −=i . Число iyx − называется сопряженным числу iyxz += и обозна-чается z . Ра зно с т ью двух комплек сных чи с ел 1z и 2z называется число 21 zzz −= , служащее решением уравнения 21 zzz += , а ч а с тным
21 / zz )0( 2 ≠z – число z , которое является решением уравнения 21 zzz = . Разность и частное вычисляются по формулам
)()( 212121 yyixxzz −+−=− ,
22
22
211222
22
2121
22
21
2
1
yxyxyxi
yxyyxx
zzzz
zz
+−
+++
== .
Комплексное число iyxz += изображается на плоскости xOy точ-кой ( )yxM , или вектором OM . Тем самым устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством C и координатной плоско-стью, которую в данном случае называют комплексной плоскостью.
Длина вектора OM называется модулем комплексного числа и обо-значается z . Очевидно, что zzyxz =+= 222 . Угол ϕ , образованный век-тором OM (предполагается, что z≠0) с положительным направлением оси Ox , называется аргументом комплексного числа z и обозначается
zArg=ϕ . Он определяется с точностью до слагаемого, кратного π2 : π+= kzz 2argArg , k∈Z,
где zarg есть главное значение zArg , определяемое обычно условием π≤<π− zarg . Легко проверить, что
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
≠=π
<<π−
≥<π+
>
=
.0,0 если ,sign2
;0,0 если ,arctg
;0,0 если ,arctg
;0 если ,arctg
arg
yxy
yxxy
yxxy
xxy
z
Числа zr = и zarg=ϕ можно рассматривать как полярные коорди-наты точки ( )yxM , , тогда ϕ= cosrx , ϕ= sinry , и число 0≠z допускает представление в так называемой т ри гономе трич е с кой форме :
( )ϕ+ϕ= sincos irz . Воспользовавшись известной формулой Эйлера
11
ϕ+ϕ=ϕ sincos iei и переписав предыдущее соотношение в виде
ϕ= irez (z≠0), мы получим пок а з а т е л ьную форму комплек сно го числ а . Легко проверяется справедливость следующих равенств:
10 =ie , ( )ψ+ϕψϕ =⋅ iii eee , ( )ψ−ϕψ
ϕ= i
i
ie
ee ,
ϕ−== irez , 2
cosϕ−ϕ +
=ϕii ee ,
iee ii
2sin
ϕ−ϕ −=ϕ ,
( ) ,...2,1,sincos)]sin(cos[ =ϕ+ϕ=ϕ+ϕ nninrr nn (формула Муавра).
Примеры
1. Представить комплексное число i
iiz+
+−=1
23 в алгебраической
форме. Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное
знаменателю, получим ( )
( ) ( )( ) 4132123
11123 =++−=
−+−=
−+−
+−= iiiiiii
iiiz ,
т.е. 4Re =z , 0Im =z . 2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовле-
творяющих условию 11
22 <
+ zz .
Согласно определению модуля комплексного числа имеем
( ) 22222
22
2241
21
21
2
yxyx
yxz
zzz
+−+
+=
+=
+.
По условию получаем
( )1
41
222222
22<
+−+
+
yxyx
yx.
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем его в квад-рат:
( ) ( ) 2222222 414 yxyxyx +−+<+ или ( ) 041 2222 >−−− yyx . Тогда
( )( ) ( )( ) 02121 2222 >−−+−++ yxyx . Искомое множество точек будет определяться двумя системами не-
равенств
12
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
>−+
>++
21
,2122
22
yx
yx
и
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<−+
<++
,21
,2122
22
yx
yx
решения которых изображены на рис. 1 (за-штрихованная часть комплексной плоскости).
Глава 3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
3.1. Дробно-линейная функция Определение 1. Функция вида
0, ≠−++
= bcaddczbazw , (1)
где dcba ,,, – комплексные числа, называется дробно-линейной. Отображение, задаваемое этой функцией, называется дробно-
линейным. Условие 0≠− bcad означает, что constw ≠ . Функция (1) осуществ-
ляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости Z на расширенную комплексную плоскость w, так как производная
( )∞≠∀≠
+
−= z
dczbcazw ,0' 2 .
Для 0≠c предполагаем, что ( )caw
cdw =∞∞=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛− , , для 0=c функция (1)
становится линейной, т. е. bazw += и ( ) ∞=∞w . Функция
0, ≠−+−−
= bcadacw
bdwz ,
является обратной к функции (1). Она также является дробно-линейной и однозначной на расширенной комплексной плоскости, т. е. здесь функция (1) является однолистной.
Каждое дробно-линейное отображение может быть получено в ре-зультате последовательного выполнения трех отображений: линейного,
отображения z
w 1= и снова линейного отображения.
Дробно-линейные отображения переводят: 1) окружность или прямую в окружность или прямую (круговое
свойство);
Рис. 1
13
2) пару точек, симметричных относительно окружности, – в пару то-чек, симметричных относительно образа этой окружности (свойство со-хранения симметрии). Здесь "окружность", в частности, может быть пря-мой, если под последней понимать окружность бесконечного радиуса.
Существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разных точки 321 ,, zzz переводит соответственно в три разные точки
321 ,, www . Это отображение задается формулой
13
23
2
1
13
23
2
1zzzz
zzzz
wwww
wwww
−−
⋅−−
=−−
⋅−− . (2)
Если одна из точек kz или kw ( 3,2,1=k ) является бесконечно удаленной точкой, то в формуле (2) разности, в которые входит kz или kw , требуется заменить единицами.
Существует бесконечно много дробно-линейных отображений, кото-рые заданную окружность γ отображают на заданную окружность Г, при-чем область D, для которой γ является границей, отображается на одну из областей, для которой Г является границей.
Для обеспечения единственности дробно-линейного отображения достаточно выполнение одного из условий:
1) заданная точка Dz ∈0 отображается в заданную точку '0 Dw ∈ , а любая кривая, выходящая из точки 0z , поворачивается на заданный угол α
( ) ( )( )( )000 'arg, zfzfw =α= ; 2) точки Dz ∈0 и γ∈1z отображаются соответственно в заданные
точки '0 Dw ∈ и Γ∈1w .
Примеры 3. Найти образ окружности, заданной уравнением
014222 =+−++ yxyx ,
при отображении z
w 1= .
Решение. На основании кругового свойства дробно-линейного отображения окружность переходит в окружность. Для ее нахождения на заданной окружности 014222 =+−++ yxyx выберем три точки, напри-мер: ,11 −=z iz 212 += , iz 233 +−= , образами которых при отображении
zw 1= будут точки
1323,
521,1 321
iwiww −−=
−=−= . Точками 321 ,, www од-
нозначно определяется образ данной окружности, уравнение которой: ( ) ( ) ( )ivuwvu +==+++ 421 22 . (3)
Для отображения z
w 1= имеем
14
2222 ,yx
yvyx
xu+
−=+
= .
Выразив отсюда ( )vuyvuxx ,),,( == и подставив в уравнение задан-ной окружности, получим искомый образ (3).
4. Найти образ области D при отображении 1−
=z
zw , где
( ) ( ){ }1Im0,1Re0, <<<<= zzzD . Решение. Выделим действительную и мнимую части функции w.
Имеем: ( )( ) ( ) 2222
2
1,
11
yxyv
yxyxxu
+−−=
+−
+−= .
Будем искать образ границы области D (рис. 2). Сторона 10,0: ≤≤= xyOA отображается на отрицательную часть
действительной оси ( 0,0 ≤<∞−= uv ) (рис. 3).
Сторона 10,1: ≤<= yxAB , отображается в линию 1,1 −≤<∞−= vu . Сторона 01,1: ≥≥= xyBC , отображается в линию, параметрическое
уравнение которой имеет вид ( )( ) ( )
10,11
1,1111
22 ≤≤+−
−=+−
+−= x
xv
xxxu .
Исключив параметр x , получим
( )211,
211,
41
211
22 ≥≥−≥≥=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++− vuvu .
Аналогично образ стороны CO определяется уравнением
021,0
21,
41
21 2
2
≤≤−≥≥=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ − vuvu .
В соответствии с принципом соответствия границ образом квадрата будет заштрихованная область на рис. 2.
5. Найти дробно-линейное отображение, которое точки 11 =z и 12 −=z оставляет неподвижными, а точку iz =3 переводит в точку 03 =w .
1
B C
O x
y
A
0
v C
B′C′
21
-i
-i/2
Область D
Рис. 2
Образ области D
Рис. 3
ui
15
Найти образ полуплоскости ( ) 0Im >z при данном отображении. Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек
.0,1,1,,1,1
321
321
=−===−==
wwwizzz
Применяя формулу (2), получим искомое дробно-линейное отобра-
жение .1iz
izw++
=
Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой яв-ляется действительная ось. Согласно круговому свойству действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: 1,0,1 321 −=== zzz , образами которых бу-дут точки 1,,1 321 −=−== wiww . Они лежат на окружности 1=w . По принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплос-кости будет область { }1,' <= wwD .
6. Найти дробно-линейное отображение, которое круг 24 <− iz ото-бражает на полуплоскость uv > так, что ( ) ( ) 02,44 =−= iwiw .
Решение. Условие задачи определяет две пары соответствующих точек. Третью пару найдем, пользуясь свойством симметрии дробно ли-нейного отображения, согласно которому точки iz 41 = и ∞=3z , симмет-ричные относительно окружности 24 =− iz , перейдут в точки 41 −=w и
iw 43 −= , симметричные относительно прямой vu = . Таким образом, най-дена третья пара точек ∞=3z и iw 43 −= .
По формуле (2) найдем искомое отображение iz
izw4284
−−−−
= .
3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента
Определение 2. Функция ( ) ( ) ( )( )yiyezf x sincos += называется пока-зательной и обозначается zexp или ze .
Примеры 7. Доказать, что любая полоса шириной 2π, стороны которой парал-
лельны действительной оси, является областью однолистности функции ze .
Доказательство. Пусть 1z и 2z – две различные точки комплекс-ной плоскости. Очевидно, что при условии 21 zz ee = имеем 121 =−zze . От-сюда, так как 1=ze при ∈π= kikz ,2 Z, имеем
0,,221 ≠Ζ∈π=− kkikzz .
16
Таким образом, условие однолистности нарушается для точек 1z и 2z , для которых ikzz π=− 221 , где k – любое целое число. Такому условию
не удовлетворяет множество точек z комплексной плоскости, для которых ( ) π+<< 2Im hzh , где h – любое действительное число. Отсюда следует,
что полоса шириной π2 , стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности.
8. Доказать, что при отображении zew = : а) образом прямой ay = является луч, выходящий из начала коорди-
нат под углом a к положительному направлению действительной оси; b) образом прямой dx = является окружность с центром в начале
координат и радиусом de . Доказательство: а) действительно, так как ay = , то iaxz += , +∞<<∞− x , тогда ( ) ( )( )aiaeew xiax sincos +== + , что означает, что
( ) ,arg aw = xew = изменяется от 0 до ∞ , т.е. образом прямой ay = явля-ется луч ( ) aw =arg ;
b) так как dx = , то iydz += , +∞<<∞− y , тогда == + iydew ( ) ( )( )yiyed sincos += , т.е. ( )yeu d cos= , ( )yev d sin= , а это – параметриче-
ское уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом de . Тригонометрические и гиперболические функции комплексной пе-
ременной задаются формулами:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ).sh
chcth;2
sh
;chshth;
2ch
;sincosctg;
2sin
;cossintg;
2cos
zzzeez
zzzeez
zzz
ieez
zzzeez
zz
zz
iziz
iziz
=−
=
=+
=
=−
=
=+
=
−
−
−
−
9. Доказать соотношения между тригонометрическими и гиперболи-ческими функциями:
1) ( ) ( ) ( ) ( )izzizz cosch,chcos == ;
2) ( ) ( ) ( ) ( )iziziziz sinsh,shsin −=−= ;
3) ( ) ( ) ( ) ( )iziziziz tgth,thtg −=−= ;
4) ( ) ( ) ( ) ( )iziziziz ctgcth,cthctg == .
10. Пусть iyxz += . Доказать, что
1) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz shcossinIm,chsinsinRe == ;
17
2) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz sinchshIm,cosshshRe == ;
3) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz shsincosIm,chcoscosRe −== ;
4) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxzyxz sinshchIm,coschchRe == .
11. Найти образы прямых ayax == , при отображении ( )zw sin= . Решение. Для отображения ( )zw sin= имеем ( ) ( )yxu chsin= ,
( ) ( )xyv cossh= (см. пример 8). При этом отображении прямая ax =
( Zkka ∈π
≠ ,2
) переходит в кривую, параметрическое уравнение которой
( ) ( ) ( ) ( ) +∞<<∞−== yyavyau ,shcos,chsin .
Исключая параметр y , получаем
( ) ( )1
cossin 2
2
2
2=−
av
au ( Zkka ∈
π≠ ,
2), (4)
причем координата u сохраняет знак, равный ( )( )asinsign , а координата v
пробегает всю числовую ось. Тогда образом прямой ax = ( Zkka ∈π
≠ ,2
)
является одна ветвь гиперболы (4) с полуосями |sin(a)| и |cos(a)| и с фоку-сами в точках ±1. Если Zkka ∈π= , , то прямая ax = превращается в кри-
вую, параметрическое уравнение которой ,0=u ( ) ( ),sh1 yv k−=
+∞<<∞− y , т.е. в мнимую ось плоскости w. Если Zkka ∈π
+π= ,2
, то
прямая ax = переходит в кривую, параметрическое уравнение которой ( ) ( ) +∞<<∞−−== yyuv k ,ch1,0 , т. е. в луч 0,1 =−≤ vu при нечетном k
и в луч 0,1 =≥ vu при четном k. Аналогично образом прямой ay = , 0≠a является эллипс
( ) ( )1
shch 2
2
2
2=+
av
au
с полуосями ( )ach и ( )ash и с фокусами в точках ±1. Если 0=a , то обра-зом действительной оси в плоскости z является отрезок [ ]1,1− действи-тельной оси плоскости w .
12. Доказать, что: 1) функция ( )zw sin= полосу ( )2
Re2
π<<
π− z ото-
бражает на всю плоскость w с разрезами по лучам [ [+∞;1 и ] ]1,−∞− дейст-вительной оси Ou ; 2) функция ( )zw cos= полосу ( ) π<< zRe0 отображает на всю плоскость w с разрезами по лучам [ [+∞;1 и ] ]1,−∞− действительной оси Ou .
18
3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем
Определение 3. Логарифмической функцией комплексного аргумен-та называется функция, обратная к показательной, т.е. определяемая урав-нением
zew = , 0≠z , и обозначаемая ( )zw Ln= . Справедлива формула
( ) ( ) ( )( )π++= kzizz 2arglnLn , Zk∈ (7). Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоско-
сти с выколотой точкой 0=z , она бесконечнозначна и разные ее значения отличаются на ikπ2 , Ζ∈k .
Каждое значение функции ( )zLn называется логарифмом комплекс-ного числа z .
Значение логарифма комплексного числа z , 0≠z , которое соответ-ствует ( ) ( )ziz argln + , называется г л а вным з н ач ением ( )zLn и обо-значается через ( )zln :
( ) ( ) ( )zizz arglnln += , ( ) π<<π− zarg . Тогда формула (7) принимает вид
( ) ( ) ikzz π+= 2lnLn , Zk ∈ . Определение 4. Однозначной непрерывной ветвью многозначной
функции ( )zf в области D называется однозначная непрерывная функция ( )zϕ , значение которой в каждой точке Dz∈ совпадает с одним из значе-
ний функции ( )zf . В области D , которая является комплексной плоскостью с разрезом
вдоль луча, выходящего из начала координат под углом 1α к действитель-ной оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции ( )zw Ln= . Каждая из этих ветвей отображает область D на одну из полос:
( ) ( ){ }π++α<<π+α= 12Im2, 11 kwkwDk , Zk∈ . Для выделения однозначной ветви логарифмической функции ( )zw Ln= достаточно определить полосу kD , на которую эта ветвь ото-
бражает область D . Для определения полосы kD достаточно вычислить лишь значение логарифмической функции в какой-нибудь точке Dz ∈0 .
Через ( )zkLn обозначим ту ветвь логарифмической функции ( )zLn , которая отображает область D на полосу kD . Тогда
( ) ( ) ikzzk π+= 2LnLn 0 , Zk∈ , где ( ) ( ) ( )zizz 00 ArglnLn += , ( ) π+α<<α 2Arg 101 z .
Очевидно, что каждая ветвь ( )zkLn удовлетворяет теореме о произ-водной обратной функции, по которой
19
( )( )z
zk1'Ln = , ∈k Z, Dz∈ .
Отсюда, отображение, осуществляемое каждой ветвью логарифмиче-ской функции, является конформным для всех точек Dz∈ .
В связи с тем, что главное значение аргумента комплексного числа выбирается из промежутка ] ]ππ− , , в формуле (5) берут π−=α1 . Тогда
( ) ( ) ( ){ }π+<<π−= 12Im12, kwkwDk , Zk∈ , а область D будет плоскостью с разрезом по лучу ] ]0,∞− .
Ветвь логарифмической функции, отображающая область D на по-лосу 0D , является главной ветвью ( )zln . Все остальные однозначные не-прерывные ветви функции ( )zw Ln= в этой области имеют вид
( ) ( ) ikzzk π+= 2lnLn , Zk∈ . Значение ( )zLn , равное ( )zkLn , при однократном обходе точки z
вокруг начала координат вдоль какой-нибудь окружности rz = переходит в число ( )zk 1Ln + , так, что ( )zLn непрерывно изменяется и обход соверша-ется против движения часовой стрелки, и в число ( )zk 1Ln − – при обходе по часовой стрелке.
Точка, при обходе которой по какой-нибудь окружности достаточно малого радиуса многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется т о чкой в е т вл ения функ -ции . Точки 0=z и ∞=z являются точками ветвления функции ( )zw Ln= .
Примеры 13. Найти все значения логарифмов следующих чисел:
1; e;1− ; i+1 ; i2 ; i− ; ( ) ( )ϕ+ϕ sincos i , π≤ϕ<π− ; ( )ii
+11 ; ii
−+
11 .
14. Решить уравнения:
1) ( ) 1ln =+ iz ; 2) ( ) 0ln =− zi ; 3) 11ln =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
iz ;
4) ( ) iz =ch ; 5) ( ) iz π=sin . 15. Найти образы плоскости с разрезом вдоль отрицательной части
действительной оси при отображениях ветвями логарифмической функции ( )zw Ln= такими, что: а) точка 10 =z переходит в точку iw π= 40 ;
b) точка iz −=0 переходит в точку 2
30
iw π= ;
с) точка iz =0 переходит в точку 27
0iw π−
= .
Решение: а) полоса kD , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью
20
( )zkLn логарифмической функции, которую найдем из условия ( ) ik π= 41Ln . Имеем:
( ) ( ) ( ) ikzizzk π++= 2arglnLn , Zk∈ . Положив в этом равенстве 1=z , получим iki π=π 24 , т.е. 2=k . От-
сюда условием ( ) ik π= 41Ln определяется ветвь ( ) ( ) izz π+= 4lnLn2 , кото-рая согласно формуле (5) указанную область отображает на полосу:
( ){ }π<<π= 5Im3,2 wwD . Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно. 16. Найти образ области D при отображении ветвью логарифмиче-
ской функции ( )zw Ln= , которая определяется ее значением 0w в данной точке 0z (при выборе ветви логарифмической функции комплексную плоскость разрезать по отрицательной части действительной оси):
a) [ ]{ }2,4,42, −−∉<<= zzzD , 10 =z , iw π−= 20 ;
b) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<=3
arg0,1, zzzD , 10 =z , iw π= 20 ;
c) ( ){ }π<<<= zzzD arg0,3, , iz =0 , 20iw π
= ;
d) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−=3
arg6
, zzD , iz =0 , 2
50
iw π= .
Решение: b) ветвь, определяемая условием ( ) iπ= 21Ln , имеет вид ( ) ( ) ( ) izizz π++= 2arglnLn1 .
При этом отображении образом отрезка ( ) 0arg =z , 10 << z , являет-
ся луч π= 2v , 0<<∞− u , а образом отрезка ( )3
arg π=z , 10 << z , является
также луч 3
7π=v , 0<<∞− u . Образом дуги окружности 1=z ,
( )3
arg0 π<< z , является отрезок 0=u ,
372 π
<<π v . По принципу соответст-
вия границ образом области D является полуполоса 0<<∞− u ,
372 π
<<π v .
Пункты а), с), d) рассмотреть самостоятельно. Определение 5. Функция nzw = , ,...3,2=n , называется целой степен-
ной. Она определена и однозначна на всей комплексной плоскости. Ее
производная 1' −= nnzw существует во всех точках плоскости, поэтому функция nzw = аналитична во всей комплексной плоскости. Очевидно, производная 'w обращается в нуль лишь в точке 0=z . Таким образом, отображение nzw = конформно в каждой точке комплексной плоскости,
21
кроме точки 0=z . Положив ϕ= irez и ψρ= iew , найдем nr=ρ , ϕ=ψ n . От-сюда следует, что отображение nzw = каждый вектор 0≠z поворачивает на угол ( ) ( )zn arg1− и растягивает его в ( )1−n раз. Это означает, что обра-зом луча, выходящего из начала координат, является луч, также выходя-щий из начала координат; образом окружности Rz = является окруж-
ность nRz = . Функция nzw = отображает взаимно-однозначно и кон-формно внутренность любого угла с вершиной в точке 0=z и раствора α ,
nπ
<α<20 , на внутренность угла с вершиной в точке 0=w и раствора αn ,
π<α< 20 n . При nπ
=α2 функция nzw = отображает область
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
+ϕ<<ϕ=n
zzD 2arg, 00 на плоскость с разрезом вдоль луча
( ) 0arg ϕ= nw . Если 00 =ϕ , то область ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=n
zzD 2arg0, отображается
на плоскость с разрезом вдоль положительной части действительной оси. 17. Определить, какие из данных функций осуществляют взаимно-
однозначное отображение заданных областей:
1) 2zw = , ( ){ }0Re, >zz ; 3) 14 += zw , ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<2
arg0, zz ;
2) 3zw = , ( ){ }0Re, <zz ; 4) 10zw = , ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
3arg
6, zz .
18. Найти образы заданных множеств при отображениях ( )zfw = :
1) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=8
arg0,2, zzz , 3zw = ;
2) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<4
arg0,21, zzz , 4zw = ;
3) ( ){ }2Re, =zz , 2zw = ;
4) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<2
arg0,1, zzz , 12 += zw .
Функция n zw = , обратная к функции nwz = , определена на всей комплексной плоскости, n -значна при 0≠z .
За область D возьмем комплексную плоскость с разрезом по лучу, выходящему из начала координат под углом 0ϕ к положительному на-правлению действительной оси. В этой области существует n различных ветвей
22
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
nzi
nzzz kkn
kn ArgsinArgcos , 1,...,1,0 −= nk , (6)
где ( ) ( )12Arg2 00 +π+ϕ<<ϕ+π kzk k , функции n zw = . Каждая из ветвей взаимно-однозначно отображает область D на
один из секторов
( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ +
π+
ϕ<<
ϕ+
π= 12Arg2, 00 k
nnw
nk
nwDk , 1,...,1,0 −= nk .
Для выделения ветви ( )kn z , 1,...,1,0 −= nk , достаточно определить сектор kD , на который эта ветвь отображает область D . При проведении разрезов в комплексной плоскости чаще всего берут 00 =ϕ (разрез по по-ложительному направлению оси Ox ), либо π−=ϕ0 (разрез по отрицатель-ной части действительной оси).
В результате однократного обхода вокруг начала координат вдоль какой-либо окружности rz = значения n z , непрерывно изменяясь, пере-
ходят от ветви ( )kn z к ветви ( ) 1+kn z при обходе против часовой стрелки и
к ветви ( ) 1−kn z при обходе по часовой стрелке. После n -кратного обхода
вокруг начала координат в одном направлении значение функции n z , пе-реходя с одной ветви к другой, придет к исходному.
Точки 0=z и ∞=z являются точками ветвления функции n zw = . Каждая ветвь функции n zw = удовлетворяет теореме о производной
обратной функции, по которой
( ) ( ) 11
−=′ nk
nkn
znz , 1,...,1,0 −= nk , Dz∈ ,
и поэтому осуществляет конформное отображение области D на одну из областей kD .
19. В указанной области выделить однозначную ветвь заданной мно-гозначной функции и найти, если необходимо, ее значение в точке:
а) в плоскости z с разрезом по положительной части действительной оси найти значение ветви функции 3 z в точке iz 8= при условии
113 −=− ; b) в плоскости z с разрезом по отрицательной части действительной
оси найти значение ветви функции 4 z в точке iz −= при условии i=4 1 ; с) выделить ветвь функции 3 1−z в области [ [{ }+∞∉= ;1, zzD при
условии 113 −=− . Решение: а) по формуле (6)
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3Argsin
3Argcos33 zizzz kk
k , ,2,1,0=k
23
где ( ) ( )12Arg2 +π<<π kzk k , так как 00 =ϕ . Из условия 113 −=− имеем ( ) ( ) 1
31Argsin
31Argcos −=
−+
− kk i .
Отсюда ( ) 13
1Argcos −=−k и ( ) π=− 31Argk .
Таким образом, 1=k и искомая ветвь имеет вид
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3Argsin
3Argcos 113
13 zizzz , ( ) π<<π 4Arg2 1 z ,
а ее значением в точке iz 8= будет
( ) ( ) ( ) iiiiii +−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += 3
65sin
65cos2
38Argsin
38Argcos28 11
13 .
Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно. 20. Найти образ: а) верхней полуплоскости при отображении той ветвью функции
3 z , которая точку i переводит в точку 22
3 i+− ;
b) нижней полуплоскости при отображении ветвью функции z при условии i−=−1 ( )00 =ϕ ;
с) области ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−4
arg4
, zz при отображении ветвью функции
3 z при условии 113 = ( )π−=ϕ0 . Решение: а) возьмем 00 =ϕ . По формуле (6)
( ) ( ) ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
3Argsin
3Argcos33 zizzz kk
k , 2,1,0=k ,
из условия 22
33 ii +−= имеем 1=k . Тогда
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
=3
4Arg3
2,1 wwD
является образом плоскости z с разрезом по положительной части действи-тельной оси при отображении ветвью ( )13 z .
Итак, образом верхней полуплоскости при этом отображении будет
область ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π<<
π ww arg3
2, .
Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно. Определение 6. Степенной функцией комплексного аргумента z ,
0≠z , с показателем α , ∈α C, называется функция, определяемая равенст-вом ( )zez Lnαα = .
24
Если α не является рациональным числом, то функция αz беско-нечнозначна. Точки 0=z и ∞=z являются ее точками ветвления.
Пусть ϕ= irez . Тогда ( ) ( ) ( )π+ϕ+= kirz 2lnLn , ∈k Z,
и ( )( ) ( ) ikzikz eeez απαπ+αα == 2ln2ln , ∈k Z.
Беря все возможные значения k , получим все ветви этой функции в области ] ]{ }0;, ∞−∈= zzD .
Производная каждой ветви функции αz определяется по формуле ( ) ( )kk zz 1−αα α=′ , ∈k Z
и существует во всех точках области D . Это означает, что каждая ветвь функции αz аналитична во всех точках области D .
Определение 7. Показательная функция определяется равенством ( )azz ea Ln= , 0≠a .
Рассматривая все возможные значения ( )aLn , получим все ветви функции za . Чтобы получить отдельную ветвь, достаточно фиксировать одно из значений ( )aLn . Многозначная функция za не имеет точек раз-ветвления и ее ветви не могут непрерывно переходить одна в другую. Все ветви показательной функции являются аналитичными на всей комплекс-ной плоскости, и имеет место формула
( ) ( )aaa zz Ln'= .
Примеры 21. Найти: а) найти модуль функции azw = и выделить ее действительную и
мнимую части; b) значение выражения: ( ) ( ) ( ) ( )ieiiiii ieii 1,1,1,1,1,,1, 131 −+−− −π− . 22. Доказать: а) выражение ba принимает только одно значение, если b – целое, и
конечное число значений, если b – рациональное; d) при фиксированном z разные значения степенной функции
iqpzw +=α= α , : 1) лежат на окружностях, радиусы которых образуют бесконечную
геометрическую прогрессию, а аргументы их значений – бесконечную арифметическую прогрессию, если 0,0 ≠≠ pq ;
2) лежат на окружностях радиуса pz , а аргументы этих значений образуют бесконечную арифметическую прогрессию, если 0,0 ≠= pq .
25
3.4. Функция Жуковского Определение 8. Функция
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 (7)
называется функцией Жуковского.
Эта функция аналитична в точках ∞≠ ,0z , причем ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 2
1121'
zzw
однолистна, в частности, в следующих областях: а) 1>z – внешность единичного круга, b) 1<z – единичный круг, с) ( ) 0Im >z – верхняя полуплоскость, d) ( ) 0Im <z – нижняя полуплоскость. Положив в (7) ivuwrez i +== ϕ , , получим
( ) ( )ϕ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=ϕ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += sin1
21,cos1
21
rrv
rru . (8)
Отсюда следует, что образом окружности 0,20( >π≤ϕ≤= ϕ ppez i – фиксировано) является эллипс
( ) ( )ϕ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=ϕ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= sin1
21,cos1
21
ppv
ppu (9)
с полуосями p
pP
p 121,1
21
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + и с фокусами в точках 1±=w .
Исключая из уравнений (9) параметр ϕ при 1≠p , получим уравне-ние эллипса в каноническом виде
11
411
41
2
2
2
2=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
pp
v
pp
u . (10)
При замене р на ( )11 ≠pp эллипс (10) остается тем же самым, но его ориентация меняется на противоположную.
Таким образом, окружности 1, >= ppz , ориентированные по часо-вой стрелке, переходят в эллипсы (10), ориентированные также по часовой стрелке. При отображении окружностей 10, <<= ppz , ориентация ме-няется на противоположную.
При 1=p эллипс (9) вырождается в отрезок ]1,1[− , проходимый дважды, т.е. окружность 1=z переходит в отрезок ]1,1[− , проходимый дважды. Таким образом, функция Жуковского конформно отображает внешность (внутренность) единичного круга на внешность отрезка ]1,1[− (рис. 4).
26
Из (8) следует, что образом луча α= irez , +∞<< r0 , (α – фиксиро-вано), является кривая
( )α⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ += cos1
21
rru , ( )α⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −= sin1
21
rrv , +∞<< r0 . (11)
Исключая параметр r , при 2π≠α k ( k – целое), получаем
( ) ( )1
sincos 2
2
2
2=
α−
αvu . (12)
Рис. 4
Кривая (12) – гипербола с фокусами в точках 1±=w и с асимптотами ( )α⋅±= tguv . Если 20 π<α< , то кривая (11) является правой ветвью ги-
перболы (12), т.е. луч α= irer , 20 π<α< переходит в правую ветвь ги-перболы (ориентация показана на рис. 5), при π<α<π 2 – в левую ветвь (в (11) заменяем α на α−π ). При замене в (11) α на α− получаем ту же ветвь гиперболы, но с противоположной ориентацией. При 0=α (луч
( ) 0arg =z ) кривая (11) вырождается в луч [ )+∞,1 , проходимый дважды, луч ( ) π=zarg переходит в луч ] ]1,−∞− , проходимый дважды, лучи ( ) 2arg π=z
и ( )2
3arg π=z переходят в мнимую ось ( ) 0Re =w . Отсюда следует, что
функция Жуковского конформно отображает верхнюю полуплоскость ( ) 0Im >z на плоскость w с разрезами по лучам ] ]1,−∞− и [ [+∞,1 (анало-
гично нижнюю полуплоскость ( ) 0Im <z ).
1-1
(z) (w)
1-1
(z)
1 -1
(w)
1-1
27
Рис. 5
Любой эллипс (10) пересекается с любой гиперболой (12) под пря-мым углом.
Примеры
23. Найти образы заданных областей при отображении ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 :
1) ( ){ }1,0Im, >> zzz ; 8) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
32arg
3, zz ;
2) ( ){ }0Im,21, ><< zzz ; 9) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎢⎣⎡
⎢⎣⎡∉< 1,21,1, zzz ;
3) ( ){ }20,arg, π<α<α−π<<α zz ; 10) [ [{ }1,0,1, ∉< zzz ;
4) ( ){ }20,arg0, π<α<α<< zz ; 11) ( ){ }1,0Im, << zzz ;
5) [ ] [ ]{ }+∞∪−−∉> ,11,2,1, zzz ; 12) { }1, >ρ>zz .
6) ( ){ }2arg0,1, π<<< zzz ;
7) ( ){ }20,1,arg0, π<α<>α<< zzz ;
Функция 12 −+= zzw является обратной к функции Жуковского, она аналитична в плоскости z с выколотыми точками 1±=z , а в плоскости z с разрезом, соединяющим точки 1±=z , распадается на две регулярные ветви ( )zf1 и ( )zf2 , где ( ) ∞=∞1f , ( ) 02 =∞f . Из свойств функции Жуков-ского следует, что функция ( )zfw 1= конформно отображает плоскость z с разрезом по отрезку [ ]1,1− на внешность единичного круга, а функция
( )zfw 2= – на круг 1<w .
Примеры
24. Найти образы области D : 1) при отображениях ветвями ( )zfw 1= и ( )zfw 2= , где ( ) if =01 ,
( ) if −=02 и D – плоскость Z с разрезами по лучам ] ]1,−∞− и [ [+∞,1 ;
(w) (z)
1 -1
28
2) ( ){ }0Im, >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw =0 ;
3) ( ){ }0Im, >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw −=0 ;
4) ( ){ }0Im, >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) 0=∞+ iw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>−
+<−
+= 11
,11
, 2
2
2
2
2
2
2
2
by
bx
ay
axzD ( )1>> ba , 12 −+= zzw ,
( ) 1>zw при azb << ;
6) ( ) ( ) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>>>α
+α
= 0,0,1sincos
, 2
2
2
2
yxyxzD , 12 −+= zzw ,
( ) 0=∞+w , ( )20 π<α< ;
7) [ ] [ ]{ }+∞∪−∞−∉= ,11,, zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw =0 .
3.5. Конформные отображения, определяемые комбинациями основных элементарных функций
Основные задачи теории конформных отображений имеют следую-щий вид: даны области D и G , требуется найти функцию ( )zf , осуществ-ляющую конформное отображение области D на область G .
Один из методов поиска функции ( )zf , если такую функцию можно найти, основан на подборе надлежащим образом элементарных функций, рассмотренных ранее.
Примеры 25. Найти конформное отображение области D на область G, если:
1) ( ){ }0Im,1, >>= zzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
2) ( ){ }20,Arg0,, <α<πα<<<= zRzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
3) { }1,1, <−<= izzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
4) ( ) [ [{ }αα +∞∉π<α<α<<= ii eezzzD ;,0,2Arg0, , ( ){ }1Im0, <<= zwG ;
5) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=2
Im0, zzD , ] ] [ [{ }+∞∪−∞−∉= ,11,, wwG ;
6) [ ]{ }1,0,1, ∉<= zzzD , { }1, <= wwG ;
7) ( ){ }0Im,1, ><= zzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
8) { }1,11, <+<−= izzzD , ( ){ }0Re, >= wwG ;
9) ( ){ }11,0Re, >−>= zzzD , ( ){ }0Im, >= wwG ;
29
10) ( ){ }0Im,11,11, >>+>−= zzzzD , ( ){ }0Re,1, >>= wwwG ;
11) { }44,22, <−>−= zzzD , ( ){ }π<<= wowG Im, .
Решение: 1) область D ограничена полуокружностью 1=z , ( ) 0Im >z и лучами ] ]1;−∞− и [ [+∞;1 , которые пересекаются с полуокруж-
ностью в точках 1±=z под прямым углом (рис 6, а). Дробно-линейная функция
11
1 +−
=zzw (13)
точку 1−=z переводит в точку ∞=1w , а точку 1=z – в точку 01 =w . Пользуясь свойством сохранения углов при конформном отображе-
нии, получим, что область D отображением (13) переводится на внутрен-ность прямого угла с вершиной в точке 0=w . Одна из сторон этого угла – положительная часть мнимой оси (образ полуокружности), другая – поло-жительная часть действительной оси (образы лучей ] ]1;−∞− и [ [+∞;1 ) (рис 6, б).
Функция ( )21ww = переводит квадрант на верхнюю полуплоскость,
т.е. функция 2
11⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
=zzw осуществляет отображение области D на верх-
нюю полуплоскость (рис. 6, в);
Рис. 6
2) с помощью степенной функции α= 11 zw данный сектор (рис. 7, а)
переводится на верхний полукруг радиуса α1R (рис. 7, б). Легко видеть,
что дробно-линейная функция α
α
−+
−= 11
11
2 RwRww внутренность полукруга
α< 11 Rw , ( ) 0Im 1 >w (рис. 7, б), отображает на первый квадрант плоскости
2w (рис. 7, в).
Отображением ( )22ww = этот квадрант переводится на верхнюю по-луплоскость (рис. 7, г).
(z)
i
a 1 -1 A
B C
F E
(w1)
i
б
1A′
B′
C′F ′E′
(w)
в
30
Рис. 7
Итак, искомое отображение имеет вид 2
11
11
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
++
=αα
αα
RzRzw ;
4) область D является внутренностью угла с разрезом по лучу [ [αα +∞ ii ee ; (рис. 8, а). Отображение απ= zw1 переводит область D на всю комплексную плоскость с разрезом по лучам ] ]1,−∞− и [ [+∞,0 (рис. 8, б), а
отображение 11
12 +=
www , ( ) 12 =∞w переводит эту область на верхнюю
полуплоскость (рис 8, в). Тогда отображение ( )2ln1 wwπ
= переводит верх-
нюю полуплоскость плоскости 2W на полосу ( ) 1Im0 << w (рис 8, г). То
есть функция 21
1ln1−
απ
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π= zw осуществляет искомое отображение
(рис. 8, а и г).
Рис. 8
α 0
a R
(z) (w2)
в
(w)
г
(w1)
в
α1Rα1R− 0 б
0-1
(w1)
б
(w2)
в
(w)1
г
αααie
0 a
(z)
31
Глава 4. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
4.1. Понятие интеграла от функции комплексной переменной
Пусть ( )ξf – непрерывная функция в области D комплексной плос-
кости; L – кусочно-гладкая кривая, лежащая в области D с началом в точ-ке 0z и концом в точке z .
Разобьем кривую L произвольным образом на n элементарных час-
тей 110 ,...,, −γγγ n точками zzzz n =,...,, 10 . Составим сумму ( )∑−
=Δξ
1
0
n
kkk zf , где
kk γ∈ξ , kkk zzz −=Δ +1 , 1,...,1,0 −= nk . Пусть kl , 1,...,1,0 −= nk – длина ду-ги кривой kγ , a { }
kklmax=λ . Тогда
( ) ( )∫∑ ξξ=Δξ−
=→λ L
n
kkk dfzf
1
00lim
называется интегралом от функции ( )ξf по кривой L . Если кривая L задается уравнением ( )tzz = , [ ]βα∈ ,t , то вычисление
интеграла от функции ( )zf по кривой L (в порядке возрастания парамет- ра t ) сводится к вычислению определенного интеграла по формуле
( ) ( )( ) ( )∫∫β
α
= dttztzfdzzfL
' . (14)
Если ( ) ( )yxivyxuzf ,),( += , то интеграл (19) сводится к вычислению криволинейных интегралов
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ++−=LLL
dyyxudxyxvidyyxvdxyxudzzf ,,,, . (15)
Примеры
26. Вычислить ∫L
dzzz , где L – часть окружности 1=z ,
( ) π≤≤ zarg0 , выбрав за начало L точку 1=z . Решение. Запишем уравнение кривой L в виде itez = , π≤≤ t0 .
Тогда itez −= , dtiedz it= . Используя формулу (14), имеем:
idtidtieedzzz itit
Lπ=== ∫∫∫
ππ−
00.
27. Вычислить ( )∫ +L
dzzzz 2 , где L – дуга параболы 2xy = , 10 ≤≤ x ,
0=z – начало кривой. Решение. Выпишем действительную и мнимую части подинте-
гральной функции:
32
( ) ( ) ( )⎩⎨⎧
==
⇒+=−+++=+.2,222
2222
xyvxuxyixiyxiyxiyxzzz
Воспользовавшись формулой (15), имеем ( )xdxdyxy 2,2 == ( ) =++−=+ ∫∫∫
LLLdyxxydxixydydxxdzzzz 222 2222
( )23
152622
1
0
31
0
42 idxxidxxx +−=+−= ∫∫ .
28. Вычислить ( ) ( )∫ +L zzdz
ReIm, где L – квадрат с вершинами в точ-
ках 1, i , 1− , i− (рис. 9). Решение. Поскольку на сторонах квадрата ABCD выполняется ра-
венство |Re(z)|+|Im(z)|=|x|+|y|=1, получаем
∫∫ =+ LL
dzzz
dz)Re()Im(
.
Подсчитаем интеграл вдоль отрезка AB: y=1-x, 0≤x≤1, dy = – dx, Dz = dx + idy = (1– i)dx, откуда
∫∫ +−=−=0
1.1)1( idxxdz
AB
Аналогично, ,1 idz
BC−−=∫ ,1 idz
CD−=∫ .1 idz
DA+=∫
Окончательно,
.0)Re()Im(=
+∫L zz
dz
4.2. Интегральная теорема Коши ТЕОРЕМА (Интегральная теорема Коши). Если функция ( )zf – ана-
литическая в односвязной области D, то интеграл от нее по произвольному замкнутому жордановому кусочно-гладкому контуру L, целиком лежаще-му в области D, равен нулю:
∫ =L
zdzf 0)( . (16)
Из этой теоремы вытекает: а) если ( )zf аналитична в области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования, т.е. если γ1 ⊂D и γ2 ⊂D – две кривые, имеющие общие начало и конец, то
∫ ∫γ γ
=1 2
)()( dzzfdzzf ;
b) если функции ( )zf и ( )zg вместе со своими производными пер-
x1 -1 A
B
C
D
i
-i
y
Рис. 9
33
вого порядка аналитические в односвязной области D, то справедлива формула
∫ ∫ ξξξ′−ξξ=ξξ′ξz
z
z
z
z
zdgfgfdgf
0 00
)()()()()()( ; Dzz ∈,0 ;
Примеры
29. Определить, когда для интеграла ∫ −L zdz
42 можно применить ин-
тегральную теорему Коши, если L:
a) | z | =21 ; b) | z -
21 | =
41 ; c) | z - 1| = 4; d) | z | = 3.
Решение. Подинтегральная функция ( )4
12 −
=z
zf имеет осо-
бенности в точках z = ± 2,∞. Следовательно,
a) круг 21
≤z полностью входит в область аналитичности ( )zf и
(16) имеет место; b) рассуждая аналогично п. а), имеем (16); c) в круге с центром z = 1 и радиуса 4 функция ( )zf имеет особенно-
сти и не является аналитической, следовательно, теорема Коши не приме-нима;
d) рассуждая аналогично п. с), получаем, что теорема Коши также не применима.
30. Доказать, что ∫∞
−π=−
0
22
2)2(cos bx edxxbe .
Решение. Функция ( )2zezf −=
– аналитична на всей комплексной плоскости. Проинтегрируем ( )zf по контуру прямоугольника Rx ≤ ,
by ≤≤0 (рис. 10). Из (16) следует, что
∫ =−
γ0
2dze z . Тогда
∫ ∫ ∫ ∫∫γ
+++−
−−−−−− =+++==R
R
R
R b
iyRbixb
yiRxz idyedxeidyedxedze0
)()(
0
)( 222220
∫ ∫∫−
−−−−−
− +++= ++b R
R
xibbxyRiyRR
R
x dxeedyeeidxe0
22 22222
-R R 0 x
y
bi
Рис. 10
34
∫ +−+0
222
b
yiRyR dyeei .
Если объединить второй и четвертый интегралы, разбить третий ин-теграл на два и воспользоваться формулами Эйлера
ieex
xixi
2)(sin
−−= ,
2)(cos
xixi eex−+
= ),
то полученную сумму интегралов можно будет записать в виде
.0)2(cos2
)2(sin
)2(sin
0
00
2
0
02
22
22222
22222
∫
∫∫∫
∫ ∫∫
=−
−+=+
+++
+
++
++
−
−
−
−−
−−
−−−
−
−
Rbx
byR
R
R
xR
xibbx
b
R
xibbxyRR
R
x
dxxbe
dyyReidxedxeei
dxeedyRyeidxe
При R→ ∞ ∫ =+∞→
−b
yRR
dyRye0
0)2sin(lim22
.
Таким образом,
∫ ∫ ∫∞
∞
∞ ∞+
−
−−− ==0 0
.)2cos(2)2cos(222222
dxxbeedxxbedxe xbbxx
Зная, что π=∞
∞
−∫−
dxxe2
(интеграл Эйлера – Пуассона), оконча-
тельно имеем
∫∞
−− π=
0
22
2)2(cos bx edxxbe .
4.3. Интегральная формула Коши Пусть функция ( )zf аналитическая в ограниченной замкнутой одно-
связной области D с кусочно-гладкой жордановой границей L. Тогда для любой точки Dz ∈0 справедлива формула
∫ −π=
L zzzdzf
izf
00
)(21)( . (17)
Формула (17) называется инт е г р а л ьной формулой Коши . Для производной n-го порядка справедливо обобщение (17):
∫ +−π=
L
n dzzz
zfi
nzf n 10
0 )()(
2!)()( . (18)
35
Примеры
31. Вычислить ∫ −+Ldz
zz
zze)1)(1( 2 , где
а) L={z, 1−z =1}; b) L={z,21
=z }; c) L={z, 21 =+− iz }.
Решение: а) перепишем интеграл в виде
∫∫=−=− −
+=−+ 1111 )1(
)1()1()1(
2
2z
z
z
zdz
zz
ez
dzzz
ez ,
функция ( ))1( 2 +
=z
ezzfz
– аналитическая в области 11 <−z , а точка
}11{10 <−∈= zz , тогда из (25) имеем
iez
ezidzzz
ezz
z
z
zπ=
+π=
−+=
=−∫ 1
11 12
)1()1( 22 ;
b) в области | z | = 21 подынтегральная функция
)1()1( 2 −+ zzez z
–
аналитическая, поэтому из интегральной теоремы Коши (16) имеем
0)1)(1(
21
2∫=
=−+
z
zdz
zzez ;
с) в области | z – 1 – i | < 2 лежат две точки, в которых знаменатель обращается в ноль: izz == 21 ,1 , поэтому воспользоваться непосредственно формулой (17) невозможно. Разложим функцию на сумму простых дробей
)1(21
)1(21
)1()1( 22 −+
+
−−=
−+ zzz
zzz .
Тогда, применяя (25) к каждому из интегралов, имеем
∫ ∫∫ =−
++
−−=
−+L L
z
L
zzdz
zedz
zezdz
zzez
)1(21
1)1(
21
)1()1( 22
∫ ∫ =−
+−+
−
−=L L
zz
dzzedz
izizeiz
)17(
121
)(
21
ieeieiizezi i
zz
iz
zπ+−
π=π+
+−
π−===
)1(2
)1(1
.
36
32. Доказать, что ∫π
−
π=
ϕ+ϕ2
0 1
2)(cos 2aa
d ( 1>a ).
Решение. Заменой ϕ= iez сведем интеграл ∫π
ϕ+ϕ2
0 )(cosad к инте-
гралу по контуру от функции комплексной переменной. Так как zizdd =ϕ ,
воспользовавшись формулой )1(21)(
21)(cos
zzee tt +=+=ϕ ϕ−ϕ , имеем
∫∫=
π
++=
ϕ+ϕ
1
2
0 122
)(cos 2z zaz
dzia
d .
Разложим знаменатель на множители:
)()()1()1()12( 21222 zzzzaazaazzaz −−=−−+−++=++ .
Точка },1{122 <∈−+−= zaaz точка }1{12
1 >∈−−−= zaaz ,
таким образом, функция 12 )1( −−++ aaz – аналитическая в },1{ <z и из формулы (17) имеем
=++
∫=1 12
22
z zazdz
i
∫= −+−=
−
π=
−++
π=
−−+
−++=
1 11
2
1
22
1
1
1
22
222
2
z aazaaaz
ii
dzaaz
aazi
.
33. Вычислить ∫= −3 )2(
)(sin3
zdz
zzz .
Решение. Воспользовавшись (17), имеем
∫=
===−π=′′⋅
π=
−3
22))(sin)(cos2())(sin(
!22
)2()(sin3
zzz
zzzizzidzz
zz
))2(sin)2((cos2 =π= i .
34. Вычислить ∫π2
0)(sin 6 dxx .
37
Решение. Сделав замену xiez = и используя формулу
( ) )1(21sin
zz
ix −= ,
имеем
[ ]8
5)1(!664
2)1(641)(sin
01
2
0
)6(627
626 π
=−⋅π
−=−
−===
π
∫∫zz
zdzz
zi
dxx .
Глава 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
5.1. Понятие степенного ряда
Определение 9. Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∑∞
=−
0)( 0
n
nn zzc , (18)
где ∈ncz ,0 C, n = 0,1,2,... – фиксированные числа. Определение 10. Радиусом сходимости степенного ряда называется
число R, ∞+<< R0 , обладающее тем свойством, что при любом z, для которого Rzz <− 0 , этот ряд сходится, а при любом z, для которого
Rzz >− 0 , ряд расходится. Круг { }Rzzz <− 0, , где R – радиус сходи-мости степенного ряда, называется его кругом сходимости. Если ряд схо-дится только при 0zz = , то по определению полагают 0=R , если же ряд сходится при всех z∈C, то считают что R = +∞. Для радиуса сходимости степенного ряда (18) справедлива формула Коши – Адамара
nn nc
R ∞→= lim1 . (19)
Примеры 35. Найти радиусы сходимости рядов:
1) ∑∞
=0 !n
nn
znn ; 4) ∑
∞
=0
!
n
nz ;
2) ∑∞
=0
33
n
nn z ; 5) ;20
!∑∞
=n
nn z
3) ∑∞
=1 2n
nn zn ; 6) ∑
∞
=0
2
n
nz .
38
Решение: 1) по формуле (19) имеем nn
n
nn
nn
R nn !lim
!lim1
∞→∞→== ,
для вычисления последнего предела воспользуемся формулой Стирлинга
)1,0(,2! 12/∈θ⋅π=
θ+−n
n nnn ennn , тогда
en
e
enn
nR n
n
nn nnnn
n
n=
π=
⋅π=
θ−
∞→θ+−∞→ 2
12/1
12/ 2lim
2lim1 ,
откуда 1−= eR ;
2) ∑∞
= 0
33
n
nn z – степенной ряд, у которого многие коэффициенты
равны нулю. Прежде, чем воспользоваться формулой Коши – Адамара, за-
пишем выражения коэффициентов kc этого ряда ∑∞
= 0k
kk zc через но-
мер коэффициента kc (здесь kc – коэффициент при k-й степени z):
⎩⎨⎧
= ==≠
,...;1,0,3,3.3,0
nnknk
nkc
Так как требуется найти верхний предел неотрицательной последо-вательности, можно не рассматривать ее нулевые члены. Поэтому
1)3(limlimlim1 333
1
====∞→∞→∞→
nnn
nnn
kkk
ccR
.
5.2. Ряд Тейлора Пусть ( )zf однозначна и аналитична в области D, точка Dz ∈0 и R
– кратчайшее расстояние от точки 0z до границы области D. Тогда в круге Rzz <− 0 функция разлагается в степенной ряд по степеням
0zz − :
∑∞
=−=
0)()( 0
n
nn zzczf , (20)
где коэффициент nc вычисляется по формуле
0
0
10
0)(
,,)()(
21или
!)(
ZnRrdzzz
zfi
cn
zfc
rzznn
n
n ∈<−π
== ∫=−
+ .
Определение 11. Степенной ряд (20) называется рядом Тейлора функции ( )zf в окрестности точки 0z .
39
Как правило, прямое вычисление коэффициентов рядов Тейлора че-рез вышеприведенные формулы затруднительно и приходится прибегать к различным искусственным приемам. При этом важную роль играет теоре-ма единственности разложения функций в степенной ряд: если функция f представима в круге Rzz <− 0 как сумма степенного ряда, то коэффици-енты этого ряда определяются однозначно.
Приведем разложение некоторых элементарных функций в точке 00 =z :
)(!0
∞+<= ∑∞
=z
nze
n
nz , (21)
)(!)12(
)1()(sin1
121∞+<
−−
= ∑∞
=
−−z
nzz
n
nn, (22)
)(!)2(
)1()(cos0
2∞+<
−= ∑
∞
=z
nzz
n
nn, (23)
)(!)12(
)(sh1
12∞+<
−= ∑
∞
=
−z
nzz
n
n, (24)
)(!)2(
)(ch0
2∞+<= ∑
∞
=z
nzz
n
n, (25)
)1()1()1(ln1
1<
−=+ ∑
∞
=
−z
nzz
n
nn (26)
(здесь ln (z) – главная ветвь логарифма),
)1()1(0
<=+ ∑∞
=α
α zzCzn
n n , (27)
⎪⎩
⎪⎨⎧
=
=+−α−αα
=α0если,1
...,,2,1если,!
)1(...)1(
n
nn
nC n
(здесь αz – главная ветвь степенной функции). В частности из формулы (27) имеем
)1(01
1<
∞
==
− ∑ zn
zz
n . (28)
Приведем примеры разложения функций в ряды с использованием формул (21) – (28).
40
Примеры 36. Разложить в степенной ряд функции:
1) 0,1
102 =
+z
z.
Решение. Из формулы (28) для 1<z имеем
∑∑∞
=
∞
=−=−=
−−=
+ 00
2222 )1()(
)(11
11
nn
nnn zzzz
.
2) 0,)1(
102 =
−z
z.
Решение. Из теоремы о почленном дифференцировании степен-ных рядов имеем
==⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−
=−
∑∑∞
=
∞
= 00)(
11
)1(1
2nn
nn zdzdz
dzd
zdzd
z
1,)1(01
1 <+== ∑∑∞
=
∞
=
− zznznnn
nn .
3) 0,1 02 =
+−z
zzz .
Решение. Записав данную функцию в виде
322 1)1(
)1()1()1(
1 zzz
zzzzz
zzz
++
=+−+
+=
+−
и воспользовавшись формулой (28), для всех 1<z имеем
...1()1()1()1(1
)1( 96333
0+−+−+=−+=
++
∑∞
=zzzzzzzz
zzz
n
nn
......))1( 1110875423 +−−++−−+=+−+ zzzzzzzzz n
...)1()1( 2313 +−+−+ ++ nnnn zz
4) 1,252
102 −=
++− z
zzz .
Решение. Воспользовавшись методом неопределенных коэффици-ентов, разложим функцию на простейшие дроби:
)12()1()1()12(
122)12()2(1
2521
2 +++++
=+
++
=++
−=
++−
zzzBzA
zB
zA
zzz
zzz ;
.1,1
12:
12:0
1
−==
⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
−=+
=+BA
BAz
BAz
Получаем
41
121
21
2521
2 +−
+=
++−
zzzzz .
Применяя к каждой из дробей формулу (28), получим
∑∞
=+−=
+−−=
+ 0)1()1(
))1((11
21
n
nn zzz
, 11 <+z ,
и
∑∞
=+−=
+−−=
−+=
+ 0)1(2
)1(211
1)1(21
121
n
nn zzzz
, 211 <+z .
Отсюда
=+++−=++
−∑∑∞
=
∞
= 00)1(2)1()1(
2521
2nn
nnnn zzzz
z
∑∞
=+−+=
0)1)()1(2(
n
nnn z
для всех .211 <+z
5) iziziz
=+−
0, .
Решение. Для всех точек z окрестности точки iz =0 радиуса 2<− iz :
∑∞
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−=
−−−
−=
+−−
=+−
0 2)1(
2))2
(1(22)( n
nn
iiz
iiz
iizi
iziiz
iziziz ;
так как 12
<− iz , то имеем
=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=
+−
++
++
∑∑∞
=
∞
=1
111
)1(1
2)1(
2)1(
00n
nn
nn
n iiziiz
iziz
nn
∑∞
=
−−= +
0 2)(1
n
n
nn izi .
6) 4
),(cos 0π
=zz .
Решение. Пользуясь тригонометрическими формулами, получаем
=ππ
−−ππ
−=π
+π
−= )4
(sin)4
sin()4
(cos)4
(cos)4
)4
((cos)(cos zzzz
42
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
−−π
−= )4
(sin)4
(cos22
zz .
Из разложений (22), (23):
∑
∑
∞
=
∞
=
+
π−
−=π
−
π−
−=π
−
+
0
0
.!)12(
)4
()1()
4(sin
,!)2(
)4
()1()
4(cos
12
2
n
n
n
zz
n
zz
nn
nn
Окончательно имеем
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+
π−
+
π−
+π
−−π
−−= ...!4
)4
(
!3
)4
()
4(
!21)
4(1
22
)(cos43
2zz
zzz
⎥⎥⎥
⎦
⎤
++
π−
−++
π−
−+
+
+
+
+ ...!)22(
)4
()1(
!)12(
)4
()1(...
222
121
n
z
n
z nn
nn , ∈z C.
7) .3, 0 =zez Решение. Из разложения (21) имеем
∑∞
=
−⋅== +−
0 !)3(33)3(
n nzeee
nzz .
8) .0,)(cos)(sin 044 =+ zzz
Решение. Пользуясь тождеством
)4(cos41
43)(cos)(sin 22 zzz +=+
и формулой (28), получаем
.4!)2(
)1(1
)...!)2(
)4()1(...!4)4(
!2)4(1(
41
43
4!)2(
)1(41
43)(cos)(sin
1
0
122
242
22
44
∑
∑
∞
=
∞
=
−⋅−+=
=+−+−+−+=
=⋅−+=+
n
n
nn
n
nn
nn
n
nz
nzzz
nzzz
9) 0,)(cos)(ch 0 =zzz . Решение. Для разложения функции в степенной ряд преобразуем
ее, воспользовавшись формулами Эйлера:
43
2)(cos;
2)(ch
zizizz eezeez−− +
=+
= .
Тогда
)(41)(cos)(ch )1()1()1()1( zizizizi eeeezz −−+−−+ +++=⋅ .
Замечая, что
,21,21,21
2)4
(sin)4
(cos22
12
121
43
43
4
4
iii
i
eieiei
eiii
ππ−
π−
π
=+−=−−=−
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+π
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=+
получаем
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+++=
π−
ππ−
π
∑∞
=
in
in
in
in
nn
eeeenzzz
n4
34
344)2(
!41)(cos)(ch
0
∑∞
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
+π
⋅=0
)4
3(cos)4
(cos2!
)2(41
n
nnnzn
n .
Кроме того:
,2)4
03(cos)40(cos0 =
π+
π=n
,022
22
)4
3(cos)4
(cos1 =−=π
+π
=n
,000)2
3(cos)2
(cos2 =−=π
+π
=n
,022
22
)4
9(cos)4
3(cos3 =+−=π
+π
=n
,211)4
12(coscos4 −=−−=π
+π=n
т.е. ( )⎩⎨⎧
⋅−=
π+
π4.кратно если,21
4;кратноне если,0)
43(cos)
4(cos 4/ n
nnnn
Отсюда окончательно имеем
.!)4(
2)1()(cos)(ch0
42∑
∞
=−=
k kzzz
kkk
10) 1, 02 =zez z .
Решение. Используя формулу (21), получаем
[ ] [ ] =−+−=+−= ∑∞
=
+−
0)1(
!21)1(1)1( 22)1(22
k
kk
zz zk
ezezez
44
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+−= ∑ ∑
∞
=
∞
=
+
0 0)1(
!2)1(
!2 12
k k
kk
kk
zk
zk
e
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−
+++−= ∑ ∑
∞
=
∞
=
++
+
0 0
11
12 )1(!)1(
21)1(!
2k k
kk
kk
zk
zk
e
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++= ∑
∞
=
++
0
11
2 )1(!)1(
2!
21k
kkk
zkk
e
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−+
++= ∑
∞
=
+
0
12 )1()3(!)1(
21k
kk
zkk
e .
При разложении в ряд некоторых функций, а именно функций, после дифференцирования которых получается рациональная дробь, целесооб-разно использовать теоремы о почленном дифференцировании и интегри-ровании равномерно сходящихся рядов (функций вида [ ])(ln zϕ ,
[ ])(arcsin zϕ , [ ] ...,)(arctg zϕ ).
Пример 37. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки 00 =z функцию
)1(ln 2zz ++ . Решение. Продифференцируем функцию
[ ]222
2
1
1
11
1
1)1(ln)(zz
z
zzzzzF
+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++⋅
++=
′++= .
Из формулы (27) имеем
)1()1(0
2121 <=+ ∑
∞
=− ttct
k
kk ,
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
=−⋅⋅⋅⋅
−=−
;0,1
...;,2,1,2!
)12(31)1(21
k
kk
kc k
kk
.)!(2
!)2()1(
2!)12(31)1(1)1(
0
1
22
21
∑
∑
∞
=
∞
=
−=
=−⋅⋅⋅⋅
−+=+ −
k
k
kk
k
kk
k
tk
k
tk
kt
Тогда
)1()!(2!)2()1()1(
0
222
212 <−=+ ∑∞
=zz
kkz
k
kk
k .
45
Проинтегрировав почленно последнее равенство, получим
∑∫∞
= +⋅−==++
+
00 12)!(2!)2()1()()1(ln
12
222
k
z
kz
kkdttFzz
k
kk ,
где 1<z .
5.3. Ряд Лорана Если функция )(zf однозначна и аналитична в кольце
Rzzr <−< 0 , то она разлагается в нем в р яд Лорана
=−= ∑∞
∞−=n
nn zzczf )()( 0
210010
)()( ffzzczzcnn
nn
nn +=−+−= ∑∑
∞
=
∞
=
−− ,
где
Rrndzzz
zfi
czz
nn <<Ζ∈−π
= ∫=−
+ с,,)()(
21
с01
0.
При r = 0 и R < ∞ кольцо вырождается в круг с выколотым центром. Ряды 21 и ff называются соответственно правильной и г л а вной ч а с т ями ряд а Лорана .
Определение 12. Внешность круга Rz ≤ называется окрестностью бесконечно удаленной точки.
Если )( zf однозначна и аналитична в окрестности бесконечно уда-ленной точки (за исключением может быть только точки z = ∞), то она раз-лагается в ее окрестности в ряд
∑∞
∞−==
n
nn zczf )( ,
называемый рядом Лорана функции f в окр е с тно с ти т очки z = ∞. Определение 13. Ряды
∑∑∞
=
∞
==+= −
−11
)(~и)(~201
nn
nn
nn zczfzcczf
называются соответственно правильной и главной частями ряда Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
Часто нецелесообразно использовать непосредственную формулу для подсчета коэффициентов ряда Лорана, поэтому, как и в случае ряда Тейлора, прибегают к некоторым искусственным приемам.
46
Примеры 38. Разложить функцию )( zf в ряд Лорана в окрестности точки 0z :
1) 1,32
1)( 02 =−+
= zzz
zf ; 2) babzaz
zf <−−
= ,)()(
1)( .
Решение: 1) используя метод неопределенных коэффициентов, разложим рациональную дробь )(zf на сумму простых дробей
⇒+
+−
=+−
=−+
=31)3()1(
132
1)( 2 zB
zA
zzzzzf
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=
=⇔
⎩⎨⎧
=−=+
⇒.
41
,41
13,0
B
A
BABA
Получаем
)()()3(4
1)1(4
1)( 21 zfzfzz
zf ∗∗ −=+
−−
= .
Функция )(2 zf ∗ аналитична в круге 41 <−z , (особые точки 3−=z , z = ∞ в круг не попадают) и поэтому ее можно разложить в ряд
Тейлора в окрестности 10 =z . Для этого представим )(2 zf ∗ в виде
411
1161
)4)1((1
41
)3(41
−+
⋅=+−
⋅=+ zzz
.
Учитывая что
14
131 <
−⇔<−
zz ,
имеем
∑∞
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
−=∗
0 41)1(
161)(2
n
nn zzf .
Функция )(1 zf ∗ аналитична в кольце 01 >−z и уже записана ря-дом Лорана по степеням (z – 1). Окончательно получаем
,4
)1()1(4
)1()1()1(4
1)()()(10
2
1
221 ∑∑∞
−=
∞
=+
+
+∗∗ −−
=−−
−−
=−=nn
n
nn
n
nn zzz
zfzfzf
где 410 <−< z .
39. Разложить функцию )( zf в ряд Лорана: a) в кольце bza << ; b) в окрестности бесконечно удаленной точки.
Решение: а) с помощью метода неопределенных коэффициентов
47
)( zf можно представить в виде
))()((1)(
1)(
11)( 21 zfzfbabzazba
zf ∗∗ −−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−−−
= .
Функция )(1 zf ∗ аналитична во внешности круга 1<⇔<za
za ,
поэтому
∑∑∞
=
∞
=
−∗ =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
−=
−=
10
1
11
)1(
11)(nn
n
nn
za
za
zzazaz
zf .
Для функции .1:)(2 <⇔<∗
bzbzzf
∑∑∞
=
∞
=+
∗ −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
−
−=
−=
0012
1
)1(
111)(nn
n
nn
bz
bz
bbzbbz
zf .
Окончательно
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
−= ∑∑
∞
=
∞
=+
−
011
11)(nn
n
n
n
n
bz
za
bazf .
Решение: b) окрестностью бесконечно удаленной точки будет кольцо ∞<< zb , поэтому из условия zba << имеем
.1<<zb
za
Получаем
∑∞
=+−
−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−=
11
1
)1(
1
)1(
11)(n
n
nn
zba
bazbz
zazba
zf .
40. Разложить функцию в ряд Лорана в окрестности точки 0z :
1) 1,)1
(cos 0 −=+
zz
z ; 2) .0,103 =
− −z
ze z
Решение: 1) запишем дробь 1+z
z в виде .1
11+
−z
Тогда
.)1
1(sin)1(sin)1
1(cos)1(cos)1
11(cos)1
(cos+
⋅++
⋅=+
−=+ zzzzz
Воспользовавшись стандартными формулами (22) и (23) для )(cos z и )(sin z , получаем
48
,)1(1
!)12()1()1(sin
)1(1
!)2()1()1(cos)
1(cos
00122 ∑∑
∞
=
∞
=+++
−⋅+
+−
⋅=+ nn
n
n
n
n
znznzz
где 01 >+z .
Решение: 2) представим дробь 31
ze z−− в виде )1(1
3ze
z−− и вос-
пользуемся стандартным разложением (21):
.!
)1(!
)1(1!)(11)1(1
110
311
333 ∑∑∑∞
=
∞
=
∞
=
−−−− −=−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−=−
nnn nz
nz
znz
ze
z
nn
nn
nz
Так как особые точки функции: z = 0 и z = ∞, то мы получили разло-жение в кольце ∞<< z0 .
Разложить функцию ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
=11ln)(
zzzf в ряд Лорана в области
∞<< z1 .
.12111
121
211ln)(
10222222 ∑∑
∞
=
∞
=−=−=
−=
−=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
= −nn
nn zzzzzzzzzF
Этот ряд равномерно сходится на любой гладкой кривой, соединяю-щей точку z c ∞. Интегрируя почленно, находим
∑∑ ∫∫∞
=
∞
= ∞∞ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=−==⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−+ −
11 121122)(
11ln
12
2kk
zz
kztdtdttF
zz k
k .
5.4. Классификация изолированных особых точек однозначного характера аналитической функции
Определение 14. Точка ∞≠0z называется изолированной особой точкой однозначного характера функции )( zf , если в некоторой окрест-ности этой точки Rzz <−< 00 однозначная функция )( zf аналитична, а в самой точке 0z не определена или не аналитична.
Бесконечно удаленная точка называется и золиров анной осо -бой т о чкой одно зн ачно го х ар ак т ер а функции )( zf , если в кольце ∞<< zR однозначная функция )( zf аналитична.
Точки ветвления многозначной функции называются о собыми т очк ами много зн ачно го х ар а к т е р а . В дальнейшем будем рас-сматривать только изолированные особые точки однозначного характера.
Классификация изолированных особых точек может быть проведена двумя эквивалентными способами:
49
по виду лорановского разложения функции в окрестности особой точки 0z ;
по характеру поведения функции в окрестности этой точки. Определение 15. Точка 0z называется устранимой особой точкой
функции )( zf если: 1) в разложении в ряд Лорана функции )( zf в окрестности 0z от-
сутствует главная часть ряда, т.е.
∞≠−= ∑∞
=00 ,)()(
0zzzczf
n
nn ,
∞== ∑∞
=
−− 0,)(
0zzczf
n
nn ;
2) ∞≠=→
const)(lim0
zfzz
.
Определение 16. Точка 0z называется полюсом порядка n функции )( zf , если:
1) в разложении в ряд Лорана в функции )( zf окрестности 0z глав-ная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, т.е.
+−
++−
+−
= −−
+−−
0
11
0
1
0...
)()()(
zzc
zz
c
zz
czf n
nn
n
∞≠≠−+ −∑∞
=00 ,0,)(
0zczzc n
kk
k, (29)
;;0,0
...)( 011
1 ∞=≠∞
=++++= ∑ −
−−
− zck
zczczczczf nk
kn
nn
n (30)
2) ∞=→
)(lim0
zfzz
.
Порядок полюса 0z функции )( zf равен по определению кратности
нуля функции )(
1)(zf
z =ϕ в точке 0z . Доказывается, что если в окрест-
ности 0z справедливо представление (29) или (30), то порядок полюса ра-вен числу n.
Определение 17. Точка 0z называется существенно особой точкой )( zf , если:
1) в разложении в ряд Лорана )( zf в окрестности 0z главная часть ряда Лорана содержит бесконечно много слагаемых, т.е.
50
∞≠−+−= ∑∑∞
=
−
∞−=000
0
1,)()()( zzzczzczf
kk
kk
kk ,
∞=+= ∑∑∞
=∞−=
−− 0,)(
1
0zzczczf
kk
kk
kk ;
2) )(lim0
zfzz→
не существует.
Примеры 41. Определить характер изолированной особой точки 0z для функ-
ции )( zf :
1) ;1,)2
(tg)1()( 0 =π
−= zzzzf 2) ∞=−= 01 ,)1()( zezzf z .
Решение: 1)
=−−π
−−=π
−→→
))11(2
(tg)1(lim)2
(tg)1(lim10
zzzzzzz
=−π
−=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π
−−π
−−=→→
))1(2
(ctg)1(lim)2
)1(2
(tg)1(lim11
zzzzzz
,2))1(2
(cos2lim
2))1(
2(sin
2)1(
))1(2
(coslim11 π
=−π
π=
π⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
π
π−
⋅−π
=→→
zz
zz
zz
10 =z – устранимая особая точка )( zf ; Решение: 2)
;1lim1
1
lim1
))1((lim)1(lim 12
11
1 ==′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−⋅
=′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
′−=−
∞→∞→∞→∞→
zz
z
z
z
zz
ze
z
ze
z
ezez
0z – устранимая особая точка )( zf . 42. Найти полюсы функции )( zf и определить их кратности:
1) 253
)( 234 −+−−=
zzzzezzf
z; 2)
))(cos1(1)( 3 zz
zf−
= .
Решение: 1) запишем функцию )( zf в виде
.)2()1(
)( 3 +−=
zzezzf
z
Имеем
∞=+−
∞=+− −→→ )2()1(
lim,)2()1(
lim 3231 zzez
zzez z
z
z
z.
51
Точки 1=z и 2−=z – нули знаменателя, причем 1=z – нуль третье-го порядка, а 2−=z – простой нуль. Числитель в этих точках в нуль не обращается, поэтому точки 1=z и 2−=z будут соответственно полюсами 3-го и 1-го порядка функции )( zf .
Решение: 2) нулями знаменателя будут точки Znnz ∈π= ,2 . Разложим знаменатель )( zf в ряд:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−=ϕ ∑
∞
=...
!4!21
!)2()1(1))(cos1()(
23
233
0
zzk
zzzzzk
kk .
Точка 0=z – нуль пятого порядка функции )( zϕ , поэтому 0=z – полюс пятого порядка )( zf . Точки 0,,2 ≠Ζ∈π= nnnz , – простые нули знаменателя, поэтому они будут простыми полюсами )( zf .
43. Определить характер точки 10 −=z для функции
)1
cos()(+
=z
zzf .
Решение. Докажем, что )(lim1
zfz −→
не существует. Выберем две
последовательности:
{ } { } 1)12(1
)12(,121
2−→
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
π+−π+
=′′−→⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
π−π
=′∞→∞→ n
nn
n nnz
nnz .
Для них
.1)12(coslim)(lim
.1)2(coslim)21(
)21(2coslim
1)21(
2:)21(
2coslim)(lim
−=π+=′′
=π=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡π−π−π
=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
π−π
π−π
=′
∞→∞→
∞→∞→
∞→∞→
nzf
nn
nn
nn
nnzf
nnn
nn
nnn
Таким образом, )(lim)(lim nnnnzfzf ′′≠′
∞→∞→.
Значит, 10 −=z – существенно особая точка )( zf .
Глава 6. ВЫЧЕТЫ
6.1. Вычисление вычетов
Пусть ∞≠0z – изолированная особая точка однозначной аналитиче-ской в проколотой окрестности точки 0z функции )( zf , L – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку 0z и лежащий целиком в окрестности 0z .
52
Определение 18. Вычетом функции )( zf в точке 0z называется ин-теграл:
∫π=
= Lzzdzzf
izf )(
21)(Res
0. (31)
Вычет функции )( zf в точке 0z равен коэффициенту 1−c при пер-
вой отрицательной степени 10 )( −− zz в разложении функции )( zf в ряд
Лорана в окрестности 0z , т.е. 1)(Res
0−
== czf
zz.
Если ∞=0z , то
∫∫ π−=
π=
−∞= LLz
dzzfi
dzzfi
zf )(21)(
21)(Res ,
где −L – замкнутый жорданов кусочно-гладкий контур, содержащий внут-ри себя начало координат и полностью лежащий в окрестности бесконечно удаленной точки, где )( zf аналитична, причем −L означает, что обход осуществляется в отрицательном направлении. Кроме того
1)(Res −∞=
−= czfz
.
В зависимости от типа изолированных особых точек приведем фор-мулы для вычисления вычетов )( zf .
1. Пусть 0z – устранимая особая точка функции )( zf . Тогда
0)(Res0
==
zfzz
, если ∞≠0z ;
))()((lim)(Res zffzzfzz
−∞=∞→∞=
, если ∞=0z . (32)
2. Пусть 0z – полюс n-го порядка, ∞≠0z , тогда
[ ])()(lim!)1(
1)(Res 01
1
00zfzz
zdd
nzf n
n
n
zzzz−
−= −
−
→=, (33)
в частности при n = 1 )()(lim)(Res 0
00zfzzzf
zzzz−=
→=.
Если 0z – простой полюс и )()()(
zzzf
ψϕ
= , где )( zϕ и )(zψ – анали-
тические функции в точке 0z , причем 0)(,0)(,0)( 000 ≠ψ′=ψ≠ϕ zzz , то
)()()(Res
0
0
0 zzzf
zz ψ′ϕ
==
, (34)
53
если mzzzzf
)()()(
0−ϕ
= , где )(zϕ аналитична в точке 0z , то
.)(!)1(
1)(Res 0)1(
0z
mzf m
zz
−
=ϕ
−=
3. Если 0z – существенно особая точка )( zf , то, раскладывая )( zf в ряд Лорана по степеням )( 0zz − , находим 1−c , тогда
11 )(Res,)(Res0
−∞=
−=
−== czfczfzzz
.
Заметим еще, что, если )( zf – четная функция, то
)(Res)(Res00
zfzfzzzz −==
−= и 0)(Res)(Res0
==∞==
zfzfzz
,
если )( zf – нечетная, то )(Res)(Res
00zfzf
zzzz −=== . (35)
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ. Если nzzz ,...,, 21 – изоли-рованные конечные особые точки функции )( zf , аналитической, кроме этих точек во всей комплексной плоскости, то
( )∑= ∞==
=+n
k zzzzfzf
k00sRe)(Res . (36)
Примеры 44. Вычислить вычет функции )( zf в точке 0z :
1) izz
ezzfzi
=+
= 02 ,1
)( .
Решение. Точка iz =0 – простой полюс )( zf , так как
∞=−+
=→→ )()(
lim)(limiziz
ezzfzi
iziz.
Поэтому из формулы (48)
eiiei
izizezizzf
zi
iziz 21
)()()(lim)(Res
1=
+=
−+−
=−
→=.
2) izez
eezzf z
zazπ=
−+−
= 2,)1(
1)( 0 .
Решение. Точка iz π= 20 – полюс 1-го порядка, так как знаменатель функции имеет в точке 0z нуль первого порядка, так как:
0)1)2(sin)2(cos()1( 2 =−π+π=−π ie i и ( ) 01 ≠=′
− zz ee .
54
Представим
)()()(
zzzf
ψϕ
= , где ,1)(,1)( −=ψ+−
=ϕ zzaz
ezz
eezz
причем 1)2(,0)2(,0)2( 2 ==πψ′=πψ≠πϕ π ieiii , из (34) имеем
iaiia
ize
ieei
iizf π
ππ
π==
π+−π
=πψ′πϕ
= 222
2 212
)2()2()(Res .
3) 0,)(ctg)( 02 == zzzf .
Решение. Точка 00 =z – полюс 2-го порядка, так как знаменатель )(sin2 z в точке 00 =z имеет нуль 2-го порядка. Из формулы (33) имеем
.0)(cos)(sinlim2
)(cos)sin(2))(sin2lim2
)(cos)sin(2)1)(cos()(sinlim2
))(sin())(sin)(cos(lim2
)(sin)(sin)(cos)ctg(lim2
)(sin)ctg(2)(ctg2lim))(ctg(lim)(Res
0
2
0
22
0
2020
2
22
022
000
=−=
=⋅
−=⋅
−+−=
=′
′−⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅⋅⋅=
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅==
→
→→
→→
→→=
zz
zzz
zzzz
zzzz
zzzzzz
zzzzzzz
dzdzf
z
zz
zz
zzz
4) .0,)1(
1)( ≠−
= − hez
zf zh Подсчитать вычеты во всех особых
точках.
Решение. Точки ∈π
= nh
inzn ,2 Z, 0≠n – простые полюсы, из
формулы (32) имеем ))1()(,1)(( zhezz
z −−=ψ=ϕ
∈π
−=⋅⋅π
=⋅
= −=n
ni
hinh
ehzzf
nnzh
nzz,
2121)(Res Z, 0≠n .
Точка 00 =z – полюс второго порядка, так как знаменатель в 0z имеет нуль второго порядка. Разложим )( zf в ряд Лорана в окрестности
00 =z :
....!3!2!1
13322++−=− − zhzhzhe zh
Выполняя деление рядов
55
– ...
211...
!21
...!3!2!1
13322
+++−
++−
zhzh
zhzhzh
–
...42
...!32
22
22
+−
+−
zhzh
zhzh
...!34
222 +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
hhz
получаем
...211
)1(1
2 ++=− − zzhez zh )20(
hz π<< .
Отсюда: 21
1 =−c и 21)(Res
0=
=zf
z.
5) .,1
)1(sin)( 0 ∞=
−= z
zzzf
Решение. Так как
01
1)1cos(lim
)1(
)1(sinlim)(lim
2=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=′−
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
=∞→∞→∞→
zzz
zzfzzz
,
то ∞=0z – устранимая особая точка. Воспользовавшись формулой (32), найдем
.01
11
)1(sinlim
1
)1(sin0lim)(Res =
−⋅=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−=
∞→∞→∞= zz
zz
zzzfzzz
6) .1,1
1sin)(ln)( 0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−⋅= z
zzzf
Решение. Точка 10 =z – существенно особая точка. Разложим функцию в ряд, воспользовавшись формулами (22) и (26):
...3
)1(2
)1()1()1()1()(ln32
1
1 +−
+−
−−=−
−= ∑∞
=
− zzzk
zzk
kk ,
,
56
...)1(!5
1)1(!3
11
1!)12(
11
1)1(1
1sin 50
3
12
−−
+−
−−
=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
−∑∞
=
+
zzzkzz k
kk
Перемножая два ряда, найдем коэффициенты при первой отрица-тельной степени 1)1( −−z :
∑∞
=
−
− +−
=−⋅
+⋅
−⋅
=1
1
1 !)12(2)1(...
!761
!541
!321
n
n
nnc .
6.2. Вычисление интегралов с помощью вычетов I. Если однозначная функция )( zf аналитична в замкнутой области
D , за исключением конечного числа изолированных особых точек Dzk ∈ , nk ,...,2,1= , область D ограничена замкнутой жордановой кусочно-
гладкой кривой Г, то
∑∫= =Γ
π=n
k zzzfidzzf
k1)(Res2)( , (37)
где контур Г обходится в положительном направлении относительно об-ласти D.
Примеры 45. Вычислить интегралы:
1) { }ε=−++=Γ−+
∫Γ
11,:;)2(
12
2zzzDdz
zzz .
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются 01 =z – полюс второго порядка, 22 =z – простой полюс, ∞=3z –
устранимая особая точка. Точки DzDzz ∉∈ 321 ,, , воспользовавшись фор-мулой (33), подсчитаем вычеты в точках 21 , zz :
41
)2(14lim
)2(1lim
)2(1Res 2
2
0
2
02
2
0−=
−−−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
=−+
→→= zzz
zz
dzd
zzz
zzz,
451lim
)2(1Res 2
2
22
2
2=
+=
−+
→= zz
zzz
zz.
Тогда из (37) имеем
iidzzz
zπ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −π=
−+
∫Γ
241
452
)2(1
2
2.
2) .4511,:;
)(cos)1()(ch
2 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ =+−=Γ
−∫Γ
zzzDdzzz
z
57
Решение. Особыми точками подынтегральной функции являются точки 12,1 ±=z (простые полюса), которые лежат внутри контура Г, и точ-
ки ∈π+π
= nnzn ,2
~ Z, лежащие вне контура Г.
Подсчитаем вычеты в точках 21 , zz :
)1(cos2)1(ch
)(cos)1()(chRes,
)1(cos2)1(ch
)(cos)1()(chRes 2121 −
=−
=− −== zz
zzz
zzz
.
Из (53) имеем
0)1(cos2
)1(ch)1(cos2
)1(ch2)(cos)1(
)(ch2 =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−π=
−∫Γ
idzzz
z .
3) ∫= −2
4
3
1zdz
zz .
Решение. В круге 2≤z лежат четыре особых точки подинте-
гральной функции 4,1,1 == kz kk (полюсы). Вне круга лежит только одна
особая точка – ∞=5z (устранимая особая точка). Воспользовавшись ос-новной теоремой о вычетах (см. формулу (36))
1Res
1Res 4
34
14
3
5 −−=
− == =∑
zz
zz
zzk zz k
и формулой (32), имеем
iz
ziz
zidzz
zzzzz
π=−
−⋅π−=
−⋅π−=
− ∞→==∫ 2
1lim2
1Res2
1 4
4
4
3
24
3
5.
4) ∫=−− +
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
21 1
1cos
izdz
ziz .
Решение. Внутри контура интегрирования лежат две особые точки подынтегральной функции: iz = – простой полюс, 0=z – существенно особая точка, для вычисления вычета в которой формул не существует и, следовательно, подсчитывать вычет сложно. Вне контура лежит только од-на особая точка ∞=z , причем вычет в ней достаточно легко считается по формуле (32). Отсюда
.221
1coslim2
1
1cosRes2
1
1cos
21π=
π=
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⋅−
⋅π−=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅π−=+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∞→∞==−−∫ i
izi
zz
izi
zidzzi
zzziz
58
II. Теорию вычетов можно применять для вычисления интегралов вида
∫π2
0,))(sin,)(cos( xdxxR (38)
где ( )vuR , – рациональная функция аргументов u и v, не имеющая особен-ностей на окружности 122 =+ vu .
Пусть ixez = , тогда
zidzdx
zz
ix
zzx =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ += ,1
21)(sin,1
21)(cos . (39)
Когда x меняется от 0 до 2π , точка z пробегает окружность 1=z в положительном направлении. Интеграл (38) такой заменой сводится к ин-тегралу по замкнутому контуру от функции комплексного аргумента, ко-торый легко вычисляется с помощью вычетов (см. (37)).
Примеры 46. Вычислить интегралы:
1) ρ≠ρρ+ρ−∫
π
,1,)(cos21
2
02x
dx – комплексное число.
Решение. Сделаем замену переменной (57):
∫∫=
π
ρ+ρ+−ρ=
ρ+ρ− 122
2
02 )1()(cos21 z zz
dzix
dx .
Точки ρ
=ρ=1, zz – простые полюсы подынтегральной функции,
причем только один лежит в круге .1<z Если 1<ρ , то в круге 1<z лежит полюс ρ=z и
222
2
02 1
2)1(
Res2)(cos21 ρ−
π=
ρ+ρ+−ρ⋅π=
ρ+ρ− ρ=
π
∫ zzii
xdx
z.
Если 1>ρ , то в круге 1<z лежит полюс ρ
=1z и
.1
2)1(
Res2)(cos21 2221
2
02 −ρ
π=
ρ+ρ+−ρ⋅π=
ρ+ρ−ρ
=
π
∫ zzii
xdx
z
2) ∫π
ϕ+ϕ⋅−
ϕ=
2
02
2
)(cos21)3(cos d
aaJ , ∈a C , 1≠a .
Решение. После замены переменных (39) имеем
59
∫= −−
+−=
1 6
26
)1()(
)1(41
zdz
azazz
zia
J .
Особыми точками подынтегральной функции )( zF будут точки
01 =z (полюс шестого порядка), a
zaz 1, 32 == (простые полюсы). Пусть
1<a , тогда в круге 1<z лежат полюсы 1z и 2z . Вычислим
)1()1(
)1(
)1(lim)(Res 25
26
6
26
−+
=−
+=
→= aaa
azz
zzFazaz
.
Для вычисления вычета в 01 =z можно было бы воспользоваться формулой (33), но тогда пришлось бы искать производную пятого порядка от сложной дроби. Это нецелесообразно, поэтому разложим каждый из множителей )( zF в ряд по формуле (27):
×⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++
++=
−−
+= ...112
)1(1
)1(
1)1()( 2
2
6
612
6
26
az
az
zzz
zaazz
zzF
.)...1(...112)...1( 222
2
6622 +++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=+++× zaza
az
az
zzzaza
Перемножая ряды, соберем все коэффициенты при 1−z :
.111)(Res 5335
0 aaaaaazF
z+++++=
=
Тогда
2
6
5335
25
26
11111
)1()1(
2 aa
aaaaaa
aaa
aJ
−+
π=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++
−+π
−= .
Аналогично при 1>a :
11
2
2
6 −+π
=a
aa
J .
3) 0,)(tg0
≠+= ∫π
adxaixJ – действительное число.
Решение. Так как функция )(tg x – периодичная с периодом π, то имеем
∫∫ππ
+=+2
00)(tg
21)(tg dxaixdxaix .
60
Пользуясь тригонометрическими тождествами и сделав замену axiez −= , получаем
∫∫−=
π
+−
−=+aez
dzzz
zdxaix)1(
121)(tg
21
2
22
0.
Если 0>a , то 1<− ae и в круге aez −< лежит лишь одна особая точка 0=z (полюс первого порядка). Поэтому
izz
zidzzz
zz
ez aπ−=
+−
⋅π=+−
==∫
−
2)1(
1Res2)1(
12
2
02
2 и iJ π= .
Если 0<a , то 1>− ae , тогда в круге aez −< лежат три особые точ-ки: 0; ±i, а вне круга – лишь одна ∞=z (устранимая особая точка), следо-вательно
1)1(
1Res 2
2−=
+−
∞= zzz
z.
По основной теореме о вычетах имеем iJ π−= . Объединяя случаи 0>a и 0<a , имеем
.)(sign aiJ ⋅π=
4) 1,1)(
J1
12
>−−
= ∫−
axxa
dx .
Решение. Заменой переменных )(cos ϕ=x сведем интеграл J к ви-ду (38):
,)(cos2
1)(cos
J2
00∫∫ππ
ϕ−ϕ
=ϕ−
ϕ=
ad
ad
стандартной заменой (39) и по формуле (36) подсчитаем
∫∫=
π
−
π=
+−−=
ϕ−ϕ
=1
22
2
0 1121
)(cos21
z azazdz
iadJ .
III. Теорию вычетов можно использовать при вычислении несобст-венных интегралов по вещественной оси, если методы действительного анализа оказываются неэффективными.
1. Пусть f(z): а) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного
числа особых точек kz , 0)Im( >kz , nk ...,,2,1= , непрерывна в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек и
b) 0)(lim =∞→
zfzz
, 0)Im( ≥z .
61
Тогда
∫ ∑+∞
∞− = =π=
n
k zzzfidxxf
k1)(sRe2)( (40)
(аналогично для нижней полуплоскости, но в (40) правую часть нужно брать со знаком «минус»).
2. Если ( )zf : а) аналитична в верхней полуплоскости, за исключением конечного
числа особых точек kz , 0)Im( >kz , nk ...,,2,1= , непрерывна в замкнутой полуплоскости за исключением тех же точек и
b) 0)(lim =∞→
zfz
, 0)Im( ≥z .
Тогда
∫ ∑∞
∞− = =>π=
n
k
imx
xx
imx mexfidxxfek1
0),)((sRe2)( . (41)
Если кроме того ∈)(xf R, при ∈x R, то
0,))((sReIm2)cos()(1
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡π−= ∑∫
= =
∞
∞−
mezfdxmxxfn
k
imx
zz k, (42)
0,))((sReRe2)(sin)(1
>⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡π= ∑∫
= =
∞
∞−
mezfdxmxxfn
k
imx
zz k. (43)
Примеры 47. Вычислить интегралы:
1) 0,0,)( 22
2>>
+∫∞
∞−
babxadxx ;
2) ∫∞
∞−
>+
0,1 2 mdx
xex imx
;
3) 0,sin
022
2>
+= ∫+∞
adxaxxJ .
Решение: 1) рациональная функция 22
2
)()(
zbazzR
+= аналитична
в верхней полуплоскости, за исключением точки baiz =1 (полюс второго
порядка) и 0)(lim =∞→
zRzz
.
62
322
2
4
1lim)(sRe11 bai
baizb
zdzdzR
zzzz=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=→=
.
Из (40) ∫∞
∞−
π=π=
+ 3322
2
44
12)( babai
ibxadxx .
Решение: 2) функция 21)(
zzzf+
= – аналитическая в верхней по-
луплоскости, включая действительную ось, кроме точки iz = (полюс); 0)(lim =
∞→zf
z, поэтому из формулы (41):
m
imx
iz
imx
ei
zzeidx
xxe π
=+
π=+ =
∞
∞−∫ 22 1
sRe21
.
Решение: 3) преобразуем J:
∫∫∫+∞∞
∞−
+∞
+−
+=
+−
=0
22220
22)2(cos
21
41)2(cos1
21 dx
axx
axdxdx
axxJ .
Первый интеграл – табличный
aax
aaxaxd
axdx π
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=
+∞∞−
∞
∞−
+∞
∞−∫∫ |acrtg1
1)/()/(
21
222 .
При вычислении второго интеграла воспользуемся формулой (42), учиты-
вая, что 221)(
axxf
+= – четная функция:
ae
iae
azedx
axxdx
axx aazi
az i 22ImsReIm)2cos(
21)2cos( 22
22
2
220
22
−−
=
∞
∞−
∞π=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+π−=
+=
+ ∫∫ .
Окончательно: )1(444
22
aa
eaa
aa
J −−
−π
=ππ
= .
63
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа 1
З ад ание к к аждому в ари ан ту 1. Представить комплексное число z в алгебраической форме. 2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовле-
творяющих данному условию. 3. Записать комплексное число z в тригонометрической и показа-
тельной формах. 4. Используя формулу Муавра, вычислить. 5. Найти корни уравнения и отметить их на комплексной плоскости.
Вариант 1
1. )21)(1()22)(1(
12
iiii
iz
−−−+
−+
=
2. 11 +≤− zz 3. iz 21+=
4. 15
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
+i
i
5. 02)2(2 =++− iziz
Вариант 2
1. 7
)23)(1(32
3 iii
iz ++−
−+
=
2. 1Re 2 <z 3. iz += 3
4. 9
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−i
i
5. 055)25(2 =+++− iziz Вариант 3
1. i
iii
iiz+
−−−
−++
=2
)2()1(2
)2()1(
2. zz −<+ 21
3. 31 iz +=
4. 7
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−
ii
5. 014 =+z
Вариант 4
1. )1()21()21()1(
11
iiii
iz
+−+−
−+
=
2. 2Im1;4
3arg4
≤≤π
≤≤π zz
3. 31 iz +−=
4. 8
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
ii
5. 03 =− ziz
64
Вариант 5
1. )1()21()33()1(
13
iiii
iz
−+++
−−
=
2. 32
12
<+
+−z
zz
3. iz 21+−=
4. 4
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−i
i
5. 04 =+ iz
Вариант 6
1. iii
iiz
23)21(
233
++
−−−
=
2. 0)1Re( =−z
z
3. iz −= 3
4. 5
33
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−−
ii
5. iz =+13
Вариант 7
1. i
iii
iz++
−−−
=1
)23(323
2. 2)Im( ≥− iz 3. 31 iz −−=
4. 7
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
ii
5. 02322 =+− iz
Вариант 8
1. )22)(1()1)(21(
11
iiii
iiz
−+−−
−+−
=
2. 2311 <−++< zz 3. iz 21−=
4. 6
22
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
ii
5. 04 =− iz Вариант 9
1. )1)(3(
33
32iii
iz−+
−−+
=
2. 0)( =−+++⋅ zzizzzz
3. iz +−= 3
4. 10
223
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
ii
5. 02322 =−+ iz
Вариант 10
1. )1)(21()1)(21(
31
iiiiiz
−++−
−−
=
2. ( ) zzz Im2Im 2 −=− 3. 31 iz −=
4. 8
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+ii
5. 014 =−z
Вариант 11
1. iii
iiz
)1(32
332
−−
−−+
=
2. zz =− 2
3. iz 21−−=
4. 8
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−ii
5. 03 =− iz
Вариант 12
1. 2)1()2)(1(
21
iiiiz
−++
−−
=
2. 1ImRe −≥+ zz 3. iz −= 3
4. 7
13
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++ii
5. 0332 =+− iz
65
Вариант 13
1. )1(
)2)(1(2
1i
iii
iz−
−+−
+−
=
2. 111≤
+−
zz
3. iz −=1
4. 10
311
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛++i
i
5. 03 =+ iz
Вариант 14
1. )22)(1()22)(1(
11
iiii
iiz
−−++
+−+
=
2. izz +<−1
3. 33 iz +=
4. 8
311
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−−i
i
5. 0222 =++ iz
Вариант 15
1. i
iii
iiz+
−−−
−++
=3
)3)(4(3
)3)(4(
2. 4212 <+−< iz 3. iz 22 −=
4. 8
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−+
ii
5. 14 =+ iz
Вариант 16
1. iii
iiz
23)1(
233
++
+−
−=
2. 1Im0,5Re1 <<<<− zz
3. 22 iz +=
4. 6
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
ii
5. 03 =+ ziz Вариант 17
1. )21)(1()21)(1(
1 iiii
iiiz
+−−+
−+−
=
2. zz <− 3
3. 322 iz +−=
4. 5
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
ii
5. 02322 =+− iz
Вариант 18
1. i
iii
iz2
)1)(3(32
3 −+−
+−
=
2. zz Im2 +>
3. 33 iz −−=
4. 10
331
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
++
ii
5. 013 =−− iz
Вариант 19
1. )21)(1()1)(21(
13
iiii
iz
+−+−
−+
=
2. 8114 ≤++−≤ zz 3. iz +=1
4. 3
232⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
ii
5. 0164 =−z
Вариант 20
1. iii
iiz
32)1(
323
−+
++−
=
2. 4>++− iziz
3. 33 iz +−=
4. 5
232⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
− ii
5. 332 =+ iz
66
Вариант 21
1. ii
iiiz)1(
)22)(1(2
1−
+++
+=
2. zz 414 −<−
3. iz 22 −−=
4. 10
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−
ii
5. 0222 =+− iz
Вариант 22
1. )2(
)2)(1(2
)2)(1(i
iii
iiz+
−+−
−+−
=
2. 47Im
43 2 <+< zz
3. iz 322 +=
4. 5
131⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
+i
i
5. 0164 =+z Вариант 23
1. i
ii
z+−
−−
=1
)1(2
2 2
2. iziz −<+
3. 22 iz −=
4. 7
11
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−+
ii
5. 02322 =−− iz
Вариант 24
1. )22)(1()22)(1(
11
iiii
iiz
++−−
−−+
=
2. 311 <−−≤ iz 3. iz +−= 1
4. 6
133⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−i
i
5. 13 =− iz Вариант 25
1. i
iii
iz )1)(3(323 +−−
++
=
2. zz Re1−>
3. 33 iz −=
4. 8
322⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +i
i
5. iz =+14
Контрольная работа 2
З ад ание к к аждому в ари ан ту 1. Найти вычеты следующих функций во всех их конечных особых
точках и в бесконечности. Дать характеристику особых точек. 2. Вычислить интегралы по замкнутому контуру D∂ . 3. Вычислить следующие несобственные интегралы.
67
Вариант 1
1. ( )2
16 −zz
2. ∫∂ −D
dzz 1
1sin , 11: >−zD
3. а) ( )∫∞+
∞− +−− dx
xxex ix
221
2 ;
б) ∫π
ϕ+ϕ2
0 sin2d
Вариант 2
1. ( )22 1
sin
+z
z
2. ∫∂ −D z
dzz1
1exp , 622: <++− zzD
3. а) ( )∫
∞
+0 42
4
bxa
dxx , 0>a , 0>b ;
б) ∫+
π2
0
2
cos45sin dx
xx
Вариант 3
1. z
z 1sinsin
2. ∫∂ +D
dzz
zz1
cos , 2: >zD
3. а) ∫∞+
∞− +dx
xeix
12 ;
б) ∫+
π2
0 66 cossin xxdx
Вариант 4
1. ( )22 1
cos
+z
z
2. ∫∂ −D ze
zdz
12 , 4: >zD
3. а) ( )∫∞+
∞−
−
+−+ dx
xxex ix
521
2
3;
б) ∫ ϕϕ−ϕ+π2
0 sin2cos2 d
Вариант 5
1. ( )21−z
e z
2. ∫∂ +D
dzz
z1
sin , 3: >zD
3. а) ( )∫∞+
∞− +++ dx
xxxxx22
sin524
3;
б) ( )∫
− −−
1
1212 xx
dx
Вариант 6
1. z
z πsin2
2. ∫∂ −
+D
dzzzz
11sin , 2: <zD
3. а) ( )∫∞+
∞− +++ xdxxx
xx sin5.43
13224
3;
б) ∫− +
−1
1
2
321 dx
xx
Вариант 7
1. 11−zze
2. ( )( )∫∂ −−D
dzzz
zz
21
1sin22
, 3: <zD
Вариант 8
1. 12
2
+n
z
ze
2. ∫∂ −D
dzz
z14
3, 2: <zD
68
3. а) ∫∞
++024 22
cos dxxxax , 0>a ;
б) ( )∫π
+0
4tg dxix
3. а) ∫+∞
∞− ++dx
xxxx
84sin
24
3;
б) ( )∫π
−2
01ctg dxx
Вариант 9
1. ( ) zzz
z cos1
144
8
++
2. ∫∂ +D
z dzez
z 31
3, 4: >zD
3. а) ∫+∞
∞− +−dx
xxxx
102cos
2 ;
б) ∫+
π2
0
2
cos45sin
xxdx
Вариант 10
1. ( )2
16
8
++zz
z
2. ( )
∫∂ +D
dzz
z31
sin , 32
32
32
2: <+ yxD
3. а) ( )∫
+∞
∞− +dx
ax
xx222
sin , 0>a ;
б) ∫+
π2
0 22 cos3sin2dx
xxdx
Вариант 11 zπctg.1
( )4:1
.2 2
3<
−∫∂
zDe
dzz
Dz
( )∫+∞
∞−
>+
;0a).3 244
6a
ax
dxx
( )∫
−
1
1-213
б)x-x
dx
Вариант 12
( )( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
π
+
−+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
>
<−
π
0
22
2
2
8tgб)
45a).3
0Im1:
2.2
ctg.1
dxix
ixx
dxx
zzD
dziz
e
z
D
z
Вариант 13
21.1−ze
∫∂ −D z
dzz1
1exp.2
( )622: <++− zzD
∫+∞
∞− −−;
12a).3 2 ixx
dxeix
Вариант 14
zz2
2cos.1 +π
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛<
−∫∂
π3
2
2
27:
1.2 3 zD
e
dzz
D iz
∫+∞
∞− −−;
12a).3 2 ixx
dx
69
∫ +
1
1-
2
89dxx-1б)x
( )∫π
−2
09ctgб) dxx
Вариант 15
( )
( )
( )∫
∫
∫
−+
+−−
>+
+
∞+
∞−
∂
1
1-2
2
2
11213б)
;1096
3a).3
2:1
cos.2
11.1
dxxx
x
xxdxex
zDdzz
zz
e
xiD
z
Вариант 16
( ) ( )( )
∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
ϕ−ϕϕ
++
<−−−
π
2
02
2
2
3
sin2cosб)
;102
sina).3
11:1
sin.2
sin1.1
d
dxxx
xx
zDizz
zdzz
D
Вариант 17
( )
( )∫
∫
∫
π
∞∂
−
+
+
<−
2
066
0244
6
11
cossindxб)
;2
a).3
3:1
.2
.1
2
xx
x
dxx
zDe
zze
Dz
z
Вариант 18
( )
( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
ϕ+ϕ
+
>−
π
2
0
32
2
sin8б)
;1
a).3
5:1
.2
cos.1
2
d
x
dx
zDdze
zz
z
D z
Вариант 19
( )
∫
∫
∫
+−
++
>
∞∂
1
1-
2
024
741б)
;22
2cos)a.3
1:.2
.1
dxx
x
dxxx
x
zDz
ctgzez
D
za
n
Вариант 20
( ) ( )( )
( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
−
++
<−−−
2
0
2
3
2
2ctgб)
;102
sin)a.3
11:1
sin.2
sin1.1
dxix
xxxdxx
zDizz
dzzz
D
Вариант 21
π+ze2.1
Вариант 22
zz2
2cos.1 +π
70
( )2:11sin.2 >
−+
∫∂
zDdzzzz
D
( )
( )∫
∫π
+∞
∞−
+
+−−
0
2
3tgб)
;54
2cos1a).3
dxix
xxxx
( ) ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
>>
<
−∫∂
π
0Im0Re1:
2.2 2
zzzD
dziz
e
D
z
( )∫
∫π
+∞
∞−
−−
+−2
02
2
17б)
;102
cosa).3
xa
dx
dxxx
xx
Вариант 23
( )( ) ( )
( )∫
∫
∫
π
∞∂
ϕ+ϕ
−+
<−+
π−
2
0
022
2
2
sin6dб)
;45
a).3
4:13
.2
4
cos.1
xix
dxx
zDez
z
z
z
Dz
Вариант 24
( )
( ) ( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂π
+
++
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛>
−
−
2
022
222
32
2
2
cos5sinб)
;14
a).3
29:
1.2
1.1
3
xxdx
xx
dx
zDdze
z
ze
D iz
z
Вариант 25
( )( ) ( )
( ) ( )∫
∫
∫
π
∞+
∞−
∂
++
+
>−−
π
2
023
2
22
2
sin81cos31cos2xб)
;1
a).3
3:21
1sin.2
4cos.1
dxxx
dxx
e
zDdzzz
zz
z
ixD
Вариант 26
( )( )( )
( )
( )
∫
∫
∫
π
∞+
∞−
−∂
ϕϕ−ϕ+
+−+
>
−+
2
0
2
3
65
10
sin2cos2б)
;52
1a).3
1:ctg.2
12
1cos1.1
d
xxdxex
zDdzz
zzz
zz
ixD
Вариант 27
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−−2
1
1.12 zez
Вариант 28
1
1sin.1
−zz
71
( )
( )∫
∫
∫
−+
+
<−−
∞∂
1
1-2
02
4
3
14б)
;4
2sina).3
5.11:1
.2
xx
dx
dxx
xx
zDdzz
z
D
( )
( )
( )∫
∫
∫
−+
+++
>+
∞+
∞−
∂
1
1-22
24
3
11б)
;84
sin5a).3
2:1
cos.2
xa
dx
xxdxxxx
zDdzz
zzD
Контрольная работа 3
Вариант 1 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }iz
z-iwyxzD+
=>>= ,0 ,0: ;
2) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=>>>=
zzwyxzzD 1
21 ,0 0, ,2/3: ;
3) { } zewzzD =π<= ,2/Im: ;
4) { } ( ) ( )0 1 , ,0 Re ,9: 0 =ϕ==<<= i-wzwzzzD ; 5) [ ){ } z;ln ,;0: =∞∉= wzzD
2
5 , ,3
10 ,2
31z 02020101iwiziwi π
==π
=−−
= .
2. Доказать: iziz ctg ctg = ; ( ) yxz sinch sh Im ⋅= . Вычислить: ii; 7 1+i . 3. Найти функцию, осуществляющую конформное отображение области D на верхнюю полуплоскость.
Вариант 2
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }21,1Re0:
+−
=<<=zzw zzD ;
2) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=π<<<=
zzwzzD 1
21 ,/4z arg0 ,2/1: ;
3) [ ){ } ,ln ,;0: zwzzD =+∞∉=
••h Re z
Im z
0
D
72
23 , ;4 ,1 02020101
iwiziwz π=−=π== ;
4) { } 1 ,2z Re 1: 2 +=<<= zwzD ;
5) 1, ,0 ,11
: 2
2
2
2>
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
><−
+= aya
yaxzD ( ) 1 ,0 2 −+==+ zzwiiw .
2. Доказать: zzz
−+
=11ln
21arth . Вычислить: (1+i)i; 8 1−i ; arccos 2.
3. { }0z Im ,1: ><= zzD ; { }0 wIm: >= wG . GD f⎯⎯ →⎯ =? .
Вариант 3 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }1
,4/arg0:z-zwzzD =π<<= ;
2) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=π<<π<=
zzwzzzD 1
21 ,2/arg/4 ,1: ;
3) { } zwzzD sin ,2z Im0 ,2/Re2/: =<<π<<π−= ; 4) [ ]{ } ( ) iwzwzzD π−=+−=∉<= 01 ,ln ,0;1z ,1: ;
5) { } 1 ,8/arg0 ,2: 3 −=π<<== zwzzzD . 2. Доказать: ( )( ) yxx ch coscosRe ⋅= ; ( ) yyz sinsh ch Im ⋅= . Найти все значения функций: arcctg 3; )ln( i− .
3. { }0 Im:? >=⎯⎯ →⎯ = wwGD f .
Вариант 4 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }31 ,0Re ,21:
+−
=><+=zzwzzzD ;
2) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∉<<=
zzwzzD 1
21 ,1;
41z ,1
41: ;
3) z
wzzD 1,4рargz0,
41: =
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<>= ;
2i
(z)
-2ix
y
73
4) [ ] 1, ,1;1 ,11
: 2
2
2
2>
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−∉<−
+= aza
yaxzD
;1,0)i( 2 −+=−=+ zzwiw
5) { }22
3 , , ,0Im: 003 iwizzwzzD +−===>= .
2. Доказать: x
z2cos2ych
2ysh ctg Im−
−= . Вычислить: )3arccos(− ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−+
ii
11ln .
3. ( ] [ ){ }+∞∪−∞−∉= ;42;z:zD ; { }0 Im: >= wwG . GD f⎯⎯ →⎯ =? .
Вариант 5 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }21 ,1Re0:
z-z-wzzD =<<= ;
2) { } zwzzD ch ,Im0: =π<<= ; 3) { } 2 , ,9: zwyxzzD =<<= ;
4) ( ) iwzwzzzD =−=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π5
<<π
>= 1 , ,4
arg4
3 ,1: ;
5) [ ]{ } ( ) iр-wzwzzzD −=+=∉<= 01 ,ln ,1;0 ,1: .
2. Доказать: iziz
iziziiz
−+
=−+
=11ln
21ln
2 arctg .
Решить уравнение: izz =− cossin . 3. { }0 Im:? >=⎯⎯ →⎯ = wwGD f .
Вариант 6
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { } ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=π<<π>=
zzwzzzD 1
21 ,4/3arg/4 ,2: ;
2) { } zewzzzD =π<<<= ,2/Im0 ,1Re: ;
3) { }z
zwzzD 1 ,1Re0: −=<<= ;
•
•
2i y
• ••
(z)
x 2 D
74
4) { }2
12
, ,0 Im ,1: iiwzwzzzD +=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=><= ;
5) [ ]{ } ( ) iwzwzzzD π−==−−∉<<= 21 ,ln ,2;4 ,42: . 2. Доказать:
( )1lnarcsin 2 −+−= zziiz . Найти все значения функций:
arcctg 2i; ( ) ( )π≤ϕ<πϕ+ϕ -i ,sincosln .
3. { }0 Im:? >=⎯⎯ →⎯ = wwGD f .
Вариант 7 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π<<π<=
23arg,2: zzzD ,
21−
=z
w ;
2) { }0Im: >= zzD , ( ) 0=∞+ iw , 12 −+= zzw ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡∉π<<
π<=
2;0,
32arg
3,1: izzzzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ><<−= 0Im,
21Re
21: zzzD ,
zw π= sin ; 5) { }π<−<<= 2,Im: 1221 aaazazD , zew = .
2. Доказать:
yxxz
2ch2cos2sintgRe+
= ;
Решить уравнение: iz =sin .
3. { }0Im?
>→=
wDf
.
Вариант 8 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) [ ]{ }iizzzD 2,,1: −−∉>= , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<
π−
π<<= 0Im
2,
2Re0: zzzD , zw sin= ;
0 1 2
-i -2i
x
y (z) D
•
-2i
y
•
• x 2
D
•
•i
1
75
3) [ ]{ }1;: +∞−∉= zzD , zw = , ( ) 24 =w ;
4) { }0Im,21: <<−= zzzD , 31
−+
=zzw ;
5) { }),0[: ∞+∉= zzD , zw Ln= ; 2
310
iz −−= ,
310
0iw π
= , iz =0 ,
2
50
iw π= .
2. Решить уравнение: 2cossin =+ zz . Доказать: ( )1LnArch 2 −+= zzz .
3. { } { }0Re,1:0Im,11,11:?
>>=→>>+>−==
wwwGzzzzDf
.
Вариант 9 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ <<
π−=∉<= 0arg
3,1,0Im: zzzzzD ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
2) { }1,11: ><++= zizzD ; iz
zw++
=32 ;
3) { }0Im: <= zzD ; zw = , ( ) ( )0,1 0 =ϕ−=− iw ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<=2
arg0,221: zzzD ; 12 += zw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
π<<
π= 0Im,
2Re
4: zzzD ; zw sin= .
2. Доказать: iziz artharctg −= . Вычислить: ( )1Ln,sinArc −i .
3. { } { }0Im:0Im,1: ? >=⎯⎯ →⎯>>= = wwGzzzD f .
Вариант 10 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ( ){ }4Re4Im,0Im: 2 +>>= zzzzD ; ( ) iwzw =−= 1, ;
2) { }1,11: <<++= zizzD ; 11
+−
=zzw ;
3) [ ){ }0Re,;1,1: >∞+∉>= zzzzD ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<−
π<<= 0Im2,
4Re0: zzzD ; zw sin= ;
5) { }0Im,1: ><= zzzD ; ( )2
30,Ln iiiwzw π−=−= .
2. Вычислить: ( ) ei i Ln,1 1+− . Доказать: ziz arccosarch = .
76
3. Найти дробно-линейное отображение такое, чтобы точки ( )1,0,1− пере-ходили в точки ( )1,,1 i− и образом нижней полуплоскости была внутрен-ность единичного круга с центром в начале координат.
Вариант 11 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }0Im,2: <>−= zizzD , z
w 1 ;
2) { }1Im2: −<<−= zzD , 2zw = ;
3) { }),2[,2: ∞+∉>= zzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
≠=4
Arg:zD , 3 zw = ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
<<−=2
Im3
,0Re1: zzzD , zew = .
2. Вычислить: ii ; 1Ln ; i2Arcctg . Решить уравнение: ( ) 1Ln =+ iz .
3. { } { }2Re:2:?
>=→<−==
wwGizzDf
, ( ) 2=− iw , ( ) 30 =w .
Вариант 12 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }zzzD Re2Im: == , 33
+−
=zzw ;
2) [ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∉π<<
π= izzzD ;0,
32arg
3: , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π<<=2
Im0,Re0: zzzD , zw cos= ;
4) ( ){ }1Re2Im: 2 +>= zzzD , zw = , ( ) iw −=−1 ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π<<
π<=
83arg
8,1: zzzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Вычислить: ( )i21Arcth + , ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + i
i11Ln . Решить уравнение: ( ) 0ln =− zi .
3. { } { }1:0Im:?
<−=→<==
iwwGzzDf
.
Вариант 13 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
77
1) { }4Im1: <<= zzD ; 11+=
zw ;
2) { }0Im: <= zzD ; ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) { }0Re,Im: >π<= zzzD ; zw sh= ;
4) { }0Im: <= zzD ; ( )01, 0 =ϕ=−= izw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
π<<= 0Re,
2Im0: zzzD ; zew 2= .
2. Решить уравнение: iz =cos . Доказать: iziz arctgarctg −= .
3. [ ] [ ]{ } { }1:2;11;2,1: ? <=⎯⎯ →⎯∪−−∉>= = wwGzzzD f .
Вариант 14 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }3Re1: <<= zzD ; ( ) 11 ++= ziw ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
−<<π−<=2
arg83,1: zzzD ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) { }π<<<= zzzD Im0,0Re: ; zew = ;
4) [ ){ }∞+∉= ;1: zzD ; 11,1 33 −=−−= zw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD ; zw ctg= .
2. Доказать: iziz artharcctg −= . Вычислить: ( )ei Ln,Arth .
3. ( ] [ ){ }∞+∪−∞−∉=⎯⎯ →⎯⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<= = ;11;:2
Im0: ? wwGzzD f .
Вариант 15
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }0Re,1: ><= zzzD ; 2
1+−
=z
zw ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ <<
π−=∉<= 0arg
4,1,0Im: zzzzzD ; ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<=2
Im0,3Re1: zzzD ; zew = ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
<=3
arg3
2;1: zzzD ; 34
zw = ;
78
5) 1,11
,11
: 2
2
2
2
2
2
2
2>>
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>−
+<−
+= bab
ybx
ay
axzD ;
при 1, 2 −+=<< zzwazb .
2. Вычислить: ( ) 1Arctg;1 ie− . Решить уравнение: 11ln =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
iz .
3. { } { }0Im:0,Re0: ? >=⎯⎯ →⎯><<= = wwGaazzD f .
Вариант 16 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }1Im0: <<= zzD , iz
zw−
= ;
2) ( ] ( ]{ }∞+∪∞−∉= ;10;: zzD , ( )2
,ln iiwzw π== ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−π
<<π
−=4
Im4
,3
Re3
: zzzD , zw sin= ;
4) { }ezezzD <<<<= arg0,1: , 1ln += zw ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ π<<
ππ<<=∉>= zzzzzzD arg
43,
4arg0,1,0Im: , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Вычислить: iei,sinArc . Решить уравнение: iz =ch .
3. { } { }1:0Im: ? <=⎯⎯ →⎯>= = wwGzzD f ,
( ) ( ) ( ) ( ) 02arg,02,2
arg,0 =′=π
−=′= iwiwiwiw .
Вариант 17
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }2Im1: <<= zzD , 12
−+
=z
izw ;
2) { }π<<<<∞−= zzzD Im0,0Re: , zew = ; 3) { });1[: ∞+∉= zzD , 3 1−= zw , 113 −=− ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD , zw ctg= ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
−<<π−<=8
arg83,
43: zzzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Доказать: iziziz
+−
= Ln2
Arcctg . Решить уравнение: 01cos2 =−z .
79
3. ( ) ( ){ }π=′=<=→⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<==
1arg,01,1:4
arg:?
wwwwGzzDf
.
Вариант 18
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }21: <−= zzD , 3
2+
=z
izw ;
2) { }1Im0: <<= zzD , 2zw = ;
3) [ ]{ });1[1;2,1: ∞+−−∉>= UzzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
>α
−α
= 1sincos
: 2
2
2
2 yxzD , 12 −+= zzw , ( ) 0=∞+w (2
0 π<α< );
5) { }0,2,0Im,0,Re0: <π<<<><<= bbzbaazzD , zew = . 2. Доказать: yxz sinshchIm = .
Найти все значения функций: 10arcsin ; ( )1Ln ; 31− .
3. { } { }0Im:0Re,0Im,1:?
<=→>><==
wwGzzzzDf
.
Вариант 19 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }),1[: +∞∉= zzD , 3 1−= zw , 113 −=− ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD , zw ctg= ;
3) { }π<<<= zzzD Im0,0Re: , zew = ; 4) { }ezezzD <<<<= arg0,1: , 1ln += zw ;
5) { }0Re,0Im: <<= zzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 .
2. Вычислить: iπ1 , ( )i2Ln , ( )i+2cos . Решить уравнение iz π=sin .
3. [ ] { }0Im1,210;1,1
?<=→
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−∈<=
=GzzD
fU .
Вариант 20
1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }0Im,0Re,2: ><>= zzzzD , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
80
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=2
Re0: zzD , zw cos= ;
3) { }0Im,0Re,1: <><= zzzzD , 122++
=z
zw ;
4) { }0Re,9: <<= zzzD , zw = , i=−1 ( 00 =ϕ );
5) { }π<<= zzD Im0: , zw cth= .
2. Доказать: iziz arsharcsin ⋅−= . Решить уравнение: 02sinsin =+ zz .
3. { } { }0Im0),,[,0Im:?
>=→>∞+∉>==
wGaiiazzzDf
.
Вариант 21 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ <<
π−
π<<= 0Im
4,
4Re0: zzzD , zw sin= ;
2) { }1Re0,2: <<<= zzzD , 11
−+
=zzw ;
3) { }0Im: >= zzD , 12 −+= zzw , ( ) iw −=0 ;
4) { }0Re,Im0: >π<<= zzzD , zw cth= ;
5) { }δ<<γβ<<α= zzzD Im,Re: , π≤γ−δ 2 , zew = .
2. Доказать: iziz arcsinarsh ⋅−= . Решить уравнение: 11ln =+i
z
3. { } { }0Im),0[,Re:?
>=→π∉π<<π−==
wGzzzDf
.
Вариант 22 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }),0[: +∞∉= zzD , 3 zw = , ( ) 11 −=−w ;
2) { }],(),,[: iiziizzD −∞−∉∞+∉= , zw Arsh= ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=4
Re0: zzD , zw tg= ;
4) [ ]{ }2121 ,,: rrzrzrzD ∉<<= , zw ln= ;
5) { }21 <<= zD , 1−
=z
zw .
81
2. Решить уравнение: 01cos2 =−z . Вычислить: ( ) 12 +− i , ( )i2Arsh , ( )i32Ln − .
3. { } { }0Im:0Im:?
>=→>==
wwGzzDf
, ( ) 10 =w , ( ) 21 =w , ( ) ∞=2w .
Вариант 23 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }1,Re2Im: <<= zzzzD , 33
+−
=zzw ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<=2
Im0: zzD , zw ch= ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π
−=4
arg4
: zzD , 3 zw = , 113 = ( π−=ϕ0 );
4) { }0Im,1: ><= zzzD , 1
1+
=z
w ;
5) { }π≤α<<<= 2Im0,0Re: zzzD , zew = .
2. Доказать: ( )iziz +⋅−= tgth . Вычислить: ( ) ii −+ 11 , iz π=sin , zw tg= .
3. [ ]{ } { }0Im:0,,0,0Im:?
>=→>∉>==
wwGhihzzzDf
.
Вариант 24 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) { }2Re0,1Im0: <<<<= zzzD , 2zw = ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >><<= 0Re,0Im,1: zzRz
RzD , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
3) { }1: <= zzD , 1+
=z
zw ;
4) { }]1,(,0Re: −−∞∉<= zzzD , zw arcsin= ;
5) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ >
π<<= 0Im,
2Re0: zzzD , zw cos= .
2. Найти: ( )12Ln +i , ( )i1− , ( ) 21+ . Решить уравнение: iz =ch . 3. Найти дробно-линейное отображение, которое область { }0Im: <= zzD отображает на область { }1: <= wwG так, что множество ( )1;0;1− пере-ходит в множество ( )1;;1 i− .
82
Вариант 25 1. Найти образы указанных областей D при данных отображениях:
1) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<<<=8
arg0,21: zzzD , z
zw 1+= ;
2) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ π
<<π=2
3Re: zzD , zw sin= ;
3) ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎢⎣⎡∉<= iizzzD ,2
,1: , ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
zzw 1
21 ;
4) { }0Im: >= zzD , 3 zw = , ( )22
3 iiw +−= ;
5) { }π<<= 2Re0: zzD , zw tg= . 2. Найти: ( )i+2ln , 2/1 iπ , 1+ie . Решить уравнение: iz π=sin .
3. { } { }π<<=→<−>−==
wwGzzzDf
Im0:44,22:?
.
83
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексной переменной. М., 1977.
2. Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических функций. М., 1978. 3. Лаврентьев М. А., Шабат В. В. Методы теории функций комплексной пере-
менной. М., 1973. 4. Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций
комплексной переменной. М., 1989. 5. Евграфов М. А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. М.,
1972. 6. Долженко Е. П., Николаева С. И. Теория функций комплексной переменной.
М., 1983.
84
Учебное издание
Борисова Лариса Владимировна, Новиков Владимир Васильевич, Тышкевич Сергей Викторович, Шаталина Анна Васильевна
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Учебное пособие для студентов
механико-математического, физического и геологического факультетов
Издание второе, исправленное и дополненное
Библиотека "Основы математики"
Выпуск 26
Ответственный за выпуск О. Л. Б а г а е в а Технический редактор Л. В. Аг а л ь ц о в а
Корректор Г. А. Р о г о в а
Подписано в печать 29.11.2004. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Таймс. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 4,88(5,25). Уч.-изд. л. 4,2. Тираж 600 экз. Заказ
Издательство Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.
Типография Издательства Саратовского университета. 410012, Саратов, Астраханская, 83.