DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.

NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.

EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?

f (x) = x3 − x

f (x) = ex

f (x) = |x |

() 25 de mayo de 2012 1 / 9

DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.

NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.

EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?

f (x) = x3 − x

f (x) = ex

f (x) = |x |

() 25 de mayo de 2012 1 / 9

DEFINICION. Una funcion es diferenciable en a si f ′(a) existe, ydiremos que es diferenciable en un intervalo abierto si es diferenciableen cada uno de los puntos del intervalo.

NOTA. Para las funciones que estamos estudiando (f : R→ R) serdiferenciable y ser derivable tienen el mismo significado.

EJEMPLOS. ¿Donde son diferenciables las siguientes funciones?

f (x) = x3 − x

f (x) = ex

f (x) = |x |

() 25 de mayo de 2012 1 / 9

Teorema

Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a

NOTA

La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.

() 25 de mayo de 2012 2 / 9

Teorema

Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a

NOTA

La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.

() 25 de mayo de 2012 2 / 9

Teorema

Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en a

NOTA

La reciproca no es cierta. Ejemplo f (x) = |x |.El anterior teorema nos ayuda a identificar algunos de los puntos endonde la funcion NO puede ser derivable, estos son los puntos dediscontinuidad.

() 25 de mayo de 2012 2 / 9

¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?

Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.

Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .

Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.

() 25 de mayo de 2012 3 / 9

¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?

Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.

Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .

Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.

() 25 de mayo de 2012 3 / 9

¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?

Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.

Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .

Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.

() 25 de mayo de 2012 3 / 9

¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?

Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.

Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .

Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.

() 25 de mayo de 2012 3 / 9

¿COMO DEJA DE SER UNA FUNCION DERIVABLE?

Cuando la funcion tiene ’picos’ o ’esquinas’. Ejemplo |x |.Cuando la funcion tiene ’saltos’. Ejemplo H(x), funcion a trozos queno sea continua.

Cuando la funcion tiene una ’tangente vertical’. Ejemplo f (x) = 3√x .

Notemos que dos de las anteriores observaciones se siguen del teoremaenunciado.

() 25 de mayo de 2012 3 / 9

DERIVADAS DE POLINOMIOS

Si f (x) = c , donde c ∈ R, es decir, f es una funcion constante

d

dx(f (x)) =

d

dx(c) = 0

Usando la definicion podemos ver que

d

dx(x) = 1

d

dx(x2) = 2x

d

dx(x3) = 3x2

() 25 de mayo de 2012 4 / 9

DERIVADAS DE POLINOMIOS

Si f (x) = c , donde c ∈ R, es decir, f es una funcion constante

d

dx(f (x)) =

d

dx(c) = 0

Usando la definicion podemos ver que

d

dx(x) = 1

d

dx(x2) = 2x

d

dx(x3) = 3x2

() 25 de mayo de 2012 4 / 9

Si n ∈ N, entoncesd

dx(xn) = nxn−1

y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces

d

dx(xa) = axa−1

EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones

f (x) =√x

f (x) =7√x5

f (x) = 1x

f (x) = xπ

() 25 de mayo de 2012 5 / 9

Si n ∈ N, entoncesd

dx(xn) = nxn−1

y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces

d

dx(xa) = axa−1

EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones

f (x) =√x

f (x) =7√x5

f (x) = 1x

f (x) = xπ

() 25 de mayo de 2012 5 / 9

Si n ∈ N, entoncesd

dx(xn) = nxn−1

y este resultado se puede extener a cualquier potencia real, es decir, sia ∈ R entonces

d

dx(xa) = axa−1

EJEMPLOEncontrar la funcion derivada de las siguientes funciones

f (x) =√x

f (x) =7√x5

f (x) = 1x

f (x) = xπ

() 25 de mayo de 2012 5 / 9

Si f y g son funciones diferenciables, y c ∈ R una constante, entoncesddx [cf (x)] = c d

dx f (x)ddx [f (x) + g(x)] = d

dx f (x) + ddx g(x)

es decir, el operador derivada es un operador lineal, respeta la suma y lamultiplicacion por constantes.

EJEMPLO Encontrar la derivada de las siguientes funciones

f (x) = x3 − x

f (x) = 4x2

f (x) = 5x3 + 3x2 − x + 1

() 25 de mayo de 2012 6 / 9

Si f y g son funciones diferenciables, y c ∈ R una constante, entoncesddx [cf (x)] = c d

dx f (x)ddx [f (x) + g(x)] = d

dx f (x) + ddx g(x)

es decir, el operador derivada es un operador lineal, respeta la suma y lamultiplicacion por constantes.

EJEMPLO Encontrar la derivada de las siguientes funciones

f (x) = x3 − x

f (x) = 4x2

f (x) = 5x3 + 3x2 − x + 1

() 25 de mayo de 2012 6 / 9

Sabemos qued

dxex = ex

y qued

dxsin x = cos x

Ademas, usando la definicion

d

dxcos x = − sin x

() 25 de mayo de 2012 7 / 9

Sabemos qued

dxex = ex

y qued

dxsin x = cos x

Ademas, usando la definicion

d

dxcos x = − sin x

() 25 de mayo de 2012 7 / 9

Sabemos qued

dxex = ex

y qued

dxsin x = cos x

Ademas, usando la definicion

d

dxcos x = − sin x

() 25 de mayo de 2012 7 / 9

A diferencia del calculo de lımites, las derivadas tienen propiedadesdiferentes para el producto y division de funciones. Si f y g funcionesdiferenciables, entonces

d

dx[f (x)g(x)] =

[d

dxf (x)

]g(x) +

[d

dxg(x)

]f (x)

en la notacion usual

(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)

EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones

f (x) = cos2 x + x

g(x) = cos x sin x

h(x) = x2ex

() 25 de mayo de 2012 8 / 9

A diferencia del calculo de lımites, las derivadas tienen propiedadesdiferentes para el producto y division de funciones. Si f y g funcionesdiferenciables, entonces

d

dx[f (x)g(x)] =

[d

dxf (x)

]g(x) +

[d

dxg(x)

]f (x)

en la notacion usual

(f (x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + g ′(x)f (x)

EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones

f (x) = cos2 x + x

g(x) = cos x sin x

h(x) = x2ex

() 25 de mayo de 2012 8 / 9

Si f y g funciones diferenciables, entonces(f (x)

g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)

[g(x)]2

EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones

f (x) = 1x

g(x) = tan x

h(x) = x2+1x−1

i(x) = sec x

() 25 de mayo de 2012 9 / 9

Si f y g funciones diferenciables, entonces(f (x)

g(x)

)′=

f ′(x)g(x)− g ′(x)f (x)

[g(x)]2

EJEMPLO Calcule las derivadas de las siguientes funciones

f (x) = 1x

g(x) = tan x

h(x) = x2+1x−1

i(x) = sec x

() 25 de mayo de 2012 9 / 9