电动力学

Electrodynamics

电动力学课程组

主讲教师： 李高清（教 授）主讲教师： 李高清（教 授） 王正斌（副教授）王正斌（副教授） 罗月娥罗月娥 ( ( 讲 师 讲 师 )) 李向富李向富 ( ( 讲 教 讲 教 )) 郭立帅郭立帅 ( ( 讲 师 讲 师 ))

引 言引 言 IntroductionIntroduction

电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动电动力学的研究对象是电磁场的基本性质、运动规律以及它和带电物质之间的相互作用。规律以及它和带电物质之间的相互作用。

电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，电动力学的研究内容是阐述宏观电磁场理论，主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立主要从实验定律中总结电磁场的普遍规律，建立Maxwell’s equationsMaxwell’s equations 。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、。讨论稳恒电磁场、电磁波传播、电磁波辐射及电动力学的参考系问题。电磁波辐射及电动力学的参考系问题。

学习电动力学课程的主要目的是：学习电动力学课程的主要目的是：

11 ） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质） 掌握电磁场的基本规律，加深对电磁场性质和时空概念的理解；和时空概念的理解；

22 ） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题） 获得本课程领域内分析和处理一些基本问题的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；的初步能力，为以后解决实际问题打下基础；

33 ） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，） 通过电磁场运动规律和狭义相对论的学习，更深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主更深刻领会电磁场的物质性，帮助我们加深辩证唯物主义的世界观。义的世界观。

学习电动力学课程的主要意义是：学习电动力学课程的主要意义是：

在生产实践和科学技术领域内，存在着大量和电磁场有关的问题。

例如电力系统、凝聚态物理、天体物理、粒子加速器

等，都涉及到不少宏观电磁场的理论问题。在迅变情况下，电磁场以电磁波的形式存在，其应用更为广泛。无线电波、热辐射、光波、 X 射线和 γ 射线等都是在不同波长范围内的电磁波，它们都有共同的规律。因此，掌握电磁场的基本理论对于生产实践和科学实验都有重大的意义。

要想学好电动力学，必须树立严谨的学习态度和刻苦的学习作风。

电动力学比电磁学难学，主要体现在思维抽象、习题

难解上。为此，在学习时要注意掌握好概念、原理、结构和方法，这些在听课、阅读、复习、小结和总复习时都要注意做到，既见树木，更见森林。要在数学与物理结合上下硬功夫，培养物理与数学间相互“翻译”的能力，能熟练地运用数学独立地对教材内容进行推导，并明确它们的物理意义和图象。

学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣学习电动力学是一个艰苦的过程，只有“衣

带渐宽终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天带渐宽终不悔”的精神，才能做到“独上高楼，望断天

涯路”，站得高，看得远。涯路”，站得高，看得远。

学习参考书：学习参考书： 11 、电动力学 、电动力学 (( 第二版第二版 ) ) 郭硕鸿 著郭硕鸿 著 高等教育出版社高等教育出版社

22 、电动力学 吴寿煌 丁士章 编、电动力学 吴寿煌 丁士章 编 西安交通大学出版社西安交通大学出版社

33 、、 Classical Electrodynamics Classical Electrodynamics J.D.JacksonJ.D.Jackson

(( 经典电动力学 经典电动力学 J.D.J.D. 杰克逊 杰克逊 著） 著）

人民教育出版社人民教育出版社

学习成绩评定方法：学习成绩评定方法：

总成绩 总成绩 = = 平时成绩平时成绩 10%10%

+ + 期中考试成绩期中考试成绩 20%20%

+ + 期终考试成绩期终考试成绩 70%70%

第 0 章

预备知识—矢量场论复习

Preliminary Knowledge — Revise in the Vector Field Theory

本章重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即 Gauss theorem 和 Stokes theorem ，以及二阶微分运算和算符 运算的重要公式。

本 章 主 要 内 容

标量场的梯度 算符

矢量场的散度 高斯定理

矢量场的旋度 斯托克斯定理

在正交曲线坐标系中 运算的表达式

二阶微分算符 格林定理

§0-1 标量场的梯度， 算符

Gradient of Scalar Field,

Operator

1 、场的概念

场是用空间位置函数来表征的。在物理学中，经常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律。如果物理量是标量，那么空间每一点都对应着该物理的一个确定数值，则称此空间为标量场。如电势场、温度场等。如果物理量是矢量，那么空间每一点都存在着它的大小和方向，则称此空间为矢量场。如电场、速度场等。若场中各点处的物理量不随时间变化，就称为稳定场，否则，称为不稳定场。

2 、方向导数 方向导数是标量函数 在一点处沿任意方向 对距离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，

一般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但

它并不是矢量。如图所示， 为场中的任意方向， P1 是这个方向线上给定的一点， P2 为同一线上邻近的一点。

l

)(x

l

lPl

l

P1

P2 l

为 p2 和 p1 之间的距离，从 p1沿 到 p2 的增量为

若下列极限

存在，则该极限值记作 ，称之为标量场 在p1 处沿 的方向导数。

3 、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即标量场 在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过

l

)()( 12 pp

l

pp

l ll

)()(limlim 12

00

l

( )x lPl

)(x

l

该点沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。记作

称之为 在该点的梯度（ grad 是 gradient 缩写），

它是一个矢量，其大小 ，其方

向即过该点取得最大方向导数的某一确定方向 , 即表示。 方向导数与梯度的关系：

)(x

nn

ˆgrad

)(x

max)(|grad|ln

n̂

是等值面 上 p1 点法线方向单位矢量。它指向 增长的方向。 表示过 p2 点的任一方向。

显见，

n̂

l1c

. cos

, 0 , 0

0121

0121

pp

pp

pppp

时当

p1

p0

p2

n̂

l

等值面 等值面1c

2c

θ

所以

即

1 01

1 0

1

2 1

01 2

0 1

01 0

( ) ( )lim

( ) ( )cos lim

cos

p pP

p p

p

p p

l p p

p p

p p

n

nl

cos

该式表明：

即沿某一方向的方向导数就是梯度在该方向上的投影。 梯度的概念重要性在于，它用来表征标量场 在空间各点沿不同方向变化快慢的程度。4 、 算符（哈密顿算符） 算符既具有微分性质又具有方向性质。在任意方向 上移动线元距离 dl ， 的增量 称为方向微

ˆcos gradn l ll n n

)(x

l

d

分，即

显然，任意两点 值差为

lddll

d

B

AAB ld

§0-2 矢量场的散度 高斯定理

Divergence of Vector Field,

Gauss’s Theorem

1 、通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场 方向通过 的流量是 dN ，而 dN 是以dS 为底，以 υ cosθ 为高的斜柱体的体积，即

称为矢量 通过面元 的通量。 对于有向曲面 s ，总可以将 s 分成许多足够小的面元 ，于是通过

dS

cosdN dS dS

θ

ds

n̂

dS

sd

曲面 s 的通量 N 即为每一面元通量之积

对于闭合曲面 s ，通量 N 为

2 、散度 设封闭曲面 s 所包围的体积为 ，则

s

N dS

s

N dS

/s

A dS V

V

就是矢量场 在 中单位体积的平均通量，或者平均发散量。当闭合曲面 s 及其所包围的体积 向其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作

称为矢量场 在该点的散度 (div 是divergence 的缩写 ) 。 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当 div ，表示该点有散发通量

)(xA

)(xM

V

V

0div lim s

V

A dS

A AV

)(xA

0A

的正源；当 div ，表示该点有吸收通量的负源；当 div ，表示该点为无源场。3 、高斯定理

它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。

0A

0A

s V

A dS AdV

§0-3 矢量场的旋度 斯托克斯定理

Rotation of Vector Field,

Stoke’s Theorem

1 、矢量场 的环流 在数学上，将矢量场 沿一条有向闭合曲线 L （即取定了正线方向的闭合曲线）的线积分

称为 沿该曲线 L 的环量或环流。2 、旋度 设想将闭合曲线缩小到其内某一点附近，那么

)(xA

Lc A dl

A

以闭合曲线 L 为界的面积 逐渐缩小， 也将逐渐减小，一般说来，这两者的比值有一极限值，记作

即单位面积平均环流的极限。它与闭合曲线的形状无关，但显然依赖于以闭合曲线为界的面积法线方向 ，且通常 L 的正方向与 规定要构成右手螺旋法则，为此定义

n̂

S L

ldA

0lim L

S

A dl

S

n̂

0ˆrot lim L

S

A dlA A n

S

称为矢量场 的旋度（ rot 是 rotation缩写）。 旋度的重要性在于，可用以表征矢量在某点附近各方向上环流强弱的程度，如果场中处处 rot

称为无旋场。3 、斯托克斯定理（ Stoke’s Theorem ）

它能把对任意闭合曲线边界的线积分转换为该闭合曲线为界的任意曲面的面积分，反之亦然。

)(xA

0A

( )L

s

A dS A dS

§0-4 正交曲线坐标系中 运算的表达式

Expression of Operation onOrthogonal Curvilinear Co-

Ordinates System

1 、度量系数 设 x,y,z 是某点的笛卡儿坐标， x1, x2, x3 是这点的正交曲线坐标，长度元的平方表示为

其中

23

23

22

22

21

21

2222

dxhdxhdxh

dzdydxdl

)3,2,1( )()()( 222

ix

z

x

y

x

xh

iiii

称度量系数（或拉梅系数），正交坐标系完全由三个拉梅系数 h1, h2, h3 来描述。

2 、哈密顿算符 、梯度、散度、旋度及拉普拉斯算符 在正交曲线坐标系下的一般表达式

2

1 2 31 1 2 2 3 3

2 3 1 3 1 2 2 1 31 2 3 1 2

1 2 31 1 2 2 3

3

3

1 1 1

1( ) ( )

1 1 1

( )

e e eh x h x h x

A h h A h h A h h Ah h h x x

e e eh x h x h x

x

)()(

)()(

)()(

1

112

22121

3

331

11331

2

223

33232

1

332211

221

332211

321

Ahx

Ahxhh

e

Ahx

Ahxhh

e

Ahx

Ahxhh

e

AhAhAhxxx

eheheh

hhhA

其中 为正交曲线坐标系的基矢； 是一个标量函数； 是一个矢量函数，只有在笛卡儿坐标系中， ，在其它正交坐标系中

2 2 3 3 1

1 2 3 1 1 1 2 2 2

1 2

3 3 3

1[ ( ) ( )

( )]

h h h h

h h h x h x x h x

h h

x h x

321 ,, eee

),,( 321 xxx

332211321 ),,( eAeAeAxxxAA

11

22 )( eAA

ii AA

22 )(

332

222 )()( eAeA

3 、不同坐标系中的微分表达式

a) 笛卡儿坐标 x1=x ， x2=y ， x3=z h1=1 ， h2=1 ， h3=1

x

y

z

Z 为常数平面

y 为常数平面

x 为常数平面

(x,y,z)

p ye

ze

xe

x y ze e ex y z

zzyyxx

zyx

zyx

zyx

zyx

eAeAeAA

zyx

AAAzyx

eee

A

z

A

y

A

x

AA

ze

ye

xe

)()()( 2222

2

2

2

2

2

22

b) 柱坐标系坐标变量 : x1= r x2=φ

x3= z

与笛卡儿坐标的关系：

z= z

拉梅系数 : h1=1 h2=r

h3=1

φ

z

x

y

z 为常数平面

r 为常数平面

φ 为常数平面

eze

re

r

1r ze e e

r r z

cosx r siny r

er

A

z

Ae

z

AA

r

ArAA

zr

er

eer

A

z

AA

rrA

rrA

z

ue

u

re

r

ueu

zrr

z

zr

zr

zr

zr

)()1

(

11

1)(

1

1

将 应用于圆柱坐标可得：

zzrr

zr

eAeAeAA

z

uu

rr

ur

rru

eA

rrA

rr

)()()(

1)(

1

1)(

1

2222

2

2

2

2

22

)()(2 AAA

r

rrr

A

rr

AAA

A

rr

AAA

2222

2222

2)(

2)(

c) 球坐标系zz AA 22 )(

z

θ

r

φ

y

(r,θ,φ)

e

re

e

x

θ 为常数平面

r 为常数平面

φ 为常数平面

坐标变量：与笛卡儿坐标的关系：

拉梅系数：

321 , , xxrx

cos , sinsin , cossin rzryrx sin , , 1 321 rhrhh

22

1 1

1 1

sin

1

sin

1( ) (sin )

sin

1

sin

r

r

r

u u uu e e e

r r r

A r A Ar r r

A

er

r

e er r

eA

rArr

erAr

A

r

eA

Ar

ArrAAr

re

re

re

A

r

r

r

r

r

)(1

)(sin

11

)(sinsin

1

sin

1

sin

1

sin

12

其中

eAeAeAA

u

r

u

rr

ur

rru

rr

)()()(

sin

1

)(sinsin

1)(

1

2222

2

2

22

22

22

AAA

rAA rrr sin

1)(sin

sin

12)(

222

)sin2

ctg(sin

2)(

)sin

cos

sin2(

2)(

222

2

2222

A

AA

rAA

A

AA

rAA

r

r

§0-5 二阶微分算符 格林定理

Second-order

Differentiation Operator,

Green’s Theorem

1 、一阶微分运算

将算符 直接作用于标量场和矢量场，即分别得到梯度、散度和旋度，即 这些都叫一阶微分运算。举例： a)设 为源点 与场 之间的距离， r 的方向规定为源点指向场点，试分别对场点和源点求 r 的梯度。

AA

, ,

222 )()()( zzyyxxr

x x

第一步：源点固定， r 是场点的函数，对场点求梯度用 r 表示，则有

而

场点（观察点）

场源点

坐标原点o

xx

r

z

re

y

re

x

rer zyx

r

xx

xxzzyyxxx

r

)(

)(2)()()(2

1 21222

同理可得：

故得到：

)(

, )(

r

zz

z

r

r

yy

y

r

( ) ( ) ( )

1ˆ( ) ( ) ( )

x y z

x y z

x y z

r r rr e e e

x y z

x x y y z ze e e

r r rr

e x x e y y e z z rr r

第二步：场点固定， r 是源点的函数，对源点求梯度用 表示。

而

同理可得：

r

z

re

y

re

x

rer zyx

r

xx

xxzzyyxxx

r

)(

)1()(2)()()(2

1 21222

r

zz

z

r

r

yy

y

r )( ,

)(

所以得到：

b) 设 u 是空间坐标 x,y,z 的函数，证明

( ) ( ) ( )

ˆ

x y z

x y z

r r rr e e e

x y z

x x y y z ze e e

r r rr

rrr

udu

dfuf )(

证：这是求复合函数的导数（梯度），按复合函数微分法则，有

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

x y z

x y z

x y z

f u f u f uf u e e e

x y z

df u u df u u df u ue e e

du x du y du z

df u u u ue e e

du x y z

df uu

du

证毕

c) 设求解：

而

同理可得

xxzzeyyexxer zyx

)()()(

rr

和

z

r

y

r

x

r

rererez

ey

ex

er

zyx

zzyyxxzyx

)()(

1)(

x

xx

x

rx

故有 . 1

z

r

y

rzy

那么

这里

同理可得

故有

. 3111

z

r

y

r

x

rr zyx

z

r

y

r

x

rr zyx

1)(

x

xx

x

rx

. 1

z

r

y

rzy

. 3111

z

r

y

r

x

rr zyx

由此可见： d) 设 u 是空间坐标 x,y,z 的函数，证明

证：

rr

du

AduuA

)(

. )()(

)()()(

)()()()(

证毕du

uAduu

du

uAd

z

u

du

udA

y

u

du

udA

x

u

du

udA

z

uA

y

uA

x

uAuA

zyx

zyx

e) 设 u 是空间坐标 x,y,z 的函数，证明

证： du

uAduuA

)()(

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

( )

y xz zx y

y xz

y xzx y

z

A u A uA u A uA u e e

y z z x

A u A ue

x y

dA u dA udA u u u ue e

du y du z du z

dA u u

du x

2 、二阶微分运算 将算符 作用于梯度、散度和旋度，则称为二阶微分运算，设 为标量场， 为矢量场。

. )(

)()()(

)()(

证毕du

uAdu

du

udA

du

udA

du

udAz

u

y

u

x

ueee

y

u

du

udA

x

u

du

udAe

zyx

zyx

xyz

)(x

, )(xg

)(xf

并假设 的分量具有所需要的阶的连续微商，则不难得到： （ 1 ）标量场的梯度必为无旋场

（ 2 ）矢量场的旋度必为无散场

（ 3 ）无旋场可表示一个标量场的梯度

（ 4 ）无散场可表示一个矢量场的旋度

fg

, 和

0)(

0)( g

gg

则若 , 0

fgg

则若 , 0

（ 5 ）标量场的梯度的散度为

（ 6 ）矢量场的旋度的旋度为

3 、 运算于乘积 （ 1 ）

)()()()(

2

2

2

2

2

2

2

zyx

zzyyxx

ggg 2)()(

0)(

0

)(

22

2222

xyyxe

zxxze

yzzye

zyx

zyx

eee

z

yx

zyx

（ 2 ） 0)( g

0

)(

222222

yz

g

xz

g

xz

g

zy

g

zx

g

yx

g

y

g

x

g

zx

g

z

g

yz

g

y

g

x

ggg

zyx

eee

ze

ye

xeg

xyzxyz

xyzxyz

zyx

zyx

zyx

（ 3 ） )(

)(

)(

)(

)()(

)()()()(

ze

ye

xe

ze

ye

xe

zze

yye

xxe

ze

ye

xe

zyx

zyx

z

yx

zyx

（ 4 ）

（ 5 ）

ggg

)(

gg

gg

gg

gg

g

g

g

)()(

)()()(

ggg

)(

gg

gg

gg

gg

g

g

g

)()(

)()()(

(6)

根据常矢运算法则

则有：

)()()( fggffg

)()(

)()()(

fgfg

fgfg

fg

fg

)()()( bacacbcba

)(

)()()(

)()()(

fg

fggffg

gfgffg

fff

gg

故有：(7)

根据常矢运算法则：

则有

fgfggfgffg

)()()()()(

)()()( fggffg

)()(

)()()(

fgfg

fgfg

fg

fg

cbabcacba

)()()(

fggfgffg

fggfgffg

fggffg

ffgg

fg

)()()()(

)()()()(

)()()(

（ 8 ）因为

故有

从而得到：

fgfggfgffg

)()()()()(

fgfgfgfg

gfgfgfgf

fff

ggg

)()()()(

)()()()(

)())((

)()(

gfgf

fggf

gf

fg

fgfggfgf

fgfg

gfgfgf

f

g

)()()()(

)()(

)()()(

4 、 Green’s theorem

由 Gauss’s theorem 得到 :

将上式 交换位置，得到

以上两式相减，得到

s vv

dvdvsd )()( 2

与

s v

dvsd I)( )( 2 定理

s v

dvsd II)( )()( 22 定理

5 、常用几个公式 设试求： a)

而

)()()( zzeyyexxexxr zyx

rze

rye

rxe

r

r

zyx

1111

1

3

23222

21222

)(

)(2)()()(2

1

)()()(1

r

xx

xxzzyyxx

zzyyxxxrx

同理：

b)

23

333

33

ˆ

)()()(1

)(1

, )(1

r

r

r

r

r

zze

r

yye

r

xxe

r

r

zz

rzr

yy

ry

zyx

)(41

11

2

23

xxr

rrr

r

而

3r

r

从而可见：

c)

.41

, ,0

.01

, ,0

2

2

rxxr

rxxr

故此时即表示时当

的值故此时即表示时当

)0(

)0(

4

03

r

r

r

r

0)1

()1

(

3

3

rrr

rr

r

d)

0

)()(

)()()()(

y

xx

x

yye

x

zz

z

xxe

z

yy

y

zze

y

r

x

re

z

yx

xyx

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r

z

re

z

r

y

re

rrrzyx

eee

r zxx

yzx

zyx

zyx

r

e) . )( 为常矢ara

a

eaeaea

zzeyyexxez

a

zzeyyexxey

a

zzeyyexxex

a

z

ra

y

ra

x

ra

rz

ay

ax

ara

zzyyxx

zyxz

zyxy

zyxx

zyx

zyx

)()()(

)()()(

)()()(

)(

f) . )( 为常矢ara

( ) ( )

( )

( )

( )

x x y y z z

x x y y z z

x x y z x

y x y z y

z x y z z

x x y y z z

a r a r a r a r

a r a r a r

a e e e rx y z

a e e e rx y z

a e e e rx y z

rx ry rza e a e a e

x y z

g)

a

eaeaea

z

zzea

y

yyea

x

xxea

zzyyxx

zzyyxx

)()()(

为常矢kErkE

, )sin( 00

)cos(

)cos(

)()cos(

)sin()(sin)()sin(

0

0

0

000

rkEk

krkE

rkrkE

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