관계(Relation)

1

주요 내용

• 관계의 개념

• 관계의 표현

• 관계들의 합성

• 관계들의 유형

• 관계의 닫힘

• 동치 관계

• 순서 관계

시작하면서: 관계의 예(1)• 두 집합의 원소들간에 관계를 정의할 수 있다.

• 예를 들면, 두 정수의 집합에서 원소들간에 “<“라는 관계를 생각해 보자.(두 정수간에 <의 관계는 “···보다 작은”으로 정의한다.)

3

Z Z

2 72 < 7

관계의 예(2)• 그렇다면 관계 < 는 어떤 특성을 갖고

있은 것일까?

– 대표적으로 우리는 < 의 관계를 사용하여Z의 원소들간에 순서(order)를 정할 수 있다.

카티션 곱(Cartesian product)두 개의 임의의 집합 A와 B에서 A와 B의 카티션 곱은모든 순서쌍 (a, b)의 집합이다.

A × B = {(a, b): a ∈ A and b ∈ B}

예제A = {1, 2, 3}이고 B = {a, b}라고 하자. 그러면

A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)} B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)} 또한 A × A = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3),

(3,1), (3,2), (3,3)}

주요 특징1. A × B ≠ B × A 이다. 2. 카티션의 곱은 순서쌍을 다룬다. 따라서 집합들이 고려되는

순서는 중요하다. 3. 집합 S 안에 있는 요소들의 수를 n(S)로 나타내면

n(A × B) = 6 = 2 × 3 = n(A)∙n(B)

집합들의 곱은 유한 개수의 집합들로 확장될 수 있다. 집합 A1, A2, ∙∙∙ , An에 대해서 n-튜플(n-tuple)인(a1, a2, ∙∙∙ , an)은 집합 A1, A2, ∙∙∙ , An 의 곱이라고 부른다. 여기서 ai∈ Ai이다.

A × A × ∙∙∙∙∙ × A 혹은A × A × A = A3

An

i 1=∏

이진 관계(binary relation)집합 A와 B에 대해서, A로부터 B로의 (이진) 관계는A × B의 부분집합이다.

집합 A로부터 B로의 관계 R을 정의하자. 그러면 R은 순서쌍들의 집합으로 표현할 수 있다. a ∈ A, b ∈ B인 순서쌍 (a, b)에 대하여 다음 중의 하나가성립 된다:

(1) (a, b) ∈ R ; a는 b와 R의 관계가 있다.

aRb로 표시할 수도 있다. (2) (a, b) ∉ R ; a는 b와 R의 관계가 없다.

자기 자신으로의 관계R이 A로부터 자기 자신으로의 관계(R: A→A)라면R은 A위에서의 관계라고 말한다.

정의역(domain)과 치역(range)

관계 R의 정의역(domain)은 R에 속하는 모든 순서쌍의첫 번째 요소들의 집합이다. 관계 R의 치역(range)은 R에 속하는 모든 순서쌍의두 번째 요소들의 집합이다.

예제1A = {1, 2}이고 B = {a, b, c}관계 R = {(1, a), (1, c), (2, b)}라고 하면,

R은 A × B의 부분집합이므로 A로부터 B로의 관계이다. 이 관계의 원소들은 1Ra, 1Rc, 2Rb으로 표현할 수 있다. R의 정의역은 {1, 2}이고 치역은 {a, b, c}이다.

예제2A = {달걀, 우유, 고기}이고 B = {소, 양, 닭}A로부터 B로의 관계 R을 a ∈ A가 b ∈ B에 의해 만들어지는 관계라고 정의하면,

R = {(달걀, 닭), (우유, 소), (우유, 양), (고기, 소), (고기, 양), (고기, 닭)}이다. 이 관계의 원소들은 달걀R닭, 우유R소, 우유R양, 고기R소, 고기R양, 고기R닭 으로표현할 수 있다.

예제3A = {류현진, 손흥민, 최지만}B = {축구, 야구, 농구}집합 A, B에 대해서,선수 관계 R을 “A의 원소는 B의 원소의 운동 선수이다”라고 정의하자.

그러면 R = {(손흥민, 축구),(류현진, 야구),(최지만, 야구)이다.R의 정의역은 {손흥민, 류현진, 최지만}이고 치역은 {축구, 야구}이다.

예제4부분집합(⊆)은 집합들 사이의 관계이다. 왜냐하면 집합 A와 B의 어느 쌍이 주어진다면A ⊆ B 혹은 A ⊈ B 이기 때문이다.

예제5집합 A에 대해서, A × A와 ∅은 A × A 의 부분집합들이다. 따라서 이것들은 A 위에서의 관계들이다.

A × A: 전체 관계(universal relation)∅ : 빈 관계(empty relation)

역관계R은 집합 A로부터 집합 B로의 관계라고 하자. R의 역관계, R-1은 R에 속하는 순서쌍들의 순서를 바꾼 순서쌍들로구성되는 B로부터 A로의 관계이다.

R-1 = {(b, a): (a, b) ∈ R}

예제1A = {1, 2, 3}, B = {x, y} A로부터 B로의 관계 R = {(1, x), (2, y), (3, x)}라고 하자. 그러면 R-1 = {(x, 1), (y, 2), (x, 3)}이다.

• (R-1)-1 = R• R-1 의 정의역과 치역은 각각 R의 치역과 정의역과 같다. • R이 A위에서의 관계라면 R-1 도 A상에서의 관계이다.

함수와 관계집합 A로부터 집합 B로의 이진 관계 R은 만약 집합 A의 모든원소 a에 대하여 (a,b)∊R인 유일한 원소 b가 집합 B에존재하면 함수라고 불린다. 따라서 함수는 관계의 한 형태이다.

•a•b•c•d•e

•a•b•c•d

F: 함수

•a•b•c•d•e

•a•b•c•d

G: 함수아님

A B A B

주요 내용

• 관계의 개념

• 관계의 표현

• 관계들의 합성

• 관계들의 유형

• 관계의 닫힘

• 동치 관계

• 순서 관계

관계의 표현

• 화살 그림(arrow diagram)• 관계 행렬(relation matrix)• 방향 그래프(directed graph)

화살 그림

1

2

a

b

c

A={1,2}B={a,b,c}R={(1,a),(1,c),(2,b)}

A B

관계 행렬(relation matrix)

A={1,2}B={a,b,c}R={(1,a),(1,c),(2,b)}

=

010101

R1

2

a b c

Rij = 1: 관계가 존재0: 관계가 존재하지 않음

방향 그래프(directed graph)

관계 R이 한 유한집합으로부터 자신으로 가는 관계일 때

A={1,2,3}R={(1,2), (1,3), (2,3)}

1 2

3

주요 내용

• 관계의 개념

• 관계의 표현

• 관계들의 합성

• 관계들의 유형

• 관계의 닫힘

• 동치 관계

• 순서 관계

관계의 합성

A, B, C: 집합R: A로부터 B로의 관계, 즉, A × B의 부분집합S: B로부터 C로의 관계, 즉 B × C의 부분집합

R°S: A로부터 C로의 관계R°S = {(a, c) : (a, b) ∈ R 이고 (b, c) ∈ S인 b ∈ B가 존재한다}

R°S 는 R과 S의 합성관계라고 하고 간단히 RS로 나타낸다.

예제1집합 A, B, C에 대해서 A로부터 B로의 관계 R과 B로부터 C로의 S가다음과 같이 정의된다.

A={서울, 인천, 수원}, B={대전, 청주}, C={부산, 광주} R={(서울, 대전), (인천, 대전), (수원, 대전)} S={(대전, 부산), (대전, 광주), (청주, 부산), (청주, 광주)}

그러면 R과 S의 합성 관계 R∘S는 A로부터 C로의 관계로서 다음과 같이 된다.R∘S = {(서울, 부산), (서울, 광주), (인천, 부산), (인천, 광주),

(수원, 부산), (수원, 광주)}

서울인천수원

대전

청주

부산

광주

A B C

예제2관계 행렬을 이용하여 합성 관계를 구할 수 있다.앞의 예제에서 관계 행렬

=

010101

RM

대전 청주

서울

인천

수원

=

1111

SM대전

청주

부산 광주

=

==

111111

1111

010101

SRSR MMM

합성 관계 행렬

주요 내용

• 관계의 개념

• 관계의 표현

• 관계들의 합성

• 관계들의 유형

• 관계의 닫힘

• 동치 관계

• 순서 관계

관계의 유형

• 반사적 관계(reflexive relation)• 대칭적 관계(symmetric relation)• 반대칭적 관계(antisymmetric relation)• 추이적 관계(transitive relation)

반사적 관계

집합 A위의 관계 R이 모든 a ∈ A에 대해 (a, a) ∈ R이라면관계 R은 반사적(reflexive) 관계이다.

반면에 어떤 a ∈ A에 대해 (a, a) ∉ R이라면R은 비반사적(irreflexive) 관계이다.

26

예제1: 집합 A = {1, 2, 3}상에서의 다음의 관계가 반사적인가?

R1 = {(1, 1), (1, 3), (2, 3)} : R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} : R3 = {(1, 2), (2, 1)} : R4 = A × A :

A가 세 요소들을 포함하기 때문에 A위에서의 관계 R이 세 개의순서쌍 (1, 1), (2, 2), (3, 3)을 포함한다면 반사적 관계이다.

예제2“두 사람 x와 y는 같은 집안이다”라는 관계는 반사적이다. 왜냐하면 나는 자신과 같은 집안이기 때문이다.

예제3“x와 y는 결혼한 사이다”라는 관계는 비반사적 관계이다. 왜냐하면 어느 누구도 자신과 결혼할 수 없기 때문이다.

28

예제4: 다음 관계들 중 어느 것이 반사적 관계인가?

R1: 정수들의 집합 Z 위에서의 관계: ≥ (크거나 같은)R2: 집합들의 모음에서 부분집합의 관계: ⊆R3: 2차원 공간의 선들의 집합 상에서의 관계: ∥ (평행)R4: 사람들의 집합에서 부모 자식 관계

R1은 모든 정수는 자기자신보다 크거나 같으므로 반사적 관계예를 들면, 3 ≥ 3

R2는 모든 집합은 자신의 부분집합이기 때문에 반사적 관계예를 들면, {1, 2} ⊆ {1, 2, 3}이다.

R3는 어느 선도 자기자신과 평행이 아니기 때문에 비반사적 관계R4도 어느 사람도 자신의 부모가 아니기 때문에 비반사적 관계

대칭적 관계

집합 A에서관계 R이 (a, b) ∈ R이면 (b, a) ∈ R이 성립하면,관계 R은 대칭적(symmetric) 관계이다.

(a, b) ∈ R 이나 (b, a) ∉ R 인 a, b ∈ A가 존재한다면R은 대칭적 관계가 아니다.

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예제2:모든 사람의 집합에서 관계 R을 오누이 관계라고 정의하자.

‘a는 b의 오누이다’가 사실이면 ‘b는 a의 오누이다’라는 것도 사실이다.따라서 관계R은 대칭적 관계이다.반면에 오빠 관계나 남동생 관계는 대칭적이 아니다.

예제1모든 사람의 집합에서 관계 R을 부부 관계라고 정의하자.그러면, 한 남자 a와 한 여자 b가 부부라면 b와 a도 부부이므로관계 R은 대칭적 관계이다.

예제3: 다음 관계들 중 어느 것이 대칭적 관계인가?

R1: 정수들의 집합 Z 위에서의 관계: ≥ (크거나 같은)R2: 집합들의 모음에서 부분집합의 관계: ⊆R3: 2차원 공간의 선들의 집합 상에서의 관계: ∥ (평행)R4: 사람들의 집합에서 부모 자식 관계

R1은 (1, 3) ∈ R 이나 (3, 1) ∉ R이므로 대칭적이 아니다. R2 는 A⊆B이면 A⊇B이므로 대칭적이다.R3은 모든 평행인 선은 대칭적이다. R4는 A가 B의 부모이면 B는 A의 부모가 될 수 없으므로 비대칭적이다.

비대칭 관계(asymmetric)

집합 A위에서의 관계 R이 (a, b) ∈ R이면 (b, a) ∉ R이라면관계 R은 비대칭적(asymmetric) 관계이다.

반대칭적 관계

집합 A위에서관계 R이 (a, b) ∈ R이고 (b, a) ∈ R인 경우 a = b이면관계 R은 반대칭적(antisymmetric) 관계이다.

따라서 (a, b) ∈ R이고 (b, a) ∈ R이지만 a ≠ b 면반대칭적이 아니다.

예제1: 다음 관계들 중 어느 것이 반대칭적 관계인가?R1: 정수들의 집합 Z 위에서의 관계: ≥ (크거나 같은)R2: 집합들의 모음에서 부분집합의 관계: ⊆R3: 2차원 공간의 선들의 집합 상에서의 관계: ∥ (평행)R4: 사람들의 집합에서 부모 자식 관계

관계 ≥은 a ≥ b 이고 b ≥ a이면 a = b 이므로 반대칭적이다.

부분집합 관계 ⊆도 A ⊆ B 이고 B ⊆ A 이면 A = B 이므로 반대칭적이다.

평행 관계는 선 a와 선 b가 평행이고 선 b와 선 a가 평행이면a와 b는 다른 선이므로 반대칭적이 아니다.

부모 자식 관계는 ‘a가 b의 부모이다’ 이면 ‘b가 a의 부모이다’는성립하지 않으므로 반대칭적이 아니다.

추이적 관계(이행적 관계)집합 A위에서관계 R이 (a, b) ∈ R이고 (b, c) ∈ R 이면 (a, c) ∈ R이라면R은 추이적(transitive) 관계이다.

R은 (a, b) ∈ R 이고 (b, c) ∈ R 이나 (a, c) ∉ R 인a, b, c ∈A 가 있다면 추이적 관계가 아니다.

예제1: 집합 A = {1, 2, 3}상에서의 다음의 관계가 추이적인가? R1 = {(1, 1), (1, 3), (2, 3)} :R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 1), (3, 3)} R3 = {(1, 2), (2, 1)}R4 = A × A

R1에서 (1, 1) ∈ R 이고 (1, 3) ∈ R일 때, (1, 3) ∈ R 이므로 추이적 관계이다.

R2는 추이적 관계가 아니다.

R3는 (1,2) ∈ R3 이고 (2, 1) ∈ R3이나 (1, 1) ∉ R3이므로 추이적 관계가 아니다.

R4는 가능한 모든 순서쌍을 포함하므로 추이적 관계이다.

예제2: 다음 관계들 중 어느 것이 추이적 관계인가?R1: 정수들의 집합 Z 위에서의 관계: ≥ (크거나 같은)R2: 집합들의 모음에서 부분집합의 관계: ⊆R3: 2차원 공간의 선들의 집합 상에서의 관계: ∥ (평행)R4: 사람들의 집합에서 부모 자식 관계

관계 ≥는 추이적이다. a ≥ b 이고 b ≥ c 이면 a ≥ c 이다.

관계 ⊆는 추이적이다. A ⊆ B 이고 B ⊆ C 이면 A ⊆ C 이다.

관계 ∥는 추이적이다. a∥b 이 고 b∥c 이면 a∥c 이다.

그러나 부모자식관계는 추이적이 아니다. 왜냐하면‘a가 b의 부모이다’이고 ‘b가 c의 부모이다’ 이면‘a가 c의 조부모이다’이지 ‘a가 c의 부모가 아니다’

관계 행렬에서if mij=1, then mji=1: symmetricif mij=1, then mji=0: asymmetric

1 2

3

방향 그래프에서,

=

000101110

R