Universite Paris-SudLicences L3 Mecanique, L3 PAPP, et Double licencePhysique-ChimieAnnee 2019-2020

Enonces de TD de Mecanique des FluidesPhys-M335

Marine AulnetteJulien Bouvard

Corinne DonzaudCyprien MorizeAnniina Salonen

TD 1 - Hydrostatique

I – Le barrage

On etudie ici la force s’exercant sur un barrage qui retient une hauteur H = 100 m d’eau. On supposera que lebarrage a une largeur L = 500 m et que la pression au sommet du barrage est la pression atmospherique p0. Onneglige les variations de pression de l’air due a l’altitude. On utilise le systeme de coordonnees cartesiennes.Dans ce systeme le barrage est parallele au plan yOz et l’eau retenue par le barrage est a x < 0 (fig. a). La basedu barrage se trouve dans le plan z = 0.

Hp0

p0

ex

ez

Hp0

p0

P

g

P

α

0

1. (a) Rappeler la loi de l’hydrostatique dans un fluide a l’equilibre de densite ρ soumis a la pesanteur~g = −g ~ez . Ecrire cette loi sous la forme d’une equation differentielle permettant de calculer lapression p dans le fluide.

(b) Integrer cette equation pour exprimer la pression p en tout point du fluide a l’equilibre. On supposeraque p = p0 en z = H .

(c) En appliquant le resultat precedent, tracer l’evolution de la pression dans l’eau entre la base et lesommet du barrage.

2. On cherche maintenant a exprimer la force de pression resultante qui s’exerce sur le barrage.

(a) Soit dS un element de surface du barrage autour du point P et d~S = dS ~ex le vecteur associe.Exprimer alors la force de pression resultante d~F qui s’exerce sur le barrage au travers de dS.

(b) En deduire l’expression de la force de pression totale ~F qui s’exerce sur le barrage. Calculernumeriquement la norme de cette force.

(c) En deduire la force−→R qu’il faut appliquer sur le barrage pour le maintenir immobile. Determiner la

hauteur OP du point d’application de cette force pour que la configuration soit stable.

3. On desire optimiser la forme du barrage qui a, en realite, une section trapezoidale symetrique d’angleα = 20o (fig. b).

(a) Soit P un point en surface du barrage en contact avec l’eau. Representer sur un schema le vecteursurface d~S au point P .

1

(b) Exprimer puis calculer numeriquement les composantes de la force de pression sur le barrage ~Ft.

(c) Quel peut etre l’interet de cette forme de barrage?

II – L’experience de Magdebourg

Soit un cube metallique d’arete a qu’on scinde en 2 morceaux egaux. Apres avoir reconstitue le cube, on y faitle vide. La pression exterieure est p0 = 105 Pa.

1. Quel est l’effet du vide? Representer les forces de pression.

2. Calculer la force necessaire pour separer le cube en 2 moities suivant un plan vertical (a = 10 cm).

3. Memes questions avec une sphere metallique de meme surface que le cube.

4. Memes questions lorsque la sphere est immergee dans l’eau a 10 m de profondeur.

III – Principe d’Archimede

On considere un glacon de forme cubique de cote h = 4 cm et flottant en equilibre dans un verre d’eau remplia ras bord. On notera ρg la densite du glacon, ρe celle de l’eau et ρa celle de l’air. On a ρg/ρe ' 0,92.

1. Retrouver le principe d’Archimede (dans l’air et dans l’eau) en exprimant la condition d’equilibre duglacon.

2. Quelle est la hauteur immergee a du glacon?

3. Lorsque le glacon fond, le verre deborde-t-il ?

IV – Submersible

On s’interesse a l’immersion d’une boıte cubique de cote a dans de l’eau. Le cube, rigide et creux, est remplid’air a la pression atmospherique p0. Chaque face du cube a une epaisseur fixe e et on notera ρs la densite dumateriau constituant le cube etM sa masse. Sauf mention contraire, la densite de l’eau ρ est supposee constanteet on fait l’hypothese que l’eau est un fluide parfait. L’axe Oz est pris vertical et oriente vers le haut.

p0

e

a

h0

z

ρ

ρs

1. Enoncer le theoreme d’Archimede.

2

En deposant le cube dans l’eau, une face parallele a la surface de l’eau, on constate qu’a l’equilibre sa facesuperieure se trouve a une distance h au-dessus de la surface de l’eau de cote z = 0.

2. (a) Exprimer la poussee d’Archimede que subit le cube.

(b) A l’equilibre, exprimer la hauteur emergee h en fonction de M , ρ et a. A quelle condition le cubeflottera-t-il ?

(c) Sachant que e << a, exprimer la masse M du cube en fonction de a, e et ρs. Quelle est alors lacondition sur a pour que le cube flotte? Exprimer numeriquement cette condition pour ρs/ρ = 10

et e = 5 cm.

3. On suppose que le cube flotte a l’equilibre avec une hauteur emergee h = 0. On lui rajoute une massem qui n’augmente pas son volume (par exemple en le remplissant d’eau). Que va-t-il alors se passer ?Le mouvement du cube pourra-t-il s’arreter ?

4. Au cours du mouvement du cube, on prend maintenant en compte la variation de la densite de l’eauavec la profondeur, ρ(z) = ρ0(1 + αz) avec ρ0 = 103 kg/m3.

(a) Quel doit etre le signe de α pour que le cube s’arrete ? Quelle est sa dimension? Sachant quem + M = (1 + k)ρ0a

3 (k nombre sans dimension) exprimer la cote ze ou les forces sur le cubes’equilibreront. Faire l’application numerique pour |α| = 10−6 SI et k = 10−3.

(b) Cet equilibre est-il stable?

3

TD 2 - Hydrostatique

I – L’atmosphere terrestre

On s’interesse ici aux proprietes de la basse atmosphere terrestre, d’altitude inferieure a 10 km (la troposphere).Le gaz atmospherique est suppose parfait et en equilibre hydrostatique. La masse molaire de l’aire est M =

29 g. Pour decrire l’atmosphere on se place dans le referentiel terrestre suppose galileen muni d’un reperecartesien Oxyz ou Oz est l’axe vertical oriente vers le haut de l’atmosphere. La pression au niveau du sol estp0 = 1 atm et l’altitude correspondante est z = 0.

On suppose dans un premier temps que l’atmosphere est isotherme de temperature T = T0.

1. A partir du principe hydrostatique, determiner le profil vertical de pression p(z). On definit h =

RT0/Mg. Quelle est la dimension de h? Quelle est sa signification? Calculer h pour T0 = 300 K.

On suppose a present que l’atmosphere est adiabatique et que p = Kργ avec γ = cp/cv et K une constante.

2. Etablir une relation entre p et T .

3. De meme qu’au 1), etablir l’expression de p(z). En deduire l’expression de T (z).

4. Quelle est alors l’expression du gradient de temperature as = dT/dz ? Exprimez-la en fonction de h.Calculer sa valeur numerique sachant que γ = 1, 4.

5. En basse atmosphere, le gradient de temperature dT/dz est a peu pres constant egal a -7 K/km. Dansces conditions des mouvements de convection peuvent-ils se developper?

II – Deformation de la surface libre d’un liquide en rotation

On cherche a determiner la forme de la surface libre d’un liquide contenu dans un verre de hauteur H = 15

cm en rotation a vitesse angulaire−→Ω = Ω−→ez constante. On note R = 5 cm le rayon du verre et h = 10 cm la

hauteur de liquide lorsque Ω = 0. On suppose que le fluide est au repos dans le referentiel tournant : on parled’ecoulement en rotation solide.

Ω

Rh

p0

H

0

z

r er

ez

4

1. On repere une particule fluide par ses coordonnees cylindriques (r, θ, z). Quelle est sa trajectoire dansle referentiel du laboratoire?

2. Compte tenu des symetries du probleme, justifier que la pression p dans le liquide ne depend pas de θ.

3. Ecrire l’equation de l’hydrostatique dans le referentiel tournant. Quelle est la force volumique d’inertied’entraınement

−→fe qui s’applique ici ?

4. Determiner le champ de pression p(r, z) au sein du liquide. On note z0 l’altitude de la surface de l’eauen r = 0.

5. Determiner l’equation de la surface libre de l’eau. Tracer la courbe de z − z0 en fonction de r : quel estle nom de cette courbe?

6. Determiner la hauteur de liquide z0 en r = 0 en fonction de h, R et Ω. En deduire la vitesse angulairemaximale Ω au-dela de laquelle il n’y a plus de hauteur d’eau non nulle au centre en r = 0.

7. Calculer la vitesse angulaire Ω au-dela de laquelle l’eau deborde du verre.

5

TD 3 - Cinematique

I – Ecoulement de Poiseuille

L’ecoulement stationnaire d’un fluide soumis a une difference de pression et situe entre deux plans paralleles axOz, situes en ±d/2, est caracterise par le champ de vitesse

−→u = u0

(1− 4

y2

d2

)−→ex.

1. Determiner l’allure du champ de vitesse.

2. Cet ecoulement est-il incompressible?

3. Quelles sont les trajectoires suivies par une particule fluide?

4. Determiner les lignes de courant. Coıncident-elles avec les trajectoires?

5. Calculer le champ de vorticite.

6. Determiner le vecteur acceleration.

II – Modele de tourbillon

On considere un ecoulement permanent dont le champ de vitesse admet comme composantes en coordonneescylindriques et pour r 6= 0 :

ur = 0

uθ = Ar + Br

uz = 0

ou A et B sont deux constantes. L’ecoulement est-il incompressible et irrotationnel ? Calculer les composantesdu tenseur taux de deformation. Apres avoir identifie les lignes de courant, discuter les cas particuliers A = 0

et B = 0 et interpreter physiquement les resultats.

III – Ecoulement dans une conduite convergente

On considere l’ecoulement stationnaire et incompressible d’un fluide dans une conduite convergente, de sectionrectangulaire, de longueur L et de largeur 2L. La profondeur D de la conduite dans l’axe perpendiculaire auplan de la figure etant tres grande, l’ecoulement est invariant suivant l’axe z. Le fluide, en amont du convergenten x < 0, est anime de la vitesse −→v = U0

−→ex.On s’interesse dans cet exercice a l’ecoulement dans le convergent situe en x > 0. On note `(x) la demi-largeurdu convergent telle que d`/dx = −α, ou α est un coefficient positif tel que α ∈ ]0, 1[. On cherche le champ devitesse en x > 0 de la forme

−→v = U(x)−→ex + V (x, y)−→ey .

1. Exprimer la demi-largeur du convergent `(x).

6

y

x0

ℓ(x)U0

L

L

-L

2. Determiner U(x) par conservation du debit volumique. En deduire l’expression de V (x, y) en fonctionde α, U0, L, x et y. On admettra que V (x, 0) = 0.

3. Montrer que les equations des lignes de courant verifient

y

l(x)= C te.

Exprimer les equations des lignes de courant pour C te = [0 ; 0, 5 ; −0, 5]. Representer ces trois lignesde courant sur une meme figure.

4. On souhaite savoir comment les lignes de courant se comportent les unes par rapport aux autres dans unconvergent. On considere pour cela deux lignes de courant telle que

y1 = C1`(x) et y2 = C2`(x),

ou C1 et C2 sont des constantes telles que C1 > C2. Exprimer l’ecart d’ordonnes ∆y(x) de ces deuxlignes de courant. Qu’en concluez-vous?

5. Exprimer le champ de vorticite et le vecteur acceleration. Justifier pourquoi le vecteur acceleration n’estpas nul.

IV – Deformation dans un ecoulement de cisaillement

Soit l’ecoulement de cisaillement bidimensionnel −→u = ay −→ex avec a > 0.

1. Calculer le champ de vorticite de cet ecoulement.

2. Calculer le tenseur des gradients de vitesse. En deduire l’expression du tenseur des rotations pures et dutenseur des deformations pures.

3. Montrer que la deformation d’un element de fluide se traduit par

(a) aucune variation de volume.

(b) un allongement que l’on precisera suivant la direction (−→ex +−→ey).

(c) une compression selon (−−→ex +−→ey).

7

TD 4 - Dynamique du fluide parfait : equation d’Euler et theoreme de Bernoulli

I – Modelisation d’un cyclone

On souhaite modeliser tres simplement l’ecoulement d’air dans un cyclone. On assimile pour cela l’atmospherea un fluide parfait de masse volumique ρ et le cyclone a un tourbillon cylindrique d’axe Oz et de rayon aconstant avec l’altitude z. On note z = 0 l’altitude au niveau de la mer. On suppose que l’ecoulement dans lecyclone est stationnaire et compte tenu des symetries du probleme, on peut supposer que le champ de vitesseest ~v = ~v(r, z) et le champ de pression p = p(r, z). Pour simplifier le probleme, on fait l’hypothese que notrecyclone obeit a un tourbillon de Rankine, c’est-a-dire que la vorticite est nulle en dehors du cœur du tourbillon(de rayon a) et qu’elle est constante a l’interieur tel que

Region 1, r ≤ a : ~ω = ~∇∧ ~v = ω ~ez

Region 2, r > a : ~ω = ~∇∧ ~v = ~0.

1. Exprimer le vecteur vorticite en fonction des donnees du probleme.

(a) Montrer que la composante orthoradiale de la vitesse vθ est independante de z.

(b) Determiner le profil de vθ dans la region 1 de l’ecoulement, que l’on notera v1. Vous utiliserez lefait qu’il n’y a pas de singularite en r = 0.

(c) Exprimer le profil de vθ dans la region 2 de l’ecoulement, que l’on notera v2, compte tenu la conti-nuite du champ de vitesse en r = a.

(d) Representer la forme du profil de vitesse sur un schema. Que vaut la vitesse au centre du tourbillon?Exprimer la vitesse maximale et preciser ou est-elle atteinte. Que vaut la vitesse a l’infini ?

2. On suppose pour simplifier par la suite que vr et vz sont nulles, bien que cette hypothese soit peu realistepour un cyclone, compte tenu de la presence de forts courants ascendants au niveau du cœur du cyclonepar exemple.

z

a

0

g

er

eθ

ez

FIGURE 1 – Photographie de l’ouragan Florence en septembre 2018 et schematisation du probleme.

8

(a) Rappeler l’equation d’Euler sous forme vectorielle.

(b) Montrer que le terme non-lineaire est donne par (~v.~∇)~v = −v2θ(r)r ~er. Projeter l’equation d’Euler sur

~er et ~ez .

(c) Determiner le champ de pression p2(r, z) du cyclone dans la region 2, en utilisant les deux projec-tions de l’equation d’ Euler. Quelle condition aux limites raisonnable peut-on imposer a p infinimentloin du tourbillon en z = 0?

(d) Enoncer le theoreme de Bernoulli dans le cas particulier d’un ecoulement irrotationnel (ce qui estbien le cas dans la region 2) et montrer que l’on peut retrouver p2(r, z) a partir de ce theoreme.

(e) Montrer le champ de pression p1(r, z) dans la region 1, en utilisant la continuite du champ depression en r = a pour determiner une constante d’integration, est donnee par

p1(r, z) = p0 − ρgz + ρω2 (r2 − 2a2)

8.

3. Applications

(a) Determiner la depression ∆p generee entre le cœur du cyclone et un point situe a l’infini a la memealtitude.

(b) Evaluer, par un raisonnement simple, la force d’aspiration F exercee par le cyclone sur la toiture (desurface S) d’une maison situee au centre du tourbillon et dont on a ferme hermetiquement toutes lesouvertures avant le passage du cyclone.

(c) On suppose maintenant que le cyclone se trouve en pleine mer. Exprimer la hauteur H de la mareebarometrique au niveau du cœur du tourbillon (hauteur de la mer au dessus de son niveau au reposaspiree par la depression du cyclone).

(d) Sachant que la vitesse vθ maximale a la peripherie du cyclone est de 160 km/h, calculer ∆p, H etF (pour un toit de surface S = 100 m2). On admettra que ρair = 1 kg/m3, ρeau = 103 kg/m3 etg = 10 m/s2.

II – La clepsydre

Dans l’Antiquite, les grecs mesuraient le temps en observant la hauteur h d’eau dans un recipient (clepsydre)en train de se vider et cet exercice a pour but d’etudier ce phenomene.On suppose dans un premier temps que la clepsydre est un recipient cylindrique de section S constante avec asa base un orifice de section s par lequel l’eau peut s’echapper a l’air libre. Cet orifice est d’abord bouche pourremplir la clepsydre jusqu’a la hauteur h0. A t = 0 on libere l’orifice et la vidange commence. Les valeursnumeriques sont : h0 = 1 m, s = 1 cm2 et S = 0, 5 m2.On suppose que l’eau est un fluide parfait, incompressible et en ecoulement permanent. On negligera les varia-tions de pression dans l’air. La pression atmospherique est p0 = 105 Pa.

1. Soient vB et vA les vitesses de l’eau au sommet de la clepsydre et dans l’orifice de sortie. Que vautvA/vB ?

2. Exprimer vA a t = 0 et faites l’application numerique.

3. Exprimer vB au cours de la vidange et deduisez-en h(t).

La mesure du temps est plus simple si la hauteur est une fonction affine du temps, soit si h = at + b (lesdifferences de hauteur sont alors proportionnelles au temps ecoule). On cherche la forme de clepsydre corres-pondante.

9

B

h0

A

S

s

p0

p0

4. Soit D le diametre de la clepsydre : comment doit varier D en fonction de h pour que h varie commeat+ b? Calculer alors numeriquement le temps de vidange de la clepsydre.

III – Le siphon

Un liquide (ρ = 103 kg/m3) s’ecoule par un siphon forme d’un tube en U de section constante. Le haut du tubeest a une hauteur h au dessus du niveau de la surface libre dans le recipient et a une hauteur h′ de l’orifice desortie A. Le niveau du liquide (C) dans le reservoir de large section est maintenu constant grace a l’apport deliquide par le robinet R. On suppose que v(C) = 0 et que le liquide est un fluide parfait.

h

C

B

A

h’

R

p0

p0

1. Exprimer la vitesse vA de l’ecoulement du liquide en A.

2. Deduire du resultat une condition necessaire au fonctrionnement du siphon. Calculer vA pour h′−h = 1

m. On prendra g = 10 m/s2.

3. Calculer la pression en B pour h′ =1,5 m et h′ =15 m et commenter son signe.

4. A partir de quelle valeur limite de h′ le siphon cessera-t-il de fonctionner?

IV – Vague

On considere une vague d’amplitude h− h0 se propageant a la vitesse C a la surface d’une couche horizontalede fluide au repos d’epaisseur uniforme h0.On se place dans le referentiel de la vague pour que l’ecoulement soit stationnaire.

10

h

h0

p0

V

V=0

C

A

B

1. Determiner une equation reliant les vitesses V et C par l’application du theoreme de Bernoulli entre lespoints A et B.

2. Trouver une deuxieme equation reliant V et C a l’aide de la conservation du debit.

3. Exprimer la vitesse de propagation C de la vague et la vitesse V du fluide en fonction de h, h0 etl’acceleration de la pesanteur g.

V – Trompe a eau

Une trompe a eau est un dispositif servant a faire le vide. Elle est en general constituee d’un reservoir ouvertde grande section dont le niveau en D est maintenu constant. L’eau s’ecoule par un tube de section constantes sauf en un point B ou il presente un retrecissement et ou la section est s1 = s/4. En B, le tube est mis encommunication avec un recipient C initialement rempli d’air a la pression atmospherique. En fonctionnementl’eau ne penetre pas dans C. On etudie maintenant ce dispositif lorsque le regime permanent est etabli. Onsuppose que l’eau est un fluide parfait incompressible. On note p0 la pression atmospherique et on prendp0 = 105 Pa. On supposera que la pression en D et A est p0.

D

CB

A

sH

h

p0

p0

11

1. Calculer les vitesses vA et vB de l’eau aux points A et B. On donne H = 50 cm, h = 10 cm, s = 1

cm2 et g = 10 m/s2.

2. Evaluer la pression en C.

12

TD 5 - Theoreme de Bernoulli generalise

I – Vidange d’un reservoir a travers une turbine

Un reservoir cylindrique de rayon Ra contient de l’eau de masse volumique ρ. Sa base est reliee par unecanalisation de rayonRb a une turbine dont l’entree est situee a une hauteur h au dessous du niveau du reservoir.L’eau s’ecoule en regime permanent dans le tuyau et au travers de la turbine. On notera pb et pc les pressionsa l’entree et a la sortie de la turbine. Tant que pb > pc, la turbine maintient le debit constant. A la sortieC de la turbine, le liquide s’ecoule dans un tuyau horizontal de rayon Rc et de longueur L puis sort en D. Lapression dans l’air est la pression atmospherique p0. Donnees numeriques : Q = 1 litre/s, Ra = 80 cm, Rb=8cm, Rc=4 cm, h = 1, 50 m, L=10 m.

p0

p0

Ra

h

turbine

A

B C D

L

Rb Rc

1. Dans toute cette premiere question on considere que le fluide est parfait.

(a) Expliquer pourquoi on peut faire l’hypothese vA = 0.

(b) Exprimer les pressions pb et pc.

(c) Exprimer la puissance P absorbee par la turbine.

(d) Calculer numeriquement les vitesses vb et vc puis pb et P pour h = h0

2. On remplace l’eau par un liquide de forte viscosite η = 1 Pa× s mais de meme masse volumique.On suppose que les forces de viscosite interviennent uniquement (par soucis de simplification) dans letroncon CD et que le debit reste le meme qu’a la question precedente.

(a) On rappelle la loi de Poiseuille :

Q =πa4

8ηl∆p

Dans le systeme present, que representent a, η, l et ∆p? Precisez les dimensions de chacune de cesgrandeurs.

(b) Definissez la vitesse moyenne d’ecoulement vm dans le tuyau CD. Est-elle modifiee par la prise encompte des forces de viscosite ?

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(c) L’ecoulement dans CD est-il turbulent ? (on rappelle le nombre de ReynoldsRe = ρvdη )

(d) Exprimer alors pc et P et faıtes l’application numerique pour h = h0. Comparer P au resultatobtenu en 1)d) et interpreter.

3. On considere a present que le niveau du reservoir baisse (va 6= 0) et on cherche a determiner commentevoluent en fonction du temps la hauteur h, les pressions pb et pc ainsi que la puissance P absorbee parla turbine.

(a) Comment s’exprime la vitesse va ?

(b) En supposant que h = h0 a t = 0 et que le debit reste constant, exprimer h(t) et P(t).

(c) Quelle est la relation entre pb et pc lorsque le debit ne peut plus etre maintenu par la turbine? Endeduire la hauteur h1 et le temps t1 a partir desquels le debit n’est plus regule. Calculer les valeursnumeriques de h1 et t1.

II – Jacuzzi

On s’interesse ici au fonctionnement d’un jacuzzi alimente par un reservoir en sous-sol a une profondeur H =

20 m. On suppose que l’eau est prelevee a la pression atmospherique p0 et que le jet final debouche a l’airlibre ou regne egalement p0. On suppose que le debit QV est de 3,6 m3/h. Le reservoir ou l’eau est prelevee estsuffisamment grand pour que l’on puisse negliger la vitesse a sa surface. On se place en regime permanent eton considere que l’eau est un fluide incompressible et parfait. On neglige toutes les pertes de charge dues a laforme de l’ecoulement.

2d d

p0

p0

pompe

C

p0

0

HC

A

(a) (b)

1. On commence par definir le tube delivrant le jet d’eau (fig. a). Pour des questions de confort, on souhaitemaintenir l’energie cinetique du jet a 0.1 Joule pour un volume d’eau de 30 cm3.

(a) Quelle doit alors etre la valeur de la vitesse du jet en sortie vs ?

(b) Exprimer et calculer le diametre de sortie d du jet.

(c) Sachant que le diametre du tube qui amene l’eau de la pompe au point C vaut 2d, donner la relationentre vC et vs.

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(d) En appliquant le theoreme de Bernoulli, exprimer la pression au point C, pC , en fonction de p0, ρ etvs. Calculer pC .

2. On cherche maintenant a caracteriser la pompe qui permet au jacuzzi de fonctionner. On note P lapuissance mecanique fournie par la pompe au fluide. Le diametre du tube qui amene l’eau jusqu’aujacuzzi est partout 2d sauf dans la partie finale decrite precedemment.

(a) Quelle est la dimension de P/QV ?

(b) En utilisant le theoreme de Bernoulli generalise aux ecoulements incluant des machines, exprimerP en fonction de QV , vs et H . Calculer P .

(c) En deduire l’expression de la difference de pression ∆p entre l’entree et la sortie de la pompe enfonction de H et vs. Comment peut-on interpreter cette expression d’un point de vue energetique(on pourra multiplier les deux membres par le volume d’une particule fluide τ ) ?

(d) Sachant que ∆p est une constante caracterisant la pompe independamment de QV , tracer la courbede H en fonction de QV pour la valeur de ∆p calculee precedemment. Pour quelle valeur de QV ,H est-elle maximale? Quelle est la valeur maximale de QV possible?

Pour un type de pompe donne, cette courbe permet de determiner le debit possible pour H donne.

15

TD 6 - Theoreme de transport

I – Lance a incendie

On s’interesse a l’ecoulement d’un fluide parfait dans un convergent cylindrique. Un exemple classique estcelui de la lance a incendie representee sur la figure ci-dessous. L’eau passe d’abord par un tuyau de diametreD1 avec la vitesse moyenne v1 puis par un manchon conique de longueur L et de diametre de sortie D2. A lasortie du manchon, l’eau debouche dans l’air a la pression atmospherique p0 avec la vitesse moyenne v2. Onnotera QV le debit volumique de cet ecoulement.On suppose que l’eau a une masse volumique ρ constante et que l’ecoulement est en regime permanent.On negligera les variations de pression de l’air dues aux differences de hauteur. La surface de controle estrepresentee sur le schema par des tirets.

y

x0v1 L

p0

p0

D1v2D2

1. Exprimer et calculer v2 en fonction des donnees du probleme. En deduire v1.Donnees numeriques : D1 = 6, 5 cm, D2 = 2, 2 cm, L = 50 cm, QV = 5 L/s.

2. Exprimer et calculer la pression moyenne p1 dans le tuyau de diametre D1.

3. On cherche a estimer la force de recul ressentie par un pompier tenant la lance. En s’appuyant surle theoreme de transport, determiner la force

−→F subie par la lance. S’agit-il d’une force de recul ?

Commentez ce resultat.

4. Les pompiers pretendent subir une force de recul lorsqu’ils tiennent une lance a incendie dans les mains.Faire une hypothese sur la forme de la lance a incendie et faire le calcul.

II – Impact d’un jet sur une plaque plane

On considere l’ecoulement stationnaire d’un fluide parfait incompressible de masse volumique ρ. Le schemarepresente une coupe horizontale d’un jet plan qui arrive obliquement sur une plaque plane (P ) en faisant unangle d’incidence α avec la direction du jet et qui, apres l’impact, se separe en deux lames de fluide.

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Loin de la region de l’impact, le jet incident a une epaisseur a et une vitesse uniforme u. Apres l’impact, lesdeux lames de fluide d’epaisseurs a1 et a2 s’ecoulent respectivement avec des vitesses uniformes u1 et u2.L’ensemble (jet + plaque) se trouve dans l’air a la pression atmospherique p0.On se propose d’evaluer la force

−→R qu’il faut exercer sur la plaque (P ) soumise a l’impact du jet pour la

maintenir immobile, ainsi que la position du point d’application de−→R sur cette plaque.

e

e1

e2

p0

p0

a

a1

u1

a2

u2

α

Ou

1. Deduire de l’equation de Bernoulli et de la condition d’incompressibilite, les relations entre u, u1 et u2ainsi qu’entre a, a1 et a2.

2. En s’appuyant sur le theoreme de transport de Reynolds, determiner la resultante−→F des forces de

pression subies par la plaque.On exprimera le resultat en fonction de ρ, a, a1, a2, u, u1, u2 et des vecteurs unitaires −→e , −→e1 et −→e2 desdirections associees respectivement aux trois lames de fluide.

3. Expliciter les composantes de−→F le long de la plaque −→e‖ et sur la normale −→e⊥ a la plaque. En deduire

l’expression du module de la force−→R .

4. Justifier que la composante de la force le long de la plaque est nulle, et en deduire une relation permettantde calculer a1 et a2 en fonction de a et α.

III – Le ressaut hydraulique

On s’interesse a la formation d’un ressaut hydraulique, c’est-a-dire a un changement brutal de la profondeurd’eau, entre l’amont et l’aval, tel que h < h′. On considere l’ecoulement stationnaire incompressible de faibleprofondeur dans un canal ouvert d’epaisseur unite dans la direction perpendiculaire. On ne peut pas appliquerl’equation de Bernoulli dans ce probleme car il existe une forte dissipation d’energie au niveau du ressaut :il n’existe donc pas de lignes de courant dont la vicosite est negligeable tout du long. Pour contourner ceprobleme, on va simplement utiliser la conservation du debit et la conservation de la quantite de mouvement

17

dans un volume de controle suffisamment grand, de sorte que les faces d’entree et de sortie soient suffisammenteloignees du ressaut pour que la viscosite soit negligeable. Le volume de controle est delimite par ABCB′A′.On suppose de plus que, loin du ressaut, l’ecoulement est parallele et uniforme, de vitesse U et U ′ en amont eten aval du ressaut respectivement et l’acceleration de la pesanteur ~g est dirigee selon −~ez (le fluide est pesant).On admet que l’acceleration de la pesanteur est g = 10 m/s2.

U

U’

h

h’g

x

z

p0

p0

A

B

C

A’

B’

1. La repartition de la pression en amont et en aval du ressaut est hydrostatique. Exprimer p(z) et p′(z),respectivement les pressions en amont (sur AB) et en aval (sur A′B′) du ressaut.

2. Exprimer le debit volumique Qv et le debit massique Qm sous forme integrale. Donner la relationqui relie ces deux debits pour un fluide incompressible. Sachant que la masse est conservee, que celaimplique-t-il sur le debit volumique? En deduire une relation reliant U , U ′, h et h′.

3. En appliquant le theoreme de transport de Reynolds relatif a la quantite de mouvement horizontale audomaine fluide ABCB′A′. En deduire que

1

2gh2 + U2h =

1

2gh′2 + U ′2h′.

4. Exprimer U et U ′ en fonction de h, h′ et g.

5. On admet que√gh est la vitesse de propagation des ondes a la surface d’un fluide de profondeur h

(dans l’approximation en eau peu profonde). On definit les nombres de Froude amont et aval

Fr =U2

gh; Fr′ =

U ′2

gh′.

Comparer ces deux nombres par rapport a l’unite. Un ecoulement pour lequel on a Fr > 1 est ditsuper-critique ou torrentiel, tandis qu’il est dit sous-critique ou fluvial lorsque Fr < 1.

6. A partir de l’expression de U determinee a la question 4, montrer que l’on obtient un polynome dusecond degre en h′. Le resoudre et montrer que

h′

h=−1 +

√1 + 8Fr

2. (1)

7. Avec un debit volumique par unite de largeur de 0,5 m2/s et une profondeur d’approche h = 0, 2 m,calculer U , Fr, h′, U ′ et Fr′.

18

TD 7 - Fluides visqueux et equations de Navier-Stokes

I – Ecoulement de Couette

On considere l’ecoulement laminaire et stationnaire d’un fluide visqueux newtonien, incompressible, entre deuxplaques paralleles horizontales espacees d’une distance h. La plaque superieure est en mouvement a la vitesseV , alors que la plaque inferieure est statique. Les deux plaques sont considerees de dimensions infinies dans ladirections x. L’ecoulement est unidimensionnel, parallele a la direction x. On note η le coefficient de viscositedynamique du fluide et ρ sa masse volumique. On admettra que la pression ne varie pas selon x (plaquesinfinies).

0

h

z

x

V

vx

1. Ecrire la condition d’incompressibilite compte tenu des hypotheses.

2. Ecrire les equations de Navier-Stokes et les conditions aux limites satisfaites par le champ de vitesse.Trouver l’expression de vx.

3. Cet ecoulement est-il irrotationnel ?

4. Calculer le debit volumique de cet ecoulement par unite de profondeur dans la direction Oy.

5. On considere que le fluide est de l’huile pour moteur et h = 3 mm. La vitesse de la plaque en mouvementest V = 10 m/s. On suppose que les proprietes de l’huile sont constantes. On donne : ρ = 888,2 kg/m3ν = η/ρ = 900 10−6 m2/s.Calculer les forces de frottement visqueux du plan z = 0 et du plan z = h sur un element de fluided’epaisseur dx.

II – Ecoulement sur plan incline

Nous nous proposons d’etudier l’ecoulement stationnaire d’un fluide de masse volumique ρ et de viscosite η surun plan incline d’un angle α par rapport au plan horizontal. On choisira le systeme de coordonnees defini parle plan incline. Sous l’effet de l’attraction terrestre, le fluide s’ecoule a l’air libre (a la pression atmospheriquep0) le long du plan (Ox,Oy) sur une epaisseur uniforme h, avec un champ de vitesse que l’on supposera de laforme −→v = v(y) −→ux.

1. Montrer que cet ecoulement est incompressible.

19

α

g

x

y

h

p0

v

2. (a) Montrer que l’equation de Navier-Stokes se reduit a une equation lineaire dont la projection sur lesaxes Ox et Oy fournit deux equations differentielles permettant de determiner la pression p(x, y) etle champ de vitesse partout dans le fluide.Peut-on negliger les termes g sinα et g cosα dans ces equations?

(b) Quelle est la condition de pression sur la surface libre (en y = h) du fluide en ecoulement? Endeduire le champ de pression en tout point du fluide.

(c) En considerant que la contrainte tangentielle de friction exercee par l’air sur le fluide est negligeable,quelle est la condition de vitesse sur la surface libre (en y = h) ?Determiner l’allure de la contrainte visqueuse σ′xy. Exprimer la contrainte parietale σ0.

(d) Quelle est la condition de vitesse sur le plan incline (en y = 0) ? Determiner l’expression du champde vitesse v(y), et preciser la forme de son profil.

3. Calculer le debit volumique de cet ecoulement par unite de longueur dans la direction Oz.

III – Viscosimetre de Couette

Le viscosimetre de Couette est constitue de 2 cylindres infini coaxiaux pouvant tourner. Le liquide dont on veutmesurer la viscosite est place entre les cylindres. Le cylindre interieur de rayon R1 est entraıne avec une vitesseangulaire Ω1 alors que le cylindre exterieur de rayonR2 est maintenu fixe. On suppose le liquide incompressibleet newtonien et on ne s’interesse qu’au regime stationnaire. On admet que le viscosimetre est infiniment hautde sorte que l’on neglige les effets de bords. On neglige enfin les effets de la pesanteur.On cherche a etablir l’expression du couple qui va s’exercer sur le cylindre exterieur. Pour ce faire, on va d’abordetablir l’expression du champ de vitesse en utilisant l’equation de Navier-Stokes. On utilisera les coordonneescylindriques pour decrire l’ecoulement.

1. On commence par exploiter les proprietes de symetrie de l’ecoulement :Lorsqu’on met le cylindre interieur en rotation, que se passe-t-il dans le fluide? En deduire la directionde la vitesse ~v dans le fluide. Representer quelques lignes de courant. De quelle(s) variable(s) depend~v ?

2. En projetant l’equation de Navier-Stokes :

(a) Etablir une equation differentielle sur v valeur algebrique du vecteur vitesse. Integrez-la et utilisezles conditions aux limites pour determiner completement v en fonction des donnees du probleme.On pourra noter α = R2

2/R21.

20

z

η ρ

0

R2

Ω1

ez

eθ

er

R1

R2

eθ er

ez

R1

(b) Tracer la courbe de v.

(c) En deduire l’expression de la vitesse angulaire ω.

3. (a) Exprimer la force par unite de surface (ou contrainte) σ2 qui s’exerce sur le cylindre exterieur. Endeduire le couple Γ2 exerce sur le cylindre.

(b) Comment peut-on alors mesurer le coefficient de viscosite η du fluide? Comment faut-il choisir αR1 et h etant fixes) pour que cette mesure soit sensible?

(c) Sachant que Ω1 = 3 tours/s, R1 = 10 cm, α = 2, η = 10−3 Pa.s et h = 0, 5 m, calculer Γ2.

4. En utilisant une autre projection de l’equation de Navier-Stokes et l’expression de la vitesse, determinerla pression en tout point du fluide. On admet que la pression du liquide est pref en r = R2.

21

Formulaire

1 Tenseurs

Scalaire

Les grandeurs physiques qui ne dependent pas de l’orientation portent le nom de scalaires. Leur connaissancecomplete ne necessite de connaitre que leur intensite (un nombre reel). La temperature T , la pression p, lamasse volumique ρ sont des exemples de scalaires.

Vecteur

Les grandeurs physiques necessitant la donnee de leur direction, en plus de leur intensite, portent le nom devecteurs. Pour les definir completement, la donnee de trois nombres reels est necessaire. On note ai, avec

i = 1, 2, 3, les trois composantes du vecteur −→a =

a1a2a3

dans la base orthonormee −→ei

−→a =3∑i=1

ai−→ei .

La force, la vitesse, le champ electrique ou les differents gradients sont des exemples de vecteurs. On note unvecteur −→a ou a.

Tenseur

Il existe cependant certaines grandeurs physiques qui dependent simultanement de l’intensite et de la direction

de deux vecteurs. On nomme ces grandeurs des tenseurs d’ordre 2. Par exemple, la contraintedFidSj

necessite

la connaissance du vecteur force elementaire−→dF ainsi que celle du vecteur element de surface

−→dS. On note un

tenseur d’ordre deux G ou Gij .

Rang d’un tenseur

Le rang d’un tenseur est le nombre d’indices necessaires a son ecriture. Ainsi, les scalaires sont des tenseursd’ordre 0, les vecteurs des tenseurs d’ordre 1. On peut egalement definir des tenseurs de rang superieur a 2 :ils apparaissent de temps en temps en physique, par exemple pour decrire des relations lineaires entre tenseurs.Un tenseur de rang 2 correspond a une matrice de 32 = 9 composantes a priori independantes.

Convention de sommation d’Einstein

L’ecriture des relations tensorielles peut etre assez lourde. Dans un soucis de simplification, on utilise la conven-tion de sommation d’Einstein. Il existe deux types d’indices :

- les indices “libres” presents qu’une seule fois

22

- les indices “muets” presents deux fois.

Dans le cas d’indices “muets”, on laisse souvent tomber le signe∑

, en sous-entendant qu’il y a sommation surl’indice repete deux fois. Par exemple, lorsque l’on ecrit ai = bi + ci, ∀i = 1, 2, 3, l’indice i etant repete, onsomme et on obtient le systeme de 3 equations suivant

a1 = b1 + c1a2 = b2 + c2a3 = b3 + c3

Produit scalaire

−→a .−→b =

3∑i=1

aibi = aibi = a1b1 + a2b2 + a3b3

Produit matriciel

−→y = a−→x → yi = aijxj =3∑j=1

aijxj (on somme sur j ∀i)

−→z = b−→y = b a−→x = c−→x → zi = bij yj = bijajk xk = cik xk

Symbole de Kronecker

Le tenseur unite δij est tel que δij = 1 pour i = j et δij = 0 pour i 6= j. Ce tenseur symetrique correspond a lamatrice unite I

δij = I =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

On a donc ∀−→x , −→x = I−→x ou xi = δijxj .

Trace d’une matrice

tr (a) = aii = aijδij = a11 + a22 + a33

Derivees partielles

On note∂

∂xi= ∂i et

∂

∂xj= ∂j . Les derivees partielles commutent telles que ∂i∂j = ∂j∂i.

Divergence

div −→v =−→∇ .−→v = ∂i vi = ∂1v1 + ∂2v2 + ∂3v3

23

Acceleration convective(−→v .−→∇)−→v est un vecteur. La ieme composante de(−→v .−→∇)−→v est(−→v .−→∇)−→v /i = vj∂j vi = (v1∂1 + v2∂2 + v3∂3) vi

Laplacien

∆−→v = ∇2−→v =−→∇ .−→∇−→v

∆−→v /i = ∂j∂j vi =

(∂2

∂x21+

∂2

∂x22+

∂2

∂x23

)vi

Tenseur taux de deformation

Dij =1

2

(∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)=

1

2(∂jvi + ∂ivj)

2 Operateurs

2.1 Coordonnees cartesiennes

Le point M est repere par ses coordonnees (x, y, z) dans la base orthonormee (−→ex,−→ey ,−→ez ) avec−−→OM = x−→ex +

y−→ey + z−→ez avec x, y et z ∈ R. On note −→v = vx−→ex + vy

−→ey + vz−→ez le vecteur vitesse.

O

M

x

y

z

ey

ez

ex

Gradient :

−−→grad p =

−→∇p =

∂p

∂x−→ex +

∂p

∂y−→ey +

∂p

∂z−→ez est un vecteur.

24

G = grad −→v =

−−→grad vx−−→grad vy−−→grad vz

=

∂vx∂x

∂vx∂y

∂vx∂z

∂vy∂x

∂vy∂y

∂vy∂z

∂vz∂x

∂vz∂y

∂vz∂z

est une matrice.

Divergence :

div−→v =−→∇ .−→v = tr

(grad −→v

)=∂vx∂x

+∂vy∂y

+∂vz∂z

est un scalaire.

−→div(A)

=

div−→Ax

div−→A y

div−→A z

=

∂Axx∂x

+∂Axy∂y

+∂Axz∂z

∂Ayx∂x

+∂Ayy∂y

+∂Ayz∂z

∂Azx∂x

+∂Azy∂y

+∂Azz∂z

=

(∂Aij∂xj

)i=1,3

est un vecteur.

Laplacien :

∆p = div(−−→

grad p)

=∂2p

∂x2+∂2p

∂y2+∂2p

∂z2est un scalaire.

∆−→v =−→div(

grad −→v)

=

∂2ux∂x2

+∂2ux∂y2

+∂2ux∂z2

∂2uy∂x2

+∂2uy∂y2

+∂2uy∂z2

∂2uz∂x2

+∂2uz∂y2

+∂2uz∂z2

=

(∂2ui∂xj∂xj

)i=1,3

est un vecteur.

Rotationnel :

−→rot−→v =−→∇ ∧−→v =

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∧

vx

vy

vz

=

(∂vz∂y− ∂vy

∂z

)−→ex +

(∂vx∂z− ∂vz∂x

)−→ey +

(∂vy∂x− ∂vx

∂y

)−→ez .

25

Tenseur taux de deformation :

D =1

2

(G+GT

)=

∂vx∂x

1

2

(∂vx∂y

+∂vy∂x

)1

2

(∂vx∂z

+∂vz∂x

)1

2

(∂vx∂y

+∂vy∂x

)∂vy∂y

1

2

(∂vy∂z

+∂vz∂y

)1

2

(∂vx∂z

+∂vz∂x

)1

2

(∂vy∂z

+∂vz∂y

)∂vz∂z

que l’on peut ecrire sous forme indicielleDij =

1

2

(∂vi∂xj

+∂vj∂xi

). Ce tenseur taux de deformation est symetrique

par definition.

Remarque :

L’operateur gradient augmente l’ordre du tenseur, l’operateur divergence le diminue et l’operateur laplacien lelaisse inchange. Le rotationnel ne s’applique qu’a un vecteur.

2.2 Coordonnees cylindriques

Le point M est repere par ses coordonnees (r, θ, z) dans le triede direct orthonorme (−→er ,−→eθ ,−→ez ) avec−−→OM =

r−→er + z−→ez . Les coordonnees verifient r ≥ 0, θ ∈ [0, 2π] et z ∈ R. On note −→v = vr−→er + vθ

−→eθ + vz−→ez le vecteur

vitesse.

O

M

ey

ez

exrθ

er

eθ

ez

er

eθ

ez

Gradient :

−−→grad p =

−→∇p =

∂p

∂r−→er +

1

r

∂p

∂θ−→eθ +

∂p

∂z−→ez .

26

G = grad −→v =

∂vr∂r

1

r

∂vr∂θ− vθ

r

∂vr∂z

∂vθ∂r

1

r

∂vθ∂θ

+vrr

∂vθ∂z

∂vz∂r

1

r

∂vz∂θ

∂vz∂z

Divergence :

div−→v =−→∇ .−→v = tr

(grad −→v

)=

1

r

∂(rvr)

∂r+

1

r

∂vθ∂θ

+∂vz∂z

.

Laplacien :

∆p = div(−−→

grad p)

=1

r

∂

∂r

(r∂p

∂r

)+

1

r2∂2p

∂θ2+∂2p

∂z2.

Rotationnel :

−→rot−→v =−→∇ ∧−→v =

(1

r

∂vz∂θ− ∂vθ

∂z

)−→er +

(∂vr∂z− ∂vz

∂r

)−→eθ +

1

r

(∂(rvθ)

∂r− ∂vr

∂θ

)−→ez .

Tenseur taux de deformation :

D =1

2

(G+GT

)=

∂vr∂r

1

2

(1

r

∂vr∂θ− vθ

r+∂vθ∂r

)1

2

(∂vr∂z

+∂vz∂r

)//

1

r

(∂vθ∂θ

+ vr

)1

2

(1

r

∂vz∂θ

+∂vθ∂z

)// //

∂vz∂z

2.3 Coordonnees spheriques

Le point M est repere par ses coordonnees (r, θ, ϕ) dans le triede direct orthonorme (−→er ,−→eθ ,−→eϕ) avec−−→OM =

r−→er . Les coordonnees verifient r ≥ 0, θ ∈ [0, π] et ϕ ∈ [0, 2π]. On note −→v = vr−→er + vθ

−→eθ + vϕ−→eϕ le vecteur

vitesse.

Gradient :

−−→grad p =

−→∇p =

∂p

∂r−→er +

1

r

∂p

∂θ−→eθ +

1

r sin θ

∂p

∂ϕ−→eϕ.

27

O

M

ey

ez

ex

r

θ

er

eθ

eϕ

ϕ eϕ

G = grad −→v =

∂vr∂r

1

r

∂vr∂θ− vθ

r

1

r sin θ

∂vr∂ϕ− vϕ

r

∂vθ∂r

1

r

∂vθ∂θ

+vrr

1

r sin θ

∂vθ∂ϕ− vϕ cotan θ

r

∂vϕ∂r

1

r

∂vϕ∂θ

1

r sin θ

∂vϕ∂ϕ

+vrr

+vθ cotan θ

r

Divergence :

div−→v =−→∇ .−→v = tr

(grad −→v

)=

1

r2∂(r2vr

)∂r

+1

r sin θ

∂ (vθ sin θ)

∂θ+

1

r sin θ

∂vϕ∂ϕ

.

Laplacien :

∆p = div(−−→

grad p)

=1

r2∂

∂r

(r2∂p

∂r

)+

1

r2 sin θ

∂

∂θ

(sin θ

∂p

∂θ

)+

1

r2 sin θ

∂2p

∂ϕ2.

Rotationnel :

−→rot−→v =1

r2 sin θ

(∂

∂θ(r sin θvϕ)− ∂ (rvθ)

∂ϕ

)−→er+

1

r sin θ

(∂vr∂ϕ− ∂

∂r(r sin θvϕ)

)−→eθ+

1

r

(∂(rvθ)

∂r− ∂vr

∂θ

)−→eϕ.

Tenseur taux de deformation :

D =

∂vr∂r

1

2

(1

r

∂vr∂θ− vθ

r+∂vθ∂r

)1

2

(1

r sin θ

∂vr∂ϕ− vϕ

r+∂vϕ∂r

)//

1

r

(∂vθ∂θ

+ vr

)1

2

(1

r sin θ

∂vθ∂ϕ

+1

r

∂vϕ∂θ− vϕ cotan θ

r

)// //

1

r sin θ

∂vϕ∂ϕ

+vrr

+vθ cotan θ

r

28

3 Relations usuelles

−−→grad (∆p) = ∆

(−−→grad p

)−−→grad (f g) = f

−−→grad(g) + g

−−→grad(f)(

grad(−→v )).−→v =

−−→grad

(v2

2

)+(−→rot−→v

)∧ −→v

grad(−→v ) = G = D + Ω, D =1

2

(grad(−→v ) + gradT (−→v )

), Ω =

1

2

(grad(−→v )− gradT (−→v )

)div−→v = tr

(grad −→v

)div (∆−→v ) = ∆ (div−→v )

div(−→rot−→v

)= 0

div (p−→v ) = p div−→v +−→v .−−→grad p

div(p A)

= p div(A)

+A.−−→grad p

div(p I)

=−−→grad p

div (−→u ∧ −→v ) = −→v .−→rot−→u −−→u .−→rot−→v

∆p = div(−−→

grad p)

∆−→v =−→div(

grad−→v)

=−−→grad (div−→v )−−→rot

(−→rot−→v)

∆ (fg) = f∆g + g∆f + 2−−→gradf.

−−→grad g

∆ (p−→v ) = p∆−→v +−→v ∆p+ 2(

grad−→v).−−→grad p

−→rot(−−→

grad p)

= 0

−→rot (∆−→v ) = ∆(−→rot−→v

)−→rot (p−→v ) = p

−→rot−→v +(−−→

grad p)∧ −→v

−→rot (−→u ∧ −→v ) = −→u div−→v −−→v div−→u +(

grad−→u)−→v − (grad−→v

)−→u4 Equations de Navier-Stokes

∂−→v∂t

+(−→v .−→∇)−→v =

1

ρ

−→f − 1

ρ

−→∇p+ ν∆−→v

29

4.1 Coordonnees cartesiennes

∂vx∂t

+ vx∂vx∂x

+ vy∂vx∂y

+ vz∂vx∂z

=1

ρfx −

1

ρ

∂p

∂x+ ν

[∂2vx∂x2

+∂2vx∂y2

+∂2vx∂z2

]∂vy∂t

+ vx∂vy∂x

+ vy∂vy∂y

+ vz∂vy∂z

=1

ρfy −

1

ρ

∂p

∂y+ ν

[∂2vy∂x2

+∂2vy∂y2

+∂2vy∂z2

]∂vz∂t

+ vx∂vz∂x

+ vy∂vz∂y

+ vz∂vz∂z

=1

ρfz −

1

ρ

∂p

∂z+ ν

[∂2vz∂x2

+∂2vz∂y2

+∂2vz∂z2

]

4.2 Coordonnees cylindriques

∂vr∂t

+vr∂vr∂r

+vθr

∂vr∂θ

+vz∂vr∂z−v2θr

=1

ρfr−

1

ρ

∂p

∂r+ν

[∂2vr∂r2

+1

r2∂2vr∂θ2

+∂2vr∂z2

+1

r

∂vr∂r− 2

r2∂vθ∂θ− vrr2

]

∂vθ∂t

+vr∂vθ∂r

+vθr

∂vθ∂θ

+vz∂vθ∂z−vrvθ

r=

1

ρfθ−

1

ρ

1

r

∂p

∂θ+ν

[∂2vθ∂r2

+1

r2∂2vθ∂θ2

+∂2vθ∂z2

+1

r

∂vθ∂r

+2

r2∂vr∂θ− vθr2

]

∂vz∂t

+ vr∂vz∂r

+vθr

∂vz∂θ

+ vz∂vz∂z

=1

ρfz −

1

ρ

∂p

∂z+ ν

[∂2vz∂r2

+1

r2∂2vz∂θ2

+∂2vz∂z2

+1

r

∂vz∂r

]

4.3 Coordonnees spheriques

∂vr∂t

+ vr∂vr∂r

+vθr

∂vr∂θ

+vϕ

r sin θ

∂vr∂ϕ−v2θ + v2ϕ

r=

1

ρfr −

1

ρ

∂p

∂r

+ν

[∂2vr∂r2

+1

r2∂2vr∂θ2

+1

r2 sin2 θ

∂2vr∂ϕ2

+2

r

∂vr∂r

+cotan θr2

∂vr∂θ− 2

r2∂vθ∂θ− 2

r2 sin θ

∂vϕ∂ϕ− 2vr

r2− 2vθ cotan θ

r2

]

∂vθ∂t

+ vr∂vθ∂r

+vθr

∂vθ∂θ

+vϕ

r sin θ

∂vθ∂ϕ

+vrvθr−v2ϕ cotan θ

r=

1

ρfθ −

1

ρ

1

r

∂p

∂θ

+ν

[∂2vθ∂r2

+1

r2∂2vθ∂θ2

+1

r2 sin2 θ

∂2vθ∂ϕ2

+2

r

∂vθ∂r

+cotan θr2

∂vθ∂θ− 2 cos θ

r2 sin2 θ

∂vϕ∂ϕ

+2

r2∂vr∂θ− vθ

r2 sin2 θ

]∂vϕ∂t

+ vr∂vϕ∂r

+vθr

∂vϕ∂θ

+vϕ

r sin θ

∂vϕ∂ϕ

+vrvϕr

+vθvϕ cotan θ

r=

1

ρfϕ −

1

ρr sin θ

∂p

∂ϕ

+ν

[∂2vϕ∂r2

+1

r2∂2vϕ∂θ2

+1

r2 sin2 θ

∂2vϕ∂ϕ2

+2

r

∂vϕ∂r

+cotan θr2

∂vϕ∂θ

+2 cos θ

r2 sin2 θ

∂vθ∂ϕ

+2

r2 sin2 θ

∂vr∂ϕ− vϕ

r2 sin2 θ

]

30