まえがき

本書の特徴と使い方

本書は，現在自然界において知られているすべての力（相互作用）を記述するYang–Millsのゲー

ジ場の量子論の基礎的事項に最短距離で到達し，QCD（量子色力学）におけるクォーク閉じ込めと

質量ギャップの問題の解決に取り組むための最低限の予備知識を与えることを目指したものである．

一見すると，これらの問題は特殊な問題にみえるかも知れないが，その問題の意味を理解すること

が，ゲージ場の量子論を勉強する際の 1つの目標になり得るし，また，それは Yang–Millsにおけ

る未解決問題への挑戦にもなるという意味で，極めて重要な問題だからである．

実際，この問題の重要性は，米国ボストン市にあるClay（クレイ）数学研究所（Clay Mathematics

Institute）が提出している 7つの懸賞金付ミレニアム問題（Millennium prize problems）のうち

の 1 つになっていることからも裏づけられるであろう∗1）．本書によって，この問題の物理的意味

は十分に理解できるであろう．懸賞金（米ドルで 100万ドル）を獲得するには，その物理的意味に

加えて，数学的側面として，構成的場の理論を知らなくてはならないがそれについても簡単に紹介

する．

本書の特徴は以下のとおりである．

通常，QED（量子電磁力学）を代表とするアーベル群に基づくアーベル型ゲージ場の理論を紹介

し，それを非アーベル群へ拡張した非アーベル型ゲージ理論としてQCD（量子色力学）を導入する

という方法がとられる．しかし，本書では，最初から非アーベル型ゲージ理論の誕生の契機となっ

た Yang–Millsのゲージ場の理論から入るというルートを取った．そして，その後で，そのアーベ

ル極限としてMaxwellの電磁力学の理論が再現されることを示した．勿論，歴史的には，1873年

のMaxwellの電磁気学の完成が先で，その後，1954年に YangとMillsによって Yang–Millsの

ゲージ理論が提唱されたのだが．

この 1つの理由は，非アーベル型の理論ができた後では，アーベル型の理論がそれに含まれてい

ることは容易に理解できるが，アーベル型の理論しか知らない段階で，それが非アーベル型に拡張で

きることを予見することは容易ではないからである．実際，Maxwell理論の完成後，YangとMills

の提唱まで 80年あまりを要している．今では，Yang–Millsから入ることも難しくは無い．

また，相対論的場の量子論の教科書，特に，ゲージ場の量子論に限っても，既に大部な正統的教

科書が多数出版されており，高々200ページ程度の本書で，すべての話題をそれらと同じように取

り上げることは不可能である．正統的な場の量子論の教科書としては，実用的な摂動論も展開すべ

*1） Clay数学研究所の URLは，http : //www.claymath.org/，Yang–Millsと mass gap

については，http : //www.claymath.org/millennium/Yang − Mills Theory/ を参照されたい．

きで，そこでは，伝播関数と頂点関数の決め方，Feynmanルールとの対応に基づく摂動計算，それ

を視覚化する Feynmanグラフの導入，ループ計算の仕方，ループ計算の際に出てくる発散を一時

的に回避する正則化，それを取り除く際の発散を処理して有限な物理量を取り出すための摂動的繰

り込み処方などを含めるべきであろうが，本書では敢えてこれらを一切省いた．その意味では，非

実用的な側面もあるが，本書の目的は，摂動論では扱えない側面を扱うことが主眼にある．摂動論

の技術的な側面ばかりやっているうちに，Yang–Mills理論の本質的側面を忘れがちである．勿論，

ループ計算はできるに越したことは無い．非アーベル型ゲージ理論の極めて重要な性質である漸近

自由性は，摂動論の枠組みで既に 1ループのループ計算から得られる．しかし，1ループ計算なら，

必ずしも Feynmanグラフなどを使わずとも直接汎関数積分によって遂行できる．本書ではこの立

場を採用する．系統的な高次の摂動計算にはやはり Feynmanルールに基づく方法が必要だが，そ

のような問題は本書では取り扱わない．この点を配慮すれば，本書はゲージ場の量子論の教科書と

しても使えるはずである．また，紙面の許す限り，式の導出もできる限り省略せず，説明も噛み砕

いてわかりやすくなるように努力したつもりである．

もう一つ，断っておきたい事は，QCDは，クォークとグルーオンの力学であり，この 2つは対

等に同じ比重で論じられるべきものであるということである．しかし，これまでは，物質の構成粒

子であるクォークの力学が豊富な内容を擁していることもあり，QCDといえばクォークを主に問

題にするというのが伝統的な立場であった．クォーク間の強い力を媒介する粒子であるグルーオン

は，どちらかというと QCDでは影武者的存在であった．しかし，閉じ込めと質量ギャップの問題

では，グルーオンが主役となる．そのため，本書では，その比重が伝統的なQCDの本とは逆転し

ている．クォーク自身の力学を詳述することは紙数の都合で困難である．そのためには，クォーク

の力学を副題としてもう一冊書く必要があろう．

本書の構成は以下のとおりである．

第 2章で，特殊相対論を復習した後，すぐに，Yang–Millsのゲージ理論を導入する．それは，あ

る極限では，良く知られたMaxwellの電磁気学を含んでいることを示す．しかし，この章であつか

うのは，古典論である．つまり，量子論ではない．古典論の範囲では，Yang–Millsのゲージ理論に

は本質的な困難は何も無い．勿論，これは，古典的 Yang–Mills理論で解くべき問題がすべて解け

ていることを意味しない．例えば，Yang–Mills理論の運動方程式（場の方程式）が完全に解けて，

そのすべての古典解が知られているわけでは決してない．

第 3章以降は，量子論の話である．第 3章では，解析力学の最低限の知識を仮定して，調和振動

子の量子力学の復習から始めて，場の理論の量子化の手続きを紹介する．量子化法にはいくつかあ

るが，この章では，スカラー場を例にとって，正準量子化法と経路積分量子化法の 2つについての

み最低限の準備をする．

第 4章では，いよいよ，Yang–Millsのゲージ理論の量子化を主に経路積分量子化法に基づいて

行う．正準量子化法との関係も述べる．この章は，最初に勉強する者にとって，かなりハードであ

ろう．その理由は，ゲージ理論が一般に解析力学で言う拘束系（束縛系）になっているためである．

拘束系の解析力学的取り扱いに不慣れな読者は，そこにあげた解析力学の教科書で補ってもらいた

い．応用のみに興味のある読者は，最後の結果のみ知っていればよい．ここまでで，Yang–Mills理

論の量子論の定式化がとりあえず終わる．

ii まえがき

第 5章以後は，Yang–Mills理論の量子論の定式化からでてくる帰結とその応用にあてられる．そ

の内容に関しては，各章のアブストラクトを見られたい．最後の章は，ミレニアム賞問題を解説した．

実は，第 4章で，Yang–Mills理論の量子論の定式化が「とりあえず」終わると書いたのには理由

がある．実は，第 4章で得られた量子論の定式化は必ずしも完璧ではない．付録で述べたGribov

問題と呼ばれる困難がある．そのため，それを避ける別の定式化が存在する．例えば，格子ゲージ

理論，あるいは，Makeenko–Migdal方程式に代表される Schwinger–Dyson方程式を用いる方法

である．これらについても紙面の許す限り紹介する予定であったが許された紙数を使い切ってしま

い，含めていないので，参考文献などで補ってもらいたい．

なお，本書に収めきれなかった付録，本書に関する訂正などは，著者のホームページに載せる予

定である．著者のホームページ：

　　 URL　　 http://physics.s.chiba-u.ac.jp/˜kondo/

（サイエンス社のサポートページ：http://www.saiensu.co.jpからも跳べるようにしてある）

参考文献とインターネットによる情報収集

素粒子物理（Particle Physics, or High Energy Physics）の理論関係の最新の研究論文は，e-

Print archive http://arxiv.org/ から無料で取得できる．これは，専門雑誌に掲載される前の論文

（プレプリントという，preprint）を論文の著者が投稿したものであるが，素粒子の理論関係に関し

ては，現在では全世界で書かれる論文の殆どすべてが収められるようになっている．本文中で参考

文献として番号で引用した，hep-th/yymmnnn, hep-ph/yymmnnn, hep-lat/yymmnnn などは，

全てここにある．その他の数学関係の文献もある．また，素粒子物理の実験関係の資料も，Particle

Data Groupの努力によって，http://pdg.lbl.gov/からやはり無料で入手できる．自然科学の成果

は，人類の共有財産である．

本書で用いる記号について

A := B は，Aを B で定義するという意味で用いる．

A =: B は，B を Aで定義するという意味で用いる．

A ≡ B は，Aと B が恒等的に等しいという意味で用いる．

謝辞

共同研究者でもある柴田章博氏（高エネルギー加速器研究機構）と加藤清考氏（高松工業高等専

門学校）には，原稿を通読していただき多くの誤植や改良点などをご指摘いただいた．両氏に深く

感謝したい．また，本書の原稿を用いるゼミに参加して，式のチェックや誤植の発見に協力しても

らった千葉大学大学院学生の井上文晴，小野謙仁，阿部卓矢，福田淳，太幡浩文，藪崎忠敬の諸君

にも感謝したい．編集に関しては，サイエンス社の平勢耕介氏にお世話になりました．

2005年 10月 1日　 近藤　慶一　

iii

目 次

第 1章 はじめに 1

1.1 電磁気学における力と場とポテンシャル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 力の媒介粒子と力の到達距離 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 クォーク間に働く強い力 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 ハドロン弦 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5 クォーク・グルーオンの閉じ込め . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.6 クォーク模型とカラー（フレーバー） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.7 有効結合定数（走る結合定数）と漸近自由性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.8 質量，エネルギー，運動量，長さの単位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.9 自然単位系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.10 強い相互作用における次元の転化と質量生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

第 2章 古典Yang–Mills理論 15

2.1 特殊相対論の記法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Yang–Mills場の導入 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 Yang–Mills場の作用と運動方程式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 アーベリアン極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Bianchi恒等式の幾何学的意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

第 3章 量子化の方法 35

3.1 量子力学の定式化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2 調和振動子の量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 スカラー場の理論の正準量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3.1 D次元交換関係と不変デルタ関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.2 Green（グリーン）関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.3.3 複素スカラー場 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.4 反粒子の存在 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.4 スカラー場の理論の経路積分量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.1 量子力学の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.4.2 場の理論の場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

第 4章 Yang–Mills場の解析力学と量子化 55

4.1 古典 Yang–Mills場の解析力学 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2 アーベリアン極限（Maxwell場の解析力学） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3 質量項を持つ場合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.4 拘束系の経路積分量子化法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.5 Coulomb ゲージでのYang–Mills理論の

経路積分量子化 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.6 明白にLorentz共変なゲージでのYang–Mills理論の経路積分量子化 . . . . . . . 73

4.7 Faddeev–Popovの簡便法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.8 明白にLorentz共変なゲージでのYang–Mills理論の正準量子化 . . . . . . . . . . 78

4.9 質量ゼロのベクトル場の偏極モード . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.10 2点 Green関数の一般形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

第 5章 BRST対称性と FPゴースト電荷 85

5.1 ゴースト電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.2 BRST対称性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.3 反 BRST変換と FP共役変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.4 Generalized Lorentzゲージ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.5 アーベリアン極限 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.6 BRS電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.7 Slavnov–Taylor恒等式（Ward–高橋恒等式） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.8 On-shell BRST変換 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.9 不定計量空間と物理的状態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.10 様々なゲージ固定条件 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.11 BRST変換の幾何学的意味 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

第 6章 対称性の自発的破れと量子的破れ 111

6.1 対称性と保存則：Noetherの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.2 エネルギー運動量テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.3 対称性の自発的破れと南部–Goldstone粒子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.4 相対論的場の量子論における対称性の自発的破れの例：Goldstone模型 . . . . . . . 119

6.5 ゲージ理論における南部–Goldstoneの定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.6 スケール変換とエネルギー運動量テンソル . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.7 くりこみとスケール不変性の量子的破れ（量子異常） . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.8 Yang–Mills理論の漸近自由性とくり込み群 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

第 7章 カラー対称性とカラーの閉じ込め 136

7.1 カラー対称性の表現とカラー閉じ込め . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

v

7.2 カラー対称性とカラー電荷 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

7.3 カラー閉じ込めの判定基準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

7.4 Landauゲージの場合のカラー閉じ込め判定基準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

7.5 Wilsonループとクォーク閉じ込めの判定基準 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

第 8章 ゲージ粒子の質量と質量ギャップ 154

8.1 Proca形式と Stueckelberg形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.2 拡張された Stueckelberg形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8.3 アーベル型有質量ベクトル場のNL場形式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

8.4 フォトンの物理的質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

8.5 Higgs模型と Higgs機構（現象） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

8.6 グルーオンの質量とYang–Mills理論（非アーベル型ゲージ理論）のスペクトル表示 169

8.7 2点関数と質量ギャップ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

8.8 非アーベル型有質量ベクトル場の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

8.9 グルーボール（glueball） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

第 9章 クォークの閉じ込めと双対超伝導描像 181

9.1 クォーク閉じ込めの双対超伝導描像 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

9.2 Diracモノポール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

9.3 Abelian Higgs模型（相対論的 Ginzburg–Landau理論）と Nielsen–Olesen ボル

テックス（渦糸） . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

9.4 ’t Hooft–Polyakovモノポール . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

9.5 アーベリアン射影とQCDモノポール（最大可換ゲージ） . . . . . . . . . . . . . . 196

9.6 質量次元 2の真空凝縮とグルーオン質量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

第 10章ミレニアム賞問題 207

10.1 ミレニアム賞問題とは . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

10.2 Yang–Mills理論の存在と質量ギャップ問題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

10.3 構成的場の理論と公理論的場の理論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.4 Euclid的場の量子論と解析接続 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

10.5 場の理論の公理系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

10.6 Yang–Mills理論の構成への可能な戦略 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

索 引 220

vi 目 次

第 1 章

はじめに

この本で論じる量子色力学（quantum chromodynamics，略してQCD）

は，原子核の構成要素である核子（陽子と中性子）の元となる素粒子であるクォー

クとその間の力を媒介する素粒子であるグルーオンを記述する理論的枠組みで

ある．QCDは，もっと簡単なゲージ理論である古典電磁気学（Maxwell（マ

クスウエル）の電磁気学）のいろいろな意味での拡張になっているので，これ

からはじめよう．

1.1 電磁気学における力と場とポテンシャル

古典電磁気学において，電荷 Q と電荷 q が距離 r だけ離れて静止している

場合に，電荷 q に働く力 F を考えよう．よく知られているように電荷 q が受

ける力 F は，Coulomb（クーロン）力

F =1

4πε0Qq

r2er (1.1)

で与えられる∗1）．ここで，er = r/r (r := |r|)は Q から q へ向かう動径方向

の単位ベクトルである．Q と q が同符号（Qq > 0）のときは斥力（反発力）

を，異符号（Qq < 0）のときは引力を表す．

ここで（古典）電磁場という概念を導入すると，電荷 q は，電荷 Q の作る

（電荷 q の場所での）電場E によって，

F = qE(r), E(r) =1

4πε0Q

r2er (1.2)

の力を受ける．電場Eは，動径ベクトル rの関数であって，その大きさ |E|は，逆 2乗の法則にしたがって rの増加と共に減少し，その向きは座標原点から動

径方向に向かっている．この様子を視覚化したものが電気力線の概念である．

*1） ε0 は真空の誘電率で，ε0 = 8.854× 10−12F/m，1/4πε0 = 10−7c2[N ·m2/C2]

第 2 章

古典Yang–Mills理論

この章では，Yang–Mills理論と呼ばれるゲージ理論を導入する．これは，

最もよく知られたゲージ理論であるMaxwellによって定式化された電磁場の理

論の自然な拡張になっており， 特別な場合としてこれを含む．但し，この章で

は古典論のみを扱う．

2.1 特殊相対論の記法

Maxwellの電磁気学は，Einsteinが特殊相対性理論を発表した 1905年より

以前の 1873年には既に完成していた∗1）．特殊相対性理論（特殊相対論）は，光

速度不変の原理と，特殊相対性原理を指導原理として，2つの異なる慣性系 S

と S′ が一定の速度で相対運動するときの，時間と空間座標の変換（Lorentz

変換）を基礎として，物理法則が両慣性系でどう変換されるかを教えてくれる.

特殊相対論の発表後，Newtonの古典力学は，特殊相対論の要請に合致する形

に書き換えられたにも拘わらず，Maxwellの古典電磁力学は何一つ変更を受け

なかった．それは当然で，Einsteinは，Maxwellの方程式を共変にする変換と

して Lorentz変換を導いたからである．実際，電磁波は真空中を光速度 c で伝

播する（静止質量がゼロの光子は光速度で走る）ので，Maxwell理論が正しい

電磁気の理論であるならば，当然ながら特殊相対論と矛盾してはならないので

ある．これに対し，Newton力学は粒子の速度が光速度に比べて小さい場合に

のみ成立し，特殊相対論的力学の非相対論的極限 c→∞ として再現されるの

である．

c を光速度として，4（次）元座標を，

xμ = (x0,x) = (ct,x) = (ct, x1, x2, x3) (2.1)

で導入する．ここで x は r = (x, y, z) とも書かれる．座標微分演算子 ∂μ を

*1） J.C. Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism (1873).

第 3 章

量子化の方法

この章では，Yang–Mills場の量子論を論じるための準備として，最も簡単な

スピ ン 0 のスカラー場を例にして，場の量子化を実行して，スカラー場の量

子論を構成する．そして，それが満たすべき一般的性質を論じる．量子化の方

法とは，ある古典論が与えられたときに，対応する量子論を得る処方箋である

が，これには，正準量子化，汎関数積分（経路積分）量子化，確率過程量子化

等，いくつかの方法が知られている．この章では，まず正準量子化法，次に汎

関数積分量子化法を紹介する．

通常，相対論的場の量子論（相対論的量子場の理論）は，4次元のMinkowski時

空（空間 3次元+時間 1次元）で考えるが，一般に D = d+1次元のMinkowski

時空（空間 d次元+時間 1次元）上で定義することもできる．一般に次元が減

ると量子場の理論は簡単になる．事実，(3 + 1) 次元の量子場の理論の模型で

正確（exact）∗1）に解けた例は知られていないが，(1 + 1) 次元まで行くと厳

密に解ける場合がある．特に， (0 + 1) 次元の量子場の理論は量子力学に他な

らない．量子論の出発点は，波動と粒子の二重性を認めることにあった．場の

量子化とは，（波動）場の量から粒子像を抽出する操作である．ここでいう粒子

とは振動数 ν の波動に対して hν = �ω のエネルギーを持つ量子である．場の

量子論とは 調和振動子を表す変数を探すことともいえるが，その意味はすぐに

わかるであろう．

3.1 量子力学の定式化

量子力学では，Heisenberg（ハイゼンベルク）描像または表示（picture or

representation）と Schrodinger（シュレディンガー）表示という 2つの等価な

*1） 正確あるいは完全（exact）と厳密（rigorous）とを区別する．前者は，等式の世界（等式変形を繰り返して得られる），後者は，不等式の世界（不等式で，上限と下限を押さえていく）というニュアンスの違いがある．

第 4 章

Yang–Mills場の解析力学と量子化

この章では，Yang–Millsのゲージ場の量子化を行う．スカラー場の理論の量

子化で既に見たように，ゲージ場の理論の量子化を正しく行うためには，ゲー

ジ場の解析力学を調べておかなくてはならない．しかし，ゲージ場は解析力学

で言うところの拘束系になっており，その扱いはかなり厄介である．

4.1 古典Yang–Mills場の解析力学

Yang–Mills場のラグランジアン密度は，

LYM = −14FAμνF

μνA = −14FAμνg

μρgνσFAρσ

= −14(∂μA A

ν − ∂νAAμ + gfABCA B

μ A Cν )

×gμρgνσ(∂ρA Aσ − ∂σA

Aρ + gfADEA D

ρ A Eσ ) (4.1)

で与えられた．これを見てわかるように，Yang–Mills場のラグランジアン密度

は，Yang–Mills場Aμに関して，二次の項以外に，三次と四次の項（自己相互

作用項）を含んでいる．つまり，Yang–Mills場は他に結合する物質場が無くて

も，自分自身と相互作用している．これは，アーベル型のMaxwell理論には無

い特徴で，このことが，Yang–Mills場の取り扱いを難しくしている大きな理由

である．グルーオンは，自分自身と相互作用して，非自明な力学を引き起こす

のである．

一般に，ラグランジアン L は，一般化座標 qr とその時間微分 qr(r =

1, · · · , f) の汎関数である L = L [qr, qr]．Yang–Mills 場のラグランジアン

密度（4.1）は，A A0 ,A

Ak とその時間微分 ˙A A

0 ,˙A Ak で書かれているはずである

L = L (A A0 ,A

Ak ,

˙A A0 ,

˙A Ak )．ここで，ラテン小文字 k は Lorentzの空間添

字で k = 1, 2, 3，ラテン大文字Aは，ゲージ群Gの生成子を区別する添字で，

A = 1, 2, · · · , dimGである．このLYM から，

第 5 章

BRST対称性とFPゴースト電荷

Yang–Mills理論を，明白に Lorentz共変に量子化するには，ゲージ固定項と

FPゴースト項を導入しなくてはならなかった．これによって，量子Yang–Mills

理論のラグランジアンは変更を受けるが，ゴースト，反ゴースト場の存在のた

めに，古典論では考えらなかった対称性（量子論的対称性）が新たに生じてこ

れが重要な役割を果たす．この章では，特に，BRST対称性，ゴーストスケー

ル変換対称性，FP共役対称性について解説する．

5.1 ゴースト電荷

FPゴースト場の存在による 1つの対称性がある．全ラグランジアンは，次

のようなゴースト場と反ゴースト場の大局的スケール変換の下で不変である．{CA(x) → eρCA(x) = C′A(x)

CA(x) → e−ρCA(x) = C′A(x)(ρは実数) (5.1)

ここで，他の場 ψ,A Aμ ,N

A は変化しないとする．FPゴースト場はエルミー

ト（実）なので（C† = C, C† = C），複素場のときのような相変換は考えられ

ず，ρは実数である．無限小変換は，

δCCA(x) = ρCA(x), δCC

A(x) = −ρCA(x) (5.2)

で与えられる．この変換の下での不変性に対応する，保存する Noetherカレン

ト Jμ(C) と Noether電荷 QC は，Lorenzゲージを採ったとき，

Jμ(C) = i[CA(DμC)A − ∂μCACA

](5.3)

QC =∫d3xJ0

(C) = i

∫d3x

[CA(D0C)A − ∂0CACA

](5.4)

となる∗1）．QC は FPゴースト電荷と呼ばれる．QC は，このスケール変換の

*1） 導出の仕方は，5.6 節で与える．

第 6 章

対称性の自発的破れと量子的破れ

場の理論のラグランジアンが，ある連続パラメータを持つ変換のもとで不変

ならば，それに伴う保存カレントと保存量（荷電）の存在が結論できる．この

事実は，古典論ではNoether（ネーター）の定理として知られている．しかし，

場の量子論においては，一般には，古典論で存在した対称性がそのまま保持さ

れるとは限らない．古典論対称性の量子論における破れ方には，自発的対称性

の破れによる場合と，量子異常によって破れる場合が知られている．QCDに

おいても，これらの概念は重要であり，実際，多くの応用があるので，その基

礎を紹介する．

6.1 対称性と保存則：Noetherの定理

ラグランジアン密度L が場 Φi(x)とその一階微分 ∂μΦi(x)の関数で，作用

積分 S が

S =∫dDx L (Φi(x), ∂μΦi(x)) , dDx = dx0dx1 · · · dxd (6.1)

で与えられているとする．最小作用の原理（least action principle）から，Euler–

Lagrange方程式

δL

δΦi(x):=

∂L

∂Φi(x)− ∂μ

{∂L

∂ (∂μΦi(x))

}= 0 (6.2)

が得られることはよく知られている．

理論の対称性は保存則の存在を導くというNoetherの定理を述べる．

定理 1 作用積分 S が，εを連続的パラメータとする無限小変換

Φi(x) → Φ′i(x) = Φi(x) + εGi (Φ(x)) (6.3)

の下で不変である，すなわち，S [Φ] = S [Φ′]，あるいは，ラグランジアン密度

第 7 章

カラー対称性とカラーの閉じ込め

既に，我々は，非アーベル型ゲージ場Aμ（グルーオン）がDiracフェルミオ

ン q（クォーク）に結合した量子場の理論（例えばQCD）を明白に Lorentz共

変な形で構成しようとすると，q,Aμ 以外に，ゴースト場 C，反ゴースト場 C

そして NL場N を導入する必要があることを見た．これは，アーベル型ゲー

ジ場Aμ（フォトン）がDiracフェルミオン ψ（エレクトロン）に結合した，明

白に Lorentz共変な量子場の理論（例えば，QED）を構成するには，それら以

外の場は必要としないのとは対照的である．フォトンやエレクトロンは，よく

知られているように直接実験で観測されている．では，クォークやグルーオン，

あるいはゴースト粒子，反ゴースト粒子やNL粒子は，観測されているのだろ

うか．実は，QCDを記述する全ラグランジアン（作用）を書き下すために必

要な基本場（q,Aμ,N , C, C）に対応する基本粒子は，現在に至るまでどれ 1

つとして，単独では観測されていないのである．

観測されているのは，クォーク 3体（qqq）の結合状態で記述されるバリオン

（baryon，重粒子）と，クォーク・反クォーク対（qq）の結合状態で記述され

るメソン（meson，中間子）のような複合粒子のみである．勿論，この事実は，

単に，まだまだ実験が不十分で，これから続々と，まったく異なるタイプの複

合粒子が見つかるかも知れないという期待を排除するものではない．

実際，2003年には，そのようなエキゾチック粒子としてクォーク 5体からな

る複合粒子であるペンタクォークが発見されたと報じられ，それ以後も活発な

研究が続けられている∗1）．しかし，理論的には，もっと複雑な多体の複合粒子

が今後実験で見つかることはあっても，QCDの基本粒子は決して単独で（単離

した 1体状態として）観測されることはないと考えられているのである．これ

*1） ペンタクォーク Θ+ は，ududs であると予想されている．フレーバー SU(3) 対称性の 10∗ 表現に属す．バリオン数 B = 1 を，ストレンジネス S = +1 を持つ．質量は1540±10MeVで，崩壊幅が 25MeV以下である．バリオンをソリトンとして表す Skyrme

模型では，スピンパリティは 12

+ と予想されているが，これはまだ確定していない．

第 8 章

ゲージ粒子の質量と質量ギャップ

ゲージ場の粒子は質量を持ち得るのかを考えてみよう．アーベル型ゲージ理

論であるQEDでの電磁力の伝達（媒介）粒子であるフォトン（光子）は，零

質量であり真空中を光速度で伝播することがよく知られている．では，非アー

ベルゲージ理論であるQCDでの強い力の媒介粒子であるグルーオンは，どう

であろうか．元々のゲージ理論のラグランジアンを見る限り，どちらの場合も，

ゲージ粒子の質量項は存在していない．よって，グルーオンもフォトン同様零

質量と考えてよいだろうか．

注意すべきは，ラグランジアンに初めから入っている裸の質量パラメータm0

が，必ずしも実際に観測される物理的質量mphysに一致するとは限らない点で

ある．というのは，たとえm0 = 0でも，相互作用の結果，mphys �= 0になり

得るからである．以後，m0 = 0でも生成される質量をダイナミカル（dynami-

cal, 動力学的）質量mdと呼び，m0 �= 0に由来する質量をカレント（current）

質量 mc と呼んで区別することにする．一般に，物理的質量 mphys はダイナ

ミカル質量md とカレント質量mc の和になる．mphys = md + mc, ただし，

mc → 0 (m0 → 0)．QCDのラグランジアンには，Diracの質量項m0f ψ

fψf

を入れることができ，クォークの質量について考えることができるが，この章

では，グルーオンの質量とYang–Mills理論における質量ギャップについて考え

る．そのために，質量を持つベクトル場を記述するさまざまな形式の利点と難

点をまとめる．質量を持つベクトル場の理論を構成することは一筋縄ではいか

ないことが分かる．

8.1 Proca形式と Stueckelberg形式

ラグランジアン密度が

LProca = −14UμνUμν +

12m2

0UμUμ − jμU

μ (8.1)

第 9 章

クォークの閉じ込めと双対超伝導描像

この章では，クォークの閉じ込めを双対超伝導描像に基づいて理解する際の

問題を整理し，可能なアプローチを解説する．それに伴って，グルーオンの質

量の問題が密接に関連していることが浮かび上がることがわかる．

9.1 クォーク閉じ込めの双対超伝導描像

第 1章で述べたように，クォークと反クォークの間には，線形ポテンシャル

を生じるような弦（ひも）が存在することが期待される．そこで，どういうメ

カニズムによってそのようなことが可能なのかを考えてみよう．

まず，通常の電磁気学で正の電荷 qと負の電荷−qを距離 rだけ離して真空

中においた場合を考えよう．両電荷にはCoulomb引力が働き，それを与えるポ

テンシャルは，CoulombポテンシャルV (r) = − 14πε0

q2

r である．電荷によって

発生する電場Eは，図 9.1（左）のように電気力線を描くことで視覚化できる．

今度は，電荷の代わりに磁荷を考えよう．ここで，磁荷は磁場の源としての

み考え，それがどうやってできているかということは，後で議論する．磁荷m

と反対符号の磁荷 mをやはり真空中に置くと，電荷のときと同様に，両磁荷か

ら発生する磁場B を磁力線で表現すると図 9.1（右）のようになるだろう．

図 9.1 （左）真空中においた電荷とそれが作り出す電場．（右）真空中においた磁荷

とそれが作り出す磁場．

第 10 章

ミレニアム賞問題

この章では，ミレニアム賞問題とは何かを解説する．可能な戦略についても

考えてみたい．

10.1 ミレニアム賞問題とは

2000年 5月に米国ボストン市にある Clay数学研究所（Clay Mathematics

Institute）が，パリで開いた集会で数学における 7 つの未解決問題を発表し

た∗1）．その問題を解決した者には1問につき，100万米ドルの賞金が提供され

る．これが「ミレニアム賞問題」（Millennium Prize Problems）である∗2）．そ

の 7つの問題とは以下の通り∗3）：

• Riemann hypothesis（リーマン予想，略して RH）

• Birch and Swinnerton–Dyer conjecture（バーチ＆スウィンナートン‐ダ

イア予想，略して BSD予想）

• P vs NP（P対 NP or P �= NP問題）

•Hodge conjecture（ホッジ予想）

• Poincare conjecture（ポアンカレ予想）

•Yang–Mills Existence and Mass gap（ヤン‐ミルズ理論の存在と質量

ギャップ）

*1） スーパーコンピュータで有名だった Cray 社とは何の関係もない．Clay 数学研究所は1998 年 9 月にボストンの実業家である Clay 氏が設立した．米国には桁違いの金持ちがいるものである．

*2） 賞金獲得の詳しい条件などは，同研究所のホームページを参照されたい．http : //www.claymath.org/

*3） 1900 年にパリで開催された第 2 回国際数学者会議で，Hilbert が提出した 23 の数学の問題が有名である．杉浦 光夫（編集），ヒルベルト 23 の問題（日本評論社，1997）．ジェレミー・J. グレイ（著）, ヒルベルトの挑戦―世紀を超えた 23 の問題，Jeremy J.

Gray（原著）, 好田 順治（翻訳）, 小野木 明恵（翻訳)（青土社，2003)．

索 引

ア行渦（vortex）, 182

運動量表示, 43

オイラー・ラグランジュ, 37

カ行可換射影（Abelian projection）, 185

可約, 138

カラー回転, 143

既約, 138

共役表現, 138

局所ゲージ変換, 25

局所的対称性, 22

局所的変換, 22

曲率, 24

九後–小嶋（Kugo–Ojima）のカラー閉じ込めの十

分条件, 146

群 Gの表現, 137

計量テンソル, 16

経路順序積, 25

経路積分, 49

経路積分公式, 52

ゲージ原理, 22

ゲージ固定, 32

ゲージ固定条件, 32

ゲージ固定パラメータ, 75

ゲージ場, 22

ゲージ場の強さ, 24

拘束系, 56

光速度不変の原理, 15

個数演算子, 40

固有 Lorentz変換, 17

サ行磁気単極子（magnetic monopole）, 184

時空対称性, 21

磁束格子, 182

磁束量子, 182

質量m, 177

質量ギャップ（mass gap）, 177

自発的に破れている, 163

シュウィンガー（Schwinger）メカニズム, 165

縮約, 16

消滅演算子, 40

随伴表現, 138

正準交換関係, 38

正準方程式, 37

生成演算子, 40

生成子, 21

接続, 22

相空間経路積分公式, 51

双対超伝導, 183

双対超伝導体, 183

双対変換（dual transformation）, 183

双対Meissner効果, 183

相変換, 22

タ行第 1種（typeI）, 182

大局的ゲージ変換, 142

大局的対称性, 22

大局的変換, 22

ダイナミカル Higgsメカニズム, 165

第 2種（typeII）, 182

ダランベルシアン, 17

調和振動子, 37

低エネルギー有効理論, 185

特殊相対性原理, 15

特殊相対性理論, 15

ナ行内部対称性, 21

ハ行配位空間経路積分公式, 52

ハミルトニアン, 37

汎関数積分, 49

反ゴースト, 76

非斉次 Lorentz変換, 19

表現行列, 137

表現空間, 138

表現の次元, 138

符号因子, 70

物理的状態, 162

平行移動子, 25

ベクトル束（vector bundle）, 33

補助場, 75

ホロノミー（holonomy）, 33

ヤ行ユニタリー群, 21

ラ行ラグランジアン, 37

ラプラシアン, 17

臨界磁場, 182

レヴィ・チヴィタ, 19, 34

欧字・数字annihilation operator, 40

constrained system, 56

contraction, 16

Cooper（クーパー）対, 184

creation operator, 40

curvature, 24

d’Alembertian, 17

Diracひも（Dirac string）, 186

Einstein の縮約規則, 16

Faddeev–Popovゴースト, 76

Feynmanゲージ, 75

field strength, 24

global symmetry, 22

global transformation, 22

Hodge duality(star) operation, 28

Landauゲージ, 75

local gauge transformation, 25

local transformation, 22

Lorentz共変, 20

Lorentz変換, 15, 17

Meissner（マイスナー）効果, 182

Minkowski空間, 17

parallel transporter, 25

Poincare 変換, 19

Poisson 括弧, 38

primary constraint, 56

Schwinger模型, 165

secondary constraint, 59

Wilson のクォーク閉じ込め判定基準, 150

Wilson ループ演算子, 26

Yang–Mills 場, 20

Yang–Mills 理論, 15

1次の拘束条件, 56

2次拘束条件, 59

221

著者略歴

近こ ん藤ど う

慶け い一い ち

1982年 3月 東京大学教養学部基礎科学科卒業1982年 4月 名古屋大学大学院理学研究科博士課程物理学専攻入学1984年 3月 名古屋大学大学院理学研究科博士課程物理学専攻修了1984年 4月 名古屋大学大学院理学研究科博士課程物理学専攻進学1985年 10月 日本学術振興会特別研究員 (第 1 回 DC)

1986年 4月 名古屋大学大学院理学研究科博士課程物理学専攻修了 理学博士（名古屋大学）の学位取得1986年 5月 日本学術振興会特別研究員 (PD) 　（東京大学理学部）1987年 4月 財団法人豊田理化学研究所奨励研究員及び名古屋大学理学部研究生1988年 10月 千葉大学理学部助手1995年 4月 千葉大学理学部助教授2006年 6月 千葉大学理学部教授2007年 4月 千葉大学大学院理学研究科教授（改組による）現在に至る

臨時別冊・数理科学 SGCライブラリ- 45

『ゲージ場の量子論入門 質量ギャップとクォーク閉じ込めの解決に向けて』（電子版）著　者 近藤 慶一2013年 4 月 10日 初版発行 ISBN 978–4–7819–9902–9この電子書籍は 2006年 1月 25日初版発行の同タイトルを底本としています．

数 理 科 学 編 集 部 発行人 木 下 敏 孝

TEL.(03)5474–8816FAX.(03)5474–8817

ホームページ http://www.saiensu.co.jpご意見・ご要望は sk@saiensu.co.jpまで．

発行所 C© 株式会社 サイエンス社 TEL.(03)5474–8500 (代表)

〒 151–0051 東京都渋谷区千駄ヶ谷 1–3–25

本誌の内容を無断で複写複製・転載することは，著作者および出版者の権利を侵害することがありますので，その場合にはあらかじめサイエンス社著作権担当者あて許諾をお求めください．

組版 イデア コラボレーションズ