Теоријаелектричнихкола на...

Др Дејан В. Тошић, редовни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.

Теорија електричних кола

на Енергетском одсеку

Дејан Тошић

3

3

3

cb2

a2

c2

ba1

cba0

UaUaUU

UaUaUU

UUUU

++=

++=

++=

Користите само

материјале које вам

достави и препоручи

предметни наставник у

текућој школској

години.


Симетричне компоненте

временски непроменљивих, линеарних, трофазних кола са устаљеним

простопериодичним одзивом


Циљ, покретач (мотив), замисао (идеја)

• Решити неуравнотежена трофазна кола.• Решавати простије заменске једнофазнешеме уместо сложених трофазних.

• Представити несиметричне трофазнесистеме напона и струја помоћузаменских симетричних система иискористити развијен поступак зарешавање симетричних трофазних кола.


Неуравнотежено 3Ф коло Y-Y

��

��

��

�

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

��

��

��

�

aI

bI

cI

nI


Матрице трофазног Y-Y кола

=

c

b

a

E

E

E

E

=

c

b

a

U

U

U

U

=

c

b

a

I

I

I

I

=

gc

gb

ga

g

00

00

00

Z

Z

Z

Z

=

pc

pb

pa

p

00

00

00

Z

Z

Z

Z

=

pc

pb

pa

p

U

U

U

U

=

vc

vb

va

v

00

00

00

Z

Z

Z

Z��

��

��

�

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

��

��

��

�

aI

bI

cI

nI


Једначине неуравнотеженог кола

0

0

0

nnpccvcc

nnpbbvbb

nnpaavaa

=+++−

=+++−

=+++−

IZUIZU

IZUIZU

IZUIZU

ncba IIII =++

ccgcc

bbgbb

aagaa

EIZU

EIZU

EIZU

=+

=+

=+

0

0

0

ccpc

bbpb

aapa

=−

=−

=−

IZU

IZU

IZU

30c

20b

10a

UU

UU

UU

===

67pc

57pb

47pa

UU

UU

UU

=

=

=

Фазне струје су једнаке линијским

��

��

��

�

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

��

��

��

�

aI

bI

cI

nI


Преобликовање у матрице

=

++++++

+

+

+

−0

0

0

)(

)(

)(

cban

cban

cban

pc

pb

pa

cvc

bvb

ava

c

b

a

IIIZ

IIIZ

IIIZ

U

U

U

IZ

IZ

IZ

U

U

U

=

+

c

b

a

cgc

bgb

aga

c

b

a

E

E

E

IZ

IZ

IZ

U

U

U

=

−

0

0

0

cc

bb

aa

pc

pb

pa

IZ

IZ

IZ

U

U

U


Матричне једначине Y-Y кола

OIUIZU =

+++−

n

n

n

n

n

n

n

n

n

pv

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

EIZU =+ g

OZIU =−p

Матрице импеданси у сложенијим моделима, када се узимају у обзир спреге, могу имати све чланове а не само дијагоналне чланове.

��

��

��

�

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

��

��

��

�

aI

bI

cI

nI


Замисао Фортески (Fortescue)

• Сваки члан трофазног система напонаили струја разложити на три сабирка.

• Први сабирци треба да чине системфазора истог аргумента (унифазни).

• Други сабирци треба да чине симетричандиректан систем напона или струја.

• Трећи сабирци треба да чине симетричанинверзан систем напона или струја.


Разлагање Фортески

333cb

2ac

2bacba

aUaUaUUaUaUUUU

U++

+++

+++

=

333cb

2ac

2ba2cba

bUaUaU

aUaUaU

aUUU

U++

+++

+++

=

333cb

2a2c

2bacba

cUaUaU

aUaUaU

aUUU

U++

+++

+++

=

унифазан директан инверзан

zero sequence positive sequence negative sequence


Симетричне компоненте

22

10c

212

0b

210a

UaUaUU

UaUaUU

UUUU

++=

++=

++=

3

3

3

cb2

a2

c2

ba1

cba0

UaUaUU

UaUaUU

UUUU

++=

++=

++=

{ }210komponentesimetricne ,, UUUU =

=2

2

1

1

111

aa

aaA

*1

3

1AA =−

sAUU =

UAU 1s

−=

=

2

1

0

s

U

U

U

U

Матрица

симетричних

компоненти

Symmetrical components


Симетричне компоненте импеданси

psp AUU =

Матрица

симетричних

компоненти

импеданси

ZIU =p

sAII =

)( sps AIZAU =

))(()( s1

ps1 AIZAAUA −− =

s1

ps )( IZAAU −=

ssps IZU =

ZAAZ *s 3

1=

Од интереса је испитати какве

су ове матрице за трофазне

уређаје који се граде да буду

конструктивно симетрични.


Примери матрице симетричних

компоненти импеданси

=

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

== −

000

000

003 n

n1

ns

Z

AZAZ

=

S

M

m

m

S

M

M

m

S

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

++++

++== −

m2

MS

mM2

S

mMS1

s

00

00

00

ZaZaZ

ZaZaZ

ZZZ

ZAAZ


Матричне једначине Y-Y колапреко симетричних компоненти

OAIAUAIZAU =

+++− )()()()( s

n

n

n

n

n

n

n

n

n

pssvs

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

)()()( ssgs AEAIZAU =+ OAIZAU =− )()( sps

Лева и десна

страна

једначина се

множе са

инверзном

матрицом.

*1

3

1AA =−

OIUIZU =

+++− s

n

pssvss

000

000

003Z

ssgss EIZU =+ OIZU =− ssps

��

��

��

�

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

��

��

��

�

aI

bI

cI

nI


Распрезање трофазног кола по

симетричним компонентама

• Посебан случај чине кола чији трофазниелементи имају дијагоналну матрицу

симетричних компоненти импеданси.

• Тада се једначине могу написати ускаларном облику тако да свака једначина

зависи само од величина једне

симетричне компоненте: коло сераспреже по симетричним компонентама.


Посебан случај

=

2g

1g

0g

gs 0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

Z

=

2v

1v

0v

vs 0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

Z

=

2

1

0

s 0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

Z

Матрица симетричних


трофазног генератора



трофазног потрошача



трофазног енергетског вода


Распрезање Y-Y кола посиметричним компонентама

000n0p00v0 =+++− IZUIZU n0n 3ZZ =

000g0 EIZU =+ 0000p =− IZU

011n1p11v1 =+++− IZUIZU 01n =Z

111g1 EIZU =+ 0111p =− IZU

022n2p22v2 =+++− IZUIZU 02n =Z

222g2 EIZU =+ 0222p =− IZU

За сваки подсистем

од три једначине

можемо нацртати

заменску шему у

којој се појављују

величине само

једне симетричне

компоненте, нулте, или директне, илиинверзне.


Заменске шеме распрезања по

симетричним компонентама

0E0gZ

0Z0vZ

0nZ

1E1gZ

1Z1vZ

1nZ

2E2gZ

2Z2vZ

2nZ


Компонентни системи

• Заменске шеме трофазног кола посиметричним компонентама називају секомпонентни системи.

• Дефинишу се импедансе компонентнихсистема као количници симетричнихкомпоненти напона и струја.

• Импедансе компонентних система се упракси одређују мерењем.


Снага 3Ф кола изражена прекосиметричних компоненти

QPIUIUIUS j*cc

*bb

*aa +=++=

*TIU=S

*s

Ts )()( AIAU=S

*s

*TTs IAAU=S

*s

Ts3 IU=S

*22

*11

*00 333 IUIUIUS ++=

Напони и струје

у једначини за

снагу су фазни


Кварови у 3Ф колима

• Кварови у трофазним колима су изразитенесиметрије трофазних елемената.

• Кварови настају услед елементарнихнепогода (ветрови, поплаве, хладноће, ...).

• Кварови се јављају и као последицапромена својстава уређаја услед хабања, неправилне употребе, или старења.


Врсте кварова

• Потпуни кратак спој проводника: фазеи нуле (најчешће), две фазе, три фазе

• Делимичан кратак спој проводника

• Потпуни прекид једног или вишепроводника

• Комбиновани квар: и кратки спојеви ипрекиди проводника


Анализа кварова

• Кварови се прегледно могу анализиратипомоћу симетричних компоненти.

• Посебно се анализирају идеализованикварови, на пример идеалан кратак спојфазног проводника и нултог проводника, при чему се сматра да су остали

трофазни елементи, укључујући итрофазне генераторе, симетрични.


Пример квара: споја фаза-нула

��

��

��

�

E

Ea2

Ea

gZ

gZ

gZ

Z

Z

Z

vZ

vZ

vZ

nZ

��

��

��

�

Кратак спојКратак спој


Питања (1)

• Како гласе матричне једначине Y-Y кола?• Шта су симетричне компоненте Фортески (Fortescue)?• Који је мотив за увођење симетричних компоненти?• Написати матричне једначине за одређивањесиметричних компоненти из трофазног система напонаили струја, и обрнуто.

• Шта су симетричне компоненте импеданси?• Како гласи матрица симетричних компонентиимпеданси ако је задата матрица импедансипријемника?


Питања (2)

• Како гласе матричне једначине Y-Y кола прекосиметричних компоненти?

• Шта је распрезање трофазног кола посиметричним компонентама?

• Шта су компонентни системи?

• Шта су импедансе компонентних система?

• Како гласи израз за снагу трофазног кола прекосиметричних компоненти?


Питања (3)

• Шта су кварови у трофазним колима? Како онинастају?

• Које су основне врсте кварова у трофазнимколима? Како се они могу прегледноанализирати?

• Нацртати шему трофазног кола у коме сепојављује квар изазван спојем једне фазе инуле.

• Да ли симетричне компоненте трофазногсистема струја могу бити једнаке струјама којечине трофазни систем?


Питања (4)

• Како гласе симетричне компоненте (а) унифазног система напона, (б) директногсистема напона, (в) инверзног система струја?

• Када је матрица симетричних компонентиимпеданси потрошача дијагонална?

• Како гласи матрица симетричних компонентиимпеданси мреже симетричног пријемника?

• Навести практичне разлоге због којих се могупојавити кварови?


Питања (5)

• Како гласи матрица симетричнихкомпоненти импеданси пријемника чија

је матрица импеданси циклично

симетрична?


Питања (6)


Питања (7)


Задатак (1)


Задатак (2)


Задатак (3)


Задатак (4)Вредности елемената трофазног електричног кола са слике су познате. Трофазни потрошач је повезан у звезду, а чине га три спрегнута калема сопствених индуктивности L и међусобних индуктивности M . Симетричан трофазни генератор је повезан у звезду, а његови напони чине инверзан

симетричан трофазни систем напона },,{ cba eee и )cos(2a θ+ω= tEe .

Одредити (5) симетричне компоненте трофазног система напона генератора, (5) симетричне компоненте трофазног система линијских струја, и (5) симетричне компоненте импеданси потрошача.

1

2

3

L

Z0

Z

Z

Z

Ea

Eb

Ec

0

4

5

6

7

Ia

Ib

Ic0

L

L

M

M

M

I0


Задатак (5)


Задатак (6)


Charles Legeyt Fortescue1876–1936

Инжењер електротехнике. Рођен у York Factory (Manitoba), САД.

Charles L. Fortescue, "Method of Symmetrical Co-Ordinates Applied to the Solution of Polyphase Networks". Presented at the 34th annual convention of the AIEE (American Institute of Electrical Engineers) inAtlantic City, N.J. on 28 July 1918. Published in: AIEE Transactions, vol. 37, part II, pp. 1027-1140, 1918.

Теоријаелектричнихкола на...

Documents