フーリエ解析frontier.phys.kyushu-u.ac.jp/kawai/butsurisuugaku2/...例えば、三角関数によるデルタ関数の構成...

フーリエ解析

準備デルタ関数 ∫ ∞

−∞dx exp(−x2) =

√π∫ ∞

−∞dx

1√π σ

exp(−(xσ

)2) = 1

D(x) = lim0<σ, σ→0

1√π σ

exp(−(xσ

)2)

デルタ関数

D(x) = lim0<σ, σ→0

1√π σ

exp(−(xσ

)2)∫ ∞

−∞dx D(x) = 1

D(x) =

{0, x = 0

∞, x = 0

∫ x

−∞dx′ D(x′) = S(x) =

0, x < 0

1/2 x = 0

1, 0 < x

デルタ関数

f (x) : 開区間 (a, b)で連続関数

(a < x < b)∫ b

a

dx′ f (x′)D(x′ − x) = [f (x′)S(x′ − x)]ba −

∫ b

a

dx′(

d

dx′f (x′)

)S(x′ − x)

= f (b)−∫ b

x

dx′(

d

dx′f (x′)

)= f (b)− [f (x′)]

bx

= f (x)

デルタ関数

δ(x) : デルタ関数∫ ∞

−∞dx δ(x) = 1

δ(x) =

{0, x = 0

∞, x = 0


(a < x < b)∫ b

a

dx′ f (x′)δ(x′ − x) = f (x)

lim0<σ, σ→0

1√π σ

exp(−(xσ

)2) = δ(x)

デルタ関数

別の説明


(a < (α− ε) < x < (α + ε) < b)

finf : 区間 (α− ε) < x < (α + ε)での f (x)の下限

fsup : 区間 (α− ε) < x < (α + ε)での f (x)の上限

I =

∫ b

a

dx′ f (x′)δ(x′ − α)

=

∫ α+ε

α−ε

dx′ f (x′)δ(x′ − α)

finf

∫ α+ε

α−ε

dx′ δ(x′ − α) ≤ I ≤ fsup

∫ α+ε

α−ε

dx′ δ(x′ − α)

デルタ関数 ∫ α+ε

α−ε

dx′ δ(x′ − α) = 1

finf

∫ α+ε

α−ε

dx′ δ(x′ − α) ≤ I ≤ fsup

∫ α+ε

α−ε

dx′ δ(x′ − α)

finf ≤ I ≤ fsup

lim0<ε,ε→0

を取ると fsup − finf → 0

I =

∫ b

a

dx′ f (x′)δ(x′ − α) = f (α)

yデルタ関数

デルタ関数の機能と性質∫ ∞

−∞dx δ(x) = 1

δ(x) =

{0, x = 0

∞, x = 0

f (x) : x = αの近傍で連続

(a < α < b)∫ b

a

dx′ f (x′)δ(x′ − α) = f (α)

(α < a) or (b < α)∫ b

a

dx′ f (x′)δ(x′ − α) = 0

S(x) =

0, (x < 0)

1/2, (x = 0)

1, (0 < x)

a < x < b∫ b

a

dx′f (x′)∂

∂xS(x′ − x)

= [S(x′ − x)f (x′)]ba −

∫ b

a

dx′S(x′ − x)d

dx′f (x′)

= f (b)−∫ b

x

dx′d

dx′f (x′)

= f (b)− (f (b)− f (x))

= f (x)

δ(x) =∂

∂xS(x)

a < x < b∫ b

a

dx′f (x′)δ(x′ − x) = f (x)

a <c2c1x < b∫ b

a

dx′f (x′)δ(c1x′ − c2x) =

1

c1

∫ c1b

c1a

dyf (y

c1)δ(y − c2x)

(y = c1x′)

=1

c1f (

c2c1x)

デルタ関数とは、積分に於ける機能であり、いろいろな表現がある。

例えば

limT→0+

1

exp(xT ) + 1= S(−x)

limT→0+

∂

∂x

1

exp(−xT ) + 1

= δ(x)

limT→0+

∂

∂x

1

exp(−xT ) + 1

= limT→0+

exp(−xT )

T (exp(−xT ) + 1)2

limη→0+

exp(−xη )

η(exp(−xη ) + 1)2

= δ(x)

デルタ関数とは、積分に於ける機能であり、いろいろな表現がある。

例えば

η

x2 + η2∫ ∞

−∞dx′

η

(x′)2 + η2=

1

η2

∫ ∞

−∞dx′

η

(x′η )

2 + 1

=

∫ ∞

−∞dx′

1

(x′)2 + 1

= [arctan x′]∞−∞

= π

デルタ関数

例えば

x = 0のとき

lim0<η, η→0

η

x2 + η2= lim

0<η, η→0

η

x2= 0

x = 0のとき

lim0<η, η→0

η

x2 + η2= lim

0<η, η→0

η

η2= ∞∫ ∞

−∞dx′

η

x2 + η2= π

lim0<η, η→0

1

π

η

x2 + η2= δ(x)

例えば、 ∫ 1

0

dxexp(cosx)

2 + sin xδ(x− π

3) = 0

∫ 2

0

dxexp(cosx)

2 + sin xδ(x− π

3) =

exp(12)

2 +√32

=2 exp(12)

4 +√3

∫ 2

0

dxexp(cosx)

2 + sin xδ(2x− π

3) =

1

2

exp(√32 )

2 + 12

=exp(

√32 )

5

例えば、三角関数によるデルタ関数の構成

D(x) = lim0<η, η→0

∫ ∞

−∞dk exp(ikx) exp(−η|k|)

= lim0<η, η→0

∫ 0

−∞dk exp(ikx) exp(ηk)

+ lim0<η, η→0

∫ ∞

0

dk exp(ikx) exp(−ηk)

= lim0<η, η→0

∫ 0

−∞dk exp(ik(x− iη))

+ lim0<η, η→0

∫ ∞

0

dk exp(ik(x + iη))

= lim0<η, η→0

[exp(ik(x− iη))

i(x− iη)

]0−∞

+ lim0<η, η→0

[exp(ik(x + iη))

i(x + iη)

]∞0


D(x) = lim0<η, η→0

∫ ∞

−∞dk exp(ikx) exp(−η|k|)

= lim0<η, η→0

[exp(ik(x− iη))

i(x− iη)

]0−∞

+ lim0<η, η→0

[exp(ik(x + iη))

i(x + iη)

]∞0

= lim0<η, η→0

(1

i(x− iη)− 1

i(x + iη))

= lim0<η, η→0

(2η

(x2 + η2))

= 2πδ(x)


lim0<η, η→0

1

2π

∫ ∞

−∞dk exp(ikx) exp(−η|k|) = δ(x)


Dn = 1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓx)

= 1 +

n∑ℓ=1

(exp(iℓx) + exp(−iℓx))

=

n∑ℓ=−n

exp(−iℓx)

= exp(inx)1− exp(−i(2n + 1)x)

1− exp(−ix)

=exp(inx)− exp(−i(n + 1)x)

1− exp(−ix)

=exp(i(n + 1

2)x)− exp(−i(n + 12)x)

exp(i12x)− exp(−i12x)

=sin((n + 1

2)x)

sin(12x)ディリクレ核, Dirichlet kernel


Dn(x) =sin(n + 1

2)x)

sin(12x)

Dn(x + 2π) =sin((n + 1

2)(x + 2π))

sin(12(x + 2π)

=(−1) sin((n + 1

2)(x))

(−1) sin(12(x)

=sin((n + 1

2)(x))

sin(12(x)

= Dn(x)

Dn(−x) =sin((n + 1

2)(−x))

sin(12(−x)

=(−1) sin((n + 1

2)(x))

(−1) sin(12(x)

=sin((n + 1

2)(x))

sin(12(x)

= Dn(x)


limn→∞

Dn(ε) = limn→∞

sin((n + 12)ε)

sin(12ε)

limn→∞

(limε→0

Dn(ε)) = limn→∞

(n + 12)ε

12ε

= limn→∞

2(n +1

2)

= ∞


(0 < η < π, η → 0+

limn→∞

∫ η

−η

dε Dn(ε) = limn→∞

∫ η

−η

dεsin((n + 1

2)ε)

sin(12ε)

= limn→∞

2

∫ η

−η

dεsin((n + 1

2)ε)

ε

= limn→∞

4

∫ η

0

dεsin((n + 1

2)ε)

ε

= limn→∞

4

∫ (n+12)η

0

dεsin(ε)

ε

= 4

∫ ∞

0

dεsin(ε)

ε

例えば、三角関数によるデルタ関数の構成∫ ∞

0

d εsin(ε)

ε= lim

η→0

1

2

∫ ∞

−∞dε

sin(ε)

ε + iη

= limη→0

1

4i

∫ ∞

−∞dε

exp(iε)− exp(−iε)

ε− iη

= limη→0

1

4i2πi exp(i(iη))

=π

2


limn→∞

∫ η

−η

dε Dn(ε) = limn→∞

∫ η

−η

dεsin((n + 1

2)ε)

sin(12ε)

= 2π


f (x) : 区間− π ≤ x ≤ πで連続、かつ、区分的に滑らか

f (−π) = f (π)

g(x) : f (x)を周期 2πで−∞ < x < ∞に拡張した関数

−π < α < π

limn→∞

∫ π

−π

dx f (x)Dn(x− α) = limn→∞

∫ π−α

−π−α

dx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

∫ π

−π

dx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

∫ π

−π

dx G(x)Dn(x) (G(x) = g(x + α))


H(x) =G(x)

sin(x/2)

limn→∞

∫ π

π/(n+12)


= limn→∞

∫ π

π/(n+12)

dx H(x) sin((n +1

2)x)

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

∫ x2ℓ+1

x2ℓ−1

dx H(x) sin((n +1

2)x)

(xℓ =πℓ

n + 1/2)


limn→∞

∫ π

π/(n+12)


= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

∫ x2ℓ+1

x2ℓ−1

dx H(x) sin((n +1

2)x)

(xℓ =πℓ

n + 1/2)

= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

∫ x2ℓ+1

x2ℓ−1

dx(hℓ +

(hℓ+1 − hℓ)(n + 1/2)

2π(x− x2ℓ−1)

)sin((n +

1

2)x)

(hℓ = H(x2ℓ−1))


= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

(hℓ+1 − hℓ)(n + 1/2)

2π

∫ (2ℓ+1)π/(n+1/2)

(2ℓ−1)π/(n+1/2)

dx x sin((n +1

2)x)

= limn→∞

1

n + 1/2

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

(hℓ+1 − hℓ)

2π

∫ (2ℓ+1)π

(2ℓ−1)π

dx x sin(x)

= limn→∞

1

n + 1/2

[(n/2)−1/4]∑ℓ=1

(hℓ+1 − hℓ)

= limn→∞

1

n + 1/2(h[(n/2)+3/4] − h1)

= 0


limn→∞

∫ π

(2m−1)π/(n+12)


= limn→∞

[(n/2)−1/4]∑ℓ=m

∫ x2ℓ+1

x2ℓ−1

dx H(x) sin((n +1

2)x)

(xℓ =πℓ

n + 1/2)

= limn→∞

1

n + 1/2

[(n/2)−1/4]∑ℓ=m

(hℓ+1 − hℓ)

= limn→∞

1

n + 1/2(h[(n/2)+3/4] − hm)

= 0


f (x) : 区間− π ≤ x ≤ πで連続、かつ、区分的に滑らか

f (−π) = f (π)

g(x) : f (x)を周期 2πで−∞ < x < ∞に拡張した関数−π < α < π

limn→∞

∫ π

−π

dx f (x)Dn(x− α) = limn→∞

∫ π

−π

dx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

∫ π/(n+1/2)

−π/(n+1/2)

dx g(x + α)Dn(x)

= limn→∞

g(α)

∫ π/(n+1/2)

−π/(n+1/2)

dx Dn(x)

= 2πf (α)

積分核としては limn→∞

1

2πDn(x) はδ(x)と同等

(−π < x < π)

Dn(x) = 1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓx)

=sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

limn→∞

1

2π

∫ π

−π

dx f (x)Dn(x− α) = f (α)


f (x)が− π ≤ x ≤ πで区分的に滑らか、かつ f (x)が x = αで不連続とする

f (x)は区分的に滑らかなので f (x)は x = αを除いては x = αの近傍で連続


g1(x) =

f (x) α < x < π

f (α + 0+) α = x

f (2α− x) −π < x < α

g2(x) =

f (2α− x) α < x < π

f (α− 0+) α = x

f (x) −π < x < α

−π < α < π

limn→∞

1

2π

∫ π

−π

dx f (x)Dn(x− α)

= limn→∞

1

2π

∫ α+η

α−η

dx f (x)Dn(x− α)

= limn→∞

1

2π

∫ α

α−η

dx f (x)Dn(x− α) + limn→∞

1

2π

∫ α+η

α

dx f (x)Dn(x− α)

=1

2limn→∞

1

2π

∫ α+η

α−η

dx g2(x)Dn(x− α) +1

2limn→∞

1

2π

∫ α+η

α−η

dx g1(x)Dn(x− α)

=1

2(f (α− 0+) + f (α + 0+))

f (x) : 区間− π ≤ x ≤ π区分的に滑らか

limn→∞

1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′)Dn(x′ − x) =

1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))

Dn(x) = 1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓx) =sin((n + 1

2)x)

sin(12x)

フーリエ級数

f (x) : 区間− π ≤ x ≤ π区分的に滑らか

f (−π) = f (π)


−π < x < π

1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+)) = lim

n→∞

1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′)Dn(x′ − x)

= limn→∞

1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′)(1 + 2

n∑ℓ=1

cos(ℓ(x′ − x)))

=1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′) +

∞∑ℓ=1

1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) cos(ℓ(x′ − x))

フーリエ級数

1

2(f (x− 0+) + f (x + 0+))

=1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′) +

∞∑ℓ=1

1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) cos(ℓ(x′ − x))

=1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′) +∞∑ℓ=1

1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′)(cos ℓx′ cos ℓx + sin ℓx′ sin ℓx)

=1

2π

∫ π

−π

dx′ f (x′)

+

∞∑ℓ=1

((1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) cos ℓx′)cos ℓx +

(1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) sin ℓx′)sin ℓx

)

フーリエ級数

f (x) が区分的に滑らか

f (x)のフーリエ級数

f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos ℓx +Bℓ sin ℓx)

Aℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) cos ℓx′ ℓ = 0, 1, 2 · · ·

Bℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) sin ℓx′ ℓ = 1, 2 · · ·

連続領域では、

f (x) = f (x)

不連続点 xkでは、

f (xk) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1


なので

f (x + 2π) = f (x)

−∞ ≤ x ≤ ∞f (x) : 周期 2πの区分的に滑らかな関数

f (x + 2π) = f (x)

f (x) のフーリエ級数

f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1


Aℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) cos ℓx′ ℓ = 0, 1, 2 · · ·

Bℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ f (x′) sin ℓx′ ℓ = 1, 2 · · ·


f (x) = f (x)


f (xk) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

−∞ ≤ x ≤ ∞g(x) : 周期 2πの区分的に滑らかな関数

g(x + 2π) = g(x)

f (x) = g(2π

Lx)

g(x) = f (L

2πx)

f (x + L) = f (x)

f (x) : 周期 Lの区分的に滑らかな関数

g(x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1


Aℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ g(x′) cos ℓx′ ℓ = 0, 1, 2 · · ·

Bℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ g(x′) sin ℓx′ ℓ = 1, 2 · · ·

g(2π

Lx) =

1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos(

2π

Lℓx) + Bℓ sin(

2π

Lℓx)

)

Aℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ g(x′) cos ℓx′

=1

π

∫ π

−π

dx′ f (L

2πx′) cos ℓx′

=2

L

∫ (L/2)

−(L/2)

dx′ f (x′) cos(2π

Lℓx′)

Bℓ =1

π

∫ π

−π

dx′ g(x′) sin ℓx′

=1

π

∫ π

−π

dx′ f (L

2πx′) sin ℓx′

=2

L

∫ (L/2)

−(L/2)

dx′ f (x′) sin(2π

Lℓx′)

−∞ ≤ x ≤ ∞f (x + L) = f (x)


f (x) のフーリエ級数

f (x) =1

2A0 +

∞∑ℓ=1

(Aℓ cos(

2π

Lℓx) +Bℓ sin(

2π

Lℓx)

)

Aℓ =2

L

∫ (L/2)

−(L/2)


Lℓx′)

=2

L

∫ L

0


Lℓx′)

Bℓ =2

L

∫ (L/2)

−(L/2)


Lℓx′)

=2

L

∫ L

0


Lℓx′)


f (x) = f (x)


f (xx) =1

2(f (xk + 0) + f (xk − 0))

−∞ ≤ x ≤ ∞f (x + L) = f (x)


1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2

dx′ f (x′) exp(−i2π

Lℓx′)

)exp(i

2π

Lℓx)

=1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

+1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

+ i1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

− i1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)exp(i

2π

Lℓx)

=1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

+1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

=1

L

∫ L/2

−L/2

dx′ f (x′)

+2

L

∞∑ℓ=1

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)cos(

2π

Lℓx)

+2

L

∞∑ℓ=1

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)sin(

2π

Lℓx)

f (x) =1

L

∞∑ℓ=−∞

(∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

)exp(i

2π

Lℓx)

=

∞∑ℓ=−∞

Cℓ exp(i2π

Lℓx)

Cℓ =1

L

∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

=1

L

∫ L

0


Lℓx′)

例えば

f (x) =

−1− 2x/L, −L/2 < x < 0

0, x = 0

1− 2x/L, 0 < x ≤ L/2

f (x + L) = f (x)

例えば

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)aℓ = 0

bℓ =2

L

∫ L/2

−L/2

dxf (x) sin(2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0

dx(1− 2x/L) sin(2π

Lℓx)

=2

πℓ

例えば

L = 2π

fN(x) =N∑ℓ=1

2

πℓsin(ℓx)

例えば

f (x) = |x|

f (x + L) = f (x)

例えば

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)bℓ = 0

a0 = L/2

1 ≤ ℓ aℓ =2

L

∫ L/2

−L/2

dxf (x) cos(2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0

dx x cos(2π

Lℓx)

=

{0, ℓ = 偶数

− 2Lπ2ℓ2

, ℓ = 奇数

例えば

L = 2π

fN(x)

=π

2

+

N∑ℓ=1

−4

π(2ℓ− 1)2cos((2ℓ− 1)x)

例えば

f (x) =

−1, −L/2 < x < 0

0, x = 0

1, 0 < x ≤ L/2

f (x + L) = f (x)

例えば

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)aℓ = 0

bℓ =2

L

∫ L/2

−L/2

dxf (x) sin(2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0

dx sin(2π

Lℓx)

=

{0, ℓ = 偶数4πℓ, ℓ = 奇数

例えば

L = 2π

fN(x)

=

N∑ℓ=1

4

π(2ℓ− 1)sin((2ℓ− 1)x)

例えば

f (x) = | cos(πLx)|

f (x + L) = f (x)

例えば

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)bℓ = 0

a0 =4

π

1 ≤ ℓ aℓ =2

L

∫ L/2

−L/2

dxf (x) cos(2π

Lℓx)

=4

L

∫ L/2

0

dx cos(π

Lx) cos(

2π

Lℓx)

=2

L

∫ L/2

0

dx(cos(

π

L(2ℓ + 1)x) + cos(

π

L(2ℓ− 1)x)

)= − 4(−1)ℓ

π(4ℓ2 − 1)

例えば

L = 2π

fN(x)

=2

π

+

N∑ℓ=1

−4(−1)ℓ

π(4ℓ2 − 1)cos(ℓx)

例えば

L1 < L

f (x) =

{cos( π

L1x), −L1/2 ≤ x ≤ L1/2

0, L1/2 < |x| ≤ L/2

f (x + L) = f (x)

例えば

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)bℓ = 0

(2ℓ = L/L1)

aℓ = − (L1/L)

π(ℓ2 − 14(L/L1)2)

cos(L1

Lπℓ)

(2ℓ = L/L1)

aℓ =L1

L

L = 2π, L1 = πのとき

a1 =1

2

2 ≤ ℓ aℓ =

{0, ℓ : 奇数

(−1)ℓ/2, ℓ : 偶数

例えば

L = 2π

L1 = π

fN(x)

=1

π+1

2cosx

+

N∑ℓ=1

−2

π(4ℓ2 − 1)(−1)ℓ cos(2ℓx)

フーリエ級数の微分

f (x) : 区分的に滑らかな連続関数

g(x) =d

dxf (x) : 区分的に滑らかな関数

f (x + L) = f (x)

g(x + L) = g(x)

f (x)のフーリエ級数f (x)は、f (x)に収束

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

g(x) =1

2a′0 +

∞∑ℓ=1

(a′ℓ cos(2π

Lℓx) + b′ℓ sin(

2π

Lℓx))


g(x) =d

dxf (x)

a′ℓ =2

L

∫ L/2

−L/2

dx g(x) cos(2π

Lℓx)

=2

L

∫ L/2

−L/2

dx (d

dxf (x)) cos(

2π

Lℓx)

=2

L

[f (x) cos(

2π

Lℓx)

]L/2−L/2

+2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2

dx f (x) sin(2π

Lℓx)

=2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2

dx f (x) sin(2π

Lℓx)

=2π

Lℓ bℓ


g(x) =d

dxf (x)

b′ℓ =2

L

∫ L/2

−L/2

dx g(x) sin(2π

Lℓx)

=2

L

∫ L/2

−L/2

dx (d

dxf (x)) sin(

2π

Lℓx)

=2

L

[f (x) cos(

2π

Lℓx)

]L/2−L/2

− 2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2

dx f (x) cos(2π

Lℓx)

= −2πℓ

L

2

L

∫ L/2

−L/2

dx f (x) cos(2π

Lℓx)

= −2π

Lℓ aℓ


g(x) =d

dxf (x)

a′ℓ =2π

Lℓ bℓ

b′ℓ = −2π

Lℓ aℓ


f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

g(x) =d

dxf (x)

=d

dx

(1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

)

=d

dx

( ∞∑ℓ=1

(aℓ cos(2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx))

)


ここで、無限級数と微分の順番を入れ替えた関数を考える。

g(x) =

∞∑ℓ=1

(aℓ

d

dxcos(

2π

Lℓx) + bℓ

d

dxsin(

2π

Lℓx)

)=

∞∑ℓ=1

(−2πℓ

Laℓ sin(

2π

Lℓx) +

2πℓ

Lbℓ cos(

2π

Lℓx)

)=

∞∑ℓ=1

(2πℓ

Lbℓ cos(

2π

Lℓx)− 2πℓ

Laℓ sin(

2π

Lℓx)

)a′ℓ =

2π

Lℓ bℓ

b′ℓ = −2π

Lℓ aℓ

なので

= g(x)



g(x) =d

dxf (x) : 区分的に滑らかな関数

f (x + L) = f (x)

f (x)のフーリエ級数を、項別微分した級数は、f (x)の導関数のフーリエ級数と一致する。

f (x)のフーリエ級数は項別微分可能

a′ℓ =2π

Lℓ bℓ

b′ℓ = −2π

Lℓ aℓ

例えば

f (x + L) = f (x)

f (x) = |x|

f (x) =L

2+

∞∑ℓ=1

−2L

π2(2ℓ− 1)2cos(

2π(2ℓ− 1)

Lx)

g(x + L) = g(x)

g(x) =d

dxf (x)

=

{−1, −L/2 < x < 0

1, 0 < x ≤ L/2

g(x) =

∞∑ℓ=1

−2L

π2(2ℓ− 1)2−2π(2ℓ− 1)

Lsin(

2π(2ℓ− 1)

Lx)

=

∞∑ℓ=1

4

π(2ℓ− 1)sin(

2π(2ℓ− 1)

Lx)



f (x + L) = f (x)

f (x) =

∞∑ℓ=−∞

Cℓ exp(i2π

Lℓx)

Cℓ =1

L

∫ L/2

−L/2


Lℓx′)

g(x) =d

dxf (x)

g(x) =

∞∑ℓ=−∞

i2π

LℓCℓ exp(i

2π

Lℓx)

フーリエ級数の積分

f (x) : 区分的に滑らかな関数

f (x + L) = f (x)

f (x) =1

2a0 +

∞∑ℓ=1

(aℓ cos(

2π

Lℓx) + bℓ sin(

2π

Lℓx)

)1

2a0 =

1

L

∫ L/2

−L/2

dx′ f (x′)

F (x) =

∫ x

−L/2

dx′ f (x′)

a0 = 0のとき F (L/2) = 0

G(x) =

∫ x

−L/2

dx′ f (x′)− 1

2a0(x +

L

2)

G(−L/2) = G(L/2) = 0

G(x + L) = G(x)

G(x) : 区分的に滑らかな連続関数



f (x + L) = f (x)

g(x) = f (x)− 1

2a0

g(x)を項別積分した級数は、 G(x)のフーリエ級数G(x)に一致する。

G(x) は区分的に滑らかな連続関数なので

G(x) = G(x)

F (x) =

∫ x

−L/2

dx′ f (x′)

=

∫ x

−L/2

dx′ g(x′) +1

2a0(x +

L

2)

なので

区分的に滑らかな関数のフーリエ級数は、項別積分可能



f (x + L) = f (x)

d

dxg(x) = f (x)

f (x) =

∞∑ℓ=−∞

Aℓ exp(i2π

Lℓx)

g(x) = g(x)

=

∞∑ℓ=−∞

Bℓ exp(i2π

Lℓx)

Bℓ =L

2πi ℓAℓ (ℓ = 0)

B0 =x

L

∫ L/2

−L/2

dx′f (x′) + C

フーリエ解析frontier.phys.kyushu-u.ac.jp/kawai/butsurisuugaku2/...例えば、三角関数によるデルタ関数の構成...

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