given the shortcomings of solvency i, solvency ii is born with the aim of measuring the solvency of...

INSTITUT DE SCIENCE FINANCIERE ET D’ASSURANCES Domaine Scientifique de Gerland 50 Avenue Tony Garnier – 69366 LYON CEDEX 07 Tél. (33) 04.37.28.74.40 – Fax (33) 04.37.28.76.32 E-mail : [email protected]

Mémoire présenté

devant l’Institut de Science Financière et d’Assurances

le 23 septembre 2009

pour l’obtention du

Master Recherche Sciences Actuarielle et Financière

Par : Samia NOUAR

Titre : QIS4 : À quel quantile de la distribution des charges restant à payer correspondent les

provisions techniques évaluées selon la quatrième étude d’impact quantitatif ?

Confidentialité (si oui préciser la durée) :

Composition du jury des mémoires : Entreprise :

Membres du jury des mémoires

M.

Mme

AUGROS Jean-Claude

DOROBANTU Diana

M. LAURENT Jean-Paul Directeur de mémoire :

M. LEBOISNE Nicolas M. PLANCHET Frédéric

M. LOISEL Stéphane

M. PLANCHET Frédéric

M. QUITTARD-PINON François

M. RULLIERE Didier

M. TCHAPDA Idriss

Invité : Secrétariat :

Mme BARTHELEMY Diane

Mme BRUNET Marie Mme GARCIA Marie-José Mme GHAZOUANI Soundous Mme MOUCHON Marie-Claude

Bibliothèque : Mme SONNIER Michèle

Résumé

Face aux faiblesses de Solvabilité I, le projet Solvabilité II est né avec l'ambi-tion de mesurer la solvabilité d'un organisme assureur en fonction de son pro�lde risque. Ainsi, Solvabilité II introduit des modi�cations profondes, notammentpour l'évaluation des provisions techniques.En e�et, la méthode d'évaluation du Best Estimate du montant des provisionsavec des hypothèses prudentes est remplacée par un Best Estimate évalué avecdes hypothèses réalistes auquel on ajoute une marge pour risque.Pour des raisons d'ordre pratique, la quatrième étude d'impact quantitatif (QIS4)propose d'évaluer cette marge pour risque dans une logique �Coût du Capital�(CoC). Mais cette approche possède un inconvénient : la position des provisionspar rapport à un quantile de la distribution des sinistres est inconnue.

Par conséquent, l'objet de ce mémoire sera de positionner les provisions tech-niques déterminées selon QIS4 par rapport à un quantile de la distribution dessinistres.Pour atteindre cet objectif, nous déterminerons le distribution des charges ul-times par deux méthodes stochastiques :

� la méthode de simulation de Monte Carlo,� le Bootstrap.

Puis, grâce au modèle de Mack, nous déterminerons la volatilité des chargesultimes données par la méthode déterministe de Chain Ladder. Ainsi en émet-tant une hypothèse de distribution nous pourrons évaluer le quantile recherché.En assurance non-vie, les charges ultimes sont généralement modélisées par unedistribution normale ou lognormale. Nous considérerons ces deux distributions.Pour sa simplicité d'interprétation le quantile que l'on choisira sera la Value-at-Risk. En e�et, elle nous permettra d'obtenir une estimation de la probabilitéque le coût total des sinistres dépasse le montant des provisions déterminéesdans la logique CoC.En�n, en appliquant cette démarche à un portefeuille d'assurance appartenantà la branche �RC AUTO Corporelle� nous aurons un support quantitatif quinous permettra de conclure.

Mots clés : QIS4, Solvabilité II, Marge pour risque, Provisions techniques,Value-at-Risk, Chain Ladder, Modèle de Mack, Monte Carlo, Bootstrap.

ii

Abstract

Given the shortcomings of Solvency I, Solvency II is born with the aim ofmeasuring the solvency of an insurer according to its risk pro�le.Thus, Solvency II brings profound changes especially concerning the assessmentof technical provisions.Indeed, the evaluation method of the Best Estimate of provisions with conser-vative assumptions is replaced by a Best Estimate evaluated with realistic as-sumptions which we add a risk margin.For practical reasons, the fourth quantitative impact study (QIS4) aims to assessthis risk margin by an approach of �Cost of Capital� CoC. But this approachhas a disadvantage : the position of reserves compared to a percentile of thedistribution of claims is unknown.

Therefore, the purpose of this paper is to position the technical provisionsdetermined according to QIS4 compared to a percentile of the distribution ofclaims.To achieve this goal, we will determine the ultimate loads distribution by twostochastic methods :

� the simulation method of Monte Carlo� the Bootstrap

Then, using the Mack's model, we will determine the volatility of the ultimateloads given by the deterministic method of Chain Ladder. Thus, by consideringa distribution hypothesis we will be able to estimate the desired percentile.In non-life insurance, the ultimate loads are usually modeled by a normal orlognormal distribution. We will consider these two distributions.For its ease of interpretation the percentile that we will choose will be the Value-at-Risk. Indeed, it will give us an estimate of the probability that the total costof claims exceeds the amount of provisions determined according to the CoClogic.Finally, applying this approach to an insurance portfolio belonging to the LoB�Motor, third-party liability�, we will have quantitative data to conclude.

Key words : QIS4, Solvency II, Risk Margin, Technical Provisions, Value-at-Risk, Chain Ladder, Mack's model, Monte Carlo, Bootstrap.

iii

Table des matières

Résumé ii

Abstract iii

Introduction vii

I De Solvabilité IàSolvabilité II 1

1 Solvabilité I : normes actuelles de l'Union Européenne 21.1 Marge de solvabilité sous Solvabilité I . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Calcul de MCS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Calcul de EMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Les critiques à l'encontre de Solvabilité I . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Solvabilité II : une réforme radicale pour le secteur de l'assu-rance 52.1 L'origine et les phases de travail de Solvabilité II . . . . . . . . . 52.2 Les trois pilliers de Solvabilité II . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Les exigences quantitatives de Solvabilité II . . . . . . . . . . . . 6

3 Les études d'impact quantitatif 93.1 La première étude d'impact quantitatif (QIS1) . . . . . . . . . . 93.2 La deuxième étude d'impact quantitatif (QIS2) . . . . . . . . . . 93.3 La troisième étude d'impact quantitatif (QIS3) . . . . . . . . . . 103.4 La quatrième étude d'impact quantitatif (QIS4) . . . . . . . . . . 10

II Provisions Techniques dé�nies dans QIS4 12

4 Best Estimate 144.1 L'actualisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2 L'horizon de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Les hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 L'in�ation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.5 Les frais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.6 La �scalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

iv

TABLE DES MATIÈRES v

4.7 Les créances des contrats réassurance et des véhicules de titrisation 154.8 Primes futures des contrats en cours . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Marge pour risque : nouvelle composante des provisions tech-niques 185.1 Calcul de la marge pour risque dans la logiques CoC . . . . . . . 18

5.1.1 Le coût du capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.1.2 Les risques à prendre en compte . . . . . . . . . . . . . . 195.1.3 Modalités de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

6 Capital de Sovabilité Requis : formule standard 216.1 Organisation modulaire du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.2 Calcul du SCR global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6.2.1 Calcul de SCRop : Risque opérationnel . . . . . . . . . . 236.2.2 Calcul de l'Ajustement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236.2.3 Calcul de BSCR : SCR de base . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.3 Paramètres spéci�ques à l'entreprise . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7 Méthodes actuarielles simpli�ées pour l'évaluation de la margepour risque 297.1 Simpli�cations pour la marge pour risque . . . . . . . . . . . . . 30

7.1.1 Conditions d'utilisation des méthodes actuarielles simpli�ées 307.1.2 Simpli�cations - Proposition 1 . . . . . . . . . . . . . . . 307.1.3 Simpli�cations - Proposition 2 . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2 Approximation de la marge pour risque . . . . . . . . . . . . . . 327.2.1 Conditions d'utilisation de l'approximation . . . . . . . . 327.2.2 Présentation de l'approximation . . . . . . . . . . . . . . 33

III Méthodes de provisionnement stochastiques 34

8 Les méthodes de Chain Ladder 368.1 La méthode déterministe de Chain Ladder . . . . . . . . . . . . . 36

8.1.1 Principes de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368.1.2 Limites de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8.2 Le modèle de Mack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.1 Présentation du modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388.2.2 Calcul de l'erreur standard et construction d'un intervalle

de con�ance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

9 Méthodes de provisionnement stochastiques basées sur des si-mulations 439.1 Les techniques de simulation de Monte Carlo . . . . . . . . . . . 439.2 Méthode non paramétrique : la méthode du Bootstrap . . . . . . 44

9.2.1 Principe de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449.2.2 Algorithme de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

TABLE DES MATIÈRES vi

IV Application à un portefeuille d'assurance automo-bile 48

9.3 Evaluation du Best Estimate actualisé . . . . . . . . . . . . . . . 509.4 Evaluation de la marge pour risque . . . . . . . . . . . . . . . . . 539.5 Détermination du quantile correspondant au montant de provi-

sions évalué dans la logique CoC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.5.1 Méthode de simulation de Monte Carlo . . . . . . . . . . 569.5.2 Modèle de Mack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579.5.3 Méthode du Bootstrap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

9.6 Synthèse des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

A Algorithme de De Moro 65

B Démonstrations des théorèmes relatifs au modèle de Mack 67B.1 Preuve du théorème 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67B.2 Preuve du théorème 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

Introduction

La réglementation de l'Union Européenne en matière de solvabilité vise àgarantir que les entreprises d'assurances sont �nancièrement solides et capablesde faire face à des circonstances défavorables, a�n de protéger les assurés etl'ensemble du système �nancier.Mais le régime de solvabilité actuel existe depuis plus de 30 ans et les marchés�nanciers se sont développés de façon spectaculaire ces dernières années, ce quia engendré une profonde divergence entre la réalité du secteur des assurancesaujourd'hui et sa réglementation.Une première réforme a été Solvabilité I, dont les normes de solvabilité sontencore appliquées en Europe. Cependant, l'intensi�cation de la concurrence etles transformations du secteur accentuant les tensions qui s'exercent sur lesentreprises d'assurance ont justi�é un renfort du contrôle prudentiel, a�n d'o�rirune protection toujours satisfaisante aux assurés.

Notamment, dans le système actuel, les montants de provisions sont détermi-nés par des méthodes déterministes prudentes (méthodes et hypothèses conser-vatrices d'estimation de la charge ultime de sinistres, absence d'actualisation enassurance non-vie, actulisation à un taux réglementé en assurance vie, utilisationde tables de mortalités réglementées, etc.). Ces hypothèses prudentes reviennentà charger arti�ciellement les provisions techniques, mais cette prudence n'étantpas quanti�ée, cette méthode est remise en cause dans les discussions actuellesqui préconisent une évaluation en Fair Value (valeur de marché).En ce qui concerne l'exigence minimale de fonds propres, les assureurs doiventdisposer d'un niveau de fonds propres et de plus-values latentes sur les place-ments �nanciers supérieur à une exigence de marge de solvabilité qui est ex-primée en pourcentage des provisions mathématiques en assurance vie, et enpourcentage des primes perçues ou des sinistres payés en assurance non-vie.Ce système est donc entièrement déterministe et ne tient pas compte du risqueréellement supporté par la compagnie. En particulier, deux organismes assu-reurs ayant des pro�ls de risque très di�érents mais des éléments comptablessimilaires auront une même exigence de capitaux propres.

vii

INTRODUCTION viii

Ainsi, Solvabilité II introduit des modi�cations profondes par rapport auxrègles prudentielles actuelles en mettant la gestion des risques au coeur du sys-tème et notamment en procédant à une mise à jour des risques suceptiblesd'a�ecter signi�cativement la santé �nancière d'une compagnie d'assurance.En particulier, Solvabilté II propose une toute autre façon de déterminer lesprovisions techniques. Solvabilité II a l'ambition de rendre la marge de pru-dence explicite et quanti�ée en remplaçant l'évaluation du Best Estimate sousdes hypothèses prudentes par l'évaluation du Best Estimate sous des hypothèsesréalistes auquel on ajoutera une marge pour risque.Cette marge pour risque représente le capital nécessaire au solde des opérationsréalisées en cas de transfert des engagements. Ainsi l'ajout de cette quantitéà la meilleure estimation (Best Estimate) des provisions permet d'obtenir uneestimation de la valeur de marché de ces provisions (Fair Value).Le Best Estimate est égale à l'espérance des �ux futurs actualisés au taux sansrisque (les �ux étant évalués avec des hypothèses réalistes). L'évaluation de lamarge pour risque, quant à elle peut se faire selon di�érentes approches. Pourdes raisons d'ordre pratique le modèle standard (cf. QIS4 - Spéci�cations tech-niques) retient la méthode dite du �coût du capital� (CoC). L'avantage de cetteméthode est de permettre en théorie un transfert simple des engagements d'unassureur vers un autre. Cependant, l'inconvénient majeur de cette approche estque l'on ne possède aucune information quant à la position de la provision parrapport à un quantile de la distribution des sinistres.

Par conséquent, l'objectif principal de ce mémoire est de positionner lesprovisions techniques déterminées selon QIS4 par rapport à un quantile de ladistribution des charges restant à payer.Ainsi, après avoir détailler les modalités d'évaluation des provisions techniquesselon la logique CoC, nous consacrerons une partie à l'étude de méthodes sto-chastiques permettant d'estimer le quantile recherché. Dans une dernière partienous appliquerons l'ensemble de ces méthodes à un portefeuille d'assurance Au-tomobile a�n d'avoir un support quantitatif permettant de tirer des conclusions.Mais tout d'abord nous ferons un bref rappel quant aux faiblesses du régime desolvabilité actuel (Solvabilité I) et aux ambitions du nouveau système qui luisuccédera dans un futur très proche.

Précisons que l'étude de ce mémoire se limitera à l'assurance non-vie et touteréférence aux provisions techniques sous-entendra les provisions pour sinistres àpayer (PSAP).

Première partie

De Solvabilité I

à

Solvabilité II

1

Chapitre 1

Solvabilité I : normes actuelles

de l'Union Européenne

En Europe, le régime actuel repose sur un cadre législatif datant des années70 et ayant fait l'objet d'un réexamen en 2002 , constituant le régime commu-nément appelé Solvabilité I.La réforme Solvabilité I s'est concentrée sur la marge de solvabilité.

1.1 Marge de solvabilité sous Solvabilité I

La marge de solvabilité est la réserve de capital supplémentaire que les insti-tutions d'assurance doivent détenir pour pouvoir faire face à des événementsinattendus.

Le ratio entre la marge de solvabilité constituée au bilan (MSC) et l'exigencede marge de solvabilité réglementaire (EMS) est l'élément sur lequel se base lesautorités de contrôle pour déterminer la solvabilité de l'entreprise.L'organisme d'assurance sera solvable si ce ratio (MSC/EMS) est supérieur à 1.

Détaillons le calcul des deux éléments de ce ratio :

1.1.1 Calcul de MCS

Une formule simpli�ée de cette marge de solvabilité est

MSC = SNC + PVL + Rappels de cotisations des mutuelles.

oùSNC est la situation nette comptable ou les capitaux propres

PVL est la plus-value latente des placements (excédent de l'estimation

du montant de cession par rapport à la valeur d'acquisition

Cette marge est corrigée d'éventuels rappels de cotisations pour le sociétés demutuelles d'assurance dont les cotisations des assurés sont variables.

2

CHAPITRE 1. SOLVABILITÉ I : NORMES ACTUELLES DE L'UNION EUROPÉENNE3

1.1.2 Calcul de EMS

La marge de solvabilité réglementaire (EMS) vise à dé�nir le montant desfonds propres indispensable à l'activité courante de l'organisme assureur, quivient s'ajouter aux provisions techniques a�n de garantir la solvabilité e�ectivede l'entreprise en cas de survenance d'un évenement exceptionnel.Elle est directement dépendante du volume d'a�aires souscrites. En e�et, ellereprésente un pourcentage du montant des provisions techniques, du montantdes primes ou ou du montant des sinistres.

1. Exigence de marge de solvabilité en assurance non-vie

La marge de solvabilité en non-vie est calculée en pourcentage du mon-tant des primes ou du montant des sinistres. Pour cela, la réglementationexige une dotation à hauteur soit de l'indice de primes, soit de l'indice desinistres, le plus élevé étant retenu.Ces indices sont calculés de la façon suivante :

� Indice de primes={18% de la première tranche de 50 millions d'eu-ros des primes brutes + 16% des primes brutes restantes }× taux derétention

� Indice de sinistres={26% de la première tranche de 35 millions d'eu-ros des sinistres bruts + 23% des sinistrees bruts restants }× taux derétention

Remarque 1 (a) Le taux de rétention est égal au rapport entre les si-nistres nets (après déduction de la réassurance) et la moyenne dessinistres bruts sur trois ans (Ce taux doit être de 50% minimum).

(b) La part réassurée peut être déduite partiellement du montant de lamarge, elle ne pourra réduire le résultat de plus de 50%.

CHAPITRE 1. SOLVABILITÉ I : NORMES ACTUELLES DE L'UNION EUROPÉENNE4

2. Exigence de marge de solvabilité en assurance vie

La marge de solvabilité en assurance vie est la somme des deux termessuivants :

� 4% des provisions mathématiques avec possibilité de déduire partielle-ment la part réassurée

� un pourcentage variant de 0.1% à 0.3% des capitaux sous risques enfonction de la durée de l'engagement

On notera que dans cette logique la même marge de solvabilité réglemen-taire sera exigée pour produit d'assurance vie béné�ciant de taux garantisdi�érents. La capacité de l'assureur à honorer le taux o�ert n'est aucune-ment pris en compte.

Cette méthode est simple d'application mais suscite néanmoins de nom-breuses critiques.

1.2 Les critiques à l'encontre de Solvabilité I

Le système actuel présente un certain nombre de faiblesses qui prouvent le besoind'une évolution de la réglementation :

� Le passé est l'unique référence dans l'évaluation de la solvabilité d'unecompagnie d'assurance, ainsi il est supposé que la passé va se reproduire.

� La marge de solvabilité est calculée selon des facteurs représentatifs desengagements ou du volume d'a�aires souscrites et non pas en fonctiondes risques assumés par les organismes assureurs. Or, les di�érentes lignesd'activité présentent des pro�ls de risque très di�érents.

� Le risque relatif aux actifs, notamment aux investissements des montantsen représentation des provisions techniques, n'apparaît pas dans le calculdes fonds propres. Supposons les portefeuilles d'actifs de deux compagniesd'assurance composés uniquement d'actions et d'obligations dans des pro-portions di�érentes.La compagnie, avec une proportion plus élévée d'actions a un pro�l derisque plus élévé. Cet aspect n'est pas pris en compte dans le calcul desfonds propres. Ainsi, les assureurs plus prudents se trouvent pénalisés parrapport à leurs concurrents, car ils immobilisent plus de capital dans leursprovisions techniques et sont donc soumis a des exigences plus strictes enmatière de solvabilité.

� Les transferts de risque, tels que la réassurance ou la titrisation ainsi queles corrélations entre les actifs et les passifs ne sont également pas pris encompte.

Ainsi les principaux défauts de Solvabilité I d'imposer une prudence di�cilementquanti�able, donc di�cilement justi�able et d'ignorer le pro�l de risque propreà chaque organisme assureur.

Chapitre 2

Solvabilité II : une réforme

radicale pour le secteur de

l'assurance

En 2001, la Commission Européenne a lancé le projet Solvabilité II visant à�xer un nouveau cadre prudentiel pour l'ensemble des organismes d'assuranceeuropéens dont le principe est simple :

� chaque assureur et réassureur doit être à même de comprendre les risquesinhérents à son activité a�n de pouvoir allouer su�samment de capital pour lescouvrir �.

2.1 L'origine et les phases de travail de Solvabi-lité II

En 1997, le rapport Müller présente un premier travail de ré�exion approfon-die sur la solvabilité des organismes d'assurance entrepris par la Conférence desServices de Contrôle des Assurances des Etats Membres de l'Union Européenne.Ce rapport, qui jugeait le système de solvabilité européen globalement satisfai-sant proposait tout de même un certain nombre d'améliorations, notammentconcernant les règles de marge de solvabilité.

L'élaboration des nouvelles normes ont nécessité deux phases de travaux :� Phase I : Ré�exion sur la forme globale du futur système européen desolvabilité.

� Phase II : Mise en place de méthodes d'évaluation des di�étrents risquesencourus par les compagnies d'assurance.

La phase I a aboutit à l'élaboration d'un système fondé sur une structure à troispilliers, à l'image de la réglementation du secteur bancaire Bâle II.

5

CHAPITRE 2. SOLVABILITÉ II : UNE RÉFORMERADICALE POUR LE SECTEURDE L'ASSURANCE6

2.2 Les trois pilliers de Solvabilité II

Le projet Solvabilité II est organisé en trois pilliers :

1. Le pillier 1, intitulé exigences quantitatives, a pour objectif de dé�nir desseuils quantitatifs aussi bien pour les provisions techniques que pour lesfonds propres.

Deux niveaux de fonds propres sont dé�nis : le Capital Minimum Requis(MCR) et le Capital de Solvabilité Requis ou Capital Cible (SCR) :� le MCR représente le niveau minimum de fonds propres en-dessous du-quel l'intervention de l'autorité de contrôle sera automatique ;

� le SCR représente le capital cible nécessaire pour absorber le choc pro-voqué par une sinistralité exceptionnelle.

2. Le pillier 2, appelé exigences qualitatives, �xe des règles de gestion desrisques, en particulier concernant la gouvernance d'entreprise, le contrôleinterne, les rapports avec les autorités de tutelle et la validation de mo-dèles internes.L'identi�cation des sociétés les plus risquées est un objectif de SolvabilitéII et les autorités de contrôle auront en leur pouvoir la possibilité de récla-mer à ces sociétés de détenir un capital plus élevé que le montant suggérépar le calcul du SCR ou de réduire leur exposition aux risques.

3. Le pillier 3, nommé discipline de marché, expose le règlementation de lapublication d'informations �nancières et le reporting aux superviseurs, auxagences de notation et aux acteurs de marché.L'objectif est notamment de progresser vers une coordination et une har-monisation des informations di�usées dans les Etats membres à di�érentsniveaux (assurés, marchés, autorités de contrôle).

Dans le cadre de ce mémoire, seules les exigences quantitatives vont nous inté-resser.

2.3 Les exigences quantitatives de Solvabilité II

Le schéma suivant représente de façon simpli�ée le bilan d'une compagnie d'as-surance en y a�ectant les exigences quantitatives de Solvabilité II.


Figure 2.1 � Représentation des exigences quantitatives de Solvabilité II


Comme le montre la représentation simpli�ée ci-dessus, lors de l'évaluation desprovisions techniques une distinction est faite entre les passifs réplicables (hed-geable) et les passifs non-réplicables( non-hedgeable).

On rapelle qu'un passif est réplicable si les �ux qu'il engendre peuvent êtreparfaitement répliqués et couverts par des actifs �nanciers disponibles sur unmarché liquide et transparent.

Un des principes phares de Solvabilité II est d'attribuer, dès que cela est possible,aux actifs et aux passifs leurs prix de marché. Ainsi, lorsque les passifs sontréplicables, la valeur actuelle du portefeuille répliquant valorisera ces passif. Onparle d'évaluation �marked to market�.

Dans le cas de passifs non-réplicables, les provisions techniques seront égales àla somme du Best Estimate et de la marge pour risque.

Notre étude sur limitera à l'évaluation de provisions techniques pour des risquesmutualisables (non couvrables) et la marge pour risque sera calculé selon la mé-thode Cost of Capital (CoC) proposée par la quatrième étude d'impact quanti-tatif (QIS4).

Avant d'entreprendre l'évaluation de cette marge pour risque dans la logiqueCoC, faisons un bref rappel sur les études d'impact quantitatif réalisées jusqu'àprésent.

Chapitre 3

Les études d'impact

quantitatif

Pour préparer sa proposition de directive et les mesures d'application quis'étaleront à �n 2010, la Commission européenne a con�é au Comité européendes contrôleurs d'assurance (CEIOPS) des études d'impact (QIS) auprès desorganismes d'assurance. Ces études ont permis de recueillir des avis techniquessur les orientations et les méthodologies proposées.

3.1 La première étude d'impact quantitatif (QIS1)

QIS1 a porté sur l'évaluation des provisions techniques et avait pour objectifsde

� comparer les niveaux de prudence des provisions techniques actuelles ;� s'informer sur les méthodes utilisées par les assureurs pour calculer cesprovisions.

Cette première étude d'impact quantitatif visait donc à comparer les provisionsévaluées selon les principes de Solvabilité I aux provisions valorisées selon l'ap-proche �Best estimate + Marge pour risque�.

La marge pour risque était évaluée selon une approche �quantile� et le niveaude con�ance variait entre les trois valeurs suivantes : 60%, 75% et 90%.Aussi en assurance non-vie, la valorisation était faite avec et sans actualisation.

Les constats dégagés de cette étude sont :� une di�érence très faible entre les trois niveaux de con�ance testés (60%,75%, 90%) ;

� un impact relativement important de l'actualisation en assurance non-vie.

3.2 La deuxième étude d'impact quantitatif (QIS2)

QIS2, lancé début mai 2006, s'interroge d'avantage sur la structure et lafaisabilité des approches que sur le calibrage des méthodes.Ses objectifs étaient de :

9

CHAPITRE 3. LES ÉTUDES D'IMPACT QUANTITATIF 10

� tester la faisabilité des méthodes de valorisation ;� évaluer leurs impacts sur le bilan ;� évaluer les nouvelles règles de calcul de solvabilité ;� recueillir des informations quantitatives et qualitatives sur la pertinencedes approches envisagées pour l'évaluation du SCR.

Il en sort de cette étude que la plupart des compagnies d'assurance répondentaux exigences de Capital de Solvabilité Requis selon les critères du QIS2.

3.3 La troisième étude d'impact quantitatif (QIS3)

QIS3 s'est déroulée d'avril à novembre 2007. Ses objectifs principaux étaitde fournir :

� des indications sur les principes calculatoires,� un calibrage de formule standard pour l'évaluation du SCR,� une méthode de calcul du MCR.

Aussi cette étude avait pour but d'obtenir une première approche quantitativedes exigences en capital et de traiter la problématique relative aux groupesd'assurance et aux béné�ces de diversi�cation sous-jacents.

3.4 La quatrième étude d'impact quantitatif (QIS4)

La quatrièmes étude d'impact quantitatif, celle qui va nous intéresser dansce mémoire, s'est déroulé d'avril à juillet 2008.Le CEIOPS, le comité composé de représentants des autorités de contrôle despays membres de l'Union Européenne, a publié la version dé�nitive de cetteétude le 1er avril dernier.

Ses objectifs sont principalement les suivants :

� Fournir des informations détaillées quant à l'impact sur le bilan des assu-reurs et des réassureurs qu'engendrera la passage de Solvabilité I à Solva-bilité II et évaluer la faisabilité des calculs ;

� Encourager les assureurs, les réassureurs et les superviseurs à se préparerà l'arrivée de Solvabilité II.

L'étude QIS4 a porté une attention particulière aux points suivants :

� Fournir une méthodologie de calcul simpli�ée et compréhensible pourl'évaluation des provisions techniques et du SCR, qui intégre la possi-bilité d'utiliser des paramètres spéci�ques à l'entreprise ;

� La problématique des groupes quant aux exigences de capital ;

� La comparabilité des résultats entre les SCR fournis par la formule stan-dard et ceux issus des modèles internes ;

� Le calcul du MCR (description et calibration).

CHAPITRE 3. LES ÉTUDES D'IMPACT QUANTITATIF 11

QIS4 sera notre support pour l'évaluation des provisions techniques en termesde best estimate évalué sous des hypothèses réalistes plus une marge pour risqueévaluée dans la logique CoC.

Deuxième partie

Provisions Techniques dé�nies

dans QIS4

12

13

Les provisions techniques doivent être égales au montant permettant untransfert des engagements d'un assureur vers un autre, dans des conditions deconcurrence normales, ce dernier étant informé et consentant.L'évaluation devra être prudente, �able, objective et devra tenir compte desinformations données par les marchés �nanciers.

Le calcul des provisions techniques se fait par branche. En assurance non-vie,la segmentation est la suivante :

1. Accident et maladie - indemnités journalières

2. Accident et maladie - assurance maladie

3. Accident et maladie - autres risques non compris dans les deux lignes d'activité précédentes

4. Automobile, résponsabilité civile

5. Automobile, autres branches

6. Marine, aviation et transport

7. Incendie et autres dommages aux biens

8. Responsabilité civile9. Crédit et caution

10. Protection juridique

11. Assistance12. Divers assurance non-vie

Le montant des provisions techniques est égal à la somme du Best Estimate etde la marge pour risque. Ces deux quantités doivent être évaluées séparément.

Jusqu'à présent les provisions techniques étaient déterminées par la Value-at-Risk à 75% de la distribution de probabilité des charges ultimes, jusqu'à la liqui-dation. QIS4 abandonne l'évaluation des provisions techniques par la V aR75%

au pro�t de la méthode CoC.Ces deux méthodes présentent néenmoins un point commun, qui est de capturerl'incertitude des provisions techniques sur toute la durée de vie des engagements.

Chapitre 4

Best Estimate

Dans ce chapitre, nous allons décrire et détailler les principes d'évaluationdu Best Estimate.Par dé�nition, le best estimate est égal à la valeur actuelle propable de tous lesfuturs �ux de trésorerie potentiels (moyenne pondérée par leur probabilité des�ux de trésorerie futurs).Ainsi, pour calculer le Best estimate, la principale mission de l'organisme assu-reur sera d'évaluer tous les futurs �ux de trésorerie susceptibles d'être encouruspour honorer les engagements faits aux assurés.

Le Best Estimate des Provisions pour Sinistres à Payer (PSAP) doit être dé-terminé selon des méthodes actuarielles et des techniques statistiques adéquateset reposer sur des hypothèses réalistes. Dans QIS4 les assureurs sont encouragésà utiliser des paramètres spéci�ques à leurs activités, notamment en assuranceIARD.QIS4 n'introduit pas de nouvelles techniques d'évaluation du Best Estimate,le grand changement étant le remplacement des hypothèses prudentes par deshypothèses réalistes. Notamment la prise en compte de la valeur temporelles del'argent sera l'une des nouvelles hypothèses qui impacteront le plus le montantdes provisions techniques.

Les assureurs devront néanmoins décrire la méthode actuarielle qu'ils aurontchoisi et leur évaluation devra respecter les principes suivants :

4.1 L'actualisation

L'actualisation des futurs �ux de trésorerie se fera selon la courbe des taux sansrisque établie à partir des taux de swap.

4.2 L'horizon de projection

L'horizon de projection retenu doit être su�samment long pour prendre encompte tous les �ux de trésorerie importants qui découleront des engagementspris.

14

CHAPITRE 4. BEST ESTIMATE 15

4.3 Les hypothèses

Le calcul du Best Estimate reposera sur des informations actuelles, crédibles etcohérentes avec le marché.L'évaluation des futurs �ux de trésorerie doit tenir compte des évolutions dé-mographiques, juridiques, médicales, technologiques, sociales ou économiquesattendues.

4.4 L'in�ation

Des hypothèses quant à l'in�ation futures doivent être émises pour la projectiondes �ux futurs.L'in�ation de base sous-jacente, c'est-à-dire sans prise en compte des caracté-ristiques spéci�ques, devra être conforme au marché. Puis il sera ajouté à cettein�ation sous-jacente le montant nécessaire pour tenir compte des caractéris-tiques propres aux �ux de trésorerie.

4.5 Les frais

Les frais représente un �ux de trésorerie pour lequel il est nécessaire de calculerune provision technique. Des hypothèses quant aux augmentations futurs descharges doivent être établiees.De plus, lorsque les dépôts et les primes de renouvellement futurs entrent dansle calcul du Best Estimate, les frais qui en découlent doivent être pris en compte.

4.6 La �scalité

Les organismes assureurs doivent partir du principe que l'introduction aux nou-velles normes de Solvabilité II est sans e�et sur la �scalité. Cependant, si des mo-di�cations �scales été décidées, les ajustements devraient être immédiatementpris en compte , même si ces modi�cations n'étaient pas encore appliquées.

4.7 Les créances des contrats réassurance et desvéhicules de titrisation

Le Best Estimate doit être calculé sans déduction de réassurance et des véhi-cules de titrisation. Les créances de réassurance et de véhicules de titrisationdoivent être indiquées séparément et doivent être ajustées au titre du défaut decontrepartie.Par conséquent, une évaluation de la probabilité que la contrepartie fasse défauts'avère nécesaire, aussi il est demandé de déterminer les pertes que causerait cetéventuel défaut.L'ajustement au titre de la perte attendue sera calculée séparément pour chaquecontrepartie, à moins que la probabilité de défaut et la perte que causerait unedéfaillance coïncident pour plusieurs contreparties.


L'évaluation doit tenir compte de la duration des passifs réassurés. Nous rap-pelons que la duration d'un instrument �nancier à taux �xe est la durée de viemoyenne de ses �ux �nanciers pondérée par leur valeur actualisée.

Si la probabilité de défaut de la contrepartie est étroitement liée au mon-tant à payer à la compagnie d'assurance alors on peut utiliser la probabilité dedéfaut moyenne, qui sera pondérée par le produit du montant à payer et de laprobabilité de l'exigibilité de ce montant.

Illustrons cela par un exemple. Soit un contrat de réassurance prévoyantpour le réassureur les montants à payer suivants :{

100 avec une probabilité de 99%10000 avec une probabilité de 1%

Le Best Estiamte du montant recouvrable est

99%× 100 + 1%× 10000 = 199.

Supposons que le réassureur soit en mesure de payer le montant de 100, mais qu'ilne puisse pas payer 10000. En�n, admettons que la perte en cas de défaillances'élève à 50%.

Alors, la probabilité de défaut, que l'on notera PD, est donnée par l'expres-sion suivante :

PD =99%× 100× 0% + 1%× 10000× 100%

99%× 100 + 1%× 10000≈ 50, 25%.

Nous sommes maintenant en mesure d'évaluer la perte attendue :

199× PD × perte en cas de défaillance = 199× 50, 25%× 50% = 50.

La valeur par défaut de la perte en cas de défaillance est 50% des montantsrecouvrables.

Simpli�cation. Il existe un calcul simpli�é de la perte attendue, mais deuxconditions sont à véri�er pour pouvoir l'appliquer :

1. la perte attendue selon la formule simpli�ée donne un résultat inférieur à5% des créances avant ajustement au titre du défaut de contrepartie

2. l'approximation est proportionnelle à la nature, l'ampleur et la complexitédes risques encourus par la compagnie

Le calcul simpli�é est donné par la formule suivante :

EL = −LGD% ·BERec ·max(Durmod; 0) · PD

1− PD,

où

EL est l'ajustement au titre de la perte attendue ;LGD% est la perte en pourcentage en cas de défaut de la contrepartie(50% en l'abscence d'estimation �able) ;


BERec est le Best Estimate des créances sans prise en compte de laperte attendue en cas de défaut de la contrepartie ;Durmod est la duration modi�ée des créances ;PD est la probabilité de défaut de la contrepartie.

4.8 Primes futures des contrats en cours

Les primes futures doivent être incluses dans la détermination des futurs �uxde trésorerie lorsque :

� le paiement de ces primes par l'assuré est légalement exigible,� les montants des paiements sont �xés à la date de souscription,� ou encore lorsqu'un contrat garantit à son souscripteur un autre contratà des conditions favorables.

Maintenant, nous allons porter notre attention sur la seconde composante desprovisions techniques dé�nies dans QIS4.

Chapitre 5

Marge pour risque : nouvelle

composante des provisions

techniques

La marge pour risque représente la compensation qui serait demandée pourassumer le risque et l'incertitude des �ux futurs dans le cadre d'un transfert derisque.Dans Solvabilité II, elle est dé�nie de la façon suivante :

�The risk margin ensures that the overall value of the techni-cal provision is equivalent tot he amount (re)insurance undertakingswould expect to have to pay today if it transferred its contrzctualrights and obligations immediately to another undertakings ; or aal-ternatively, the additional cost, above the best estimate of providingcapital to support the (re)insurance obligations over the lifetime ofthe portfolio�

Pour les passifs non-réplicables, la marge pour risque représente l'une des deuxcomposantes des provisions techniques, la seconde étant le Best Estimate desPSAP présenté dans le chapitre précédent. On rapelle, que selon les principes deSolvabilité II, les passifs réplicables par des instruments �nanciers sont évaluéesdans une logique de valeur de marché.

Dans le modèle standard (cf.[1]), il est prévu que cette marge soit calculée selonla méthode dite �coût du capital�, appelée méthode CoC (Cost of Capital).

5.1 Calcul de la marge pour risque dans la lo-giques CoC

Cette méthode consiste à calculer le coût qu'engendre la mobilisation duCapital de Solvabilité Requis (SCR) pour tenir les engagements d'assurance etde réassurance sur toute leur durée de vie. Pour cela, l'organisme assureur doit

18

CHAPITRE 5. MARGE POUR RISQUE : NOUVELLE COMPOSANTE DES PROVISIONS TECHNIQUES19

établir une projection de ses engagements d'assurance et de réassurance jusqu'àleur extinction et déterminer, pour chaque année, le montant du SCR nécessaireà la couverture de tels engagements.

Le Capital de Solvabilité Requis, appelé SCR, correspond à une exigence decapitaux propres permettant à une compagnie de faire face à des pertes im-prévues conséquentes et d'o�rir des garanties raisonnables aux assurés et auxsouscripteurs.

Dans Solvabilité II, cette exigence en capital correspond à une probabilité deruine égale à 0, 5%, i.e une Value-at-Risk égale à 99, 5%, sur un horizon d'unan :

�The SCR corresponds to the economic capital a (re)insuranceundertaking needs to hold in order to limit the probability of ruin to0.5%, i.e ruin would occur once every 200 years. The SCR is calcu-lated using Value-at-Risk techniques, either in accordance with thestandard formula, or using an internal model : all potantial losses,including adverse revaluation of assets and liabilities over the next12 months are to be assessed ; The SCR re�ects the true risk pro�leof the undertaking, taking account of all quanti�able risks, as wellas the net impact of risk mitigation techniques.�

5.1.1 Le coût du capital

Le coût du capital fait référence au retour, avant impôt, qui ajouté à la rému-nération des investissements donne le rendement que demanderait une tiercepartie pour assumer les engagements actuels de la compagnie.Par exemple, si le rendement requis pour un transfert des engagements est de12% et si les investissements sont rémunérés à 7%, alors le coût du capital serade 5%.

Rémunération des + Coût du = Rendement requisinvestissements capital pour un transfert

Dans QIS4, le coût du capital est �xé à 6% pour tous les organismes assureurs.Il correspond au supplément de taux, par rapport au taux sans risque, qu'unecompagnie d'assurance ou de réassurance notée BBB, devrait supporter pourse procurer les fonds nécessaires à la reprise des droits et des obligations d'unautre assureur.

5.1.2 Les risques à prendre en compte

Trois risques sont à prendre en compte dans le calcul du coût du capital :

1. le risque opérationnel,

2. le risque de contrepartie en réassurance,

3. le risque de souscription.

On suppose, en ce qui concerne les engagements d'assurance et de réassurancequ'il n'existe ni risque de marché, ni risque de défaut des contrepartie auxcontrats de dérivés �nanciers.

CHAPITRE 5. MARGE POUR RISQUE : NOUVELLE COMPOSANTE DES PROVISIONS TECHNIQUES20

5.1.3 Modalités de calcul

Les principes de QIS4 préconisent d'attribuer aux provisions techniques leurvaleur de sortie actuelle, ce qui nécessite d'évaluer le coût de la mobilisationdu SCR à la date d'évaluation du Best Estimate. On supposera qu'il s'agit dudébut d'année 0 (t = 0).

Pour les besoins de QIS4, il est demandé aux participants de calculer le SCR aumoyen de la formule standard lorsqu'ils calculent la marge pour risque mêmes'il serait possible d'utiliser le résultat d'un modèle interne pour calculer le SCRdans le futur cadre de Solvabilité II.

En�n, la marge pour risque doit être calculée séparément pour chaque segment.En e�et, QIS4 préconise la segmentation du portefeuille en groupes de risqueshomogènes.D'ailleurs, toujours dans le but d'une meilleure compréhension et gestion desrisques, QIS4 impose le respect du principe de prééminence du fond sur la formedans le traitement du risque. Cela signi�e que la forme juridique d'un contratne primera pas sur son fond économique.

La détermination de ces marges pour risque se décompose en trois étapes :

Pour chaque segment d'assurance et de réassurance,

1. Calcul du SCR pour t = 0 et pour chaque année future jusqu'à l'extinctiondes engagements pris.

2. Multiplication de chacun des SCR futurs par le coût de capital a�n d'ob-tenir le coût de détention de ces SCR.

3. Actualisation des chacun des montants obtenus à l'étape précédente selonla courbe des taux sans risque en t = 0. En�n, la somme de ces valeursactualisées donne à la marge de risque pour le segment considéré qui seraà associer au Best Estmate des engagements du segment en t = 0, en vuede déterminer les provisions techniques de ce segment.

Le montant total de la marge pour risque est la somme des marges pour risquede tous les segments.

La principale di�culté de cette méthode est de trouver les SCR pour les annéesfutures de chaque segment. En e�et, il faut évaluer les chargements qu'engen-dreront chaque risque sur les futurs SCR. Le calcul de ces chargements seronte�ectués

� soit par application de la formule standard du SCR, lorsqu'il est possibled'a�ecter une part de l'ensemble des actifs à chacun des segments,

� soit par des simpli�cations.

Nous allons donc consacrer le chapitre suivant à une présentation générale de laformule standard du SCR, puis le suivant aux méthodes actuarielles simpli�éespour l'évaluation de la marge pour risque proposées dans QIS4.

Chapitre 6

Capital de Sovabilité Requis :

formule standard

L'objectif de la formule standard du SCR est d'apporter des considérationspratiques tout en quanti�ant raisonnablement la sensibilité aux risques.Cette formule s'inspire beaucoup du modèle de type RBC (Risk Based Capital)américain dont le principe est d'associer à chacun des risques supporté par l'as-sureur une exigence de capital. En e�et, d'après la formule standard, le SCRest égal à la somme des besoins en capital pour chacun des risques, à laquelleseront apportés quelques ajustements.

6.1 Organisation modulaire du calcul

Le calcul proposé par la formule standard s'organise en modules, qui sont pré-sentés par le diagramme suivant :

21

CHAPITRE 6. CAPITAL DE SOVABILITÉ REQUIS : FORMULE STANDARD22

Figure 6.1 � Segmentation des risques pour le calcul du SCR

6.2 Calcul du SCR global

Selon la formule standard, le Capital de Solvabilité requis est égal à

SCR = BSCR−Adj + SCRop,

oùBSCR est le Capital de Solvabilté Requis de base ;

SCRop est le chargement en capital au titre du risque opérationnel ;

Adj est l'ajustement au titre des propriétés d'absorption des risques

des participations aux béné�ces futures et de l'impôt di�éré.


Nous allons détailler les calculs de ces trois composantes du SCR global.

6.2.1 Calcul de SCRop : Risque opérationnel

Le risque opérationnel est le risque de pertes dues à une inadéquation oudéfaillance des procédures internes, du personnel ou des systèmes d'information.Il comprend le risque juridique mais exclut les conséquences d'une mauvaiseréputation ou de mauvaises décisions stratégiques.Le chargement au titre du risque opérationnel est calculé de la façon suivante :

SCRop = min(0.30×BSCR ; OPuc) + 0.25× Fruc,

où� BSCR est le SCR de base ;� Fruc est le montant des frais annuels, bruts de réassurance, pour lescontrats en unités de compte (UC) ;

� OPuc est le chargement de base, brut de réassurance, au titre du risqueopérationnel pour toutes les activités sauf celles en UC, il est égal à

OPuc = max{

0.03 · (Pv − Pv−uc) + 0.02 · Pnv + 0.02 · Ps;0.003 · (PTv − PTv−uc) + 0.02 · PTnv + 0.002 · PTs

},

où

Pv est le montant des primes acquises en assurance vie ;

Pv−uc est le montant des primes acquises en assurance vie pour les contrats en UC ;

Pnv est le montant des primes acquises en assurance non-vie ;

Ps est le montant des primes acquises en assurance santé ;

PTv est le montant des provisions techniques d'assurance vie ;

PTv−uc est le montant des provisions techniques d'assurance vie pour les contrats en UC ;

PTnv est le montant des provisions techniques d'assurance non-vie ;

PTs est le montant des provisions techniques d'assurance santé.

Tout ces montants de primes et de provisions techniques sont bruts deréassurance.Les risques relatifs aux rentes de la branche �Accident et Santé� appartien-dront dans le domaine de l'assurance santé et non de l'assurance non-vie.

6.2.2 Calcul de l'Ajustement

Le SCR est corrigé des capacités à absorber les pertes futures dé�nies de lafaçon suivante :

Adj = AdjFDB +AdjDT ,

où

1. AdjFDB , est l'ajustement pour capacité d'absorption des pertes par ré-duction des béné�ces discrétionnaires futurs, il est égal à

AdjFDB = min

BSCR−√∑

x,y

SCRx · SCRy · Cor(SCRx, SCRy) ; FDB

,


oùSCRx est le chargement en capital au titre du risque x compte tenu de la capacité

d'absorption des pertes des participations aux béné�ces futures,

FDB est le montant des provisions techniques pour les participations

discrétionnaires futures.

2. AdjDT , est l'ajustement pour capacité d'absorption des pertes par desimpôts di�érés. Il est égal à la valeur absolue de la réduction des impôtsdi�érés dans un scénario de choc. Cette réduction des impôts di�érés estfonction des pertes immédiates des fonds propres de base suite au choc.

6.2.3 Calcul de BSCR : SCR de base

Le Capital de Solvabilité Requis de Base, noté BSCR, réunit le chargementen capital au titre de cinq catégories de risque :

1. SCRmkt, le chargement en capital au titre du risque de marché,

2. SCRdef , le chargement en capital au titre du risque de contrepartie,

3. SCRlife, le chargement en capital au titre du risque de souscription envie,

4. SCRnl, le chargement en capital au titre du risque de souscription ennon-vie,

5. SCRhealth, le chargement en capital au titre du risque de souscription ensanté.

Il est égal à

BSCR =√∑

x,y

SCRx · SCRy · Cor(SCRx, SCRy).

Les corrélations entre ces di�érents SCR sont données dans le tableau suivant :


SCRmkt SCRdef SCRlife SCRhealth SCRnl

SCRmkt 1

SCRdef 0,25 1

SCRlife 0,25 0,25 1

SCRhealth 0,25 0,25 0,25 1

SCRnl 0,25 0,5 0 0,25 1

Figure 6.2 � Corrélations entre les SCR intervenant dans le calcul du BSCR

Etant donné la restriction de notre étude à l'asurance non-vie, seuls deux mo-dules suivants vont être pris en compte :

� SCRnl� SCRdef

1. Calcul de SCRnl : Risque de souscription en non-vie

SCRnl =√NLpr +NLcat ,

où {NLpr est le chargement en capital au titre du risque de tari�cation et de provisionnement;NLcat est le chargement en capital au titre du risque de catastrophe.

(a) Calcul de NLpr

Le risque de provisionnement et le risque de tari�cation constitue la majeurepartie du risque de souscription. Dans ce module la diversi�cation géographiqueest prise en compte.Le chargement au titre du risque de provisionnement et de tari�cation est égalà

NLpr = ρ(σ) · V,

où

CHAPITRE 6. CAPITAL DE SOVABILITÉ REQUIS : FORMULE STANDARD26{V est une mesure de volume,

σ est l'écart-type du ratio combiné du portefeuille global

La fonction ρ est �xée de manière à produire un chargement en capital conformeà un VaR99,5% en supposant que le risque sous-jacent est distribué selon une loilognormale, elle est égale à

ρ(σ) =exp

(N99,5% ·

√ln(σ2 + 1)

)√σ2 + 1

− 1 ≈ 3σ.

où N99,5% est un quantile à 99,5% de la distribution normale standard.

La mesure du volume V et des écart-types σ du ratio combiné du portefeuilled'assurance globale est déterminé en trois étapes :

� Détermination des écart-types et des mesures de volume des risques deprovisionnement et de tari�cation pour chaque branche

� Détermination de la diversi�cation géographique pour chaque branche.� Aggrégation des écart-types et des mesures de volume de risque de tari�-cation et de provisionnement de chaque branche en une mesure de volumeglobale V et un écart-type global σ.

(b) Calcul de NLcat

Le risque de catastrophe résulte d'événements extrêmes ou irréguliers insu�-samment couverts par les chargements au titre des risques de tari�cation et deprovisionnement.

Le chargement en capital au titre du risque de catastrophe en assurance non-vieest déterminée de la façon suivante :

NLcat =√ ∑t 6=3,4,10,12

(ct · Pt)2 + (c3 · P3 + c12 · P12)2 + (c4 · P4 + c10 · P10)2,

où les paramètres ct sont données dans le tableau suivant :et Pt est l'estimation des primes nettes de la branche t pour l'exercice à venir.

1. Calcul de SCRdef : Risque de contrepartie

Le calcul s'e�ectue en trois étapes :

1. Tout d'abord, nous calculons la concentration pour la réassurance, lesdérivés �nanciers, les créances auprès d'intermédiaires et toutes autres ex-positions de crédit via l'indice Her�ndahl.


Branche t Facteur ct1. RC Automobile 0,152. Automobile, autres 0,0753. MAT 0,504. Incendie 0,755. RC 0,156. Crédit 0,607. Protection juridique 0,028. Assistance 0,029. Divers 0,2510. Réassurance dommages 1,5011. Réassurance RC 0,5012. Réassurance MAT 1,50

L'indice Her�ndahl se calcule de la façon suivante :

H =

∑i

LDG2i(∑

i

LDGi

)2 ,

où LDGi est la perte en cas de défaut de la contrepartie i.

La corrélation implicite pour le défaut de contrepartie est calculée comme :

R = 0, 5 + 0, 5 ·H.

2. Ensuite, on détermine le capital requis Defi pour chacune des contrepartiei. Deux cas se présentent :� Si R < 1, alors

Defi = LDGi · Φ

((1−R)−0.5 · Φ−1(PDi) +

√R

1−R· Φ−1(0, 995)

),

où{PDi est la probabilité de défaut de la contrpartie i;Φ est la fonction de répartition de la loi normale standard (N(0,1)).

� Si R=1, alorsDefi = LDGi ·min(100 · PDi ; 1).

3. En�n, le risque de contrepartie SCRdef est obtenu en sommant les char-gements en capital Defi pour chacune des contrepartie i,

SCRdef =∑i

Defi.


Simpli�cation. S'il y a proportionnalité au risque sous-jacent, les participantspeuvent déterminer la perte en cas de défaut LGDi et le chargement en capitalrequis Defi au niveau des échelons de notation plutôt qu'au niveau des contre-parties. Le tableau suivant donne l'estimation de la probabilité de défaut desorganimes en fonction de leur notation.

Echelon de qualité de crédit Rating PD1 AAA 0,002%1 AA 0,001%2 A 0,05%3 BBB 0,24%4 BB 1,20%5 B 6,04%6 CCC ou moins 30,41%

Toujours dans l'optique de la prise en compte du pro�l de risque propre à chaqueassureur, QIS4 o�re la possibilité de remplacer certains des paramètres de laformule standard par des paramètres spéci�ques à la compagnie d'assurance.

6.3 Paramètres spéci�ques à l'entreprise

Il est possible de remplacer un ou plusieurs paramètres de la formule standardpar des paramètres spéci�ques à l'entreprise,

� dans les modules Risque de souscription seulementet

� sous réserve que ces paramètres soient déterminés par des méthodes iden-tiques et sous les mêmes hypothèses de distribution.

En ce qui concerne la distribution, une hypothèse lognormale a été retenue.Les paramètres qui peuvent béné�cier de ce remplacement sont au nombre dedeux, il s'agit

� σp, l'écart-typepour le risque de provisionnement d'un segment considéréet

� σt, l'écart-type pour le risque de tari�cation d'un segment considéré.Le traitement des risques doit respecter le principe de prééminence du fond surla forme, c'est-à-dire que la rélité économique primera sur la forme juridique.

Remarque 2 Pour éviter toute circularité dans les calcul, les provisions tech-niques qui apparaîtront dans le calcul du SCR ne contiendront pas la marge pourrisque évaluée selon la méthode du coût du capital.

Chapitre 7

Méthodes actuarielles

simpli�ées pour l'évaluation

de la marge pour risque

Nous avons vu précedemment que la principale di�culté dans la méthodeCoC réside dans le calcul des SCR futurs. De fait, QIS4 propose des méthodesimpli�catrices pour les risques autres que le risque opérationnel.Le chargement au titre du risque opérationnel est déterminé selon la formulestandard du SCR présentée dans le chapitre précédent. Les paramètres d'entréede la formule sont :

� les primes acquises brutes de réassurance,� le Best Estimate des Provisions Techniques brute de réassurance (provisionpour primes et provision pour sinistres à payer).

Il est à noter qu'une limite supérieure est �xée au BSCR.

Dans QIS4, une distinction est faite entre une simpli�cation et une approxima-tion, l'approximation étant la simpli�cation la moins développée.Tout d'abord, nous présenterons les deux jeux de simpli�cations, puis l'approxi-mation, proposés par QIS4 pour l'estimation de la marge pour risque.On rapelle que notre mémoire se limitant à l'assurance non-vie, les simpli�ca-tions et l'approximation qui vont être présentées concerne seulement l'assurancenon-vie.

29

CHAPITRE 7. MÉTHODES ACTUARIELLES SIMPLIFIÉES POUR L'ÉVALUATION DE LAMARGE POUR RISQUE30

7.1 Simpli�cations pour la marge pour risque

Les simpli�cations qui vont être présentées ci-après requièrent quelques condi-tions à leur utilisation.

7.1.1 Conditions d'utilisation des méthodes actuarielles

simpli�ées

L'emploi de méthodes actuarielles simpli�ées est autorisé lorsque toutes lesconditions suivantes sont satisfaites :

� les types de contrats souscrits pour chaque segment ne sont pas complexes(i.e que le comportement de l'assuré n'a pas d'impact signi�catif) ;

� la nature du risque de chaque segment est simple (par exemple, les risquessont prévisibles et stables) ;

� le SCR déterminé par la méthode simpli�ée est inférieur à 10 millionsd'euros en assurance non-vie (et à 50 millions en assurance vie)oule montant du chargement en capital, déterminé par la méthode simpli�éeavant diversi�cation, pour chaque risque, est inférieur à 10% du SCR totalet la somme de ces chargements est inférieure à 30% du SCR total.

7.1.2 Simpli�cations - Proposition 1

Ces simpli�cations s'opèrent à trois niveaux :

1. Chargement au titre du risque de contrepartie en réassurance

Le chargement au titre du risque de contrepartie en réassurance peut êtrecalculé directement à partir de la dé�nition pour chaque risque et pourchaque segment.

Ce chargement peut être approché par l'application de la part du BestEstimate revenant à la charge du réassureur pour l'année 0 lorsque :� l'exposition au risque de défaut des réassureurs varie peu tout au longdes années de développement,

� le risque de défaut sur un segment est jugé soit identique au risque dedéfaut total, soit négligeable.

2. Chargement au titre du risque de souscription

Le chargement au titre du risque de souscription en assurance non-vie estcalculé par application de la formule standard du SCR.Les paramètres d'entrée de la formule sont :� les primes acquises nettes de réassurance,� la provision pour sinistres à payer (PSAP), nette de réassurance.

Nous négligerons les renouvellements et les futurs contrats et nous consi-dérerons que le risque de tari�cation reste constant. Aussi le risque desouscription relatif au catastrophes naturelles sera pris en compte seule-ment pour les contrats en cours de validité en t = 0.


Cependant, comme en assurance non-vie les contrats sont de courte durée,les primes acquises sont non nulles que pour les premières années. Cecipermet de simpli�er considérablement ce chargement.En e�et, en l'absence de risque de tari�cation et de risque de catastrophesnaturelles et lorsque les primes acquises sont nulles, le risque de sousriptionse résume au risque de provisionnement. Le chargement que nécessite lerisque de provisionnement s'exprime sous la forme :

Constante × Best Estimate de la PSAP nette de réassurance.

3. Estimation de l'e�et d'absorption des risques

Dans le cadre de l'évaluation de la marge pour risque, les organismes d'as-surance doivent projeter le SCR net de l'e�et d'absorption du risque desfutures participations aux béné�ces (FPB).Mais losque les FPB résultent en majorité de risques exclus de la projec-tion, elles peuvent être négligées.

Lorsqu'elles ne peuvent être négligées, le SCR net de l'e�et d'absorptiondes risques des FPB, à un instant t quelconque, peut être approché de lafaçon suivante :

SCRt(net de l'e�et des FPB) = SCRt(brut de l'e�et des FPB)× SCR0(net de l'e�et des FPB)SCR0(brut de l'e�et des FPB)

.

Lorsque les organismes ne sont pas en mesure d'appliquer ces simpli�cations, ilspeuvent avoir recours à un second jeu de simpli�cations pour estimer la margepour risque.

7.1.3 Simpli�cations - Proposition 2

Pour chaque segment, dans la logique CoC, la marge pour risque peut êtreapprochée par l'expression suivante :

CoCM ≈ CoC·[SCR(0) +Durmod (3 · σp · PCOnet + 0.02 · PCObrut +Defre)] ,

où

CoCM est la marge selon la logique CoC ;

CoC est le coût du capital ;

SCR(0) est le SCR actuel, hors risque de marché et risque de contrepartie relatifs aux dérivés �nanciers ;

PCOnet est le Best Estimate de la provision pour sinistres à payer nette ;

PCObrut est le Best Estimate de la provision pour sinistres à payer brute ;

Durmod est la duration modi�ée de PCOnet;σp est l'écart type traduisant le risque de provisionnement;Defre est le chargement en capital au titre du risque de contrepartie en réassurance à t = 0;


Remarque 3 1. Toutes les composantes de la formule sont à calculer parsegment.

2. Cette formule n'est valable que si les SCR sont déterminés d'après la for-mule standard.

3. σp est tel qu'il est dé�ni dans le module risque de tari�cation et de provi-sionnement de la formule standard.

A�n de simpli�er le calcul du SCR actuel, le SCR actuel pour le risque de tari�-cation et de provisionnement d'un segment considéré, que l'on notera SCRTP (0),peut être déterminé par la formule suivante :

SCRTP (0) = 3 ·√

(σt · Pnet)2 + (σp · PCOnet)2 + 2 · α · σt · Pnet · σp · PCOnet,

où

σt est l'écart-type pour le risque de tari�cation;σp est l'écart-type pour le risque de provisionnement;Pnet est la somme des primes nettes relatives aux contrats conclus avant la date d'évaluation,

à acquérir au cours de l'année à venir;PCOnet est le Best Estimate de la provision pour sinistres à payer nette ;

α = 0, 5 est le coe�cient de corrélation entre les risques de tari�cation et de provisionnement.

Dans QIS4, une approximation de la marge pour risque en pourcentage du BestEstimate est proposée mais ne peut être utilisée que sous certaines conditions.

7.2 Approximation de la marge pour risque

7.2.1 Conditions d'utilisation de l'approximation

Une approximation peut être assimilée à la méthode de simpli�cation la moinsdéveloppée que l'on puisse appliquer. Une compagnie d'assurance peut avoirrecours à des approximations lorsqu'elle ne dispose pas d'un nombre su�santde données d'expérience de qualité. C'est notamment le cas lorsque

� des types d'assurance sont totalement nouveaux sur le marché et ne dis-posent donc pas encore de données historiques ;

� une compagnie propose, pour la première fois, la couverture de certainesclasses de risques ;

� des changements législatifs modi�ent les caractéristiques de certains contratset font ainsi perdre aux données historiques toute leur utilité ;

� le volume d'a�aire est trop faible pour rendre son historique de données�able.


7.2.2 Présentation de l'approximation

Selon la branche considérée, un certain pourcentage du Best Estimate appro-chera la marge pour risque. Ces pourcentages représentent les pro�ls moyens etsont les suivants :

Accidents du travail 14%Assurance santé 6%Accident Santé 12%Automobile - RC 13%Automobile - autres 4%MAT 10%Incendie et risques divers 6%Responsabilité civile 14%Crédit & cautions 9%Protection juridique 5%Assistance 6%Divers 15%Réassurance non proportionnelle. Dommages aux biens 17%Réassurance non proportionnelle. RC 21%Réassurance non proportionnelle. MAT 19%

Nous avons présenté les modalités de calcul des provisions techniques selonQIS4 et notamment des méthodes actuarielles simpli�ées qui nous seront utilespour notre application. Maintenant, dans le but d'estimer le quantile recherché,nous allons présenter des méthodes stochastiques de provisionnement qui nousdonnerons la distribution de la sinistralité. Ainsi, en déduisant les réglementsdéjà e�ectués nous obtiendrons la distribution des charges de sinistres restant àpayer. A�n d'assurer la �abilité de notre étude, nous utliserons trois méthodespour déterminer la distribution des charges restant à payer.

Troisième partie

Méthodes de provisionnement

stochastiques

34

35

Dans le cadre de l'objectif de ce mémoire nous avons besoin de la distributiondes charges restant à payer.Nous déterminerons cette distribution par trois méthodes :

� une des techniques de simulation de Monte Carlo,

� le modèle de Mack,

� le Bootstrap

La technique de simulation de Monte Carlo et la méthode du Bootstrap nousdonne directement cette distribution.Le modèle de Mack quant à lui, nous donne la volatilité des provisions estiméespar la méthode de Chain Ladder. Ainsi, à l'aide d'une hypothèse de distributionon pourra modéliser la distribution des provisions.

Dans un premier chapitre, nous présenterons la méthode déterministe de ChainLadder ainsi que le modèle de Mack, puis dans un second les deux autres mé-thodes stochastiques basées sur des simulations.

Chapitre 8

Les méthodes de Chain

Ladder

8.1 La méthode déterministe de Chain Ladder

Dans certaines branches de l'assurance, comme par exemple dans le cas d'unsinistre avec dommages corporels en responsabilité civile automobile, le règle-ment du sinitre peut se répartir sur plusieurs années.Comme le montant total qui sera payé pour le sinistre est inconnu au départ,la somme à mettre en réserve est également inconnue, il faut donc l'estimer.Nous pouvons utiliser des techniques IBNR (Incurred But Not Reported) dontle principe est d'estimer le développement du coût des sinistres en se basant surl'évolution passée de ce dernier.

8.1.1 Principes de la méthode

La méthode de Chain Ladder est l'une des méthodes les plus couramment uti-lisées dans les compagnies d'assurance.Cette méthode consiste à déterminer une cadence de développement moyenneà partir des données historiques, qui sont agrégés par année de survenance etannée de développement. Elle s'applique à des triangles de paiements cumulés.

On notera :� i l'année de survenance ou d'origine,� k le délai de développement ou de règlement,� Cik est le montant cumulé des règlements pour l'année d'origine i et jus-qu'au délai de règlement k.

Remarque 4 Cik peut représenter soit le montant payé, soit le coût total estimé(paiement déjà e�ecuté plus réserve).

36

CHAPITRE 8. LES MÉTHODES DE CHAIN LADDER 37

Un triangle des montants cumulés de dimension n se présente sous la formesuivante :

Année de développement (j)Année d'origine (i) 1 2 ... j ... n-1 n

1 C1,1 C1,2 ... C1,j ... C1,n−1 C1,n

2 C2,1 C2,2 ... C2,j ... C2,n−1

... ... ... ... ... ...n-j+1 Cn−j,1 Cn−j,2 ... Cn−j+1,j

... ... ... ...n-1 Cn−1,1 Cn−1,2

n Cn,1

Figure 8.1 � Représentation d'un triangle des montants cumulés

Chaque élément de la diagonale représente l'ensemble des paiements e�ectuésdepuis la date de survenance.

Les montants Cik pour lesquels i+k ≤ n+1 sont connus et on cherche à estimerles Cik pour lesquels i+k > n+1, en particulier les valeurs des charges ultimes,Cin pour 2 ≤ i ≤ n.

La méthode de Chain Ladder s'appuie sur l'hypothèse suivante :

Pour k = 1, ..., n, les ratios Ci,k+1Ci,k

sont indépendants de l'année d'ori-

gine i, ce qui signi�e :

C1,k+1

C1,k=C2,k+1

C2,k= ... =

Ci,k+1

Ci,k= ... =

Cn−k,k+1

Cn−k,k.

Dans la pratique, ces égalités ne sont, dans le meilleur des cas, qu'approxima-tives, il est donc plus prudent de prendre leur valeur commune comme coe�cientde proportionnalité :

n−k∑i=1

Ci,k+1

n−k∑i=1

Ci,k

, k = 1, ..., n− 1.

La méthode de Chain Ladder estime donc les montants inconnus, Cik pouri+ k > n+ 1 par

Cik = Ci,n+1−i · fn+1−i · · · fk−1,

où

fk =

n−k∑i=1

Ci,k+1

n−k∑i=1

Ci,k

, 1 ≤ k ≤ n− 1.


Ainsi, la charge ultime de sinistres survenus durant l'année i est donnée parl'expression suivante :

Cin = Ci,n+1−i · fn+1−i · · · fn−1, 2 ≤ i ≤ n

Par conséquent, la somme à mettre en reserve sera la charge ultime estiméecorrigée de ce qui aura été payé.Soit Ri la réserve pour les sinistres survenus durant l'année i,

Ri = Ci,n+1−i · fn+1−i · · · fn−1 − Ci,n+1−i, 2 ≤ i ≤ n.

En�n la provision globale, appelée Provision pour Sinitres A Payer (PSAP) seraégale à

PSAP =n∑i=2

Ri.

8.1.2 Limites de la méthode

Cette méthode possède deux avantages : elle est simple à utiliser et elle est ro-buste à l'erreur de modèle.Cependant l'utilisation de données agrégées entraîne nécessairement une perted'information. Aussi cette méthode de calcul de la PSAP se base uniquementsur la détermination de la cadence de développement des paiements, or de nom-breux facteurs exogènes peuvent in�uer sur cette cadence comme la survenanced'un évènement exceptionnel ou un changement de jurisprudence.Ainsi de pouvoir mesurer l'incertitude des provisions obtenues par la méthodedéterministe de Chain Ladder, nous allons nous intéresser à un modèle stochas-tique qui sous-tend cette méthode, le modèle de Mack.

8.2 Le modèle de Mack

Comme la méthode déterministe de Chain Ladder, le modèle de Mack s'ap-plique sur le triangle des montants cumulés. Il s'agit d'un modèle conditionnelcar il s'appuie sur l'information fournie par ce triangle, et d'un modèle non pa-ramétrique, au sens où aucune hypothèse de disribution n'est émise pour cesmontants cumulés.Tout d'abord nous allons présenter ce modèle, puis estimer l'erreur standarddans le but de construire un intervalle de con�ance.

8.2.1 Présentation du modèle

Ce modèle reprend les deux hypothèses de la méthode déterministe de ChainLadder qui se traduisent par

E(Ci,k+1|Ci1, ..., Cik) = Cik · fk, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n− 1 (H1)


Puis, comme cette méthode ne tient pas compte des éventuelles dépendancesentre les années de survenance, on suppose que

{Ci1, ..., Cin} , {Cj1, ..., Cjn} sont indépendants ∀i 6= j (H2)

Thomas Mack introduit une dernière hypothèse dans le but de mesurer la va-riabilité au sein du rectangle

Var(Ci,k+1|Ci1, ..., Cik) = σ2k · Cik, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n− 1 (H3)

Le théorème suivant montre que l'estimation des charges ultimes d'après lemodèle de Mack se présente sous la même forme que celle donnée par la méthodedéterministe de Chain Ladder, Cin.

Theorem 5 Soit D = {Cij | i+ j ≤ n+ 1} l'information apportée par le tri-angle supérieur. Sous les hypothèses (H1) et (H2), on a

E(Cin|D) = Ci,n+1−i · fn+1−i · · · fn−1.

Preuve. Comme les années de survenance sont indépendantes entre elles,les informations du triangle qui serviront dans l'évaluation de E(Cin|D) serontcelles relatives à l'année de survenance i. Donc,

E(Cin|D) = E(Cin|Ci1, ..., Ci,n+1−i)

Posons Ei(X) = E(X|Ci1, ..., Ci,n+1−i).

E(Cin|D) = Ei(Cin)= Ei(E(Cin|Ci1, ..., Ci,n−1))= Ei(Ci,n−1 · fn−1)= fn−1 · Ei(Ci,n−1)= ...

= fn−1 · · · fn−i+1 · Ei(Ci,n−i+1)= fn−1 · · · fn−i+1 · Ci,n−i+1

Sous les hypothèses du modèle, les estiamteurs fn−1, ..., fn−i+1, donné par laméthode déterministe sont non biaisés et non corrélés.

8.2.2 Calcul de l'erreur standard et construction d'un in-

tervalle de con�ance

1. Calcul de l'erreur standard

L'erreur standard estime la distance moyenne entre l'estimateur Cin et la vraievaleur Cin.


Soit mse(Cin) l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur Cin,

mse(Cin) = E[(Cin − Cin)2|D

].

L'erreur standard, que l'on notera se(Cin), est par dé�nition égale à

se(Cin) =√mse(Cin).

Remarque 6 L'erreur d'estimation de la réserve pour l'année de survenance iest égale à l'erreur d'estimation de la charge ultime pour cette année. En e�etces deux grandeurs étant égales à une constante additive près, on a

mse(Ri) = E[(Ri −Ri)2|D

],

avec Ri = Cin − Ci,n+1−i et Ri = Cin − Ci,n+1−i. D'où

mse(Ri) = E[(Cin − Cin)2|D

]= mse(Cin).

A�n de calculer l'écart quadratique moyenmse(Ri), décomposons cet écart selonla formule E

[(X − c)2

]= Var(X) + (E(X)− a)2, on obtient :

mse(Ri) = Var(Cin|D)︸︷︷︸erreur de process

+[E(Cin|D)− Cin

]2︸︷︷︸

erreur d'estimation

L'erreur de process, dûe la variabilité interne du modèle, se calcule explicitement.En e�et, d'après l'hypothèse (H3),

Var(Ci,k+1|Ci1, ..., Cik) = σ2k · Cik, 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ k ≤ n− 1

Les σ2k sont inconnus, il nous faut donc les estimer. De la même façon que pour

les fk, il peut être montré que

σ2k =

1n− k − 1

n−k∑i=0

Cik

(Ci,k+1

Cik− fk

)2

, 1 ≤ k ≤ n− 2,

est un estimateur sans biais de σ2k. Nous retiendrons donc cette estimation.

Par contre l'erreur d'estimation, résultant de l'estimation des facteurs de dé-veloppement fk, est plus délicate à déterminer. Par dé�nition, elle est égaleà [

E(Cin|D)− Cin]2

= C2i,n−i

n−1∏j=n−i

fj −n−1∏j=n−i

fj

2

.

Comme les facteurs de développement réels fk ne sont pas connus, il nous estdi�cile de déterminer cette erreur explicitement.Il existe plusieurs estimation de cette quantité. Dans le cadre de ce mémoire,nous retiendrons celle de Thomas Mack qui est la formule récursive suivante :


Theorem 7 Sous les hypothèses (H1), (H2) et (H3), mse(Ri) peut être estiméepar

mse(Ri) = C2in

n−1∑k=n+1−i

σ2k

f2k

(1Cik

+1∑n−k

j=1 Cjk

)où

Cik = Ci,n+1−i · fn+1−i · · · fk−1, sont les valeurs estimées de Cik (k > n+ 1− i);

σ2k = 1

n−k−1

n−k∑i=1

Cik

(Ci,k+1

Cik− fk

)2

, est un estimateur sans biais de σ2k (1 ≤ k ≤ n− 2);

σ2n−1 = min

(σ4n−2

σ2n−3

, min(σ2n−3, σ

2n−2)

).

La preuve de ce théorème est donnée dans l'annexe B.

L'erreur commise sur la réserve totale, PSAP =n∑i=2

Ri, n'est simplement égale

à la somme des mse(Ri), car il faut tenir compte des corrélations entre elles

dûes au fait qu'elles sont toutes estimées avec les mêmes fk.

Le théorème suivant donne une estimation de cette erreur mse(R) :

Theorem 8 Sous les hypothèses (H1), (H2) et (H3), mse(R) peut être estiméepar

mse(R) =n∑i=2

mse(Ri) + Cin

n∑j=i+1

Cjn

n−1∑k=n+1−i

2 σ2k/f

2k∑n−k

j=1 Cij

.

La preuve de ce théorème est donnée dans l'Annexe B.

Maintenant que l'on dispose d'un estimateur de la variable Ri (Ri) et de l'écart-type de cet estimateur (se(Ri)), il ne nous reste plus qu'à émettre une hypothèsesur la distribution des Ri pour être en mesure de contruire des intervalles decon�ance.

2. Construction d'un intervalle de con�ance

Lorsque l'on dispose d'un nombre su�sant de données, on peut supposer que ladistribution de Ri est normale,

Ri ∼ N(Ri, (se(Ri))2).

On rapelle qu'un intervalle de con�ance à un seuil de risque α, en utilisantl'approximation normale, est donnée par

[x− qα σ; x+ qα σ],

où


qα est le quantile d'ordre α de la loi normale standard N(0,1),

x est la moyenne empirique de l'échantillon,

σ est l'écart-type empirique de l'échantillon.

Ainsi, un intervalle de con�ance à 95% pour le Best Estimate de la provision del'année de survenance i sera donné par[

Ri − 1, 96 se(Ri), Ri + 1, 96 se(Ri)].

Cependant, la distribution normale, en plus d'exiger un volume de donnéessu�sant, implique que la distribution des Ri est symétrique, or ce n'est pastoujours le cas. De plus, il est possible de trouver une borne inférieur négativealors que la réserve est nécessairement positive.

Une hypothèse de distribution log-normale permet de corriger ces défauts. Parconséquent, on suppose que

Ri ∼ LN(µi, σ2i )

tels que eµi+

σ2i2 = Ri

e2µi+σ2i (eσ

2i − 1) = (se(Ri))2,

ce qui nous donne les paramètres suivants :µi = ln(Ri)− σ2

i

2

σ2i = ln

(1 +

(se(Ri)

Ri

2))

Un intervalle de con�ance à 95% sera alors donné par

[exp(µi − 1, 96 σi), exp(µi + 1, 96 σi)] .

Cependant, un triangle de liquidation incomplet ou la survenance de sinistresexceptionnels peut donner des résultats abberants et ainsi remettre en cause larobustesse du modèle. Aussi, l'obtention des seuls moments d'ordre 1 et 2 estun inconvénient.Ainsi, nous allons nous intéresser à une méthode plus robuste, la méthode nonparamétrique du bootstrap.

Chapitre 9

Méthodes de provisionnement

stochastiques basées sur des

simulations

9.1 Les techniques de simulation de Monte Carlo

Le principe des techniques de simulation est d'approcher le résultat théoriqueen e�ectuant des tirages selon la loi du phénomène observé. Ainsi, il est doncnécessaire de savoir simuler des réalisations de lois de probabilité.

Il existe un grand nombre de méthodes de simulation, nous nous limiterontà la méthode de simulation de Monte Carlo par inversion de la fonction derépartition. Il s'agit de l'une des méthodes les plus utilisées en simulation lorsquel'inversion de la fonction de répartition est possible.

On rapelle que l'inverse généralisé de la fonction de répartition F d'un variablealéatoire réelle (v.a.r) X est donné par l'expression suivante :

F−1(y) = inf {x ∈ R| F (x) ≥ y} .

Cette méthode repose sur le fait que :

Si U est v.a.r de loi uniforme sur [0, 1], alors F−1(U) suit la même loi que X.De plus, si F est continue sur R, alors F(X)∼ U .

Ainsi, pour simuler n réalisations i.i.d. d'une loi ayant pour fonction de répar-tition F, il su�t de simuler n réalisations indépendantes d'une v.a.r. de loi uni-forme sur [0, 1], puis d'appliquer l'inverse de la fonction de répartition à chacunede ces valeurs.

Dans la cas où l'on ne dispose pas de formule explicite pour F−1, nous auronsrecours à des algorithmes d'approximation.

43

CHAPITRE 9. MÉTHODES DE PROVISIONNEMENT STOCHASTIQUES BASÉES SUR DES SIMULATIONS44

C'est en particulier le cas pour la loi normale N(µ, σ2) de fonction de répartitionF,

F = Φ(x− µσ

),

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale standard N(0,1), dé�niepar :

Φ(x) =1√2π

∫ x

−∞et22 dt.

Notons que simuler des réalisations de N(µ, σ2) revient à simuler des rélisationsN(0,1) et d'appliquer à chacune des valeurs la relation linéaire liant ces deuxlois. En e�et, si X ∼ N(µ, σ2) et Y ∼ N(0, 1), alors X = µ+ σY

L'inverse de la fonction de répartition de la loi normale standard ne dispose pasde formule explicite, cependant un grand nombre d'algorithmes de simulation decette loi existent. Citons l'un des plus performants, l'algorithme de De Moro. Cetalgorithme est détaillé en Annexe A et sera utilisé dans la partie suivante, dansle cadre d'une application, pour simuler des charges ultimes d'un portefeuilled'assurance Automobile.

9.2 Méthode non paramétrique : la méthode duBootstrap

La méthode du bootstrap est une méthode de simulation d'intervalles decon�ance pour les provisions techniques.Cette méthode est plus robuste dans le sens où elle ne repose sur aucune hypo-thèse forte de famille de distribution paramétrique de la sinistrlité.De plus, elle nous donne plus d'informations en fournissant la distribution com-plète du montant des provisions, et donc les moments de tout ordre.

9.2.1 Principe de la méthode

Cette méthode consiste à obtenir, à partir d'un échantillon initial de taille N ,de nouvelles informations statistiques en simulant n nouveaux échantillons demême taille N .Cette méthode repose sur une hypothèse fondamentale : les éléments de l'échan-tillon sont indépendants et identiquement distribués.Donc, la méthode du bootstrap est une méthode de rééchantillonage particulièredont le but est d'estimer, de façon robuste, la variabilité d'un paramètre.On notera que l'hypothèse d'indépendance impliquera un rééchantillonage pardes tirages avec remise.

La méthode du bootstrap combine deux méthodes :� une méthode de rééchantillonage qui détermine pour un triangle de liqui-dation donné l'intervalle de con�ance des valeurs estimées par la méthodede Chain Ladder ;

� la méthode de simulation de Monte Carlo qui permet de déterminer lavolatilité des futurs paiements de sinistres autour de la moyenne estimée.


La combinaison de ces deux méthodes permet d'obtenir la distribution complètedes provisions, tout en assurant que la moyenne des résultats obtenus est enaccord avec les résultats de la méthode de Chain Ladder.

Ainsi, l'algorithme se décompose en deux parties :� la première récupère les informations nécessaires à partir du triangle desmontants cumulés fourni,

� la deuxième donne pour chaque survenance une estimation des provisionsà l'aide d'une boucle itérative.

9.2.2 Algorithme de la méthode

Considérons les notations suivantes :� (Cik)i+k≤n+1, le triangle des montants cumulés ;� (Dik)i+k≤n+1, le triangle des montants décumulés ;� (fi)1≤i≤n−1, les coe�cients de Chain Ladder.

Les étapes de la procédure s'enchaînent comme suit :

1. A partir du triangle des montants cumulés (Cik)i+k≤n+1, calculer lescoe�cients de développement et la provision correspondante par la mé-thode standard de Chain Ladder.

2. A partir de ces coe�cients et des valeurs de la diagonale du triangle,reconstituer le triangle supérieur par une récursion arrière. En d'autrestermes, chaque valeur de la diagonale Ci,n+1−i est divisée par le coe�cientde Chain Ladder correspondant fi, puis cette valeur est divisée par fi−1,et ainsi de suite.

3. Calculer le triangle des incréments (mik)i+k≤n+1 à partir du triangle pré-cédent.

4. Calculer les résidus de Pearson (rij).On procède à un rééchantillonage des résidus de Pearson et non pas desréglements incrémentaux observés car l'hypothèse d'indépendance n'estpas véri�ée pour ces derniers.

Le résidus de Pearson pour l'année d'origine i et un délai de réglement jest dé�ni par

rij =yij − µij√Var(µij)

oùyij est la valeur observée;µij est la valeur prévue par le modèle;Var(µij) est le paramètre de dispersion, il est égal à µij dans le modèle de Poisson.

On se place dans le cadre d'un modèle de Poisson car les valeurs prévuespar ce modèle coïncident aves les valeurs données par la méthode standardde Chain Ladder.Ainsi,

rij =Dij − mij√

mij


On e�ectue un ajustement de ces résidus a�n de corriger le biais des esti-mations du bootstrap. Cet ajustement permettra de comparer l'erreur deprédiction du bootstrap à celle théorique. On dé�nit les résidus de Pearsonajustés par

radjij =

√N

N − prij ,

où{N = n(n+ 1)/2 est le nombre de données,

p = 2n− 1 est le nombre de degré de liberté.

Peter K. Dunn et Gordon K. Smyth ont montré que la moyenne de ces ré-sidus était nulle. Ainsi cet ajustement a pour e�et d'augmenter la variancede ces résidus, la moyenne demeurant inchangée.

5. Estimer le paramètre d'échelle, Φ, par

Φ =

∑i+j≤n+1

(rij)2

N − p

6. A ce stade, la boucle itérative débute. Elle consisite à simuler la reconsti-tution des triangles inférieurs un nombre de fois su�samment grand, parles opérations suivantes :

(a) Rééchantillonage des résidus de Pearson ajustés.

(b) Reconstitution du nouveau triangle des incréments à l'aide de la for-mule suivante :

D∗ij = mij + r∗ij√mij ,

avec (∗) indiquant qu'il s'agit d'une valeur tirée aléatoirement par laméthode du bootstrap.

(c) Reconstitution du triangle des montants cumulés correspondant autriangle précédent.

(d) Détermination des coe�cients de Chain Ladder.

(e) Projection du triangle des futurs paiements cumulés (triangle infé-rieur), puis du triangle des futurs incréments (mij). Cette étape per-met de prendre en compte l'erreur d'estimation, c'est-à-dire la vola-tilité existante autour des données.

(f) Application de la méthode ODP a�n de prendre en compte la vola-tilité du modèle. Pour ce faire, nous procédons à un tirage aléatoiredes éléments du triangle inférieur des incréments selon une variablealéatoire de loi ODP (loi Gamma) de moyenne mij (obtenue à l'étapeprécédente) et de variance Φ · mij .

(g) Les coûts ultimes sont obtenus en sommant les paiements simuléspour chaque année de survenance et la provision globale à constituerpeut ainsi être évaluée.


(h) On stocke le résultat et on réitère au début de la boucle.

Après simulation d'un nombre su�sant de triangle, on dispose d'une dis-tribution empirique pour chaque élément du triangle inférieur et pour lessinistres inconnus par année de survenance. On en déduit donc la loi dedistribution de l'estimateur des provisions. Ainsi, les moyennes et quan-tiles peuvent être déterminés.L'erreur de prédiction est l'écart-type des provisions.

Quatrième partie

Application à un portefeuille

d'assurance automobile

48

49

L'application portera sur un portefeuille IARD limité à la branche Respon-sabilité Civile Automobile Corporelle (RC AUTO Corporelle). Cette brancheappartient au segement �Automobile, Responsabilité Civile� caractérisé par uneliquidation lente. En e�et l'évaluation du dédommagement total à verser à unevictime d'un sinistre corporel nécessite que son état de santé soit stabilisé, cartoute évolution de son état impliquera une réévaluation du coût �nal du sinistre.

L'application consistera à

� calculer le Best Estimate BEL= E(X), où X est le valeur actuelle probabledes charges futures ;

� calculer la marge pour risque (RM) selon la méthode CoC.Ainsi en sommant ces deux termes on obtient les provisions pour sinistresà payer (PSAP) :

PSAP = BEL + RM;

� regarder à quel quantile de la distribution de X correspond ce montant dePSAP. Pour ce faire, on utilisera :

1. La méthode de Monte Carlo et la méthode du bootstrap.Ces deux méthodes nous donne une distribution empirique des PSAP,ainsi nous pourrons estimer le niveau de con�ance de la Value-at-Riskcorrespondante au montant de provisions évaluées dans la logiqueCoC.

2. Le modèle de Mack.Il nous la volatilité des estimations des réserves déterminées par laméthode de Chain Ladder, ainsi en éméttant une hypothèse de dis-tribution de ces réserves et testant di�érents niveaux de con�ance,on sera en mesure d'approcher la quantile recherché.Les provisions techniques sont généralement modélisées par des loisnormales et log-normales, donc on fera une hypothèse de distributionnormale d'une part et log-normale d'autre part.

Avant de commencer, précisons que nous allons considérer les approximationssuivantes :

� Dans la mesure où, en assurance dommage, les prestations sont peu cor-rélées aux variations de la courbe des taux d'intérêt, on se dispensera deprobabiliser l'évolution des taux d'intérêts. On considérera un taux d'ac-tualisation �xe de 3%.

� Comme les règlements sont connus seulement par année, on suppose quetoute la charge annuelle est réglée en milieu d'année.

50

Le triangle des montants cumulés du portefeuille considéré est le suivant :

1 2 3 4 5 62003 529 865 595 685 715 725 765 155 840 343 849 9632004 575 472 689 835 799 845 839 867 854 8102005 545 963 599 687 778 419 791 6482006 652 894 750 489 776 6972007 617 224 764 8882008 588 961

On détermine la PSAP selon la méthode standard de Chain Ladder :

1 2 3 4 5 6 Ri2003 529 865 595 685 715 725 765 155 840 343 849 9632004 575 472 689 835 799 845 839 867 854 810 864 596 9 7862005 545 963 599 687 778 419 791 648 836 103 845 675 54 0272006 652 894 750 489 776 697 811 463 857 031 866 842 90 1452007 617 224 764 888 891 124 931 011 983 293 994 549 229 6612008 588 961 685 561 798 705 834 456 881 315 891 404 302 443

PSAP 686 062

Coef dév 1,1640 1,1650 1,0448 1,0562 1,0114

Le montant de provisions pour sinistres à payer s'élève à 686 062.

9.3 Evaluation du Best Estimate actualisé

Nous allons déterminer le Best Estimate de façon stochastique, en simulant lescharges ultimes pour chaque année de survenance, à l'exception de la premièreannée car, à la date d'évaluation, cette valeur est connue.

1 2 3 4 5 62003 529 865 595 685 715 725 765 155 840 343 849 9632004 575 472 689 835 799 845 839 867 854 8102005 545 963 599 687 778 419 791 648 Valeurs2006 652 894 750 489 776 697 simulées2007 617 224 764 8882008 588 961

La charge �nale simulée pour l'année de survenance i permet d'obtenir le mon-tant à mettre en réserve, pour l'ensemble des sinistres survenus cette année, endéduisant de cette valeur ce qui a déjà été payé.

51

Par dé�nition, le Best Estimate est l'espérance des �ux futurs de réglementactualisés. Par conséquent, nous avons besoin de déterminer comment les ré-serves, déterminées à partir des simulations, vont s'épuiser dans le temps.

Nous utiliserons les cadences données par la méthode de Chain Ladder qui nousindique en moyenne comment un sinistre évolue d'une année de développementà l'autre. Ainsi, nous procéderons de la sorte :

1. Nous déterminerons, en moyenne, la part de la charge ultime simulée quiest payé lors la première année de survenance. Dans notre cas, elle estenviron égale à 66%.

2. En utilisant les facteurs de développement de Chain Ladder, nous pourronsdéterminer, pour chaque année de développement, la proportion cumuléede la charge ultime qui sera payée .En e�et soient� f2, f3, ..., fn, les coe�cients de développement de Chain Ladder ;� hj , le pourcentage cumulé de la charge ultime payée durant l'année dedéveloppement j.

Dans notre cas on aura,

h1 = 66%h2 = h1 × f2 = 77%h3 = h2 × f3 = 90%h4 = h3 × f4 = 94%h5 = h5 × f4 = 99%

Lors de la dernière année de développement, la totalité des charges ultimesest réglée. Donc,

h6 = 100%

.

3. Puis, nous décumulerons ces pourcentages :

h1 = 66%h2 = 11%h3 = 13%h4 = 4%h5 = 5%h6 = 1%

4. Ainsi, nous serons en mesure de répartir l'utilisation des provisions dansle temps. Nous procéderons de la sorte :

52

1 2 3 4 5 6

1

2 h6h6

3 h5h5+h6

h6h5+h6

4 h4h4+h5+h6

h5h4+h5+h6

h6h4+h5+h6

5 h3h3+...+h6

h4h3+...+h6

h5h3+...+h6

h6h3+...+h6

6 h2h3+...+h6

h3h3+...+h6

h4h3+...+h6

h5h3+...+h6

h6h2+...+h6

Ainsi, la compagnie d'assurance devra assumer, pour l'année n + k, un �ux deprestation égal à

n−1∑j=k

hn+k−j

hn+k−j + ...+ hnR∗j+1.

où (∗) indique que la valeur est issue de simulations de Monte-Carlo.

Dans le cadre de notre triangle de liquidation, les réseves se répartiront commesuit :

1 2 3 4 5 6 Ri2003 529 865 595 685 715 725 765 155 840 343 849 9632004 575 472 689 835 799 845 839 867 854 810 100% R∗22005 545 963 599 687 778 419 791 648 84% 16% R∗32006 652 894 750 489 776 697 39% 51% 10% R∗42007 617 224 764 888 55% 17% 23% 5% R∗52008 588 961 32% 37,5% 12% 15,5% 3% R∗6

Par exemple pour les charges ultimes simulées suivantes, les futurs �ux de pres-tation seront :

Année Charges ultimes simulées Réserves Flux de prestation Flux actualisés à 3%2009 942 337 87 527 383 347 377 7232010 940 849 149 201 171 054 163 6362011 839 774 63 077 63 156 58 6582012 884 076 119 188 44 144 39 8052013 839 146 250 185 7 476 6545

Best Estimate 646 367

Le Best Estimate étant obtenu en sommant les �ux de prestation actualisés.

53

Après 40 000 simulations, on trouve un Best Estimate en moyenne égal à,

Best Estimate 666 184

9.4 Evaluation de la marge pour risque

Nous utiliserons la formule simpli�ée issue de la seconde proposition du QIS4,

CoCM ≈ CoC(SCR(0) +Durmod ×

{3 · σresPCOnet + 0.02 · PCObrut +Defre

})Les di�érentes composantes de cette formule seront évaluées de la façon sui-vante :

1. On considérera que la compagnie en question ne possède pas de traités deréassurance, donc Defre = 0.

2. Le coût du capital, CoC, est de 6%.

3. Pour l'évaluation du SCR actuel, deux risques seront pris en compte :

� le risque de provisionnement et de tari�cation,� le risque de catastrophe,

SCR(0) =√NL2

cat +NL2res,p.

avec

NLres,p = 3√

(σp · P )2 + (σres · PCOnet)2 + 2 α · σp · P · σres · PCOnet.

où

� α = 0.5 est le coe�cient de corrélation entre les risques de tari�cationet de provisionnement ;

� PCOnet est le Best Estimate de la PSAP nette, il s'agit du Best Esti-mate trouvée dans la section précédente, soit 666 184BC ;

� P est le montant des primes pour l'année à venir relatives aux contratssignés avant la date d'évaluation. Dans notre application, on supposeque :

� le Loss Ration (Montant total des primes/Montant total des sinistres)est égale à 120% ;

� la part des primes versées en l'année N (année en cours) qui couvrirale risque sur l'année N+1 est en moyenne de 25% (i.e qu'en moyenneles souscriptions ont eu lieu à la �n du premier trimestre).

54

Ainsi,P = 666 184× 120%× 25% = 199 855BC

� Pour les volatilités relatives au risque de provisionnement et tari�cationet au risque de catastrophe, nous prendrons celles fournies par �QIS4Helper�

Reserve risk volume and

volatility for each LoB

Reserve Volatility

Premium Volatility

Cat risk charge

All lines

Accident and health - workers compensation 10,0% 7,0% 7,0%

Accident and health - health insurance 7,5% 3,0% 10,0%

Accident and health - others/default 15,0% 5,0% 10,0%

Motor, third party liability 12,0% 9,0% 15,0%

Motor, other classes 7,0% 9,0% 7,5%

Marine, aviation and transport 10,0% 12,5% 50,0%

Fire and other damage to property 10,0% 10,0% 75,0%

Third-party liability 15,0% 12,5% 15,0%

Credit and suretyship 15,0% 15,0% 60,0%

Legal expenses 10,0% 5,0% 2,0%

Assistance 10,0% 7,5% 2,0%

Miscellaneous non-life insurance 10,0% 11,0% 25,0%

NP reins property 15,0% 15,0% 150,0%

NP reins casualty 15,0% 15,0% 50,0%

NP reins MAT 15,0% 15,0% 150,0%

Figure 9.1 � Estimations des volatilités pour chaque branche de l'assurancenon-vie fournies par le �QIS4 Helper�

Ainsi, le second terme du SCR initial sera

NLcat = 15%P.

4. La duration est évaluée pour chaque simulation des charges ultimes faitedans la section précédente, on prendra la moyenne.

55

Rappel : Duration

On rapelle que la duration d'un instrument �nancier à taux �xe est la duréede vie moyenne de ses �ux �nanciers pondérée par leur valeur actualisée.Mathématiquement, elle est égale à

D =

T∑t=1

t · Ft(1 + i)t

T∑t=1

Ft(1 + i)t

.

oùFt est le �ux �nancier de la période t

T est le nombre de périodes

i est le taux d'intérêt périodique

La duration donne une mesure approximative de l'impact instantané d'unevariation des taux d'intérêt sur un instrument �nancier. Plus elle estgrande, plus l'impact sera grand et donc plus le risque sera grand.

Récapitulons nos calculs dans le tableau suivant :

Coût du capital 6%Volatilité primes 9%Volatilité provisions 12%Chargement CAT 15%

Best Estimate 666 184Primes pour l'année à venir 199 855Duration 1,77Déf(réass) 0

NLcat 29 978NLres,p 270 868

CoCM 43 236

Pour �nir nous évaluons les provisions techniques :

Best Estimate 666 184Marge pour risque 43 236

Provisions techniques 709 420

Maintenant, nous allons chercher à déterminer à quel quantile de la distributiondes provisions correspond ce montant, et ce par di�érentes méthodes.

56

9.5 Détermination du quantile correspondant aumontant de provisions évalué dans la logiqueCoC

9.5.1 Méthode de simulation de Monte Carlo

Les simulations de Monte Carlo e�ectuées pour l'évaluation du Best Estimatenous permettent d'obtenir une distribution empirique des provisions techniques.

Figure 9.2 � Distribution empirique des charges restant à payer actualisées à3% obtenues par des simulations de Monte Carlo

Figure 9.3 � Fonction de répartition empirique des charges restant à payeractualisées à 3% obtenues par des simulations de Monte Carlo

57

Montant de provisions 700 000 709 420 710 000Value-at-Risk 66,98% 70,2% 70,4%

Donc, on trouve que les provisions techniques déterminées dans la logique CoCcorrespondent à une Value-at-Risk à 70,2% de la distribution donnée par lessimulations de Monte Carlo.

9.5.2 Modèle de Mack

Le modèle de Mack nous fournit la volatilité des charges ultimes évaluées selonla méthode standard de Chain Ladder. Ainsi, en émettant une hypothèse dedistribution de ces charges , nous serons en mesure de calculer des quantiles.

Le tableau suivant présente les volatilités des charges ultimes dans le cadre denotre exemple, ainsi que des intervalles de con�ance pour ces charges en utilisantl'approximation normale et lognormale.

Ri mse(Ri) se(Ri) se(Ri) en % de Ri9 786 901 046 818 30 017 307%54 027 4 007 234 671 63 303 117%90 145 4 765 220 144 69 031 77%229 661 15 641 418 981 125 066 54%302 443 15 851 747 304 125 904 42%686 062 69 928 696 876 264 440 39%

Ri I.C Normal I.C Lognormal9 786 [-50 249 ; 69 821] [-142 ; 64 765]54 027 [-72 578 ; 180 632] [-5465 ; 225 105]90 145 [-47 916 ; 228 206] [18 394 ; 278 472229 661 [-20 470 ; 479 792] [72 786 ; 558 907]302 443 [50 636 ; 554 250] [125 517 ; 621 122]686 062 [157 181 ; 1 214 943] [304 099 ; 1 347 582]

58

Les Value-at-Risk ont aussi été déterminées en supposant une distribution nor-male d'une part et lognormale d'autre part. Les résultats obtenus sont les sui-vants :

Paramètres Espérance Ecart-typeLoi normale 686 062 264 440Loi lognormale 13,36946 0.37218

Value-at-Risk 55% 60% 75% 80% 90%Loi Normale 719 292 753 057 864 424 908 620 1 024 955Loi Lognormale 670 805 703 452 822 822 875 629 1 031 403

Ainsi, on positionne notre montant de PSAP de 709 420 BC, déterminé selon lalogique CoC :

Value-at-Risk 53,54% Value-at-Risk 60,75%Loi Normale 709 420 Loi Lognormale 709 420

59

9.5.3 Méthode du Bootstrap

Nous avons vu précedemment que cette méthode nous permettait d'obtenir unedistribution empirique des provisions pour sinistres à payer.

Figure 9.4 � Distribution empirique des charges restant à payer obtenues parla méthode du Bootstrap

Ainsi, nous déterminons la moyenne et les quantiles qui nous intéresse.

Erreur Value-at-RiskMoyenne d'estimation de process 56,82% 58,8% 58,92%690 466 127 993 181 080 700 000 709 420 710 000

A�n de donner plus de crédibilité au quantile recherché, nous actualisons les�ux futurs.Cette actualisation intervient au niveau de l'application de la méthode ODP,plus précisément après le tirage aléatoire des incréments du triangle inférieurselon une loi Gamma. Ainsi,

Cnon cumuléODP (i, j) =

Cnon cumuléODP (i, j)

(1 + r)j+i−n−1+0.5, pour i+ j > n+ 1.

60

On obtient la distribution empirique suivante :

Figure 9.5 � Distribution empirique des charges restant à payer actualisées à3% obtenues par la méthode du Bootstrap

Erreur Value-at-RiskMoyenne d'estimation de process 62,94% 64,92% 65,05%662 514 127 993 172 714 700 000 709 420 710 000

9.6 Synthèse des résultats

Pour l'ensemble des méthodes utilisées, le montant de provisions techniquesde 709 420BC correspond à une Value-at-Risk de :

Monte Carlo Mack(N) Mack(LN) Bootstrap Bootstrap actualisé70,20% 53,54% 60,75% 58,80% 64,92%

La valeur donnée par le Bootstrap sans actualisation ne sera pas interprétableici car selon les principes de Solvabilité II le Best Estimate doit être évalué sousdes hypothèses réalistes.La valeur donnée par le modèle de Mack en supposant que les charges ultimessont distribuée selon une loi normale est plutôt faible par rapport aux autres.La loi normale n'est sûrement pas une bonne modélisation pour nos donnéesobservées, d'autant plus que l'approximation normale requiert un échantillon dedonnées su�sament grand. Cette valeur sera aussi jugée non interprétable.

61

Pour les trois valeurs restantes, on estime que si l'assureur met en réserve lamontant de 709 420BC, la probabilité que le coût total des sinistres dépasse cemontant est

Monte Carlo Mack(LN) Bootstrap actualisé29,80% 39,25% 35,08%

Il sera donc dans une situation de sous-provisionnement.

Conclusion

Dans ce mémoire, nous avons chercher à positionner les provisions techniquesdéterminées selon QIS4 par rapport à un quantile de la distribution des chargesrestant à payer.Ce positionnement a été réalisé par trois méthodes stochastiques de provision-nement fournissant

� soit directement la distribution des charges restant à payer (Simulationsde Monte Carlo et Bootstrap) ;

� soit les moments d'odre 1 et 2 permettant la paramétrisation d'une distri-bution dont on aura fait l'hypothèse (Chain Ladder et modèle de Mack).

Les résultats obtenus sont les suivants :

Le montant de provisions techniques selon QIS4 est le suivant :

Best Estimate 666 184Marge pour risque 43 236

Provisions techniques 709 420

Ce montant correspond, pour chacune des méthodes au niveau de con�ancede Value-at-Risk suivant :

Monte Carlo Mack(LN) Bootstrap actualisé70,20% 60,75% 64,92%

Nous sommes assez loin du quantile à 75% préconisé par QIS1.Selon nos trois approches la Value-at-Risk à 75% correspondrait à un provision-nement égal à

Monte Carlo Mack(LN) Bootstrap actualiséVaR75% 724 501 822 822 762 056Ecart 2,13% 15,99% 7,42%

62

63

L'écart moyen entre le montant des provisions trouvé et celui correspondantà une VaR à 75% est de 8,51%, soit un sous-provisionnement en moyenne de60 373BC.

Ce sous-provisionnement peut s'expliquer par le fait que l'on est calculé la margepour risque selon une formule actuarielle simpli�ée et/ou que le nombre de don-nées observées est très faible.Comme la méthode de Chain Ladder évalue les provisions en se basant sur lescadences des données observées, plus le nombre de données est faible, moinscette méthode sera �able, du fait que les données de sinistres exceptionnels per-dront leur caractère atypique.Par contre la méthode de Monte Carlo donne des provisions plus réalistes en�construisant arti�ciellement un échantillon plus grand�, avec pour seule hypo-thèse de simuler des charges ultimes supérieurs à ce qui a déjà été payé.La méthode du bootstrap dont le principe est de simuler des données qui sonten moyenne, en accord avec les résultats de Chain Ladder donne des résultatsintermédiaires.

Bibliographie

[1] EUROPEAN COMMISSION, Internal Market and Services DG, QIS4 Tech-nical Speci�cations, 2008.

[2] T. Mack, Distribution-free calculation of the standard error of Chain Ladderreserve estimates, ASTIN Bulletin,23,213-225, 1993.

[3] T. Mack, Which stochastic model is underlying the Chain Ladder method,Insurance : Mathematics and Economics,15,133-138, 1994.

[4] S. Pitrebois, P. De Longueville, M. Denuit, JF Walhin,Etude de techniquesIBNR modernes, ACTU-L,2,29-62, 2002.

[5] F. Planchet, J. Jacquemin, L'utilisation de méthodes de simulation en assu-rance, Bulletin français d'actuariat,Vol.6,N°11,3-35, 2003.

[6] F. Planchet, G. Leroy, P. Palsky, Solvabilité II - Pilier 1 : Comment aborderles enjeux actuariels à la lumière de QIS3 et de QIS4 ? Quelle démarche demodélisation ?, Winter & Associés, Fractales, 2008.

[7] C. Partrat, J.L Besson, Assurance non-vie. Modélisation, simulation, Eco-nomica, 2005.

[8] P. England, R. VERRALL, Analytic and bootstrap estimates of predictionerrors in claims reserving, Insurance : Mathematics and Economics, 1999.

[9] ACAM, Rapport du groupe de travail sur le calcul du best estimate en as-surance dommages, 2007.

Mémoires

[10] C. Geagea, Solvabilité II : application sur un portefeuille temporaire décès,ISFA, 2009.

[11] C. Sauvet, Solvency - Quelle modélisation stochastique des provisions tech-niques prévoyance et non-vie ?, ISFA, 2006.

[12] A. Lacoume, Mesure du risque sur un horizon de un an, ISFA, 2008.

Site Internet

www.ceiops.org

64

Annexe A

Algorithme de De Moro

L'inverse de la fonction de répartition de la loi normale standard n'est pasune formule explicite. L'algorithme de De Moro propose une méthode numé-rique permettant d'approcher le résultat.

Soit y réalisation de la loi uniforme sur [0, 1]. On cherche x tel que y = Φ(x).

Posons z = y − 0, 5.� Si |z| ≤ 0, 42 alors x est approché par :

z ×

3∑i=0

ai z2i

4∑j=0

bj z2j

.

� Si |z| > 0, 42, alors

x = ε

(8∑i=0

ciTi(t)

)− εc0

2,

où� ε est le signe de z ;

� t = k1

{2 ln

(− ln

(12 − |z|

))− k2

};

� la fonction f(t) =8∑i=0

(ciTi(t))−c02peut être approchée par l'algorithme

suivant : f(t) = td1 − d2 + c0

2

d10 = d9 = 0di = 2t di+1 − di+2 + ci, pour i = 8, 7, ..., 1.

65

ANNEXE A. ALGORITHME DE DE MORO 66

ai, bi, ci et ki sont des paramètres dont les valeurs sont données dans la tableausuivant :

i ci bi ai ki0 7.71088707054879 1 2.50662823884 0.4179886424926431 2.77720135336852 -8.4735109309 -18.6150062529 4.245468688137662 0.3614964129261 23.08336743743 41.39119773534 -3 3.73418233434554 × 10−2 -21.06224101826 -25.44106049637 -4 2.8297143036967 × 10−3 3.13082909833 - -5 1.625716917922 × 10−4 - - -6 8.017330474 × 10−6 - - -7 0.3840919865 × 10−6 - - -8 0.012970717 × 10−6 - - -

Annexe B

Démonstrations des

théorèmes relatifs au modèle

de Mack

B.1 Preuve du théorème 10

Ce théorème nous donne l'estimation de Mack de mse(Ri), qui est égale à

mse(Ri) = C2in

n−1∑k=n+1−i

σ2k

f2k

(1Cik

+1∑n−k

j=1 Cjk

).

Preuve. Considérons les abbréviations suivantes :Ei(X) = E(X|Ci1, ..., Ci,n+1−i)Vari(X) = Var(X|Ci1, ..., Ci,n+1−i)

mse(Ri) = E((Ri −Ri)2|D)

= E((Cin − Cin)2|D)

= Var(Cin|D) + E(Cin − Cin|D)2

mse(Ri) = Var(Cin|D) +[E(Cin|D)− Cin

]2. (?)

Il nous faut trouver des estimateurs raisonnables pour ces deux termes.

67

ANNEXE B. DÉMONSTRATIONS DES THÉORÈMES RELATIFS AUMODÈLE DEMACK68

Var(Cin|D) = Vari(Cin)= Ei(Var(Cin|Ci1, ..., Ci,n−1)) + Vari(E(Cin|Ci1, ..., Ci,n−1))

= σ2n−1E(Ci,n−1) + f2

n−1Vari(Ci,n−1)

= σ2n−1 fn−2...fn+1−i Cn+1−i + f2

n−1

(σ2n−2E(Ci,n−2) + f2

n−2Vari(Ci,n−2))

= Cn+1−i[fn+1−i...fn−2 σ

2n−1 + fn+1−i...fn−3 σ

2n−2 f

2n−1

]+ f2

n−2Vari(Ci,n−2)= ...

= Cn+1−i

n−1∑k=n+1−i

fn+1−i...fk−1 σ2k f

2k+1...f

2n−1, car Vari(Ci,n+1−i) = 0.

Dans la pratique, une bonne estimation de Var(Cin|D) peut être obtenue en

remplaçant les paramètres inconnus fk et σ2k par leurs estimateurs fk et σ2

k, ona donc

Var(Cin|D) ≈ Cn+1−i

n−1∑k=n+1−i

fn+1−i...fk−1 σ2k f

2k+1...f

2n−1

≈ Cn+1−i

n−1∑k=n+1−i

CinCn+1−i

σ2k

f2k

fkfk+1...fn−1

≈n−1∑

k=n+1−i

Cinσ2k

f2k

Cin

Cik

≈ C2in

n−1∑k=n+1−i

σ2k

f2k Cik

En ce qui concerne le second termne[E(Cin|D)− Cin

]2, il est égal à

[E(Cin|D)− Cin

]2= C2

i,n+1−i(fn+1−i...fn−1 − fn+1−i...fn−1)2.

Dans ce cas là, nous ne pouvons pas simplement remplacer les paramètre σ2k et f

2k

par leur estimateur fk et σ2k comme pour Var(Cin|D), car ce terme s'annulerait

tout le temps.

Posons F = (fn+1−i...fn−1 − fn+1−i...fn−1)2.Soit F = Sn+1−i + ...+ Sn−1 avec Sk = fn+1−i...fk+1(fk − fk)fk+1fn−1.Donc,

F 2 = (Sn+1−i + ...+ Sn−1)2

=n−1∑

k=n+1−i

S2k +

∑j<k

SjSk.


Maintenant, nous faisons l'approximation suivante :

S2k ≈ E(S2

k|Bk) avec Bk = {Cij |j ≤ k, i+ j ≤ n+ 1}SjSk ≈ E(SjSk|Bk) avec j < k.

Comme les fk sont des estimateurs sans biais des fk, on a

E(fk − fk|Bk) = 0 =⇒ E(SjSk|Bk) = 0 pour j < k.

De plus, ils sont non corrélés donc

E((fk − fk)2|Bk) = Var(fk − fk|Bk)

= Var(fk|Bk)

=

n−k∑j=1

Var(Cj,k+1|Bk)

n−k∑j=1

Cjk

2

=

n−k∑j=1

σ2kCjkn−k∑

j=1

Cjk

2

=σ2k

n−k∑j=1

Cjk

On obtient donc

E(S2k|Bk) = fn+1−i...f

2k+1

σ2k

n−k∑j=1

Cjk

f2k+1...f

2n−1.

Tous les termes de cette somme étant positifs, on peut maintenant remplacerles paramètres σ2

k et f2k par leur estimateur sans biais fk et σ2

k. Ainsi,

F 2 = fn+1−i...f2k+1

n−1∑k=n+1−i

σ2k/f

2k

n−k∑j=1

Cjk

.

Donc,

E(Cin|D − Cin)2 = Cin

n−1∑k=n+1−i

σ2k/f

2k

n−k∑j=1

Cjk

.


En remplaçant dans (?), on obtient

mse(Ri) = C2in

n−1∑k=n+1−i

σ2k

f2k

(1Cik

+1∑n−k

j=1 Cjk

).

B.2 Preuve du théorème 11

Ce théorème nous présente l'estimation que fait Thomas Mack de mse(R),elle est égale à

mse(R) =n∑i=2

mse(Ri) + Cin

n∑j=i+1

Cjn

n−1∑k=n+1−i

2 σ2k/f

2k∑n−k

j=1 Cij

.

Preuve.

mse

(n∑i=2

Ri

)= E

( n∑i=2

Ri −n∑i=2

Ri

)2

|D

= E

( n∑i=2

Cin −n∑i=2

Cin

)2

|D

= Var

(n∑i=2

Cin|D

)+

[E

(n∑i=2

Cin|D

)−

n∑i=2

Cin

]2

.

D'après l'indépendance des années de survenance, on a

Var

(n∑i=2

Cin|D

)=

n∑i=2

Var(Cin|D).

En ce qui concerne le second terme,

[E

(n∑i=2

Cin|D

)−

n∑i=2

Cin

]2

=

(n∑i=2

E(Cin|D)− Cin

)2

=n∑i=2

n∑j=2

[E(Cin|D)− Cin][E(Cjn|D)− Cjn]

=∑i,j

Ci,n+1−i Cj,n+1−j FiFj

avec Fi = fn+1−i...fn−1 − fn+1−i...fn−1.


On a donc,

mse

(n∑i=2

Ri

)=

n∑i=2

Var(Cin|D) +∑i,j

Ci,n+1−i Cj,n+1−j FiFj .

Comme mse(Ri) = Var(Cin|D) + (Ci,n+1−i − Fi)2, on a

mse

(n∑i=2

Ri

)=

n∑i=2

mse(Ri) +∑

2≤i<j≤n

2 Ci,n+1−i Cj,n+1−j FiFj . (??)

On estime FiFj , pour i < j, de façon analogue à l'estimation de F 2 faite dansla preuve précédente. On obtient :

FiFj =n−1∑

k=n+1−i

fn+1−j ...fn−i f2n+1−i...f

2k−1 σ

2k f

2k+1...f

2n−1

n−k∑l=1

Clk

.

En introduisant cette estimation dans l'équation (??), on obtient

mse(R) =n∑i=2

mse(Ri) +∑i<j≤n

n−1∑k=n+1−i

2 Cjn Cinσ2k/f

2k

n−k∑l=1

Clk

=n∑i=2

mse(Ri) + Cin

n∑j=i+1

Cjn

n−1∑k=n+1−i

2σ2k/f

2k∑n−k

l=1 Clk

given the shortcomings of solvency i, solvency ii is born with the aim of measuring the solvency of...

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