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MULTIPLICACAO e DIVISAOI

ALGUNS PROBLEMAS COMUNS

Jose Jakubovic- Editora Scipione

Em art/go anterior, apresentamos alguns proble-mas re/at/~amente 'ace/s que, no entanto, podem con-trlbulr para nossos alunos de 4' ou 5' serle a'!'pllaremsua compreensso da adlr;so e sUbtrar;so. E naturalprossegulr a serle de problemas abordando a multlpll-car;so e 8 d/~/sso.

Como ja destacamos no primeiro artigo, os proble-mas sozinhos podem ser pouco eficazes para aumentaro conhecimento das crianc;:as. E 0 metoda didatico quevai determinar a eficacia dos problemas. Por isso, namedida do possivel, 0 professor deve favorecer a trocade ideias sobre cada problema, promover 0 confronto desoluc;:6es diferentes, procurar substituir suas pr6priasexplicac;:6es pelas dos alunos.

Apresentamos alguns problemas acompanhados debreves comentarios. A partir destes exemplos, os cole-gas podem ampliar a lista, criando novos problemas deacordo com as necessidades e interesses de seusalunos.

Problema 1: tomando 0 pu/soConte quantas batidas seu pulso da em um minuto.Depois, calcule quantas batidas ele da por dia.

Nao se trata apenas de um treino de calculo. Deimediato, notamos que 0 problema exige uma atividadede medida de tempo e 0 usa das unidades de medidaadequadas. Assim, 0 aluno pode adquirir noc;:6es deinteresse pratico. Mas, ha mais que isso.

Entre os alunos surgem naturalmente perguntas co-mo estas: - Como se toma 0 pulso? Por que 0 pulsobate? - Para que serve tomar 0 pulso? - Qual e 0

numero normal de batidas por minuto? 0 professor tem,nesse momento, a oportunidade de colocar os fatosmatematicos dentro de um contexto mais amplo, relacio-nando-os com a 6iologia, por exemplo. A ultima dasperguntas citadas permite que sejam discutidas noc;:6essobre media aritmetica e estatistica em gera!. Ao mesmotempo, desperta-se a curiosidade dos alunos para variasquest6es sobre seu pr6prio organismo.

• Marcelo Lellis •- FUNBEC

Ao apresentar problemas como este, convem que 0professor fac;:aperguntas, solicite informac;:6es do pr6-prio aluno, em vez de simplesmente fornec€Has. Dessaforma, nao e s6 0 raciocinio matematico que e exerci-tado.

Problema 2: multos rel6glos em um s6

Ha rel6gios que sao vendidos com varias pulseiras,caixas de mostrador e aros, que podem ser combinadosde varios modos.

De quantas maneiras podemos montar um re/6giocom 8pu/seiras (de cores diferentes), 6 caixas de mostra-dor (de cores diferentes) e 6 aros (de cores diferentes)?

Uma das ideias contidas na multiplicac;:ao de nume-ros naturais e a adic;:ao de parcelas repetidas. Nesteproblema, porem, aparece outra ideia da multiplicac;:ao: aideia combinat6ria.

Por exemplo, combinando 8 pulseiras com 6 caixas,temos 8 x 6 = 48 combinac;:6es diferentes, porque cadauma das 8 pulseiras pode ser combinada com 6 caixasdiferentes. Cada uma dessas 48 combinac;:6es de pulsei-ras e caixas pode ser combinada com 6 aros, resultando48 x 6 = 288 combinac;:6es diferentes.

Nao e facil as crianc;:as perceberem que esta situac;:aoenvolve a multiplicac;:ao. Por isso, antes de propor 0problema, e conveniente alguma preparac;:ao.

o professor pode comec;:ar mostrando (ou dese-nhando) um rel6gio do tipo descrito no problema. Essesrel6gios saD bem conhecidos, havendo bastante propa-ganda sobre eles na televisao.

Em seguida, podem ser propostos problemas maissimples, como estes: a) Quantas e quais saD as maneirasde montar um rel6gio de tres pulsieras (preta, branca evermelha) e do is aros (preto e branco)?b) Mostre todas as maneiras de montar um rel6gio comduas pulseiras (preta e branca), duas caixas (preta ebran~) e do is aros (preto e branco).

Nestes problemas preliminares, a exig€mcia de mos-trar as possiveis combina<;:oes leva os alunos a represen-tarem as situa<;:oes por desenhos ou esquemas. 0 profes-sor deve pedir que alguns alunos apresentem no quadro-negro as representa<;:oes obtidas.

Uma solu<;:ao comum para 0 problema (a) e esteesquema:

aro aro aro

I· preto preto pulse,'ra pretopu selra pulseirapreta aro branca aro vermelha aro

branco branco branco

Aqui, percebe-se que cada uma das 3 pulseiras pro-duz 2 combina<;:oes.

o professor po de contribuir apresentando outro es-quema, mais economico:p--_P __ P V--_P--b B--b ---bA partir desses esquemas (ou desenhos) os alunos

terao boas condi<;:oes para resolver 0 problema principale avan<;:ar mais urn passe na sua compreensao da multi-plica<;:ao.

Problema 3: quantos tl/olos na pl/ha de tl/olo.?o caminh80 descarregou os tijolos na constru-

980. 0 mestre de obras veio contar os tijolos paraconferir. A pilha de tijolos a forma de uma caixaretangular, com 15 tijolos no comprimento, 12 nalargura e 20 na altura.

Quantos tijolos havia na pilha?

Aqui, aparece uma terceira ideia da multiplica<;:ao denumeros naturais: ela nos permite saber a quantidade deobjetos organizados em filas e colunas. Por exemplo, nafigura abaixo temos 4 fileiras com 6 pontos cada. Portan-to, temos 4 x 6 = 24 pontos. Esta ideia e util para 0calculo de areas e de volumes.

• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •No problema apresentado, esta ideia aparece sob

uma forma mais complexa: temos varias camadas detijolos organizados em filas e colunas, formando uma .pilha retangular.

Primeiramente, 0 professor deve verificar se ascrian<;:as entendem 0 enunciado: serao elas capazes deimaginar ou desenhar uma caixa retangular?

Depois, e precise saber se elas percebem que asitua<;:ao envolve a mUltiplica<;:ao. Como no caso anterior,podemos propor antes alguns problemas mais faceis:a) Desenhe urn piso com 6 ladrilhos quadrados no com-primento e 4 desses ladrilhos na largura.b) Quantos ladrilhos existem em urn piso como esse,quando ha 141adrilhos no comprimento e 12 na largura?

Finalmente, na resolu<;:ao do problema, pode-se su-gerir que as crian<;:as imaginem os tijolos arrumados em20 camadas (PQrque ha 20 tijolos na altura). Quantostijolos havera em cada camada? E em 20 camadas?

Se mudarmos os dados deste problema, passamos ater urn outro problema que explora uma ideia importan-te, nao mais da multiplica<;:ao, mas da divisao. Temosentao 0 seguinte:

Problema 4: mal. tl/olo.Imagine uma pilfla de tijolos como a do problema 3. Elatem 22 tijolos no eomprimento, 15 na largura e um total.de 3960 tijolos. Quantos tijolos ela tem de altura?

Neste caso, a divisao e usada como opera<;:ao inver-sa da multiplica<;:ao. Sabemos que ha 22 x 15 = 330tijolos em cada camada da pilha. Multiplicando 330 pelaaltura da pilha, obtemos 3960, como vimos no problema3. Por isso,3 960 ~330 nos da quantos tijolos ha na altura.

o raciocfnio apresentado pode ser muito complexopara uma crian<;:a de 10 ou 11 anos. Para possibilitar queo aluno tenha sucesso neste problema, e recomendavelpropo-Io em conexao com 0 problema anterior e, s6 ap6seste ter side bem explorado. Assim, ao enfrentar 0 pro-blema 4, 0 aluno encontra uma situa<;:ao que ja Ihe efamiliar.

Problema 5: a. calxa. de refrlgerante.Coloeando 500 refrigerantes em caixas de 24 refrige-rantes:a) quantas eaixas fiearao completas?b) havers alguma caixa ineompleta?e) quantos refrigerantes havers na eaixa incompleta?

Esse e urn problema muito simples de divisao denumeros naturais. Seu merito e concretizar as no<;:oes dequociente e resto. Repartindo os 500 refrigerantes emgrupos de 24 refrigerantes, 0 quociente de 500 ~24 dara aquantidade de caixas completas; a existencia de restodiferente de zero na divisao indica que ficou uma caixaincompleta; e 0 resto dessa divisao nos diz quantosrefrigerantes estao na caixa incompleta.

Sem duvida, saber interpretar 0 quociente e 0 restoda divisao, na situa<;:ao deste problema, e urn passe nacompreensao da opera<;:ao.

E precise notar que muitos alunos nao conseguemperceber 0 que significa 0 resto da divisao e, portanto,nao respondem a questao (c). Nesse caso, 0 professorpode sugerir que eles utilizem a adi<;:ao ou a mUltiplica-<;:ao.Por exemplo, efetuando 24 + 24 + 24 + ...ate obter asoma mais pr6xima e inferior a 500, encontra-se 0 nume-ro de caixas completas, pois cada parcela indica umacaixa completa. 0 que faftar para atingir 500, informaquantos refrigerantes estao na caixa incompleta.

Problema 6: Mariana e o. I/.,ro.Mariana fieou encarregada de comprar os livros de

Matemstiea daelasse. Reeolheu 0 dinheiro e foi ate a Edito-ra. Ao chegar, reparou que tinha esquecido a lista doseompradores e nao sabia quantos livros deveria com-prar. Ajude Mariana a resolver seu problema. sabendoque eada livro eusta 850 cruzados e que ela tem 17850cruzados.

_ Outro problema simples, mas envolvendo uma situa-<;:aode cotidiano bastante verossimil.

Este problema pode ser proposto omitindo a infor-mar;ao final sobre 0 prer;o dos livros e 0 dinheiro queMariana tern. Nesse caso. deve-se perguntar como Ma-riana pode descobrir quantos livros comprar. utilizandoa Matematica. Respondendo por escrito. 0 aluno exercitaseu raciocinio verbal.

Problema 7: 0 cometa Halley

o cometa Halley passa perto da Terra de 76 em 76anos. Ele passou pela ultima vez em 1986. Sera que elepassou no ana 1000?

Algumas informar;oes prevlas podem motivar esteproblema. Em suas passagens pela Terra, 0 Halley sem-pre foi extremamente brilhante (exceto em 1986). No ana1000 houve panico na popular;ao europeia: muita gentepensava que 0 mundo ia acabar. Teria side 0 Halley 0causador desse susto?

E frequente que os alunos ataquem esse problemaefetuando: 1986 - 76= 191O~ 1910 - 76= 1834; 1834 - 76=1758 e assim por diante. E uma solur;ao boa. mas hamelhor:

986 1~7_6_-76 12226

-15274

Como a divisao deixa resto, 0 Halley nao passou no ana1000. Para solucionar 0 problema desta maneira, e preci-so compreender que a divisao nao e utilizada somentequando repartimos quantidades em partes iguais. A divi-sac serve tambem para verificarmos quantas vezes umaquantidade cabe em outra. Na resolur;ao. verificamosquantas vezes 76 cabe em 986 (ou quantos grupos de 76formam a quantidade 986).

A compensar;ao dessa ideia da divisao deve surgirquando ocorre 0 confronto das solur;oes dos alunos. Noentanto, pode ser necessario que 0 pr6prio professorapresente a solur;ao que utiliza a divisao. Em todo caso.isso s6 deve ser feito ap6s os alunos terem trabalhado noproblema.

Problema 8: dlvldlndo os pr{jmlos

Em certo programa de televisso duas pessoas .9a-nharam um premio de 148000 cruzados. A senhora Ma-ria dos Anz6is foi a primeira colocada e ganhou 0 triplodo senhor Joso das Couves, 0 segundo colocado.

Quanto vai receber cada um?

Este tipo de problema e comum nos livros didaticos,que sempre 0 solucionam at raves de uma pequenaequar;ao:

Joao: xMaria:3x

3x + x = 1480004x = 148000

x = 148000 - 4x = 37000

Joao recebe x = 37000; Maria recebe 3.x = 3.37000 =111000. Nesta resolur;ao, as vezes substitui-se 0 simbolox pelo simbolo. 0

Recomendamos este problema, mas nao~ resolur;ao apresentada. Para que um problema favore-

r;a 0 raciocinio. e precise que 0 pr6prio aluno trabalhe naresolur;ao. 0 professor deve ajudar. mas nunca ajudardemais.

E como poderemos auxiliar os alunos a resolver esteproblema?

Uma possibilidade e propor 0 mesmo problema en-volvendo numeros menores e sugerir que os alunosfar;am tentativas (procedam por ensaio e erro) para che-gar a solur;ao.

Outra possibilidade e encaminhar 0 raciocinio doaluno com perguntas como estas::- Quem recebeu menos: Maria ou Joao?- Entao Joao recebeu a menor parte. Quantas partesiguais a essa recebeu Maria?- Imagine 0 dinheiro do premio dividido em partesiguais. Quantas sac as partes de Joao? E as de Maria?

Percebendo que 0 premio foi dividido em quatropartes, tres para Maria e uma para Joao, os alunospodem elaborar urn outro metodo para resolver 0 pro-blema:

148000-1228

- 280000

lL-37000

37000x3

111000

Joao: 37000; Maria: 111000Quando os alunos tiverem resolvido mais dois ou

tres problemas deste tipo e compreendido 0 processo deresolur;ao, 0 professor pode apresentar 0 processo utili-zado pelos livros didaticos.

Nessa altura. os alunos conseguirao compreende-Io.po is tiveram oportunidade de refletir sobre a situar;ao doproblema. Provavelmente, eles perceberao certas vanta-gens nessa solur;ao que utiliza a equar;ao de 1° grau.especial mente nos casos em que 0 problema envolveuma divisao de premios mais complexa. com tres ouquatro premiados e varias condir;oes. Em consequencia,este pode ser urn bom momenta para iniciar 0 ensinodessas equar;oes, porque elas mostram sua utilidade.

Problema 9: um aluno espertoo professor pediu que Dino apresentasse 0 resto e 0

quociente das seguintes divis6es:4221 ~ 12. 4222 ~ 12, 4223 ~ 12, 4224 ~ 12 e 4225 ~ 12

Dino fez s6 a primeira das contas, mas apresentou 0resto e 0 quociente corretos de todas as outras.

Fa9a como ele e de 0 res to e 0 quociente de todasessas divis6es, efetuando s6 a primeira divisso.

Para tomar mais concreta a situar;ao do problema.pode-se sugerir aos alunos que imaginem estar dividindo4221 cruzados entre 12 pessoas.

Efetuando essa divisao, vamos obter quociente 351 eresto 9, ou seja. cad a pessoa recebe 351 cruzados erestam 9 cruzados. E claro entao que, acrescentando 1cruzado ao total a ser dividido. cada pessoa recebera amesma quantia. mas 0 resto sera 10.

Com raciocinios parecidos os alunos podem resol-ver 0 problema e compreender as relar;oes entre dividen-do. divisor, quociente e resto. Essas relar;oes sac simplespara n6s, adultos, mas certamente sac bastante sutispara as crianr;as. As vezes, elas nao conseguem resolvero problema e, nesse caso, 0 professor deve propor queinvestiguem uma situar;ao mais simples. Por exem-plo, efetuar 22 ~ 5, 23 ~ 5, 24 ~ 5, 25 ~ 5 e observar 0

resto e 0 quociente da divisao em cada caso.