ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

МАТЕМАТИКА

ПОДГОТОВКА К ЕДИНОМУ

ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ

МОСКВА 2011

2

Математика. Подготовка к единому государственному экзамену. Составители: Губарева Е.А., Ефимова М.В., Лебедев В.В.

Учебное пособие состоит из двух частей. В первой части приведены образцы задач с решениями и задачи для самостоятельного решения, к каждой из которых даны ответы. Во второй части приведены два контрольных теста. Тщательная проработка абитуриента-ми задач данного пособия поможет им подготовиться и успешно сдать единый государст-венный экзамен по математике.

Учебное пособие рекомендовано кафедрой высшей математики ГУУ для занятий на Подготовительном факультете и подготовительных курсах университета, а также для са-мостоятельной подготовки абитуриентов к единому государственному экзамену по мате-матике.

© В.В.Лебедев, 2011 © ГУУ, 2011

3

Содержание Раздел первый 4

1. Алгебраические уравнения и неравенства 4

2. Текстовые задачи. Прогрессии. Задачи по теории вероятности 11

3. Тригонометрические уравнения и неравенства 18

4. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 26

5. Начала анализа; производная функции 33

6. Геометрия 36

7. Задачи повышенной сложности 43

Раздел второй 49

Тренировочные тесты 49

4

РАЗДЕЛ 1

1. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

1.1. Решите уравнение 22 1 0x x . Решение.

Так как 1 1x , то (по теореме Виета) в силу 1 212

x x имеем: 212

x .

Ответ: 1 ;2

1.

1.2. Решите уравнение 4 ( 3)x x .

Решение.

4 ( 3)x x 24 3x x 2 3 4 0x x 1,23 9 16 3 5

2 2x

1 4x , 2 1x .

Ответ: -1, 4. 1.3. Решите уравнение 3 49 0x x . Решение.

3 249 0 ( 49) 0 ( 7)( 7) 0 0, 7x x x x x x x x x . Ответ: 0, 7x x .

1.4. Решите систему неравенств 5 2 02 3 0

xx

.

Решение. 2

5 2 0 2 35 ( ; ]2 3 0 3 5 2

2

xxx

x x

.

Ответ: 2 3( ; ]5 2

x .

1.5. Решите систему неравенств 4 3 02 9 0

xx

.

Решение. 3

4 3 0 3 14 ( ;4 ]2 9 0 9 4 2

2

xxx

x x

.

Ответ: ( 0,75;4,5]x . 1.6. Решите неравенство 2 8 7 0x x . Решение.

2 8 7 0 ( 1)( 7) 0 ( 7; 1)x x x x x . Ответ: ( 7; 1)x .

5

1.7. Решите неравенство ( 2)(4 )( 1) 0x x x . Решение. В силу монотонности функций 2y x , 4y x , 1y x функция

( 2)(4 )( 1)y x x x меняет знак в точках 1x , 4x и 2x . При 4x функция ( 2)(4 )( 1)y x x x отрицательна. Поэтому знак функции на каждом из интервалов

( ; 1), ( 1; 2); (2;4) и (4; ) определяется согласно рисунку.

Ответ: ( ; 1] [2;4]x . 1.8. Решите неравенство 2(2 4)( 1) 0x x .

Решение. Функции 2 4y x , 1y x и 1y x являются монотонно возрастающими. Поэтому знак функции (2 4)( 1)( 1)y x x x изменяется при переходе x через точки 1, 1 и 2 (смотри рисунок). Поэтому (2 4)( 1)( 1) 0x x x ( ; 1) (1;2).x

Ответ: ( ; 1) (1;2).x

1.9. Решите неравенство 2

2

( 1) (3 ) 0( 7)

x xx

.

Решение. Область определения данного неравенства ( ;7) (7; )x . Функция 3y x изме-няет знак при переходе через точку 3x , а функции 2( 1)y x и 2( 7)y x при всех значениях x , принадлежащих области определения, неотрицательны. Таким образом:

2

2

( 1) (3 ) 0 {1} [3;7) (7; )( 7)

x x xx

.

Ответ: {1} [3;7) (7; )x .

1.10. Решите неравенство 2 2 2 2(2 18) (3 17)2 5 2 5

x x x xx x

.

Решение. 2 2 2 2 2 2 2 2(2 18) (3 17) (2 18) (3 17) 02 5 2 5 2 5

x x x x x x x xx x x

2 2 2(5 35)( 2 1) ( 7)( 7)( 1)0 0

2 5 2 5x x x x x x

x x

. Область определения данно-

го неравенства ( ; 2,5) ( 2,5; )x . Функция 7y x изменяет знак при пере-ходе через точку 7x , функция 7y x изменяет знак при переходе через точку

7x , функция 2 5y x изменяет знак при переходе через точку 2,5x , а функция 2( 1)y x при всех значениях x , принадлежащих области определения, неотрицательна.

Таким образом: 2( 7)( 7)( 1) 0 [ 7; 2,5) { 1} [ 7; )

2 5x x x x

x

.

6

Ответ: [ 7; 2,5) { 1} [ 7; )x .

1.11. Решите неравенство 2

2

6 2 02 5 6

x x xx x x

.

Решение. 2 2

2

6 2 2 1 ( 2)(( 3) 1)0 ( 3 ) 0 02 5 6 2 3 ( 2)( 3)

x x x x x xxx x x x x x x

2 2 0

( 2)(( 3) 1) ( 2)( 2)( 4)0 0 ( 2)( 4) 0( 2)( 3) ( 2)( 3)( 3)

xx x x x x

x xx x x x

x

. Используя

метод интервалов, получим ( ; 4] ( 3; 2) ( 2;2].x . Ответ: ( ; 4] ( 3; 2) ( 2;2].x 1.12. Решите уравнение | 4 | 9.x Решение.

| 4 | 9.x 4 9x 4 9x 13

5xx

.

Ответ: 13; 5 . 1.13. Решите уравнение | 3 2 | 11.x Решение.

| 3 2 | 11x 3 2 11x 2 3 11x 2 82 14

xx

47.

xx

Ответ: 7, 4. 1.14. Решите уравнение .| 2 | 5 4x x

Решение.

| 2 | 5 4x x

2 5 42 0

2 5 42 0

x xx

x xx

4 22

6 62

xxx

x

1x .

Ответ: 1.

1.15. Решите уравнение 43 3 2x . Решение.

43 3 2 43 3 4 3 39 13x x x x . Ответ: 13x . 1.16. Решите уравнение 2 4 6x . Решение.

2 4 6 2 4 36 2 32 16x x x x . Ответ: 16x .

7

1.17. Решите уравнение | | 4 5x .

Решение. | | 4 5x | | 4 25x | | 29x 29x .

Ответ: 29 , 29 .

1.18. Решите систему уравнений 2 3 5

5 2 16.

x y

x y

Решение. 2 3 5

5 2 16

x y

x y

4 6 10

15 6 48

x y

x y

19 38

2 5 16

x

y x

22 6

xy

4, 3.x y

Ответ: (4,-3). 1.19. Решите уравнение 5 6x x . Решение.

2 2

00 0

5 6 115 6 5 6 0

6

xx x

x x xxx x x x

x

.

Ответ: 1x . 1.20. Решите уравнение 4 2 5x x . Решение.

2 2

44 0 4

4 2 5 338 16 2 5 10 21 0

7

xx x

x x xxx x x x x

x

.

Ответ: 3x . 1.21. Решите уравнение 3 7 2 5 0.x x

Решение.

3 7 2 5 0.x x

3 72 0

2 5

xx

x

3 72

2 25

xx

x

3 72

27

xx

x

1027

xx

Ответ: 10, 27. 1.22. Решите уравнение 2 4 5 2 3 5 0.x x x

Решение.

2 4 5 2 3 5 0.x x x

2 4 5 02 3 0

2 3 5

x xx

x

51

32

2 3 25

xx

x

x

514

xx

Ответ: 5, 14.

8

1.23. Решите неравенство 2 7x .

Решение.

2 7x 2 02 49

xx

2 49.x

Ответ: 2;49 .

1.24. Решите неравенство 4 8x x . Решение.

2 2

8 0 84 8

4 8 4 0 4( 12)( 5) 0

4 16 64 17 60 0

x xx

x x x xx x

x x x x x

4 8

4 5125

xxx

x

.

Ответ: [ 4;5] .

1.25. Решите неравенство | 3 | ( 3 9) 0.

3x x xx

Решение. Функция ( ) 3 9h x x x монотонно убывает на всей области определения 3x . При

этом ( ) 0h x , если 6x , вследствие чего функция | 3 |( ) ( 3 9)3

xg x x xx

меняет

знак в точках 3x и 6x . Поэтому ( ) 0g x при 6 3x .

Ответ: 6; 3 . 1.26. 4 6.f x x x Решите неравенство 2 0.f x Решение. Обозначим ( ) 2 .g x f x Имеем: ( 2) 4 ( 2) 6 2 4.g x x x x x

Функция ( )g x определена при 2x , причем ( )g x монотонно возрастает всюду в области определения. Найдем корень уравнения ( ) 0g x . Имеем:

2 4x x 22 16 8

4 0x x x

x

2 9 18 04

x xx

36

4

xx

x

3x .

В силу сказанного ( ) 0g x при 3x и ( ) 0g x при 2 3x .

Ответ: 2;3 . 1.27. Найдите сумму решений уравнения 52 13 3 47( 1) ( 1) 1x x x . Решение.

9

Уравнение содержит только четные функции, следовательно, каждому положительному решению уравнения 0x соответствует решение 0x . Поскольку, по крайней мере, одна па-ра решений 3x у уравнения есть, то сумма корней уравнения равна 0. Ответ: 0.

1.28. Решите уравнение 5 5 1 1 11 2 3 2 2

x x xx x x x

.

Решение. Найдем область определения данного уравнения:

5 01

2 15 052

1 02

xx

xxxx

xx

Если 2 1x , то левая часть уравнения положительна, а правая отрицательна, а, сле-довательно, на этом промежутке уравнение решений не имеет. Подставляя значение 5x в уравнение, получаем верное равенство. Ответ: 5x . 1.29. Решите неравенство 3 2 2 3 22 3 4 5 5x x x x x x x x .

Решение. Нетрудно заметить, что 3 2 2 3 2( 2 3 ) ( 4 5) 5x x x x x x x x . Воспользовавшись

свойством модулей a b a b , причем 0a b a b ab , получим, что данное

неравенство равносильно уравнению 3 2 2 3 22 3 4 5 5x x x x x x x x . Это урав-нение равносильно неравенству

3 2 2 2 2( 2 3 )( 4 5) 0 ( 2 3)( 4 5) 0 ( 1)( 3)( 1)( 5) 0.x x x x x x x x x x x x x x x Применяя метод интервалов, имеем [ 5; 1] [0;1] [3; )x . Ответ: [ 5; 1] [0;1] [3; )x .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

1.1. Решите уравнение 7 ( 6)x x .

1.2. Решите систему неравенств 2 3( 1) 72( 3) 8

xx x

.

1.3. Решите неравенство 22 25 0x x .

1.4. Решите уравнение 2 5x .

1.5. Решите уравнение 3 7x . 1.6. Решите уравнение .| 3 | 3 1x x 1.7. Решите уравнение .| 2 | 3 4x x 1.8. Решите уравнение 3 5.x 1.9. Решите уравнение 5 4x .

10

1.10. Решите уравнение 22 3 1x . 1.11. Решите уравнение | 4 | 5 6.x

1.12. Решите уравнение | | 5 4.x

1.13. Решите систему уравнений: 3 2 8

4 7.

x y

x y

1.14. Решите систему уравнений: 3 2 6

2 5.

x y

x y

1.15. Решите уравнение (| 2 | 4)( 5 3) 0x x .

1.16. Решите уравнение 2( 9) ( 3 1 2) 0x x .

1.17. Решите неравенство 2 3.x 1.18. Решите неравенство 5 3x . 1.19. Решите неравенство 3 4 2x x . 1.20. Решите неравенство 2 4x x .

1.21. Решите неравенство | 2 | ( 1 5) 0.2

x x xx

1.22. Решите неравенство | 5 | ( 7 2 4) 0.5

x x xx

Ответы к задачам для самостоятельного решения

1.1. 1 , 7 ; 1.2. ( 2;2)x ; 1.3. , 5 2,5 ; 1.4. 7; 3 ; 1.5. 4;10 ; 1.6. 2; 1.7. 1; 1.8. 22; 1.9. 11; 1.10. 7; 1.11. 27; 35 ; 1.12. 21 ; 1.13. (4;1) ; 1.14. ( 4;9) ; 1.15. 4; 2 ; 1.16. 1; 3 ; 1.17. [2;11) ; 1.18. ( 4;5] ; 1.19. 1; ) ; 1.20. ( ; 2] ; 1.21. (2;3) ; 1.22. (3;5) .

11

2. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ. ПРОГРЕССИИ. ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ. 2.1. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Катя купила 3кг 500г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 300 рублей? Решение. Стоимость 3кг500г клубники составит: 80 3 80 0,5 240 40 280 . Сдача составит 300 280 20 рублей. Ответ: 20. 2.2. Из пункт А в пункт D ведут три дороги. Через пункт В едет грузовик со средней скоростью 40 км/ч, через пункт С едет автобус со средней скоростью 40 км/ч. Третья дорога –без промежуточных пунктов, и по ней движется легковой ав-томобиль со средней скоростью 47 км/ч. На рисунке показана схема дорог и расстояние между пунктами по дорогам. Все три автомобиля одновременно выехали из А. Какой из автомо-билей добрался до пункта D позже других? В ответе укажите, сколько часов он находился в дороге. Решение. Чтобы получить ответ на поставленный вопрос необходимо вычислить время движения по

каждому из маршрутов ( Stv

).

Время в пути грузовика: пройденное расстояние 40 60 100 км, скорость 40 км/ч, время в пути 100:40=2,5 часа. Время в пути автобуса: пройденное расстояние 54 36 90 км, скорость 40 км/ч, время в пути 90:40=2,25 часа. Время в пути легкового автомобиля: пройденное расстояние 94 км, скорость 47 км/ч, время в пути 94:47=2 часа. Сравнивая полученные результаты, получаем, что грузовик находился в пути дольше всех. Ответ: 2,5.

2.3. Строительной фирме нужно приобрести 50 кубометров строительного бруса. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую покупку с доставкой? Цены и условия дос-тавки приведены в таблице.

Поставщик Цена бруса, руб. за м3

Стоимость дос-тавки, руб. Дополнительные условия

А 4100 10200 Нет

Б 4700 8200 При заказе на сумму более 150 000 рублей доставка бесплатно

В 4200 8200 При заказе на сумму более 200 000 руб. доставка бесплатно

Решение. Для получения стоимости самой дешевой покупки необходимо посчитать стоимость всех возможных вариантов. Стоимость покупки у поставщика А: 4100 50 10200 215200 . Стоимость покупки у поставщика Б: 4700 50 235000 . Стоимость покупки у поставщика В: 4200 50 210000 . Сравнивая полученные результаты, получаем, что самой дешевой является покупка у по-ставщика В. Ответ: 210000.

12

2.4. При покупке ребенку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35% больше, чем два года назад, причем лыжи подорожали с тех пор на 20%, а ботинки – на 70%. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стои-мость лыж? Решение. Пусть x - первоначальная стоимость лыж, y - первоначальная стоимость ботинок, а x y - стоимость всего комплекта. Тогда через два года стоимость лыж составит 0, 2x x , бо-тинок - 0,7y y , а стоимость всей покупки будет ( ) 0,35( )x y x y . Составим уравне-ние:

1, 2 1,7 1,35 1,35 7 3x y x y y x .

Отсюда 7 7100% 100% 100% 70%7 7 10

x x xx y x y x

.

Ответ: 70%. 2.5. Два печника, работая вместе, могут сложить печь за 12 часов. Если сначала один пер-вый печник будет работать 2 часа, а затем один второй – 3 часа, то они выполнят только 20% всей работы. За сколько часов может сложить печь один первый печник? Решение. Обозначим через ,x y производительности труда первого и второго печников соответст-венно. Тогда можно составить следующую систему уравнений

12( ) 1 12 12 1 12 12 12 3 0,2 12 18 1, 2 6 0, 2

x y x y x yx y x y y

. Из этой системы получаем, что

время, за которое может сложить печь один второй печник равно 1 1 300, 26

y часов.

Ответ: 30 часов. 2.6. Осенью цена на свеклу понизилась на 15% по сравнению с летом. На сколько процен-тов больше нужно продать свеклы осенью, чтобы выручка от ее продажи увеличилась на 2% по сравнению с летом? Решение. Пусть x цена свеклы летом, y объем продаж свеклы летом, а xy выручка от прода-

жи свеклы летом. Тогда 0,85x цена свеклы осенью, (1 )100

y объем продаж свеклы

осенью, а 1,02xy выручка от продажи свеклы осенью. Составим уравнение 1020,85 (1 ) 1,02 0,85 1 1,02 1 20

100 100 85 100x y xy

.

Ответ: 20%. 2.7. На хранение было отправлено 200кг земляники с содержанием воды 97%. Во время хранения перед реализацией влажность земляники понизилась на 2%. Найдите количество земляники, отправленной на реализацию. Решение. В 200 кг земляники содержится 200 0,97 194 кг воды и 6 кг «сухой» массы. В земляни-ке, отправленной на реализацию процент «сухой» массы составит уже 5%, так как процент воды 95%. Для нахождения массы ( y кг) этой земляники составим пропорцию

100%6 5%y

.

13

Из уравнения 5 600 120y y кг. Ответ: 120кг. 2.8. Масса первого сплава на 3кг больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10% цинка, второй - 40% цинка. Новый сплав, полученный из двух первоначальных, со-держит 20% цинка. Определите массу нового сплава. Решение. Пусть масса второго сплава x кг, тогда масса первого сплава ( 3)x кг, а масса нового сплава (2 3)x кг. В первом сплаве содержится 0,1( 3)x кг цинка, во втором - 0, 4x кг, а в новом 0, 2(2 3)x кг. Теперь можем составить уравнение: 0,1( 3) 0,4 0, 2(2 3) 0,5 0,3 0, 4 0,6 0,1 0,3 3 2 3 9x x x x x x x x Масса нового сплава составит 9кг Ответ: 9кг. 2.9. Расстояние между городами А и В равно 200 км. Из города А в город В выехал авто-мобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 90км/час второй автомобиль. Найдите скорость первого автомобиля, если автомобили встретились на расстоянии 110 км от города А. Ответ дайте в км/ч. Решение. Пусть v - скорость первого автомобиля (км/час), а t - его время (час) в пути. Тогда до встречи первый автомобилист прошел расстояние 110 vt , а второй автомобиль расстоя-ние 200 110 90( 1)t . Для решения задачи составим систему уравнений:

( 70) 40 110 110 55( 3,5) 40 90( 1) 90 90 180 2v t vt vt v

v t t t t

.

Ответ: 55 км/час. 2.10. Известны 3-й и 5-й члены арифметической прогрессии: 3 512; 8a a . Начиная с ка-кого номера члены этой прогрессии отрицательны? Решение. Зная 3-й и 5-й члены арифметической прогрессии, можно найти разность:

5 31 1( ) (8 12) 22 2

d a a . Теперь, используя формулу n го члена арифметической

прогрессии ( 1 ( 1)na a d n ), можно вычислить ее первый член: 1 16a . Для решения за-дачи необходимо найти такие значения n , при которых 0na :

0 16 2( 1) 0 2 18 9na n n n . Таким образом, члены этой прогрессии отрицательны начиная с 10-го члена. Ответ: 10. 2.11. Пятый член геометрической прогрессии равен 3. Найдите произведение 2-го, 3-го, 7-го и 8-го ее членов. Решение. Необходимо найти значение произведения 2 3 7 8b b b b . Используя формулу n го члена гео-метрической прогрессии 1

1n

nb b q , получим: 2 6 7 4 16 4 4 4 4

2 3 7 8 1 1 1 1 1 1 5( ) ( ) 3 81b b b b b q b q b q b q b q b q b . Ответ: 81.

14

2.12. В геометрической прогрессии сумма первого и шестого членов равна 33, а сумма второго и седьмого равна 66. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их сумма была равна 1023? Решение. По условию задачи 1 6 33b b , 2 7 66b b , где 1 2 6 7, , ,b b b b соответствующие члены гео-метрической прогрессии. Используя формулу n го члена геометрической прогрессии, получаем

51 1 33b b q , 6 5

1 1 1 1 166 ( ) 33 66 2 1b q b q q b b q q q b . Так как сумма n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле

111

n

nqS bq

, имеем, что 1 21023 1 2 1024

1

nn

. Таким образом 10n .

Ответ: 10n . 2.13. Пара целых чисел ( ; )m n такова, что числа , ,m n m n mn - три последовательных члена арифметической прогрессии. Найдите все пары ( ; )m n . Решение. Так как числа , ,m n m n mn - три последовательных члена арифметической прогрес-сии, то для них выполняется равенство

3 3 32( ) 3 ( 3) 13 3

mm n m n mn m n mn m n m n nm m

.

Учитывая, что n должно быть целым числом, получаем, что число m может принимать только значения 0, 2, 4 или 6. Найдем для каждого из этих значений m значения n .

30 1 00 3

m n

; 32 1 22 3

m n

;

34 1 44 3

m n

; 36 1 26 3

m n

.

Ответ: (0;0); (2; 2); (4;4); (6;2) . 2.14. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 3 очка. Результат округлите до сотых. Решение. По определению, вероятность наступления события в случайном эксперименте равна от-ношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Общее число исходов равно 36 ( 6 6 ). Число благоприятных исходов равно 2, так 3 очка выпадает только в двух случаях, когда на первой кости выпадет 1 очко, а на второй 2 очка и наоборот. Таким

образом, вероятность события 2 0,0(5) 0,0636

P .

Ответ: 0,06 . 2.15. В кармане у Пети было 4 монеты по рублю и 2 монеты по 2 рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что обе двухрублевые монеты лежат в одном кармане. Решение. Вероятность наступления события в случайном эксперименте равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов. Общее число исходов определяется ко-личеством способов, которыми можно выбрать три монетки из шести, то есть количест-

вом сочетаний из шести по три: 36C ( !

!( )!mn

nCm n m

).

15

Вычислим теперь число благоприятных исходов. Число исходов, когда в одном кармане находится две монеты по 2 рубля и одна монета по 1 рублю равно 4 (так как одну монету по 1 рублю можно выбрать из четырех 1

4 4C способами). Так как у нас два кармана, то

число благоприятных исходов равно 8, а значит 36

8 1 2 3 1 2 3 1( ) 8 2 0, 41 2 3 4 5 6 5

P AC

.

Ответ: 0, 4 .

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ 2.1. Тетрадь стоит 40 руб. Какое наибольшее число таких тетрадей можно будет купить на 450 руб. после понижения цены на 10 %? 2.2. Для производства тысячи литров лимонада требуется один баллон углекислого газа. Ка-кое минимальное количество целых баллонов углекислого газа потребуется комбинату для выпуска 1,4 млн. бутылок лимонада емкостью 1,25 л.? 2.3. Книга в переплете стоит 600 руб. Известно, что книга без переплета стоит на 175 % дороже переплета. Сколько стоит книга без переплета? 2.4. Швейная фабрика выпускает женские платья двух типов: из итальянских тканей и из белорусских. На одно платье расходуется 2,5 м ткани. Стоимость 1 м ткани и себестои-мость пошива приведены в таблице. Для реализации товара фабрика продает магазину по 3500 руб. за платье из итальянской ткани и по 1650 руб. за платье из белорусской ткани. В месяц фабрика выпускает по 40 платьев каждого типа. Определите месячную прибыль фабрики за самый выгодный вариант товара.

Тип ткани Цена за 1м, руб. Стоимость пошива, руб. Итальянская 1100 100

Белорусская 400 100 2.5. Интернет-провайдер (компания, оказывающая услуги по подключению к сети Интер-нет) предлагает три тарифных плана. Тарифный план Абонентская плата в месяц Плата за трафик План «0» Нет 2,5 руб.

План «500» 500 руб. за 500 Mb 2 руб. за 1 Mb сверх 500 Mb

План «800» 700 руб. за 800 Mb 1,5 руб. 1 Mb сверх 800 Mb Пользователь планирует, что его трафик составит 600 Mb и, исходя из этого, выбирает наиболее дешевый тарифный план. Сколько рублей заплатит пользователь за месяц, если его трафик действительно будет равен 600 Mb? 2.6. Свежий виноград содержит 98 % воды, а изюм, полученный из винограда, содержит 4 % воды. Сколько килограммов изюма получится из 60 кг винограда? 2.7. Имеются два слитка. Масса первого слитка в 2 раза больше массы второго. В первом слитке содержится 30% серебра, а во втором – 42% серебра. Сколько процентов серебра содержится в сплаве, полученном из этих слитков? 2.8. Для перевозки груза было заказано две машины разной грузоподъемности, которые должны были сделать одинаковое число рейсов, при этом первая машина должна была пе-ревести на 80т груза больше, чем вторая. В действительности оказалось, что грузоподъем-ность этих машин больше, чем предполагалось: у первой машины – на 3т, а у второй - на 2т. В результате каждый водитель сделал на 4 рейса меньше, чтобы перевести свою часть груза. Какова плановая грузоподъемность первой машины? (Ответ указать в тоннах). 2.9. Двое рабочих выполнили вместе некоторую работу за 5 дней. Если бы сначала первый рабочий выполнил четвертую часть работы, а потом второй рабочий выполнил бы остав-

16

шуюся часть работы, то вся работа была бы выполнена за 10 дней. За какое время первый рабочий, работая самостоятельно, мог бы выполнить всю работу, если известно, что его производительность труда ниже, чем производительность труда второго рабочего? 2.10. Поезд проехал 360 км со средней скоростью 40 км/ч, при этом участок пути в 300 км он проехал со скоростью 60 км/ч. С какой скоростью поезд проехал оставшийся отрезок пути? 2.11. От пристани отправился по течению реки плот. Через 5 ч. 20 мин. вслед за ним от этой же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Най-дите скорость плота, если известно, что скорость лодки больше скорости плота на 12 км/ч. 2.12. В арифметической прогрессии третий член равен 7, а десятый 28. Найдите разность прогрессии. 2.13. Найдите сумму первых девяти членов арифметической прогрессии, если сумма ее третьего и седьмого членов равна 16. 2.14. Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 28, а сумма следующих трех членов равна 3,5. Найдите сумму первых пяти членов этой прогрессии. 2.15. Найдите знаменатель возрастающей геометрической прогрессии, если разность 5-го и 1-го ее членов в три раза больше суммы 1-го и 3-го ее членов. 2.16. Задана арифметическая прогрессия с первым членом 3 и разностью 4, а также гео-метрическая прогрессия с первым членом 1 и знаменателем 3. Найдите сумму первых трех совпадающих членов этих прогрессий. 2.17. Алёна забыла последнюю цифру телефона и набрала её наугад. Какова вероятность, того что набран правильный номер? 2.18. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что результаты двух первых бросков будут одинаковы. 2.19. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков чётна. 2.20. Какова вероятность того, что случайно выбранное двузначное число делится на 5? 2.21. На фестивале выступают 18 участников, по одному от каждой страны. Порядок, в котором они выступают, определяется жребием. Какова вероятность того, что участник из Румынии будет выступать после представителя Венгрии, но перед участником из Испа-нии? 2.22. В лотерее 2000 билетов. На один билет падает выигрыш 1000 руб., на четыре билета – выигрыши по 500 руб., на десять билетов – выигрыши по 200 руб., на 165 билетов – вы-игрыши по 50 руб., на 400 билетов – выигрыши по 10 руб. Какова вероятность выиграть по билету не меньше 100 руб.? 2.23. В первом ящике находятся шары с номерами от 1 до 5, а во втором с номерами от 6 до 10. Какова вероятность того, что сумма номеров вынутых шаров:

а) не меньше 7; б) равна 11; в) не больше 11?

2.24. В лотерее 1000 билетов, из них 500 – выигрышные. Куплено 2 билета. Какова веро-ятность того, что оба билета выигрышные? 2.25. В группе из 30 учеников на контрольной работе 6 учеников получили оценку «от-лично», 10 учеников – «хорошо», 9 учеников – «удовлетворительно». Какова вероятность того, что все три ученика, вызванные к доске, имеют неудовлетворительные оценки по контрольной работе? 2.26. Три стрелка стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго – 0,8, для третьего – 0,9.

а) Определите вероятность того, что все три стрелка попадут в цель. б) Определите вероятность того, что хотя бы один из стрелков попадёт в цель.

2.27. В первом ящике 2 белых и 10 чёрных шаров, во втором – 8 белых и 4 чёрных шара. Из каждого ящика вынули по шару.

17

а) Какова вероятность того, что оба шара белые? б) Какова вероятность того, что из одного ящика вынули белый шар, а из другого

чёрный?

Ответы к задачам для самостоятельного решения 2.1. 12; 2.2. 1750; 2.3. 440; 2.4. 26000; 2.5. 700; 2.6. 1,25; 2.7. 34%; 2.8. 12; 2.9. 20; 2.10. 15; 2.11. 3; 2.12. 3; 2.13. 72; 2.14. 31; 2.15. 2; 2.16. 273; 2.17. 0,1 ; 2.18. 0,5 ; 2.19.

0,5 ; 2.20. 0, 2 ; 2.21. 16

; 2.22. 0,0175 ; 2.23. а) 1; б) 0, 2 ; в) 0,6 ; 2.24. 4991998

; 2.25. 1406

; 2.26.

а) 0,54 ; б) 0,995 ; 2.27. а) 19

; б) 1118

.

18

3. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

3.1. Вычислите 28cos

1810sin

18 9ctg

.

Решение. Используя формулы приведения и формулу синуса двойного угла, получим:

28cos sin 8cos sin 4sin18 18 18 18 9 4

cos sin( ) sin sin18 9 9 9

.

Ответ: 4 .

3.2. Вычислите 2sin 72sin 36 sin 54

.

Решение. Используя формулы приведения и формулу синуса двойного угла, получим:

2sin 72 2 2sin 36 cos36 4cos36 4sin 36 sin 54 sin 36 sin(90 36 ) cos36

.

Ответ: 4.

3.3. Вычислите 2 512 cos 312

Решение. Используя формулу косинуса двойного угла, получим

2 25 5 5 3 312 cos 3 3(2cos 1) 3 cos 3 ( )12 12 6 2 2 .

Ответ: -1,5. 3.4. Вычислите cos 23 cos37 sin 23 sin 37 Решение.

1cos 23 cos37 sin 23 sin 37 cos(23 37 ) cos602

.

Ответ: 0,5. 3.5. Решите уравнение 3 7 3tg x . Решение.

33 7 3 7 7 ,3 6 42 7

ntg x tg x x n x n .

Ответ: ,42 7

n n .

3.6. Решите уравнение 23 1ctg x . Решение.

2 2 1 13 1 ,3 33

ctg x ctg x ctgx x n n .

19

Ответ: ,3

x n n .

3.7. Решите уравнение (0,5 sin ) cos 0x x . Решение.

(0,5 sin ) cos 0x x sin 0,5cos 0

cos 0

xx

x

2 ,65 2 ,6

cos 0

,2

x n n

x k k

x

x m m

5 2 ,6

,2

x k k

x m m

.

Ответ: 5 2 ,6

x k k ; ,2

x m m .

3.8. Решите уравнение (cos 0,5) 0x tgx . Решение.

(cos 0,5) 0x tgx

cos 0,50

cos 00

xtgx

xtgx

2 ,30

cos 0

,

x n n

tgxx

x k k

2 ,

3,

x n n

x k k

.

Ответ: 2 ,3

n n ; ,k k .

3.9. Дано уравнение cos(4 3)( 2sin(4 3) 5)( 3) 07

x x xa

. Найдите все значения пара-

метра a , при которых уравнение 1) не имеет решений; 2) не имеет отрицательных реше-ний. Решение. 1) При 7a уравнение имеет, по крайней мере, одно решение: 3x . Если 7a , то уравнение не определено и, следовательно, решения не имеет. 2) При 7a уравнение имеет только положительное решение 3x , если уравнение cos(4 3) 2sin(4 3) 5 0

7x x

a

не имеет решений (в противном случае, так как его реше-

ния периодические, то среди них будут и отрицательные). Это будет либо при 7a , ли-

бо при 2

1 4 25( 7)a

. Последнее следует из того, что уравнение cos sinA x B x C

можно преобразовать к виду 2 2

cos( ) CxA B

, где некоторое число; поэтому ес-

20

ли 2 2 2A B C , то уравнение не имеет решений. Из условия 2

1 4 25( 7)a

получаем

21 ( 7)21

a , откуда следует 1 1 17 ( ; 7 ) ( 7 ; )21 21 21

a a .

Ответ: 1) 7a ; 2) 1 1( ; 7 ) ( 7 ; ) { 7}21 21

a .

3.10. Решите уравнение (cos cos16) ( ) 0x x x . Решение.

16 2 ,cos cos16 [0; ]

(cos cos16) ( ) 0 ( ) 0( ) 0 0

x n n Zx x

x x x x xx x x

x

.

Решим систему, выбрав те значения x , которые удовлетворяют условию [0; ]x .

1) 8 160 16 22

n n

. Учитывая 3,14 , получаем 2,05 2,04n .

Следовательно, целых значений n нет.

2) 8 160 16 2 2,05 3,04 32

n n n n

. Следовательно, полу-

чаем корень 16 6x . Итак, 16 6 , 0,x x x . Ответ: 16 6 , 0,x x x . 3.11. Найдите: 1) наименьший положительный период (основной период) функции

sin(6 )y x ; 2) произведение таких значений параметра a , при которых основной период

функции 2

2sin( )2 28

xya a

равен 20.

Решение. 1) Наименьший положительный период называют основным периодом. Основной период

T функции sin( )y bx определяется из условия 2Tb

, откуда следует, что основной пе-

риод для функции sin(6 )y x равен 2 16 3

T

.

2) Основной период T функции 2

2sin( )2 28

xya a

равен

22

2 2 282 28

2a a

T a a

. По условию 20T , следовательно

2 22

2 2

2 28 20 2 48 02 28 20

2 28 20 2 8 0a a a a

a aa a a a

.

Так как в обоих уравнениях свободный член отрицательный, то их дискриминант положи-тельный, и они имеют действительные корни. Пусть 1 2,a a - корни первого уравнения, а

3 4,a a - корни второго. По теореме Виета произведение корней каждого из этих уравне-ний составляет 1 2 3 448, 8a a a a . Следовательно, произведение всех значений пара-

21

метра, при которых основной период функции 2

2sin( )2 28

xya a

равен 20, составляет

1 2 3 4 48 ( 8) 384a a a a .

Ответ: 1) 13

; 2) 384.

3.12. Решите уравнение 2(6cos 5cos 4) 43sin 0x x x . Решение.

2

2

6cos 5cos 4 0(6cos 5cos 4) 43sin 0 sin 0

sin 0

x xx x x x

x

.

Уравнение 26cos 5cos 4 0x x решим, используя замену cos , 1t x t . Тогда получим

квадратное уравнение 26 5 4 0t t , корнем которого, с учетом ограничения на t , явля-

ется 12

t . Сделав обратную замену, получим уравнение 1cos2

x . Итак, получаем

2 21 2 ,cos6cos 5cos 4 0 2 2 ,32sin 0 3sin 0 sin 0

,sin 0 sin 0 sin 0

x n n Zxx xx n n Z

x x xx k k Zx x x

Ответ: 2 2 , ; ,3

n n Z x k k Z .

3.13. Решите уравнение 2(2cos 7sin 2) 5 0x x tgx . Решение.

2

2

2cos 7sin 2 00

(2cos 7sin 2) 5 0cos 0

0

x xtgx

x x tgxx

tgx

.

Решим уравнение 22cos 7sin 2 0x x . Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: 2 22(1 sin ) 7sin 2 0 2sin 7sin 4 0x x x x . Сделаем замену sin ,t x

1t и получим квадратное уравнение 22 7 4 0t t , корнем которого, с учетом ограни-

чения на t , является 12

t . Сделав обратную замену, получим уравнение 1sin2

x .

Итак, получаем совокупность

2 ,1 6sin

5 2 ,2 2 , 60 6,

0,,

x n n Zx

x n n Zx m m Ztgx

x k k Ztgxx k k Zx k k Z

Ответ: 2 , ; ,6

n n Z x k k Z .

22

3.14. Решите уравнение cos 2 cos 1 02sin 3

x xx

.

Решение. 22cos 1 cos 1 0cos 2 cos 1 0cos 2 cos 1 0 32sin 3 2sin 3 0 sin

2

x xx xx xx x x

,2

2cos 0 2 ,cos (2cos 1) 0 ,32cos 1 0 23 2sin 3 2 ,2 sin 32 ,2 3

2 2 ,3

x n n Z

x x k k Zx x x n n Zxx x k k Zx x m m Z

x l l Z

Ответ: 22 , ; 2 ,2 3

n n Z k k Z .

3.15. Решите уравнение 4

sin 2 2cos sin 1 03

x x xtgx

.

Решение.

44

sin 2 2cos sin 1 0sin 2 2cos sin 1 0 0sin 2 2cos sin 1 0

cos 03 033

x x xx x x tgxx x x

xtgxtgxtgx

.

Решим уравнение системы, используя формулу синуса двойного угла: 2sin cos 2cos sin 1 0 2cos (sin 1) (sin 1) 0x x x x x x x

2 2 ,2cos 1 0 3(2cos 1)(sin 1) 0sin 1 2 ,

2

x k k Zxx x

x x n n Z

Таким образом, получаем систему

2 ,2 2 2 ,2 32 ,3 0

0,cos 0 3

3

x n n Zx k k Z

x k k Ztgx x

tgxx l l Zx

tgx

Ответ: x .

23

3.16. Решите уравнение sin 349 7 0

2

x

tgx

.

Решение.

sin 3sin 3

3sin49 7 0 2sin 3 249 7 0 0 0 02 cos 0 cos 0 cos 0

xx

xxtgx tgx tgx

tgx x x x

2 ,32 2 , 23 2 ,

3

0cos 0

x n n Z

x k k Zx k k Z

tgxx

.

Ответ: 2 2 ,3

x k k Z .

3.17. Решите уравнение (2 7 )(4 7 )(8 7 ) 0cos

x x xx

.

Решение. 72

7(2 7 )(4 7 )(8 7 ) 0(2 7 )(4 7 )(8 7 ) 70 .4cos 0 4cos 7

8cos 0

x

xx x xx x x xxx

x

x

Для отбора корней использовалась единичная окружность: из полученных значений 7 7 7, ,2 4 8

x x x были выбраны те, которые лежат на дуге, соответствующей

условию cos 0x .

Ответ: 74

x .

3.18. Решите уравнение cos( ) 3cos 2 22

x x .

Укажите корни, принадлежащие отрезку ; 22

.

Решение. 2 2cos( ) 3cos 2 2 sin 3(1 2sin ) 2 0 6sin sin 5 0

2x x x x x x

.

24

Обозначим sin x t , 1t . Получим квадратное уравнение 26 5 0t t . Корни этого

уравнения 1t и 56

t . Сделаем обратную замену. Получим

sin 1 2 ,2

5 5sin ( 1) arcsin ,6 6k

x x n n Z

x x k k Z

.

Для отбора корней нанесем на единичную окружность полученные корни и выберем те,

которые принадлежат отрезку ; 22

. Получим, что 32

x и 5arcsin

6x .

Ответ: 52 , , ( 1) arcsin ,2 6

kx n n Z x k k Z ; 32

x и 5arcsin

6x .

3.19. Решите уравнение 2 2( 3)(cos cos ) 0

1 2costg x x x

x

.

Решение. 2

2 22 2

3 0( 3)(cos cos ) 0 cos (cos 1) 0

( 3)(cos cos ) 0 cos 01 2cos 1 2cos 0 cos 0

1 2cos 0

tg xtg x x x x x

tg x x x xx x x

x

3cos 1 0

,cos 0 3 2 2 ,2 ,

31cos 0 cos21cos

2

tgxx

x n n Zx

x n n Zx m m Z

x x

x

.

Для отбора корней использовалась единичная окружность: из полученных значений

, , 2 ,3

x n n Z x m m Z выбраны были те, которые лежат на дуге, соответст-

вующей условию 1cos2

x .

Ответ: 2 2 ,3

x n n Z .

25

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

3.1. Вычислите 211cos

2221 sin22 11

ctg

.

3.2. Вычислите 2 2cos 15 sin 15

cos 43 cos13 sin 43 sin13

.

3.3. Решите уравнение 3 3ctg x . 3.4. Решите уравнение cos9 0,5x . 3.5. Решите уравнение 2 sin 7 1 0x . 3.6. Решите уравнение 24cos 2 3x . 3.7. Решите уравнение 23 5 1tg x .

3.8. Решите уравнение 3( sin ) cos 02

x x .

3.9. Решите уравнение (1 ) sin 0tgx x . 3.10. Решите уравнение ( 3 ) cos 0ctgx x . 3.11. Решите уравнение 2(2cos cos ) 0x x tgx .

3.12. Дано уравнение sin(4 5)(8cos(4 5) 10) ( 7) 04

xx xa

. Найдите все значения па-

раметра a , при которых уравнение 1) не имеет решений; 2) не имеет положительных решений.

3.13. Решите уравнение (sin sin10) (2 )( 2 ) 0x x x . 3.14. Найдите: 1) наименьший положительный период (основной период) функции

cos(0,5 );y x ; 2) произведение таких значений параметра a , при которых основ-ной период функции 2cos(2 ( 4 45) )y a a x равен 0,2.

3.15. Решите уравнение 2

2

3 4 05cos 4cos

ctg x ctgxx x

.

3.16. Решите уравнение 3 sin 2cos 3 sin 2x x x . Укажите корни, принадлежащие от-

резку 7;2 2

.

Ответы к задачам для самостоятельного решения

3.1. -5,5; 3.2. 1; 3.3. ,18 3

n n ; 3.4. 2 2 ,

27 9n n

; 3.5. ( 1) ,28 7

n n n ;

3.6. ,12 2

n n ; 3.7. ,

30 5n n

; 3.8. ,2

k k ; 2 ,3

n n ; 3.9. ,n n ;

2 ,4

k k ; 3.10. ,2

n n ; 5 2 ,6

k k ; 3.11. 2 ,3

n n ; ,k k ;

3.12. 1) 4,a 2) 23 25{4} ( ; ) ( ; )6 6

a ; 3.13. ;3 102 ; 3.14. 1)4; 2)2000;

26

3.15. 4( ) 2 ,3

arctg n n ; 3.16. 11 13 52 , , 2 , ; , , ,2 6 2 6 6 2

n n k k .

27

4. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

4.1. Вычислите значения выражения 32

2log 8 .

Решение.

52

2232

2

2 122log 8 2 log 2 2 3 log 2 2, 45 5

.

Ответ: 2,4. 4.2. Вычислите значения выражения 6 6log 12 log 3 . Решение.

26 6 6 6 6 6log 12 log 3 log (12 3) log 36 log 6 2 log 6 2 1 2 .

Ответ: 2. 4.3. Вычислите значения выражения 3log 139 . Решение.

3 3 3log 13 2log 13 log 139 3 3 13 . Ответ: 13. 4.4. Решите уравнение 35 125x . Решение.

3 3 35 125 5 5 3 3 1x x x x . Ответ: 1 . 4.5. Решите уравнение 17 49x . Решение.

1 1 27 49 7 7 1 2 3 9x x x x x . Ответ: 9. 4.6. Решите уравнение 311 8x . Решение. Используя основное логарифмическое тождество, получаем:

11log 83 311 1111 8 11 11 3 log 8 3 log 8x x x x .

Ответ: 113 log 8 . 4.7. Решите неравенство 14 64x . Решение.

1 1 34 64 4 4 1 3 4x x x x . Ответ: (4; ) . 4.8. Решите неравенство 4(0,3) 0,09x . Решение.

4 4 2(0,3) 0,09 (0,3) (0,3) 4 2 2x x x x . Ответ: ( ; 2) . 4.9. Решите уравнение 7log ( 4) 3x . Решение.

28

37log ( 4) 3 4 7 4 343 339x x x x .

Ответ: 339. 4.10. Решите уравнение 6log (10 4 ) 2x . Решение.

26log (10 4 ) 2 10 4 6 10 4 36 4 26 6,5x x x x x .

Ответ: 6,5 . 4.11. Решите уравнение 2

3 3log (8 ) log (2 )x x . Решение.

23 3log (8 ) log (2 )x x

28 22 0

x xx

2 6 02

x xx

322

2

xxx

x

.

Ответ: 2 . 4.12. Решите уравнение lg lg66 12x x Решение. Обозначим lg x y . Тогда 1) lg6 6 ;x y 2) 10yx , откуда следует

lg6 lg6 lg6 lg(6 )(10 ) 10 10 6yy y yx .

Поэтому lg lg66 12x x 6 12 6y y 6 6y 1y lg 1x 10x . Ответ: 10. 4.13. Решите неравенство 5log ( 3) 1x . Решение.

15 5 5

1 4log ( 3) 1 log ( 3) log 5 3 25 5

x x x x .

Ответ: ( 2,8; ) . 4.14. Решите неравенство 0,5log (4 5) 4x . Решение.

40,5 0,5 0,5

214 5 16 5 214log (4 5) 4 log (4 5) log 0,5 ( , )4 5 0 5 4 4

4

xxx x x

x x

.

Ответ: (1, 25, 5, 25)x . 4.15. Решите неравенство 2

7 7log ( 3 ) log ( 21)x x x . Решение.

22

7 7 22

( 3) 03 0 ( 3) 0log ( 3 ) log ( 21)

( 3)( 7) 04 21 03 21

x xx x x xx x x

x xx xx x x

( ;0) (3; )( 3;0) (3;7)

( 3;7)x

xx

.

Ответ: ( 3;0) (3;7)x .

29

4.16. Решите неравенство 25 5log ( 6 5) log 3 1x x x .

Решение. Правая часть неравенства 5 5 5 5log 3 1 log 3 log 5 log 5 3x x x . Так как основание логарифма больше единицы, то

2

25 5

2

6 5 0log ( 6 5) log 5 3 3

6 5 5 3

x xx x x x

x x x

2

( (3 14))( (3 14)) 0( 3) 14 5 3

3

x xx x

x

.

Решим второе неравенство системы 2( 3) 14 5 3x x . Обозначим 3x t . Получим

квадратное неравенство 2 5 14 0 2;7t t t . Сделав обратную замену, получим

2 3 7 3 7 7 3 7 4 10x x x x . Теперь система примат вид:

( (3 14))( (3 14)) 0

4;10 4;3 14 3 14;103

x xx xx

.

Ответ: 4;3 14 3 14;10x .

4.17. Решите неравенство 5

2 68 16 2

( 3)log ( 3) log ( 7) log 5 07

xx xx

.

Решение.

Выпишем ОДЗ:

2

6

5

( 3) 0( 7) 0( 3) 0

7

xxxx

37( ;3) (7; )

xxx

( ;3) (7; )x .

Для решения последнего неравенства системы был применен метод интервалов. Воспользуемся свойствами логарифмов:

2 1log 2 log ; log log log , log lognn

a a a a a aa

bb n b b c b bc n

при 0, 1a a .

Запишем неравенство в виде:

2 2 2 21 12 log 3 6 log 7 5log 3 log 7 5 03 4

x x x x

2 2 2 2log 3 log 7 5log 3 log 7 5 0x x x x . Сгруппируем первое слагаемое с третьим, а второе с четвёртыми и разложим левую часть неравенства на множители:

2 2 2 2 2log 7 (log 3 1) 5(log 3 1) 0 (log 3 1) (log 7 5) 0x x x x x Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули каждого со-

множителя: 1 315, 1, 7 , 6 .32 32

x x x x

30

Нанесём их на ось Ox , разбив её на промежутки. Расставим знаки левой части в каждом из промежутков и выберем отмеченные знаком плюс. Получим

31 1( ;1) (5;6 ) (7 ; )32 32

x . Учитывая ОДЗ, получим 1( ;1) (7 ; )32

x .

Ответ: 1( ;1) (7 ; )32

x .

4.18. Решите неравенство 2 2 2 25 5

3( ) (log ( 6 9)) 4(log ( 6 9))x xx x x x xx .

Решение. Преобразуем неравенство:

2 2 2 2 2 25 5 5

22 2 2 2

5 5

3 3( ) (log ( 3) ) 4(log ( 3) ) 0 ( 4) (log ( 3) ) 0

4 3 ( 1)( 3)(log ( 3) ) 0 (log ( 3) ) 0.

x x x

x x

x x x x xx xx x x xx x

x x

Выпишем ОДЗ:

2

05 05 1( 3) 0

xxx

x

0543

xxxx

( ;0) (0;3) (3;4) (4;5)x .

Учитывая, что 2 2 2 25 5 5(log ( 3) ) (2 log 3 ) 4 log 3x x xx x x , перепишем неравенство в

виде 25

( 1)( 3) 4 log 3 0.xx x x

x

Решим его обобщённым методом интервалов. Нули

числителя: 51, 3; log 3 0 3 1 4xx x x x x или 2x . Нанесём их на ось Ox , и учтём, что 0x . Расставим знаки левой части в каждом из полу-чившихся интервалов

Выпишем промежутки, отмеченные знаком плюс и отдельные точки:

0;1 2 3;x .

Учитывая ОДЗ, получим 0;1 2 (3;4) (4;5)x .

Ответ: 0;1 2 (3;4) (4;5)x .

4.19. Решите неравенство 2 2 22 2

1log (36 16 ) log ( 18) 216x xx x x .

Решение. Найдем область определения:

2

2

2 02 1

36 16 0( 18) 0

xx

x xx

21

( 2)( 18) 018

xxx x

x

21

( 2;18)18

xxxx

( 2; 1) ( 1;18)x .

При решении системы использовалось разложение квадратного трёхчлена на множители: 236 16 ( 2)( 18)x x x x .

31

Используя свойства логарифмов log ( ( ) ( )) log ( ) log ( )a a af x x f x x и 2log ( ( )) 2log ( )a af x f x , перепишем неравенство в виде

22 2

1log ( ( 2)( 18)) 4log 18 216x xx x x

22 2 2

1log 2 log 18 log 18 2.4x x xx x x

Учитывая ОДЗ, получим 2 2; 18 18x x x x . Неравенство примет вид:

2 22 2 2 2 2

1 1log ( 2) log (18 ) log (18 ) 2 1 log (18 ) log (18 ) 24 4x x x x xx x x x x .

Обозначим 2log (18 )x x t и получим неравенство 2 2 211 2 4 4 0 ( 2) 0 2 0 2

4t t t t t t t .

Сделаем обратную замену 2 2

2

7log (18 ) 2 ( 2) 18 5 14 0

2x

xx x x x x

x

.

Учитывая ОДЗ, получим 2x . Ответ: 2x . 4.20. Решите неравенство 4

0,30, 2 log sin (2 1) 0x . Решение. Выпишем область определения:

4 1sin (2 1) 0 sin(2 1) 0 2 1 , ,2

nx x x n n Z x n Z .

Поскольку 40 sin (2 1) 1x , а основание логарифма меньше единицы, то 4

0,3log sin (2 1) 0x . Отсюда следует, что для любого 1,2

nx n Z выполнено нера-

венство 40,30, 2 log sin (2 1) 0x .

Ответ: 1,2

nx n Z .

4.21. Решите неравенство 22

3 7 3 717

1log (56 10 ) (log (8 3 7) log 2)2x

x x

.

Решение. Используя свойства логарифмов (при 0, 1, 0, 0 log log loga a aa a b c b c bc , пре-образуем выражение

23 7 3 7 3 7 3 7 3 7log (8 3 7) log 2 log (16 6 7) log (9 6 7 7) log (3 7) 2

. Неравенство примет вид

2 2 22 2 2

17 17 17log (56 10 ) 1 log (56 10 ) log (17 )

x x xx x x x x

, для решения которого

необходимо рассмотреть случаи когда основание больше единицы, и когда основание меньше единицы, но больше нуля:

32

22

2 2

22

22

2 2

16 ( 4;4)17 1

3,9 3,956 10 17 ( 4;14) ( 4;14)

10 56 017 ( 17; 17)

0 17 1 ( ; 4) (4; )1656 10 17 3,93,9

x xx

x xx x x x x

x xx x

x xxx x x xx

( 4; 3,9]

(4; 17)

x

x

.

Ответ: ( 4; 3,9] (4; 17)x .

4.22. Решите систему неравенств

1 1

22

2

7 7 7 399,3log 2 log 1.

2 log

x x x

x xx

Решение.

Решим первое неравенство системы, используя формулы: b

b cc

aaa

и b c b ca a a .

1 1 21 57 399 77 7 7 399 7 ( 1 7) 399 7 399 7 7 7 2.7 7 57

x x x x x x x x

Решим второе неравенство системы. Обозначим 2log x t . Подставляя в неравенство, по-лучим:

23 3 3 (2 1)(2 ) 2 2 2( 1)( 1)2 1 2 1 0 0 0 0.2 2 2 2 2

t t t t t t t tt tt t t t t

Решим полученное неравенство методом интервалов. Получим ( 2; 1] [1; )t . Сде-лаем обратную замену:

2

2

1 12 log 1(0, 25;0,5] [2; )4 2

log 1 2

x xx

x x

.

Таким образом, мы получили 1 1

22

2

7 7 7 399, ( ;2](0, 25;0,5] {2}3log 2 log 1 (0, 25;0,5] [2; )

2 log

x x x

xxx x x

x

.

Ответ: (0,25;0,5] {2}x .

33

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

4.1. Решите уравнение 54 64x . 4.2. Решите уравнение 3 81x . 4.3. Решите уравнение 35 625x .

4.4. Решите уравнение 2 3 1749

x .

4.5. Решите неравенство 34 16x .

4.6. Решите неравенство 1 279

x

.

4.7. Решите неравенство 4 1 128

x .

4.8. Решите уравнение 3log (2 7) 2x . 4.9. Решите уравнение 4log (10 3 ) 3x . 4.10. Решите уравнение 3log ( 7) 4x . 4.11. Решите неравенство 2

1 13 3

log ( 2 9) log 1 2x x x .

4.12. Решите неравенство 20,40, 4 log cos 0x .

4.13. Решите уравнение 5 29 2x x .

4.14. Решите неравенство 2 220 20log sin 3log ( 2 1 )

x xx x x x

.

4.15. Решите неравенство 2 225 log (4 2) 1x x x .

4.16. Решите неравенство 1

2 1

4 5 2 16 010 1001 10 100

x x

x x

.

4.17. Решите систему неравенств

1

22 2

9 244 3 27 0,12log log (10 11) 2.

10 11

x x

x xx

Ответы к задачам для самостоятельного решения 4.1. 2 ; 4.2. 4 ; 4.3. 13 ; 4.4. 0,5; 4.5. ( ; 1) ; 4.6. ( 1,5; ) ; 4.7. ( ; 0,5) ; 4.8. 8 ;

4.9. 18 ; 4.10. 88; 4.11. [ 9;1 10) (1 10;11] ; 4.12. ,2

x n n Z ; 4.13. 2;

4.14. 1 2 , 0;1;2;...2

n n ; 4.15. 2; 4.16. ( 1;1] {3}x ; 4.17. 2; 1,1) {3} .

34

5. НАЧАЛО АНАЛИЗА.ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ

5.1. На рисунке изображен график функции y f x и касатель-ная к нему в точке с абсциссой 1x . Найдите значение производ-ной 'f x в точке 1x .

Решение. Значение производной 'f x равно тангенсу угла наклона каса-тельной, который можно найти, используя соотношения прямоугольного треугольника. Так как для данной касательной угол наклона тупой, то тангенс этого угла будет иметь знак минус. Полу-

чаем 3' 1 1,52

f tg .

Ответ: 1,5 .

5.2. Функция f x определена на отрезке 6;6 . На рисунке изображен график её производной 'y f x . Сколько точек мак-симума имеет эта функция?

Решение. Как известно, в точке максимума функция меняет свое возрастание на убывание, а значит, ее производная меняет свой знак с плюса на минус. Как видно из рисунка на графике две такие точки: 1, 4x x . Ответ: 2. 5.3. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точек задана уравнения-

ми 3 21

1( ) 3 243

S t t t и 22

1( ) 6 172

S t t t . В какой момент времени скорости их дви-

жения будут равны? Решение. Физический смысл производной заключается в том, что скорость точки равна производ-ной пройденного ею пути. Таким образом, для решения задачи необходимо решить урав-

нение 1 2( ) ( )S t S t . Так как 3 2 21

1( ) 3 24 63

S t t t t t

, а 2

21( ) 6 17 62

S t t t t

,

то 21 2( ) ( ) 6 6 1S t S t t t t t .

Ответ: 1. 5.4. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 2cos 3y x tgx в

точке 0 6x .

Решение. Как известно угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке ка-

сания. Следовательно: ( )6

k y . Вычислим производную функции: 2

32sincos

y xx

.

Подставляя в производную 0 6x , получим

2

12 sin 3 1 4 36 cos

6

k

.

Ответ: 3.

35

5.5. В какой точке кривой 2 5xy e касательная к ней параллельна прямой 2 7y x . Решение. Как известно, тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке ка-сания. Так как касательная параллельна прямой 2 7y x , то ее угловой коэффициент ра-вен 2, т.е 0( ) 2f x , где 0x абсцисса точки касания. Производная заданной функции равна: 2 5 2 5( ) 2x xy e e . Теперь можно найти точку касания:

2 5 2 52 2 1 2 5 0 2,5x xe e x x . Ответ: 2,5 . 5.6. Найдите количество целых значений x , принадлежащих промежутку возрастания функции 3 24 6 105y x x x . Решение. Промежутку возрастания функции соответствует промежуток, на котором производная функции положительна. Производная функции 3 2 2( 4 6 105 ) 12 12 105y x x x x x . Производная принимает положительные значения ( 212 12 105 0x x ) на промежутке ( 2,5; 3,5) . Этот промежуток содержит шесть целых чисел -2; -1; 0; 1; 2 и 3. Ответ: 6.

5.7. Найдите наибольшее значение функции 11 11 16y tgx x на отрезке ;04

.

Решение. Функция принимает свое наибольшее значение либо на концах отрезка, либо в точке экс-тремума, принадлежащей этому отрезку. Для нахождения точек экстремума вычислим

производную заданной функции: 2

11(11 11 16) 11cos

y tgx xx

. Для всех точек рассмат-

риваемого отрезка производная функции неотрицательна, а следовательно на отрезке

;04

функция возрастающая и свое наибольшее значение принимает в точке 0x .

Вычислим наибольшее значение функции: (0) 11 0 11 0 16 16y tg . Ответ: 16. 5.8. Найдите значение функции ( ) 12 12 2f x x x x в точке максимума. Решение. Точкой максимума является значение переменной x из области определения функции ( 0x ), в котором производная функции меняет свой знак с плюса на минус. Так как про-изводная функции равна ( ) 12 3f x x , то стационарной (точкой, в которых производ-ная равна нулю) является точка 16x . При этом 16x является точкой максимума (про-изводная в ней меняет свой знак с плюса на минус) и (16) 76f . Ответ: 76. 5.9. Число 8 представьте в виде двух слагаемых так, чтобы произведение первого слагае-мого и куба второго было наибольшим. В ответ запишите большее из полученных чисел. Решение. Пусть 8 x y . Необходимо найти наибольшее значение выражения 3x y . Очевидно, что наибольшее значение это выражение будет принимать при [0;8]x . Теперь можно сфор-мулировать следующую задачу: найдите наибольшее значение функции 3( ) (8 )f x x x на отрезке [0;8] . Для решения этой задачи найдем производную функции ( )f x :

36

3 2 2 2( ) 1 (8 ) 3 (8 ) (8 ) (8 3 ) 4(8 ) (2 )f x x x x x x x x x . Производная обращает-ся в нуль в точках 2x и 8x . При этом точка 2x является точкой максимума функ-ции, так производная в этой точке меняет свой знак с плюса на минус. Таким образом, наибольшее значение выражения 3x y равно значению 3(2) 2 (8 2) 432f , если пред-ставить число 8 как сумму чисел 2 и 6. Ответ: 6.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

5.1. На рисунке изображен график функции f x и касательная к этому графику, прове-денная в точке с абсциссой 0x . Найдите значение производной функции f x в точке 0x . 5.2. На рисунке изображен график производной 'y f x функ-ции y f x . Чему равен тангенс угла наклона касательной, про-веденной к графику функции y f x в точке 4x ?

5.3. На рисунке изображен график производной 'y f x функ-ции y f x . В какой точке отрезка 3;1 функция y f x достигает своего наибольшего значения?

5.4. Тело движется по прямой так, что расстояние от него до точки B этой прямой изменяется по закону

2 37 12 2S t t t , где t время движения в секундах. Через сколько секунд после начала движения скорость тела будет равна 72 м/с? 5.5. Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции

4 31 7 ln3

y x x x x в точке 0 1x .

5.6. Касательная к графику функции 2

1 5yx

параллельна пря-

мой 2 1y x . Определите абсциссу точки касания. 5.7. Найдите наибольшее значение функции 3 7log 5 log 1 23 7x xy x .

5.8. Найдите наименьшее значение функции 2 4 10y tgx x на отрезке 0;3

.

Ответы к задачам для самостоятельного решения

5.1. 0, 25 ; 5.2. 1; 5.3. 1x ; 5.4. 6; 5.5. 9; 5.6. 1x ; 5.7. 7; 5.8. 8 .

37

6. ГЕОМЕТРИЯ

6.1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером 1см х 1см(см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Решение. Площадь трапеции равна половине суммы длин оснований умноженной на высоту. Нижнее основание имеет длину 4, верхнее - 2, высота – 3. Площадь трапеции будет равна

4 2 3 92

S .

Ответ: 9. 6.2. Один угол равнобедренного треугольника на o90 больше другого. Найдите меньший угол. Ответ дайте в градусах. Решение. Угол при основании равнобедренного треугольника не может быть больше o90 . Обозна-чим угол при основании . Тогда угол при вершине равен o90 . Так как сумма углов в треугольнике равна o180 , составляем уравнение o o3 90 180 , откуда следует, что

o30 . Ответ: o30 . 6.3. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании составляет с осно-ванием угол o21 . Найдите угол при вершине треугольника. Ответ дайте в градусах. Решение. Угол при основании равнобедренного треугольника равен o42 . Так как сумма углов в тре-угольнике равна o180 , то угол при вершине равен o o o180 2 42 96 . Ответ: o96 . 6.4. Периметр четырехугольника, описанного около окружности, равен 24, две его сторо-ны равны 5 и 6. Найдите большую из оставшихся сторон. Решение. Так как в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны 12. Отсюда следует, что стороны длины 5 и 6 смежные, а следовательно ос-тавшиеся стороны имею длины 12 5 7 и 12 6 6 . Длина наибольшей из оставшихся сторон равна 7. Ответ: 7. 6.5. Найдите большую диагональ ромба, сторона которого равна 3 , а острый угол равен

o60 . Решение. Большая диагональ ромба лежит против тупого угла, равного o120 . Используя теорему косинусов, получим 2 2 2 2 o 2( 3) ( 3) 2( 3) cos120 9 3d d d . Ответ: 3.

6.6. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник равен 36

. Найдите сторо-

ну треугольника. Решение.

38

Сторона правильного треугольника a и радиус вписанной в него окружности r связаны

соотношением 36

ar . Таким образом 3 3 16 6

a a .

Ответ: 1. 6.7. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехуголь-ника, равны между собой. Найдите площадь четырехугольника, если его диагонали равны 8 и 12. Решение. Соединив последовательно середины соседних сторон четы-рехугольника ABCD , получим четырехугольник EFGH (см. рис.). Сторона GH – средняя линия треугольника ADC , она параллельна диагонали AC и равна ее половине. Точно также, сторона EF параллельна диагонали AC и равна ее половине. Следовательно, EFGH – параллелограмм. Отрезки EG и FH , соединяющие противоположные стороны четырехугольника ABCD , являются диагоналями параллело-грамма EFGH . Так как EG FH , то EFGH – прямоуголь-ник. Следовательно, диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны. Площадь четырех-угольника с перпендикулярными диагоналями равна половине произведения длин диаго-налей. Ответ: 48. 6.8. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны 3 и 4соответственно. Точка D делит гипотенузу BC пополам. Найдите расстояние между центрами окружно-стей, вписанных в треугольники ADC и ABD . Решение. Пусть 1O и 2O центры окружностей радиусов 1r и 2r , вписан-ных в треугольники ABD и ADC соответственно. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке A , осью абсцисс направленной по катету AC и осью ординат по катету AB (см. рис.). Треугольники ABD и ADC равно-бедренные, поэтому центры вписанных окружностей лежат на осях симметрии треугольников. Ось симметрии треугольника ABD задается уравнением 2y , а треугольника ADC урав-нением 1,5x . Следовательно, точка 1O имеет координаты 1( ;2)r , а точка 2O

2(1,5; )r . Радиусы вписанных окружностей получим из равен-ства S pr , где S – площадь, а p – полупериметр треуголь-

ника. Для треугольника ABD 1 123; 4,5;3

S p r , для треугольника ADC

2 233; 4;4

S p r .

Расстояние d между точками 1 1 1( ; )M x y и 2 2 2( ; )M x y вычисляется по формуле

2 22 1 2 1( ) ( )d x x y y . Для точек 1O и 2O получим

2 25 5 5 136 4 12

d

.

Ответ: 5 1312

.

A

B

C D

E

F H

G

A

B

C

D 1O

2O

x

y

39

6.9. Вне прямоугольного треугольника ABC на катетах AC и BC построены квадраты ACDE и BCFG . Продолжение медианы CM треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N . Найдите отрезок CN , если катеты равны 1 и 4. Решение. Медиана CM треугольника ABC равна половине диагонали CL прямоугольника ALBC (см. рис.). Прямоугольные треугольники ABC , LCB и DFC равны по двум катетам. Их гипотенузы равны 17 . Докажем, что треугольник DCN подобен треуголь-нику LCB по двум равным углам. Так

DCN LCB как вертикальные углы, очевидно CDN CDF , а из равенства треугольников LCB

и DFC следует, что CDF BLC .

Из пропорции CN CBCD CL

получим 417

CN .

Ответ: 417

.

6.10. В параллелограмме ABCD биссектрисы углов при стороне AD делят сторону BC точками M и N так, что : 1:3BM MN . Найдите BC , если 6AB . Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда биссектрисы углов при стороне AD пересекаются внутри парал-лелограмма ABCD (см. рис. 1). Так как AN – бис-сектриса угла BAD , то NAB DAN . Углы BNA и NAD равны, как внутренние накрест лежащие при пересечении параллельных прямых BC и AD прямой AN . Следовательно, BAN BNA , т.е. треугольник ABN – равнобедренный и AB BN . Пусть BM x , тогда 4BN x т.е. 4 6AB x . Следовательно, 1,5x . Так как NC LD BM x , то 5 7,5BC x . 2) Рассмотрим теперь случай, когда биссектри-сы углов при стороне AD не пересекаются внутри параллелограмма ABCD (см. рис. 2). В этом случае 6AB BM x , 4 24BN x , Так как 6NC CD , то 30BC . Ответ: 7,5 или 30.

6.11. Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удален-ных от вершины C на расстояния 14 и 48. Найдите ради-ус окружности, вписанной в данный угол и касающейся окружности S . Решение. 1) Рассмотрим сначала случай, когда искомая окруж-ность касается окружности S изнутри. Соответствую-щий чертеж приведен на рис. 1.

A

B C D N

E M L

GF

A

C

B

D

M

N

Рис. 2.

L

K

A

C B

D

M N

Рис. 1.

L

C

A

B

O SO

K

L

Рис. 1.

40

Здесь A и B – точки пересечения сторон прямого угла окружностью S , K – точка каса-ния окружностей, O и SO – центры искомой окружности и окружности S соответствен-но, прямая CL – биссектриса прямого угла. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке C , осью абсцисс направ-ленной по отрезку CB и осью ординат направленной по отрезку CA . В этой системе ко-ординат центр окружности S точка SO имеет координаты (24;7) .

Радиус этой окружности SR равен 2 27 24 25 . Если r – радиус искомой окружности, то координаты ее центра O ( ; )r r . Точка касания окружностей K лежит на линии центров этих окружностей. Так как S SO K R а OK r , то

S SOO R r . Выразив расстояние ме-жду точками O и SO через их коорди-наты, получим уравнение

2 2 2(25 ) ( 7) ( 24)r r r , или 2 12 0 12r r r .

2) Рассмотрим случай, когда окружно-сти касается внешним образом (см. рис. 2). Единственное отличие в рассуждениях по сравнению с предыдущим пунктом состоит в том, что в данном случае

S SOO R r , что приводит к уравнению 2 2 2(25 ) ( 7) ( 24)r r r или 2 112 0 112r r r .

Ответ: 12 или 112. 6.12. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 4. Найдите его объем. Решение. В основании параллелепипеда лежит квадрат со стороной равной диаметру сферы. Боко-вое ребро также равно диаметру сферы, то есть данный параллелепипед является кубом со стороной равной 8. Объем куба: 3 38 512V a . Ответ: 512. 6.13. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую высоту. Вычислите объем ци-линдра, если объем конуса равен 40. Решение.

Объем конуса равен 213

V R H , где 2R - площадь основания (круга радиуса R ). Объ-

ем цилиндра равен 2V r h , где 2r - площадь основания (круга радиуса r ). Так как ,R r H h , то объем цилиндра в три раза больше объема конуса: 40 3 120

Ответ: 120. 6.14. В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 10 и 9.

Боковые ребра равны 2

. Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.

Решение.

C

A

B

O

SOK

L

Рис. 2.

41

Радиус окружности, описанной вокруг прямоугольного треугольника равен половине ги-потенузы. По теореме Пифагора гипотенуза треугольника, лежащего в основании призмы

равна 2 210 9 181 , а значит радиус основания цилиндра равен 1812

. Объем цилинд-

ра равен произведению его площади основания (1814 ) на высоту, которая совпадает с бо-

ковым ребром призмы и, следовательно, равен 181 2 90,54

V

.ребром призмы.

Ответ: 90,5. 6.15. Прямые, содержащие ребра AD и BC треугольной пирамиды DABC , взаимно пер-пендикулярны, 10AD , 24BC . Найдите расстояние между серединами ребер BD и AC . Решение. На рисунке точки , ,E F G – середины отрезков , ,BD AC CD со-ответственно. Отрезок EG является средней линией треугольни-ка BDC , поэтому он параллелен BC и равен 5. Отрезок FG яв-ляется средней линией треугольника ACD , поэтому он паралле-лен AD и равен 12. Угол между отрезками EG и FG равен углу между прямыми AD и BC и является прямым. Треугольник EFG прямоугольный с катетами 5 и 12 см., а следовательно, по теореме Пифагора, ги-потенуза EF равна 13. Ответ: 13. 6.16. Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость, пересекающая ось цилиндра, пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра. Решение. Осевое сечение цилиндра 1 1AA B B , где диаметр AB перпен-дикулярен хорде EF , перпендикулярно хордам CD и EF (см. рис.). Оно пересекает эти хорды в точках P и Q соот-ветственно, являющимися их серединами. Покажем, что угол PQA является линейным углом двугран-ного угла, образованного плоскостью основания цилиндра и плоскостью CDFE . Отрезок PQ принадлежит плоскости CDFE и перпендикулярен хорде EF , так как он лежит на плоскости 1 1AA B B . Отрезок AQ лежат в плоскости основа-ния цилиндра и перпендикулярен хорде EF , лежащей на линии пересечения этих плоскостей. Тангенс

1PQA PQP найдем из прямоугольного треугольника

1PQP . Катет 1PP равен образующей цилиндра, т.е. 28. Катет

1 1 1PQ PO OQ PO OQ . 1PO – это расстояние от центра окружности радиуса 10 до хорды длины 12, а OQ – расстоя-ние от центра окружности радиуса 10 до хорды длины 16.

2 21 10 6 8PO , 2 210 8 6OQ , 1 14PQ . Следовательно 1 2tg PQP .

Ответ: 2.

A

B

A

D

A

A A

C

A

E

A

G

A

F

B O

1A 1B 1O

C

Q A

P

F

D

E 1P

42

6.17. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF , стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите синус угла между прямой BC и плоскостью SAF . Решение. Отрезок AD параллелен BC (см. рис.), поэтому он образует с плоскостью SAF тот же угол, что и BC . Синус угла меж-ду наклонной и плоскостью равен отношению высоты на-клонной к ее длине. Высота наклонной AD равна расстоя-нию от точки D до плоскости SAF . Так как отрезок CD па-раллелен плоскости SAF , то расстояние от любой точки прямой CD до этой плоскости одинаково. Определим это расстояние для точки G – середины отрезка CD .Для этого проведем сече-ние пирамиды SGH , где точка H – середина отрезка AF . Это сечение является плоскостью симметрии пирамиды, по-этому оно перпендикулярно отрезку AF , а значит и плоско-сти SAF . Высота GK треугольника SGH , опущенная из вер-шины G , является перпендикуляром к плоскости SAF , а ее длина равна искомому расстоянию от точек отрезка CD до плоскости SAF . Найдем GK . Треугольник SGH равнобедренный, его боковые стороны SG SH являются апофемами пирамиды, т.е. высотами рав-нобедренного треугольника с основанием 1 и боковыми сто-ронами 2. По теореме Пифагора 4 0, 25 0,5 15SH . Ос-нованиеGH равно 3 , как высота правильного шестиугольника со стороной 1. Высота SO равна, по Пифагору, 0, 25 15 0, 25 3 3 . Из подобия треугольников SHO и GHK (прямоугольные с общим острым углом) следует

пропорция GK GHSO SH

, или 3 60,5 15 15

GK . Так как длина наклонной AD равна 2, то

синус угла между AD и плоскостью SAF равен 3 15515

.

Ответ: 155

.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

6.1. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1см(см. рисунок). Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 6.2. На клетчатой бумаге с клетками размером 1см х 1см изо-бражен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

A B C

D

F

S

E

O

K

H G

S

43

6.3. Угол между хордой АВ и касательной ВС к окружности равен 32 . Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой АВ. Ответ дайте в градусах. 6.4. Окружности радиусов 10 и 17 пересекаются в точках A и B . Найдите расстояние между центрами окружностей, если 16AB . 6.5. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H . Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол ACB . 6.6. Дана трапеция ABCD с боковыми сторонами 36, 34AB CD и верхним основа-

нием 10BC . Известно, что 1cos3

ABC . Найдите BD .

6.7. Объем конуса равен 16. Через середину высоты конуса параллельно его основанию проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса. 6.8. Прямоугольный треугольник с катетами 3 см и 4 см в первый раз вращается вокруг большего катета, а во второй – вокруг меньшего. Найдите отношение меньшей боковой поверхности получившихся тел к большей. 6.9. В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке R. Площадь треугольника ABC равна 30, объем пирамиды равен 210. Найдите длину от-резка RS. 6.10. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 72 , а высота равна 8. Найдите ди-метр основания. 6.11. Длина окружности в основании конуса равна 24 , высота конуса равна 5. Найдите образующую конуса. 6.12. Прямой цилиндр с радиусом основания 32 пересечен плоскостью, параллельной оси цилиндра так, что отсекает на основании цилиндра хорду, равную его радиусу. Най-дите расстояние от этого сечения до оси цилиндра. 6.13. В правильной треугольной пирамиде SABC точка M – середина ребра AB, S – вер-шина. Известно, что SM равно 29, а площадь боковой поверхности равна 174. Найдите длину отрезка BC. 6.14. Ребра AD и BC пирамиды DABC равны 24 см и 10 см. Расстояние между середи-нами ребер BD и AC равно 13 см. Найдите угол между прямыми AD и BC . 6.15. В правильной шестиугольной призме 1 1 1 1ABCDA B C D , все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми 1AB и 1BC . 6.16. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все стороны которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями ABC и BCS .

Ответы к задачам для самостоятельного решения 6.1. 12; 6.2. 12; 6.3. 64 ; 6.4. 21 9и ; 6.5. o o60 120или ; 6.6. 36; 8 19 ; 6.7. 2; 6.8. 0,75;

6.9. 21; 6.10. 9; 6.11. 13; 6.12. 3; 6.13. 4; 6.14. 90 ; 6.15. 3cos4

; 6.16. 3cos3

.

44

7. ЗАДАЧИ ПОВЫШЕННОЙ СЛОЖНОСТИ

7.1. Для каждого допустимого значения a решите систему 2 2 2 2

1

2 22 122 2 2 2 2 37log 4 log 4 0x a

x a x a x a x a

.

Решение. Запишем систему в виде:

2 2 2 2

4 4

4 4

( 1) ( 11) ( 1) ( 1) 2 37log log ( 1) 0log log ( 1)

x a x aa xa x

.

Второе уравнение системы определено при ( 1;0) (0; )x и (0;1) (1; )a .

При этих условиях оно равносильно равенству ( 1) 1a x .

Первое уравнение системы означает, что сумма расстояний от точки M с координатами ( ; )x a до точек (1;11)A и ( 1; 1)B равна 2 37 . Так как длина отрезка АВ также равна 2 37 , то отсюда следует, что точка М должна лежать на отрезке АВ. Координаты ( ; )x a точки M должны удовлетворять условиям: 6 5a x и 1;1x . Исходная система равносильна системе:

6 5, 1;1( 1) 1, ( 1;0) (0; ), (0;1) (1; )

a x xa x x a

.

Ответ: при 2a решение 12

x , при остальных a решений нет.

7.2. При каких значениях параметра а система 2 2

2 2 2 2

(2 1) 2 0

( ) ( ) ( 3) 3

y a y a a

x a y x a y

имеет

единственное решение? Решение. Второе уравнение системы означает, то сумма расстояний от точки M с координатами ( ; )x y до точек ( ;0)A a и ( ;3)B a равна 3. Так как расстояние между точками А и В тоже равно 3, то точка М должна лежать на отрезке АВ. Разложив первое уравнение системы на множители, получим: ( ( 2))( ( 1)) 0y a y a . Чтобы система имела единственное решение, одна из прямых 2y a или 1y a должна пересекать отрезок АВ, а другая нет. Это условие можно записать в виде:

0 2 31 31 0

aaa

или 0 1 3

2 32 0

aaa

.

Решая системы, получим 2;1 1;4a .

Ответ: 2;1 1;4a .

A

B x

1 1

a

1

11

45

7.3. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение 2 25 2 2 5 2 69 ( 10) 3 (4 ) 3x x x x xa a имеет ровно два корня.

Решение. Умножив обе части данного уравнения на 63 x , получим

2 2 2 24 5 2 4 5 2 ( 2) 1 2 ( 2) 1 29 ( 10)3 (4 ) 9 ( 10)3 4x x x x x xa a a a

Сделаем замену 2( 2) 13 x t , где 3;t . Уравнение 2 2 2( 10) 4t a t a является квад-

ратным и при любом значении a имеет не более двух корней. Каждому решению этого уравнения из промежутка (3; ) соответствует два значения x , поэтому условие задачи выполняется, если квадратное уравнение имеет ровно один корень в промежутке (3; ) . Рассмотрим функцию 2 2 2( ) ( 10) (4 )f t t a t a . Данная функция будет иметь один ко-рень в промежутке (3; ) при выполнении следующих условий

(1) 2

010 3

2

Da

или (2) (3) 0f или (3) 2

(3) 010 3

2

fa

.

Решая эти системы, получаем:

(1) 4 2

2 2

24 116 0 12 284 4

D a a aa

a a

;

(2) Так как 2(3) 4 25f a , то 24 25 0a ( 2,5;2,5)a ;

(3) 2

2,54

aa

2,5a .

Ответ: [ 2,5;2,5]a .

7.4. При каких значениях параметра а система 2 2(2 3 ) 2 2 0

1x a x a aax

имеет решения.

Решение. Имеем

2 2 ( )( 2 2) 0(2 3 ) 2 2 0.

11x a x ax a x a a

axax

Неравенство системы задаёт область в плос-кости 0X a , ограниченную прямыми

0x a и 2 2 0x a . Тогда абсциссы выделенных дуг гиперболы

1ax - решения системы. Соответствующие этим дугам значения а – это те значения параметра а, при которых система имеет решения. Ординаты точек пересечения гиперболы и прямых ( ; ; ; )A B C D найдем из систем:

1x aax

и

2 21

x aax

откуда получим: 2 1a , 22 2 1 0a a ,

1 1a , 21 3

2a

, 3 1a , 41 3

2a

.

C

D

a

x

4a3a

2a1a

B

A

46

Таким образом, система 2 2(2 3 ) 2 2 0

1x a x a aax

имеет решения при

1 3 1 31; 1;2 2

a

.

Ответ: 1 3 1 31; 1;2 2

a

.

7.5. Множество М состоит из точек (а;b) координатной плоскости, для которых уравнение

4 2 2 2(20 21 63) (3 4 9) 4 4 0a b x b a x b b имеет ровно одно решение. Докажите, что в многоугольник, которым является множество М, можно вписать окружность и найди-те координаты центра. Решение. В силу четности функции 4 2 2 2( ) (20 21 63) (3 4 9) 4 4f x a b x b a x b b имеем,

что если 0X решение уравнения, то и 0X также является его решением. Условие 0x - необходимое для существования единственного решения. Это условие не является доста-точным.

0x является решением уравнения, если 2 24 4 0b b 2 24 ( 4)b b 2 4 0 2 2b b (1).

Если 2 2b , то уравнение принимает вид 2 2((20 21 63) 3 4 9) 0x a b x b a . Чтобы 0x было единственным решением уравнение 2(20 21 63) 3 4 9 0a b x b a должно

либо не иметь решений, либо иметь решение 0x . Это условие выполняется, если (20 21 63)(3 4 9) 0a b b a , причём 20 21 63a b и 3 4 9b a не равны нулю одновре-менно. Таким образом, множество М – это множество точек, удовлетворяющих системе неравенств

2 2(20 21 63)(3 4 9) 0

ba b b a

.

При построении этого множества получим трапецию с вершинами 21 21 15 3( ; 2), ( ;2), ( ;2), ( ; 2)20 4 14 4

A B C D .

A

B C

D

Q a

3 4 9 0b a b

2b

2 0 2 1 6 3 0a b

2b

47

Найдём длины сторон трапеции: 9 299; 5; ;5 5

BC CD AD AB .

Вычисляя 29 5455 5

AB DC и 9 5455 5

BC AD , видим, что суммы противополож-

ных сторон трапеции равны, а следовательно, в трапецию можно вписать окружность. Центр окружности лежит на оси 0a . Пусть координаты центра 0( ;0)Q a , радиус окружности равен 2. Вычислим расстояние от точки Q до прямой 3 4 9 0b a :

0 0

2 2

3 0 4 9 4 92 2

53 4

a a

0 0

14 9 104

a a или 0194

a

Точка с координатами 19( ;0)4

расположена за пределами трапеции, следовательно, коорди-

наты центра 1( ;0)4

.

Ответ: 1( ;0)4

.

7.6. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых существует единственная

пара целых чисел, удовлетворяющих условиям:

2 2

2

15 11 2 7

2 3 0

x xy yx ya x xy

.

Решение. Найдем все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению 2 215 11 2 7x xy y . Так как 2 215 11 2 (3 )(2 5 )x xy y x y y x , а при целых значениях x и y выражения 3x y и 2 5y x также принимают целые значения, то каждое из решений уравнения в целых числах удовлетворяет одной из систем:

3 7 3 1 3 7 3 12 5 1, 2 5 7, 2 5 1, 2 5 7.

x y x y x y x yy x y x y x y x

Решениями этих систем являются пары чисел: (15;38), (9;26), ( 15; 38), ( 9; 26). Из этих пар неравенству x y удовлетворяют пары (15;38), (9;26). Теперь требуется найти все значения параметра a , при каждом их которых выполняется только одно из неравенств:

2 22 15 5 38 0 5 19 0a a a a или 2 22 9 5 26 0 3 13 0a a a a . Решениями

первого неравенства являются 19( ;0)5

a , второго - 13( ;0)3

a . Условию задачи удов-

летворяют все значения 19 13( ; )5 3

a .

Ответ: 19 13( ; )5 3

a .

7.7. Решите в натуральных числах уравнение 2! 5 13nn k . Решение.

48

Обратим внимание на то, что при любом 5n !n делится на 5, а значит ! 5nn оканчива-ется на 0. Из этого можно сделать вывод, что сумма ! 5 13nn будет оканчиваться на 3 или 8, но ни один квадрат натурального числа на эти цифры не оканчивается. Отсюда сле-дует, что 5n . Рассмотрим уравнение 2! 5 13nn k для каждого значения 5n .

1 2 21 1! 5 13 19n k k k . 2 2 22 2! 5 13 40n k k k . 3 2 23 3! 5 13 144 12n k k k . 4 2 24 4! 5 13 662n k k k .

Ответ: 3, 12n k . 7.8. Найти натуральное число n , если

2

200 199

44...488...89n .

Решение. Введем обозначение

200

11...1 E и запишем уравнение в следующем виде:

200 24 (10) 8 1E E n . После замены 200(10) 9 1E получим соотношение 24 (9 1) 8 1E E E n , или 2 236 12 1E E n . Следовательно 6 1n E .

Ответ: 199

6 1 66...67n E .

7.9. Каждое из чисел 3, 4, …, 12 умножают на каждое из чисел 10, 11, …,16 и перед каж-дым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 70 полу-ченных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наи-большую сумму можно получить в итоге? Решение. Пусть 1 2 10, ,...,a a a – числа из первой группы, снабженные знаком плюс или минус, а

1 2 7, ,...,b b b – числа из второй группы, также снабженные знаком плюс или минус. Поло-

жим 10

1 101

( ) ... ii

S a a a a

, 7

1 71

( ) ... jj

S b b b b

. Сумма ( , )S a b всех произведений

i ja b приводится к виду 10 7 10 7

1 1 1 1

( )( ) ( ) ( )i j i ji j i j

S a b a b S a S b

.

1) Максимальное значение ( )S a принимает, когда все числа взяты со знаком плюс. В этом

случае 10

1

(3 12)10( ) (3 4 ... 12) 752i

iS a a

. Аналогично, максимальное значение

7

1

(10 16)7( ) (10 11 ... 16) 912j

jS b b

. Следовательно, максимальное значение

( , ) 75 91 6825S a b . 2) При изменении знака у одного из слагаемых i ja b сумма изменится на четное число 2 i ja b . Так как сумма всех произведений, взятых со знаком плюс, нечетная, то при любом выборе знаков у произведений их сумма будет нечетной. Следовательно, минимальное значение модуля суммы не меньше единицы. Покажем, что оно равно единице. Возьмем числа 5, 10, 11, 12 из первой группы со знаком плюс (их сумма 38), а остальные со знаком минус. Тогда ( ) 38 37 1S a . Во второй группе возьмем с плюсом числа 10, 11, 12, 13, а с минусом 14, 15 и 16. Тогда ( ) 46 45 1S b . В этом случае ( , ) ( ) ( ) 1S a b S a S b . Ответ: 1 и 6825.

49

7.10. Уравнение 2 2 22lmn l m n решить в натуральных числах. Решение. Докажем, что числа , ,l m n четные. Так как в левой части уравнения стоит четное число, то сумма справа либо состоит из четных слагаемых, либо содержит два нечетных слагаемых. Так как одно из чисел (например l ) четно, то 2lmn делится на 4. Для нечетных ,m n каж-дое из чисел 2m и 2n при делении на 4 дает в остатке 1, а следовательно, правая часть уравнения не делится на 4. Четные числа , ,l m n представим в виде 1 1 12 , 2 , 2k k kl l m m n n , где хотя бы одно из чи-сел 1 1 1, ,l m n нечетное. Подставив эти выражения в исходное уравнение, и сократив на 22 k , получим уравнение 1 2 2 2

1 1 1 1 1 12k l m n l m n . Из рассуждений, приведенных выше, следует, что все числа 1 1 1, ,l m n четные, что противо-речит взятому разложению. Ответ: уравнение решений не имеет.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

7.1. При каких значениях параметра a система уравнений 2 2

2 2

( 2) 1,( 3) 4 ( 2)( 2)x yx y y a a

имеет единственное решение?

7.2. Найдите все положительные значения a , при каждом из которых система

2 2 2

8 15 36,,

4 4

x yx y a

y

имеет единственное решение.

7.3. Найдите наименьшее значение параметра a , при котором система неравенств

2 2 14 2 1 ,

802 1

ax a y a

x y

имеет единственное решение.

7.4. Решите в целых числах уравнение 2 510mn n m . 7.5. Среди дробей с положительными знаменателями, расположенными между числами 96 97;35 36

, найти дробь с наименьшим знаменателем.

7.6. Решите в натуральных числах уравнение 2! 12n k .

Ответы к задачам для самостоятельного решения

7.1. ( 29 1)a ; 7.2. 36(5;4 10]17

a

; 7.3. 5a ;

7.4. 0, 0;m n 3, 37500;n m 9, 11250n m ; 7.5. 197

; 7.6. (4;6) .

50

РАЗДЕЛ 2

ТРЕНИРОВОЧНЫЕ ТЕСТЫ

Вариант 1

Часть 1 Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная десятичная

дробь. Единицы измерений писать не нужно. В1. Дискета стоит 12 руб. Какое наибольшее количество дискет можно купить на 500 руб-лей после повышения цены на 10%. В2. На графике показана температура воздуха в течение двух недель сентября в городе Москве. Какого числа из наблюдаемого периода температура была максимальной?

В3. Найдите площадь трапеции, изображенной на координатной плоскости Оху. В4. Художественная студия приобретает 320 кг скульптурного гипса у одного из трех по-ставщиков. Сколько рублей будет стоить покупка гипса у поставщика B с доставкой. Це-ны и условия доставки приведены в таблице.

Поставщик Цена 1 кг гипса Стоимость дос-тавки (руб.) Дополнительные условия

А 110 2500

Б 100 2200 При заказе на сумму

более 30 000 руб. доставка бесплатно

В 120 2100 При заказе на сумму

более 40 000 руб. доставка бесплатно

В5. Найдите корень уравнения 6 9 3x . В6. АС и BD – диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 38 . Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

51

В7. Найдите значение выражения 4

3

3

log 20log 20

.

В8. На рисунке изображен график функции f x и ка-сательная к этому графику, проведенная в точке с абс-циссой 1 . Найдите значение производной функции f x в точке 1x .

В9. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известно, что AC1 равно 5, BB1 равно 3 , A1D1 равно 13 . Найдите длину ребра DC. В10. Валя выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 51. В11. Диагональ куба равна 12 . Найдите его объем. В12. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально. На исследуемом интер-вале температура вычисляется по формуле 2

0T t T bt at , где t -время в минутах, Т0=1600 К, а a = –5к/мин2, b=105к/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1870 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Определите, через ка-кое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. В13. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 50 км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что за час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 4 часа позже автомобилиста. Ответ дайте в км/ч. В14. Найдите наибольшее значение функции 32 log (2 )log (3 ) 22 3 xxy x .

Часть 2 При выполнении заданий С1-С6 необходимо записать полное обоснованное решение и

ответ.

С1. Решите уравнение 2

2

3 4 05cos 4cos

ctg x ctgxx x

.

С2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра 8 3, 10AB SC . Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где

М – точка пересечения медиан грани SBC.

С3. Решите систему неравенств 4 12 2 32 0,log ( 2) log ( 2) 0.

x x

x xx x

.

С4. В треугольнике АВС АВ=12, ВС=5, СА=10. Точка D лежит на прямой ВС так, что BD:DC=4:9. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ADB, касаются стороны AD в точках Е и F. Найдите длину отрезка EF.

С5. Найдите все действительные значения параметра p , при каждом из которых уравне-

ние xxxx p 12 224427 имеет решение.

52

С6. Каждое из чисел 5, 6, …, 9 умножают на каждое из чисел 12, 14, …, 17 и перед каж-дым из полученных произведений ставят знак плюс или минус, после чего все 30 полу-ченных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю сумму и какую наи-большую сумму можно получить в итоге?

Ответы к тренировочному тесту. Вариант 1 В1. 37; В2. 27; В3. 16; В4. 40 500; В5. 3 ; В6. o76 ; В7. 0, 25 ; В8. 1; В9. 3; В10. 0,02 ; В11. 8; В12. 3; В13. 10; В14. 6 ;

С1. 4 2 ,3

x arcctg n n Z ; С2. 316

arctg ; С3. 3; С4. 51 3,526

или ; С5. 17; ;

С6. 3045; 1.

53

Вариант 2

Часть 1 Ответом на задания В1-В12 должно быть целое число или конечная десятичная

дробь. Единицы измерений писать не нужно.

В1 Летом килограмм клубники стоит 80 руб. Катя купила 3 кг 500 г клубники. Сколько рублей сдачи она должна получить с 300 руб.?

В2. На диаграмме показана среднемесячная температура воздуха в Екатеринбурге (Сверд-ловске) за каждый месяц 1973 года. По горизон-тали указываются месяцы, по вертикали – тем-пература в градусах Цельсия. Определите по диаграмме наибольшую среднемесячную темпе-ратуру в 1973 году. Ответ дайте в градусах Цельсия. В3. На клетчатой бумаге с клетками размером 1см х 1см изображен треугольник (см. рисунок). Найдите его площадь в квадратных сан-тиметрах. В4. Швейная фабрика выпускает мужские брюки двух типов: из шер-сти и хлопка. На одни брюки расходуется 1,5 м ткани. Стоимость 1 м ткани и себестоимость пошива приведены в таблице. Для реализации товара фабрика продает магазину шерстяные брюки за 1800 руб., а брюки из хлопка – за 1300 руб. В месяц фабрика выпускает по 50 брюк каждого сорта. Определите месячную прибыль фабрики за самый выгодный вариант товара.

Тип ткани Цена за 1м, руб. Стоимость пошива, руб.

Шерсть 800 150

Хлопок 450 150

В5. Решите уравнение 12 31 64

4

x

.

В6. В треугольнике АВС угол С равен 58 , AD и ВЕ – бис-сектрисы, пересекающиеся в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

В7. Найдите tg , если 5cos26

и 0;2

.

В8. Точка движения прямолинейно по закону 3 2122

s t t t t . Вычислите скорость в мо-

мент времени 1t . В9. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15 , а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.

54

В10. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 5 очков. Результат округлите до сотых. В11. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте бу-дет находиться уровень воды, если ее перелить в другой сосуд та-кой же формы, у которого сторона основания равна в 4 раза больше, чем у первого? В12. В боковой стенке высокого цилиндрического бака вблизи дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нем, выраженная в метрах, меняется по закону

2 20 02

2gH t H gH kt k t , где t - прошедшее время (в секундах), 0 5H м – начальная

высота столба воды, 1800

k - отношение площадей поперечных сечений крана и бака,

10g м/с2 – ускорение свободного падения. К какому моменту времени в баке останется не более чем четверть первоначального объема? Ответ выразите в секундах. В13. Имеется два сплава. Первый содержит 5% никеля, второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 225 кг, содержащий 20% никеля. На сколько кило-граммов масса первого сплава меньше массы второго? В14. Найдите наименьшее значение функции 33 ln 3y x x на отрезке 2,5;0 .

Часть 2 При выполнении заданий С1-С6 необходимо записать полное обоснованное решение и

ответ.

С1. Решите уравнение sin 2 3 cos( ) 0x x . Укажите корни, принадлежащие отрезку 5;

2 2

С2. В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF сторона основания АВ=2, боковое ребро 5SA . Найдите расстояние от вершины В до плоскости SСЕ.

С3. Решите неравенство 1 lg1 1 lg2

1log 5 1 lg2

xx x

.

С4. Окружность радиуса 24 вписана в равнобедренную трапецию с основаниями 36 и 64. Найдите радиус окружности, которая касается основания, боковой стороны и данной ок-ружности.

С5. Найдите все значения параметра a , при каждом из которых система уравнений

2 2 2

5 2 60 12 ,

4 1

x y

x y a x

имеет ровно восемь решений.

С6. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.

55

Ответы к тренировочному тесту. Вариант 2 В1. 20; В2. 18; В3. 12; В4. 23750; В5. 5 ; В6. 119; В7. 0,2; ;В8. 6; В9. 3; В10. 0,11 ; В11. 5; В12. 400 ; В13. 45; В14. 6 ;

С1. 4 3 5 52 , ; ( 1) , ; , , , ,2 3 2 3 2 3 2

kx n n Z x k k Z ; С2. 2 ; С3. 0,1; 0,5 ; С4.

4 6или ; С5 60 605; ; 513 13

; С6. 40 и 3.