ĐẠ hÀm, vi phÂn oo xa o · 2 hệ số góc của đường thẳng giai tich 1 nguyen van...
TRANSCRIPT
1
ĐAO HAM, VI PHÂN
HAM MÔT BIÊN
Lecture 4
Nguyen Van Thuy
Review
Đinh ly (Kẹp). Nêu 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) ≤ ℎ(𝑥) khi 𝑥 gân 𝑎
va
thi
Đinh ly
lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a
f x L f x L f x
Giai tich 1 4-2 Nguyen Van Thuy-University of Science
lim ( ) lim ( )x a x a
f x h x L
lim ( )x a
g x L
Review
Đinh nghia. Ham f đươc goi la liên tuc tai a nêu
f gian đoan tai a nêu f không liên tuc tai a
f liên tuc trên khoang (a, b) nêu f liên tuc tai moi
điêm thuôc khoang đo
Câu 65. Tim a đê ham sô sau
liên tuc tai 𝑥 = 1
lim ( ) ( )x a
f x f a
2
2
2
1arctan , 1
( 1)( )
3, 1
1
xx
f xx x a
xx
Giai tich 1 4-3 Nguyen Van Thuy-University of Science
Review
Đinh ly. Tât ca nhưng ham sau liên tuc trên miên
xac đinh
Ham đa thưc
Ham phân thưc hưu ty
Ham căn thưc
Ham mu
Ham logarithm
Ham lương giac
Ham lương giac ngươc
Giai tich 1 4-4 Nguyen Van Thuy-University of Science
Review
7 dang vô đinh
Cac giơi han cơ ban
Vi du. Tinh
0 0.00
, , , ,1 ,0
0,
1/
0 0
sin 1lim 1, lim 1 , lim(1 )
u
u
u u u
ue u e
u u
0
tan 2) lim
x
xa
x
1) lim 1
2
x
xb
x
Giai tich 1 4-5 Nguyen Van Thuy-University of Science
Hệ số góc của đường thẳng
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-6
𝛼
𝑦
𝑥
𝑎 ? 𝛼
2
Hệ số góc của đường thẳng
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-7
𝑘𝐴𝐵 = 𝑡𝑎𝑛𝛼 =𝑦𝐵 − 𝑦𝐴𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
𝛼
𝑦
𝑥
Hệ số góc của tiếp tuyến
Tinh 𝑘𝐴𝐵
Tinh
Nhận xét
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-8
0lim ABh
k
Hệ số góc của tiếp tuyến
Giai tich 1 4-9 Nguyen Van Thuy-University of Science
0
( ) ( )limtth
f a h f ak
h
Vân tốc tưc thời
Vận tôc trung binh
Vận tôc tưc thơi tai thơi điêm 𝑡 = 𝑎
( ) ( )sa h sav
h
0
( ) ()() lim
h
sah sava
h
Giai tich 1 4-10 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham
Đinh nghia. Đao ham cua ham sô 𝑓 tai 𝑎
Phương trinh tiêp tuyên tai điêm 𝑀(𝑎, 𝑓(𝑎))
𝑦 = 𝑓’(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
0
( ) ( )'( ) lim
h
f a h f af a
h
Giai tich 1 4-11 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham
Vi du. Tinh đao ham băng đinh nghia
1) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥, tinh 𝑓’(3)
2) . Tinh 𝑓’(2) ( )f x x
2
0 0
2
0 0
(3 ) (3) (3 ) (3 ) 12'(3) lim lim
7lim lim( 7) 7
h h
h h
f h f h hf
h h
h hh
h
Giai tich 1 4-12 Nguyen Van Thuy-University of Science
3
Đao ham
Ky hiêu đao ham cua ham sô 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Chu y. 𝑓’(𝑎) la gia tri tai 𝑥 = 𝑎 cua ham 𝑓’(𝑥)
Vi du. 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 , phat biêu “𝑓’(0) =
0 bơi vi 𝑓(0) = 0 la hăng sô, va đao ham
cua hăng sô la zero” đung hay sai?
'( ) ' ( ) ( ) ( )x
dy df df x y f x Df x D f x
dx dx dx
Giai tich 1 4-13 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham
Cac công thưc đao ham cơ ban
1
2 2
2 2
2 2
'( )' ', ( )' ', (ln )'
( )' 'ln , (sin )' 'cos , (cos )' 'sin
(tan )' '(1 tan ),(
' '(arcsin )' ,(arccos )'
1 1
' '(arctan )' ,(arcc
cot )' '(1 cot )
ot )'1 1
u u
u u
uu u u e e u u
u
a a u a u u u u u u
u u u
u uu u
u u
u uu u
u
u u
u
u
Giai tich 1 4-14 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham
Cac tinh chât cua đao ham
Vi du
'
2
( ) ' ' ', ( . ) ' . '
' '( ) ' ' ',
u v u v c u c u
u u v uvuv u v uv
v v
1 cos 1 cos 1 cos( ) .(1 cos ) ' .sinx x xde e x e x
dx
ln ln cos ?d
xdx
Giai tich 1 4-15 Nguyen Van Thuy-University of Science
Khi nao đao ham tôn tai?
Giơi han nay co thê không tôn tai
Nêu 𝑓’(𝑎) tôn tai hưu han, 𝑓 đươc goi la kha
vi tai 𝑎
Nêu 𝑓 kha vi tai a thi 𝑓 liên tuc tai 𝑎
0
( ) ( )'( ) lim
h
f a h f af a
h
Giai tich 1 4-16 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham
Vi du
𝑓(𝑥) = |𝑥| co va không co đao ham
tai 𝑥 = 0
1, 0'( )
1, 0
xf x
x
Giai tich 1 4-17 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham câp cao
𝑦′′ = 𝑦′ ′, . . . , 𝑦(𝑛) = (𝑦 𝑛−1 )′
𝑢 + 𝑣 𝑛 = 𝑢(𝑛) + 𝑣(𝑛)
(𝛼𝑢)(𝑛)= 𝛼𝑢(𝑛)
Vi du. Tinh 𝑦’’ cua ham sô
𝑦 = arctan 𝑥 + 1 + 2𝑥
Vi du. Tinh 𝑦’’ cua ham sô
𝑦 = 2 𝑥 + 1 arctan 𝑥 + 1 − ln (𝑥2 + 2𝑥 + 2)
Giai tich 1 4-18 Nguyen Van Thuy-University of Science
4
Đao ham câp cao
Công thưc
( )
1
1 ( 1) !
( )
n n
n
n
x a x a
( )(sin ) sin2
nx x n
( )(cos ) cos2
nx x n
( )( )ax n n axe a e
( )(sin ) sin2
n nax a ax n
( )(cos ) cos2
n nax a ax n
Giai tich 1 4-19 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham câp cao
Công thưc Leibniz
vơi
Vi du. a) Tinh b) Tinh
(0) !,
!( )!
k
n
nf fC
knk
2 (100)( )xx e( )
2
2 1
5 6
nx
x x
Giai tich 1 4-20 Nguyen Van Thuy-University of Science
() () ( )
0
0 (0) () 1 (1) ( 1) () (0)
( )n
n k k nk
n
k
n n n n
n n n
fg Cf g
Cf g Cf g Cf g
Vi phân của ham số
Tai x=a
𝑑𝑦 𝑎 = 𝑦′ 𝑎 𝑑𝑥
Tai x
𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-21
Vi phân của ham số
Công thưc
𝑑𝑦 = 𝑦′ 𝑥 𝑑𝑥
Vi du. Tim vi phân câp 1 cua ham sô
Vi du. Tim vi phân câp 1 cua ham sô
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-22
lnarctan
3
xy
(3)xy x
Ví phân câp cao
Vi phân câp n
𝑑𝑛𝑦 = 𝑦(𝑛)(𝑑𝑥)𝑛
Vi du. Tim vi phân câp 2 cua ham sô
Vi du. Tim vi phân câp 2 cua ham sô
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-23
2ln(12)y x
2cot( )yarc x
Quy tăc L’Hospital
Đinh ly. Nêu 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) co dang
0
0,∞
∞ khi 𝑥𝑎 va
tôn tai lim𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)= 𝐴 thi
lim𝑥→𝑎
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)= lim𝑥→𝑎
𝑓′(𝑥)
𝑔′(𝑥)= 𝐴
Chu y: 𝐴 co thê hưu han hoặc vô han
Giai tich 1 4-24 Nguyen Van Thuy-University of Science
5
Quy tăc L’Hospital
Chu y. Qua trinh 𝑥 → 𝑎 co thê thay bơi
𝑥 → 𝑎+, 𝑥 → 𝑎
−, 𝑥 → ∞, 𝑥 → −∞
Vi du
3 20 0
0 0
sin 1 coslim lim
3
sin cos 1lim lim
6 6 6
0 0
0 0
0
0
x x
x x
x x x
x x
x x
x
Giai tich 1 4-25 Nguyen Van Thuy-University of Science
Quy tăc L’Hospital
Vi du. Tinh
𝑎) 𝐿 = 0 𝑏) 𝐿 =1
3 𝑐) 𝐿 = 2 𝑑) 𝐿 = −
1
3
Vi du. Tinh
𝑎) 𝐿 = ∞ 𝑏) 𝐿 = 0 𝑐) 𝐿 = 1 𝑑) 𝐿 = 2
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-26
30
arctanlim
0
0x
x xL
x
0
0.limlnx
L xx
Quy tăc L’Hospital
Vi du. Tinh
𝑎) 𝐿 = 1 𝑏) 𝐿 =1
2 𝑐) 𝐿 =
1
4 𝑑) 𝐿 =
1
8
Vi du. Tinh
𝑎) 𝐿 = 0 𝑏) 𝐿 = 𝑒 𝑐) 𝐿 = 𝑒2 𝑑) đều sai
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-27
2
0( 2)lim(2) 0x
xL x
1
1lim
1lnx
xL
x x
Đao ham của ham ân
Đinh nghia. Ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi
phương trinh 𝐹(𝑥, 𝑦) = 0 đươc goi la ham
ân
Vi du. Cho ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) xac đinh bơi
phương trinh 𝑥2 + 𝑦2 = 2
Phương trinh trên xac đinh hai ham ân
2 22 , 2y x y x
Giai tich 1 4-28 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham của ham ân
Đê tinh đao ham cua ham ân, chu y răng
Chu y. 𝑦 la ham sô theo 𝑥, con 𝑥 la biên sô
Vi du. Tinh 𝑦’(𝑥) biêt 𝑥2 + 𝑦2 = 2
Lây đao ham theo 𝑥 ca hai vê, ta đươc
'
( , ) 0 ( , ) 0x
F x y F x y
2 2 ' 0 'x
x yy yy
Giai tich 1 4-29 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham của ham ân
Vi du. Tim đao ham 𝑦’(0) cua ham ân
𝑦 = 𝑦(𝑥) đươc cho bơi phương trinh
𝑒𝑦 − 𝑥𝑦 = 𝑒
𝑎) 𝑦′ 0 = 𝑒 𝑏) 𝑦′ 0 = −𝑒
𝑐) 𝑦′(0) =1
𝑒 𝑑) 𝑦′(0) = −
1
𝑒
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-30
6
Đao ham của ham ân
Vi du. Viêt phương trinh tiêp tuyên cua
đương cong cardioid
tai (0, 1/2)
2 2 2 2 2(2 2 )x y x y x
Giai tich 1 4-31 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham của ham ân
Vi du. Viêt phương trinh tiêp tuyên cua
đương cong lemniscate
tai (3, 1)
2 2 2 2 22( ) 25( )x y x y
Giai tich 1 4-32 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham của ham số dang tham số
Đinh nghia. Ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) cho dươi
dang 𝑥 = 𝑥(𝑡), 𝑦 = 𝑦(𝑡) đươc goi la ham
sô cho dươi dang tham sô
Vi du. Ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi 𝑥 =
𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, – 𝜋/2 𝑡 𝜋/2
Đo la ham sô
21 , 1 1y x x
Giai tich 1 4-33 Nguyen Van Thuy-University of Science
1 -1 0
x
y
Đao ham của ham số dang tham số
Đao ham cua ham sô cho dươi dang tham
sô
Vi du. Cho ham sô 𝑦 = 𝑦(𝑥) xac đinh bơi
'( )
'( )
'( )'( )
'( )
dy y t dt
dx x
y ty x
x tt dt
'( ) sin , '( ) cos
cos , s
'( ) '( ) / '( ) / cot
in
x t a t y t b t
x a t y b t
y x y t x t b a t
Giai tich 1 4-34 Nguyen Van Thuy-University of Science
Đao ham của ham số dang tham số
Vi du. Tim 𝑦’(𝑥) tai 𝑥0 = 2 cua ham sô
𝑦 = 𝑦(𝑥) cho bơi phương trinh tham sô
𝑎) 𝑦′ 2 = 1/2 𝑏) 1 𝑐) 5/𝑒2 𝑑) đề𝑢 𝑠𝑎𝑖
Giai. 𝑥0 = 2 = 2𝑒𝑡⟹ 𝑡 = 0
2
2 tx e
y t t
Giai tich 1 4-35 Nguyen Van Thuy-University of Science
' 2
0'
( ) ' 1 2 1'( ) '( 2)
(2 ) ' 2 2
t
t t
t
y t t ty x y x
x e e
Đao ham của ham số dang tham số
Vi du. Tim đao ham 𝑦’ = 𝑦’(𝑥) cua ham sô
𝑦 = 𝑦(𝑥) đươc cho bơi phương trinh
Giai tich 1 Nguyen Van Thuy-University of Science 4-36
2ln(1 )
2 2arctan
x t
y t t
2
2
2) '
1
ta y
t
2
2
2) '
1
tb y
t
) 'c y t ) 'd y t