Конспект лекцiй зi спецкурсу “Скiнченнi поля” · 2019. 6....

Конспект лекцiй зi спецкурсу“Скiнченнi поля”

Кочубiнська Є.А.

2018

Змiст

1 Короткi вiдомостi з теорiї полiв 21.1 Характеристика поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Розширення полiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Характеризацiя скiнченних полiв 7

3 Незвiднi многочлени над скiнченними полями 123.1 Коренi незвiдних многочленiв . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Функцiя Мебiуса та незвiднi многочлени . . . . . . . . . . 14

4 Слiди та норми 184.1 Автоморфiзми та спряженi елементи . . . . . . . . . . . . 184.2 Слiди та норми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Теорема про нормальний базис 255.1 Дуальний базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255.2 Теорема про нормальний базис . . . . . . . . . . . . . . . 265.3 Характеризацiя базисiв . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6 Коренi з одиницi та круговi многочлени 33

7 Зображення елементiв скiнченного поля 38

8 Алгоритмипобудовинезвiднихмногочленiв та скiнченнихполiв 42

1

Роздiл 1

Короткi вiдомостi з теорiї полiв

Базове припущення. Студент знайомий з курсами лiнiйної алгебри iалгебри та теорiї чисел, що читалися на першому та другому курсах.

1.1 Характеристика поля

Поле F — це непорожня множина, на якiй визначено двi бiнарнi дiї +та ·, що називаються додаванням та множенням, вiдповiдно, яка мiститьдва видiленi елементи 1 та 0, 1 , 0, i задовольняє умови

• (F,+)— абелева група з нейтральним елементом 0;

• F ∗ = (F \ {0}, ·)— абелева група з нейтральний елементом 1 (цюгрупу називають мультиплiкативною групою поля);

• додавання та множення пов’язанi дистрибутивними законами.

Нехай F — поле. Пiдмножина K поля F , яка сама є полем вiдноснозаданих на F операцiй, називається його пiдполем. У цьому випадкуполе F називається розширенням поля K . Якщо K , F , то K називаєтьсявласним пiдполем поля F .

Поле, яке не мiстить власних пiдполiв, називається простим полем.

Приклад 1.1. Простими полями є поля Zp таQ.

Перетин всiх пiдполiв поля F є, очевидно, пiдполем поля F , яке нази-вається простим пiдполем поля F .

Означення 1.1. Найменше таке k ∈ N, що

1 + 1 + . . . + 1︸︷︷︸k

= 0,

називається характеристикою поля. Позначається char F . Якщо такого kне iснує, то вважають, що char F = 0.

2

РОЗДIЛ 1. КОРОТКI ВIДОМОСТI З ТЕОРIЇ ПОЛIВ 3

Твердження 1.1. Характеристика поля є або простим числом, або 0. Ха-рактеристика скiнченного поля завжди є простим числом.

Доведення. Припустимо, що F —поле, характеристикою якого є складенечисло, нехай це число n = kl , де k , l < n. Тодi

n · 1 = (kl ) · 1 = (k · 1)(l · 1) = .0

Оскiльки в полi немає дiльникiв нуля, то k · 1 = 0 або l · 1 = 0, щосуперечить означенню характеристики поля.

Припустимо, що F — скiнченне поле. Тодi в послiдовностi

0, 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, . . .

деякi члени повиннi повторюватись. Нехай для деяких r > s r · 1 = s · 1.Тодi (r − s ) · 1 = 0. Отже, поле F має скiнченну характеристику. �

Теорема 1.2. 1. Якщо характеристика поля F дорiвнює простому числу p ,то просте пiдполе поля F iзоморфне полю Zp .

2. Якщо характеристика поля F дорiвнює 0, то просте пiдполе поля Fiзоморфне полю рацiональних чиселQ.

Доведення. 1. Нехай P — просте пiдполе поля F .Нехай char F = p . Тодi можемо визначити вiдображення

Θ : Zp → F

за правиломr 7→ r · 1, (r = 0, 1, , . . . , p − 1).

Легко перевiрити, що вiдображення Θ є iзоморфiзмом мiж Zp та ImΘ.Кожне пiдполе F мiстить елемент 1, а тому мiстить i r · 1 = 1 + 1 + . . . + 1︸︷︷︸

r

.

Отже, поле ImΘ мiститься в кожному пiдполi поля F , а тому є його про-стим пiдполем:

P = ImΘ ' Zp .Iзоморфiзм Θ є єдиним, бо

Θ(1) = 1⇒ Θ(r ) = Θ(1 + . . . + 1) = Θ(1) + . . .Θ(1) = r · 1.

2. Вправа. �

Наслiдок 1.3. Поле Zp є єдиним полем, що складається з p елементiв.

Надалi єдине поле з p елементiв позначатимемо Fp .


Вправа 1.1. Якщо char F = p , то

1) (a + b)p = a p + b p;

2) (a + b)pn= a pn

+ b pnдля всiх n > 1.

Отже, вiдображення F → F : a 7→ a p — це гомоморфiзм, який назива-ється ендоморфiзмомФробенiуса. Якщо поле F скiнченне, то це вiдображе-ння буде автоморфiзмом, який називається автоморфiзмом Фробенiуса.

1.2 Розширення полiв

У цьому пiдроздiлi зiбрано вiдомостi про розширення полiв, яку бу-дуть потрiбнi для подальшого викладу.

Нехай K — пiдполе поля L, S — пiдмножина L. Перетин всiх пiдполiв,що мiстять S , очевидно, є найменшим пiдполем L, яке мiстить K та S . На-зиватимемо його пiдполем поля L, породженим K та S (або породжениммножиною S надK ). ПозначатимемоK (S). Ясно, щоK (S) є розширеннямполя K .

Якщо S = {α1, α2, . . . , αk }, то писатимемо F (α1, α2, . . . , αk ) для F (S).Якщо множина S складається з одного елемента, то говорять, що F (S) єпростим розширенням поля F .

Очевидно, що поле L ми можемо розглядати як векторний простiрнад полем K . Позначимо [L : K ] — розмiрнiсть L як векторного про-стору над K . Ця розмiрнiсть називається степенем розширення L над K .Розширення називається скiнченним, якщо [L : K ] < ∞.

Теорема 1.4 (про башту розширень). Якщо L —скiнченне розширення поляK , а M — скiнченне розширення поля L, тодi M —скiнченне розширенняполя K , причому

[M : K ] = [M : L][L : K ].

Нехай K — поле, L — розширення поля K . Елемент α ∈ L називаєтьсяалгебраїчним над полем K , якщо α є коренем деякого многочлена f (x) ∈K [x]. Розширення L поляK називається алгебраїчним, якщо всi елементиполя L є алгебраїчними над полем K .

Теорема 1.5. Кожне скiнченне розширення є алгебраїчним.

Означення 1.2. Нехай L ⊃ K — розширення, α ∈ L — алгебраїчний над Kелемент. Мiнiмальним многочленом елемента α над полем K називаєтьсяунiтарний многочленmα(x) ∈ K [x] найменшого степеня, який анулює α,тобтоmα(α) = 0.


Вправа 1.2. 1. Мiнiмальний многочлен елемента α дiлить довiльнийанулюючий многочлен елемента α.

2. Мiнiмальний многочлен незвiдний.

3. Мiнiмальний многочлен визначений однозначно.

Вправа 1.3. Многочлен f (x) ∈ K [x] є мiнiмальним для елемента α ∈ L,L ⊃ K , якщо виконується один з наборiв умов

1) f — унiтарний многочлен найменшого степеня, який анулює α;

2) f — унiтарний, f (α) = 0 i f дiлить будь–який iнщий анулюючиймногочлен елемента α;

3) f — унiтарний, незвiдний та f (α) = 0.

Теорема 1.6 (про будову простих алгебраїчних розширень). Нехай K ⊂K (α)— просте алгебраїчне розширення,mα(x)— мiнiмальний многочленелемента α. Тодi

1) K (α) ' K [x]/(mα(x)), зокрема

K (α) ={

a0 + a1α + a2α2 + · · · + an−1α

n−1 | ai ∈ K};

2) [K (α) : K ] = degmα;

3){1, α, α2, . . . , αn−1

}є базисом K (α) над K .

Приклад 1.7. Теорема 1.6 дає один зi способiв побудови скiнченногополя.

Розглянемо многочлен f (x) = x2+x +1 ∈ F2[x]. Легко перевiрити, щовiн незвiдний над полем F2. Тодi факторкiльце F2[x]/(f ) є полем. Йогоелементами є класи сумiжностi {(f ), 1 + (f ), x + (f ), x + 1 + (f )}.

Опишемо тепер елементи цього поля дещо iнакше. Нехай α — ко-рiнь многочлена f (x) = x2 + x + 1 ∈ F2[x] у деякому розширеннi по-ля F2, тобто α2 + α + 1 = 0. Многочлен f є мiнiмальним для елемен-та α. Тодi F2(α) = {0, 1, α, α + 1} — просте алгебраїчне розширення по-ля F2. Базисом розширення F2(α) є {1, α}, степiнь розширення дорiвнює[F2(α) : F2] = 2. �

Означення 1.3. Пiдполе L поляC називається полем розкладу многочленаf (x) ∈ K [x], якщо L ⊃ K та

1) f розкладається над L у добуток лiнiйних множникiв;

2) якщо K ⊂ L′ ⊂ L та f розкладається над L′, то L′ = L .


Теорема 1.8 (Iснування та єдинiсть поля розкладу). Якщо K — деяке полета f —многочлен з K [x], то iснує поле розкладу многочлена f над полем K .Будь-якi два поля розкладу многочлена f надK iзоморфнi та вiдповiдний iзо-морфiзм не змiнює елементи поля K i здiйснює деяку перестановку коренiвмногочлена.

Роздiл 2

Характеризацiя скiнченних полiв

Лема 2.1. Нехай F — скiнченне поле, яке мiстить пiдполе K з q елементiв.Тодi F складається з qm елементiв, деm = [F : K ].

Доведення. Оскiльки F — скiнченне поле, то його можна розглядати якскiнченновимiрний векторний простiр над полем K . Нехай його розмiр-нiсть над K дорiвнює m, а b1,b2, . . . ,bm — базис F над K . Тодi кожнийелемент b ∈ F єдиним чином зображується у виглядi

b = k1b1 + k2b2 + . . .kmbm ,

де k1,k2, . . . , km ∈ K . �

Теорема 2.2. Нехай F — скiнченне поле. Тодi воно складається з pn еле-ментiв, де просте число p є характеристикою поля F , а n ∈ N є степенемполя F над його простим пiдполем.

Доведення. Оскiльки F — скiнченне, то char F = p , де p — деяке простечисло. Тому просте пiдполе поля F iзоморфне полю Fp , а, отже, мiститьp елементiв. З леми 2.1 випливає, що |F | = pn . �

Лема 2.3. Якщо F — скiнченне поле з q елементiв, то для кожного a ∈ Fвиконується aq = a .

Доведення. Оскiльки F — поле, то його мультиплiкативна група F ∗ скла-дається з q − 1 елементiв. Тому для довiльного a ∈ F ∗ має мiсце рiвнiстьaq−1 = 1. Оскiльки 0q = 0, то маємо твердження леми. �

Лема 2.4. Якщо F — скiнченне поле з q елементiв, K — пiдполе поля F , томногочлен xq − x ∈ K [x] розкладається над F наступним чином:

xq − x =∏a∈F

(x − a),

та F є полем розкладу многочлена xq − x над полем K .

7

РОЗДIЛ 2. ХАРАКТЕРИЗАЦIЯ СКIНЧЕННИХ ПОЛIВ 8

Доведення. Оскiльки многочлен xq − x має степiнь q , то вiн має щонай-бiльше q коренiв у полi F . З леми 2.3 нам вiдомi цi коренi: ними є всiелементи поля F . Таким чином, многочлен xq − x розкладається надF вказаним способом i не може розкладатися над жодним меншим по-лем. �

Теорема 2.5 (iснування та єдинiсть скiнченних полiв). Для кожного про-стого числа p та кожного натурального числа n iснує скiнченне поле зpn елементiв. Кожне скiнченне поле з q = pn елементiв iзоморфне полюрозкладу многочлена xq − x над полем Fp .

Доведення. Icнування. Нехай q = pn . Розглянемо многочлен f (x) = xq −

x над полем Fp . Нехай F — це поле розкладу многочлена f (x) над Fp .Похiдна f ′(x) = qxq−1 − 1 = −1 , 0 сталим многочленом з Fp , а тому немає спiльних коренiв з f (x). Отже, многочлен xq −x має q рiзних коренiвв полi F .

ПокладемоS = {a ∈ F | aq − a = 0} .

Множина S має властивостi:

1) S мiстить 0 та 1;

2) якщо a ,b ∈ S , то (a − b)q = aq − bq = a − b , звiдки a − b ∈ S;

3) для a ,b ∈ S , b , 0, маємо (ab−1)q = aqb−q = ab−1, отже, ab−1 ∈ S .

Таким чином, множина S є полем.З iншого боку, многочлен xq − x повинен цiлком розкладатися в S ,

оскiльки S мiстить всi його коренi. Таким чином, S = F , а оскiльки Sскладається з q елементiв, то F є скiнченним полем з q елементiв.

Єдинiсть. Нехай F — скiнченне поле, яке складається з q = pn елемен-тiв. Тодi char F = p , а томуF мiстить в якостi пiдполя Fp . З леми 2.4 випли-ває, що F є полем розкладу многочлена xq − x над полем Fp . Твердженнятеореми випливає тепер з єдиностi поля розкладу многочлена. �

Ця теорема дає змогу говорити про цiлком визначене скiнченне полез q елементiв (або поле Галуа з q елементiв). Позначатимемо його надалiчерез Fq . Зауважимо, що поширеним є також позначенняG F (q).

Наслiдок 2.6. Скiнченнi поля, якi складаються з однакової кiлькостi еле-ментiв, iзоморфнi.

Теорема 2.7 (про скiнченнi пiдгрупи мультиплiкативної групи поля).Кожна скiнченна пiдгрупа мультиплiкативної групи поля є циклiчною.


Перш нiж доводити теорему 2.7, нагадаємо поняття експоненти групита її властивостi.

Означення 2.1. Експонентою групиG називається найменше таке числоn ∈ N, що g n = 1 для всiх g ∈ G .

Позначатимемо експоненту групи через Exp(G ).

Приклад 2.8. 1. Експонента скiнченної циклiчної групи Cn порядкуn дорiвнює n.

2. Експонента дiедральної групиD4 дорiвнює 8.

3. Експонента симетричної групи S3 степеня 3 дорiвнює 6.

Лема 2.9. 1. Експонента скiнченної групи не перевищує її порядок.

2. У скiнченнiй абелевiй групi експонента дорiвнює найменшому спiльно-му кратному порядкiв її елементiв.

3. Скiнченна абелева група — циклiчна тодi i лише тодi, коли її експо-нента дорiвнює порядку.

Доведення. Пункти 1 та 2 леми випливають з теореми Лагранжа.3. Нехай порядок абелевої групи A дорiвнює n. За основною теоре-

мою про скiнченнi абелевi групи A iзоморфна прямому добутку своїхпримарних пiдгруп

A � Cp

l11× . . . × C

plt1× . . . × C

pj1s× . . . × Cp jr

s,

де p1, p2, . . . , ps — це список всiх рiзних простих дiльники числа n, аpl1+...+lt

1 · . . . · p j1+...+jrs = n. Не обмежуючи загальностi, можемо вважати,

що l1 > . . . > lt , . . ., j1 > . . . > jr .За пунктом 2 експонента групи A дорiвнює добутку pl1

1 . . . p j1s . Отже,

Exp(G ) = |G | тодi i тiльки тодi, коли t = . . . = r = 1.Нагадаємо, що Cmk � Cm × Ck тодi i лише тодi, коли (m,k ) = 1Необхiднiсть. Нехай A — циклiчна група. Припустимо, що t > 2. У

цьому випадку циклiчна група A мiстить нециклiчну пiдгрупу. Отже,отримали суперечнiсть.

Достатнiсть. Нехай |A | = ExpA. У цьому випадку t = . . . = r = 1, атому

Cp

l11× . . . × C

pj1s� C

pl11 ... p

j1s. �


Доведення теореми 2.7. Нехай F ∗ —мультиплiкативна пiдгрупа поля F ,G — її скiнченна пiдгрупа. Покажемо, що |G | = Exp(G ). Нехай |G | = n,Exp(G ) = k . Очевидно, що k 6 n. За означенням експоненти кожнийелемент g ∈ G є коренем рiвняння xk − 1 = 0. Кiлькiсть коренiв рiвня-ння не перевищує його степiнь, тому n 6 k . Таким чином, k = n, i залемою 2.9 групаG є циклiчною. �

Наслiдок 2.10 (Теорема про мультиплiкативну пiдгрупу скiнченного по-ля). Мультиплiкативна група F∗q довiльного скiнченного поля Fq є циклiчною.

Означення 2.2. Твiрний елемент мультиплiкативної групи скiнченногополя називається примiтивним елементом поля.

Теорема 2.11. Нехай Fq — скiнченне поле, Fr — його скiнченне розширення.Тодi Fr є простим алгебраїчним розширенням поля Fq , причому в якостiтвiрного елемента цього простого розширення можна брати будь-якийпримiтивний елемент поля Fr .

Доведення. Нехай ζ — довiльний примiтивний елемент поля Fr . Тодi оче-видно, що Fq(ζ) ⊂ Fr . З iншого боку, поле Fq(ζ) мiстить 0 та всi степенiелемента ζ, а, отже, всi елементи поля Fr . Таким чином, Fq(ζ) = Fr . �

Наслiдок 2.12. Для кожного скiнченного поля Fq i кожного n ∈ N в кiльцiFq[x] iснує незвiдний многочлен степеня n.

Доведення. Нехай Fr —розширення поля Fq порядкуqn , отже, степiнь роз-ширення [Fr : Fq] = n. За теоремою 2.11, iснує такий елемент ζ ∈ Fr , щоFr = Fq(ζ). З властивостей мiнiмального многочлена маємо, щомiнiмаль-ний многочлен ζ над Fq є незвiдним многочленом в Fq[x] степеня n. �

Приклад 2.13. 1. Розглянемо скiнченне поле F4 = F2(α), де α — корiньнезвiдного над F2 многочлена x2 + x + 1, тобто α2 + α + 1 = 0. Тодiелементи α та α + 1 є примiтивними елементами поля F4. Дiйсно, α2 =α2 + α + 1 + α + 1 = α + 1, α3 = 1. Аналогiчна перевiрка для α + 1.

2. Розглянемо скiнченне поле F9 = F3(β), де β — корiнь незвiдногонад F3 многочлена x2 + 1 = 0. У цьому випадку β не є примiтивнимелементом поля F9, бо β4 = 1, отже, не породжує поле F9.

Теорема 2.14 (критерiй пiдполя). Нехай Fq — скiнченне поле з q = pn

елементiв (p — просте число). Тодi кожне пiдполе поля Fq має порядок pm ,де m є додатним дiльником числа n. Навпаки, якщо m — додатний дiльникчислаn, то iснує рiвно одне пiдполе поля Fq , що складається з pm елементiв.


Доведення. Зрозумiло, що будь-яке пiдполе поля Fq має порядок pm длядеякогоm ∈ N,m 6 n. З леми 2.1 випливає, що число q = pn повиннобути степенем числа pm , отже,m обов’язково дiлить n.

Навпаки, якщоm — додатний дiльник числа n, то (pm − 1)|(pn − 1).Отже, многочлен x pm−1 − 1 дiлить многочлен x pn−1 − 1 в Fp[x]. Такимчином, x pm

− x дiлить многочлен x pn− x в Fp[x]. Звiдси випливає, що

кожний корiнь многочлена x pm− x є коренем многочлена xq − x , а тому

належить полю Fq . Тому поле Fq повинно мiстити в якостi пiдполя полерозкладу многочлена x pm

− x над Fp . З доведення теореми 2.5 випливає,що таке поле розкладу має порядок pm . Якби поле Fq мiстило два рiзнихпiдполя порядку pm , то цi два пiдполя мiстили б у сукупностi бiльше заpm коренiв многочлена x pm

− x в полi Fq , що неможливо. �

Приклад 2.15. Зобразимо дiаграму пiдполiв поля F230:

F230

F215 F26 F210

F23 F25 F22

F2

Роздiл 3

Незвiднi многочлени над скiнченнимиполями

3.1 Коренi незвiдних многочленiв

Лема 3.1. Нехай f (x) ∈ Fq[x] — незвiдний многочлен над скiнченним по-лем Fq i нехай α — корiнь f (x) в деякому розширеннi поля Fq . Тодi для мно-гочлена h(x) ∈ Fq[x] рiвнiсть h(α) = 0 виконується тодi i лише тодi, колиf (x) дiлить h(x).

Доведення. Нехай a — старший коефiцiєнт многочлена f (x). Покладемоg (x) = a−1f (x). Тодi g (x) — нормований незвiдний многочлен з Fq[x],причому g (α) = 0. Звiдси випливає, що g (x)— мiнiмальний многочленелемента α над Fq . �

Лема 3.2. Нехай f ∈ Fq[x]— незвiдний многочлен степеняm над полем Fq .Тодi f (x) дiлить многочлен xqn

− x тодi i лише тодi, колиm дiлить n.

Доведення. Необхiднiсть. Припустимо, що многочлен f (x) дiлить xqn− x .

Нехай α— деякий корiнь многочлена f (x) полi розкладу цього многочле-на над Fq . Тодi αqn

= α, що дає α ∈ Fqn . Отже, просте розширення Fq(α)поля Fq є пiдполем поля Fqn . Оскiльки [Fq(α) : Fq] = m i [Fqn(α) : Fq] = n,то з теореми 1.4 (про башту розширень) випливає, щоm дiлить n.

Достатнiсть. Якщоm дiлить n, то з теореми 2.14 випливає, що полеFqn мiстить Fqm в якостi пiдполя. Якщо α — деякий корiнь многочленаf (x) у полi розкладу цього многочлена над Fq , то [Fq(α) : Fq] = m, такщо Fq(α) = Fqm . Отже, α ∈ Fqn , тому αqn

= α. Таким чином, α — корiньмногочленаxqn

−x ∈ Fq[x]. З леми3.1 випливає,що f (x)дiлитьxqn−x . �

Тепер ми можемо описати множину коренiв незвiдного многочлена.

Теорема 3.3. Якщо f ∈ Fq(x)— незвiдний многочлен степеня m, то в полiFqm мiститься будь-який корiнь α многочлена f . Бiльше того, всi коренi

12

РОЗДIЛ 3. НЕЗВIДНI МНОГОЧЛЕНИ НАД СКIНЧЕННИМИ ПОЛЯМИ 13

многочлена f є простими, ними єm рiзних елементiв поля Fqm :

α, αq , αq2, . . . , αqm−1.

Доведення. Нехай α є коренем многочлена f (x) у полi розкладу цьогомногочлена над Fq . Тодi з властивостей мiнiмального многочлена випли-ває, що [Fq(α) : Fq] = m. Отже, Fq(α) = Fqm , зокрема, α ∈ Fqm .

Доведемо тепер, що коли β ∈ Fqm — корiнь деякого многочлена f , тоβq — теж корiнь цього многочлена. Нехай f записаний у виглядi

f (x) = amxm + . . . + a1x + a0,

ai ∈ Fq , 0 6 i 6 m. Врахувавши лему 2.3 одержимо

f (βq) = am βqm + . . . + a1 β

q + a0 =

= aqm β

qm + . . . + aq1 β

q + aq0 =

= (am βm + . . . + a1 β + a0)

q = f (β)q = 0.

Звiдси маємо, що елементи α, αq , αq2, . . . , αqm−1є коренями многочле-

на f . Лишилося довести, що цi елементи рiзнi. Припустимо зворотне.Тодi αq j

= αqkдля деяких цiлих j i k , 0 6 j < k 6 m − 1. Пiднiсши цю

рiвнiсть до степеня qm−k , одержимо

αqm−k+j= αqm

= α.

Тодi з леми 3.1 випливає, що f (x) дiлить xqm−k+j − x , а за лемою 3.2це можливо лише у випадку, коли число m дiлить m − k + j . Оскiльки0 < m − k + j < m, то приходимо до суперечностi. �

Наслiдок 3.4. Якщо f ∈ Fq[x]— незвiдний многочлен степеняm, то йогополем розкладу над полем Fq є Fqm .

Доведення. З теореми 3.3 випливає, що многочлен f цiлком розкладає-ться в полi Fqm . При цьому для деякого кореня α многочлена f маєморiвнiсть Fq(α, αq , αq2, . . . , αqm−1

) = Fq(α). Але з доведення теореми 3.3випливає, що Fq(α) = Fqm . �

Наслiдок 3.5. Поля розкладу будь-яких двох незвiдних многочленiв одного iтого самого степеня з кiльця Fq[x] iзоморфнi.

Пiзнiше побачимо, що елементи αi , якi з’являються у доведення цiєїтеореми, виникають досить часто у теорiї полiв.


3.2 Функцiя Мебiуса та незвiднi многочлени

Теорема 3.6. Для довiльних скiнченного поля Fq та натурального числа nдобуток всiх унiтарних незвiдних многочленiв над Fq , степiнь яких дiлить n,дорiвнює xqn

− x .

Доведення. За лемою 3.2 незвiдними унiтарними многочленами над Fq ,якi з’являються в канонiчному розкладi g (x) = xqn

− x , є в точностi тi,степенi яких дiлять n. Оскiльки g ′ = −1, то g не має кратних коренiв всвоєму полi розкладу над Fq . Таким чином, кожний незвiдний унiтарниймногочлен над Fq , степiнь якого дiлить n, з’являється рiвно один раз вканонiчному розкладi g над Fq . �

Приклад 3.7. Вiзьмемо q = n = 2. Незвiдними унiтарними многочлена-ми над F2, степiнь яких дiлить 2, є x , x +1, x2+x +1. Неважко перевiрити,що x(x + 1)(x2 + x + 1) = x4 + x = x4 − x . �

Наслiдок 3.8. ЯкщоNq(d)— це кiлькiсть унiтарних незвiдних многочленiвв Fq[x] степеня d , тодi

qn =∑d |n

dNq(d) для всiх n ∈ N,

сума береться по всiм додатним дiльникам n.

Доведення випливає з теореми 3.3 шляхом порiвняння степеня много-члена g = xqn

− x з загальним степенем розкладу g . �.Цей наслiдок дає змогу вивести явну формулу для знаходження числа

незвiдних унiтарних многочленiв заданого степеня над полем Fq .

Означення 3.1. Функцiя Мебiуса µ — це функцiя на множинi натуральнихчисел, яка задається правилом

µ(n) =

1, якщо n = 1(−1)k , якщо n добуток k рiзних простих0, якщо n дiлиться на квадрат простого числа.

Приклад 3.9. µ(5) = −1, µ(35) = 1, µ(25) = 0. �

Лема 3.10. Для n ∈ N функцiя Мьобiуса задовольняє рiвнiсть∑d |n

µ(d) =

{1, якщо n = 10, якщо n > 1

.


Доведення. Для n = 1 твердження очевидне.Для n > 1 досить розглянути випадки, коли для додатних дiльникiв d

числа n µ(d) , 0, а саме: такi d , для яких d = 1 або d є добутком рiзнихпростих чисел. Якщо p1, p2, . . . , pk — рiзнi простi дiльника числа n, то∑

d |n

µ(d) = µ(1) +k∑

i=1

µ(pi ) +∑

16i1<i26k

µ(pi1pi2) + . . . + p1p2 . . . pk =

= 1 +(k

1

)(−1) +

(k

2

)(−1)2 + . . . +

(k

k

)(−1)k = (1 + (−1))k = 0.

�

Теорема 3.11 (формула обернення Мебiуса). Адитивна версiя. НехайG— абелева група з адитивною дiєю. Нехай h таH — двi функцiї з множининатуральних чисел в групуG . Тодi

H (n) =∑d |n

h(d) для всiх n ∈ N (3.1)

тодi i лише тодi, коли

h(n) =∑d |n

µ(n

d

)H (d) =

∑d |n

µ(d)H(n

d

)для всiх n ∈ N. (3.2)

Мультиплiкативна версiя. НехайG — абелева група з мультиплiка-тивною дiєю. Нехай h таH — двi функцiї з множини натуральних чисел вгрупуG . Тодi

H (n) =∏d |n

h(d) для всiх n ∈ N (3.3)

тодi i лише тодi, коли

h(n) =∏d |n

H (d)µ(nd ) =

∏d |n

H(n

d

)µ(d)для всiх n ∈ N. (3.4)

Доведення. Адитивна версiя. Доведемо в один бiк. Припустимо, що маємiсце перша рiвнiсть. Тодi∑

d |n

µ(n

d

)H (d) =

∑d |n

µ(d)H(n

d

)=

∑d |n

µ(d)∑c | nd

h(c ) =

=∑c |n

∑d | nc

µ(d)h(c ) =∑c |n

h(c )∑d | nc

µ(d) = h(n).

�


Теорема 3.12. Кiлькiсть Nq(n) незвiдних унiтарних многочленiв в Fq[x]степеня n дорiвнює

Nq(n) =1n

∑d |n

µ(n

d

)qd =

1n

∑d |n

µ (d)qnd .

Доведення. Застосуємо адитивну версiю формули обернення Мебiуса догрупиG = (Z,+). Покладемо h(n) = nNq(n) таH (n) = qn для всiх n ∈ N.За наслiдком 3.8 рiвнiсть (3.1) виконується, з чого випливає твердженнятеореми. �

Приклад 3.13. Знайти кiлькiсть незвiдних унiтарних многочленiв сте-пеня 12 над полем F12.

За теоремою 3.12 маємо

N2(12) =112

∑d |12

µ

(12d

)qd =

=112

(212µ(1) + 26µ(2) + 24µ(3) + 23µ(4) + v µ(6) + 2µ(12)

)=

=112

(1 · 212 + (−1) · 26 + (−1) · 24 + 0 · 23 + 1 · 22 + 0 · 2

)=

=112(4096 − 64 − 16 + 4) = 335. �

Теорема 3.14. Добуток I (q ,n; x) всiх незвiдних над Fq многочленiв степе-ня n дорiвнює

I (q ,n; x) =∏d |n

(xqd− x

)µ(nd )=

∏d |n

(xqnd− x)µ(d).

Доведення. За теоремою 3.6

xqn− x =

∏d |n

I (q ,d; x).

Застосуємо формулу обернення Мебiуса до мультиплiкативної групи всiхненульових рацiональних функцiй над Fq . Поклавши h(n) = I (q ,n; x) таH (n) = xqn

− x , одержимо потрiбну формулу. �

Приклад 3.15. Знайти добуток незвiдних унiтарних незвiдних много-членiв над полем F2 a) степеня 4; b) степеня 12.

Обчислимо добутки, використовуючи теорему 3.14:


I (2, 4) = (x16 − x)µ(1)(x4 − x)µ(2)(x2 − x)µ(4) = (x16 − x)1(x4 − x)−1(x2 − x)0 =

=x15 − 1x3 − 1

= x12 + x9 + x6 + x3 + 1;

I (2, 12) =∏d |12

(x2d− x)µ(

12d ) =

= (x4096−x)µ(1)(x64−x)µ(2)(x16−x)µ(3)(x8−x)µ(4)(x4−x)µ(6)(x2−x)µ(12) =

= (x4096−x)1(x64−x)−1(x16−x)−1(x8−x)0(x4−x)1(x2−x)0 =

=(x4096 − x)(x4 − x)

(x64 − x)(x16 − x). �

Роздiл 4

Слiди та норми

4.1 Автоморфiзми та спряженi елементи

Означення 4.1. Нехай Fqm — розширення поля Fq , нехай α ∈ Fqm . Тодiелементи

α, αq , αq2, . . . , αqm−1

називаються спряженими з елементом α вiдносно поля Fq .

Зауваження 4.1. 1. Спряженi з α ∈ Fqm вiдносно поля Fq елементи рiзнiтодi i лише тодi, коли степiнь мiнiмального многочлена mα(x) дорiв-нюєm.

2. В iншому разi, степiнь d мiнiмального многочлена mα(x) над Fq

є власним дiльником числа m, i тодi серед спряжених з α вiдносно по-ля Fq рiзними будуть лише елементи α, αq , αq2, . . . , αqd−1

, кожний якихповторюється в ряду спряженихm/d разiв.

Теорема 4.1. Елементи, якi спряженi з елементом α ∈ F∗q вiдносно довiль-ного пiдполя Fq , мають один i той самий порядок в групi F∗q .

Доведення. У кожнiй циклiчнiй групi 〈a〉 порядку n елемент ak породжуєпiдгрупу порядку n

(k ,n). Крiм того, кожний степiнь характеристики поляFq взаємно простий з порядком q − 1 групи F∗q . �

Наслiдок 4.2. Якщо α — примiтивний елемент поля Fq , то примiтивнимитакож будуть i всi спряженi з ним вiдносно будь-якого пiдполя елементи.

Приклад 4.3. Нехайα ∈ F16—корiньмногочлена f (x) = x4+x+1 ∈ F2[x].Тодi спряженими з α вiдносно поля F2 будуть елементи

α, α2, α4 = α + 1, α8 = α2 + 1,

кожний з яких є примiтивним елементом поля F16. Спряженими з αвiдносно поля F4 є лише елементи α та α4 = α + 1. �

18

РОЗДIЛ 4. СЛIДИ ТА НОРМИ 19

Теорема 4.4 (про автоморфiзми скiнченного поля). Рiзними автоморфi-змами поля Fqm над Fq є вiдображення

σ0,σ1, . . . ,σm−1,

якi визначаються умовами

σj (α) = αq j,

де α ∈ Fqm , 0 6 j 6 m − 1, i лише вони.

Доведення. Доведемо спочатку,що кожне вiдображенняσj , 0 6 j 6 m−1,є автоморфiзмом.

Для кожного вiдображення σj та довiльних α, β ∈ Fqm , очевидно,виконуються рiвностi

σj (αβ) = σj (α)σj (β) та σj (α + β) = σj (α) + σj (β).

Отже, σj є гомоморфiзмом поля Fqm .Крiм того, σj (α) = 0 тодi i лише тодi, коли α = 0, отже, σj є моно-

морфiзмом. Оскiльки Fqm — скiнченна множина, то σj є епiморфiзмом.Таким чином, вiдображення σj автоморфiзмом поля Fqm .

За лемою 2.3 σj (a) = a для всiх a ∈ Fq . Таким чином, кожне σj є ав-томорфiзмом поля Fqm над Fq . При цьому вiдображення σ0,σ1, . . . ,σm−1рiзнi, бо переводять фiксований елемент поля Fqm в рiзнi елементи.

Припустимо тепер, що σ — довiльний автоморфiзм поля Fqm над Fq .Покажемо, що це насправдi автоморфiзм σj для деякого 0 6 j 6 m − 1.

Нехай β — деякий примiтивний елемент поля Fqm ,

f (x) = xm + am−1xm−1 + . . . + a0 ∈ Fq[x]

— його мiнiмальний многочлен над Fq . Тодi

0 = σ(βm + am−1 βm−1 + . . . + a0) = σ(β)

m + am−1σ(β)m−1 + . . . + a0,

тому елемент σ(β) ∈ Fqm також є коренем многочлена f . З теореми 3.3випливає, що

σ(β) = βq j

для деякого j , 0 6 j 6 m − 1.Оскiльки σ — гомоморфiзм, то для довiльного α ∈ Fqm отримаємо

σ(α) = αq j,

бо будь-який елемент α , 0 можна зобразити степенем елемента β. �


Отже, всi спряженi до α ∈ Fqm можна одержати, дiючи на α автомор-фiзмами поля Fqm над Fq .

Зауваження 4.2. Автоморфiзми поля Fqm над полем Fq утворюють групувiдносно композицiї вiдображень, яка називається групою Галуа та позна-чаєтьсяG al (Fqm/Fq). За теоремою 4.4 ця група є циклiчною порядку m зтвiрним елементом σ1.

4.2 Слiди та нормиНехай F = Fqm , K = Fq . Нагадаємо, що поле F можна розглядати як

векторний простiр над полем K . Тодi розмiрнiсть F над K дорiвнюєm.Якщо {α1, . . . , αm} — базис поля F (як векторного простору) над K , токожнийелементα ∈ F єдинимчиномможна зобразити у виглядi лiнiйноїкомбiнацiї

α = c1α1 + c2α2 + . . . + cmαm , c j ∈ K , 1 6 j 6 m.

Введемо важливу функцiю з F в K , яка, як доведемо пiзнiше, є лiнiйною.

Означення 4.2. Слiд TrF/K(α) елемента α ∈ F над полем K визначаєтьсярiвнiстю

TrF/K(α) = α + αq + αq2 + . . . + αqm−1.

Якщо K — просте пiдполе, то TrF/K(α) називається абсолютним слiдом iпозначається просто TrF (α).

Корисним буває визначати слiд i з iншого погляду.

Означення 4.3. Нехай α ∈ F та f (x) ∈ K [x]— мiнiмальний многочлен αнад K , його степiнь d є дiльникомm = [F : K ]. Тодi g (x) = f m/d(x) ∈ K [x]називається характеристичним многочленом елемента α над полем K .

За теоремою 3.3 коренями многочлена f (x) є α, αq , αq2, . . . , αqd−1. За

зауваженням 4.1 коренями многочлена g (x) є спряженi до α вiдносно Kелементи. Звiдси

g (x) = xm + am−1xm−1 + . . . + a0 = (x − α)(x − α

q) . . . (x − αqm−1) . (4.1)

Порiвняння коефiцiєнтiв дає

TrF/K(α) = −am−1.

Зокрема, це означає, що слiд TrF/K(α) завжди є елементом поля K .


Теорема 4.5 (Властивостi слiду). Нехай K = Fq , F = Fqm . Тодi функцiяслiду TrF/K має наступнi властивостi

а) TrF/K(α + β) = TrF/K(α) + TrF/K(β) для всiх α, β ∈ F ;

б) TrF/K(cα) = c TrF/K(α) для всiх c ∈ K , α ∈ F ;

в) TrF/K є лiнiйним вiдображенням з F на K , де F та K розглядаються яквекторнi простори над полем K ;

г) TrF/K(a) = ma для всiх a ∈ K ;

д) TrF/K(αq) = TrF/K(α) для всiх α ∈ F .

Доведення. а) Враховуючи вправу 1.1 i лему 2.3, для α, β ∈ F маємо

TrF/K(α + β) = (α + β) + (α + β)q + . . . + (α + β)qm−1=

= α + β + αq + βq + . . . + αqm−1+ βqm−1

= TrF/K(α) + TrF/K(β).

б) За лемою 2.3 для c ∈ K c q j= c для всiх j > 1. Тому для α ∈ F

TrF/K(cα) = cα + cqαq + . . . + cqm−1αqm−1

=

= cα + cαq + . . . + cαqm−1= c TrF/K(α).

в) З властивостей а) та б) з урахуванням того, що TrF/K(α) ∈ K для всiхα ∈ F , випливає, що TrF/K є лiнiйним вiдображенням з F в K . Лишаєтьсядовести, що це вiдображення “на”. З огляду на б), для цього потрiбнодовести iснування такого елемента α ∈ F , що TrF/K(α) , 0. Ясно, щоTrF/K(α) = 0 тодi i лише тодi, коли α є коренем многочлена

xqm−1+ . . . + xq + x ∈ K [x]

у полi F . Але оскiльки цей многочлен може мати не бiльше, нiж qm−1

коренiв в F , а поле F складається з qm елементiв, то потрiбний намелемент в полi F iснує.

г) Ця рiвнiсть випливає з означення слiду та леми 2.3.д) За лемою 2.3 для α ∈ F маємо αqm

= α. Тодi

TrF/K(αq) = αq + αq2 + . . . + αqm= TrF/K(α). �

Функцiя слiду не лише сама є лiнiйним вiдображенням з F на K , алеможе бути використана для опису всiх лiнiйних вiдображень з F в K . Цейопис має ту перевагу, що вiн не залежить вiд вибору базиса.


Теорема 4.6. Нехай F — скiнченне розширення поля K (обидва поля роз-глядаються як векторний простiр над K ). Тодi лiнiйними вiдображеннямиз F в K є вiдображення L β, β ∈ F , якi визначаються умовою

L β(α) = TrF/K(βα) для всiх α ∈ F,

i лише вони. При цьому якщо β та γ— рiзнi елементи поля F , то L β , Lγ.

Доведення. Кожне вiдображення L β є лiнiйним з F в K (за пунктом в)теореми 4.5). При цьому, якщо β, γ ∈ F , β , γ, то

L β − Lγ = TrF/K(βα) − TrF/K(γα) = TrF/K((β − γ)α) , 0

для належним чином обраного елемента α ∈ F , бо TrF/K вiдображає Fна K . Тому вiдображення L β та Lγ рiзнi.

Покажемо, що вiдображення L β дають всi лiнiйнi вiдображення з поляF у поле K . Якщо K = Fq i F = Fqm , то легко пересвiдчитися, що всьогоможна одержати qm рiзних лiнiйних вiдображень L β з F в K .

З iншого боку, обравши деякий базис {α1, . . . , αm} векторного просто-ру F над полем K , можна одержати будь-яке лiнiйне вiдображення з F вK , вiдображаючи базиснi елементи αj , j = 1, . . . ,m, у довiльнi елемен-ти поля K . Це можна зробити qm рiзними способами. Отже, всi лiнiйнiвiдображення з F в K вичерпуються вiдображеннями L β, β ∈ F . �

Теорема 4.7. Нехай F — скiнченне розширення поля K = Fq . Тодi для α ∈ Fрiвнiсть TrF/K(α) = 0 виконується тодi i лише тодi, коли має мiсце рiвнiстьα = βq − β для деякого елемента β ∈ F .

Доведення. Достатнiсть очевидна внаслiдок теореми 4.5 д).Необхiднiсть. Припустимо, що α ∈ F = Fqm — такий елемент, що

TrF/K(α) = 0, β — корiнь многочлена xq − x − α у деякому розширеннiполя F . Тодi βq − β = α та

0 = TrF/K(α) = α + αq + . . . + αqm−1=

= (βq − β) + (βq − β)q + . . . + (βq − β)qm−1=

= (βq − β) + (βq2 − βq) + . . . + (βqm− βqm−1

) = βqm− β,

отже, β ∈ F . �

Теорема 4.8 (транзитивнiсть слiду). Нехай K — скiнченне поле, F — скiн-ченне розширення поля K i E — скiнченне розширення поля F . Тодi для всiхα ∈ E має мiсце рiвнiсть

TrE/K (α) = TrF /K (TrE/F (α)).


Доведення. Нехай K = Fq , [F : K ] = m, [E : F ] = n, тодi за теоремою 1.4(про башту розширень) [E : K ] = mn . Тодi для α ∈ E

TrF /K (TrE/F (α)) =m−1∑i=0

(TrE/F (α))q i=

m−1∑i=0

©«n−1∑j=0

αq j mª®¬q i

=

=

m−1∑i=0

n−1∑j=0

αq j m+i=

mn−1∑k=0

(aqk) = TrE/K (α).

�

Розглянемо ще одну функцiю зi скiнченного поля в його пiдполе.

Означення 4.4. Нехай f = Fqm , K = Fq . Для α ∈ F норма елемента α надполем K визначається рiвнiстю

NF/K(α) = α · αq · . . . · αqm−1= α(q

m−1)/(q−1).

Так само як i у випадку слiду, на норму можна подивитися з iншогопогляду. Порiвнюючи у рiвностi (4.1) постiйнi члени, одержимо

NF/K(α) = (−1)ma0.

Зокрема, маємо, що норма NF/K(α) завжди є елементом поля K .

Теорема 4.9 (Властивостi норми). Нехай K = Fq , F = Fqm . Тодi функцiянорми NF/K має наступнi властивостi:

а) NF/K(αβ) = NF/K(α)NF/K(β) для всiх α, β ∈ F ;

б) NF/K вiдображає F на K i F ∗ на K ∗;

в) NF/K(a) = am для всiх a ∈ K ;

г) NF/K(αq) = NF/K(α) для всiх α ∈ F .

Доведення. Властивiсть а) випливає з означення норми.б) Ми вже зауважили, що функцiя NF/K вiдображає F в K . Оскiльки

NF/K(α) = 0 тодi i лише тодi, коли α = 0, то NF/K вiдображає F ∗ в K ∗.Властивiсть а) означає, що вiдображення NF/K є гомоморфiзмом муль-

типлiкативної групиF ∗ вмультиплiкативну групуK ∗. Оскiльки елемента-ми ядра гомоморфiзму NF/K є коренi многочлена x (q

m−1)/(q−1) − 1 ∈ K [x],якi належать полю F , i лише вони, то порядок d цього ядра задовольняєнерiвнiсть d 6 (qm − 1)/(q − 1). За теоремою про гомоморфiзм для груп


образ вiдображення NF/K має порядок (qm − 1)/d > q − 1 = |K ∗ |. Отже,NF/K вiдображає F ∗ на K ∗, а, отже, F на K .

в) Ця властивiсть випливає з означення норми та того факту, що всiелементи, якi спряженi з a ∈ K вiдносно поля K , дорiвнюють a .

г) За властивiстю а) має мiсце рiвнiсть NF/K(αq) = (NF/K(α))q . Длядовiльного α ∈ F вiрно, що NF/K(α) ∈ K . Тому, врахувавши лему 2.3,NF/K(αq) = (NF/K(α))q = NF/K(α) виконуються рiвностi. �

Теорема 4.10 (транзитивнiсть норми). Нехай K — скiнченне поле, F —скiнченне розширення поля K , E — скiнченне розширення поля F . Тодi длявсiх α ∈ E

NE/K (α) = NF /K (NE/F (α)).

Доведення. Нехай [F : K ] = m, [E : F ] = n. Тодi для всiх α ∈ E

NF /K (NE/F (α)) = NF/K(α(qmn−1)/(qm−1)) =

(α(q

mn−1)/(qm−1)) (qm−1)/(q−1)

=

= α(qmn−1)/(q−1) = NE/K . �

Роздiл 5

Базиси. Нормальний базис.Теорема про нормальний базис

5.1 Дуальний базис

Нехай {α1, . . . , αm} — базис скiнченного поля F над деяким пiдпо-лем K . Тодi кожний елемент α ∈ F єдиним чином зображується у виглядi

α = c1(α)α1 + . . . + cm(α)αm . (5.1)

Природним чином виникає питання, як обчислити коефiцiєнти c j (α), 1 6j 6 m. Вiдображення c j : α 7→ c j (α) є лiнiйним з F в K . За теоремою 4.6iснує такий елемент βj , що c j (α) = TrF/K(βjα) для всiх α ∈ F . Поклавшиα = αi , 1 6 i 6 m, побачимо, що TrF/K(βjαi ) дорiвнює 0 при i , j та 1при i = j . Крiм того, {β1, . . . , βm} теж є базисом F над K . Дiйсно, якщо

d1 β1 + . . . + dm βm = 0 при di ∈ K , 1 6 i 6 m,

то, множачи на фiксоване αi та застосовуючи функцiю TrF/K, одержимо,що di = 0.

Означення 5.1. НехайK — скiнченне поле i F —його скiнченне розширення.Тодi два базиси {α1, . . . , αm} та {β1, . . . , βm} називаються дуальними ,якщо для 1 6 i , j 6 m

TrF/K(αi βj ) =

{0, якщо i , j ;1, якщо i = j.

Зi сказаного вище випливає, що для довiльного базиса {α1, . . . , αm}

поля F над полем K завжди iснує деякий дуальний базис {β1, . . . , βm}.Дiйсно, дуальний базис для базису {α1, . . . , αm} визначається однозна-чно, оскiльки з означення видно, що коефiцiєнти c j (α), 1 6 j 6 m, в (5.1)для всiх α ∈ F задаються рiвнiстю c j (α) = TrF/K(βjα), i за теоремою 4.6елемент βj ∈ F однозначно визначається лiнiйним вiдображенням c j .

25

РОЗДIЛ 5. ТЕОРЕМА ПРО НОРМАЛЬНИЙ БАЗИС 26

Приклад 5.1. Нехай α ∈ F8— корiнь незвiдного многочлена x3+x2+1 ∈F2[x]. Тодi {

α, α2, 1 + α + α2}

є базисом поля F8 над F2. Базис{α, α2, 1 + α + α2

}є дуальним до цього

базису. Базис, який дуальний сам до себе, називається автодуальнимбазисом. Елемент α6 ∈ F8 можна єдиним чином подати у виглядi

α6 = c1α + c2α2 + c3(1 + α + α2),

де кофiцiєнти c1.c2, c3 ∈ F2 визначаються рiвностями

c1 = TrF/K(α · α6) = 1,c2 = TrF/K(α2α6) = 1,

c3 = TrF/K((1 + α + α2)α6) = 0,

отже, α6 = α + α2. �

5.2 Теорема про нормальний базис

До найбiльш важливих типiв базисiв F над K належать полiномiаль-ний та нормальний базиси. Полiномiальний базис

{1, α, α2, . . . αm−1

}—

це базис, утворений степенями твiрного елемента поля F (як скiнчен-ного розширення поля K ). В якостi α часто береться примiтивний еле-мент поля F . Нехай K = Fq , F = Fqm . Тодi базис поля F над K вигляду{α, αq , . . . , αqm−1

}, який складається з належним чином обраного елемен-

та α ∈ F i спряжених з ним вiдносно поля K елементiв, називаєтьсянормальним базисом поля F над K .

Приклад 5.2. Нехай α ∈ F8— корiнь незвiдного многочлена x3+x2+1 ∈F2[x]. Тодi

{α, α2, 1 + α + α2

}— нормальний базис поля F8 над F2, бо

α4 = 1 + α + α2. �

Перш нiж доводити теорему про нормальний базис наведемо резуль-тати з лiнiйної алгебри, якi, проте, виходять за межi стандартного курсу.

Нехай T : V → V — лiнiйне перетворення скiнченновимiрного ве-кторного простору над полем F . Нехайm(x)—мiнiмальниймногочленT .

Можна розширити поняття мiнiмального многочлена наступним чи-ном. Припустимо, що v ∈ V . Розглянемо множину многочленiв

I (v ) = {f (x) | f (T )v = 0} .


Очевидно, що ця множину є iдеалом у кiльцi F [x]. Вiдомо, що це кiльцеє кiльцем головних iдеалiв. Нехай многочленmv (x) породжує iдеал I (v ).Наведемо основнi властивостi многочленаmv .

Лема 5.3. 1. mv (x) | m(x) для всiх v ∈ V .

2. m(x) = НСКv∈V (mv (x)).

3. Якщо u = f (T )v для деякого многочлена f (x), тоmu(x) | mv (x).

4. Якщо u ,v ∈ V та (mu(x),mv (x)) = 1, тоmu+v (x) = mu(x)mv (x).

Доведення. 1. Оскiлькиm(T ) = 0, тоm(T )v = 0 для всiх v . Томуmv (x) |m(x) для всiх v ∈ V .

2. З доведеного вище випливає, що многочлен f (x) = НСКv∈V (mv (x))визначений та f (x) | m(x). Але f (T )v = 0 для всiх v ∈ V , тому f (T ) = 0.Отже, f (x) = m(x).

3. Маємо рiвностi

mv (T )u = mv (T )f (T )v = f (T )mv (T )v = 0.

Отже,mu(x) | mv (x).4. Зауважимо, що mu+v (x) | mu(x)mv (x). Розглянемо вектор w =

mu(T )(u + v ) = mu(T )v . Покладемо f (x) = mw (x). Тодi 0 = f (T )w =f (T )mu(T )v , а тому mv (x) | f (x)mu(x). Оскiльки mu(x) та mv (x) взаєм-но простi, то mv (x) | f (x). З iншого боку, за пунктом 3 f (x) | mu+v (x).Отже, mv (x) | mu+v (x). Аналогiчно доводиться, що mu(x) | mu+v (x).Оскiлькиmu(x) таmv (x) взаємно простi, тоmu(x)mv (x) | mu+v (x). Отже,mu(x)mv (x) = mu+v (x). �

Лема 5.4 (про циклiчний вектор). НехайV — скiнченновимiрний вектор-ний простiр над полем F . Для довiльного лiнiйного оператора у просторiV iснує такий вектор v , що m(x) = mv (x). Такий вектор v називаєтьсяциклiчним.

Доведення. Нехайm(x) = pk11 (x)m

k22 (x) . . . pks

s (x)— канонiчний розкладмiнiмального многочленаm(x).

З пункту 2 леми 5.3 випливає, що для кожного i , 1 6 i 6 s , знайде-ться такий вектор ui , мiнiмальний многочлен якого дiлиться на pi (x)ki .Запишемоmui (x) = pi (x)ki fi (x).

Тодi для вектора vi = fi (T )ui мiнiмальним многочленом буде pi (x)ki .Очевидно, що

НСД(mv1,mv2, . . . ,mvs ) = 1.З пункту 4 леми 5.3 випливає, що коли покласти v = v1 + v2 + · · · + vs , тоmv = m(x). �


Теорема 5.5 (про нормальний базис). У скiнченному полi F = Fpn iснуєтакий елемент α, що спряженi з ним елементи

α, αp , . . . , αpn−1

утворюють базис поля F над його простим пiдполем Fp .

Доведення. Розглянемо вiдображення

σ : F → F : α 7→ αp .

Це вiдображення, очевидно, є лiнiйним, тому можна застосувати ле-му 5.4.

Мiнiмальним многочленом σ єm(x) = xn − 1. Очевидно, що σ задо-вольняє рiвнянняm(x) = 0. Припустимо, що σ анулюється многочленом

adσd + ad−1σ

d−1 + . . . + a0

меншого степеня d < n. Тодi кожний елемент α ∈ F задовольняє рiвнян-ня

adx pd+ ad−1x

pd−1+ . . . + a0 = 0.

Цей многочлен має щонайбiльше pd коренiв у полi F . Таким чином,iснують елементи поля, якi не є його коренями.

Вiдповiдно до леми 5.4 ми можемо знайти циклiчний вектор α ∈ Fоператора σ, мiнiмальним многочленом якого є xn − 1. З цього, зокрема,випливає, що α,σ(α), . . . ,σn−1(α) лiнiйно незалежнi, а тому утворюютьбазис поля F над Fp . �

Теорема 5.6 (про примiтивний нормальний базис). Для кожного скiнчен-ного поля F iснує нормальний базис цього поля над його простим пiдполем,який складається з примiтивних елементiв поля F .

Приклад 5.7. Нехай α ∈ F8— корiнь незвiдного многочлена x3+x2+1 ∈F2[x]. Тодi

{α, α2, 1 + α + α2

}— примiтивний нормальний базис поля F8

над F2, бо |F∗8 | = 7, а тому кожний неодиничний елемент є твiрним. �


5.3 Характеризацiя базисiв

Означення 5.2. Нехай K — скiнченне поле, F — його скiнченне розшире-ння степеняm. Дискримiнантом ∆F /K (α1, . . . , αm) елементiв α1, . . . , αm

називається визначник порядкуm вигляду

∆F /K (α1, . . . , αm) =

��TrF/K(α1α1) TrF/K(α1α2) . . . TrF/K(α1αm)

TrF/K(α2α1) TrF/K(α2α2) . . . TrF/K(α2αm)... ... . . . ...

TrF/K(αmα1) TrF/K(αmα2) . . . TrF/K(αmαm)

��З означення випливає, що дискримiнант ∆F /K (α1, . . . , αm) є елемен-

том поля K .

Теорема 5.8 (про характеризацiю базису). Нехай K — скiнченне поле, F —його розширення степеня m. Елементи {α1, . . . , αm} поля F утворюютьйого базис над полем K тодi i лише тодi, коли ∆F /K (α1, . . . , αm) , 0.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай {α1, . . . , αm} — базис поля F над K . До-ведемо, що рядки визначника ∆F /K (α1, . . . , αm) лiнiйно незалежнi. Цеозначатиме, що ∆F /K (α1, . . . , αm) , 0.

Припустимо, що

c1 TrF/K(α1αj ) + c2 TrF/K(α2αj ) + . . . + cm TrF/K(αmαj ) = 0,

де c1, . . . , cm ∈ K .Тодi якщо β = c1α1+c2α2+. . .+cmαm , то TrF/K(βαj ) = 0 для 1 6 j 6 m,

а оскiльки елементи α1, α2, . . . , αm породжують весь простiр F , то цеозначає, що TrF/K(βα) = 0 для всiх α ∈ F .

Це можливо лише при β = 0, тобто c1α1 + c2α2 + . . . + cmαm = 0, а цеозначає, що c1 = c2 = . . . = cm = 0.

Достатнiсть. Припустимо, що ∆F /K (α1, . . . , αm) , 0 та

c1α1 + c2α2 + . . . + cmαm = 0

для деяких c1, . . . , cm ∈ K . Тодi

c1α1αj + c2α2αj + . . . + cmαmαj = 0 для 1 6 j 6 m

i, застосовуючи функцiю слiду, одержимо

c1 TrF/K(α1αj ) + c2 TrF/K(α2αj ) + . . . + cm TrF/K(αmαj ) = 0 для 1 6 j 6 m.

Оскiльки рядки визначника ∆F /K (α1, . . . , αm) лiнiйно незалежнi, то c1 =c2 = . . . = cm = 0. Тому елементи α1, α2, . . . , αm — лiнiйно незалежнi надполем K . �


Можна розглядати i iнший визначник, який використовується длятих самих цiлей, що i дискримiнант, але його елементами є елементирозширення F поля K = Fq . Для елементiв α1, α2, . . . , αm поля F розгля-

немо матрицю A = (ai j )m×m , де ai j = αq i−1

j . Неважко перевiрити, що вматрицi B = AT A на мiсцi (i , j ) стоїть елемент TrF/K(αiαj ). Перейшовшидо визначникiв, одержимо

∆F /K (α1, . . . , αm) = det(A)2.

Таким чином, маємо наслiдок.

Наслiдок 5.9. Елементи {α1, α2, . . . , αm} поля Fqm утворюють базис цьогополя над полем Fq тодi i лiше тодi, коли

det(A) =

��α1 α2 . . . αm

αq1 α

q2 . . . α

qm... ... . . . ...

αqm−1

1 αqm−1

2 . . . αqm−1

m

�� , 0.Лема 5.10. НехайF —довiльне поле. Для довiльних елементiвa0, a1, . . . , am−1поля F матриця-циркулянт

c [a0, a1, . . . , am−1] =

©«a0 a1 a2 . . . am−1

am−1 a0 a1 . . . am−2am−2 am−1 a0 . . . am−3... ... ... . . . ...

a1 a2 a3 . . . a0

ª®®®®®¬невироджена тодi i лише тодi, коли многочлени am−1x

m−1 + . . . + a1x + a0та xm − 1 взаємно простi.

Доведення. Нехай A — це квадратна матриця порядкуm вигляду

A =

©«0 1 0 . . . 0 00 0 1 . . . 0 0... ... ... . . . ... ...0 0 0 . . . 0 11 0 0 . . . 0 0

ª®®®®®¬.

Покладемо f (x) = am−1xm−1 + . . . + a1x + a0. Легко переконатися, що

c [a0, a1, . . . , am−1] =

m−1∑i=0

ai Ai = f (A).


Зауважимо, що мiнiмальним многочленом матрицi A є xm − 1.Припустимо, що f (x) та xm − 1 взаємно простi. Тодi знайдуться такi

многочлени a(x) та b(x), що

a(x)f (x) + b(x)(xm − 1) = 1.

Тодi a(A)f (A) = Im , де Im позначає одиничну матрицю порядкуm. Звiдсивипливає, що f (A) невироджена.

Припустимо тепер, що (f (x), xm − 1) = d(x) , 1. Нехай f (x) =d(x)f1(x), xm − 1 = d(x)h(x). Оскiльки deg(h(x)) < m, то h(A) , 0.Оскiльки Am − 1 = d(A)h(A) = 0, то d(A) вироджена. Таким чиномf (A) = d(A)f1(A) теж вироджена.

Отже, f (A) невироджена тодi i лише тодi, коли (f (x), xm − 1) = 1. �

Теорема 5.11 (про характеризацiю нормального базису). Eлемент α ∈ Fпороджує нормальний базис поля Fqm над полем Fq , тодi i лише тодi, колимногочлени xm −1та αqm−1

xm−1+αqm−2xm−2+ . . .+αqx +α з кiльця Fqm[x]

взаємно простi.

Доведення. Зауважимо, що елемент α ∈ Fqm породжує нормальний базиснад полем Fq тодi лише тодi, коли елементи α, αq , αq2, . . . , αqm−1

лiнiйнонезалежнi над Fq . За наслiдком 5.9 цi елементи лiнiйно незалежнi тодi iлише тодi, коли матриця

A =

©«α αq αq2 . . . αqm−1

αq αq2 αq3 . . . α... ... ... . . . ...

αqm−1α αq . . . αqm−2

ª®®®®¬невироджена. Помiтимо, що коли переписати рядки матрицi A у зворо-тному порядку, починаючи з другого, то одержимо матрицю-циркулянтc [α, αq , . . . , αqm−1

], яка невироджена тодi i лише тодi, коли матриця A не-вироджена. За лемою 5.10 матриця c [α, αq , . . . , αqm−1

] невироджена тодi iлише тодi, колимногочлени xm−1 та αqm−1

xm−1+αqm−2xm−2+. . .+αqx+α

взаємно простi. �

Теорема 5.12. Нехай α ∈ Fqm , αi = αq iта ti = TrFqm/Fq (α0αi ), 0 6 i 6

m − 1. Тодi α породжує нормальний базис поля Fqm над полем Fq тодi i лишетодi, коли многочлен g (x) = tm−1xm−1 + . . . + t1x + t0 ∈ Fq[x] та xm − 1взаємно простi.


Доведення. За теоремою 5.8 елементи α0, α1, . . . , αm−1 утворюють базистодi i лише тодi, коли ∆(α0, α1, . . . , αm−1) , 0. Оскiльки Tr(αiαi+j ) =Tr(α0αi ), то

∆(α0, α1, . . . , αm−1) =

��t0 t1 t2 . . . tm−1

tm−1 t0 t1 . . . tm−2... ... ... . . . ...

t1 t2 t3 . . . t0

�� .За лемою 5.10∆(α0, α1, . . . , αm−1) , 0 тодi i лише тодi, коли xm −1 та g (x)взаємно простi. �

Теорема 5.13. Базис, дуальний до нормального, є нормальним.

Доведення. Нехай{α, αq , αq2, . . . , αqm−1

}— нормальний базис поля Fqm

над полем Fq , {β1, β2, . . . , βm} — дуальний до нього базис. Розглянемоматрицi

A =

©«α αq αq2 . . . αqm−1

αq αq2 αq3 . . . α... ... ... . . . ...

αqm−1α αq . . . αqm−2

ª®®®®¬та B =

©«β1 β2 . . . βm

βq1 β

q2 . . . β

qm... ... . . . ...

βqm−1

1 βqm−1

2 . . . βqm−1

m

ª®®®®¬.

За означенням дуального базису AB = Im , а тому i BA = Im . Матриця Aсиметрична, тому (AB)T = BT AT = BT A = Im .

З рiвностей BA = Im = BT A отримуємо, що BT = B . Звiдси випливає,що βi = β

q i−1

1 . Отже, базис {β1, β2, . . . , βm} є нормальним. �

Теорема 5.14 (про обчислення дуального базису). Нехай K — скiнченнеполе, F — його скiнченне розширення. Нехай {α1, α2, . . . , αm} — базис Fнад K . Нехай матриця A = (ai j )m×m , де ai j = TrF/K(αiαj ). Нехай матрицяB = (b jk ) ∈ Mm×s (F ) i βk =

∑mj=1 b jkαj . Тодi

а) у добутку матриць AB на мiсцi (i , j ) стоїть TrF/K(αi βj );

б) для матрицi B = A−1 базис {β1, β2, . . . , βm} є дуальним до базису{α1, α2, . . . , αm}.

Доведення. Пункт а) випливає з правила множення матриць.б) За теоремою 5.8 матриця A є оборотною. Врахувавши це та правило

множення матриць, одержуємо пункт б). �

Роздiл 6

Коренi з одиницi та круговi многочлени

Дослiдимо поле розкладу многочлена xn − 1 над довiльним полем K ,де n ∈ N.

Означення 6.1. Для n ∈ N поле розкладу многочлена xn − 1 над довiльнимполем K називається n–круговим (або n–циклотомiчним) полем над K iпозначаєтьсяK (n). Коренi многочленаxn−1 з поляK називаються коренямиn-го степеня з одиницi над K , множину цих коренiв позначимо E (n).

Теорема 6.1. Нехай n ∈ N, K — поле характеристики p (можливо p = 0).Тодi

а) Якщо p - n, то множина E (n) є циклiчною пiдгрупою порядку n муль-типлiкативної групи поля K (n).

б) Якщо p | n та n = mpe , де m, e ∈ N i p - m, то K (n) = K (m),E (n) = E (m) i коренями многочлена xn − 1 в полi K (n) є m елементiвмножини E (m), кожний з яких має кратнiсть pe .

Доведення. а) Випадок n = 1 тривiальний.Нехай n > 2. Многочлен xn − 1 та його похiдна nxn−1 не мають спiль-

них коренiв, бо nxn−1 має єдиний корiнь 0 в полi K (n). Отже, многочленxn − 1 не може мати кратних коренiв, тому множина E (n) складається зn елементiв.

Якщо ζ, η ∈ E (n), то (ζη−1)n = ζn(ηn)−1 = 1, так що ζηn−1 ∈ E (n). Отже,E (n) —мультиплiкативна група.

За теоремою 2.7 скiнченна пiдгрупа мультиплiкативної групи поля єциклiчною.

б) Цей пункт випливає з пункту а) та рiвностi

xn − 1 = xmpe− 1 = (xm − 1)p

e. �

Означення 6.2. НехайK —поле характеристики p ,n —натуральне число,яке не дiлиться на p . Тодi твiрний елементциклiчної групиE (n) називаєтьсяпервiсним (або примiтивним) коренем n-го степеня з одиницi над полем K .

33

РОЗДIЛ 6. КОРЕНI З ОДИНИЦI ТА КРУГОВI МНОГОЧЛЕНИ 34

Група E (n) має ϕ(n) твiрних елементiв, тобто iснує ϕ(n) примiтивнихкоренiв з одиницi над полем K . Якщо ζ — один з них, тодi множина всiхпримiтивних коренiв з одиницi над полем K описується таким чином

{ζs | 1 6 s 6 n, (n, s ) = 1} .

Означення 6.3. НехайK —поле характеристики p ,n —натуральне число,яке не дiлиться на p , i ζ — первiсний корiнь n-го степеня з одиницi надполем K . Тодi многочлен

Qn(x) =n∏

s=1(s ,n)=1

(x − ζs )

називається n-круговим (або n-циклотомiчним) многочленом над полем K .

Очевидно, що degQn(x) = ϕ(n), а коефiцiєнти належать n-круговомуполю над K . Насправдi вони належать простому пiдполю поля K .

Теорема 6.2. Нехай K — поле характеристики p , n — натуральне число,яке не дiлиться на p . Тодi

а) xn − 1 =∏

d |n Qd(x);

б) коефiцiєнти n-кругового многочленаQn(x) належать простому пiд-полю поля K , або кiльцю Z, якщо p = 0.

Доведення. а) Кожний корiнь n-го степеня з одиницi над полем K є пер-вiсним коренем d-го степеня з одиницi рiвно для одного натуральногодiльника d числа n. А саме: якщо ζs — довiльний корiнь n-го степеня зодиницi над K (де ζ — деякий первiсний корiнь n-го степеня над полемK ), то вказане число d дорiвнює n

(s ,n), тобто d — порядок елемента ζs вгрупi E (n). Оскiльки

xn − 1 =n∏

s=1

(x − ζs ),

то формулу в пунктi а) можна одержати, зiбравши тi множники (x − ζs ),для яких ζs є первiсним коренем з одиницi d-го степеня з одиницi надполем K (для кожного додатного дiльника d числа n.)

б) Iндукцiя по n. Твердження, очевидно, є справедливим дляQ1(x) =x − 1. Нехай n > 1 i припустимо, що воно є вiрним для всiх Qd(x), де1 6 d < n. За пунктом (а))

Qn(x) =xn − 1∏

d |n,d<n Qd(x).


За припущенням iндукцiї, у знаменнику стоїть многочлен, коефiцiєнтиякого належать простому пiдполю поля K (або Z, якщо charK = 0).Роздiливши чисельник на знаменник, одержимо твердження пункту б).

�

Приклад 6.3. Нехай n = 3, K — довiльне поле, для якого charK , 3,нехай ζ — примiтивний кубiчний корiнь над K . Тодi

Q3(x) = (x − ζ)(x − ζ2) = x2 − (ζ + ζ2)x + ζ3 = x2 + x + 1.

�

Приклад 6.4. Нехай r — просте i k ∈ N. Тодi

Qr k = 1 + xr k−1+ x2r k−1

+ . . .+(r−1)rk−1,

оскiльки за теоремою 6.2

Qr k =xr k− 1

Q1(x)Qr (x) . . .Qr k−1=

xr k− 1

xr k−1− 1

.

При k = 1 маємо

Qr (x) = 1 + x + x2 + . . . + xr−1.

�

Використовуючи формулу обернення Мебiуса, можна одержати явнуформулу для n-го кругового многочленаQn(x) для довiльного n ∈ N.

Теорема 6.5. Нехай K — поле характеристики p , n — натуральне число,яке не дiлиться на p . Тодi n-й круговий многочлен має вигляд

Qn(x) =∏d |n

(xd − 1

)µ(nd )=

∏d |n

(x

nd − 1

)µ(d).

Доведення. Застосуємо формулу обернення Мьобiуса до мультиплiка-тивної групи G ненульових рацiональних функцiй над K . Покладемоh(n) = Qn(x), H (n) = xn − 1 для всiх n ∈ N. За теоремою 6.2 рiвнiстьH (n) =

∏d |n h(d) виконується, тому за формулою обернення Мьобiуса

маємоQn(x) = h(n) =

∏d |n

H (d)µ(nd ) =

∏d |n

(xd − 1)µ(nd ).

�


Приклад 6.6. Нехайn = 12,K —деяке поле, над яким визначенийQ12(x).Тодi

Q12(x) =∏d |12

(x12d − 1)µ(d)

= (x12 − 1)µ(1)(x6 − 1)µ(2)(x4 − 1)µ(3)(x3 − 1)µ(4)(x2 − 1)µ(6)(x − 1)µ(12) =

=(x12 − 1)(x2 − 1)(x6 − 1)(x4 − 1)

= x4 − x2 + 1.

�

Означення 6.4. Нехай b ,n — взаємно простi натуральнi числа. Наймен-ше таке k ∈ N, що bk ≡ 1 (mod n) називається мультиплiкативнимпорядком b за модулем n, позначається ordn(b).

Теорема 6.7. Кругове полеK (n) є простим алгебраїчним розширенням поляK . Бiльше того, якщо K = Fq та (q ,n) = 1, а d = ordn(q), тодi

• Qn розкладається у добуток ϕ(n)/d рiзних унiтарних незвiдних мно-гочленiв з K [x] одного i того самого степеня d;

• K (n) є полем розкладу довiльного такого незвiдного дiльника над по-лем K ;

• [K (n) : K ] = d .

Доведення. Якщо iснує примiтивний корiнь ζ з одиницi n-го степенянад K , то K (n) = K (ζ). В iншому разi, K — поле простої характеристикиp , яка дiлить число n, i ми потрапляємо в ситуацiю теореми 6.1 б). ТодiK (n) = K (m), де n = mpe , (m, p) = 1. Отже, знов K (n) = K (ζ), бо iснуєпервiсний корiньm-го степеня з одиницi ζ над K .

Нехай K = Fq , припустимо, що (q ,n) = 1, таким чином примiтивнийкорiнь з одиницi степеня n над полем Fq iснує. Нехай η — один з них.Тодi

η ∈ Fqk ⇔ ηqk= η ⇔ qk ≡ 1 (mod n).

Найменше натуральне число, для якого це виконується, це k = d , отже,η ∈ Fqd , але не в довiльному власному пiдполi. Таким чином, мiнiмаль-ниймногочлен для η має степiньd . Оскiльки η—довiльний корiньQn(x),то твердження теореми має мiсце, бо ми можемо послiдовно дiлити намiнiмальнi многочлени коренiв многочленаQn(x). �

Приклад 6.8. Нехай K = F11, n = 12. З попереднього прикладу маємо,щоQ12(x) = x4 − x2 + 1 ∈ F11[x]. Опишемо K (12).


• Оскiльки 12 - (11 − 1), але 12 | (112 − 1), то d = ord12(11) = 2.

• Таким чином, Q12(x) розкладається в добуток ϕ(12)/2 = 4/2 = 2унiтарних квадратних незвiдних над F11 многочленiв. Круговимполем є K (12) = F121.

• Неважко перевiрити, що розкладQ12(x) на множники має вигляд

Q12 = (x2 + 5x + 1)(x2 − 5x + 1).

�

Теорема 6.9. Скiнченне поле Fq є (q − 1)-круговим полем над будь-яким зiсвоїх пiдполiв.

Доведення. Многочлен xq−1 − 1 цiлком розкладається на множники вполi Fq , бо його коренями є як раз всi ненульовi елементи поля Fq . Зiншого боку, зрозумiло, що цей многочлен не може цiлком розкладатисяна множники в жодному iншому власному пiдполi поля Fq . Отже, Fq єполем розкладу многочлена xq−1 − 1 над довiльним зi своїх пiдполiв. �

Роздiл 7

Зображення елементiв скiнченного поля

Розглянемо три способи зображення елементiв скiнченного поля.Перший спосiб. Поле Fq , де q = pn , є простим алгебраїчним розши-

ренням поля Fp . Дiйсно, якщо f — незвiдний многочлен степеня n надполем Fp , то кожний корiнь цього α цього многочлена належить полюFpn = Fq , а тому Fq = Fp(α). Отже, кожний елемент поля Fq можна одно-значно подати у виглядi значень деякого многочлена з Fp[x] степеня,не бiльшого за n − 1, при x = α. Можна також розглядати поле Fq якфакторкiльце Fp[x]/(f ).

Приклад 7.1. Зобразимо у такий спосiб елементи поля F9. Для цьогорозглянемо поле F9 як просте алгебраїчне розширення степеня 2 надполем F3, яке одержується приєднанням кореня α деякого незвiдногоквадратного многочлена над F3. Вiзьмемо в якостi такого незвiдногомногочлена многочлен f (x) = x2 + 1 ∈ F3. Тодi f (α) = α2 + 1 = 0 в F9.Звiдси

F9 = {aα + b | a ,b ∈ F3} = {0, 1, 2, α, 1 + α, 2 + α, 2α, 1 + 2α, 2 + 2α} .

При такому зображеннi дiї виконуються за подвiйним модулем: за моду-лем простого числа p та за модулем незвiдногомногочлена f . Наприклад,

(2 + α) + (1 + α) = 3 + 2α = 2α,

(2 + α)(1 + α) = α2 + 3α + 2 = α2 + 1 + 1 = 1. �

Другий спосiб використовує теореми 6.7 та 6.9. Оскiльки Fq = Fpn є(q − 1)-круговим полем над Fp , то можемо побудувати його наступнимчином:

• Знайти розклад (q−1)-круговогомногочленаQq−1 ∈ Fp[x] в добутокнезвiдних многочленiв в Fp[x], всi степенi яких однаковi.

• Корiнь α кожного з цих дiльникiв є первiсним коренем (q − 1)-гостепеня з одиницi над Fp , а тому є примiтивним елементом поля Fq .

38

РОЗДIЛ 7. ЗОБРАЖЕННЯ ЕЛЕМЕНТIВ СКIНЧЕННОГО ПОЛЯ 39

• Для такого α ми маємо

Fq ={0, α, α2, . . . , αq−2, αq−1 = 1

}.

Приклад 7.2. Розглянемо знов поле F9.

• Зрозумiло, що F9 = F(8)3 .

• ЗнайдемоQ8(x):

Q8(x) =x2

3− 1

x22 − 1= x4 + 1 ∈ F3[x].

Його розкладом в добуток незвiдних в F3[x] є

Q8(x) = (x2 + x + 2)(x2 + 2x + 2).

Маємо ϕ(8)/(ord8 3) = 4/2 = 2 незвiдних квадратних многочленiв.

• Нехай ζ — корiнь многочлена x2+ x + 2. Тодi ζ є первiсним коренемз одиницi степеня 8 над полем F3. Отже,

F9 ={0, ζ, ζ2, . . . , ζ7, ζ8 = 1

}. �

Природним чином виникає запитання, яким чином це зображенняелементiв поля F9 пов’язане з попереднiм.

Приклад 7.3. Розглянемо многочлен f (x) = x2 + 1 ∈ F3[x], вiн є незвi-дним над полем F3. Отже, ми можемо побудувати поле F9 шляхом приєд-нання кореняα многочлена f (x) = x2+1 до поля F3. Тодi f (α) = α2+1 = 0в F9 i

F9 = {0, 1, 2, α, 1 + α, 2 + α, 2α, 1 + 2α, 2 + 2α} .Помiтимо, що елемент ζ = α + 1 є коренем многочлена x2 + x + 2 ∈ F3[x].Отже, елементи в двох зображеннях поля F9 пов’язанi так:

i 1 2 3 4 5 6 7 8ζi 1 + α 2α 1 + 2α 2 2 + 2α α 2 + α 1

�

Зображення елементiв скiнченного поля таким способом дає зручнийспосiб знаходження добутку елементiв. Дiйсно,

ζ3 · ζ6 = ζ9 = ζ.


Проте цей спосiб не дуже зручний для виконання дiї додавання. Дляспрощення дiї додавання будуються так званi таблицi додавання одини-цi. Нас цiкавить, чому дорiвнюватиме показник j у рiвностi ζi + 1 = ζ j

для всiх i = 1, . . . , 8 ∪ {−∞} (за домовленiстю вважається, що 0 = ζ−∞).Складемо таблицю, для побудови якої використаємо вже знайденi зобра-ження елементiв поля F9:

i 1 2 3 4 5 6 7 8 −∞

ζi 1+α 2α 1+2α 2 2+2α α 2+α 1 0ζi+1 2+α 1+2α 2+2α 0 2α 1+α α 2 1

ζ j = ζi+1 ζ7 ζ3 ζ5 ζ−∞ ζ2 ζ ζ6 ζ4 ζ8

j 7 3 5 −∞ 2 1 6 4 8

Насправдi нас цiкавлять лише перший та останнiй рядки цiєї таблицi,бо нам потрiбно знати лише показники степенiв.

Тепер цю таблицю зручно використовувати для “перетворення” дiїдодавання на дiю множення. Наприклад,

ζ6 + ζ3 = ζ3(ζ3 + 1) = ζ3 · ζ5 = ζ8 = 1.

Третiй спосiб зображення елементiв скiнченного поля Fq використо-вує матрицi. Нехай f (x) = a0 + a1x + . . . + an−1x

n−1 + xn — унiтарниймногочлен степеня n над деяким полем. Його супутньою матрицею на-зивається наступна квадратна матриця порядку n:

A =

©«0 0 0 . . . 0 −a01 0 0 . . . 0 −a10 1 0 . . . 0 −a2... ... ... . . . ... ...0 0 0 . . . 1 −an−1

ª®®®®®¬Матриця A задовольняє рiвняння f (A) = 0. Отже, якщо A — супутня

матриця унiтарного незвiдного многочлена f степеня n над простимскiнченним полем Fp , то f (A) = 0. Тому матриця A може грати роль“кореня” многочлена f . Звiдси випливає, що елементи поля Fpn зобража-ються всiма можливими многочленами над Fp вiд матрицi A степенiв,менших за n.

Приклад 7.4. Нехай задано многочлен f (x) = x2 + 1 ∈ F3[x]. Супутньоюматрицею цього многочлена є матриця

A =

(0 21 0

).


Отже, поле F9 можна подати так:

F9 = {0, I ,A, 2I , I + A, 2I + A, 2A, I + 2A, 2I + 2A} , де

0 =(0 00 0

), I =

(1 00 1

), 2I =

(2 00 2

),A =

(0 21 0

), I + A =

(1 21 1

),

2I + A =

(2 21 2

), 2A =

(0 12 0

), I + 2A =

(1 12 1

), 2I + 2A =

(2 12 2

).

Якщо поле F9 задане таким чином, то обчислення в цьому полi здiй-снюються за звичайними правилами алгебри матриць. Наприклад,

(2I + A)(I + 2A) + (2A) =

(2 21 2

) (1 12 1

)+

(0 12 0

)=

=

(0 12 0

)+

(0 12 0

)=

(0 21 0

)= A. �

Аналогiчним чином, метод, заснований на розкладi кругового мно-гочленаQq−1 на незвiднi множники в Fp[x], також можна пристосуватидля зображення елементiв поля Fq матрицями.

Приклад 7.5. Нехай h(x) = x2 + x + 2 ∈ F3[x] — незвiдний дiльниккругового многочленаQ8(x) ∈ F3[x]. Супутньою матрицею многочленаh є матриця

C =

(0 11 2

).

Поле F9 може бути зображено наступним чином

F9 ={0,C ,C 2,C 3,C 4,C 5,C 6,C 7,C 8} ,

де

0 =(0 00 0

), C =

(0 11 2

), C 2 =

(1 22 2

),

C 3 =

(2 22 0

), C 4 =

(2 00 2

), C 5 =

(0 22 1

),

C 6 =

(2 11 1

), C 7 =

(1 11 0

), C 8 =

(1 00 1

).

Обчислення здiйснюються за правилами алгебри матриць. Наприклад,

C 2 +C =

(1 22 2

)+

(0 11 2

)=

(1 00 1

)= C 8. �

Роздiл 8

Алгоритми побудови незвiдних многочленiвта скiнченних полiв

Почнемо з ефективного алгоритму, що дозволяє з’ясувати, чи є зада-ний многочлен незвiдним. Як вiдомо, якщо многочлен f (x) незвiднийнад Fq , то факторкiльце Fq[x]/(f (x)) є полем. Тому зв’язокмiж побудовоюскiнченних полiв та незвiдними многочленами є цiлком природним.

Нехай f (x) ∈ Fq[x]— незвiдний многочлен степеня n > 0.Нагадаємо, що за теоремою 3.6 для кожного k ∈ N добуток всiх унi-

тарних незвiдних многочленiв над Fq , степiнь яких дiлить k , дорiвнює

xqk− x .

Таким чином, НСД(xq − x , f )— це добуток всiх рiзних унiтарних лi-нiйних дiльникiв многочлена f . Якщо f не має лiнiйних дiльникiв, тоНСД(xq2 −x , f )—це добуток всiх рiзних унiтарних квадратних незвiднихдiльникiв многочлена f . I так далi. Отже, якщо f — звiдний многочлен,то вiн повинен дiлитися на деякий незвiдний многочлен степеня щонай-бiльше n/2.

Нехай g — незвiдний дiльник многочлена f найменшого можливогостепеня. Нехай deg g = k , тодi k 6 n/2 та НСД(xqk

− x , f ) , 1. Навпаки,якщо f — незвiдний, то НСД(xqk

− x , f ) = 1 для всiх натуральних k , якiне перевищують n/2.

Таким чином, щоб з’ясувати, чи є многочлен f незвiдним, доситьперевiрити, чи НСД(xqk

− x , f ) = 1 для всiх 1 6 k 6 n/2. Якщо ця умовавиконується, то можемо зробити висновок, що многочлен f незвiдний.У протилежному випадку зробити висновок, що многочлен звiдний.

Для спрощення обчислень врахуємо, що коли h ≡ xqk(mod f ), то

НСД(x − h, f ) = НСД(xqk− x , f ).

З наведених мiркувань випливає наступний алгоритм.

42

РОЗДIЛ 8. АЛГОРИТМИ ПОБУДОВИ НЕЗВIДНИХ МНОГОЧЛЕНIВ ТАСКIНЧЕННИХ ПОЛIВ 43

Алгоритм 8.1 (перевiрка незвiдностi многочлена). Дано: многочлен f ∈Fq[x] степеня n > 0.

Потрiбно: з’ясувати, чи f (x) незвiдний над Fq .Для цього потрiбно зробити наступне:

• покласти h := x (mod f )

• для k вiд 1 до [n/2] обчислювати

– h := hq (mod f )

– якщо НСД(x − h, f ) , 1, то результатом є “f — звiдний”

• Результат: “f — незвiдний” �

Перш нiж оцiнювати час роботи наведеного алгоритму, наведемодеякi факти з теорiї складностi. Пiд довжиною числа розумiтимемо кiль-кiсть знакiв у двiйковому записi цього числа. Неважко переконатися, щодовжина числа n дорiвнює

length(n) = 1 + [log2 n] = 1 +[lnn

ln 2

]= O (lnn).

Швидке пiднесення до степеня. У прикладних задачах часто ви-никає потреба знайти великий степiнь натурального числа за модулемдеякого натурального числа N .

Припустимо, що потрiбно обчислити am . Можна дiяти прямолiнiйно,послiдовно множачи на a:

a1 ≡ a (mod N ), a2 = a1 · a (mod N ), a3 = a2 · a (mod N ), . . . ,

Звiсно, таким чином ми коли–небудь одержимо вiдповiдь, але для до-статньо великих m, скажiмо m = 21024, час роботи може оцiнюватисямiльярдами рокiв. Iнша iдея полягає у зображеннi показника степеняу бiнарнiй системi числення та наступного обчислення порядку log2 mквадратiв числа a та приблизно такої самої кiлькостi множень. Проiлю-струємо цю iдею прикладом.

Приклад 8.1. Для обчислення 3100 шляхом послiдовного множення на 3потрiбно 99 дiй. А можна дiяти таким чином. Зобразимо спершу число100 у виглядi суми степенiв 2:

100 = 26 + 25 + 22.

Пiсля цього обчислимо

32, 34 = (32)2, 38 = (34)2, 316 = (38), 332 = (316)2, 364 = (332)2,


остаточно пiдрахуємо3100 = 364 · 332 · 34.

Отже, для обчислення 3100 нам знадобилося лише 8 множень. �

Опишемо алгоритм швидкого пiднесення до степеня формально.

Алгоритм 8.2 (швидкe пiднесення до степеня). Дано: a ∈ N, m ∈ N,N ∈ N.

Обчислити: am (mod N ).Крок 1. Зобразитиm у виглядi суми степенiв 2:

m = m0 +m1 · 2 +m2 · 22 + . . . +mk · 2k , m0, . . . ,mk ∈ {0, 1} ,

можемо припускати, щоmk = 1.Крок 2. Обчислити a2

jдля 0 6 j 6 k шляхом послiдовного пiднесення

до квадрату:

b0 = a

b1 = b20 = a2

b2 = b21 = a22

b3 = b22 = a23

...bk = b2k−1 = a2

k.

Оскiльки кожне число b j є квадратом попереднього, то потрiбно викона-ти k пiднесень до квадрату.

Крок 3. Обчислити am за формулою

am = am0+m1·2+m2·22+...+mk ·2k

= am0 · (a2)m1 · (a22)m2 · (a2

3)m3 · . . . (a2

k)mk

= bm00 · b

m11 · b

m22 · b

m33 . . .bmk

k .

Враховуючи,щоb0,b1,b2,b3, . . . ,bk були обчисленi на попередньому кро-цi, то цей крок вимагає щонайбiльше k множень.

Таким чином, цей алгоритм потребую щонайбiльше 2k множень дляобчислення am . Оскiльки m 6 2k , то нам потрiбно не бiльше, нiж log2 mдiй множення. Отже, при такому пiднесеннi до степеня кiлькiсть дiйможе бути оцiнена якO (length(m)). �

Цей алгоритм можна застосовувати i для пiднесення до степеня mмногочлена за модулем iншого многочлена. Кiлькiсть дiй у цьому випад-ку буде оцiнюватися якO (length(m)).


Вправа 8.1. Покажiть, що найбiльший спiльний дiльник двох многочле-нiв степенiв k1 та k2 вiдповiдно можна знайти заO (k1k2) дiй.

Теорема 8.2. Алгоритм 8.1 вимагаєO(n3 length(q)

)дiй у полi Fq .

Доведення. Розглянемо одну iтерацiю з основного циклу алгоритму 8.1.Якщо використовувати алгоритм 8.2, то пiднесення многочлена h достепеня q за модулем многочлена f вимагаєO (length(q)) множень. От-же, всього потрiбноO

(n2 length(q)

)дiй в Fq . Обчислення найбiльшого

спiльного дiльника вимагаєO (n2) дiй в Fq . Пiдсумовуючи, отримуємо,що виконання однiєї iтерацiї циклу потребуєO

(n2 length(q)

)дiй у полi

Fq .Таким чином, алгоритм загалом вимагаєO(n3 length(q)

)дiй в Fq . �

Зауважимо, що кожна дiя у полi Fq потребуєO(length(q)2

)елемен-

тарних дiй. Отже, загальний час роботиO(n3 length(q)3

)дiй в Fq . Отже,

наведений алгоритм є полiномiальним.Розглянемо тепер задачу побудови незвiдного многочлена заданого

степеня n > 0. Наведений спосiб iлюструватиме пiдхiд, який можнаохарактеризувати як “будуй та доводь”. Iдея полягає в тому, що спочаткубудується многочлен наперед заданого степеня з випадковими коефi-цiєнтами з вказаного поля, а потiм перевiряється, чи є цей многочленнезвiдним.

Теорема 8.3. НехайNq(n)— це кiлькiсть унiтарних незвiдних многочленiвстепеня n над полем Fq . Тодi для всiх n > 1

qn

2n6 Nq(n) 6

qn

n, (8.1)

та

Nq(n) =qn

n+O

(qn/2

n

). (8.2)

Доведення. Нагадаємо, що для всiх n ∈ N справджується рiвнiсть

qn =∑d |n

dNq(d), (8.3)

сума береться по всiм додатним дiльникам числа n. Усi доданки у правiйчастини (8.3) додатнi, nNq(n)— один з цих доданкiв, тому qn > nNq(n).Звiдси випливає права частина нерiвностi (8.1). Оскiльки ця нерiвнiстьвиконується для всiх n ∈ N, то маємо

nNq(n) = qn −∑d |nd<n

dNq(d) > qn −∑d |nd<n

qd > qn −

[n/2]∑d=1

qd .


Покладемо

S(q ,n) =[n/2]∑d=1

qd =q

q − 1

(q [n/2] − 1

).

Отже, nNq(n) > qn − S(q ,n). Неважко переконатися, що S(q ,n) =

O(qn/2) . Лишилося довести, що S(q ,n) 6 qn

2 . Безпосереднiми обчислен-нями можна перевiрити, що ця нерiвнiсть правильна для n = 1, 2, 3. Дляn > 4 маємо

S(q ,n) 6 qn/2 + 1 6 qn−1 6qn

2.

�

Алгоритм 8.3. Дано: натуральне число n.Потрiбно: побудувати унiтарний незвiдний многочлен f (x) ∈ Fq[x]

степеня n.

Для цього потрiбно повторювати наступнi кроки, поки не одержимонезвiдний многочлен:

• випадковим чином обрати c0, c1, . . . , cn−1

• покласти f := xn +∑n−1

i=0 ci x i

• за алгоритмом 8.1 перевiрити, чи вiн незвiдний

Результат: унiтарний незвiдний многочлен f (x) ∈ Fq[x] степеня n.

Теорема 8.4. Алгоритм 8.3 вимагає в середньомуO (n4 length(q)) дiй у полiFq . Результатрiвномiрно розподiлений намножинi всiх унiтарних незвiднихмногочленiв степеня n.

Доведення. В силу теореми 8.3 середня кiлькiсть iтерацiй алгоритму 8.3дорiвнюєO (n). За теоремою8.2 алгоритм8.3 потребуєO (n3 length(q)) дiйу полi Fq . Звiдси маємо твердження теореми. Друга частина твердженняочевидна. �

Конспект лекцiй зi спецкурсу “Скiнченнi поля” · 2019. 6....

Documents