計算の理論 ii turing 機械の合成

2003/12/1 佐賀大学理工学部知能情報システム学科 1

計算の理論計算の理論 IIIITuringTuring 機械の合成機械の合成

月曜 4 校時大月美佳


講義の前に

今後の日程– 休講・補講について

• 1/26 は休講（学会関連）• 1/21 と 1/22( と他 1 日 ) が補講

– レポートについて• 12/22 に大レポート (20 点配点 )

– 試験• 2/9 が試験 (40 点配点 )


今日の講義

1. 前回のおさらい1. 定義など

2. Turing 機械の合成1. 小さなものを組み上げて複雑なものへ2. ミニテスト・前回テスト回収

3. 時間に余裕があれば1. 帰納的関数を計算する Turing 機械の合

成


Turing 機械の形式的定義

Turing 機械　 M=(Q, Σ, δ, q0, F)Q: 状態の有限集合。Σ: 可能なテープ記号のアルファベット（空白

記号 B を含む）δ: 遷移関係＝遷移の集合

(Q － F)×Σ から Σ×{L, R, N}×Q の有限部分集合。

q0: 初期状態、 q0 Q∈

F: 最終状態の集合、 F Q⊆


Turing 機械の基本的動作

状態 p で入力 a を読んだとき、(1) ヘッドのある場所を b に書き換える。(2) 方向 m に移動する。 (m=L|R|N)(3) 次の状態 q に遷移する。

→ 遷移関数： δ(p, a)=(b, m, q)→5 つ組： pabmq

遷移関数の替わりに書くことができるTuring 機械　 M=(Q, Σ, K, q0, F)K={pabmq| δ(p, a)=(b, m, q)}


計算状況

a1…ai-1pai…an

Turing 機械 M が以下のような状態なとき

テープ上の記号列の状態

空白記号のみ

p

B B B a1…ai-1ai …an B B B

有限制御部

空白記号のみ


計算(computation)

α0 に始まり αr に終わる M による計算Turing 機械 M

計算状態の列 α0,α1,…,αr

各 i(0 i≦ ＜ r) に対して αi ├M αi+1 であり、αr=uqhv 　 (u, v Σ*, q∈ h F)∈


数の符号化

数値計算数や数の組を符号化する必要がある

符号化の例Σ 1∋ とする数 x に対して、

x=11…1=1x+1

n 個の数の組 (x1, x2,…, xn) に対して、(x1, x2,…, xn)= x1Bx2B…Bxn


関数 f を計算する Turing 機械

Turing 機械 M=(Q, Σ, K, q0, F)が任意の x1, …, xn に対して、(x1, …, xn) q0B├*M (x1, …, xn ,f(x1, …, xn)) qhB

( ここで、 qh F)∈

例えば、 x+y なら、任意の x, y に対して(x, y) q0B ├*M (x, y, x+y) qhB

となるような M=(Q, Σ, K, q0, F)

※f の定義域に制限がある場合は「部分的に計算可能」


Turing 機械の例 S(x)

Turing 機械 M =(Q, Σ, K, q0, F)Q={q0, q1, q2, q3, q4, q5, q6, q7, q8}Σ={B, 1}F={q8}K={q0BBLq1, q11BRq2, q1BBRq6, q211Rq2,

q2BBRq3, q311Rq3, q3B1Lq4, q411Lq4, q4BBLq5, q511Lq5, q5B1Lq1, q611Rq6, q6BBRq7, q711Rq7, q7B1Rq8 }

1 2 3 4

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13 14 15

Turing 機械の作り方

Turing 機械を合成して作る1. 単純な Turing 機械

B, 1, r, l, <a>

2. 1 から基本的な Turing 機械を合成R, L, R, T, S, C, Kn

3. 初期関数に対応する Turing 機械を合成Z(x), S(x), Un

i(x1,…, xn)

4. 原始帰納的関数関数の操作 I, II


Turing 機械 B

ヘッドが置かれています目に空白記号 B

を書き込む。

B=({q0, qh}, {B, 1}, K, q0, {qh})

K= { q01BNqh,

q0BBNqh } q0→qh

B 1 B

有限制御部

B

q0→qh

B B B

有限制御部

B


Turing 機械 1

ヘッドが置かれています目に 1 を書き込

む。B=({q0, qh}, {B, 1}, K,

q0, {qh})

K= { q011Nqh, q0B1Nqh }

q0→qh

B 1 B

有限制御部

1

q0→qh

B B B

有限制御部

1


Turing 機械 r

ヘッドを 1 こま右へ移す。B=({q0, qh}, {B, 1}, K,

q0, {qh})

K= { q011Rqh, q0BBRqh }

q0→qh

B 1 B

有限制御部

1

q0→qh

B B B

有限制御部

B

有限制御部

有限制御部


Turing 機械 l

ヘッドを 1 こま左へ移す。B=({q0, qh}, {B, 1}, K,

q0, {qh})

K= { q011Lqh, q0BBLqh }

q0→qh

B 1 B

有限制御部

1

q0→qh

B B B

有限制御部

B

有限制御部

有限制御部

Turing 機械 <a>

読み取られた記号が a であるか否かを判定する。

a であれば qh で停止し、a でなければ q1 で停止す

る。B=({q0, q1, qh}, {B, 1}, K,

q0, {q1 , qh})

K= { q0aaNqh, q0bbNq1 }

ここで、 a≠b

q0→qh

B a B

有限制御部

a

q0→q1

B b B

有限制御部

b


合成

2 つの Turing 機械M1=(Q1, Σ, K1, q0

1, F1), M2=(Q2, Σ, K2, q02, F2)

Q1∩Q2 ＝ Φ と仮定できる。（できない場合は状態の名前を付け替える）

q F∈ 1 と q02 Q∈ 2 を同一視して得られる

以下の Turing 機械M1 ー q→M2 =(Q1 Q∪ 2, Σ, K, q0

1, F1 F∪ 2 － {q})K=K1 K∪ 2 {qaaNq∪ 0

2 | a Σ}∈

を q における M1 と M2 の結合と呼ぶ。


結合のバリエーション

Turing 機械 M, M1, M2

M M1

M2

p

qM q

(Q Q∪ 1 Q∪ 2, Σ, K, q0, F F∪ 1 F∪ 2 － {p, q})

K=K K∪ 1 K∪ 2 {paaNq∪ 01, qbbNq0

2 | a, b Σ}∈

(Q, Σ, K, q0, F － {q})

K=K {qaaNq∪ 0 | a Σ}∈

簡易表記

F1={q} であるとき、単に M1M2 と書ける。

M が <a> のとき、qh, q1 を yes, no のように書ける。

<a> M1

M2

qh

q1

<a> M1

M2

yes

no→

M2M1q

M1 M2→

Turing 機械 R

ヘッドの右側にある最初のB を探し、そこで止まる。

Turing 機械 r と から合成。r=({q0, qh}, {B, 1}, K1, q0, {qh})

K1={q0BBRqh, q011Rqh}

=({p0, p1, ph}, {B, 1}, K2, p0, {p1, ph})

K2={p0BBNph, p011Np1}

rno


Turing 機械 R つづき

R=(Q, {B, 1}, K, q0, F)Q={q0, qh} {p∪ 0, p1, ph}={q0, qh, p0, p1, ph}

K=K1 K∪ 2 {q∪ hBBNp0, qh11Np0, p111Nq0}

= {q0BBRqh, q011Rqh, p0BBNph, p011Np1,

qhBBNp0, qh11Np0, p111Nq0}

F= {qh} {p∪ 1, ph} － {qh} － {p1}={ph}

Turing 機械 L

ヘッドの左側にある最初のB を探し、そこで止まる。

Turing 機械 lと から合成。l=({q0, qh}, {B, 1}, K1, q0, {qh})

K1={q0BBLqh, q011Lqh}

=({p0, p1, ph}, {B, 1}, K2, p0, {p1, ph})


lno


Turing 機械 L つづき

R=(Q, {B, 1}, K, q0, F)Q={q0, qh} {p∪ 0, p1, ph}={q0, qh, p0, p1, ph}

K=K1 K∪ 2 {q∪ hBBNp0, qh11Np0, p111Nq0}

= {q0BBLqh, q011Lqh, p0BBNph, p011Np1,

qhBBNp0, qh11Np0, p111Nq0}

F= {qh} {p∪ 1, ph} － {qh} － {p1}={ph}

Turing 機械 R

ヘッドの右側にある最初の連続した BB を探し、その左側の B の位置で止まる。

Turing 機械 R と r と から合成。

r=({q0, qh}, {B, 1}, K1, q0, {qh})K1={q0BBRqh, q011Rqh}

=({p0, p1, ph}, {B, 1}, K2, p0, {p1, ph})


R=(Q, {B, 1}, K, q0, F)

Rrno

lyes

Turing 機械 T

1 の連続したかたまりを 1 こまづつ左へ移す。

～ BWB├T ～ WBB

ここで、～：任意の記号W ： 1 の連続したかたまり　（下線）：ヘッドの位置

～ BWB=q0 ～ BWB

～ WBB= ～ WqhBB

rrno

yes

l

Bl1

*

T の計算例

～ B11B ├* ～ B11B(rr)

├* ～ 1B1B (Bl1)

├* ～ 1B1B (rr)

├* ～ 11BB (Bl1)

├* ～ 11BB (rr)

├* ～ 11BB (l)

rrno

yes

l

Bl1

Turing 機械 S

1 のかたまり W1, W2 に対して以下の処理を

行う。BW1BW2B├S BW2BB…B

ここで、W1, W2 ： 1 の連続したかたまり

　（下線）：ヘッドの位置Llno

yes

T

BT

*

S の計算例

B11B111B ├* B11B111B(Ll)

├* B1B111BB (BT)

├* B1B111BB(Ll)

├* BB111BBB (BT)

├* BB111BBB(Ll)

├* B111BBBB (T)

Llno

yes

T

BT

Turing 機械 C

1 のかたまり W1, W2, …, Wn, W に対して

以下の処理を行う。～ BBW1BW2B…BWnBWB ├c ～ WBB…B

Llno

yes

TLlT

rRS

*

C の計算例

～ BB11B1B111B ├* ～ BB11B1B111B (Ll)

├* ～ BB11B111BBB (rRS)

├* ～ BB11B111BBB (Ll)

├* ～ BB111BBBBBB (rRS)

├* ～ BB111BBBBBB (Ll)

├* ～ 111BBBBBBBB (TLlT)

Llno

yes

TLlT

rRS

Turing 機械 Kn

n 個の 1 のかたまり W1, W2, …, Wn に対して

以下の処理を行う。BW1BW2B…BWnB ├kn BW1BW2B…BWnBW1B

Lnrno

yes

Rn

BRn+1lLn+11

*

Kn の計算例(n=2 の場合 )

B11B111B ├* B11B111B(L2r)

├* BB1B111B1 (BR31)

├* B11B111B1 (L31)

├* B11B111B1 (r)

├* B1BB111B11 (BR31)

├* B11B111B11 (L31)

├* B11B111B11 (r)

├* B11B111B11B (R2)


ミニテスト

配布・お持ち帰り次回に回収講義終了時に前回の分を回収


時間に余裕があれば

帰納的関数を計算する Turing 機械の合成


帰納的関数と Turing 機械

帰納的関数を計算する Turing 機械の合成1. 初期関数を計算する Turing 機械

Z(x), S(x), Uni(x1, …, xn)

2. 合成関数と Turing 機械f(x1, …, xn)=g(h1(x1, …, xn), …, hr(x1, …, xn))

3. 原始帰納で定義される関数と Turing 機械f(x1, …, xn)=g(x1, …,xn-1) (xn=0 のとき )f(x1, …, xn)=h(x1, …, xn-1, xn-1, f(x1, …, xn-1))(xn ＞ 0 のとき )


初期関数の Turing 機械

Z(x)→r1r BWB├* BWB1B

S(x)→K11r BWB├* BWBW1B

Uni (x1, …, xn)

→Kn-i+1

BW1B…BWiB…BWnB├* BW1B…BWiB…BWnBWiB


合成関数と Turing 機械

合成関数f(x1, …, xn)=g(h1(x1, …, xn), …, hr(x1, …, xn))

→r1rKn+1nLnlBRH1Kn+1

nH2…Kn+1nHrKr+(r-1)n Kr+(r-

2)n…KrGCここで、 g, h1, …, hr を計算する Turing 機械をそれぞれ G, H1, …, Hr とする。

原始帰納で定義される関数とTuring 機械

原始帰納f(x1, … , xn, 0)=g(x1, …,xn)

f(x1, …, xn , y´)=h(x1, …, xn, y, f(x1, …, xn, y))ここで、 g, h を計算する Turing 機械をそれぞれ G, H と

する。

↓

r1rK2Kn+3nLn+1lBR GKn+2lBl C

rKn+2nr1rKn+3HKn+4lBl rKn+4

n+1

yes

yes

no

no


原始帰納関数の例

x+y (plus(x, y))plus(x, 0)=g(x)

plus(x, y)=h(x, y-1, plus(x, y-1))

g(x)=U11(x)

h(x, y, z)=S(U33(x, y, z))

計算の理論 ii turing 機械の合成

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