Лукашенко т.п. - Лекции iii-семестр

Лекция 1 02.09.081

Определение. Пусть {ak}∞k=1 — последовательность. Тогда рядом называют бесконечную сумму2

an + an+1 + an+2 + . . . =∞∑k=n

ak.3

ak — член ряда (с номером k). Обычно n = 0 или n = 1.4

Будем рассматривать ряды∞∑k=1

ak (то есть n = 1).5

Част. суммой с номером N называют SN =N∑k=1

ak.6

Будем рассматривать ряды с ak — действительными или комплексными числами, то есть число-7

вые ряды.8

Если существует конечный limN→∞

SN (или равный ±∞ для случая действительных чисел), то9

предел S = limN→∞

SN называют суммой ряда.10

Ряды, имеющие конечную сумму, называют сходящимися, а если предел частичных сумм не11

существует или равен ±∞, то ряд называют расходящимся.12

Теорема 1.1 (Критерий Коши сходимости ряда).13

Числовой ряд∞∑k=1

сходится ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p ∈ N14

|Sn+p − Sn| =

∣∣∣∣∣n+p∑k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ < ε15

или, эквивалентно, ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀m > N16 ∣∣∣∣∣k=m∑k=n

ak

∣∣∣∣∣ < ε17

Теорема 1.2 (Необходимое условие сходимости ряда). Если ряд сходится, то его члены стре-18

мятся к 0.19

Определение. Ряд∞∑k=1

ak называют абсолютно сходящимся, если сходится ряд∞∑k=1

|ak|.20

Теорема 1.3. Если ряд абсолютно сходится, то он сходится.21

Доказательство. Если ряд абсолютно сходится, то по критерию Коши22

∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀m > N :m∑k=n

|ak| < ε23

Тогда, в силу неравенства∣∣∣∣ m∑k=n

ak

∣∣∣∣ 6 m∑k=n

|ak|, условие Коши выполняется для ряда∞∑k=1

ak. �24

Определение. Если ряд сходится, то его остаток rn = S − Sn =∞∑

k=n+1

ak, rn −−−−→n→∞

0.25

Если ряд сходится абсолютно, то rn =

∣∣∣∣∣ ∞∑k=n+1

ak

∣∣∣∣∣ 6 ∞∑k=n+1

|ak|.26

Определение. Ряд, который сходится, но не сходится абсолютно, называется сходящимся условно.27

Теорема 1.4 (об операциях над рядами).28

29

1. Если ряд∞∑k=1

ak сходится и S — его сумма, то ∀α ряд∞∑k=1

αak сходится и αS — его сумма.30


ak сходится и Sα — его сумма, ряд∞∑k=1

bk сходится и Sβ — его сумма, то ряд31

∞∑k=1

ak ± bk также сходится и Sα ± Sβ — его сумма.32

1


ak сходится и S — его сумма, то ряд∞∑n=1

mn+1∑k=mn+1

ak, где 0 = m1 < m2 < m3 < . . .—33

последовательность целых чисел, также сходится, и S — его сумма. А если ak −−−−→k→∞

0 и34

mk − mk−1 — ограниченная последовательность, то из сходимости последнего ряда следует35

сходимость начального ряда.36

Доказательство.37

Последовательность частичных сумм второго ряда — подпоследовательность первого. Значит,38

сходится.39

Если ak −−−−→k→∞

0,mn −mn−1 6 M ∈ N, S — сумма сгруппированного ряда и mn−1 6 m 6 mn,40

то |Smn − Sm| =

∣∣∣∣∣ mn∑k=m+1

ak

∣∣∣∣∣ 6 mn∑k=mn−1+1

|ak| 6mn−1+M∑k=mn−1+1

|ak| = ¯o(1) −−−−→n→∞

0. Если Smn −−−−→n→∞

S,41

то Sm −−−−→m→∞

S. �42

Ряды с неотрицательными членами.43

Признаки сходимости.44

1. Для сходимости ряда с неотрицательными членами необходимо и достаточно ограниченности45

его частичных сумм.46

2. Если 0 6 ak 6 bk для ∀k > K, то из сходимости второго ряда следует сходимость первого, а47

из расходимости первого следует расходимость второго.48

3. Если 0 < α 6 ukvk6 β < ∞ при ∀k > K, то ряды с неотрицательными членами

∞∑k=1

uk и∞∑k=1

vk49

одновременно сходятся или расходятся.50

Доказательство. При k > K αvk 6 uk 6 βvk. Значит, если ряд∞∑k=1

vk сходится, то (по51

признаку сравнения 2) сходится и другой ряд. Всё остальное аналогично.52

Замечание. Условие 0 < α 6 ukvk6 β < ∞ при k > K, где K — некоторое число, эквивалентно53

условию54

0 < limk→∞

ukvk6 limk→∞

ukvk

<∞�55

4. Если∞∑k=1

uk и∞∑k=1

vk — ряды со строго положительными числами и uk+1uk6 vk+1

vkпри k > K, то56

из расходимости первого следует расходимость второго, а из сходимости второго — сходимость57

первого.58

Доказательство. Пусть m > n > K, тогда umun

=m−1

Пk=n

uk+1uk6

m−1

Пk=n

vk+1vk

= vmvn

, то есть um 659

6 unvn· vm,m > n > K. Фиксируем n. Тогда, в силу оценки um 6 C · vm, применяется признак60

сравнения 2. �61

2

Лекция 2 05.09.0862

5 (признак Д’Аламбера)63

Пусть дан ряд со строго положительными членами∞∑k=1

uk.64

1. Если uk+1uk6 q < 1 при k > K, то ряд сходится.65

2. Если uk+1uk> 1 при k > K, то члены ряда не стремятся к 0 и ряд расходится.66

Доказательство. Возьмём vk = qk. Тогда 1) следует из признака сравнения 4. Пункт 2) следует67

из оценки uk > uK при k > K. �68

Замечание. Условие пункта 1) выполняется, если limk→∞

uk+1uk

< 1. Условие пункта 2) выполняется,69

если limk→∞

uk+1uk

> 1.70

Если limk→∞

uk+1uk6 1 6 lim

k→∞uk+1uk

или если limk→∞

uk+1uk

= 1, то ряд может как сходиться, так и нет.71

Например, ряд∑

1k(k+1) сходится, а гармонический ряд — расходится.72

6 (признак Коши)73


uk.74

1. Если k√uk 6 q < 1 при k > K, то ряд сходится.75

2. Если k√uk > 1 для бесконечного числа номеров k, то члены ряда не стремятся к 0 и ряд76

расходится.77

Доказательство. Возьмём vk = qk. Тогда 1) следует из признака сравнения 2. Пункт 2) следует78

из того, что для бесконечного числа номеров uk > 1. �79

Замечание. Условие пункта 1) выполняется, если limk→∞

k√uk < 1. Условие пункта 2) выполняется,80

если limk→∞

k√uk > 1.81

Если limk→∞

k√uk = 1 или если lim

k→∞k√uk = 1, то ряд может как сходиться, так и нет. Например,82

ряд∑

1k(k+1) сходится, а гармонический ряд — расходится.83

Теорема 2.1. Если выполнено условие 1) признака Д’Аламбера, то выполнено условие 1) признака84

Коши (говорят, что признак Коши сильнее признака Д’Аламбера).85

Доказательство. Пусть ukuk+1

6 q < 1 при k > K, тогда un = uK+1 ·n−1

Пk=K+1

uk+1uk6 uK+1 · qn−K−2,86

n√un 6 n

√uK+1 · q1−

K+2n −−−−→

n→∞1 · q < 1. �87

Пример. Ряд∞∑k=1

2−k+(−1)k удовлетворяет 1) признаку Коши, но не удовлетворяет 1) признаку88

Даламбера. �89

7 (интегральный признак Коши—Маклорена)90

Пусть f(x) — неотрицательная невозрастающая функция на [m,+∞). Тогда91

0 6n∑

k=m

f(k)−∫ n+1

m

f(x) dx =∫ n+1

m

f([x])− f(x) dx 6 f(m),92

где [x] — целая часть x. Ряд∞∑k=m

и интеграл∫∞mf(x) dx одновременно сходятся или расходятся.93

Доказательство.94n∑

k=m

f(x)−∫ n+1

mf(x) dx =

∫ n+1

mf([x])− f(x) dx, так как

∫ k+1

kf([x]) dx = f(k). Заметим, что f([x])−95

− f(x) > 0.∫ n+1

mf([x]) − f(x) dx =

n∑k=m

∫ k+1

kf([x]) − f(x) dx 6

n∑k=m

∫ k+1

kf(k) − f(k + 1) dx =96

=n∑

k=m

(f(k)− f(k + 1)) = f(m)− f(n+ 1) 6 f(m). Так как разность ряда и интеграла ограничена,97

то они одновременно либо сходятся, либо расходятся. �98

3

Следствие. Ряд∞∑k=1

1kα , как и интеграл

∫∞1

dxxα , сходится при α > 1 и расходится при α 6 1.99

Пример.100

101

0 6n∑k=1

1k−∫ n+1

1

dx

x=

n∑k=1

1k− ln(n+ 1) −−−−→

n→∞

∫ ∞1

1[x]− 1xdx = C

�102

8 (признак Куммера)103

Пусть дан ряд∞∑k=1

ak с ai > 0 ∀i и последовательность bk > 0. vk = bkakak+1

− bk+1 одного знака при104

k > K.105

1. Если vk > l > 0 при k > K, то ряд∞∑k=1

ak сходится.106

2. Если vk 6 0 при k > K и ряд∞∑k=1

1bk

расходится, то расходится ряд∞∑k=1

ak.107

Доказательство. 1) vk = bk · akak+1

− bk+1 > l > 0, k > K, тогда ak · bk − ak+1 · bk+1 > lak+1, k > K.108

l∞∑k=K

ak+1 6∞∑k=K

(akbk − ak+1bk+1) 6 aK · bK . Последовательность частичных сумм ряда ограничена109

aK · bK ⇒ он сходится. По признаку сравнения 2 сходится ряд l∞∑k=K

ak+1, а, значит, и ряд∞∑k=1

ak.110

2) vk = bk · akak+1

− bk+1 6 0, k > K. Тогда ak+1 > ak · bkbk+1

, ak+1ak> bk

bk+1, k > K. an

aK=

n−1∏k=K

ak+1ak>111

>n−1∏k=K

bkbk+1

= bKbn

, n > K. Тогда an > bK ·aKbn

, и, по признаку сравнения 2, ряд∞∑n=K

an расходится. �112

9 (признак Раабе)113

Пусть дан ряд∞∑k=1

ak, ai > 0 ∀i и пусть αk = k( akak+1

− 1).114

Если αk > r > 1 при k > K, то ряд сходится.115

Если αk < 1 при k > K, то ряд расходится.116

Доказательство. Воспользуемся признаком Куммера. Возьмём bk = k, k ∈ N. vk = k· akak+1−(k+1) =117

= k(

akak+1

− 1)− 1 = αk − 1. �118

Замечание. Пункт a) признака 9 Раббе выполняется, если lim k( akak+1

− 1) > 1, а б) выполняется,119

если lim k( akak+1

− 1) < 1.120

10 (признак Гаусса)121


ak и akak+1

имеет вид α+ βk + γk

k1+ε , где α, β —122

действ. числа, ε > 0, γk — ограниченная последовательность. Тогда если α > 1 или α = 1 и β > 1,123

то ряд сходится. А если α < 1 или α = 1 и β 6 1, то ряд расходится.124

4

Лекция 3 16.09.08125

Признак Гаусса126

Пусть ak > 0, k ∈ N и akak+1

= α+ βk + γk

k1+ε , где α, β, ε— действительные числа, ε > 0, а γk — огр.127

посл. Тогда если α > 1 или α = 1 и β > 1, то ряд сходится. А если α < 1 или α = 1 и β 6 1, то ряд128



131

1. α > 1. limk→∞

akak+1

= α > 1, ряд сходится по пр. Д‘Аламбера.132

2. α < 1. limk→∞

akak+1

= α < 1, члены ряда не стремятся к 0 и ряд расходится.133

3. α = 1, β > 1. limk→∞

k ·(

akak+1

− 1)

= limk→∞

(β + γk

kε

)= β > 1, ряд сходится по пр. Раабе.134

4. α = 1, β < 1. limk→∞

k ·(

akak+1

− 1)

= β < 1, ряд расходится по пр. Раабе.135

5. α = 1, β = 1. Воспользуемся признаком Куммера с bk = k ln k, k > 2. Ряд∞∑k=2

1k ln k =

∞∑k=2

1bk

расходится по пр. Коши—Маклорена.

vk =akak+1

bk − bk+1 =(

1 +1k

+γkk1+ε

)· k ln k − (k + 1)ln(k + 1) =

= k ln k + ln k +γkkε

ln k − (k + 1) ln(k + 1) = −(k + 1)(ln(k + 1)− ln k) +γk ln kkε

=

= − ln(

1 +1k

)1+k

+γk ln kkε

−−−−→n→∞

−1 < 0

Значит, ряд расходится по признаку Куммера. �136

Лемма 3.1 (Признак Лейбница). Пусть∞∑k=1

uk — ряд со знакочередующимися членами (то есть137

все чётные одного знака, а все нечётные — другого) и |u1| > |u2| > . . ., uk −−−−→k→∞

0 (то есть uk не138

возрастая стремится к 0). Такой ряд называется рядом Лейбница. Он сходится и |rn| 6 |un+1| 6139

6 |un|, n ∈ N.140

Доказательство. Рассмотрим случай u2k−1 > 0, u2k 6 0 k ∈ N. Тогда S2n =n∑k=1

(u2k−1 + u2k

),141

u2k−1 + u2k > 0, S2n — неубыв. посл., а S2n+1 = u1 +n∑k=1

(u2k + u2k+1

), u2k + u2k+1 6 0, S2n+1 —142

невозр. посл, S2n 6 S2n+1. Имеем S2 6 S2n 6 S2n+1 6 S1. Значит, ∃ limn→∞

S2n = lim→∞

S2n+1. Они143

равны, так как S2n+1 − S2n −−−−→n→∞

0. Значит,∞∑k=1

uk сходится.144

Случай u2k−1 6 0, u2k > 0 сводится к рассмотренному домножением на −1.145

Оценим rn =∞∑

k=n+1

uk. Если un+1 > 0, то rn =∞∑k=1

(u2k+n−1 + u2k+n

)>∞∑k=1

0 = 0.146

0 6 rn = un+1 +∞∑k=1

(u2k+n + u2k+n+1

)6 un+1 +

∞∑k=1

0 = un+1, то есть |rn| 6 |un+1| 6 |un|. Второй147

случай сводится к предыдущему домножением на −1. �148

Преобразование Абеля149

Пусть uk, vk, k ∈ N — действительные или комплексные числа. Тогдаn∑

k=m

uk·vk =n−1∑

k=m−1

Uk(vk−vk+1

)+150

+ Unvn − Um−1vm−1 =n−1∑k=m

Uk(vk − vk+1) + Unvn − Um−1vm, где v0 = 0, U0 = 0, Uk =

k∑j=1

uj .151

5

Доказательство.

n∑k=m

ukvk =n∑

k=m

Ukvk −n∑

k=m

Uk−1vk =n∑

k=m

Ukvk −n−1∑

k=m−1

Ukvk+1 =

=n−1∑

k=m−1

Uk(vk − vk+1) + Unvn − Um−1vm−1.

�

Последовательность ограниченной вариации.152

Определение. Последовательность {ak}∞k=1 (действ. или компл. чисел) имеют ограниченную ва-153

риацию (с огр. измен), если сходится ряд∞∑k=1

∣∣ak+1 − ak∣∣.154

Из свойств операции над рядами следует, что если последовательность ограниченной вариации155

умножить на любое число, то получится последовательность ограниченной вариации. Если к после-156

довательность ограниченной вариации прибавить или вычесть последовательность ограниченной157

вариации, то получится последовательность ограниченной вариации.158

Теорема 3.1. Комплексная последовательность является последовательностью ограниченной ва-159

риации ⇐⇒ её действительные и мнимые части - последовательности ограниченной вариации.160

Действительная последовательность является последовательностью ограниченной вариации ⇐⇒161

её можно представить в виде разности двух сходящихся неубывающих (невозрастающих) последо-162

вательностей.163

Доказательство. Пусть {zk}∞k=1 — комплексная последовательность, zk = ak + ıbk, ak, bk ∈ R,164

|ak+1 − ak| 6 |zk+1 − zk|, |bk+1 − bk| 6 |zk+1 − zk|. То есть, всё хорошо.165

Если {ak}∞k=1 — сходящаяся неубывающая последовательность, тоn∑k=1

∣∣ak+1−ak∣∣ =

n∑k=1

(ak+1−ak

)=166

= an+1 − a1 — сход. последовательность, то есть {ak}— огр. вариации.167

Случай сход. невозрастающей последовательности сводится к предыдущему домножением на168

−1.169

Sn =n−1∑k=1

∣∣ak+1−ak∣∣, это сходящаяся неубывающая последовательность. Sn−an =

n−1∑k=1

(|ak+1−ak|−170

−(ak+1−ak))−a1 — сходящаяся неубывающая последовательность. an = Sn−(Sn−an). an = αn−βn,171

где αn, βn — сходящаяся неубывающая последовательность �172

Следствие 3.1.1. Любая последовательность ограниченной вариации сходится.ы173

6

Лекция 4 19.09.08174

12. Признак Абеля.175

Если ряд∞∑k=1

uk сходится, а vk — последовательность ограниченной вариации, то сходится ряд∞∑k=1

uk·vk.176

13. Признак Дирихле.177

Если последовательность частичных сумм ряда∞∑k=1

uk ограничена, а vk — сходящаяся к 0 последо-178

вательность ограниченной вариации, то сходится ряд∞∑k=1

uk · vk.179


n∑k=m

uk · vk =n−1∑

k=m−1

Uk · (vk − vk+1) + Un · vn − Um−1 · vm−1

∣∣∣ n−1∑k=m−1

Uk(vk − vk+1)∣∣∣ 6 sup

k|Uk| ·

n−1∑k=m−1

|vk − vk+1|, Uk =k∑j=1

uj .

∀ε > 0 ∃N1 : ∀n,m > N1 : supk|Uk| ·

n−1∑k=m−1

|vk − vk+1| <ε

2

{Ukvk} сходится в обоих признаках. ∀ε > 0 ∃N2 ∀n,m > N2 : |Unvn − Um−1vm−1| < ε2 . Пусть180

N = max{N1, N2}. Тогда ∀n,m > N :∣∣∣ n∑k=m

uk · vk∣∣∣ < ε

2 + ε2 = ε.181

Заметим, что признак Лейбница является следствием признака Дирихле. По условию признака182

Лейбница uk = (−1)k|uk| или uk = (−1)k+1|uk|. Последовательность∞∑k=1

(−1)n ограничена. При этом183

|uk| монотонно стремятся к 0. Значит, ряд сходится по признаку Дирихле.184

Определение. Пусть ϕ— взаимно однозначное отображение N на N, а∞∑k=1

ak — ряд. Тогда ряд185

∞∑k=1

aϕ(k) называется перестановкой ряда∞∑k=1

ak.186

Теорема 4.1 (Коши). Если ряд∞∑k=1

ak абсолютно сходится и S — его сумма, то переставленный187

ряд∞∑k=1

aϕ(k) также сходится абсолютно и его сумма равна S.188

Доказательство.n∑k=1

|aϕ(k)| 6maxk6n

ϕ(л)∑j=1

|aj | 6∞∑j=1

|aj | <∞.189

∀ε > 0 ∃N :∞∑

k=N+1

|ak| < ε. Так как ϕ— взаимно однозначное соответствие, то найдётся такое190

M ∈ N : {ϕ(k) : k 6M} ⊃ {1, . . . , N}. Пусть m >M . Тогда∣∣∣ m∑k=1

|aϕ(k)| − S∣∣∣ =

∣∣∣ m∑k=1

|aϕ(k)| −∞∑j=1

|aj |∣∣∣ 6191

6∞∑

j=N+1

|aj | < ε. �192

Теорема 4.2 (Римана). Если ряд∞∑k=1

ak сходится условно, ai ∈ R, то ∀l ∈ R найдётся перестановка193

ϕ, что переставленный ряд∞∑k=1

aϕ(k) имеет сумму l.194

Доказательство. Пусть uk — последовательность неотрицательных членов ряда, vk — оставшихся195

членов. Так как ak −−−−→k→∞

0, то uk и vk также стремятся к 0. Имеем:∞∑k=1

uk = +∞, а∞∑k=1

vk = −∞.196

7

1. l ∈ R. ∃k1 :k1∑j=1

uj > l. ∃ наименьшее n1 ∈ N :k1∑j=1

uj+n1∑i=1

vi < l. ∃ мин k2 > k1 :k2∑j=1

uj+n1∑i=1

vi > l.197

И так далее.198

Все члены ряда встретятся. |Skr+nr − l| 6 |vnr | −−−−→n→∞

0. Аналогично:∣∣Skr+1+nr − l

∣∣ 6 |ukr+1 | −−−−→n→∞

0.199

Значит, l— сумма получившегося ряда.200

2. l = +∞. Тогда найдём {ni}, ni+1 > ni : ∀i ∈ Nni+1−1∑k=ni

uk > vi+1. Тогдаn∑i=1

(ni+1−1∑k=ni

uk − vi

)> n.201

Значит, сумма ряда равна +∞ (доказательство немного отличается от данного на лекции).202

3. l = −∞. Аналогично. (Да-да: сводится к предыдущему домнож. . . ) �203

Произведение рядов.204

205

Теорема 4.3 (Коши). Если ряды∞∑k=1

uk и∞∑k=1

vk сходится абсолютно и U и V — их суммы, то ряд206

из всех их попарных произведений, взятый в любом порядке, абсолютно сходится, и его сумма —207

U · V .208

Доказательство. Пусть wk — занумерованные в некотором порядке ui · vj . Пусть ∀m ∈ N ψ(m) —наибольшее среди i и j, соответствующих uivj , занумерованных k 6 m. Тогда

m∑k=1

|ωk| 6ψ(m)∑i=1

ψ(m)∑j=1

|ui · vj | =ψ(m)∑i=1

|ui| ·ψ(m)∑j=1

|vj |.

По одной из предыдущих теорем можем искать сумму в любом порядке. Так как ряд сходится, то209

рассмотрим подпоследовательность частичных суммn∑i=1

m∑j=1

uivj =n∑i=1

uj ·n∑j=1

vj −−−−→n→∞

U · V . �210

8

Лекция 5 23.09.08211

Теорема 5.1 (Мертенса). Если ряды∞∑k=1

uk и∞∑k=1

vk сходятся, причём хотя бы один из них абсо-212

лютно, и U , V — их суммы, то сходится ряд∞∑k=1

wk, где wk =k∑i=1

ui · vk+1−i и U · V — его сумма.213

Пояснение о том, как происходит суммирование. Пусть есть плоскость с целочисленными коор-214

динатами, каждая точка - соответствующий член uivj . Тогда суммирование идёт по диагонали.215

Доказательство. Будем считать, что ряд∞∑k=1

uk сходится абсолютно. Оценим∣∣∣ n∑i=1

n∑j=1

ui·vj−n∑k=1

wk

∣∣∣ =216

=∣∣∣ n∑l=1

ul ·n∑j=1

vj −n∑k=1

k∑i=1

ui · vk+1−i

∣∣∣ =∣∣∣ n∑l=1

ul ·n∑j=1

vj −n∑k=1

uk ·n−k+1∑i=1

vk

∣∣∣ =∣∣∣ n∑k=1

uk · (Vn − Vn+1−k)∣∣∣, где217

Vl =l∑

j=1

vj . ∀ε > 0 ∃N :∞∑

k=Т+1

|uk| < ε и ∀n > N |Vn−V | < ε. Тогда ∀n > 2N :∣∣∣ n∑i=1

n∑j=1

ui ·vj−n∑k=1

wk

∣∣∣ 6218

6∣∣∣( N∑k=1

+n∑

k=N+1

)uk ·

(Vn − Vn+1−k

)∣∣∣ 6 2ε ·∞∑k=1

|uk| + 2 supn

∣∣Vn∣∣ · ε = 2(∞∑k=1

|uk| + supn

∣∣Vn∣∣) · ε, то есть219

n∑i=1

n∑j=1

ui · vj −n∑i=1

wk = ¯o(1) при n → ∞. Так какn∑i=1

n∑j=1

ui · vj =n∑i=1

ui ·n∑j=1

vj −−−−→n→∞

·U · V , то220

утверждение верно. �221

Бесконечные произведения222

Определение. Пусть {ak}∞k=n — последовательность действительных или комплексных чисел. То-223

гда выражение am · am+1 · . . . =∞∏k=m

ak называется бесконечным произведением.224

Будем считать, чтоm = 1. Если произведение∞∏k=1

ak — бесконечное произведение, то Pn =n∏k=1

ak —225

частичное произведение с номером n.226

Определение. Если существует конечный limn→∞

Pn 6= 0, то говорят, что бесконечное произведение227

сходится и равно P = limn→∞

Pn.228

Если limn→∞

Pn равен 0, или ±∞, или не существует, то говорят, что бесконечное произведение229


Теорема 5.2 (Необходимое условие сходимости бесконечного произведения). Если беско-231

нечное произведение сходится, то ak −−−−→n→∞

1 и остаток rn = PPn−−−−→n→∞

1.232

Доказательство. Второе утверждение очевидно.233

Первое утверждение: ak = PkPk−1

−−−−→k→∞

1 �234

Заметим, что из того, что an → 1 следует, что с некоторого момента an > 0. Значит, можно235

вообще считать все члены положительными.236

Теорема 5.3 (критерий сходимости для положительных чисел). Бесконечное произведение237

положительных чисел∞∏k=1

ak сходится ⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1

ln ak. При этом в случае сходимости238

n∑k=1

ln ak = ln∞∏k=1

ak.239

Доказательство. lnPn = lnn∏k=1

ak =n∑k=1

ln ak. Устремим всё к бесконечности: lnP =∞∑k=1

ln ak.240

Если ряд∞∑k=1

ln ak сходится, то Pn = e

n∑k=1

ln ak−−−−→n→∞

e

∞∑k=1

ln ak6= 0. �241

Теорема 5.4. Бесконечное произведение∞∏k=1

(1 + αk), 1 < αk, где все αk одного знака, сходится242

⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1

αk.243

9

Доказательство. Бесконечное произведение сходится ⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1

ln(1 + αk). В этом244

ряду все члены одного знака. Заметим, что ln(1 + αk) −−−−→k→∞

0 ⇐⇒ αk −−−−→k→∞

0. Если αk −−−−→k→∞

0,245

то ln(1+αk)αk

−−−−→k→∞

1. При αk −−−−→k→∞

0 сходимость ряда∞∑k=1

ln(1 + αk) эквивалентна сходимости ряда246

∞∑k=1

αk. �247

Пример (Формула Эйлера). sinx = x∞∏k=1

(1− x2

k2π2

).248

Доказательство. При x = ±kπ, k = 0 или k ∈ N, то утверждение верно.249

Рассмотрим x 6= kπ для всех k ∈ Z.250

1. Пусть m = 2n+ 1, n ∈ Z+, тогда sinmxm sin x =

n∏k=1

(1− sin2 x

sin2 kπm

).251

Докажем, что sinmx = sinx · Pn(sin2 x), Pn — многочлен степени не выше n. n = 0 — верно,252

n = 1 — утверждение верно. sin 3x = 3 sinx−4 sin3 x = sinx(3−4 sin2 x). Если утверждение вер-253

но для m > 3, то оно будет верно для m+2. sin(m+2)x+sin(m−2)x = 2 sinmx·cos 2x = 2 sinx×254

×Pn(sin2 x) · (1− 2 sin2 x), откуда sin(m+ 2)x = sinx ·Pn+1(sin2 x)− sinx ·Pn−1(sin2x) = sinx×255

×Pn+1(sin2 x).256

Pn(y) имеет корни sin2 fπm , k = 1, . . . ,m, так как sinmx имеет корни kπ

m , k = 1, . . . ,m.sinmxm sinx︸︷︷︸↓1x→0

=257

= 1mPn(sin2 x), Pn(y)︸︷︷︸

↓cy→0

= c·n∏k=1

(1− y

sin2 kπm

). Получаем, что c = m. Имеем sinmx

m sin x =n∏k=1

(1− sin2 x

sin2 kπm

).258

2. Пусть x = 1mz, тогда sin z

m sin zm

=n∏k=1

(1− sin2 z

m

sin2 kπm

). Пусть m = 2n+ 1, натуральное p 6 n, |z| 6 p,259

тогда sin zm sin z

m=

p∏k=1

(1− sin2 z

m

sin2 kπm

)·Rp,n, где Rp,n =

∏k = p+ 1n

(1− sin2 z

m

sin2 kπm

). Фиксируем p, а n260

устремим к +∞. sin zz =

p∏k=1

(1− z2

k2π2

)·Rp, Rp = lim

n→∞Rp,n. �261

10

Лекция 6 26.09.08262

Продолжение доказательства формулы Эйлера∑x = x ·

∞∏k=1

(1− x2

k2π2

).263

В конце прошлой лекции было доказано, что sin xx =

p∏k=1

(1− x2

k2π2

)·Rp(x), гдеRp(x) = lim

n→∞Rp,n(x),264

Rp,n =n∏

k=p+1

(1− sin2 x

m

sin2 kπm

), где m = 2n+ 1, p 6 n.265

Почему такой предел существует. Вспомним: sin xm sin x

m=

p∏k=1

(1− sin2 x

m

sin2 kπm

)· Rp,n. Значит, предел266

существует как предел частного.267

Rp(x) = limn→∞

n∏k=p+1

(1− sin2 x

m

sin2 kπm

). Докажем, что Rp −−−→

p→∞1.268

Лемма 6.1. Для любых комплексных чисел αk, k = 1, . . . , n,∣∣∣ n∏k=1

(1 + αk)− 1∣∣∣ 6 n∏

k=1

(1 + |αk|)− 1.269

Доказательство. n = 1 — утверждение верно. |(1 + α1)− 1| = |α1| 6 (1 + |α1|)− 1 = |α1|.270

Пусть верно для n = q и докажем его для n = q+1.∣∣∣q+1∏k=1

(1+αk)−1∣∣∣ 6 ∣∣∣q+1∏

k=1

(1+αk)−q∏

k=1

(1+αk)∣∣∣+271

+∣∣∣ q∏k=1

(1+αk)−1∣∣∣ 6 ∣∣∣ q∏

k=1

(1+αk)×αq+1

∣∣∣+ q∏k=1

(1−|α|)−1 6q∏

k=1

(1+|αk|)·|αq+1|+q∏

k=1

(1+|αk|)−1 =q+1∏k=1

(1+|αk|)−1.272

sinx = x− x3

3! + . . .— формула Тейлора.273

При |x| 6 1:274 ∣∣∣∣−x3

3!+x5

5!− x7

7!+ . . .

∣∣∣∣ 6 |x3| ·(

16

+162

+163

+ . . .

)= |x3| ·

16

1− 16

=15|x3|275

При |x| 6 1|x| − 15 |x| 6 | sinx| 6 |x|+

15 |x|, то есть 4

5 |x| 6 | sinx|65 |x|.276

|Rp,n − 1| 6n∏

k=p+1

(1 + |sin

xm |2

|sin kπm |2

)− 1 6

∏k = q + 1n

(1 + ( 6|x|

5m )2

( 45kπm )2

)− 1 6

n∏k=p+1

(1 + |x|2

(2k)2

)− 1277

Произв.∞∏k=1

(1 + |x|2

4k2

)сходится, так как сходится ряд

∞∑k=1

|x|24x2 = |x|2

4

∞∑k=1

1k2 .278

Его остаток∞∏

k=p+1

(1 + |x|2

4x2

)−−−→p→∞

1.279

Так как |Rp − 1| =∣∣∣ limn→∞

Rp,n − 1∣∣∣ 6 ∞∏

k=p+1

(1 + |x|2

4k2

)− 1, то Rp −−−→

p→∞1.280

Устремим p→∞. Получим, что sin xx =

∏k = 1∞

(1− x2

k2π2

)�281

Следствие 6.0.1 (ф-ла Валлиса). π2 =

∞∏k=1

(2k)2

(2k+1)(2k−1) = limn→∞

12n+1

(22n(n!)2

(2n)!

)2

.282

x = π2 , 1 = π

2 · π∞k=1

(1− 1

4x2

)= pi

2

∞∏k=1

((2k)2−1(2k)2

)= π

2

∞∏k=1

((2k+1)(2k−1)

(2k)2

).283

π2 =

∞∏k=1

(2k)2

(2k+1)(2k−1) .284

12n+1

(22n(n!)2

(2n)!

)2

= 12n+1

(2n·2n·n!

2n·(2n−1)···(n+1)

)2

= 12n+1

(2n

(2n−1)(2n−3)

)285 (

22n

n!

)(2n

(2n−1)(2n−3)···1

)286

Надо закончить это доказательство.287

Следствие 6.0.2. cosx =∞∏k=1

(1− x2

( (2k−1)2 )2

π2

).288

Доказательство. cosx = sin 2x2 sin x при x 6= kπ.289

cosx = limn→∞

2x2N∏k=1

(1− 4x2

k2π2

)2x·

N∏k=1

(1− x2

k2π2

) = limN→∞

2N∏k=1

(1− x2

( k2 )2π2

)= lim

N→∞

N∏k=1

(1− x2

( 2k−12 )2

π2

).290

11

n∏k=1

(1− m2π2

( 2k−12 )2

π2

)=

n∏k=1

(2n−1)2−4m2

(2k−1)2 =

n∏k=1

(2k−1−2m)·n∏k=1

(2k−1+2m)(n∏k=1

(2k−1)

)2 =291

=(−1)m

n∏k=n−m+1

(2k−1+2m)

n∏k=n−m+1

(2k−1)−−−−→n→∞

(−1)m. �292

Суммирование расходящихся последовательностей и рядов.293

Определение. Пусть {sk}∞k=1 — числовая последовательность. Эта последовательность суммирует-294

ся методом Чезаро (Чезаро—Фейера, средних арифметических, методом (C, 1)) к S, если S = limn→∞

σn,295

где σn = 1n

n∑k=1

sk.296

Ряд∞∑k=1

ak сумм. методом Чезаро к S, если посл. его частичных сумм суммируется методом297

Чезаро к S.298

Пример. Последовательность 1,−1, 1, . . . суммируется методом (C, 1) к 0.299

Ряд∞∑k=1

(−1)k+1 �300

12

Лекция 7 30.09.08301

Определение. Пусть {ak}∞k=1 — числовая последовательность. Эта последовательность суммирует-302

ся методом Чезаро (Чезаро—Фейера, средних арифметических, методом (C, 1)) к S, если S = limn→∞

σn,303

где σn = 1n

n∑k=1

sk.304

Ряд∞∑k=1

ak сумм. методом Чезаро к S, если последовательность его частичных сумм суммируется305

методом Чезаро к S.306

Определение. Метод суммирования последовательностей (рядов) называют линейным, если из307

того, что последовательность sk (ряд∞∑k=1

ak) суммируется к числу S, следует, что для любого числа308

α последовательность αsk (или ряд) суммируется этим же методом к αS. А если последовательности309

sk и tk (ряды) суммируются к S1 и S2 соответственно, то последовательность sk + tk (или ряд)310

суммируется этим же методом к S1 + S2.311

Определение. Метод суммирования называется регулярным, если любая сходящаяся последова-312

тельность (любой сходящийся ряд) суммируется этим методом к своему пределу.313

Метод суммирования называется вполне регулярным, если он регулярен и любая расходящаяся314

к ±∞ последовательность (ряд) суммируется этим методом к ±∞.315

Теорема 7.1. Метод суммирования средних арифметических (Чезаро) линеен и вполне регулярен.316

Доказательство. Линейность очевидна из определения.317

Остаётся показать, что он вполне регулярен. Начнём с регулярности. Пусть sk = ¯o(1). Покажем,318

что она суммируется методом Чезаро к 0. ∀ε > 0 ∃N ∈ N∀k > N : |sk| < ε. Тогда ∀n > N : σn =319

= 1n

N∑k=1

sk+ 1n

n∑k=N+1

sk,

∣∣∣∣∣ 1n n∑k=N+1

sk

∣∣∣∣∣ < 1n (n−N)ε 6 ε, а 1

n

N∑k=1

sk = ¯o(1) −−−−→n→∞

0. ∃N ∀n > N : |σn| < ε.320

Значит, σn −−−−→n→∞

0. Если sk −−−−→k→∞

s, то sk = s+ ¯o(1), σn = s+ ¯o(1), то есть σn −−−−→n→∞

s.321

Вполне регулярность. Если sk −−−−→k→∞

+∞, то ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N : sk ∈ B ε2(+∞), то есть322

sk >2ε . Тогда ∀n > N : σn = 1

n

N∑k=1

sk + 1n

n∑k=N+1

sk, 1n

n∑k=N+1

ыk >(n−Nn

)2ε = 2

ε −Nn ·

2ε ,

1n

N∑k=1

sk = ¯o(1)323

при n→∞, Nn ·2ε = ¯o(1) при n→∞. N ∀n > N : σn > 1

ε , то есть σn ∈ Bε(+∞). Значит, σn → +∞.324

Случай −∞. . .325

Лемма 7.1. Если последовательность sk (ряд∞∑k=1

ak) суммируются методом средних арифметиче-326

ских (к какому-то числу), то sk = ¯o(k) (ak = ¯o(k)).327

Доказательство. sk = kσk − (k − 1)σk−1 = k(σk = σk−1) + σk−1 = k · ¯o(1) + O(1) = ¯o(k).328

ak = Sk − Sk−1 = ¯o(k)− ¯o(k) = ¯o(k). �329

Метод Абеля330

Определение. Ряд∞∑k=1

ak суммируется методом Абеля к числу S (к ±∞), если для любого r ∈ [0, 1)331

ряд∞∑k=1

akrk−1 сходится (или расходится к ±∞) и

∞∑k=1

ak · rk−1 −−−−−→r→1−0

S.332

Последовательность {sk}∞k=1 суммируется методом Абеля к числу S (к ±∞), если к S (±∞)333

суммируется ряд s1 +∞∑k=2

(sk − sk−1)334

Теорема 7.2 (Фробениуса). Если ряд (последовательность) суммируется методом Чезаро к чис-335

лу S, то он (она) суммируется методом Абеля также к S.336

Доказательство. Рассмотримn∑k=1

akrk−1 =

n−1∑k=1

Sk(rk−1−rk)+Snrn−1 =

n∑k=1

Sk(rk−1−rk)+Snrn =337

= (1−r)n∑k=1

Skrk−1+Snrn. По лемме Sn = ¯o(n),∀r ∈ [0, 1)Sn·rn −−−−→

n→∞0. Значит,

∞∑k=1

akrk−1 = (1−r)

∞∑k=1

Skrk−1,338

n∑k=1

Skrk−1 = (1− r)

n∑k=1

kσkrk−1 + nσn · rn. nσn = O(n), ∀r ∈ [0, 1) nσn · rn −−−−→

n→∞0.339

13

∞∑k=1

akrk−1 = (1− r)2

∞∑k=1

kσkrk−1, оба ряда одновременно сходятся или расходятся (∀r ∈ [0, 1)).340

Пусть a1 = 1, ak = 0 при k > 2. Тогда при r ∈ (0, 1) 1 = (1− r)2∞∑k=1

krk−1.341

∀ε > 0 ∃N ∈ N : ∀n > N |σn − s| < ε. Оценим∣∣∣ ∞∑k=1

akrk−1 − S

∣∣∣, ряд сходится по критерию Коши,342

так как ak = ¯o(k), limn→∞

n√an · rn−1 6 r < 1.343 ∣∣∣ ∞∑

k=1

akrk−1 − S

∣∣∣ =∣∣∣(1 − r)2

∞∑k=1

kσkrk−1 − (1 − r)2

∞∑k=1

kSrk−1∣∣∣ 6 (1 − r)2

N∑k=1

|kσk − kS|rk−1 +344

+ (1− r)2∞∑

k=N+1

k|σk −S|rk−1 6 (1− r)2N∑k=1

|k(σk −S)|+ (1− r)2∞∑k=1

kεrk−1 6 C · (1− r)2 ↓r→1 0 + ε (см.345

ранее). Поэтому ∃ro ∈ [0, 1) ∀r ∈ (r0, 1) :∣∣∣ ∞∑k=1

akrk−1 − S

∣∣∣ < 2ε, то есть ряд суммируется методом346

Абеля к S. �347

Теорема 7.3. Метод Абеля линеен и вполне регулярен.348

Доказательство. Линейность очевидна, регулярность следует из регулярности метода Чезаро и349

предыдущей теоремы. Докажем вполне регулярность.350

Пусть Sn =n∑k=1

ak −−−−→n→∞

+∞. Воспользуемся преобразованием Абеля.n∑k=1

akrk−1 = (1−r)

n∑k=1

Sk×351

×rk−1 +Sn · rn. Sn > 0 для достаточно больших n. Sk < 0 — конечное число. Значит, ряд∞∑k=1

Skrk−1

352

сходится или расходится к +∞. Отсюда ряд∞∑k=1

akrk−1 также или сходится, или расходится к +∞353

одновременно с рядом∞∑k=1

Skrk−1. Если ряд

∞∑k=1

Skrk−1 = +∞ для некоторого r = r0 ∈ [0, 1), то он354

равен +∞ для r ∈ [r0, 1) по признаку сравнения.355

Рассмотрим случай, когда ряд∞∑k=1

Skrk−1 сходится при каждом r ∈ [0, 1). ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N :356

Sk >2ε . Тогда ∀n > N

∞∑k=1

akrk−1 > (1 − r)

∞∑k=1

Skrk−1 = (1 − r)

N∑k=1

Skrk−1 + (1 − r)

∞∑k=N+1

Skrk−1 >357

> (1− r)N∑k=1

Skrk−1 + 2

ε − (1− r)N∑k=1

2εrk−1. Значит, ∃r0 ∈ (0, 1) ∀r ∈ (r0, 1) :

∞∑k=1

akrk−1 > 1

ε �358

14

Лекция 8 03.10.08359

Пример. Пример ряда, суммируемого по Абелю, но не по Чезаро.360

∞∑k=1

(−1)k−1k361

Доказательство.362n∑k=1

(−1)k−1xk = 1−(−1)nxn+1

1+x .n∑k=1

(−1)kkxk−1 = (1+x)(1−(−1)n(n+1)xn+(−1)nxn+1)(1+x2) −−−−→

n→∞1+x−x(1+x)2 =363

= 1(1+x)2 −−−−−→x→1−0

14 .364

По Чезаро он не суммируется. �365

Критерий Маркова—Гордона (1995 год)366

Пусть B — база в множествеB, а D — база в множествеD, h(x, y) — отобр. изB×D (не обязателно367

всего) в R (или C), существует limDh(x, y) = f(x) для x ∈ B ∈ B, ∃ lim

Bh(x, y) = g(y) для y ∈ D ∈ D.368

Пределы limBf(x) и lim

Dg(y) существуют и равны ⇐⇒369

∀ε > 0 ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D ∀y ∈ Dx : |h(x, y)− g(y)| < ε.370

Необходимость. Пусть limBf(x) = lim

Dg(y) = H. ∀ε > 0 ∃B1 ∈ B ∀x ∈ B1 : |f(x) − H| < ε.371

∀x ∈ B1 ∩ B ∃D1 ∈ D ∀y ∈ D1 : |h(x, y) − f(x)| < ε. ∃D2 ∈ D ∀y ∈ D2 : |g(y) − H| < ε. Возьмём372

B ⊂ B1 ∩ B, B ∈ B. ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D1 ∩ D2 ∩ D,Dx ∈ D. Тогда ∀y ∈ Dx : |h(x, y) − g(y)| 6373

6 |h(x, y)− f(x)|+ |f(x)−H|+ |H − g(y)| < 3ε.374

Достаточность. Пусть ∀ε > 0 ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D ∀y ∈ Dx : |h(x, y)− g(y)| < ε.375

1. Докажем, что ∃ limBf(x) = H. ∀ε > 0 ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D ∀y ∈ Dx : |h(x, y) − f(x)| < ε.376

∀x1 ∈ B ∈ B ∃Dx1 ∈ D ∀y ∈ Dx1 : |h(x, y) − g(y)| < ε. ∀x2 ∈ B ∈ B ∃Dx2 ∈ D ∀y ∈ Dx2 :377

|h(x2, y) − g(y)| < ε. ∃B0 ⊂ B ∩ B, B0 ∈ B. ∀x1, x2 ∈ B0 ∃D0 ⊂ Dx1 ∩ Dx2 ∩ D, D0 ∈ D378

∀y ∈ D0 : |f(x1)−f(x2)| 6 |f(x1)−h(x1, y)|+|h(x1, y)−g(y)|+|g(y)−h(x2, y)|+|h(x2, y)−f(x2)| <379

< 4ε.380

2. Докажем, что limDg(y) = H. ∀ε > 0 ∃B1 ∈ B ∀x ∈ B1 : |f(x)−H| < ε. ∃B ∈ B ∀x ∈ B ∃Dx ∈ D381

∀y ∈ Dx : |h(x, y) − g(y)| < ε. ∀x ∈ B ∈ B ∃Dx ∀y ∈ Dx : |h(x, y) − f(x)| < ε. Фиксируем382

x ∈ B1 ∩ B ∩ B 6= ∅, ∃D0 ⊂ Dx ∩ Dx ∩ D, D0 ∈ D, ∀y ∈ D0 : |g(y) − H| 6 |g(y) − h(x, y)| +383

+ |h(x, y)− f(x)|+ |f(x)−H| < 3ε. Значит, limDg(y) = H.384

Замечание. Необходимым и достаточным (для существования и равенства повторных пределов385

limBf(x) и lim

Dg(y)) является также условие386

∀ε > 0 ∃D ∈ D ∀y ∈ D ∃By ∈ B ∀x ∈ By : |h(x, y)− f(x)| < ε.387

Определение. Функциональной последовательностью fn на множестве E будем называть после-388

довательность определённых на E функций fn(x).389

Будем считать все функции действительнозначными или комплекснозначными на E.390

Функциональным рядом∞∑k=1

fk на множестве E будем называть ряд из определённых на E дей-391

ствительных или комплексных функций.392

Определение. Функциональная последовательность (ряд) сходится в x, если все члены последо-393

вательности (ряда) определены в этой точке и числовая последовательность fn(x) (ряд∞∑k=1

fk(x))394

сходится.395

Функциональная последовательность (ряд) сходится на множестве E, если она(он) сходится в396

каждой точке E.397

Определение. Функциональная последовательность fn сходится равномерно на множестве E к398

функции f , если fn и f опр. на E и ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x)− f(x)| < ε.399

Ряд∞∑k=1

fk(x) сходится равномерно к функции S(x), если fn и S опр. на E и последовательность400

частичных сумм ряда Sn(x) сходится равномерно к S(x) на E.401

15

Лекция 9 07.10.08402

Определение. Функциональная последовательность (ряд) сходится в x, если все члены последо-403

вательности (ряда) определены в этой точке и числовая последовательность fn(x) (ряд∞∑k=1

fk(x))404

сходится.405

Функциональная последовательность (ряд) сходится на множестве E, если она(он) сходится в406

каждой точке E.407

Определение. Функциональная последовательность fn сходится равномерно на множестве E к408

функции f , если fn и f определены на E и ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x) − f(x)| < ε.409

Эквивалентно: supE|fn(x)− f(x)| −−−−→

n→∞0.410

Функциональный ряд∞∑k=1

fk(x) сходится равномерно на множестве E к функции S(x), если fn411

и S опр. на E и последовательность частичных сумм ряда Sn(x) сходится равномерно к S(x) на E.412

Пишут fn(x)E⇒

n→∞f(x).413

Определение. Последовательность функций fn удовлетворяет условию Коши равномерной сходи-414

мости на E, если fn определены на E и ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| < ε.415

Теорема 9.1 (Критерий Коши равномерной сходимости). Функциональная последовательность416

Sn сходится равномерно на E ⇐⇒ она удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на417

E.418

Доказательство. Необходимость. Если fn(x)E

⇒n→∞

f(x), то ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x)−f(x)| < ε2 .419

Тогда ∀n,m > N ∀x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| = |fn(x)− f(x)|+ |f(x)− fm(x)| < ε.420

Достаточность. Если fn удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости на E, то fn(x)421

сходится в каждой точке x ∈ E, так как в каждой точке E последовательность удовлетворяет усло-422

вию Коши обычной числовой последовательности. Пусть f(x) = limn→∞

fn(x) при x ∈ E. Докажем, что423

сходимость к этой функции равномерная. Имеем ∀ε > 0 ∃N∀m,n > N ∀x ∈ E : |fn(x)− fm(x)| < ε.424

Устремим m к ∞, тогда ∀n > N ∀x ∈ E : |fn(x)− f(x)| 6 ε. �425

Следствие 9.1.1 (Критерий Коши равномерной сходимости ряда). Функциональный ряд∞∑k=1

fk426

сходится равномерно на E ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N : ∀n > N ∀p ∈ N : ∀x ∈ E∣∣∣ n+p∑k=n+1

fk(x)∣∣∣ < ε. Или, эквива-427

лентно, ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀x ∈ E :∣∣∣ n∑k=m

fk(x)∣∣∣ < ε.428

Доказательство. Первая запись означает, что |Sn+p(x)− Sn(x)| < ε. Ясно. Насчёт второй всё429

тоже ясно. �430

Свойства равномерной сходимости.431

1. Если fn(x)E⇒

n→∞f(x), F ⊂ E, то fn(x)

F⇒

n→∞f(x).432

2. Если fn(x)E

⇒n→∞

f(x), α ∈ R, то αfn(x)E

⇒n→∞

αf(x) (аналогично для рядов). Если fn(x)E

⇒n→∞

f(x),433

gn(x)E

⇒n→∞

g(x), то fn(x) + gn(x)E

⇒n→∞

f(x) + g(x) (аналогично для рядов).434

Доказываются честно по определению. Самому это написать не составляет никакого труда.435

3. Если fn(x)E

⇒n→∞

f(x), g(x) ограничена на E, то g(x)fn(x)E

⇒n→∞

g(x)f(x). Аналогично: если ряд436

∞∑k=1

fk(x) сход. равномерно на E и S(x) — его сумма, g(x) ограничена на E, то ряд∞∑k=1

g(x)fn(x)437

сходится равномерно на E и g(x) · S(x) — его сумма.438

Доказывается также честно по определению (используется оценка g(x) < supEg(x)).439

Признаки равномерной сходимости.440

1 (Вейерштрасса). Пусть на E задан функциональный ряд∞∑k=1

fk(x) и существует такой схо-441

дящийся числовой ряд∞∑k=1

αk, то ∀x ∈ E : |fk(x)| 6 αk. Тогда функциональный ряд∞∑k=1

сходится442

равномерно на E.443

16


Ряд∞∑k=1

αk сходится, значит, ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N : |m∑k=n

αk| < ε. Так как ∀x ∈ E |fk(x)| 6 αk,445

то ∀n,m > N ∀x ∈ E :∣∣∣ m∑k=n

fk(x)∣∣∣ 6 m∑

k=n

αk < ε, то есть выполнено условие Коши равномерной446

сходимости на E.447

2 (Дини). Пусть fn — последовательность непрерывных функций на компакте K в некотором448

метрическом пространстве, f(x) — непрерывная функция на K и |fn(x) − f(x)| −−−−→n→∞

0 монотонна449

в каждой точке x ∈ K. Тогда fn(x)K⇒

n→∞f(x).450


Возьмём любое ε > 0 и пусть Fn = {x ∈ K : |fn(x)− f(x)| > ε}.Это замкнутые подмножества K.452

F1 ⊃ F2 ⊃ . . .,∞⋂n=1

Fn = ∅. Положим Gn = M \ Fn, где M — метрическое пространство, Gn — откры-453

тое множество,∞⋃n=1

Gn = M ⊃ K. Выберем подпокрытие K Gn1 , . . . , Gnm . Пусть n = maxn1, . . . , nm.454

Так как G1 ⊂ G2 ⊂ . . ., то Gn ⊃ K, то есть Fn = ∅, то есть ∀x ∈ K : |fn(x) − f(x)| < ε. Тогда455

∀n > n ∀x ∈ K : |fn(x)− f(x)| 6 |fn(x)− f(x)| < ε. То есть fn(x)K⇒

n→∞f(x).456

Пример. xn на [0, 1) монотонно стремится к 0, но не равномерно. xn на [0, 1] монотонно стремится457

к ξ{1}(x). Равномерной сходимости тоже нет. �458

3 (Лейбница). Пусть на множестве E дан функциональный ряд∞∑k=1

fk(x), члены которого459

действительные функции на E и в каждой точке x ∈ E образует знакопеременную последователь-460

ность, |fn(x)|E

⇒n→∞

0 монотонно. Тогда ряд сходится равномерно на E и если S(x) — его сумма, то461 ∣∣∣ n∑k=1

fk(x)− S(x)∣∣∣ =

∣∣∣Sn(x)− S(x)∣∣∣ 6 |fn+1(x)| 6 |fn(x)| в каждой точке E.462

Доказательство. В каждой точке x ∈ E ряд∞∑k=1

fn — ряд Лейбница (знакочередующийся ряд,463

члены которого по модулю монотонно стремится к 0). Тогда ряд сходится в каждой точке x ∈ E,464

пусть S(x) — его сумма, по признаку Лейбница для числовых рядов |Sn(x)− S(x)| 6 |fn+1(x)|E

⇒n→∞

0,465

то есть supx∈E|Sn(x)− S(x)| −−−−→

n→∞0. �466

17

Лекция 10 10.10.08467

4. Признак Абеля468

Пусть функциональный ряд∞∑k=1

uk(x) сходится равномерно на E, vn(x) и∞∑k=1

|vk − vk+1| ограни-469

чены на E. Тогда функциональный ряд∞∑k=1

uk(x) · vk(x) сходится равномерно на E.470

Определение. Система функций {fλ(x)}λ∈Λ равномерно ограничена на E (ограничена в совокуп-471

ности), если все функции системы определены на E и supλ∈Λ,x∈E

|fλ(x)| < +∞ (или ∃C ∀λ ∈ Λ ∀x ∈ E :472

|fλ(x)| < C).473

5. Признак Дирихле474

Если частичные суммы функционального ряда∞∑k=1

uk(x) равномерно ограничены на E, vk(x)E⇒k→∞

0475

и ряд∞∑k=1

|vk(x)− vk+1(x)| равномерно сходится на E, то функциональный ряд∞∑k=1

uk(x) · vk(x) схо-476

дится равномерно на E.477

Доказательство.n+p∑k=n+1

uk(x)vk(x) =p∑j=1

un+j(x)vn+j(x) =p−1∑j=1

(Un+j − Un) (vn+j−vn+j+1)+(Un+p − Un) vn+p,478

где Uk =k∑j=1

uj .479

∣∣∣ n+p∑k=n+1

uk(x)vk(x)∣∣∣ 6 sup

16j<p|Un+j(x)− Un(x)| ·

p−1∑j=1

|vn+j(x)− vn+j+1(x)|

+ |Un+p(x)− Un(x)| ·

(v1(x) +

n+p−1∑k=1

(vk+1(x)− vk(x))

)

6 sup16j<p

|Un+j(x)− Un(x)| ·

(|v1(x)|+ 2

n+p∑k=1

|vk(x)− vk+1(x)|

)6 C · sup

16j6p|Un+j(x)− Un(x)| .

В признаке Абеля ф.р. сходится равномерно: ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀p ∈ N ∀x ∈ E : |Un+p(x)−Un(x)| < ε.480

Тогда ∀n > N ∀p ∈ N ∀x ∈ E :∣∣∣ n+p∑k=n+1

uk(x) · vk(x)∣∣∣ 6 C · ε.481 ∣∣∣ n+p∑

k=n+1

uk(x)vk(x)∣∣∣ 6 2 · sup

k∈N,x∈E|Uk(x)| ·

p−1∑j=1

|vn+j(x)− vn+j+1(x)|+ 2 supk∈N,x∈E

|Uk(x)| · vn+p(x).482

Признак Дирихле:

∀ε > 0 ∃N1 ∀n > N1 ∀x ∈ E : |vn(x)| < ε

∃N2 ∀n > N2 ∀p ∈ N ∀x ∈ E :n+p∑j=n+1

|vj(x)− vj+1(x)| < ε.

Тогда ∀n > max{N1, N2} ∀p ∈ N ∀x ∈ E :∣∣∣ n+p∑k=n+1

uk(x) · vk(x)∣∣∣ 6 4 sup

k∈N,x∈E|Uk(x)| · ε = C · ε. �483

На этом с признаками мы закончили. . .484

Перестановка пределов.485

Теорема 10.1. Пусть B — база в множестве, B ∈ B и fk(x)B

⇒k→∞

f(x), для каждого k ∈ N существу-486

ет limBfk(x) = bk. Тогда ∃ lim

Bf(x) = lim

k→∞bk (то есть lim

Blimk→∞

fk(x) = limk→∞

limBfk(x)).487

Доказательство. Воспользуемся критерием Маркова—Гордона. Были h(x, y), f(x) = limDh(x, y),488

g(y) = limBh(x, y). ∀ε > 0 ∃N ∀k > N∃B ∈ B ∀x ∈ B : |fk(x) − f(x)| < ε. В качестве B возьмём B.489

18

Лекция 11 14.10.08499

Теорема 11.1 (о перестановке пределов). Если fkE

⇒k→∞

f , где E — подмножество метрического500

пространства, a— предельная точка E, ∀k ∈ N ∃ limE3x→a

fk(x) = bk, то limE3x→a

f(x) = limk→∞

bk.501

Следствие 11.1.1. Если fkE

⇒k→∞

f , где E — подмножество метрического пространства, все fk непре-502

рывны в точке a ∈ E, то f непрерывна в точке a по E.503

Следствие 11.1.2. Если fkE⇒k→∞

f , где E — подмножество метрического пространства, и все fk504

непрерывны на E, то f непрерывна на E.505

Определение. Пусть K— компакт в некотором метрическом пространстве. Через C(K) будем обо-506

значать множество непрерывных на K функций с нормой ‖f‖ = maxK|f(x)|.507

Следствие 11.1.3. C(K) — полное нормированное пространство (над R или C), сходимость в кото-508

ром эквивалентна равномерной сходимости.509

Доказательство. Очевидно, что норма введена корректно.510

Про сходимость: fk −−−−→k→∞

f(по метр.) означает, что ‖fk − f‖ = maxK|fk(x)− f(x)| −−−−→

k→∞0, что и511

означает, что fkK⇒k→∞

f .512

Если fk — последовательность Коши, то ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N : ‖fn−fm‖ = maxK|fn(x)−fm(x)| <513

< ε, то есть выполнен критерий Коши равномерной сходимости fk на K, то есть ∃f ∈ C(K), что514

fk −−−−→k→∞

f (по метр. C(K)). �515

Теорема 11.2 (О перестановке предела и суммы). Если ряд∞∑k=1

uk(x) сходится равномерно516

на E к S(x) (где E — подмножество метрического пространства), a— предельная точка E и ∀k ∈ N517

существует limE3x→a

uk(x) = bk, то limE3x→a

S(x) =∞∑k=1

bk.518

Следствие 11.2.1. Если ряд∞∑k=1

uk(x) сходится равномерно на E к S(x), где E — подмножество519

метрического пространства, все uk(x) непрерывны в точке a ∈ E по E, то и S(x) непрерывна в520

точке a по E.521

Следствие 11.2.2. Если∞∑k=1

uk(x) сходится равномерно на E к S(x), где E — подмножество метри-522

ческого пространства, все uk непрерывны на E, то S(x) непрерывна на E.523

Теорема 11.3 (о перестановке предела и диф.). Пусть fk — последовательность дифференци-524

руемых функций на ограниченном I, f ′k(x) сходится равномерно на I, а fk(x) сход. хотя бы в одной525

точке I.526

Тогда существует такая диф. функция f на I, что fkI⇒k→∞

f , а f ′kI⇒k→∞

f ′.527

Доказательство. ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N : 1)|fn(x0) − fm(x0)| < ε, где x0 — точка I, в которой528

сходится последовательность fk(x), 2) ∀x ∈ I : |f ′n(x)− f ′m(x)| < ε.529

∀x ∈ I ∀n,m > N : |fn(x) − fm(x)| 6 |fn(x) − fm(x) − (fn(x0) − fm(x0))| + |fn(x0) − fm(x0)| =530

= |(f ′n(c) − f ′m(c))(x − x0)| + |fn(x0) − fm(x0)| < ε · |I| + ε = (|I| + 1) · ε = C · ε. Выполнено условие531

Коши равномерной сходимости fk на I, существует f : fk(x)I⇒k→∞

f(x).532

Возьмём любую точку x ∈ I и докажем, что существует f ′(x) и f ′k(x) −−−−→k→∞

f ′(x). Рассмотрим533

последовательность функций ϕk(t) = fk(t)−fk(x)t−x на I \{x}. Докажем, что ϕk(t) сходится равномерно534

на I \ {x}. ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N ∀x ∈ I : |f ′n(x)− f ′m(x)| < ε. Тогда ∀n,m > N ∀t ∈ I \ {x} : |ϕn(t)−535

− ϕm(t)| =∣∣∣ fn(t)−fm(t)−(fn(x)−fm(x))

t−x

∣∣∣ = |f ′n(c)− f ′m(c)| < ε, где c— между t и x.536

По теореме перестановки пределов: limI3t→x

limk→∞

ϕk(t) = f ′(x) = lim k →∞ limI3t→x

ϕx(t) = limk→∞

f ′k(x).�537

20

Теорема 11.4 (о перестановке суммы и дифф.). Пусть дан ряд∞∑k=1

uk(x) на ограниченном про-538

межутке I, uk(x) дифференцируемы на I и ряд∞∑k=1

u′k(x) сходится равномерно на I, а начальный539

ряд сходится хотя бы в одной точке I. Тогда ряд∞∑k=1

uk(x) сходится равномерно на I, его сумма540

S(x) дифференцируема на I и S′(x) =∞∑k=1

u′k(x) на I541

Теорема 11.5 (о перестановке предела и интеграла). Пусть fk(x)[a,b]

⇒k→∞

f(x) и все fk(x) ∈ R[a, b]542

(∈ H[a, b]). Тогда f(x) ∈ R[a, b] (∈ H[a, b]) и∫ baf(x) dx = lim

k→∞

∫ bafk(x) dx.543

Доказательство. ∀ε > 0 ∃N ∀k > N ∀x ∈ [a, b] : |fk(x)− f(x)| < ε. Фиксируем k > N . Тогда ∃δ > 0544

(масштаб δ(x) на [a, b]), что ∀ отмеченного разбиения π = {(∆i, ξi)} (ξi ∈ ∆i) мельче δ (согласованное545

с δ(x)) выполнено |σ(fk, π)−∫ bafk(x) dx| < ε.546

Тогда ∀ отмеченного разбиения T = {(∆i, ξi)} мельче δ (согласованное с δ(x)) выполнено∣∣∣σ(f,T)−547

− limk→∞

∫ bafk(x) dx

∣∣∣. ∀n, ,m > N :∣∣∣∫ ba fn(x) dx−

∫ bafm(x) dx

∣∣∣ =∣∣∣∫ ba (fn(x)− fm(x)) dx

∣∣∣ < ∫ ba

2ε dx =548

= 2(b− a) · ε, посл.∫ bafk(x) dx— последовательность Коши и сущ. lim

k→∞

∫ bafk(x) dx.549

Тогда ∀ отм. разб. T = {(∆i, ξi)} мельче δ (соглас. с δ(x)) выполнено: |σ(f,T)− limk→∞

∫ bafk(x) dx| 6550

6 |σ(f,T)−σ(fk,T)|+|σ(fk,T)−∫ bafk(x) dx|+|

∫ bafk(x) dx− lim

k→∞

∫ bafk(x) dx| <

∣∣∣∣∑i

(f(ξi)− fk(ξi)) · |∆i|∣∣∣∣+551

+ ε+ 2(b− a) 6 (b− a) · ε+ ε+ 2(b− a)ε = C · ε. �552

21

Лекция 12 14.10.08553

Теорема 12.1 (о перестановке суммы и интеграла). Пусть ряд∞∑k=1

uk(x) сходится равномер-554

но на [a, b] и S(x) — его сумма, все uk(x) ∈ R[a, b] (∈ H[a, b]), тогда сумма S(x) ∈ R[a, b] (∈ H[a, b]) и555 ∫ baS(x) dx =

∞∑k=1

∫ bauk(x) dx.556

Определение. Множество P в метрическом пространстве называется предкомпактом, если ∃ ком-557

пакт K ⊃ P .558

Теорема 12.2. Множество P является предкомпактом ⇐⇒ замыкание P , P (наим. замкнутое559

множество, содержащее P ) является компактом.560

Доказательство. P =⋂F⊃P

F , F — замкнутое. Достаточность следует из определения. Необходи-561

мость: если K — компакт, K ⊂ P , тоP ⊂ K иP — компакт как замкнутое подмножество компакта.�562

Определение. Пусть E и D— множества в метр. пр-ве. Пусть ε > 0, множество D является ε –563

сетью для E, если ∀x ∈ E ∃y ∈ D : ρ(x, y) 6 ε.564

ε–сеть D (для E) является конечной, если D— конечное множество.565

Теорема 12.3. Если для некоторого ε > 0 множество E имеет конечную ε–сеть {xk}nk=1, то E —566

огр. множество.567

Доказательство. Если E = ∅, то утв. верно. Если E 6= 0, то ∃y ∈ E, пусть R = ε+ max16k6n

ρ(y, xk),568

тогдаBR(y) ⊃ E. �569

Определение. Множество E (в метрическом пространстве) называется вполне ограниченным, ес-570

ли ∀ε > 0 существует кон. ε–сеть E.571

Теорема 12.4 (критерий компактности Хаусдорфа). Множество P в полном метр. пр-ве пред-572

компактно ⇐⇒ оно вполне ограничено, а компактно ⇐⇒ оно вполне ограничено и замкнуто.573

Доказательство. Второе утверждение следует из первого. Пусть P — компакт, тогда P — предком-574

пакт, то по утв. 1 P вполне ограничена, а также замкнуто.575

Если P вполне ограничено и замкнуто, то по утверждению 1 P — предкомпакт, а тогдаP = P —576

компакт.577

Доказательство первого факта: Если P — предкомпакт, то P — компакт, из покрытия P опр.578

множествами Bε(x), x ∈ M можно выбрать конечное подпокрытиеP {Bε(xk)}nk=1, тогда {xk}nk=1 —579

ε–сеть P , а значит, и P, следовательно, P вполне ограничено.580

Достаточность: Пусть P — вполне ограниченное множество в полном метрическом пространстве.581

Докажем, чтоP — компакт. Предположим, чтоP не компакт, то есть существует покрытиеP откры-582

тыми множествами {Gλ}λ∈Λ, из которого нельзя выделить кон. подпокрытие.583

Существует {x1k}nk=1, что

⋃k

B1(x1k) содержит P , а значит, и P . Из множеств P ∩B1(x1

k) хотя бы584

одно не имеет конечного подпокрытия (из Gλ). ∃{x2k}∞k=1, что

⋃k

B 12(x2k) содержит P , а, значит, и585

P∩B1(x1k1

) (которое не имеет конечного подпокрытия). Из множествP∩B1(x1k1

)∩B 12(x2k) хотя бы одно586

не имеет конечного подпокрытия, обозначим егоP∩B1(x1k1

)∩B 12(x2k2

). ρ(x1k1, x2k2

) < 1+ 12 . Продолжим587

эту деятельность (каждый следующий радиус в два раза меньше предыдущего). ρ(xi−1ki−1

, xiki) 6588

6 12i−2 + 1

2i−1 .589

{xiki}— последовательность Коши. Поскольку пространство полно, то она сходится. Пусть x0 —590

её предел. x0 — предельная точка P , то есть x0 ∈ P , а также всем множествам P ∩( n⋂i=1

B2−i(xiki)).591

∃Gλ 3 x0, а значит ∃Bδ(x0) ⊂ Gλ ∃n ∈ N : ρ(xnkn , x0) < δ2 и 2−n+1 < δ

2 .592

ТогдаP ∩(

n⋂i=1

B2−i+1(xiki))⊂ Bδ(x0) ⊂ Gλ, что противоречит тому, что это множество не имеет593

конечного подпокрытия Gλ. Значит,P — компакт.594

22

Лекция 13 17.10.08595

Лемма 13.1. Если множество E в метрическом пространстве имеет конечную ε–сеть, то E имеет596

конечную 2ε–сеть, состоящую из элементов E.597

Доказательство. Пусть {xk}nk=1 — ε–сеть E. Если Bε(xk) ∩ E 6= ∅, то возьмём вместо xk эл-т598

yk ∈ Bε ∩ E. А если Bε(xk) ∩ E = ∅, то его можно выкинуть. Получим 2ε–сеть, состоящую из599

элементов E. �600

Определение. Система функций {fλ}λ∈Λ на множестве E равностепенно непрерывна на E, если601

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x, x′ ∈ E, ρ(x, x′) < δ ∀λ ∈ Λ: |fλ(x)− fλ(x′)| < ε.602

Теорема 13.1 (Арцеля–Асколи). Пусть C(K) — пространство непрерывных действ. (или компл.)603

функции на компакте K с нормой ‖f‖ = maxx∈K|f(x)|. Семейство функций Φ = {fλ}λ∈Λ ⊂ C(K)604

предкомпактно ⇐⇒ Φ равномерно ограниченно и равностепенно непрерывно.605


Необходимость. Пусть ϕ предкомпактно. Тогда ϕ вполне ограничено по теореме Хаусдорфа. Зна-607

чит, ограничено в C(K), то есть ∃D > 0, что ∀fλ ∈ Φ: ‖fλ‖ 6 D, то есть ∀fλ ∈ Φ ∀x ∈ K : |fλ(x)| 6 D,608

то есть Φ равномерно ограниченно.609

Теперь покажем, что оно равностепенно непрерывно. Возьмём любое ε > 0 и найдём некоторую610

ε–сеть {gk}nk=1 ∈ C(K) семейства Φ. Так как gk непрерывна на компакте K, то ∃δk > 0 ∀x, x′ ∈ K,611

ρ(x, x′) < δk : |gk(x) − gk(x′)| < ε (gk равномерно непрерывна на K). Положим δ = min16k6n

δk. Тогда612

∀fλ ∈ Φ ∃gk, 1 6 k 6 n, что ‖fλ−gk‖ 6 ε, то есть max |fλ(x)−gk(x)| 6 ε. Тогда ∀x, x′ ∈ K, ρ(x, x′) < δ :613

|fλ(x)− fλ(x′)| 6 |fλ(x)− gk(x)|+ |gk(x)− gk(x′)|+ |gk(x′)− fλ(x′)| < 3ε.614

Достаточность. Пусть Φ равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Построим ε–сеть.615

Возьмём любое ε > 0 и, пользуясь равностепенной непрерывностью найдём такое δ > 0, что616

∀x, x′ ∈ K, ρ(x, x′) 6 δ ∀fλ ∈ Φ: |fλ(x) − fλ(x′)| < ε. Так как K — компакт, то найдётся конеч-617

ная δ–сеть {xk}nk=1. Рассмотрим отображение Φ в Rn (или Cn): fλ −→ (fλ(x1), . . . , fλ(xn)). Так618

как Φ равномерно ограничено, то образ ϕ в Rn (Cn) — ограниченное множество, а, значит, предком-619

пакт в Rn (или Cn). Существует конечная ε–сеть {fm(x1), . . . , fm(xn)}Mm=1, fm ∈ Φ. Тогда ∀fλ ∈ Φ620

∃fm : ρ((fλ(x1), . . . , fλ(xn)), , (fm(x1), . . . , fm(xn))

)< ε, то есть

√n∑k=1

|fλ(xk)− fm(xk)|2 < ε. Значит,621

∀k, 1 6 k 6 n, |fλ(xk) − fm(xk)| < ε. ‖fλ − fm‖ = maxx∈K|fλ(x) − fm(x)|. ∀x ∈ K ∃xk : ρ(x, xk) 6 δ.622

|fλ(x)− fm(x)| 6 |fλ(x)− fλ(xk)|+ |fλ(xk)− fm(xk)|+ |fm(xk)− fm(x)| < 3ε. �623

Следствие 13.1.1. Если fk — последовательность действительных или комплексных функций на624

компакте. которая равномерно ограничена и равностепенно непрерывна, то из неё можно выбрать625

равномерно сходящуюся на K подпоследовательность.626

Степенные ряды.627

Определение. Степенным ряд называется ряд∞∑k=0

ck(z−z0)k, где ck, z0 — комплексные числы, z —628

комплексная переменная. Обозначением z − z0 за w изучение исходного ряда сводится к изучению629∞∑k=0

ckwk.630

Теорема 13.2 (Коши–Адамара). Пусть дан степенной ряд∞∑k=0

ckwk. Тогда существуетR ∈ [0,+∞],631

что ряд сходится абсолютно в круге BR = {w ∈ C : |w| < R} и расходится в точках {w ∈ C : |w| > R}632

и R = 1

limk→∞

k√|Ck

(где 10 = +∞, 1

+∞ = 0). R называют радиусом сходимости, круг BR — кругом схо-633

димости степенного ряда∞∑k=0

ckwk.634

Доказательство. Степенной ряд∞∑k=0

ckwk сходится абсолютно, если lim

k→∞k√|ckwk| < 1 (по крите-635

рию Коши.) limk→∞

k√|ckwk| = |w| · lim

k→∞k√|ck| < 1, то есть |w| < 1

limk→∞

k√|ck|

. Если limk→∞

k√|ckwk| > 1, то636

члены ряда не стремятся к 0 и ряд расходится, то есть ряд расходится при |w| · limk→∞

k√|ck| > 1, или637

при |w| > 1

limk→∞

k√|ck

. �638

23

Замечание. Если существует limk→∞

∣∣∣ ckck+1

∣∣∣, то он равен R— радиусу сходимости.639

Доказательство. По признаку Д’Аламбера если limk→∞

∣∣∣ ckwk

ck+1wk+1

∣∣∣ > 1, то ряд абс. сходится, то есть640

если limk→∞

∣∣∣ ckck+1

∣∣∣ > |w|, то ряд абсолютно сходится. А если limk→∞

∣∣∣ ckck+1

∣∣∣ < 1, то члены ряда не стремятся641

к 0 и ряд расходится, то есть если limk→∞

∣∣∣ ckck+1

∣∣∣ < |w|, то ряд расходится. �642

Теорема 13.3. Пусть дан степенной ряд∞∑k=0

ckzk, R— его радиус сходимости. Если r < R, то ряд643

сходится равномерно на кругеBr(0) = {z ∈ C : |z| 6 r}.644

Доказательство. Ряд∞∑k=0

ckrk сход. абсолютно, то есть сход. ряд

∞∑k=0

|ck|rk. По признаку Вейер-645

штрасса ряд∞∑k=0

ckzk сходится равномерно наBr(0). �646

Следствие 13.3.1. Сумма степенного ряда непрерывна внутри круга сходимости BR(0).647

Доказательство. ∀z, |z| < R найдётся r > 0, то |z| < r < R. Сумма степенного ряда непрерывна648

наBr(0), а значит, непрерывна в точке z. �649

Следствие 13.3.2. Степенной ряд сходится равномерно на любом компакте из круга сходимости650

BR(0).651

Доказательство. BR(0) =∞⋃n=1

BR− 1n

(0), если K— компакт из BR(0), то он имеет конечное подпо-652

крытие этими кругами, а, значит, принадлежит одному из них. То есть, нашли круг, на котором653

сходимость равномерна. Значит, и на компакте всё хорошо. �654

24

Лекция 14 21.10.08655

(перепечатана с конспекта)656

Теорема 14.1. Сумма степенного ряда∞∑k=0

ckzk непрерывна на круге сходимостиBR(0) = {z ∈ C : |z| < R},657

где R— радиус сходимости.658

Теорема 14.2 (Абеля). Если степенной ряд∞∑k=1

ckzk сходится в точке z0, то он сходится абсолютно659

в любой точке z, |z| < |z0| и сходится равномерно на любом кругеBr(0) = {x ∈ C : |z| 6 r}, r < |z0|.660

Теорема 14.3 (о дифференцировании степенного ряда). Пусть дан степенной ряд∞∑k=0

ckzk.661

Тогда почленно продифференцированный степенной ряд∞∑k=1

ckkzk−1 имеет тот же радиус сходи-662

мости, что и начальный ряд, и, если R > 0, то сумма степенного ряда∞∑k=1

ckkzk−1 внутри круга663

сходимости — комплексная производная суммы начального ряда.664

Доказательство. R = 1limk→∞

k√ck

. Радиус сходимости∞∑k=0

ckkzk равен 1

limk→∞

t√k|ck|

= 1

limk→∞

k√k· limk→∞

k√ck

= R.665

Ряды∞∑k=1

ckkxk−1 и

∞∑k=0

ckkzk имеют одинаковый радиус сходимости. Пусть S(z) =

∞∑k=0

ckzk,666

|z0| < R. Возьмём ε > 0: |z0|+ε < R. Пусть z = z0+Δz, |Δz| < R. Тогда S(z)−S(z0) =∞∑k=0

ck(zk−zk0 ).667

Поскольку an − bn = (a − b) ·n−1∑k=0

akbn−k−1, то ΔS = S(z) − S(z0) =∞∑k=1

ck(z − z0)k−1∑m=0

zmzk−m−10 .668 ∣∣∣ k−1∑

m=0zmzk−m−1

0

∣∣∣ 6 k(|z0|+ ε)k−1. ΔSΔz =

∞∑k=1

ckk−1∑m=0

zmzk−m−10 , 0 < |Δz| < ε.669

Ряд∞∑k=1

|ck|k(|z0|+ε

)k−1 сходится (так как |z0|+ε < R), поэтому по признаку Вейерштрасса ряд670

∞∑k=1

ckk−1∑m=0

zmzk−m−10 сходится равномерно. В круге |Δx| = |z − z0| < ε, поэтому lim

Δz→0

ΔfΔz =

∞∑k=1

ck×671

× limΔz→∞

k−1∑m=0

zmzk−m−1 =∞∑k=1

ckkzk−10 . �672

Следствие 14.3.1. Сумма степенного ряда бесконечно дифференцируема внутри круга сходимо-673

сти.674

Теорема 14.4 (об интегрировании степенного ряда). Пусть дан степенной ряд∞∑k=0

ck(z−z0)k675

и [a, b] ⊂ R ∩ BR(z0), где R— радиус сходимости. Тогда ряд интегрируем по Риману на [a; b] и676 ∫ ba

∞∑k=0

ck(z − z0)k dz =∞∑k=0

ck∫ ba

(z − z0)k dz.677

Теорема 14.5 (Абеля). Если степенной ряд∞∑k=0

ckzk сходится в точке z0, то он сходится равно-678

мерно на отрезке [0, z0] = {z : z = tz0, 0 6 t 6 1}.679


ckzk0 сходится, tk на [0; 1] ограничена последовательностью с ограничен-680

ной вариацией, то есть по признаку Абеля ряд∞∑k=0

cktkzk0 сходится равномерно при t ∈ [0; 1]. �681

Следствие 14.5.1. Если степенной ряд∞∑k=0

cktk сходится в точке z0, то lim

t→1−0

∞∑k=0

cktkzk =

∞∑k=0

ckzk0 .682

Далее следует несколько примеров, которые я позволю себе пропустить.683

Теорема 14.6 (единственности). Если степенной ряд∞∑k=0

akzk и

∞∑k=0

bkzk имеют ненулевые ради-684

усы сходимости и их суммы равны ы точках zk −−−−→k→∞

0, zk 6= 0, то ak = bk при всех k = 0, 1, 2, . . ..685

25

Доказательство. a0 = limm→∞

∞∑k=0

anzkm = lim

m→∞

∞∑k=0

bkzkm = b0. Ряды

∞∑k=1

akzk−1 и

∞∑k=1

bkzk−1 совпада-686

ют в точках zm,m = 1, 2, . . ., значит, a1 = b1 и так далее. �687

Теорема 14.7. Степенной ряд∞∑k=0

ckzk с ненулевым радиусом сходимости является рядом Тейлора688

своей суммы.689

Доказательство. S(n)(0) = cn · n!. То есть, cn = S(n)(0)n! . �690

26

Лекция 15 24.10.08691

Определение. Пусть f(x, y) отображает X × Y в R (или в C), Y — подмножество нек. метр. про-692

странства, y0 — предельная точка Y . Если в точке x ∈ X существует предел limY 3y→y0

f(x, y) = g(x),693

то говорят, что в точке x существует предельная функция g(x) (при Y 3 y → y0). Если предел694

существует в каждой точке x ∈ X, то говорят, что f(x, y) поточечно сходится на X к g(x) (при695

Y 3 y → y0).696

Говорят, что f(x, y) равномерно на X стремится к g(x) при Y 3 y → y0, если ∀ε > 0 ∃δ > 0697

∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− g(x)| < ε, или, эквив., supx∈X|f(x, y)− g(x)| −−−−−−→

Y 3y→y00.698

Обозначение: f(x, y)X⇒

Y 3y→y0g(x).699

Функция f(x, y) равномерно сходится при Y 3 y → y0, если ∃g(x) на X, что f(x, y)X

⇒Y 3y→y0

g(x).700

Из равномерной сходимости следует поточечная сходимость. Равномерная сходимость последова-701

тельности является частным случаем: пусть Y = N ⊂ R, ρ(x, y) = arctg |x−y| (или ρ(x, y) = |x−y|1=|x−y| ).702

Все свойства метрики проверяются.703

Теорема 15.1 (Критерий равномерной сходимости).704

f(x, y)X⇒

Y 3y→y0g(x) ⇐⇒ ∀{yn}∞n=1 ⊂ Y \ {y0}, yn −−−−→

x→∞y0 : f(x, y0)

X⇒

n→∞g(x) (напоминает определе-705

ние по Гейне).706

Доказательство. Необходимость. Если f(x, y)X

⇒y→y0

g(x), а yn такая последовательность, что707

yn ∈ Y \{y0}, yn −−−−→n→∞

y0, то ∀δ > 0 ∃N ∀n > N : yn ∈ B′δ(y0)∩Y . Тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ Bδ(y0)∩Y708

∀x : |f(x, y) − g(x)| < ε. Тогда имеем, что ∀ε > 0 ∃N ∀n > N ∀x ∈ X : |f(x, yn) − g(x)| < ε, то есть709

f(x, yn)X

⇒n→∞

g(x).710

Достаточность. Предположим, что утверждение f(x, y)X

⇒y→y0

неверно. Найдём такую последо-711

вательность {yn}, yn ∈ Y \ {y0}, что f(x, y0) не стремится равномерно к g(x). Напишем, что же это712

означает: ∃ε > 0 ∀δ > 0∃y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∃x ∈ X : |f(x, y) − g(x)| > ε. Возьмём последовательность713

δn = 1n и найдём такие yn ∈ B′δn(y0) ∩ Y , xn ∈ X : |f(xn, yn) − g(xn)| > ε. Тогда yn ∈ Y \ {y0},714

yn −−−−→n→∞

y0, а f(x, yn) не стремится равномерно на X к g(x), так как |f(xn, yn)− g(xn)| > ε > 0. �715

Теорема очень полезная: позволяет сводить равномерную сходимость функций к равномерной716

сходимости последовательности.717

Определение. Функция f(x, y) (отобр. X × Y в R или в C, Y — подмножество метрического718

пр-в, y— предельная точка Y ) удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости по X при719

Y 3 y → y0, если ∀ε > 0 ∃δ ∀y, y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− f(x, y′)| < ε.720

Теорема 15.2 (Критерий Коши равномерной сходимости). Функция f(x, y) равномерно по721

x ∈ X сходится при Y 3 y → y0 ⇐⇒ f(x, y) удовлетворяет условию Коши равномерной сходимости722

по x ∈ X при Y 3 y → y0.723

Доказательство. Необходимость. Пусть f(x, y)X

⇒Y 3y→y0

g(x). Тогда ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ B′δ(y0)∩Y724

∀x ∈ X : |f(x, y)− g(x) < ε2 . Тогда ∀y, y′ ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− f(x, y′)| 6 ε.725

Достаточность. Пусть выполнено условие коши равномерной сходимости на X при Y 3 y → y0.726

Тогда ∀x ∈ X выполнено условие Коши существования предела при Y 3 y → y0 f(x, y). Значит,727

этот предел (обозначим его g(x)) существует в каждой точке множества. В силу условия Коши728

равномерной сходимости ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y, y′ ∈ Bdt(yo)∩ Y ∀x ∈ X : |f(x, y)− f(x, y′)| < ε. Перейдём729

к пределу при Y 3 y′ → y0. Тогда ∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y : |f(x, y)− g(x)| 6 ε. �730

Свойства равномерной сходимости.731

1. Если f(x, y)X⇒

Y 3y→y0g(x), X ′ ⊂ X, то f(x, y)

X′

⇒Y 3y→y0

.732

27


Y 3y→y0g(x), ϕ(x) — ограниченная функция на X, то ϕ(x) ·f(x, y)

X⇒

Y 3y→y0ϕ(x) ·g(x).733

Свойство следует из простейшей оценки |ϕ(x)f(x, y)− ϕ(x)g(x)| 6 supX|ϕ| · |f(x, y)− g(x)|.734


Y 3y→y0g(x), h(x, y)

X⇒

Y 3y→y0ψ(x), то f(x, y) ± h(h, y)

X⇒

Y 3y→y0g(x) ± ψ(x). Тоже оче-735

видно.736

Теоремы о перестановке пределов.737

Теорема 15.3. Если f(x, y)X

⇒Y 3y→y0

g(x), X — подмножество метрического пространства, x0 — пре-738

дельная точка X и ∀y ∈ Y ∃ limX3x→x0

f(x, y) = b(y) (∈ R или ∈ C), то ∃ limY 3y→y0

b(y) = limX3x→x0

g(x).739

Доказательство. Возьмём произвольную последовательность yn ∈ Y \ {y0}, yn −−−−→n→∞

y0. Тогда740

f(x, yn)X⇒

n→∞g(x) и ∀n ∈ N ∃ lim

X3x→x0f(x, yn) = b(yn), тогда по теореме о перестановке пределов для741

последовательности существует limn→∞

b(yn) = limX3x→x0

g(x). Так как это верно ∀yn ∈ Y \{y0}, yn → y0,742

то существует limY 3y→y0

b(y) = limX3x→x0

g(x). �743

Следствие 15.3.1. Если f(x, y)X⇒

Y 3y→y0g(x) и все(?) f(x, y) непрерывны в точке x0 ∈ X по множе-744

ству X, то g(x) непрерывна в точке x0 ∈ X по множеству X745

Следствие 15.3.2. Если f(x, y)X

⇒Y 3y→y0

g(x) и все f(x, y) непрерывны на X, то g(x) непрерывна на746

X.747

Теорема 15.4. Если f(x, y), отображающая X × Y в R (или в C) дифференцируема по x при748

каждом y на ограниченном промежутке I и ∂∂xf(x, y) равномерно сходится на I при Y 3 y → y0, а749

f(x, y) сходится хотя бы в одной точке I при Y 3 y → y0, то существует такая дифференцируемая750

на I функция g(x), что f(x, y)I

⇒UY 3y→y0

g(x) и ∂∂xf(x, y)

I

⇒Y 3y→y0

g(x).751

Доказательство. Возьмём произвольную последовательность yn ∈ Y \ {y0}, yn −−−−→n→∞

y0. Тогда752

∂∂xf(x, yn) равномерно сходится при n→∞ на I, а f(x, yn) сходится хотя бы в одной точке I. Тогда753

по аналогичной теореме для последовательности существует такая дифференцируемая функция754

g(x) на I, что f(x, yn)I

⇒n→∞

g(x) и ∂∂xf(x, yn) ⇒

n→∞g′(x). Докажем, что для разных последователь-755

ностей эта функция одна и та же. Если взять последовательность yn ∈ Y \ {y0}, yn −−−−→n→∞

y0,756

y′n ∈ Y \ {y0}, y′n −−−−→n→∞

y0, то последовательность y1, y′1, . . . стремится к y0. По доказанному для757

этой последовательности существует соответствующая функция g(x). Значит, для последовательно-758

сти yn и y′n соответствующая функция g(x) одна и та же. �759

28

Лекция 16 28.10.08760

Теорема 16.1 (об интегрируемости). Пусть f(x, y) отображает [a; b] × Y в R (или в C), Y —761

подмножество метрического пространства, y0 — предельная точка Y , f(x, y)[a;b]

⇒Y 3y→y0

g(x), для любого762

y ∈ Y f(x, y) интегрируема по x на [a, b]в смысле Римана (в смысле Курцвейля–Хенстока). Тогда763

g(x) интегрируема в том же смысле на [a; b] и∫ bag(x) dx = lim

Y 3y→y0

∫ baf(x, y) dx.764

Доказательство. Возьмём любую последовательность yn ∈ Y \{y0}, yn → y0. Тогда f(x, yn)[a,b]

⇒n→∞

g(x),765

по теореме об интегрировании равномерно сходящихся последовательностей функции g(x) интегри-766

руема на [a, b] (по Риману или по Курцвейлю–Хенстоку) и∫ bag(x) dx = lim

n→∞

∫ baf(x, yn) dx. Пользуясь767

определением предела по Гейне, получаем всё, что нужно. То есть,∫ bag(x) dx = lim

Y 3y→y0

∫ baf(x, y) dx.�768

Собственные интегралы с параметром.769

I(y) =∫ b(y)a(y)

f(x, y) dx.770

Теорема 16.2 (о предельном переходе). Пусть f(x, y) отображает [a, b] × Y в R или в C, b(y)771

и a(y) — отображения Y в [A,B] Y — подмножество метрического пространства, y0 — предельная772

точка Y , f(x, y)[A;B]−−−−−−→

Y 3y→y0g(x), lim

Y03y→y0b(y) = b, lim

Y03y→y0a(y) = a. Тогда для любого y ∈ Y f(x, y)773

интегрируема по x на [A,B] по Риману (по К–Х). Тогда g(x) интегрируема в том же смысле на774

[A,B] и limY03y→y0

I(y) = limY03y→y0

∫ b(y)a(y)

f(x, y) dx =∫ bag(x) dx.775

Доказательство.∫ b(y)a(y)

f(x, y) dx =∫ baf(x, y) dx+

∫ aa(y)

f(x, y) dx+∫ b(y)b

f(x, y) dx. Первый интеграл776

по теореме один стремится к∫ bag(x) dx.

∫ aa(y)

=∫ aa(y)

f(x, y)−g(x) dx+∫ aa(y)

g(x) dx. Второй интеграл777

стремится к 0 при Y 3 y → y0 пот теореме о непрерывности интеграла с переменным пределом.778

Разбираемся с первой половиной. ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y ∀x ∈ [A,B] : |f(x, y) − g(x)| < ε.779

∀y ∈ B′δ(y0) ∩ Y∣∣∣∫ aa(y) |f(x, y)− g(x)| dx

∣∣∣ 6 ε(B − A). Значит, первый интеграл тоже стремится к 0.780

То есть, весь интеграл стремится к 0 при Y 3 y → y0. И с другим всё аналогично хорошо. Говорят,781

что всё доказано. �782

Теорема 16.3 (о непрерывности). Пусть f(x, y) — непрерывная функция на [A;B]×Y , Y — ком-783

пакт в Rn, f(x, y) — действительная или комплексная функция, b(y) и a(y) — непрерывные отобра-784

жения Y в [A,B]. Тогда I(y) =∫ b(y)a(y)

f(x, y) dx непрерывна на Y .785

Доказательство. Надо доказать, что ∀y0 — предельной точки Y f(x, y)[A,B]

⇒Y 3y→y0

f(x, y0). [A,B] и786

Y — ограниченные множества, поэтому [A,B]× Y — ограниченное множество в Rn+1. Далее, [A,B]787

и Y — замкнутые множества (в R и в Rn соответственно), поэтому [A,B]×Y — замкнутое множество788

в Rn+1, так как если (x, y) /∈ [A,B]×Y , то либо x, либо y не принадлежат своим множествам. Пусть789

x /∈ [A,B]. Тогда ∃Bδ(x) : Bδ(x) ∩ [A,B] = ε. Тогда Bδ((x, y) ∩ ([A,B] × Y )

)= ∅. Если y /∈ Y , то790

∃Bδ(y) : Bδ(y)∩Y = ∅. Тогда Bdt((x, y)

)∩([a,B]×y) = ∅. Другое, наверное, аналогично. [A,B]×Y —791

компакт в Rn+1.792

Функция f(x, y) непрерывна, а, значит, равномерно непрерывна на [A,B]× Y . Поэтому793

f(x, y)[A;B]−−−−−−→

Y 3y→y0f(x, y0). Вся теорема доказана. �794

Теорема 16.4 (о диф.). Пусть f(x, y) и ∂∂yf(x, y) непрерывны на [A,B] × [C,D], a(y) и b(y) —795

дифференцируемые отображения [C,D] в [A,B]. Тогда I(y) =∫ b(y)a(y)

f(x, y) dx— дифференцируемая796

на [C,D] функция и I ′(y) =∫ b(y)a(y)

∂∂yf(x, y) dx+ f(b(y), y) · b′(y)− f(a(y), y) · a′(y).797

29


ΔI

Δy=I(y0 + Δy)− I(y0)

Δy=

1Δy

(∫ b(y0+Δy)

a(y0+Δy)

f(x, y0 + Δy) dx−∫ b(y0)

a(y0)

f(x, y0) dx

)=

=∫ b(y0)

a(y0)

f(x, y0 + Δy)− f(x, y0)Δy

dx+1

Δy

∫ b(y0+Δy)

b(y0)

f(x, y0) dx+

+1

Δy

∫ b(y0+Δy)

b(y0)

f(x, y0 + Δy)− f(x, y0) dx−

− 1Δy

∫ a(y0+Δy)

a(y0)

f(x, y0) dx− 1Δy

∫ a(y0+Δy)

a(y0)

f(x, y0 + Δy)− f(x, y0) dx = I1 + I2 + I3 − I4 − I5

I1:f(x,y0+Δy)−f(x,y0)

Δy = ∂∂yf(x, y0 + ΘΔy), 0 < Θ < 1, ∂

∂yf(x, y0 + ΘΔy)y0+Δy∈[C,D]

⇒Δy→0

.798

I1 −−−−→Δy→0

∫a(y)b(y) ∂∂yf(x, y) dx.799

I2 = 1Δy

(b(y0+Δy)−b(y0)

)·f(x, y0), где x между b(y0) и b(y0+Δy). Это стремится к b′(y0)·f(b(y0), y0).800

I4 — аналогично.801

|I3| 6∣∣∣ b(y0+Δy)−b(y0)

Δy

∣∣∣ · sup[b(y0),b(y0+Δy)]

|f(x, y0 + Δy)− f(x, y0)|. Первая половина стремится к |b′(y0),802

Вторая — к 0. I3 и I5 стремятся к 0. �803

30

Лекция 17 31.10.08804

Теорема 17.1 (об интегрировании собств. интеграла с параметром). Пусть f(x, y) непр. на805

[A,B]× [C,D]. Тогда∫ BAf(x, y) dx интегрируема по Риману на [C,D],

∫DCf(x, y) dy интернируем по806

Риману на [A,B] и807 ∫ D

C

∫ B

A

f(x, y) dxdy =∫ B

A

∫ D

C

f(x, y) dydxs.808

Доказательство. Из непрерывности следует интегрируемость. Осталось доказать равенство инте-809

гралов. F (x, y) =∫ xAf(t, y) dt, A 6 x 6 B. ∂

∂xF (x, y) = f(x, y), A 6 x 6 B. Опять же из-за непрерыв-810

ности можем воспользоваться теоремой о дифференцировании. ∂∂x

∫DCF (x, y) dy =

∫DC

∂∂xF (x, y) dy =811

=∫DCf(x, y) dy.

∫DCF (x, y) dy— первообразная

∫DCf(x, y) dy. Поэтому

∫ BA

∫DCf(x, y) dydx =

∫DCF (B, y) dy−812

−∫DCF (A, y) dy =

∫DC

∫ BAf(t, y) dtdy − 0. �813

Перейдём к несобственным интегралам с параметром.814

Несобственные интегралы с параметром.815

Будем рассматривать∫[a,b)

f(x, y)dx, где a ∈ R, b ∈ R, a 6 b, f(x, y) определена на [a, b) × Y ,816

интеграл — несобственный интеграл Римана или Курцвейля–Хенстока.817

Определение. Несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx сходится на множестве Y ,если он сходится в [a, b) в каждой точке y ∈ Y , несобственный интеграл с параметром

∫[a,b)

f(x, y) dxсходится равномерно на Y , если он сходится на Y и

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀b′ ∈ B′δ(v) ∩ [a, b) ∀y ∈ Y :

∣∣∣∣∣∫ b′

a

f(x, y) dx−∫

[a,b)

f(x, y) dx

∣∣∣∣∣ < ε

или, эквивалентно,

∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∀b′ ∈ [a, b) ∀b′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y :

∣∣∣∣∣∫ b′

a

f(x, y) dx−∫

[a,b)

f(x, y) dx

∣∣∣∣∣ < ε.

Определение. Несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx удовлетворяет условию Ко-818

ши равномерной сходимости на Y , если f(x, y) интегрируема (в одном из смыслов) на любом отрезке819

[a, b] ⊂ [a, b) при каждом y ∈ Y и ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀b′, b′′ ⊂ B′δ(b)∩[a, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′a f(x, y) dx−

∫ b′′af(x, y) dx

∣∣∣ =820

=∣∣∣∫ b′b′′ f(x, y) dx

∣∣∣ < ε. Или, эквив., ∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∀b′, b′′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′a f(x, y) dx−

∫ b′′af(x, y) dx

∣∣∣ =821

=∣∣∣∫ b′b′′ f(x, y) dx

∣∣∣ < ε.822

Теорема 17.2 (критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла с параметром).823

Несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx сходится равномерно на Y ⇐⇒ он удовлетво-824

ряет условию Коши равномерной сходимости на Y .825

Доказательство. Давайте введём F (b′, y) =∫ b′af(x, y) dx, a 6 b′ < b. Тогда равномерная сходи-826

мость несобственного интеграла с параметром на Y эквивалентна F (b′, y)Y

⇒b′→b−0

F (b, y) =∫[a,b)

f(x, y) dx.827

По критерию Коши равномерной сходимости функции это эквивалентно условию условию Коши828

равномерной сходимости функции ∀ε > 0∃δ > 0 ∀b′, b′′ ∈ B′δ(b)∩[a, b) ∀y ∈ Y : |f(b′, y)− f(b′′, y)| < ε.829

Так что ничего тут особо хитрого нет. �830

Теорема 17.3. Если несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx сходится равномерно на831

Y , Y ′ ⊂ Y , то 1) он сходится равномерно на Y ′ и 2) для любой ограниченной на Y функции ϕ(y)832

несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y)ϕ(y) dx сходится равномерно на Y , 3) если ещё и833

несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

g(x, y) dx сходится равномерно на Y , то равномерно на834

Y сходится интеграл∫[a,b)

f(x, y)± g(x, y) dx.835

Доказательство. Всё очень просто. Равномерная сходимость∫[a,b)

f(x, y) dx— это равномерная836

сходимость на Y функции F ′(b′, y) =∫ b′af(x, y) dx при b′ → b−0. Ну а для таких функций мы знаем837

про сходимость на подмножестве, про сумму и про произведение. Поэтому утверждение теоремы838

очевидно. �839

31

Признаки равномерной сходимости.840

1 (Вейерштрасса). Если f(x, y) при любом y ∈ Y интегрируема по Риману или по Курцвейлю–Хен-841

стоку на любом [a, b′] ⊂ [a, b) и |f(x, y)| 6 ϕ(x), где несобственный интеграл∫[a,b)

ϕ(x) dx существует842

(в любом из двух смыслов), то несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx сходится рав-843

номерно на Y .844

Доказательство. Из оценки ∀b′, b′′ ∈ [a, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′′b′ f(x, y) dx

∣∣∣ 6 ∣∣∣∫ b′′b′ ϕ(x) dx∣∣∣ и условия845

Коши сходимости несобственного интеграла∫[a,b)

ϕ(x) dx выполняется условие Коши равномер-846

ной сходимости на Y несобственного интеграла с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx.∣∣∣∫ b′′b′ f(x, y) dx

∣∣∣ 6847

6∣∣∣∫ b′′b′ |f(x, y)| dx

∣∣∣ 6 ∣∣∣∫ b′′b′ ϕ(x) dx∣∣∣, b′ 6 b′′. �848

2 (Дини). Пусть несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx существует для y ∈ K—849

компакту в некотором метрическом пространстве и является непрерывной функцией наK. ∀b′ ∈ [a, b)850 ∫ b′af(x, y) dx также непрерывная функция на K, ∀y ∈ K функция f(x, y) одного знака на K (неот-851

рицательна или неположительна). Тогда несобственный интеграл с параметром∫[a,b)

f(x, y) dx схо-852

дится равномерно на K.853

Доказательство. Пусть ϕ(s, y) =∫[a,b)

f(x, y) dx −∫ saf(x, y)dx =

∫[s,b)

f(x, y) dx, a 6 s 6 b. До-854

кажем, что ϕ(s, y)K⇒

x→b−00. Для любого y ∈ K ϕ(s, y) монотонна по S и ϕ(s, y) стремится к 0 при855

s→ b− 0. ϕ(s, y) непрерывна на K при каждом s ∈ [a, b) (следует из непрерывности несобственного856

интеграла и непрерывности каждого собственного интеграла). ∀ε > 0 определим Fs = {y ∈ K : |ϕ(s, y)| >857

> ε}— замкнутое подмножество K, если s < s′, то FS ⊃ Fs′ и⋂

a6s6bFs = ∅, M \ Fs, где M —858

метрическое пространство, открыты,⋃

a6s<b(M \ Fs) = M ⊃ K. Существует конечное подпокрытие859

множествами M \ Fs, выбрав из него наибольшее множество Fs, получим, что M \ Fs ⊃ K. Значит,860

Fs пусто. То есть, |ϕ(s, y)| < ε на K, для s ∈ (s, b) также |ϕ(s, y)| < ε. Значит, ϕ(s, y)K⇒

s→b−00. �861

32

Лекция 18 07.11.08862

На прошлой лекции мы рассматривали признаки равномерной сходимости собственных интегра-863

лов с параметром. Осталось два признака:864

3 (Признак Абеля).865

Пусть несобственный интеграл (Римана или Курцвейля–Хенстока)∫[a,b)

f(x, y) dx сходится рав-866

номерно на Y , а v(x, y) — такая функция на [a, b) × Y , что v(x, y) и Varx∈[a,b)

v(x, y) ограничены на Y .867

Тогда несобственный интеграл∫[a,b)

u(x, y)v(x, y) dx сходится равномерно на Y .868

4 (Признак Дирихле).869

Пусть интегралы∫[a,b′]

u(x, y)(Римана или Курцвейля–Хенстока) равномерно ограничены для870

b′ ∈ [a, b), y ∈ Y , а v(x, y) ∀y ∈ Y ограниченной вариации на [a, b) и v(x, y)Y

⇒x→b−0

0, Var[b′,b]

v(x, y)Y

⇒b′→b−0

.871

Тогда несобственный интеграл∫[a,b)

u(x, y) · v(x, y) dx сходится равномерно на Y .872

Доказательство. Доказываем единственным возможным способом — проверяем критерий Коши.873

Пусть a 6 b′ 6 b′′ < b. Тогда∫ b′′b′u(x, y)·v(x, y) dx = (R – S)

∫ b′′b′v(x, y) dU(x, u), U(x, y) =

∫ xb′u(t, y) dt.874

Проинтегрируем по частям:∫ b′′b′u(x, y)v(x, y) dx = v(b′′, y)U(b′′, y)−

∫ b′′b′U(x, y) dv(x, y). Теперь оцен-875

ки отдельно для признаков:876

Признак Абеля.∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx

∣∣∣ 6 supb′′∈[a,b)

|v(b′′, y)|·|U(b′′, y)|+ supx∈[b′,b′′]

|U(x, y)|· Var[b′,b′′]

v(x, y) 6877

6

(|v(a, y)|+ 2 Var

[a,b]v(x, y)

)· supx∈[b′,b′′]

|U(x, y)| (по-моему, небольшой бред с v(a, y)... ну да ладно). Так878

как несобственный интеграл∫[a,b)

u(x, y) dx сходится равномерно на Y , то ∀ε > 0 ∃b ∈ [a, b) ∀b′, b′′ ∈ [b, b]879

∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y) dx

∣∣∣ < ε. Тогда ∀b′, b′′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y :∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx

∣∣∣ < Cε, где C =880

= supy∈Y|v(a, y)|+ 2 sup

y∈YVar[a,b)

v(x, y). Выполнен критерий Коши.881

Признак Дирихле.∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx

∣∣∣ 6 2 supa6b′<b

∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣·|v(b′′, y)|+2 sup

a6b′<b

∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣×882

× Var[b′,b′′]

v(x, y) = 2 supa6b′<b

∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣·(|v(b′′, y)|+ Var

[b′,b′′]v(x, y)

). Теперь: ∀ε > 0 ∃b ∀b′ ∈ (b, b) ∀y ∈ Y883

: |v(b′, y)| < ε и Var[b′, b)v(x, y) < ε. Тогда ∀b′, b′′ ∈ [b, b) ∀y ∈ Y :

∣∣∣∫ b′′b′ u(x, y)v(x, y) dx∣∣∣ < Cε, где884

C = 4 supa6b′<b,y∈Y

∣∣∣∫ b′a u(x, y) dx∣∣∣. Выполнен критерий Коши равномерной сходимости всего, чего нам885

нужно. Признак "Д"доказан. �886

Теорема 18.1 (О перестановке несобственного интеграла и предела). Пусть несобственный887

интеграл∫[a,b)

f(x, y) dx сходится равномерно на Y , y0 — предельная точка Y (в некотором метри-888

ческом пространстве), ∀b′ ∈ [a, b) f(x, y)[a,b′]

⇒Y 3y→y0

g(x). Тогда существует несобственный интеграл889 ∫[a,b)

g(x) dx = limY 3y→y0

∫[a,b)

f(x, y) dx (несобственный интеграл всюду или Римана, или Курцвейля–Хен-890

стока).891

Доказательство. Рассмотрим Iz(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b. Тогда Iz(y) −−−−−−→

Y 3y→y0

∫ zag(x) dx,892

a 6 z < b (теорема о переходе к пределу собственного интеграла с параметром). С другой сто-893

роны, Iz(x)Y⇒

z→b−0

∫[a,b)

f(x, y) dx. Для равномерно сходящихся функций есть теорема о переста-894

новке пределов. Можно написать, что limz→b−0

limY 3y→y0

Iz(y) = limY 3ytoy0

limz→b−0

Iz(y). Это означает, что895 ∫[a,b)

g(x) dx = limY 3y→y0

∫[a,b)

f(x, y) dx, что и требовалось в этой теореме. �896

Теорема 18.2 (О непрерывности несобственного интеграла с параметром). Пусть функция897

f(x, y) непрерывна на [a, b)×Y , Y — компакт в Rn. Пусть также несобственный интеграл I(y) =∫[a,b)

f(x, y) dx898

сходится равномерно на Y . Тогда I(y) — непрерывная функция на Y (вообще-то, Rn здесь немного899

лишнее, но так проще).900

33

Доказательство. Рассмотрим Iz(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b. Тогда ∀z ∈ [a, b) Iz(y) непрерывна на901

Y (по теореме о непрерывности собственного интеграла с параметром). Iz(y)Y⇒

z→b−0I(y) =

∫[a,b)

f(x, y) dx,902

I(y) — непрерывная функция на Y как равномерный предел непрерывных функций. �903

Теорема 18.3 (о перестановке несобственного интеграла и дифференцирования). Пусть904

f(x, y) и ∂∂yf(x, y) непрерывны на [a, b)× J , где J — ограниченный промежуток. Также несобствен-905

ный интеграл∫[a,b)

f(x, y) dx сходится хотя бы в одной точке J , а несобственный интеграл∫[a,b)

∂∂yf(x, y) dx906

сходится равномерно на J . Тогда несобственный интеграл I(y) =∫[a,b)

f(x, y) dx сходится равномер-907

но на J и дифференцируем на J . К тому же I ′(y) =∫[a,b)

∂∂yf(x, y) dx.908

Доказательство. Рассмотрим Iz(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b. Для него выполнено, что ∂

∂yTz(y) =909

=∫ za

∂∂yf(x, y) dx, a 6 z < b. ∂

∂y Iz(y)J

⇒z→b−0

∫[a,b)

∂∂yf(x, y) dx, Iz(y) имеет предел при z → b−0 хотя бы910

в одной точке y ∈ J . Тогда по теореме о перестановке предела и дифференцирования для функций911

существует дифференцируемая на J функция g(x) такая, что Iz(y)J⇒

z→b−0g(y), а ∂

∂y Iz(y)J⇒

z→b−0g′(y).912

Посмотрим на смысл всего происходящего: g(y) =∫[a,b)

f(x, y) dx, g′(y) =∫[a,b)

∂∂yf(x, y) dx. Теорема913

оказалась доказанной. �914

34

Лекция 19 11.11.08915

Теорема 19.1 (о собств. инт. несобств. инт.). Пусть несобственный интеграл∫[a,b)

f(x, y) dx схо-916

дится равномерно на отрезке [c, d], f(x, y) непрерывна на [a, b) × [c, d]. Тогда существует интеграл917

Римана∫ dc

∫[a,b)

f(x, y) dxdy =∫[a,b)

∫ dcf(x, y) dydx.918

Доказательство. FZ(y) =∫ zaf(x, y) dx, a 6 z < b, при фиксированном z это непрерывная функ-919

ция по y, intdcFz(y) dy =∫ za

∫ dbf(x, y) dydx. Так как Fz(y)

[c,d]

⇒z→b−0

∫[a,b)

f(x, y) dx, то по теореме о пе-920

рестановке предела и интеграла для равномерной сходимости функций (R)∫ dc

∫[a,b)

f(x, y) dxdy =921

= limz→b−0

∫ dcF2(y) dy = lim

z→b−0

∫ za

∫ dcf(x, y) dydx. �922

Теорема 19.2 (о несобственном интегрировании несобственного интеграла). Пусть f(x, y)923

непрерывности на [a, b)×[c, d), на любом [c, d′] ⊂ [c, d) несобственный интеграл∫[a,b)

f(x, y) dx сходит-924

ся равномерно, на любом [a, b′] ⊂ [a, b) несобственный интеграл∫[c,d)

f(x, y) dy сходится равномерно,925

существует хотя бы один из повторных интегралов∫[c,d)

∫[a,b)

f(x, y) dxdy,∫[a,b)

∫[c,d)

dydx. Тогда они926

равны.927

Доказательство. Пусть существует∫[c,d)

∫[a,b)|f(x, y)| dxdy. Пусть Fz(y) =

∫ zaf(x, y) dx, a < z < b.928

По теореме 1∫[c,d)

Fz(y) dy =∫ za

∫[c,d)

f(x, y) dydx. Так как |Fz(y)| 6∫ za|f(x, y)| dx 6

∫[a,b)|f(x, y)| dx,929

существует∫[c,d)

∫[a,b)|f(x, y)| dx dy, то по принципу Вейерштрасса несобственный интеграл

∫[c,d)

Fz(y) dy930

сходится равномерно по z ∈ [a, b).931

Именно поэтому существует limz→b−0

∫[c,d)

Fz(y) dy =∫[c,d)

limz→b−0

Fz(y) dy =∫[c,d)

∫[a,b)

f(x, y) dxdy =932

= limz→b−0

∫ za

∫[c,d)

f(x, y) dydx =∫[a,b)

∫[c,d)

f(x, y) dydx. �933

Интеграл Дирихле.∫∞0

sin xx dx = π

2 .934

Существование следует немедленно из признака Дирихле. Рассмотрим I(y) =∫∞0

sin xx · e

−yx dx,935

y > 0. Сходимость равномерная по признаку Абеля. Диф. на (0,+∞) и I ′(y) = −∫∞0

sinx · e−yx dx.936

−∫∞0

sinx·e−yx dx существует по признаку Вейерштрасса, sinx·y−yx.−∫∞0

sinx·e−yx dx =∫∞0e−yx d cosx =937

= cosx·e−yx∣∣∣∞0

+y∫∞0

cosx·e−yx dx = −1+y∫∞0y−yx dx = −1+y ·sinx·e−yx

∣∣∣∞0

+y2∫∞0

sinx·e−yx dx =938

= −1 + y2∫∞0

sinx · e−yx dx ·∫∞0

sinx · e−yx dx = 11+y2 = −I ′(y), I(y) = arctg y + C.939

|I(y)| 6∫∞0e−yx dx = 1

y

∫∞0e−z dz = 1

y −−−→y→∞0. 0 = −π2 + C, то есть C = π

2 . I(y) непрерывно на940

[0,+∞), I(0) = limy→+0

I(y) = π2 .941

Посмотрим на∫∞0

sinαxx dx. Он равен π

2 при α > 0, 0 при α = 0, −π2 при α < 0. А теперь942 ∫∞0

sinαxx · cosβx dx. Он равен π

2 при α > β > 0, 0 при 0 < α < βα, π4 при α < β > 0.943

Надо дописать эту лекцию. Как-то сегодня не идёт. ♠.944

Далее дописано с конспекта.945

Интеграл Фрулани.946

∫ ∞0

f(ax)− f(bx)x

dx947

Если f непрерывна на [0,+∞) и существует limx→+∞

f(x) = f + (∞), то∫∞a

f(ax)−f(bx)x dx =948

= (f(0)− f(∞)) ln ba .949

Доказательство.∫Δ

δf(ax)−f(bx)

x dx =(∫ aΔ

aδ−∫ bΔbδ

)f(t)t dt =

(∫ bδaδ−∫ bΔaΔ

)f(t)t dt = f(ξ) ln b

a−f(ζ) ln ba ,950

ab < ξ < bδ, a∆ < ζ < b∆. при δ → 0, а ∆→ +∞ интеграл стремится к (f(0)− f(+∞)) · ln ba . �951

35

Лекция 20 11.11.08952

(с конспекта)953

Гамма–функция Эйлера954

Γ(s) =∫∞0xs−1e−x dx.955

Она интегрируема в правой окрестности 0 при s > 0. ∀s интегрируема в окрестности точки956

+∞ (так как xs−1 · e−εx −−−−→x→∞

0 ∀ε > 0). Функция Γ(s) определена на (0,+∞). На любом отрезке957

[a; b] ⊂ (0,+∞) интеграл сходится равномерно по признаку Вейерштрасса. При x ∈ (0, 1] 0 6 xs−1,958

e−x 6 xs−1 6 xa−1, поэтому интеграл∫ 1

0xs−1 · e−x dx сходится на [a, b] равномерно. При x > 1 0 6959

6 xs−1 · e−x 6 max{xa−1, xb−1} · e−x, поэтому интеграл∫∞1xs−1e−x dx сходится на [a, b] равномерно.960

Значит, Γ(s) непрерывна на (0; +∞). Также она дифференцируема на любом отрезке [a, b] ⊂ (0,+∞),961

а значит и на (0,+∞) и Γ′(s) =∫∞0xs−1e−x lnx dx. Аналогично, Γ′(s) дифференцируема на любом962

отрезке [a, b] ⊂ (0,+∞), а значит, на (0,+∞) и Γ′′(s) =∫∞0xs−1e−x ln2 x dx. Функция Γ(s) бесконечно963

дифференцируема на (0,+∞) и Γ(n)(s) =∫∞0xs−1e−x lnn x dx.964

Теорема 20.1. Γ(s) = limn→∞

(n−1)!s(s+1)···(s+n−1)n

s = limn→∞

n!s(s+1)···(s+n) (n+ 1)s965

Доказательство. Из выпуклости ex вниз следует, 1 +x 6 ex на R. Значит, 1−x 6 e−x 6 11+x . Для966

n ∈ N, x ∈ R 1− tn 6 e−

tn 6 (1 + t

n )−1, n ∈ N, 0 6 t 6 n. 0 6 e−t −(1− t

n

)n = e−t(1− et

(1− t

n

)n).967

Так как 1 = tn 6 e

tn , то

(1 + t

n

)n6 et. Значит, e−t

(1− et

(1− t

n

)n)6 e−t

(1−

(1 + t

n

)n (1− tn

)n) =968

= e−t(

1−(

1− t2

n2

)n)6 e−t

(1−

(1− t2

n

))= e−t t

2

n .969

Значит. 0 6∫ n0xs−1

(e−x −

(1− x

n

)n)dx 6

∫ n0xs−1e−x x

2

n dx 6 1n

∫∞0xs+1·e−x dx 6 Γ(s+2)

n −−−−→n→∞

0.970

Γ(s) = limn→∞

∫ n0xs−1

(1− x

n

)ndx.

∫ n0xs−1

(1− x

n

)ndx =

(сделаем замену t = x

n

)=∫ 1

0nsts−1(1−t)n dt =971

= ns∫ 1

0ts−1(1−t)n dt. Посчитаем

∫ 1

0ts−1(1−t)n dt = 1

s

∫ 1

0(1−t)n dts = 1

s (1−t)nts∣∣∣10+ 1s

∫ 1

0ts(1−t)n−1 dt =972

= ns

∫ 1

0ts(1−t)n−1 dt. Значит, ns

∫ 1

0ts−1(1−t)n dt = ns · n(n−1)

s(s+1)

∫ 1

0ts+1(1−t)n−2 dt = ns n!

s(s+1)···(s+n−1)×973

×∫ 1

0ts+n−1 dt = ns · n!

s(s+1)···(s+n) = (n−1)!s(s+1)···(s+n−1) · n

s · ns+n . �974

36

Лекция 21 14.11.08975

Γ(s) =1s

∞∏x=1

(1 + 1

k

)s1 + s

k

= limn→∞

n!s(s+ 1) · · · (s+ n)

(n+ 1)s976

Произведение сходится на Rn \ {0,−1,−2, . . . , }977

Γ(s) =∫ ∞

0

ss−1e−x dx при s > 0978

Теорема 21.1. Для s ∈ R \ {−,−1,−2, . . .} Γ(s+ 1) = s · Γ(s).979

Доказательство. Γ(s + 1) = limn→∞

n!(s+1)···(s+n+1) (n + 1)s+1 = lim

n→∞s · n!

s(s+1)···(s+n) (n + 1)s · n+1a+n+1 =980

= s · limn→∞

n!s(s+1)···(s+n) = sΓ(s). �981

Так как Γ(1) = 1, то из теоремы 1 следует, что ∀n ∈ N Γ(n+ 1) = n!.982

Следствие 21.1.1. Γ(1− s) = −sΓ(−s) для s ∈ R \ {0, 1, . . .}.983

Теорема 21.2. Γ(s) · Γ(1− s) = πsinπs для s ∈ R \ Z.984

Доказательство. Γ(s) ·Γ(1− s) = −s ·Γ(s) ·Γ(−s) = −s · 1s∞∏k=1

(1+ 1k )s

1+ sk· 1−s

∞∏k=1

(1+ 1k )−s

1− sk= 1

s

∞∏k=1

1

1− s2k2

.985

Так как sinx = x∞∏k=1

(1− x2

π2k2

), то и получаем нужное тождество. �986

Следствие 21.2.1. Γ( 12 ) =

√π.987

Следствие 21.2.2.∫∞0e−x

2dx =

√π

2 .988

Доказательство. Давайте посмотрим. Γ( 12 ) =

∫∞0

1√xe−x = 2

∫∞0e−t

2dt =

√π. �989

Бета–функция Эйлера990

.991

B(p, q) =∫ 1

0xp−1(1 − x)q−1 dx. У этой функции при p < 1 есть особенность в 0. Поскольку в992

окрестности нуля эта функция эквивалентна xp−1, то есть интеграл существует в правой окрестно-993

сти 0 при p > 0. Аналогично: при q > 0 интеграл существует в левой окрестности 1. По какой-то994

там теореме эта функция непрерывно дифференцируема, и вообще можно выяснить кучу замеча-995

тельных и интересных свойств. Пока мы достойны отметить только одно из них:996

Свойство. B(p+ 1, q) = pp+qB(p, q), p, q > 0.997

Доказательство. Проверим это.B(p+1, q) =∫

01xp(1−x)q−1 dx = −1q

∫01xp d(1−x)q = −1

q xp(1−x)q

∣∣∣10+998

+ pq

∫01(1− x)qxp−1 dx = p

q

∫01(1− x)q−1xp−1 dx− p

q

∫01(1− x)q−1xp dx = p

qB(p, q)− pqB(p+ 1, q).�999

Ещё свойства. B(p, q) = B(q, p), B(p, q) = 0∞

tp

(1+t)p+q−1 dt.1000

Доказательство. Пусть t = x1 − x, то есть x = t

t+1 . Тогда B(p, q) =∫

01 tp−1

(1+t)p−1 · 1(1+t)q−1

dt(1+t)2 =1001

=∫∞0

tp−1(1+t)p+q . �1002

Теорема 21.3. B(p, q) = Γ(p)·Γ(q)Γ(p+q) , p, q > 0.1003

Доказательство. Рассмотрим p > 1, q > 1. Γ(p + q) =∫∞0xp+q−1e−x dx. Пусть x = (1 + v) · u,1004

u, v > 0. Тогда Γ(p + q) = (1 + v)p+q∫

0∞up+q−1e−(1+v)u du, p(p+q)(1+v)p+q =

∫0∞up+q−1e−u · e−vu du.1005

Γ(p+q)·B(p, q) = Γ(p+q)∫∞0

vp−1

(1+v)p+q dv =∫

0∞ Γ(p+q)(1+v)p+q ·v

p−1 dv =∫∞0

∫∞0up+q−1 ·vp−1e−ue−v dudv =1006

=∫∞0

∫∞0up+q−1·vp−1e−ue−v dvdu =

∫∞0uq−1e−u

∫∞0

(uv)p−1e−vu dvudu =∫∞0uq−1e−u

∫∞0tp−1e−t dtdu =1007

= Γ(p)∫∞0uq−1e−u du = Γ(p) · Γ(q).1008

Теперь Тарасу Павловичу надо обосновать перемену порядка интегрирования. Конечно же, по-1009

динтегральная функция непрерывна. И вообще все хорошо, но докажем равномерную сходимость.1010

37

∫∞0up+q−1 · vp−1 · e−u · e−vu du сходится равномерно при v ∈ [0, a] по признаку Вейерштрасса:1011

|up+q+1 · vp−1e−ue−vu| 6 ap−1 · up+q−1·e−u .1012

int∞0 up+q−1vp−1e−ue−vu dv = uqe−u

∫∞0

(uv)p−1e−uv d(uv) сходится равномерно при a ∈ [0, b] по1013

признаку Дини.1014

Для p, q > 1 формула доказана. Теперь сводим нужный нам (p, q > 0) случай сводим к уже1015

доказанному. Сводим:1016

B(p, q) = p+qp B(p + 1, q) = p+q

p B(q, p + 1) = p+qp ·

p+q+1q B(q + 1, p + 1). Можно воспользоваться1017

уже доказанной формулой и получить, что B(p, q) = p+qp ·

p+q+1q · Γ(p+1)Γ(q+1)

Γ(p+q+2) = Γ(p)·Γ(q)Γ(p+q) . �1018

38

Лекция 22 18.11.081019

На прошлой лекции мы изучали Γ и B функции. Одну формулу мы забыли.1020

Формула Стирлинга.1021

Γ(s+ 1) =√

2πs · ss · e−s(

1 +ω√s

), где −1 6 ω 6 1, s > 01022

Доказательство. Для этого воспользуемся интегральным представлением Γ(s+1) =∫∞0xse−x dx.1023

Давайте возьмём производную (xs · e−s)′ = (s · xs−1 − xs) · e−x = (s − x)xs−1e−x, поэтому xs · e−x1024

строго возрастает на [0, s] и строго убывает на [s,+∞). Сделаем замену x = s(t + 1). Γ(s + 1) =1025

=∫∞−1ss(t + 1)se−se−std dt = ss+1e−s

∫∞−1e−st+s ln(1+t) dt. Сделаем ещё одну замену переменной.1026

−st + s ln(1 + t) = − su2

2 , где t и u одинакового знака. Вообще-то странно. . . Далее: Γ(s + 1) =1027

= ss+1·e−s∫∞−∞ e

−su22 dt

du du. Сократим на s и продифференцируем полученное равенство: (t−ln(1+t)) =1028

= u2

2 ⇒ t′− t′

1+t = u, t′ = u · 1+tt = u(

1t + 1

). t− ln(1+ t) =(раскладываем по формуле Тейлора с оста-1029

точным членом в форме Лагранжа)= t−t+ 1(1+th t)2 ·

t2

2 . 1(1+th t)2 ·

t2

2 = u2

2 ⇒ u = t1+th t , где 0 < th < 1.1030

u+u th t = t, откуда ut = 1− thu.

∫∞−∞ e

−su22 (1− thu) du =

∫∞−∞ e−

su22 du+

∫∞−∞ e−

su22 (1− th)u du, где1031

0 < 1−th < 1. Считаем первый интеграл: I1 =∫∞−∞ e−

su22 du. Замена: x =

√s2u, I1 =

√2s

∫∞−∞ e−x

2dx =1032

=√

2s · 2

∫∞0e−x

2=√

2s · 2 ·

√π

2 =√

2πs . I2 =

∫∞−∞ e−

su22 (1 − th)u du, |I2| 6 2

∫∞0e−

su22 u du =1033

=∫∞0e−

su22 du2 =

∫∞0e−

s2 t dt = − 2

se− s2 t∣∣∣∞0

= 2s . Γ(s + 1) = ss+1e−s

(√2πs + 2ν

s

), −1 6 ν 6 1.1034

Γ(s + 1) =√

2πs · ss · e−s(

1 +√

2π ·

ν√s

). Кстати, не самая лучшая оценка — может быть не ω√

s, а1035

O( 1s ). �1036

Определение. Пространством со скалярным произведением (предгильбертовым) называется ли-1037

нейное пространство L на полем R или C со скалярным произведением (x, y) : L2 → R(или C соот-1038

ветственно), со следующими свойствами:1039

1. (x, x) > 0 и (x, x) = 0⇔ x = 0 (z ∈ C, z > 0⇔ |z| = z).1040

2. Для любого α ∈ R(∈ C) и любых x, y ∈ L : (αx, y) = α(x, y).1041

3. Для любых x1, x2, y ∈ L : (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y).1042

4. Для любых x, y ∈ L : (x, y) =(y, x).1043

Простейшие примеры:1044

• Rn : ( #»x , #»y ) =n∑i=1

xiyi.1045

• Cn : ( #»x , #»y ) =n∑i=1

xjyj .1046

Свойства1047

• Для любого α ∈ R (∈ C) и любых x, y ∈ L : (x, αy) =α(x, y). (x, αy) =(αy, x) =α(x, y).1048

• (x, y1 + y2) = (x, y1) + (x, y2). Тоже простейшее.1049

Неравенство Коши–Буняковского1050

Для любых x, y ∈ L : |(x, y)|2 6 (x, x) · (y, y), причём равенство имеет место тогда и только тогда,1051

когда x и y линейно зависимы.1052

39

Доказательство. Случай 1. (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0. Тогда (x, y) = 0 и неравенство превращается в1053

равенство, x и y линейно зависимы.1054

Случай 2. (x, x) > 0. Тогда рассмотрим скалярное произведение (αx + (x, y)y, αx + (x, y)y) > 0.1055

Пусть α ∈ R, (αx + (x, y)y, αx + (x, y)y) = (x, x)α2 + (x, y)(y, x)α +(x, y)(x, y)α + (x, y)(x, y)(y, y) =1056

= (x, x)α2 + 2|(x, y)|2α+ |(x, y)|2(y, y) > 0. Значит, его D = 4|(x, y)|4 − 4(x, x)|(x, y)|2(y, y) 6 0. Если1057

|(x, y)| = 0, то неравенство верно. Если |(x, y)| > 0, то |(x, y)|2 − (x, x)(y, y) 6 0. Если неравенство1058

Коши–Буняковского превращается в равенство, то D = 0 и квадратный трёхчлен имеет корень1059

α0 : (α0x + (x, y)y, α0x + (x, y)y) = 0, то есть α0x(x, y)y = 0, то есть x и y линейно зависимы, если1060

α20 + |(x, y)|2 6= 0. Если (x, y) = 0 и в неравенстве Коши–Буняковского имеет место равенство, то1061

или x = 0, или y = 0, тогда x и y линейно зависимы. То, что для линейно зависимых всё правильно,1062

посчитаем очевидным и опустим. �1063

Введём ‖x‖ =√

(x, x).1064

Свойства:1065

1. ‖x‖ > 0 и ‖x‖ = 0⇔ x = 0.1066

2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖.1067

3. ‖x+ y‖ 6 ‖x‖+ ‖y‖.1068

40

Лекция 23 18.11.081069

Мы выяснили, что пространство со скалярным произведением является нормированным (с со-1070

ответствующей нормой) и, значит, метрическое.1071

Определение. Полное пространство со скалярным произведением называется гильбертовым про-1072

странством.1073

Определение. Элементы (вектора) x, y предгильбертова пространства ортогональны, если (x, y) = 0.1074

Система {eλ}λ∈Λ в предгильбертовом пространстве называется ортогональной, если ∀λ ∈ Λ1075

eλ 6= 0 и ∀α, β ∈ Λ, α 6= β, (eα, eβ) = 0.1076

Система {eλ}λ∈Λ в предгильбертовом пространстве называется нормированной, если ∀λ ∈ Λ1077

‖eλ‖ = 1.1078

Ортогональная и нормированная система называется ортонормированной.1079

Определение. Если {eλ}λ∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве L, x—1080

элемент L, то x(λ) = xλ = (x,eλ)(eλ,eλ) = (x,eλ)

‖eλ‖2 — коэфицент Фурье элемента x по системе {eλ}λ∈Λ.1081

Теорема 23.1 (экстремальное свойство коэф. Фурье). Если {eλ}λ∈Λ — ортогональная систе-1082

ма в предгильбертовом пространстве L, то ∀x ∈ L ∀ чисел ck, k = 1, . . . , n∥∥∥∥x− n∑

k=1

ckek

∥∥∥∥ >1083

> ‖x−n∑k=1

xkek, причём равенство имеет место только в случае ck = xk.1084

Доказательство. ‖x−n∑k=1

ckek‖2 =(x−

n∑k=1

ckek, x−n∑k=1

ckek

)= ‖x‖2−

n∑k=1

ck(x, ek)−n∑k=1

ck(ek, x)+1085

+n∑k=1

ckck‖ek‖2 (помним, что система ортогональная). Продолжим: = ‖x‖2−n∑k=1

ckxk‖ek‖2−n∑k=1

ckxk‖ek‖2+1086

+n∑k=1

ckck‖ek‖2 = ‖x‖2+n∑k=1

(ck − xk)(ck − xk)‖ek‖2−n∑k=1

xkxk = ‖x‖2−n∑k=1

|xk|2‖ek‖2+n∑k=1

|ck−xk|2‖ek‖2.1087

Минимум достигается тогда, когда мы хотели доказать. �1088

Следствие 23.1.1 (тождество Бесселя). ‖x−n∑k=1

xkek‖2 = ‖x‖2 −n∑k=1

|x2k‖ek‖21089

Следствие 23.1.2 (неравенство Бесселя). ‖x‖2 >n∑k=1

|xk|2‖ek‖21090

Следствие 23.1.3. Для любой ортогональной системы {eλ}la∈Λ, для любого элемента x и любого1091

ε > 0 неравенство |xk| · ‖eλ‖ > ε может выполняться лишь для конечного подмножества Λ.1092

Доказательство. Действительно, число таких λ не превосходит ‖x‖2

ε2 . �1093

Следствие 23.1.4. Для любой ортогональной системы {eλ}la∈Λ, для любого элемента x неравен-1094

ство xλ 6= 0 может выполняться лишь для не более чем счётного подмножества Λ (надо взять в1095

предыдущем следствии εn = 1n ).1096

Теорема 23.2. Пусть {eλ}la∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве. Тогда1097

∀x следующие условия эквивалентны:1098

1. ∀ε > 0 ∃K ∈ N ∃ числа ck, k = 1, . . . ,K, ∃λk ∈ Λ, k = 1 . . . ,K, что ‖x−K∑k=1

ckeλk‖ < ε.1099

2. Пусть λk — такая последовательность из Λ, которая содержит все λ с xλ 6= 0. Тогда x =∑k

xλkeλk .1100

3. ‖x‖ =∑k

|xλk |2‖eλk‖2 (равенство Парсеваля).1101

Доказательство. Из первого второе. По экстремальному свойству если ‖x−K∑k=1

ckeλk‖ < ε,1102

то ‖x−K∑k=1

xλkeλk‖ < ε. Все xλk 6= 0, 1 6 k 6 K, встречаются среди членов последовательности1103

41

λk, поэтому ∃N : ∀λk, 1 6 k 6 K, такие, что xλk 6= 0 встречаются среди λk, 1 6 k 6 N . По1104

экстремальному свойству ∀n > N ‖x−n∑k=1

xλkeλk‖ 6 ‖x−n∑k=1

xλkeλk‖ < ε.1105

Из второго третье немедленно следует из тождества Бесселя: ‖x−n∑k=1

xλkeλk‖ = ‖x‖2−n∑k=1

|xλk |2‖eλk‖2.1106

И та, и другая часть стремятся к 0 при n→∞.1107

Из третьего первое. Опять же напишем тождество Бесселя. ‖x‖2−n∑k=1

|xλk |2‖eλk‖2 = ‖x−n∑k=1

xλkeλk‖.1108

Первая штука стремится к 0 при n → ∞. Значит, и вторая штука стремится к 0 при n → ∞.1109

Значит, первое верно. �1110

Теорем уже очень много. Докажем лучше лемму.1111

Лемма 23.1. Пусть {ek}— конечная или счётная ортогональная система. Если x =∑k

ckek, то1112

∀kck = xk, а если z ортогонален всем ek, то (z, x) = 0.1113

Доказательство.(

n∑k=1

ckek, z

)равно ck‖ek‖2 для z = ek, 1 6 k 6 n и 0, если z ортогональна1114

ek, 1 6 k 6 n. Если {ek}— конечная система, то лемма верна (ведь x =n∑k=1

ckek для некоторого1115

n). Если {ek}— счётная система, то x =n∑k=1

ckek + ¯o(1) при n → ∞. Если z = em, то при n >1116

> m (x, em) = em‖em‖2 + ¯o(1) (при n → ∞), так как |(x, ¯o(1))| 6 ‖x‖ · ‖ ¯o(1)‖ −−−−→n→∞

0. Значит,1117

(x, em) = em‖em‖2 = xm‖em‖2. Осталось только посмотреть, что будет, когда z ортогонально всем1118

ek. (x, z) = 0 + ¯o(1) −−−−→n→∞

0. Значит, (x, z) = (z, x) = 0 (так как |(¯o(1), z)| 6 ‖mo(1)‖ · ‖z‖ −−−−→n→∞

0).�1119

Лемма 23.2. Пусть {ek}— счётная ортогональная система в гильбертовом пространстве. Ряд∞∑k=1

ckek1120

сходится ⇐⇒ сходится ряд∞∑k=1

|ck|2‖ek‖2.1121


ckek сходится ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N ∀n,m > N

∥∥∥∥ m∑k=n

ckek

∥∥∥∥ < ε, то есть1122 ∥∥∥∥ m∑k=n

ckek

∥∥∥∥ =m∑k=n

ckck‖ek‖2 < ε2. Ряд∞∑k=1

|ck|2‖ek‖2 по критерию Коши сходится ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃N1123

∀n,m > Nm∑k=n

|ck|2‖ek‖2 < ε. Нас обманули? Нет! :) �1124

Определение. Если {eλ}la∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве, то для1125

любого элемента x ряд∑λ∈Λ

xλeλ называется рядом Фурье элемента x. Поскольку отличных от нуля1126

членов не более чем счётно, то и суммируем мы не более чем счётное число элементов.1127

42

Лекция 24 25.11.081128

Тарас Павлович загадочно улыбается и утверждает, что присутствующим старостам очень легко1129

отметить отсутствующих... Ровно 27 присутствующих. Саша Подгайц: "Это много. Просто Вы не1130

ходили на другие лекции". Т.П.: "Ну, я напомню определение"1131

Определение. Если {eλ}λ∈Λ — ортогональная система, то для любого элемента x ряд∑λ

xλeλ на-1132

зывается рядом Фурье x по системе {eλ}.1133

Теорема 24.1. Ряд Фурье элемента x имеет не более чем счётное множество отличных от 0 членов1134

и при их суммировании в любом порядке полученный ряд либо всегда сходится к одному и тому же1135

элементу, называемому суммой ряда Фурье (и не обязательно равному x), причём его ряд Фурье1136

совпадает с данным рядом Фурье, либо всегда расходится. В Гильбертовом пространстве ряд Фурье1137

всегда сходится и имеет место тождество Бесселя ‖x−∑λ

xλeλ‖ = ‖x‖2 −∑λ

|xλ|2 · ‖eλ‖.1138

Доказательство. Первая часть следует из двух теорем прошлой лекции (это было быстро устно1139

объяснено — я не осознал). Так как ‖x‖2 >∑λ

|xλ|2‖eλ‖2, то из сходимости последнего ряда следует,1140

что в Гильбертовом пространстве сходится ряд∑λ

xλeλ. �1141

Представляет интерес вопрос, когда же ряд Фурье сходится к числу x.1142

Теорема 24.2. Пусть {eλ}λ∈Λ — ортогональная система в предгильбертовом пространстве. Тогда1143

следующие утверждения эквивалентны:1144

1. Любой элемент x этого пространства с любой точностью приближается линейными комбинаци-1145

ями элементов ортогональной системы, то есть ∀x ∀ε > 0 ∃ck, k = 1, . . . ,K и ∃λk ∈ Λ, k = 1, . . . ,K,1146

что ‖x−K∑k=1

ckeλk‖ < ε.1147

2. Любой элемент равен сумме своего ряда Фурье.1148

3. Для любого элемента x ‖x‖2 =∑λ∈Λ

|xλ|2‖eλ‖2 (равенство Парсевале).1149

4. Для любых элементов x и y (x, y) =∑λ∈Λ

xλ ¯xλ‖eλ‖2 (равенство Парсевале).1150

Из 1) - 4) следует, что 5) если ∀λ ∈ Λ (x, eλ) = 0, то элемент x = 0. В Гильбертовом пространтсве1151

из 5) следует 1) - 4)1152

Доказательство. 1) - 3) эквивалентны для любого x, а, значит, для всех x (стиль Семеона Анто-1153

новича?). Очевидно из 4) ⇒ 3). Докажем, что из 2) ⇒ 4). Пусть λk — последовательность таких λ1154

из Λ, которая содержит все такие λ, что xλ 6= 0 или yλ 6= 0. x =∑k

xλkeλk , y =∑k

yλkeλk , то есть1155

x =∑k6n

xλkeλk + ¯o(1).1156

(x, y) =

(∑k6n

xλkeλk , y

)+(¯o(1), y) =

∑k=n

xλk(eλ, y)+¯o(1) =∑k6n

xλk yλk‖eλk‖+¯o(1) −−−−→n→∞

∑k

xλk¯yλk‖eλk‖

2.1157

Из 2) ⇒ 5) Всеволод Сальников утверждает, что очевидно.1158

Из 5) ⇒ 2). В гильбертовом пространстве ряд Фурье сходится, поэтому существует y =∑λ

xλeλ.1159

Рассмотрим x− y, для любого λ ∈ Λ (x− y)λ = xλ− yλ = xλ− xλ = 0. Тогда по 5) x− y = 0, то есть1160

x = y. �1161

Определение. ОС. {eλ}λ∈Λ называется замкнутой, если выполнено 1), называется полной, если1162

выполнено 5).1163

Определение. Пространство l2 (l2) — пространство действительных или комплексных последова-1164

тельностей ak, таких что∑k

|ak|2 <∞.1165

Скалярное произведение ({ak}, {bk}) =∑k

ak bk.1166

Это пространство со скалярным произведением. Если {ak} ∈ l2, {bk} ∈ l2, то {ak ± bk} ∈ l2, так1167

как |ak ± bk|2 6 (|ak|+ |bk|)2 = |ak|2 + 2|ak||bk|+ |bk|2 6 2(|ak|2 + |bk|2).1168 ∑k

ak bk сходится абсолютно в силу последнего неравенства:∑k

|ak bk| 6 12

∑k

(|ak|2 + |bk|2). Значит,1169

скалярное произведение определено корректно. Проверим 4 свойства скалярного произведения:1170

43

1. (x, x) > 0 и (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0. ({ak}, {ak}) =∑k

|ak|2 > 0 и = 0 ⇐⇒ {ak}— нулевая1171

последовательность.1172

2. (αx, y) = α(x, y)1173

3. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y)1174

4. (x, y) =(y, x). ({ak}, {bk}) =∑k

ak bk =∑k

akbk =({bk}, {ak}).1175

44

Лекция 25 28.11.081176

Напомним определение:1177

Определение. Функция f измерима на [a, b], если f определена почти всюду на [a, b] и ∀ε > 0 ∃g ∈ C[a, b],1178

что µ∗{x ∈ [a, b] : f(x) 6= g(x)} < ε.1179

Определение. Функция f измерима на [a, b], если f определена почти всюду на [a, b] и ∀ε > 0 ∃E ⊂ [a, b],1180

µ∗E < ε, что f непрерывна на [a, b] \ E.1181

Свойства измеримых функций.1182

1. Если f и g измеримы на [a, b], то там же измерима их сумма, разность и произведение, а если1183

g(x) 6= 0 почти всюду на [a, b], то и их частное.1184

2. Если f измерима на на [a, b], ϕ непрерывна на f([a, b]), то ϕ(f) измерима на [a, b].1185

3. Если fk, k = 1, . . . , n измеримы на [a, b], то maxk

fk(x) и minkfk(x) измеримы на [a, b].1186

Всё это продвинутая молодежь знает и умеет доказывать.1187

Лемма 25.1. Пусть Gk, k = 1, . . .— открытые множества, принадлежащие конечному промежутку1188

I, Gk ⊃ Gk+1 для всех k, infkµ∗Gk > 0. Тогда найдётся отрезок J ⊂ G1, такой что inf

kµ∗(Gk ∩J) > 0.1189

Доказательство. G1 — объединение непересекающихся интервалов (αi, βi),∑i

(βi−αi) <∞. ∃M ∈ N :1190 ∑i>M

|βi − αi| < γ2 , где γ = inf

kmu∗Gk > 0. Если для любого i 6 M inf

kµ∗(Gk ∩ (αi, βi)) = 0, то1191

∃m : µ∗(Gm∩(αi, βi)) < γ2M для всех i 6M . Тогда µ∗ (Gm) 6

m∑i=1

µ∗(Gm∩(αi, βi))+µ∗(Gm ∩

⋃i>M

(αi, βi))<1192

< M · γ2M + γ

2 = γ, что противоречит условию. Значит, ∃i 6 M , что δ = infkµ∗ (Gk ∩ (αi, βi)) > 0.1193

∃[c, d] ⊂ (αi, βi), что (βi − αi) < δ4 и (c − αi) < δ

4 . Положим J = [c, d]. Так как µ∗(Gk ∩ (αi, βi)) 61194

6 µ∗(Gk ∩ J) + (βi − d) + (c− αi) < µ∗(Gk ∩ J) + δ2 , то µ∗(Gk ∩ J) > δ

2 . �1195

Следствие 25.0.1. Пусть Gk, k = 1, . . .— открытые множества, принадлежащие ограниченному1196

промежутку I, Gk ⊃ Gk+1 для всех k, infkµ∗Gk > 0. Тогда

∞⋂k=1

Gk 6= ∅.1197

Доказательство. Найдётся ограниченный J1 ⊂ G1, ∃ отрез. J2 ⊂ J1, J2 ⊂ G2. И так далее.1198

Получили последовательность вложенных отрезков Jk ⊂ Gk,⋃k

Jk 6= ∅. �1199

Следствие 25.0.2. Пусть Gk, k = 1, . . . ,— открытое множество принадлежащим ограниченному1200

промежутку I, Gk ⊂ Gk+1 для всех k. Если∞⋂k=1

Gk = ∅, то µ∗Gk −−−−→k→∞

0.1201

Лемма 25.2. Пусть fk ∈ C[a, b], k ∈ N, для каждой точки x ∈ [a, b] существует конечный предел1202

limk→∞

fk(x). Тогда для любого ε > 0 ∃ открытое множество Gk, µ∗G ⊂ ε, что fk равномерно сходится1203

на [a, b] \G.1204

Доказательство. Пусть k ∈ N, Gn = {x ∈ [a, b] : ∃m, l > n, |fm(x) − fl(x)| > 1k}, это открытое1205

множество, Gn ⊃ Gn+1. Если∞⋂n=1

Gn 6= ∅, то в точке x ∈∞⋂n=1

Gn не выполнено критерий Коши1206

сходимости fk(x). Значит,∞⋂n=1

Gn = ∅, то есть µ∗Gn −−−−→n→∞

0.1207

∀k ∈ N nk ∈ N : µ∗Gn = µ∗{x ∈ (a, b) : ∃m, l > nk, |fm(x) − fl(x)| > 1k} < ε · 2−k. Положим1208

G =∞⋃n=1

Gnk , µ∗G 6∞∑k=1

ε · 2−k = ε. Последовательность fk удовлетворяет условию Коши равномер-1209

ной сходимости на (a, b) \ G, так как ∀k ∈ N ∀m, l > nk ∀x ∈ (a, b) \ |fm(x) − fl(x)| 6 1k . Так как в1210

точке a и точке b последовательность fk сходится, то fk сходится равномерно на [a, b] \G. �1211

Теорема 25.1 (Егорова). Пусть последовательность измеримых функций на [a, b] fk(x) сходит-1212

ся почти всюду к функции f(x). Тогда f(x) измерима на [a, b] и ∀ε > 0 ∃E ⊂ [a, b]µ∗ < ε,1213

fk(x)[a,b]\E⇒k→∞

f(x).1214

45

Доказательство. Пусть D0 — множество точек [a, b], где хотя бы одна из функций fk не существу-1215

ет или не существует конечного limk→∞

fk(x), µ∗D0 = 0. ∀k ∈ N ∃Dk ∈ [a, b], µDk < ε · 2k−1, что fk1216

непр. на [a, b] \Dk. Пусть D =∞⋃k=0

DK , µ∗D < ε2 . Найдётся система интервалов {li}i, покрывающая1217

D,∑i

|li| < ε2 . Положим G1 =

⋃i

li ⊃ D, µ∗G1 <ε2 , G1 — открытое. Все fk непрерывны на [a, b]\G1 —1218

замкнутом множестве. Можно считать, что [a, b] \ G1 6= ∅. Пусть f∗k (x) = fk(x) на F = [a, b] \ G1,1219

линейны на замыканиях конечных смежных интервалов F, постоянны на замыкании бесконечных1220

смежных интервалов F. Такая функция строилась во втором семестре. Функции f∗k (x) непрерыв-1221

ны на R и имеют конечный limk→∞

f∗k (x) = limk→∞

fk(x) на F = [a, b] \ G1. Тогда конечный limk→∞

f∗k (x)1222

существует всюду на R. Ну а теперь можно воспользоваться леммой: ∃ откр. G2, µ∗G2 <

ε2 , что f∗k1223

равномерно сходится на [a, b] \G2. Кстати, философский вопрос: что легче — писать или переписы-1224

вать? Имеем: f∗k (x)[a,b]\E⇒k→∞

f(x), где E = (G1∪G2)∩ [a, b]. Значит, fk(x)[a,b]\E⇒k→∞

, µ∗E 6 µ∗G1 +µ∗G2 < ε.1225

Измеримость на [a, b] следует из простого факта. Функция f(x) непрерывна на [a, b] \E (как равно-1226

мерный предел непрерывных функций). Значит, f измерима на [a, b]. �1227

Следствие 25.1.1. Если f интегрируема по Курцвейлю–Хенстоку на [a, b], то f измерима на [a, b].1228

Доказательство. Действительно, пусть F — неопределённый интеграл f , F — непр. на [a, b] и f(x) =1229

= limk→∞

(F (x+ 1

k )− F (x))· k почти всюду на [a, b]. �1230

Ещё свойства измеримых функций1231

1. Если fk, k ∈ N, измеримы на [a, b] и п.в. на [a, b] f(x) = limk→∞

fk(x), то f измерима на [a, b].1232

2. Если fk, k ∈ N, измерима на [a, b] и почти всюду на [a, b] supkfk(x) (inf

kfk(x)) конечен, то он1233

является измеримой функцией на [a, b].1234

3. Если fk, k ∈ N, измер. на [a, b] и почти всюду на [a, b] существует конечный limk→∞

fk(x)1235

( limk→∞

fk(x)), то limk→∞

fk(x) = limn→∞

supk>n

fk(x).1236

46

Лекция 26 02.12.081237

За 6 лекций до сессии... Здравствуйте. На прошлой лекции мы рассмотрели свойства измеримых функ-1238

ций и доказали теорему Егорова. А сегодня:1239

Лемма 26.1. Пусть функции fk, k ∈ N, определены всюду на [a, b] и fk ∈ H[a, b], всюду на [a, b] для k ∈ N1240

fk(x) 6 fk+1(x), всюду на [a, b] существует конечный предел limk→∞

fk(x) = f(x) и существует конечный1241

I = limk→∞

∫ bafk dx. Тогда f ∈ H[a, b] и I =

∫ baf(x) dx.1242

Доказательство. Возьмём любое ε > 0, найдём такое K ∈ N, что I−∫ bafK dx < ε. Для каждого k ∈ N най-1243

дём такой масштаб δk, что для любого согласованного с δk отмеченного разбиения T = {(Δi, ξi)} отрезка [a, b]1244

будет выполняться, что∣∣∣σ(fk,T)−

∫ bafk dx

∣∣∣ < ε · 2−k. ∀ξ ∈ [a, b] ∃kξ > K, что∣∣fkξ (ξ)− f(ξ)

∣∣ < ε. Определим1245

масштаб δ(x) = δkx(x) для каждого x ∈ [a, b]. Пусть T = {(Δi, ξi)}— отмеченное разбиение [a, b], согласован-1246

ное c δ(x). |σ(f,T)− I| 6∣∣∣∣∑i

f(xii) · |Δi| −∑i

fkξi (ξi) · |Δi|∣∣∣∣+∣∣∣∣∑

i

(fkξi (ξi) · |Δi| −

∫Δifkξi

)∣∣∣∣+∣∣∣∣∑i

∫Δifkξi dx− I

∣∣∣∣.1247

Разбираемся:∣∣∣∣∑i

(f(ξi)− fkξi (ξi)

)· |Δi|

∣∣∣∣ < ε ·∑i

|Δi| = ε(b− a).1248 ∣∣∣∣∣ ∞∑k=1

∑i : kξi

=k

(fkξi (ξi) · |Δi| −

∫Δifkξi dx

)∣∣∣∣∣ 6 ∞∑k=1

ε · 2−k = ε.1249 ∫ bafK dx =

∑i

∫ΔifK dx 6

∑i

∫Δifkξi dx 6 (в силу неубываемости функций). 6

∑i

∫Δifmax

ikξi

dx =1250

=∫ bafmax

ikξi

dx 6 I. Значит, 0 6 I −∑i

∫Δifkξi dx < ε. |σ(f,T)− I| < ε · (b− a+ 2). �1251

Лемма 26.2. Пусть функции fk, k ∈ N, определены почти всюду на [a, b] и fk ∈ H[a, b], почти всюду на1252

[a, b] для k ∈ N fk 6 fk+1(x) почти всюду на [a, b] существует конечный limk→∞

fk(x) = f(x) и существует1253

конечный I = limk→∞

∫ bafk dx. Тогда f ∈ H[a, b] и I =

∫ baf dx.1254

Доказательство. Пусть Dk — множество таких точек [a, b], что не выполнено неравенство fk(x) 6 fk+1(x)1255

(то есть одна из функций fk, fk+1 не существует или обе существуют, но fk(x) > fk+1(x)). µ∗Dk = 0,1256

k ∈ N. Пусть D0 — множество таких точек [a, b], что не существует конечного limk→∞

fk(x), µ∗D0 = 0. Пусть1257

D =∞⋃k=0

Dk, µ∗D = 0. Пусть f∗k =

{0, если x ∈ Dfk(x), если x /∈ D

, f∗ =

{0, если x ∈ Dlimk→∞

fk(x), если x /∈ D . Тогда f∗k и f∗1258

удовлетворяют условию леммы 1. Поэтому f ∈ H[a, b] и I =∫ baf∗ dx. Так как f(x) = f∗(x) почти всюду на1259

[a, b], то f ∈ H[a, b] и I =∫ baf dx. �1260

Теорема 26.1 (Б. Леви). Пусть функции fk, k ∈ N, определены почти всюду на [a, b] и fk ∈ H[a, b],1261

почти всюду на [a, b] для k ∈ N fk(x) 6 fk+1(x) и supk

∫ bafk dx < +∞. Тогда почти всюду на [a, b] существует1262

f(x) = limk→∞

fk(x), f ∈ H[a, b] и∫ baf dx = lim

k→∞

∫ bafk dx.1263

Доказательство. Посмотри, в чём отличие от леммы 2. Всё, что надо доказать — доказать, что почти1264

всюду существует limk→∞

fk(x). Почти всюду на [a, b] fk(x) — неубывающая последовательность, поэтому почти1265

всюду на [a, b] существует конечный или бесконечный limk→∞

fk(x). Достаточно найти подпоследовательность1266

fki , что limi→∞

fki(x) конечен почти всюду. Пусть I = limk→∞

∫ bafk dx. Найдём такую подпоследовательность ki1267

последовательности натуральных чисел, что I −∫ bafki dx < 2−2i. Пусть Ei — множество таких точек [a, b],1268

что fki+1−fki(x) > 2−i. По неравенству Чебышева µ∗Ei 6 12−i

∫ bafki+1−fki(x) dx 6 2i ·

(I −

∫ bafki dx

)< 2−i.1269

Рассмотрим ряд fki(x)+∫∞i=1

(fki+1 − fki(x)

). Пусть E0 — множество точек x, что ∃k, что fk(x) не определена1270

или не выполняется неравенство fk(x) 6 fk+1(x). µ∗(E0) = 0.1271

На [a, b] \(∞⋃i=n

Ri⋃E0

)ряд сходится, так как начиная с номера n его члены 6 2−i. То есть fk1(x) +1272

+N∑i=1

(fki+1 − fki(x)

)= fki+1(x) имеет конечный предел при N → ∞. µ∗

(∞⋃i=n

Ri⋃E0

)6

∞∑i=n

µ∗Ei <1273

<∞∑i=n

3−i = 2−n+1 −−−−→n→∞

0. �1274

Определение. Для α > 0 определим функцию на C1275

[z]α =

{z, |z| 6 αα z|z| , |z| > α

1276

Это непрерывная функция на C.1277

47

Лемма 26.3. Действительная (комплексная) функция f на [a, b] измерима ⇐⇒ ∀α > 0 измер. [f ]α.1278

Доказательство. Необходимость: если f измерима,то [f ]α измерима. Достаточность: Если ∀α > 0 [f ]α1279

измерима, то по теореме Егорова f(x) = limn→∞

[f(x)]n измерима. �1280

48

Лекция 27 05.12.081281

Критерий интегрирования (по Курцвейлю–Хенстоку) неотрицательных функций1282

Если f почти всюду неотрицательна на [a, b], то f ∈ H[a, b] ⇐⇒ [f ]k, k ∈ N, интегрируема по1283

Курцвейлю–Хенстоку на [a, b] и supk

∫ ba[f ]k dx <∞.1284

Доказательство. Необходимость. Если f ∈ H[a, b], то f измерима, измерима [f ]k ∀k ∈ N, а значит1285

[f ]k ∈ H[a, b] и ∀k ∈ N 0 6∫ ba[f(x)]kdx 6

∫ baf(x) dx.1286

Достаточность. Если [f ]k ∈ H[a, b], k ∈ N, supk

∫ ba[f ]k dx <∞, то по теореме Б.Леви f(x) = lim

k→∞[f(x)]k =1287

=∈ H[a, b]. �1288

Следствие 27.0.1. Если f — измеримая комплекснозначаня функция на [a, b], |f(x)| 6 g(x) почти всюду1289

на [a, b], g ∈ H[a, b], то f ∈ H[a, b].1290

Доказательство. Если f — действительная, тогда f+(x) = f(x)+|f(x)|2

=

{f(x), f(x) > 0

0, f(x) < 0и f−(x) =1291

= |f(x)|−f(x)2

=

{−f(x), f(x) 6 0

0, f(x) > 0интегрируемы по Курцвейлю–Хенстоку на [a, b] (так как f+ и f− неот-1292

рицательный измеримые функции,∫ ba[f+]k dx 6

∫ bag dx,

∫ ba[f−]k dx 6

∫ bag dx), значит, f = f+−f− ∈ H[a, b].1293

Если f комплексная, то <f ∈ H[a, b] и =f ∈ H[a, b], значит, f = <f + ı=f ∈ H[a, b]. �1294

Следствие 27.0.2. Если f, g ∈ K[a, b], h измеримы на [a, b] и f(x) 6 h(x) 6 g(x) почти всюду на [a, b], то1295

h ∈ H[a, b].1296

Доказательство. 0 6 h(x)−f(x) 6 (g(x)−f(x)) ∈ H[a, b], значит, g(x)−f(x) ∈ H, значит, h(x) ∈ H[a, b].�1297

Лемма 27.1 (Фату). Если g ∈ H[a, b], fk ∈ H[a, b], k ∈ N, для всех k ∈ N g(x) 6 fk(x) почти всюду на1298

[a, b], lim inf∫ bafk dx <∞. Тогда lim infk→∞ fk(x) ∈ H[a, b] и

∫ ba

lim infk→∞ fk(x) dx 6 lim infk→∞∫ bafk(x) dx.1299

Доказательство. Для любого n ∈ N и m > n g(x) 6 infk>n

fk(x) 6 fm(x) почти всюду на [a, b]. Зна-1300

чит, по следствию 2 infk>n

fn(x) ∈ H[a, b] и∫ ba

infk>n

fk(x) 6 lim infk→∞∫ bafk(x) dx < ∞. По теореме Б.Леви1301

lim infk→∞ fk(x) = limn→∞

infk>n

fk(x) ∈ H[a, b] и∫ ba

lim infk→∞ fk(x) dx 6 lim infk→∞∫ bafk(x) dx. �1302

Лемма 27.2 (Фату). Если fk ∈ H[a, b], k ∈ N, f(x) > 0 почти всюду на [a, b] и всех k ∈ N supk

∫ bafk(x) dx <∞X,1303

то lim infk→∞ fk(x) ∈ H[a, b] и∫ ba

lim inf fk(x) dx 6 supk

∫ bafk(x) dx1304

Теорема 27.1 (Лебега). Если f, g ∈ H[a, b], hk, k ∈ N измерима на [a, b] и для каждого k ∈ N f(x) 61305

6 hk(x) 6 g(x) почти всюду на [a, b], почти всюду на [a, b] существуют h(x) = limk→∞

hk(x). Тогда h ∈ H[a, b]1306

и∫ bah(x) dx = lim

k→∞

∫ bahk(x) dx.1307

Доказательство.∫ bah(x) dx 6 lim infk→∞

∫ bahk(x) dx по лемме Фату. Теперь можно заметить, что так как1308

−g(x) 6 −hk(x) 6 −f(x) почти всюду на [a, b], то по лемме Фату∫ ba−h(x) dx 6 lim infk→∞

∫ ba−hk(x) dx =1309

= − lim supk→∞∫a6bhk(x) dx. Имеем, что lim supk→∞

∫ bahk(x) dx 6

∫ bah(x) dx 6 lim infk→∞

∫ bahk(x) dx. Зна-1310

чит,∫ bah(x) dx = lim

k→∞

∫ bahk(x) dx. �1311

Следствие 27.1.1 (Лебега). Если hk, k ∈ N измерима на [a, b] и для каждого k ∈ N |h(x)| 6 g(x) ∈ H[a, b],1312

почти всюду на [a, b] существует h(x) = limk→∞

hk(x). Тогда h(x) ∈ H[a, b] и∫ bah(x) dx = lim

k→∞

∫a6bhk(x) dx.1313

Пространство Лебега L2[a, b] состоит из измеримых на [a, b] функций f таких, что |f |2 ∈ H[a, b]. (f, g) =1314

=∫ baf(x) ·g(x) dx существует, так как fg измерима на [a, b] и |f(x) · g(x)| = |f(x)||g(x)| 6 1

2

(|f(x)|2 + |g(x)|2

),1315

поэтому f · g ∈ H[a, b].1316

Функции из L2[a, b] совпадают почти всюду на [a, b], считаются одинаковыми.1317

Теорема 27.2. Пространство L2[a, b] — гильбертово (то есть полное).1318

Доказательство. Пусть fk ∈ L2[a, b], k ∈ N и образуют последовательность Коши, то есть ∀ε > 0 ∃N1319

∀n,m > N : ‖fn − fm‖ =(∫ b

a|fn − fm|2 dx

) 12< ε. ∀k ∈ N ∃nk — возрастающая последовательность, что1320

∀m > nk : ‖fnk − fm‖ < 2−k. Рассмотрим ряд fn1(x) +∞∑k=1

fnk+1(x)− fnk (x), Sm(x) = fnm+1(x).1321

49

∫ ba|fnk+1(x)− fnk (x)| dx 6

(∫ ba|fnk+1(x)− fnk (x)|

2 dx) 1

2 ·(∫ b

a12 dx

) 12< 2−k ·

√b− a.1322

Рассмотрим ряд∞∑k=1

|fnk+1(x)− fnk |,∫ ba

m∑k=1

|fnk+1−fnk | dx 6√b− a

m∑k=1

2−k <√b− a, по теореме Б.Леви1323

ряд сходится почти всюду на [a, b].1324

Значит, ряд fn1(x) +∞∑k=1

(fnk+1 − fnk (x)

)сходится абсолютно на [a, b] почти всюду, пусть f(x) — его1325

сумма. Последовательностьm∑k=1

|fnk+1(x)− fnk (x)| неубывает на [a, b]и

(∫ ba

(m∑k=1

|fnk+1 − fnk (x)|)2

dx

) 12

=1326

=

∥∥∥∥ m∑k=1

∣∣fnk+1 − fnk∣∣∥∥∥∥ ∥∥∥∥6 ∞∑

k=1

|fnk+1 − fnk |∥∥∥∥ < m∑

k=1

2−k < 1.1327

Последовательность интеграл∫ ba

(∼mk=1 |fnk+1 − fnk |

)2dx < 1, отсюда

∫ ba

(∞∑k=1

|fnk+1 − fnk |)2

dx 6 1 по1328

теореме Б.Леви. То есть∞∑k=1

|fnk+1 − fnk | ∈ L2[a, b], тогда

∞∑k=1

(fnk+1 − fnk ) ∈ L2[a, b], то есть f(x) ∈ L2[a, b].1329

Последовательностьm∑k=N

|fnk+1(x)−fnk (x)| неубывает на [a, b],m > N и

(∫ ba

(m∑k=N

|fnk+1 − fnk (x)|)2

dx

) 12

=1330

=

∥∥∥∥ m∑k=N

∣∣fnk+1 − fnk∣∣∥∥∥∥ ∥∥∥∥6 ∞∑

k=N

‖fnk+1 − fnk |∥∥∥∥ < m∑

k=N

2−N+1 < 1.1331

Последовательность интеграл∫ ba

(∼mk=N |fnk+1 − fnk |

)2dx < 2−N+1, отсюда

∫ ba

(∞∑k=N

|fnk+1 − fnk |)2

dx 61332

6 2−N+1 по теореме Б.Леви. То есть∥∥∥∥ ∞∑k=m

|fnk+1 − fnk |∥∥∥∥ 6 2−N+1.

∥∥∥∥ ∞∑k=N

(fnk+1 − fnk )∥∥∥∥ 6 2−N+1.

∥∥∥∥ ∞∑k=N

(fnk+1 − fnk )∥∥∥∥ =1333

= ‖f(x) − fnN (x)‖ = ‖f(x) − (fm(x) +N−1∑k=1

(fnk+1−fnk ))‖ < 2−N+1. fnk → f при k → ∞ по метрике L2[a, b].1334

∀m > nk‖f − fm‖ 6 ‖f − fnk‖+ ‖fnk − fm‖ < 2−k+1 + 2−k < 2−k+2. �1335

50

Лекция 28 09.12.081336

Определение. Пространство L2(R) — - множество измеримых на любом отрезке интегрируемых с квадра-1337

том |f |2 функций на R в смысле несобственного интеграла Курцвейля–Хенстока функций f .1338

Скалярное произведение (f, g) =∫

R f · g dx (все функции действительно или комплекснозначные).1339

Во-первых, L2(R) — линейное пространство над R или над C, так как |f ± g|2 6 |f |2 + |g|2 + 2|f | · |g|,1340

|f(x)| · |g(x) 6 12

(|f(x)|2 + |g(x)|2

). Также легко понять про домножение на число. Кстати, в силу последнего1341

неравенства скалярное произведение всегда существует.1342

‖f‖ =(∫

R |f |2) 1

2 .1343

Теорема 28.1. L2(R) — гильбертово пространство.1344

Доказательство. Пусть fk ∈ L2(R), k ∈ N, fk — фундаментальная последовательность, то есть ∀ε > 0 ∃N1345

∀n,m > N : ‖fn − fm‖ =(∫

R |fn(x)− fm(x)|2 dx) 1

2 < ε. ∀l ∈ N рассмотрим fk · ξ[−l,l] (ξ[−l,l] равно 1 на [−l, l]1346

и 0 иначе). При фиксированном l ∈ N fkξ[−l,l] — последовательность Коши в L2[−l, l], она сходится, пусть1347

f l — её предел. Если l, k ∈ N, l < k, то f l = fk на [−l, l] почти всюду. Пусть f — такая функция, что ∀l ∈ N1348

f(x) = f l(x) почти всюду на [l, l]. Докажем, что f ∈ L2(R) и является пределом последовательности fk.1349

∀ε > 0 N ∀n,m > N : ‖fn − fm‖ < ε. Тогда ∀l ∈ N ∀n,m > N : ‖fnξ[−l,l] − fmξ[−l,l]‖ < ε. Перейдём к пределу1350

при m→∞ и получим оценку ‖fnξ[−l,l]− fξ[−l,l]‖ 6 ε. Теперь l→∞. Тогда ‖fn− f‖ 6 ε. Значит, получили,1351

что f ∈ L2(R) (что-то сказано про принадлежность fn − f пространству L2(R)) и f — предел fk. �1352

Определение. Пусть f и g— действительнозначные (или комплекснозначные) функции на R, x ∈ R. Тогда1353

свёртка f ∗ g(x) =∫

R f(x− t)g(t) dt.1354

Пусть f и g— действительнозначные или комплекснозначные T–периодические функции на R (или на1355

[0, T ]). x ∈ R (x ∈ [0, T ]). Тогда f ∗g(x) =∫ T0f(x− t)g(t) dt (в случае [0, T ] разность x− t берётся по mod T ).1356

В первом случае свёртка f ∗ g(x) определена всюду на R в следующих случаях:1357

1. f, g ∈ L2(R).1358

2. Одна из функций абсолютно интегрируема несобственным интегралом Курцвейля–Хенстока на R, а1359

вторая измерима на R (то есть на всех отрезках из R) и ограничена.1360

3. Одна из функций на любом отрезке абсолютно интегрируема по Курцвейлю–Хенстоку, то есть (f и1361

|f | интегрируемы), а вторая измерима на R, ограничена и финитна (равна 0 вне некоторого отрезка).1362

Почему: 1. Если f ∈ L2(R), то f(−t) ∈ L2(R) и f(x−t) ∈ L2(R). Тогда свёртка f ∗g(x) = (f(x−t), g(t)). 2.1363

Если g абсолютно интегрируема на R, f— ограничена, то |f(x− t)g(t)| 6 supR|f(t)| · |g(t)|. Значит, f(x− t)g(t)1364

интегрируема по t в смысле несобственного интеграла Курцвейля–Хенстока на R (f(x− t)g(t) — измеримая1365

на любом отрезке). 3. После того, как правильно сформулировали, всё понятно.1366

В втором случае свёртка f ∗ g(x) определена всюду на R в следующих случаях:1367

1. f, g ∈ L2[0, T ].1368

2. Одна из функций абсолютно интегрируема по Курцвейлю–Хенстоку на [0, T ], а вторая измерима и1369

ограничена на [0, T ].1370

1. Просто повторим предыдущее рассуждение (как всегда, товарищи возникают по поводу частичного1371

стирания. Ответ: у нас кризис, я мел экономлю). 2. Если g абсолютно интегрируема на [0, T ], f— ограничена1372

и измерим, то |f(x − t)g(t)| 6 sup[0,T ]

|f(t)| · |g(t)|. Значит, f(x − t)g(t) интегрируема по t в смысле интеграла1373

Курцвейля–Хенстока на [0, T ].1374

Лемма 28.1. Если f T–периодична и f ∈ H[0, T ], то f ∈ H[a, a+ T ] для любого a ∈ R и интеграл от f по1375

любому отрезку длины [a, a+ T ] одинаков.1376

Доказательство. Пусть a ∈ [nT, (n+1)T ], n ∈ Z. Тогдаa+T∫a

f dx =a−nT+T∫a−nT

f dx =

(T∫

a−nT+a−nT+T∫

T

)f dx =1377

=

(T∫

a−nT+a−nT∫

0

)f dx =

∫ T0f dx. �1378

Свойства свёртки.1379

1. f ∗ g(x) и g ∗ f(x) одновременно существуют или не существуют, а если существуют, то равны.1380

2. Пусть fh(x) = f(x− h). Тогда fh ∗ g(x) и f ∗ g(x− h) одновременно существуют или не существуют и,1381

если существуют, то равны.1382

51

Доказательство. Пусть существует f ∗ g(x) =∫

R f(x − t)g(t) dt. Сделаем замену x − t = u, тогда1383

f ∗ g(x) =∫ −∞+∞ f(u)g(x− u)d(−u) =

∫∞−∞ f(u)g(x− u) du = g ∗ f(x).1384

Периодический случай. Пусть существует f ∗g(x) =∫ T0f(x−t)g(t) dt. Сделаем ту же замену. Получим1385 ∫ x−t

−x f(u)g(x− u) d(−u) =∫ xx−T f(u)g(x− u) du =

∫ T0f(u)g(x− u) du = g ∗ f(x).1386

fh ∗ g(x) =∫

R f(x− h− t)g(t) dt (просто написали по определению).∫

R f(x− h− t)g(t) dt = f ∗ g(x− h).1387

Периодический случай. fh ∗ g(x) =∫ T0fh(x− t)g(t) dt =

∫ T0f(x− h− t)g(t) dt = f ∗ g(x− h). �1388

Основной недостаток свёртки как групповой операции — отсутствие 1.1389

52

Лекция 29 12.12.081390

Определение. Аппроксимативной единицей (δ–образное последовательностью) на R называется после-1391

довательность абсолютно интегрируемых несобственных интегралов Курцвейля–Хенстока на R функций1392

{Kn(t)}∞n=1 со следующими свойствами:1393

1. supn

∫R |Kn(t)| dt <∞1394

2. limn→∞

∫R Kn(t) dt = 11395

3. ∀δ > 0 limn→∞

(∫ −δ−∞+

∫∞δ

)|Kn(t)| dt = 0.1396

Аппр. единицей в T–периодическом случае называется последовательность T–периодических (опреде-1397

лённых на [o, T ]) абсолютно интегрируемых по Курцвейлю–Хенстоку функций {Kn(t)} со следующими1398

свойствами:1399

1. supn

∫ T0|Kn(t)| dt <∞1400

2. limn→∞

∫ T0Kn(t) dt = 11401

3. ∀δ > 0 limn→∞

∫ T−δδ

|Kn(t)| dt = 0.1402

Теорема 29.1. Пусть {Kn(t)}— аппр. ед. на R (на [0, T ] в T–периодическом случае), а f — ограниченная1403

измеримая функция на R (T–периодическая). Тогда1404

1. Если x— точка непрерывности f , то f ∗Kn(x) −−−−→n→∞

f(x)1405

2. Если f равномерно непрерывна на R, то f ∗Kn

R⇒

n→∞f(x)1406

3. Если Kn(t) непрерывны на R, n ∈ N, f (k)(t), k = 0, 1, . . . ,m непрерывны и ограничены на R, то в1407

каждой точке x ∈ R (f ∗Kn)(m) (x) −−−−→n→∞

f (m)(x), а если f (m) равномерно непрерывны на R (что1408

всегда выполнено в T–пер случае, то) свёртка сходится равномерно на R1409

Доказательство. Случай R. Если x0 — точка непрерывности f , то ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Bδ(x0) : |f(x)−f(x0)| < ε.1410

Тогда рассмотрим разность f ∗ Kn(x0) − f(x0). Свёртка существует, так как функция Kn(t) абсолют-1411

но интегрируема, а f — ограничена и измеримая. f ∗ Kn(x0) − f(x0) =∫

R f(x0 − t)Kn(t) dt − f(x0) =1412

=∫

R (f(x0 − t)− f(x0))Kn(t) dt+f(x0)(∫

R Kn(t) dt− 1). |f ∗Kn(x0)− f(x0)| 6

∫ δ−δ |f(x0−t)−f(x0)|·|Kn(t)| dt+1413

+2 supR|f |·(∫ −δ−∞+

∫ +∞δ

)|Kn(t)| dt+sup

R|f |·∣∣∫

R Kn(t) dt− 1∣∣. Второй интеграл стремится к 0 по пункту 3. Тре-1414

тий интеграл стремится к 0 по пункту 2. Первая часть6 ε·supn

∫R |Kn(t)| dt. Значит, ∃N ∀n > N |f∗Kn(x0)−f(x0)| < Cε,1415

С— постоянное.1416

Если f равномерно непрерывно, то это значит, что та δ выбирается единой. Тогда мы имеем, что в1417

первой части всё хорошо, в следующей — стремление равномерное, а в третьей тоже нет зависимости от x0.1418

Значит, имеем равномерное стремление.1419

В случае T—периодичности. Если x0 — точка непрерывности f , то ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ Bδ(x0) :1420

|f(x)−f(x0)| < ε. Тогда рассмотрим разность f ∗Kn(x0)−f(x0). Свёртка существует, так как функция Kn(t)1421

абсолютно интегрируема, а f — ограничена и измеримая. f ∗Kn(x0)− f(x0) =∫ T0f(x0− t)Kn(t) dt− f(x0) =1422

=∫ T0

(f(x0 − t)− f(x0))Kn(t) dt+f(x0)(∫ T

0Kn(t) dt− 1

). |f ∗Kn(x0)− f(x0)| =6

(∫ δ0

+∫ TT−δ

)|f(x0−t)−f(x0)|·1423

· |Kn(t)| dt+2 supR|f | ·

∫ T−δδ

|Kn(t)| dt+supR|f | ·

∣∣∣∫ T0 Kn(t) dt− 1∣∣∣. В общем, всё аналогично и, по утверждению1424

ТП, скучно.1425

Остался третий пункт с производной. Случай на R.∫

R f(x− t)Kn(t) dt. Рассмотрим сразу ещё один ин-1426

теграл: intRf ′(x−t)Kn(t) dt = (f ∗Kn(x))′ (x) (пользовались признаком Вейерштрасса равномерной сходимо-1427

сти.)∫

R f′′(x−t)Kn(t) dt = (f ∗Kn(x))′′ (x) и так далее. В конце концов: (f ∗Kn)(n) (x) =

∫R f

(m)(x−t)Kn(t) dt =1428

=(f (m) ∗Kn

)(x) −−−−→

n→∞f (m)(x).1429

Пример. На [−1, 1] Kn(t) = (1−t2)n∫ 1−1(1−t2)n dt

образует аппр. ед.1430

Если продолжить 0 на R \ [−1, 1], то образуется аппр. единица на R.1431

Проверка свойств: 1ое очевидно выполняется, ибо он равен 1. Во втором свойстве интеграл тоже всегда1432

равен 1. Поэтому надо проверить только третье свойство. Для этого оценим∫ 1

−1(1−t2)n dt = 2

∫ 1

0(1−t2)n dt >1433

> 2∫ 1

0(1− t)n dt = 2

n+1.(∫ δ−1

+∫ 1

δ

)|Kn(t)| dt 6

∫ 1−1(1−δ2)n dt

2n+1

= (n+ 1) · (1− δ2)n −−−−→n→∞

0.1434

2π–периодический случай: Kn(t) = (1−cos t)n∫ π−π(1+cos t)n dt

.∫ π−πKn(t) dt = 1. Поэтому первые два свойства1435

выполняются, надо проверить третье. Kn(t) =cos2n t

2∫ π−π cos2n t

2 dt.∫ π−π cos2n t

2dt = 4

∫ π2

0cos2n u du = 2

∫ π2

0. Та-1436

рас Павлович здесь стёр. В результате имеем∫ π−π cos2n t

2dt = 2B(n + 1

2, 1

2) = π

n. 0 < δ < π оцениваем1437 ∫ 2π−δ

δ

(1+cos x)n∫ π−π(1+cos t)n dt

dx 6cos2n δ

2 ·2ππn

= 2n · cos2n δ2−−−−→n→∞

0. �1438

53

Теорема 29.2 (Вейерштрасса). 1. Если g ∈ C[a, b], то ∀ε > 0 ∃ многочлен P (x) : ‖f(x) − P (x)‖ =1439

= max[a,b]|f(x)−P (x)| < ε, причём если f действительнозначная, то многочлен тоже действительнознач-1440

ный.1441

Сел ноут — нет небольшой части лекции.1442

54

Лекция 30 16.12.081443

Здравствуйте, наши телезрители. Сегодня мы начнём изучение тригонометрической системы. Под этим1444

понимается следующая система функций{

12, cosnx, sinnx

}, n ∈ N или

{einx

}n∈Z. Связь очень простая: по1445

формуле Эйлера e−nx = cosnx + i sinnx, cosnx = einx+e−inx

2, sinnx = einx−e−inx

2i. Обе системы являются1446

ортогональными системами в L2 [0, 2π]. Проверять, конечно же, нечего — это очевидно.1447

Тригонометрический многочлен (или полином) T (x) = a02

+n∑k=1

ak cos kx+ bk sin kx (по традиции скобки1448

вокруг членов суммы не ставятся), или, если записывать в другой форме,n∑

k=−ncke

inx.1449

Теорема 30.1 (Вейерштрасса). Пусть f — 2π–периодическая функция.1450

1. Если f ∈ C[0, 2π], то ∀ε > 0 ∃ тригонометрический многочлен T (x) : ‖f(x)−T (x)‖c[0;2π] = maxR|f(x)−T (x)| <1451

< ε.1452

2. Если f ∈ Cn[0, 2π] (пространство n раз непрерывно дифференцируемых функция), то ∀ε > 0 ∃ триго-1453

нометрический многочлен T (x) : ‖f(x)− T (x)‖Cn[0,2π] = max06k6n,x∈R

|f (k) − T (k)(x)| < ε,1454

причём если f действительно, то и в 1) и в 2) T (x) — многочлен с действительными коэф. ak и bk.1455

Доказательство. Рассмотрим аппроксимативную единицу Km(x) = (1+cos x)m∫ 2π0 (1+cos x)m dx

, m ∈ N. f ∗ Km(x) —1456

тригонометрический многочлен. f∗Km(x) =∫ 2π

0f(t)·Km(x−t) dt = 1∫ 2π

0 (1+cos t)m dt

∫ 2π

0f(t)(1 = cos(x−t))m dt.1457

Значит, f ∗Km(x)R⇒

m→∞f(x), (f ∗Km)(x)

R⇒

m→∞f (k)(x). �1458

Теорема 30.2. Тригонометрическая система замкнута (или полна) в L2[0, 2π].1459

Доказательство. Пусть f ∈ L2[0, 2π]. Так как |f − [f ]k| 6 |f | (кстати, почему) и |f − [f ]k| −−−−→k→∞

0 почти1460

всюду на R, то по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла∫ 2

0π|f − [f ]k|2 dx −−−−→

k→∞0,1461

поэтому ∀ε > 0 ∃[f ]n, что ‖f − [f ]n‖L2[0,2π] < ε Так как [f ]n измерима, то ∃ 2π–периодическая g ∈ C[0, 2π] :1462

µ∗{x ∈ [0, 2π] : [f(x)]n 6= g(x)} < ε2

n2 , |g(x)| 6 n, тогда (H)∫ 2π

0|f(x)− g(x)|2 dx < (2n)2 · ε

2

n2 = 4ε2.1463

Почему такая оценка верна? Существует открытое множество G ⊃ {x ∈ [0, 2π] : f(x) 6= g(x)}, µ∗G < ε2

n2 .1464

Масштаб δ(x): если x ∈ G, то Bδ(x)(x) ⊂ G, δ(x) = 1 на [0, π] \ G. Пусть T — любое отмеченное разбиение,1465

согласованное с δ(x), тогда∣∣∣∣∑i

|[f ]n(ξi)− g(ξi)|2 · |Δi|∣∣∣∣ 6 ∑

ξi∈G(2n)2 · |Δi| 6 4n2 · µ∗G < 4ε2.1466

Оценка интеграла (которая< 4ε2) означает, что ‖[f ]n−g‖L2 < 2ε. Существует g ∈ C[0, 2π] : ‖[f ]n−g‖L2[0,2π].1467

Применим теорему 1 к функции g: ∀ε > 0 существует тригонометрический многочлен T (x) : ‖g(x)−t(x)‖C[0,2π] =1468

= maxR|g(x)−T (x)| < ε. Существует тригонометрический многочлен T (x) : ‖g−T‖L2[0,2π] =

√∫ 2π

0|g(x)− T (x)|2 dx <1469

<√∫ 2π

0|g(x)− T (x)|2 dx <

√ε2 · 2π =

√2π · ε.1470

‖f − T‖L2[0,2π] 6 ‖f − [f ]n‖+ ‖[f ]n − g‖+ ‖g − T‖ < (3 +√

2πε). �1471

Если f — 2π–периодическая функция, ∈ H[0, 2π], то её рядом Фурье называется тригонометрический1472

ряд σ[f ] = a02

+∞∑k=1

ak cos kx + bk sin kx =∞∑

k=−∞cke

ikx, где ak = 1π

∫ 2π

0f(t) cos kt dt, k = 0, 1, . . . ,, bk =1473

= 1π

∫ 2π

0f(t) sin kt dt, k = 1, 2, . . . или ck = 1

2π

∫ 2π

0f(t) ·eikx dt = 1

2π

∫ 2π

0f(t) · e−ikx dt— коэффициенты Фурье.1474

Свойства.1475

1. Если α— число, то σ[αf ] = α·σ[f ] для f — 2π–периодической, f ∈ H[0, 2π], если f, g— 2π–периодические1476

и f, g ∈ H[0, 2π], то σ[f ± g] = σ[f ]± σ[g].1477

2. Если f — 2π–периодическая , f ∈ H[0, 2π], fn(x) = f(x− h), то σ[fn] = σ[f ](x− h) = σh[f ].1478

Доказательство. ck(fn) = 12π

∫02π

f(t−h)e−ikt dt = 12π

∫ 2π

0f(x)e−ik(x+h) dx = 1

2π

∫ 2π

0f(x)e−ikx dx·e−ikh =1479

= ck(f) ·e−ikh. σ[fn](x) =∞∑k=1

ck(fn) ·eikx =∞∑

k=−∞ck(f) ·e−ikh ·eihx =

∞∑k=−∞

ck(f)eik(x−h) = σ[f ](x−h) =1480

= σn[f ]. �1481

3. Если f — 2π–периодичная, f ∈ H[0, 2π], f−(x) = f(−x), то σ[f−](x) = σ[f ](−x) = σ−[f ](x).1482

4. Если f, g— 2π–периодические и f, g ∈ L2[0, 2π], то ck(f ∗ g) = ck(f) · ck(g), k ∈ Z.1483

55

Доказательство. Рассмотрим случай, когда f(x) = einx, g(x) = e−mx. f ∗ g =∫ 2π

0ein(x−t)− eimt dt =1484

=∫ 2π

0ei(m−n)t dt · einx =

{0, m 6= n

einx, m = n. Свойство 4 верно.1485

Если f = T — тригонометрический многочлен, g = P — также тригонометрический многочлен, то1486

свойство тоже верно. То есть, верно, что ck(T ∗ P ) = ck(T ) · ck(P ). ∀f ∈ L2[0, 2π] существует тригоно-1487

метрический многочлен Tk −−−−→k→∞

f в L2[0, 2π]. Пусть Tl → f ∈ L2[0, 2π], Pl −→ g ∈ L2[0, 2π], тогда1488

ck(Tl) −→ ck(f), ck(Pl) −→ ck(g). |ck(Tl)−ck(f)| = |ck(Tl−f)| = |(Tl−f, e−kx)| 6 ‖Tl−f‖‖eikx‖ −−−→e→∞

0.1489

Tl∗Pl(x)[0,2π]

⇒l→∞

f∗g(x), f∗g(x) = (f(x− t), g(t)). |Tl∗Pl(x)−f∗g(x)| =∣∣(Tl(x− t),P l(t))− (f(x− t), g(t))

∣∣ 61490

6∣∣(Tl(x− t)− f(x− t),P l(t)

)+(f(x− t),P l(t)− g(t)

)∣∣ 6 ‖Tl−f‖·‖P l‖+‖f‖·‖P l−g‖ = ¯o(1)·O(1)+O(1)·¯o(1) =1491

= ¯o(1). Значит, Ck(Tl ∗ Pl) −−−→l→∞

Ck(f ∗ g). То есть, Ck(f ∗ g) = ck(f) · ck(g). �1492

5. Если f — 2π–периодическая и всюду дифференцируема, то σ[f ′] = σ′[f ].1493

Доказательство. ck(f ′) = 12π

H∫ 2π

0f ′(t)·e−ikt dt = 1

2πR – S

∫ 2π

0e−ikt df(t) = −1

2πR – S

∫ 2π

0f(t) de−ikt =1494

= 12π·ik(H)

∫ 2π

0f(t)·e−ikt dt = ikCk(f). σ[f ′](x) =

∞∑k=−∞

ck(f′)eikx =

∞∑k=−∞

ck(f)ikeikx =∞∑

k=−∞ck(f)(e−ikx)′.�1495

6. Для любой 2π–периодической f ∈ L2[0, 2π] и любого отрезка [A,B]∫ Baf(x) dx =

∞∑k=−∞

ck(f)∫ BAeikx dx.1496

Почему это так: пусть [A,B] ⊂ [0, 2π]. Тогда написанная формула — равенство Парсеваля для произ-1497

ведения f и ξ[A,B].∫ BAf(x) dx =

(f, ξ[A,B]

)= 2π

∞∑k=−∞

ck(f)ck(ξ[A,B]) = 2π∞∑

k=−∞ck(f) 1

2π

∫ BAe−ikt dt =1498

=∞∑

k=−∞ck(f)

∫ BAeikt dt1499

56

Лекция 31 19.12.081500

Напомним равенство Парсеваля: ‖f‖2 =∑k

|fk|2‖ek‖2. Для нашей конкретной системы:∫ 2π

0|f(t)|2 dt =1501

= π|a0|22

+ π∞∑k=1

|ak|2 + |bk|2 = 2π∞∑

k=−∞|ck|2.1502

Теорема 31.1. Если f — 2π–периодическая абсолютно интегрируемая по Курцвейлю–Хенстоку на перио-1503

де функция (то есть f, |f | ∈ H[0, 2π]), то коэффициенты Фурье f стремятся к 0, то есть an(f) −−−−→n→∞

0,1504

bn(f) −−−−→n→∞

0, cn(f) −−−−→n→∞

0.1505

Доказательство. Пусть f, |f | ∈ H[0, π], тога 0 6 |[f(x)]n| 6 |f(x)|, [f(x)]n −−−−→n→∞

f(x) почти всюду, по1506

теореме Лебега∫ 2π

0|f(x)−[f(x)]n| dx −−−−→

n→∞0. ∀ε > 0 ex[f ]n :

∫ 2π

0|f(x)−[f(x)]n| dx < ε. Тогда |ck(f−[f ]n)| =1507

=∣∣∣ 12π

∫ 2π

0(f(x)− [f(x)]n) e−inx dx

∣∣∣ < ε2π

. [f ]n ∈ L2[0, π] как ограниченная измеримая функция, по равенству1508

Парсеваля ck([f ]n) −−−−→|k|→0

0, то есть ∃N ∈ N ∀k, |k| > N : |ck([f ]n)| < ε2. Тогда при |k| > N |ck(f)| 61509

6 |ck(f − [f ]n)|+ c− k([f ]n) < ε2π

+ ε2< ε. �1510

Для тригонометрического ряда σ = a02

+∞∑k=1

ak cos kx+bk sin kx =∞∑

k=−∞cke

ikx. Частичная сумма Sn(x) =1511

= a02

+n∑k=1

ak cos kx+ bk sin kx =n∑−ncke

ikx.1512

Sn(f, x) =n∑

k=−nck(f)eikx =

n∑k=−n

12π

∫ 2π

0f(t)e−ikt dteikx = 1

2π

n∑k=−n

∫ 2π

0f(t)eik(x−t) dt =1513

= 12π

∫ 2π

0

∫ 2π

0f(t)

n∑k=−n

eik(x−t) dt = 12π

∫ 2π

0f(t)· e

−in(x−t)−ei(n+1)(x−t)

1−ei(x−t) dt = 12π

∫ 2π

0f(t) e

−i(n+ 12 )x−t−ei(n+ 1

2 )(x−t)

e−i 12 (x−t)−ei

12 (x−t)

dt =1514

= 12π

∫ 2π

0f(t)

−2i sin(n+ 12 )(x−t)

−2i sin x−t2 dt = 1π

∫ 2π

0f(t) · sin(n+ 1

2 )(x−t)2 sin x−t

2dt.1515

Sn(f ;x) = 1πf ∗Dn(x), где Dn(t) =

sin(n+ 12 )t

2 sin t2

— ядро Дирихле.1516

Теорема 31.2 (признак Дини).1517

Пусть f — 2π–периодическая абсолютно интегрируемая по Курцвейлю–Хенстоку на периоде функция и1518

существует такое число S и δ > 0, что∫ δ0

∣∣∣ f(x+t)+f(x−t)−2St

∣∣∣ dt существует и конечный. Тогда ряд Фурье1519

сходится в точке x к S.1520

Доказательство. ∀ε > 0 ∃δ > 0:∫ δ0

∣∣∣ f(x+t)+f(x−t)−2St

∣∣∣ dt < ε. Sn(f, x) − S = 1π

∫ π−π f(x − t)Dn(t) dt −1521

− 1π

∫ π−π S ·Dn(t) dt = 1

π

(∫ π0

+∫ 0

−π

)(f(x− t)− S)Dn(t) dt = 1

π

∫ π0

(f(x− t) + f(x+ t)− 2S)Dn(t) dt =1522

= 1π

(∫ δ0

+∫ πδ

)f(x+t)+f(x−t)−2S

2 sin t2

sin(n+ 1

2

)δ = I1 + I2, 0 < δ < π. sinx > 2

πx на

[0, π

2

]в силу выпуклости1523

sinx.1524

Значит, |I1| 6 1π

∫ δ0

∣∣∣ f(x+t)+f(x−t)−2S2πt

∣∣∣ dt = ε2.1525

I2 = 1π

∫ π−π

f(x+t)+f(x−t)−2S

2 sin t2

ξ[δ;π](t)·(sin t

2· sinnt+ sin t

2· cosnt

)dt = bn

(f(x+t)+f(x−t)−2S

2 sin t2

· ξ[δ;π](t) · cos t2

)+1526

+an(f(x+t)+f(x−t)−2S

2 sin t2

· ξ[δ;π](t) · sin t2

)−−−−→n→∞

0. Значит, найдётся такое N , что ∀n > N : |I2| < ε2. Значит, всё1527

сходится и теорема доказана. �1528

Следствие 31.2.1. Если f диф. в точке x или имеет конечные левую и правую производные, то ряд Фурье1529

f сходится в точке x к f(x).1530

Теорема 31.3 (принцип локализации Римана). Если f и g— 2π–периодические абсолютно интегриру-1531

емые по Курцвейлю–Хенстоку функции и существует Bδ(x), что f(x) = g(x) на Bδ(x), то ряды Фурье1532

одновременно сходятся или расходятся, а в случае сходимости сходятся к одному и тому же числу.1533

Доказательство. Это очень просто. Рассмотрим ряд Фурье σ(f − g, x). В окрестности 0 получаем тожде-1534

ственно нулевую функцию. По признаку Дини он сходится к 0 в точке x. �1535

Метод суммирования средних арифметических (Чезаро–Фейера).1536

σn(x) = 1n

n−1∑k=0

Sk(x). σn(f, x) = 1πn

n−1∑k=0

f∗Dk(x) = 1πf∗(

1n

n−1∑k=0

Dk

)(x). 1

n

n−1∑k=0

sin(k+ 12 )

2 sin t2

= 1n

n−1∑k=0

sin(k+ 12 )·2 sin t

22 sin2 t

2=1537

= 12 sin2 t

2

n−1∑k=0

12

(cos kt− cos(k + 1)t) = 1−cosnt4n sin2 t

2=

sin2 n2 t

2n sin2 t2.1538

σn(f, x) = 1πf ∗Kn(x), где Kn(t) = 1−cosnt

4n sin2 t2

=sin2 n

2 t

2n sin2 t2

— ядро Фейера.1539

57

1πKn(t) — аппроксимативная единица для 2π–периодического случая. Действительно, 1

π

∫ π−πKn(t) dt = 11540

(вспомним доказательство теоремы Дини — там было выяснено что-то похожее про ядро Дирихле). Также1541

Kn(t) > 0 на [−π, π].1542

Давайте докажем третье свойство: ∀δ > 0∫ 2π−δδ

Kn(t) dt −−−−→n→∞

0.∫ 2π−δδ

Kn(t) dt 6 1

2n sin2 δ2· 2π −−−−→

n→∞0.1543

То есть, действительно аппр. ед.1544

Теорема 31.4 (Фейера). Если f — 2π–периодичная абсолютно интегрируемая по Курцвейлю–Хенстоку1545

функция, то1546

1. В каждой точке непрерывности f среднее арифметическое ряда Фурье f σn(f, x) −−−−→n→∞

f(x).1547

2. В каждой точке устранимого разрыва или разрыва первого рода σn(f, x) −−−−→n→∞

f(x+0)+f(x−0)2

1548

3. Если f непрерывна на периоде (на R), то σn(f, x)R⇒

n→∞f(x).1549

Доказательство. Первое и третье следует из свойств аппроксимативной единицы. Второе: пусть 2π–периодическая1550

g(x) =

f(x+ 0), x ∈ (x, x+ π)

f(x− 0), x ∈ (x− π, x)f(x), x, x± π

1551

g∗Kn(t) = 1π∫ π

−πg(x−t)Kn(t) dt = f(x−0)=f(x+0)

2. f(x)−g(x) непрерывна в точке x, поэтому σn(f−g, x) −−−−→

n→∞0.1552

Значит, σn(f, x) = σn(f − g, x) + σn(g, x) −−−−→n→∞

f(x+0)+f(x−0)2

. �1553

Если ak — - числовая последовательность, k = 0, 1, . . ., σn — её среднее арифметическое, то σn,kn = 1kn

=1554

=n+Kn−1∑j=n

aj , kn ∈ N.1555

Лемма 31.1. Если σn −−−−→n→∞

S, а отношение nk n

ограничено сверху, то σn,kn −−−−→n→∞

S.1556

Доказательство. knσn,kn = (n+ kn)σn+kn − nσn =n=kn−1∑j=n

aj . σn,kn = σn+kn + nkn

(σn+kn − σn) = σn+kn +1557

+ O(1) · ¯o(1) −−−−→n→∞

S. �1558

Теорема 31.5 (тауберова теорема Харди). Если члены числового ряда∞∑k=0

αk, αk = O( 1k), средние1559

арифметические частичных сумм σn −−−−→n→∞

S, то частичные суммы Sn −−−−→n→∞

S.1560

Доказательство. σn,kn −Sn = 1kn

n+kn−1∑j=n

(Sj −Sn), |σn,kn −Sn| 6 1knkn

∑j=n+1

n+ kn − 1Cj, где |αk| 6 C

k. То1561

есть, |σn,kn − Sn| 6n+kn−1∑j=n+1

Cknn+1

. ∀ε > 0 выберем kn так, что knn+1

< ε, а 1ε< n

kn< 2

ε. Это можно сделать для1562

n > ε2... И что-то та дальше �1563

Теорема 31.6 (признак Дирихле–Жордана). Если f — 2π–периодичная функция ограниченной вари-1564

ации на периоде, то в каждой точке x ряж Фурье f сходится к f(x+0)+f(x−0)2

.1565

Доказательство. Всё, что нужно доказать — это то, что коэффициенты ряда Фурье ведут себя хорошо по1566

отношению к 1n. ck(f) = 1

2π

∫ 2π

0f(t)e−ikt dt = 1

2π∫ 2π

0f(t) · 1

−ik de−ikt = 1

−ik·2π

∫ 2π

0e−iktdf(t).

∣∣∣∫ 2π

0e−iktdf(t)

∣∣∣ 61567

6 |e−ikt| cotVar f = C. Значит, ck(f) 6 Ck. �1568

58

Лукашенко т.п. - Лекции iii-семестр

Documents