第五章无限长单位冲激响应（ iir ）数字滤波器的设计方法 (3)

1

第五章第五章无限长单位冲激响应（无限长单位冲激响应（ IIII

RR ）数字滤波器的设计方法）数字滤波器的设计方法(3)(3)

尚勇尚勇

2

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）

上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的上节介绍的冲激响应不变法是一种线性映射的设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失设计方法，其缺点是会产生频率响应的混叠失真，这主要是因为从真，这主要是因为从 ss 平面到平面到 zz 平面的映射是多平面的映射是多值（多对一）的映射关系。双线性变换法就是值（多对一）的映射关系。双线性变换法就是从克服混叠失真的角度出发，寻找从从克服混叠失真的角度出发，寻找从 ss 平面到平面到 zz平面的单值映射关系。平面的单值映射关系。

其原理是先将其原理是先将 ss 平面进行压缩至平面进行压缩至 ss11 平面，再将平面，再将压缩的压缩的 ss11 平面向平面向 zz 平面进行单值映射。由于这平面进行单值映射。由于这种映射是单值的，可以很好的克服频率响应的种映射是单值的，可以很好的克服频率响应的混叠失真，但值得注意的是，这种映射是非线混叠失真，但值得注意的是，这种映射是非线性的性的

3

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）一、变化原理一、变化原理

双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法，其变换原理为：的频率响应相似的一种变换方法，其变换原理为：

11 、首先把整个、首先把整个 ss 平面压缩变换到某一平面压缩变换到某一 ss11 平面的一条横条平面的一条横条内（从内（从 --ππ//TT 到到 ππ//TT ）；）；

22 、利用、利用 zz=e=ess11T T 将将 ss11 平面内的横条变换到整个平面内的横条变换到整个 zz 平面上去。平面上去。

Re(z)

jIm(z)

Z平面

σ1

jΩ1

-π/T

π/T

S1平面

σ

jΩ

S 平面

图图 7 7 双线性变换的映射关系双线性变换的映射关系

这种映射显然是单值映射，有效地克服了混叠失真这种映射显然是单值映射，有效地克服了混叠失真

4


1tan( ) (5.17)2

T＝

(1) (1) ss 平面平面 ss11 平面：平面：

将将 ss 平面整个虚轴平面整个虚轴 jj 压缩至压缩至 ss11 平面虚轴平面虚轴 jj 上的上的

(-(-//TT ，， //TT)) 这一段内，压缩关系为：这一段内，压缩关系为：

通过上式就将通过上式就将 (-(- ，， ) ) 11(-(-//TT ，， //TT))

其中其中 ++ //TT ，， -- - -//TT ，， 0 00 0

(5.17)(5.17) 式按指数形式展开可另写为：式按指数形式展开可另写为：1 1

1 1

2 2

2 2

T Tj j

T Tj j

e ej

e e

5


1 1

1

1 1 1

2 21

2 2

1( ) (5.18)

2 1

s T s Ts T

s T s T s T

s Te e es th

ee e

将这一压缩变换延拓至整个将这一压缩变换延拓至整个 ss 平面和平面和 ss11 平面有平面有

1 (5.19)s Tz e(2) (2) 将将 ss1 1 平面映射到平面映射到 z z 平面平面 (( 映射关系如下映射关系如下 ))

1

1

1 1, (5.20)

1 1

z ss z

z s

反之，

结合结合 (1)(1) 、、 (2)(2) 两步变换，可得双线性变换法中由两步变换，可得双线性变换法中由 s s 平面平面 z z 平面的单值映射为平面的单值映射为

以上就是双线性变换的原理及映射公式。以上就是双线性变换的原理及映射公式。

6

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）实际上，为了设计上的灵活性，如为了使模拟滤波实际上，为了设计上的灵活性，如为了使模拟滤波器的某一特定频率与数字滤波器的任一频率有对应器的某一特定频率与数字滤波器的任一频率有对应关系（由于非线性映射，使得模拟频率和数字频率关系（由于非线性映射，使得模拟频率和数字频率不再是线性对应关系），可引入待定常数不再是线性对应关系），可引入待定常数 cc ，通过，通过cc 的选择来实现不同的频率对应关系。的选择来实现不同的频率对应关系。加入常数加入常数 cc 之后的双线性变换公式为之后的双线性变换公式为

1

1

1

1

1

1

tan( ) (5.21)2

1( ) (5.22)

2 1

1(5.23)

1

(5.24)

s T

s T

Tc

s T es cth c

e

zs c

zc s

zc s

及

7


二、变换常数二、变换常数 cc 的选择的选择

前面提到，常数前面提到，常数 cc 的选择（改变）为模拟滤波器的选择（改变）为模拟滤波器到数字滤波器频率的映射提供了一定的灵活性，到数字滤波器频率的映射提供了一定的灵活性，通过常数通过常数 cc 的不同选择可以起到灵活调节数字滤的不同选择可以起到灵活调节数字滤波器频带的作用。波器频带的作用。

常用选择常用选择 cc 的方法和依据、准则主要有：的方法和依据、准则主要有：

8


1 1tan( )2 2

T T

11

2

2

Tc c

T

因为当因为当 11 ＝＝ / / T T 较小时，有较小时，有

根据根据 (5.21)(5.21) 式可知，此时式可知，此时

即当即当 cc=2/=2/TT 时，可保证模拟滤波器低频特性近时，可保证模拟滤波器低频特性近似于数字滤波器的低频特性似于数字滤波器的低频特性

11 、选择、选择 cc ，使得模拟滤波器和数字滤波器在低频，使得模拟滤波器和数字滤波器在低频端有较确切的对应关系，即在低频端有端有较确切的对应关系，即在低频端有＝＝ 11

9

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）22 、选择、选择 cc ，使数字滤波器的某一特定频率，使数字滤波器的某一特定频率

（如截止频率（如截止频率 ωωcc==ΩΩ11ccTT ）与模拟滤波器的）与模拟滤波器的一个特定频率一个特定频率 ΩΩcc=2=2ffcc 严格对应，即严格对应，即

这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定这种选择的优点在于：在特定的模拟频率和特定的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可的数字频率处，有严格相等的频率响应，因而可以较准确地控制截止频率的位置。以较准确地控制截止频率的位置。

1tan( ) tan( )2 2c c

c

Tc c

( )2c

cc ctg

此时有此时有

10


三、双线性变换法优缺点分析三、双线性变换法优缺点分析

双线性变换法的主要优点是避免了频率响应的双线性变换法的主要优点是避免了频率响应的混叠现象。混叠现象。

关于这一点，通过前面的图关于这一点，通过前面的图 77 和（和（ 5.175.17 ）式和）式和（（ 5.215.21 ）式就可以清楚的看到。）式就可以清楚的看到。下面再具体说明一下双线性变换法的有效性下面再具体说明一下双线性变换法的有效性（正确性）（正确性）

11


11

1

1 1. tan( ) . tan( ) (4.25)

1 1 2 2

j

j

Tz es c c j c j c j

z e

2 2

2 2

( )

( )

cz

c

首先将首先将 zz=e=ejj 代入代入 (5.23)(5.23) 式，可得式，可得

即即 ss 平面的虚轴的确与平面的虚轴的确与 zz 平面的单位圆相对应平面的单位圆相对应 ((jj eejj))

其次，将其次，将 ss==++jj 代入代入 (5.24)(5.24) 式，有式，有( )

( )

c s c jzc s c j

此时此时 zz 的模为的模为

12


0, 1; s z

0, 1; s z

s z0, 1;

z

z

z

当有平面左半平面映射到平面单位圆内当有平面右半平面映射到平面单位圆外

平面虚轴映射到平面单位圆上当有

讨论：讨论：

所以，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得所以，稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得的数字滤波器也一定是稳定的的数字滤波器也一定是稳定的

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tan( ) (5.26)2

c

ΩΩ ωω

∞∞

00

-∞-∞

ππ

00

- - ππ

根据根据 ΩΩ 和和 ΩΩ11, , ωω 的关系，由（的关系，由（ 5.215.21 ）式，及）式，及 ωω= =

ΩΩ11TT 的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率的关系式可得到双线性变换法的模拟角频率ΩΩ 和数字频率和数字频率 ωω 之间的变换关系为之间的变换关系为

关键频点的对应关系：关键频点的对应关系：

它表示它表示是单值的一一对应的映射关系是单值的一一对应的映射关系

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ωω

ΩΩ//cc

--ππ ππ

ΩΩ==cctan(tan(ωω/2)/2)

上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠上述对应关系优点：有效避免了频谱混叠缺点：有可能存在严重的非线性失真，这一点是由缺点：有可能存在严重的非线性失真，这一点是由 ttanan 函数所决定的，函数所决定的， tan(.)tan(.) 函数在函数在 00 附近有较好的线附近有较好的线性近似，但随着性近似，但随着 ΩΩ 的增加，的增加， ΩΩ 和和 ωω 之间便存在着之间便存在着严重的非线性关系，如下图严重的非线性关系，如下图 88 所示。所示。

根据前面的讨论，当根据前面的讨论，当 cc=2/=2/TT 时，能保证在低频端时，能保证在低频端 ωω 和和ΩΩ 有效的近似线性关系。有效的近似线性关系。但随着但随着 ΩΩ 的增大，的增大， ΩΩ 和和 ωω 之间存在严重的非线性关系之间存在严重的非线性关系

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这种非线性关系可带来的问题有：这种非线性关系可带来的问题有：

11 、线性相位的模拟滤波器经过这种非线性变换后，得、线性相位的模拟滤波器经过这种非线性变换后，得到的数字滤波器是非线性相位的。到的数字滤波器是非线性相位的。

22 、这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必、这种非线性关系要求模拟滤波器的幅频响应必须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应应须是分段常数型的，即某一频率段的幅频响应应近似等于某一常数，否则变换后所产生的数字滤近似等于某一常数，否则变换后所产生的数字滤波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会波器幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应会有畸变，换句话说，经过这种非线性变换设计出有畸变，换句话说，经过这种非线性变换设计出的数字滤波器不能很好的反映出原模拟滤波器幅的数字滤波器不能很好的反映出原模拟滤波器幅频特性随模拟频率变化的部分。频特性随模拟频率变化的部分。

（非线性变化会造成，当（非线性变化会造成，当 ΩΩ 的刻度是均匀的时的刻度是均匀的时候，映射到候，映射到 zz 平面平面 ωω 的刻度则是不均匀的，而是的刻度则是不均匀的，而是随着随着 ωω 的增加越来越密。各关键频点的变换用的增加越来越密。各关键频点的变换用 ΩΩ==cctan(tan(ωω/2)/2) 来计算。）来计算。）

16

33 、好在一般典型的低通、高通、带通、带阻滤波、好在一般典型的低通、高通、带通、带阻滤波器的幅频特性在大部分频段都是分段常数型的，但器的幅频特性在大部分频段都是分段常数型的，但在这些滤波器各分段边缘临界频率点附近，其幅频在这些滤波器各分段边缘临界频率点附近，其幅频特性是会随着频率变化的，这时设计的数字滤波器特性是会随着频率变化的，这时设计的数字滤波器就会有畸变，为了克服这种频率畸变，可通过频率就会有畸变，为了克服这种频率畸变，可通过频率预畸变来加以校正。预畸变来加以校正。预畸变原理：预畸变原理：按照给定的数字滤波器关键频率点，用按照给定的数字滤波器关键频率点，用 ΩΩ==cctan(tan(ωω/2)/2) 来求解相应的模拟滤波器的关键频率点，而不是来求解相应的模拟滤波器的关键频率点，而不是用用 ΩΩ==ωω//TT 来求解。根据来求解。根据 ΩΩ==cctan(tan(ωω/2)/2) 得到了模拟滤得到了模拟滤波器各关键频率点之后，设计相应的模拟滤波器，波器各关键频率点之后，设计相应的模拟滤波器，再用双线性变换法设计相应的数字滤波器，则此时再用双线性变换法设计相应的数字滤波器，则此时得到的数字滤波器各关键频率点正是给定的数字滤得到的数字滤波器各关键频率点正是给定的数字滤波器的关键频点。波器的关键频点。

17

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）四、数字滤波器的双线性设计方法四、数字滤波器的双线性设计方法

1

1

1(5.23)

1

zs c

z

根据（根据（ 5.235.23 ）式）式

有有1

1

1

11

1

1( ) ( ) [ ] (5.27)

1a azs c

z

zH z H s H c

z

利用（利用（ 5.275.27 ）式可直接完成双线性变换设计，但）式可直接完成双线性变换设计，但当滤波器阶数较高时，将当滤波器阶数较高时，将 HH((zz)) 整理成需要的形式，整理成需要的形式，不是一件简单的工作。为了方便设计，目前已将不是一件简单的工作。为了方便设计，目前已将模拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字模拟滤波器各系数和经双线性变换法得到的数字滤波器各系数之间的关系，列成表格供设计时使滤波器各系数之间的关系，列成表格供设计时使用，见书中用，见书中 PP251251 表表 66－－ 22 。。

18


NN

NN

z

zcs

a

NN

NN

a

zBzBzB

zAzAzAAzH

sHzH

sesesee

sdsdsddsH

...1

...)(

)()(

...

...)(

22

11

22

110

1

1

2210

2210

1

1

表中各参数含义如下各式所示表中各参数含义如下各式所示

当然，由于双线性变换法中当然，由于双线性变换法中 ss 和和 zz 之间变换关系为之间变换关系为 ss==cc(1-(1-zz-1-1)/(1+)/(1+zz-1-1)) ，是非超越函数关系，故可先将模拟系，是非超越函数关系，故可先将模拟系统的系统函数统的系统函数 HHaa((ss)) 分解成并联的子系统或级联的子分解成并联的子系统或级联的子系统，再对每个子系统函数分别用双线性变换进行设系统，再对每个子系统函数分别用双线性变换进行设计。而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，计。而模拟系统函数的分解已有大量的图表可以利用，分解起来可直接查表进行，方便易行。分解起来可直接查表进行，方便易行。

19


misHzHz

zcs

ai i......3,2,1)()(

1

1

1

1

其中

将将 HHaa((ss)) 分解为级联子系统分解为级联子系统 HHaa((ss)=)=HHaa11((ss))HHaa22((ss)…)…HHaamm((ss))

对对 HHaiai((ss)) 分别做双线性变换后得到分别做双线性变换后得到

HH((zz)=)=HH11((zz))HH22((zz)…)…HHmm((zz))

misHzHz

zcs

ai i......3,2,1)()(

1

1

1

1

其中

将将 HHaa((ss)) 分解为并联子系统分解为并联子系统

HHaa((ss)=)=HHaa11((ss))＋＋ HHaa22((ss))＋…＋＋…＋ HHaamm((ss)) ，，

对对 HHaiai((ss)) 分别做双线性变换后得到分别做双线性变换后得到

HH((zz)=)=HH11((zz))＋＋ HH22((zz))＋…＋＋…＋ HHmm((zz))

20

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）例：已知模拟滤波器例：已知模拟滤波器 HHaa((ss)=1/(1+)=1/(1+ss)) ，试利用双线性，试利用双线性变换法，将变换法，将 HHaa((ss))转换成数字滤波器转换成数字滤波器 HH((zz)) ，要求模，要求模拟滤波器和数字滤波器在低频端有确切的对应关系。拟滤波器和数字滤波器在低频端有确切的对应关系。

解：解：1

1

1

1

( ) ( )a zs c

z

H z H s

1

1

1 1

1 1 12 1

1

(1 ) 1( ) ( )

2(1 ) (1 ) 3a zsT z

T z zH z H s

z T z z

按要求，此时按要求，此时 cc=2/=2/TT ，令，令 TT=1=1ss ，，则上式有则上式有

21


下面分别画出上式中的下面分别画出上式中的 ||HHaa((jjΩΩ))|| 和和 ||HH((eejjωω))||

ππ /2/2 ππ

||HHaa((jjΩ )Ω )||

ΩΩ

||HH((eejωjω ) )||

ωω

由图可见，由图可见， HHaa((jjΩΩ))并不是带限的，它拖了很长并不是带限的，它拖了很长的“尾巴”，但由于双线性变换具有频率压缩的“尾巴”，但由于双线性变换具有频率压缩作用，故设计得到的作用，故设计得到的 HH((eejjωω))被限制在被限制在 (0,(0,ππ]] 之间，之间，故不存在频率混叠现象。故不存在频率混叠现象。

22

§ 5.4 § 5.4 双线性变换法（频域逼近法）双线性变换法（频域逼近法）通过上述两节的讨论，我们介绍了两种最常用的由通过上述两节的讨论，我们介绍了两种最常用的由模拟滤波器设计数字滤波器的设计方法，这两种方模拟滤波器设计数字滤波器的设计方法，这两种方法各有优缺点。法各有优缺点。在下一节里我们将通过一个较完整的设计例子来总在下一节里我们将通过一个较完整的设计例子来总结由模拟滤波器到数字滤波器的设计方法。给出设结由模拟滤波器到数字滤波器的设计方法。给出设计步骤，同时指出设计中应注意的问题。计步骤，同时指出设计中应注意的问题。

作业：作业： 33

23

§5.5 §5.5 由模拟滤波器到数字滤由模拟滤波器到数字滤波器的设计举例波器的设计举例

24

由模拟滤波器到数字滤波器设计举例由模拟滤波器到数字滤波器设计举例首先给出这种设计思想的设计步骤首先给出这种设计思想的设计步骤以数字低通滤波器的设计为例以数字低通滤波器的设计为例⑴ ⑴ 确定数字滤波器的性能指标确定数字滤波器的性能指标 (( 设计要求设计要求 )) ，，这一步根据工程需要，明确设计指标这一步根据工程需要，明确设计指标⑵ ⑵ 确定对应的模拟低通滤波器的性能指标确定对应的模拟低通滤波器的性能指标

这一步主要是根据设计方法，利用相应的映射这一步主要是根据设计方法，利用相应的映射关系将数字低通滤波器的关键频率参数映射到关系将数字低通滤波器的关键频率参数映射到模拟域得到模拟低通滤波器相应的频率参数。模拟域得到模拟低通滤波器相应的频率参数。

当采用冲激响应不变法设计时，映射关系为当采用冲激响应不变法设计时，映射关系为 ==//TT

当采用双线性变换法设计时，映射关系为当采用双线性变换法设计时，映射关系为 ==cctan(tan(/2)/2)

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⑶ ⑶ 按照模拟低通滤波器的参数和性能指标，利按照模拟低通滤波器的参数和性能指标，利用模拟低通滤波器设计方法设计模拟低通滤波器，用模拟低通滤波器设计方法设计模拟低通滤波器，得到得到 HHaa((ss))

⑷ ⑷ 利用冲激响应不变法或双线性变换法，利用冲激响应不变法或双线性变换法，由由 HHaa((ss)) 得到得到 HH((zz))

以上设计步骤中以上设计步骤中

第第 (1)(1) 步要明确工程要求，确定满足这一要求的数步要明确工程要求，确定满足这一要求的数字低通滤波器指标；字低通滤波器指标；第第 (2)(2) 步确定用何种方法步确定用何种方法 (( 冲激响应不变法或双线冲激响应不变法或双线性变换法等性变换法等 ))完成模拟低通滤波器到数字低通滤波完成模拟低通滤波器到数字低通滤波器的设计；器的设计；第第 (3)(3) 步完全是模拟滤波器的设计问题，为了下面步完全是模拟滤波器的设计问题，为了下面设计举例的完整性，这里我们予以简单介绍；设计举例的完整性，这里我们予以简单介绍；第第 (4)(4) 步实现模拟滤波器到数字滤波器的设计。步实现模拟滤波器到数字滤波器的设计。

26

模拟低通滤波器设计方法简介模拟低通滤波器设计方法简介

2

2

1( ) (5-28)

1

a N

c

H j

2 1 1( ) ( )

2 2a c a cH j H j

1

( 0)20lg 20lg 2 3

( )a

a c

H jdB

H j

在设计举例之前，有必要先简单介绍一下在设计举例之前，有必要先简单介绍一下模拟滤波器设计的思想和方法。模拟滤波器设计的思想和方法。一、巴特沃思低通逼近一、巴特沃思低通逼近 ((又称最平幅度逼近又称最平幅度逼近 ))

巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为巴特沃思低通滤波器幅度平方函数定义为

其中其中 NN 为滤波器的阶次，为滤波器的阶次， cc 称为截止频率称为截止频率 , , 当当 ==cc 时有时有

通常允许的最大衰减通常允许的最大衰减 ((波纹波纹 ) )

所以又称所以又称 cc 为巴特沃思低通滤波器的为巴特沃思低通滤波器的 3dB3dB 带宽。带宽。

27

模拟低通滤波器设计方法简介模拟低通滤波器设计方法简介3dB3dB 带宽是一个很有用的指标——代表功率谱以最带宽是一个很有用的指标——代表功率谱以最大值下降到一半时对应的频带宽度。大值下降到一半时对应的频带宽度。

巴特沃思低通滤波器的特点：巴特沃思低通滤波器的特点：11=0=0 时，时， ||HHaa((jj)|)|22=1=1 ，滤波器在，滤波器在 =0=0 处无衰处无衰减减

22==cc 时，时， ||HHaa((jj)|)|22=1/2=1/2 ，无论滤波器如何设，无论滤波器如何设计计 (( 即选择不同的即选择不同的 NN)) ，所有的幅频特性均经，所有的幅频特性均经过过 -3dB-3dB 点——点—— 3dB3dB 点不变性点不变性

33<<cc 时，通带内时，通带内 ||HHaa((jj)|)|22 有最平坦的幅度特有最平坦的幅度特性性 (( 与其它滤波器相比与其它滤波器相比 ))当当从从 00 到到 cc 时，时， ||HHaa((jj)|)|22 单调减小，单调减小， NN越大，越大，减小的越慢，即通带越平坦减小的越慢，即通带越平坦

28

⑷ ⑷ 当当 >>cc 时，即在过渡带和阻带内时，即在过渡带和阻带内 ||HHaa((jj)|)|22 也也随着随着的增加而单调减小，从的增加而单调减小，从 (5-28)(5-28) 式可以看到，式可以看到，此时此时 //cc>1>1 ，故比通带内，故比通带内 ((//cc<1)<1) 衰减的速度衰减的速度要快得多，且要快得多，且 NN越大，衰减的速度就越大。当越大，衰减的速度就越大。当 ==stst 时时 (( 即频率为阻带截止频率时，衰减为即频率为阻带截止频率时，衰减为22=-20lg|=-20lg|HHaa((jjstst)|)| ，， 22 —— ——阻带最小衰减阻带最小衰减⑸ ⑸ 巴特沃思滤波器的所有零点均在巴特沃思滤波器的所有零点均在 ss== 处。在有处。在有限的限的 ss 平面仅有极点。因此该滤波器又被称为平面仅有极点。因此该滤波器又被称为“全极点型”滤波器。“全极点型”滤波器。

图图 11. 11. 巴特沃思滤波器幅频特性与其阶数巴特沃思滤波器幅频特性与其阶数 NN 的关系的关系

1

2

c

( )aH j

0

1

N=2

N=8

N=4

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