境界要素法入門 introduction to boundary element...
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境界要素法入門
Introductionto
BoundaryElementMethod(BEM)
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§1.数学的補足
Greenの定理
∂Ω:xy平面上の単一閉曲線
Ω:∂Ωに囲まれる領域
n :∂Ω上の外向き単位法線ベクトル
Greenの定理
A(x):2次元ベクトル場(x = xex + yey;z成分を含まない)に対して,
Ω
∇ · A dxdy =∮
∂Ω
A · n ds (1.1)
Greenの第2定理
スカラー場w(x), u(x)に対して,
Ω
(wu − uw) dxdy =∮
∂Ω
(w∂u∂n− u∂w∂n
)ds (1.2)
∂Ω
n
Ω
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∵)wu − uw = ∇ · (w∇u − u∇w)より,Ω
(wu − uw) dxdy(1.1)=
∮∂Ω
(w∇u − u∇w) · n ds =∮∂Ω
(w∂u∂n− u∂w∂n
)ds
2次元デルタ関数
定義 δ(x) ≡ δ(x)δ(y) (1.3)
性質
i)∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞δ(x) dxdy = 1 ,
∫ ∞
−∞
∫ ∞
−∞f (x)δ(x − z) dxdy = f (z) (1.4)
ii)
Ω
f (x)δ(x − z) dxdy = c(z) f (z) (1.5)
但し,形状係数:c(z) ≡
1 (z ∈ Ω)∆θ(z)
2π(z ∈ ∂Ω)
0 (otherwise)
(1.6)Δθ(z)
z
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§2.2次元 Laplace問題
問題設定
(∗1)
u = 0 in Ωu = u on ΓD
q = q on ΓN
但し,q ≡ ∂u∂n,
u :ΓD上の既知関数,q :ΓN上の既知関数.
重み付き残差表示と逆形式
u = 0 in Ω
⇐⇒ ∀w(x) :
Ω
wu dxdy = 0
⇐⇒ ∀w(x) : −
Ω
uw dxdy =∮
∂Ω
(w∂u∂n− u∂w∂n
)ds (Green’s 2nd Theorem)
Ω
ΓD
ΓN
n
← 重み付き残差表示
逆形式
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§3.境界積分方程式基本解
定義 Aw∗ = δ(x − z) の特解w∗(x, z)をA の基本解という.
−の基本解 w∗(x, z) =1
2πlog
1r 但し,r ≡ |x − z| .
∵)
−w∗ = δ(x − z)⇐⇒
i) w∗ = 0 (for x z)
ii) ∀ε > 0 : −
S εw∗dxdy = 1
i) − w∗ = −[1r∂
∂r
(r∂
∂r
)+
1r2
∂2
∂θ2
]1
2πlog
1r=
12π
1r∂
∂r
(r
1r
)= 0
ii) −
S εw∗ dxdy = −
S ε∇ · (∇w∗) dxdy
(1.1)= −
∮∂S ε∇w∗ · n ds
= −∫ 2π
0
(∂w∗
∂rr)
r=εdθ =
12π
∫ 2π
0dθ = 1
εz
∂Sε
rθ
x
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境界積分方程式
逆形式中に現れる重み関数w(x)として,−の基本解w∗(x, z)を用いると,
c(z)u(z) =∮
∂Ω
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds (3.1)
∵)
Ω
u(x)δ(x − z) dxdy =∮
∂Ω
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds
左辺に (1.5)を適用すると,(3.1)が得られる.
(3.1)の意味
z ∈ Ωのとき,u(z) =∮
∂Ω
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds
内点zにおける u(z)は境界∂Ω上の uと qの分布から計算できる.
2DLaplace問題は境界∂Ω上の uと qの分布を求める問題に帰着した.
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§4.要素分割と近似関数
境界要素分割
i) 境界∂Ω上に境界節点x1, x2, · · · , xNを配置する.
ii) 隣り合った節点を 2個ずつ線分で結ぶことにより,境界要素Γ1, Γ2, · · · , ΓN
を構成する.
x1
x9
x11x10
x8
x7
x6
x5x4
x3 x2
x13x12
Γ1
Γ8
Γ6
Γ7
Γ2
Γ5
Γ4
Γ3
Γ13
Γ10
Γ12
Γ9
Γ11
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準備データ
入力データ変 数 意 味N 全節点数(全要素数)
xi (i = 1, 2, · · · ,N) 第 i節点の位置ベクトル
σ(e, k) (e = 1, 2, · · · ,N; k = 1, 2)第 e 番目の境界要素Γeに属する k番目
の節点の全体節点番号
β(i) (i = 1, 2, · · · ,N) β(i) ≡
0 : xi ∈ ΓD
1 : xi ∈ ΓN
di (i = 1, 2, · · · , N) 第 i節点xi上で与えられたu or qの値
Γe
xσ(e,1)
xσ(e,2)
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ex)下図のような境界要素分割の場合,
σ(e, 1) = e
σ(e, 2) =
e + 1 (e N)1 (e = N)
= Mod(e,N) + 1
x1
x9
x11x10
x8
x7
x6
x5x4
x3 x2
x13x12
Γ1
Γ8
Γ6
Γ7
Γ2
Γ5
Γ4
Γ3
Γ13
Γ10
Γ12
Γ9
Γ11
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近似関数
【仮定】境界要素Γe上で関数 u(x(s)),q(x(s))が弧長 sに関する1次多項式
u(x(s)) =2∑
k=1
uσ(e,k)φk(ξ), q(x(s)) =2∑
k=1
qσ(e,k)φk(ξ) (4.1)
但し,uk ≡ u(xk) , qk ≡ q(xk),
φk(ξ) =12
[1 + (−1)kξ] (k = 1, 2):1次形状関数,
s =le2
(ξ + 1).
【Γeのベクトル方程式】
x(ξ) =2∑
k=1
xσ(e,k)φk(ξ) (−1 ξ 1) (4.2)
∵)x = xσ(e,1) +sle
[xσ(e,2) − xσ(e,1)] (0 s le)より自明.
Γe
xσ(e,1)
xσ(e,2)
x(s)
sle
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§5.離散化
境界積分方程式の離散化
u = 0 in Ω⇐⇒ c(z)u(z) =∮∂Ω
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds (3.1)
離散化手順
① (3.1)中の∂Ωを∂Ω N⋃
e=1
Γeで近似.
c(z)u(z) =N∑
e=1
∫Γe
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds (5.1)
② z = xiと u, qの近似式 (4.1)を (5.1)に代入.
c(xi) ui =
N∑e=1
2∑k=1
[gkei qσ(e,k) − hk
ei uσ(e,k)] (i = 1, 2, · · · ,N) (5.2)
但し,gkei ≡∫Γe
w∗φk ds, hkei ≡∫Γe
∂w∗
∂nφk ds:影響係数
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行列方程式
(5.2)⇐⇒ Hu = Gq (5.3)
但し,
u ≡N∑
i=1
uiei, q ≡N∑
i=1
qiei,
H =N∑
i=1
c(xi) eieTi +
N∑i=1
N∑e=1
2∑k=1
hkei eieT
σ(e,k), (5.4a)
G =N∑
i=1
N∑e=1
2∑k=1
gkei eieT
σ(e,k). (5.4b)
H, G:影響行列.
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境界条件の離散化
”β(i) = 0 =⇒ ui = di ; β(i) = 1 =⇒ qi = di”
⇐⇒ eTi+Nβ(i)
[uq
]= di (i = 1, 2, · · · ,N)
⇐⇒ B[uq
]= d (5.5)
但し,
B ≡N∑
i=1
eieTi+Nβ(i) (5.6)
d ≡N∑
i=1
diei (5.7)
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[例 ] 節点 x1, x2, …, xm 上でそれぞれ u1 = d1, u2 = d2, …, um = dm が与えられ,節
点 xm+1, xm+2, …, xN 上でそれぞれ qm+1 = dm+1, qm+2 = dm+2, …, qN = dN が与えられて
いるとき,(5.5)は次のようになる.
eT1...
eTm
eTm+N...
eT2N
[uq
]= d
i.e.[
E O O OO O O E
]
u1
u2
q1
q2
= d
(∵
[u1
q2
]= d
)
但し,u1 ≡
u1
...um
, u2 ≡
um+1
...uN
, q1 ≡
q1
...qm
, q2 ≡
qm+1
...qN
2N
2N
N
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離散化された 2DLaplace問題 (*1)
(5.3), (5.5) ⇐⇒[
H −GB
] [uq
]=
[0d
](5.8)
⇐⇒ G∗q∗ = H∗d (5.9)
但し,[
H∗ −G∗ ]≡
[H −G
]P ,
[u∗
q∗
]≡ PT
[uq
],
P ≡ P1P2 · · · PN,
E ( β(i) = 0 )
右から掛けたとき,第 i列と第 i+N列を交換する行列 ( β(i) = 1 )Pi ≡
2N 元連立1次方程式 (5.8)または N 元連立1次方程式 (5.9)を解けば,境界
∂Ω上での uと qの分布を決定できる.
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[H −G
B
] [uq
]=
[0d
](5.8) ⇐⇒ G∗q∗ = H∗d (5.9)
[ (5.8) ⇐⇒ (5.9)の証明 ]
B =
bT1...
bTN
とおくと,(5.6)よりbT
i = eTi+Nβ(i).
∴ bTi Pi = eT
i (i = 1, 2, · · · ,N) i.e. BP =[
E O].
従って,
(5.8) ⇐⇒[
H∗ −G∗
E O
] [u∗
q∗
]=
[0d
]
⇐⇒ G∗q∗ = H∗d
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§6.影響係数の計算方法
影響係数
gkei ≡∫Γe
w∗φk ds, hkei ≡∫Γe
∂w∗
∂nφk ds
xi ∈ Γeの場合
hkei = 0 (k = 1, 2) (6.1)
xi = xσ(e,1) のとき,gkei =
le8π
(3 − 2 log le) (k = 1)le8π
(1 − 2 log le) (k = 2) (6.2a)
xi = xσ(e,2) のとき,gkei =
le8π
(1 − 2 log le) (k = 1)le8π
(3 − 2 log le) (k = 2) (6.2b)
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∵)∂w∗
∂n= n · ∇w∗ = − n · ∇r
2πr= 0 (∵ n · ∇r = 0)
より,hkei = 0.
一方,xi = xσ(e,1) のとき,
r = |x − xi| = |xσ(e,2) − xσ(e,1)|φ2(ξ) (∵ x = xσ(e,1)φ1(ξ) + xσ(e,2)φ2(ξ))= leφ2(ξ)
であるから,
gkei = −
le4π
∫ 1
−1φk(ξ)[log le + log φ2(ξ)]dξ.
上式を計算すると,(6.2a)が得られる.全く同様にすれば,xi = xσ(e,2) のとき,
(6.2b)が導かれる.
xσ(e,1)
xσ(e,2)
xn
∇r
r
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xi Γeの場合
hkei =
le2
∫ 1
−1
∂w∗(x(ξ), xi)∂n
φk(ξ) dξ (6.3)
gkei =
le2
∫ 1
−1w∗(x(ξ), xi)φk(ξ) dξ (6.4)
x(ξ) = xσ(e,1)φ1(ξ) + xσ(e,2)φ2(ξ)
∂w∗
∂n= (n · ∇r)
dw∗
dr= − x(ξ) − xi
2πr2 ·[R(−π
2
)·
xσ(e,2) − xσ(e,1)
le
]
但し,R(θ) :角度 qの回転を表すテンソル,r ≡ |x(ξ) − xi|. (6.3),(6.4)の右辺の被積分関数は ξだけの正則関数.
∴ (6.3),(6.4)の右辺は Gauss-Legendre積分で評価できる.
xσ(e,1)
xσ(e,2)
xn
rxi
Γe
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§7.内点公式と正則化
内点公式
z ∈ Ωのときの境界積分方程式 (3.1)
u(z) =∮∂Ω
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds
N∑e=1
∫Γe
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds (7.1)
Γe上でu(x(s)) =2∑
k=1
uσ(e,k)φk(ξ), q(x(s)) =2∑
k=1
qσ(e,k)φk(ξ)であるから,
u(z) =N∑
e=1
2∑k=1
[gke(z) qσ(e,k) − hk
e(z) uσ(e,k)] (7.2)
但し,gke(z) ≡
∫Γe
w∗(x(ξ), z)φk(ξ) ds, hke(z) ≡
∫Γe
∂w∗(x(ξ), z)∂n
φk(ξ) ds .
原理的には,(7.2)を用いて内点 zでの uの値を計算できる.
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内点公式の難点
gke(z) ≡
∫Γe
w∗(x(ξ), z)φk(ξ) ds (7.3a)
hke(z) ≡
∫Γe
∂w∗(x(ξ), z)∂n
φk(ξ) ds (7.3b)
r ≡ |x − z|とおくと,
w∗ = − 12π
log r
∣∣∣∣∣∂w∗
∂n
∣∣∣∣∣ ∼ O(
1r
) (∵
∂w∗
∂n= − x − z
2πr2 ·[R(θ) ·
xσ(e,2) − xσ(e,1)
le
])
r 1で∣∣∣∣∣∂w∗
∂n
∣∣∣∣∣ |w∗| 1
∴ gke(z), hk
e(z)は擬似特異積分となる.
被積分関数はgke(z)よりもhk
e(z)の方が強い擬似特異性を示す.
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正則化内点公式
u(z) = u(x0) +∮∂Ω
qw∗ − [u − u(x0)]
∂w∗
∂n
ds (7.4)
但し,x0:z ∈ Ωに対する境界∂Ω上の最近接点.
∵) ∮∂Ω
∂w∗
∂nds
(1.1)=
Ω
w∗ dxdy = −Ω
δ(x − z) dxdy = −1より,
u(x0) = −∮∂Ω
u(x0)∂w∗
∂nds. (a)
(a)と内点公式:
u(z) =∮∂Ω
(qw∗ − u
∂w∗
∂n
)ds
の両辺を引き算すれば,(7.4)が得られる.
∂Ω
zx0