Уравнения прямой в пространствеkvm.gubkin.ru/pub/avs/lecture-7t.pdf ·...
TRANSCRIPT
1
Уравнения прямой в пространстве
Лекция 7
2
Параметрические уравнения прямой
• Перейдём в векторном уравнении прямой
в пространстве к координатной форме
• Полученные уравнения называются
параметрическими уравнениями прямой.
0r r t a
0
0
0
, . (1)
x x m t
y y n t t
z z p t
0 0 0 0( ; ; ), ( ; ; ), ( ; ; )r x y z r x y z a m n p
3
Канонические уравнения прямой
• Из векторного уравнения прямой
следует линейная зависимость векторов .
Поэтому координаты этих векторов
пропорциональны:
• Полученные уравнения называются каноническими
уравнениями прямой.
0,r r a
0r r t a
0 0 0 , 0, 0, 0.
x x y y z z
m n pm n p
4
Векторное уравнение прямой, проходящей
через две точки
• Пусть заданы 2 точки .
и соответствующие
радиус-векторы - .
Вектор возьмём
за направляющий вектор . Подставим в векторное уравнение прямой
которое принимает вид
Если то уравнение (3) есть уравнение отрезка
1 1 1 1 2 2 2 2( ; ; ), ( ; ; ),M x y z M x y z
O
1M
2M
a
2r
1r
1 2, .r r
1 2M M
a
1 2 1( ), ,r r t r r t R
1 2(1 ) , , (3)r t r t r t R
[0;1],t 1 2M M
5
Уравнения прямой, проходящей через две
точки
• Из линейной зависимости
следуют уравнения прямой вида
• Если записать векторное уравнение (3) в
координатах , то получим параметрические
уравнения
1 2 1( ) ( ) r r t r r
1 1 1
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
, 0, 0, 0.x x y y z z
x x y y z zx x y y z z
1 2
1 2
1 2
(1 )
(1 ) , . (3 )
(1 )
x x t x t
y y t y t t
z z t z t
6
Пример
• Найти уравнение прямой, проходящей через
точку параллельно оси .
(1;3;0)A Ox
7
Уравнение плоскости
8
Уравнение плоскости в векторной форме
• Пусть на плоскости задана точка и
перпендикулярный к плоскости вектор
(нормаль). Обозначим через
произвольную (текущую) точку плоскости.
Из ортогональности
векторов и
получаем
уравнение векторное
плоскости
0 0 0 0( ; ; )M x y z
( ; ; )N A B C
( ; ; )M x y z
0
0r r
NM0
M0 0
M M r r
N
0( ) 0.N r r
9
Общее уравнение плоскости
• Переходя к координатной записи в векторном
уравнении плоскости, получаем уравнение плоскости
по заданной точке и нормали
• Раскрывая скобки, получаем общее уравнение
плоскости
0 0 0( ) ( ) ( ) 0A x x B y y C z z
0 0 0 0( ; ; )M x y z
( ; ; )N A B C
0Ax By Cz D
10
Условия параллельности плоскостей
• Пусть даны плоскости
• Условие параллельности плоскостей совпадает с
условием коллинеарности нормалей
т.е ранг матрицы
равен 1, или,
в частности, коэффициенты
• пропорциональны
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
1 1 1 1 2 2 2 2( ; ; ), ( ; ; ).N A B C N A B C
1N
2N
1 1 1
2 2 2
,A B C
A B C
1 1 1
2 2 2
A B C
A B C
11
Пример
• При каких условиях на коэффициенты плоскости
• a) будут параллельны?
• в) совпадать?
1 1 1 1
2 2 2 2
: 0
: 0
B y C z D
B y C z D
12
Условие перпендикулярности плоскостей
• Условие перпендикулярности плоскостей
совпадает с условием ортогональности нормалей,
т.е.
1 2,
1 2 1 2 1 2 1 20 0. N N A A B B C C
13
Угол между плоскостями
• Рассмотрим плоскости,
заданные уравнениями:
• Угол между
плоскостями можно
вычислить по формуле
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
: 0
: 0
A x B y C z D
A x B y C z D
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 2
cosN N
N N
A A B B C C
A B C A B C
N1
2N
14
Особенности расположения плоскостей,
заданных неполными уравнениями
• Предположим, что в общем уравнении плоскости
отсутствует один из коэффициентов при
переменных, например ,
• тогда нормальный
вектор
ортогонален орту ,
следовательно, плоскость
параллельна оси
0 0 A By Cz D
(0; ; )N B C
(1;0;0)i
.Ox
x
y
z
i
N
15
Особенности расположения плоскостей,
заданных неполными уравнениями
• В случае отсутствия двух коэффициентов при
переменных в уравнении плоскости, например,
плоскость расположена параллельно
осям , ввиду ортогональности нормали
ортам
0Cz D
,Ox Oy
x
y
z
O
N(0;0; )N C
, .i j
16
Особенности расположения плоскостей,
заданных неполными уравнениями
• Отсутствие означает, что плоскость проходит
через начало координат.
D
x
y
z
O
17
Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние от точки до плоскости
• вычисляется по формуле
• Доказательство формулы аналогично
доказательству формулы расстояния от точки до
прямой.
0 0 0 0( , , )M x y z
0Ax By Cz D
0 0 0
2 2 2.
Ax By Cz Dd
A B C
0M
18
Нормальное уравнение плоскости
• Нормальное уравнение плоскости получается из
общего уравнения умножением на нормирующий
множитель
• и имеет вид
2 2 2
1,
A B C
cos cos cos ,
0.
x y z p
p
i
p
j
k
Взаимное расположение точки и начала координат
относительно плоскости
Пусть плоскость задана нормальным уравнением
и - произвольная точка. Величина
называется отклонением точки от плоскости
Если , то начало координат и точка
лежат по разные стороны плоскости.
Если , то – по одну сторону.
• Величина равна расстоянию от точки до
плоскости.
19
0 0 0 0( , , )M x y z
0 0 0 0( ) cos cos cos M x y z p
0( ) 0 M
0M
0( ) 0 M
0( ) M
cos cos cos , x y z p
Пример
• Установить, лежит ли точка и начало
координат в одном , в смежных или вертикальных
углах, образованных плоскостями
20
0M (4;3;1)
1 2: y z 5 0 : 2y z 1 0.
• Построение
21
O
1P
2P
x
y
z
0M (4;3;1)
3
1
4
22
Уравнение плоскости в отрезках
• Уравнение плоскости вида
• называется уравнением в отрезках, так как
- величины отрезков, отсекаемых плоскостью на
координатных осях.
1x y z
a b c
, ,a b c
x
y
z
a
b
c
O
23
Уравнение плоскости, проходящей через
три точки
• Пусть заданы три точки
• не лежащие на одной прямой. Найдём уравнение
плоскости , проходящей через эти точки.
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3( , , ), ( , , ), ( , , ),A x y z A x y z A x y z
1A
2A
3A
M 1 1 2 1 3
1 1 2 1 3
1 1 1
2 1 2 1 2 1
3 1 3 1 3 1
,
( ) 0
: 0.
A M A A A A
A M A A A A
x x y y z z
x x y y z z
x x y y z z
24
Задачи на прямую в пространстве и плоскость
25
Пересечение прямой и плоскости.
• Пусть прямая задана параметрическими
уравнениями, а плоскость общим уравнением. Для
нахождения токи пересечения прямой и плоскости
надо решить линейную систему уравнений:
0
0
0
(1)
0
x x m t
y y nt
z z p t
Ax By Cz D
26
Условие параллельности прямой и
плоскости
• Подставляя в уравнения плоскости уравнения
прямых, получаем
• Отсюда, если
• то система (1) имеет единственное решение, В
противном случае: , система
уравнений (1) либо не имеет решения( прямая и
плоскость параллельны), либо имеет бесконечно
много решений ( прямая лежит на плоскости).
0 0 0
0 0 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) ( )
A x m t B y n t C z p t D
Am Bn Cp t Ax By Cz D
0Am Bn Cp
0Am Bn Cp
27
Угол между прямой и плоскостью
• Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, надо
найти угол между направляющим вектором прямой и
нормальным вектором плоскости.
N a sin sin( )
2
cos .N a
N a
28
Канонические уравнения и проектирующие
плоскости
• Задание прямой каноническими уравнениями
• равносильно заданию прямой как линии пересечения
плоскостей,
проектирующих прямую
на координатные плоскости.
0 0 0x x y y z z
m n p
0 0
0 0
0 0
x x y y
m n
y y z z
n p
x x z z
m p
29
Канонические уравнения прямой,
заданной пересечением плоскостей
• Пусть прямая
задана пересечением
плоскостей
• Требуется найти
канонические и
параметрические
уравнения прямой.
1 1 1 1
2 2 2 2
0: .
0
A x B y C z DL
A x B y C z D
L
2P
1P
L
1N
2N
30
Примеры
• 1. Доказать, что прямые
• лежат на одной плоскости и написать уравнение этой
плоскости.
• 2. Написать уравнение плоскости, проходящей через
прямую
• перпендикулярно плоскости .
1 2
1 2 5 7 2 1: ; :
2 3 4 3 2 2
x y z x y zL L
0:
2 2 0
x y zL
x y
xOy