Л.О.Д.У. с постоянными...
TRANSCRIPT
1
Л.О.Д.У. с постоянными коэффициентами
Лекция 3
2
Линейные однородные дифференциальные
уравнения с постоянными коэффициентами
второго порядка
• Рассмотрим линейные однородные
дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами второго порядка
где p, q – действительные числа.
• Будем искать решения уравнения в виде
0, (4)y py qy
.xy e
3
Характеристическое уравнение
• Подставляя в уравнение, получаем
• Следовательно , параметр удовлетворяет
квадратному уравнению
которое называется характеристическим
уравнением для уравнения (4).
Квадратный трёхчлен называется
характеристическим многочленом уравнения (4).
2 2( ) 0.x x x xe e e ep q p q
2 0, (5)p q
22( )R p q
4
Случай действительных различных
корней.
• Если характеристическое уравнение имеет два
действительных различных корня
то получаем два решения уравнения (4)
• Решения (6) линейно независимы для
Действительно, определитель Вронского для решений
(6)
•
1 21 2
, . (6)y e y ex x
.x
1 2
1 22 1
1 21 2
(( )
)( ) 0.
x x
x xW x e
e e x
e e
1 2,
5
Фундаментальная система решений в
случае действительных различных
корней
• По теореме 3 функции
линейно независимы, следовательно, образуют
фундаментальную систему решений уравнения (4).
• По теореме 4 общее решение имеет вид
1 21 2
,y e y ex x
1 21 2
. (7)y C e ex x
C
6
Пример 1
Найти общее решение уравнения
2 0y y
7
Случай действительных кратных
корней
• Если характеристическое уравнение имеет один корень
то получаем одно решение
уравнения (4)
• В качестве второго решения рассмотрим функцию
01 2,
.01
xy e
.02
xy xe
8
• Покажем, что
• Где , т.к. квадратный
трёхчлен имеет равные корни
,
2( ) ( )2 0
2( ) 2 ( ) 00 0
0
x x xL xe L e L e
x xe R e
x xxe e
если
2 22 0( ) ( )R p q
01 2.
] 0.0[x
L xe
9
Фундаментальная система решений в
случае действительных кратных корней
• Функции
• линейно независимы, т.к. равенство
• возможно только при нулевых . Таким образом,
функции (8) образуют фундаментальную систему решений. По
теореме 4 общее решение имеет вид
0 01 2
, . (8)x x
y e xey
0 0 01 1 2 2 1 2 1 2
)( 0.x x x
C y C y C e C xe C C x e
1 2,C C
0( )1 2
xy C C x e
10
Пример 2
• Найти общее решение уравнения
4 4 0y y y
11
Случай комплексных корней
• Если характеристическое уравнение имеет
комплексные корни
то получаем два комплексных решения уравнения (4)
2, 1,1,2
i i
( ) ( ), .1 2
i x i xy e y e
12
Действительные решения
• Используя формулу Эйлера
• получим действительные решения
,cos sinie i
1( )
1 1 221
( (cos sin ) (cos sin ))2
cos
1( ) sin
2 1 22
y y y
x xe x i x e x i x
xe x
xy y y e xi
13
Фундаментальная система решений в случае
комплексных корней
• Решения
• являются фундаментальными. Это следует из
линейной независимости функций ,
• для которых определитель Вронского отличен от нуля
1 2cos , sin (9)x xy ye x e x
cos , sinx x
2 2coscos sin
( ) ( sin ) 0sin cos
xx x
W x xx x
14
Общее решение Л.О.Д.У. второго
порядка в случае комплексных корней
• Общее решение по теореме 4 имеет вид
• Пример 3. Найти общее решение уравнения
( cos sin ).1 1 2 2 1 2
xy C y C y e C x C x
4 5 0y y y
15
Линейные однородные дифференциальные уравнения
с постоянными коэффициентами порядка
• Рассмотрим фундаментальные решения линейных
однородных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами порядка
• где коэффициенты - заданные
действительные числа.
• Характеристическое уравнение имеет вид
n
( ) ( 1) ... 0,1 1
n ny a y a y a ynn
2...,
1 1, ,a a a ann
1 ... 0.1 1
n na a ann
n
16
Фундаментальная система решений в
случае различных корней (а)
• Если - различные действительные
корни характеристического уравнения, то функции
образуют фундаментальную систему решений, и
общее решение имеет вид
, , ,1 2 n
1 2, , ,x x xne e e
1 2 .1 2
x x xny C e C e C en
17
Фундаментальная система решений в случае различных
корней (б)
• Если среди различных корней имеются комплексные
корни, например, причём корней являются
действительными числами, а остальные -
комплексными:
то фундаментальная система решений имеет вид
• Общее решение уравнения записывается формулой
m
2l n m
, , , , ,2
, ,1 11
i ilm l
1 2 1 11 1
, , , , cos , sin , , cos , sin .x x xx x x xm l l
l le e e e e e ex x x x
18
• Общее решение уравнения в случае различных
корней записывается формулой
1
1
1 1cos sin1 1 2 1
cos sin .1
x xmy C e C emx x
C e x C e xm m
x xl lC e x C e xnn l l
19
Пример 4
• Найти общее решение уравнения
27 0y y
20
Фундаментальная система решений в
случае действительных кратных корней
• Если - действительные корни
характеристического уравнения, соответственно,
кратности
то уравнение имеет следующую фундаментальную
систему решений
, , ,1 2 r
, , , , ,1 2 1 2s s s s s s nr r
11 1 1 1, , , , , 1, , , .x x s xr r r re xx x s x
e x ee x e x e
21
Общее решение в случае действительных
кратных корней
Общее решение в случае действительных кратных корней
уравнения записывается в виде
1( ) .1
11 1( )
11 21 1
2
1x s xr r rC C x e C x es rr r
s xy C C x C x e
s
r
22
Пример 5
2 0y y
23
Фундаментальная система решений в
случае комплексных кратных корней
• Если - комплексные корни
характеристического уравнения кратности , то
такой паре корней соответствуют фундаментальные
решения вида
• Общее решение записывается в виде линейной
комбинации фундаментальных решений.
i s
1cos , cos , , cos ,
1sin , sin , , sin .
x x s xe x xe x x e x
x x s xe x xe x x e x
24
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛНДУ) Методы решений
25
Теорема о структуре решений линейного неоднородного дифференциального уравнения
Рассмотрим ЛНДУ, которое запишем в операторном виде
где
Теорема. Общее решение ЛНДУ (1) можно представить в виде суммы общего решения соответствующего ему однородного уравнения и какого-то частного решения неоднородного уравнения.
, (1)L y f
( ) ( 1)( ) ... ( ) ( ) (2)1 1
n nL y a x y a x y a x ynny
( ) (3)*o
y y x y
( )*
y x
( )o
y y x
26
Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
и соответствующее ему ЛОДУ
Обозначим через фундаментальную
систему решений однородного уравнения (5). Общее
решение уравнения (5) имеет вид
( ) ( ) ( ) (4)1 2
y a x y a x y f x
( ) ( ) 0. (5)1 2
y a x y a x y
1 2( ), ( )y x y x
0( ) ( ) ( ).
1 1 2 2x x xy C y C y
27
Метод вариации (продолжение)
Метод вариации состоит в том, что частное решение ЛНДУ ищется в виде
где - дифференцируемые функции, которые надо
определить. Теорема. Если функции удовлетворяют
соотношениям
то формула (6) задаёт решение ЛНДУ.
1 2( ), ( )C Cx x
01 1 2 2
, (7)1 1 2 2
C y C y
C y C y f
( ) ( ) ( ) ( ) ( ), (6)1 1 2 2*
y x C x y x C x y x
1 2( ), ( )C Cx x
28
Пример.
1.
2.
14cos2
y yx
1sin
y yx
29
Метод неопределённых коэффициентов решения ЛНДУ
постоянными коэффициентами
Правая часть уравнения- квазимногочлен.
Уравнение имеет вид
где действительные числа, а правая часть уравнения называется квазимногочленом и представляет собой произведение многочлена и экспоненты .
( ) ( 1) ... ( ) ,1 1
n n xy p y p y p y P x en mn
( )P xmxe
1, , ,
np p
30
Коэффициент называется контрольным числом.
Нерезонансный случай: Контрольное число не является корнем характеристического уравнения.
Случай резонанса. Контрольное число является корнем характеристического уравнения.
31
Вид частного решения в методе неопределённых коэффициентов
В нерезонансном случае частное решение ЛНДУ ищется в виде
где -многочлен с неопределёнными коэффициентами той же степени , что и .
В случае резонанса, когда коэффициент является корнем характеристического уравнения кратности , частное решение ЛНДУ ищется в виде
( )m
Q x
m ( )P xm
( ) ,*
xy Q x em
s
( ) ,*
xsy x Q x em
32
Пример1.
Пример 2.
3xy -3y +2y=e
2xy -3y +2y=e
Гармонический осциллятор
Математическая модель колебаний
материальной точки на пружине
Вывод уравнения колебаний
• Согласно второму закону Ньютона
0 x
( )F t
Положение
равновесия
2
2( ).b
d x dxm ax F t
dtdt
Виды уравнений колебаний
• Приходим к неоднородному уравнению, которое называется
уравнением вынужденных колебаний,
• В случае отсутствия вынуждающей силы получаем уравнение
свободных колебаний
22
2
2
2 ( ), (1)
0, 0.2
d x dxh x f t
dtdtb a
hm m
22
22 0. (2)
d x dxh x
dtdt
Уравнение гармонического осциллятора
• Дифференциальное уравнение свободных колебаний в
среде без сопротивления
• Общее решение уравнения (3)
22
20. (3)
d xx
dt
( ) cos sin . (4)1 2
x t C t C t
Гармоники
• Решение (4) преобразуется к виду
• Функции (5) определяют гармонические колебания, а уравнение (3) называется уравнением гармонического осциллятора.
cos( )( ) . (5)A tx t
Пример гармоники
• Рассмотрим гармонический осциллятор
• Гармоники имеют вид
На рисунке представлены гармоники при
2
24 0.
d xx
dt
2
1
)
) 1, 01
1, 11 2
2
C
C C
C
2 21 2
x( t ) C cos t C sin t .
1) 2)
x
t
Вынужденные колебания в среде без сопротивления
• Рассмотрим случай, когда вынуждающая сила периодическая. Так что уравнение колебаний имеет вид
• Общее решение однородного уравнения даётся формулой(4).
Для нахождения частного решения рассмотрим 2 случая:
2
22 sin . (7)
d xx A t
dt
0( ) cos sin .1 2
x t C t C t
40
Нерезонансный случай
• Нерезонансный случай, когда корень
характеристического уравнения не
совпадает с контрольным числом , т.е.
• В этом случае частное решение ищется в виде
i0r i
( ) cos sin . (8)*
x t M t N t
41
Пример
• Рассмотрим уравнение
sin 2
(0) 1, (0) 0
x x t
x x
2 4 6 8 10 12 14
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
Вынужденные
колебания
Собственные
колебания
x
t
Вынужденные колебания в среде без сопротивления
• Резонанс: Контрольное число совпадает с
корнем характеристического уравнения , т.е.
• Частное решение ищется в виде
.
( ) ( cos sin ). (9)*
x t t M t N t
0r i i
43
Пример-Резонанс
• Решить уравнение sin
(0) 1, (0) 0
x x t
x x
2 4 6 8 10 12 14
-4
-2
2
4 Вынужденные
колебания
Собственные
колебания
x
t
44
Резонанс
• sin
(0) 1, (0) 0
x x t
x x
1 ;2; 1,1
10 20 30 40 50
20
10
10
20
x
t
Свободные колебания в среде с сопротивлением Характеристическое уравнение уравнения (2) имеет вид
Возможны три случая:
• 1) Дискриминант больше нуля .
Корни в этом случае действительные и различные
Из вида решений следует, что
колебаний нет, а отклонение затухает .
2 22 0. (6)h
2 2 0.h
2 2
1,20.h h
1 2( )1 2
t tx t C e C e
t
Пример
• Уравнение
• Характеристическое
• Корни
• Общее решение
2
23 2 0.
d x dxx
dtdt
2 3 2 0.
2( )1 2
t tx t C e C e
График решения при
1, 11 2
C C
1 21, 2.
x
t
Кратный корень
• 2) Дискриминант равен нулю .
• Корень является кратным корнем, поэтому
решение имеет вид
Колебаний нет, отклонение затухает при
.
2 2 0.h
( ) ( ) .1 2
htx t C C t e
t
h
Пример (кратный корень)
• Уравнение
• Характеристическое
• Корень
• Решение
2
22 0.
d x dxx
dtdt
2 2 1 0.
1
( ) ( ) .1 2
tx t C C t e
1 2
1 2
1) 1, 1
2) 1, 2
C C
C C
Графики решений при
x
t
• Дискриминант меньше нуля.
Корни являются комплексными числами. Из
вида решения
следует, что колебания происходят с затухающей при
• амплитудой и называются затухающими гармоническими
колебаниями.
2 2 2 0h
1,2h i
t
( ) ( cos sin ) ,1 2
( ) cos( )
htx t C t C t e или
htx t Ae t
Пример затухающего колебания
• Уравнение
• Характеристическое
• Корни
• Решение
2
22 5 0.
d x dxx
dtdt
2 2 5 0. 1 2 .
1,2i
( ) ( cos2 sin2 )1 2
tx t C t C t e
График затухающего
колебания при
1 21, 0C C
x
t