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Presentacin
Adems de responder a las cuestiones bsicas del programa de Fsica para segundo de bachillerato, el texto de Santillana pretende dar una respuesta a los conocimientos necesarios para superar con xito las pruebas de selectividad. Es por esto que casi la totalidad de las cuestiones y ejercicios seleccionados se incluyen dentro de las pruebas de selectividad de todo el territorio nacional.
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3
ndiceprESEntAcin
Tema 1 La interaccin gravitatoria 5
Tema 2 El campo gravitatorio 33
Tema 3 El campo electrosttico 73
Tema 4 El campo magntico 129
Tema 5 La induccin electromagntica 171
Tema 6 El movimiento armnico simple (MAS) 205
Tema 7 El movimiento ondulatorio. El sonido 245
Tema 8 La luz y la ptica 291
Tema 9 La fsica cuntica 335
Tema 10 relatividad. Fsica nuclear 369
Anexos Sistema peridico de los elementos 404
tabla de constantes fsicas y qumicas 406
Presentacin
Adems de responder a las cuestiones bsicas del programa de Fsica para segundo de bachillerato, el texto de Santillana pretende dar una respuesta a los conocimientos necesarios para superar con xito las pruebas de selectividad. Es por esto que casi la totalidad de las cuestiones y ejercicios seleccionados se incluyen dentro de las pruebas de selectividad de todo el territorio nacional.
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programacin de aula
1 La interaccin gravitatoria
Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican. Comprensincinemticadelmovimientodeloscuerposqueintegran
elSistemaSolar.LeyesdeKepler. LadinmicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.
LeydeNewtondelagravitacinuniversal. Lainteraccingravitatoriacomointeraccinadistancia. Lainteraccingravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.
Relacinconlafuerzapeso. Distincinentrepesoymasa. Interaccingravitatoriadeunconjuntodemasas.Principio
desuperposicin. Consecuenciasdelainteraccingravitatoria.Explicacindelasmareas.
Conceptos
CONTENIDOS
Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.
Utilizarconsolturaherramientasdeclculocomolascalculadorasolashojasdeclculo.
Relacionardatosymodelosmatemticosconfenmenosobservados(interpretacindelcalendario,lasmareas,duracindelaoendistintosplanetas,etc.).
Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimblico.
Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.
Procedimientos, destrezas y habilidades
1. Educacin cvicaComosucedienelmomentohistricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientficoqueseopongaalaideologaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Serinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientficofrentealpoderestablecido.
Puestoqueeldebatesoloserfructferosihayposibilidaddeofrecerdiversasposiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolparasusmiembros.
Sesugierenalgunosposiblesttulosparaeldebate:
Puedenloscientficosestablecerteorasqueseoponganalaleynatural? Puedenloscientficosinvestigarsobrecualquiercosa? Eltrabajocientficopuededestruirlasociedad?
EDUCACIN EN VALORES
1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeomtricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocntrico.
2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposicinylavelocidaddeloscuerposcelestes.
3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcarctercentraldelafuerzaresponsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusrbitasseanestablesyplanas.
4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitacinuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacerclculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.
5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.
6. Utilizarelclculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.
7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccingravitatoria.
CRITERIOS DE EVALUACIN
Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.
Respetareltrabajocientficoysuindependenciafrenteaideologas. Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidos
porprocedimientoscientficosylavulnerabilidaddelasteorasquelosinterpretan.
Actitudes Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.
Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.
Estudiarelmodelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgicaylaevolucingeomtricaquerequiriparaexplicarlosdatos.
Estudiarelmodeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideolgicosquesuscita.
ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.
EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.
Comprenderelalcancedelaleydelagravitacinuniversal.Manejarlaenelmbitocelesteyenelterrestre.
Utilizarlaformulacinvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteraccinentreunconjuntodemasaspuntuales.
Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenmenosobservables,comoeldistintopesodeunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracindelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.
OBJETIVOS
5
La interaccin gravitatoria1
SeiniciaestecursodeFsicaabordandoelestudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvanatratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaesmuydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicandolasleyesfsicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiracercasealacomprensindeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.
Losdiseoscurricularesestablecidosenlosltimostiemposbuscanquelosalumnosalcancencompetenciatecnolgica,especialmenteenelmanejoderecursosinformticos.Eltratamientodelosdatosqueseempleanenestetemaproporcionarocasinparautilizarhojasdeclculoyrepresentacionesgrficasquefacilitarnlacomprensindelosproblemasanalizados.
PRESENTACIN
4
Introduccin
8
1 La interaccin gravitatoria
9
Solucionario
1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.
De acuerdo con la segunda ley de Kepler, la Tierra gira alrededor del Sol con velocidad areolar constante. Esto determina que su velocidad lineal es mayor en el perihelio que en el afelio. El hemisferio norte de la Tierra est en posicin opuesta al Sol cuando se mueve en la zona del perihelio, poca de las estaciones otoo-invierno. Este es el motivo por el que el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.
2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)
De acuerdo con la tercera ley de Kepler:
Tr
2
3= cte.
Por tanto, TrT
T
cte.2
3=
TrM
M
cte.2
3=
Adems, sabemos que r rM T= 1 468, . Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 468
1 4
= =
( , )
,
6681 468 1 468 1 78
32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T , , , TT
Por lo tanto hay 1,78 aos terrestres en cada ao marciano.
3. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.
De acuerdo con la tercera ley de Kepler: T
r
2
3= cte.
Por tanto, T
rT
T
cte.2
3=
Tr
J
J
cte.2
3=
Adems, sabemos que T TJ T= 12 . Igualando:
T
rTr
Tr
T
r
r r
J
J
T
T
T
J
T
T
J
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
12
12 1
= =
=
( )
TTJ T J T T33 2 3 2312 12 5 24 r r r r r= = = ,
Por lo tanto, la distancia de Jpiter al Sol es 5,24 veces mayor que la distancia de la Tierra al Sol.
4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 109 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)
El momento angular se conserva:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelio
afelio perkm
r
v v
5 26 109, = iihelio
perihelio afelio
km 8 75 10
5 26
7,
,
v v= 10
8 75 1060 11
9
7,,= vafelio
Por lo tanto, la velocidad en el perihelio es 60,11 veces mayor que la velocidad en el afelio.
5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.
Dato: 1 UA = 1,496 1011 m.
De nuevo se conserva el momento angular:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelio
afelio pem/s
r
r r
3 48 104, = rrihelio m/s 3 53 104,
Adems, sabemos que:
r r
rafelio perihelio
af
UA m+ = =1 446 216 32 109, , eelio periheliom= 216 32 109, r
23,523,5
SolAfelio (verano en
el hemisferio norte)
Perihelio (invierno en el hemisferio
norte)
(El dibujo no est a escala.)
En cualquier texto de Fsica los ejercicios y las cuestiones consti-tuyen una parte fundamental del contenido del libro. En nuestro material, las actividades aparecen agrupadas en dos secciones:
Juntoalateora,apiedepgina. Alfinaldecadatema.
En este libro se presenta, para cada uno de los temas del libro de texto:
La Programacin de aula (objetivos, contenidos y criterios de evaluacin).
La Resolucin de todos los ejercicios incluidos en el libro del alumno.
Adems de este libro, al profesor se le ofrece como material de apoyo un CD con pruebas de acceso a la Universidad resueltas.
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La interaccin gravitatoria1
SeiniciaestecursodeFsicaabordandoelestudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Eslaprimeravezquelosalumnosvanatratardecomprenderelmovimientodecuerposcuyaescalaesmuydiferentealadeaquellosquemanejanhabitualmenteaplicandolasleyesfsicasqueconocen.Elesfuerzolespermitiracercasealacomprensindeotrosproblemasinteresantesalolargodelcurso.
Losdiseoscurricularesestablecidosenlosltimostiemposbuscanquelosalumnosalcancencompetenciatecnolgica,especialmenteenelmanejoderecursosinformticos.Eltratamientodelosdatosqueseempleanenestetemaproporcionarocasinparautilizarhojasdeclculoyrepresentacionesgrficasquefacilitarnlacomprensindelosproblemasanalizados.
PRESENTACIN
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1 La interaccin gravitatoria
Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican. Comprensincinemticadelmovimientodeloscuerposqueintegran
elSistemaSolar.LeyesdeKepler. LadinmicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.
LeydeNewtondelagravitacinuniversal. Lainteraccingravitatoriacomointeraccinadistancia. Lainteraccingravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.
Relacinconlafuerzapeso. Distincinentrepesoymasa. Interaccingravitatoriadeunconjuntodemasas.Principio
desuperposicin. Consecuenciasdelainteraccingravitatoria.Explicacindelasmareas.
Conceptos
CONTENIDOS
Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.
Utilizarconsolturaherramientasdeclculocomolascalculadorasolashojasdeclculo.
Relacionardatosymodelosmatemticosconfenmenosobservados(interpretacindelcalendario,lasmareas,duracindelaoendistintosplanetas,etc.).
Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimblico.
Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.
Procedimientos, destrezas y habilidades
1. Educacin cvicaComosucedienelmomentohistricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientficoqueseopongaalaideologaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Serinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientficofrentealpoderestablecido.
Puestoqueeldebatesoloserfructferosihayposibilidaddeofrecerdiversasposiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolparasusmiembros.
Sesugierenalgunosposiblesttulosparaeldebate:
Puedenloscientficosestablecerteorasqueseoponganalaleynatural? Puedenloscientficosinvestigarsobrecualquiercosa? Eltrabajocientficopuededestruirlasociedad?
EDUCACIN EN VALORES
1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeomtricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocntrico.
2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposicinylavelocidaddeloscuerposcelestes.
3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcarctercentraldelafuerzaresponsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusrbitasseanestablesyplanas.
4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitacinuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacerclculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.
5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.
6. Utilizarelclculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.
7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccingravitatoria.
CRITERIOS DE EVALUACIN
Actitudes Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.
Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.
Estudiarelmodelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgicaylaevolucingeomtricaquerequiriparaexplicarlosdatos.
Estudiarelmodeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideolgicosquesuscita.
ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.
EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.
Comprenderelalcancedelaleydelagravitacinuniversal.Manejarlaenelmbitocelesteyenelterrestre.
Utilizarlaformulacinvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteraccinentreunconjuntodemasaspuntuales.
Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenmenosobservables,comoeldistintopesodeunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracindelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.
OBJETIVOS
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programacin de aula
La interaccin gravitatoria
Estudiodelmovimientodeloscuerposcelestes.Modelosqueloexplican. Comprensincinemticadelmovimientodeloscuerposqueintegran
elSistemaSolar.LeyesdeKepler. LadinmicadeloscuerposqueintegranelSistemaSolar.
LeydeNewtondelagravitacinuniversal. Lainteraccingravitatoriacomointeraccinadistancia. Lainteraccingravitatoriaentredoscuerposcualesquiera.
Relacinconlafuerzapeso. Distincinentrepesoymasa. Interaccingravitatoriadeunconjuntodemasas.Principio
desuperposicin. Consecuenciasdelainteraccingravitatoria.Explicacindelasmareas.
CONTENIDOS
Adquirircapacidadparamanejardatosdeordendemagnitudmuydiferente.
Utilizarconsolturaherramientasdeclculocomolascalculadorasolashojasdeclculo.
Relacionardatosymodelosmatemticosconfenmenosobservados(interpretacindelcalendario,lasmareas,duracindelaoendistintosplanetas,etc.).
Adquirirsolturaenlarepresentacingrficadelosproblemasaestudiar.Manejarellenguajesimblico.
Serrigurosoenelmanejodemagnitudesvectoriales.
1. Educacin cvicaComosucedienelmomentohistricoenquesurgieron,elestablecimientodeunmodelocientficoqueseopongaalaideologaoficialmenteestablecidapuedesuponerunserioproblemaparaquienlosostenga.Serinteresanteestablecerdebatesenlosqueelalumnadodebaargumentaracercadelaindependenciadelconocimientocientficofrentealpoderestablecido.
Puestoqueeldebatesoloserfructferosihayposibilidaddeofrecerdiversasposiciones,puedesernecesarioelestablecimientoprevioderolesquellevenaunosaexponerargumentosafavor;yaotros,encontra.Puedeserilustrativoqueendeterminadomomentodeldebateseestablezcaelcambioderolparasusmiembros.
Sesugierenalgunosposiblesttulosparaeldebate:
Puedenloscientficosestablecerteorasqueseoponganalaleynatural? Puedenloscientficosinvestigarsobrecualquiercosa? Eltrabajocientficopuededestruirlasociedad?
EDUCACIN EN VALORES
1. Interpretarelmovimientodeloscuerposcelestesdeacuerdoconunmodelogeocntrico.Conocerelesquemageneralylosrecursosgeomtricosqueutiliza.Establecerlasdiferenciasconrespectoaunmodeloheliocntrico.
2. ConocerlasleyesdeKepler.Utilizarlasparaobteneryrelacionardatosdelaposicinylavelocidaddeloscuerposcelestes.
3. Hacerusodelconceptomomentoangularparademostrarelcarctercentraldelafuerzaresponsabledelmovimientodelosplanetasyelhechodequesusrbitasseanestablesyplanas.
4. UtilizarlaleydeNewtondelagravitacinuniversalparacomprenderelmovimientodeloscuerposcelestesyhacerclculosrelativosasudistanciaalSolyperiodoorbital.
5. Calcularelpesodeuncuerpoendistintosplanetas.
6. Utilizarelclculovectorialparaobtenerlafuerzagravitatoriaqueunconjuntodemasaspuntualesejercensobreotramasa.
7. Justificarlosciclosdelasmareasalaluzdelainteraccingravitatoria.
CRITERIOS DE EVALUACIN
Reconocerelpapeldelacienciaparainterpretarelmundoenquevivimos.
Respetareltrabajocientficoysuindependenciafrenteaideologas. Distinguirentrelaconstanciadelosdatosobtenidos
porprocedimientoscientficosylavulnerabilidaddelasteorasquelosinterpretan.
Actitudes Discutirelmodoenquesepuedenobtenerlosdatosquepermitanestudiarelmovimientodeloscuerposcelestes.
Comprenderlanecesidaddeestablecermodelosquepermitaninterpretarelmovimientodeloscuerposcelestes.
Estudiarelmodelogeocntrico.Analizarsujustificacinideolgicaylaevolucingeomtricaquerequiriparaexplicarlosdatos.
Estudiarelmodeloheliocntrico.Justificarsuexistenciaapartirdelosdatosyanalizarlosproblemasideolgicosquesuscita.
ComprenderlasleyesdeKepleryutilizarlasparajustificarypredecirelmovimientodeloscuerposcelestes.
EntenderelrazonamientodeNewtonparadarconlacausadelmovimientodeloscuerposcelestes.
Comprenderelalcancedelaleydelagravitacinuniversal.Manejarlaenelmbitocelesteyenelterrestre.
Utilizarlaformulacinvectorialdelafuerzagravitatoriaparacomprenderlainteraccinentreunconjuntodemasaspuntuales.
Aplicarlosconocimientossobrelafuerzagravitatoriaparacomprenderalgunosfenmenosobservables,comoeldistintopesodeunmismocuerpoenlaTierrayenlaLuna,losciclosdelasmareas,laduracindelasdistintasestacionesdelcalendario,etc.
OBJETIVOS
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1 La interaccin gravitatoria
1. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.
DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestenposicinopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,pocadelasestacionesotoo-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoo-inviernoduraseisdasmenosqueeldeprimavera-verano.
2. La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
Tr
2
3= cte.
Portanto,TrT
T
cte.2
3=
TrM
M
cte.2
3=
Adems,sabemosquer rM T= 1 468, .Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 468
1 4
= =
( , )
,
6681 468 1 468 1 78
32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T , , , TT
Porlotantohay1,78aosterrestresencadaaomarciano.
3. El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
Portanto,
Adems,sabemosque .Igualando:
Porlotanto,ladistanciadeJpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.
4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 109 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)
Elmomentoangularseconserva:
Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.
5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.
Dato: 1 UA = 1,496 1011 m.
Denuevoseconservaelmomentoangular:
Adems,sabemosque:
23,523,5
SolAfelio(veranoen
elhemisferionorte)
Perihelio(inviernoenelhemisferio
norte)
(El dibujo no est a escala.)
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La interaccin gravitatoria
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Solucionario
Teniendo en cuenta las leyes de Kepler, explica con la ayuda de un dibujo en qu parte de su rbita alrededor del Sol (afelio o perihelio) se encuentra la Tierra en el invierno y en el verano si se cumple que en el hemisferio norte el periodo otoo-invierno dura seis das menos que el de primavera-verano.
DeacuerdoconlasegundaleydeKepler,laTierragiraalrededordelSolconvelocidadareolarconstante.Estodeterminaquesuvelocidadlinealesmayorenelperihelioqueenelafelio.ElhemisferionortedelaTierraestenposicinopuestaalSolcuandosemueveenlazonadelperihelio,pocadelasestacionesotoo-invierno.Esteeselmotivoporelqueelperiodootoo-inviernoduraseisdasmenosqueeldeprimavera-verano.
La distancia media de Marte al Sol es 1,468 veces la de la Tierra al Sol. Encontrar el nmero de aos terrestres que dura un ao marciano.(C. Valenciana. Septiembre, 2003)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:
Portanto,
Adems,sabemosque .Igualando:
T
r
T
r
T
r
T
r
T
M
M
T
T
M
T
T
T
M
2
3
2
3
2
3
2
3
2
1 468
1 4
= =
( , )
,
6681 468 1 468 1 78
32 2 3 2 3= = = =T T T T T TT M T M T , , , TT
Porlotantohay1,78aosterrestresencadaaomarciano.
El periodo de rotacin de Jpiter alrededor del Sol es 12 veces mayor que el periodo que corresponde a la Tierra. Calcula cuntas veces supera la distancia media (semieje de la elipse) desde Jpiter hasta el Sol a la distancia entre la Tierra y el Sol.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler:T
r
2
3= cte.
Portanto,T
rT
T
cte.2
3=
TrJ
J
cte.2
3=
Adems,sabemosqueT TJ T= 12 .Igualando:
T
rTr
Tr
T
r
r r
J
J
T
T
T
J
T
T
J
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
12
12 1
= =
=
( )
TTJ T J T T33 2 3 2312 12 5 24 r r r r r= = = ,
Porlotanto,ladistanciadeJpiteralSoles5,24vecesmayorqueladistanciadelaTierraalSol.
4. El cometa Halley se mueve en una rbita elptica alrededor del Sol. En el perihelio se encuentra a 8,75 107 km del Sol, y en el afelio, a 5,26 109 km. Determina en cul de estos puntos es mayor la velocidad del cometa y cunto mayor es en uno de ellos que en el otro.(C. Madrid. Junio, 1999)
Elmomentoangularseconserva:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelio
afelio perkm
r
v v
5 26 109, = iihelio
perihelio afelio
km 8 75 10
5 26
7,
,
v v= 10
8 75 1060 11
9
7,,= vafelio
Porlotanto,lavelocidadenelperihelioes60,11vecesmayorquelavelocidadenelafelio.
5. Venus describe una rbita elptica alrededor del Sol. Su velocidad en el afelio es de 3,48 104 m/s y en el perihelio es de 3,53 104 m/s. Si la distancia que separa el afelio del perihelio es de 1,446 UA, determina a qu distancia se encuentra Venus del Sol en cada una de esas posiciones.
Dato: 1 UA = 1,496 1011 m.
Denuevoseconservaelmomentoangular:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelio
afelio pem/s
r
r r
3 48 104, = rrihelio m/s 3 53 104,
Adems,sabemosque:
r r
rafelio perihelio
af
UA m+ = =1 446 216 32 109, , eelio periheliom= 216 32 109, r
Perihelio(inviernoenelhemisferio
norte)
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-
10
1 La interaccin gravitatoria
Sustituyendo:
( , ) ,216 32 10 3 48 109 4 m m/sperihelio perih =r r eelio
perihelio
m/s
m
3 53 10
216 32 10 3
4
9
,
,
r = ,,, ,
,48 10
3 48 10 3 53 10107 38 1
4
4 4
m/s
m/s m/s+= 009 m
Entonces:
rperihelio m m= =216 32 10 107 38 10 108 94 19 9, , , 009 m
6. Si la rbita de un planeta es elptica, en qu punto de su trayectoria tendr velocidad lineal mxima? Y si la rbita fuera circular?
UnaconclusindelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:
L L m v r m vafelio perihelio afelio afelio per= = iihelio perihelio r
Silarbitaeselptica,suvelocidadlinealsermximaenelperihelio,yaqueahladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.Silarbitafueracircular,suvelocidadlinealserlamismaentodalarbita.
7. Un cuerpo de masa m1 est separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atraccin WF. Calcula el valor de la fuerza si:
a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce
a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.
a) Sim m'1 12= :
F Gm m
dF G
m m
d
F Gm m
d
''
'
'
= =
=
1 22
1 22
1 2
2
2
22
2 F F' =
Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.
b) Sim m'1 11
2= :
F Gm m
dF G
m m
d
F Gm m
''
'
'
= =
=
1 22
1 2
2
1
12
12
222
12d
F F ' =
Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambinsereducealamitad.
c) Si :
Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.
d) Si :
Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.
8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compr en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. Cunto pesar en la Luna si la mide con una balanza de resorte? Y si la mide con una balanza de platos?
Conunabalanzadeplatospesarexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.
Conunabalanzaderesortelamedidaseveraafectadaporlagravedad.
9. Dnde tendr ms masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? Dnde pesar ms?
TendrlamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarmsenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.
10. La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Cul es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Jpiter es gaseoso y no tiene una superficie slida como la Tierra o Marte.)
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La interaccin gravitatoria
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Solucionario
Sustituyendo:
( , ) ,216 32 10 3 48 109 4 m m/sperihelio perih =r r eelio
perihelio
m/s
m
3 53 10
216 32 10 3
4
9
,
,
r = ,,, ,
,48 10
3 48 10 3 53 10107 38 1
4
4 4
m/s
m/s m/s+= 009 m
Entonces:
Si la rbita de un planeta es elptica, en qu punto de su trayectoria tendr velocidad lineal mxima? Y si la rbita fuera circular?
UnaconclusindelasegundaleydeKepleresqueelmomentoangulardelosplanetasesconstante:
Silarbitaeselptica,suvelocidadlinealsermximaenelperihelio,yaqueahladistanciaalcentrodegiro(rperihelio)esmenor.Silarbitafueracircular,suvelocidadlinealserlamismaentodalarbita.
Un cuerpo de masa m1 est separado una distancia d de otro cuerpo de masa m2 y entre ellos existe una fuerza de atraccin WF. Calcula el valor de la fuerza si:
a) m1 duplica su masa.b) m1 reduce su masa a la mitad.c) Los cuerpos se aproximan hasta que la distancia entre ellos se reduce
a la mitad.d) Los cuerpos se alejan hasta que la distancia entre ellos se duplica.
a) Si :
Siseduplicalamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellosseduplica.
b) Si :
Sisereducealamitadlamasadeuncuerpo,lafuerzaentreellostambinsereducealamitad.
c) Sid d' =1
2 :
F Gm m
d
F Gm m
d' '=
=
1 2
2
1 2
212
14
F G m md
F F' '= =4 41 22
Siladistanciaentreloscuerpossereducealamitad,lafuerzasecuadruplica.
d) Sid d' = 2 :
F Gm m
dF G
m md
F Gm
' '
'
= =
=
1 22
1 2
2
1
2 41
4
( )
md
F F22
1
4 ' =
Siladistanciaentreloscuerposseduplica,lafuerzasereducealacuartaparte.
8. Una astronauta lleva a la Luna la manzana que compr en el supermercado de su calle y que pesaba 250 g. Cunto pesar en la Luna si la mide con una balanza de resorte? Y si la mide con una balanza de platos?
Conunabalanzadeplatospesarexactamentelomismo,yaquecomparalamanzanaconotrocuerpoquetienesumismamasa.
Conunabalanzaderesortelamedidaseveraafectadaporlagravedad.
P m gP m g PTierra Tierra
Luna LunaLuna
==
== P
ggTierra
Luna
Tierra
9. Dnde tendr ms masa una pelota de tenis, en la Tierra o en la Luna? Dnde pesar ms?
TendrlamismamasaenlaTierrayenlaLuna,peropesarmsenlaTierra,porquelagravedadterrestreesmayorquelalunar.
10. La masa del planeta Jpiter es aproximadamente 318 veces la de la Tierra y su dimetro es 11 veces mayor. Cul es el peso en la superficie de este planeta de un astronauta cuyo peso en la Tierra es de 750 N? (En realidad, Jpiter es gaseoso y no tiene una superficie slida como la Tierra o Marte.)
P F GM m
R= G =
2
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-
12
1 La interaccin gravitatoria
EnlaTierraPT=750N.EnJpiter:
P GM m
RG
M mR
GM
JJ
J
T
T
T= =
= 2 2 2
318
11
318
11( )
=
= = =
mR
P P
( )T
T J750 N 1971 N
2
2 2
318
11
318
11
11. En cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.
a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del tringulo.
b) Y si el cuerpo que est en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un tringulo.)
Elbaricentrodeltringuloeselpuntoenquesecortansusmedianas;
seencuentraaunadistanciadecadavrticeiguala2h3
.
Paraeltringulodelproblema:
hh
= = = =6 33
5 20
32 2 5,20 m
m1,73 m ,
2
3
2 5 20
3
=
=
h , m3,47 m
Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposicin,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.
Elmdulodecadaunadelastresfuerzasesidntico:
F Gm m
di
i2
2
N m
kg
kg kg=
=
2
112
6 67 105 10
3 47,
, mmN
2= 2 77 10 10,
(i=A,B,C.)
Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncindesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:
WFA=FcosWiFsenWj
WFB=+FcosWiFsenWj
WFC=FWj
WFT=WFA+WFB+WFC WFT=(FcosWiFsenWj)+ (FcosWiFsenWj )+ FWj
Teniendoencuentaquelosngulosysoniguales:WFT=2FsenWj+FWj=2F0,5Wj+FWj=0
Conclusin:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntringulo.
12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:
a) Explica por qu un mismo astro aparece unas veces ms brillante que otras.
b) Explica el movimiento retrgrado de Marte.
a) UnastroapareceavecesmsbrillanteporquesudistanciaalaTierravaraenfuncindelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.
6m 6m
C
B
6m
2h3
h3
5kg
5kg 5kg
10kg
WFC
WFB
WFA
A
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-
La interaccin gravitatoria
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Solucionario
EnlaTierraPT=750N.EnJpiter:
En cada uno de los vrtices de un tringulo equiltero de 6 m de lado tenemos un cuerpo de 5 kg.
a) Calcula la fuerza que el conjunto ejerce sobre otro cuerpo de 10 kg que se encuentra en el baricentro del tringulo.
b) Y si el cuerpo que est en el baricentro fuese de 100 kg?(Recuerda: el baricentro es el punto en que se cortan las medianas de un tringulo.)
Elbaricentrodeltringuloeselpuntoenquesecortansusmedianas;
seencuentraaunadistanciadecadavrticeiguala .
Paraeltringulodelproblema:
Dibujamoslafuerzaquecadamasaejercesobreelcuerpoqueestenelbaricentro.Porelprincipiodesuperposicin,lafuerzaresultantedelsistemapuedeobtenersecomoWFT=WFA+WFB+WFC.
Elmdulodecadaunadelastresfuerzasesidntico:
F Gm m
di
i2
2
N m
kg
kg kg=
=
2
112
6 67 105 10
3 47,
, mmN
2= 2 77 10 10,
(i=A,B,C.)
Parahacerlasumavectorialnosinteresaexpresarlastresfuerzasenfuncindesuscomponentescartesianas.DescomponemosWFAyWFBensuscomponenteshorizontalyvertical:
sen sen = = =1 73
3 470 5
,
,,
cos,
, cos = = =3
3 470 86
WFA=FcosWiFsenWj
WFB=+FcosWiFsenWj
WFC=FWj
WFT=WFA+WFB+WFC WFT=(FcosWiFsenWj)+ (FcosWiFsenWj )+ FWj
Teniendoencuentaquelosngulosysoniguales:WFT=2FsenWj+FWj=2F0,5Wj+FWj=0
Conclusin:WFT=0Nparacualquiermasaquesecoloqueenelbaricentrodeuntringulo.
12. Utilizando el modelo de Ptolomeo de epiciclos y deferente:
a) Explica por qu un mismo astro aparece unas veces ms brillante que otras.
b) Explica el movimiento retrgrado de Marte.
a) UnastroapareceavecesmsbrillanteporquesudistanciaalaTierravaraenfuncindelpuntodelepicicloenelqueseencuentrenensudeferente.
A B
C
WFC
WFBxWFAx
WFByWFAy
WFBWFA
B
5kg
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1 La interaccin gravitatoria
b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.
13. Utilizando un modelo heliocntrico, justifica el movimiento retrgrado de Marte.
ElmovimientoretrgradodeMarteeslatrayectoriairregularquesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.
LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyeccinenlabvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccindelasdistintaslneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrgrado).
14. Si el Sol est en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicacin de por qu no se observa paralaje estelar; es decir, por qu no se ve que cambie la posicin de una estrella en el firmamento al cambiar la posicin de la Tierra.
Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.
15. En el lenguaje comn decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Qu tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmacin?
Geocntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelacinaella.
16. Una partcula se mueve con movimiento rectilneo uniformemente acelerado alejndose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en direccin radial. Su momento angular:
a) Es constante.
b) Es cero.
c) Aumenta indefinidamente.
Porladefinicindemomentoangular:
WL=WrWp=WrmWv sen
SilosvectoresdeWryWvtienenlamismadireccinysentido,resultaqueformanunngulode0,porloquesen0=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).
17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partcula se acerca continuamente al origen.
Lanicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunngulode180,pero,nuevamente,sen180=0yelresultadoesnulo,L=0.
18. Una partcula se mueve en un plano con movimiento rectilneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.
Elmomentoangularesconstantesinovaraconeltiempo.
ElvectormWv esparaleloaWv.Elproductovectorial
=Wv(mWv )es0,yaqueelsenodelnguloqueformanes0.
Silapartculasemueveconmovimientorectilneoyuniforme:
Tierra
Deferente
Epiciclo
Tierra
Tierra
Marte
Marte
Sol
SolEstrellas
fijasMovimientoobservadodeMarte
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La interaccin gravitatoria
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Solucionario
b) LosplanetasgiranalrededordelaTierrasiguiendounatrayectoriadepequeascircunferencias(epiciclos)cuyocentrodescribeunacircunferencia(deferente)concentroenlaTierra.Durantelamitaddelepiciclo,elmovimientodelplanetaparecequeavanzaconrespectoalaTierra;yenlaotramitad,retrocedeconrespectoalaTierra.
Utilizando un modelo heliocntrico, justifica el movimiento retrgrado de Marte.
ElmovimientoretrgradodeMarteeslatrayectoriairregularquesigueensumovimientoalrededordelSolcuandoseobservadesdelaTierra.AmbosplanetasgiranalrededordelSol,aunquelaTierralohaceconmayorrapidez.
LatrayectoriaqueobservamosdeMarteesresultadodelaproyeccinenlabvedacelestedesusdistintasposiciones.Comopodemosobservareneldibujo,laproyeccindelasdistintaslneasvisualesprovocaloquepareceserlatrayectoriadeunmovimientoqueavanzayretrocede(movimientoretrgrado).
Si el Sol est en el centro del universo y la Tierra gira a su alrededor, da una explicacin de por qu no se observa paralaje estelar; es decir, por qu no se ve que cambie la posicin de una estrella en el firmamento al cambiar la posicin de la Tierra.
Porquetodaslasestrellas(exceptoelSol)seencuentranmuyalejadasdelaTierra.
15. En el lenguaje comn decimos que el Sol sale por el este y se pone por el oeste. Qu tipo de modelo de universo estamos empleando cuando hacemos esta afirmacin?
Geocntrico,yaqueestamosutilizandocomoreferencialaTierraydescribiendoelmovimientodelSolenrelacinaella.
16. Una partcula se mueve con movimiento rectilneo uniformemente acelerado alejndose continuamente de un punto que tomamos como origen del movimiento y en direccin radial. Su momento angular:
a) Es constante.
b) Es cero.
c) Aumenta indefinidamente.
Porladefinicindemomentoangular:
WL=WrWp=WrmWv sen
SilosvectoresdeWryWvtienenlamismadireccinysentido,resultaqueformanunngulode0,porloquesen0=0yelresultadoesnulo,L=0.Respuestacorrecta:b).
17. Resuelve el ejercicio anterior suponiendo que la partcula se acerca continuamente al origen.
Lanicadiferenciaconrespectoalejercicioanterioresque,enestecaso,losvectoresformanunngulode180,pero,nuevamente,sen180=0yelresultadoesnulo,L=0.
18. Una partcula se mueve en un plano con movimiento rectilneo y uniforme. Demuestra que su momento angular, con respecto a un punto cualquiera de ese plano, va a ser constante.
Elmomentoangularesconstantesinovaraconeltiempo.
d Ldt
d r pdt
d rdt
m v rd m v
dt=
= +
=
( ) ( )( )
( )0
W W W WWW
ElvectormWv esparaleloaWv.Elproductovectoriald rdt
m v v m v = ( ) ( )W
W
=Wv(mWv )es0,yaqueelsenodelnguloqueformanes0.
Silapartculasemueveconmovimientorectilneoyuniforme:
d m vdt
dLdt
L( )
= = =0 0 cte.W
Deferente
Epiciclo
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1 La interaccin gravitatoria
19. Si una partcula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:
a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.
Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular,d Ldt
r F= W
W W .
Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccindelradio.SilapartculadescribeunmovimientocircularbajolaaccindeestafuerzasecumplirWrWF=0,porloqueWLnopresentarvariacinrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).
20. En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:
a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Vara el momento lineal y se conserva el momento angular.
Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccindefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.
Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservar.RecurdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperiheliosermayorqueenelafelio.
21. Las rbitas de los planetas son planas porque:
a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la accin de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una nica estrella.
Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesurbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccindeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasrbitassonplanas.
RecurdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccindeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanrbitasplanas.
22. Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.
UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:
WL1=WL2Wr1(mWv1)=Wr2(mWv2)Simplificamosm:
Wr1Wv1=Wr2Wv2= Wcte.
23. Explicar por qu los cometas que orbitan elpticamente alrededor del Sol tienen ms velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carcter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.
(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)
Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarrereasigualesentiemposiguales.
Poresto,cuandoelcometaestmscercadelSol,tendrquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismareaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestalejadodelSol.Paraello,debemoversemsrpido.
24. Dos satlites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la rbita de B ser: a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.
Sitienenelmismomomentoangular:
LA=LBmAvArA=mBvBrB50mBvArA=mB2vArB50rA=2rB
Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).
25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, cmo sera su periodo de revolucin alrededor del Sol?:
a) Igual. b) De 2 aos. c) De 4 aos.
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La interaccin gravitatoria
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Solucionario
Si una partcula se mueve en un campo de fuerzas centrales, su momento angular respecto al centro de fuerzas:
a) Aumenta indefinidamente. b) Es cero. c) Permanece constante.
Deacuerdoconelteoremadelmomentoangular, .
Unafuerzacentraltiene,entodomomento,ladireccindelradio.SilapartculadescribeunmovimientocircularbajolaaccindeestafuerzasecumplirWrWF=0,porloqueWLnopresentarvariacinrespectoaltiempo,ylarespuestacorrectaeslac).
En el movimiento de la Tierra alrededor del Sol:
a) Se conserva el momento angular y el momento lineal. b) Se conserva el momento lineal y el momento de la fuerza gravitatoria. c) Vara el momento lineal y se conserva el momento angular.
Larespuestacorrectaeslac).Almoversebajolaaccindefuerzascentrales(gravitatoria),seconservasumomentoangular.
Sinembargo,lavelocidadlinealconlaquesemuevenoesconstante,porloquesumomentolinealnoseconservar.RecurdeselasegundaleydeKepler:laTierrasemueveconvelocidadareolarconstante,porloquesuvelocidadenelperiheliosermayorqueenelafelio.
Las rbitas de los planetas son planas porque:
a) Se mueven con velocidad constante.b) Se mueven bajo la accin de una fuerza central.c) Los planetas son restos materiales de una nica estrella.
Noesverdadquelosplanetassemuevanconvelocidadconstante,yelorigenmaterialdelosmismosnotienenadaqueverconlaformadesurbita.Larespuestacorrectaeslab),yaquealmoversebajolaaccindeunafuerzacentralsumomentoangularesconstante,ydeellosederivaquelasrbitassonplanas.
RecurdesequeWLesentodomomentoperpendicularaWryWp ;paraqueladireccindeWLnocambie,WryWp debendefinirsiempreelmismoplano,loqueobligaaquelosplanetasdescribanrbitasplanas.
Demuestra que para cualquier planeta el producto de su velocidad instantnea en un punto de la trayectoria por el radio vector correspondiente es constante.
UnaconsecuenciadelasegundaleydeKepleresquelosplanetassemuevenconmomentoangularconstante.Paradospuntoscualesquiera:
WL1=WL2Wr1(mWv1)=Wr2(mWv2)Simplificamosm:
Wr1Wv1=Wr2Wv2= Wcte.
23. Explicar por qu los cometas que orbitan elpticamente alrededor del Sol tienen ms velocidad cuando se encuentran cerca que cuando se encuentran lejos del Sol, considerando el carcter de fuerza central de la fuerza gravitatoria.
(C. F. Navarra. Septiembre, 2006)
Enelcasodefuerzascentrales,deacuerdoconlasegundaleydeKepler,elradiovectorqueuneuncometaalSolbarrereasigualesentiemposiguales.
Poresto,cuandoelcometaestmscercadelSol,tendrquerecorrerunalongituddearcomayorparaabarcarlamismareaquelarecorridaenelmismotiempocuandoestalejadodelSol.Paraello,debemoversemsrpido.
24. Dos satlites, A y B, cuyas masas son tales que mA = 50mB se mueven alrededor de la Tierra en el mismo plano y con el mismo momento angular; sus velocidades son vB = 2vA. El radio de la rbita de B ser: a) Igual a la de A. c) La mitad que la de A.b) El doble que la de A. d) 25 veces mayor que la de A.
Sitienenelmismomomentoangular:
LA=LBmAvArA=mBvBrB50mBvArA=mB2vArB50rA=2rB
Porlotanto,larespuestacorrectaeslad).
25. Si por alguna causa interna la Tierra sufriese un colapso gravitatorio que redujese su radio a la mitad manteniendo constante su masa, cmo sera su periodo de revolucin alrededor del Sol?:
a) Igual. b) De 2 aos. c) De 4 aos.
Mslento
Msrpido
AfelioSol
Perihelio
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1 La interaccin gravitatoria
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire
alrededordelSol,
Porlotanto,lavelocidadyelradioderbitavarandeformainversa:vsermayorcuantomenorsear.Adems,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).
28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 108 km y que la Tierra tarda 365,256 das en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 1011 N m2 kg2.(P. Asturias. Junio, 2006)
CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol,FG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de rbitas circulares.
b) Rhea y Titn son dos satlites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 das terrestres en recorrer sus rbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la rbita de Rhea es 5,27 108 m, calcula el radio medio de la rbita de Titn y la masa de Saturno.
G = 6,67 1011 N m2 kg2.(Aragn. Septiembre, 2006)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendorbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.LavariacindelradiodelaTierra
noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresutamao.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.
CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.
mvr
GM m
rT
S T 22
=
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendoydespejando:
22
22
22
2 3
Tr
rG
Mr
Tr
G M
= =
S
S
( )
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesurbita.Larespuestacorrectaeslaa).
26. Qu cambio experimentara el periodo de revolucin de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.LavariacindelradiodelaTierra
noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresumasa.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.
CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.
mvr
GM m
rT
S T 22
=
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendoydespejando:
22
22
22
2 3
Tr
rG
Mr
Tr
G M
= =
S
S
( )
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningncambio.
27. Un objeto que describe rbitas circulares alrededor del Sol ir ms rpido: a) Cuanto mayor sea el radio de la rbita.b) Cuanto menor sea el radio de la rbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.
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-
La interaccin gravitatoria
19
Solucionario
T 2
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paracualquierobjetoquegire
alrededordelSol,T
r
2
3= cte.
= = =
= =2 2
2
2
2 2
2
3
2
Tvr
Tr
v
rvr
vr
;
( )
( )cte.
cte.
Porlotanto,lavelocidadyelradioderbitavarandeformainversa:vsermayorcuantomenorsear.Adems,lavelocidadnodependedelamasadelobjeto,porloquelarespuestacorrectaeslab).
28. Determina la masa del Sol sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 1,49 108 km y que la Tierra tarda 365,256 das en dar una vuelta completa alrededor del Sol. Dato: G = 6,67 1011 N m2 kg2.(P. Asturias. Junio, 2006)
CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol,FG=FC:
mvr
GM m
rT
S T 22
=
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendoydespejando:
m Tr
rG
M m
rM
TT
S TS
2
2
22
2
= =
=
2 3
6
2
31 558 10
rG
M
Ss
,
22 11
11 2
1 49 10
6 67 101 965 1
( ,
,,
m)
N m kg
3
2= 0030 kg
29. a) Enuncia las leyes de Kepler y demuestra la tercera en el caso particular de rbitas circulares.
b) Rhea y Titn son dos satlites de Saturno que tardan, respectivamente, 4,52 y 15,9 das terrestres en recorrer sus rbitas en torno a dicho planeta. Sabiendo que el radio medio de la rbita de Rhea es 5,27 108 m, calcula el radio medio de la rbita de Titn y la masa de Saturno.
G = 6,67 1011 N m2 kg2.(Aragn. Septiembre, 2006)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendorbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales.
dAdt
= cte.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol, LavariacindelradiodelaTierra
noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresutamao.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.
CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelradiodelaTierra,sinodelradiodesurbita.Larespuestacorrectaeslaa).
Qu cambio experimentara el periodo de revolucin de la Tierra alrededor del Sol si perdiese la mitad de su masa manteniendo su volumen?
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,paraunplanetaquegira
alrededordelSol, LavariacindelradiodelaTierra
noimplicaquevaresudistanciaalSol.Portanto,elperiododelaTierrapermanececonstanteaunquevaresumasa.Podemoshacerunademostracinmsexhaustivateniendoencuentalaleydegravitacinuniversal.
CuandolaTierraestenrbitaalrededordelSol:FG=FC.
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
Porlotanto,resultaqueelperiodonodependedelamasanidelvolumendelaTierra,sinodelamasadelSol.Noexperimentaningncambio.
Un objeto que describe rbitas circulares alrededor del Sol ir ms rpido: a) Cuanto mayor sea el radio de la rbita.b) Cuanto menor sea el radio de la rbita.c) Cuanto mayor sea la masa del objeto.
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-
20
1 La interaccin gravitatoria
3. Paratodoslosplanetas:Ta
k2
3= (constante).Dondeaes
elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta. Demostramosestaleyconlaleydegravitacinuniversal.
Paraunplanetaquedescribeunarbitacircular:
F F mvr
GM m
rG C T
S T= = 22
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendo:
2 2 2
2
T
r
rG
Mr
= S rT
GM3
2 22= =S
( )cte.
b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatlites:
T
r
T
r12
13
22
23
2
8 35 27 10=
=
( )
( , )
(4,52 das
m
15,9 ddas
T
)2
3r
rT15,9 das m
4,52 das=
=
( ) ( , )
( ),
2 8 3
23
5 27 101 222 109 m
ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatlites,porejemplo,Rhea.
CuandounsatliteestenrbitaalrededordeSaturnoFG=FC:
mvr
GM m
rR
S R 22
=
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendoydespejando:
22
22
2
T
r
rG
Mr
MT
= =
S S
2 3
rG
TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:
MT
rG
SR
R
s
=
=
=
2
2
390 528 10
2 3
3
,
2 8
11 2
5 27 10
6 67 10
( ,
,
m)
N m kg
3
22
S kg
M = 568 015 1024,
30. Jpiter es un planeta que est rodeado de una serie de lunas que giran en torno a l de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Jpiter.
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatlitesquegiran
alrededordeunmismoplanetaverifican:
Portanto,
Igualando:
YparaGanimedes:
31. El periodo de revolucin de Marte alrededor del Sol es de 687 das. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las rbitas descritas son circunferencias.)(C. F. Navarra. Junio, 2007)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran
alrededordelSolverifican:
Igualando:
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-
La interaccin gravitatoria
21
Solucionario
3. Paratodoslosplanetas: (constante).Dondeaes
elsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta. Demostramosestaleyconlaleydegravitacinuniversal.
Paraunplanetaquedescribeunarbitacircular:
Sabiendoque ,sustituyendo:
b) TeniendoencuentalaterceraleydeKeplerparaambossatlites:
ParacalcularlamasadeSaturnoestudiamoselsistemaformadoporesteplanetayunodesussatlites,porejemplo,Rhea.
CuandounsatliteestenrbitaalrededordeSaturnoFG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
TeniendoencuentalosdatosdeRhea,expresadosenunidadesSI:
30. Jpiter es un planeta que est rodeado de una serie de lunas que giran en torno a l de forma similar a como los planetas giran alrededor del Sol. Completa la tabla para conocer los datos orbitales de las lunas de Jpiter.
Nombre Radio orbital, en 106 m Periodo (das)
o 421,6 1,769
europa 3,551
ganimedes 1070
calisto 1882 16,689
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslossatlitesquegiran
alrededordeunmismoplanetaverifican:Tr
2
3= cte.
Portanto,TrI
I
cte.2
3=
TrE
E
cte.2
3=
T
rG
G
cte.2
3=
Igualando:
T
r
T
rr
T
TrE
E
I
IE
E
II
2
3
2
3
2
233
2
2
3 551
1 7694= = = ,
,221 6 670 8933 , ,=
rEuropa m= 670 89 106,
YparaGanimedes:
T
r
T
rT
rr
TG
G
I
IG
G
II
2
3
2
3
3
32
3
3
1070
421 61 7= = =
,, 669 7 1522 = ,
TGaminedes 7,152 das=
31. El periodo de revolucin de Marte alrededor del Sol es de 687 das. Sabiendo que la distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros, calcular la distancia de Marte al Sol. (Suponer que las rbitas descritas son circunferencias.)(C. F. Navarra. Junio, 2007)
DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,todoslosplanetasquegiran
alrededordelSolverifican:Tr
2
3= cte.
T
rM
M
2
3=
T
rT
T
cte.2
3=
Igualando:
T
rTr
rTT
rM
M
T
TM
M
TT
2
3
2
3
2
233
2
233 687
365150= = = ==
=
228 67
228 67 106
,
,
rM km
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-
22
1 La interaccin gravitatoria
32. Europa, satlite de Jpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una rbita completa de 6,71 105 km de radio cada 3 das, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:
a) La velocidad lineal de Europa con relacin a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.
Obtenemoselperiodoensegundos:
T = +324 60 60
113
60das
h
1 da
min
1 h
s
minh
min
1 h
60
1
14 660
1306 876 103
s
min
mins
mins
+
+ =, ,
a)v rT
r= =
=
2 2
306 876 103, s
=
=
6 71 10
13 74 10
9
3
,
,
m
m/s
b) CuandoEuropaestenrbitaalrededordeJpiter,FG=FC:
m
vr
GM m
r
Mv r
G
EJ E
J
2m/s)
=
2
2
2 313 74 10
=
=
( , 66 71 106 67 10
1 899 108
11 227,
,,
m
N m /kgkg
2=
33. Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.
Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.
CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierraFG=FC:
mvr
GM m
rL
T L 22
=
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendoydespejando:
22
22
2
T
r
rG
Mr
MT
= =
T T
2 3rG
MT3
s
m)=
2
2 3 10
388 400 10
66
2 3,
(
,,
,67 10
6 35 1011 2
24
N m kgkg
2=
34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula: a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotacin en das.
Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 106 m.
a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
[1]
EnlasuperficiedelaTierra:
[2]
Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelacinr=60 RT:
b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:
35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen ms rpido los cuerpos:
a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rpido.
Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleracinquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.
Comoseapreciaenlafrmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleracin;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).
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La interaccin gravitatoria
23
Solucionario
Europa, satlite de Jpiter descubierto por Galileo en 1610, describe una rbita completa de 6,71 105 km de radio cada 3 das, 13 horas y 14,6 minutos. Calcula:
a) La velocidad lineal de Europa con relacin a Jpiter. b) La masa de Jpiter. Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.
Obtenemoselperiodoensegundos:
T = +324 60 60
113
60das
h
1 da
min
1 h
s
minh
min
1 h
60
1
14 660
1306 876 103
s
min
mins
mins
+
+ =, ,
a)
b) CuandoEuropaestenrbitaalrededordeJpiter,FG=FC:
m
vr
GM m
r
Mv r
G
EJ E
J
2m/s)
=
2
2
2 313 74 10
=
=
( , 66 71 106 67 10
1 899 108
11 227,
,,
m
N m /kgkg
2=
Calcula la masa de la Tierra, sabiendo que la Luna tiene un periodo igual a 2,3 106 s y se encuentra a una distancia media de la Tierra de 384 400 km.
Dato: G = 6,67 1011 N m2/kg2.
CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierraFG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendoydespejando:
MT3
s
m)=
2
2 3 10
388 400 10
66
2 3,
(
,,
,67 10
6 35 1011 2
24
N m kgkg
2=
34. La distancia Tierra-Luna es aproximadamente 60 RT. Calcula: a) Su velocidad lineal alrededor de la Tierra.b) El periodo de rotacin en das.
Dato: en la superficie terrestre, g = 9,86 m/s2; RT = 6,37 106 m.
a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
mvr
GM m
rv G
Mr
LT L T =
=
2
22 [1]
EnlasuperficiedelaTierra:
g GMR
g R G M= = T
TT T22 [2]
Sustituimos[2]en[1]ytenemosencuentalarelacinr=60 RT:
v GMr
g RR
g R
v
22
60 60
9 86 6 37
= =
=
=
T T
T
T
2m/s
, , = 1060
1 023 106
3m m/s,
b) Relacionamosmagnitudeslinealesyangulares:
v rT
R= = 2
60 T
Tv
R= =
=
260
2 60 6 37 10
1 023 102 3
6
3
T
m
m/s
,
,, 55 106 s
T = =2 35 106, s1 h
3600 s
1 das
24 h27,17 das
35. Los cuerpos se atraen con una fuerza gravitatoria que es proporcional a su masa. En ausencia de rozamiento, caen ms rpido los cuerpos:
a) De mayor masa. b) De menor masa. c) Todos igual de rpido.
F GM m
rg mG
T=
= 2
Larapidezconlaquecaenloscuerposvienedeterminadaporlaaceleracinquelesimprimelafuerzagravitatoria,ysolodependedelcuerpoquelosatrae(laTierra)ydeladistanciaquelosseparadelcentrodeesecuerpo.
Comoseapreciaenlafrmula,enausenciaderozamientotodosloscuerposcaenconlamismaaceleracin;portanto,conlamismarapidez.Larespuestacorrectaeslac).
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-
24
1 La interaccin gravitatoria
36. Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.
a) Si hicisemos la experiencia en la Luna, cuntas pesas tendramos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?
b) Y si hicisemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m s2; gL =1,7 m s2.
Conunabalanzadeplatoshabrquecolocarlamismacantidaddepesas.
Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveraafectadaporlagravedad.
P m gP m g
P
Tierra TierraLuna Luna
Lun
==
aa Tierra LunaTierra
Tierra= =Pgg
P 17
9 8
,
,
m/s
m/ss= PTierra 0 173,
37. Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Y cul sera su peso
a) si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m s2.
P=FG=m g.
a) EnlaTierra:
g GMR
g P= = = = = TT
2 2m/s kg 9,8m s N2 0
9 8 70 686,
b) SiMM
'TT=
2:
g G
M
Rg
P m g mg P
'
' '
=
= =
=
= = =
T
T
NN
22
2 2
686
2343
2
c) SiRR'T
T=2
:
g GM
RG
M
Rg
P m
'
'
=
= =
=
T
T
T
T
2 4
42 2
gg m g P' = 4 4 4 686 2744= = =N N
d) Si :
38. Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra?
Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; RT = 6370 km; MT = 5,98 1024 kg.
ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:
[1]
ParacalcularlafuerzacentrpetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotacinidnticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1da.UtilizamosunidadesdelSI:
[2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
39. Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto que est situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).
Llamamosg0alvalordelaaceleracindelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.
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-
La interaccin gravitatoria
25
Solucionario
Para conocer el peso de un cuerpo utilizamos una balanza de platos. La balanza se equilibra cuando colocamos en un plato el cuerpo y en el otro pesas por valor de 15,38 g.
a) Si hicisemos la experiencia en la Luna, cuntas pesas tendramos que colocar en el platillo para equilibrar el peso de ese cuerpo?
b) Y si hicisemos la experiencia con una balanza de resorte? Datos: gT = 9,8 m s2; gL =1,7 m s2.
Conunabalanzadeplatoshabrquecolocarlamismacantidaddepesas.
Conunabalanzaderesorte,lamedidaseveraafectadaporlagravedad.
Una persona de 70 kg se encuentra sobre la superficie de la Tierra. Cul es su peso? Y cul sera su peso
a) si la masa de la Tierra se reduce a la mitad?b) si el radio de la Tierra se reduce a la mitad? c) si el radio y la masa de la Tierra se reducen a la mitad? Dato: g0 = 9,8 m s2.
P=FG=m g.
a) EnlaTierra:
g GMR
g P= = = = = TT
2 2m/s kg 9,8m s N2 0
9 8 70 686,
b) Si :
c) Si :
d) SiMM
RR' 'T
TT
Ty= =2 2
:
g G
M
RG
M
Rg
P
'
'
=
= =
=
T
T
T
T
2
2
2
4
22 2
mm g m g P = ' 2 2 2 686 1372= = =N N
38. Cuntas veces es mayor el peso de un cuerpo que la fuerza centrpeta a que est sometido en la superficie de la Tierra?
Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; RT = 6370 km; MT = 5,98 1024 kg.
ElpesodeuncuerpoeslafuerzaconquelaTierraloatrae.UtilizamosunidadesdelSI:
P F GM m
r= =
=
G
T2
1124
66 67 10
5 98 10
6 37 10,
,
( , )),
29 83 = m m [1]
ParacalcularlafuerzacentrpetatenemosencuentaqueelcuerpoqueestenlasuperficiedelaTierratieneunmovimientoderotacinidnticoaldelaTierra,esdecir,conunperiodode1da.UtilizamosunidadesdelSI:
F mvr
mr
rm
TrC = =
=
2 2 2 2
2
2 ( )
F m mC =
= ( )
( ),
2
24 36006 37 10 0 034
2
26 , [2]
Relacionandolasexpresiones[1]y[2]:
PF
mmC
=
=
9 83
0 034289
,
,
39. Calcula la aceleracin de la gravedad en un punto que est situado a una distancia de la Tierra equivalente a la distancia a la que se encuentra la Luna (unos 60 radios terrestres).
Llamamosg0alvalordelaaceleracindelagravedadenlasuperficiedelaTierraysuponemosquevale9,8m/s2.
g GM
R hG
MR R
GMR
g
=+
=+
=
( ) ( )2 2 260
1
61T
T T
T
T2
== = = g02
22
61
m/s
3721m/s
9 82 63 10 3
,,
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-
26
1 La interaccin gravitatoria
40. La Luna describe una rbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 das. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna
atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.
c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, con qu velocidad llegar al suelo?
d) Con qu velocidad llegar al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?
Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; MT = 5,98 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.
a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
mvr
GM m
rL
T L 22
=
Sabiendoquev rT
r= =
2
,sustituyendo(unidadesSI)
ydespejando:
2
2
22
2
T
r
rG
Mr
r G MT
= =
L
L
T
LL T
L
23
rL
2=
6 67 10 5 98 10
27 3 24 60 6011 24, ,,
=
=
23
6383 06 10, m
b) Enestecaso:
F GM m
rG
MM
rT
T L
L
TT
L
N
= =
=
=
2 2
11
81
1
816 67 10,
m kg( kg)
( m)2 2
2
2 =
5 98 10
383 06 10200
24
6
,
,,668 1018 N
LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.
c) Elcuerpoquecaetendrunmovimientouniformementeacelerado.Vendrdeterminadoporlasecuaciones:
v v at y y v t a t= + = + + 0 0 0 21
2;
Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleracinserencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrsignonegativo.
TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mser:
Portanto:
Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo.
d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:
Portanto:
Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo.
41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamao, cul ser su peso? Dato: gT = 9,8 m s2.
P=FG=m g.EnlaTierra:
Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):
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La interaccin gravitatoria
27
Solucionario
La Luna describe una rbita casi circular en torno a la Tierra en 27,3 das. Calcula: a) La distancia media entre los centros de la Tierra y la Luna.b) El valor de la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna y con que la Luna
atrae a la Tierra, sabiendo que la masa de la Luna es 1/81 veces la de la Tierra.
c) Si en la Luna se deja caer un objeto desde una altura de 10 m, con qu velocidad llegar al suelo?
d) Con qu velocidad llegar al suelo si se deja caer desde una altura de 10 m de la Tierra?
Datos: G = 6,67 1011 N m2 kg2; MT = 5,98 1024 kg; RT = 4RL; RT = 6370 km.
a) CuandolaLunaestenrbitaalrededordelaTierra,FG=FC:
Sabiendoque ,sustituyendo(unidadesSI)
ydespejando:
b) Enestecaso:
F GM m
rG
MM
rT
T L
L
TT
L
N
= =
=
=
2 2
11
81
1
816 67 10,
m kg( kg)
( m)2 2
2
2 =
5 98 10
383 06 10200
24
6
,
,,668 1018 N
LafuerzaconquelaTierraatraealaLunaesigualydesentidocontrarioalafuerzaconquelaLunaatraealaTierra.
c) Elcuerpoquecaetendrunmovimientouniformementeacelerado.Vendrdeterminadoporlasecuaciones:
Suponemosquev0=0yqueelorigendetiemposyespaciosestenelmomentoyenelpuntoenqueseinicialelmovimiento.Laaceleracinserencadacasoladelagravedad;utilizandounsistemadereferenciacartesiano,tendrsignonegativo.
TrabajamosenunidadesdelSI.Paraunaalturade10mser:
g Gm
R hL
L
L
=+
=
( ),
,
211
24
6 67 10
5 98 1081
6370 100 104
1 943 2+
= , m/s2
y g t t
t
= =
=
12
1012
1 94
10 2
1 9
2 2L
2m m/s
m
,
, 44m/s2= 3,21 s
Portanto:
v g t t vL L L= = = = 1 94 1 94 3 21, , ,m/s m/s s 6,22 33m/s
Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo.
d) Lasconsideracionessonlasmismasqueenelcasoanterior.Calculamoselvalordegenesepunto;comoantes,esmuysimilaralvalorenlasuperficie:
g GM
R hT =
+=
T
T( ),
,
(211
246 67 10
5 98 10
6370 1033 2109 83
+=
), m/s2
y g t t
t
= =
=
12
1012
9 83
10 2
9 8
2 2T
2m m/s
m
,
, 33 m/s2= 1,43 s
Portanto:
v g tT T 2m/s s= = = 9 83 1 43, , 14,06 m/s
Elsignonegativoindicaqueestdescendiendo.
41. Un cuerpo tiene una masa de 10 kg. Si se traslada a un planeta con una masa 10 veces inferior a la masa de la Tierra, pero con igual tamao, cul ser su peso? Dato: gT = 9,8 m s2.
P=FG=m g.EnlaTierra:
g GMR
TT
T
2m/s= = 2 9 8,
Enelplaneta(MP=MT/10; RP=RT):
g GMR
G
M
RG
M
RgP
P
P
T
T
T
TT
10= = = = = 2 2 21
10
1
10
1
10
9 8
0 98 10 0 98 9 8
,
, , ,
m/s
m/s kg m/s
2
2 2
=
= = = = P m g NN
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28
1 La interaccin gravitatoria
42. a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la rbita.
b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el 90% del medido en la Tierra.
(Andaluca, 2007)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendorbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales.
dAdt
= cte.
3. Paratodoslosplanetas:Ta
k2
3= (constante).
DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.
ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemsrpidoalestarmscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestmsalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.
b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaraentrelaTierrayVenus;loquevaraeselvalordelaaceleracindelagravedad,g,encadacaso:
g GMR
g GMR
VenusVenus
VenusTierra
Tierra
Ti
= = 2
;eerra
2
43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, en qu proporcin?
ConunrazonamientoidnticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacsereldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:
ComoP=FG=m g,resultaqueelpeso(2mgT)sereldoblequeenlaTierra.
44. La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su dimetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.
a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta completa
alrededor del Sol, expresado en aos terrestres.
Datos: g = 10 m s2; radio orbital terrestre = 1,5 1011 m.(Andaluca, 2007)
a) .
Si
b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira
alrededordelSolverifica:
Portanto, Adems,rJ=5 rT.Igualando:
Portanto,elperiododeJpiteresde11,18aosterrestres.
Mslento
Msrpido
SolAfelio Perihelio
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-
La interaccin gravitatoria
29
Solucionario
a) Enuncie las leyes de Kepler y razone si la velocidad de traslacin de un planeta alrededor del Sol es la misma en cualquier punto de la rbita.
b) Justifique si es verdadera o falsa la siguiente afirmacin: la gravedad en la superficie de Venus es el 90 % de la gravedad en la superficie de la Tierra y, en consecuencia, si midisemos en Venus la constante de gravitacin universal, G, el valor obtenido sera el 90% del medido en la Tierra.
(Andaluca, 2007)
a) 1. TodoslosplanetassemuevenalrededordelSolsiguiendorbitaselpticas.ElSolestenunodelosfocosdelaelipse.
2. Losplanetassemuevenconvelocidadareolarconstante;esdecir,elvectordeposicindecadaplanetaconrespectoalSol(elradiovector)barrereasigualesentiemposiguales.
3. Paratodoslosplanetas: (constante).
DondeaeselsemiejemayordelaelipseyTeselperiododelplaneta.
ParaquesecumplalasegundaleydeKeplerlosplanetasdebenmoversemsrpidoalestarmscercadelSol(perihelio),yaqueunavelocidadareolarconstanteimplicaunalongituddearcomayorenesepuntoquecuandoestmsalejadodelSolparaunmismointervalodetiempo.
b) LaconstanteGesuniversal,porloquenovaraentrelaTierrayVenus;loquevaraeselvalordelaaceleracindelagravedad,g,encadacaso:
43. El planeta Egabbac, situado en otro sistema solar, posee un radio doble del de la Tierra, pero una densidad media igual a la de la Tierra. El peso de un objeto en la superficie de Egabbac sera igual, mayor o menor que en la superficie de la Tierra? Si es mayor o menor, en qu proporcin?
ConunrazonamientoidnticoaldelejercicioanteriordemostraremosquegenEgabbacsereldoblequeenlaTierra.SiRP=2RT:
dmV
dM
R
dM
R
M M= =
= =
= P P
T
TT
T
P T43
2 43
83 3 ( )
g GM
Rg G
MR
GMR
gTT
T
PP
P
T
TT= = = = 2 2 2
8
22
( )
ComoP=FG=m g,resultaqueelpeso(2mgT)sereldoblequeenlaTierra.
44. La masa del planeta Jpiter es, aproximadamente, 300 veces la de la Tierra su dimetro, 10 veces mayor que el terrestre, y su distancia media al Sol, 5 veces mayor que la de la Tierra al Sol.
a) Razone cul sera el peso en Jpiter de un astronauta de 75 kg.b) Calcule el tiempo que tarda Jpiter en dar una vuelta completa
alrededor del Sol, expresado en aos terrestres.
Datos: g = 10 m s2; radio orbital terrestre = 1,5 1011 m.(Andaluca, 2007)
a)P F m g g GMR
= = =G J
J
y J 2 .
SiM M R R g GM
RgJ T J T
T
TTy= = = =300 10
300
103
2
J( )
P m g= = =J 75 kg 3 10 m/s 2250 N
b) DeacuerdoconlaterceraleydeKepler,cualquierplanetaquegira
alrededordelSolverifica:Tr
2
3= cte.
Portanto,T
rT
T
cte.2
3=
T
rJ
J
cte.2
3= Adems,rJ=5 rT.Igualando:
Tr
Tr
Tr
Tr
TT TJ
J
T
T
J
T
T
T
JT
2
3
2
3
2
3
2
3
2
32
5 5=
= =
( ) JJ T
J T T
2 3 2
3
5
5 11 18
=
= =
T
T T T
,
Portanto,elperiododeJpiteresde11,18aosterrestres.
Perihelio
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1 La interaccin gravitatoria
Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveratradoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobrel.
Porladefinicindefuerzagravitatoria:
YqueremosqueFGT=FGL:
[1]
Ademssabemosque y .Retomando[1]:
Desarrollandolaecuacinde2.gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:
Ylasolucinesindependientedelamasadelcuerpo.
47. En los vrtices inferiores de un rectngulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que est en el tercer vrtice, si la altura del rectngulo es de 3 m.
LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserlafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.
45. Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequea masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vrtices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:
a) A y B se acercarn uno al otro ms rpidamente.b) C y X se acercarn uno al otro ms rpidamente.c) Se acercarn ambas parejas con la misma aceleracin.
Larapidezconlaqueuncuerposeacercaaotrodependedesuaceleracin.Talycomoestnanunciadaslasposiblesrespuestas,estudiamoselacercamientodecadaparejademasasconindependenciadelapresenciadelaotrapareja.
LafuerzaconqueseatraenlasmasasAyBes:
F GM M
dG =
2
M:masadeA,B,C.m:masadeX.
Comolosdoscuerpostienenlamismamasa:
F M a GMd
a aG A B= = = 2
LafuerzaconqueseatraenlasmasasCyXes:
F GM m
dG =
2
LaaceleracindeloscuerposCyXesdistinta:
F m a GM m
dm a G
Md
a
F M a GM
GX X X X
GC C
= = =
=
2 2
mmd
M a Gmd
a2 2
= = C C
ElcuerpoCsemueveconmenoraceleracinquecualquieradelosotrostres;portanto,laparejaA,BseacercaunoalotroconmsrapidezquelaparejaCyX.Enrealidad,Asemoverhaciaabajoyhacialaderecha;B,haciaarribayhacialaderecha;C,haciaarribayhacialaizquierda;yX,haciaabajoyhacialaizquierda.
46. Sabiendo que la distancia entre la Tierra y la Luna es de 3,84 108 m, en qu punto debiera situarse un satlite de 10 toneladas para que sea igualmente atrado por ambas? Y si el cuerpo tuviese 20 toneladas? Dato: la masa de la Luna es 0,012 veces la masa de la Tierra.
(P. Asturias. Septiembre, 1999)
B
A
C
X
dd
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-
La interaccin gravitatoria
31
Solucionario
Elpuntoquebuscamos(P)esaquelenelqueuncuerpocualquieraseveratradoporlaTierraconunafuerzaigualydesentidocontrarioalaqueejercelaLunasobrel.
Porladefinicindefuerzagravitatoria:
F GM m
dF G
M md
GTT
GLL=
=
12
22
;
YqueremosqueFGT=FGL:
GM m
dG
M md
Md
Md
=T L T L
12
22
12
22
= [1]
Ademssabemosqued d d d M M1 2 8 1 8 23 84 10 3 84 10 0 012+ = = =, , , m m y L T yd d d d M M1 2 8 1 8 23 84 10 3 84 10 0 012+ = = =, , , m m y L T .Retomando[1]:
M
d
M
ddT T
( , )
,, ( ,
3 84 10
0 0120 012 3 8
82
222 2
2
=
= 44 108 2 2 d )
Desarrollandolaecuacinde2.gradoydescartandoelresultadonegativo,resulta:
d
d2
6
18 6
37 906 10
3 84 10 37 906 10 346
=
= =
,
, ,
m
y m m ,,094 106 m
Ylasolucinesindependientedelamasadelcuerpo.
47. En los vrtices inferiores de un rectngulo de 5 m de lado se han colocado dos masas de 1 kg y 0,5 kg, respectivamente. Determina la fuerza que ejercen sobre otra masa de 2 kg que est en el tercer vrtice, si la altura del rectngulo es de 3 m.
LlamamosAalcuerpode0,5kgyBalcuerpode1kg,respectivamente.WFACserlafuerzaejercidasobreelcuerpoCde2kgporelcuerpoA;yWFBC,laejercidaporelcuerpoB.
Tenemos tres cuerpos iguales de gran masa, A, B y C, y uno de pequea masa, X. Si los disponemos consecutivamente en los vrtices de un cuadrado, A y B por un lado y C y X por otro:
a) A y B se acercarn uno al otro ms rpidamente.b) C y X se acercarn uno al otro ms rpidamente.c) Se acercarn ambas parejas con la misma aceleracin.
Larapidezconlaqueuncuerposeacer