あみだくじをつくろう (let's make an amidakuji (ghost leg game)!)
DESCRIPTION
並木 SSH 数学セミナー．茨城県立並木中等教育学校．2013年2月23日． Presented in "Namiki Super Science High School Seminar in Mathematics", Namiki Secondary School, Tsukuba, Japan. February 23, 2013.TRANSCRIPT
あみだくじを作ろう照井 章
（筑波大学 数理物質系）
2013年2月23日並木SSH数学入門セミナー於 並木中等教育学校
あみだくじの例1 2 3 4 5
15 32 4
橋をかける
橋のかけ方のルール
[1] となりあう2本の縦棒の間にかける
1 2 3 4 5
[2] 異なる橋どうしが交わらないようにかける
1 2 3 4 5
このようなあみだくじをどうやって作ろうか？
1 2 3 4 5
12 34 5
ついでに、橋の本数を最小にしよう！
1 2 3 4 5
12 34 5
まず基礎知識を学ぼう
あみだくじに必要な橋の最小本数
＝あみだくじが表す「置換」の「転倒数」
置換って何？
「置換」＝「関数」
あみだくじの場合：スタートの位置にゴールの位置を
対応づける「関数」
あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5
12 34 5
1は左から4番目に移る
�(1) = 4
�
あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5
12 34 5
�
2は左から3番目に移る
�(2) = 3
あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5
12 34 5
�
3は左から5番目に移る
�(3) = 5
あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5
12 34 5
�
4は左から1番目に移る
�(4) = 1
あみだくじは関数だ！1 2 3 4 5
12 34 5
�5は左から2番目に移る
�(5) = 2
あみだくじは関数だ！�
�(1) = 4�(2) = 3�(3) = 5�(4) = 1�(5) = 2
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
1 2 3 4 5
12 34 5
転倒数って何？
転倒数あみだくじの縦線の本数：n 本
1 2 3 4 n
転倒数あみだくじの縦線の本数：n 本 をみたす整数の組み合わせ で を
みたすものの個数
1 5 i < j 5 n
(i, j)
�(i) > �(j)転倒する組み合わせ
(1, 2): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(1) = 4�(2) = 3
(1, 3): 転倒しない1 2 3 4 5
12 34 5�(1) = 4
�(3) = 5
(1, 4): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(1) = 4�(4) = 1
(1, 5): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(1) = 4�(5) = 2
(2, 3): 転倒しない1 2 3 4 5
12 34 5�(2) = 3
�(3) = 5
(2, 4): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(2) = 3
�(4) = 1
(2, 5): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5 �(2) = 3�(5) = 2
(3, 4): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5
�(3) = 5�(4) = 1
(3, 5): 転倒する1 2 3 4 5
12 34 5
�(3) = 5
�(5) = 2
(4, 5): 転倒しない1 2 3 4 5
12 34 5 �(5) = 2
�(4) = 1
これまでの結果をまとめると
1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2
i j �(i) �(j) �(i) > �(j)
の個数は7個☞ の転倒数は7
1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2
i j �(i) �(j) �(i) > �(j)
�
あみだくじに必要な橋の本数は7本
1 2 4 31 3 4 51 4 4 11 5 4 22 3 3 52 4 3 12 5 3 23 4 5 13 5 5 24 5 1 2
i j �(i) �(j) �(i) > �(j)
ではどのような順序で橋をかければいいの？
逆置換（逆関数）を考えよう！
逆置換って何？
恒等置換＝どの数字も動かさない置換（あみだくじ）
e =✓
1 2 3 4 51 2 3 4 5
◆= (1)
橋が1本もないあみだくじは恒等置換
しかし、恒等置換はこれだけとは限らない点に注意！
1 2 3 4 5
43 51 2
逆置換
与えられた置換と組み合わせると恒等置換になるような置換
もとのあみだくじの下に別のあみだくじをつなげる
1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
もとのあみだくじの下に別のあみだくじをつなげる
1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
1は元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(1)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(1)
=1
2も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(2)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(2)
=2
3も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(3)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(3)
=3
4も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(4)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(4)
=4
5も元に戻る1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1�(5)
=✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
⇥✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆(5)
=5
は恒等置換1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1� =✓
1 2 3 4 51 2 3 4 5
◆
= e
��1�
は の逆置換1 2 3 4 5
12 34 5
1 2 3 4 5
15 24 3
��1 �
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
あみだくじを作る上で
逆置換が何の役に立つの？
逆置換が表すあみだくじの上に橋をかけていって...
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
全体が恒等置換になったら...
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
1 2 3 4 5
12 34 5
これが求めるあみだくじ！
� =✓
1 2 3 4 54 3 5 1 2
◆
逆置換の上にどんな順番で橋をかけていけばよいか？
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
? ? ? ?
実際に橋をかける前に...
橋のかけ方と置換の関係を確かめよう
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
43 52 1
� =✓
1 2 3 4 52 1 3 4 5
◆
=�1 2
�
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 3 2 4 5
◆
=�2 3
�
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 4 3 5
◆
=�3 4
�
1本の橋は「隣り合う2つの数字の互換」
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 3 5 4
◆
=�4 5
�
これら4種類の橋（置換）を組み合わせてあみだくじを作る
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 3 5 4
◆
=�4 5
�
1 2 3 4 5
43 52 1
� =✓
1 2 3 4 52 1 3 4 5
◆
=�1 2
�
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 3 2 4 5
◆
=�2 3
�
1 2 3 4 5
42 51 3
� =✓
1 2 3 4 51 2 4 3 5
◆
=�3 4
�
では実際にあみだくじを作ってみましょう
逆置換の上にどんな順番で橋をかけていけばよいか？
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1 =✓
1 2 3 4 54 5 2 1 3
◆
? ? ? ?
逆置換の転倒数を打ち消すように橋をかける！
逆置換でとなり合う数字が転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
(1, 2): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
(2, 3): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
��1(2) > ��1(3)
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
(4, 5): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
? ? ? ?
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
(2, 3)に橋をかける
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1 = ��1�2 3
�
�1
(1, 2): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
(2, 3): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
�1(3) > �1(4)
(4, 5): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
�1(3) > �1(4)
(1, 2)に橋をかける
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
4 2 5 1 3
�1(1) > �1(2)
�1(3) > �1(4)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
�2 = ��1�2 3
� �1 2
�
�2
(1, 2): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
(2, 3): 転倒しない
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 5 1 3
�2(3) > �2(4)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 5 3
�3 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
�
�3
(4, 5): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 5 3
�3(4) > �3(5)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 3 5
�4 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
�4
(2, 3): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 4 1 3 5
�4(2) > �4(3)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 1 4 3 5
�5 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
⇥�2 3
�
�5
(1, 2): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
2 1 4 3 5
�5(1) > �5(2)
新しいあみだくじ で転倒する組み合わせを調べる
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
1 2 4 3 5
�6 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
⇥�2 3
� �1 2
�
�6
(3, 4): 転倒する
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
1 2 4 3 5
�6(3) > �6(4)
新しいあみだくじ は恒等置換
�7
4 5 2 1 3
43 51 2
�7 =��1�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
� �4 5
�
⇥�2 3
� �1 2
�
⇥�3 4
�
=e
12 34 5
1 2 3 4 5
求めるあみだくじが完成！
12 34 5
1 2 3 4 5
異なる橋のかけ方が何通りかある場合が
あります
今回は (2, 3) から橋をかけましたが...
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
(3, 4) から橋をかける作り方もあります
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
皆さんもチャレンジしてみてください
12 34 5
4 5 2 1 3
43 51 2
��1(2) > ��1(3)
��1(3) > ��1(4)
あみだくじに必要な橋の最小本数
＝あみだくじが表す「置換」の「転倒数」
大学の数学（科）ではこれらの背景となるような
理論も学びます
あみだくじ＝数字の並べ替え
12 34 5
1 2 3 4 5
並べ替え（ソート）＝計算機の基本的なアルゴリズムの一つ
本日はありがとうございました
私の仕事場からの筑波山とキャンパスの眺望（2013年1月撮影）