Некоммерческое УНИВЕРСИТЕТ ЭНЕРГЕТИКИ...
TRANSCRIPT
3
Некоммерческое
акционерное общество
Кафедра математики и
математического
моделирования
МАТЕМАТИКА 2
Методические указания и задания к выполнению
расчетно-графических работ для студентов специальностей
5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика,
5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации
Алматы 2018
АЛМАТИНСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ЭНЕРГЕТИКИ И СВЯЗИ
4
СОСТАВИТЕЛИ: Масанова А.Ж. Математика 2. Методические
указания и задания к выполнению расчетно-графических работ №1,2,3 для
студентов специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 –
Электроэнергетика, 5В071900 – Радиотехника, электроника и
телекоммуникации. – Алматы: АУЭС, 2018. - 67 с.
Методические указания содержат задания к 3-м расчетно-графическим
работам (РГР№1,2,3) по разделам «Дифференциальное и интегральное
исчисление функции нескольких переменных», «Дифференциальные
уравнения», «Ряды» дисциплины «Математика 2». По каждой РГР даны
основные методические указания в виде формул к решению задач первого
уровня сложности и решение заданий первого уровня типового варианта.
Методические указания предназначены для студентов всех форм обучения
специальностей 5В071700 – Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика,
5В071900 – Радиотехника, электроника и телекоммуникации. Представленный
материал соответствует разделам.
Библиогр. – 11 названий, 2 рисунка.
Рецензент: к.ф.-м.н. Саламатина А.М.
Печатается по плану издания некоммерческого акционерного общества
«Алматинский университет энергетики и связи» на 2018 г.
5
© НАО «Алматинский университет энергетики и связи», 2018 г.
Сводный план 2018., поз. 165
Масанова Аида Жайлауовна
МАТЕМАТИКА 2.
Методические указания и задания к выполнению
расчетно-графических работ для студентов специальностей
5В071700 –Теплоэнергетика, 5В071800 – Электроэнергетика,
5В071900 – Радиотехника,электроника и телекоммуникации
Редактор Л.Т. Сластихина
Специалист по стандартизации Н.К. Молдабекова
Подписано в печать _______ Формат 60х84 1/16
Тираж 135 экз. Бумага типографская №1
Объем 4,2 уч.- изд. лист Заказ_____ Цена 2100 тг
Копировально-множительное бюро
некоммерческое акционерное общество
«Алматинский университет энергетики и связи»
050013, Алматы, Байтурсынова, 126
6
Введение
Программа по курсу «Математика 2» структурирована в соответствии с
действующими учебными планами АУЭС. Все студенты изучают 3 модуля по
данному курсу, что соответствует общему количеству кредитов, выделенных в
учебных планах. В результате изучения дисциплины студент должен знать
основные формулы и методы дифференцирования и интегрирования функции
нескольких переменных, а также уметь находить оптимальные методы и
использовать теорию приближения функции в решении прикладных задач.
Методические указания содержат задания к 3 расчетно-графическим
работам (РГР) по разделам «Дифференциальное и интегральное исчисление
функции нескольких переменных», «Дифференциальные уравнения», «Ряды»
дисциплины «Математика 2». Необходимые теоретические знания приведены
в конспекте лекций [5]. По каждой части даны основные методические
указания в виде формул к решению задач первого уровня сложности и
решение заданий первого уровня типового варианта. Все вычисления можно
проводить и в программном продукте «МАТНСАD» любого уровня.
Вариант задания расчетно-графической работы для студентов,
обучающихся по очной форме, определяется по списку группы. Вариант
задания расчетно-графической работы (контрольной работы) для студентов,
обучающихся по заочной форме, определяется как остаток от деления номера
зачетной книжки на 30.
Расчетно-графическая работа должна быть решена в отдельной
ученической тетради. Все объяснения должны быть лаконичными и ясными
для понимания.
Расчетно-графическая работа № 1
Дифференциальное и интегральное исчисление функции
нескольких переменных
Теоретические вопросы.
1. Функции нескольких переменных. Частные производные.
Смешанные производные
2. Функции нескольких переменных. Касательная плоскость и
нормаль к поверхности.
3. Полный дифференциал для функции нескольких переменных и
его связь с частными производными.
4. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое и
достаточное условия.
5. Двойные интегралы, их основные свойства. Вычисление двойных
интегралов в декартовых координатах.
6. Тройные интегралы, их основные свойства. Вычисление тройных
интегралов в декартовых координатах.
7
7. Якобиан. Замена переменных в кратных интегралах.
Расчетные задания.
Задание 1. Для функции z = f(x,y) найти:
а) y
z
x
z
, ;
б) yx
z
y
z
x
z
2
2
2
2
2
,, ;
в) убедиться, что
2 2z z
y x x y
;
г) ,dz zd 2.
1.1 𝑧 = 𝑒2𝑥2+𝑦2 1.2 𝑧 =
𝑦
𝑥2
1.3 𝑧 = 𝑥3𝑦6 1.4 𝑧 = cos(𝑥2𝑦2 − 5) 1.5 𝑧 = sin(𝑥3𝑦) 1.6 𝑧 = (𝑥2 − 2𝑦)5
1.7 𝑧 = (4𝑥 − 𝑦3)2 1.8 𝑧 = (5𝑥3 + 2𝑦)4
1.9 𝑧 = (2𝑥3 − 𝑦)7 1.10 𝑧 = (4𝑥2 − 5𝑦3)5
1.11 𝑧 = 𝑒𝑥2+𝑦3 1.12 𝑧 = (4𝑥 + 𝑦)9
1.13 𝑧 = cos(𝑥 − 5𝑦) 1.14 𝑧 = sin(𝑥𝑦) 1.15 𝑧 = cos(3𝑥2 − 𝑦3) 1.16 𝑧 = (3𝑥 + 2𝑦)9
1.17 𝑧 = (5𝑥2 − 3𝑦4)2 1.18 𝑧 = (𝑥3 − 4𝑦)7
1.19 𝑧 = 𝑒3𝑥𝑦−4 1.20 𝑧 = cos(𝑥𝑦2) 1.21 𝑧 = 𝑒𝑥
2−𝑦2 1.22 𝑧 = 𝑒𝑥+𝑦3
1.23 𝑧 =𝑥
𝑦
1.24 𝑧 = cos(𝑥𝑦2)
1.25 𝑧 = sin(𝑥2 − 𝑦) 1.26 𝑧 = 𝑥3𝑦2
1.27 𝑧 = (𝑥 − 𝑦2)5 1.28 𝑧 = (2𝑥 + 𝑦)7
1.29 𝑧 = (𝑥 − 3𝑦)8 1.30 𝑧 = (3𝑥2 − 2𝑦2)3
Задание 2. Найдите направление наибольшего изменения функции
zyxuMu ,, в точке 1111 ,, zyxM .
№ Mu 1M № Mu 1M
2.1 xzzyyx 222 (1,-1,2) 2.16 1ln 33 zyx (1,3,0)
2.2 235 zxy (2,1,-1) 2.17 zeyx 2
(-4,-5,0)
2.3 222ln zyx (-1,2,1) 2.18 xyzx 34
(2,2,-4)
2.4 222 zyxez (0,0,0) 2.19 zyx 323
(-2,-3,1)
2.5 xzyzxy ln (-2,3,-1) 2.20 2zxye
(-5,0,2)
8
2.6 2221 zyx (1,1,1) 2.21 yzx (3,1,4)
2.7 222 xzyx (1,1,1) 2.22 3222 zyx
(1,2,-1)
2.8 2zyexe xy (3,0,-2) 2.23 zyx (1,5,0)
2.9 xyzzxy 223 (1,2,2) 2.24 zzyyx 322 (0,-2,-1)
2.10 2225 yzzxyyzx
(1,1,1) 2.25
1
10222 zyx
(-1,2,-2)
2.11 222 zyx
x
(1,2,2) 2.26 2221ln zyx (1,1,1)
2.12 22 2 zxyzzy (3,1,-1) 2.27
x
z
z
y
y
x
(-1,1,1)
2.13 xyzzyx 2222
(1,-1,2) 2.28 xyzxyx 623 (1,3,-5)
2.14 221ln zyx (1,1,1) 2.29
z
x
z
y
y
x
(2,2,2)
2.15 542 222 zyx (1,2,1) 2.30 yzxe
(1,0,3)
Задание 3. Найдите частные производные y
z
x
z
, от неявно заданной
функции z=f(x,y): F(x,y,z)=0.
№ zyxF ,, № zyxF ,,
3.1 22 53 yzxyxyz 3.16 xzxyzzxy 2
3.2 zxyxyzyzx 222 32 3.17 222 zyxzyx
3.3 223222 yzxxyzzyx 3.18 2xzxyzyzx
3.4 xyzyzzyx 222 3.19 xzzyyx 333
3.5 zxyzyzxy 22 3.20 222 zxyzxy
3.6 22 232 xzxyzxy 3.21 22 2xyyxxyz
3.7 2yzzyxxyzzy 3.22 22 zxyyzx
3.8 2222 43 yxzxyxyz 3.23 222 xyzyzxzxy
3.9 22 32 xzxyzyx 3.24 22 2xyzxyzx
3.10 23 2xyzxyz 3.25 22 xzyzyx
9
3.11 32 zxyzxyzx 3.26 yxzzyzx
3.12 322 3 zxyzzyx 3.27 xyzzyx 32 2
3.13 xyzxyxzy 22 2 3.28 xyzxzyyzx 222
3.14 23 32 xyxyzxy 3.29 xyzzyxyx 222
3.15 222 2 xyzzxyzxyx 3.30 xzzyyx 333
Задание 4. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности S в заданной точке M0(x0,y0,z0).
№ S M0(x0,y0,z0)
4.1 2 2 2 6 4 8 0x y z z x M0(2,1,-1)
4.2 2 2 24 2x y z xy M0(-2,1,2)
4.3 2 2 2 6 4 8x y z y x M0(3,2,1)
4.4 2 2 2 3 7x y z xy z M0(5,2,0)
4.5 2 2 22 4 13x y z z y M0(2,01)
4.6 2 2 2 6 4 4 0x y z y z M0(-2,4,-1)
4.7 2 2 5 3 46x z yz y M0(-5,6,8)
4.8 2 2 8 0x y xz yz M0(-3,2,4)
4.9 2 2 22 2 2x y yz z y z M0(8,-5,4)
4.10 2 2 2 2 2x y z xz x z M0(2,11,-11)
4.11 2 2 2 2z x y xy x y M0(4,0,-1)
4.12 2 2 6 4z x y xz y M0(8,-1,-10)
4.13 2 2 2 2z x y xy x y M0(3,0,8)
4.14 2 2 22 4 13x y z xz y M0(5,2,3)
4.15 2 2 24 8 14 4 12 8 9x y z z x y M0(0,1,4)
4.16 2 2 6 5 8 0y z x y z M0(5,2,1)
4.17 2 2 22 3 2 6 4 8 0x y z yz xz x M0(0,-4,-1)
10
4.18 2 2 2 6 4 14x y z yz z M0(-2,-1,-1)
4.19 2 2 2 4 8 15x y z xz y x M0(2,5,-5)
4.20 2 2 2 16 4 8 15x y z y xz x M0(4,2,-1)
4.21 2 23 4 10x y xz yx M0(5,1,-5)
4.22 2 2 22 4 8 0x y z xz M0(7,1,-7)
4.23 2 2 23 4 18 0x y z y x M0(8,0,-8)
4.24 2 2 6 14 6 0x y z z x M0(2,0,-2)
4.25 2 2 25 6 8 8 0x y z xz x z M0(1,1,-1)
4.26 2 2 2 6 14 11 0x y z xy xz M0(5,-5,-5)
4.27 2 22 4 8z x y x y M0(6,6,-5)
4.28 2 2 25 6 12y x y z xz M0(7,1,-7)
4.29 2 22 4 8z x y xy y M0(9,5,-9)
4.30 2 22 4 14z x y xy y M0(3,3,-1)
Задание 5. Исследовать на экстремум функции.
5.1 𝑧 = 𝑥𝑦(12 − 𝑥 − 𝑦) 5.2 𝑧 = (𝑥 − 2)2 + 2𝑦2 − 10
5.3 𝑧 = (𝑥 − 5)2 + 𝑦2 + 1 5.4 𝑧 = 1 + 15𝑥 − 2𝑥2 − 𝑥𝑦 − 2𝑦2
5.5 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 2𝑥2 − 4𝑦2 5.6 𝑧 = 𝑥√𝑦 − 𝑥2 − 𝑦 + 6𝑥 + 3
5.7 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 5𝑥2 − 3𝑦2 + 2 5.8 𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 6𝑥 − 9𝑦
5.9 𝑧 = 𝑥𝑦 − 𝑥2 − 𝑦2 + 9 5.10 𝑧 = 2𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦2 + 10
5.11 𝑧 = 𝑥3 + 8𝑦3 − 6𝑥𝑦 + 1 5.12 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 𝑦2 − 𝑥 + 6𝑦
5.13 𝑧 = 2𝑥3 + 2𝑦3 − 6𝑥𝑦 + 5 5.14 𝑧 = 3𝑥3 + 3𝑦3 − 9𝑥𝑦 + 10
5.15 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 − 𝑥𝑦 + 𝑥 + 𝑦 5.16 𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 − 2𝑥 − 𝑦
5.17 𝑧 = (𝑥 − 1)2 + 2𝑦2 5.18 𝑧 = 𝑦√𝑥 − 2𝑦2 − 𝑥 + 14𝑦
5.19 𝑧 = 𝑥2 + 3(𝑦 + 2)2 5.20 𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦) − 𝑥2 − 𝑦2
5.21 𝑧 = 𝑥𝑦 − 3𝑥2 − 2𝑦2 5.22 𝑧 = 𝑥3 + 8𝑦3 − 6𝑥𝑦 + 5
5.23 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦3 − 3𝑥𝑦 5.24 𝑧 = 1 + 6𝑥 − 𝑥2 − 𝑥𝑦 − 𝑦2
5.25 𝑧 = 𝑥𝑦(6 − 𝑥 − 𝑦) 5.26 𝑧 = 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 𝑥 − 𝑦 + 1
5.27 𝑧 = 6(𝑥 − 𝑦) − 3𝑥2 − 3𝑦2 5.28 𝑧 = 𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 + 9𝑥 − 6𝑦 + 2
5.29 𝑧 = 4(𝑥 − 𝑦) − 𝑥2 − 𝑦2 5.30 𝑧 = 𝑥3 + 𝑦2 − 6𝑥𝑦 − 39𝑥 + 18
11
Задание 6. Проверить является ли данная u(x,y,z) функция решением
дифференциального уравнения в частных производных.
№ Уравнение u(x,y,z)
6.1 2 2 22 2
2 22 0
u u ux xy y
x x y y
yu
x
6.2 3 33( )
u ux y x y
x y
3 3lnx
u x yy
6.3 2 2
2 20
u u
x y
2 2ln( ( 1) )u x y
6.4 2
(1 ln )u u
y y xx y x
yu x
6.5 2
u ux y u
x y
xyu
x y
6.6 2 22 2
2 20
u ux y
x y
xyu e
6.7 2 22
2 2
u ua
x y
2sin ( )u x ay
6.8 2 22 2
2 20
u uy x
x y
yu y
x
6.9 2 2 2
2 2 20
u u u
x y z
2 2 2
1u
x y z
6.10 2 22
2 2
u ua
x y
cos( )x ayu e
6.11 0
u u u
x y z
( )( )( )u x y y z z x
6.12 u ux y u
x y
ln
yu x
x
6.13 0
u uy x
x y
2 2ln( )u x y
12
6.14 2 2 0
u ux xy y
x y
2
arcsin3
yu xy
x
6.15 2 2 22 2
2 22 2 0
u u ux xy y xyu
x x y y
xyu e
6.16 2
0u
x y
1
x yu arctg
xy
6.17 2 2
2 20
u u
x y
2 2ln( 2 1)u x y x
6.18 0
u ux y u
x y
2 3
2 3x yu
x y
6.19 22 2
1u u u
x y z
2 2 2u x y z
6.20 2
u ux y u
x y
2 2( )x
u x y tgy
6.21 2 2
2 29 0
u u
x y
( 3 ) sin( 3 )x yu e x y
6.22 2 2 22 2
2 22 0
u u ux xy y
x x y y
yxu xe
6.23 2 2
2 20
u u
x y
yu arctg
x
6.24 0
u ux y
x y
yu arctg
x
6.25 2 2
20
u u u u
x x y y x
ln( )yu x e
6.26 0
u ux y
x y
arcsin
xu
x y
6.27
2
1 1u u u
x x y y y
13
6.28 u u x y
x y x y
2 2x yu
x y
6.29 2u u y
x y u
22u xy y
6.30 2 2
2 20
u u
x y
2 2ln( )u x y
Задание 7. Найдите полную производную от сложной функции u=u(x,y),
где x=x(t), y=y(t) в точке t=t0 .
№ u=u(x, y), x=x(t), y=y(t)
7.1 2 3
0, sin , , 0x yu e x t y t t
7.2 2 3
0ln( ), , , 1x yu e e x t y t t
7.3 /2
0, ln( 1), , 2x tu y x t y e t
7.4 2 2 /3
0, sin , , / 2y x tu e x t y e t
7.5 2 2
0, cos , sin ,yu x e x t y t t
7.6 2 3
0ln( ), , , 1x yu e e x t y t t
7.7 0, , ln , 2y tu x x e y t t
7.8 2 2 3
0, , , 0y xu e x arctgt y t t
7.9 2 2 3
0, ( 2), ( 1) , 5yu x e x t y t t
7.10 2 3
0ln( ), , , 1x yu e e x t y t t
7.11 2 1
0, cos , arcsin , / 2y xu e x t y t t
7.12 3
0arcsin( / ), , ,tu x y x e y t t
7.13 3
0
2arccos( ), sin , cos ,
xu x t y t t
y
7.14 22
0, 1 5 , , 01
xu x t y arctgt t
y
7.15 2 2
0/ , , 2 , 0t tu x y x e y e t
7.16 2 3
0ln( ), , , 1x yu e e x t y t t
14
7.17 2 2 3
03, ln , ,u x y x t y t t e
7.18 2
0arcsin( ), sin , cos ,x
u x t y t ty
7.19 33
0
2, 1 2 , cos , 1
xu x t y arc t t
y
7.20
0, sin , cos ,
4
x yu x t y t t
y x
7.21 2 2
03, ln , ,u y x x t y t t e
7.22 3
0
2arccos( ), sin , cos ,
xu x t y t t
y
7.23 3
0arc ( ), sin 2 , cos3 ,x
u tg x t y t ty
7.24 2 2 2
03 , ln , , 1u x y xy x t y t t
7.25 2 3
0/ , , 1 , 2t tu y x x e y e t
7.26
0
2arccos( ), sin 2 , cos ,
xu x t y t t
y
7.27 2 2 4
0ln( ), , , 1x yu e e x t y t t
7.28
7.29 3 2 3
03 , ln , , 2u x y xy x t y t t
7.30 3
0arc ( ), 1 sin , , / 3xu tg xy x t y e t
Задание 8. Постройте область D и вычислите ее площадь через двойной
интеграл.
8.1 8.2
8.3 8.4
8.5 8.6
8.7 8.8
15
8.9 8.10
8.11 8.12
8.13 8.14
8.15 8.16
8.17 8.18
8.19 8.20
8.21 8.22
8.23 8.24
8.25 8.26
8.27 8.28
8.29 8.30
Задание 9. По заданной области D вычислите двойной интеграл.
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13
9.14
9.15
16
17
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
9.26
9.27
9.28
9.29
9.30
Задание 10. По заданной области V вычислите тройной интеграл.
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
18
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21
10.22
19
10.23
10.24
10.25
10.26
10.27
10.28
10.29
10.30
Задание 11. Измените порядок интегрирования.
11.1 0 0
1
( , )y
dy f x y dx
11.2 1 0
0 2
( , )y
dy f x y dx
11.3 1 0
0
( , )y
dy f x y dx
11.4 222
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.5
1
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.6 20 2
02
( , )
x
dx f x y dy
11.7
2
3 0
2 1
( , )
x
dx f x y dy
11.8 1
1 ln
( , )
e
x
dx f x y dy
11.9
2
2 1
0 1
( , )
x
dx f x y dy
11.10 31
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.11 22
1 0
( , )
y
dx f x y dy
11.12 1 1
2 2
( , )x
dx f x y dy
11.13 1 0
0
( , )y
dy f x y dx
11.14 3 /3
0
( , )arctgy
dy f x y dx
11.15
3
0 0
1
( , )x
dx f x y dy
11.16 11.17 11.18
20
2
2 0
3 4
( , )
x
dx f x y dy
1 0
2 2
( , )y
dy f x y dx
1
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.19
2
1 1
0
( , )
x
dx f x y dy
11.20 222
0 0
( , )
y
dy f x y dx
11.21
2
1 0
2 2
( , )
y
dy f x y dx
11.22 31
0 0
( , )
x
dx f x y dy
11.23 4 4
0 0
( , )
x
dx f x y dy
11.24
2
1 0
1 1
( , )
x
dx f x y dy
11.25 1 0
0 1
( , )x
dx f x y dy
11.26 0 0
1 1
( , )x
dx f x y dy
11.27
2
3 0
2 4
( , )
x
dx f x y dy
11.28 22
0 2
( , )
y
dy f x y dx
11.29 0 0
1 2
( , )y
dy f x y dx
11.30 /4 sin
0 0
( , )
x
dx f x y dy
Задание 12.Вычислите двойной интеграл с переходом в
полярные координаты.
12.12 2
2 2
,
: 2.
D
x y dxdy
D x y
12.2 2 2
2 2
2 ,
: 9.
D
x y dxdy
D x y
12.3 2 2
2 2
16 ,
: 9.
D
x y dxdy
D x y
12.4 2 2
2 2
,
: 4, 0.
D
x y dxdy
D x y x
12.5 2 2
2 2
,
: 1.
x y
D
e dxdy
D x y
12.6 2 2
2 2
,
: 3, 0.
D
x y dxdy
D x y y
12.7 2 2
2 2
sin( ) ,
: / 2
D
x y dxdy
D x y
12.8
2 2
2 2
1,
: 1 4.
D
dxdyx y
D x y
12.9 2 23 3
2 2
,
: 5.
x y
D
e dxdy
D x y
12.10 2 2
2 2
cos( ) ,
: / 2.
D
x y dxdy
D x y
12.11 2 2
2 2
( ) ,
: 5.
D
x y dxdy
D x y
12.12
22
2 2
1,
1
: 0 1/ 4.
D
dxdy
x y
D x y
12.13 12.14 12.15
21
2 2
2 2
(4 4 ) ,
: 2,
0, 0
D
x y dxdy
D x y
x y
2 2
2 2
5 ,
: 0 2
D
x y dxdy
D x y
2 2
2 2
16 ,
: 20, 0.
D
x y dxdy
D x y x
12.16
22
2 2
,
: 1 4.
D
xdxdy
x y
D x y
12.17 2 2
2 2
sin( ) ,
: / 2.
D
x y dxdy
D x y
12.18
2 2
2 2
,
: 1 3
D
ydxdy
x y
D x y
12.192 2
2 2
cos( ) ,
: 5
D
y x y dxdy
D x y
12.20 2 2
2 2
,
: 4, 0.
D
x y dxdy
D x y x
12.21
2 2
2 2
,
: 0, 1
D
ydxdy
x y
D x x y
12.22
2 2
2 2
,
: 1 3
D
ydxdy
x y
D x y
12.23
2 2
2 2
1,
1
: 3
D
dxdyx y
D x y
12.24 2 2
2 2
3 ,
: 1, 0
D
x y dxdy
D x y x
12.25 2 2
2 2
4 ,
: 5
D
x y dxdy
D x y
12.26 2 2
2 2
,
: 9
D
y x y dxdy
D x y
12.27
2 2
2 2
,1
: 0, 0,
1
D
ydxdy
x y
D x y
x y
12.28 2 2
2 2
,
: 25, 0
D
x x y dxdy
D x y x
12.29 2 2
2 2
2 3 ,
: 3, 0, 0
D
x y dxdy
D x y x y
12.30 2 2
2 2
,
: 7, 0
D
x y dxdy
D x y x
Методические указания к выполнению заданий РГР№1.
Задание 1. Для функции z = f(x,y) найти:
а)y
z
x
z
, ;
б) yx
z
y
z
x
z
2
2
2
2
2
,, ;
22
в) убедиться, что
2 2z z
y x x y
;
г) ,dz zd 2.
Решение: функцию нескольких аргументов ),,,( tyxfz можно
дифференцировать по каждому аргументу, считая все остальные аргументы
постоянными. Полученные при этом частные производные ,,y
z
x
z
находятся по известным правилам дифференцирования функции одной
переменной. Частные производные высших порядков
,,,,,2
32
2
2
2
2
tx
z
yx
z
y
z
x
z
находят по тем же правилам: частные
производные второго порядка - это производные от частных производных
первого порядка, третьего – от второго и т.д. Полные дифференциалы
функции ),( yxfz первого и второго порядков определяются по формулам
dyy
zdx
x
zdz
, .2 2
2
222
2
22 dy
y
zdxdy
yх
zdx
x
zzd
а) для функции )1ln( 22 yxz частные производные имеют вид:
1
222
yx
x
x
z,
1
222
yx
y
y
z;
б)
xyx
x
x
z
1
2222
2
= 222
22
222
22
)1(
)1(2
)1(
22)1(2
yx
yx
yx
xxyx,
2
2
y
z
y
yx
у
1
222 222
22
)1(
)1(2
yx
yx,
yyx
x
yx
z
1
222
2
222 )1(
4
yx
xy;
в)
ху
z2
x
yx
у
1
222 = ,
)1(
4222
yx
xy
т.о., действительно,
2 2z z
y x x y
;
г)
dy
yx
yxdx
yx
yxdz
222
22
222
22
)1(
)1(2
)1(
)1(2
dyyxdxyxyx
)1()1()1(
2 2222
222
,
2
222
222
)1(
)1(2dx
yx
yxzd
dxdy
yx
xy222 )1(
8
2
222
22
)1(
)1(2dy
yx
yx
.
23
Задание 2. Найдите направление наибольшего изменения функции
32 32,,[ zxyxzyxu в точке 1,2,00M .
Решение: направление наибольшего изменения функции
32 32 zxyxMu в точке М0 дает вектор 0Mugrad :
kMujMuiMuMugrad zyx 0000 .
Найдем частные производные:
422022200
Mx yxMu ;
002200
My xMu ;
91990
2
0 Mz zMu .
Таким образом, kiMugrad 940 .
Задание 3. Найдите частные производные y
z
x
z
, от неявно заданной
функции z=f(x,y): F(x,y,z)=xyz+ln(x+2y+3z)=0.
Решение: вычисляем частные производные для функции F(x,y,z):
.32
3;
32
2;
32
1
zyxxyF
zyxxzF
zyxzF zyx
Далее для неявно заданной функции частные производные подставляем
в формулы:
.
32
3
32
2
;
32
3
32
1
zyxxy
zyxxz
F
Fz
zyxxy
zyxyz
F
Fz
z
xy
z
xx
Задание 4. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали к
поверхности S: 0),,( 222 zyxzyxF в заданной точке .6,3,21 M
Уравнение касательной и нормали плоскости в заданной точке
M1(x1,y1,z1) к поверхности F(x,y,z)=0 имеет вид:
0)()()( 1
1
1
1
1
1
zz
z
Fyy
y
Fxx
x
F
MMM
;
.)()()(
1
1
1
1
1
1
MMM z
F
zz
y
F
yy
x
F
xx
24
Вычислим частные производные в точке:
;7
2
3694
2
1
2221
M
xzyx
xMF
;7
3
3694
3
1
2221
M
y
zyx
yMF
,7
6
3694
6
1
2221
M
z
zyx
zMF
подставим их в уравнения:
2 3 6( 2) ( 3) ( 6) 0;
7 7 7x y z
.
7
6
)6(
7
3
)3(
7
2
)2(
zyx
Задание 5. Исследовать на экстремум функцию 568 33 xyyxz .
Решение: функция ),( yxfz имеет максимум (минимум) в точке
),( 000 yxМ , если её значение в этой точке больше (меньше) её значений во
всех достаточно близких точках. Максимумы или минимумы (экстремумы)
могут быть только в точках, лежащих внутри области определения функции, в
которых все её частные производные первого порядка равны нулю или не
существуют. Такие точки называются критическими. Не всякая критическая
точка является точкой экстремума. Для проверки критической точки на
экстремум применяют достаточные условия. Пусть задана ),( yxfz и
),( 000 yxМ – критическая точка, обозначим:
11
02
2
aMx
z
, 12
0
2
aMyx
z
, 22
02
2
aMy
z
;
.2
122211
2212
1211aaa
aa
aa
Если 0,0 11 a , то ),( 000 yxМ – точка минимума; если
,0,0 11 a то ),( 000 yxМ – точка максимума; если 0 , то в точке
),( 000 yxМ нет экстремума; если 0 , то нужны дополнительные
исследования.
25
Находим частные производные функции 568 33 xyyxz и
критические точки, в которых они равны нулю или не существуют и которые
лежат внутри области определения функции:
yxzx 63 2 ; xyzx 624 2 .
Решаем систему
0624
0632
2
xy
yx, откуда находятся две точки )0,0(1M и
)2
1,1(2M . Обе точки являются критическими, так как функция определена на
всей плоскости Оху.
Проверим эти точки на экстремум по достаточному признаку:
xx
z6
2
2
; 6
2
yx
z; y
y
z48
2
2
.
Для точки )0,0(1M получим:
011
12
2
a
Mx
z; 612
1
2
a
Myx
z; 022
12
2
a
My
z;
03606
60
, поэтому в точке )0,0(1M нет экстремума.
Для точки )2
1,1(2M имеем 611 a , 612 a , 2422 a ,
0108246
66
, поэтому точка )
2
1,1(2M есть точка минимума.
4)( 2min Mzz .
Задание 6. Проверить является ли данная функция )cos(),( ayxyxu
решением дифференциального уравнения в частных производных:
.2
2
2
22 и
y
u
x
ua
Решение: вычислим частные производные:
).cos())sin(();cos())sin((
);sin())(cos();sin())(cos(
2
2
2
2
2
ayxaayxay
u
y
uayxayx
x
u
x
u
ayxaayxy
u
y
uayxayx
x
u
x
u
26
Подставим их в левую часть дифференциального уравнения:
),,()cos())cos((
);,(
22
2
2
2
22
yxиayxaayxa
yxuy
u
x
ua
где получаем нарушение тождества:
),cos()cos(2 2 ayxayxa
откуда следует, что данная функция )cos(),( ayxyxu не является решением
02
22
2
2
y
ua
x
u.
Задание 7. Найдите полную производную от сложной функции
2
2 1)(,3)(),(),(
ttyttxxyctgyxu в точке t0=2.
Решение: вычислим х0, у0 и частные производные u(x,y) в них:
.2
)4
(sin)25.0;()(sin
))((
;5.0
)4
(sin
25.0
)25.0;()(sin
))((
;4
1
2
1)2(;)32()2(
22
22
202
0
xy
xxyctg
yy
u
xy
yxyctg
xx
u
yyxx
Подставим их в формулу полной производной сложной функции:
;dt
dy
y
u
dt
dx
x
u
dt
du
.8
2)2(225.0
)25.0;(
2
)(sin2
)(sin
)1
()(sin
)3()(sin
30
202
22
2
2
txy
yt
xy
y
tdt
d
xy
yt
dt
d
xy
y
dt
du
27
Задание 8. Постройте область D: y=x2, x=y
2; вычислите ее площадь
через двойной интеграл.
Решение: область D ограничена линиями парабол (y=x2, x=y
2),
показанных на рисунке 1.
Рисунок 1
Точки пересечения парабол является М0(0,0) и М1(1,1). Эта область
является «правильной» по направлению оси Ох, опишем ее:
x
xD
dyyxfdxyxf
xyx
xDxyxyD
2
.),(),(
10:,:
1
0
22
Площадь области D вычисляется через двойной интеграл:
.6
7
3
1
2
3
0
1
3
1
2
31 3
1
0
21
0 2
xxxdxxxdydxdxdxyS
x
xD
D
Эта область также «правильная» и по направлению оси Оу:
yxy
yDyxyxD 2
210
:,: .
И тогда вычисляется аналогично:
28
.6
7
3
1
2
3
0
1
3
1
2
31 3
1
0
21
0 2
yyydyyydxdydxdxyS
y
yD
D
Задание 9. По заданной области V, ограниченной плоскостями (x=1,
x=3, y=0, y=1, z=0, z=2), вычислите тройной интеграл.
V
zdxdydzyx 23 .
Решение: так как область V «правильная», представляющая собой
параллелепипед:
,
20
10
31
:
y
y
x
V
то пределы расставляются трехкратном интеграле по порядку
.)23(23
3
1
1
0
2
0
V
dzzyxdydxzdxdydzyx
Внутренний интеграл вычисляем, считая х и у постоянными. Далее
интегрируем по у, считая х постоянным. И в конце полученную функцию от х
интегрируем по х: 3 1 2 3 1
2
1 0 0 1 0
3 1 3
2
1 0 1
3
2
1
2( 3 2 ) ( 3 )
0
132( 3 ) 4 2 4
02
13 3 5 32 4 ( 4) 1 .
02 2 2 2
dx dy x y z dz dx x y z z dy
dx x y dy xy y y dx
x dx x x
Задание 10. Поменяйте местами пределы интегрирования в двукратном
интеграле 2
1
0
( , ) .
x
x
dx f x y dy
29
Решение: из двукратного интеграла видно, что область интегрирования
описывается по направлению оси: Ох
2
1
2
0 2
00 1
( , ) : : 1 : .
0 0
1 1
x
x
x x yх
dx f x y dy D D x D x yx у x
y при хy x
y при хy x
Или же область D ограничена графиками тех же линий в другом виде
(x=0, x=1, ух , х=у), как показано на рисунке 2. Отсюда меняется
порядок интегрирования в двукратном интеграле по одной и той же области
интегрирования:
1
0
1
0
),(),(),(2
y
y
х
хD
dxyxfdydуyxfdхyxf .
Рисунок 2
Задание 11. Вычислите двойной интеграл с переходом в полярные
координаты. .41:,2 2222 yxDгдеdxdyyx
D
Решение: опишем область D в полярных координатах:
222222 )sin(cossin
cosrryx
ry
rх
.20
21:41:41: 222
rDrDyxD
Так как область D –симметричная, то опишем ее четвертую часть:
30
40
21:4 1
rDD .
Далее сделаем замену переменных в двойном интеграле:
.cos
coscos
sin,cos:
22
22
D D
drdr
r
r
yx
x
rdrddxdy
ryrхЗамена
dxdy
yx
x
Для вычисления двойного интеграла по области перейдем к
двукратному интегралу в полярных координатах:
.62
sin)14(202sin
1
2
24
cos4
20
21:cos4cos
2
2
1
2
0
1
1
r
drdrr
Ddrdrdrdr
DD
Расчетно-графическая работа № 2
Дифференциальные уравнения
Теоретические вопросы.
1. Уравнения с разделяющимися переменными. Метод их решения.
2. Линейные неоднородные уравнения. Метод вариации
произвольных постоянных.
3. Уравнения в полных дифференциалах. Метод решения.
4. Линейные однородные дифференциальные уравнения с
постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Структура
общего решения.
5. Вронскиан. Линейная зависимость и независимость функций.
6. Нормальная система дифференциальных уравнений.
Характеристическое уравнение для системы ДУ.
7. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие
сходимости.
8. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения, признак
Даламбера.
9. Ряды с положительными членами. Радикальный и интегральный
признаки Коши
31
10. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости. Интервал
сходимости.
11. Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
12. Ряд Маклорена для функций xxex sin,cos, .
13. Ряды Фурье. Разложение функций в ряд Фурье. Теорема Дирихле.
14. Ряды Фурье для функций на произвольном промежутке.
Коэффициенты ряда Фурье.
Расчетные задания.
Задание 1. Проверить, является ли указанная функция решением
данного дифференциального уравнения (в этом задании С – произвольная
постоянная).
№ Функция y = f(x) Уравнение
1.1
xcexy
1
2 1
22 21 xyxyx
1.2 cxxey yxyxy lnln1
1.3 1
1
x
cxy yxyxy 21
1.4 21xecey
yeyey xx 22
1.5 xecxy 0 xeyyx
1.6
x
cxy
21
2
yxyyx 212
1.7 2
xtg
cey
yyxy lnsin
1.8 12 xcy 012 xyyx
1.9 xecxy
3
2
yxyyx 322
1.10 122 xcey x xyy 42
1.11 2
1
2 xecxy x 1
212
yx
xy
1.12
2
22 xcey x
2
2 xxexyy
1.13 21 xcxy 222 121 xxyyx
1.14
xcxy
12 0232 dxxydyx
32
1.15 xcey 2 02 yy
1.16 xecxy xeyy
1.17 12 xcy 012 xyyx
1.18 xcexy /12 1 22 21 xyxyx
1.19
ccxy
1 0
1
yyyx
1.20 2sin xcy xxyyx cos2cossin
1.21 cxy 2
xyy
1.22
x
cxy
21
2
yxxyx 212
1.23 cye x
y
yxyyxy 22
1.24 12 xcy 012 xyyx
1.25 21
2
cx
xy
x
y
x
yy
2
2
1.26 xexcy )( 02 yyy
1.27 xCxy sincos 0 yy
1.28 3)(12
1Cxy yy 2)(
1.29 23
3
1Cxxy x
x
yy
1.30 xxCy sincos 0 yy
Задание 2. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального
уравнения.
№ Задание № Задание
2.1 0 ydxxdy 2.2 0)1( ydxdyx
2.3 0 dxydyx 2.4 0)1( 2 dxdyx
2.5 03 ydxxdyx 2.6 01 ydxdyx
2.7 02 ydxdyx 2.8 032 ydxxdyxy
2.9 0 dxxydy 2.10 0 ydxxdy
2.11 0 dxdyyx 2.12 0 ydxxdy
2.13 0 ydxxydy 2.14 0)1( 2 dxyxdy
33
2.15 02 dxydyx 2.16 012 dxyxdy
2.17 0 ydxxdy 2.18 0)2( 2 ydxdyx
2.19 02 ydxxxdy 2.20 0)1( 2 dxdyx
2.21 0 dxyydy 2.22 01 2 ydxdyx
2.23 0 dxyxdy 2.24 0)1( 2 dxyxdy
2.25 02 xydxdyy 2.26 012 ydxdyx
2.27 03 dxydyx 2.28 01 2 dxyydy
2.29 03 dxyxdyy 2.30 01 2 dxydy
Задание 3. Найти решение задачи Коши и построить соответствующую
интегральную кривую.
№ Задание № Задание № Задание
3.1 30,2 yyy 3.2 20, yyy 3.3 20, yyy
3.4 30, yyy
3.5 70,2 yyy
3.6 10,3 yyy
3.7 50,2 yyy 3.8 10,3 yyy 3.9 10,
2
1 yyy
3.10 40,
2
1 yyy
3.11 40,
3
1 yyy
3.12 21,3 yyy
3.13 21, yyy 3.14 21, yyy
3.15 21, yyy
3.16 21,3 yyy 3.17 21, yyy
3.18 21, yyy
3.19 23, yyy 3.20 43ln, yyy 3.21 21, yyy
3.22 00, yyyky 3.23
00
,
yxy
yky
3.24
23
,
y
yy
3.25 12ln, yyy
3.26 40,
4
1 yyy
3.27
421
,4
ey
yy
3.28
221
,2
ey
yy
3.29 12ln,2 yyy
3.30
521
,5
ey
yy
Задание 4. Найти решение задачи Коши.
№ Задание № Задание
4.1 10,2 yxyy 4.2 10,)3( 2 yyxy
34
4.3 00,)1( 2 yyxy 4.4 21,)32( 2 yyxy
4.5 21,)2( 2 yyyx 4.6 31,)2( 2 yyyx
4.7 41,)1( 2 yyxy 4.8 10,)12( 2 yyyx
4.9 20,)5( 2 yyyx 4.10 52,4 2 yxyy
4.11 32,3 2 yxyy 4.12 41,)5( 2 yyyx
4.13 30),1(2 2 yyxy 4.14 10,3)1( 2 yyхy
4.15 20,3 yхyy 4.16 40,3 yyy
4.17 11,2
yy
хy 4.18 10,
32
yy
xy
4.19 10,1 2 yyy 4.20 2
1,4 2 yyy
4.21 10,12 yyy 4.22 21,122 yyyx
4.23 22,12 yyyx 4.24 10,1 2 yyy
4.25 20,1 2 yyy 4.26 1)0(,1
22
yy
xyy
4.27 10,)3( 2 yyxy 4.28 2)0(, y
y
xy
4.29 1)0(,4
32
yy
xyy 4.30 1)0(,
4
3)1(
y
y
yxy
Задание 5. Найти решение задачи Коши.
№ Задания № Задания
5.1 01,3 yxx
yy 5.2 24, yx
x
yy
5.3 11,1
3 y
xx
yy 5.4 11, yx
x
yy
5.5 14, yxx
yy 5.6 01, ye
x
yy x
5.7 01,1
22
yxx
yy 5.8 10,,2
2
yxexyy x
5.9 21,22
yexyy x 5.10 21,22
yexyy x
5.11 10,2 yxxyy 5.12 20,22 yxxyy
5.13 0,cos yxx
yy 5.14 1,ln eyx
x
yy
35
5.15 11,2
yxx
yy 5.16 22,1
2 y
x
yy
5.17 18,2 3 yxx
yy 5.18 04,
2 yx
x
yy
5.19 02
,2cos22
y
x
x
x
yy 5.20 10,2 yxxyy
5.21 18,3 yxx
yy 5.22 11,2 yex
x
yy x
5.23 10,2 yxxyy 5.24 21,222 yexxyy x
5.25 20,22
yxexyy x 5.26 11,22
yxx
yy
5.27 10,2sincos yxxyy
5.28 2
10,44 3 yxxyy
5.29 11,3 yxx
yy 5.30
1,sin yx
x
yy
Задание 6. Найти общее решение уравнения Бернулли.
№ Задание № Задание № Задание
6.1 2xyyy 6.2 32 xyyy
6.3 2xyyy
6.4 yxyy 6.5 yxyy 6.6 32 xyyy
6.7 22 yxyy 6.8 222 yxyy 6.9 22 yxyy
6.10 22xyyy 6.11 32xyyy 6.12 222 yxyy
6.13 2
3
1xyyy
6.14 222 xyyy 6.15 2
2
12 xyyy
6.16 21yy
xy
6.17 22yy
xy
6.18 21yy
xy
6.19 22yy
xy
6.20 23 xyyy 6.21 33 xyyy
6.22 xeyyy 22 6.23 xeyyy 222
6.24
y
xyy 3
6.25 xeyyy 522 6.26
y
xyy 24
6.27 xeyyy 22
6.28 222
yyx
y 6.29 2
4
1xyyy
6.30 22 xyyy
36
Задание 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения в
полных дифференциалах.
№ Задание
7.1 013 32 dyexdxex yy
7.2 02
cos22
cos2
32
2
dy
y
x
y
xdx
y
x
yx
7.3 0843 22 dyexydxyx y
7.4 01
2122
dy
xydx
x
yx
7.5 02sec22 dytgxxydxxyy
7.6 032323 232 dyyxxdxyyx
7.7 0111
22222
dy
y
x
yyx
ydx
yxyx
x
7.8 0cos2cos22sin dyyxdxyxx
7.9 02// 32222 dyyxyxdxyxxy
7.10 0231
34
2
2
dy
x
ydx
x
y
x
7.11 02cos1
cos2
dyy
x
y
xdx
x
y
x
y
7.12 01
2
dy
x
xydx
x
y
7.13 011
22
dy
xy
xydx
x
xy
7.14 02
2
dyy
yx
y
dx
7.15 02222
dy
yx
yxdxy
yx
x
7.16 01
2
dy
xdx
x
yxe x
7.17 0sinsin
cos5
sin
110 32
2
2
dyyy
y
yxxdx
yxy
37
7.18 0sinsin
cos5 32
2
2
22
dyyy
y
yxxdxe
yx
y x
7.19 0cos dyxeydxe yy
7.20 03cos 23 dyexydxxy y
7.21 022 22
dyytgeyxdxxe yy
7.22 055 232 dyyyxdxxxy
7.23 0cos2sincos 22 dyyxydxxyx
7.24 02424 2222 dyxxyydxyxyx
7.25 01
coscos1
sinsin
dy
yxyxdx
xxyy
7.26 011
1 /
2
/
dye
y
xdxe
y
yxyx
7.27 011
12
dye
y
xdxe
y
yx
7.28 023232 2232 dyyyxdxxxy
7.29 032363 23223 dyyxxdxxyyxx
7.30 0222 dyyxydxxy
Задание 8. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ Задание № Задание № Задание
8.1 xy 2sin 8.2 xey 2 8.3 xxey
8.4
3
1
xy
8.5 21
1
xy
8.6 xy 7cos
8.7 xxey 8.8
x
xy
3 2 1
8.9 xy 2cos
8.10 xy 2sin2 8.11
xy
1
1
8.12
31
x
xy
8.13 2xx eey 8.14
21
x
ey
8.15
21
x
ey
8.16
2cos
2sin
xxy
8.17
xy
2cos
1
8.18 21 xxy
38
8.19 xxy cossin 8.20
xy
2sin
1
8.21
21
1
xy
8.22
xy
2cos
12
8.23 xy 2cos
8.24
12
1
xy
8.25 3
1
xxy
8.26 xy 2 8.27 xy 4sin
8.28 32 xy 8.29 xxy 2cossin
8.30 xey 23
Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ Уравнение № Уравнение № Уравнение
9.1 yxxy ln 9.2 1 yyx 9.3 yyx 2
9.4 1 xyyx 9.5
xy
ctgx
y
sin
1
9.6
xyyx
1
9.7 022 yxctgy 9.8 123 yxyx 9.9 yytgx 2
9.10 yxcthy 22 9.11 134 yxyx 9.12 02 yyx
9.13 32 21 xyxyx 9.14 145 yxyx 9.15 12 yxyx
9.16 0 xyyx 9.17 ythxy 9.18 xyyx
9.19 1 ytgxy 9.20 yxtgy 55 9.21 yxthy 77
9.22 xyxyx 23 9.23 11 xyyx 9.24 yxyx cossin1
9.25
xyyx
1
9.26 2
22
xyyx
9.27 xy
x
xy 2
1
22
9.28 434 yxyx 9.29 1221 2 yxyx
9.30 chxyycthx
Задание 10. Найдите решение задачи Коши однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
№ Задание № Задание
10.1 10,00
,032
yy
yyy 10.2
00,10
,032
yy
yyy
10.3 10,10
,0136
yy
yyy 10.4
00,10
,0136
yy
yyy
10.5 10,00
,0106
yy
yyy 10.6
10,10
,0106
yy
yyy
39
10.7 20,10
,09
yy
yy 10.8
10,10
,02
yy
yyy
10.9 10,00
,0
yy
yy 10.10
10,20
,086
yy
yyy
10.11 20,10
,086
yy
yyy 10.12
10,10
,044
yy
yyy
10.13 00,20
,044
yy
yyy 10.14
10,00
,054
yy
yyy
10.15 10,00
,084
yy
yyy 10.16
00,10
,054
yy
yyy
10.17 10,00
,084
yy
yyy 10.18
10,10
,096
yy
yyy
10.19
20,00
,00,0
yy
yyy 10.20
10,00
,0102
yy
yyy
10.21 10,10
,0102
yy
yyy 10.22
20,10
,082
yy
yyy
10.23 10,20
,096
yy
yyy 10.24 10,00
,02610
yy
yyy
10.25 00,10
,02610
yy
yyy 10.26
20,10
,03218
yy
yy
10.27 10,10
,0134
yy
yyy 10.28
10,20
,02610
yy
yyy
10.29 20,10
,054
yy
yyy 10.30
10,20
,0256
yy
yyy
Задание 11. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ Задание № Задание
11.1 182 2 xyyy 11.2 23 xyy
11.3 xeyyy 52 11.4 xxeyyy 482
11.5 xeyyy 4782 11.6 xeyyy 282
11.7 22 2 xyy 11.8 xeyyy 2
11.9 5256 2 xyyy 11.10 356 2 xyyy
11.11 xxeyyy 286 11.12 xeyyy 4586
11.13 xxeyyy 286 11.14 xyy cos5
11.15 xyy sin 11.16 xxyy sincos
40
11.17 32 xxxyy 11.18 xxeyy
11.19 xexyy 21 11.20 xexyy 5
11.21 xeyyy 2244 11.22 xxeyyy 44
11.23 xexyyy 2184 11.24 2584 xyyy
11.25 xexyyy 2 11.26 52665 2 xxyyy
11.27 11213 xyy 11.28 15 2 xyy
11.29 xexyyy 214206 11.30 xxyyy 122
Задание 12. Решить систему дифференциальных уравнений методом
исключения.
№ Задание № Задание № Задание
12.1
212
211
32
,32
yyy
yyy
12.2
212
211
2
,2
yyy
yyy
12.3
212
211
23
,23
yyy
yyy
12.4
212
211
43
,43
yyy
yyy
12.5
212
211
34
,34
yyy
yyy 12.6
212
211
2
,2
yyy
yyy
12.7
212
211
5
,5
yyy
yyy
12.8
212
211
42
,42
yyy
yyy 12.9
212
211
4
,4
yyy
yyy
12.10
212
211
52
,52
yyy
yyy
12.11
212
211
53
,53
yyy
yyy
12.12
212
211
5
,5
yyy
yyy
12.13
212
211
25
,25
yyy
yyy
12.14
212
211
45
,45
yyy
yyy
12.15
212
211
35
,35
yyy
yyy
12.16
212
211
72
1
,72
1
yyy
yyy
12.17
212
211
54
,54
yyy
yyy
12.18
212
211
72
,72
yyy
yyy
12.19
212
211
4
,4
yyy
yyy
12.20
212
211
7
,7
yyy
yyy
12.21
212
211
2
3
,2
3
yyy
yyy
41
12.22
212
211
2
5
,2
5
yyy
yyy
12.23
212
211
2
15
,2
15
yyy
yyy
12.24
212
211
7
,7
yyy
yyy
12.25
212
211
24,0
,24,0
yyy
yyy
12.26
212
211
2,0
,2,0
yyy
yyy
12.27
212
211
1,2
,1,2
yyy
yyy
12.28
212
211
5,05,4
,5,05,4
yyy
yyy
12.29
212
211
2,08,0
,2,08,0
yyy
yyy
12.30
212
211
2,3
,2,3
yyy
yyy
Задание 13. Решить неоднородное дифференциальное уравнение
методом вариации произвольных постоянных.
№ Задание
13.1 00,30,cos/22 yyxyy
13.2 2ln130,4ln0,1/93 33 yyeeyy xx
13.3 44
,54
,284
yyxctgyy
13.4 2ln60,2ln210,1/486 2 yyeyyy x
13.5 00,00,1/9189 33 yyeeyyy xx
13.6 2/2/1,12/1,sin/ 222 yyxyy
13.7
00,20,/cos
1122
yyx
yy
13.8 14ln330,4ln40,3
93
3
3
yye
eyy
x
x
13.9 42/,42/,4 yyctgxyy
13.10 3ln100,3ln310,2/486 2 yyeyyy x
13.11 00,00,2/486 22 yyeeyyy xx
13.12 2/36/,46/,3sin/99 yyxyy
13.13 00,10,3cos/99 yyxyy
13.14 19ln0,27ln0,2/ yyeeyy xx
13.15 24/,34/,244 yyxctgyy
42
13.16 2ln140,2ln810,3
123
yy
eyyy
x
13.17 00,00,1/486 22 yyeeyyy xx
13.18 28/,38/,4sin/1616 yyxyy
13.19 00,30,4cos/1616 yyxyy
13.20 24ln0,4ln0,1/42 22 yyeeyy xx
13.21 2/1,2,2/4
1
4 yyxctg
yy
13.22 3ln50,3ln310,2/123 yyeyyy x
13.23 00,00,2/23 yyeeyyy xx
13.24 4/,24/,2sin/44 yyxyy
13.25 00,20,2cos/44 yyxyy
13.26 9ln10,27ln0,2/ yyeeyy xx
13.27 22/,12/,2 yyctgxyy
13.28 2ln30,2ln210,1/123 yyeyyy x
13.29 00,00,1/23 yyeeyyy xx
13.30 2/2/,12
,sin/1
yyxyy
Задание 14. Найти общее решение дифференциального уравнения.
№ Задание № Задание
14.1 2123 xyyy 14.2 xxyy 36 2
14.3 xxyy 2 14.4 xyyyy IV 233
14.5 225 xyy IV 14.6 xxyyy IV 122
14.7 12 2 xxyyy IV 14.8 32 xyy IVV
14.9 163 xyy IV 14.10 242 xyyy IV
14.11 15 2 xyy 14.12 244 xxyyy IV
14.13 xyy 127 14.14 xxyyy 2323 2
14.15 123 2 xxyy 14.16 234 2 xxyy
14.17 333 xyyyy IV 14.18 xxyyy IV 6122 2
14.19 2384324 xyy 14.20 2322 xyyy IV
14.21 22449 xyy 14.22 432 2 xxyy
43
14.23 11213 xyyy 14.24 xyy IV
14.25 56 xyy 14.26 5223 2 xxyyy
14.27 2165 xyyy 14.28 1396 xyyy IV
14.29 39181213 2 xyyy 14.30 612 xyy IV
Методические указания к выполнению заданий РГР№2.
Таблица 1 - Основные виды дифференциальных уравнений 1-го порядка № Тип
уравнения
Вид уравнения Метод решения Примечания
1 С
разделя-
ющимися
перемен-
ными
а) dxyNxM )()( 11
,0)()( 22 dyyNxM
б) )()( ygxfy
а) умножить на )()(
1
12 yNxM
б) dxxfyg
dy)(
)(
2 Линейные ),()( xgyxpy (*) Метод Бернулли.
Подстановка ,vuy где
1) ),(xuu ),(xvv
2) .vuvuy
Решение
Cdxxu
xgxv
exudxxp
)(
)()(
;)()(
а) При
решении
уравнения ,0)( vxpv
постоянную
С считать
равной 0.
3 Уравне-
ние
Бернулли
,)()( nyxgyxpy
)1;0( nn
а) Метод Бернулли.
Подстановка ,vuy как
для линейных уравнений (*)
б) Подстановка nyz 1
сводит к линейному
уравнению (2) относительно
новой функции z .
При 0n
имеем
линейное
уравнение (2)
При 1n
приводится к
уравнению с
разд. пер.(1)
4 Уравне-
ние в
полных
диф-
ференци-
алах
0).(),( dyyxQdxyxP ,
При x
Q
y
P
Решение ,),( Cyxu где
x
x
dxyxPyxu
0
),(),( 0
y
y
dyyxQ
0
),(
Проверка
dx
x
udu
dy
y
u
dxyxP ),(
dyyxQ ),(
Задание 1. Проверить, является ли функция x
xcy
2
22 решением
уравнения .0 yxyx
44
Решение: для выполнения задания нам потребуется производная данной
функции:
2
1
22
1
22 2
2222
x
cx
x
c
x
xcy . Подставим 𝑦 и y в данное
уравнение:
0002222
;02
1
22
22
2
222
x
x
cx
x
cx
x
cx
x
xcx .
Ответ: указанная функция является решением данного уравнения.
Задание 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
.33 yxdx
dy
Решение: разделим переменные в уравнении с разделяющимися
переменными и проинтегрируем:
dxyxdyyxdx
dy 3333 ,
333 :/ ydxyxdy dxxy
dy 3
3
;3
3dxx
y
dy ;
42
42
cxy
.42
1 4
2c
x
y
Таким образом, cx
y
42
1 4
2 – общий интеграл уравнения.
Задание 3. Найти решение задачи Коши 50;6 yyy и построить
соответствующую интегральную кривую.
Решение: разделим переменные в уравнении и проинтегрируем:
dxydyydx
dyyy 666
;6;6 dxy
dydx
y
dy cxeycxy 6;6ln .
Используем начальные условия: ;5;5 06 cc ee ;3lnC
xx eyeey 63ln6 3; частное решение, удовлетворяющее начальным
условиям.
Решение задачи Коши: .3 6xey
Задание 4. Найти решение задачи Коши: .5
10,5 2 yyy
Решение:
45
dxydyydx
dyyy 222 5;5;5 с разделяющимися
переменными. Делим на 2y :
cx
ydxy
dyx
y
dy
5
1;5;5
22 общее
решение. Найдём частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.
.5;05
1
5
1;
5
10
c
cy
Примечание. При делении уравнения на 2y могло быть потеряно
решение 2y = 0, или 0y . Непосредственной подстановкой в исходное
уравнение убеждаемся, что 0y удовлетворяет этому уравнению. Кроме
того, 0y является особым решением, т.к. оно не находится в общем
решении.
Задание 5. Найти решение задачи Коши: 2
4 xxexyy , 1)0( y :
а) методом Бернулли (подстановка vuy );
б) методом вариации произвольных постоянных; (способ решения
студент выбирает самостоятельно).
Решение: данное уравнение является линейным неоднородным
уравнением.
а) в методе Бернулли делается замена vuy (где u = u(x), v = v(x) –
новые неизвестные функции) vuvuy . Подставим в исходное
уравнение: 2
4 xxexuvvuvu 2
4 xxexvvuvu .
Выберем функцию v такую, чтобы 04 xvv . Это уравнение с
разделяющимися переменными.
04 xvdx
dv xv
dx
dv4 xdx
v
dv4
22ln xv 22xev .
С учетом выбранной функции v, из исходного уравнения получим: 2xxevu
222 xx xeeu 2xxe
dx
du
Cexdedxxeu xxx
222
2
1
2
1 2.
Функции u = u(x) и v = v(x) найдены.
Следовательно, 2222 22
2
1
2
1 xxxx CeeeCey
– общее решение.
46
Используя начальное условие 1)0( y , получим: 12
1 00 Cee
2
3C .
Решение задачи Коши: 22 2
2
3
2
1 xx eey .
б) в методе вариации произвольных постоянных для2
4 xxexyy –
линейное неоднородное уравнение первого порядка. Соответствующее
однородное уравнение: 04 xyy . Оно является уравнением с
разделяющимися переменными.
04 xydx
dy xy
dx
dy4 xdx
y
dy4 xdx
y
dy4
Cxy ln2ln 2 22xCey – общее решение линейного однородного
уравнения.
Ищем решение неоднородного уравнения в виде: 22)( xexCy , где
)(xC – неизвестная функция. Подставим 22)( xexCy и
22 22 4)()( xx xexCexCy в исходное уравнение: 2222 222 )(44)()( xxxx xeexCxxexCexC
222)( xx xeexC
2
)( xxexC CexdedxxexC xxx
222
2
1
2
1)( 2
.
Итак, 22222 222
2
1
2
1)( xxxxx CeeeCeexCy
– общее решение
исходного уравнения. Используя начальное условие 1)0( y , получим:
12
1 00 Cee 2
3C или
22 2
2
3
2
1 xx eey .
Задание 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Бернулли .2
1
xyyy
Решение: 2
1
xyyy – уравнение Бернулли, где n=1/2. Выполним
замену 2
1
2
11
1 yyyz n
. zzyzy 2;2 (см таблицу 2). Подставим в
исходное уравнение:
xzzzxzzz2
1
2
1;2 2
линейное уравнение. Замена:
;; vuvuzuvz
;2
1
2
1xuvvuvu 0
2
1 vv ; 0
2
dx
v
dv; ;0
2ln
xv 2
x
ev
;
47
;2
2x
eu
x
;2
2x
edx
dux
.2.
2;
22222 cexe
частямпо
интегрdxe
xudxe
xdu
xxxx
Итак, 22 2222
xxxx
cexcexeevuz .
Решение задачи Коши: 2zy , т.е.
2
2 2
x
cexy .
Задание 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения:
.01 dyxedxyx y
Решение:
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 + 1, 𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑦 + 𝑥, 𝜕𝑄
𝜕𝑥 = 1,
𝜕𝑃
𝜕𝑦= 1
𝜕𝑄
𝜕𝑥=
𝜕𝑃
𝜕𝑦 ,
следовательно, выполнено условия полного дифференциала u :
dyedxyxdu y 11 .
Неизвестную функцию u найдём с помощью формулы:
dyyxQdxyxPu
y
y
x
x
;; 0
00
.
Возьмём 0,0 00 yx :
122
12
00
2
00
y
y
yxy
yx
exxyx
exxyx
dyedxyxu
.
Т.к. ,0du то Cu общий интеграл дифференциального уравнения.
Общее решение: .12
2
Cexxyx y
Таблица 2 - Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижения порядка
№ Формульная
запись
уравнения
Пояснения Предполагаемая замена
(инструкция)
1 𝑦(𝑛) = 𝑓(𝑥) Производная неизвестной
функции явно выражена
через функцию от 𝑥.
𝑛 раз проинтегрировать
2 𝐹(𝑦, 𝑦, 𝑦) =0 В уравнении отсутствует 𝑦(𝑥) = 𝑢(𝑦),
48
независимая переменная 𝑥. 𝑦(𝑥) = 𝑢 (𝑦)𝑢 (𝑦)
3 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦) =0 В уравнении отсутствует
неизвестная функция 𝑦(𝑥) 𝑦(𝑥)=𝑢(𝑥), 𝑦(𝑥)=𝑢(𝑥)
4 𝐹(𝑥, 𝑦(𝑘), 𝑦(𝑘+1),
… , 𝑦(𝑛+𝑘)) = 0
В уравнении отсутствуют
неизвестные функции до
производной порядка 𝑘 − 1.
𝑦(𝑘)(𝑥) = 𝑢(𝑥), 𝑦(𝑘+1)
(𝑥) = 𝑢(𝑥), … ,
𝑦(𝑛+𝑘)(𝑥) = 𝑢(𝑛)(𝑥)
Задание 8. Найти общее решение дифференциального уравнения
.2cos2sin xxy
Решение:
xxy 2cos2sin – уравнение второго порядка вида xfy .
Понижаем порядок двукратным интегрированием:
xdxxdxxy 4sin2
12cos2sin ;4cos
8
11Cx
.4sin32
14cos
8
14cos
8
12111 CxCxdxCxdxdxCxy
Ответ: 214sin32
1CxCxy общее решение.
Задание 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.021 2 yxyx
Решение:
021 2 yxyx – уравнение второго порядка с отсутствующей явно
функцией y (таблица 2). Для этого случая применяется замена py . Тогда
pdx
dpy .
Уравнение имеет вид 021,021 22 xpdxdрxxpрx
уравнение с разделяющимися переменными. Поделим обе части на ,1 2xp
получим:
,1
22x
xdx
p
dp
,
1
12
2
x
xd
p
dp
2
11
2 1,ln1lnln xCpCxp .
Так как ,dx
dyp то 2
1 1 xСdx
dyуравнение с разделяющимися
переменными.
2
3
12
12
13
,1,1 Cx
xCydxxCydxxCdy
общее решение.
49
Примечание – в процессе деления на 21 xp мы могли потерять
решения 0p и 01 2 x . Первое даёт ,0 Cyy но это решение
находится в общем решении при 01 C . Второе равенство 01 2 x
невозможно при действительных 𝑥.
Задание 10. Найти общее решение однородного линейного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
а) ;01011 yyy
б) решить задачу Коши 9 6 0, (0) 1, (0) 2;y y y y y
в) 2 10 0y y y .
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с
постоянными коэффициентами: .0 qyypy Его характеристическое уравнение: 𝑘2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0, где 𝐷 = 𝑝2 − 4𝑞
его дискриминант. Тогда структура общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами зависит от
вида корней соответствующего характеристического уравнения (таблица 3).
Таблица 3 - Структура общего решения линейного однородного
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
D Корни
характеристичес-
кого уравнения
𝑘2 + 𝑝𝑘 + 𝑞 = 0
Фундаментальная
система решений
Общее решение линейного
однородного ДУ высокого
порядка
с постоянными
коэффициентами
𝑦00 = 𝐶1𝑦1 + 𝐶2𝑦2
D>0 𝑘1 =
−𝑝 − √𝐷
2,
𝑘2 =−𝑝 + √𝐷
2
𝑦1 = 𝑒𝑘1𝑥,
𝑦2 = 𝑒𝑘2𝑥
𝑦00 = 𝐶1𝑒𝑘1𝑥 + 𝐶2𝑒
𝑘2𝑥
D=0 𝑘1 = 𝑘2 = 𝜇
𝜇 =−𝑝
2
𝑦1 = 𝑒𝜇𝑥,
𝑦2 = 𝑥𝑒𝜇𝑥
𝑦00 = 𝐶1𝑒𝜇𝑥 + 𝐶2𝑥𝑒
𝜇𝑥
D<0 𝑘1,2 = ± 𝑖
𝛼 =−𝑝
2,𝛽 =
√|𝐷|
2
𝑦1 = 𝑒𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥,
𝑦2 = 𝑒𝛼𝑥𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥
𝑦00 = 𝐶1𝑒𝛼𝑥𝑐𝑜𝑠𝛽𝑥+𝐶2𝑒
𝛼𝑥𝑠𝑖𝑛𝛽𝑥
Решение:
а) 01011 yyy 010112 kk его характеристическое
уравнение,
10
1
2
1
k
k разные действительные корни характеристического
уравнения.
Следовательно, общее решение имеет вид: 1 10
00 1 2 .x xy C e C e
50
б) 2)0(,1)0(,069 yyyyy
0169 2 kk , 3
121 kk характеристическое уравнение имеет
равные корни характеристического уравнения и общее решение:
.32
3100
XX
xeCeCy
Для использования второго начального условия продифференцируем
обшее решение:
.3
1
3
13
23
23
1
XXX
хeCeCeCy
Далее подставим начальные условия:
.3
7;1
03
1
3
12
,01
2101
02
01
01
01
CCeCeCeC
eCeC
Частное решение задачи Коши имеет вид:
.3
733
00
XX
xeey
с) для 2 10 0y y y получены комплексные корни его
характеристического уравнения 01022 kk в виде
3,1312,1 ik , cледовательно xCxCey x 3sin3cos 2100
общее решение.
Задание 11. Найти общее решение уравнения .622 2xeyyy
Решение: это линейное неоднородное дифференциальное уравнение
второго порядка с постоянными коэффициентами: ,xfqyypy где
праваячастьимеетвид: xf = 𝑒𝑎𝑥[𝑃𝑚(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 + 𝑄𝑛(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥].
Структура общего решения данного уравнения: 𝑦 = 𝑦о.о + 𝑦ч.н, состоит
из 𝑦о.о– общего решения соответствующего однородного уравнения и ,
частного решения 𝑦ч.н
= 𝑥𝑟𝑒𝑎𝑥(�̃�𝑘(𝑥)𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥 + �̃�𝑘(𝑥)𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥), где 𝑟 – количество
чисел a+bi среди корней характеристического уравнения, 𝑘 = 𝑚𝑎𝑥{𝑚, 𝑛}. Алгоритм нахождения общего решения.
Вначале найдём 𝑦о.о: 0222 kk характеристическое уравнение
соответствующего однородного уравнения,
ik 12,1 корни этого
уравнения, следовательно, 𝑦о.о = xCxCex sincos21
.
Далее найдём 𝑦ч.н методом неопределенных коэффициентов по виду
правой части xf неоднородного уравнения.
Так как 2,66 2 maeaexf xmx и m =2 не является корнем
характеристического уравнения, то, в соответствии с теорией, частное
решение будем искать в виде 𝑦ч.н =xAe2. Для нахождения неизвестного
коэффициента A подставим 𝑦ч.н =xAe2 ,𝑦
ч.н= 2 xAe2 , 𝑦ч.н = 4 xAe2
в исходное уравнение:
51
xxxxxx eAeeAeAeAe 222222 62,62224 , 3,62 AA .
Следовательно, 𝑦ч.н =xe23 , xx exCxCеy 2
213sincos общее
решение.
Ответ: xx exCxCey 211 3sincos .
Задание 12. Решить систему дифференциальных уравнений методом
исключения: 1 1 2
2 1 2
9 4
9 4
y y y
y y y
.
Решение: продифференцируем по 𝑥 первое уравнение из системы из
системы: 211
49 yyy . Для исключения 2
y в исходной системе
просуммируем строки: 1221
0 yyyy .
Следовательно, 111 49 yyy ; 013 11 yy линейное однородное
дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами.
.13;001321
2 kkkk Тогда .13
21
13
2
0
11
xxx eСCeСeCy
Т.к. xeCy 13
2113 , то найдём из первого уравнения :
2y
112
94 yyy .4
9913
4
1 13
21
13
21
13
22
xxx eCCeCCeCy
Ответ:
13
1 1 2
13
2 1 2
9
4
x
x
y C C e
y C C e
.
Расчетно-графическая работа № 3
Ряды
Теоретические вопросы.
1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие
сходимости ряда.
2. Признаки сравнения.
3. Признаки Даламбера и Коши. Интегральный признак Коши.
4. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Оценка остатка
ряда.
5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды.
6. Функциональные ряды. Область сходимости.
7. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости
степенных рядов.
8. Ряды Тейлора. Разложение по степеням х функций ех , sin x, cos
x, ln(1+ x), (1+ x)m.
9. Ряды Фурье. Коэффициенты Фурье.
Расчетные задания.
52
Задание 1. Для ряда
1n
nu :
а) составить формулу общего члена ряда nu и написать первые пять
членов;
б) записать n-ую частичную сумму ряда nS ;
в) записать остаток ряда nr ;
г) проверить необходимое условие сходимости ряда.
1.1
1 3)1(
1
nnn
1.2
1 )2ln(
1
n n
11.3
1 5)12(
1
nnn
1.4
1 7
12
nn
n
1.5
1 )!1(
1
n n
1.6
13)12(
1
n n
1.7
1 )1ln(
3
n n
1.8
1 5
2
nn
n
1.9
1 10
42
nn
nn
1.10
12)13(
1
n n
1.11
13 13
1
n n
1.12
1 5n n
n
1.13
1 )2)(1(
1
n nn
1.14
1 )33()12(
1
n nn
1.15
1 1n n
n
1.16
1 5
2
n n
n
1.17
1 )13(n n
n
1.18
1 3
5
nn
n
1.19
1 )15(
6
n n
1.20
1 3
1
nn
1.21
1 )13(
1
n n
1.22
13 )2(
1
n n
1.23
15)15(
1
n n
1.24
1 6)32(
1
nnn
1.25
12 3)12(
1
nnn
1.26
1 )12ln(
1
n n
1.27
12 )1(ln
1
n n
1.28
12 )12(
1
n nn
1.29
13)12(
1
n n
1.30
12)12(
3
n n
Задание 2. Сравнить с рядом Дирихле
1
1
npn
, т.е. найти параметр p, и
исследовать на сходимость ряд.
2.1
12 )12(
1
n nn
12.2
13)12(
1
n n
12.3
12)12(
3
n n
2.4
1 )15(
6
n n
2.5
133
1
n n
12.6
13 )13(
1
n n
53
2.7
13 )2(
1
n n
2.8
15)15(
1
n n
12.9
1 )26()32(
1
n nn
2.10
12)13(
1
n n
2.11
13 13
1
n n
12.12
1 )33)(12(
1
n nn
2.13
2 )2)(1(
1
n nn
2.14
1 5n n
n
12.15
1
2
2 12n n
n
2.16
12
3
)13(n n
n
2.17
1
53 13
1
n n
2.18
14 5n n
n
2.19
223 )2(1
1
n nn
2.20
1 )33(
12
n n
n
2.21
1
5
1n n
n
2.22
12)13(n n
n
2.23
1
43 13n n
n
2.24
12
12n n
n
2.25
12 )24)(13(n nn
n
2.26
1
2
)36(
12
n n
n
2.27
13
5
1n n
n
2.28
1 1n n
n
2.29
1
4
3 13n n
n
2.30
13
12n n
n
Задание 3. Исследовать на сходимость с помощью признака Даламбера.
3.1
1 3)1(
1
nnn
3.2
2 )!1(
2
n
n
n
3.3
1 5)12(
1
nnn
3.4
1 7
12
nn
n
3.5
1 )!1(
1
n n
3.6
13)12(
!
n n
n
3.7
1 )!7(
3
n n
n
3.8
1 5
!
nn
n
3.9
1
2
10
)1(
nn
n
3.10
1 3)1(nnn
n
3.11
1 )!2(
12
n n
n
3.12
1
3
5
)10(
nn
n
3.13
1 !
12
n n
n
3.14
2
1
)!1(
4
n
n
n
3.15
1 )12(
!2
n n
n
3.16
1 2
3
nn
n
3.17
213
)!3(
nn
n
3.18
1
2
8
)12(
nn
n
3.19
1 )1(
3
n
n
n
3.20
2
1
)!1(
5
n
n
n
3.21
1 7)16(
1
nnn
3.22
1 2
77
nn
n
3.23
1 )!1(
6
n
n
n
3.24
1 )1)(12(
!
n nn
n
54
3.25
3 )!2(
1
n n
n
3.26
12/
2
5
5
nn
n
3.27
1
2
10
)12(
nn
n
3.28
12 )7(
3
n
n
n
n
3.29
2 )1(5
!
nn n
n
3.30
1
3
10
)1(
nn
n
Задание 4. Исследовать на сходимость с помощью радикального
признака Коши.
4.1
1 3
1
nn
4.2
1
2
)12(n
n
ntg
4.3
1 7
12
nn
nn
4.4
1
3
3ln
1
n
n
n
4.5
1 )1(
1
n
n
narctg
4.6
1 3ln
1
n
n
n
4.7
1 )2ln(
3
nn
n
4.8
12
2
437
13
n
n
nn
nn
4.9
1
2
3sin
n
n
n
4.10
1
3
4
1
n
n
n
n
4.11
1 5
1
12
2
nn
n
n
n
4.12
1
2
12
23
n
n
n
n
4.13
1 148
7
nn
n
n
4.14
1 3
1arcsin
n
n
n
4.15
1
3
5n
n
ntg
4.16
13
2
3
nn
n
n
4.17
1 14
1arcsin
n
n
n
n
4.18
1
2
sinn
n
n
4.19
12
5ln
10
n
n
n
4.20
12
2
437
15
n
n
nn
nn
4.21
1
2
12
2
n
n
n
n
4.22
1 14
7)2(
nn
nn
n
n
4.23
1
3
42n
n
narctg
4.24
1 4
1arcsin
n
n
n
4.25
13
5
5
nn
n
n
4.26
1 14
15arcsin
n
n
n
n
4.27
1 15sin
n
n
n
4.28
1
2
1
23
n
n
n
n
4.29
1
3
32ln
4
n
n
n
4.30
12
2
53
13
n
n
nn
nn
Задание 5. Исследовать на сходимость с помощью интегрального
признака Коши.
5.1
1 13ln13
1
n nn
5.2
12 )2(ln)2(
1
n nn
55
5.3
1 )15ln()15(
1
n nn
5.4
12 15ln15
1
n nn
5.5
14 )2(ln)2(
1
n nn
5.6
13 )14ln()14(
1
n nn
5.7
1 13ln13
1
n nn
5.8
15 )12(ln)12(
1
n nn
5.9
13 )15(ln)15(
1
n nn
5.10
13 53ln53
1
n nn
5.11
13 2 )12(ln)12(
1
n nn
5.12
12 )55(ln)55(
1
n nn
5.13
13 2 15ln15
1
n nn
5.14
14 )3(ln)3(
1
n nn
5.15
13 4 )4(ln
1
n nn
5.16
15 23ln23
1
n nn
5.17
13 )122(ln)122(
1
n nn
5.18
13 )5(ln
1
n nn
5.19
14 12ln12
1
n nn
5.20
14 )2ln()2(
1
n nn
5.21
17 )17(ln)17(
1
n nn
5.22
212ln
1
n nn
5.23
18 )6(ln)6(
1
n nn
5.24
13 4 )4(ln)4(
1
n nn
5.25
3 32ln32
1
n nn
5.26
13 5 )11(ln)11(
1
n nn
5.27
13 )15(ln)15(
1
n nn
5.28
16 5ln5
1
n nn
5.29
13 6 )12(ln)12(
1
n nn
5.30
15 )35(ln)35(
1
n nn
Задание 6. Исследовать на условную или абсолютную сходимость
знакочередующиеся ряды.
6.1
12)13(
)1(
n
n
n
6.2
13
1
13
)1(
n
n
n
6.3
1 5
)1(
n
n
n
56
6.4
2 )2)(1(
)1(
n
n
nn
6.5
1 )33()12(
1
n
n
nn
n
6.6
1 12
)1(
n
n
n
n
6.7
12 5
2)1(
n
n
n
n
6.8
1 )13(
1
n
n
n
n
6.9
1 3
51
nn
nn
6.10
1 15
1
n
n
n
6.11
1 3
1
nn
n
6.12
1 )13(
1
n
n
n
6.13
13
1
)2(
1
n
n
n
6.14
15)15(
1
n
n
n
6.15
1 6
21
nn
nn
6.16
1 )1(
1
n
n
n
6.17
2 ln
1
n
n
n
6.18
1 5
21
nn
nn
6.19
1 57
1
n
n
nn
6.20
1 )!1(
21
n
nn
n
6.21
13)12(
1
n
n
n
6.22
12 )12(
1
n
n
n
6.23
1 )12ln(
1
n
n
n
6.24
15
1
n
n
n
6.25
1 )1ln(
1
n
n
n
6.26
1 5
2
nn
n
6.27
1 10
2
nn
n
6.28
12 )12(
1
n
n
nn
6.29
1 )!1(
61
n
nn
n
6.30
13 2)12(
1
n
n
n
Задание 7. Дан степенной ряд
1
0
n
n
n xxa . Найти радиус и интервал
сходимости ряда.
7.1
1 )2ln(
1
nn
n
n
x
7.2 n
n
n
xn
n3
4
1
1
3
7.3 n
n
n
xn
1sin1
2
3
7.4
12
2
)2(437
3
n
n
n
xnn
n
7.5
n
n
n
xn
n12
31
3
7.6 n
n
n
xn
n)12(
12
23
1
2
7.7
1 148
)3(7
n
nn
n
x
7.8 n
nn
x
1 3
1arcsin
7.9 n
n
n
nxtg )1(
51
3
7.10 n
nn
xn
n)1(
3)1(1
57
7.11 n
n
xn
n)15(
!
12
1
7.12
nn
nx
n13
5
)10(
1
3
7.13 n
n
xn
n
1 !
12
7.14
23
1
1
)1(4
n
nn
n
x
7.15 n
n
n
xn
)2()12(
5
1
7.16
n
nnx
n 2
1 2
3
7.17
213
)!3(
nn
nxn
7.18 n
n
xn
)14(13
1
1
53
7.19
1
2
)1(
3
n
nn
n
x
7.20 n
n
xn
n)5(
)33(
12
1
7.21
1 7)16(
)5(
nn
n
n
x
7.22 n
nn
xn
)12(2
77
1
7.23 n
n
n
xn
)3()13(
5
12
7.24
n
n
xn
)32(13
1
1
53
7.25
12
2
)2(2
)1(
nn
n
n
xn
7.26 n
n
xn
n
1 )33(
12
7.27
1 3n
n
nx
n
7.28
13
)25(13n
n
n
xn
n
7.29 n
nn
xtg )1(61
7.30
1 149
)32(3
nn
nn
n
x
Задание 8. Вычислить сумму ряда с точностью α=0,001.
8.1
8.2
8.3
,
8.4
8.5
8.6
8.7
,
8.8
8.9
8.10
,
8.11
8.12
58
8.13
8.14
,
8.15
8.16
8.17
8.17
,
8.19
8.20
8.21
,
8.22
8.23
8.24
8.25
8.26
8.27
8.28
,
8.29
8.30
Задание 9. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию f(x) с
периодом w=2l, заданную в указанном интервале.
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6
j
9.7
9.8
9.9
9.10
9.11
9.12
9.13 9.14 9.15
59
9.16
9.17
9.18
9.19
9.20
9.21
9.22
9.23
9.24
9.25
9.26
9.27
9.28
9.29
9.30
Задание 10. Используя разложение подынтегральной функции в
степенной ряд, вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.
10.1
10.2
10.3
10.4
10.5
10.6
10.7
10.8
10.9
10.10
10.11
10.12
10.13
10.14
10.15
10.16
10.17
10.18
10.19
10.20
10.21 10.22 10.23 10.24 10.25
60
10.26
10.27
10.28
10.29
10.30
Задание 11. Найти область сходимости ряда.
11.1 11.2 11.3 11.4
11.5 11.6 11.7 11.8
11.9 11.10
11.11
11.12
11.13 11.14 11.15 11.16
11.17 11.18 11.19 11.20
11.21 11.22 11.23
11.24
11.25 11.26 11.27 11.28
11.29 11.30 11.31 11.32
Методические указания к решению заданий РГР№3.
Задание 1. Для ряда
1 3)12(
1
nnn
:
а) составить формулу общего члена ряда nu и написать первые пять
членов;
б) записать n-ую частичную сумму ряда nS ;
в) записать остаток ряда nr ;
г) проверить необходимое условие сходимости ряда.
61
Для числового ряда
1
,n
nu где ип R ( n = 1, 2, …),
n
k
kn uS1
– частичная сумма ряда,
1nk
kn ur – остаток ряда.
Ряд сходится, если существует конечный предел.
n
k
kn
nn
uSS1
,limlim в противном случае – ряд расходится и число S
называется суммой ряда.
Если ряд сходится, то выполняется необходимый признак сходимости
ряда: 0lim
пn
и ; если ,0lim
пn
и то ряд расходится.
Решение: а) nnn
u3)12(
1
;
...39
1
37
1
35
1
33
1
31
1
3)12(
15432
1
nnn
;
б) по определению: nS – n-ая частичная сумма ряда – равна сумме
первых n слагаемых ряда, т.е.
n
k
kn uS1
, поэтому
nn
nS
3)12(
1...
39
1
37
1
35
1
33
1
31
15432
n
kkk1 3)12(
1;
в) по определению: nr – остаток ряда – является рядом, полученным из
исходного, без первых n слагаемых, т.е.
1nk
kn ur , поэтому
1 3)12(
1
nkkn
kr ;
г) 03)12(
1limlim
nnn
n nu , необходимое условие сходимости ряда
выполнено, но вывод о сходимости данного ряда сделать нельзя.
Задание 2. Сравнить с рядом Дирихле
1
1
npn
, т.е. найти параметр p, и
исследовать на сходимость ряд
12
2
)1()12(
1
n nn
n.
62
Второй признак сравнения: рассмотрим ряды
1
,n
nu
1n
nv . Если
существует Av
и
п
n
n
lim (где А ≠ 0, А ≠ ∞), тогда ряды
1
,n
nu и
1
,n
nv
одновременно сходятся или одновременно расходятся.
Для сравнения берется ряд Дирихле
11
1
np
n
nn
v , сходимость
которого зависит от параметра p (при 1p ряд сходится, при 1p -
расходится). Для применения признака сравнения необходимо найти
параметр p и сделать соответствующий вывод.
Решение: )1()12(
12
2
nn
nun , то максимальная степень числителя nu
равна 2, а степень знаменателя nu равна 3, тогда 1
1123
nvp n .
Следовательно, ряд
11
1
nn
nn
v - расходящийся. Так как
constnn
nn
n
nn
n
v
u
nnn
n
n
2
1
)1()12(
)1(lim
1
)1()12(
1
limlim2
22
2
, то ряд
- тоже также расходящийся.
Задание 3. Исследовать на сходимость ряд
1 )!12(
3
n
n
n с помощью
признака Даламбера.
Признак Даламбера можно применять, если общий член ряда ип
содержит показательную функцию или факториалы.
Достаточный признак сходимости Даламбера: если существует предел
,lim 1 lи
и
п
n
n
то при l 1 ряд сходится; при l 1 ряд расходится; при l = 1
признак не применим.
Решение: для данного ряда )!12(
3
nu
n
n , )!32(
3 1
1
n
un
n . По признаку
Даламбера имеем:
12
2
)1()12(
1
n nn
n
63
,10)32()22(
3lim
3)!32(
)!12(3lim
)!12(
3
)!32(
3
limlim1
1
1
nnn
n
n
n
u
u
nn
n
nn
n
nn
n
n
следовательно, ряд сходится.
Задание 4. Исследовать на сходимость ряд
1 )13(
5
nn
n
n с помощью
радикального признака Коши.
Радикальный признак Коши: если предел существует ,lim lипп
n
то
при l 1 ряд сходится; при l 1 ряд расходится; при l = 1 признак не
применим.
Решение: для данного ряда .)13(
5n
n
nn
u
имеем:
,10)13(
5lim
)13(
5limlim
nnи
n
nn
n
n
пп
n
следовательно, ряд расходится.
Задание 5. Исследовать на сходимость ряд
1 12ln12
1
n nn с
помощью интегрального признака Коши.
Интегральный признак Коши: пусть члены ряда
1
,n
nu положительны и
не возрастают, т.е. u1 u2 u3 … , и f (x) – такая непрерывная не
возрастающая функция, что
f (1) = u1, f (2) = u2 , …, f (п) = uп .
Тогда ряд
1
,n
nu и несобственный интеграл
1
)( dxxf одновременно
сходятся или расходятся.
Решение: для
)12ln()12(
1
nnun
)12ln()12(
1)(
xxxf
3ln112
1
;3ln1
)12(
2)12ln(
)12ln()12(
1)(
t
dt
txtx
dxx
dtxtdx
xxdxxf
,3lnlnln2
1ln
2
1
3ln
t
64
т.е. несобственный интеграл
1
)12ln()12(
1dx
xx расходится.
Следовательно, и исходный ряд
1 12ln12
1
n nn тоже расходится.
Задание 6. Исследовать на условную или абсолютную сходимость
знакочередующиеся ряды: а)
.
)2(
1
1 3
5
n
n
n
; б)
15 2
1
)1(
1
n
n
n; с)
1 )14(
1
n
n
n
n.
Ряд
1
11
4321 ,)1(...)1(...n
n
n
n
n uuuuuu где uп 0
(п = 1, 2, …) – называется знакочередующимся.
Признак сходимости знакочередующихся ряда
1
1 ,)1(n
nn u по
Лейбница:
1) u1 u2 u3 … - если члены ряда монотонно убывают;
2) ,0lim
пn
и то ряд
1
1 ,)1(n
nn u сходится, и его сумма
положительна и меньше u1.
Если сходится ряд
1n
nu , то ряд
1
1 ,)1(n
nn u называется абсолютно
сходящимся; если же ряд
1
1 ,)1(n
nn u сходится, а ряд
1n
nu расходится, то
ряд
1
1 ,)1(n
nn u называется условно сходящимся. Поэтому при
исследовании на условную или абсолютную сходимость возможны три
варианта: ряд сходится абсолютно; или ряд сходится условно; или ряд
расходится.
Решение:
65
а) исследуем ряд
.
)2(
1
1 3
5
n
n
n
на абсолютную сходимость, где ряд по
модулю
.
)2(
1
)2(
1
1 1 3
5
3
51
n n
n
n
n
nn
u – сходится; так как 13
5p , то
исходный ряд
1 3
51
)2(
1
n
n
n
n
n
u – сходится абсолютно;
б) рассмотрим ряд по модулю
15 2
1
)1(
1
n
n
n:
.
)1(
1
)1(
1
1 1 5
25 2
1
1
n n
n
n
n
nn
u , который при сравнении с
1
1
npn
-
рядом Дирихле ( 15
2p ) – расходится. Следовательно, исходный ряд не
может сходиться абсолютно.
Проверим выполнение условий Лейбница:
1) ...4
1
3
1
2
1
5 25 25 2 . 2) .0
)1(
1lim
5 2
nn
Они выполняются, следовательно, исходный ряд сходится условно;
в) для
1 )14(
1
n
n
n
n проверим выполнение условий Лейбница:
1) ...11
3
7
2
3
1 . 2) ,0
4
1
14lim
n
n
n
где для исходного ряда не выполняется второе условие Лейбница.
Следовательно, исходный ряд расходится.
Задание 7. Найти радиус и интервал сходимости для ряда:
а) nn
n
xn
n53
2
4
1
; б) n
nn
xn
)15(5
1
1
2
.
Радиус сходимости степенного ряда
1
0
n
n
n xxa находится по одной
из двух формул:
1
lim
п
n
n a
aR или ,
1lim
nn
n aR
66
Интервал сходимости ряда
1
0
n
n
n xxa определяется из неравенства
Rхx 0 .
Решение:
а) приведем данный ряд к стандартному виду: n
n
n
nn
n
n
xn
nx
n
n
3
53
2
4)53(
2
4
11
.
Для полученного ряда
n
n
n
nn
n
n
na
2
)4(33
2
4, .
3
50 x
Поэтому радиус сходимости ряда находим по формуле:
1 1 2 2lim lim lim .
3 ( 4) 33 ( 4)
2
nn n nnn
n
nR
na n
n
Интервал сходимости ряда:
3
2
3
5x
3
2
3
5
3
2 x
3
5
3
2
3
5
3
2 x
3
71 x ;
б) приведем данный ряд n
nn
xn
)15(5
1
1
2
к стандартному виду:
.5
1)1(
5
1
5
5)1()15(
5
1
1 1
22
1
2
n n
nn
n
nn
nn
xnxn
xn
Для полученного ряда: )1( 2 nan , .5
10 x
Поэтому радиус сходимости и интервал сходимости ряда находим: 2 2 2
2 2 2
1
1 1lim lim lim 1;
( 1) 1 2 2
n
n n nn
a n n nR
a n n n n
15
1x 1
5
11 x ;
5
11
5
11 x
5
4
5
6 x .
67
Задание 8. Вычислить сумму ряда
1
2 2
1)1(
nn
n
n с точностью .
Решение: так как ряд знакочередующийся и сходящийся, то n-ая
частичная сумма ряда Sn является приближением к его сумме S с
абсолютной погрешностью α:
k
nknn SaSrSS .
Вычислим несколько последовательных первых членов этого ряда:
naaa ,...0625.0,5.0 21 , т.е. до тех пор, пока не получим член
an абсолютной величине меньший указанной точности. В нашем случае это
.000434.026
16261 aan
.049.0800
1
256
1
75
10625.05.05 SS
Задание 9. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию:
.42,2
20,1)(
x
xxf
Решение: для определения коэффициентов Фурье воспользуемся
формулами:
la
a
n
la
a
n
la
a
dxl
xnxf
lb
dxl
xnxf
la
dxxfl
a
2
2
2
0
,)sin()(1
;)cos()(1
;)(1
где a=0, a+2l=4, тогда половина периода - l=(4-0)/2=2.
Получим:
68
;02
4)
2sin(
1
0
2)
2sin(
2
1
)2
cos()2(2
1)
2cos()1(
2
1
;1)24(2
1)02(
2
1)2(
2
1)1(
2
1)(
2
1
2
0
4
2
4
0
2
0
4
2
0
nx
n
nx
n
dxxn
dxxn
a
dxdxdxxfa
n
).1)1((2
3)cos2(cos
1))0cos)(cos(
2
1
2
4)cos(
2
4
0
2)cos(
2
2
)2
sin()2(2
1)
2sin()1(
2
14
2
2
0
n
n
nnn
nn
n
nxn
nxn
dxxn
dxxn
b
Подставляя найденные коэффициенты в формулу
),sin()cos(2
)(1
0
l
xnb
l
xna
axf n
n
n
где l=2, получим искомое
разложение:
1
).2
)(sin(1)1((2
3
2
1)(
n
n nx
nxf
Задание 10. Вычислить
21
041
1
x с точностью до 0,00001
Решение: разложим подынтегральную функцию в биномиальный ряд:
nm tn
nmmmt
mmmt
mmmtt
!
)1()1(
!3
)2)(1(
!2
)1(1)1( 32
полагая в нем замену .2
1,4 mxt
,222
531
!3
1
22
31
!2
1
2
111
1
1 12842
14
4
xxxx
x
69
этот ряд сходится при 1x . Почленно проинтегрируем этот ряд в пределах
от 0 до 0,5:
.213
1
222
531
!3
1
92
1
22
31
!2
1
252
1
2
1
0
5.0
13222
531
!3
1
922
31
!2
1
52
1
222
531
!3
1
22
31
!2
1
2
11
1
1
1395
1395
5.0
0
12845.0
04
xxxx
dxxxxdxx
Получили знакочередующийся ряд, сумму которого нужно найти с
точностью до 0,0001. Вычислим несколько последовательных первых членов
этого ряда: .00008.0;00313.0;5.0 321 aaa Так
как 00001.03 a то, согласно свойству знакочередующихся сходящихся
рядов, имеем:
.4969,000313,05,0252
1
2
1
252
1
2
1
1
155
5.0
04
dxx
Задание 11. Найти область сходимости функционального ряда
.)15(5
1
1
n
nn
xn
Решение: вначале, вычисляется радиус и интервал сходимости:
;5
4
5
615515515
,5lim51
lim551
limlim
;51
1;
5
1
1
11
xxx
n
n
n
n
n
n
a
aR
na
na
nnnn
n
n
nnnn
а) при 5
4x получается числовой ряд
1
1
n n, который исследуется на
сходимость по признаку сравнения (2
1p ) с рядом Дирихле
1 21
1
n n -
расходится. Поэтому, значение 5
6x не входит в область сходимости ряда;
70
б) при 5
6x получим ряд
1
)1(
n
n
n. Он сходится условно, так как
выполняются условия признака Лейбница: .01
)2;3
1
2
1
1
1)1
n
Limn
Следовательно, 5
6x входит в область сходимости ряда.
Таким образом, )5
4;
5
6[x - область сходимости ряда
n
nn
xn
)15(5
1
1
.
Список литературы
1 Хасеинов К.А. Каноны математики. 2003.
2 Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые
расчеты). – М.: Высшая школа, 2008. –176 с.
3 Данко П.Е., и др. Высшая математика в упражнениях и задачах.
ч.1,2. 2003.
4 Сборник задач по математике для втузов. Ч. 2. Специальные
разделы математического анализа /Под ред. А.В. Ефимова и Б.П.
Демидовича. – М.: Наука, 2002– 368 с.
5 Нурпеисов С.А., Ултаракова Г.А. Математика 2. Конспект
лекций. Для студентов всех специальностей. - Алматы: АУЭС,-2013. 50 с.
6 Индивидуальные задания по высшей математике: Комплексные
числа. Неопределенные и определенные интегралы. Функции нескольких
переменных. Обыкновенные дифференциальные уравнения ч. 2: Учеб.
пособие /под ред. А.П. Рябушко – Мн.: Выш.шк., 2007. - 396 с. 7 Индивидуальные задания по высшей математике: Ряды. Кратные и
криволинейные интегралы. Элементы теории поля Ч. 3: Учебн. пособие /под
ред. А.П. Рябушко – Мн.: Выш.шк., 2007.- 351 с.
8 Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: В 3 ч.
/А.П. Рябушко, В.В. Бархатов и др./Под редакцией А.П. Рябушко.–Минск:
Вышэйшая школа, 2007.–Ч.3.–351 с.
9 Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1
часть. – М.: Рольф, 2007. – 288 с.
10 Базарбаева С.Е., Толеуова Б.Ж. Математика 2. Методические
указания и задания к РГР для специальностей 5В071700, 5В071800,
5В071900. Часть 2. – Алматы: АУЭС, 2014 – 26 с.
11 Мустахишев К.М., Ералиев С.Е., Атабай Б.Ж. Математика.
Полный курс. Алматы, 2009. – 450 с.
71
Содержание
Введение…………………………………………………………………… 3
Расчетно-графическая работа № 1. Дифференциальное и
интегральное исчисление функции нескольких переменных……..…...
3
Теоретические вопросы…………………………………………………... 3
Расчетные задания………………………………………………………... 3
Методические указания к решению заданий РГР№1…………………... 17
Расчетно-графическая работа № 2. Дифференциальные
уравнения……………………………………………………….………….
26
Теоретические вопросы…………………………………………………… 26
Расчетные задания………………………………………………………... 27
Методические указания к решению заданий РГР№2………………....... 47
Расчетно-графическая работа № 3. Ряды………………………………… 47
Теоретические вопросы………………………………………………...… 47
Расчетные задания………………………………………………………... 47
Методические указания к решению заданий РГР№3…………………... 56
Список литературы……………………………………………………….. 66