数 学 活 用 能 力 検 査Mathematics Academic Performance Test

注　　　意

1 　問題は 1 から 4 までです。日本語の問題は1ページから4ページまでです。

2 　日本語の問題と英語の問題は同じ内容です。

3 　検査時間は50分です。

4 　声を出して読んではいけません。

5 　必ず出願時に申請した言語で答えなさい。それ以外の言語で答えた場合は，採点の

対象となりません。

6 　受検番号を解答用紙の決められた欄に記入しなさい。

7 　答えに分数が含まれるときは，それ以上約分できない形で表しなさい。

8 　答えに根号が含まれるときは，根号を付けたまま，分母に根号を含まない形で表し

なさい。また，根号の中は最も小さい整数にしなさい。

9 　答えを直すときは，きれいに消してから，新しい答えを書きなさい。

10　答えは全て解答用紙の決められた欄に明確に記入し，解答用紙だけを提出しなさい。

Instructions

1 Answer all questions in sections 1 to 4 . The mathematics test written in English

is from page five to page eight.

2 The contents of both tests are the same in Japanese and English.

3 The examination duration is 50 minutes.

4 Do not read anything aloud.

5 Be sure to answer in the language for which you applied. If you answer in other

languages, your answer sheet will not be marked.

6 Write your examinee number in the designated space.

7 If any fraction appear in a solution, write the solution in a fully simplified form.

8 If any radicals appear in a solution, write the solution with the radicals but do not

include any radicals in the denominator. Additionally, leave the smallest possible

integer inside the radicals.

9 If you change answers, erase the original answers neatly, and write the new answers.

10 Write clearly all your answers in the designated spaces on the answer sheet, and submit

only the answer sheet.

（29－4月国際IB）

次の各問に答えよ。

〔問 1 〕（ 12 － 2 ）（ 3 －

13 ）　を計算せよ。

〔問 2 〕 連立方程式　x2 ＋ y

6 ＝ 0

4x－ y3 ＝ 5

　を解け。

〔問 3 〕 二次方程式　2（x ＋ 1）2＝－（x＋ 1）　を解け。

〔問 4 〕 袋の中に，白玉が 3 個，黒玉が 1 個，赤玉が 1 個，合わせて 5 個の玉が入っている。

この袋の中から同時に 2 個の玉を取り出すとき，取り出した玉の色が異なる確率を求

めよ。

ただし，どの玉が取り出されることも同様に確からしいものとする。

〔問 5 〕 右の図で，四角形ABCDはひし形である。四角形

PQRSは，頂点P，頂点Q，頂点R，頂点Sが，それぞ

れ四角形ABCDの辺AB，辺BC，辺CD，辺DA上に

あり，PQ：QR＝ 1：2 の長方形である。

解答欄に示した図をもとにして，四角形PQRSを

定規とコンパスを用いて作図し，4 つの頂点P，Q，R，S

の位置を示す文字P，Q，R，Sも書け。

ただし，作図に用いた線は消さないでおくこと。

1

A

B

C

D

P

Q R

S

― 1 ―

右の図 1 で，点Oは原点，曲線ℓは

関数 y＝ ax2（a ＞ 0）のグラフを表している。

点A，点Bはともに曲線ℓ上にあり，点Aと点B

の x 座標は，それぞれ s（s ＜ 0），t（t ＞ 0）である。

原点から点（1，0）までの距離，および原点から

点（0，1）までの距離をそれぞれ 1 cm として，次の

各問に答えよ。

〔問 1 〕 点Aの座標が（－ 2，1），点Bの y 座標が 4 のとき，t の値を求めよ。

〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，関数 y＝－ x2 の

グラフを曲線 m とし，曲線 m 上に点Cをとり，

点Aと点B，点Aと点C，点Bと点Cをそれぞれ結び，

線分BCと x 軸との交点をD，線分ACと y 軸との

交点をEとした場合を表している。

s＝－ 4 のとき，次の（1），（2）に答えよ。

（1）　点Cの x 座標を 2 とし，2 点A，Bを通る直線

が x 軸と平行な場合を考える。

2 点A，Cを通る直線の傾きが－ 1 となるとき，

点Dの座標を求めよ。

ただし，解答欄には，答えだけでなく，答えを

求める過程が分かるように，途中の式や計算

なども書け。

（2）　右の図 3 は，図 2 において，a＝ 59 ，点Cの

x 座標が 3 の場合を表している。

点Dの x 座標が 3 となるとき，点Bと点Eを結んで

できる， AEBの面積は何cm2 か。

2

図 2

y

x

ℓ

A B

DEC

m

O

図 3

y

x

ℓ

A

BD

E

Cm

O

図 1

y

x

ℓ

A

B

O

― 2 ―

右の図 1 において， ABCは，AB＝ 1 cm，

AC＝ 2 cm，∠BAC＝ 90°の直角三角形であり，

PABは，AP＝ABの二等辺三角形である。

点Pは直線ABに対して点Cと反対側にある

ものとする。

PA BCのとき，次の各問に答えよ。

〔問 1 〕 図 1 において，∠APBの大きさを a°とするとき，∠ACBの大きさを a を用いた式で表せ。

〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，頂点Aから

辺BCに引いた垂線と，辺BCとの交点を

Qとした場合を表している。

次の（1），（2）に答えよ。

（1）　 ABQ ∽ CAQであることを証明せよ。

（2）　四角形APBQの面積は何 cm2 か。

3 図 1

A

B C

P

図 2

A

B Q C

P

― 3 ―

右の図 1 に示した立体 O－ ABCD は，底面 ABCD が

1 辺の長さ12 cm の正方形で，OA＝OB＝OC＝OD＝ 10 cm

の正四角すいである。

辺 OC の中点を M，辺 OD の中点を N とする。

点Pは，頂点Oを出発し，辺OA上を毎秒 1 cm の速さで

後戻りせずに頂点Aに向かう。

点Qは，点Pと同時に頂点Oを出発し，辺OB上を毎秒

1 cm の速さで後戻りせずに頂点Bに向かう。

点Mと点N，点Mと点Q，点Nと点P，点Pと点Qを

それぞれ結ぶ。

このとき，次の各問に答えよ。

〔問 1 〕 点Pと点Qが頂点Oを同時に出発してから 5 秒後のとき，四角すいO－PQMNの

体積Vと立体PQMN－ABCDの体積Wの比を最も簡単な整数の比で表せ。

〔問 2 〕 右の図 2 は，図 1 において，点Pと点Qが頂点O

を同時に出発してから 10 秒後の場合を表している。

四角形PQMNの面積は何 cm2 か。

ただし，解答欄には，答えだけでなく，答えを

求める過程が分かるように，途中の式や計算なども

書け。

〔問 3 〕 点Pは頂点Aに到着したあと，辺AB上を毎秒 2 cm の速さで後戻りせずに頂点Bに向

かい，点Qは頂点Bに到着したあと，辺BC上を毎秒 x cm の速さで後戻りせずに頂点C

に向かうものとする。

このとき 2 点P，Qが頂点Oを同時に出発してから 12 秒後における線分PQと

線分QMの長さの和（PQ＋QM）の値が最も小さくなるような，点Qの速さ x の値を求

めよ。

ただし，0 ＜ x ＜６とする。

4 図 1

M

DC

A

B

O

P N Q

図 2

M

DC

A

B（Q）

O

N

（P）

― 4 ―

Answer the following questions.

〔Question 1 〕 Simplify （ 12 － 2 ）（ 3 －

13 ）

〔Question 2 〕 Solve the simultaneous equations x2 ＋ y

6 ＝ 0

4x － y3 ＝ 5

for x and y.

〔Question 3 〕 Solve the quadratic equation 2（x ＋ 1）2 ＝－（x ＋ 1） for x.

〔Question 4 〕 There are five balls in a bag : three white balls, one black ball and one red ball.

Pick two balls at once.

Find the probability that the balls picked are different colors, assuming each ball

is equally likely to be drawn.

〔Question 5 〕 The figure on the right shows the quadrilateral ABCD

which is rhombus. The quadrilateral PQRS has

vertices P, Q, R and S on sides AB, BC, CD and DA of

quadrilateral ABCD, respectively, and is rectangle with

PQ : QR ＝ 1 : 2.

Using the figure shown on the answer sheet,

construct quadrilateral PQRS, and label the four vertices

P, Q, R and S with the letters P, Q, R, and S.

Use a ruler and a compass to construct the answer.

Do not erase the lines you have drawn in the process

of your construction.

1

A

B

C

D

P

Q R

S

― 5 ―

Figure 1 on the right shows a graph where the curve ℓ

represents the function y ＝ ax2 （a ＞ 0）. The point O

represents the origin of the graph.

Points A and B both lie on curve ℓ with

x-coordinates s （s ＜ 0） and t （t ＞ 0） respectively.

Assume the distance between the origin and the

point （1, 0）, and the distance between the origin and the point （0, 1）,

are both 1 cm.

Answer the following questions.

〔Question 1 〕 Find the value of t when the coordinates of point A are （－2, 1） and the y-coordinate of point B

is 4.

〔Question 2 〕 Figure 2 on the right shows the case in Figure 1

where the curve m represents the function y ＝－x2.

Let point C be a point on curve m. Connect

points A and B, points A and C, and points B and C.

Let the intersection of line segment BC and the

x-axis be D, and the intersection of line segment AC

and y-axis be E.

Consider the case where s ＝－4.

Answer （1）and （2）.

（1） Consider the case where the x-coordinate of

point C is 2 and the line which passes through points A

and B is parallel to thex-axis.

Find the coordinates of point D when the slope of the

line which passes through points A and C is －1.

You must show your working in the answer space.

（2） Figure 3 on the right shows the case in Figure 2

where a＝59

and the x-coordinate of point C is 3.

Consider the case where the x-coordinate of point D

becomes 3.

Connect points B and E.

Find the area of triangle AEB.

2

Figure 2

y

ℓ

A B

DE

C

m

O x

Figure 3

y

x

ℓ

A

BD

E

Cm

O

Figure 1

y

x

ℓ

A

B

O

― 6 ―

Figure 1 on the right shows a right-angled

triangle ABC where AB ＝ 1 cm, AC ＝ 2 cm, and

angle BAC ＝ 90°. Triangle PAB is an

isosceles triangle where AP ＝ AB and sides PA

and BC are parallel.

Assume point P is located opposite to point C

with respect to line AB.

Answer the following questions.

〔Question 1 〕 Consider the case in Figure 1 where the magnitude of angle APB is a°.

Find the magnitude of angle ACB in terms of a.

〔Question 2 〕 Figure 2 on the right shows the case in

Figure 1 where a perpendicular line to

side BC is drawn from vertex A.

Let Q be the intersection of side BC and

the perpendicular line.

Answer （1）and （2）.

（1） Prove triangle ABQ is similar to triangle CAQ.

（2） Calculate the area of quadrilateral APBQ.

3 Figure 1

A

B C

P

Figure 2

A

B Q C

P

― 7 ―

Figure 1 on the right shows the

square pyramid O-ABCD where base ABCD is a

square with 12 cm sides and OA ＝ OB ＝ OC ＝ OD ＝10 cm.

Let points M and N be the midpoints of sides OC

and OD respectively.

Starting from vertex O, point P moves along side OA

towards vertex A and point Q moves along side OB towards

vertex B at a speed of 1 cm per second without retracing their

original paths.

The points P and Q start moving at the same time.

Connect points M and N, points M and Q, points N and P,

and points P and Q.

Answer the following questions.

〔Question 1 〕 Let V be the volume of quadrilateral pyramid O-PQMN and W be the volume of

solid PQMN-ABCD, 5 seconds after the departure of points P and Q from vertex O.

Calculate the ratio of V to W in its simplest from.

〔Question 2 〕 Figure 2 on the right shows the case in Figure 1,

10 seconds after the departure of points P and Q from

vertex O.

Calculate the area of quadrilateral PQMN.

You must show your working in the answer space.

〔Question 3 〕 After points P and Q have reached vertices A and B respectively, point P moves along side

AB toward vertex B at a speed of 2cm per second without retracing its original path. Meanwhile,

point Q moves along side BC toward vertex C at a speed of x cm per second, 0 ＜ x ＜ 6, without

retracing its original path.

Assume 12 seconds have passed since the departure of points P and Q from vertex O.

Find the value of x which gives the minimum length for the sum of PQ and QM.

4 Figure 1

M

DC

A

B

O

P NQ

Figure 2

M

DC

A

B（Q）

O

N

（P）

― 8 ―