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日本の神聖な幾何学フィゲロア・オファリル ホセ ミゲル
数学科
2013年12月5日 ムルシア大学
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La geometría sagrada del Japón
José Miguel Figueroa O’Farrill School of Mathematics
5 - XII - 2013 Universidad de Murcia
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El contexto histórico
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Período Edo (1600-1868)
Tokugawa Ieyasu (1543 - 1616)
Tokugawa Yoshinobu (1837 - 1913)
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Hasekura Tsunenaga (1571 - 1622)
alias Francisco Felipe Faxicura
Durante las primeros años del shogunato Tokugawa mandó Japón embajadas a Europa y América…
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Tokugawa Iemitsu (1604 - 1651)
鎖 国
(Sakoku)
Desde los 1630s hasta 1853, Japón estuvo prácticamente cerrado: ningún ciudadano podía entrar o salir del país, bajo pena de muerte.
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出 島
(Dejima)
Aunque hubo excepciones…
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El renacimiento japonés
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歌 舞 伎
(Kabuki)
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文 楽
(Bunraku)
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浮 世 絵
(Ukiyo-e)
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春 画
(Shunga)
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生 け 花
(Ikebana)
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茶 道(Sadō)
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俳 句(Haiku)
Matsuo Bashō (1644 - 1694)
ふ る い け や
か わ ず と び こ む
み ず の お と
un viejo estanque, se zambulle una rana, murmura el agua
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算 額
(Sangaku)
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La religión en Japón
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仏 教
(Bukkyō)
• Se importó de China en el siglo VI • Impulsó el uso de los kanji • Era la religión preferida de los samurai
y en particular de los Tokugawa • Se profesa en templos (寺) • Es la religión de los grandes
acontecimientos: bodas, funerales,…
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神 道
(Shintō)• Basada en el animismo japonés • “Ocho millones” de kami (神) • Se profesa en santuarios (神社) • Religión del “día a día” • En la restauración Meiji se convierte en
la religión oficial del Japón
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Existe una tradición de colgar tablas debajo de los aleros de los tejados en templos y santuarios.
Eran típicas las tablas con caballos : animales relativamente raros y agradables a los kami.
Durante el período Edo los caballos empezaron a ser sustituidos por sangaku.
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Sangaku en términos generales :
• 880 sangaku sobreviven • Cientos más se conocen gracias a crónicas y libros
que se publican durante el período Edo • El primer sangaku que se conoce data de 1668 • El más antiguo de los existentes data de 1683 • Unas 2/3 partes están colgados en santuarios y el
resto en templos budistas, distribuidos de manera uniforme por la geografía japonesa
• La primera colección se publica en 1789 • En la mayoría de los casos, un mismo sangaku
contiene varios problemas y la decoración es muy colorida
• Hay problemas geométricos, de cálculo infinitesimal y diofánticos
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Algunos problemas típicos
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Hay problemas para todas las edades y habilidades.
En un campo triangular se quiere hacer un camino en forma de T de un ancho constante. Determinar el camino que divide el campo en tres parcelas de igual superficie.
40
30
2
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B C
Dos círculos tangentes entre sí son también tangentes a una misma recta en puntos B y C. Un tercer círculo es tangente a ambos círculos y a la misma recta.Fijemos B y C pero variemos los radios de los dos primeros círculos de tal manera que sigan siendo tangentes entre sí. Demostrar que existe un círculo fijo que pasa por B y C y es tangente al tercer círculo internamente.
(Miyagi, ?, perdido)
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¿Cómo están relacionados los radios de los círculos?
(Miyagi,1913, existe)
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12
34
Determinar el radio del enésimo círculo en función de los radios de los dos primeros.
(Tōkyō, 1789, perdido)
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Este problema conduce de manera natural a los círculos de Ford :
0 1
½¼ ⅔⅓ ¾
Pero no hay evidencia de ellos en el período Edo.
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El incentro del triángulo formado por dos tangentes a un círculo yace en el círculo.
(Ibaraki, 1896, perdido)
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Los círculos verdes tienen el mismo radio.
(Aichi, 1842, perdido)
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¿Cuál es la relación entre el radio de los círculos pequeños y el círculo grande?
(Miyagi, 1826, perdido)
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1
2
3
4
5
6
Expresar el radio del enésimo círculo (n≥4) en función de los radios de los tres primeros.
(Fukushima, 1852, existe?)
et cetera
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2
1
34
56
7
Demostrar que
(Gunma, 1814, existe)
Hoy lo resolvemos fácilmente usando inversión, pero ese método no existía en Japón durante el período Edo.
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No todos los problemas son geométricos. También los hay diofánticos.
(Fukui, 1807,existe)
El sangaku también da el resultado para enteros arbitrarios. La solución requiere resolver una ecuación de grado 49!
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和 算
y洋 算
(Wasan) (Yōsan)
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René Descartes (1596 - 1650)
Isabel de Bohemia (1618 - 1680)
Epistolario 1643-1650
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En una carta de noviembre de1643, Descartes habla de una solución elegante de Isabel a un problema geométrico que él propuso.
(k1 + k2 + k3 + k4)2 = 2(k21 + k22 + k23 + k24)
Dados tres círculos, cada uno tangente a los otros dos, calcular el radio de un cuarto círculo tangente a los tres primeros. 1
23
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Un caso especial de este teorema es cuando uno de los círculos es una recta.
1
2
3
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Sanen Bōsha (三円傍斜)
Calcular ℓ en función de los radios a, b, c y d=|DE|.
Este teorema aparece en un sangaku y la solución usa un problema famoso en su época.
D
E
d
`
aa
b
c
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El teorema fue re-descubierto en 1936 por Frederick Soddy*, quien lo publicó en la revista Nature.
* Premio Nobel de Química en 1921. Acuñó las palabras “isótopo” y “reacción en cadena”.
El poema también generaliza a 3 dimensiones :
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Pero la generalización ya aparece en un sangaku del santuario de Samukawa (Kanagawa) en 1822!
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Un problema no resuelto
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Expresar el radio r del círculo en función de los semiejes a y b de la elipse.
— Sawa Masayoshi (1821)
c
r
b
a
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4 5 6 7 8 9 10aêb0
5
10
15
cêb
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終