数学 navi テキスト 中学2年 第6章 定理と証明 · 例題13 下の図の四角形abcd...
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中学 2年 第6章 定理と証明
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中学2年 第6章 定理と証明
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チェックテスト
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中学2年 第6章 定理と証明
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中学2年 第6章 定理と証明 MAP
1.定義と定理
2.二等辺三角形
3.正三角形
7.いろいろな四角形
4.直角三角形の合同条件
5.平行四辺形の性質
6.平行四辺形になるための条件
8.平行線と面積
中学2年 第6章 定理と証明
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例題
例題1 次の図形の定義を書きなさい。
(ア)正三角形 (イ)台形 (ウ)平行四辺形
例題2 下の図で同じ印をつけた辺が等しいとき、 ∠ xの大きさを求めなさい。
(ア) (イ)
例題3 ∠ B= ∠ Cである△ABCは、二等辺三角形である。
このことを証明しなさい。
例題4 右の図で、△ABCはAB=ACの二等辺三角形です。
AB,ACの中点をそれぞれM,Nとし、BNと CMの交点を
Pとします。このとき、△PBCが二等辺三角形になることを
証明しなさい。
例題5 次のことがらの逆を書きなさい。
(ア)2つの三角形が合同ならば3辺はそれぞれ等しい
(イ)△ABC ≡△DEFならば ∠ B= ∠ E
例題6 右の図で、△ABC、△CDE は正三角形です。この
とき、△ACD ≡△BCEであることを証明しなさい。
中学2年 第6章 定理と証明
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例題7 下の図で、AB=DE、 ∠ C= ∠ F=90°、 ∠ B= ∠ E ならば△ABC ≡△DEF となることを
証明しなさい。
例題8 △ABC の頂点 B,C から2辺 AC,AB に垂線をひき、
AC,ABとの交点をそれぞれ D,Eとします。このとき、BD=CE
ならば△ABCは二等辺三角形となることを証明しなさい。
例題9 右の図のように、平行四辺形 ABCDの頂点 B,D
から対角線 AC にひいた垂線をそれぞれ BH,DK とする
とき、BH=DKとなります。このことを証明しなさい。
例題 10 右の図のように、□ABCD と□BEFC があります。
このとき、四角形 AEFDは平行四辺形であることを証明しな
さい。
中学2年 第6章 定理と証明
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例題 11 右の図のように、△ABC の ∠ A の二等分線が辺
BCと交わる点を Dとします。Dから辺 AC,ABに平行な直
線 DE,DF をひくとき、四角形 AEDF がひし形であること
を証明しなさい。
例題 12 AD//BCである台形ABCDの対角線の交点をOとしま
す。このとき次の(ア),(イ)を証明しなさい。
(ア)△ABC=△DBC
(イ)△AOB=△DOC
例題 13 下の図の四角形 ABCDで、辺 BCの延長上に点 Eをとり、四角形 ABCD=△ABE となる
ように、△ABEを作図しなさい。
中学2年 第6章 定理と証明
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練習問題
練習1 次の中から定義をすべて選び、記号で答えなさい。
(a)弧の両端を通る2つの半径と、その弧で囲まれた図形はおうぎ形である。
(b)三角形の外角は、それととなり合わない2つの内角の和に等しい。
(c)2直線に1つの直線が交わるとき、2直線が平行ならば、錯角は等しい。
(d)1つの角を2等分する半直線は、その角の二等分線である。
練習2 次の中から、定義をすべて選び、記号で答えなさい。
(a)線分の垂直二等分線上の点は、その線分の両端から等しい距離にある。
(b)線分の中点を通り、その線分に垂直な直線は、その線分の垂直二等分線である。
(c)合同な図形では、対応する線分や角は等しい。
(d)2つの図形で、一方を移動することによって他方に重ね合わせることができるとき、この2
つの図形は合同な図形である。
練習3 次のことがらの逆が、正しいといえるものをすべて選び、記号で答えなさい。
(a)平行線の同位角は等しい。
(b)△ABC ≡△DEFならば ∠ B= ∠ Eである。 (c) x= yならば、 x 2= y 2である。
(d)2 x=6ならば、 x=3である。
練習4 次の文は、AB=ACである二等辺三角形 ABCで、「頂角の二等分線は底辺を垂直に二等分
する」ことを証明したものです。 ∠ A の二等分線と BC の交点を D として、 の中に適当
な語句や記号を書きなさい。
〔仮定〕AB=AC, ∠ BAD= ∠ ア
〔結論〕AD イ BC,BD= ウ
〔証明〕△ABDと△ エ において、
仮定より、AB= オ
∠ BAD= ∠ CAD
また、 カ は共通
キ がそれぞれ等しいから
△ABD ク △ACD
したがって、BD= ケ
また、 ∠ ADB= ∠ コ , ∠ ADB+ ∠ ADC=180°より
∠ ADB=90°
よって、二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に二等分する。
中学2年 第6章 定理と証明
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練習5 右の図の AB=ACの二等辺三角形の辺 AB,AC上にそれぞれ点 D,E を ∠ BCD= ∠ CBE
となるようにとります。このとき、CD=BEとなることを次のように証明しました。次の問いに答
えなさい。
(ア) 仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△DBCと△ECBにおいて
仮定より、 ∠ BCD= ∠ CBE
二等辺三角形の ア は等しいから
∠ DBC= ∠ イ
また、 ウ は共通
エ がそれぞれ等しいので
△DBC ≡△ECB
よって、CD=BE
練習6 右の図で、AB=AC,BD=CE ならば、△ABD ≡△ACE である
ことを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。
(ア) 仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABDと△ACEにおいて
仮定より AB= ア
BD=CE
二等辺三角形の イ は等しいから、 ∠ ABD= ∠ ACE
ゆえに、 ウ がそれぞれ等しいので、
△ABD ≡△ACE
練習7 右の図で、AB=DC,AC=DBならば、△EBCは二等辺三角形であることを次のように証
明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABCと△DCBにおいて
仮定より、AB=DC
AC=DB
また、 ア は共通
イ がそれぞれ等しいので
△ABC ≡△DCB
よって、 ∠ ACB= ∠ ウ
△EBCは エ が等しいから二等辺三角形である。
中学2年 第6章 定理と証明
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練習8 右の図のように、長方形 ABCDを折り返したとき、重な
った部分の△LMNは二等辺三角形であることを次のように証明し
ました。 の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△LMNにおいて、
AD//BCだから、 ∠ NML= ∠ ア ‥‥‥‥‥‥‥①
折り返した角だから、∠ NLM= ∠ ALM‥‥‥‥‥‥‥②
①,②から、 ∠ イ = ∠ NLM
△LMNは ウ が等しいから、二等辺三角形である。
練習9 右の図で、AB=ACの二等辺三角形 ABCの底辺 BC上
に、BD=CEとなるように、点 D,Eをとるとき、△ADEは二
等辺三角形である。これを次のように証明しました。次の問い
に答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABDと△ ア において
仮定より AB=AC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
BD= イ ‥‥‥‥‥‥‥‥②
二等辺三角形の ウ は等しいので
∠ エ = ∠ ACE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、 オ がそれぞれ等しいので
△ABD ≡△ ア
したがって、AD=AEとなり、△ADEは二等辺三角形である。
練習 10 右の図で、△ABC と△DCE は正三角形です。このとき、
BD=AE であることを次のように証明しました。次の問いに答えな
さい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△DBCと△EACにおいて
仮定より ∠ DCB= ∠ ECA‥‥‥‥‥‥‥‥ ①
BC= ア ‥‥‥‥‥‥‥②
DC= イ ‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、 ウ から、
△DBC ≡△ エ
よって、BD=AE
中学2年 第6章 定理と証明
10
練習 11 右の図で、△ABC,△CDEは正三角形です。このとき、
△ACD ≡△BCE であることを、次のように証明しました。次の
問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ACDと△BCEにおいて、
仮定より AC=BC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
CD=CE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
また、 ∠ ACD= ∠ ACE+ ∠ ECD
∠ BCE= ∠ BCA+ ∠ ACE
ア の3つの角は等しいので
∠ ECD= ∠ イ =60°
よって、 ∠ ACD= ∠ BCE‥‥‥‥‥‥‥‥③
よって、①,②,③より ウ がそれぞれ等しいから、
△ACD ≡△BCE
練習 12 右の図のように、△ABC の外側に、辺 AB,AC をそれ
ぞれ1辺とする正三角形 ADB と AEC をつくるとき、DC=BE と
なることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ADCと△ABEで
仮定より AD= ア ‥‥‥‥‥‥‥①
AC= イ ‥‥‥‥‥‥‥②
∠ ウ =60°+ ∠ CAB
∠ EAB=60°+ ∠ エ
よって、 ∠ オ = ∠ EAB‥‥‥‥‥③
①,②,③から、 カ がそれぞれ等しいので
△ADC ≡△ABE
ゆえに、DC=BE
中学2年 第6章 定理と証明
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練習 13 右の図のように、 ∠ XOYの二等分線上の点 Pから、角の
2辺 OX,OYに垂線 PA,PBをそれぞれひきます。このとき、PA=
PBであることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△OAPと△OBPにおいて
仮定より、 ∠ AOP= ∠ ア ‥‥‥‥‥‥‥①
∠ OAP= ∠ イ =90°‥‥‥‥②
また、 ウ は共通 ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、直角三角形の エ がそれぞれ等しいから
△OAP ≡△OBP
ゆえに、PA=PB
練習 14 AB=AC, ∠ BAC= °90 の直角二等辺三角形 ABCの頂点
A を通る直線に、頂点 B,C から垂線をひきその交点を P,Q とす
るとき、△ABP ≡△CAQであることを次のように証明しました。次
の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABPと△CAQで
仮定より ∠ BPA= ∠ ア =90°‥‥‥‥‥‥①
AB= イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
また ∠ ABP+ ∠ BAP=90°
∠ ウ + ∠ BAP=90°
よって、 ∠ ABP= ∠ CAQ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、直角三角形の エ がそれぞれ等しいから、
△ABP ≡△CAQ
中学2年 第6章 定理と証明
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練習 15 右の図のように、△ABC の辺 BC の中点を M とし、M から
辺 AB,ACに下ろした垂線をMH,MKとします。このとき、MH=MK
であれば、△ABC は二等辺三角形であることを次のように証明しまし
た。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△HBMと△KCMにおいて
仮定より、BM=CM
∠ MHB= ∠ ア =90°
イ =MK
直角三角形の ウ がそれぞれ等しいので
△HBM ≡△KCM
よって、 ∠ HBM= ∠ エ
△ABCは、 オ が等しいので二等辺三角形である。
練習 16 右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に
BE=DFとなるように2点 E,Fをとります。このとき、CE//AFと
なることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)平行四辺形の性質を3つ書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△BCEと△DAFにおいて
BE=DF‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
∠ CBE= ∠ ア ‥‥‥②
BC=DA ‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③から合同条件「 イ がそれぞれ等しい」が成り立つから、
△BCE ≡△DAF
ゆえに、 ∠ ウ = ∠ エ
錯角が等しいから、CE//AF
中学2年 第6章 定理と証明
練習 17 □ABCDの辺 CDの中点をMとし、AMの延長と BCの
延長との交点を Nとします。このとき、BC=CNであることを証
明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△MADと△MNCで
MD=MC ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
対頂角より、
∠ AMD= ∠ ア ‥‥‥‥‥‥②
AD//BNより、
∠ MDA= ∠ イ ‥‥‥‥‥‥③
①,②,③から、1辺とその両端の角が、それぞれに等しいので
△MAD ≡△MNC
よって、AD= ウ
□ABCDで、 エ ので、
AD=BC
したがって、BC=CN
練習 18 右の図の□ABCDの辺 AB,CDの中点をM,Nとし、DとM、
Bと Nを結ぶとき、△ADM ≡△CBNとなることを次のように証明しま
した。ア~ウに適当な語句や記号を書きなさい。また(a)~(c)
には直接のよりどころ(根拠)にしたものを下の の中から、
それぞれ選び、その番号を書きなさい。
〔仮定〕AB//DC, ア //BC,AM=BM,DN=CN
〔結論〕△ADM ≡△CBN
〔証明〕△ADMと△CBNにおいて
(a) から AD=CB ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
(b) から ∠ MAD= ∠ NCB ‥‥‥‥‥‥‥‥②
また、仮定より AM=21
AB CN=21
CD
(c) から AB=CD ゆえに
AM= イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より ウ がそれぞれ等しいから
△ADM ≡△CBN
①平
②平
③平
行四辺形の2組の対辺はそれぞれ等しい。
行四辺形の2組の対角はそれぞれ等しい。
行四辺形の2本の対角線は、それぞれ中点で交わる。
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中学2年 第6章 定理と証明
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練習 19 台形 ABCD(AD//BC,AD<BC)において、対角線 AC の中点
を Pとし、DPの延長と BCの交点を Eとするとき、四角形 AECDは平行
四辺形であることを次のように証明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△APDと△CPEにおいて
仮定より、AP=CP‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
AD//BCより、 ア が等しいので
∠ PAD= ∠ PCE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
また、 イ は等しいので、
∠ APD= ∠ CPE‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、 ウ がそれぞれ等しいので
△APD ≡△CPE
よって、DP= エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥④
①,④より、 オ から
四角形 AECDは平行四辺形である。
練習 20 □ABCDの対角線 AC,BDの交点を Oとし、対角線 BD
上に BE=DFとなる点 E,Fをとります。このとき、四角形 AECF
は平行四辺形であることを次のように証明しました。次の問いに
答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ADFと△CBEにおいて
平行四辺形の2組の対辺はそれぞれ等しいので AD=CB
仮定より DF= ア
AD//BCより
∠ ADF= ∠ イ
2辺とその間の角がそれぞれ等しいから
△ADF ≡△CBE
よって、 ウ =CE‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
△ABEと△CDFにおいて
上と同様にして AE=CF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
①,②より、 エ から、四角形 AECFは平行四辺形である。
中学2年 第6章 定理と証明
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練習 21 □ABCD の対角線 AC上に AE=CFとなる点 E,F、BD
上に BG=DH となる点 G,H をそれぞれとるとき、四角形 EGFH
は平行四辺形となることを次のように証明しました。次の問いに
答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。 〔証明〕仮定より、AE=CF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
BG=DH‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
また、平行四辺形の2本の対角線は、それぞれの ア で交わるので、 AO=CO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
BO= イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④
①,③より、EO=FO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑤
②,④より、 ウ =HO‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑥
⑤,⑥より、 エ から
四角形 EGFHは平行四辺形である。
練習 22 □ABCDの辺 AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれ E,
F,G,Hとし、AFと CEの交点を P,AGと CHの交点を Qと
します。このとき、四角形 APCQ は平行四辺形であることを、
次のように証明しました。 の中に適当な語句や記号を
書きなさい。
〔証明〕四角形 AFCHにおいて、 仮定より、AH//FC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
また、四角形 ABCDは平行四辺形だから
AD= ア
仮定より、AH=HD,BF=FC よって、AH= イ ‥‥‥‥‥‥‥②
①,②より、 ウ から
四角形 AFCHは平行四辺形である。 よって、AF// エ ‥‥‥‥‥‥‥‥③
同様にして、四角形 AECGも平行四辺形である。 よって、AG//EC‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④
③,④より、 オ から
四角形 APCQは平行四辺形である。
中学2年 第6章 定理と証明
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練習 23 下の図の(ア)は平行四辺形にある条件をつけると長方形になることを示しています。
(ア)~(イ)の条件をそれぞれ書きなさい。
練習 24 □ABCD に次の条件を加えると、□ABCD は長方形,ひし形,正方形のどれになります
か。ただし、Oは対角線の交点とします。
(ア)AB=BC
(イ)OA=OB=OC=OD
(ウ) ∠ A=90°, ∠ COD=90°
練習 25 「対角線の長さが等しい平行四辺形は長方形である」こと
を、右の図について、次のように証明しました。次の問いに答えな
さい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABCと△DCBで、
AB= ア ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
BC= イ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
ウ =DB‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、△ABC ≡△DCB
したがって、
∠ ABC= ∠ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥④
また、 ∠ ABC= ∠ CDA‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑤
∠ BAD= ∠ エ ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥⑥
④,⑤,⑥より、4つの角が等しいので□ABCDは長方形である。
中学2年 第6章 定理と証明
17
練習 26 ひし形 ABCD の頂点 A から辺 BC,CD に、それぞれ
垂線AH,AKをひくとき、△AHKは二等辺三角形であることを、
次のように証明しました。次の問いに答えなさい。
(ア)仮定と結論を書きなさい。
(イ) の中に適当な語句や記号を書きなさい。
〔証明〕△ABHと△ADKで
四角形 ABCDはひし形なので
AB= ア ‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
∠ イ = ∠ ADK‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥②
仮定より
∠ AHB= ∠ ウ =90°‥‥‥‥‥‥③
①,②,③より、 エ がそれぞれ等しいので
△ABH ≡△ADK
したがって、AH= オ より、
△AHKは二等辺三角形である。
練習 27 右の図の△ABC で、M は辺 BCの中点で、P,Q はそれ
ぞれ辺 BC,AB 上の点です。AP//QM のとき、△APQ と面積の等
しい三角形を書きなさい。
練習 28 右の図において、 l // m、台形 APQB,△APB の面積がそれ
ぞれ 12cm2,5cm2のとき、次の問いに答えなさい。
(ア)△AQBの面積を求めなさい。
(イ)△APQの面積を求めなさい。
練習 29 右の図のように、四角形 ABCDの頂点 Dを通り、対
角線 ACに平行な直線と、辺 BCの延長との交点を Eとし、A
と Eを結ぶと、△ABEの面積は、四角形 ABCDの面積と等し
くなります。このことを次の順序で証明しなさい。
(ア)△ACD=△ACE
(イ)△ABE=四角形 ABCD
中学2年 第6章 定理と証明
18
入試問題-標準問題
問1 右の図で、△ABCは ∠ A=90°の直角三角形であり、D,G
はそれぞれ AB,AC上の点です。また E,Fは辺 BC上の点で、
四角形 DEFGは平行四辺形です。∠ BDE=42°,∠ ACB=56°
のとき、 ∠ DGFの大きさを求めなさい。(愛知県)
問2 右の図は AB=BCの二等辺三角形です。点 Dは ∠ Aの二等分線と
辺 BCとの交点です。AC=ADのとき ∠ Bの大きさを求めなさい。
(青森県)
問3 下の図は四角形の種類を表したものです。
このとき、次の問いに答えなさい。
(ア)2,4にあてはまる四角形の名称を漢字で書きなさい。
(イ)1組の向かい合う辺が平行で長さが等しい四角形において、2本の対角線が直交している四
角形を何というか答えなさい。
(ウ)三角形の各辺の中点と1つの頂点を4つの頂点とする四角形は何というか答えなさい。
(郁文館)
問4 右の図のような平行四辺形 ABCD があります。辺 BC 上に
AB=AEとなる点 Eをとります。
△ABC ≡△EADを証明しなさい。
中学2年 第6章 定理と証明
19
問5 右の図のように、平行四辺形 ABCD の対角線 BD 上に BE=DF
となるように2点 E,Fをとります。このとき EC//AFとなること
を次のように証明しました。次の に適当な語句や記号を
書きなさい。
〔証明〕△BCEと△DAFにおいて
BE=DF‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥①
∠ CBE= ∠ ア ‥‥‥‥‥‥②
BC=DA‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥‥③
①,②,③から合同条件「 イ がそれぞれ等しい」が成立するから
△BCE ≡△DAF
ゆえに ∠ ウ = ∠ エ
錯角が等しいから EC//AF
問6 右の図のように、△ABCの辺 AB上に点 Dをとり、Dを通り辺 AC
に平行な直線と辺 BCとの交点を Eとします。また辺 ACの延長上に
点 FをDE=CFとなるようにとり、DFとBCとの交点をMとします。
このとき次の問いに答えなさい。
(ア)△DEM ≡△FCMであることを証明しなさい。
(イ) ∠ ACB=50°, ∠ EDF=34°であるとき、 ∠ DMC の大きさ
を求めなさい。(愛媛県)
問7 右の図で、四角形 ABCDは AD//BCの台形です。いま対角線 BD
の中点を Pとし、直線 APと辺 BCとの交点を Qとするとき、四角
形 ABQDは平行四辺形であることを証明しなさい。(茨城県)
問8 右の図のように、平行四辺形 ABCDの ∠ A,∠ Bの二等分線が
BC,ADと交わる点をそれぞれM,Nとするとき、四角形 ABMN
はひし形であることを証明しなさい。
中学2年 第6章 定理と証明
20
問9 右の図のような平行四辺形ABCDの辺AD上に ∠ DCE= ∠ ABC
となるように点 Eをとります。このとき、AE+EC=BCとなるこ
とを証明しなさい。
問 10 右の図は、直角三角形 ABCの辺 AB上に点 Pをとり、Pを通る
直線が辺 BCと交わる点をM,辺 ACの延長と交わる点を Nとした
ものです。このとき PB=PMならば、PA=PNであることを証明し
なさい。(福島県)
問11 右の図の正三角形 ABCで、辺 AB,AC上にそれぞれ点 D,Eをと
り、BD=AE となるようにします。BE と CD の交点を F とするとき
次の問いに答えなさい。
(ア) ∠ ABE= ∠ BCDであることを証明しなさい。
(イ) ∠ CFE=60°であることを証明しなさい。(熊本県・改)
問 12 右の図のように、平行四辺形 ABCDがあります。辺 AD上に点 P
をとり、PBを軸として、△ABPを折り返したところ、頂点 Aが対角
線 BD 上の点 Q と重なりました。さらに点 Aを通り PQに平行な直
線が PBと交わる点を Rとするとき、AR=PQとなることを証明しな
さい。(千葉県・一部)
中学2年 第6章 定理と証明
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入試問題-発展問題
問1 幅が一定値aで十分に長い紙テープを図1のように折り曲げたところ、図2に示すような五角形 ABCDEができました。紙の厚さは無視
できるものとして、次の問いに答えなさい。
(ア)AB=BC であることを、AB//EC,BC//AD,紙テープの幅aが一定であること等を用いて示しなさい。
(イ) ∠ ADE= ∠ CED であることを次のように証明しました。空欄
を補って完成しなさい。
∠ ADE= ∠ DAC (ED//ACであるから)
∠ DAC= ∠ ① ( ④ であるから)
∠ ① = ∠ ② ( ⑤ であるから)
∠ ② = ∠ ③ ( ⑥ であるから)
∠ ③ = ∠ CED ( ⑦ であるから)
∴ ∠ ADE= ∠ CED
(開成・一部)
問2 右の図のように、∠ Aが直角である△ABCの辺 AB上に点 D
を、辺 AC 上に点 E をとります。BC,DE,BE,CD の中点を
それぞれ P,Q,R,Sとするとき、次の問いに答えなさい。
(ア)四角形 PSQRは平行四辺形であることを証明しなさい。
(イ)PQ=RSを証明しなさい。(大教大附・天王寺)
問3 平行四辺形 ABCD の対角線の交点を O とします。次の(ア),(イ),(ウ)の条件を加えると、
それぞれどのような四角形になるか答えなさい。
(ア) ∠ A=90°, ∠ COD=90°
(イ)OA=OB=OC=OD
(ウ) ∠ OAB= ∠ OBA
問4 図のような AB=AC の二等辺三角形 ABC の点 C から辺 AB に垂線
CD を引きます。辺 AB 上に BD=DE となるように点 E をとり、点 E
から底辺 BCに平行な直線 EFを引きます。このとき、∠ CBFの大きさ
は ∠ BCD の大きさの2倍であることを証明しなさい。ただし底角は
60°より大きいものとします。(海城)
中学2年 第6章 定理と証明
22
問5 右の図のように、平行四辺形 ABCDの対角線 BDに平行で、2辺 BC,
CDとそれぞれ E,Fで交わる直線 EFを引くとき、△ABE=△ADFであ
ることを証明しなさい。
問6 AC>ABである△ABCにおいてAからBCに垂線ADを引きます。
BCの中点を E,ABの中点を Fとするとき、 ∠ EFD= ∠ B- ∠ Cと
なることを証明しなさい。(関西学院)
問7 右図の四角形 ABCDにおいて AD=BC, ∠ DAB+ ∠ ABC=120°で
す。対角線 AC,BDの中点をそれぞれ P,Q、辺 CDの中点を Rとする
とき、△PQRは正三角形であることを証明しなさい。(甲陽学院)
問8 右の図の平行四辺形 ABCDの辺 BC上に点 Pをとり、DPの延長
と辺 ABとの交点を Qとします。このとき△ABP=△PQCである
ことを証明しなさい。
問9 右の図において、AB=BE=EG=GC=2,∠ ABC=90°,
AB // DE // FGです。斜線をひいた三角形の面積の和を求め
なさい。 (ラ・サール)
中学2年 第6章 定理と証明
23
問 10 次の(1)~(6)の中で四角形 ABCD が必ずしも平行四辺形にならないものは何個あります
か。その個数を答えなさい。(城北埼玉)
(1)AB=CD,AB//DC
(2)AD=BC,AB=DC
(3)AB=BC=CD=DA
(4)AC ⊥ BD,AB=CD
(5)対角線の交点を Oとするとき、AO=BO=CO=DO
(6)AD//BC,AC=BD
問 11 右の図のように、△ABC の辺 AB,AC の中点をそれぞれ D,E
とし、DEの延長上に DE=EFとなる点 Fをとります。四角形 ADCF
が次の四角形になるとき、△ABCはどのような三角形か答えなさい。
(ア)長方形
(イ)ひし形
(ウ)正方形
問 12 三角形 ABCの3辺の長さを AB=c,BC=a,CA=bとします。この三角形の外側に正方形 ABDE,ACFG,BCHI を作りま
す。さらに点 P は BD,BIを、点 Q は CF,CH をそれぞれ2辺
とする平行四辺形の残りの頂点とするとき、次の問いに答えなさ
い。
(ア)辺 BP,CQを、a,b,cのいずれかを用いて表しなさい。
(イ)直線 BPと直線 CQとの交点を Sとするとき、∠ BSCの大
きさを ∠ B, ∠ Cを用いて表しなさい。
(ウ)A,B,C,D,E,F,G,H,I,P,Q のいずれかを結ん
でできる三角形の中で△ABCと合同になる三角形をすべてあげなさい。(お茶の水大附・一部)