· observe que la matriz de coeficientes de este sistema reordenado tam poco es e.d.d. por filas....

- - --

--

Capitulo 3. SOLUCI6N NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 137

2X1 - + X3 =-1

3x1+ 3x2 + 5x3 = 4jx2

x, + x2 + 3X3 = 0

Observe que la matriz de coeficientes de este sistema reordenado tam poco es E.D.D. por filas .

Las formulas escalares de iteracion para el metodo de Jacobi son ahora

Como II BJ t, = 3 > 1 ( II BJill = ""6 > 1 ), entonces nada se puede afirmar sobre la

convergencia del metodo de Jacobi (a partir de las normas II BJ 110", IIBJ II, ), por tanto

debemos encontrar p(B J)' La ecuaci6n caracteristica de B J es

- II? +~A.+ -.! = O 9 9

cuyas raices son

A. , :::: .631096 , 11. 2 :::: - .315548+.276567i , 1...3:::: - .315548-.276567

y como

cuya forma vectorial es

(k)x,

(k)x2

(k)X3

'----v-' .. X(k)

8

(k) x, =

k)(x 2

k) x(

3

0

- 1

1

3

(k -1) (k - ') - 1+ x2 - X3

2

4 - 3X(k-1) _ 5X(k- 1) 1 3 k = 1,2, ..3

_X(k - l) _ X(H) ' 23

(H)x,1 1 1

-2 2 2

5 4(k-1) 0 + k = 1,2,x2 33 1

- - 0 (k-')3 0X3 "--r--'

'-v-----'BJ cX(k-l)

l 13

p(B J) :::: Max { I .631096 I ' I - .315548 +.276567i I ' I -.315548-.276567i I }

:::: Max { .631096, .419595 } = .631096 < 1

138 METODOS NUMERICOS

entonces, segun el teorema 3.8, el metodo iterativo de Jacobi converge a la unica solucion X

del sistema reordenado, cualquiera sea la aproximacion inicial X(D) .

Iterando con el metodo de Jacobi, tomando como aproximacion inicial X(D) = (O,O,O)T , y

usando como criterio de aproximaci6n II X(k) - X(k-1) II 00 < .001, obtenemos

X(1) - ( 3 )T X (2) - ( 8 27 8)T- - .5, 1.3 33, 0 , - .16667, 1. 333, - . 77 ,... ,

X(15) = (.99798, 1.9990, -.99842)T , X(16) =(.99873, 1.9994, -.99901) T

Como II X(16) - X(15) II '" ~ 7.5E - 4 < .001 Y k = 16 es el primer entero positiv~ para el

cua l II X(k) - X(k-l) 11 00 < .001 , entonces

Xl16) = (.99873, 1.9994, -.99901) T = X"" X

Instrucci6n en DERIVE:

JACOBI(A, b. X(D) , N) aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Jacobi aplicado

al sistema AX =b , con aproximacion inicial X(D) . Para el ejemplo , aproXime la expresi6n

JACOBI([[2 ,- 1,1],[3 ,3,5].[1 ,1,3]j.[-1 ,4,Oj , [0 ,0,Oj,16) 0

Cual es la calidad de la soluci6n aproximada obten ida X(16) ?

Como no se pueden aplicar las cotas para el error de truncamiento II X (16) - X II, dadas en el

teorema 3.6 (ya que no se satisface Ja condicion IIBJ II < 1 para las normas calculadas

Ilx(16)-xL

Ilx L II B J 1100' liB Jil l)' entonces vamos a usar las cotas para el error relativo

dadas en el teorema 3.3

. (16) (16)En esta deslgualdad R = AX - b, con

Si hacemos los calculos

exactas para vectores,

ultima desigualdad, que

Ejemplo 3.9 Use el

Observe que el ejemplo anterior. II para estudiar la BJ

Se ve facilmenle siguiente malnz

Capitulo 3. SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 139

Si hacemos los calculos indicados, obtenemos

II X(16) - X ii 6 2

Cf)5 x 10- < 1.6 .. x10-5 :5 IIX L" :5 .011 .. < .05 = 5 x 10

Extendiendo de manera natural, los conceptos de cifras significativas y cifras decimales exactas para vectores, dados en el capitu lo 1 para escalares, podemos concluir, a partir de la

ultima desigualdad , que X(16) = (.99873, 1.9994, - .99901) T aproxima a la solucion exacta X

del sistema dado con una precision de por 10 menos dos cifras significativas (y no mas de

cinco) Se puede verificar que la soluci6n exacta del sistema dado es X = (1 . 2, - 1) T . •

Ejemplo 3.9 Use el metodo iterativo de Jacobi para resolver el sistema

2X1 - x2 + 10x3 = - 11 \ 3x 2 - X3 + 8x4 = - 11 I

I i i10x1 - + 2X3 6

- x1+ 11x2 - X3 + 3x4 = 251x2

Observe que el metodo de Jacobi es aplicable a este sistema, pero nuevamente como en el ejemplo anterior, la matriz de coeficientes del sistema dado no es E.D.D. por filas , aSI que para estudiar la convergencia del metodo de Jacobi debemos encontrar la matriz de iteraci6n BJ

Se ve facilmente que la matriz de iteracion del metodo de Jacobi es , en este caso , la sigu iente matriz

10 - - 5 0

2 1 8

0 0 - - 3 3=BJ 1

- 5 - 0 0 2

1 11 1 - - - - 0 3 3 3 I

11 Como II BJ II = "2 > 1 (II BJ 111 > 1), entonces todav ia no podemos concluir acerca de la<r,

convergencia del metodo de Jacobi ( apartir de las normas li BJ II "" , li BJill) · Encontremos

entonces el radio espectral de la matriz de iteracion BJ

Se puede ver que la ecuacion caracter lstica de la matriz B J es

cuyas raices son


Al = 5, A2 '" - 3.01292, A3 '" 3.11967 Y A4 "" -5.10674

por tanto

( I '< , t- 3: 10 que implica que el metodo de Jacobi diverge, en este caso. -<I

0 'S S' ;Sin embargo, si reordenamos las ecuaciones del sistema en la forma "l ~ '<

l- I \e \ ')/

, '\10Xl x2 + 2X3 6 I;

- x, + 11x2 -X3 + 3x4 25 I I', -2X, - +10x3 =-11x2

3x2 -X3 +8x4 = -11

obtenemos un sistema equivalente AX = b donde A sf es E.D.D. por filas, asf que, segun el

teorema 3.7, el metodo iterativo de Jacobi converge a la (mica soluci6n del sistema,

cualquiera sea la aproximaci6n inicial X (O) , Y se tienen cotas para el error de truncamiento

Ilx(k) -xL La forma matricial del metodo de Jacobi, para el sistema reordenado, es

(k - l)(k) x,x, 2 6

0 0 1010 10

(k - l)(kl 251 30 x2x2

1111 11 11 + 112 (k- l)(k) 0 0 X3X3 1010 10

1130 0

(k- l)(k) 88 8 ' ~x4x4 ~ '--v-----'BJ CX(k) X(k- l)

4 1 23 Observe que II BJII", = "8 = "2 < 1 (II BJII, = 40 < 1) .

" Investigue cuantas iteraciones k seran necesarias en el metodo de Jacobi (usando la

norma 11· 11 ", ), para que X(k) aproxime a la soluci6n exacta X del sistema dado, con por 10

menos tres cifras significativas, tomando como aproximaci6n inicial X(O) = (0,0,0,0) T ?

(ejerciciol)

Los resultados obtenidos en las iteraciones aplicando el metodo de Jacobi, empezando con

X(O) = (0,0,0,0) T Y usando como criterio de ap;oximaci6n II X(k) - X(k -l) 11 ",< .00 " son;

S610 fueron

3.8.2 Metodo

son mejores (k- l) (k-l)

x, ,... , Xi-!

ItI los valores X; ,

y


(1) ( )TX = .60000, 2.2727, -1.1000, -1.3750

(2) ( )TX = 1.0473, 2.6023, -.99273, - 2.3648

X(6) = (1.1040, 2.9958, - 1.0210, - 2.6262f X(9) =(1.1038, 2.9965, -1.0212, - 2.626f =X ", X ! [

S610 fueron necesarias k = 9 iteraciones para alcanzar la tolerancia dada. Con cuantas

cifras decimales exactas aproxima X(9) a X? (ejercicio) +

3.8.2 Metodo iterativo de Gauss-Seidel 0 de desplazamientos sucesivos: Una posible

mejora en el algoritmo de Jacobi puede ser la siguiente: para calcular Xfk) se usan las

componentes de X(k - 1), pero como X\k), X~k )" xf~l ya han sido calculadas y supuestamente

son mejores aproximaciones de las componentes x1, x2 , ... , Xi_1 de la soluci6n exacta que

X\k -1), , Xf~;1) (asumiendo convergencia), parece mas recomendable calcular Xfk) usando

los valores X;k), X~k ) ,. , x f~l calculados recientemente. Esta tecnica se conoce como metodo

iterativo de Gauss-Seidel 0 de desplazamientos sucesivos.

Se inicia el proceso iterativo con una aproximaci6n inicial X(O) = ( x\O), x~O ) " xf O)" x~O)) T . A

partir de este vector se obtiene la primera aproximaci6n X (1) =( X \ 1 ), X~1 ) , . ,xf1)"X~1)) T

mediante las siguientes f6rmulas (suponemos que all * 0 para todo i = 1,2,... ,n)

yen general , para i = 2,., n - 1, se calcula

y

EI paso generico es

142 METOD OS NUMERICoS

Conocida la aproximacion X(k- 1) =( X\k-1)" X~k-1)" X~k-l) T se obtiene la aproximacion

Paso 3: Tomar x,(kJ ((k) (k) (kJ ) T ,siguiente X == Xl , . X, "Xn ' usando las formulas

Paso 4: Para j:

pa ra i = 2,3 , ... . n - 1 ,

i- 1 n lb _ 'axlk

) _ 'axlk- )

I ~ 'II ~ 'I) X(k) = )= 1 i= i+l (3.16)

aI

II

y

que son Ilamadas formulas escalares de iteracion del metodo de Gauss-Seidel.

Se termina el proceso iterativo con alguno de los criterios de aproximaci6n mencionados anteriormente.

Algoritmo 3.5 (Metodo de Gauss-Seidel) Para encontrar una solucion aproximada Xde un Seidelsistema AX 0= b , A = (a, it n E R n •n invertible, b ;c. 0 Y ai I ;c. 0 para todo i = 1,2, ... ,n .

Entrada: EI orden n del sistema ; las componentes no nulas a'i' i,j=1,2, ... ,n de la matriz A;

las componentes b i '" 1 ,2,.n del vector de terminos independientes; las "

componentes xO" i == 1 ,2, .,n de una aproximacion inicial XO = x (O) : una tolerancia

Tol , y un numero max imo de iteraciones N.

- TSalida: Una so lucion aproximada X = (Xl' x2 , . , Xn) 0 un mensaJe .

Paso 1: Tomar k '" 1.

Paso 2: Mientras que k N , seguir los pasos 3-8

N Cliona(jos

las


n

b, - Ia1j XO j Paso 3: Tomar Xl = _.----:..j_=2___

al l

Paso 4: Para i = 2, " n - 1 , tomar i 1 n

b, - Iaij Xj - Ia,j XO j j= l j='+ lXi = - ----'- ---'---

a,i

n- l

bn -I anjxj

_--,~Paso 5: Tomar xn = j_l ann

Paso 6: Si I X - xo II< Tol , entonces salida: "Una solucion aproximada del

sistema es X=(Xl' X2 , .. , Xn)T " . Terminar.

Paso 7: Tomar k = k + 1.

Paso 8: Para i = 1,2 " n , tomar xOi = Xi '

Paso 9: Salida: "Se alcanzo el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia" . Terminar.

ANALISIS DE CONVERGENCIA

AI ig ual que en el metodo de Jacobi, con el proposito de ana lizar la convergencia de l metodo de Gauss-Seidel, veamos cual es la formula vectoria l de iteracion de l metodo de Gauss Seidel

X (k) - BX( k-l) k = 12- + c , ' ,..

Mult iplicando a ambos lados de la ecuacion (3.16) por ai i y asoc iando los k-es imos terminos

iterados , obtenemos i n

I aij x\k ) = I (_aij )x\k - l) + b, (3.17) 1= 1 j= i+ l

Si 0 es la matriz diagonal cuya diagonal es la diagonal de A. - L es la matriz triang ular inferior formada por la parte estrictamente inferior de A y - U es la matriz triangular superior formada por la parte estrictamente superior de A. como en el metodo de Jacobi, entonces al poner a variar i de 1 a n en la ecuacion (3.17), obtenemos el sistema

RD -~= UX( k - l ) + b

o equ iva lentemente


X(kl = (D - Lr'UX(k-l) + (D - Ltb, k = 1,2, .. ~

BG

siempre que la matriz D - L (triangular inferior) sea invertible, 0 sea si a j j '" 0 para cada

i =1,2" n

La formula anterior se conoce como formula vectorial de iteracion del metodo de Gauss

Seidel , y la matriz BG = (D - L)-'u se llama matriz de iteracion del metodo de Gauss

Seidel .

AI igual que en el metodo de Jacobi, se tiene para el metodo de Gauss-Seidel el siguiente resultado, el cual puede ser consultado en Kincaid , 1972, paginas 189 y 190.

Teorema 3.9 Si la matriz A de coeficientes de un sistema- AX = es E.D.D. por filas, entonces el metodo iterativo de Gauss-Seidel converge' a Icr unic soluci6n X del SIS em

AX = b , para cualquiec ele.c.clOn de X(O) . V

Recuerdese que segun el teorema 3.6 Si [II BG II< ~I p.ara a!m!QEUlQI-n:JgJI)9tr.lclal inducida,

entonces la suces ion {X(k )L, k = 0,1, .. , obtenida en el metodo de Gauss-Seidel, converge

a la unica solucion X del sistema X =BGX + c para cualquier X(o) ERn , y se tienen las

cotas para el error de truncamiento IIX - X(k) II ' dadas en el teorema 3.6. V

Tambien se tiene, de acuerdo con el teorema 38, que Para cualquier X( O) ERn, la sucesion

{ X(k l L'con

Xlkl _ B Xlk . lj- G + C, k = 1,2 ,. ,c",0

converge a la unica soluci6n X del sistema X = BGX + C (<=> AX = b) si Y solo si p(BG) < 1. V

Ejemplo 3.10 Apliquemos el metodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema

r2x, - x2 + X3 = - 1

1 x, + x2 + 3X3 '" 0

13x, + 3x 2 + 5x 3 = 4

Este sistema es el mismo del eJemplo 3.8.

Como la matriz de coeficientes no es E.D.D. por filas , nada podemos decir todavia acerca de la convergencia del metodo de Gauss-Seidel, asi que debemos encontrar la matriz de iteracion del metoda de Gauss-Seidel , BG Una forma de encontrarla es la siguiente

Las formulas escalares de iteracion del metoda de Gauss-Seidel para el sistema dado, son

Capitulo 3. SOLUCIl'lN NUM~RICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 145

(k-l)X ' 3

(k) _ (k) 3 (k-l)x2 - -Xl - X3 ' k = 1.2,

k) 4 - 3X(k) - 3X(k)( - 1 2X 3 5

Reemplazando X~k ) en la formula de iteracion para x~), obtenemos la siguiente expresion

Para X(k) en terminos de X(k- l) y X(k - l ).2 ' 2 3·

(k- l ) 5 (k - l) (k) 1 - . - X3 .x2

x2 = 2

Ahora se reemplazan X\k) y la ultima expresion obten ida para X~k ) , en la formu la de iteracion

para X ~k) , con 10 cual se obtiene

(k) 4 + 9X~k - l ) X3 = 5

As; que, finalmente , se tiene el siguiente esquema de iteracion

k) - 1+ X(k-l) __ X(k - l ) (X - 2 3 1 - 2

(k-l) 5 (k- l ) (k) 1- x2

x2 = 2

(k- l) (k) _ 4 + 9x3

X3 - 5

el cual escrito en forma vectorial es

X(k),

(k)x2

(k)X3

0 1 -2 2

0 1 5

2 2

0 0 9

5 '----v-----'

'--,,-' BG X (k)

X3

(k - l ) x,

(k - l ) x2

(k- l ) X3

+

k = 1,2, ...

2 1

k = 1,2, .. 2 4 -5 ~

'--v-----' C X (k- l )

// que constituye la formula vectorial de iteracion del metodo de Gauss-Seide l para el sistema dado.

Otra forma de obtener la matriz de iteracion BG ' es a partir de su formul~ -= (D - LJ:U)

146 METOOOS NUMERICOS

1 - 0 0 2 1 -1 \0 1

-- 0 0Como D - L ~ [ ; 1 ~J. entonces (D - Lr' ~ , Y como U =[~ - ~r2 3 03 1

0 5 5

entonces

1 1 0 - -

2 2 1 5

0 - BG =(D - L( U= 2 2

90 0

5

Como II BG II" =3 > 1 (II BG 111 > 1 ), todavia no podemos conclu ir acerca de la convergencia

del metodo de Gauss-Seidel: pero como p(BG) = Max{ 0 ' \ - ~ 1, \ ~ I } = ~ > 1, entonces el

metodo de Gauss-Seidel diverge (recuerde que si una matriz es triangular superior 0 inferior, entonces los valores propios de tal matriz son los numeros que aparecen en su diagonal principal)

Observe que el numero cero es siempre un valor propio de la matriz de iteraci6n BG '

asi que, en part icular, BG siempre es singular (no invertible).


BG(A) Simpl ifica en la matr iz de iteraci on , BG ' del metodo de Gauss-Seidel. 0

Una reo rdenacion del sistema dado , de modo que la matriz de coeficientes del sistema resu ltante , sea 10 mas cercana posible a una matriz E.D.D. por filas , es

2X1 -- X2 +x3= --1

j3 x1 + 3x2 + 5 X3 = 4

x1 + x2 + 3X3 = 0

Las formu las escalares de iteracion del metodo de Gauss-Seidel para encontrar una aproximacion de la solucion de este sistema reo rdenado, son

k) - 1 + X(k - 1) _ X(k- 1)(x = 2 3 1 2

(k) 5 (k - 1)(kl 4 - 3 - X3x1 k = 1,2,.x2 = 3

kl _ X(k) _ X(k)(x ' - 1 2 3 - 3

Dado que

entonces

Como II BG I )


Dado que

-1 \ 0 0 2

~l 1

Y -1]

0 - 5 03 (0 -Lt = -~J- D - L ~[ ; 0

U ~ [~ 2 3 0 0

0 1

9 3

entonces

10

2 2 1 7

0 -- - BG =(D - Lt U = 2 6

50 0

9

Como II BG IIO? > (II BG II, > 1), todavla no podemos concluir sobre la convergencia del

metodo de Gauss-Seidel , pero como p(BG) = Max{ 0, I -~ I, I ~ I } = %< 1 , entonces el

metodo de Gauss-Seidel converge a la (mica solucion del sistema dado, cualquiera sea la aproximaci6n inicial.

Si usamos el metodo de Gauss-Seidel con aproximacion inicial X(O) = (O,o,Of y criterio de

aproximacion " X(k) - X(k -1) IIO? < .001, se obtienen los siguientes resultados

(1)_ ( )T (2)_( )T X - -.50000, 1.8333, - .44444 ,X - .63889, 1.4352, - .69136 ,

X(12) = (.99858, 1.9988, -.99914) T, X(13) = (.99898, 1.9996, - .99952) T = X;:: X

Aqu i k = 13 es el menor numero de iteraciones para el cual se satisface

X(k) - X(k-1) II ~ < .001 . •~ AI igual que en el ejemplo 3.8 , nos podemos preguntar por la I

calidad de la solucion aproximada obtenida X(13) (ejerciclo!). •


G_SEIDEL( A ,b , X(O) ,N): aproXima las primeras N iteraciones en el metodo de Gauss

Seidel aplicado al sistema AX = b, tomando como aproximacion inicial X(O) . Para el ejemplo ,

aproXime la expresion G _SEIDEL( [[2 , -1, 1], (3 ,3 ,5] , [1 ,1,3] 1' [- 1,4,0] , [0,0 ,0] , 13) 0

Ejemplo 3.11 Si aplicamos el metodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema


[2x , -x2 +1 0x3 =-11

I 3x2 - x3 + 8x4 =-11

10X, -X2 +2X3 = 6

-x, +11x2 -X3 +3x4 = 251(que es el mismo sistema del eJemplo 39) , encontramos que la matriz de coeficientes de este sistema no es E.D.D. por filas , asi que para estudiar la convergencia del metodo de GaussSeidel debemos considerar la matriz de iteracion BG

Se puede ver que

0 -5 0 2

80 0

3 3BG =(D-Lt U = 5 151 40 - - -

2 6 3 2 11 28

0 -- - 3 2 3

y como II BG II", > 1 (II BG II, > 1 ), entonces por ahora nada podemos afirmar acercf de la

convergencia del metoda de Gauss-Seidel ; pero se puede ver que la ecuaci6n caracteristica de la matriz de iteracion BG ' es

cuyas raices son A12 = 0 (es decir, A = 0 es raiz doble) , A3 '" 24.7523, A4 '" 9.74768 . Por

10 tanto p(BG) > 1, 10 que implica que el metodo de Gauss-Seidel diverge.

Si reordenamos el sistema de modo que la matriz de coeficientes del nuevo sistema equivalente sea 10 mas cercana posible a una matriz E.D.D. por filas, obtenemos el sistema

6

- Xl + 11x2 - X3 + 3x 4 25

2x, -x2 +10 x3 =-11

3x2 -x3 + 8x4 =-11

cuya matriz de coeficientes es E.D.D. por filas . As i que el metodo de Gauss-Seidel converge a la un ica solucion del sistema dado, cualquiera sea la aproximacion inicial y se tienen cotas

para el error de truncamiento "XIk ) - XII, segun el teorema 3.9. Si iteramos con el metodo

de Gauss-Seidel, empezando con X (O) = (O,o,O,of y usando como criterio de aproximacion

II X (k l - X (k ' ) II ~, < .001 , se obtienen los slgUientes resultados

Si comparamos los reSIJIlaomlll

con los obtenidos en los metodo de Gauss-Seidel cuando ambos metodos metodo converge Yel

3.8.3 Metodo SOR convergencia del

nuevo valor ~k) se

Dada una

b

Capitulo J. SOLUCION NUMERICA DE SISTEMAS DE ECUACIONES 149

(1) _ ( )T X - .60000, 2.3273, -.98727, - 2.3711

(2)_( )TX - 1.0302, 2.9233, - 1.0137, - 2.5980

X(5 ) ( )T = 1.1038, 2.9964, -1.0211, - 2.6263 = X "" X • Si comparamos los resultados de los eJemplos 3.8 y 3.9, obtenidos por el metodo de Jacobi , con los obtenidos en los ejemplos 3.10 Y 3.11 por el metodo de Gauss-Seidel, vemos que el metodo de Gauss-Seidel es de convergencia mas rapida; esto es 10 que generalmente ocurre cuando ambos metodos convergen . Anotamos que hay sistemas lineales para los cuales un metodo converge y el otro diverge.

3.8.3 Metodo SOR (Successive Over-Relaxation): Este metodo fue ideado para acelerar la convergencia del metodo de Gauss-Seidel. La idea del metodo es que para producir un

nuevo valor X~k) se ponderan los valores Xfk) actual, obtenido por Gauss-Seidel, y Xfk-1)

anterior, como se indica a continuaci6n :

Dada una aproximacion inicial y calculada la aproximacion

X (k-1) = ( X(1k-1), X(2k- 1) , .. . , X(,k--1), ... , x(nk- 1)) T se calcula la aproximacion siguiente

X (k) =( X\k ) , X ~k)" Xfk), , X ~k)) T , de acuerdo con las formulas siguientes

para i = 2 , .. , n -1 :

(3.18)

y

n-1

bn-2>n jx\k) ):1X(k) - (1- W)X(k-1) + W

n - n

150 METODOS NUMERIC OS

donde w es un parametro , IIamado de aceleraci6n . Mas adelante mostraremos que la variaci6n de w debe ser ;_O< w < ~I, para que el metodo pueda converger

Las formulas anteriores son IIamadas formu las escalares de iteracion del metodo SOR

Para 0 < w < 1 el metodo se denomina de sub-relajacion y se puede usar para obtener

convergencia en algunos sistemas para los cuales el metodo de Gauss-Seidel noes convergente.

Para 1 < w < 2 el metodo se denomina de sobre-relajacion y se puede usar para acelerar la

convergencia en alg unos sistemas que son convergentes por el metodo de Gauss-Seidel.

Observe que si w '" 1 , el metodo se convierte en el metodo de Gauss-Seidel.

~gJ~ociadeJ valor...Qptir1J9 de w se haGe.de mO~Q..QlliU)i!2.w) sea minimo, donde Bw es

19 ma!!iz deJ!~racioru:l~Lmetoc!o SOR

Se puede obtener, siguiendo la misma idea que se us6 en el metodo de Gauss-Seidel. la formula vectorial de iteracion del metodo SOR

X (k) = ~D - w L) '[ (1 _ w)D + WUl X(k - ' ) + w(D - wL(b

De otro lado, como de~Bw)= matriz Bw ' entonces

Como consecuencia del

enJon.c~Y=~l 0 < w < 2 . (\ w-1\ <1). es convergente.

I;n el siguiente teorema. establecen condiciones

TambiEm

teorema 3.6. 'V

(3.19) B:V

donde 0 , -- L Y - U son matrices tales que A =0 - L - U , como en los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel.

Dada la dificultad de obtener el w 6ptimo, a menudo se trabaja experimentando con distintos valores de w.

La variacion del parametro w, con 0 <: W < 2 , se debe al siguiente resultado:

Si ail 7:- 0 para cada i = 1,2, ... , n , entonces p(Bw ) _ \ w - 1\

En efecto

det(Bw) =det{ (0 - WL([(1 - w)D + wU] }

= det[(D - wL(]det[(1 - w)D + wU]

Pero

y

det[(1 - w)D + wU] = det[(1 - w)D] = (1- wt detD

asique

det(Bw) == _ 1_ (1_ wf detD = (1 - wf detD

(3.19)


De otro lado, como det(Bw) = A1A2 .. An donde Al ,A2 ,.,An son los valores propios de la

matriz Bw ' entonces

Como cOl1secuencia del resultado anterior, si 1w - 11 ~ 1, es decir, si w ~ 2 0 W ::; 0 ,

enJonc.e~y ~ntonce~ el. JI1$19dQS~d iverge~segur! ~1 .t~or~}Tla 38. Luego s610 si

[0 < W < 2! (I W - 11 < 1), es pos ible que ~w) < 1 y_ as! el metodo SOR pos_iblemente sg.a

_convergen~

I;n el siguiente teorema, cuya prueba puede consultarse en Ortega , 1990, pag ina 123, se establecen condiciones suficientes para la convergencia del metodo SOR:

Teorema 3.10 Si A es una mat~iz real , simetrica y defin ida positiv~ , eQ!o_n ~es el. metodo SOR converge a la unica soluci6n X del sistema AX = b para cualqu ier elecci6n de la

~prox imaci6n inicial X(O} ER n y cualquier valor de W co 0 < W 2 . ,\1

Tambien se tiene, como en los metodos de Jacobi y Gauss-Seidel, que:

Si II Bw II < 1 para alguna norma matricial inducida, en19...Qc~s .el m~tod.o SOR converge a~ .

unica soluci6n X deJ sistema X = BwX + C , C etc 0 , cualqu iera sea la aproximaci6n inicia l

X(O) ER n , y se tienen las coras para el error de truncamiento II X - X(k} II , dadas en el

-=====---- --"' teorema 3.6. \1

Para cualquier X(O) ER n , el metodo SORconverge a la un ica soluci6n X del sistema

X.= BwX + c , c etc 0 si y s610 si P{Bw) < 1 \1

Algoritmo 3.6 (Metodo SOR) Para encontrar una soluci6n aproximada X de un sistema AX = b con A invertible, b etc 0 y aj j etc 0 para todo i = 1,2, ... ,n , dado un valor del para metro

W con 0 < W < 2 :

Entrada: EI orden n del sistema; las componentes no nulas aj j' i, j = 1,2, .. , n de la matriz A;

las componentes bj , i = 1,2, ... , n del vector de terminos independ ientes b; las

componentes xO j , i = 1,2, ... , n de una aproximaci6n inicial XO = X(O) ; un valor del

parametro w; una tolerancia Tol, y un numero maximo de iteraciones N.

Salida: Una soluci6n aproximada X= ( Xl ' .. ' Xn ) T 0 un mensaJe.

DET'TO ~ Rf RI TO 11'- .. IHnU('lT'l fA "EFE""' (;, 1\1

152 METOOOS NUMERICOS

Paso 1: Tomar k = 1 , Si usamos X(O) = (O,O,O)T y

los siguientes resuHadosPaso 2: Mientras k ::; N , seguir los pasos 3-8 iteraci6n del metoda SOR.

n

b 1 - Ia1j xO j j ~2

Paso 3: Tomar Xl = (1- w)x0 1 + W a 11

Paso 4: Para i =- 2" n - 1 , tomar

1-1 n

b, - IajjX j - IaiJXOj

, =_i+_1__X, = (1- w)xO + W _----'j_=1_ _ ~J'_

a,i

n-1 bn - Ian jXJ

j=1Paso 5: Tomar xn =(1- w)xO n + W

Paso 6: Si II X - xo II < Tol , entonces salida: "Una soluci6n aproximada es Para w =1.2:

X- ( )T" T .= x1 , x2'" '' xn ' ermlnar,

Paso 7: Tomar k = k + 1 ,

Paso 8: Para i =1,2" n , tomar xO j = Xi '

Paso 9: Salida: "Se alcanz6 el numero maximo de iteraciones N pero no la tolerancia", Terminar,

Ejemplo 3.12 Cons ideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

4X1 +3X2 = 1

j3x1+ 4X2 - X3 = 1

- x2 + 4x3 =1

Como la matriz de coeficientes de este sistema es simetrica y definida positiva (verifiquelo!),"

entonces el metodo SOR converge a la unica soluci6n del sistema dado, cualquiera sea la aproximaci6n inicial y cualquiera sea W con 0 < W < 2, segun el teorema3 ,10.,' -,,- , '

· observe que la matriz de coeficientes de este sistema reordenado tam poco es e.d.d. por filas....

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