Министерство на образованиетои науката

Национално

издателство

за образование и наука

MatheMatics and inforMatics

МатеМатика и инфорМатика

Bulgarian Journal of Educational Researh and Practice

Година LVII Kнижка 4 2014 Volume 57 Number 4 2014

Научно списание

София – Sofia2014

ISSN 1310-2230 (Print)ISSN 1314-8532 (Online)

Списанието излиза 6 пъти годишно: книжка 1 (януари-февруари); книжка 2 (март-април); книжка 3 (май-юни); книжка 4 (юли-август); книжка 5 (септември-октомври); книжка 6 (ноември-декември).Printout: six issues per year. Issue 1 (january-february); Issue 2 (march-april); Issue 3 (may-june); Issue 4 (july-august); Issue 5 (september-october); Issue 6 (november-december)

© Министерство на образованието и науката

Научно списаниеMatemатика и информатикаhttp://mathinfo.azbuki.bg/

Главен редактор:Проф. д.п.н. Сава ГроздевИнститут по математика и информатика – БАНул. „Акад. Г Бончев“ №8София 1113E-mail: sava.grozdev@gmail.com

Bulgarian Journal of Educational Researh and Practice Mathematics and Informaticshttp://mathinfo.azbuki.bg/

Editor-in-Chief:Prof. Sava Grozdev, DScProfessor, Doctor in Mathematics, DSc in PedagogyInstitute of Mathematics and Informatics – BASAcad. G. Bonchev Street, bl. 81113 Sofia, BulgariaE-mail: sava.grozdev@gmail.com

С изпращането на текст или илюстрация до редакцията на НИОН „Аз Буки” авторът се съгласява да преотстъпи правата за анонсиране, публикуване и разпространение в изданията на издателството. Авторските права на

публикуваните текстове и илюстрации са собственост на НИОН „Аз Буки“.Материали, които не са одобрени за публикуване, не се рецензират и не се връщат на авторите.

By sending text or illustration to Az Buki Publishing House, the author agrees to submit the copyrights for announcing, publishing and distributing in all Az Buki editions. The copyright of all published texts and illustrations is property of Az Buki

Publishing House. Not accepted for publication texts are not reviewed or sent back to the authors.

Издател: Национално издателство за образование и наука „Аз Буки“Директор: Надя Кантарева-БарухНаучен ръководител направление „Обществени и хуманитарни науки“: проф. Добрин ДобревНаучен ръководител направление „Природни науки и математика“: проф. Борислав ТошевДизайн на корицата: Ива БатаклиеваГрафичен дизайн: Петко БогдановСтилист-коректор: Анелия ВрачеваРазпространение:Евгений Станчев

Publisher:Az Buki National Publishing HouseDirector:Nadya Kantareva-BaruhScientific Head of Section“Social Sciences and Humanities”:Prof. Dobrin Dobrev, DScScientific Head of Section“Natural Sciences and Mathematics”:Prof. Borislav Toshev, DScCover Design:Iva BataklievaLayout Design and Prepress:Petko BogdanovStylist-Corrector:Aneliya VrachevaDistribution:Evgeniy Stanchev

Адрес на издателството: бул. „Цариградско шосе“ 125, бл. 5 1113 София тел. 02/ 425 0470;02/ 425 0471; 02/ 425 0472www.azbuki.bg Е-mail: mathinfo@azbuki.bg

Publishing House Address: 125, Tzarigradsko Chaussee Blvd., bl. 5 1113 Sofia, Bulgariatel. + 359 2/ 425 0470; + 359 2/ 425 0471; + 359 2/ 425 0472 www.azbuki.bg Е-mail: mathinfo@azbuki.bg

Печат: „Алианс принт“ ЕООД Формат 70/100/16.Печатни коли 7.

Printing House:Aliance Print Ltd Size: 70/100/16.Printed Quires: 7

Собственик и издател на научно списание „Maтeматика и информатика“ е НИОН „Аз Буки“ – второстепенен разпоредител на бюджетни кредити на МОН

Главен редактор / Editor-in-Chief

Проф. д.п.н. Сава Гроздев – Институт по математика и информатика – БАН

Редактор / Editor

Николай Кънчев

Научен съвет / Scientific Council

Проф. д-р Асен Рахнев – Пловдивски университет „П. Хилендарски“Проф. д-р Атанасиос Гагатцис – Кипърски университет, Никозия, КипърПроф. д-р Грегор Долинар – Люблянски университет, Любляна, СловенияПроф. д.п.н. Иван Мирчев – Югозападен университет „Н. Рилски“Доц. д-р Игор Воронович – Белоруски държавен университет, Минск, БелорусПроф. д-р Михалис Ламбру – Критски университет, Крит, ГърцияД-р Кайрош Макишев – РСФМШИ, Алмати, КазахстанДоц. д-р Кристинел Мортичи – Университет в Търговище, РумънияДоц. д-р Людмила Хаймина – Институт по математика и компютърни науки при Северноарктически федерален университет „М. В. Ломоносов“, Архангелск, РусияНаири Седракян – МГ, Ереван, АрменияЧл.-кор. на РАО, проф. д.м.н. Николай Розов – Московски държавен университет „М. В. Ломоносов“, Москва, РусияПроф. Русанка Петрова – Шуменски университет „Еп. К. Преславски“Проф. д.п.н. Татяна Сергеева – Академия за социално управление, Москва, Русия

Редакционна колегия / Editorial Board

Гл. ас. д-р Бойко Банчев – Институт по математика и информатика – БАНДоц. д-р Борислав Лазаров – Институт по математика и информатика – БАНДоц. д-р Веселин Ненков – Колеж Ловеч – Технически университет, ГабровоДоц. д-р Галя Кожухарова – Департамент за квалификация на учители, Стара Загора Доц. д-р Даниела Дурева (Тупарова) – Югозападен университет „Н. Рилски“Проф. д.м.н. Евгения Стоименова – Институт по математика и информатика – БАН

Доц. д-р Иван Держански – Институт по математика и информатика – БАН Проф. д-р Коста Гъров – Пловдивски университет „П. Хилендарски“Доц. д-р Росен Николаев – Икономически университет, ВарнаЕвгени Иванов – директор на Математическа гимназия „Атанас Радев“, Ямбол

Редакционен съвет / Advisory Board

Доц. д-р Ангел Ангелов – Софийски университет „Св. Кл. Охридски“Гл. ас. д-р Валентина Гоговска – Скопски университет, Скопие, Македония Гергана Николова – Математическа гимназия, БургасДоц. д-р Емилия Великова – Русенски университет „А. Кънчев“ Гл. ас. д-р Живко Желев – Тракийски университет, Стара ЗагораД-р Ивайло Старибратов – Образцова математическа гимназия, ПловдивД-р Иванка Марашева-Делинова – 21. СОУ, София Ирина Шаркова – Софийска математическа гимназия „П. Хилендарски“, СофияКатя Чалъкова – Математическа гимназия „Ив. Вазов“, ДимитровградМитко Кунчев – Математическа гимназия „Баба Тонка“, РусеПавлин Петков – Математическа гимназия „Д-р П. Берон“, ВарнаГл. ас. Паскал Пиперков – Великотърновски университет „Св. св. Кирил и Методий“Доц. д-р Петя Асенова – Нов български университетСилвия Кънчева – Министерство на образованието и наукатаСнежинка Матакиева – Министерство на образованието и науката

CONTENTS / СЪДЪРЖАНИЕ

EDUCATIONAL TECHNOLOGIES / ОБРАЗОВАТЕЛНИ ТЕХНОЛОГИИ 335 Информатика и математика в контексте метапредметности

[Informatics and Mathematics in the Context of Interdisciplinarity] / С. А. Бешенков, А. Х. Дзамыхов / Sergei Beshenkov, Alibek Dzamihov

343 Кратко ръководство за системата за компютърна алгебра Wolfram Mathematica [A Short Manual for the Computer Algebra System Wolfram Mathematica] Тихомир Иванов / Tihomir Ivanov

355 Компютърно генерирана математика: произведения на Коснита в Евклидовата геометрия [Computer-Generated Mathematics: Kosnita Products in Euclidean Geometry] / Сава Гроздев, Деко Деков / Sava Grozdev, Deko Dekov

364 Обучение в стил Edutainment с използване на компютърна графика [Edutainment Learning Style Using Computer Graphics] / Христо Крушков, Асен Рахнев, Мариана Крушкова/ Hristo Krushkov, Asen Rahnev, Mariana Krushova

384 Няколко свойства на един вид криви, породени от точка на Нагел [Some Properties of a Type of Curves, Generated by a Nagel Point] / Сава Гроздев, Веселин Ненков / Sava Grozdev, Veselin Nenkov

EDUCATIONAL RESEARCH / НАУЧНО–МЕТОДИЧЕСКИ СТАТИИ 402 Honeycomb – a Genius Creation of Nature / Risto Malčeski

408 Three Solutions of a Problem with Four Circles / Šefket Arslanagić

416 Мотивация при решаване на задачи чрез преформулировка на условията [Motivation in Problem Solving by Task Preformulation] / Сава Гроздев, Диана Стефанова / Sava Grozdev, Diana Stefanova

422 Урок за използване на функции в задачи по икономика [A Class Lesson for the Application of Functions to Problems in Economics] / Петя Сярова / Petya Syarova

CONTEST PROBLEMS / КОНКУРСНИ ЗАДАЧИ 431 Конкурсни задачи на броя [Contest Problems of the Issue]

432 Решения на задачите от брой 5, 2013 [Solutions of the Contest Problems from Issue 5, 2013]

435 READ IN THE LATEST ISSUES OF “AZ BUKI“ JOURNALS / В НОВИТЕ БРОЕВЕ НА СПИСАНИЯТА НА ИЗДАТЕЛСТВО „АЗ БУКИ“ ЧЕТЕТЕ

437 GUIDE FOR AUTHORS / УКАЗАНИЕ ЗА АВТОРИТЕ

355

Mathematics and Informatics Volume 57, Number 4, 2014 Maтематика и информатика

Educational Technologies Образователни технологии

КОМПЮТЪРНО ГЕНЕРИРАНА МАТЕМАТИКА: ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА КОСНИТА В ЕВКЛИДОВАТА ГЕОМЕТРИЯ

Сава Гроздев, Деко ДековИнститут по математика и информатика – БАН

Резюме. Произведенията на Коснита на забележителни точки в триъгълника са въведени през 2011 г. от Randy Hutson. В енциклопедиите на Weisstein и Kimberling са дадени таблици с теореми за произведения на Коснита. В статията се показва как тези таблици могат да бъдат разширени с помощта на компютърната програма „Откривател“. Статията съдържа 70 теореми за произведения на Коснита, открити от „Откривател“.

Keywords: computer-generated mathematics, Kosnita product, Euclidean geometry, Discoverer.

1. От таблици с теореми към темаВ тази статия се предполага, че читателят е запознат с предишни техни статии,

посветени на компютърната програма „Откривател“, (виж Гроздев & Деков, 2013a), (Гроздев & Деков, 2013b) и (Гроздев & Деков, 2014) .

В Евклидовата геометрия е известна следната теорема на Коснита (виж напри-мер Weisstein, Kosnita Theorem):

Теорема 1. Нека O е центърът на описаната около DABC окръжност и нека O1, O2 и O3 са центровете на окръжностите, описани съответно около триъгълниците OBC, OCA и OAB. Тогава правите AO1, BO2 и CO3 се пресичат в една точка.

Пресечната точка на правите в горната теорема се нарича точка на Коснита, а триъгълникът 1 2 3O O O се нарича триъгълник на Коснита. По подобен начин се формулират още няколко теореми. През 2006 г. при подготовката на прототипа на „Откривател“ е обобщена конструкцията на теоремата на Коснита, както следва, виж (JCGM, Triangulation Triangles, 2007). Нека е даден DABC и нека P и Q са забележителни точки на триъгълника. Нека A1, B1 и C1 са забележителните точки от тип Q съответно на триъгълниците PBC, PCA и PAB, т.е. A1 = Q-of-PBC, B1 = Q-of-PCA, C1 = Q-of-PAB. Тогава 1 1 1A B C се нарича триъгълник на Коснита на P и Q. Точката Р се нарича точка на триангулация. Триъгълниците PBC, PCA и PAB. наричаме триангулационни триъгълници. В някои случаи триъгълниците на

Сава Гроздев, Деко Деков

356

Коснита са перспективни с DABC. Примери, открити от прототипа на „Откривател“, са дадени в (JCGM, Triangulation Triangles, 2007).

През 2011 г. Randy Hutson (Kimberling, X(54) Kosnita Point) прави още една стъпка, като въвежда понятието произведение на Коснита на точките P и Q, озна-чавано с K (P, Q). Ако триъгълниците АВС и A1B1C1 са перспективни, казваме че центърът на перспектива (перспекторът) е произведение на Коснита на точките Р и Q. Ще отбележим, че в статията (Гроздев & Деков, 2013b) се използва терминът „триангулционно произведение“, който тук е отпаднал.

В енциклопедията (Kimberling), статията X(54) Kosnita Point, е дадена таблица с примери на произведения на Коснита. В енциклопедията (Weinsstein), статията Triangulation Point, също е дадена таблица с примери на произведения на Коснита. Целта сега е да разширим тези таблици, като получим една по-голяма таблица с примери на произведения на Коснита, която съдържа тези таблици. Тази задача може лесно да се реши с помощта на компютърната програма „Откривател“.

Първо, трябва да решим какво множество от забележителни точки да вземем като точки на триангулация. За да разширим таблиците на Kimberling и Weinsstein, от базата данни с точки на „Откривател“ избираме точките на триангулация, включени в тези таблици. Освен това прибавяме и няколко нови точки на триан-гулация по наш избор. Нека сме избрали множеството, подредено като списък List 1 в приложения файл List1.htm. Същото множество от забележителни точки ще използваме и при конструирането на върховете на триъгълниците на Коснита. В други примери могат да се изберат други множества.

По-нататък „Откривател“ конструира триъгълниците на Коснита. Тези триъ-гълници са дадени като списък List 2 във файла List2.htm. Списъкът List 1 съдържа 27 забележителни точки, така че би трябвало в List 2 да бъдат включени 272 = 729 триъгълника на Коснита. Списъкът List 2 обаче съдържа 725 триъгълника. Причи-ната е, че четири от триъгълниците на Коснита са изродени, т.е. имат лице, равно на нула. С „Откривател“ можем лесно да намерим кои триъгълници са изродени.

Задача за читателя. Покажете, че следните триъгълници са изродени:a) Kosnita Triangle of the Orthocenter and the Nine-Point Center;b) Kosnita Triangle of the Outer Fermat Point and the Outer Fermat Point;c) Kosnita Triangle of the Outer Fermat Point and the Inner Napoleon Point;d) Kosnita Triangle of the Inner Fermat Point and the Inner Fermat Point.

Упътване. a) Трите върха на триъгълника съвпадат с точката X(4859) от (Kimberling), която пък съвпада с един от върховете на педалния триъгълник на центъра на окръжността, описана около медиалния триъгълник.

357

Компютърно генерирана математика: произведения на Коснита в Евклидовата геометрия

b) Трите върха на триъгълника съвпадат с точката на Ферма (Outer Fermat Point). c) Трите върха на триъгълника лежат върху една права. d) Два от върховете на триъгълника съвпадат.След това „Откривател“ намира произведенията на Коснита и ги подрежда в

списъка List P, даден във файла 1_List_P.php.htm. Виждаме, че списъкът List P съдържа 70 произведения на Коснита. Това означава, че 70 от триъгълниците на Коснита, дадени в List 2, са перспективни с DABC, а останалите 705 от List 2 не са перспективни с DABC.

За да изучим точките, които са произведения на Коснита, към List P прилагаме процедурата за частична идентификация на точки, описана в (Гроздев & Деков, 2013b). Ако една точка от List Р е включена в енциклопедията на Кимбърлин, то процедурата идентифицира точката с точка от (Kimberling). List K показва, че 39 от 70 точки, включени в List Р, са включени в (Kimberling), а останалите точки от List P са включени в List D. Освен файловете от процедурата за частична иден-тификация на точки в този случай „Откривател“ произвежда и два допълнителни файла с таблици, файловете Table_P-Q-X.php.htm и Table_X-P-Q.php.htm, които в някои случаи са по-удобни за прочит на теоремите.

2. Преглед на резултатитеДа се върнем към изходните таблици с теореми на (Weisstein) и (Kimberling).За да сравним получените резултати с резултатите от таблицата на (Weisstein,

Triangulation Point), удобно е да ползваме таблицата Table P-Q-X, дадена във файла Table_P-Q-X.php.htm. Таблицата на (Weisstein) съдържа пет теореми за произведе-ния на Коснита. Тези теореми са включени в Table P-Q-X, с изключение на една. Произведението на Коснита на точката на Ферма (Outer Fermat Point) със същата точка не съществува, защото съответният триъгълник на Ферма е изроден (виж списъка с изродените триъгълници, даден по-горе).

За да сравним получените резултати с резултатите от таблицата на (Kimberling, X(54)), удобно е да ползваме таблицата Table X-P-Q, дадена във файла Table_X-P-Q.php.htm. Таблицата на (Kimberling, X(54)) съдържа десет теореми за произведе-ния на Коснита. Тези теореми са включени в Table X-P-Q, с изключение на една. Теоремата X(13) = K(X(10),X(1)) не е вярна, както читателят би могъл да се убеди самостоятелно.

Виждаме, че с „Откривател“ можем лесно да разширим таблици с теореми за произведения на Косинта, като поправим и грешките в тях, ако има такива. В откритите от „Откривател“ теореми са срещат и популярни теореми, които компютърната програма е преоткрила. В List P-X, ред 1, намираме следната теорема:

Сава Гроздев, Деко Деков

358

Теорема 2. The First de Villiers Point is the Kosnita Product of the Incenter and the Incenter.

Теорема 2 е известната теорема на De Villiers. В този случай триъгълникът на Коснита е известният триъгълник на De Villiers. За теоремата на De Villiers виж например (De Villiers 1996), (De Villiers 2009), (Weisstein, BCI Triangle).

В List P-X, ред 9, намираме следната теорема:Теорема 3. The Nine-Point Center is the Kosnita Product of the Orthocenter and

the Circumcenter.В горната теорема триъгълникът на Коснита е известният триъгълник на Карно.

За триъгълника на Карно виж (Castellsaguer, Carnot Triangle). Ще отбележим, че при изучаване на темата за произведения на Коснита може

да бъде полезна следната теорема, доказана в (Гроздев & Деков, 2013b).Теорема 4. The Kosnita Product of an arbitrary Point P and the Centroid is the

Complement of the Complement of Point P.В допълнение към казаното за тази теорема в (Гроздев & Деков, 2013b) ще

отбележим, че ако в теорема 4 разглеждаме произведението на Коснита като цен-

тър на хомотетия с коефициент 13

k =- , то тази хомотетия изобразява DABC в триъгълника на Коснита. Доказателство на теоремата, с добавката за хомотетията, е дадено в приложения файл Theorem4.mws на Maple. Доказателството използва барицентрични координати. За барицентричните координати виж (Гроздев & Нен-ков, 2012a,b). С Maple е лесно да се произвеждат доказателства, защото трябва да се пишат само команди, като самата компютърна програма извършва алгебричните преобразувания.

В горния пример на разработена тема получихме (в List P) 70 теореми, утвърж-даващи съществуването на перспективност между триъгълници, а в някои случаи (в List К) даващи и характеризация на перспектора. Ще отбележим, че ако един триъгълник е включен в List 2, но за него няма теорема в List P, това означава че триъгълникът АВС и този триъгълник не са перспективни, което също е теорема, заслужаваща интерес. Ако включим и теоремите от този вид, общият брой на те-оремите сава 725. Авторите предполагат, че някои от тези теореми са нови.

Като стартово множество по-горе със забележителни точки беше избрано мно-жеството List 1, което съдържа 27 забележителни точки на триъгълника. Можем да изберем някое друго стартово множество от забележителни точки от базата данни на „Откривател“, като продължим с разширяването на резултатите. Разширяването може лесно да продължи с помощта на „Откривател“. Трябва само да се щрака с мишката. Понастоящем базата данни с точки на „Откривател“ съдържа около 500 хиляди забележителни точки, с планирано разширение до 5 милиона.

359

Компютърно генерирана математика: произведения на Коснита в Евклидовата геометрия

При разработването на горната тема приехме, че търсим перспектори на триъ-гълници на Коснита и DABC. Можем да търсим обаче наличието на перспектива на триъгълници на Коснита не само с DABC, но и с други триъгълници от базата данни със забележителни триъгълници на „Откривател“. В този случай можем да говорим за „обобщено произведение на Коснита“, като едно такова произведение зависи от триъгълник Т. Обобщеното произведение на Коснита се свежда до обикновеното произведение на Коснита, когато триъгълникът Т съвпада с DABC. В тази насока „Откривател“ може да произведе голям брой резултати, които тук няма да разглеждаме.

В Евклидовата геометрия има голям брой конструкции, зависещи от две забеле-жителни точки. Подобно на конструкцията на произведението на Коснита можем да предефинираме редица конструкции като произведения на забележителни точки. Авторите възнамеряват да разгледат тези въпроси в други публикации.

3. Нови забележителни точки на тръгълъникаАко искаме да изследваме нови забележителни точки на триъгълника, трябва

да погледнем List D. В този списък са точки, които не са включени в енциклопе-дията на Кимбърлин, така че може да се предполага, че тези точки не са изучени в литературата.

Всеки ред от списъка List D може да бъде прочетен като теорема, която утвърж-дава съществуването на перспективни триъгълници. Да разгледаме следните две теореми от List D:

Теорема 5. (List D, 24) Kosnita Product (Homothetic Center) of the Internal Center of Similitude of the Incircle and the Circumcircle and the Centroid exists..

Теорема 6. (List D, 25) Kosnita Product (Homothetic Center) of the External Center of Similitude of the Incircle and the Circumcircle and the Centroid exists.

В статията (Гроздев & Деков, 2013b) са дадени примери за преформулиране на теореми, произведени от „Откривател“, като задачи. Бихме могли да преформули-раме теореми 5 и 6 като задачи.

Задача 1. Нека е даден DABC и нека Si е вътрешният център на хомотетия на вписаната и описаната окръжност на DABC. Нека Ga, Gb и Gc са медицентровете съответно на триъгълниците SiBC, SiCA и SiAB. Докажете, че правите AGa, BGb и CGc се пресичат в една точка, която е център на хомотетия, изобразяваща DABC в DGaGbGc (фиг.1).

Читателят може да преформулира теорема 6 като задача, като използва условието на задача 1, в което думата „вътрешният“ е заменена с „външният“.

Горните теореми са частни случаи на Теорема 4 (с добавката за хомотетията, дадена след текста на теоремата). Така можем да считаме теореми 5 и 6 за доказани.

Сава Гроздев, Деко Деков

360

Можем да получим и самостоятелни техни доказателства, т.е. доказателства, които да използват теорема 4. В доказателството на теорема 4 трябва барицентричните координати на произволната точка Р да се заменят с барицентричните координати на вътрешния (съответно външния) център на хомотетия на вписаната и описана-та окръжност на ABC . За барицентричните координати на тези две точки виж например (Kimberling, X(55), X(56). В началото на файла Theorem4.mws лесно можем да направим посочените промени, като получаваме файловете Theorem5.mws и Theorem6.mws, които са приложени.

В теореми 5 и 6 перспекторите не са посочени, но като отчетем теорема 4, виждаме, че тези перспектори са следните точки:

A1. Complement of the Complement of the Internal Center of Similitude of the Incircle and the Circumcircle.

A2. Complement of the Complement of the External Center of Similitude of the Incircle and the Circumcircle.

При анонсиране на нова забележителна точки на триъгълника е желателно да бъдат посочени барицентричните координати на новата точка. (В енциклопедията на Кимбърлин това е задължително). С Maple можем лесно да получим барицен-тричните координати на точките А1 и А2. Първата барицентрична координата на точката А1 е следната:

2 2 22 ( ) ( ) ( )u a b c a b c a b c a b c= + - + + - + + - .Останалите две координати получаваме циклично. Файлове с барицентричните

координати на А1 и А2 са приложени. Това са съответно файловете Point_A1.mws и Point_A2.mws.

С „Откривател“ можем да намерим някои роли на „новите“ („нови“, в смисъл че не са включени в енциклопедията на Кимбърлин) забележителни точки А1 и

Фигура 1. Правите AGa, BGb и CGc се пресичат в точка К. На чертежа правите не са начертани

361

Компютърно генерирана математика: произведения на Коснита в Евклидовата геометрия

А2. За целта трябва да приложим процедурата „Идентификация на точка“. „От-кривател“ притежава подобни процедури за всеки вид забележителни обекти на триъгълника. При тази процедура намираме ролите на точката, определяме върху какви окръжности и върху какви прави лежи точката и т.н. Тъй като базата данни на „Откривател“ е в процес на разработване, тук ще дадем само файлове ListA1.htm и ListA2.htm, които съдържат някои роли на точки, получени с използването на част от базата данни на „Откривател“. Файл ListA1.htm съдържа пет роли на точката А1. Като отчетем и двете роли, дадени по-горе, получаваме общо седем роли, едната от които бихме могли да приемем за определение на точката. Друг подход е да счита-ме всички роли за равностойни и също, че множеството на всички роли определя точката. Ако вземем две от ролите на една точка, можем да композираме задача, в която участват двете избрани роли. Например, ако вземем роля, дадена по-горе, и роля 5 от списъка с роли, даден във файла ListA1.htm, можем да съставим следната теорема (Колко общо теореми можем да съставим за точка А1 по този начин?):

Теорема 7. The Complement of the Complement of the Internal Center of Similitude of the Incircle and the Circumcircle is the Perspector and Homothetic Center of the Medial Triangle and the Triangle of the Circumcenters of the Pedal Corner Triangles of the Internal Center of Similitude of the Incircle and the Circumcircle.

Фигура 2. Правите A1A3, B1B3 и C1C3 се пресичат в точка P. На чертежа правите не са изобразени.

Можем да преформулираме теорема 7 като задача:Задача 2. Нека е даден ABC и нека 1 1 1A B C е неговият медиален триъгълник.

Нека Si е вътрешният център на хомотетия на вписаната и описаната окръжност на ABC и нека 2 2 2A B C е педалният тръгълник на Si . Нека 3A е центърът

Сава Гроздев, Деко Деков

362

на описаната около AC2B2 окръжност. Аналогично определяме точките B3 и C3 . Нека G е медицентърът на DABC и нека точка P дели вътрешно отсечката SiG в отношение : 3 :1SiP PG = . Докажете, че правите 1 3A A , 1 3B B и 1 3C C се пресичат в точка Р (фиг. 2).

Подобно на горните две точки А1 и A2 с помощта на „Откривател“ можем да изследваме и останалите предполагаемо нови точки от списъка List D. Ще отбе-лежим, че в List D има изброени 31 точки, но две от тези точки съвпадат. Така всъщност в списъка има 30 различни „нови“ точки. С „Откривател“ можем лесно да намерим кои две точки съвпадат.

Задача за читателя. Покажете, че точките, които в List D са на редове 14 и 15, съвпадат.

ПРИЛОЖЕНИЕКъм статията е приложен файлът kosnita.zip, който съдържа файловете, които

са цитирани в тази статия. Този файл може да бъде изтеглен от уеб страницата на книжката на списанието.

БЕЛЕЖКИ1. Weisstein, E. W., MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/2. Kimberling, C. Kimberling’s Encyclopedia of Triangle Centers, http://faculty.

evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html3. de Villiers, M., (2009), From the Fermat point to the De Villiers points of a triangle,

http://frink.machighway.com/~dynamicm/devillierspoints.pdf4. Castellsaguer, Q, Quim Castellsaguer ‘s The Triangles Web, http://www.xtec.

cat/~qcastell/ttw/ttweng/portada.html5. JCGM, Journal of Computer-Generated Mathematics (до 2011 г. Journal of

Computer-Generated Euclidean Geometry), http://www.ddekov.eu/j/

ЛИТЕРАТУРА1. Гроздев, С. & Ненков, В. (2012a). Три забележителни точки върху медианите

на триъгълника. София: Архимед.2. Гроздев, С. & Ненков, В. (2012b). Около ортоцентъра в равнината и простран-

ството. София: Архимед.3. Гроздев, С. & Деков, Д. (2013a). По пътя към първата компютърно генерирана

енциклопедия, Математика и информатика, 1, 49 – 59.4. Гроздев, С. & Деков, Д. (2013b). Някои приложения на компютърната програма

„Откривател“, Математика и информатика, 5, 444 – 455.5. Гроздев, С. & Деков, Д. (2014). Компютърно генерирана математика: Разработва-

363

Компютърно генерирана математика: произведения на Коснита в Евклидовата геометрия

не на тема от Евклидовата геометрия, Математика и информатика, 1, 34 – 42.6. De Villiers, M. (1996). A dual to Kosnita’s theorem, Mathematics & Informatics

Quarterly, 6(3), 169-171, копие в интернет: http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/kosnita.htm

REFERENCES:1. Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012a). Tri zabelezhitelni tochki varhu medianite na

triagalnika. Sofiya: Arhimed.2. Grozdev, S. & Nenkov, V. (2012b). Okolo ortotsentara v ravninata i prostranstvoto.

Sofiya: Arhimed.3. Grozdev, S. & Dekov, D. (2013a). Po patya kam parvata kompyutarno generirana

entsiklopediya, Matematika i informatika, 1, 49 – 59.4. Grozdev, S. & Dekov, D. (2013b). Nyakoi prilozheniya na kompyutarnata programa

„Otkrivatel“, Matematika i informatika, 5, 444 – 455.5. Grozdev, S. & Dekov, D. (2014). Kompyutarno generirana matematika: Razrabotvane

na tema ot Evklidovata geometriya, Matematika i informatika, 1, 34 – 42.6. De Villiers, M. (1996). A dual to Kosnita’s theorem, Mathematics & Informatics

Quarterly, 6(3), 169-171, kopie v internet: http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/kosnita.htm

COMPUTER-GENERATED MATHEMATICS: KOSNITA PRODUCTS IN EUCLIDEAN GEOMETRY

Abstract. In 2011 Randy Hutson introduced the notion of Kosnita products. In the encyclopedias of Weisstein and Kimberling some tables are given with theorems on Kosnita products. It is shown in the paper how these tables could be extended by mens of the computer program “Discoverer”. The paper contains 70 theorems on Kosnita products, produced by “Discoverer”.

* Prof. Sava Grozdev, DScInstitute of Mathematics and Informatics – BAS

Acad. G. Bonchev Street, bl. 8Sofia, Bulgaria

E-mail: sava.grozdev@gmail.com

* Dr. Deko Dekov, Assoc. Prof.Stara Zagora, Bulgaria

E-mail: ddekov1@gmail.com