Ένα στερεό σώµα αποτελείται από λεπτό δακτυ λίδι µάζας m και ακτίνας R και από δύο όµοιες λεπτές ράβδους µαζάς m η κάθε µια, των οποίων τα κέντρα έχουν ηλεκτροκολυθεί µε το δακτυλίδι, σε αντιδιαµετρικά του σηµεία του είναι δε κάθετες στο επίπεδό του. Το στερεό τοποθετείται σε κεκλιµένο επίπεδο γω νίας κλίσεως θ ως προς τον ορίζοντα, ώστε η περιφέρειά του να εφάπτεται του κεκλιµένου επιπέδου και η ευθεία που συνδέει τα κέντρα C1, C2 των ράβδων να είναι κάθετη προς την γραµµή µέγι στης κλίσεως του επιπέδου. Κάποια στιγµή το στερεό αφήνεται ελεύθερο και τότε το δακτυλίδι κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά την διεύθυνση της γραµµής µέγιστης κλίσεως του επιπέδου. i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου του δακτυλιδιού. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την κινητική ενέρ γεια του στερεού και να βρείτε την τιµή της την στιγµή που η ευθεία C1C2 γίνεται για πρώτη φορά παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση

�

g της βαρύτητας.

ΛΥΣΗ: i) Eξετάζουµε το σύστηµα κάποια στιγµή που η κλίση της ευθείας που συνδέει τα κέντρα µάζας C1, C2 των δύο ράβδων, ως προς την γραµµή µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου είναι φ. Κατά την κίνηση του συστήµατος κάθε ράβδος εκτελεί µεταφορική κίνηση, διότι ανά πάσα στιγµή όλα τα σηµεία της έχουν την ίδια ταχύτητα που προκύπτει ως επαλληλία της µεταφορικής συνιστώσας της κύλισης του δακτυλιδιού και της περιστρο φικής συνιστώσας περί άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το

Σχήµα 1 Σχήµα 2

κέντρο µάζας του C. H στροφορµή

�

L C του συστήµατος περί το κέντρο µάζας

C του δακτυλιδιού, που είναι και κέντρο µάζας του συστήµατος, είναι ίση µε

το διανυσµατικό άθροισµα της αντίστοιχης στροφορµής

�

L Δ του δακτυλιδιού

και των αντίστοιχων στροφορµών

�

L 1 ,

�

L 2 των δύο ράβδων, δηλαδή ισχύει:

�

L C =

L Δ +

L 1 +

L 2

�

⇒

�

L C = IΔ

ω + CC1 × M

v 1 + v C( )[ ] + CC2 × M

v 2 +

v C( )[ ]

�

⇒

�

L C = IΔ

ω + CC1 × M

v 1 + v C( )[ ] + -CC1 × M -

v 1 + v C( )[ ]

�

⇒

�

L C = IΔ

ω + CC1 × M

v 1( ) + CC1 × M

v 1( ) = IΔ

ω +2 CC1 × M

v 1( ) (1)

όπου

�

ω η γωνιακή ταχύτητα του δακτυλιδιού την στιγµή t που εξετάζουµε

το σύστηµα,

�

v C η αντίστοιχη ταχύτητα του κέντρου µάζας του και

�

v 1 ,

�

v 2 οι

αντίστοιχες ταχύτητες των κέντρων µάζας των δύο ράβδων λόγω της περισ τροφικής συνιστώσας της κίνησης του δακτυλιδιού, οι οποίες είναι µεταξύ τους αντίθετες (σχ. 1). Εάν

�

k είναι το µοναδιαίο κάθετο διάνυσµα στην

επιφάνεια του δακτυλιδιού η σχέση (1) µπορεί να πάρει την µορφή:

�

L C = MR2ω

k +2M Rv1ηµπ / 2( )

k = MR2ω

k +2M R2ω( ) k

�

⇒

�

L C = 3MR2ω

k (2)

όπου τέθηκε

�

v1=ωR λόγω της κυλίσεως του δακτυλιδιού. Εξάλλου το σύστηµα κατά την κίνησή του δέχεται το βάρος

�

w Δ του δακτυλιδιού, τα

βάρη

�

w 1,

�

w 2 των δύο ράβδων και την δύναµη επαφής από το κεκλιµένο

επίπεδο που αναλύεται στην στατική τριβή

�

T και στην κάθετη αντίδραση

�

N

(σχ. 2). Εφαρµόζοντας για το σύστηµα τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας του C, παίρνουµε την σχέση:

�

d L Cdt

=Σ τ (C)

�

⇒

�

d L Cdt

= τ w Δ (C) +

τ w 1 (C) +

τ w 2 (C) +

τ

N (C)+ τ

T (C)

�

⇒

�

d L Cdt

= 0 + CC1 ×

w 1( ) + CC2 ×

w 2( ) +

0 + CA×

T ( )

�

⇒

�

d L Cdt

= CC1 × w 1( ) + -CC1 ×

w 1( ) + CA×

T ( )

�

⇒

�

d L Cdt

= CA× T ( ) = RTηµπ/2( )

k =RT

k

�

⇒(2)

�

3MR2 dωdt

k = RT

k

�

⇒

�

3MR ′ ω = T

�

⇒

�

3MaC = T (3)

όπου

�

′ ω η γωνιακή επιτάχυνση του δακτυλίου,

�

a C η επιτάχυνση του κέντ

ρου µάζας C, ενώ τέθηκε aC =ω′R λόγω της κυλίσεως του δακτυλιδιού Εξάλ λου εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας C τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

�

3Mgηµθ -T = 3MaC

�

⇒(3)

�

3Mgηµθ -3MaC = 3MaC

�

⇒

�

Mgηµθ = 2MaC

�

⇒

�

aC = gηµθ / 2 (4) ii) H κινητική ενέργεια KΣ του συστήµατος την χρονική στιγµή t είναι ίση µε το άθροισµα της κινητικής ενέργειας ΚΔ του δακτυλίου και της κινητι κής ενέργειας Κ1+ Κ2 των δύο ράβδων, δηλαδή θα ισχύει:

�

KΣ = KΔ +K1 +K2 =MvC

2

2+

IΔω2

2+

MV12

2+

MV22

2

�

⇒

�

KΣ =MvC

2

2+

MR2ω 2

2+

MV12

2+

MV22

2

�

⇒

�

KΣ =MvC

2

2+

MvC2

2+

MV12

2+

MV22

2= MvC

2 +M

2V1

2 +V22( ) (5)

όπου

�

V 1,

�

V 2 οι ταχύτητες των κέντρων µάζας C1, C2 αντιστοίχως των δύο

ράβδων την στιγµή t. Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων αυτών ισχύουν οι σχέσεις:

�

V12 = vC

2 +v12 +2vCv1συν π / 2+ϕ( )

V22 = vC

2 +v22 +2vCv2συν π / 2-ϕ( )

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

V12 = vC

2 +vC2 -2vC

2ηµϕV2

2 = vC2 +vC

2 +2vC2ηµϕ

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

V12 = 2vC

2 -2vC2ηµϕ

V22 = 2vC

2 +2vC2ηµϕ

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒( + )

�

V12 +V2

2 = 4vC2 (6)

όπου τέθηκε v1=v2=vC . Συνδυάζοντας τις (5) και (6) παίρνουµε την σχέση:

�

KΣ = MvC2 +

4MvC2

2= 3MvC

2

�

⇒

�

KΣ = 3MaC2t2

�

⇒(4)

�

KΣ =3Mg2ηµ 2θ

4t2 (7)

Στον χρόνο t* που η ευθεία C1C2 από κάθετη προς το κεκλιµένο επίπεδο γίνεται για πρώτη φορά παράλληλη προς αυτό, το δακτυλίδι έχει στραφεί περί άξονα κάθετο στο επιπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του C κατά γωνία φ=π/2, για την οποία ισχύει η σχέση:

�

π2

=′ ω t*

2

2

�

⇒

�

π =aCt*

2

R

�

⇒(4)

�

π =gηµθ t*

2

2R

�

⇒

�

t*2 =

2πRgηµθ

H (7) για t=t* δίνει την ζητούµενη κινητική ενεργεια Κ* του συστήµατος, δηλαδή θα έχουµε:

�

K* =3Mg2ηµ 2θ

4

2πRgηµθ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

�

⇒

�

K*=

3πMgRηµθ2

Παρατήρηση: Για να αποφύγουµε συλλογισµούς που ξεφεύγουν από τα καθιερωµένα της Γ! Λυκείου θα ήταν θεµιτό να αντικατασταθούν οι δύο ράβδοι µε δύο µικρά σφαιρίδια µάζας m το καθένα, συγκολληµένα µε το δακτυλίδι σε αντιδιαµετ ρικά σηµεία του και προς το κοίλο µέρος του.

P.M. fysikos

Πρισµατική ράβδος µάζας M, φέρεται σε επαφή µε δύο όµοιους κυλίνδρους που συγκρατούνται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ=π/6 ως προς τον ορίζοντα, µε τους άξονές τους παράλληλους σε κάποια απόσταση, οι οποίοι διευθύ νονται κάθετα προς την γραµµή µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου. Το σύστηµα αφήνεται κάποια στιγµή εκ της ηρεµίας ελεύθερο να κινηθεί. i) Με την προυπόθεση ότι οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση, τόσο πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο όσο και πάνω στην πρισµατική ράβδο, να υπολογιστεί η επιτάχυνση της µεταφορικής κίνησης της ράβδου. ii) Να εξετάσετε άν κάθε κύλινδρος δέχεται µεγαλύτερη τριβή από το κεκλιµένο επίπεδο ή από την πρισµατική ράβδο. H ροπή αδράνειας κάθε κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I=mR2/2, όπου R η ακτίνα και m η µάζα του. ΛΥΣΗ: Η πρισµατική ράβδος εκτελεί καθοδική µεταφορική κίνηση κατά µήκος της γραµµής µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου υπό την επίδραση του βάρους της

�

W , το οποίο αναλύεται στην παράλληλη προς το

κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

W 1 και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα

�

W 2, τις δυνάµεις επαφής από τους κυλίνδρους που αναλύονται στις στατι

κές τριβές

�

T 1,

�

T 2 αντίρροπες προς την κατεύθυνση κίνησής της και στις κά

θετες αντιδράσεις

�

N 1,

�

N 2 (σχ. 3). Εξάλλου κάθε κύλινδρος δέχεται το βάρος

του

�

w που αναλύεται στην παράλληλη και στην κάθετη προς το κεκλιµένο

επίπεδο συνιστώσα

�

w 1 ,

�

w 2 αντιστοίχως, τις δυνάµεις επαφής από την

πρισµατική ράβδο που αναλύονται στις στατικές τριβές

�

′ T 1 ,

�

′ T 2 αντίθετες

των

�

T 1,

�

T 2 αντιστοίχως (αξίωµα ισότητας δράσης-αντίδρασης) και στις

κάθετες αντιδράσεις

�

′ N 1,

�

′ N 2 αντίθετες των

�

N 1,

�

N 2 αντιστοίχως και τέλος

τις δυνάµεις επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο που αναλύονται στις στα

τικές τριβές

�

f 1,

�

f 2 και στις κάθετες αντιδράσεις

�

A 1,

�

A 2 (σχ. 4 ).

Εφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση της πρισµατικής ράβδου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση:

Σχήµα 3

�

W1 -T1 -T2 = Maρ

�

⇒

�

Mgηµ π/6( ) -T1 -T2 = Mαρ

�

⇒

�

Mg/2-T1 -T2 = Mαρ

�

⇒

�

T1 +T2 = M g/2-αρ( ) (1)

Σχήµα 4

όπου

�

a ρ η επιτάχυνση της ράβδου. Επειδή οι κύλινδροι κυλίονται χωρίς

ολίσθηση πάνω στην ράβδο, οι επιταχύνσεις των σηµείων επαφής τους µε την ράβδο κατά την διεύθυνση κίνησής της θα είναι ίσες µε

�

a ρ . Όµως οι

κύλινδροι κυλίονται χωρίς ολίσθηση και πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο, οπότε οι επιταχύνσεις των κέντρων µαζας τους θα είναι

�

a ρ /2. Το γεγονός αυτό

µας επιτρέπει για τους κυλίνδρους να γράψουµε τις σχέσεις:

�

′ T 1 +w1 - f1 = maρ / 2′ T 2 +w1 - f2 = maρ / 2

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

T1 +mgηµ π/6( ) - f1 = maρ / 2T2 +mgηµ π/6( ) - f2 = maρ / 2

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

T1 -f1 = m aρ -g/2( )T2 -f2 = m aρ -g/2( )

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪ (2)

Eξάλλου εφαρµόζοντας για την περιστροφική συνιστώσα της κίνησης κάθε κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης έχουµε:

�

′ T 1R+f1R = I ′ ω ′ T 2R+f2R = I ′ ω

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

T1 +f1 = mR ′ ω / 2T2+f2 = mR ′ ω / 2

⎫ ⎬ ⎭

�

⇒

�

T1 +f1 = maρ / 2T2+f2 = maρ / 2

⎫ ⎬ ⎭ (3)

Προσθέτοντας κατά µέλη τις σχέσεις (2) παίρνουµε:

�

T1 +T2( ) - f1 +f2( ) = 2m aρ -g / 2( ) (4)

ενώ προσθέτοντας κατά µέλη τις (3) έχουµε:

�

T1 +T2( ) + f1 +f2( ) = maρ (5)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε:

�

2 T1 +T2( ) = 3maρ -mg

�

⇒

�

T1 +T2 = 3maρ / 2 -mg/2 (6)

H (1) λόγω της (6) γράφεται:

�

Mg

2-αρ

⎛ ⎝

⎞ ⎠ = 3m

aρ

2-m

g

2

�

⇒

�

M+m( ) g

2= aρ

3m

2+M

⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

⇒

�

M+m( )g = aρ 3m+2M( )

�

⇒

�

aρ =M+m( )g3m+2M

(7)

ii) Oι σχέσεις (2) λόγω της (7) δίνουν:

�

T1 -f1 =m M+m( )g3m+2M

-mg

2

�

⇒

�

T1 -f1 = mgM+m

3m+2M-1

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

⇒

�

T1 -f1 =mg

2

2M+2m -3m -2M

3m+2M⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

⇒

�

T1 -f1 = -g

2

m2

3m+2M

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ < 0

και

�

T2 -f2 = -g

2

m2

3m+2M

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ < 0

δηλαδή οι τριβές που δέχονται οι κύλινδροι από το κεκλιµένο επίπεδο είναι µεγαλύτερες των τριβών από την πρισµατική ράβδο.

P.M. fysikos

To στερεό Σ1 του σχήµατος (5) αποτελείται από οµογενές κυκλικό δακτυλίδι µάζας Μ και ακτίνας R στο οποίο έχουν στερεωθεί τρείς λεπτές ράβδοι µάζας m η κάθε µια, οι οποίες αποτελούν διαµέτρους του δακτυλιδιού. To στερεό Σ2 είναι ένας οµογενής κυκλικός δίσκος µάζας Μ και ακτίνας R, του οποίου το κέντρο συνδέεται µέσω λεπτής και αβαρούς ράβδου µε το κέντρο του δακτυλιδιού, η οποία ράβδος επιτρέπει την περιστροφή τόσο του δίσκου όσο και του δακτυλιδιού περί άξονες που διέρχενται

από τα κέντρα τους και είναι κάθετοι στα επίπεδά τους. Το σύστηµα αφήνεται επί κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, µε την ράβδο παράλληλη προς την γραµµή µέγιστης κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου (σχ. 5) και τότε τα δύο στερεά αρχίζουν να κυλίονται χωρίς ολίσθηση πάνω στο επίπεδο. i) Να βρεθεί η συνθήκη, ώστε η ράβδος να συµπιέζεται µεταξύ των κέντρων των δύο στερεών στην διάρκεια της κύλισής τους. ii) Eάν µ είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του κεκλιµέ νου επιπέδου και των περιφερειών επαφής των δύο στερεών, να βρεθεί η συνθήκη που εξασφαλίζει την χωρίς ολίσθηση κύλισή τους. Δίνεται η ροπή αδράνειας ΙΔ=ΜR2/2 τoυ δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του και η ροπή αδράνειας ΙΡ=m(2R)2/12 κάθε ράβδου του στερεού Σ1, ως προς τον άξονα περιστροφής του. ΛΥΣΗ: i) Η ράβδος που συνδέει τα κέντρα των δύο στερεών Σ1, Σ2 εκτελεί µεταφορική κίνηση, παραµένουσα παράλληλη προς την γραµµή µέγιστης

κλίσεως του κεκλιµένου επιπέδου, υπό την επίδραση των δυνάµεων ′F1 και

′F2 που δέχεται στις άκρες της από τα σώµατα Σ1 και Σ2 αντιστοίχως (το

βάρος της θεωρείται ασήµαντο). Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου µπορούµε, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, να γράψουµε την σχέση:

′F1+′F2= mΡ

a ≈0

�

⇒ ′F1=-′F2 (1)

Σχήµα 5 όπου

�

a η επιτάχυνση της ράβδου ίση µε την κοινή επιτάχυνση των κέντρων

µάζας των δύο σωµάτων και mΡ η µάζα της ράβδου, που θεωρείται περιπου

µηδενική. Από την (1) προκύπτει ότι οι δυνάµεις ′F1 και

′F2 είναι αντίθετες

που σηµαίνει ή ότι έχουν τον ίδιο φορέα αντίθετες φορές και ίδιο µέτρο ή συ νιστούν ζεύγος δυνάµεων. Το δευτερο όµως αποκλείεται διότι η ράβδος δεν έχει περιστροφική κίνηση περί το κέντρο µάζας της. Επειδή όµως είναι απαί τηση του προβλήµατος η ράβδος να συµπιέζεται (συνθλίβεται) µεταξύ των

κέντρων των δύο σωµάτων πρέπει οι δύνάµεις ′F1 και

′F2 να έχουν την

φορά που φαίνεται στο σχήµα (5). Εξετάζοντας στην συνέχεια το σώµα Σ1 παρατηρούµε ότι αυτό κυλίεται υπό την επίδραση του βάρους του

�

w 1 που

αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα

�

w 1x και

στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα

�

w 1y, την δύναµη επαφής από το κεκλιµέ

νο επίπεδο που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση

�

N 1 και στην στατική

τριβή

�

T 1 και τέλος την δύναµη

F

1 από την ράβδο, η οποία είναι αντίθετη της

′F1 όπως προβλέπεται από τον τρίτο νόµο του Νεύτωνα (σχ. 6). Ανάλογες δυ

Σχήµα 6

νάµεις δέχεται και το σώµα Σ2, µε την επισήµανση ότι η δύναµη επαφής F

2

από την ράβδο ως αντίθετη της ′F2 είναι ίση µε -

F

1. Εφαρµόζοντας για την

µεταφορική συνιστώσα της κίνησης του Σ1 τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα, παίρνουµε την σχέση: w1x

-T1+F

1=Μa

�

⇒ Μgηµϕ -T1+F

1=Μa (2)

Eφαρµόζοντας για την περιστροφική συνιστώσα της κίνησης του Σ1 τον θεµε λιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε:

T1R=I

1′ω

�

⇒ T1R=ΜR2 ′ω /2

�

⇒ T1=Μa/2 (3)

όπου

�

ω ' η γωνιακή επιτάχυνση του Σ1, της οποίας το µέτρο λόγω της

κύλισής του είναι ίσο µε a/R. Συνδιάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) έχουµε: Mgηµϕ -Ma/2+ F

1=Ma

�

⇒ Mgηµϕ + F1=3Ma/2 (4)

Eξετάζοντας µε εντελώς ανάλογο τρόπο την µεταφορική και περιστροφική συνιστώσα της κίνησης του στερεού Σ2 έχουµε τις σχέσεις:

w2x

-T2-F

2= Μ+3m( )a

T2R=I

2′ω

⎫⎬⎪

⎭⎪

�

⇒

Μ+3m( ) gηµϕ-T2-F

2= Μ+3m( )a

T2R= ΜR2+3m 2R( )2/12⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

′ω

⎫

⎬⎪

⎭⎪

�

⇒

Μ+3m( ) gηµϕ-T2-F

2= Μ+3m( )a

T2= ΜR+mR( ) ′ω = Μ+m( ) a

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

F1=F2

Μ+3m( ) gηµϕ-F

1=2 Μ+2m( )a (5)

Οι σχέσεις (4) και (5) διαιρούµενες κατά µέλη δίνουν:

Mgηµϕ + F1

Μ+3m( ) gηµϕ-F1

=3Ma/2

2 Μ+2m( )a

�

⇒

4M Μ+2m( ) gηµϕ+ 4 Μ+2m( )F1

=3Μ Μ+3m( ) gηµϕ-3ΜF1

�

⇒

7Μ+8m( )F1

=Μgηµϕ 3Μ+9m-4M-8m( )

�

⇒

F

1=M m-M( )7Μ+8m

gηµϕ (6)

Εαν ισχύει m>M τότε από την (6) προκύπτει F1 >0, που σηµαίνει ότι όντως οι δυνάµεις επί της ράβδου είναι θλιπτικές, δηλαδή η ράβδος συµπιέζεται. Αν ισχύει m=M τότε F1=0 και η ράβδος θα βρίσκεται στη φυσική της κατάσταση, ενώ για m<M θα είναι F1<0 και η ράβδος θα εφελκύεται, δηλαδή το µήκος της τείνει να αυξηθεί. ii) Οι σχέσεις (4) και (5) προστιθέµενες κατά µέλη δίνουν:

Mgηµϕ + Μ+3m( ) gηµϕ=3Ma/2+2 Μ+2m( )a

a =

2 2Μ+3m( )7M+8m

gηµϕ (7)

Mε βάση την παραπάνω σχέση τα µέτρα των τριβών

�

T 1 και

�

T 2 είναι:

T

1=M

2⋅2 2Μ+3m( )

7M+8mgηµϕ =

M 2Μ+3m( )7M+8m

gηµϕ (8)

και

T

2= Μ+m( ) ⋅2 2Μ+3m( )

7M+8mgηµϕ =⋅

2 Μ+m( ) 2Μ+3m( )7M+8m

gηµϕ (9)

Για να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση τα δύο σώµατα πρέπει:

T1≤ µΝ

1 ⇒

(8)

M 2Μ+3m( )7M+8m

gηµϕ ≤ µΜgσυνϕ

2Μ+3m( ) εϕϕ7M+8m

≤ µ (10)

και

T2≤ µΝ

2 ⇒

(9)

2 Μ+m( ) 2Μ+3m( )7M+8m

gηµϕ ≤ µ Μ+3m( ) gσυνϕ

2Μ+3m( ) εϕϕ7M+8m

≤ µ2

Μ+3m

Μ+m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(11)

Εάν ισχύει:

µ ≤ µ

2

Μ+3m

Μ+m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ή 2Μ+2m ≤ Μ+3m ή Μ ≤ m

τότε η συνθήκη για κύλιση χωρίς ολίσθηση των δύο σωµάτων είναι η σχέση (10). Εάν ισχύει Μ=m τότε οι σχέσεις (10 και (11) συγχωνεύονται στην σχέση εφφ ≤ 3µ που αποτελεί την συνθήκη για να κυλίονται χωρίς ολίσθηση τα δύο σώµατα. Τέλος αν ισχύει:

µ ≥ µ

2

Μ+3m

Μ+m

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ή 2Μ+2m ≥ Μ+3m ή Μ ≥ m

τότε η συνθήκη για κύλιση χωρίς ολίσθηση των δύο σωµάτων είναι η σχέση (11).

P.M. fysikos

Oµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους L και µά ζας M, ηρεµεί πάνω σε λεία οριζόντια επιφάνεια. Ένα µικρό ελα στικό σφαιρίδιο κινούµενο πάνω στην επιφάνεια προσπίπτει κάθε τα στην ράβδο σε απόσταση x από το κάτω άκρο της Α. i) Εάν λ είναι ο λόγος της µάζας m του σφαιριδίου προς την µάζα Μ της σφαίρας (λ=m/M) να εκφράσετε σε συνάρτηση µε το λ την απόσταση x, ώστε το σφαιρίδιο µετά την κρούση του µε την ράβδο που θεωρείται ελαστική, να ακινητοποιηθεί. Ποιες είναι οι επιτρεπ τές τιµές του λ για να συµβεί η ακινητοποίηση του σφαιριδίου; ii) Ποια πρέπει να είναι η τιµή του λ, ώστε το σφαιρίδιο να ακινη τοποιηθεί όταν συγκρουσθεί κάθετα µε την ράβδο στο κατώτερο σηµείο της Α και ποια είναι στην περίπτωση αυτή η θέση του στιγ µιαίου κέντρου περιστροφής της ράβδου και η ταχύτητα του άκρου Β αµέσως µετά την κρούση; Δίνεται η ροπή αδράνειας ΙC=ΜL2/12 της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στην ράβδο και η ταχύτητα

�

v 0 του σφαιριδίου.

ΛΥΣΗ: i) Η κρουστική δύναµη

�

F που ασκεί το σφαιρίδιο στην ράβδο την

θέτει σε επίπεδη κίνηση επί της λείας οριζόντιας επιφάνειας. Η κίνηση αυτή είναι επαλληλία µιας ευθύγραµµης µεταφορικής κίνησης µε σταθερή ταχύτητα και µιας στροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας C της ράβδου µε σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Το γεγονός ότι οι δύο αυτές κινήσεις είναι χρο

Σχήµα 7 νικά αδιατάρακτες οφείλεται στο ότι οι δυνάµεις που δέχεται η ράβδος, δηλα δή το βάρος της και η αντίδραση της λείας επιφάνειας, έχουν µηδενική ροπή περί το κέντρο µάζας και µηδενική συνισταµένη. Έτσι κατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα της κρούσεως η ορµή του συστήµατος σφαιρίδιο-ράβδος δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

mv0 +0= MvC +0

�

mv0= MvC

�

⇒

�

vC = m/M( )v0 = λv0 (1) όπου

�

v C η ταχύτητα του κέντρου µάζας της ράβδου αµέσως µετά την κρού

ση και

�

v 0 η ταχύτητα πρόσκρουσης του σφαιριδίου. Αλλά και η στροφορµή

του συστήµατος περί το κέντρο µάζας C της ράβδου δεν µεταβάλλεται στην διάρκεια της κρούσεως, δηλαδή ισχύει η σχέση:

�

L σϕ

λιγο πριν + L ραβ

λιγο πριν = L σϕ

αµεσως µετα + L ραβ

αµεσως µετα

�

⇒

�

mv0

L

2-x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ +0= 0+ICω

�

⇒

�

mv0

L

2-x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

ML2

12ω

�

⇒

�

m

Mv0

L

2-x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

L2ω12

�

⇒

�

v0

L

2-x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

L2ω12λ

(2)

όπου

�

ω η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου περί το κέντρο µάζας της, αµέσως

µετά την κρούση. Εξάλλου η κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο είναι ελαστική, οπότε η κινητική ενέργεια του συστήµατος πριν και µετά την κρούση παραµένει ίδια, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

�

mv02

2+ 0 = 0 +

MvC2

2+

ICω2

2

�

⇒

�

mv02 = MvC

2 +ML2ω 2

12

�

⇒(1)

�

m

Mv0

2 = λ2v02 +

L2ω 2

12

�

⇒

�

λv02 = λ2v0

2 +L2ω 2

12

�

⇒

�

λ 1-λ( )v02 =

L2ω 2

12

�

⇒

�

ω = 12λ 1-λ( ) v0

L (3)

Συνδυάζοντας την σχέση (3) µε την (2) παίρνουµε:

�

v0

L

2-x

⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

L2

12λ12λ 1-λ( ) v0

L

�

⇒

�

L

2-x=

L

12λ12λ 1-λ( )

�

⇒

�

x = L1

2-

1-λ12λ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ (4)

Η (4) αποτελεί την ζητούµενη σχέση και έχει νόηµα εφ΄ όσον η υπόριζη ποσότητα που περιέχει είναι µη αρνητική, δηλαδή πρέπει να ισχύει:

�

1-λ ≥ 0

�

⇒

�

λ ≤ 1 Όµως η απόσταση x οφείλει να είναι µεγαλύτερη ή ίση του µηδενός και µικρό τερη ή ίση του µήκους L της ράβδου για να είναι δυνατή η κρούση του σφαιριδίου µε την ράβδο, δηλαδή πρέπει:

�

0≤ x ≤ L

�

⇒(4)

�

0≤ L1

2-

1-λ12λ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟ ≤ L

�

⇒

�

-1

2≤ -

1-λ12λ

≤1

2 (5)

Για

�

λ ≤ 1 το δεξιό σκέλος της (5) ικανοποιείται, ενώ το αριστερό της σκέλος ικανοποιείται εφ’ όσον ισχύει:

�

-1

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

≥ -1-λ12λ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

2

�

⇒

�

1

4≥

1-λ12λ

�

⇒

�

λ ≥1

4

Aπό την όλη ανάλυση προκύπτει ότι οι επιτρεπόµενες τιµές του λ για τις οποί ες ακινητοποιείται το σφαιρίδιο µετά την κρούση, δεσµεύονται µε την σχέση:

�

1/ 4 ≤ λ ≤ 1 (6) ii) Για να ακινητοποιηθεί το σφαιρίδιο όταν προσπίπτει κάθετα στο άκρο Α της ράβδου, πρέπει ο λόγος λ=m/M να εκλεγεί, ώστε να ικανοποιείται η (4) για x=0, δήλαδη πρέπει:

�

0= L1

2-

1-λ12λ

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

�

⇒

�

1

4=1-λ12λ

�

⇒

�

λ =1

4

που σηµαίνει ότι η µάζα του σφαιριδίου πρέπει να είναι ίση µε το ¼ της µάζας της ράβδου. Εάν Κ είναι στην περίπτωση αυτή το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής της ράβδου αµέσως µετά την κρούση, πρέπει η ταχύτητα του Κ να είναι µηδενική, δηλαδή πρέπει η µεταφορική συνιστώσα

�

v C της ταχύτη

τας του Κ να είναι αντίθετη της περιστροφικής του συνιστώσας

�

v π(K) (σχ. 8).

Έτσι θα έχουµε την σχέση:

�

vC = vπ(K)

�

⇒(1),(3)

�

λv0 = 12λ 1-λ( ) v0

LxK

�

⇒

�

1

4= 3 1-1/4( ) xK

L

�

⇒

�

1

4=

3

2

xK

L

�

⇒

�

xK =L

6

Σχήµα 8 όπου xK η απόσταση του Κ από το κέντρο µάζας C της ράβδου. Eξάλλου η αντίστοιχη ταχύτητα

�

v B του άκρου Β της ράβδου προκύπτει ως

συνισταµένη της µεταφορικής του ταχύτητας

�

v C και της περιστροφικής του

ταχύτητας

�

v π(B) (σχ. ) οπότε θα έχουµε:

�

v B =

v C +

v π(B) =

i vC -

i ωL/ 2

�

⇒(1),(3)

�

v B =

i λv0 - 12λ 1-λ( ) v0

L

L

2⎛ ⎝

⎞ ⎠

�

⇒

�

v B =

i

1

4-

3

4

3

4⎛ ⎝

⎞ ⎠

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ v0

�

⇒

�

v B = -

i v0

2

όπου

�

i το µοναδιαίο διάνυσµα προς την κατεύθυνση της ταχύτητας

�

v 0

P.M. fysikos

To αµαξίδιο του σχήµατος (9) έχει µάζα Μ και µπορεί να κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Στο κέντρο του αµαξιδίου έχει αρθρωθεί το άκρο Α οµογενούς ράβδου ΑΒ µήκους L και µάζας m, η οποία κρατείται υπό κλίση φ0 ως προς την οριζόν τια διεύθυνση και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερη. i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση εκκίνησης του αµαξιδίου. ii) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε την γωνία κλίσεως φ της ράβ δου ως προς την οριζόντια διεύθυνση, την γωνιακή της ταχύτητα. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι=mL2/3 της ράβδου ως προς άξονα κάθε το στην ράβδο και διερχόµενο από το άκρο της Α και η επιτάχυνση

g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Όταν το σύστηµα αµαξίδιο-ράβδος αφεθεί ελέυθερο το µεν αµαξίδιο θα εκτελεί οριζόντια µεταφορική κίνηση επί του λείου εδάφους, η δε ράβδος θα εκτελεί επίπεδη κίνηση σε κατακόρυφο επίπεδο η οποία παρουσιάζει µεταφο ρική συνιστώσα και περιστροφική συνιστώσα περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της C και είναι κάθετος στο επίπεδο της κίνησης. Eάν

a

Aείναι η επιτάχυνση εκκίνησης του αµαξιδίου και

a

C η

αντίστοιχη επιτάχυνση του κέν τρου µάζας C της ράβδου, θα ισχύει σύµφωνα µε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων η διανυσµατική σχέση:

a

A= a

C+ aκ + aπ = a

C+ aπ (1)

Σχήµα 9 Σχήµα 10 όπου

aπ η επιτρόχια επιτάχυνση του σηµείου Α λόγω περιστροφής της

ράβδου, ενώ η αντίστοιχη κεντροµόλος επιτάχυνσή του aκ είναι µηδενική

διότι η γωνιακή ταχύτητα ω της ράβδου κατά την εκκίνησή της είναι

µηδενική (σχ.9). Η διανυσµατική σχέση (1) προβαλλόµενη κατά την διεύ θυνση του οριζόντιου άξονα x δίνει:

-a

A= a

Cx-aπx ⇒

-a

A= a

Cx- ′ω Lηµϕ

0/ 2 ⇒

a

A= -a

Cx+ ′ω Lηµϕ

0/ 2 (2)

όπου

a

Cx η οριζόντια συνιστώσα της επιτάχυνσης

a

C και

′ω η γωνιακή

επιτάχυνση εκκίνησης της ράβδου. H ράβδος κατά την εκκίνησή της δέχεται το βά ρος της

w και την δύναµη επαφής από την άρθρωση, που αναλύεται

στην οριζόντια συνιστώσα F

x και στην κατακόρυφη συνιστώσα

F

y (σχ. 10).

Εφαρµόζοντας για την ράβδο τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το ακίνητο άκρο της Α, παίρνουµε την σχέση:

Στ

(Α )=ΙΑ ′ω ⇒

w

L

2συνϕ

0= m

L2

3′ω ⇒

′ω = 3g

2Lσυνϕ

0 (3)

Eξάλλου ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα για το κέντρο µάζας C της ράβδου και για το αµαξίδιο, κατά την διεύθυνση του άξονα x, δίνει:

Fx=ma

Cx

′Fx=Ma

A

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

Fx=ma

Cx

Fx=Ma

A

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

ma

Cx=Ma

A ⇒

(2)

ma

Cx=M -a

Cx+ ′ω Lηµϕ

0/2( ) ⇒

m + M( ) aCx

=M ′ω Lηµϕ0/2 ⇒

a

Cx=

M

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟L ′ω ηµϕ

0

2 (4)

όπου

′Fx η οριζόνια συνιστώσα της δύναµης επαφής που δέχεται το αµαξίδιο

από την ράβδο, που είναι αντίθετη της F

x, όπως προβλέπει το αξίωµα ισότη

τας δράσης-αντίδρασης. Συνδυάζοντας τις (2) και (4) παίρνουµε:

a

A= -

M

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟L ′ω ηµϕ

0

2+

L ′ω ηµϕ0

2 ⇒

a

A=

L ′ω ηµϕ0

21-

M

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

L ′ω ηµϕ0

2

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⇒

(3)

a

A=

Lηµϕ0

2

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3g

2Lσυνϕ

0 ⇒

a

A= 3g

8

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2ηµϕ0συνϕ

0( ) ⇒ a

A= 3g

8

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ηµ2ϕ

0 (5)

ii) Eξετάζοντας το σύστηµα αµαξίδιο–ραβδος κατά µια τυχαία στιγµή t που η κλίση της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα x είναι φ<φ0 µπορούµε, σύµ φωνα µε την αρχή της επαλληλίας των κινήσεων, να γράψουµε την διανυσ µατική σχέση:

v

A= v

C+vπ (6)

όπου

v

A, v

C οι ταχύτητες του αµαξιδίου και του κέντρου µάζας C της

ράβδου αντιστοίχως την χρονική στιγµή t και vπ η αντίστοιχη ταχύτητα

του Α, λόγω της περιστροφής της ράβδου (σχ. ). Προβάλλοντας την διανυσµατική σχέση (6) στούς ορθογώνιους άξονες x,y παίρνουµε τις αλγεβρικές σχέσεις:

Σχήµα 11

-vA= -vπx+v

Cx

0 = vπy +vCy

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

vA= vπx-vCx

vCy

= -vπy

⎫⎬⎪

⎭⎪ ⇒

vA= ωL/2( ) ηµϕ -v

Cx

vCy

= - ωL/2( ) συνϕ

⎫⎬⎪

⎭⎪ (7)

όπου

v

Cx,

v

Cy οι x και y συνιστώσες αντιστοίχως της ταχύτητας

v

C. Εξάλ

λου το σύστηµα κατά την κίνησή του δεν δέχεται οριζόντιες εξωτερικές δυνάµεις, που σηµαίνει ότι η ορµή του δεν µεταβάλλεται κατά την οριζόντια διεύθυνση x, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση:

0 + 0 = -Mv

A+ mv

Cx ⇒

mv

Cx= Mv

A ⇒

(7)

mv

Cx= M ωL/2( ) ηµϕ -Mv

Cx ⇒

m + M( ) vCx

= M ωL/2( ) ηµϕ ⇒

v

Cx= M

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ωLηµϕ

2 (8)

όπου

ω η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου την στιγµή t. Συνδυάζοντας την

πρώτη σχέση εκ των (7) µε την (8) παίρνουµε:

v

A= ωLηµϕ

2-

M

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ωLηµϕ

2= ωLηµϕ

21-

M

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒

v

A= ωLηµϕ

2

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(9)

Aκόµη αφού δεν υπάρχουν τριβές η µηχανική ενέργεια του συστήµατος δεν µεταβάλλεται κατά την κίνησή του µε αποτέλεσµα να έχουµε την σχέση:

Κ ϕ

0( ) + U ϕ0( ) = Κ ϕ( ) + U ϕ( ) ⇒

0 + mg

L

2ηµϕ

0=

ΜvA2

2+

mvC2

2+

ICω2

2+ mg

L

2ηµϕ ⇒

mgL ηµϕ

0-ηµϕ( ) = Μv

A2 + m v

Cx2 +v

Cy2( ) + mL2ω2

12

η οποία λόγω των (8), (9) και της δεύτερης εκ των (7) γράφεται:

mgL ηµϕ

0-ηµϕ( ) = Mω2L2ηµ2ϕ

4

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+

+ mω2L2ηµ2ϕ

4

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

+ mω2L2συν2ϕ4

+ mL2ω2

12 ⇒

mg ηµϕ

0-ηµϕ( ) = ω2L

4

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

Μηµ2ϕ +

+ ω2L

4

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

mηµ2ϕ + ω2L

4mσυν2ϕ + Lω2

4

m

3 ⇒

mg ηµϕ0-ηµϕ( ) = ω2L

4

m

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

Μ+m( ) ηµ2ϕ+mσυν2ϕ+m

3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⇒

mg ηµϕ0-ηµϕ( ) = ω2L

4

m2

m + M

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ηµ2ϕ + mσυν2ϕ + m

3

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ ⇒

mg ηµϕ

0-ηµϕ( ) = mω2L

4

m + Mσυν2ϕm + M

+ 1

3

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⇒

ω2 = 4g

L

ηµϕ0-ηµϕ

m + Mσυν2ϕm + M

+ 13

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

⇒

ω = 4g

L

ηµϕ0-ηµϕ

m + Mσυν2ϕm + M

+ 13

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

P.M. fysikos